EJERCICIOS DE APLICACIÓNEJERCICIO No.1. Los productos X y Y deben tratarse en dos máquinas A y B. Para tratar una unidad de X en la máquina A se necesitan dos horas, mientras que en la máquina B, el tiempo necesario es de cinco horas. Los tiempos de tratamiento del producto Y mediante las máquinas A y B son de tres y dos horas, respectivamente. La capacidad de la máquina A es de 400 horas; la de B, 600 horas. El costo unitario del producto X es de $9.00, el del producto Y es de $15.00, y los precios unitarios de venta son de $12.00 para X y $21.00 para Y. El efectivo disponible para el pago de los costos unitarios es $1125.00. *** Formule el Modelo de Programación Lineal correspondiente, para maximizar las ganancias en el proceso descrito SOLUCION EJERCICIO No.1 PRODUCTO X PRODUCTO Y CAPACIDAD MAQUINA A 2 Horas/und 3 Horas/und 400 Horas MAQUINA B 5Horas/und 2Horas/und 600 Horas Costo X $9 Pventa X $12 Costo Y $15 Pventa Y $21 EFECTIVO DISPONIBLE : $1.125 VARIABLES: X1 No. De Productos X a producir X2 No. De Productos Y a producir F.O: MAX Z = 3 * X1 + 6 * X2 S.A. 2 * X1 + 3 * X2 < 400 Restricción de capacidad Máquina A 5 * X1 + 2 * X2 < 600 Restricción de capacidad Máquina A 9 * X1 + 15 * X2 < 1125 Restricción de Presupuesto X1, X2 > 0 Restricción de No negatividad Una pequeña empresa fabrica dos productos. El tiempo de Mano de Obra cuesta U$20 por hora en la Sección 1 y US15 por hora en la Sección 2. De unidades a fabricar del producto B. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS. La cantidad máxima de unidades de cada producto son 80 y 100 respectivamente. En su elaboración.2.P. que permita determinar la producción óptima de A y B. XB = No. Si los Precios de venta son U$250 y U$300..EJERCICIO No.P. De unidades a fabricar del producto A. Formule un M.L. respectivamente.P. A y B.2 M. SOLUCION EJERCICIO No. cada producto debe pasar por dos (2) secciones. Las horas de Mano de Obra necesarias por unidad de cada producto y el total disponible se dan así: SECCION PRODUC PRODUCT HORAS TO A OB DISPONIB LES 1 4 2 200 2 2 8 300 PRECIO 250 300 DE VENTA (U$) La materia prima cuesta U$15 por unidad. GANANCIA = PV – COSTO COSTO = COSTO MATERIA PRIMA + COSTO MANO DE OBRA COSTO PDTO A = 15 + 4*20 + 2*15 = U$125 COSTO PDTO B = 15 + 2*20 + 8*15 = U$175 GANANCIA A = U$250 – U$125 = U$125 GANANCIA B = U$300 – U$175= U$125 .P 4 2 SECC SECC H H M.P DISPON DISPON VARIABLES: Sean XA = No. O. Disponibles para producción hay 500 galones/hora de gasolina grado 1 y 200 galones/hora de gasolina tipo 2 y 3 respectivamente. U$60/Galón grado 2.25 <= 500 XA*0. 25% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina tipo 3.a. SOLUCION EJERCICIO No. XB >= 0 EJERCICIO No.5 GANANCIA B = U$90 – U$50 = U$40 F. El combustible tipo B.F.5 <= 200 XA.5 + 15 + 20 = U$42.5*XA + 40*XB s.3 VARIABLES: Sean XA = No. El combustible A tiene: 25% de gasolina grado 1. GANANCIA = PV – COSTO COSTO = COSTO MATERIA PRIMA + COSTO MANO DE OBRA COSTO PDTO A = 7.5 + XB*0. tiene: 50% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina grado 3.a.: 4*XA + 2*XB <= 200 2*XA + 8*XB <= 300 XA <= 80 XB <= 100 XA. Los costos son: U$30/Galón grado 1. que debe fabricarse de cada combustible para maximizar la ganancia del fabricante. XB = No. Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustibles.5 COSTO PDTO B = 30 + 20 = U$50 GANANCIA A = U$75 – U$42. XB >= 0 .: XA*0.5 = U$32. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS. U$40/Galón grado 3.: MAX Z = 125*XA + 125*XB s. Ay B. De galones a producir del combustible B. De galones a producir del combustible A.O.P. formule un M.5 <= 200 XA*0.25 + XB*0.3. Si el Combustible clase A puede venderse a U$75 el galón y el B a U$90 el galón.: MAX Z = 32.L. 6 libras. X23 >= 0. 2: Tornillo j=1: Tamaño 1. Cada paquete pesa por lo menos 2 libras. Un distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tuercas y tornillos mezclados. U$8 y U$12. Cuál será la composición del paquete que ocasionaría un costo mínimo? SOLUCION EJERCICIO No.EJERCICIO No.) i =1: Tuerca. 2: Tamaño 2.2 y 3 cuestan respectivamente U$20. 3: Tamaño 3 PROBLEMA: Determinar la composición del paquete en lbs.: X11 + X12 + X13 + X21 + X22 + X23 >= 2 (lbs) X11 + X12 + X13 + X21 + X22 + X23 = 200 (lbs) X11 + X12 + X21 + X22 <= 1.a.4 VARIABLES: Sean Xij = Peso del material i (1. X22. 2.6 (lbs) X21. b) El peso de los tamaños 1 y 2 no debe ser mayor que 1.5*(∑Xij) Xij >= 0 . Tres tamaños de tuercas y tornillos componen el paquete y se compran en lotes de 200 lbs.O. Además: a) El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del paquete.1*(∑Xij) X11 + X21 + X13 + X23 >= 0.4. c) Cualquier tamaño de tornillo debe ser al menos 10% del paquete total.2) del tamaño j (1.: Min Z = 20*(X11 + X21) + 8*(X12 + X22) + 12*(X13 + X23) s. F. Los tamaños 1. 3) (lbs. Una empresa manufacturera ha descontinuado la producción de cierta línea de productos no provechosa.2 y 3. Unidades a producir del producto 1.5. X2 = No. SOLUCION EJERCICIO No.: 9*X1 + 3*X2 + 5*X3 <= 500 5*X1 + 4*X2 <= 350 3*X1 + 2*X3 <= 150 X3 = 20 . FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS. se resume en la tabla siguiente: TIPO DE TIEMPO MAQUINA DISPONIBLE (HRS MAQ/SEMANA) FRESADORA 500 TORNO 350 RECTIFICADORA 150 El número de Horas-Máquina requeridas por cada unidad de los productos respectivos es: Coeficiente de productividad (Hrs-Máq por unidad) TIPO DE PRODUCT PRODUCT PRODUCT MAQUINA O1 O2 O3 FRESADORA 9 3 5 TORNO 5 4 0 RECTIFICADORA 3 0 2 El Departamento de Ventas indica que el potencial de ventas para el producto 3 es de 20 unds/semana. llamémoslos productos 1. El gerente está considerando dedicar esta capacidad en exceso a 1 o más de 3 productos.P. La capacidad disponible de las máquinas que podría limitar la producción. U$12 y U$15.2 y 3.: MAX Z = 30*X1 + 12*X2 +15*X3 s. Formule un M. respectivamente para los productos 1. La utilidad unitaria sería de U$30. para determinar cuánto debe producir la empresa de cada producto para hacer máxima su utilidad.EJERCICIO No. Unidades a producir del producto 2.5 VARIABLES: Sean X1 = No.a. Unidades a producir del producto 3. X3 = No. creó un exceso considerable en la capacidad de producción.O. Esto. F.L. La firma Pavimentos ha establecido que 3 cms de asfalto son tan fuertes como 1 cm de concreto y que 6 cms de gravilla son tan resistentes como 1 cm de concreto. Su costo estimado para un m2 y un centímetro (cm) de espesor. X2. para el asfalto U$700 y para gravilla. para el concreto es de U$200. La firma Pavimentos está licitando por un contrato para la construcción de la calzada de una carrertera.a. X3 >= 0 EJERCICIO No.L.P. FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR COSTOS F. U$300. siempre y cuando que la resistencia total sea al menos equivalente a la que tendría una calzada de 9 cms de concreto. X3 >= 0 . que le permita a la firma saber cuál es la combinación óptima para la calzada. X3 = Gravilla. 2.6 VARIABLES: Sean Xi = cms de espesor de material i usado para 1 m 2 de calzada.: 12 <= X1 <= 48 X1>=9 12 <= X1+X2 <= 48 X2>=27 12 <= X2+X3 <= 48 X3>=54 12 <= X1+X3 <= 48 X1 + (1/3)*X2 >= 9 12 <= X1+X2+X3 <= 48 X1 + (1/6)*X3 >= 9 12 <= X2 <= 48 (1/3)*X2 + (1/6)*X3 >= 9 12 <= X3 <= 48 X1 + (1/3)*X2 + (1/6)*X3 >= 9 X1. X1.6. Formule un M. Las especificaciones dadas indican que deben tener un mínimo de 12 cms de espesor y un máximo de 48 cms. SOLUCION EJERCICIO No. gravilla o cualquier combinación de los tres (3). (i=1. ó 3) X1 = Concreto. X2. asfalto. Debe además construirse de concreto.O. X2 = Asfalto.: MIN Z = 200*X1 + 700*X2 +300*X3 s. X3 = Cantidad en libras de aleación 3.6*X2 + 0.P. Formule el correspondiente M.15*X2 + 0.EJERCICIO No.4*(∑Xi) 0.35*(∑Xi) 0.4*X5 = 0.O.2*X4 + 0.6*X1 + 0.3*X4 + 0.1*X5 = 0. X4 = Cantidad en libras de aleación 4.3*X1 + 0. SOLUCION EJERCICIO No.25*X2 + 0. FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR COSTOS.7. F.: 0.1*X3 + 0.a.45*X3 + 0. 35% de Zinc y 25% de estaño. X5 = Cantidad en libras de aleación 5. X2 = Cantidad en libras de aleación 2.: MIN Z = 12*X1 + 11*X2 +14*X3 + 13*X4 + 15*X5 s. a partir de las siguientes aleaciones: PROPIEDAD ALEACION ES 1 2 3 4 5 %Pb 60 25 45 20 50 %Zn 10 15 45 50 40 %Estaño 30 60 10 30 10 Costo (U$/lb) 12 11 14 13 15 Disponibilidad 300 400 200 300 100 (lb) El objetivo es determinar las proporciones de estas aleaciones que deben mezclarse para producir la nueva aleación a un costo mínimo.45*X3 + 0.5*X5 = 0.7 VARIABLES: Sean X1 = Cantidad en libras de aleación 1.5*X4 + 0.25*(∑Xi) X1 <=300 X2 <=400 X3 <=200 . Una compañía desea preparar una nueva aleación que contenga 40% de plomo.L.1*X1 + 0. Cinturones tipo A a producir por día. Las respectivas ganancias son de U$0.L que permita maximizar las ganancias. Cinturones tipo B a producir por día. X4.: X1 + X2 <= 800 (1/2)*X1 + X2 <= 1000 X1 <= 400 X1 <= 700 X1.: MAX Z = 0. Un taller elabora dos clases de cinturones de cuero.4*X1 + 0.8 VARIABLES: Sean X1 = No.3 por cinturón. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS. Cada cinturón de tipo A requiere para su confección del doble de tiempo que el tipo B. Los cinturones de tipo A requieren una hebilla especial. Formule el M. X4 <=300 X5 <=100 X1. X2 = No. F. el taller podría elaborar 1000 diarios.O. y si todos los cinturones fueran del tipo B. La oferta de cuero es suficiente para producir sólo 800 cinturones diarios (combinados A y B). SOLUCION EJERCICIO No.8. solamente hay disponibles 700 hebillas por día.P.3*X2 s. X5 >= 0 Nota: (∑Xi) = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 EJERCICIO No.4 y U$0. El tipo A es de mejor calidad que el de tipo B. Para los cinturones tipo B. X3. de las cuales se pueden obtener 400 por día.a. X2. X2 >= 0 . 000/artíc $240. F.000 y 210.000/artí ulo culo culo EQUIPO DE $550.: MAX Z = 160.9 TIPO DE PRECIO DE COSTOS UTILIDADES INVERSION VENTA T. 2=Equipo de sonido. artículos que compran las personas i (1. 3. 2.000 para inversiones. Equipos de Sonido y Aspiradoras.V.000.: X11+X12+X13<=1 (Restricción de la Aduana) X21+X22+X23<=1 (Restricción de la Aduana) X31+X32+X33<=1 (Restricción de la Aduana) X41+X42+X43<=1 (Restricción de la Aduana) 240. $400.000 y se venden en Cartagena con relativa facilidad en $400.EJERCICIO No.000/artí $110.000. QUE PERMITA DETERMINAR CÓMO DEBE INVERTIRSE EL DINERO PARA UNA MAYOR UTILIDAD.P. FORMULE UN M. cuyos precios correspondientes son: $240.000 respectivamente.000/artí ulo culo culo Sean Xij = No.000*(X12+X22+X32+X42) + 110.000*(X11+X21+X31+X41) + 250. siendo 1=T.000/artíc $100.000/artí SONIDO ulo culo culo ASPIRADORA $210.000*(X12+X22+X32+X42) + 100.000/artí $160.000*(X11+X21+X31+X41) + 300..000 y $100. 550.000 (Restricción del presupuesto global disponible) Xij >= 0 (Restricción de no negatividad de las variables.000*(X13+X23+X33+X43) s.000.000/artí $250.000*(X13+X23+X33+X43) <=10.O.L.000/artíc $300. 2. Cuatro personas viajan a Panamá y disponen de un presupuesto global de $10. 3=Aspiradora. $300.) .000. La Aduana no permite que una persona transporte dos o más artefactos eléctricos. 3).V.9. SOLUCION EJERCICIO No. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS. 4) en cada alternativa j (1.a. Hay tres alternativas: Televisores. 10.: X1 + X2 = 30 5*X1 + 9*X2 >= 200 8*X1 + 12*X2 >= 300 X1. El Hospital Regional está tratando de determinar el número de comidas de pescado y de res que debe servir durante el mes venidero. de comidas de res a planear. X2 >= 0 .O. Si se juzga el sabor en una escala de 1 a 10. F.10 VARIABLES: Sean X1 = No. Ambas comidas cumplen con las necesidades de proteínas. ¿Cuántas comidas de cada tipo debe planear el hospital? Plantee como un modelo de P. La comida de pescado proporciona 8 unidades y la de res 12 unidades. El hospital quiere alcanzar en el mes por lo menos 200 puntos en el sabor. Las comidas de pescado cuestan $200 cada una y de res $250.: MIN Z = 200*X1 + 250*X2 s. Los requerimientos totales de vitaminas en el mes deben ser por lo menos 300 unidades. el pescado obtiene un 5 y la res un 9. de comidas de pescado a planear. El hospital necesita una comida para cada uno de los 30 días.EJERCICIO No.a. SOLUCION EJERCICIO No.L. X2 = No. FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR LOS COSTOS. 11 AZUCA NUECE CHOCOLA P. X2 = Onzas de caramelo a producir. 20 oz de nueces y 30 oz de chocolate. que se componen solamente de azúcar. Usted ha decidido entrar en el negocio de los dulces.VENT R S TE A CONFITES 20% 250 CARAMELO 10% 10% 200 S DISPONIBILI 100 OZ 20 OZ 30 OZ DAD VARIABLES: Sean X1 = Onzas de confites a producir. La mezcla para producir caramelos tiene que contener por lo menos 10% de nueces y 10% de chocolate.11.L que le permita maximizar sus ingresos por la venta de dulces. La mezcla para producir confites tiene que contener por lo menos 20% de nueces. Está considerando producir dos tipos de dulces: caramelos y confites. nueces y chocolate. SOLUCION EJERCICIO No.: X3 <= 100 .EJERCICIO No. X4 = Onzas de nueces a utilizar. F. X5 = Onzas de chocolate a utilizar. tiene en bodega 100 oz de azúcar.O. Cada onza de confite se vende a $250 y una onza de caramelo a $200. X3 = Onzas de azúcar a utilizar. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS. Actualmente.: MAX Z = 250*X1 + 200*X2 s. Formule un M.a.P. a 6 dólares la onza. y hasta 30 oz del medicamento 2. a 6 dólares la onza.6 s. X4 <= 20 X5 <= 30 X1 >= 0. X3.7*X1 X4 >= 0. Medicosta usa 2 productos químicos (1 y 2) para producir dos medicamentos.6*X2 X3 <= 40 X4 <= 30 X1 <= 45 X2 <= 40 .L que se pueda utilizar para maximizar las ganancias de Medicosta.a.1*X4 X2 >= 0.: MAX Z = 1. X4 = Cantidad a utilizar de medicamento 2.7*U$6 = U$1. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS. Formule un modelo de P.1*X5 X1.6*X2 Aclaración: UTILIDAD MEDICAMENTO 1: U$6 – 0. y hasta 40 oz del producto químico 2.O. X5 >= 0 EJERCICIO No. X2. SOLUCION EJERCICIO No. El medicamento 1 tiene que contener por lo menos 70% del producto químico 1.: X3 >= 0.8*X1 + 2. Puede comprar hasta 45 oz del producto químico 1. X2 = Cantidad a utilizar de producto químico 2. X4. a 4 dólares la onza.2*X4 X2 >= 0.12. X3 = Cantidad a utilizar de medicamento 1.12 VARIABLES: Sean X1 = Cantidad a utilizar de producto químico 1.6*U$4 = U$2. a 5 dólares la onza. F. y el medicamento 2 tiene que contener por lo menos 60% del producto químico 2. Se puede vender hasta 40 oz del medicamento 1.8 UTILIDAD MEDICAMENTO 2: U$5 – 0. formule un M. X3 = No. X4 >= 0 EJERCICIO No. Sabiendo que la granja puede alojar sólo 500 aves y que el granjero no desea tener más de 300 patos a la vez.: MAX Z = (5.5-4)*X1 + (3-1. X2. de patos a criar. un pato y un pavo es de U$1. El costo de la crianza de una gallina. gallinas y patos. que permita determinar cuántas aves de cada especie debe criar a fin de maximizar sus utilidades.: X1 + X2 +X3 <= 500 X3 <= 300 X1.L. Las gallinas se venden a U$3.P. X2 = No.5 U$1 y U$4.O. X1. respectivamente hasta el momento de su venta. los patos a U$2 y los pavos a U$5. de gallinas a criar. SOLUCION EJERCICIO No. Un granjero cría pavos.5. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS. F.5*X2 + X3 s.13 VARIABLES: Sean X1 = No.5)*X2 + (2-1)*X3 MAX Z = 1. X2.X3 >= 0 .13. X3. de pavos a criar.5*X1 + 1.a. 14 VARIABLES: Sean X1 = Cantidad de bebida A.5 B 5 10 20 400 0. 10% de jugo de toronja y 5% de piña. BEBID % JUGO % JUGO % A DE DE JUG EXISTEN COSTO NARANJ TORONJ O CIA(GAL (U$/GAL A A DE ) ) PIN A A 40 40 0 200 1. X3 = Cantidad de bebida C.25 SOLUCION EJERCICIO No. FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR LOS COSTOS.75*X2 + 2*X3 + 1. F. 500 galones de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja. X5 = Cantidad de bebida E.5*X1 + O.L. Jugos la pulpa de oro debe preparar con cinco (5) bebidas de frutas.O.75 E 0 0 0 800 0.EJERCICIO No.: .75*X4 + 0. que permita determinar qué cantidad de cada bebida de fruta debe emplear a fin de obtener la composición requerida a un costo mínimo.a. formule un M. X4 = Cantidad de bebida D.25*X5 s.: MIN Z = 1.P. X2 = Cantidad de bebida B.75 C 100 0 0 100 2 D 0 100 0 50 1.14. Si los datos del inventario son los que se presentan a continuación. El costo de cada proyecto según propuesta de cada contratista se presenta en la siguiente tabla (en millones).1*X2 + X4 >= 50 0. X2. y tres presentaron diligenciados sus pliegos. entre contratistas locales.4*X1 + 0.2.15. se desea adjudicar un contrato a cada contratista. PROYECTOS CONTRATIS P1 P2 P3 TAS C1 280 320 360 C2 360 280 300 C3 380 340 400 Formule un M.O. SOLUCION EJERCICIO No.2. X1 + X2 +X3 + X4 +X5 = 500 0. La junta tiene el problema de determinar qué contratistas llevarán a cabo los proyectos.: MIN Z = 280*X11 + 360*X12 + 380*X13 + 320*X21 + 280*X22 + 340*X23 + 360*X31 + 300*X32 + 400*X33 s.P.3) FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR LOS COSTOS.05*X2 + X3 >= 100 0.: X11 + X12 +X13 = 1 X21 + X22 +X23 = 1 X31 + X32 +X33 = 1 X11 + X21 + X31 =1 X12 + X22 + X32 =1 .14 VARIABLES: Sean Xij = el proyecto i (1.a.4*X1 + 0.L que permita determinar cómo deben ser asignados los contratos si se quiere minimizar los costos totales de todos ellos y si para evitar descontentos de tipo político. La junta administradora local (JAL) de la comuna 20 tiene tres proyectos de pavimentación de vías.2*X2 >= 25 X1<= 200 X2<= 400 X3<= 100 X4<= 50 X5<= 800 X1.3) que se asigna al contratista j(1.X3 >= 0 EJERCICIO No. F. X13 + X23 + X33 =1 Xij >=0 .