10/27/2015Notación de Kendall 2.5 Líneas de espera de Poisson especializadas Modelos Estocásticos Dra. Adriana Ley Chávez 2 1 Fuente: Taha La notación estándar para representar las distribuciones de las llegadas y salidas (símbolos a y b) es: 2.6 Medidas de desempeño de estado estable La relación entre Ls y Ws (también entre Lq y Wq) se conoce como fórmula de Little λefec es la tasa de llegadas efectiva al sistema. Es igual a λ cuando todos los clientes que llegan pueden unirse al sistema. Si algunos clientes no pueden unirse porque el sistema está lleno: λefec < λ Ejemplo: (M/D/10) : (GD/20/q) Llegadas Poisson, tiempo de servicio constante, 10 servidores paralelos. La disciplina en colas es GD, y hay un límite de 20 clientes en todo el sistema. El tamaño de la fuente de donde llegan los clientes es infinito. 3 Fuente: Taha Multiplicando la ecuación de Ws y usando Little: 4 Fuente: Taha 1. Representar sistema de línea de espera 2. Calcular probabilidades para cada estado 3. Calcular λperdida, si es el caso Relación entre λ, λefec y λperdida λperdida = λ * px donde x es el estado que resulta en que no puedan entrar más clientes 4. Calcular λefec, si es el caso 5. Calcular L y Lq 6. Calcular W y Wq λperdida = λ * px donde x es el estado que resulta en que no puedan entrar más clientes 5 6 Fuente: Taha 1 10/27/2015 Tarea 3 Fecha de entrega y presentación: Lunes 28 Trabajo en clase • Describir y diagramar un sistema de líneas de espera real. • Incluir la notación de Kendall correspondiente • Estimar las tasas de llegada y de servicio Una peluquería atiende a un cliente a la vez y cuenta con tres sillas para los clientes que esperan. Si el lugar está lleno, los clientes se van a otra parte. Las llegadas ocurren de acuerdo a una distribución de Poisson con media de 4 por hora. El tiempo para recibir un corte de pelo es exponencial con media de 15 minutos. 7 Trabajo en clase Determine lo siguiente: a) Las probabilidades de estado estable. b) La cantidad esperada de clientes en la peluquería. c) La probabilidad de que los clientes se vayan a otra parte porque la peluquería está llena. 8 Solución de Sistemas de Línea de Espera que crecen hasta Infinito Un centro de atención cuenta con 1 ventanilla en la cual se atienden clientes. En el área de espera pueden sentarse 5 clientes. Si el área de espera está llena, los clientes se van. Las llegadas ocurren de acuerdo a una distribución de Poisson con media de 2 por hora. El asesor atiende a 1 cliente por hora en promedio cuando hay hasta 2 clientes esperando, pero si hay 3 o más clientes esperando, se apresura y logra atender a 3 clientes por hora. Determine lo siguiente: a) Las probabilidades de estado estable. b) La cantidad esperada de clientes en el centro de atención. c) La probabilidad de que los clientes se vayan porque está lleno. d) El tiempo promedio que pasa un cliente en el centro. 9 10 Fuente: Hillier y Lieberman Cálculo de L y W 11 Fuente: Hillier y Lieberman 12 Fuente: Hillier y Lieberman 2 10/27/2015 Se usa la serie de suma geométrica Modelo M/M/s • Supone que todos los tiempos entre llegadas son independientes e idénticamente distribuidos de acuerdo con una distribución exponencial (el proceso de entrada es de Poisson) • Supone que todos los tiempos de servicio siguen otra distribución exponencial • El numero de servidores es s (cualquier entero positivo). 13 14 Fuente: Hillier y Lieberman Fuente: Hillier y Lieberman Tasa de servicio del sistema en el modelo M/M/s Cuando sµ excede la tasa media de llegadas: el sistema eventualmente alcanzará la condición de estado estable. 15 16 Fuente: Hillier y Lieberman 2.7 Modelo de 1 sólo servidor: M/M/1 Para s=1, las expresiones de Cn, Pn y P0 se simplifican (si ρ < 1) L= Wq = W= 17 Fuente: Hillier y Lieberman Wq = L= W= Ejemplo Los autos llegan a un autolavado según una distribución de Poisson con una media de 4 autos por hora y pueden esperar en el estacionamiento de la instalación en la calle si el espacio de lavado está ocupado. El tiempo para lavar y limpiar un auto es exponencial, con una media de 10 minutos. Calcular: a) P0, P1, P2, P3 b) L y W c) Lq y Wq d) El porcentaje de utilización del espacio de lavado e) la probabilidad de que un auto que llega tenga que esperar en el estacionamiento antes de entrar al espacio de lavado. 18 Fuente: Taha 3 10/27/2015 Trabajo en clase 1 Trabajo en clase 1 Un estudiante realiza trabajos de traducción para complementar sus ingresos. Las solicitudes para que realice un trabajo llegan cada 5 días en promedio y el tiempo entre solicitudes es exponencial. El tiempo para terminar un trabajo también es exponencial con media de 4 días. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se quede sin trabajos? b) Si gana aproximadamente $50 por trabajo, ¿cuál es su ingreso mensual promedio? c) Si al final del semestre decide subcontratar los trabajos pendientes a $40 cada uno, ¿cuánto, en promedio, pagará por subcontratarlos? Wq = Las solicitudes para que realice un trabajo llegan cada 5 días en promedio y el tiempo entre solicitudes es exponencial. El tiempo para terminar un trabajo también es exponencial con media de 4 días. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se quede sin trabajos? b) Si gana aproximadamente $50 por trabajo, ¿cuál es su ingreso mensual promedio? c) Si al final del semestre decide subcontratar los trabajos pendientes a $40 cada uno, ¿cuánto, en promedio, pagará por subcontratarlos? 19 20 Trabajo en clase 2 Trabajo en clase 2 Wq = W= Durante años, el detective Columbo, ha tenido mucho éxito al resolver todos los casos criminales. Es sólo cuestión de tiempo antes de que cualquier caso se resuelva. Columbo admite que el tiempo por caso es “totalmente aleatorio”, pero, en promedio, cada investigación le lleva aproximadamente una semana y media. Los crímenes en el su ciudad no son muy comunes. Ocurren al azar a razón de un crimen por mes (4 semanas). El detective Columbo está solicitando que un asistente comparta la pesada carga de trabajo. Analice la petición de Columbo, en particular desde la perspectiva de los siguientes puntos: (a) El promedio de casos en espera de ser investigados. (b) El porcentaje del tiempo que el detective permanece ocupado. (c) El tiempo promedio necesario para resolver un caso. 21 Cada investigación le lleva aproximadamente una semana y media. Los crímenes ocurren al azar a razón de un crimen por mes (4 semanas). (a) El promedio de casos en espera de ser investigados. (b) El porcentaje del tiempo que el detective permanece ocupado. (c) El tiempo promedio necesario para resolver un caso. Trabajo en clase 3 Trabajo en clase 3 Los autos que llegan a una caseta de cobro lo hacen según una distribución de probabilidades de Poisson, con una media de 90 autos por hora. El tiempo para cruzar la caseta es exponencial con media de 38 segundos. Los conductores se quejan del largo tiempo de espera, y las autoridades desean reducir el tiempo de cruce promedio a 30 segundos con la instalación de dispositivos de cobro de cuota automáticos, siempre que se satisfagan dos condiciones: (1) que el promedio de autos que esperan en el sistema actual exceda de 5 (2) que el porcentaje del tiempo ocioso de la caseta con el nuevo dispositivo instalado no exceda de 10%. 23 ¿Se puede justificar el nuevo dispositivo? 22 L= Los autos llegan a una caseta de cobro con una media de 90 autos por hora. El tiempo para cruzar la caseta es exponencial con media de 38 segundos. Las autoridades desean reducir el tiempo de cruce promedio a 30 segundos con la instalación de dispositivos de cobro de cuota automáticos, si se satisface: (1) que el promedio de autos en el sistema actual exceda de 5 (2) que el porcentaje del tiempo ocioso de la caseta con el nuevo dispositivo instalado no exceda de 10%. 24 4 10/27/2015 Trabajo en clase 4 Trabajo en clase 4 Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla para servicio en su auto. Los autos llegan según una distribución de Poisson a razón de dos cada 5 minutos. El espacio en frente de la ventanilla puede acomodar a lo sumo 10 autos, incluso el que se está atendiendo. Los demás autos pueden esperar afuera de este espacio si es necesario. El tiempo de servicio por cliente es exponencial, con una media de 1.5 minutos. Determine lo siguiente: (a) La probabilidad de que la ventanilla esté ociosa. (b) La cantidad estimada de clientes que esperan ser atendidos. (c) El tiempo de espera hasta que un cliente llega a la ventanilla para hacer su pedido. Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla para servicio en su auto. Los autos llegan según una distribución de Poisson a razón de dos cada 5 minutos. El espacio en frente de la ventanilla puede acomodar a lo sumo 10 autos, incluso el que se está atendiendo. Los demás autos pueden esperar afuera de este espacio si es necesario. El tiempo de servicio por cliente es exponencial, con una media de 1.5 minutos. (a) La probabilidad de que la ventanilla esté ociosa. (b) La cantidad estimada de clientes que esperan ser atendidos. (c) El tiempo de espera hasta que un cliente llega a la ventanilla para hacer su pedido. 25 Trabajo en clase 5 Los clientes llegan a la ventanilla de servicio de un banco en su auto según una distribución de Poisson, con una media de 10 por hora. El tiempo de servicio por cliente es exponencial con una media de 5 minutos. Hay tres espacios en frente de la ventanilla, incluido el auto que están atendiendo. Otros autos que llegan se forman afuera de este espacio para 3 autos. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un auto que llega pueda entrar a uno de los 3 espacios? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un auto que llega espere afuera del espacio designado para tres 3 autos? (c) ¿Cuánto tiempo se anticipa que espere un cliente que llega antes de iniciar el servicio? 27 Modelo M/M/1 con un límite N para el número en el sistema 26 Trabajo en clase 5 Los clientes llegan a la ventanilla de servicio de un banco en su auto según una distribución de Poisson, con una media de 10 por hora. El tiempo de servicio por cliente es exponencial con una media de 5 minutos. Hay tres espacios en frente de la ventanilla, incluido el auto que están atendiendo. Otros autos que llegan se forman afuera de este espacio para 3 autos. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un auto que llega pueda entrar a uno de los 3 espacios? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un auto que llega espere afuera del espacio designado para tres 3 autos? (c) ¿Cuánto tiempo se anticipa que espere un cliente que llega antes de iniciar el servicio? 28 Modelo M/M/1 con un límite N para el número en el sistema Dado el límite N, la tasa de llegadas que importa es λefec. El valor p0 se determina a partir de la sumatoria de las probabilidades (igual a 1), o usando: El valor de ρ no tiene que ser menor a 1 en este modelo, 29 porque el límite N controla las llegadas al sistema. Fuente: Taha Los cálculos de L, W, Lq y Wq son laboriosos. 30 Fuente: Taha 5 10/27/2015 Trabajo en clase 1 Ejemplo Un lavado de autos cuenta con un total de 4 espacios de estacionamiento. Si el estacionamiento está lleno, los autos se van a otras instalaciones. El propietario desea determinar el efecto del limitado espacio en la pérdida de clientes. N=4+1=5 31 Para el ejemplo anterior, determine: a) La probabilidad de que un auto que llegue entre de inmediato a la bahía de lavado. b) El tiempo de espera hasta que se inicie el servicio. c) La cantidad esperada de espacios de estacionamiento vacíos. d) La probabilidad de que todos los espacios de estacionamiento estén ocupados. e) El tiempo de servicio promedio que limitará el tiempo promedio en el sistema a aproximadamente 10 minutos. 32 Fuente: Taha Trabajo en clase 2 Fuente: Taha Trabajo en clase 3 El ensamble final de los generadores eléctricos en Electro se realiza a la razón de Poisson de 10 generadores por hora. Luego los generadores son transportados por una banda al departamento de inspección para su revisión final. La banda puede transportar un máximo de 7 generadores. Un sensor automático detiene al instante la banda una vez que se llena, lo que evita que el departamento de ensamble final arme más unidades hasta que haya espacio disponible. El tiempo para inspeccionar los generadores es exponencial, con una media de 15 minutos. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que el departamento de ensamble final detenga la producción? (b) ¿Cuál es el promedio de generadores sobre la banda transportadora? Una cafetería puede acomodar un máximo de 50 personas. Los clientes llegan en una corriente Poisson a razón de 10 por hora y son atendidos (uno a la vez) a razón de 12 por hora. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llegue no coma en la cafetería porque está llena? (b) Suponga que a tres clientes (con tiempos de llegada aleatorios) les gustaría sentarse juntos. ¿Cuál es la probabilidad de que se cumpla su deseo? (Suponga que pueden hacerse arreglos para que se sienten juntos siempre que haya tres sillas disponibles.) 33 34 Fuente: Taha Trabajo en clase 4 Fuente: Taha 2.8 Modelos de Varios Servidores M/M/s Los pacientes llegan a la clínica de un médico de acuerdo con una distribución de Poisson a razón de 20 pacientes por hora. La sala de espera no puede acomodar más de 14 pacientes. El tiempo de consulta por paciente es exponencial, con una media de 8 minutos. s servidores paralelos idénticos λefec = λ (no hay límite de capacidad en el sistema) a) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente que llegue no espere? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente que llegue encuentre un asiento en la sala? c) ¿Cuál es el tiempo total esperado que un paciente pasa en la clínica? 35 36 Fuente: Taha 6 10/27/2015 Resultados cuando s > 1 Ejemplo • Dos compañías de taxis prestan servicio a una comunidad. • Cada compañía posee dos taxis, y ambas comparten el mercado por igual. • Las llamadas llegan a la oficina de despachos de cada compañía a una tasa promedio de 8 por hora. El tiempo promedio por viaje es de 12 minutos. • Las llamadas llegan de acuerdo con una distribución de Poisson y el tiempo de viaje es exponencial. • Las dos compañías fueron adquiridas por un inversionista y se consolidarán en una sola oficina de despachos. Analice la propuesta del nuevo propietario. 37 38 Fuente: Hillier y Lieberman Ejemplo • • • • • Dos compañías de taxis prestan servicio a una comunidad. Cada compañía posee dos taxis, y ambas comparten el mercado por igual. Las llamadas llegan a la oficina de despachos de cada compañía a una tasa promedio de 8 por hora. El tiempo promedio por viaje es de 12 minutos. Las llamadas llegan de acuerdo con una distribución de Poisson y el tiempo de viaje es exponencial. Las dos compañías fueron adquiridas por un inversionista y se consolidarán en una sola oficina de despachos. Analice la propuesta del nuevo propietario. Servidores: ____________ Servicio: ______________ Modelo de líneas de espera de cada compañía: (M/M/2):(GD/∞/ ∞) Modelo de líneas de espera compañía consolidada: (M/M/4):(GD/∞/ ∞) λ= µ= parámetros de compañía consolidada? medida para comparar las dos alternativas de negocio?39 Trabajo en clase 1 Ejemplo Modelo de líneas de espera de cada compañía: (M/M/2):(GD/∞/ ∞) Modelo de líneas de espera compañía consolidada: (M/M/4):(GD/∞/ ∞) ¿Qué cantidad de taxis debe tener la compañía consolidada para limitar el tiempo de espera promedio de un viaje a 5 minutos o menos? 40 Trabajo en clase 2 En el ejemplo de la compañía de taxis, suponga que el tiempo promedio por viaje es en realidad de aproximadamente 14.5 minutos. ¿Sigue valiendo la pena consolidar las dos compañías en una? Use el tiempo de espera promedio de un viaje como medida de comparación. 41 El restaurante de comida rápida McBurger opera con 3 cajas. Los clientes llegan, de acuerdo con una distribución de Poisson, cada 3 minutos y forman una línea para ser atendidos por la primera caja disponible. El tiempo para completar un pedido está distribuido exponencialmente con una media de 5 minutos. La sala de espera en el interior del restaurante está limitada. Sin embargo, la comida es buena, y los clientes están dispuestos a esperar afuera del restaurante, si es necesario. Determine el tamaño de la sala de espera dentro del restaurante (excluidos los de las cajas) de modo que la probabilidad de que un cliente que llega no espere afuera del restaurante sea al menos de .999. 42 7 10/27/2015 Trabajo en clase 3 Trabajo en clase 4 Una pequeña oficina de correos tiene dos ventanillas abiertas. Los clientes de acuerdo con una distribución de Poisson a razón de 1 cada 3 minutos. Sin embargo, sólo 80% de ellos busca servicio en las ventanillas. El tiempo de servicio por cliente es exponencial, con una media de 5 minutos. Todos los clientes que llegan forman una línea y acceden a las ventanillas con base en la disciplina de primero en llegar, primero en ser atendido (FCFS). (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega espere en la línea? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas ventanillas estén ociosas? (c) ¿Cuál es la longitud promedio de la línea de espera? (d) ¿Sería posible ofrecer un servicio razonable con sólo una ventanilla? Explique. El centro de cómputo de una universidad está equipado con cuatro maxicomputadoras idénticas. La cantidad de usuarios en cualquier momento es de 25. Cada usuario es capaz de enviar un trabajo desde una terminal cada 15 minutos en promedio, pero el tiempo real entre envíos es exponencial. Los trabajos que llegan automáticamente se van a la primera computadora disponible. El tiempo de ejecución por envío es exponencial con una media de 2 minutos. Calcule lo siguiente: (a) La probabilidad de que un trabajo no se ejecute de inmediato inmediatamente después de enviarlo. (b) El tiempo promedio hasta que los resultados de un trabajo se le devuelvan al usuario. (c) El promedio de trabajos en espera de ser ejecutados. (d) El porcentaje de tiempo que todo el centro de cómputo está ocioso. 43 44 Repaso 1 Repaso 2 The reference desk of a university library receives requests for assistance. Assume that a Poisson probability distribution with a mean rate of 10 requests per hour can be used to describe the arrival pattern and that service times follow an exponential probability distribution with a mean service rate of 12 requests per hour. a. What is the probability that no requests for assistance are in the system? b. What is the average number of requests that will be waiting for service? c. What is the average waiting time in minutes before service begins? d. What is the average time at the reference desk in minutes (waiting time plus service time)? e. What is the probability that a new arrival has to wait for service? 47 Trucks using a single-channel loading dock arrive according to a Poisson probability distribution. The time required to load/unload follows an exponential probability distribution. The mean arrival rate is 12 trucks per day, and the mean service rate is 18 trucks per day. a. What is the probability that no trucks are in the system? b. What is the average number of trucks waiting for service? c. What is the average time a truck waits for the loading/unloading service to begin? d. What is the probability that an arriving truck will have to wait for service? 48 Repaso 3 Trosper Tire Company has decided to hire a new mechanic to handle all tire changes for customers ordering a new set of tires. Two mechanics have applied for the job. One mechanic has limited experience, can be hired for $14 per hour, and can service an average of 3 customers per hour. The other mechanic has several years of experience, can service an average of 4 customers per hour, but must be paid $20 per hour. Assume that customers arrive at the Trosper garage at the rate of 2 customers per hour. a. What are the waiting line operating characteristics using each mechanic, assuming Poisson arrivals and exponential service times? b. If the company assigned a customer waiting cost of $30 per hour, which mechanic provides the lower operating 49 cost? 8