TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS7.1.- CONTENIDOS CURRICULARES. OBJETIVO DIDÁCTICO: CALCULAR LOS ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS DE CORTE MÁXIMO EN SISTEMAS SOMETIDOS A CONDICIONES DE CARGAS COMBINADAS CONCEPTUALES PROCEDIMIENTALES ACTITUDINALES Sistemas sometidos a cargas de diferentes tipos: Cálculo de esfuerzos en fuerza axial, fuerza cortante, momento flector y sistemas sometidos a cargas momento torsor combinadas Cooperación en la Esfuerzos producidos por tracción, flexión y torsión Cálculo del esfuerzo en un resolución de ejercicios combinados punto prácticos en clase. Esfuerzos producidos por compresión, flexion y Determinación de los torsión combinados esfuerzos principales Actitud crítica ante las Variación del esfuerzo en un punto Utilizando el método soluciones encontradas Esfuerzos principales analítico y el cálculo de al resolver un problema Esfuerzo de corte máximo Mohr Cálculo analítico Cálculo de esfuerzos en Cálculo de Mohr árboles para la transmisión Sistemas de árboles y ejes de máquinas de potencia (Machado, Raúl 2006) 7.2.- INTRODUCCIÓN. En los temas anteriores se desarrollaron métodos para determinar las distribuciones del esfuerzo en un miembro sometido a carga axial interna, a fuerza cortante, a momento flexionante o a momento torsionante. Sin embargo, la sección transversal de un miembro suele estar sometida simultáneamente a varios de estos tipos de cargas y, en consecuencia, el método de superposición, si es aplicable, puede usarse para determinar la distribución resultante del esfuerzo causado por las cargas. En aplicaciones primero se determina la distribución del esfuerzo debido a una carga y luego se superponen esas distribuciones para determinar la distribución resultante del esfuerzo. Hay cuatro combinaciones posibles de cargas: (1) axial y flexión, (2) axial y torsión, (3) torsión y flexión, y (4) axial, torsión y flexión. Se comenzará por el caso (1) combinación de esfuerzos axiales y por flexión, ya que es el más sencillo pues intervienen esfuerzos normales σ. En todos los demás casos intervienen esfuerzos normales y cortantes, por lo que requieren un mayor estudio. 7.3.- COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y POR FLEXIÓN. Cuando un elemento está sometido a cargas axiales y de flexión como se muestra en la figura 7-1 Entonces se debe tratar como una combinación de las dos cargas. Figura 7-1: Elementos sometidos a cargas axiales y de flexión. Fuente: Mecánica de Materiales. Fitzgerald U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 166 TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS En este caso se considera flexión con tensión o compresión directa, es decir se presenta además de la flexión en el elemento, la presencia de fuerzas axiales normales a la sección transversal, y el esfuerzo normal combinado se calcula como: Esfuerzo = Esfuerzo normal + Esfuerzo por flexión Los esfuerzos combinados flexión-axial son calculados por la siguiente ecuación: Los esfuerzos de tensión se consideran positivos, mientras que los esfuerzos de compresión son negativos. Esta convención de signos ayuda a determinar la naturaleza de los esfuerzos finales. El termino c en el factor Mc/I puede reemplazarse por la distancia general “y “a partir del eje neutro, si se requiere el esfuerzo en un punto diferente al de las fibras extremas (externa) EJERCICIO ILUSTRATIVO 7.1. Calcular los esfuerzos máximos y localizar el eje neutro en la viga en voladizo de 40mm x 100mm como se indica en la figura 7-2. Solución. El esfuerzo máximo ocurrirá en el extremo empotrado, pues en ese lugar el momento flexionante es máximo. La carga de flexión de la figura 7-2 (c) produce esfuerzos de tensión en las fibras superiores y esfuerzos de compresión en las fibras inferiores. La carga axial de la figura 7-2 (b) produce esfuerzos de tensión en todas las fibras. Entonces: La combinación de esfuerzos se indica en la figura 7-3. El eje neutro es el plano de esfuerzos nulos, y puede localizarse mediante la ecuación (7-1), o mediante simple geometría. Usando la ecuación (7-1), se tiene: U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 167 TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS Figura 7-2. Viga sometida a carga axial y de flexión. Fuente: Mecánica de Materiales. Fitzgerald Figura 7-3. Representación de los esfuerzos en la viga sometida a la combinación axial-flexión. Fuente: Mecánica de Materiales. Fitzgerald 7.4.- VARIACIÓN DEL ESFUERZO CON LA ORIENTACIÓN DEL ELEMENTO. La magnitud y el tipo de esfuerzo dependen de la orientación o inclinación del elemento a considerar. Como se puede ver en la figura 7-4a, se tiene un sólido sometido a la acción de fuerzas de equilibrio, en el cual se hacen pasar por el mismo punto dos secciones de exploración a-a y b-b, donde a-a es perpendicular a la dirección de la resultante R de P1 y P2, como se indica en la figura 7-4b, y b-b esta inclinada con respecto a la resultante R, como se puede ver en la figura 7-4c. El elemento rayado de la figura 7-4b está sometido únicamente a esfuerzo normal, pero el elemento en el mismo punto que está en la figura 7-4c, está sometido a esfuerzos normal y cortante, producidos por N y T, respectivamente. Entonces se puede observar que para un mismo punto de un sólido que está sometido a un estado de esfuerzos (ubicados en la intersección de a-a y b-b), los esfuerzos varían según la dirección u orientación del elemento diferencial que se considere en dicho punto. U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 168 Los cuales son: el analítico usando expresiones matemáticas. También se puede calcular el esfuerzo cortante en estos dos planos. Yocias Ulacio & Ing. U..M. Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel En las secciones siguientes se estudia cómo varían los esfuerzos con la orientación del elemento. Esto es muy importante y lo que se persigue es determinar en qué planos se representan los esfuerzos máximos y calcular sus valores. Figura 7-5. En el caso de torsión. Entonces cuando una barra está sometida simultáneamente a flexión y a torsión. con su correspondiente formula se obtiene el valor del esfuerzo cortante en planos perpendiculares al eje de la barra. Sólido con dos secciones de exploración de diferente dirección en un mismo punto. con la formula de flexión se pueden determinar los valores del esfuerzo normal que aparecen en el plano perpendicular al eje de la viga. se hace imposible hallar directamente los valores de los esfuerzos en un plano que tenga una dirección cualquiera. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS Figura 7-4. y del valor del esfuerzo normal cuando es máximo. como lo indica la figura 7-4. En forma general.F. pero solamente si los elementos están orientados como se puede ver en esta figura. 7.5.ESFUERZOS EN PLANOS DE CUALQUIER DIRECCIÓN. Existen dos métodos para determinar esta posición u orientación del elemento. se calculan los esfuerzos correspondientes a ambos tipos de esfuerzo. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 169 .N.E. / Ing. Por ejemplo en el caso de vigas. Barra sometida simultáneamente a flexión y a torsión. y el otro método es el grafico utilizando el círculo de Mohr. Pero existirá una determinada posición u orientación en donde el esfuerzo normal será máximo. Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel. como se muestra en la figura 7-5. se puede representar por los esfuerzos que actúan sobre un elemento diferencial de volumen que rodee el punto considerado.E. U. solo se considera el estado plano o bidimensional de esfuerzos. el cual es el esfuerzo uniforme que actúa sobre el área diferencial dydz.N. en el que los esfuerzos actúan paralelamente a un plano. Componentes de un esfuerzo (estado de esfuerzos). Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel En esta sección. tal como el XY. Esfuerzo en un punto. que se producen en las caras X y Y.M.F.z. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS 7. Figura 7-7. El esfuerzo en un punto define el esfuerzo medio uniformemente distribuido sobre un elemento diferencial de área. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 170 . respectivamente. Figura 7-6. En la figura 7-6 se muestra el esfuerzo normal en la dirección X que existe en un punto de coordenadas x. Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel Cuando el esfuerzo en un punto se define por las componentes que actúan en varias direcciones en el espacio.. y y xy los esfuerzos en un punto.y. / Ing. Por ejemplo x . los esfuerzos xz y yz son numéricamente iguales. En la figura 7-7 se muestra las componentes del esfuerzo presentes en un elemento diferencial. En un estado tridimensional de esfuerzos la cara Z de un elemento queda sometida a la acción de un esfuerzo normal z . así como los esfuerzos cortantes xz . yz .6.ESFUERZO EN UN PUNTO. Los esfuerzos varían con la orientación de los planos que pasan por el punto..7.F. Para realizar el análisis de la variación del esfuerzo según la orientación del elemento. Variación de las componentes del esfuerzo. se procede a cortar el elemento inicial mediante un plano y se aplican las condiciones de equilibrio estático a cualquiera de las partes (figura 7-8). Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 171 . o lo que es lo mismo decir que los esfuerzos en las caras del elemento varían cuando lo hace la posición angular de este elemento. Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel U. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS 7. Figura 7-8.M.E.N.MÉTODO ANALÍTICO PARA EL CÁLCULO DEL ESFUERZO EN UN PUNTO CUANDO VARÍA LA DIRECCIÓN DE LA SECCIÓN DE EXPLORACIÓN. ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO.F. / Ing. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS Dividiendo ambos miembros de esta ecuación entre el factor común A (área).M. los planos de esfuerzo cortante máximo están inclinados 45° respecto de los planos de los esfuerzos principales. esto es. Lo mismo ocurre en la ecuación (7-5) con los planos de esfuerzo cortante máximo. y sabiendo que y son numéricamente iguales y utilizando las identidades trigonométricas siguientes: 1 cos 2 1 cos 2 cos 2 sen 2 sen2 2sen cos 2 2 Entonces las ecuaciones (a) y (b) se escriben en la forma 7.N. lo cual significa que los valores de 2θ definidos por ambas difieren en 90°. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 172 . que están a 90°. Yocias Ulacio & Ing. los planos del esfuerzo cortante máximo queda definido por: La ecuación (7-4) da dos valores de 2θ que difieren en 180°. Si se deriva la expresión (7-2) con respecto a .8.E. La ecuación (7-4) es reciproca y de signo contrario a la ecuación (7-5). Los esfuerzos normales máximo y mínimo se llaman esfuerzos principales. Sustituyendo los valores de 2θ de las ecuaciones (7-4) y (7-5) en la ecuación (7-2) y (7-3) se obtienen las siguientes expresiones de los esfuerzos principales y del esfuerzo cortante máximo: U. y se anula se obtienen los planos donde están los esfuerzos normales máximo y mínimo.. Análogamente. por lo que los planos de esfuerzo normal máximo y mínimo son perpendiculares entre sí. b) Los esfuerzos principales.N. / Ing. Para el estado de esfuerzo plano de la figura 7-9.2.E.F.6° en la ecuación (7-2). se verifica que el esfuerzo normal en la cara BC de elemento es el esfuerzo máximo: Figura 7-10 U. haciendo θ = 26.M. las componentes del esfuerzo se escriben como: Sustituyendo en la ecuación (7-4): b) Esfuerzos principales: La ecuación (7-6) da: Los planos principales y los esfuerzos principales se esquematizan en la figura 7-10. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 173 . c) El esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo normal correspondiente Figura 7-9 Solución: a) Planos principales: Siguiendo la convención usual de signos. determine: a) Los planos principales. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS EJERCICIO ILUSTRATIVO 7. el valor obtenido para τmáx representa el valor máximo del esfuerzo cortante en el punto considerado. el plano diagonal AC debe ser uno de los planos de esfuerzo cortante máximo (figura 7-11). La orientación de los planos de esfuerzo cortante máximo y el sentido de los esfuerzos cortantes se determinan mejor efectuando un corte a lo largo del plano diagonal AC del elemento de la figura 7-10.E. Yocias Ulacio & Ing.F. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS c) Esfuerzos cortantes máximos: de la ecuación (7-7) se obtiene Puesto que σmáx y σmín tienen signos opuestos.M. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 174 .12 U. Figura 7-11 El esfuerzo normal en cada una de las cuatro caras del elemento correspondiente a la condición de esfuerzo cortante máximo es: Figura 7. En la figura 7-12 se muestra el elemento cúbico correspondiente al esfuerzo cortante máximo. Como los planos principales contienen las caras Ab y BC del elemento.N. Además las condiciones de equilibrio para el elemento prismático ABC requieren que los esfuerzos cortantes en AC estén dirigidos como se indica. / Ing. y el segundo miembro de la ecuación (a) es otra constante R. es una constante C. / Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 175 . por lo que se ha llamado circulo de Mohr. Las ecuaciones (7-2) y (7-3) son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia. y los resultados se obtienen analíticamente como se verá más adelante. Circulo de Mohr correspondiente a un estado general de esfuerzos. Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel U.9. Para un caso de estado de esfuerzos bidimensionales pueden ser utilizadas las ecuaciones anteriormente deducidas.F. Entonces: Elevando al cuadrado. pero existe una interpretación grafica de estas formulas que hizo el ingeniero alemán Otto Mohr (1882) que evita tener que recordarlas.MÉTODO GRÁFICO (CÍRCULO DE MOHR) PARA EL CÁLCULO DEL ESFUERZO EN UN PUNTO CUANDO VARÍA LA DIRECCIÓN DE LA SECCIÓN DE EXPLORACIÓN. Pero .E.N. aunque en general solo se puede utilizar un esquema. Realizando el dibujo a escala se pueden se pueden obtener los resultados gráficamente. y son constantes que definen el estado plano de esfuerzos. Yocias Ulacio & Ing. de manera que la ecuación (a) queda de la siguiente manera: Figura 7-13.M. En esta interpretación se utiliza un círculo. Entonces. que representa el centro de una circunferencia. sumando y simplificando. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS 7.. que representa el radio de una circunferencia. las cuales son conocidas. y y son variables. 10. / Ing.El ángulo entre los radios de dos puntos del círculo de Mohr es el doble del ángulo entre las normales a los dos planos que representan estos dos puntos.M. Yocias Ulacio & Ing. correspondiente a un punto dado de ella.Sobre un sistema de ejes de coordenadas rectangulares . TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS 7..E.Se unen los puntos situados mediante una recta. Estos puntos representan los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre la cara X y Y de un elemento. xy y y . 4. yx . El segmento de dicha recta comprendido entre los dos puntos es el diámetro de una circunferencia cuyo centro es la intersección con el eje . Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel U. se ubican los puntos x .N. si el eje N forma un ángulo θ con el eje X en sentido contrario al del reloj.REGLAS PARA GRAFICAR EL CÍRCULO DE MOHR. el radio de N de la circunferencia forma un ángulo 2θ con el eje X en sentido contrario al del reloj..Para los diferentes planos que pasan por el punto en estudio. Se considera positiva la tensión y negativa la compresión. Figura 7-14. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 176 . Representa el eje normal al plano cuyas componentes de esfuerzo vienen dadas por las coordenadas de ese punto del círculo.. 5. El sentido de rotación del ángulo es el mismo en la circunferencia que en la realidad. El esfuerzo cortante es positivo si el momento respecto del centro del elemento es en el sentido de reloj. 3. es decir.. están representadas por las coordenadas de un punto que se mueve a lo largo del círculo de Mohr. las componentes del esfuerzo normal y cortante. 2. 1..El radio de la circunferencia.F.. Circulo de Mohr correspondiente a un estado general de esfuerzos. a 45 o en sentido contrario al reloj del plano principal. en la figura 7-15a se representan los esfuerzos principales que actúan sobre los planos principales. como se ve en la figura 7-15a. medido desde CA. τmin = -29 y σ = 11 en ambos planos. Se tiene de donde 2θ = 43. cuya abscisa es -10 (compresión) y ordenada 20 (positiva por ser igual al del reloj el sentido del momento τyx ). Los esfuerzos en la cara Y vienen representados por el punto B. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS EJERCICIO ILUSTRATIVO 7.8o con el eje X. / Ing. con sentido contrario al del reloj. Con arreglo a estos resultados. que representa al eje X. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 177 . Yocias Ulacio & Ing.3. Determinar los esfuerzos normales y cortantes en (a) los planos principales.N. En la figura 7-15 se dan los datos de cierto estado plano de esfuerzos. y sus valores son τmáx =29. de abscisa 32 y ordenada -20.8o.M. U. El radio CF está a 90o en sentido contrario al del reloj a partir de CD.8o y +126. (b) los planos de esfuerzo cortante máximo y (c) los planos cuyas normales forman ángulos de 36. o sea. El esfuerzo τxy es negativo porque el momento respecto del centro del elemento es contrario al del reloj. y vale 29. Solución: En la figura 7-15b se representa el círculo de Mohr correspondiente al estado plano de esfuerzo dado. Uniendo A y B se tiene el diámetro del circulo de Mohr cuyo centro está en el punto medio entre las abscisas A y B. Los esfuerzos en los planos de esfuerzo cortante máximo vienen dados por las coordenadas de los puntos F y G. Figura 7-15 Círculo de Mohr correspondiente a un estado general de esfuerzos.8º del eje X. donde el esfuerzo cortante (ordenadas) es nulo. por lo que la normal al plano principal máximo. Los esfuerzos en la cara X se representan en A.F. o sea. Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel Los esfuerzos principales vienen representados por los puntos D y E. El radio se calcula como la hipotenusa del triangulo de catetos 21 y 20.E. o sea 11 Mpa del origen 0. a 45º +21.6o y θ = 21. Su valor viene dado por : El radio CD forma un ángulo de 2θ. como se representa en la figura 7-26b. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 178 . determine: a) Los esfuerzos normal y cortante en un elemento situado en el punto H.M. puesto que los planos que representan están a 90 o. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS Para terminar el problema.4.N. Las coordenadas del punto H son. Los puntos H e I están a 180 o. b) Los planos principales y los esfuerzos principales en el punto H. Los esfuerzos en el plano cuya normal está a + 126.. / Ing.8o = 73.8 o del eje X están representadas por el punto H.E. Sabiendo que la porción AB de la palanca tiene un diámetro de 1. el ángulo ACH = 2 x 36. Una fuerza única horizontal de magnitud P = 150 lb se aplica el extremo D de la palanca ABD.8 o respecto del eje X los representa el punto I. Yocias Ulacio & Ing. los esfuerzos en el plano cuya normal está a +36.6o . Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel EJERCICIO ILUSTRATIVO 7. Las coordenadas de I son: Figura. intersección del radio CH con el circulo de Mohr (regla 3). 7-16 croquis estados de esfuerzos. por tanto.6o y el ángulo HCD = 73.43. Por la regla 5.6o = 30o. con lados paralelos a los ejes x y y. U.F.2 in. N.E. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 179 . TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS Figura. usando la convención de signos mostrada en la figura 7-19. σxy en el punto H. se determina el sentido y el signo de cada componente del esfuerzo examinado cuidadosamente el esquema del sistema de par de fuerzas en el punto C: Figura. 7-19 U. 7-17 Solución: Sistema de par de fuerzas: Se reemplaza P por un sistema equivalente de par de fuerzas en el centro C de la sección transversal que contiene al punto H. Figura.F. σy. / Ing. 7-18 a)Esfuerzos σx. Yocias Ulacio & Ing.M. F.M.68 ksi.5° en la ecuación (7- 2) y se halla σx´= -4. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS Note que la fuerza cortante P no causa esfuerzo cortante en H. 7-20 Sustituyendo en la ecuación (7-6). b)Los planos principales y esfuerzos principales: Sustituyendo los valores de los esfuerzos en la ecuación (7-4). 7-21 Considerando la cara ab del elemento mostrado en la figura. se establecen las magnitudes de los esfuerzos principales: Figura. Yocias Ulacio & Ing. se hace θP = -30. se determina la orientación de los planos principales: Figura.E. / Ing. U. Se concluye que los esfuerzos principales son los que se muestran.N. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 180 . 5. / Ing. determine: a) Los esfuerzos principales y los planos principales. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 181 .F. Para el estado de esfuerzo plano mostrado en la figura. b) las componentes del esfuerzo ejercidas sobre el elemento obtenido rotando el elemento dado 30° en sentido contrario a las agujas del reloj Figura. 7-22 Solución: Construcción del Círculo de Mohr: Note que en una cara perpendicular al eje x. 7-23 Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel a) Planos principales y esfuerzos principales: Se rota el diámetro XY en el sentido de las agujas del reloj 2θP hasta que coincida con el diámetro AB. se define el centro C del Círculo de Mohr.M. que representa σperm y el radio R del círculo pueden medirse directamente o calcularse como se muestra a continuación: Figura. Así se elabora la gráfica de X en un punto 100 unidas a la derecha del eje vertical y 48 unidas sobre el eje horizontal. Uniendo los puntos X y Y mediante una recta. el esfuerzo normal es de tensión y el esfuerzo cortante tiende a rotar el elemento en el sentido de las agujas del reloj. Yocias Ulacio & Ing. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS EJERCICIO ILUSTRATIVO 7.E. se examinan las componentes del esfuerzo en la cara superior y se elabora la gráfica del punto Y (60. En forma similar. La abscisa de C.N. se tiene: U. -48). la rotación que trae Ox al eje Oa. 7-24 Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel Los esfuerzos principales están representados por as abscisas de los puntos Ay B: Como la rotación que trae XY hasta AB es en el sentido de las agujas del reloj. es también en el mismo sentido.N.M. 7-25 Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel b)Componentes del esfuerzo en elemento rotado a 30°: Los puntos X´y Y´ que corresponden en el Círculo de Mohr a las componentes del esfuerzo en el elemento rotado. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS Figura. Yocias Ulacio & Ing.F. el esfuerzo cortante en la cara normal a Ox´ tiende a rotar el elemento en el sentido de las agujas del reloj Figura 7-26 Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel U. / Ing. se obtiene girando XY en el sentido contrario a las agujas del reloj.E. Figura. se tiene: Como X´ se localiza por encima del eje horizontal. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 182 . que corresponde a σmáx. Se obtiene la orientación mostrada en los planos principales. un ángulo 2θ = 60°. sin que el esfuerzo cortante exceda de 80 MPa ni el esfuerzo normal de 100 MPa. Calcular el par torsor máximo y la potencia máxima que puede actuar al mismo tiempo sobre el eje.M.E. da una idea más clara del problema que el mero cálculo analítico. representado por τt para distinguirlo del esfuerzo cortante máximo resultante. que puede combinarse con el esfuerzo por flexión. en el caso que se trata.. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS 7. es desconocido.APLICACIÓN DEL CÍRCULO DE MOHR A CARGAS COMBINADAS.6. Yocias Ulacio & Ing. Un eje de 100 mm de diámetro que gira a 30 r/s está sometido a unas cargas de flexión que le producen un momento flexionante máximo de 2500π N. El procedimiento habitual es considerar un pequeño elemento en el que se puedan calcular los esfuerzos producidos por los tres tipos fundamentales de cargas: axial. El círculo de Mohr. por el triangulo rayado de la figura 7-27b.11. como se representa en la figura 7-27b. Hallando R. se calcula el esfuerzo cortante por torsión. En la figura 7-27a se representa este estado de esfuerzo. se producirá un esfuerzo cortante de torsión. el radio del circulo que dé como esfuerzo normal máximo 100MPa debe satisfacer la condición σ = 100 = OC + Rσ = 40 + Rσ . El estudio del círculo de Mohr para este elemento indica el criterio a seguir en el diseño. de flexión y de torsión. que actúa también sobre el mismo elemento de la fibra superior o inferior del mismo. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 183 . Sin embargo. de donde Rσ = 60Mpa. o a la determinación de las cargas de seguridad. / Ing. aún desconocido. para que de esta manera no se sobrepasen los esfuerzos admisibles. al representar gráficamente las variaciones de esfuerzo en ciertas condiciones. Para que aparezca un esfuerzo cortante combinado de 80 MPa. U.m. 60MPa. máximo en la superficie exterior del eje.N. Aunque el esfuerzo cortante de torsión. es decir. Solución: El momento flexionante producirá unos esfuerzos de flexión máximos en las fibras superior e inferior de valor: Al aplicar un par torsor T. La aplicación más importante del cálculo de los esfuerzos combinados es el diseño de elementos sometidos a cargas combinadas. Es evidente que el radio apropiado ha de ser menor Rσ y Rτ. se puede dibujar un círculo de Mohr en función de tal esfuerzo. Se tiene así que: La formula de torsión permite calcular el momento torsionante necesario para que resulte este esfuerzo cortante. Los ejercicios ilustrativos que se presentan a continuación son típicos de los procedimientos que se utilizan en la práctica EJERCICIO ILUSTRATIVO 7. el radio del circulo debe ser Rτ = 80.F. N. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS Y en función del momento. el círculo de Mohr correspondiente. Figura. Yocias Ulacio & Ing.E.m y M = 900 N. Aplicar las relaciones obtenidas al caso de un eje sometido a un par T = 1200N. pero su aplicación está limitada al caso en que se conozcan T y M. El esfuerzo cortante máximo τ es igual U. si los esfuerzos admisibles son de 70MPa a cortante y 100MPa a flexión. la potencia máxima que pueda aplicarse. 7-27 EJERCICIO ILUSTRATIVO 7. / Ing. y en la figura 7-28b. Solución: La flexión y la torsión simultáneas aparecen con frecuencia en el diseño de ejes rotatorios. en función de T. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 184 . Expresar el esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo normal máximo resultantes. En cualquier otra circunstancia se debe utilizar el círculo de Mohr. está dada por Figura.7. 7-28 Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel En la figura 7-28a se representa el estado de esfuerzo de un elemento de un eje sometido a flexión y torsión simultáneas. Un eje macizo se somete a flexión y torsión simultáneamente.m. Las formulas que se desarrollan son muy útiles.M. de M y de radio r del eje. producidas por un momento torsionante T y un momento M.F. para determinar su diámetro. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS al radio R de la circunferencia. las mismas formulas de la torsión y de la flexión. Las ecuaciones (7-10) y (7-11) son pues. análoga a la formula de la flexión.N. pero en la que se tiene el momento equivalente .E.M. y del triangulo rayado se obtiene Las formulas de torsión y de la flexión. dados por: U. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 185 . Que es la misma fórmula de la flexión (b). Teniendo en cuenta que resulta: Multiplicando por dos y dividiendo igualmente entre dos el segundo miembro. / Ing.F. Lo único que se debe recordar son los valores de los momentos equivalentes a torsión y a flexión respectivamente. y se determina de la manera siguiente. Yocias Ulacio & Ing. La ecuación que se obtiene para el esfuerzo normal máximo. particularizadas para un eje circular macizo se escriben en la forma: Sustituyendo estos valores en (a) resulta: Haciendo . obliga a introducir el concepto de momento flexionante equivalente Me. En la figura 7-32b. el esfuerzo normal máximo resultante vale . se obtiene finalmente: La semejanza entre la ecuación (7-10) y la formula de torsión en (7-8) sugiere que a Te se le llame momento torsionante equivalente. 8. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 186 .8 = 49. d= 2x 24.6 mm EJERCICIO ILUSTRATIVO 7. los momentos equivalentes de torsión y de flexión son: El radio del árbol para que el esfuerzo cortante máximo no exceda el admisible.M. y de acuerdo con los datos del enunciado. / Ing. viene dado por: El radio del eje para que el esfuerzo normal máximo no exceda al admisible.N. es el diámetro necesario.E. U. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS En el caso particular del ejemplo. según la ecuación (7-10). según la ecuación (7-11). viene dado por: El mayor de estos dos valores obtenidos cumple ambas condiciones y. por lo tanto.F. producen. se aplica el método del ejercicio anterior. Figura. En las figuras 7-33b y 7-33c se han representado los diagramas de momento flexionantes en dichos planos. una flexión en el plano horizontal y otra en la vertical. figura 7- 33d.E.F. Combinando estos momentos con la distribución de momentos torsionantes en el eje. Por tanto. se deduce que las secciones más peligrosas son C y D. Como en estos puntos se conocen los valores del momento torsionante y del momento flexionante. Yocias Ulacio & Ing. 7-29 Fuente: Resistencia de Materiales: Singer & Pytel Solución: Las cargas aplicadas. Las cuales son y . C y D los momentos flexionantes son y y .N. además de una torsión. en los puntos B. El momento flexionante resultante en cualquier sección viene dado por . / Ing. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS Diseñar un eje circular macizo que pueda soportar las cargas indicadas en la figura 9-25 si τmax ≤ 70 MPa y σmax ≤120MPa. entonces los momentos equivalentes a torsión y a flexión en aquellos puntos son: En C: U. Las correas de transmisión de las poleas B y C son verticales y las de la polea E son horizontales. Se desprecian el peso de las poleas y el del árbol.M. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 187 . . por lo tanto cuando esté considerando las preguntas.. saque sus propias conclusiones de manera reflexiva de lo aprendido y cómo lo podrá aplicar estos conocimientos en el campo laboral. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 188 . 7.. Yocias Ulacio & Ing. Instrucciones: Lea con cuidado y despacio cada pregunta. Si no ha entendido algo. Como el máximo momento Te tiene lugar en C y el máximo Me aparece en D..Dibuje el círculo de Mohr para un estado de esfuerzos cualquiera e indique la ubicación de los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo.M.12) se han tenido en cuenta los valores máximos de M e y Te. Por último.4 mm. De ahí que el del eje sea d= 2x 37..N. está diseñada para ayudarle a evaluar sus conocimientos sobre el presente tema. irá avanzando y aprovechando lo que aprendió del tema anterior. contéstelas basándose en los fundamentos teóricos. 4.Escriba las ecuaciones de esfuerzo máximo normal y esfuerzo máximo tangencial para un eje que está sometido a torsión y a flexion.Escriba la ecuación para ubicar el centro del círculo de Mohr. 6.11) y (9.Cual es el procedimiento a seguir cuando se tiene un sólido sometido a cargas combinadas de tipo axial y de flexion.. No conteste basándose en falsos supuestos teóricos Cada tema es progresivo. 1.12. 3.Escriba la ecuación para ubicar el radio del círculo de Mohr.. Esta herramienta para autoevaluación. U.7 = 75. consulte la teoría correspondiente.Cual es el valor del esfuerzo tangencial cuando la sección coincide con el plano principal.Deduzca las ecuaciones de los esfuerzos normal y tangencial para una sección inclinada. deben especificarse unos de 80 mm 7. 2.E.F. es decir.. En vista de que los ejes tienen diámetro estándar.AUTOEVALUACIÓN. resulta: El mayor de estos dos valores determina el radio necesario. no se apresure en el proceso. / Ing. 5. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS Y en D: En las ecuaciones (9. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 189 .13..F.RESUMEN DE ECUACIONES.E.M. ESFUERZOS COMBINADOS FLEXIÓN-AXIAL: ECUACIONES DE ESFUERZO NORMAL Y ESFUERZO TANGENCIAL EN UN PLANO DE ANGULO θ: ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO: ECUACIONES PARA CALCULAR LOS PLANOS DONDE ESTÁN LOS ESFUERZOS NORMALES MÁXIMO Y MÍNIMO: ECUACIONES PARA CALCULAR LOS PLANOS LOS PLANOS DEL ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO: CENTRO DE CÍRCULO DE MOHR: RADIO DE CÍRCULO DE MOHR: MOMENTOS EQUIVALENTES A TORSIÓN: U. Yocias Ulacio & Ing.N. / Ing. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS 7. F.E. ESFUERZOS MÁXIMO PARA UN EJE SOMETIDO A FLEXION A TORSIÓN: U. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 190 . Yocias Ulacio & Ing.N. / Ing. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS MOMENTOS EQUIVALENTES A FLEXION: MOMENTO EQUIVALENTE .M. N. U...EJERCICIOS PROPUESTOS.Una pequeña ménsula en dos barras de 90 mm x 20 mm (Figura P-701) soporta una carga de 84 kN. ¿Cuál es la carga máxima que puede aplicarse? Figura P-702 703. Figura P-701 Resp.M. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 191 .E.14. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS 7..La barra indicada en la figura P-702 tiene una sección transversal rectangular de 30 mm x 120 mm.. Cuando el esfuerzo admisible en la barra es de 140 MPa. Determinar los esfuerzos máximos que se producirán.la pequeña barra de izaje indicada en la figura P-703 está formada por un tubo de acero estándar de 6 pulg y de 5 pies de longitud. 701. Determinar los esfuerzos máximos en la sección A-A de la ménsula. 702.F. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. inclinada según una pendiente de 2 a 1. Se aplica una carga P = 7000 lb al centro. . 706. U. 704. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS Figura P-703 Resp. / Ing.. indicada en la figura P-707.E. Yocias Ulacio & Ing. Figura P-704 y P-705 705.M.Determinar la carga máxima P que puede aplicarse al poste redondo de 300 mm de diámetro indicado en la figura P-704.N. Resp. El esfuerzo admisible es de 22 klb/pulg2.F. dado que el esfuerzo admisible es de 10 MPa.Determinar la carga máxima O que puede aplicarse a la vigueta de acero W 6 x 16. Figura P-707 Resp.Determinar los esfuerzos máximos en la viga de acero W 8 x 18 indicada en la figura P-706 Figura P-706 707... Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 192 .Determinar los esfuerzos máximos en el poste redondo de 300 mm de diámetro indicado en la figura P-704 cuando P = 24000 N. Las secciones A-A y B-B del mecanismo indicado en la figura P-708 son de 3 pulg x ¾ pulg. / Ing. Resp. determine los esfuerzos normales y cortantes ejercidos sobre la cara oblicua del elemento triangular sombreado en las figuras.E.F.. Resolver por el método analítico y por el método grafico (círculo de Mohr).Determinar el valor máximo de P1 y el valor correspondiente de P2 para el mecanismo indicado en la figura P-708 El esfuerzo admisible en las secciones A-A y B-B es de 16000 lb/pulg2.M.. Determinar los esfuerzos en esas secciones.Para el estado de esfuerzo dado.. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 193 . TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS 708. U. Yocias Ulacio & Ing. suponiendo que P1 = 5000 lb. 710 a 713. Figura P-708 y P-709 709. Figura P-710 Figura P-711 Figura P-712 Figura P-713 Resp.N. determinar los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo en el punto H. U. e) El esfuerzo normal correspondiente Figura P-714 Figura P-715 Figura P-716 Figura P-717 718.N. si se sabe que el brazo CD está rígidamente fijo al tubo...M. d) El esfuerzo cortante máximo en el plano. 720. calcule: a) Los planos principales. Si el brazo CD se encuentra fijo con rigidez al tubo. / Ing. 719.E.Se aplica una fuerza vertical de 400 lb en el punto D a un equipo fijo al eje AB sólido con diámetro de 1 in. c) La orientación de los planos de esfuerzo cortante máximo. Yocias Ulacio & Ing.. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS 714 a 717. como se muestra en la figura..El tubo de acero AB tiene un diámetro externo de 102 mm y un espesor de pared de 6 mm.El tubo de acero AB tiene un diámetro exterior de 102 mm y un espesor de pare de 6 mm. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 194 .F.Para el esfuerzo dado. Figura P-718 y P-719 Resp. Calcule los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo en el punto H localizado encima del eje. b) Los esfuerzos principales. encuentre los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo en el punto K. 40.Para el estado de esfuerzos planos que muestra la figura.M.Un mecánico usa una matraca para aflojar un tornillo en el punto E. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS Figura P-720 Resp. Figura P-721 722. determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo en el punto H localizado sobre el eje con diámetro de ¾ in.E. 721.9 ksi U. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 195 . Si se sabe que el mecánico aplica una fuerza vertical de 24 lb en el punto A.F..N.. Yocias Ulacio & Ing. / Ing. determine el valor más grande σy para el que el esfuerzo cortante máximo en el plano es menor o igual que 15 ksi Figura P-722 Resp. 725. encuentre el diámetro más pequeño permisible del eje ABC.El eje sólido ABC y los engranes que se muestran en la figura se utilizan para transmitir 10 kW del motor M a un elemento de máquina conectado al engrane D.. según se ilustra en la figura. si se sabe que τperm = 60 MPa y que el radio del disco B es r = 80 mm Figura P-723 y 724 724.Encuentre el diámetro más pequeño permisible del eje sólido ABCD. 726. Yocias Ulacio & Ing. U. calcule la magnitud más grande permisible de la fuerza P2 Figura P-725 Resp. Si el motor gira a 240 rpm y τperm = 60 MPa. sabiendo que τperm = 60 MPa y que el radio del disco B es r = 120 mm. 873 lb. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS 723.75 in.E.. / Ing..Determine el diámetro más pequeño permisible del eje sólido ABCD. Si el diámetro del eje es de 1.M.Se aplican las fuerzas verticales P1 y horizontal P2 a los discos soldados al eje sólido AD.F. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 196 .. y τperm = 8 ksi.N. calcule su más grande diámetro interior permisible. Yocias Ulacio & Ing. Figura P-728 U.Suponga que el eje ABC del ejercicio 726 es hueco y tiene un diámetro exterior de 50 mm. TEMA 7: ESFUERZOS COMBINADOS Figura P-726 727. 57. determine el diámetro más pequeño que puede permitirse para el eje AB. si se sabe que τperm = 60 MPa.El sólido AB gira a 600 rpm y transmite 80 kW del motor M a un elemento de máquina conectado al engrane F.. Resp.N. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 197 .7 mm.M. / Ing.E. 728..F.