2.3 Ondas electromagnéticas planas en medios con y sin pérdidas Introducción a las ondas electromagnéticas La primera aplicación de las ecuaciones de Maxwell la tendremos en relación a la propagación de ondas electromagnéticas. Recordando que estas ondas las predijo Maxwell y Hertz logró generar y detectar ondas de radio. En general, las ondas constituyen medios para transportar energía o información. Algunos ejemplos típicos de ondas EM son: • • • • Las ondas de radio Las señales de televisión Los haces de radar Los rayos de luz Todas las formas de la energía electromagnética poseen tres características fundamentales: 1. Viajan a alta velocidad 2. En su viaje adoptan las propiedades de ondas. 3. Salen por radiación de una fuente, sin contar con la ayuda de un vehículo físico discernible. El objetivo de este tema son las ecuaciones de Maxwell y deducir el movimiento de las ondas electromagneticas en los siguientes medios: * El vacio (σ = 0, ε = ε0, μ = μ0). * Dielectricos sin perdidas (σ = 0, ε = εrε0, μ = μrμ0, ó σ << ωε). * Dielectricos disipativos o con pérdidas (σ ≠ 0, ε = εrε0, μ = μrμ0) * Buenos conductores (σ ≈ ∞, ε = ε0, μ = μrμ0, ó σ >> ωε). M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 1 Estudio general de las ondas electromagnéticas El detallado conocimiento de la propagacion de ondas electromagneticas implica el de las ondas en general. Una onda es una función tanto del espacio como del tiempo. Ocurre movimiento de ondas cuando una perturbacion en el punto A en el instante t0 se relaciona con lo que sucede en el punto B en el instante t > t0. En una dimensión, una ecuación escalar de onda toma la forma de: (1) donde u es la velocidad de onda. Si se adopta en particular la dependencia de tiempo armonico o sinusoidal ejwt, la ecuacion (1) se convierte en. en donde β = ω/u y Es es la forma de fasor de E. Manipulando ecuaciones, y tomando la parte imaginaria tenemos: (2) ojo con el signo del desplazamiento M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 2 La ecuación (2) tiene caracteristicas a considerar como: • Es armonica en el tiempo ya que para arribar a tal ecuación se adoptó la dependencia del tiempo ejωt. • A es la amplitud de la onda de unidades iguales a las de E. • (ωt βz) es la fase en radianes de la onda, depende del tiempo t y de la variable espacial z. • ω es la frecuencia angular (rad/seg) y β es la constante de fase o número de onda (rad/m) Dada su variación tanto con el tiempo t como con la variable espacial z, E puede representarse gráficamente como una función de t manteniendo constante z y viceversa. En las figura 1a y 1b aparecen los diagramas de E (z, t =cte) y E (t, z= cte), respectivamente. A M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco A 3 En la primera de ellas se observa que la onda tarda en repetirse una distancia λ, la que por este motivo recibe el nombre de longitud de onda ( en metros). En la segunda la onda tarda en repetirse el tiempo T, el periodo (en segundos). Puesto que para que la onda recorra la distancia λ a la velocidad u transcurre el tiempo T, es de suponer que: λ = uT Pero T = 1/f, donde f es la frecuencia (número de ciclos por segundo) de la onda en Hertz. Asi. u = f λ por efecto de esta relación fija entre longitud de onda y frecuencia, la posición de una estación de radio en su banda puede identificarse con una u otra, aunque se prefiere la frecuencia. Además, como Se tiene que: Es decir, que por cada longitud de onda de distancia recorrida, una onda experimenta un cambio de fase de 2π radianes M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 4 En la siguiente figura, se muestra la función E(z,t) = A sen (ωt βz) en el tiempo. En a) t = 0, b) t = T/4, c) t = T/2. Aquí se observa que P se mueve en la dirección +z con una velocidad u. NOTA: se mueve hacia la derecha porque se está atrasando en el tiempo. Si se adelantara en el tiempo A sen (ωt + βz), la función se moverá hacia la izquierda. M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 5 Resumiendo: 1. Una onda es una función tanto del tiempo como del espacio 2. Aunque el tiempo t = 0 se selecciona arbitrariamente como referencia para la onda, una onda no tiene principio ni fin 3. Hay un signo negativo en (ωt ±βz) asociado con una onda que se propaga en la dirección +z (onda viajera en la dirección positiva), y en cambio, un signo positivo indica que una onda está viajando en la dirección z (onda viajera en la dirección negativa) 4. Como sen(ψ) = sen(ψ) = sen(ψ±π), mientras que cos(ψ) = cos(ψ) sen(ψ±π/2) = ± cos(ψ) sen(ψ±π) = sen(ψ) cos(ψ±π/2) = ∓sen(ψ) cos(ψ±π) = cos(ψ) Con estas ecuaciones, cualquier onda armónica en el tiempo puede representarse en la forma de seno o de coseno. M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 6 Espectro electromagnético M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 7 M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 8 Exposición por equipos: Cada equipo expondrá al menos un experimento sencillo que demuestre la propagación de ondas en diferentes medios. No puede haber experimentos repetidos Se calificará: • Contenido (5%) • Apoyos didácticos (presentación, experimento) (5%) • Claridad en la exposición (5%) M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 9 Ejemplo: El campo eléctrico en el vacío está expresado por E = 50 cos(1x108t + βx)ay V/m a) Determine la dirección de propagación de las ondas b) Calcule β y el tiempo que tarda en recorrer una distancia de λ/2 c) Trace un esquema de onda en t=0, T/4 y T/2 M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 10 Tarea: En el vacío, H = 0.1 cos(2x108t + kx)ay V/m. Calcule: a) k, λ y T b) El tiempo t1 que tarda en recorrer una distancia de λ/8 c) Haga un dibujo de la onda en el instante t1. M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 11 Dielectricos disipativos o con pérdidas Este es el caso general del cual pueden deducirse la propagación de ondas en otros tipos de medios como casos especiales. Un dieléctrico disipativo es un medio en el cual una onda EM pierde potencia conforme se propaga a causa de una conducción deficiente. En otras palabras, un dieléctrico disipativo es un medio parcialmente conductor (conductor imperfecto o dieléctrico imperfecto) con σ ≠ 0. Considérese ahora un medio dieléctrico disipativo lineal, isotrópico y homogéneo que esté libre de carga (ρv = 0). Si se supone y se suprime el factor de tiempo ejωt, las ecuaciones de Maxwell, se convierten en: M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 12 Realizando operaciones de rotacionales y aplicando identidades, se obtiene: (3) en donde y a γ se le llama constante de propagación (pulgadas por metro) del medio. De manera análoga, se tiene que: (4) A las ecuaciones (3) y (4) se les conoce como ecuaciones vectoriales de Helmholtz simplemente ecuaciones vectoriales de las ondas. En coordenadas cartesianas, la ecuación (3), es equivalente a tres ecuaciones escalares de onda, una por cada componente de E, es decir, a lo largo de ax (antes lo denotábamos por i), ay (j) y az (k). Como en las ecuaciones (3) y (4), γ es una cantidad compleja, podemos hacer a: M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 13 Realizando algunas operaciones llegamos a: (6) (5) También se tiene que: Sin pérdida de generalidad, supongamos que la onda se propaga a lo largo de +az y que Es tiene sólo una componente x, entonces: Sustituyendo valores y manipulándolas, se llega a: (7) donde Eo es una constante que forma parte de la solución de una ecuación diferencial. M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 14 En la Figura anterior, aparece representado un esquema de |E| en los tiempos t = 0 y t = Δt; en dicho esquema es evidente que E tiene sólo una componente x y que está viajando a lo largo de la dirección de +z. Una vez obtenido E(z,t), se obtiene H(z,t), de tal manera que se llega a: en donde: y η es una cantidad compleja llamada impedancia intrínseca (en ohms) del medio y Finalmente tenemos: (8) M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 15 Se observa en las ecuaciones (7) y (8) que conforme la onda se propaga a lo largo de az, su amplitud disminuye o se atenúa por un factor eαz , y por ello a α se le conoce como constante de atenuación o factor de atenuación del medio. Es una medida de la rapidez del decaimiento de la onda en el medio que se mide en napers por metro (Np/m) ó en decibeles por metro (dB/m). Una atenuación de un neper denota una reducción de e1, mientras que un incremento de 1 neper indica un incremento por un factor de e. Por lo tanto, para voltajes, 1 Np = 20 log10 e = 8.686 dB De la ecuación (5) se observa que si σ = 0, como es el caso para un medio sin pérdidas y el vacío, α = 0 y la onda no se atenúa al propagarse. La cantidad β es una medida del corrimiento de fase por longitud y se le denomina constante de fase o número de onda. Observamos también de las ecuaciones (7) y (8) que E y H están fuera de fase por θη en cualquier instante de tiempo debido a la impedancia compleja intrínseca del medio. En consecuencia, para cualquier tiempo, E está en adelanto respecto a H (o H está en atraso respecto a E). Finalmente, observamos que la razón de magnitud de densidad de corriente de conducción J a la de densidad de la corriente de desplazamiento Jd en un medio disipativo es: o sea: Observe que: M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 16 En donde a tan θ se le conoce como la tangente de pérdida y a θ como el ángulo de pérdida del medio. θ • Se dice que un medio es un buen dieléctrico (sin pérdidas o perfecto) si: tan θ es muy pequeña (σ<<ωε) • O un buen conductor si tan θ es muy grande (σ>>ωε) Desde el punto de vista de la propagación de las ondas, el comportamiento característico de un medio depende no sólo de sus parámetros constitutivos σ, ε y μ, si no también de la frecuencia de operación. Un medio que se considera como buen conductor a bajas frecuencias, puede ser un buen dieléctrico a altas frecuencias. donde εc es la permitividad compleja del medio M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 17 Ondas planas en dielectricos sin pérdidas En un dieléctrico sin pérdidas se tiene que σ<<ωε, y es un caso especial de la sección anterior, sólo que: Al sustituir estos valores en las ecuaciones (5) y (6) se obtiene: También: y en consecuencia E y H están en fase en el tiempo entre sí. M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 18 Ondas planas en el vacío Por lo tanto obtenemos: donde c ≅ 3 x 108 m/s. El hecho de que la onda EM viaje en el vacío a la velocidad de la luz, es significativo, ya que indica que la luz es una manifestación de una onda EM. También M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 19 M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 20 Por lo tanto: M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 21 Por lo tanto, se cumple en los vectores unitarios que: Los campos (u ondas electromagnéticas) tanto E como H son normales en cualquier punto a la dirección de propagación de onda ak. Esto significa que se sitúan en un plano transversal u ortogonal a esa dirección. Así forman una onda EM sin componentes de campo eléctrico ni magnético a lo largo de la dirección de propagación, llamada "onda electromagnetica transversal (EMT)". E y H son a su vez, y por separado, una onda plana uniforme. M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 22 Ondas planas en buenos conductores En un dieléctrico sin pérdidas se tiene que σ>>ωε, también es un caso especial del primer caso y se tiene que: Por lo tanto: También: y en consecuencia E está adelantada respecto a H en 45°. M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 23 Si: entonces, Por lo tanto, conforme la onda E (o H) viaja en un medio conductor, su amplitud se atenúa por el factor eαz. A la distancia δ, que se muestra en la figura, a través de la cual decrece la amplitud de la onda por un factor e1 (alrededor de 37%) se le llama profundidad pelicular o profundidad de penetración del medio, es decir: La profundidad pelicular es una medida del grado de penetracion de una onda electromagnetica en el medio. M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 24 Para buenos conductores, se tiene lo siguiente: Por lo tanto, δ mide el amortiguamiento exponencial de la onda conforme viaja por el conductor En la tabla se observa que la profundidad pelicular disminuye a altas frecuencias, en consecuencia, E y H difícilmente pueden propagarse por buenos conductores. M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 25 El fenómeno por el que la intensidad de campo decrece rápidamente en un conductor se conoce como efecto pelicular o efecto piel. Los campos y corrientes asociadas son confinados a una capa muy delgada (la piel) de la superficie del conductor. Para un alambre de radio a, por ejemplo, es valido suponer que, a altas frecuencias, toda la corriente fluye en el anillo circular de grosor δ que se muestra en la figura de abajo. a δ El efecto pelicular el cual adopta distintas maneras tales como la atenuación en guías de onda, la resistencia efectiva o en CA de las líneas de transmisión y el blindaje electromagnético, por lo tanto, este efecto es útil en diferentes y numerosas aplicaciones. Por ejemplo un conductor de plata pura presenta una profundidad pelicular muy reducida, y uno de latón con recubrimiento de plata presenta características muy similares al anterior. Esto explica asimismo que en las antenas exteriores de televisión se empleen conductores tubulares huecos en lugar de conductores sólidos. M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 26 Ejemplo: Una onda plana uniforme que se propaga en un medio con εr=8, μr=2 tiene E = 0.5ez/3 sen(1x108t βz)ax V/m determine: β y la velocidad de la onda M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 27 Ejemplo: Una onda plana uniforme que se propaga en un medio tiene E = 2eαz sen(1x108t βz)ay V/m Si el medio está caracterizado por εr=1, μr=20 y σ=3 mhos/m, determine: α, β y H M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 28 M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 29 Tarea: Una onda plana en un medio no magnético tiene E = 50 sen(1x108t + 2z)ay V/m. Encuentre: a) La dirección de propagación de la onda b) λ y f c) La forma de H M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 30 M.C. Víctor Ilich Mirón Orozco 31