22289295 Transfer en CIA Molecular de Calor Masa y Cantidad de Movimiento

TRANSFERENCIA MOLECULAR DE CALOR, MASA Y/O CANTIDAD DE MOVIMIENTO RAMIRO BETANCOURT GRAJALES Ingeniero Químico Universidad Industrial de Santander Especialistaen Petroquími ca Instituto del Petróleo de Bucarest Profesor Asociado Universidad Nacional de Colombia UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES INTRODUCCION Las Industrias Químicas existían mucho antes de que la profesión de Ingeniero Químico fuera reconocida. La tecnología de cada industria se miraba c omo una rama especial del conocimiento, y las personas que realizaban el trabajo que hoy hace el Ingeniero Químico eran entrenadas como Químicos, Ingenieros Mec ánicos y Técnicos. Los primeros cursos de Ingeniería Química se orientaron al es tudio de la tecnología industrial. Estos cursos se modificaron rápidamente con l a introducción del concepto de Operación Unitaria. Estos surgieron de la observa ción de la similitud en los cambios físicos que ocurrían en industrias químicas bastante diferentes. Así, se reconoció que la evaporación de un líquido desde un a solución seguía los mismos principios independientemente de si el proceso era fabricar azúcar o un fertilizante. De esta manera la evaporación se convirtió en una de las primeras operaciones unitarias en reconocerse. Muchas otras etapas a lcanzaron el grado de operación unitaria, tales fueron: flujo de fluidos, transf erencia de calor, humidificación, secado, destilación, absorción gaseosa, extrac ción, molienda y tamizado, cristalización, filtración, mezclado, etc. Cuando se comprendieron mejor las operaciones unitarias, se evidenció que no eran entes di ferentes. La filtración era claramente un caso de flujo de fluidos, la evaporaci ón una forma de transferencia de calor, la extracción y la absorción gaseosa inv olucraban transferencia de masa. El secado y la destilación se reconocieron como operaciones en las cuales, tanto la transferencia de masa como la de calor pres entaban importancia. Se puede entonces considerar las operaciones unitarias como casos especiales o combinaciones de transferencia de calor, transferencia de ma sa y flujo de fluidos. Los ingenieros se refieren a estos tres últimos eventos c omo Fenómenos de Transporte y son la base de las operaciones unitarias. Fenómeno s de transporte, es pues el nombre colectivo que se da al estudio sistemático e integrado de tres áreas clásicas de la ciencia de la Ingeniería: (1) Transporte de Energía o Calor, (2) Transporte de Masa o Difusión, y (3) Transporte de Canti dad de Movimiento o Impulso (Momentum en Ingles), o Dinámica de Fluidos. Si las características físicas de un problema conducen a relaciones matemáticas (ecuaci ones diferenciales, leyes de flujo y condiciones límite) similares para transfer encia de calor y transferencia de masa, se dice que hay una analogía entre los p roblemas de calor y masa. Intercambiando cantidades análogas (tales como difusiv idades) podemos usar la solución conocida de un problema en transferencia de cal or para obtener la solución de un problema en transferencia de masa o al contrar io. Lo mismo puede hacerse si hablamos de transporte de impulso y calor o transp orte de impulso y masa. El uso de analogías hace el proceso de aprendizaje más s encillo y debido a estas similitudes podemos estudiar tres temas (transferencia de calor y de masa y dinámica de fluidos) como si fuesen uno. En la práctica pos ibilita tomar medidas experimentales en un sistema (digamos calor) para obtener información sobre otro (masa o impulso). El estudio de los fenómenos de transpor te se ha realizado tradicionalmente comenzando por el transporte de cantidad de movimiento, luego el transporte de energía y finalmente el transporte de masa. P ara cada proceso de transporte, tópicos como el transporte molecular, los balances en límites planos o curvos y el transporte multidimensional se disc uten en forma tal que las similitudes y analogías entre los procesos de transpor te pueden inferirse. Se derivan entonces las ecuaciones diferenciales generaliza das del cambio, generalmente expresadas en notación vector-tensorial. Luego el e studiante aprende como simplificar estas ecuaciones para casos físicos específic os. Una organización alternativa es tomar los tópicos similares para los tres fe nómenos en forma simultánea. Esta alternativa presenta las siguientes ventajas: 1) Las analogías se pueden explotar completamente reduciendo la repetición, 2) L as limitaciones de, y las excepciones a, las analogías, pueden relevarse; 3) los tópicos más elementales, tales como transporte unidimensional, pueden abordarse inicialmente; 4) El significado físico de términos tales como difusión, convecc ión, generación y acumulación en las ecuaciones de los balances generales pueden ilustrarse inicialmente por medio de ejemplos físicos simples, sin la complicac ión de ecuaciones generalizadas; 5) Las ecuaciones multidimensionales generaliza das pueden derivarse como una extensión lógica del transporte unidimensional y c omo la incorporación en forma general de los términos previamente ilustrados; 6) La simplificación de las ecuaciones multidimensionales puede verificarse así pa ra casos específicos con una completa apreciación de su significado. Como consec uencia de este orden, el difícil tema de transporte laminar de cantidad de movim iento puede tratarse después del más familiar e intuitivo (para el estudiante) d e la conducción de calor. De esta forma el transporte molecular unidimensional d e la cantidad de movimiento en el flujo de Couette se demuestra como análogo a l a conducción de calor unidimensional. Luego a través de la ley de Newton del mov imiento, se demuestra la relación entre flujo de cantidad de movimiento y esfuer zo viscoso y se discute el significado físico del mismo. Así pues, para demostra r las analogías entre los procesos de transporte, se propone estudiar cada proce so en paralelo, en lugar del transporte de impulso primero, luego el transporte de energía, y finalmente el transporte de masa. Colateral a mejorar la comprensi ón, existen otras razones pedagógicas para no usar el estudio en serie tradicion al: de los tres procesos, el concepto y las ecuaciones involucradas en el estudi o del transporte de cantidad de movimiento son las más difíciles de entender y u sar por parte del principiante. Debido a que es imposible cubrir completamente e l transporte de calor y masa sin un previo conocimiento del transporte de impuls o, en el método en serie se fuerza a tomar el tema más difícil (transporte de im pulso) primero. De otra parte, si los temas se estudian en paralelo, el transpor te de cantidad de movimiento se hace más comprensible haciendo referencia al tem a más familiar de transferencia de calor. Además, el tratamiento en paralelo per mite estudiar los conceptos más sencillos primero y avanzar más tarde a las idea s más difíciles y abstractas. NOMENCLATURA UNIDADES GENERALIZADAS: E = energía; L = longitud; M = masa; t = tiempo; T = temperatura LETRAS a A Az b B Ci CP CV c ci dP D Deq Deff Dij Eb f g G Gz Gr h hR H i J j k kB kρ,c ,L kG kx,y k’ K L Le m m’ Mi ni Ni Nu P pi Á ea específica [L2/L3]; acele ación [L/t2] Especie química Supe ficie pe pendicula a z [L2] Espeso Especie química Constante Capacidad calo ífica a p esión constante [E/M.T] Capacidad calo ífica a volumen constante [E/M.T] Concent ación mola total [moles/L3] Concent ación mola de la especie i [moles/L3] Diámet o pa tícula [L] Diámet o [L] Diámet o eq uivalente [L] Difusividad efectiva [L2/t] Coeficiente de difusión de i en j [L2/ t] Potencia emisiva [E/L2] Facto de f icción, adimensional Acele ación de la g avedad [L/t2]; g amo Potencial químico Nume o de G aetz, adimensional Nume o de G ashoff, adimensional Coeficiente de t ansfe encia de Calo [E/t.L2.∆T]; consta nte de Planck Humedad elativa Constante de la ley de Hen y [p esión/f acción mo la ] Co iente eléct ica [ampe ios] Densidad de flujo mola [moles/t.L2] Densida d de flujo másico [M/t.L2] Conductividad té mica [E/t.L.∆T] constante de Boltzma nn [E/T] Coeficientes de t ansfe encia de masa [L/t] Coeficiente de t ansfe enci a de masa [moles/t.L2.p esión] Coeficientes de t ansfe encia de masa, [moles/t.L 2.f acción mola ] Constante pa a eacción de p ime o den Kelvin; Coeficiente gl obal de t ansfe encia de masa Altu a de una aleta; longitud [L] Nume o de Lewis, α/Dij =Sc/Pr ( dimension l) C ud l mol r [moles/t]; p rámetro [L−1] C ud l mási co [M/t] Peso molecul r de i [M/mol] Densid d de flujo másico de l especie i [M /t.L2] Densid d de flujo mol r de l especie i [moles/t.L2] Numero de Nusselt ( dimension l) Presión tot l [M/L.t2]; perímetro [L] Presión p rci l de i [M/L.t2]   ¡             ¡ ¡       ¡   ¡       ¡                 ¡                 ¡     ¡         ¡       ¡ ¡       ¡       ¡ ¡     ¡     ¡     ¡   ¡            Pe Pr Q’ Q q r Numero de Peclet, Re.Pr ó Re.Sc ( dimension l) Numero de Pr ndtl, µ/ρ.α, dimens ion l. C ud l volumétrico [L3/t] Flujo de energí [E/t] Densid d de flujo de ene rgí [E/t.L2] Posición r di l [L] Const nte univers l de los g ses R dio hidrául ico [L] Numero de Reynolds, dimension l Superficie perpendicul r dirección i Numero de Schmidt, µ/ρ.Dij, adimensional Nume o de She wood, coeficiente adimens ional de t ansfe encia de masa Espeso aleta Coeficiente global de t ansfe encia de calo [E/t.L2.∆T]; momento dipola Longitud c ítica F acción mola de la esp ecie i Relación mola de la especie i coo denadas ca tesianas Ancho aleta F acci ón másica de la especie i Relación másica de la especie i RH Re Si Sc Sh t U xC xi,yi Xi,Yi x, y, z w wi Wi LETRAS GRIEGAS Difusividad té mica [L2/t] α Coeficiente de exp nsión térmic [T− 1]; Difusivid d gener liz d [L2/t] β Coeficiente de “exp nsión másic ” [L3/M] β ρ Espeso [L] δ Diferencia ∆ Emisividad, f acción de vacío, pa ámet o de Lenna d – Jonnes; eficacia ε Caudal másico por unidad d ancho Γ fici ncia; parám tro adim nsional η Trayectoria libre me ia, longitu e on a [L] λ Va or propio λn V iscosidad [M/L.t] µ Viscosidad cinemática o difusividad de impu so, µ/ρ, [L2/t] ν Térmi o de ge eració Φ Co ce tració másica volumétrica de i [M/L3] ρi densid ad [M/L3] ρ Resistividad eléct ica [Ω.m] ρe σ τij Ω Ψ ensión superficial [M/ 2]; paráme ro de Lennard Jonnes [L]; cons an e de S efan – Bo zmann [E/ .L2.T4] Flujo de can idad de movimien o j en la dirección i o es fuerzo cor an e ac uando en la dirección j sobre un área perpendicular a i [M/L. 2] In egral de colisión; ohmio Concen ración generalizada     ¡ ¢ ¦   ¡   ¡ ¡   ¦ ¦   ¡ ¡ ¤ ¤ ¢   ¡ ¡ ¡ ¡ ¢   ¡   £ ¦   ¡   £ £ ¢ ¡   ¡     ¡ ¡ ¥ ¦     ¦ £ ¦ ¡   ¥ ¥   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¦ ¥ ¡   ¦   ¥ ¦ ¡ ¦ ¦ ¡ ¡       ¥ ¦ ¦ ¢ ¡ ¡ ¦ ¦ TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN NOMENCLATURA Capí ulo 1.TANSFERENCIA DE CALOR UNIDIMENSIONAL ESTABL E. 1.1. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR. 1.1.1. Transferencia de calor por conducción. 1.1.2. Ley de Fourier. 1.1.3. Conducción de calor en es ado es a ble unidimensional. 1.1.4. Aplicación de los balances diferenciales a la ransfe rencia de calor por conducción. 1.2. TRANSFERENCIA EN LA INTERFASE. 1.2.1. Efec o convec ivo. 1.3. RADIACIÓN. 1.3.1. El cuerpo negro. 1.3.2. Superficies grises (α = ε). 1.3.4. Radiación d sd gas s. 1.3.5. Radiación solar. 1.4. PARED CON CA PAS MÚLTIPLES. 1.5. MANANTIALES CALORÍFICOS. 1.5.1. Manantial calorífico d orig n léctrico. 1.5.2. Manantial calorífico d orig n viscoso. 1.5.3. Manantial ca lorífico d orig n químico. 1.5.4. Manantial calorífico d orig n nucl ar. 1.6. SISTEMAS CON FUENTES DE CALOR. 1.6.1. Par d plana. 1.6.1.1. Par d Plana Simétric a, con g n ración y conv cción: 1.6.2. Transport d n rgía con g n ración. o m tría cilíndrica. 1.6.2.1. Flujo total d calor n la par d. 1.6.3. Otros sist mas radial s. El tubo. 1.6.3.1. El tubo compu sto. 1.6.3.2. Co fici nt s global s. 1.6.4. Esp sor crítico d aislami nto. 1.6.5. La sf ra. 1.6.6. Otros sist ma s con ár a transv rsal variabl . 1.7. SISTEMAS DE CONDUCCIÓN-CONVECCIÓN. 1.7.1. Al tas d ár a transv rsal uniform . 1.7.2. R ndimi nto d las al tas. 1.7.2.1. Eficacia d la al ta. 1.7.2.2. Efici ncia d las al tas. 1.7.3. Al tas d ár a t ransv rsal variabl . 1.7.4. Al ta d nfriami nto por conv cción natural. EJERCI CIOS. Capítulo 2. TRANSFERENCIA DE MASA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO. 2.1. INTRODUCC IÓN A LA TRANSFERENCIA DE MASA. 2.1.1. D finicion s básicas. 2.1.1.1. Conc ntrac ion s. 2.1.2. Prim ra l y d Fick. 2.1.3. D nsidad s d flujo. 2.1.4. Balanc s d mat ria. 2.1.5. Transf r ncia d masa por difusión unidir ccional. 2.1.6. Difu sión con g n ración int rna. 2.2. INTRODUCCIÓN AL TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVI MIENTO Y DINÁMICA DE FLUIDOS. 3 5 10 10 10 12 14 15 17 17 17 18 21 26 27 27 29 2 9 30 31 31 32 32 33 36 38 39 40 40 41 42 42 44 47 52 54 57 57 61 62 70 70 70 71 72 73 75 82 98 103 ¦ ¢ ¢ ¦ ¢§ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¦ ¢ ¦ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¦ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¦ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 2.2.1. Transport d cantidad d movimi nto ntr placas paral las. Flujo d Cou tt . 2.2.2. L y d N wton d la viscosidad. 2.2.3. Fluidos no n wtonianos. 2.2. 4. Transport d cantidad d movimi nto unidir ccional stacionario. Flujo d Co u tt . 2.2.5. Sim tría radial. 2.2.5.1. Transport d cantidad d movimi nto n un anillo. 2.2.6. Transport d cantidad d movimi nto con g n ración. 2.2.7. V locidad prom dio. 2.2.8. Ecuación d Hag n Pois uill . 2.3. ANALO ÍAS ENTRE LOS TRES FENÓMENOS DE TRANSPORTE. 2.3.1. Ecuacion s d continuidad para una m zcla b inaria. 2.3.2. La cuación d continuidad. 2.3.3. El gradi nt y l laplaciano d un scalar. 2.3.4. Balanc g n ralizado para fluido incompr sibl y propi dad s d transport constant s. 2.3.4.1. La d rivada substancial. 2.3.4.2. Coord nad as cilíndricas. 2.3.4.3. Coord nadas sféricas. 2.3.5. Utilización d las cuaci on s d variación para l plant ami nto d probl mas d stado stacionario (Ψ n o es función del iempo). 2.3.6. Definición general del fac or de fricción. 2.3. 7. Relación con los coeficien es de ransferencia de calor y masa. 2.3.7.3. O ra s condiciones lími e en la in erfase. 2.3.8. Transferencia de calor o masa super pues a a un campo de flujo 2.3.8.1. Transferencia de masa en una película liquid a descenden e. 2.3.9. Transferencia simul anea de calor y can idad de movimien o . 2.3.10. Transferencia simul anea de calor y masa. 2.3.10.1. El psicróme ro de bulbo húmedo EJERCICIOS CAPÍTULO 3. ESTIMACION DE LAS PROPIEDADES DE TRANSPORTE. 3.1. PROPIEDADES DE TRANSPORTE A PARTIR DE LA TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES SIMP LIFICADA. 3.1.1. Transpor e de masa en gases a baja presión. 3.1.2. Transpor e d e can idad de movimien o. 3.1.3. Transpor e de energía. 3.2. TEORÍA RIGUROSA DE CHAPMAN - ENSKOG PARA GASES DILUIDOS. 3.2.1. Viscosidad. 3.2.1.1. Gases puros a presiones elevadas. 3.2.2. Conduc ividad érmica. 3.2.3. Difusividad másica. 3.2 .4. Correlaciones empíricas para gases. 3.2.4.1. Difusión en mezclas mul icompon en es. 3.3. ECUACIONES RECOMENDADAS PARA PREDECIR PROPIEDADES DE TRANSPORTE EN L ÍQUIDOS. 3.3.1. Viscosidad. 3.3.2. Conduc ividad érmica. 3.3.3. Difusividad. 3. 4. DIFUSIVIDAD EN SÓLIDOS. EJERCICIOS Capí ulo 4. PROCESOS EN ESTADO INESTABLE. 4.1. SOLUCIONES ANALÍTICAS. 4.1.1. Mé odo de separación de variables. 4.1.2. Tra nsformada de Laplace. 103 104 105 108 108 109 111 111 114 115 117 118 121 122 122 131 132 133 140 147 151 153 153 161 171 174 174 183 183 183 185 186 188 189 195 197 198 199 201 202 203 203 203 204 205 207 207 209 211 ¢ ¢ ¦ ¢ ¦ ¢ ¦ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¦ ¢ ¦ ¢ ¢ § ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¦ ¦ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¦ ¢ ¦ ¢ ¢ ¦ ¦ ¦ ¦ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¦ ¦ ¢ ¢ ¢ ¦ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¦ ¦ ¦ ¢ ¢ ¦ ¢ ¢ ¦ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¦ ¦ ¢ ¢ ¦ ¢ ¢ ¦ ¦ ¢ ¢ ¢ ¢ ¦ ¢ ¢ ¢ 4.1.2.1. Propiedades. 4.1.2.2. Transformación e inversión. 4.1.2.3. Sólido semii nfini o – Mé odo de la ransformada de Laplace. 4.2. MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VAR IABLES. 4.2.1. Transpor e de calor en es ado ransi orio a ravés de una placa p lana. 4.2.2. Transpor e de masa y/o can idad de movimien o. 4.3. TRANSFORMADA DE LAPLACE. 4.3.1. Difusión ransi oria en una placa simé rica. 4.3.2. Difusión a ravés de una sola superficie de una placa. 4.4. DIFUSION EN ESTADO TRANSITORIO EN UN CILINDRO. 4.5. ESFERA. 4.5.1. Esfera con empera ura inicial cons an e. 4. 6. INTERDIFUSION DE DOS GASES. 4.7. EL SÓLIDO SEMI – INFINITO. 4.8. DIFUSIÓN C ONDUCCIÓN NO ESTABLE CON CONVENCIÓN. 4.9. CONDUCCION NO ESTACIONARIA CON CONVECC ION. CONDICION INICIAL UNIFORME. 4.9.1. Pared plana infini a con convención simé rica. 4.9.2. Cilindro infini o con convención. 4.9.3. Esfera con empera ura in icial cons an e. 4.9.4. Soluciones aproximadas. 4.10. VALORES PROMEDIO. 4.10.1. Placa plana infini a. 4.10.2. Cilindro infini o. 4.10.3. Esfera. 4.11. EL SÓLIDO SEMI – INFINITO. 4.11.1. Caso 1 - Concen ración cons an e en la superficie: Ψ(0 , ) = ΨS. 4.11.2. Caso 2 - Flujo cons an e en la superficie: ΠmS = β(∂T/∂z)z = 0 = co sta te. 4.11.3. Caso 3 - Co vecció e la superficie. 4.11.4. Sólido i f i ito compuesto. 4.11.5. Acoplamie to i fi ito de difusió . 4.12. CILINDROS Y L ACAS INITAS. 4.13. SISTEMAS CON BAJA RESISTENCIA INTERNA Y ALTA RESISTENCIA EXT ERNA. 4.14. CONDICIONES LIMITE EN UNCION DEL TIEM O. 4.15. SISTEMAS EN ESTADO S EUDOESTACIONARIO. 4.15.1. El tu o de Stefa . 4.15.2. Esta lecimie to del estado esta le. 4.16. CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO. MÉTODOS A ROXIMADOS. 4 .16.1. Sólido semii fi ito co propiedades físicas co sta tes. 4.16.2. Sólido se mii fi ito co temperatura de superficie varia le co el tiempo. 4.16.3. Sólido semii fi ito co pérdidas co vectivas de calor e la superficie. 4.16.4. ue te de calor u iformeme te distri uida. 4.17. METODOS NUMERICOS EN ROCESOS NO ESTAB LES. 4.17.1. Métodos de difere cias fi itas. Método explícito. 4.17.1.1. ormula ció matemática de las ecuacio es de difere cias fi itas. 4.17.1.2. Método gráfi co de Schmidt. 4.17.1.3. Exactitud, co verge cia y esta ilidad. 4.17.2. Método i mplícito. 4.17.3. Métodos mixtos. 4.17.3.1. Método de Cra k – Nicolso . 4.17.4. Nodo i ter o (m) co ge eració , 4.17.4.1. Método explícito. 4.17.4.2. Método im plícito. 4.17.4.3. Método mixto. 212 213 214 216 216 223 228 228 233 234 236 236 239 243 249 257 257 258 259 260 260 260 260 261 261 262 262 262 263 264 265 267 269 275 276 277 296 297 299 301 302 303 304 304 306 308 309 309 309 310 310 311 311 © ¥ ¨ ¥  ¦ ¦ ¦  ¥ © ¦ ¥ © ¦ ¦ ¥  ¥ ¥ ¦ ¦  ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¦ ¥ © ¥ ¦  ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥  ¦  ¥ ¥  ¥ ¦ ¥ ¥ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¦ ¥ ¥ ¦ ¥ ¦ ¦ ¥ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¦   ¥ ¦ ¥ ¦ ¦ 4.17.5. Nodo adia ático izquierdo (0) co ge eració . 4.17.5.1. Método explícito . 4.17.5.2. Método implícito. 4.17.5.3. Método Cra k – Nicolso . 4.17.6. Nodo co vectivo derecho ( ), co ge eració . 4.17.6.1. Método explícito. 4.17.6.2. Méto do implícito. 4.17.6.3. Método Cra k – Nicolso . 4.17.7. lujo co sta te e la p ared. Nodo izquierdo (0). Ge eració u iforme de tro del sólido. 4.17.7.1. Métod o explícito (por u idad de área). 4.17.7.2. Método Implícito (por u idad de área ), 4.17.7.3. Método Cra k Nicolso . 4.17.8. Difusió co reacció química homogé ea. 4.17.9. Co ducció tra sitoria e u a aleta. 4.17.10. Difere cias fi itas. 4.17.10.1. Método implícito. Aleta u idime sio al tra sitoria si ge eració . No do i ter o (m). 4.17.10.2. Método explícito. Aleta u idime sio al tra sitoria si ge eració . Nodo i ter o (m). EJERCICIOS ANEXOS. A exo A. Coeficie tes usados e la aproximació a u térmi o de la solució e series de ourier para la co d ucció tra sitoria u idime sio al co co vecció . Bi = hL/k para la pared pla a simétrica y hR/k para el cili dro i fi ito y la esfera (kcL/DAB y kcR/DAB e tra sfere cia de masa). A exo B. rimeras seis raíces, αi, de αJ 1 (α ) − CJ 0 (α ) = 0 . Anexo C. Primer s seis r íces βn de β t n β = C L s r íces son tod s re l es si C > 0. Anexo D. Primer s seis r íces de αctgα + C = 0 (r di nes). Anexo E. COEFICIENTES CONVECTIVOS. Anexo F. ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD HIDRAULICA. Anexo G. DETERMINACION DEL TIEMPO NECESARIO PARA QUE UNA PARTICULA ESFERICA CAY ENDO EN UN FLUIDO ALCANCE SU VELOCIDAD TERMINAL. Anexo H. LA FUNCION ERROR Y OTR AS FUNCIONES RELACIONADAS. Anexo I. EXPONENTES DE e Anexo J. DEFINICION DE UN VA LOR MEDIO Determin ción de l temper tur medi glo l, de mezcl o promedi de loque. Anexo K. FUNCIONES BESSEL Y GAMMA BIBLIOGRAFÍA. 312 312 312 312 312 312 313 313 313 313 314 314 320 321 321 321 322 323 333 334 335 336 337 338 385 397 406 411 413 413 414 421 ¡ ¥ ¥ ¡ ¥ ¥ ¥ ¡ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¡ ¡ ¥ ¡ ¥ ¥ ¡  ¥  ¡ ¥ ¥ ¡ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¡ ¡ ¥ ¥ ¥ ¥ ¡ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¡ ¡ ¥ ¡ © ¥ ¥ ¥ ¥ ¡ ¡ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¡ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¡ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  10 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento C pítulo 1. TANSFERENCIA DE CALOR UNIDIMENSIONAL ESTABLE. 1.1. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR. De los tres procesos de tr nsport e estudi r, el tr nsporte de c lor es pro lemente el más f mili r d do que e s p rte de nuestr experienci di ri , por ejemplo cu ndo se nos enfrí l sop o el c fé. Procesos que emple n tr nsporte de c lor p recen frecuentemente en l industri químic : C lent miento del petróleo crudo (u otr mezcl líquid ) h st su punto de e ullición p r sep r rlo en fr cciones en un column de destil ción o l remoción del c lor gener do en un re cción químic . En cu lquier c s o necesit mos h ll r l velocid d l cu l ocurre l tr nsferenci de c lor p r c lcul r el t m ño del equipo requerido o p r mejor r el y existente. De otr p rte de emos record r que el c lor es solo un de l s form s de l energí y que es est y no el c lor l que se conserv de cuerdo l primer ley de l t ermodinámic . L energí como propied d se utiliz en termodinámic p r yud r especific r el est do de un sistem . De otr p rte l energí se tr nsfiere tr vés de los límites de un sistem termodinámico en form de tr jo o de c lor . Tr nsferenci de c lor es l expresión us d p r indic r el tr nsporte de ene rgí origin do en un diferenci de temper tur . L "Velocid d de Tr nsferenci de C lor" o "Flujo de C lor" (Q, [W] o [Btu/h]), es l expresión de l energí t érmic tr nsport d por unid d de tiempo, y "Densid d de Flujo de C lor" o "Flux de C lor" (q, [W/m2] o [Btu/hr.pie2]), es l velocid d de tr nsferenci de c lo r por unid d de áre . El cálculo de l s velocid des loc les de tr nsferenci de c lor requiere conocer l s distri uciones loc les de temper tur , l s cu les pro veen el potenci l p r l tr nsferenci de c lor. Existen tres mec nismos difere ntes por los cu les ocurre est tr nsferenci de c lor: i. Conducción, en donde el c lor p s tr vés de l sust nci mism del cuerpo. ii. Convección, en el c u l el c lor es tr nsferido por el movimiento rel tivo de p rtes del cuerpo c le nt do, y iii. R di ción, mec nismo por el que el c lor se tr nsfiere direct ment e entre p rtes dist ntes del cuerpo por r di ción electrom gnétic . En g ses y l íquidos l convección y l r di ción tienen import nci dest c d , pero en los s ólidos l convección puede consider rse usente y l r di ción gener lmente es d espreci le. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 11 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 1.1.1. Tr nsferenci de c lor por conducción. L teorí m temátic de l conducc ión del c lor puede s rse en un hipótesis sugerid por el siguiente experimen to: Tomemos un pl c de lgún sólido limit d por dos superficies pl n s p r le l s de un extensión t l que, desde el punto de vist de l s p rtes entre los do s pl nos, pued n suponerse infinitos (ver figur 1.1 ). En l práctic est condición puede cerc rse us ndo un pl c pl n de dimensio nes finit s donde sus c r s menores h n sido isl d s térmic mente de form t l que solo exist n gr dientes de temper tur en l dirección perpendicul r l s c r s m yores. En este c so l diferenci de temper tur ocurre entre pl nos perp endicul res l eje z c us ndo tr nsporte en l dirección z. El hecho de que l p l c es muy delg d en l dirección z y muy nch en l s direcciones x e y indic que h y pérdid s despreci les en los extremos perpendicul res los ejes x e y. De est form qx y qy son cero. En gener l l velocid d de conducción de c lo r en cu lquier punto en un m teri l se c r cteriz por un vector de flux de c lo r q el cu l puede resolverse en componentes lo l rgo de los tres ejes coorden dos. Podemos ignor r l n tur lez vectori l de q y consider r solo su component e esc l r z p r un simple c so de conducción unidimension l de c lor. Los dos p l nos se m ntienen temper tur s diferentes sin que est diferenci de temper t ur s se t n gr nde como p r c us r un c m io sensi le en l s propied des del s ólido. Por ejemplo, mientr s l superficie superior se m ntiene l temper tur de un mezcl hielo gu , l inferior se m ntiene l temper tur de un corri ente de gu c liente que fluye const ntemente por llí. Después de m ntener est s condiciones dur nte suficiente tiempo, l s temper tur s de los diferentes pun tos del sólido lc nz r n v lores est les, l temper tur siendo igu l p r pl nos p r lelos l superficie de l pl c (despreci ndo los efectos termin les). Supong mos que l temper tur de l superficie inferior es T1 y l de l superf icie superior es T2 (T1 > T2), y consideremos que el sólido está inici lmente temper tur uniforme T2. L pl c tiene un espesor . Los result dos de los expe rimentos sugieren que, cu ndo se h ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 12 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento Q= kS z (T1 − T2 ) (1.1) ¡ ¡ En l sección nterior se consider el c so especi l de conducción de c lor unid imension l en est do est le en un geometrí rect ngul r. L ecu ción (1.1) es válid sólo p r este c so especi l y no puede us rse en otr s situ ciones t les como geometrí cilíndric o est do tr nsitorio. T mpoco puede us rse p r prede cir l v ri ción de l temper tur con l posición dentro del medio. Por est r zón es neces rio des rroll r un ecu ción más gener l que se plic le en cu lq uier punto, en cu lquier geometrí y p r condiciones est les o inest les (cu ndo el est do físico de un sistem no c m i con el tiempo, se dice que el siste m se encuentr en est do est le). Con este propósito retom mos del gráfico 1.1 un líne de temper tur contr posición en cu lquier momento r itr rio (ver figur 1.3). Se puede rel cion r l velocid d de flujo de c lor Qz en cu lquier posición r itr ri z l densid d de flujo de c lor qz en l mism posición us ndo l definición Qz = qzSz. ¡ ¡ ¡ El coeficiente de proporcion lid d k es l conductivid d térmic . Estrict mente h l ndo l conductivid d térmic no es un const nte sino que, de hecho, es un función de l temper tur p r tod s l s f ses y en líquidos y g ses depende t m ién de l presión, especi lmente cerc l est do crítico. L conductivid d tér mic en l m der y crist les v rí t m ién en form ostensi le con l dirección . Est es un de l s Propied des de Tr nsporte de los m teri les. L dependenci de l conductivid d térmic con l temper tur p r r ngos de temper tur peque ños puede expres rse en form cept le como k = ko(1 + T), donde ko es el v lo r de l conductivid d térmic en lgun condición de referenci y es el coefic iente de l temper tur que es positivo o neg tivo dependiendo del m teri l en c uestión. L figur 1.2 muestr el efecto en el gr diente de temper tur (p r es t do est le) en un pl c pl n como result do que este se positivo o neg tivo. Se res lt el que el gr diente de temper tur será line l solo cu ndo l conduc tivid d térmic se const nte. 1.1.2. Ley de Fourier. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ lc nz do el est do est le, l c ntid d de c lor que fluye tr vés de l pl c en un tiempo t tr vés de un áre Sz perpendicul r l dirección z es igu l : ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ 13 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento (1.2) Si plic mos (1.2) un pequeño incremento ∆z, b se á eemplazado po ∆z, y (T1 −T2) po −∆T. El signo menos es necesa io de acue do a la definición del ope ado dife encia: ∆T = Tz +∆z − Tz Entonces el flujo p omedio de calo a t avés de una distancia ∆z es: q z = −k T( z + ∆z ,t ) − T( z ,t ) ∆T = −k ∆z ∆z De la figu a 1.3 se obse va que ∆T/∆z ep esenta la pendiente p omedia sob e la egión ∆z de la cu va T vs z. También obse vamos que si hacemos ∆z cada vez más pequeño obtenemos una mejo ap oximación de la pendiente en z. En el límite cuan do ∆z tiende a ce o, obtenemos la de ivada pa cial de T especto a z según el te o ema fundamental del cálculo. Así, pa a estado t ansito io, podemos esc ibi en cualquie localización: q z = −k ∂T Q z = ∂z S z (1.3) La cual es llamada ley de Fou ie pa a conducción de calo en una dimensión, en hono al matemático f ancés Jean Baptiste Fou ie a quien se le at ibuye. En el caso de t ata se de estado estable en una dimensión, T se ía solo función de z y la de ivada se ía total. En el caso gene al, donde hay flujo de calo en las t es di ecciones coo denadas, T es función de más de una va iable independiente y: ⎛ ∂T q x = −k ⎜ ⎝ ∂x ⎞ ⎟; ⎠ ⎛ ∂T q y = −k ⎜ ⎝ ∂y ⎞ ⎟; ⎠ ⎛ ∂T ⎞ q z = −k ⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠ se án las componentes del vecto densidad de flujo de calo . q = iqx + jq y + kqz o q = − k ∇T (1.4) Aquí q es una cantidad vecto ial. También i, j, k son los vecto es unita ios en las di ecciones x, y, e z. El ope ado ∇ (nabla) puede ope a sob e cualquie es cala . Usando T como ejemplo, el té mino ∇ es:   ¡       Comencemos por reconocer que l velocid d de flujo de c lor puede escri irse rtir de l ecu ción (1.1) como: Qz k (T1 − T2 ) = = qz Sz ¡            ¡                     ¡     ¡     ¡ ¡                   ¡       ¡                   ¡   ¡          ¡ ¡         ¡ ¡     ¡ ¡ ¡         ¡             ¡ ¡   p   ¡     14 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento ⎛ ∂T ∇T = i ⎜ ⎝ ∂x ⎞ ⎟+ ⎠ ⎛ ∂T j⎜ ⎝ ∂y ⎞ ⎛ ∂T ⎞ ⎟+k⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠ ⎠ (1.5) La ecuación (1.4) es una ecuación pa a la ley de Fou ie en notación vecto ial G ibbs o fo ma vecto ial. Es válida pa a cualquie sistema isot ópico, o sea que l a conductividad es la misma independientemente de la di ección. El signo menos i ndica que el calo solo se t ansfie e en la di ección en la que dec ece la tempe atu a como lo p edice la segunda ley de la te modinámica. Es inte esante hace nota que la ecuación de Fou ie pa a conducción unidi eccional de calo es exac tamente análoga a la ley de Ohm pa a un conducto eléct ico, la cual puede exp e sa se como: i = −k e S ∂E ∂n (1.6) En esta ecuación la co iente eléct ica i co esponde al flujo de calo Q; el po tencial eléct ico E co esponde al potencial té mico T, y la conductividad eléct ica ke (ke = 1/ρe, donde ρe es la esistividad eléct ica) co esponde a la cond uctividad té mica k. Como las ecuaciones (1.3) y (1.6) tienen la misma fo ma, el campo de tempe atu a dent o del cue po calentado, y el campo de potencial eléct ico en un cue po de la misma fo ma, co esponden uno al ot o siemp e que la dis t ibución de tempe atu a en la supe ficie co esponda a la dist ibución supe fic ial del potencial eléct ico. Esta analogía nos capacita pa a estudia p oblemas de conducción de calo en detalle a t avés de modelos eléct icos simila es. 1.1.3. Conducción de calo en estado estable unidimensional. Podemos examina en p ime a instancia las aplicaciones de la ley de Fou ie pa a conducción de calo , calculando el flujo de calo en algunos sistemas unidimens ionales sencillos. Va ias fo mas físicas dife entes pueden cae en la catego ía de sistemas unidimensionales: los sistemas cilínd icos y esfé icos son unidimens ionales cuando la tempe atu a en el cue po es una función únicamente de la dista ncia adial y es independiente del ángulo azimutal o de la distancia axial. En a lgunos p oblemas bidimensionales, el efecto de una segunda coo denada en el espa cio puede se tan pequeño que se justifique desp ecia lo, y el p oblema de flujo de calo multidimensional puede ap oxima se con un análisis unidimensional. En estos casos, las ecuaciones dife enciales se simplifican y se obtiene una soluci ón fácil como esultado de la simplificación.                                                                                                                                                                                                                               15 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento SALIDA ENTRADA + ACUMULACIÓN = GENERACIÓN Estas cantidades de ene gía están dadas como sigue: Calo ent ando po la ca a u bicada en z: Calo saliendo po la ca a ubicada en z + dz: Qz z (1.7) Qz z + dz = Qz z + ∂Q z dz ∂z Esto su ge de la definición básica de la de ivada siendo Qz función de z como lo podemos evisa con la ayuda de la figu a 1.4: La definición de la de ivada dQ/ dz es el límite de ∆Q /∆z cuando ∆z tiende a ce o. Así el valo de Q en el punto z + ∆z, es deci Q(z + ∆z), es igual al valo de Q(z) mas la de ivada po ∆z. E n ot as palab as, la de ivada multiplicada po ∆z es ealmente ∆Q. A pa ti de l a ley de Fou ie encont amos el flujo de calo ent ando po la ca a ubicada en z : Qz z = − kS z ∂T ∂z z La acumulación: ρC p ( S z dz ) ∂T ∂t     Pa a una placa de conductividad té mica constante y espeso b, (Fig.1.1.a) exten dida al infinito en las ot as dimensiones de tal mane a que el flujo de calo en la egión conside ada es efectivamente unidimensional, es conveniente t ata el p oblema en el sistema de coo denadas ectangula es. En el caso gene al la temp e atu a puede esta cambiando con el tiempo y puede habe fuentes de calo dent o del cue po. Es posible hace el siguiente balance de ene gía en el elemento co n espeso dz: [Ene gía calo ífica conducida en la di ección positiva de z po la ca a supe io ] [Ene gía calo ífica conducida en la di ección positiva de z po la ca a infe io ] + [Cambio de ene gía inte na (acumulación de ene gía calo íf ica)] = [Calo gene ado dent o del elemento de volumen Szdz] Podemos simplifica como               1.1.4. Aplicación de los balances dife enciales a la t ansfe encia de calo conducción. 1.1.4.1. La pa ed plana. po                                                                                                                                                                             16 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento En el caso de sólidos y líquidos los calo es específicos a p esión y volumen con stantes son iguales y la velocidad de inc emento de la ene gía inte na se eflej a en la velocidad de almacenamiento de ene gía calo ífica en el elemento de volu men. La ene gía gene ada dent o del elemento es ΦHSzdz do de ΦH es la ge eració de e ergía por u idad de volume y u idad de tiempo por fue tes de calor distri uidas. Com i a do las relacio es a teriores, elimi a do térmi os semeja tes y d ividie do por el volume del eleme to Szdz, ya que el área tra sversal Sz es co sta te: − ∂ ⎡ ∂T ⎤ ∂T ⎢k ∂z ⎥ + ρC p ∂t = Φ H ∂z ⎣ ⎦ (1.8) Estos térmi os resume u ala ce térmico que expresa la primera ley de la termo di ámica o ley de la co servació de la e ergía. De ido a que es u ala ce de e ergía térmica y o de e ergía total, aparece el térmi o de ge eració de e ergí a, por co versió (o degradació ) de otras formas de e ergía e e ergía calorífi ca como lo estudiaremos más adela te. 1.1.4.2. laca pla a si ge eració e estado esta le. Si o hay fue tes de calor de tro de la placa, y además, la co ductividad térmic a k es co sta te y el flujo de calor es esta le (∂T/∂t = 0) y u idime sio al, la ecuació (1.8) se co vierte e (∂2T)/(∂z2) = 0, la cuál fácilme te se resuelve para dar: T = C1 z + C2. Las co sta tes C1 y C2 puede evaluarse a partir de las co dicio es límite que os i dica las temperaturas de las superficies e z = 0 y z = . Aplica do estas co dicio es se o tie e u a expresió para la distri uc ió de temperaturas e la placa: (T − T1 ) z = (T2 − T1 ) b (1.9) Q z = − kS z (T − T2 ) ∂T ⎛ kS ⎞ = −⎜ z ⎟(T2 − T1 ) = 1 (b kS z ) ∂z ⎝ b ⎠ (1.10) Es inte esante esalta la similitud ent e esta ecuación y la que no malmente es tablece la ley de Ohm. El té mino b/kSz es equivalente a la esistencia eléct ic a y se denomina adecuadamente la esistencia té mica. Si la conductividad té mic a va ía con la tempe atu a     ¤     ¤ ¤     ¤   ¤ E f ujo de ca or a través de nducción: a p aca se obtiene por a ey de Fourier de a co ¥ ¥    ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥   ¥   ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥     ¥   ¥           ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥   ¥   ¥ ¥ ¥  ¥ ¥   ¥ ¥ ¥   ¥ ¥     ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥  ¤ ¥ ¥   ¥ ¥ © ¥ ¥ ¥    ¥   ¥   ¤ ¤ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ 17 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento de acue do con alguna elación, como la lineal k = k0(1 + aT) (ve fig.1.2), la ecuación (1.8) debe á integ a se teniendo en cuenta esta va iación. 1.2. TRANSFERENCIA EN LA INTERFASE. Hasta aho a hemos supuesto las tempe atu as de las supe ficies exte nas constant es y conocidas. Sin emba go el sólido puede esta inte cambiando calo con el me dio que lo odea po convección y/o po adiación. 1.2.1. Efecto convectivo. El fluido que está en contacto con la supe ficie del sólido puede esta en movim iento lamina , o en movimiento tu bulento, y éste movimiento puede se causado p o fue zas exte nas, es deci , se convección fo zada; o po g adientes de densi dad inducidos po las dife encias de tempe atu a, y se á convección natu al. Ade más puede esta cambiando de fase (ebullición o condensación). En cualquie a de los casos ante io es el mecanismo de t ansfe encia es complejo. Independientemen te de la natu aleza pa ticula del p oceso de t ansfe encia, el flujo de calo e n la supe ficie se exp esa como Q = hAS (TS − T∞ ) = (TS − T∞ ) 1 hAS (1.11) p opo cional a la dife encia de tempe atu as de la supe ficie y del fluido espe ctivamente, y h es el coeficiente convectivo de t ansfe encia de calo o coefici ente pelicula . Esta ecuación se conoce como la ley de Newton del enf iamiento, y más que una ley fenomenológica, define el coeficiente de t ansfe encia de calo h. Cualquie estudio sob e convección se educe en últimas al estudio de los m edios po los cuales puede dete mina se h, el cual depende de las ca acte ística s de la capa límite, que a su vez está influenciada po la geomet ía de la supe ficie, po la natu aleza del movimiento del fluido y de una va iedad de p opieda des te modinámicas y de t anspo te del fluido. 1.3. RADIACIÓN. Todo cue po a una tempe atu a absoluta finita emite adiación elect omagnética. Esta adiación, cuando está en el ango de longitud de onda comp endido ent e lo s 0.2 y los 100 µm se denomina té mica. Cualitativamente puede explica se su o i gen a va iaciones en los estados elect ónico, vib acional y otacional de átomos o moléculas. Confo ma solo una                                                                                                                                                                                                                               18 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento pequeña pa te de todo el espect o de adiación e incluye pa te de la adiación u lt avioleta, la adiación visible (0.35 a 0.78 µm) y pa te del inf a ojo. Aunque nos vamos a cent a en la adiación desde supe ficies sólidas, ésta puede ocu i también en líquidos y gases. 1.3.1. El cue po neg o. λ (e 5 1 C 2 / λT C −1 ) (1.12) donde: Ebλ = Potencia emisiva espectra o monocromática de un cuerpo negro a una temperatura y ongitud de onda dadas, W/m2.m, λ = Longitud de onda de a energí a emitida, m, T = Temperatura abso uta de a superficie, K, C1 = 3.7405x10−16 W. m2, C2 = 0.0143879 m.K. En a figura 1.6 se muestra una ínea que une os máximo s a diferentes temperaturas. Diferenciando a ey de P anck e igua ando a cero s e obtiene su ecuación conocida como ey de desp azamiento de Wien:     Se denomina así una supe ficie que en todas las longitudes de onda emite y abso be la máxima cantidad posible de adiación. A pa ti de la segunda ley de la te modinámica Max Planck (1900) dedujo que la potencia con la que un cue po neg o e mite ene gía en una longitud de onda y a una tempe atu a dadas, en el vacío, vie ne dada po E bλ =     ¤ ¤          ¤     ¤       ¤         ¤ ¤ ¤ ¤     ¤ ¤   ¤ ¤         ¤           ¤                  19 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento λmáxT = 2897,8µ mK = 5215, 6µ mR La potencia a a cua una superficie emite energía radiante en todas as ongitu des de onda, por unidad de área se denomina potencia emisiva superficia E. Exis te un ímite superior para esta potencia emisiva, que está prescrito por a ey de Stefan Bo tzmann: Eb = ∫ Ebλ dλ = σTS4 0 ∞ (1.13) Don e TS e la temperatura ab oluta e la uperficie y σ e la con tante e Stef an Boltzmann (5.6697x10−8 W/m2.K4; 0.1714x10−8 Btu/ r.pie2.°R4). E te tipo e u perficie e enominan ra ia ore i eale o cuerpo negro . En alguna oca ione e nece ario calcular la energía emiti a en una ban a e pecífica e longitu e e on a lo que e con igue integran o la ecuación para Ebλ entre os respectivos ímites. La fracción de a energía tota emitida en estas franjas de ongitudes de onda se λ2 obtiene así: λ1 ∞ 0 ∫ Ebλ dλ ∫ Ebλ dλ = C1 λ1 λ2 ( ) σT 4 C1 (λT ) ( λT )1 ( λT ) 2 ( ) (1.14) Esta expresión só o depende de (λT). E f ujo emitido por una superficie rea es dλ ⎮ 5 C2 / λT −1 λ e = ⎮ 5 C / λT σ (λT ) e 2 − 1    ¤ ¤ ¤ £  £ ¤ ¤ £ ¤ ¤ ¤ ¤ £   ¤   £   ¤  ¤ ¤ £ ¤ £ £ £   £ £ ¤  ¤ ¤  ¤ £ ¤    ¤ £  £ ¤ £ £ ¤ menor que e emitido por una superficie idea a a misma temperatura y está dad o por: E = εσTS4 on e ε s una propi dad radiativa d la sup rfici d nominada misividad. Con valor s n l rango 0 ≤ ε ≤ 1, sta propi dad nos da una m dida d la fici ncia con qu la sup rfici mit n rgía radiant . D p nd fu rt m n t d l mat rial y d su t rminado. La radiación también pu d incidir sobr una sup rfici d sd sus alr d dor s. La radiación pu d originars d sd una fu nt sp cial, tal como l sol, o d sd otra sup rfici hacia la cual la sup rfici d int rés stá xpu sta. Indistintam nt d cual s a la fu nt nosotros d signa mos la v locidad a la cual sta radiación incid por unidad d ár a d la sup rf ici como la irradiación . Esta irradiación pu d s r absorbida, transmitida y/ o r fl jada n proporcion s α, τ, ρ, espectivamente. Si la f acción τ ( ransmis ividad) ransmi ida es cero, el cuerpo se considera opaco; si τ = 1, en onces se rá ransparen e a la irradiación. Si la absor ividad α = 1 será negro y si α = ε , m nor qu la unidad, s consid ra gris. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¦ ¦   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¤ ¢ ¢ ¤ ¢ ¢ ¢ ¢ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ § ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ ¤ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Q2→1 = σA2 F21T24 La canti a Fij e la fracción e la energía ra iante que ale e la uperficie i y e intercepta a por la uperficie j y e conoce como factor e vi ión. El in tercambio neto e calor por ra iación entre la o uperficie erá Q2→1 = σ A1 F12 (T14 − T24 ) = σ A2 F21 (T14 − T24 ) A1F12 = A2F21 pue epen e olo e la geometría el i tema y e váli o tanto para uperficie negra como para uperficie gri e . El factor e vi ión pre enta un “álgebra” que permite en muc a oca ione eterm inarlo fácilmente. Alguna e u regla on i) ii) iii) iv) A1F12 = A2F21 Reciproci a En recinto cerra o ∑ Fij = 1 ∑ A1 F1j = A1 Para uper ficie plana o convexa Fii = 0 (no pue e ver e a í mi ma).  uperficie “2” e intercepta o por la £  £   £   £    £ £        £ £   £    Q1→2 = σA1 F12T14 El flujo e calor ra iante emiti o por la uperficie “1” e ¡ ¡  £ ¡ El flujo de c lor r di nte emitido por l uperficie “2”es superficie “1” e intercept do por l s ¡ Una porción o toda la irradiación pu d n s r absorbidas por la sup rfici aum nt ando la n rgía térmica d l mat rial. La v locidad a la cual la n rgía radiant s absorbida por unidad d ár a sup rficial pu d valuars conoci ndo la absor tividad α. Esto es, G s= αG con 0 ≤ α ≤ 1. Si α < 1, y l superficie es op c , l otr porción de l irr di ción es reflej d . Si l superficie es semitr nsp r ente porciones de l irr di ción pueden ser tr nsmitidos. Sin em rgo, mientr s que l r di ción sor id o emitid ument o reduce, respectiv mente, l energ í térmic de l m teri , l r di ción reflej d y tr nsmitid no tiene efecto e n ést energí . Nótese que el v lor de α depende de l n tur lez de l irr di c ión sí como de l superficie mism . Por ejemplo, l sortivid d de un superfi cie l r di ción sol r puede diferir de su sortivid d l r di ción emitid por l s p redes de un horno. 1.3.1.1. Interc m io de c lor r di nte entre dos superficies negr s. ¢ ¢ 20 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro B tancourt rajal s Transf r ncia mol cular d calor masa y cantidad d movimi nto ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡  ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  § ¢ ¢ ¢ ¢ £  ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢ ¢  ¢ £ ¢ £ ¢ £   £ ¢ £  £  ¢ ¢ ¡ ¡  ¡  £ £ £     £ ¡ ¢ ¢ £ £ £ £   £ ¡ ¡ ¢  21 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento Una ilu tración encilla e eterminar lo factore e vi ión para un i tema co mpue to por una uperficie emi férica y u ba e. Llaman o e ta última la uperf icie “1” y el emi ferio la uperficie “2”, ten remo : F11 = 0 porque e plana ⇉ F12 = 1 por (ii). A ora como A1F12 = A2F21 ⇉ F21 = (1)(A1/A2) = (πR2)/(2πR2) = ½ y F22 = ½ nuevamente or (ii). Aquí determinamos 22 = 4 factores de visión. En general en un recinto con N zonas se deben determinar N2 factores de visión. Po r las reglas de reci rocidad y simetría se reducen los cálculos a N(N-1)/2. 1.3.1.2. Su erficies rerradiantes. En la ráctica se uede encontrar que las su erficies que intercambian calor rad iante estén unidas or su erficies aisladas o adiabáticas que reemiten toda la e nergía que absorben en forma difusa, creando un flujo de calor adicional que ue de ex resarse modificando el factor de visión. Para el caso de una su erficie re fractaria R conectando las su erficies radiantes “1” y “2”, el factor de visión se modificará así ⎡ FR 2 ⎤ F12 = F12 + F1R ⎢ ⎥ ⎣ R1 + R 2 ⎦ 12 es la suma de la fracció radiada directame te más la fracció rerradiada y se co oce como factor de i tercam io. Te ie do e cue ta que la superficie adia ática puede verse a sí misma y ver las otras dos superficies, el álge ra del fac tor de visió e este caso será A1 1R = AR R1; AR R2 = A2 2R. Multiplica do la ecuació para 12 por A1 y reorga iza do A1 12 = A1 12 + 1 1 1 = A1 12 + = A1 12 + 1 1 1 1 R1 R 2 + + + A1 1R R 2 A1 1R R 2 AR R 2 A1 1R A2 2 R A1 1R prese cia de ( ) ( ) La transf r ncia d calor radiant n ta d sd una sup rfici gris s d t rmina p or la dif r ncia ntr la radiación qu d ja la sup rfici ( mitida mas r fl jad a) y la radiación qu incid sobr lla. Si llamamos J (radiosidad) l calor r adiant por unidad d ár a qu d ja la sup rfici st s rá ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¥ ¥ Así el i tercam io eto de calor radia te e tre dos superficies e superficies adia áticas será Q = σA1 F12 T14 − T24 = σA2 F21 T14 − T24 1.3.2. Superficie gri e (α = ε).  £         ¥   ¢ ¢ ¢   £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¥  ¥ ¢   £ ¢  ¥ ¥ £  ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¥ ¥ ¥  ¥  ¥         £ ¥ ¥     ¢ ¢ ¢ § ¢ ¢ ¢ £ £ £   ¥          ¥ ¥   ¢ ¢ ¢ ¢    ¥   ¢  ¥   ¥ ¥   Se demuestra que entre dos superficies grises entre as cua es hay f ujo neto de ca or, conectadas por cua quier número de superficies rerradiantes, e f ujo ne to de ca or radiante puede representarse por a ecuación Q = σ A1ℑ12 (T14 − T24 ) (1.15) Don e ℑ12 = 1 ⎤ 1 ⎡ 1 ⎤ ⎛ A1 ⎞ ⎡ 1 + ⎢ − 1⎥ + ⎜ ⎟ ⎢ − 1⎥ F12 ⎣ ε1 ⎦ ⎝ A2 ⎠ ⎣ ε 2 ⎦ Esta ecuació se aplica muy fácilme te a u úmero de sistemas simples pero útil es. or ejemplo, cua do la e ergía radia te se i tercam ia e tre dos placas pla as paralelas, 1 . 12 = 12 y A1 = A2 , por lo que ℑ12 = 1 1 + −1 ε1 ε2 Otra situación sp cial qu ocurr con fr cu ncia involucra int rcambio d radia ción ntr una sup rfici p qu ña a t mp ratura TS y una sup rfici mucho mayor, isotérmica qu rod a compl tam nt a la m nor. Los alr d dor s, podrían s r por j mplo las par d s d un cuarto o un horno cuya t mp ratura difi r d la d l a sup rfici incluida. Aquí, nu vam nt s cumpl F12 = F12 = 1 , p ro A1/A2 = 0 ⇉ ℑ 12 = ε1. Por lo tanto la v locidad n ta d transf r ncia d calor por radia ción d sd la sup rfici s: 4 Qrad = εσAS (TS4 − Talr ) (1.15a) E ta expre ión provee la iferencia entre la energía térmica que e pier e ebi o a la ra iación emiti a y e a que e gana por la ra iación ab orbi a. Hay muc a aplicacione para la cuale e conveniente expre ar la ra iación neta e tran ferencia e calor en la forma Qra = rAS(TS − Talr), on e, a partir e (1.15a ), el coeficiente e tran ferencia e calor ra iante r ven rá a o por 2 r ≡ εσ (TS + Talr )(TS2 + Talr ) (1.16) Aquí no otro emo mo ela o el fenómeno ra iativo e manera imilar al convecti vo. En é te enti o no otro emo linealiza o la ecuación e ra iación acien o el flujo e calor ¢ ¥ £ J = ρ G + ε Eb Entonc s l int rcambio n to d calor ntr dos sup rfici s gris s pu d dars n función d sus radiosidad s y d la visión r lativa qu t ngan ntr sí: Q = A1 F12 ( J1 − J 2 ) = A2 F21 ( J1 − J 2 ) ¢ 22 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro B tancourt rajal s Transf r ncia mol cular d calor masa y cantidad d movimi nto  £ ¢ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £  ¢ £ ¤ ¤ ¢ ¤ ¢ ¢ ¢ £  ¢ ¢ £ £ £  £ ¢ ¢ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¥ ¢ ¤ £  £ £  ¢ ¢ ¢ ¢ ¢  ¢ ¢ ¢ ¤ £ ¢ £ ¢ ¥ ¢ ¢ £ ¤ § ¢ ¥ ¥ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¥   ¢ ¥ £ £    ¢ ¢ ¢ ¢   ¥  ¤ ¢ £  ¢ ¢ £ ¢  ¢ ¢   £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¥ £  £ ¢ ¢ ¢   ¥ £    ¢ £ £ ¢ ¢ ¢ ¤ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ © ¤ £ ¢ ¢    ¢ 23 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento Si el flui o no e tran parente a la ra iación, lo proce o e ra iación y conv ección no on in epen iente entre í y Qconv y Qra no pue en umar e irectame nte. Sin embargo el cálculo que e ugiere aquí re ulta ca i iempre a ecua o pa ra ga e , y en la mayor parte e lo problema en lo que intervienen líqui o Q ra pue e e preciar e. EJEMPLO 1.1. Pre ecir la canti a total e pér i a e calor por ra iación y conv ección libre por uni a e longitu e una tubería recubierta con ai lante e em i ivi a térmica ε = 0.93. El diám tro xt rno d l aislami nto s d 15 cm y st á a 38 °C, y tanto las par d s qu lo rod an como l air circundant s ncu nt ran a 27 °C. Asuma qu l co fici nt conv ctivo para st caso pu d d t rminar s como hC = 1.32 [(TS − T∞)/D] 0.25 W/m2. °C. So ución. La superficie de ais a nte está comp etamente rodeada por as paredes por o cua será ap icab e a ecu ación para Qrad: Qrad = (5.67x10−8)(π)(0.15)(1)(0.93)(3114 − 3004) = 31.18 W. Qconv = (1.32)[(38 − 27)/0.15]0.25(π)(0.15)(1)(38 − 27) = 20.02 W. Qtota = 31.18 + 20.02 = 51.20 W . A pesar de ser un rango tan moderado de temperaturas as pérdidas por radiació n son e 61% de tota . Observe que en a so ución de a ecuación para Qrad es i mprescindib e usar temperaturas abso utas mientras que en e cá cu o de ca or p or convección es irre evante. 1.3.3. Error de Termocup a. Una termocup a o cua quier otro dispositivo usado para medir a temperatura de u n f uido en un recipiente pueden dar una ectura significativamente diferente de a temperatura de  proporcional a una iferencia e temperatura en lugar e la iferencia entre o temperatura a la cuarta potencia. Nóte e in embargo que r epen e fuertement e e la temperatura, mientra que la epen encia el coeficiente convectivo e la temperatura e generalmente ébil. La uperficie pue e también tran ferir ca lor imultáneamente por convección a un ga a yacente a temperatura T∞. En e te ca o la veloci a total e tran ferencia e calor e e la uperficie erá 4 Q = Qconv + Qra = AS (TS − T∞ ) + εσAS (TS4 − Talr ) ¤ £ £   £ ¢ ¢  ¤ £ £ £ ¤ ¤ ¤ ¢ ¢ ¢ ¢  ¤ £  £   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ ¤ ¤ ¤ £ £  £  £ ¤ £  ¤  £    ¢ ¤ ¢ ¢ ¢ £ ¤ ¤ £ ¤ £ £   ¤ £ £ £ £   ¢ ¤ £ ¢ £ £  ¤ £  ¤ ¢ ¢ ¢ ¢ £ ¤ £ £ ¤ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ £ £ £     £   ¤ £  £  ¤ £ £ £ £ £ ¤ ¤  ¤ £ ¤  £ £ £ £ £ ¤ ¤ ¤  ¤  £ £   £  ¤ £ £  ¤  £ £ ¤ ¢ 24 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento b) Según la ley el e plazamiento e Wien: λmaxT = 2,8978x10−3 m.K ⇉ λmax = 2,8 978x10−3/5800 = 5.0x10−7m = 0.50 µm. c) De acuerdo con a ecuación (1.12), e po der emisor monocromático máximo es: Ebλmax = λ 5 max (e C1 C 2 / λmaxT −1 ) (5.0 x10 ) (e −7 5 = 3.7405 x10 −16 0.0143879 / 2.8978 x10 −3 −1 ) = 8.41x1013 J s.m 2 ( λ1T ) C1 d (λT ) = ⎮ C / T 5 e λ σ (λT ) ( 2 − 1) ( 4.35 x10 −3 )  d) E porcentaje de energía tota emitida dentro de espectro visib e (0.35 75 µm) teniendo en cuenta a ecuación (1.14) podrá expresarse como: ( λ2T ) 0. ¤ f uido si as paredes tienen otra temperatura. Esta diferencia ocurre debido a q ue e e emento detector estabi iza su temperatura intercambiando ca or con e f uido por convección y con as paredes por radiación (y eventua mente por conducc ión). Si , por ejemp o, a temperatura de a pared TS es mayor que a temperatur a de gas TG, a termocup a indicará a gún va or intermedio TC. E ba ance de ca or será hrAC(TS – TC) = hAC(TC – TG) ⇉ TG = TC – ( r/ )(TS – TC) EJEMPLO 1.2. El Sol pue e uponer e que actúa como un cuerpo negro a 5.800 K. Ca lcular: a) El po er emi or total. b) La longitu e on a a la que e con igue el po er emi or máximo c) El po er emi or monocromático máximo. ) Porcentaje e e nergía total emiti a que corre pon e a longitu e e on a el e pectro vi ible. Solución. a) El po er emi ivo total e una uperficie negra e tá a o por la ley e Stefan Boltzmann: Eb = σT4 = (5,67x10−8)(5800)4 = 6.42x107 J/ .m2 ¤ ¤ £ ¤   ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £   ¤  ¤ £  £ £ ¤ £ ¤ ¤ £ £ £  £  ¤  ¤ ¤ £  £ £  ¤ ¤  £ ¤  ¤ ¤ ¤   £  ¤ £ £ £ £ £ ¤ ¤  ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ ¤ £ ¤ ( 2.03 x10 ) (3.7405x10 −16 )d (λT ) ) λT ) ( 3 = 0.4692 ⎮( 5 −8 ( e 0.0143879 / λT − 1) −5.6697 x10 Es decir que e 46.92% de a energía radiada por e so se emite en e rango vis ib e de espectro. La integra se eva uó numéricamente usando e método de Rombe rg. Ana íticamente puede integrarse e numerador de a ecuación (1.14) rea izand o e cambio de variab e C2/x = z, con x = λT. Así, dx = − (C2/z2)dz. Reemp azand o, ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ 25 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento agrupando constantes, ap icando desarro o en series de Tay or y adecuando os v a ores ímites se obtiene una expresión de a forma z2 z 3e − z d ( z ) z 3d ( z) C⎮ z = C ∫ z 3e − z 1 + e − z + e −2 z + e −3 z + ⋅ ⋅ ⋅ dz = C⎮ −z z1 1− e e −1 z2 z2 ( ) ( ) ( ) z1 z1 Cada una de as integra es resu tantes se integra por partes. También pueden usa rse as tab as tabu adas por Dunk e (1954) y reproducidas en varios textos de tr ansferencia de ca or como “funciones de radiación de cuerpo negro”. EJEMPLO 1.3. Un invernadero está construido con un vidrio que posee una tramitan cia de 0.92 para todas as ongitudes de onda comprendidas entre 0,35x10−6 y 3x1 0−6 m y es opaco a resto de as radiaciones. E So se comporta como un cuerpo negro a 5800 K, mientras que e interior de invernadero, que también puede cons iderarse negro, se encuentra a 300 K. Determinar: a) Tramitancia tota de vidri o de invernadero a a radiación so ar. b) Tramitancia tota de vidrio a a rad iación interior de mismo. c) F ujo neto de ca or por radiación que recibe e in vernadero. Suponga que e invernadero recibe de so un f ujo de energía radiant e de 1350 J/s.m2. So ución. a) De forma para e a a a ecuación (1.14) que nos de termina a fracción de a energía tota emitida en un rango de ongitudes de ond a a una temperatura dada por un cuerpo negro, podemos obtener a fracción transm itida, absorbida o emitida por un cuerpo gris conociendo τλ, αλ o ελ. Así, a tr amitancia tota de esta superficie vendrá dada por τ = τλ ( λ1T ) ( λ1T ) C1d (λT ) = 0.92 5 C / λT (17.4 x10−3 ) ( ) ( 2.03 x10−3 ) ⎮ σ ( λT ) e 2 − 1 ⎮ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ C1d (λT ) = 0.8347 σ (λT ) 5 e C2 / λT − 1 ( ) ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤¤ ¤ En do do 0) esta ocasión a fuente de anterior se = 0.105x10−3 τλ es independiente de λ y puede sacarse de a integra . b) Cuan radiación es e interior de invernadero, aná ogamente a aparta ega a: λ2T = (3x10−6)(300) = 0.9x10−3 m.K: λ1T = (0.35x10−6)(30 m.K 26 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento τ = τλ ( λ2T ) ( λ1T ) C1d (λT ) = τλ 5 C / λT ( 0.9 x10−3 ) ( ) ( 0.105 x10−3 ) ⎮ σ (λT ) e 2 − 1 ⎮ ( ) c) E f ujo neto de ca or por radiación que recibe e invernadero será entonces qneto = (0.835)(1350) – (8,00x10–5) (5.67x10 8) (300)4 = 1127.2 J/s.m2 Puede apr eciarse como e vidrio de invernadero transmite e 83,5 % de a energía de So a interior de mismo, mientras que apenas transmite e 0,08 % de a energía ra diante de invernadero hacia e exterior. 1.3.4. Radiación desde gases. Mientras que íquidos y só idos emiten radiación sobre un espectro continuo, os gases no o hacen. De hecho, a mayoría de os gases monoatómicos y biatómicos, ta es como os que están presentes en a atmósfera, escasamente emiten radiació n. Otros, como e vapor de agua y e dióxido de carbono emiten radiación so o en bandas espectra es específicas. So amente os gases con momento dipo ar, triató micos y de más átomos emiten radiación en cantidades apreciab es. Los gases que emiten energía también a absorben, pero en as mismas bandas de radiación en a s que emiten. Los gases que no emiten radiación tampoco a absorben. E ancho de as bandas de radiación para emitir (absorber) un gas en particu ar depende tan to de a temperatura como de a presión. Una representación aproximada para vapo r de agua nos da bandas entre 2.2 a 3.3, 4.8 a 8.5, y 12 a 25 µm. Para e dióxid o de carbono as bandas son entre 2.4 a 3.0, 4.0 a 4.8 y 12.5 a 16.5 µm. E inte rcambio neto de ca or radiante entre una masa de gas a temperatura TG y una supe rficie negra que o rodea A, a temperatura TS se puede determinar como Q = σA ε T 4 − α GTS4 ( ) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢ ¢ L emisivid d de l m s de g s ε s obti n d un diagrama d misividad a la t mp ratura d l gas y la absortividad αG se o tiene del mismo di gr m pero l temper tur TS de l p red pues est serí l temper tur de l superficie so r ente si se encontr r en equili rio térmico con el emisor. Estos di gr m s son función de l temper tur , de l presión p rci l del g s y de un tr yectori e ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¡ ¤ ¤ ¡ ¡ ¤ ¤ ¡ ¢ ¡ ¡  ¤ ¤ ¢ ¢ ¤ ¡ ¤ ¡ ¢ § ¤ ¤  ¡ ¤ ¤ ¤ ¡ ¤ ¤ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¤ ¡ ¡ ¡ ¡ ¤ ¤  C1d (λT ) = 8.00 10 −5 σ (λT ) 5 e C2 / λT − 1 ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¡ ¢ ¤ ¡ ¡ § § ¤ ¤ ¤ ¤ ¡ ¤ ¢ ¢ ¡ ¤ ¤ ¤ ¤  ¡ ¡ ¡ quiv lente que depende de l form geométric del sistem . ¡ ¡ 27 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 1.3.5. R di ción sol r. L n logí con l ley de Ohm y el concepto de l resistenci térmic provee un medio de tr t r el pro lem de flujo de c lor tr vés de un pl c hech de m t eri les de diferentes espesores y propied des termofísic s. Est pl c se repres ent esquemátic mente en l figur . 1.7. El tr t miento es el de resistenci s en serie, t l que si T5 y T2, l s temper tur s de c d un de l s superficies exte riores de l p red, l s dimensiones físic s, y l s propied des térmic s de l mi sm son conocid s, el flujo de c lor puede escri irse inmedi t mente como: (T5 − T2 ) Q= 1 + 2 + 3 k1 S k2 S k3 S (1.17) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ L r di ción sol r es l respons le de m ntener l temper tur superfici l de l tierr . L const nte sol r es l c ntid d de energí por unid d de tiempo y de áre perpendicul r l mism que lc nz l tmósfer terrestre. Es cl ro que l energí que lc nz l superficie de l tierr es lgo menor después de h er tr ves do unos 135 km de ire, polvo, v por de gu , dióxido de c r ono entre otros. El polvo, dióxido de c r ono y v por de gu pueden sor er energí r di nte, y p rte de est energí serí rerr di d direct mente h ci el esp cio en lug r que h ci l tierr . Sin em rgo este efecto es pequeño de ido que l m yor p rte de l energí emitid por el sol 6000 K, tiene longitud de ond por de jo de l s nd s de sorción del dióxido de c r ono y el v por de gu , es decir que los g ses de l tmósfer son práctic mente tr nsp rentes l r di ci ón sol r. Sin em rgo, l r di ción terrestre, emitid un temper tur sust nc i lmente menor ( proxim d mente 280 K en promedio), con longitudes de ond m yor es que coinciden con l s nd s de sorción del dióxido de c r ono y el v por d e gu , h cen que uen p rte de est r di ción se sor id por l tmósfer y rerr di d l tierr m nteniendo un temper tur decu d en l tmósfer . Es te fenómeno es conocido como el “efecto invern dero” (greenhouse). Un specto de l r di ción sol r dest c do por M xwell en 1865 es el que l r di ción inciden te so re un superficie de e ejercer un fuerz so re es superficie. L ecu ció n de Einstein E = mc2 puede us rse p r expres r l r di ción E como un densid d de flujo másico m’ equiv lente, y l fuerz ejercid por unid d de áre es en tonces m’c. Si h y reflexión est fuerz se ument rá proporcion lmente. 1.4. PARED CON CAPAS MÚLTIPLES. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ 28 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento Est expresión se comprue fácilmente si tenemos presente que en est do est le , el flujo de c lor es el mismo tr vés de tod s l s secciones y h ci o desde l s superficies que interc m i n c lor por convección: ⎛k S⎞ ⎛kS⎞ ⎛k S⎞ Q = h f 6 S (T f 6 − T5 ) = ⎜ 1 ⎟ (T5 − T4 ) = ⎜ 2 ⎟ (T4 − T3 ) = ⎜ 3 ⎟ (T3 − T2 ) = h f 1S (T2 − T f 1 ) . ⎝ b1 ⎠ ⎝ b2 ⎠ ⎝ b3 ⎠ Así, Q = (T f 6 − T5 ) hf 6S Q Q = (T5 − T4 ) = (T4 − T3 ) k1S k2 S b1 b2 Q = (T3 − T 2 ) = T2 − T f 1 h f 1S Q k3 S b3 ( ) Sumando miemb o a miemb o estas ecuaciones, al dest ui pa éntesis se cancelan l as tempe atu as inte medias y en el ot o miemb o se saca Q como facto común, y al despeja lo se obtiene la ecuación (1.17a). Las tempe atu as inte medias puede n dete mina se po la inclusión de las esistencias ent e una tempe atu a conoci da y aquella a dete mina se. La analogía eléct ica puede usa se pa a esolve p oblemas más complejos que involuc en tanto esistencias té micas en se ie como e n pa alelo. En la figu a 1.8 se muest a un p oblema típico y su ci cuito eléct i co análogo. Aquí las esistencias té micas de los mate iales B, C, D, así como d e los F y G, se encuent an en pa alelo. La esistencia té mica al flujo de calo desde la supe ficie más caliente a T1 hacia ¡ Si lo que conocemos es l temper tur del fluido dy cente l p red y no l s t emper tur s de l s superficies, de en incluirse l s resistenci s térmic s de id s l fluido: Q= (T f 6 − T f 1 ) 1 + 1 + 2 + 3 + 1 hf 6S k1 S k2 S k3 S h f 1S (1.17 )       ¡  ¡   ¡ ¡               ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡           ¡           ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡               ¡  ¡     ¡   ¡   ¡   ¡ ¡ ¡  ¡ ¡  ¡           ¡       ¡ ¡ ¡           ¡ ¡ ¡ ¡     ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ 29 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 1 1 1 = + Req 2 RF RG Las esistencias individuales son todas de la fo ma Ri = bi/kiS. La ecuación de flujo de calo unidimensional pa a este tipo de p oblema puede esc ibi se como: Q= ∆Ttotal Rtotal Conviene menciona que en sistemas como el de la fig. 1.8 puede p esenta se fluj o de calo bidimensional si las conductividades té micas de los mate iales difie en en g an medida. 1.5. MANANTIALES CALORÍFICOS. 1.5.1. Manantial calo ífico de o igen eléct ico. La t ansmisión de la co iente eléct ica es un p oceso i eve sible, y pa te de la ene gía eléct ica se t ansfo ma en calo . Conside emos un alamb e conducto d e sección ci cula con adio R. Po él ci cula una co iente eléct ica i ampe io s, con una caída de voltaje V a lo la go del alamb e. La velocidad de gene ación de calo se á Q [W] = V [voltios] x i [ampe ios]. A pa ti de la ley de ohm se define la esistencia eléct ica Re de la va illa como Re [ohmio] = V [voltios]/i [ampe ios]. Po esto, también Q [W] = i2 [amp2]×Re [Ω]. La esistencia eléct ic a de la va illa es di ectamente p opo cional a la longitud L, a la esistividad específica del mate ial ρe [Ω.m] e inve samente p opo cional al á ea t ansve sal A. Entonces la velocidad de p oducción de calo debido a la disipación eléct ic a po unidad de volumen viene dada po la exp esión: Φ He = i 2 ρe L 1 i2 ρ ⋅ = 2e = I 2 ⋅ ρ e A AL A ⎡W 3 ⎤ ⎢ m ⎥ ⎣ ⎦ (1.18) I de sidad de corrie te eléctrica. Si se supo e que el aume to de temperatura e el alam re o es gra de, o es preciso te er e cue ta la variació de las co d uctividades eléctrica y calorífica co la temperatura.   ¥ la más f ía a T5 es Rtotal = RA + Requivalente1 + RE +Requivalente2; donde las esistencias equivalentes son: 1 1 1 1 = + + Req1 RB RC RD y ¥                             ¥                   ¥                 ¥                 ¥     ¥         ¥           ¥                 ¥          ¥ ¥                 ¥                          ¥   30 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 1.5.2. Ma a tial calorífico de orige viscoso. Co sideremos el flujo de u fluido Newto ia o i compresi le a través del espacio compre dido e tre dos cili dros coaxiales. Al girar el cili dro exterior, las c apas cilí dricas del fluido roza co las capas de fluido adyace tes da do lugar a u a producció de calor, es decir que la e ergía mecá ica se degrada a e ergí a calorífica. La mag itud de la i te sidad de ma a tial calorífico depe de del g radie te local de velocidad; cua to más rápidame te se mueva u a capa de fluido respecto de otra adyace te, mayor será el cale tamie to producido por disipació viscosa. T será fu ció solo de r. Si el espesor de la re dija es pequeño com parado co el radio R del cili dro exterior, el pro lema puede resolverse aproxi madame te utiliza do u sistema simplificado, es decir, desprecia do los efectos de la curvatura y resolver el pro lema e coorde adas cartesia as. E este caso el ma a tial calorífico de orige viscoso vie e dado por: ⎛ ∂v ⎞ ΦHµ = µ ⎜ ⎟ ; ⎝ ∂ ⎠ w : velocidad angula ; vx = R ⋅ w (velocidad tangen cial ) El erfil de velocidad ara el flujo laminar estacionario de un fluido de viscosidad constante en una rendija de es esor b, es lineal: vx = (y/b)V or ta nto: ⎛V ⎞ Q = µ⎜ ⎟ ⎝b⎠ 2 2 (1.19) ΦΗ = µ (V/b)2 Al calcular el erfil de tem eratura a arece es ontáneamente la ex resión: ⎡ µV 2 ⎤ Br = ⎢ ⎥ ⎣ k (T − T0 ) ⎦ o úmero de Bri kma , que es u a medida de la importa cia del cale tamie to visc oso co relació al flujo de calor que resulta de la difere cia de temperatura c omu icada (T - To). ara Br > 2, existe u a temperatura máxima e u pu to comp re dido e tre las dos paredes. ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥   ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥  ¥  ¥ ¥    ¥ ¥ ¥ © ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥  ¥ ¥ ¥  ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  31 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 1.5.3. Ma a tial calorífico de orige químico. E u a reacció química se produce o co sume e ergía calorífica de ido a la reor de ació de los átomos de las moléculas reaccio a tes para dar lugar a los produ ctos de reacció . La velocidad de producció de e ergía calorífica por u idad de volume e las reaccio es químicas es ge eralme te u a fu ció compleja de la p resió , temperatura, composició y actividad del catalizador. Si co sideramos ΦΗ C como una función exclusiva de la tem eratura, y su onemos variación lineal con esta variable ⎡ T − T0 ⎤ Φ HC = Φ 0 ⎢ ⎥ ⎣ T1 − T0 ⎦ (1.20) do de T es la temperatura local del lecho catalítico, supuesta igual para el cat alizador y el fluido (au que la difere cia de temperatura e tre el catalizador y el fluido o siempre es desprecia le), y Φ0 y To so co sta tes empíricas para u as determi adas co dicio es de e trada al reactor. Usa do métodos de cálculo a decuados puede o te erse expresio es más realistas para ΦΗC 1.5.4. Manantial calorífico de origen nuclear. Consideremos un elemento de combustible nuclear de forma esférica de radio Rf, r evestido con una vaina esférica de aluminio, cuyo radio externo es Rc. La rinci al fuente de energía calorífica en el reactor se debe a las colisiones entre lo s fragmentos de fisión roducidos, que oseen energías cinéticas elevadas, y los átomos del material fisionable. Este manantial volumétrico de energía calorífic a no será uniforme en el interior de la esfera del material fisionable, sino máx imo en el centro de la misma. Podríamos re resentar este manantial mediante una función arabólica: Φ HN ⎡ ⎛ = Φ N 0 ⎢1 − m⎜ ⎜R ⎢ ⎝ f ⎣ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (1.21) ΦΝ0 es la velocidad volumétrica de producción de calor en el centro de la esfera , y m es una constante adimensional comprendida entre cero y uno.  ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥  ¥  ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  32 FE ÓME OS DE TRA FERE CIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 1.6. SISTEMAS CO FUE TES DE CALOR. 1.6.1. Pared plana. Considérese una pared plana con fuentes de calor uniformemente distribuidas como se muestra en la figura 1.9. El espesor de la pared en la dirección z es 2b y s e supone que las dimensiones en las otras direcciones son bastante grandes para que el flujo de calor pueda considerarse como unidimensional. El calor generado por unidad de volumen es ΦΗ y se supone que la conductividad térmica no varía co n la temperatura. Solución. Como la geometría es rectangular usamos directamente la ecuación (1.8) con las s implificaciones de estado estacionario (∂T/∂t = 0) y flujo unidimensional para o btener d 2T Φ H + =0 k dz 2 (A) (B) La solución es entonces: T =− ΦH 2 z + C1 z + C 2 2k (C) Aplica do las co dicio es límite T1 = C 2 ; T2 = − ΦH (2 ) 2 + C1 (2 ) + T1 2k T − T1 = − Φ H z ⎡ z ⎤ ⎛ z ⎞ ⎢1 − 2b ⎥ + (T2 − T1 )⎜ 2b ⎟ k ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ (1.22)  La derivada es total pues T depe de solo de z. ara las co dicio es de fro tera se especifica las temperaturas e cada pared: T = T1 e z = 0; T = T2 e z = 2 I tegra do u a vez: Φ z dT = − + C1 dz k ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ © ¥ ¥ ¥    ¥ ¥ ¥  ¥ ¥   ¥ 33 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento En el caso que la gene ación valga ce o esta ecuación se educe a la (1.9) como es de espe a se. Tenga p esente que estamos conside ando una pa ed de espeso 2b . 1.6.1.1. Pa ed Plana Simét ica, con gene ación y convección: E z = 0, dT/dz = 0; ya que se espera u máximo de temperatura e el pla o ce tr al de ido a la simetría del sistema. Esta misma co dició límite surge cua do ex iste u a superficie adia ática o aislada pues o hay flujo de calor a través de ella como se despre de de la ley de ourier: Qz = − kSz(dT/dz). Integrando una v ez Φ z dT = − + C1 dz k De la primera condición límite se infiere que C1 = 0. Integrando nuevamente T =− ΦH 2 z + C2 2k E la superficie u icada e z = , se i tercam ia calor por co vecció . E estad o esta le, el calor que llega a esta i terfase por co ducció se disipa por co v ecció hacia el medio circu da te, así: −k dT dz = h∞ (T − T∞ ) z =b z =b Despejando T y reemplazando en la ecuación anterior calculada en z = b, obtenemo s   Analicemos la misma pa ed plana con gene ación unifo me, pe o en este caso inte cambia calo po convección desde sus dos ca as con un medio ambiente a tempe at u a T∞ y con coeficiente convectivo h∞. Solución: El planteamiento del p oblema no va ía sino en el momento de aplica las condiciones límite. d 2T Φ H + =0 k dz 2 Como e este caso la temperatura es igual a cada lado de la pared parece co ve ie te seleccio ar el orige coi cidie do co el pla o de sim etría. E lugar de co dicio es de fro tera de primera clase te dremos u a de seg u da y otra de tercera clase a sa er: ¥   ¥     ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥   ¥     ¥ ¥   ¥     ¥ ¥   ¥ ¥          ¥ ¥ ¥     ¥  ¥     ¥ ¥ ¥ ¥   ¥        ¥ ¥ ¥ ¥ ¥             ¥ ¥  ¥        ¥ ¥ ¥ 34 FE ÓME OS DE TRA FERE CIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento C2 = Φ H 2 2k ⎛ 2k ⎜1 + ⎜ bh ∞ ⎝ ⎞ ⎟ + T∞ ⎟ ⎠ 2 Φ H 2 ⎡ 2k ⎛ z ⎞ ⎤ T − T∞ = −⎜ ⎟ ⎥ ⎢1 + 2k ⎢ bh∞ ⎝ b ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ (1.23) O servamos que la distri ució de temperaturas es para ólica e am os casos. El gradie te de temperatura e la superficie puede hallarse directame te como: dT dz = z = ΦH k El flujo e u a de las superficies es dT QS = −kS = Φ H ( S ) dz z = que es la mitad del calor ge erado e el volume . Es decir, todo el calor ge erado se disi pa por co vecció hacia el fluido. La temperatura de la superficie y la del ce t ro o máxima se o tie e fácilme te reemplaza do por el correspo die te valor de z. La relació adime sio al h⋅ /k se co oce como umero de Biot a reviado Bi que se i terpreta como la relació e tre la resiste cia i ter a a la co ducció de calor y la resiste cia exter a a la tra sfere cia por co vecció . Nótese que cua do Bi ⇉ ∞, la iferencia e temperatura en la interfa e tien e a cero y TS ⇉ T ∞. EJEMPLO 1.4. Con i ere o placa paralela epara a una i tancia e 3 mm, la e la parte uperior e mueve a V = 10 m/ y e tá a 30 °C. La inferior e tá e ta cionaria y a 10 °C. Entre amba ay un aceite e motor cuya propie a e a 20 °C on ρ = 888.2 kg/m3, k = 0.145 W/m.K, µ = 0.799 Pa.s. ¿Cuál se á el flujo de ca lo en las dos placas y la tempe atu a máxima en el aceite?. Solución. El caso s e asimila a pa ed plana con gene ación po manantial calo ífico de o igen viscos o y condiciones límite asimét icas. Retomamos la ecuación (1.8): − ∂ ⎡ ∂T ⎤ ∂T ⎢k ∂z ⎥ + ρC p ∂t = Φ H ∂z ⎣ ⎦ ara estado esta le y reemplaza do el térmi o de ge eració (1.19) ¥  ¥  £ £    ¥ £ ¥ ¥  ¥    ¥ ¥ ¥ £   ¥ £ ¥    ¥  ¥  ¥ £ ¥ ¥ £  ¥  ¥ ¥     ¥ ¥ ¥   ¥ ¥       ¥ ¥    ¥ ¥ ¥ ¥ £   ¥ ¥ ¥ ¥ £   ¥ ¥ £   ¥  £   ¥ ¥ ¥  ¥  ¥ ¥        ¥ £ © 35 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to − ∂ ⎡ ∂T ⎤ ⎛V ⎞ ⎢k ∂z ⎥ = µ ⎜ b ⎟ ∂z ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 2 Con conductividad té mica constante ∂ 2T ⎛V ⎞ k 2 = −µ⎜ ⎟ ∂z ⎝b⎠ 2 Integ ando dos veces: ⎜ ⎟ z + C1 z + C 2 2k ⎝ b ⎠ Aplicando las condiciones límite, a sabe T(0) = T1 y T(b) = T2, T −T µ V 2 C1 = 2 1 + y C2 = T1 . 2k b b 2 T ( z) = − µ ⎛V ⎞ 2 Reemplazando ⎡ z ⎛ z ⎞2 ⎤ µ 2 z T ( z ) = T1 + ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ V + (T2 − T1 ) b ⎢ b ⎝ b ⎠ ⎥ 2k ⎣ ⎦ Co ocie do la distri ució de temperaturas podemos calcular los flujos de calor e las superficies aplica do la ley de ourier: qS 1 = − k qS 2 = − k dT dz dT dz =− z =0 µV 2 2b 2b − k (T2 − T1 ) = −14,3 kW m2 b = z =b µV 2 − k (T2 − T1 ) = 12,3 kW m2 b Ambas densidades de flujo están dirigidas hacia afuera de la película líquida, q S1 hacia abajo (signo menos) y qS2 hacia arriba. La localización del máximo de t emperatura en el aceite la hallamos haciendo   ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥    ¥  ¥   ¥ ¥  dT ⎛ 1 2 z ⎞ µ 2 T2 − T1 =⎜ − ⎟ V + =0 b dz ⎝ b b 2 ⎠ 2k Resolviendo pa a z obtenemos   36 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento Conside emos un elemento cilínd ico de combustible nuclea dent o de un eacto . Este elemento gene a calo debido a la eacción nuclea a velocidad ΦH [e ergía /volume ⋅tiempo]. Au que e la práctica, ΦΗ varía con la posición, suponemos que tiene el mismo valor en todos los puntos de la barra. Este calor debe removerse rodeando el elemento de combustible con un medio refrigerante que mantiene la t emperatura de la superficie a alguna temperatura constante TS. Se desea conocer la velocidad de flujo de calor hacia el refrigerante por unidad de longitud del cilindro y la máxima temperatura en el mismo. En estado estable, la ecuación de balance de energía (1.7) se reduce a: [Velocidad de salida de calor] − [Velocidad de entrada de calor] = [Velocidad de generación de calor]. Apliquemos esta expresión a un elemento de volumen de forma anular dentro del ci lindro de combustible, tal como se ilustra en la figura 1.7. La longitud del ele mento es L y su espesor ∆ . El volumen de este elemento de volumen ubicado ent e y +∆ pod ía calcula se como la dife encia ent e el volumen del cilind o ext e io de adio +∆ y el volumen del cilind o inte io ubicado en , o sea: ∆V = π(r + ∆ )2L πr2L = 2πr∆ L + π(∆ )2L Seleccionando ∆ suficientemente pequeño, (∆ )2 lo se á aún más y lo podemos de sp ecia . El calo ent a a t avés del á ea cilínd ica 2πrL y sale a través del á rea concéntrica 2π(r+∆ )L, de mane a que el     ¥   ¥   ¥ ¥   ¥     ¥ ¥                                ¥   ¥ ¥       ¥ ¥             ¥   ¥        ¥ ¥         ¥                   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ E uestro caso el umero de Bri kma , Br = 27.8 > 2 y evide teme te se prese ta u máximo de temperaturas e tre las dos placas. Reemplaza do zmax e la expresi ó para T(z) e co tramos Tmax = 89.3 °C. El cálculo de erá repetirse usa do prop iedades a u a temperatura difere te de 20 °C, tal como 55 °C (a 330 K, ρ = 865.8 kg/m3, k = 0.141 W/m.K y µ = 0.0836 Pa.s). 1.6.2. T anspo te de ene gía con gene ación. Geomet ía cilínd ica.   ⎡ k (T − T ) 1 ⎤ ⎛ 1 1⎞ + ⎟b = 0.536 b. z max = ⎢ 2 2 1 + ⎥b = ⎜ 2⎦ ⎝ B V 2 ⎠ ⎣ µ                 37 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento = Φ H ∆V Po lo tanto eemplazando en el balance d ⎛ dT ⎞ ⎜ − k 2πrL ⎟∆ = Φ H 2πLr∆ d ⎝ d ⎠ Dividiendo po 2πrL∆ y simplific ando con k constante, obtenemos − k d ⎛ dT ⎞ ⎜ ⎟ = ΦH r dr ⎝ d ⎠ (1.24) Obse ve que la va iable no se puede simplifica pues está afectada po el dife encial. Las condiciones límite en el cilind o sólido pa a las ci cunstancias fí sicas desc itas son: CL1: En el eje de simet ía debe á p esenta se un máximo o u n mínimo de tempe atu a =0 dT =0 d CL2: En la supe ficie la tempe atu a es conocida y constante =R T = TS         Reesc ibiendo la ecuación del balance como Φ ⎛ dT ⎞ d⎜ ⎟ = − H d k ⎝ d                                                             dT d   d (Q )∆ = Φ H 2πLr∆ d Aplicando Fou ie : Q = −kA                 d (Q )∆ d       = Q   + ∆   pe o Q         − Q +   balance de ene gía se puede esc ibi Q + ∆ como: ⎠                                   38 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento Esta constante de integración C1 = 0 por la primera condición límite. La nueva e cuación es dT = − ΦH r dr 2k Usa do la segu da co dició límite o te emos ΦH R2 C2 = TS + 4k y así ⎛ Φ R 2 ⎞⎡ ⎛ ⎞ (T − TS ) = ⎜ H ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎜ 4k ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎝ R ⎠ ⎣ 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (1.25) Este perfil de temperaturas es para ólico, co el máximo de temperaturas ocurrie do e el ce tro del cili dro. La máxima difere cia de temperaturas es ΦΗ.R2/4k y aumenta con el cuadrado del radio del cilindro. 1.6.2.1. Flujo total de calor en la pared. Es útil calcular la pérdida total de calor a través de la superficie del cilindr o. Esta se puede calcular como el producto de la densidad de flujo qS = − k(dT/d r) por el área de transferencia: Qtotal = (ΦΗ.R/2)(2πRL) = ΦΗ (π.R2.L) Como es d e es erarse es igual al calor total generado en el volumen: (1.25a) ¥ ¥ I tegra do uevame te o te emos el perfil de temperatura e o ge eració u iforme: T =− ΦH r2 + C2 4k ¥ ¥ ¥   ¥  ¥ ¥ ¥   Integ ando una vez dT Φ r2 = − + C1 dr 2k el cili dro sólido c              ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥     ¥ ¥    ¥ ¥ ¥ ¥ 39 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 1.6.3. Otros sistemas radiales. El tubo. El tubo o cilindro hueco (fig. 1.11) se trata convenientemente usando el sistema de simetría cilíndrica. El caso resente es el de estado estable, conductividad térmica k constante, no hay manantiales térmicos y el gradiente de tem eraturas es radial. Para este caso el balance (1.24) se reduce a − k d ⎛ dT ⎞ ⎜ ⎟=0 d ⎝ d ⎠ multiplicando ambos lados de la igualdad po – ( /k) ≠ 0 obtenemos d ⎡ dT ⎤ r = 0 . Integrando una vez dr ⎢ dr ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ dT ⎤ ⎢r dr ⎥ = C1 ⎣ ⎦ I tegra do uevame te T = C1 l r + C2 y las co dicio es límite so las que espe cifica las temperaturas Ti y T0 e los radios Ri y R0 a partir de las cuales se o tie e las co sta tes de i tegració C1 y C2, permitie do o te er la expresió para la distri ució radial de temperatura e el tu o: l ( r R ) T − T0 = R 0 Ti − T0 ln( i R0 ) (1.26) El flujo de calor a través de la pared del tubo se determina a partir de la ley de Fourier. Sin embargo, el área normal al vector flujo de calor cambia con el r adio: Qr = − kS r dT dT = − k (2πrL) dr dr (1.27) donde L es la longitud axial del tubo. Diferenciando el erfil de tem eratura y usando el resultado en la ex resión ara Qr, obtenemos: Qr = (Ti − T0 ) ⎛ ln R0 Ri ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 2πkL ⎟ ⎠ ⎝ Aquí la esistencia té mica es ln(R0/Ri)/2πkL (1.28) También odemos obtener el resultado (1.28) sin necesidad de hallar el erfil de tem eraturas dado que como r(dT/dr) = C1, constante, entonces Qr = 2πkLC1, tamb ién lo será y en (1.27) bastará se arar variables e integrar.        ¥ ¥  ¥ ¥  ¥    ¥ ¥   ¥  ¥   ¥ ¥    ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥  ¥     ¥   ¥ 40 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 1.6.3.1. El tubo com uesto. Así como en el caso de la ared com uesta, es osibl e tener tubos com uestos (figura 1.12). Físicamente uede corres onder a un tubo recubierto de diferentes ti os de aislante o a un intercambiador tubular. El tr atamiento es el mismo de las resistencias en serie: Qr = (T1 − T4 ) ⎛ ln R1 ln R3 R2 ln R4 R3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2πk L + 2πk L + 2πk L ⎟ 1 2 3 ⎠ ⎝ R2 hi y h0 son coeficientes convectivos del fluido inte no y exte no espectivament e. 1.6.3.2. Coeficientes globales. donde Si y S0 son, espectivamente, el á ea inte io del conducto y el á ea exte io del aislamiento (o sea, Si = 2πR1 L y S0 = 2πR4 L) y Ui y U0 se denominan l os coeficientes globales de transferencia de calor basados en las áreas interna y externa res ectivamente. Se observa que aunque Qr es constante ara cualquier valor de r, la densidad de flujo de calor qr = Qr/Sr no lo es ues Sr varía con la osición radial r. Reorganizando (1.30): S i (T fi − T fo ) 1 = Ui Qr R R R R 1 1 Ri ln( 2 Ri ) Ri ln( 3 R2 ) Ri ln( 4 R3 ) = + + + + i U i hi k1 k2 k 3 R4 h0       La ecuación (1.29) puede esc ibi se en la fo ma de un coeficiente po una fue za guía: Q = Ui Si (Tfi − Tf0) = Uo So (Tfi − Tf0) (1.30) un á ea y                                                   pa a inclui en las supe ba idas po + + + ⎜ 2πR esistencias debidas a efectos convectivos ocasionados po fluidos, ficies inte io y exte io del tubo, es necesa io inclui las á eas el flujo: Q = (T fi − T fo ) ⎛ ln R2 R1 ln R3 R2 ln R4 R3 1 1 ⎜ + Lh 2πk L 2πk L 2πk L 2πR Lh 1 2 3 4 0 i i ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (1.29)                     41 FE ÓME OS DE TRA FERE CIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Ahora, si buscáramos el coeficiente global basado en el área externa S0, obtendr íamos: S 0 (T fi − T fo ) 1 = U0 Qr R4 ln( R2 Ri ) R4 ln( R3 R2 ) R4 ln( R4 R3 ) 1 R4 1 = + + + + U 0 Ri hi k1 k2 k3 h0 Obsérvese que: U0S0 = UiSi = Qr/(Tfi − T fo) = 1/Rt donde Rt es la resistencia total a la transferencia de calor en el sistema compu esto. 1.6.4. Espesor crítico de aislamiento. o siempre el aislamiento colocado a un conducto cilíndrico disminuye las pérdid as de calor de la superficie. De hecho en los conductores eléctricos facilita la refrigeración de los mismos. La pérdida de calor desde un tubo con aislamiento hacia el fluido de los alrededores está dada por: Qr = (T fi − T fo ) ⎛ ln R2 R1 ln R0 R2 1 1 ⎜ + ⎜ 2πR Lh 2πk L + 2πk L + 2πR Lh i i 1 A 0 0 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Nuevamente hi y h0 son los coeficientes convectivos co espondientes a los fluid os inte no y exte no. Los adios inte no y exte no del conducto son Ri y R2, el aislante está comp endido ent e R2 y R0, k1 y kA son las conductividades té mica s del tubo y del aislante. El flujo de calo se á un máximo cuando el denominado sea mínimo. Tomando la de ivada de los dos últimos té minos del denominado co n especto a Ro manteniendo R2 como pa ámet o constante e igualando el esultado a ce o obtenemos: 1 1 − =0 k A R0 h0 R02 O sea: Ro c it = kA/ho (1.31) Este esultado es independiente de R2 y conside a que ho no cambia con Ro, lo qu e puede se aceptable en muchos casos p ácticos. La conclusión es que en tubos c uyo adio exte io (en este caso R2) sea meno que el adio c ítico Roc it, pued e ve sus pé didas aumentadas po aislamientos que lleguen hasta el tamaño c íti co. Tomando en cuenta los efectos del cambio de cu vatu a en ho, se pueden obten e adios c íticos del o den del 60 % del obtenido po la ecuación (1.31).                                                                                             42 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 1.6.5. La esfe a. La dist ibución de tempe atu as y el flujo de calo a t avés d e las pa edes de una esfe a hueca pueden calcula se a pa ti de balances y la le y de Fou ie , usando las mismas suposiciones simplificado as que usamos ante io mente: 1 d ⎡ 2 dT ⎤ r = 0; r 2 dr ⎢ dr ⎥ ⎣ ⎦ 1 − 1 T − T0 r R0 = 1 − 1 Ti − T0 Ri R0 Qr = ( Ti − T0 ⎛ 1 − 1 ⎞ 1 4πk ⎜ Ri R0 ⎟ ⎝ ⎠ ) La ecuación (1.20) puede utiliza se pa a analiza sistemas de á ea t ansve sal v a iable en los cuales podamos acepta flujo unidimensional como es el caso de un a cuña con fo ma de cono t unco, aislada en su supe ficie cu va. En este caso la ecuación (1.20) se esc ibe dQ z 1 d ⎛ dT ⎞ = ⎜ − k (T ) A( z ) ⎟ = ΦH dV Az ( z ) dz ⎝ dz ⎠           El caso de la esfe a compuesta se obtiene análogamente. Simila o c ítico: R0 c it = 2k/h. 1.6.6. Ot os sistemas con á ea t ansve sal va iable. se halla un adi                                                                                   43 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento Se tiene en cuenta que la supe ficie pe pendicula al flujo de calo va ía con l a distancia y que la conductividad té mica puede hace lo también. Pa a flujo est able sin gene ación Qz es constante y la ley de Fou ie se puede esc ibi Q z = − kAz z dT = constante dz T dz Qz ⎮ = − ∫ k (T )dT T1 Az ( z ) z1 (1.32) EJEMPLO 1.5. E e emento combustib e para usar en e reactor de una p anta nuc e ar consiste de un núc eo ci índrico de 2 p g. de diámetro sostenido por una capa que o rodea de 0.25 p g. de espesor en a uminio. E exterior de a uminio esta rá en contacto con un f uido que transfiere e ca or y que se encarga de mantene r a superficie exterior de a coraza de a uminio a 200°F. E combustib e en e núc eo genera ca or a razón de 5.8x107 Btu/hr.pie3. Debido a efecto negativo qu e tiene a temperatura en a resistencia de a uminio, a temperatura de este no debe exceder os 800 °F en ningún punto. ¿Es e diseño propuesto satisfactorio? Para e a uminio a conductividad térmica puede expresarse como: k = k0(1 + aT) , donde k0 = 118 Btu/hr.pie.° F y a = 4.95x10−4 °F−1 en e rango de temperatura de 200 °F a 800 °F. ¿Cuá será a máxima temperatura en e núc eo combustib e?. So ución. E ca or generado dentro de núc eo radioactivo debe ser e iminado en su tota idad a través de revestimiento de a uminio y en estado estab e tendrá u n va or constante e igua a Qr = ΦH πR12L, siendo R1 el radio del elemento combu stible o sea 1 lg. Usando entonces la ecuación (1.32) con conductividad y áreas variables obtenemos: T2 dr Qr ⎮ = − ∫ k 0 (1 + aT )dT T1 2πrL R1 R2 R1 ≤ r ≤ R2. ¤ Integrando obtenemos Qr R2 aT 2 ⎤ =T + T1 n ⎥ 2πLk 0 R1 2 ⎦T 2 ¤ ¤   ¤     ¤ ¤ ¤       ¤ ¤ ¤ ¤   ¤ ¤ ¤ ¤   ¤       ¤ ¤   ¤ ¤   ¤ ¤ ¤ ¤   ¤ ¤ ¤ ¤     ¤ ¤   ¤   ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤  ¤   ¤ ¤ ¤ ¤ ¤   ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ 44 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to Como lo que os i teresa es co ocer el valor máximo de la temperatura e la e vo ltura tu ular de alumi io que de e ocurrir e r = R1 despejamos: Φ H πR12 L ln ( R2 r ) + T2 + (a / 2)T22 = T + (a / 2)T 2 2πLk 0 R1 ≤ r ≤ R2 nos ermite encontrar el erfil de tem eratura resolviendo la ecuación cuadrátic a T= 1 − 1 − 9.9 * 10 −4 * C 4.95 * 10 − 4 con C = 1706.7 * ln (1.25 / r ) + 190.1 . Algunos valores son: T [°F] r [plg] 688.14 1.00 567.33 1.05 460.83 1.10 365.47 1.15 279.04 1.20 200.0 0 1.25 De acuerdo con este resultado el diseño es aceptable. Para determinar la tempera tura máxima en la barra de combustible podríamos usar la ecuación (1.25) con r = 0, TS = 688.14 °F y R = 1 plg, pero desconocemos la conductividad térmica del m aterial radioactivo. 1.7. SISTEMAS DE CO DUCCIÓ CO VECCIÓ . Aunque existen muchas situaciones diferentes que envuelven efectos combinados de conducción convección, la aplicación más frecuente es el de una superficie exte ndida que se utiliza específicamente para aumentar la velocidad de transferencia de calor entre un sólido y un fluido adyacente. Estas superficies extendidas se denominan aletas. Consideremos la pared plana de la figura 1.15a. Si TS es fijo , hay dos maneras en las cuales se puede aumentar la velocidad de transferencia de calor. El coeficiente convectivo h puede aumentarse aumentando la velocidad d el fluido, y/o la temperatura del fluido T∞ puede reducirse. Sin embargo, pueden encontrarse muchas situaciones en las cuales aumentar h al máximo valor posible es aún insuficiente para obtener la velocidad de transferencia de calor deseada o los costos asociados son prohibitivos. Estos costos están relacionados a los requerimientos de potencia para el ventilador o la bomba necesitados para aument ar el movimiento del fluido. Es más, la segunda opción de reducir T∞ es frecuent emente ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥  ¥     ¥  ¥  ¥ ¥    45 FE ÓME OS DE TRA FERE CIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento impracticable. Examinando la figura 1.15b, sin embargo, nosotros vemos que exist e una tercera opción. Esta es, la velocidad de transferencia de calor puede aume ntarse aumentando el área superficial sobre la cual ocurre la convección. Esto p uede hacerse utilizando aletas que se extienden desde la pared hacia el fluido d e los alrededores. La conductividad térmica del material de las aletas tiene un fuerte efecto en la distribución de las temperaturas a lo largo de la aleta y po r lo tanto influye en el grado hasta el cual la velocidad de transferencia de ca lor se incrementa. Idealmente el material de las aletas deberá tener una conduct ividad térmica alta para minimizar las variaciones de temperatura desde su base hasta su extremo. En el límite de conductividad térmica infinita, la aleta compl eta estaría a la temperatura de la superficie base, proveyendo por tanto el máxi mo aumento posible de la transferencia de calor. En la figura 1.16 se ilustran varias configuraciones de aletas. Una aleta recta es cualquier superficie extendida fijada a una pared plana. Puede ser de área se ccional transversal uniforme (a) o ésta puede variar con la distancia desde la p ared (b). Una aleta anular es una que se encuentra fijada circunferencialmente a un cilindro y su sección transversal varía con el radio desde la línea central del cilindro (c). Estos tipos de aleta tienen sección transversal rectangular, c uya área puede ser expresada como un producto del espesor de la aleta t y el anc ho w para aletas rectas o la circunferencia 2πr ara aletas anulares. En contras te una es ina o aleta untilla es una su erficie extendida de sección transversa l circular (d). Estas aletas ueden también ser de sección transversal uniforme o no uniforme. En cualquier a licación, la selección de una configuración artic ular de aleta uede de ender del es acio, del eso, manufacturación, y considera ciones de costos, así como de la extensión en la cual las aletas               46 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento reducen el coeficiente convectivo su erficial y aumenta la caída de resión asoc iada con el flujo sobre las aletas. Para determinar la transferencia de calor as ociada con una aleta nosotros debemos rimero obtener la distribución de tem era turas a lo largo de la aleta. Como hemos hecho ara otros sistemas, nosotros com enzamos realizando un balance de energía en un elemento diferencial a ro iado. E l análisis se sim lifica si hacemos ciertas su osiciones. Asumimos condiciones u nidimensionales en la dirección longitudinal, aunque la conducción dentro de la aleta es realmente bidimensional. La velocidad a la cual la energía se trans ort e or convección hacia el fluido desde cualquier unto de la su erficie de la al eta debe ser balanceada or la velocidad a la cual la energía alcanza ese unto gracias a la conducción en la dirección transversal. Sin embargo en la ractica la aleta es delgada y los cambios de tem eratura en la dirección longitudinal so n mucho mayores que esos en la dirección transversal. Aquí nosotros odemos asum ir conducción unidimensional en la dirección z. Nosotros también odemos conside rar condiciones de estado estable y también asumir que la conductividad térmica es constante, que la radiación desde la su erficie es des reciable, que los efec tos de generación térmica están ausentes, y que el coeficiente de transferencia de calor convectivo h es uniforme sobre la su erficie. Consideremos la su erfici e extendida de la figura 1.17. A licando los requerimientos de conservación de l a energía, (ecuación 1.7 sin generación y en estado estable) a un elemento difer encial obtenemos: Qz z + dz + dQconv − Q z z =0 con Q z = − kAz Qz dT dz z + dz = Qz z + dQz dz dz y donde Az es el área transversal, la cual varía con z. La transferencia de calor por convección: dQconv = hdS (T − T∞ ) donde dS es el área superficial del eleme nto diferencial. Sustituyendo en el balance de energía obtenemos d ⎡ dT ⎤ dS ⎢− kAz dz ⎥ + h dz (T − T∞ ) = 0 dz ⎣ ⎦ (1.33)                        47 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to Este resultado os provee u a forma ge eral de la ecuació de e ergía para co di cio es u idime sio ales e la superficie exte dida. Su solució para las co dici o es límite adecuadas os dará la distri ució de temperaturas, la cual co la l ey de ourier os permite calcular la velocidad de co ducció e cualquier posic ió . La forma de ésta distri ució de temperaturas se esquematiza e la figura 1 .18. Note que la mag itud del gradie te de temperatura dismi uye a medida que au me ta z. Esta te de cia es co secue cia de la reducció e la tra sfere cia de c alor por co ducció co el aume to de z de ido a las pérdidas co ti uas por co v ecció desde la superficie de la aleta. 1.7.1. Aletas de área tra sversal u iforme. ara resolver la ecuació (1.33) a terior es ecesario ser más específicos acerc a de la geometría. Come zamos co el caso más simple de aletas recta gulares y d e pu tilla de secció tra sversal u iforme (figura 1.19). Cada aleta esta fija a u a superficie ase de temperatura TS y se extie de hacia u fluido a temperatu ra T∞. ara las aletas prescritas, Az es co sta te, y S = z, do de S es el área superficial medida desde la ase hasta z y es el perímetro de la aleta. Supo ie do k co sta te y co dS = ⋅dz, la ecuació (1.33) se reduce a: d 2T h − (T − T∞ ) = 0 dz 2 kAz (1.34) Para simplificar la forma de ésta ecuación, nosotros transformamos la variable d ependiente definiendo una temperatura en exceso θ = (T − T∞), teniendo presente ue T varía a lo largo de la aleta y ue si T∞ es constante d2T/dz2 = d2θ/dz2 la ecuación (1.34) se transforma en: d 2θ − m 2θ = 0 (1.35) 2 dz Esta ecuación es una ecuación diferencial lineal, homogénea, de segundo orden con coeficientes co nstantes ue puede resolverse por métodos rutinarios (Mickley, Sherwood y Reid, pp. 150). Con m2 = P⋅h/(kAz) y en términos del operador D = d/dz ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ © ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ © ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ © ¥   ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ©   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ©  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ©  48 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento (D2 – m2)θ = (D + m)(D − m)θ = 0 dθ = − mθ ⇉ θ = C1 exp(−mz ) ; dz y son soluciones particulares y la solución general es: θ = C1 exp(mz) + C2 exp(−m z) También, sabiendo ue: senh(mz) = ½(emz – e−mz) la solución (1.36) puede expr esarse como θ = C3 cosh(mz) + C4 senh(mz) o también θ = C5 cosh[m(L−z)] + C6 sen h[m(L−z)] (1.38) (1.37) ; (1.36) cosh(mz) = ½(emz + e−mz) Las constantes Ci deben calcularse con la ayuda de condiciones límites aceptable s. La condición límite de la base no tiene discusión y puede considerarse ue pa ra: z = 0, T = TS; θ = TS − T∞ = θS En el otro extremo, z = L, puede considerarse una de las condiciones siguientes: i. Está transfiriendo calor por convección al fluido de los alrededores. Esto e s, la velocidad a la cual la energía es transferida al fluido por convección des de el extremo debe ser igual a la velocidad con la cual la energía alcanza el ex tremo por conducción a través de la aleta: − kAz(dθ/dz)z=L = hLAzθL; θL = TL − T ∞ (1.39) ii. Como la aleta es delgada podríamos despreciar las pérdidas en su extremo; es decir: (dθ/dz)z=L= 0 (1.40) Esta condición para el extremo corresponde a la suposición de ue las pérdidas c onvectivas desde el extremo de la aleta son despreciables en cuyo caso el extrem o puede ser tratado como adiabático. Esta condición límite parece irrealista pue s correspondería a extremos aislados lo ue no es lógico si lo ue se uiere es disipar        de tal forma ue: dθ = mθ ⇉ θ = C 2 exp(mz ) dz 49 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento calor. Sin embargo, se acepta tomando la altura efectiva como Lef = L + t/2 y Le f = L + D/4 para cilindros (ver figura 1.19). iii. Si la varilla tiene longitud infinita, su extremo L estará en e uilibrio con el medio, es decir para z = ∞, T = T∞. iv. Para z = L, T = TL, constante y conocida. Solución general: (Caso i, extremo convectivo, ecuación 1.39) (1.41) (1.42) θ = C5cosh[m(L−z)] + C6senh[m(L−z)] Aplicando condiciones límite: Para z = 0, θS = C5cosh (mL) + C6senh (mL) Para z = L; dθ dz = − m[C 5 Senh[m( L − z )] + C 6 Cosh[m( L − z )]]z = L = − z=L hLθ L k como senh 0 = 0 y cosh 0 =1 ⇉ kC6m = LθL determinando C6 y C5 se obtiene: cosh[m( L − z )] + (hL / mk ) senh[m( L − z )] T − T∞ θ = = θ S TS − T∞ cosh[mL] + (hL / mk ) senh[mL] (1.43) Si la transferencia de calor en el extremo de la aleta es despreciable, se tiene hL = 0 y la ecuación (1.43) debe entonces coincidir con la solución para el ext remo adiabático (1.40). Nótese también ue el coeficiente de transferencia de la superficie lateral, h, contenido en el parámetro m, no necesariamente es el mis mo ue el coeficiente hL del borde de la aleta. Para z = L, la temperatura en ex ceso del borde es: θL 1 = θ S cosh[mL] + (hL / mk ) senh[mL] (1.44) Calor total transferido por la aleta: De la figura 1.19 es evidente ue el calor transferido puede evaluarse en dos caminos alternativos, y ambos usan la distri bución de temperaturas. El procedimiento más simple es aplicar la ley de Fourier en la base de la aleta.      50 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento QS = − kS (dT/dz)z=0. Así el calor ue fluye a través de la base en z = 0 QS = m kAθ S hL / mk + tanh(mL) 1 + (hL / mk )tanh(mL) (1.45) Sin embargo, la conservación de la energía establece ue la velocidad a la cual el calor es transferido por convección desde la aleta debe ser igual a la veloci dad a la cual es conducido a través de la base de la misma. Consecuentemente, la formulación alternativa Q f = ∫ h[T ( z ) − T∞ ]dS = ∫ hθ ( z )dS = QS S S EJEMPLO 1.6. Se mide la temperatura de un fluido ue avanza en el interior de un conducto circular por medio de un termómetro colocado dentro de una cavidad o p ortatermómetro cilíndrico soldado en el interior de la pared del tubo como se mu estra en la figura (1.20). Si la temperatura del fluido es alta y difiere bastante de la temperatura extern a, la pared del conducto puede estar a una temperatura inferior a la del fluido interno y fluirá calor por conducción desde el portatermómetro hacia la pared de l conducto. El extremo del mismo, donde el bulbo del termómetro (o la unión de l a termocupla) está colocado, podría entonces estar más frío ue el fluido, y la temperatura indicada no sería la verdadera temperatura. Este error puede calcula rse resolviendo la ecuación (1.35) con la condición límite (1.40) y manejando lo s resultados adecuadamente. Solución. Para z = 0, θS = C1 + C2; para z = L, θ’L = mC1exp(mL) − mC2exp(− mL) Resolviendo y reemplazando en (1.36): exp(mz ) exp(− mz ) cosh[m( L − z )] θ = + = θ S 1 + exp(2mL) 1 + exp(−2ml ) cos h(mL) (1.46) A este resultado se llega más fácilmente si se parte de la correlación (1.38). L a diferencia de temperatura en el extremo de la varilla (z = L) es: T −T θ L = T L − T∞ = S ∞ (1.47) cosh(mL)     51 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento El flujo de calor a través de la base de la barra (z = 0) es: QS = −kAS dθ dz ⎡ senh[m( L − z )] ⎤ = mkASθ S ⎢ ⎥ = θS ⎣ cosh(mL) ⎦ z =0 ( hkAS )ta h(mL) (1.47a) z =0 ara ilustrar el caso que os ocupa demos las siguie tes dime sio es al co ducto y al portatermómetro. El tu o tie e 10 cm de diámetro y por él fluye vapor de a gua so recale tado; el portatermómetro es de hierro y tie e diámetro D = 1.50 cm . El vapor está a presió de 1 kg/cm2 y su temperatura es de 315 °C. La velocida d de flujo es 20 m/s. Determi ar la lo gitud del receptáculo que se ecesitaría para producir u error e la medida de la temperatura que sea i ferior al 0.5% d e la difere cia e tre la temperatura del vapor y la temperatura de la pared del co ducto. Calcula do, el coeficie te co vectivo e tre el vapor y el co ducto es de h = 105 W/m2K. La co ductividad térmica del hierro es k = 55 W/m.K ( erry). S i la pared del receptorio tie e espesor e = 0.1 cm el área tra sversal para el f lujo de calor por co ducció e el mismo será: Az = πDe = (π)(1,5)(0.1) cm2. El erímetro es sólo πD = P. −1 m = (hP/kAz)½ = (h/ke)½ = [(105)(100)/((55)(0.1))]1/2 = 43.7 m Se re uiere ue θ L TL − T∞ = ≤ 0.005 θ S TS − T∞ o sea, por la ecuación (1.47): 1/[cosh(mL)] ≤ 0.005 ⇉ co (mL) ≥ 200 ⇉ mL ≥ 5.99 , e ecir, la longitu el portatermómetro erá: L ≥ (5.99/43.7)x100 = 13.71 cm . Como e ta longitu e mayor que el iámetro el tubo, erá nece ario colocarlo oblicuamente con re pecto al eje el con ucto. La ra iación térmica entre la pa re el con ucto y el portatermómetro pue e in ucir un error a icional en la me ición e la temperatura. EJEMPLO 1.7. Una varilla e iámetro D = 25 mm y con uctivi a térmica k = 60 W/ m.K obre ale normalmente e la pare e un orno que e tá a Tw = 200°C y e tá £  ¥ © ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ £ ¥ £ £ ¥    £ ¥ £ ¥ £  £  £ £ ¥ ¥ £ £ £ ¥ £ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  £ £ £ ¥ ¥ ¥ £ £ ¥   ¥ £ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ £ ¥    £  £  £ £  ¥ © ©  52 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento cubierta (la pare ) e un ai lante e e pe or Lai = 200 mm. La varilla e tá ol a a a la pare el orno y e u a como oporte para cargar cable e in trument ación. Para evitar que e añen lo cable , la temperatura e la varilla en la uperficie expue ta, To, ebe mantener e por ebajo e un límite e operación e p ecífico e Tmax = 100°C. La temperatura el aire ambiental e T∞ = 25°C, y el co eficiente e convección e = 15 W/m2.K. a) Derive una expre ión para la temper atura e la uperficie expue ta To como función e lo parámetro térmico y geo métrico e tableci o . La varilla tiene una longitu expue ta Lo y u punta e tá bien ai la a. b) ¿Una varilla con Lo = 200 mm cumplirá con el límite e operaci ón e pecifica o? Si no, ¿qué parámetro e i eño cambiaría? Con i ere otro mate rial, aumente el e pe or el ai lante y la longitu e la varilla. A emá , con i ere cómo unir la ba e e la varilla a la pare el orno como un me io para re ucir To. Solución. D = 25 mm Tomax =100°C k = 60 W/mK T∞ = 25°C Tw = 200°C = 15 W/m2 K Lai = 200 mm To = ? θS = (To − T∞) ⎛ hP ⎞ kAz (Tw − To ) ⎟ a) Q z = hPkAz (T0 − T∞ ) tgh⎜ ⎜ kA Lo ⎟ = Lais z ⎠ ⎝ ⎡ ⎡ ⎛ hP ⎞ kAz ⎤ ⎛ hP ⎞⎤ kAz ⎟ Lo ⎟ + To ⎢ hPkAz tgh⎜ ⎥ = T∞ ⎢ hPkAz tgh⎜ ⎜ kA ⎟ L ⎜ kA Lo ⎟⎥ + Tw L z ais ⎥ z ais ⎢ ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ) T = o (25)⎢ ⎡ 15 π 0.025 60 π 0.0252 15 π 0.025 4 ⎤ 200 60 π 0.0252 Lo ⎥ + tgh 60 π 0.0252 ⎥ 4 0.2 4 ⎢ ⎣ ⎦ ⎡ ⎞ 15 × π 0.0252 ⎤ ⎛ 1 2 3 ⎟ ⎥ ⎢ 225 π 0.025 tgh⎜ ⎜ 0.025Lo ⎟ + 0.2 ⎥ ⎢ ⎠ ⎝ ⎦ ⎣ = Si se usa u material de co ductividad térmica me or que 43 W/m.K o se aume ta e l espesor del aisla te por e cima de 250 mm se alca za las co dicio es estipula das. Si em argo, aume tar la lo gitud Lo o es suficie te por sí sola pues la t a ge te hiper ólica alca za rápidame te su valor límite de la u idad. 1.7.2. Re dimie to de las aletas. Es muy importa te poder reco ocer las co dicio es para las cuales es ve tajoso c olocar ála es e u a superficie. Au que so varios los pu tos de vista que se po dría te er e ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  25 0.1588 + 200 0.1473 = 109.21o C > 100 o C 0.1588 + 0.1473  £  £      £  £ £ £ £     £    £   £  £ £ £ £  £  £  £  £       £ £ £     £     £  £ £ £ £   £   £ £ £ £ £   £  £     £    £ £   £ £  £  53 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to cue ta, el primero es determi ar cua do se i creme taría el flujo de calor utili za do aletas. El límite está dado por la relació (dQS/dL) = 0. Usa do la expres ió (1.45) y co sidera do que los factores k, Az, m y θS son constantes, basta c on diferenciar la parte fraccionaria de la ecuación. El resultado de la diferenc iación, (f/g) = (gf − fg )/g2, se hace cero cuando el numerador es cero ó el d enominador se hace infinito. Esta última condición es satisfecha trivialmente pa ra k = 0. Considerando el numerador: [1+(hL/m.k) tanh(mL)][m/cosh2(mL)] − [(h2/m .k) + tanh(mL)][(hL/k)/cosh2(mL)] = 0 ue se simplifica a [m − (hL2/m.k2)] = 0. Remplazando m por su valor y haciendo h = hL: 2k/ht—= 1 ó 1/h—= (t/2)/k El térmi no iz uierdo corresponde a la resistencia convectiva y el de la derecha a la res istencia térmica por conducción de una pared plana de espesor igual a la mitad d el espesor de la aleta. Cuando ambas resistencias son iguales se alcanza el lími te más allá del cual las aletas son inútiles. En la práctica se sugiere utilizar superficies alabeadas siempre y cuando se cumpla ue 2k/ht > 5. También se pued e demostrar (Eckert) ue el flujo máximo de calor a través de una aleta rectangu lar de un peso dado se obtiene cuando: L ⎛ 2k ⎞ = 1.419 ⎜ ⎟ (t / 2) ⎝ ht ⎠ y el exceso de tempe atu a en el ext emo es θL = 0.457 θS, lo ue nos da una manera d e probar si la altura óptima se ha obtenido. Se pueden definir dos maneras de ca lcular el rendimiento de una aleta: 1) Eficiencia con respecto al área de la bas e sin aleta o efectividad εf, y 2)Efici ncia r lativa a una al ta similar d con ductividad térmica infinita, ηf. Para aleta e ección tran ver al con tante, p ara el ca o (1) el calor que la ba e tran mitiría in la aleta Q = AzθS, y la eficacia sería, usando condiciones límite (ii): ⎛ kP ⎞ =⎜ (1.48) εf = ⎜ hA ⎟ tanh(mL) ⎟ hAzθ S ⎝ z⎠ En el caso (2), la conductiv idad infinita equivale a que toda la aleta se encuent e a tempe atu a unifo me e igual a la de la base, de tal mane a que: θS (PhkAz ) tanh(mL) 0.5   ¢     ¥    ¥ ¢  ¥     ¥   ¥ £ ¢ ¥   ¢ ¥  ¥    ¥   ¥ ¥    ¥    ¥   ¥ ¥ ¥  54 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ηf = θ S PhkAz tanh( mL) tanh( mL) = hLPθ S mL (1.49) 1.7.2.1. Eficacia de la aleta. Sabemos ue las aletas se utilizan para aumentar la transferencia de calor desde una superficie aumentando el área superficial efectiva. Sin embargo, la aleta m isma representa una resistencia conductiva a la transferencia de calor desde la superficie original. Por ésta razón, no hay seguridad de ue la velocidad de tra nsferencia de calor pueda aumentarse con el uso de aletas. Un aseguramiento de é sta situación puede hacerse evaluando la eficacia de la aleta. Esto se define co mo la relación de la transferencia de calor desde la aleta a la transferencia de calor ue existiría sin la aleta. εf = Qf hAzθ S (1.50) donde Az es el área transversal de la base de la aleta. Para cual uier diseño ra cional el valor de la eficacia debe ser lo más grande posible, y en general, el uso de aletas puede difícilmente justificarse a menos ue εf ≥ 2. Aunqu la inst alación d al tas pu d alt rar l co fici nt conv ctivo sup rficial, st f c to normalm nt s d spr cia. D aquí, suponi ndo qu l co fici nt conv ctivo d la sup rfici con al tas s quival nt al d la bas sin al tas, s sigu d la aproximación d la al ta infinita ( cuación (1.48) con tanh ∞ = 1): ⎛ kP εf = ⎜ ⎜ hA ⎝ z ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 0.5 (1.51) Va ias tendencias impo tantes pueden infe i se de éste esultado. Obviamente, la eficacia de la aleta se aumenta po la selección de un mate ial de alta conduct ividad té mica. Aleaciones de aluminio y cob e vienen a la mente, sin emba go, a unque el cob e es supe io desde el punto de vista de la conductividad té mica, las aleaciones de aluminio son la elección más común debido a los beneficios adi cionales elativos a un meno costo y peso. La eficacia de la aleta es también a umentada aumentando la elación del pe ímet o al á ea t ansve sal. Po ésta azó n el uso de aletas delgadas pe o muy poco espaciadas, es p efe ido, con la p evi sión de que el espacio ent e las aletas no se eduzca a un valo pa a el cual el flujo ent e las aletas es seve amente impedido, educiendo el coeficiente conve ctivo. También la exp esión sugie e que las aletas se justifican en condiciones pa a las cuales el coeficiente convectivo h es pequeño. Es evidente que la neces idad de aletas es mayo cuando el fluido es un gas que cuando es un líquido y pa ticula mente cuando la supe ficie ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢                              ¢ ¢ ¢ ¢       ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢               ¢     ¢ ¢ ¢ ¢           ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢                         ¢ 55 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento t ansfie e calo po convección lib e. Si las aletas van a usa se en una supe fi cie que sepa a un gas y un líquido, gene almente se colocan en el lado del gas, que es el de meno coeficiente convectivo. Esta ecuación (1.48) nos da además un límite mayo pa a la efectividad, el cual se alcanza cuando L se ap oxima al in finito. Cuando conside amos una aleta adiabática obse vamos que tanh(2.3) = 0.98 , es deci que el 98% del máximo calo posible se alcanza pa a m.L = 2.3. Po lo tanto no tiene mayo sentido aumenta la longitud de las aletas mas allá de L = 2.3/m.                                                         56 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento               57 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 1.7.2.2. Eficiencia de las aletas. La exp esión (1.49) nos da la eficiencia pa a una aleta de sección t ansve sal u nifo me y bo de adiabático. Este valo se ap oxima a sus máximo y mínimo valo es de 1 y 0, cuando L se ap oxima a 0 e ∞ espectivamente. Esta exp esión es sufic ientemente ap oximada pa a ext emos convectivos si co egimos la longitud usando LC = L + t/2 en aletas ectangula es y pa a aletas en fo ma de clavo o espina L C = L + D/4. El e o asociado con esta ap oximación es desp eciable si ht/k o h D/2k ≤ 0.0625 = (1/16). Si el ancho de una aleta ectangula es mucho mayo que su espeso , es deci w >> t, el pe ímet o puede ap oxima se po P = 2w, y usando un á ea co egida pa a el pe fil AP = LCt: ⎛ Ph mLC = ⎜ ⎜ kA ⎝ z ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1/ 2 ⎛ 2h ⎞ LC = ⎜ ⎟ ⎝ kt ⎠ 1/ 2 ⎛ 2h LC = ⎜ ⎜ kA ⎝ P ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1/ 2 L3 / 2 C Con f ecuencia, como se obse va en la figu a 1.22, se exp esa la eficiencia de u na aleta ecta con convección en el ext emo como función del pa ámet o LC3/2(h/k AP)1/2. 1.7.3. Aletas de á ea t ansve sal va iable. 1.7.3.1. Aletas ectas de pe fil t i angula . Al t ata de encont a la aleta óptima se puede p egunta si se gana algo cambia ndo el á ea seccional de la aleta, de ectangula , a ot a fo ma. Vamos a conside a aletas ectas de pe fil t iangula (figu a 1.23). El t atamiento matemático es simila al de las aletas ectangula es excepto en que el á ea pe pendicula a l flujo de calo es función de la distancia a lo la go de la aleta, dec eciendo a medida que la longitud aumenta. Conside ando conductividad y coeficiente conve ctivo constantes, la ecuación (1.33) se esc ibe: d ⎡ dT ⎤ hdS Az = (T − T∞ ) dz ⎢ dz ⎥ kdz ⎣ ⎦ (1.52) El área tra sversal puede expresarse e cualquier pu to como el producto ew sie do e el espesor que varía li ealme te co z desde cero hasta t: e = (tz/L) y Az = tw (z/L); y el área de la superficie e co tacto co el aire dS = 2wdz/cosγ, s iendo γ la mitad del án ulo subtendido por la aleta. Reemplazando en (1.52): ¥                                                          ¥ ¥                   ¥               ¥ ¥           ¥         ¥               ¥           !                           ¥                             58 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento d 2θ 1 dθ θ + −ξ = 0 2 dz z dz z (1.53) donde ξ = 2hL/ktcosγ. y θ = (T − T∞). La ecuación (1.53) es una ecuación de Bess el modificada. Para compararla con la ecuación eneralizada ue se presenta en e l apéndice correspondiente la escribimos como: z2 d 2θ dθ +z − ξ zθ = 0 2 dz dz Encontramos ue a = 1, b = 0, c = 0, d = − ξ, s = 1/2, p = 0, r = 0. La solución es entonces θ = C1 I0[(2 (ξz)½] + C2 K0[(2 (ξz)½] (1.54) Debido a ue la temperatura de la aleta debe permanecer en un valor finito cuand o z = 0 la constante de inte ración C2 debe ser cero pues K0(0) → ∞ mientras I0( 0) = 1. La otra condición límite se refiere a la temperatura en la base de la al eta: θ = θs para z = L. Introduciendo en la ecuación (1.54) podemos determinar l a otra constante: C1 = θS I 0 [2 ξ L ] La e presión final para la distribución de temperaturas se convierte en: I [2 ξ z ] θ = 0 θ S I 0 [2 ξ L ] (1.55) El flujo de calor se determina de la ley de conducción de Fourier y la primera d erivada de la ecuación (1.55), recordando ue la derivada de la función modifica da de Bessel de orden cero y primera clase I0(z) es I1(z): QS = ktw dθ dz = w 2hktθ S z=L I1 ( 2 ξ L ) I 0 (2 ξ L ) (1.56) La má ima transferencia se obtiene cuando: 1 ⎛ 2k ⎞ = 1.309⎜ ⎟ . t/2 ⎝ ht ⎠  !  !   " " 59 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento La tempe atu a de exceso en el bo de del alabe es θL = 0.277 θs. El peso ahorrad o usando aletas trian ulares es del 44 %. Se encuentra en la literatura (Eckert y Drake) ue las aletas de mínimo peso deben tener perfiles construidos con arco s de circunferencia. Sin embar o, la diferencia en peso con respecto a los alabe s de perfil trian ular es muy pe ueña y como la forma trian ular es más sencilla de manufacturar, se puede considerar la mejor forma. 1.7.3.2. Aletas cónicas. Son aletas tipo clavo de sección transversal variable. Partiendo de la ecuación (1.33): d ⎡ dT ⎤ dS ⎢− kAz dz ⎥ + h dz (T − T∞ ) = 0 dz ⎣ ⎦ Az = πr2; r varía li nealmente con z, la distancia desde su á ice hacia la base: r = Rz/L. El área la teral dS = 2πr(dz/cosγ) = 2π(Rz/L)(dz/cosγ) con γ i ual a la mitad del án ulo su btendido por el cono, R el radio de su base y L la altura del mismo. Reemplazand o en la ecuación del balance, diferenciando el producto y simplificando d 2θ dθ z + 2z − ξ zθ = 0 2 dz dz 2 donde ξ = 2hL/kRcosγ y θ = (T − T∞). Comparando con la solución eneralizada de la función Bessel (ver apéndice) observamos ue se satisface si a = 2, b = 0, c = 0, d = −ξ, s = 1/2, r = 0. Reemplazando estos valores obtenemos p = 1, d0.5/s ima inario por lo cual la solución será θ = z−1/2´{C1 I1[(2 (ξz)½] + C2 K1[(2 (ξz)½]} Como K1(0) → ∞ y la temperatura debe tener valores finitos en todos sus puntos C 2 = 0. En la base de la aleta, cuando z = L, θ = θS. Con esta condición C1 = θS L I 1 2 ξL ( ) y el perfil de temperatura viene dado por   ! !   !   !            ! ! !        ! 60 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento θ ⎛L⎞ =⎜ ⎟ θS ⎝ z ⎠ 1/ 2 ( I (2 1 I1 2 ξ z ) ξ L) Z = J ,Y , K Z=I Para hallar el flujo de calor desde la aleta y posteriormente su eficiencia nos basamos en ⎧− αx − p Z p +1 (αx) d −p ⎪ x Z p (αx) = ⎨ − p dx ⎪αx Z p+1 (αx) ⎩ [ ] H ciendo α = 2ξ1/2 y = z1/2 ⇉ x/ z = (1/2)z−1/2 y: z −1/ 2 I1 2 ξ z = −1 I1 (αx ) ( ) dθ ⎛L⎞ = 2θ S ξ ⎜ ⎟ dz ⎝z⎠ 1/ 2 I2 2 ξ z ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ I1 2 ξ L ⎣ 2 z ⎦ ( ( ) ) Te ie do prese te que el calor disipado por u a aleta ideal (que tie e la temper atura de su superficie a la temperatura de la ase TS) es Qif = hAfθS y aplicand o la ley de Fourier para determinar el calor QS disipado desde la aleta real a t ravés de su base ubicada en z = L, encontramos la eficiencia de la aleta cónica: ⎛ ⎞ 2h ⎟ I2⎜ 2 ⎜ Rk cos γ L ⎟ QS 2kπR θ S 2hL / Rk cos γ ⎝ ⎠ = η= Qif ⎛ ⎞ 2 L hπ R(L / cos γ )θ S 2h I1 ⎜ 2 L⎟ ⎜ Rk cos γ ⎟ ⎝ ⎠ 2 ( ) Simplificando ⎛ ⎞ 2h I2 ⎜ 2 L⎟ ⎜ Rk cos γ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2h 2h ⎟ L I1 ⎜ 2 ⎜ Rk cos γ L ⎟ Rk cos γ ⎝ ⎠ η= Debe notar e que i L >> R, co γ → 1. Se hallan otras formas de aletas, pero en eneral el calor transferido se puede calcular usando dia ramas de eficiencias, ¥ ! ¥ £ £  " "  ¥  ¥ ¥ ¡ ! comunes en los libros de transferencia de calor y en manuales. 61 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento La transferencia de calor total desde una superficie con aletas se encuentra sum ando el calor transferido desde la superficie de las aletas y el calor transferi do desde la superficie libre de aletas AS así: QT = Nηf AfθS + hASθS. A uí se su pone ue el coeficiente convectivo es i ual para la superficie con aletas ue pa ra la sin aletas, N es el número de aletas y ηf y Af e la eficiencia y el área uperficial e una aleta re pectivamente. 1.7.4. Aleta e enfriamiento por convección natural. Si el aire en contacto con la aleta no e tá forza o a mover e, por ejemplo por u n ventila or, u movimiento erá por convección natural, e ecir, u movimiento e originará en la iferencia e en i a cau a a por la iferencia e tem peratura. Entonce , , el coeficiente e proporcionali a en la “ley e Newton el enfriamiento” que epen e e la propie a e y inámica el flui o, erá func ión e lo gra iente e en i a o in irectamente e ∆T. Pa a una aleta de enf iamiento esto significa que h en la ecuación (1.34) no se á constante, pues los g adientes de tempe atu a ce ca a la base se án mayo es que en el ext emo de la aleta donde la tempe atu a de ésta está más ce cana a la del ai e. Existen mucha s co elaciones que p oveen h en función de ∆Tn. En la tabla 6 del apéndice sob e coeficientes convectivos, se obse va que un valo típico pa a convección natu al lamina es de n = ¼. Si volvemos a analiza el compo tamiento de la aleta con side ando h va iable obse vamos que la ecuación (1.34) todavía es válida puesto que el balance de ene gía se tomó al ededo de un elemento de volumen dife encia l donde las p opiedades son constantes. Sin emba go, al esolve la debemos tene en cuenta la va iación de h. d 2T Ph − (T − T∞ ) = 0 dz 2 kAz Tomando h = C(T T∞)0.25 donde C es la constante de p opo cionalidad, d 2T PhC − (T − T∞ )1.25 = 0 2 kAz dz Esta ecuación dife encial ya no es lineal y gene almente se á necesa io usa técnicas numé icas pa a esolve la. Existen paquetes de softwa e pode o sos pa a esolve ecuaciones dife enciales no lineales como esta. Uno fácilmente disponible es el ODE en Matlab. Ot o es el paquete de cómputo basado en Windows desa ollado pa a los textos “Fundamentals of Heat and Mass T ansfe ” e “Int od uction to Heat T ansfe ” de Inc ope a y De Witt (cua ta y te ce a edición espec tivamente), como he amienta de p oductividad y ap endizaje denominado Inte acti ve Heat T ansfe (IHT). Este Softwa e, desa ollado en         £           £          £    £                                                                                                               £ £  £ £ £ £ £  £ £ £ £ £ £ £  £ £     £   £ £ £ £ £ £ £    £  £   !  £ £            £          £      62 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento colabo ación con Intel. P o. Inc. De New B unswick, New Je sey, está integ ado c on estos textos, usando la misma metodología y nomenclatu a. EJERCICIOS. 1. Calcule el flujo de calo en estado estable a t avés de un bloque de cob e de 10 cm de espeso , un lado del cual se mantiene a 0 °C mient as el ot o se manti ene a 100 °C. La conductividad té mica puede supone se constante en 380 W/m.K. 2 . Tenemos un cilind o de vid io de 1.3 mm de diámet o y 1 m de longitud. Uno de sus ext emos se mantiene al punto de ebullición no mal del tolueno, 110.6 °C. El ot o ext emo se fija a un bloque de hielo. La conducción longitudinal en la ba a es de estado estable. El calo de fusión del hielo es 79.7 cal/g. La conducti vidad té mica del vid io es 0.86 W/m.K. Suponga que no se pie de calo desde la supe ficie expuesta de la ba a. Encuent e: a. La cantidad de calo t ansfe ido en J/s. b. El núme o de g amos de hielo que se funden en 30 minutos. 3. Un t aba jado desea medi la conductividad té mica de la tube ía utilizada en un p oceso . Una pequeña muest a de la tube ía se aisló tanto en su inte io como en su ext e io . El t abajado mantuvo el ext emo supe io del tubo a 10 °C. y el ext emo infe io a 0 °C. Encont ó que se t ansfi ie on 3.2 Btu/h desde la pa te supe io a la pa te infe io midiendo la cantidad de hielo que se de itió en un tiempo dete minado, bajo condiciones de estado estable. El tubo e a de 2 plg. cédula 40 , y 5 pl. de longitud. Las ca acte ísticas de esta tube ía son: diámet o inte io 2.067 pl.; espeso de la pa ed 0.154 pl. Dete mine la conductividad té mica. 4 . Una va illa de estaño de 100 mm de longitud y 5 mm de diámet o se extiende ho izontalmente de un molde a 200 °C. La va illa está en un ai e ambiental con T∞ = 20°C y h = 30 W/m2 K. ¿Cuál es la tempe atu a de la va illa a 25, 50 y 100 mm d el molde? kSn = 59 W/m.K 5. A fin de educi las pé didas de calo a t avés de l a pa ed ve tical de la cáma a de combustión de un ho no, y mejo a así su endim iento, se aplica una capa plana de un mate ial aislante cuya conductividad calo ífica es k = 0.435 kJ/h m K. Si estas pé didas de calo se educen a 7550 kJ/h.m 2 y las tempe atu as de las ca as inte na y exte na del aislante son de 1225 y 3 45 K, espectivamente, dete mina : a. El espeso del aislante utilizado. b. La d ist ibución de tempe atu a en el mismo. G afíquela.                                                                                                                                                                                                                                                           63 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 6. Se desea aisla té micamente un tubo po el que ci cula vapo de agua satu ad o, con objeto de evita en lo posible pé didas de calo y condensaciones. El mat e ial aislante tiene conductividad calo ífica k = 0.418 kJ/h.m.K. y la tempe atu a de los al ededo es pe manece constante e igual a 293 K. Si el coeficiente de t ansmisión de calo exte no pa a todo el tubo aislado puede supone se independi ente del diámet o exte no del mismo. ¿es posible que en algún momento el inc eme nto de espeso del aislante aumente las pé didas de calo ?. En caso afi mativo d ete mine: a. El espeso c ítico del aislante. b. El caudal de calo máximo pe di do con el espeso c ítico. Haga un g áfico de espeso cont a flujo de calo . Dat os: Tvap H2O = 393 K. Diámet o exte no del tubo 0.01 m. Coeficiente exte no h = 41.87 kJ/h.m2.K. Desp ecie la esistencia de la pa ed del tubo. 7. Las pa edes d e un ho no esfé ico de un met o de diámet o inte no están fo madas po una capa de mate ial ce ámico de 10 cm de espeso . Las tempe atu as de las supe ficies in te na y exte na de la pa ed se mantienen constantes a 373 y 353 K, espectivamen te. Dete mina : a. La dist ibución de tempe atu as en la pa ed ce ámica (analíti ca y g áficamente). b. El flujo de calo en la supe ficie inte na. c. El caudal de calo t ansfe ido. Datos: Conductividad calo ífica de la pa ed de ce ámica k = 8.4 kJ/h.m.K. 8. Conside e una pa ed de cob e (k = 375 W/m.K.) de 1 cm de espe so la cual está expuesta po una de sus supe ficies a vapo de agua condensándo se (h = 10000 W/m2K) a una tempe atu a de 200 °C. La ot a supe ficie está en con tacto con ai e ambiente (h = 5 W/m2K) a una tempe atu a de 25 °C. a. Calcule el calo po unidad de á ea t ansfe ido a t avés de la placa. b. Dete mina la temp e atu a en ambas supe ficies de la pa ed. 9. Las tempe atu as de las supe ficies inte io y exte io de una pa ed plana de 0.60 m de espeso se mantienen consta ntes a 773 K y 323 K, espectivamente. El mate ial de la pa ed tiene conductivid ad calo ífica que va ía linealmente con la tempe atu a, de acue do con la exp es ión k = 0.42[0.454 + 0.002T] kJ/h.m.K. Dete mina : a. El punto en que dife i á m ás el pe fil eal de tempe atu as del que existi ía si la pa ed fue a de conduct ividad calo ífica constante e igual a 0.42 kJ/h.m.K. b. La dife encia ent e ambo s valo es en dicho punto. Hágalo analítica y g áficamente. Demuest e que en este caso q = kma (T1 T2), siendo kma la conductividad té mica calculada a la temp e atu a media a itmética de la pa ed. 10. Una ba a delgada de longitud L tiene sus ext emos conectados a dos pa edes cuyas tempe atu as son T1 y T2 espectivam ente. La ba a disipa calo hacia un fluido cuya tempe atu a es T∞. Si el á ea d e sección t ansve sal de la ba a es A, el pe ímet o es P, su conductividad k y el coeficiente de t ansfe encia de calo es h, dete mine:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               64 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento a. La dist ibución de tempe atu as en la ba a. b. El calo disipado. 11. Un ala mb e de cob e de 1.5 mm de diámet o está unifo memente aislado con un mate ial p lástico, de fo ma que el diámet o exte no del conducto aislado es de 3.5 mm. El conducto está expuesto a un ambiente a 18 °C. El coeficiente de t ansfe encia de calo desde la supe ficie exte io del plástico hacia los al ededo es es 2.04 x10−4 cal/cm2.s.°C. ¿Cual es la máxima co iente, en ampe ios, que en égimen es taciona io puede conduci este alamb e sin que se sob epase en ninguna pa te del plástico el límite de ope ación de 93 °C? Las conductividades calo íficas y elé ct icas pueden conside a se constantes siendo sus valo es. k (cal/s.cm.°C) cob e plástico ke (Ω.cm) 1 0.90 8.27x10 4 5.1x10 0.0 5 A pa ti del pe fil de tempe atu a en el conducto , dete mine el flujo de calo en la supe ficie del mismo así como su tempe atu a máxima. 12. Se instaló una cu ña cónica de cob e en una pa ed aislada. Las dimensiones del cono t unco son 0.5 pie de diámet o meno y 1 pie de diámet o mayo . La distancia ent e bases es 1. 1 pie. Asuma conductividad constante en 15 Btu/h .pie.°F. Dete mine las pé didas de calo a t avés de esta cuña si a. La tempe atu a de su ca a meno es 70 °F y la de su ca a mayo 140 °F. b. Si se invie ten los valo es ante io es. c. Si la cuña es cilínd ica con diámet o 1.25 pie. Desp ecie los efectos bidimensionales y asuma flujo de calo constante. Dete mine los pe files de tempe atu a en todo s los casos. 13. Un te mómet o de vid io (ε = 0.96) stá ins rto n un conducto circular grand , n ángulo r cto con la par d. El bulbo d l t rmóm tro ti n 0.2 5 plg. d diám tro y stá n l c ntro d l conducto. El air fluy a una v locid ad tal qu l co fici nt conv ctivo val 20 Btu/hr.pi 2.°F. a) Si la t mp ratur a d la sup rfici s 800 °F y l t rmóm tro marca 300 °F, ¿Cuál s la t mp ratu ra d l gas? b) Si una laminilla d plata (ε = 0.03) s nvu lv alr d dor d l t rmóm tro, ¿cuál s la nu va l ctura d l t rmóm tro? 14. La luz d l sol pasa a tr avés d una v ntana d vidrio v rtical para la cual la transmisividad s 0.8, la absortividad 0.18 y la r fl ctividad 0.02. La constant solar s 442 Btu/hr.pi 2 normal a la radiación y d sta n rgía l 80% alcanza la sup rfici d la ti rra y da sobr la v ntana. En un lado d la v ntana la t mp ratura d l air s 8 0°F y n l otro lado s d 30°F. D spr ciando todos los f ctos térmicos d bido s a la r rradiación, d t rmin la t mp ratura d stado stabl d la v ntana cu ando la luz d l sol ll ga a la v ntana n un ángulo d 45° s xag simal s. ¢ ¢ ¢     ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢                                           ¢ ¢ ¢ ¢       ¢ ¢ ¢     ¢   ¢ ¢         ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢                      ¢                                                                                                     Los co fici nt s conv ctivos para cada lado d la v ntana pu d n d t rminars a partir d la cuación simplificada h = 0.16(∆T)0.3 donde ∆T es la dife encia de tempe atu a en °F ent e la ventana y el ai e, y h es el coeficiente convectivo e xp esado en Btu/h .pie2°F. Suponga que el vid io de la ventana tiene la misma te mpe atu a en todos los puntos. La constante de Stefan Boltzmann puede toma se co mo0.1714x10−8 Btu/h .pie2.°R4. 15. Conside e un ecipiente aislado té micamente que contiene una pequeña cantidad de agua. Si la supe ficie lib e del agua queda expuesta al ai e lib e du ante una noche despejada y la tempe atu a ambiente es de 40 °C, calcule la tempe atu a de equilib io que alcanza el agua en el ecipi ente. Suponga que el coeficiente de t ansfe encia de calo en la supe ficie del agua es igual a 5 W/m2K, que la tempe atu a efectiva del espacio es del o den de 0 K y que tanto el agua como el espacio se compo tan como cue pos neg os. 16. U n te mopa de 0.8 mm de diámet o se emplea pa a medi la tempe atu a del ai e en un ho no eléct ico. La lectu a del te mopa es de 150 °C. Se sabe, sin emba go, que el flujo de calo po adiación que ecibe el te mopa de las pa edes del h o no es igual a 0.001 W/cm de longitud. El coeficiente de t ansfe encia de calo en el te mopa es igual a 5 W/m2K. Estime la tempe atu a co ecta del ai e en e l ho no. 17. Po un conducto eléct ico de cob e de 2 cm de diámet o, ecubie to po un mate ial aislante de 9 cm de espeso , ci cula una co iente eléct ica de 1280 ampe ios de intensidad. Sabiendo que la tempe atu a en la supe ficie exte io del aislante es de 303 K, calcula : a. Los pe files de tempe atu a en el con ducto y en el aislante. b. La tempe atu a máxima del conducto . El caudal de ca lo disipado a t avés de la supe ficie del conducto po met o de longitud del m ismo. Datos: Resistividad eléct ica del conducto ρe = 6.1311x10−6 Ω.m.; Conduct ividad calo ífica del conducto km =1380 kJ/h.m.K.; Conductividad calo ífica del aislante ka = 0.60 kJ/h.m.K. 18. Un cono t uncado de aluminio mide 2 cm de diám et o en su pa te más pequeña, 3 cm de diámet o en su pa te más ancha y 10 cm de altu a. Si la supe ficie late al se encuent a aislada, la tempe atu a en la supe ficie de diámet o meno es igual a 300 °C, y la tempe atu a en la supe ficie de diámet o mayo es igual a 100 °C, calcule el calo t ansfe ido po conducción a t avés del cono. Suponga que la conductividad té mica del aluminio es igual a 2 15 W/m.K. 19. Las pa edes exte io es de una casa están const uidas con una capa de 4 pl. de lad illo, ½ plg. de celotex, un espacio de ai e de 29/8 de plg. y ¼ de pl. de ecub imiento de made a. Si la supe ficie exte io del lad illo se enc uent a 30 °F y la supe ficie inte io del enchape a 75 °F, cual es el flujo de c alo si: ¢ 65 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro B tancourt rajal s Transf r ncia mol cular d calor masa y cantidad d movimi nto       ¢             ¢                     ¢ ¢                           ¢ ¢ ¢ ¢                                                     ¢ ¢                     § ¢                                         ¢         ¢                       ¢           ¢                               ¢ ¢ ¢ ¢ ¢                                                   66 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento a. El espacio de ai e se supone t ansfie e calo solo po conducción?. b. La con ductancia equivalente del espacio de ai e se toma como 1.8 Btu/h .pie.°F?. c. El espacio de ai e se llena con lana de vid io?. Las p opiedades de los dife entes mate iales son: klad illo= 0.38; kcelotex= 0.028 Btu/h .pie.°F; kai e= 0.015 Bt u/h .pie.°F; kmade a= 0.12 Btu/h .pie.°F; klana= 0.025 Btu/h .pie.°F. Vuelva a esolve este p oblema si en luga de conoce las tempe atu as supe ficiales sabe mos que las tempe atu as del ai e afue a y adent o son 30 °F y 75 °F, y los coef icientes convectivos de t ansfe encia de calo son 7 Btu/h .pie2.°F y 2 Btu/h .p ie2.°F, espectivamente. Cuales son aho a las tempe atu as en las supe ficies ex te io es? 20. Una tube ía de 1.5 plg de diámet o exte no está cubie ta con dos c apas de aislante, cada una de una pulgada de espeso . La conductividad té mica d e uno de los mate iales es 5 veces la del ot o. Suponiendo que estos valo es no cambian con la tempe atu a, ¿qué dife encia en t ansfe encia de calo hab á po c entualmente si se coloca el mate ial mejo aislante mas ce ca o más lejos de la pa ed? Tome k2 = 5k1 donde el mate ial con k1 es el mejo aislante. La longitud del conducto es L. Debe á halla [(Qb − Qa)/Qb]x100. Saque conclusiones. 21. Un a lamb e metálico no aislado conduce 900 ampe ios de elect icidad. El diámet o del alamb e es 0.50 plg y su conductividad té mica es 10 Btu/h .pie.°F. La esisten cia al flujo de la elect icidad es 0.00015 ohmio po cada pie de longitud. Si el coeficiente convectivo en la supe ficie es 6.0 Btu/h .pie2.°F y la tempe atu a ambiente es 65 °F, calcule la tempe atu a en el cent o del alamb e. 22. Una chim enea de 3 pies de diámet o contiene un gas con 5% de CO2 a 2000 °F y una atm de p esión total. El coeficiente convectivo ent e el gas y la supe ficie ef acta i a es 1.5 Btu/h .pie2.°F. Si la supe ficie está a 1900 °F y tiene emisividad 0.8, calcule el calo t ansfe ido po adiación y convección ent e el gas y la supe ficie. 23. Una ba a la ga pasa a t avés de la abe tu a de un ho no con tempe at u a 400 °C y está p esionada fi memente cont a una supe ficie sólida. Te mocupla s colocadas a 25 y 120 mm de ésta supe ficie egist an tempe atu as de 325 y 375 °C espectivamente. Cuál es la tempe atu a de la supe ficie? Asuma coeficiente convectivo h = 10 W/m2.K. La conductividad té mica de la ba a es 200 W/m.K. 24. Conside e una supe ficie extendida de sección t ansve sal ectangula con las s iguientes dimensiones: longitud igual a 3.5 cm, ancho igual a 3.0 cm y espeso i gual a 0.2 cm. Si                                                                                                                                                                                                                                                                                             67 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento la aleta es de aluminio (k = 205 W/m.K.), el coeficiente p omedio de t ansfe enc ia de calo es igual a 600 W/m2K, la tempe atu a en la base es igual a 135 °C y la tempe atu a del ai e ambiente es igual a 40 °C, calcule el calo disipado po la aleta. 25. Un ext emo de una ba a de cob e muy la ga se conecta con una pa ed que tiene tempe atu a de 400 °F, mient as que el ot o ext emo asoma hacía un cua to cuya tempe atu a es de 70 °F. a. Estime el calo pe dido po la ba a si ésta tiene 1/4 de pulgada de diámet o y si el coeficiente de t ansfe encia de ca lo ent e su supe ficie y el ai e que la odea es igual a 5 Btu/h.pie2 °F. b. T abaje de nuevo el p oblema ante io pa a el caso de la aleta con ext emidad aisl ada. Conside e que la longitud de la aleta es de 6 pulgadas. c. Dete mine la efi ciencia la aleta desc ita inicialmente, si su longitud fue a de 6 pulgadas. 26. La tempe atu a de un gas caliente que fluye en una tube ía se mide po una te mo cupla fija al fondo de un po tate mómet os colocado pe pendicula mente a la pa e d del tubo. Este po tate mómet os penet a 2.5 plg al inte io de la tube ía y el espeso de su pa ed es de 0.035 plg. Encuent e la tempe atu a del gas si la te mocupla ma ca 375 °F cuando la tempe atu a de la pa ed es 175 °F. La conductivid ad té mica del mate ial del po tate mómet os es 200 Btu/h .pie.°F y el coeficien te convectivo con el gas es 24 Btu/h .pie2.°F. Nota: Obse ve que la te mocupla n o indica la tempe atu a co ecta del gas debido a la conducción de calo a lo la go del po tate mómet o hacia la pa ed del tubo más f ía. 27. Compa e las veloci dades de t ansfe encia de calo a t avés de una muest a de made a de pino blanco cuando la t ansfe encia es t ansve sal a la fib a y cuando es pa alela a la fib a. La conductividad té mica pa a el p ime caso es 0.087 Btu/h.pie.°F y pa a el segundo caso 0.20 Btu/h.pie.°F. 28. Una va illa cilínd ica muy la ga, de 3 cm d e diámet o, está pa cialmente inse ta en un ho no con uno de sus ext emos expues to al ai e de los al ededo es, el que se encuent a a 300 K. Las tempe atu as med idas en dos puntos distanciados 7.6 cm son 399 K y 365 K, espectivamente. Si el coeficiente convectivo de t ansfe encia de calo es h = 17 W/m2.K, dete mine la conductividad té mica del mate ial de la va illa. 29. El elemento combustible d e un eacto nuclea de fisión está fo mado po ba as cilínd icas de 0.1 m de d iámet o ecubie tas po una vaina de una aleación de aluminio de 0.01 m de espes o . La ene gía p oducida po unidad de volumen y tiempo en el inte io de la ba a combustible se puede exp esa de fo ma ap oximada mediante la ecuación: 2 ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ 7 Φ HN = 5 x10 ⎢1 − 0.5⎜ ⎟ ⎥ ⎝ 0.05 ⎠ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               68 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to sie do ΦΗΝ la energía producida por unidad de volumen y tiempo en kJ/h.m3, y r l a distancia al centro de la barra combustible en metros. Calcular la temperatura máxima que se alcanza en la barra combustible, si la superficie externa de la b arra de aluminio está en contacto con un líquido refrigerante a 573 K. El coefic iente convectivo hacia el líquido refrigerante es h = 2.1x104 kJ/h.m2.K, la cond uctividad calorífica del elemento combustible kf = 84 kJ/h.m.K y la conductivida d calorífica de la vaina que rodea el elemento combustible cilíndrico es km = 75 0 kJ/h.m.K. 30. Se genera calor en el interior de una partícula esférica de cata lizador debido a una reacción química. La partícula, de 8 mm de diámetro, tiene conductividad térmica igual a 0.003 cal./cm.s.K., y tiene temperatura superficia l de 300 °C. La generación de calor decrece linealmente hacia el centro de la pa rtícula debido al decrecimiento en la cantidad de material que reacciona (mayor camino de difusión). La generación está dada por ΦΗ = [(67.5) (r/R)] cal/s.cm3. Supon a ue la eneración de calor se balancea e actamente con las pérdidas conv ectivas en la superficie. Determine la distribución de temperaturas y la tempera tura má ima. El catalizador tiende a perder actividad por encima de los 700 °C; ¿Se e cede esta temperatura? 31. Un conducto circular de 2 pie de lon itud y 2 p l de diámetro tiene en su centro una termocupla con superficie 0.3 pl 2. Las pa redes del conducto están a 200 °F, y la termocupla indica 310 °F. Si el coeficie nte convectivo entre la termocupla y el as del conducto es de 30 Btu/hr.pie2.°F , estime la temperatura real del as. La emisividad de las paredes del conducto es 0.9 y la de la termocupla 0.6. 32. Un termopar alojado en el interior de una vaina cilíndrica de acero de 1.3 cm de diámetro e terno, 0.25 cm de espesor y 5 cm de lon itud, se encuentra instalado en una conducción tal como se ve en la fi ura. En ré imen estacionario la lectura de dicho termopar es 423 K mientras ue la de otro fijo a la pared del conducto es de 338 K. Suponiendo ue el coeficie nte de transmisión de calor entre el vapor y la vaina del termopar es hG = 340 W /m2.K y ue la conductividad térmica del acero es km = 45 W/m.K calcule la tempe ratura del vapor de a ua. 33. Se uiere diseñar un calentador de 10 kW usando al ambre de Ni Cr (Nicrom). La temperatura má ima de la superficie del Nicrom ser á 1650 K. Otros criterios de diseño para el calentador son: mínimo coeficiente c onvectivo h = 850 W/m2.K; temperatura mínima del aire circundante: 370 K. La res istividad del Nicrom es 110 µΩ.cm y la ene gía pa a el calentado está disponibl e a 12 voltios. a. ¿Qué diámet o de alamb e se equie e si el calentado usa un solo t ozo de 0.6 m de longitud?. b. ¿Qué longitud de alamb e de calib e 14 (BWG 14 ⇉ = 0.083 plg) e nece ita para ati facer e to criterio e i eño?. c. ¿Cómo e mo ifican la re pue ta anteriore i = 1150 W/m2.K?.     £ £   ! !    ¥   ¥       " "     "     !  ¥ ¥ !        ! ¥  !  ! £ ! !  " £    " ¥ ! ! 69 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 34. Una pare e un orno (k = 0.5 Btu/ .pie.°F) e 2 pie e e pe or e ebe ai lar con un material ai lante (k = 0.05 Btu/ .pie.°F). La temperatura e la upe rficie interior el orno e e 2600°F. Si la temperatura e la uperficie exter ior no ebe exce er e 100°F para que la pér i a a mi ible e calor ean e 2 50 Btu/ .pie2, ¿cuál ebe er el e pe or requeri o el ai lante? 35. ¿Cuál e la ta a total e pér i a e calor en Btu/ e un refrigera or e imen ione inter iore 2 por 4 pie , con una capa e 3 pulg. e ai lante (k = 0.03 Btu/ .pie.°F) cuan o la iferencia e temperatura entre el interior y el exterior e e 50°F? De preciar la re i tencia térmica el interior y el exterior. Determinar la pér i a e calor por pie cua ra o e la pare e un orno forma a por la rillo r efractario (k = 0.6 Btu/ .pie.°F) e un pie e e pe or, la rillo ai lante e 1/4 e pie (k = 0.05 Btu/ .pie.°F) y una capa externa e 1/2 pie e la rillo común (k = 0.4 Btu/ .pie.°F) cuan o la iferencia e temperatura entre el interior y e l exterior e e 2500°F. De preciar la re i tencia térmica el interior y el exterior. 36. Lo o extremo e una varilla circular elga a e iámetro D, itua o en x = 0 y x = L e mantienen re pectivamente a la temperatura T0 y TL , en tanto que en la varilla e genera calor a una ta a uniforme e Φ0 Btu/h pie 3. O te er u a expresió de la distri ució de temperatura e la varilla, e el estado esta le, para los casos e que a. La superficie lateral de la varilla est á aislada. . La superficie lateral disipa calor por co vecció hacia u medio a temperatura TL y coeficie te de tra sfere cia de calor h. 37. Las dos caras de u a placa e x = 0 y x = L se ma tie e respectivame te a 1as temperaturas u ifo rmes Tl y T2; la co ductividad térmica del material varía co la temperatura e la forma k (T ) = k 0 T 2 − T02 en donde k0 y T0 son constantes. a. Encontrar un a e presión de la tasa de flujo de calor por unidad de área de la placa. b. Enco ntrar una e presión de la conductividad térmica media km de la placa. ( ) 38. En una varilla circular del ada de lon itud L y diámetro D se enera calor a una tasa constante de ΦH Btu/h pie3. Los dos extremos e x = 0 y x = L se ma ti e e respectivame te a las temperaturas co sta tes T0 y cero, e ta to que la su perficie lateral disipa calor por co vecció hacia u medio de temperatura cero y coeficie te de tra sfere cia de calor h. a. Deducir la ecuació de e ergía e estado esta le e u a dime sió que permita determi ar la distri ució de temper atura T(x) e la varilla. . Hallar la expresió de la distri ució de temperatu ra T(x) e la varilla resolvie do la ecuació difere cial a terior. 39. La super ficie lateral de u a varilla está perfectame te aislada e ta to que sus extremo s e x = 0 y x = L se ma tie e respectivame te a las temperaturas co sta tes T1 y T2. El  £ ¥ ¥ £ ¥ £   ¥ ¥ £  £ ¥ £   £ ¥ £   ¥ ¥  ¥ £  £ £ £ £ ¥  ! ¥ £  ¥ £ £ £ £   £ ¥ £ ¥  ¥ ¥ ¥ £ ¥  £  £ ¥ £ ¥ ¥   £ £ £ £ £ £ ¥ ¥ ¥ £    ¥  £ ¥ £ £ £ ¥  £ £ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ! £        ¥ ¥ ¥ £  ¥ £ £ £ £ £ £ ¥ ¥ !  ¥ ¥ ¥ ¥  £ £    £  ¥ ¥ ¥   ¥  £ £ £ £ ¥   £ £  £  £ ¥ £ £ ¥ ¥ ¥  ¥   ¥ £ £ £ £  £   ¥ £  ¥ ¥ " ¥ £  ¥ £ £ £ £ ¥   £   £ " ¥ ¥ ¥ £ ¥  70 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to Φ H (z ) = Φ 0e −γz en donde Φ0 y γ son constantes y z se mide desde la superficie aislada interior. c. allar una e presión de la distribución de temperatura en la placa. d. Deter minar la temperatura de la superficie aislada (es decir z = 0) de la placa. e. D eterminar el flujo de calor en la superficie e terior, z = L. 42. En un contened or cilíndrico lar o de pared del ada se empacan desechos radiactivos. Estos ene ran ener ía térmica de manera no uniforme de acuerdo con la relación Φ H = Φ 0 1 − (r / R) 2 donde ΦH es la velocidad local de ge eració de e ergía por u idad de volume , Φ0 es u a co sta te, y R es el radio del co te edor. Las co dicio es de estado esta le se ma tie e sumergie do el co te edor e u líquido que está a T∞ y proporcio a u coeficie te de co vecció h u iforme. O te ga u a expresi ó para la velocidad total a la que se ge era e ergía por u idad de lo gitud del co te edor. Co este resultado o te ga u a expresió para la temperatura TS de la pared del co te edor. [ ] ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ 43. co e cia Dos varillas de co re largas de diámetro D = 10 mm se suelda ju tas extremo extremo; la soldadura tie e u pu to de fusió de 650°C. Las varillas está aire a 25°C co u coeficie te de co vecció de 10 W/m2 K. ¿Cuál es la pote mí ima de e trada ecesaria para efectuar la soldadura? ¡ ¡ ¡ ¡ área A de la secció tra sversal de la varilla es u iforme y la co ductividad té rmica del material varía co la temperatura de la siguie te forma k(T) = k0(1 + aT) Hallar la expresió de la tasa de tra sfere cia de calor Q a través de la va rilla. Calcular la tasa de tra sfere cia de calor por u idad de área cua do k0 = 50 Btu/h.pie.° , L = 1 pie, α = 2x10−3°R−l, T1 = 700°F y T2 = 100°F. 40. De un p red so res le un v rill de co re l rg y delg d de k = 220 Btu/h.pie.°F y diámetro D = 1/2 pulg. El extremo de l v rill que está en cont cto con l p re d se m ntiene 500°F. L superficie l ter l de l v rill disip c lor por conv ección l ire que se encuentr 100°F y cuyo coeficiente de tr nsferenci de c lor es h = 5 Btu/h.pie2.°F. Determin r l t s de pérdid de c lor desde l v r ill h ci el ire que l rode . 41. Un recipiente presión de un re ctor nucle r se puede tr t r en form proxim d como un gr n pl c pl n de espesor L. L superficie interior de l pl c en z = 0 está isl d , l superficie exterior en z = L se m ntiene un temper tur uniforme T2; el c lent miento de l pl c por r yos g m se puede represent r por un término de gener ción de c lor de l form ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ! ¥ ¡ ¥ ¥ ¡ ¥ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ¥ ¡ ¡ ¥ ¥ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¡ " ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ¥  ¡  ¡ ¡ ¡ ¥ ¡ ¡ ! ¥ ¡ ¥ ¥ ¥ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ¡ ¡ ¡ ¥ ¥ ¥ ¡ ¡ ¥  ¡ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ! ¥ " ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¥ ! ¡ ¡ ¡ ¥ ¥  ¡ ¥ ¡ ¡ ¡  71 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to Capítulo 2. TRANS ERENCIA DE MASA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO. 2.1. INTRODUCCIÓN A LA TRANS ERENCIA DE MASA. La tra sfere cia de masa por difus ió molecular es el trá sito de masa como resultado de u a difere cia de co ce t ració e u a mezcla. Existe umerosos ejemplos cotidia os de tra sporte de mat eria: la difusió de humo y otros co tami a tes e la atmósfera; la tra sfere ci a de soluto e tre las fases de u a sor edor de gas, u extractor o e u a torre de e friamie to; la mezcla del azúcar e u pocillo de ti to; el secado de la r opa (difusió del vapor de agua e el aire); el i tercam io de oxíge o - gas car ó ico e los pulmo es. Supo gamos u cristal de perma ga ato de potasio e u v aso co agua. Las moléculas disueltas del cristal difu de le tame te desde la r egió de alta co ce tració e el fo do, te die do a co vertir u iforme la co ce tració ( roporcio al a la i te sidad del color) co el tiempo. Este tipo de di fusió se de e al movimie to errático de las moléculas y se de omi a difusió mo lecular. De otra parte, la corrie te de humo que sale desde u a chime ea e u d ía co mucho vie to, el humo se dispersa e la atmósfera de ido a las fluctuacio es de velocidad y direcció del vie to: se llama Dispersió o Difusió Tur ule ta. Ahora, así como e el tra sporte de calor, el tra sporte de masa puede ocurr ir ta to por difusió como por co vecció , esta última represe ta el tra sporte de masa que resulta del movimie to glo al del fluido y la primera el tra sporte de ido a gradie tes de co ce tració . De uevo, como e tra sporte de calor, el tra sporte co vectivo de masa co siste de dos tipos: co vecció forzada, e la q ue el movimie to es ge erado por u a fuerza exter a, y co vecció li re, u efec to de flotació e el cual el movimie to glo al se desarrolla aturalme te como co secue cia de cam ios de de sidad origi ados e las difere cias de co ce traci ó del medio. 2.1.1. Defi icio es ásicas. La difusió es más compleja que el fl ujo viscoso o la tra smisió de calor de ido a la i ovació de te er que operar co mezclas. E u a mezcla que difu de las velocidades de los compo e tes i div iduales so disti tas y existe varios métodos adecuados para promediar las velo cidades de los compo e tes co el fi de o te er la velocidad local de la mezcla . La elecció de esta velocidad local es ecesaria para poder defi ir las veloci dades de difusió . or lo ta to de emos estudiar co detalle las defi icio es de co ce tracio es, ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  © ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ © ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ 72 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to ρ = ρA + ρB = densidad de la solución (masa/volumen de solución) ρA = cAMA (masa de A/volumen de solución) wA = ρA/ρ = f acción de masa de A. M = ρ/c peso molecula medio de la mezcla     velocidades y de sidades de flujo ( o se expo e co ceptos físicos uevos pero s e trata de familiarizar os co estas defi icio es). Adoptamos u a regla de otac ió : cua do se co sidera sistemas de dos compo e tes se especifica las especie s A y B. E sistemas de varios compo e tes se especifica las especies 1, 2, 3, etc., o ie e las discusio es ge erales se utiliza u su í dice supuesto tal c omo i, j, k para referir las difere tes especies. Las fórmulas cuya validez se l imita a sistemas i arios se ide tifica fácilme te porque i tervie e los su í dices A y B. 2.1.1.1. Co ce tracio es. La co ce tració de las especies e u si stema de varios compo e tes puede expresarse de diversas formas pero osotros co sideramos sólo las cuatro siguie tes: Co ce tració másica volumétrica ρi que e s la masa de la especie i po unidad de volumen de solución. Concent ación mola ci = ρi/Mi (densidad mola ) que es el núme o de moles de la especie i po unida d de volumen de solución. Mi, peso molecula de la especie i. F acción másica wi = ρi/ρ es la concent ación de masa de la especie i dividida po la densidad tot al de la solución. F acción mola xi = ci/c que es la concent ación mola de la especie i dividida po la concent ación mola de la solución. F ecuentemente usa emos yi en el caso de gases. Pa a el caso que sea aplicable la ley de los gases pe fectos, las p esiones pa ciales son también una medida de la concent ación: PT = pA + pB; PTV = nRT; pAV = nART; pBV = nBRT; pA/PT = nA/ (nA + nB) = yA. Aqu í n indica núme o de moles. Mediante la palab a solución se designa una mezcla g aseosa, líquida o sólida que fo ma una sola fase. Pa a el caso de sistemas bina ios la mutua elación de estas unidades de concent ación es ¥  ¥ ¥ ¥       ¥ ¥ ¥   ¥ ¥       ¥ ¥   ¥  ¥ ¥   ¥ ¥ ¥   ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥     ¥ ¥ ¥     ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥       ¥ ¥ ¥   ¥     ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥       ¥    ¥  ¥ ¥   ¥ ¥  ¥ ¥       ¥   ¥ 73 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento xA + xB = 1; wA + wB = 1; xAMA + xBMB = M = c A M A cB M B ρ A + ρ B ρ + = = c c c c wA /MA + wB /MB = 1/M = (ρA/ρMA) + (ρB/ρMB) = (cA+cB)/ρ = c/ρ xA = (wA/MA)/(wA/M A + wB/MB); dxA/dwA = [MAMB(wA/MA + wB/MB)2]−1 wA = (xAMA)/(xAMA + xBMB); 2.1.2. P ime a ley de Fick. Pa a defini algunos de los té minos usados en el es tudio de la difusión conside emos un ejemplo simple y de geomet ía simila al us ado en las ot as fo mas de t anspo te. Dos placas g andes se colocan a una dista ncia b, pequeña en compa ación con las ot as dimensiones de la placa. El ai e en t e ambas está inicialmente seco y pe manece lib e de co ientes. En el momento t = 0 la placa infe io se humedece completamente en un líquido (digamos agua) y así se mantiene pa a asegu a que la película de fluido adyacente a la misma co nse ve una concent ación unifo me de vapo del líquido e igual al de satu ación a la tempe atu a y p esión del sistema. La placa supe io está constituida de un mate ial fue temente adso bente (sílica gel si el vapo es de agua) que ga an tice que la película de fluido vecina a la placa supe io pe manece a concent ac ión ce o. A medida que t anscu e el tiempo la humedad penet a en la película ga seosa hasta que alcanza la placa supe io y eventualmente pasado un espacio de t iempo suficientemente g ande alcanza el estado estaciona io donde el pe fil de c oncent aciones no cambia á más con el tiempo (ve figu a 2.1b). En el expe iment o que nos ocupa pa a la película gaseosa completamente estancada se ha encont ad o que * J Az = − D AB dwA/dxA = MAMB(xAMA + xBMB)−2 ∂c A ∂z [moles de A/tiempo.á ea] (2.1) Aquí DAB, la p opiedad de t anspo te, es la difusividad másica de la especie A a t avés de la especie B. Esta ecuación es una fo ma simplificada de la p ime a l ey de Fick de la difusión, que mantiene su validez pa a soluciones bina ias dilu idas de densidad constante, y que nos dice que la difusión molecula es p opo ci onal al g adiente de concent aciones y que ocu e en el sentido en el cual dec e ce este. Un análisis igu oso basado en la te modinámica de los p ocesos i eve sibles muest a que el g adiente de potencial co ecto no es el g adiente de conc ent aciones sino el g adiente de potencial químico y que, pa a mezclas multicomp onentes, deben inclui se los g adientes de las ot as especies en la ecuación. Si n emba go se acostumb a asumi pa a mezclas multicomponentes que la especie B e p esenta todos los componentes dife entes de A.                                                                                                                                                                                                                             74 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento Pa a el caso en el cual se p esentan g adientes de concent ación en más de una d i ección podemos exp esa la ley de Fick haciendo uso del ope ado nabla (ecuaci ón 1.4): JA* = − DAB∇(cA) 2.1.3. Densidades de flujo. Supongamos un fluido pu o que es t anspo tado po un conducto ci cula de á ea t ansve sal A. Su caudal pu ede exp esa se como Q’ = vA en unidades de longitud al cubo po unidad de tiempo , donde v es la velocidad másica p omedio y A es el á ea seccional del conducto. El caudal másico se exp esa como m = ρQ’ con dimensiones de masa po unidad de tiempo. Podemos defini entonces la densidad de flujo másico efe ido a ejes es taciona ios como: n = m’/A = ρv [masa/tiempo.á ea] Si pensamos aho a que el flui do está constituido po dos especies A y B, la densidad de flujo másico de la me zcla pod ía defini se simplemente como n = nA + nB La velocidad de un objeto úni co es intuitivamente cla a. La velocidad de un conjunto de pa tículas que se mue ven pe o mantiene la misma posición elativa ent e ellas es la misma de cualquie pa tícula individual. Pe o la velocidad de este conjunto se vuelve confusa si las pa tículas se mueven con velocidades dife entes, que es lo que ocu e en una mezcla que p esenta g adientes de concent ación o sea que difunde. Si llamamos vA a la velocidad de la especie A con especto a ejes coo denados estaciona ios (la palab a velocidad no exp esa aquí la velocidad de una molécula individual de la especie A sino la suma de las velocidades de las moléculas de esta especie c omp endidas en un pequeño elemento de volumen, dividido po el núme o de dichas moléculas). Po lo tanto, la velocidad másica media pa a una especie de la mezcl a de dos componentes pod ía defini se como: vA = nA /ρA = NA/cA                                                                                                                                        75 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento       donde NA = nA/MA es la densidad de flujo mola de la especie A. En esumen: y ta mbién: v = n/ρ = (nA + nB)/(ρA + ρB) = (ρAvA + ρBvB)/ρ = wAvA + wBvB Si conside amos el flujo de las moles más bien que el de la masa podemos defini simila men te una velocidad mola media pa a la mezcla: v* = N/c = (NA + NB)/(cA + cB) = (c Av + cBv)/c = xAvA + xBvB ot as elaciones son: (v − v*) = wA(vA − v*) + wB(vB − v*) (v* − v) = xA(vA − v) + xB(vB − v) Obse vamos pues que las densidades de fl ujo son magnitudes vecto iales que ep esentan la masa (o los moles) de una espe cie que c uzan la unidad de á ea po unidad de tiempo. El movimiento puede esta efe ido a unas coo denadas estaciona ias, pe o también puede esta efe ido a un plano que avance a la velocidad media local mola v* o másica v. Estas última s pueden defini se como densidades de flujo supe puestas al flujo global o densi dades de flujo difusionales: JA* = cA(vA − v*) que es la densidad de flujo mola elativa a la v*, muy usada en difusión o dina ia, y jA = ρA(vA − v) conocida c omo la densidad de flujo de masa del componente A con especto a unos ejes que s e mueven a la velocidad v, muy usado en la difusión té mica. También podemos def ini jA* = JAMA o densidad de flujo másico efe ida a la v*, y JA = jA/MA denomi nada densidad de flujo mola efe ido a la v. n = nA + nB = ρAvA + ρBvB = ρv                                                                                         76 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento EJEMPLO 2.1. Cómo están elacionados JA* y NA?. Solución. NA = cAvA ; JA* = cA(vA − v*) ; v* = xAvA + xBvB JA* = cAvA − (cA/c)(cAvA + cBvB) = NA − xA(NA + NB) O sea: NA = JA* + xAN (2.1a) Esto implica que el flujo mola de A con especto a los ejes fijos es el flujo c on especto a la velocidad mola p omedio más el flujo de A causado po el flujo global elacionado a v* o sea N. Podemos obse va también que: JA* = NA − xAN; JB* = NB − xBN JA* = − JB*   ∑ni = ρv = n ; ∑ji = 0 ; ji = ni — win ∑Ni = cv* = N ; ∑Ji* = 0 ; Ji* = Ni − xiN Hacemos esalta el hecho de que en gene al una densidad de flujo tiene un apo t e difusional y uno convectivo, y que en el caso de la t ansfe encia de masa, mie nt as la densidad de flujo total N, sea dife ente de ce o, existi á una cont ibu ción po a ast e cAv* o ρAv según el caso. En gene al t atándose de difusión en líquidos sin flujo convectivo neto, o en sólidos, este té mino puede desp ecia se. No así en gases estancados donde omiti lo puede int oduci se ios e o es en la estimación de los pe files y las densidades de flujo. 2.1.4. Balances de mat e ia. El tema de fenómenos de t anspo te está íntimamente ligado con la p edicci ón de va iaciones de tempe atu a, concent ación y/o velocidad dent o de un medio . Pa a obtene estos pe files se utilizan dos conjuntos de ecuaciones: (1) Ecuac iones de balance o conse vación y (2) Ecuaciones de velocidades o de densidades de flujo. Reco demos que el balance gene al pa a un sistema es:                lo que nos indica que la suma de las densidades mola es de difusión la velocidad media mola en cualquie mezcla es ce o. En gene al:                                           JA* + JB* = N − (xA + xB)N = 0 es deci elativas a                                                                            77 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento [Velocidad de salida ] − [Velocidad de ent ada] + [Velocidad de acumulación = [V elocidad de gene ación] o ab eviadamente: Salida − Ent ada + Acumulación = Gene ación. (1.7) El sistema se define como la po ción de unive so bajo estudio. El esto del univ e so son los al ededo es. El sistema puede se una cantidad específica de mate i a o de volumen (f ecuentemente llamado volumen de cont ol). La velocidad de ent ada se efie e a todo el flujo dent o del sistema (de la cantidad involuc ada) a t avés de los límites del sistema, y la velocidad de salida se efie e a todo f lujo que deje el sistema a t avés de sus límites. La dife encia de la segunda me nos la p ime a es la velocidad neta de salida. La velocidad de gene ación se ef ie e a toda p oducción dent o del sistema, y la velocidad de acumulación se efi e e a la velocidad de cambio con el tiempo de la cantidad total de masa, ene gía o cantidad de movimiento en el sistema y puede se positivo o negativo. Las ecu aciones de balance pueden aplica se al sistema como un todo (balances globales o mac oscópicos), a un inc emento (balance inc emental), o a un elemento dife enc ial (balance dife encial). Las ecuaciones como la (1.7) son también denominadas leyes de conse vación. Podemos ap ecia mejo el significado de los té minos de la ecuación (1.7) analizando el siguiente caso: EJEMPLO 2.2. Se está llenando un tanque con un líquido que fluye con caudal mási co m1’, kg/s. Al mismo tiempo el líquido sale a azón de m2’, kg/s. El á ea t an sve sal del tanque es S y la altu a del nivel del líquido en el tanque en cualqu ie momento t es z (ve figu a 2.2). Al aplica la ecuación de balance al líquid o dent o del tanque obse vamos que la velocidad de gene ación es ce o puesto que no se p oduce masa dent o del tanque; pe o la velocidad de acumulación no se á ce o a menos que m1’ = m2’ o sea que las magnitudes de los caudales hacia y desd e el tanque sean iguales. Si tal fue a el caso tend íamos una situación de estad o estable puesto que no hay cambio en la cantidad de líquido en el tanque con el tiempo. Sin emba go, si suponemos que la cantidad ent ando m1’ es mayo que la cantidad que sale m2’, el nivel del líquido en el tanque cambia á con el tiempo a medida que                                                                                                                                                             78 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento el tanque se llena y la velocidad de acumulación se á mayo que ce o. Si la masa total del sistema es M y la densidad de líquido es ρ, la velocidad de acumulaci ón es: dM d dS = (ρSz ) = ρS dt dt dt y el balance global es entonces: m2 − m1 + dM =0 dt EJEMPLO 2.3. Supongamos aho a que ocu e una eacción química homogénea dent o d el tanque el cual pe manece bien agitado, de tal mane a que puede conside a se v elocidad de eacción unifo me dent o del mismo. Denominemos A la especie p oducida en la eacción, y su velocidad de p oducción po unidad de volumen es ΦA (masa de A por u idad de volume y u idad de tiempo) . E to ces la velocidad de ge eració será ΦA⋅V, do de V es el volume de fluido e el ta que. Supo gamos que la corrie te que e tra co tie e u a pequeña ca tid ad de A de tal ma era que la velocidad másica de e trada de A es m’A1. Si m’A2 r eprese ta la velocidad de salida de la especie A, la ley de co servació para la especie A será: m A2 − m 'A1 + dM A = Φ A ⋅V dt salida − entrada + acumulación = eneración. En el ejemplo 2.2 no podía haber e neración puesto ue la masa total debe conservarse; pero si una reacción uímica está ocurriendo dentro del lí uido y produciendo la especie A la eneración no es cero y la masa de A no se conserva. En este último caso debemos distin uir en tre el término de eneración y el término de entrada siendo éste la cantidad ue atraviesa los límites del sistema y el otro la eneración de A ocurriendo en ca da punto dentro del sistema. EJEMPLO 2.4. Fluye a ua dentro de un tan ue bien a itado a 150 lb./hr, se a re a cloruro de sodio a 30 lb/hr. La solución resultante deja el tan ue a 120 lb/hr; debido a la a itación la concentración de la solución de salida es i ual a la d el tan ue. ay 100 lb. de a ua pura en el tan ue al comenzar la operación, y los caudales de entrada y salida se ! ! !          ¥  ! ¥   ¥ !   ! ¥  ¥ ¥   ¥ ¥     ¥     ¥ ¥ ! ¥ !      ¥      ¥    ¥   !    ¥   !       ! ¥ ! ¥  !    ¥ ¥ ¥ ¥   ¥    79 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento mantienen constantes posteriormente. Calcule la concentración de salida (fracció n másica de sal) después de una hora. Solución. NaCl = A; 1 = entrada; 2 = salida. Un balance para el componente A: m 'A2 − m 'A1 + dM A =0 dt (i) Donde MA = M⋅wA siendo M la masa total dentro del tan ue en cual uier momento t, y m’A = m’⋅wA: d ( M ⋅ wA ) m2 wA2 − m1 wA1 + =0 dt 120wA − 30 + M dwA dM + wA =0 dt dt usando un balance total: m2 − m1 + dM =0 dt ⇉ 120 − (150 + 30) + M =0 t M = 60 (ta a e acumulación) t 0 e on e M = 60t + M0 variable e obtiene: A2 t wA2 ⎮ =⎮ ⎮ 60t + 100 180 wA2 − 30 ; t w 0 ⎞ 30 1 ⎛ 1 ⎛ 60t + 100 ⎞ ln⎜ ln⎜ ⎟= ⎜ 30 − 180w ⎟ ⎟ 60 ⎝ 100 ⎠ 180 ⎝ A2 ⎠ despejando y simplificando: 3 1 ⎡ ⎛ 10 ⎞ ⎤ wA2 = ⎢1 − ⎜ ⎟⎥ 6 ⎢ ⎝ 6t + 10 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ¤ ¤ M0 = 100 b. Remp azando en (i) y separando    £ £  £ £ £ £ £ £ £ £ 80 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to para t = 1 hr, wA2 = 0.126 = 12.6 % e peso de NaCl. ara t ⇉ ∞, wA2 ⇉ 1/6. EJEMPLO 2.5. Tratamiento e una corriente re i ual. Una corriente flui a e velo ci a volumétrica e flujo con tante Q’ e vierte en un río. La corriente contie ne un material re i ual A e concentración cA0, que e ine table y e e compone con una veloci a proporcional a la concentración, e acuer o con la expre ión ΦA = − kV⋅cA [mol A /t. L3] ; kV [t−1] Con el fin de reducir la contaminación, s e ha decidido hacer pasar el fluido a través de un tan ue de retención, de volum en V, antes de verterlo al río. En el instante cero, el fluido entra en el tan u e vacío con caudal volumétrico Q’.El lí uido en el tan ue puede considerarse ue está perfectamente agitado, y no sale de él hasta ue el tan ue está totalmente lleno. Deduzca una expresión para la concentración de A en el tan ue, y en la c orriente ue sale de él en función del tiempo. Solución. En el período 0 ≤ t ≤ V /Q’ durante en el cual el tan ue se está llenando, un balance molar macroscópico de la especie A da: m A 2 − m A1 + dM A = Φ AVt ; Vt = Q’t es el volume e el ta que e cualquier t. dt MA = Q’⋅t⋅cA: ca tidad de moles totales de A e el ta que e cualquier i sta te. dM A = Q ⋅c A0 − kv ⋅ c A ⋅ Q'⋅t = Q'⋅c A0 − kv ⋅ M A dt MA t ⎛ 1 ⎞ ⎡ Q'⋅c A0 − kv ⋅ M A ⎤ dM A ⎮ = ⎮ dt = t = −⎜ ⎟ ln ⎢ ⎥ ⎜k ⎟ ⎮ Q'⋅ c A0 − kv ⋅ M A Q'⋅c A0 ⎝ v⎠ ⎣ ⎦ 0 0 de do de MA = (Q’⋅cA0/kv) [1 − e p(−kv⋅t)] y (cA/cA0) = MA [1 − e p(−kv⋅t)]/(kv⋅t) para t ≤ V/Q’ Q tc A0  Cuando t = V/Q’, cA = cAf ue es la concentración para el instante en ue se llena: ue el tan  ¥  ¥ ¥ £ £  ¥ £   ¥  £  ¥ ¥   £ © ¥  £ ¥    ¥ ¥ ¥   £  £ " £  £ £ £ ¥  ¥  " ¥ ¥ £ £ ¥  81 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento (cAf/cA0) = [1 − exp(−kv⋅V/Q’)]/(kv⋅V/Q’) Luego de ue el tan ue se llena tendre mos: d (c A ⋅ V ) = Q ⋅c A0 − Q ⋅c A − kv ⋅ c A ⋅ V dt t V ⋅ dc A = ∫ dt ⎮ Q'⋅c − (Q'+ k ⋅ V )c V / Q' A0 v A cA ⎛ dc ⎞ ⇉ V ⎜ A ⎟ = Q ⋅c A0 − (Q'+ kv ⋅ V )c A ⎝ dt ⎠ c Af [t − (V / Q )] = ⎢ ⎤ ⎡ Q'⋅c A0 − (Q'+ k v ⋅ V )c A ⎤ V ⎥ ⎥ n ⎢ ⎣ (Q + kv ⋅ V )⎦ ⎢ Q'⋅c A0 − (Q'+ k v ⋅ V )c Af ⎥ ⎦ ⎣ ⎡ Cuando t ⇉ ∞, cA = cA∞ = con tante y [QcA0 − (Q + kv⋅V)cA∞] ⇉ 0 En el límite cA∞ = [Q’cA0 / (Q’ + kv⋅V)] ⎧ ⎡ Q'+ k vV ⎤ ⎡ V ⎤ ⎫ c A − c A∞ = exp⎨− ⎢ ⎥ ⎢t − ⎥ ⎬ c Af − c A∞ ⎣ V ⎦ ⎣ Q ⎭ ⎩ Lc A1 − Lc Ai + V0 dc A1 =0 dt Sep r ndo v ri les e integr ndo ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ EJEMPLO 2.6. Considere un conjunto de tres t nques en serie. Inici lmente c d t nque contiene V0 m3 de solución con concentr ción cA0. Si un solución de conce ntr ción cAi entr l primer t nque r zón de L m3/h y l solución s le de c d t nque con l mism r pidez, determine un ecu ción que nos permit c lcul r l concentr ción del soluto A en l solución que s le del último t nque como un f unción del tiempo. Considere mezcl do perfecto en c d t nque. Solución. B l nce p r l especie A en el t nque número 1: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¤ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ⎦ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 82 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento t ⎛ − Lt ⎞ V0 dc A1 c Ai − c A1 ⎮ (c − c ) = ∫ dt ⇉ c − c = exp⎜ V ⎟ ⎟ ⎜ L A i A1 Ai A0 ⎝ 0 ⎠ 0 c Ao c A1 ⎛ Lt ⎞ c A1 = c Ai − (c Ai − c A0 ) exp⎜ − ⎟ ⎜ V ⎟ ⎝ 0⎠ Balance pa a la especie A en el tanque núme o 2: Lc A 2 − Lc A1 + V0 dc A2 =0 dt ⎡ ⎛ Lt ⎞⎤ dc Lc A 2 − L ⎢c Ai − (c Ai − c A0 ) exp⎜ − ⎟⎥ = −V0 A 2 ⎜ V ⎟ dt ⎝ 0 ⎠⎦ ⎣ ⎛ Lt ⎞ V0 dc A 2 + (c A 2 − c Ai ) + (c Ai − c A0 )exp⎜ − ⎟ = 0 ⎜ V ⎟ L dt ⎝ 0⎠ ⎡ ⎛ Lt ⎞⎤ dc A2 L + c A 2 = (L / V0 )⎢c Ai − (c Ai − c A0 ) exp⎜ − ⎟⎥ ⎜ V ⎟ dt V 0 ⎝ 0 ⎠⎦ ⎣ Esta expresió es de la forma (1) Co ocie do que d dy ye ∫ dx = y e ∫ dx + e ∫ dx dx dx dy + y = Q co , Q co sta tes o fu cio es de x. dx ( ) e to ces podemos multiplicar am os lados de (1) por el factor i tegra te e ∫ dx o te ie do e to ces ye ∫ dx = ∫ Qe ∫ dx dx + C Aplica do este método a uestr o caso ⎡ ⎛ Lt ⎞⎤ c A 2 e ∫ ( L / V0 )dt = ⎮ (L / V0 )⎢c Ai − (c Ai − c A0 ) ex p⎜ − ⎟⎥ e ∫ ( L / V0 )dt dt + C ⎜ V ⎟ ⎝ 0 ⎠⎦ ⎣ © © ¡ ¥ © ¥ ¡ ¥ ¥ ¥ ¡ ¥ ¥ ¡ ¡ ¥ ¥ ¥   © © ¥ ¡  ¡ © © ¥ ¡ ¥ ¥ ¡ © ¡ ¡   ¥ ¥  ¥ ¥ ¡ © 83 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to c A2 = c Ai e − (c Ai − c A0 )(Lt / V0 ) + C e Lt V0 Lt V0 c A 2 = c Ai − (c Ai − c A0 )(Lt / V0 )e − ( Lt / V0 ) + Ce − ( Lt / V0 ) Para t = 0, cA2 = cA0 = cAi + C ⇉ C = cA0 – cAi obtenien o entonce Lc A3 − L c Ai − (c Ai − c A0 )e −( Lt / V0 ) [(Lt / V0 ) + 1] + V0 [ ] c A3 =0 t Proce ien o como en el ca o anterior obtenemo ⎛ Lt ⎞ c A3 − c Ai ⎡ L2t 2 Lt ⎤ =⎢ + + 1⎥ exp⎜ − ⎟ ⎜ V ⎟ c A0 − c Ai ⎣ 2V0 V0 ⎦ ⎝ 0⎠ el exponente y diviso 2 en el pa éntesis cuad ado pa ece suge i una secuencia pa a n tanques como (n – 1). Se á válida?. 2.1.5. T ansfe encia de masa po difusión unidi eccional. 2.1.5.1. Película plan a estancada. Reto nando a la figu a 2.1, encont amos una situación en la cual hay flujo po d ifusión molecula , de la especie A, ent e los planos ubicados en z = 0 y z = b. La geomet ía co esponde cla amente a la de la figu a 1.9 en t ansfe encia de ca lo . Si ha t anscu ido suficiente tiempo, las concent aciones ent e los dos pla nos opuestos no cambia an más con el tiempo. El análisis de este sistema puede h ace se etomando la ecuación de continuidad pa a la especie A, ecuación (1.7) en té minos de flujos mola es po t ata se de una mezcla gaseosa a p esión y tempe atu a constantes. Pa a dete mina pe files de concent ación y/o densidades de f lujo el balance se hace en un elemento dife encial de volumen. Sabiendo que mAz = NAz.Az [mol A/t]:  c A 2 = c Ai − (c Ai − c A0 )e − ( Lt / V0 ) [(Lt / V0 ) + 1] Balance para la e pecie A en el tanque número 3: Lc A3 − Lc A2 + V0 c A3 =0 t             ¥    £ ¥         £ £            ¥                 ¥                     ¥             £ £     £               £ 84 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento m Az con m Az z + dz − m Az z + = m Az z + ∂c A dV = Φ D dV ∂t ∂m Az dz ∂z o te emos z + dz ∂m Az ∂c dz + A dV = Φ D dV ∂z ∂t te ie do prese te que e este caso dV = Azdz c o Az co sta te: ∂N Az ∂c A + = Φ D [moles de A/volume ⋅tiempo] ∂z ∂t (2.2) (2.2a) Hacie do cero los térmi os que o i tervie e de acuerdo co las co dicio es del sistema (estado esta le ∂cA/∂t = 0; o hay reacció química homogé ea: ΦD = 0; solo hay gradie tes de co ce tració e la direcció z). Se reduce a dNAz/dz = 0 o sea NAz co sta te. Recorda do que la de sidad de flujo de la especie A e u medio do de hay gradie tes de co ce tració co sta de dos térmi os NAz = J*Az + cA vz* do de el primero represe ta la ca tidad de A que se desplaza por u idad d e área y u idad de tiempo e la direcció que decrece la co ce tració y el segu do térmi o i dica la ca tidad de A desplazado por u idad de área y u idad de ti empo gracias al movimie to ge eral del fluido. Reemplaza do la ley de ick y la defi ició de v*, queda NAz = − DAB(dcA/dz) + yA(NAz + NBz). Necesitamos informa ción adicional sobre la relación entre NA y NB (podemos suprimir el subíndice z sabiendo ue sólo hay transporte en esta dirección). Analizando el modelo físico ue estamos estudiando observamos ue B no puede cruzar a través del plano ubic ado en z = 0. En este caso, aun ue e iste radiente de concentración de B (por u e si en z = 0, yA es mayor ue yA en z = b, entonces en z = 0, yB deberá ser men or ue yB en z = b, puesto ue yA + yB = 1 para cual uier valor de z), NB = 0, o sea ue la velocidad con ue es transportado por arrastre lobal en la direcció n z positiva i uala la velocidad de difusión en sentido contrario, o dicho de ot ra manera, su radiente de concentración se mantiene por la fricción intermolecu lar entre A y B. Reemplazando esta condición de no difusión de B y despejando NA obtenemos: NA = − cD AB dy A 1 − y A dz (2.3) ¥ ¥    ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ! ¥ ¥   ¥ ¥   ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ! ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  "  ¥ ¥ ¥   ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ! ! ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥   ¥  ¥  ¥  ¥ 85 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Para ases ideales c es constante a PT y T dadas y DAB puede considerarse indepe ndiente de la concentración. Reemplazando en el balance y dividiendo por −cDAB: d ⎡ 1 dy A ⎤ ⎥=0 ⎢ dz ⎣1 − y A dz ⎦ Las co dicio es límite so : ara z = 0: yA = yAS; yBS = (1 – yAS) = yAG; yBG = (1 − yAG) Inte rando: ⎡ 1 dy A ⎤ ⎥ = C1 y − n(1 – yA) = C1z + C2 ⎢ ⎣1 − y A dz ⎦ ara evaluar C1 y C2 co las co dicio es límite: ara z = : yA − ln(1 – yAS) = C1 (0) + C2 − ln(1 − yAG) = C1 b + C2 Realizando las transformaciones necesarias hallamos ue C1 = [1/b][ln(yBS/yBG)] ; De lo anterior: 1 − y A ⎡1 − y AG ⎤ =⎢ ⎥ 1 − y AS ⎣ 1 − y AS ⎦ ( z / ) C2 = − ln yBS (2.4) Usando (2.4) podemos hallar la concentración media de A o de B entre 0 ≤ z ≤ b. Por ejemplo la concentración media de B será: b y Bmed ∫ cB Az dz ∫ y B dz ( z / ) dz [ ] ¥ Dado que da x = a x l a ⇉ ∫ a x x = a x / ln a + C1 x £ £ ¤ y ⎡y ⎤ mo es de B = = 0b = 0b = BS ⎮ ⎢ BG ⎥ b ∫ dz 0 0 0 ⎣ y BS ⎦ moles totales ∫ cAz dz  ©  ¥ ¥ ! © ¥ ¥ ¤ ¥ ¥   ! ©   86 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento y Bme = y BG − y BS = y BML prome io logarítmico e yBG e yBS. ⎞ ⎛ y BG ln⎜ y BS ⎟ ⎠ ⎝ z =0 Esta expresió hu iera podido o te erse si determi ar el perfil de co ce tracio es si e la ecuació (2.3), aprovecha do que NA es co sta te, separamos varia l es e i tegramos e tre los límites. Esta misma situació física se puede o te er co u modelo de omi ado la "celda de Ar old", co siste te e u tu o estrecho l le o parcialme te co u líquido puro A, y ma te ido a presió y temperaturas co sta tes. or el extremo superior del tu o se hace fluir u gas B, prácticame te i solu le e el líquido A e i erte químicame te co respecto a los vapores de A . El ivel del líquido A de tro de la celda se ma tie e artificiosame te co sta te. El líquido A pasa a la fase vapor y difu de a través de la colum a de B que perma ece esta cado por o ser solu le e A. El sistema a co siderar es la pelíc ula gaseosa compre dida e tre la superficie del líquido y la oca del tu o. I me diatame te so re la superficie líquida se puede tomar la co ce tració de la esp ecie A e la fase gaseosa, yAs, como la de equili rio co el líquido de la i ter fase, es decir, que es la relació e tre la presió de vapor de A a la temperatu ra del sistema y la presió total, supo ie do que A y B forma u a mezcla gaseos a ideal. ara z = la composició de la corrie te gaseosa se ma tie e co sta te para que yAG se ma te ga co sta te y co ocida, e igual a la presió parcial de la susta cia A e dicha corrie te, so re la presió total de sistema, que ya dij imos es co sta te. Co el tiempo se alca za u perfil de co ce tracio es co sta te y la situació es e todo co corda te co la co templada e la figura 2.1, y el tratamie to matemático será el mismo.   Aho a pa a sabe la velocidad a la que la especie A es t ansfe ida a t avés de u n plano dado pe pendicula a z basta con calcula NA en un plano cualquie a. Pa a z = 0: NA ⎡ − cD AB dy A ⎤ cD AB 1 − y AG = N AS = ⎢ n ⎥ = b 1 − y AS ⎣ 1 − y A dz ⎦ z =0 (2.5) ¥ ¥ £  ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥    ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥   ¥ ¤ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥    ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ £ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥  ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   £ ¥ ¥ £ £ £ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥     ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ © ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ©   ¥ ¥ ¥ ¥ £ ¥   87 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to Los resultados a teriores se ha utilizado para la determi ació experime tal de difusividades gaseosas. De otra parte estos resultados se aplica tam ié e la "teoría de película" para la tra sfere cia de materia. E la figura 2.4 se pres e ta u gas fluye do a lo largo de la superficie de u sólido o de u líquido. E las proximidades de la superficie existe u a capa que se mueve le tame te (efe cto de fre ado) a través de la cual difu de A; e esta teoría o modelo se supo e que existe u a tra sició rusca e tre u a película esta cada y u fluido total me te mezclado e el que los gradie tes de co ce tració so desprecia les. or lo ta to toda la resiste cia a la difusió desde la superficie hasta la corrie t e pri cipal de gas se asume que está e u a película esta cada de espesor co sta te, z ficticio. Au que este modelo o es real desde el pu to de vista físico, ha resultado, si em argo, muy útil como ase de correlació de los coeficie tes de tra sfere cia de materia co vectivos a partir de u a represe tació física s e cilla. De hecho, si por a alogía co la llamada ley de Newto del e friamie to , segú la cual, la tra sfere cia de calor por co vecció desde u a superficie c alie te a temperatura TS hacia sus alrededores a temperatura Tf se puede expresa r como q = h(TS – Tf) podríamos reescri ir la ecuació (2.4) e térmi os de u a fuerza motriz característica de co ce tració (yAS – yAG) multiplicá dola y divi dié dola por (yAS – yAG) = [(1 – yAG) − (1 – yAS)] y reconociendo ue: y ⎞ ln⎛ BG ⎜ y BS ⎟ 1 ⎠ ⎝ = (1 − y AS ) − (1 − y AG ) y BML Obtenemos entonces: N Az = cD AB ( y AS − y AG ) = k y ( y AS − y AG ) y BML z F (2.6) ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ © ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ 88 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento Obsé vese que hemos eemplazado b = zF, la longitud del camino de difusión. La e cuación (2.6) tiene la fo ma ca acte ística de la ley de Newton del enf iamiento , donde ky se ía el coeficiente convectivo de t ansfe encia de masa, y la fue za guía es (yAS – yAG). Dependiendo de si esta fue za guía se encuent a en ot as u nidades de concent ación cambia á el subíndice del coeficiente convectivo y, es pectivamente, sus dimensiones y unidades. Así po ejemplo si la fue za guía se e xp esa en función de concent aciones mola es, tend emos NA = kC(cAS − cAG) = ckC ⋅(yAS – yAG) siendo c la concentración molar total. Observamos entonces ue ckC = ky. Si multiplicamos la ecuación anterior para NA por el peso molecular de A, MA, obtenemos nA = kρ(ρAS − ρAG), densidad de flujo másica con fue za guía exp e sada en concent aciones másicas volumét icas. Se puede conclui fácilmente que k C = kρ. Pa a el caso en el que se p esente cont adifusión equimolecula , NAz + N Bz = 0, al eemplaza en la p ime a ley de Fick (2.1a) obtenemos: dy A ; pa a NA constante, sepa amos va iables e integ amos a lo la go del dz camino de difusió n zF pa a obtene : N A = − D AB c NA = D AB c ( y AS − y AG ) = k ′y ( y AS − y AG ) zF k’y es el tipo de coeficiente que se usa en este caso. Difie e cla amente de ky que esulta fue temente dependiente de la concent ación a t avés de yBML. Un tip o de coeficiente independiente de la concent ación se obtiene pa a casos gene al es en estado estable, manipulando la ley de Fick de la siguiente mane a: NA = − DABc(dyA/dz) + yA(NA + NB) ⇉ [NA − yA(NA + NB)] z = − DABc⋅ yA y AG y AS y A −1 F ⎮ N − y ( N + N ) = D c ∫ dz ; integrando y reorganizando obtenemos A A A B AB 0 z ⎛ D c ⎞ R − y AG R A − y AG N A = R A ⎜ AB ⎟ ln A ⎜ z ⎟ R − y = R A F ln R − y A AS A AS ⎝ F ⎠ (2.7) Aquí RA es la elación ent e NA/(NA + NB) y se hace uno pa a NB = 0. Esta exp es ión si ve pa a int oduci la definición del coeficiente tipo F, utilizado cuando las concent aciones son altas. Tanto F como zF equie en de análisis poste io e s pa a su dete minación.                                              £                         £                                                                                 £ 89 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento EJEMPLO 2.7. Difusión con eacción química hete ogénea. El g áfico 2.5 muest a la difusión en la fase gaseosa en la vecindad de una supe ficie catalítica. El componente A difunde a t avés de una película estancada ha sta la supe ficie del catalizado en la cual se convie te instantáneamente en B según la eacción A ⇉ 3B. El pro ucto B e ifun e aleján o e e la uperficie e n contracorriente con el reactivo A a travé e la película ga eo a e tanca a a ta alcanzar la corriente principal e ga conforma o por reactivo y pro ucto A y B. De eamo encontrar una expre ión para la veloci a local e conver ión e A en B cuan o e conoce el e pe or efectivo e la película ga eo a δ, y la com po icione globale yA1 e yB1 en la corriente. A umimo que la película ga eo a e i otérmica, aunque para muc a reaccione catalítica no e pue e e preciar el calor que e genera urante la reacción. Aplican o un balance para la e pecie obre una película e e pe or z tal como e izo para llegar a la ecuación (2. 2a), no a, para e ta o e table y au encia e reacción química omogénea N Az =0 z (i) De la ley e Fick NAZ = JAz + yA (NAz + NBz). Para el ca o pre enta o, e mueve un mol e A en la irección z po itiva por ca a tre mole e B que e mueven en la irección z negativa como e e uce e la e tequiometría e la reacción. Por con iguiente, en e ta o e tacionario NBz = − 3NAz. Reemplazan o en la ley e Fi ck N Az (1 + 2 y A ) = J Az = −cD AB y A z (ii) reemplazan o la expre ión para NAz en (i) con i eran o cDAB con tante ⎡ 1 dy A ⎤ ⎥ = 0 con yA = yA1 en z = 0; yA = 0 en z = δ. ⎢ dz ⎣1 + 2 y A dz ⎦ I tegra do u a vez 1 dy A = C1 1 + 2 y A dz l (1 + 2 y A ) = C1 z + C 2 2 ¥ ¥ I tegra do uevame te £  £     £ £   £    £ £     £ £      £ £ £  £      £ £ £       £  £ £  £    £       £ £ £ £   £   £   £  £ £  £ £ £   £           £ £    ¥ £ £      £  £   ¥   £ £    £  £ ¥ ¥        £ £  ¥ ¥    £ 90 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to Aplica do las co dicio es límite, Reemplazan o ln (1 + 2 y A ) ln(1 + 2 y A1 )z ln (1 + 2 y A1 ) =− + 2 2δ 2 ( ( ) ) ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ δ − z )/ δ A1 Reorganizan o y A = 1 2 [(1 + 2 y )( −1 ] A partir e e te perfil e concentracione y u an o la correlación (ii) po emo calcular NAz. E in embargo e anotar que e (i) e e pren e que en el ca o pr e ente NAz e con tante y por tanto en la ecuación (ii) ubiéramo po i o epara r variable e integrar in nece i a e allar el perfil e concentracione . Por cualquiera e lo o camino obtenemo ⎛D c⎞ N A = ⎜ AB ⎟ ln(1 + 2 y A1 ) ⎝ 2δ ⎠ Reconociendo que yAS = yA1, yAG = 0, RA = − (1/2) y zF = δ, la ecuación (2.7) no proporciona exactamente el mi mo re ulta o. Vale la pena acer notar que au nque la reacción química ocurre e manera in tantánea en la uperficie catalític a, la conver ión e A en B proce e con veloci a finita ebi o a que el proce o ifu ional e tá en erie con el proce o e reacción. Se ice entonce que la con ver ión e A en B e tá controla a por la ifu ión. Cuan o la veloci a e reacci ón en la uperficie catalítica no e in tantánea, la con ición límite en z = δ eberá reemplazar e por yAδ = NAδ/ck” on e k” e alguna con tante e veloci a e reacción y NAδ e la veloci a e e aparición e A en la uperficie catalític a, upue ta proporcional a u concentración yAδ allí. 2.1.5.2. Reacción química eterogénea no in tantánea. Con i ere la reacción 2A → A2 en un reactor catalítico. La reacción en la uperf icie catalítica no e in tantánea ino proporcional a la concentración e A en e a uperficie. Halle el flujo molar e A. En la uperficie NAS = k1 cA = c k1 xA ien o k1 la con tante e veloci a e reacción (Ejemplo 17.3 1 el Bir , Stewart y Lig tfoot amplia o) £ £ £ £      £ £ £ £ £ £ £ £  £   £   £ £  £ £ £ £ £  £ £   £ £   £  £  £ £ £ £  £  £ £ £ £ £ £ £ £ £   £  £  £ ¤  £ £ £  £   £      £     £   ¤ ⎡ 1 + 2 yA 1   £   £ £  £ £  £  £     £    ¥ l (1 + 2 y A1 ) = C 2 y 0 = C1δ + C2 2 n (1 + 2 y A ) = n ⎢ z /δ ⎢ 1 + 2 y A1 ⎣ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ £ 91 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento e ta o e table, NAz = −2NA2z obtenemo N Az = −cDAA2 A ebe ifun ir a travé e una película e flui o que ro ea la partícula e cat aliza or, y por ca a o molécula e A que e mueven en la irección po itiva el eje e la zeta contra ifun e una molécula el ímero A2. Por tanto, en el y aplican o la primera ley e Fick a e te i tema binario x A N ⎞ ⎛ + x A ⎜ N Az − Az ⎟ 2 ⎠ dz ⎝ Reo ganizando N Az = − cDAA 2 dx A 1 − 1 x A dz 2 Sub tituyen o la primera, − 2 ln (1 − 1 x AG ) = C2 2 ⎛ N Substituyendo la segunda, − 2 ln⎜1 − 1 Az ⎜ 2 ck 1 ⎝ ⎞ ⎟ = C1δ − 2 ln (1 − 1 x AG ) 2 ⎟ ⎠   Integ ando nuevamente − 2 ln (1 − 1 x A ) = C1 z + C2 2 Las constantes de integ ación se hallan usando las siguientes condiciones límite: CL1: En z = 0, xA = xA G; CL2: En z = δ, xA = NAz/c k1         Realizando un balance de mate ia nt amos que dN Az d ⎛ − cDAA2 dx dz ⎜ 1 − 1 x dz ⎟ dz dz ⎝ 2 A 2 ⎛ 1 dx A ⎞ ⎜ ⎜ 1 − 1 x dz ⎟ = C1 pa a un A ⎞ d ⎛ A ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ 2 A ⎝ elemento dife encial de espeso dz enco 1 dx A ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 − 1 x dz ⎟ = 0 = Integ ando una vez ⎠ £ £ £  £  £  £ £ £   £  £ £   £  £   £ £ £ £ £ £  £ £   £ £ £   £ £      £  £ 92 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento ( ) ⎞⎤ ⎟ ⎟⎥ ⎠⎥ ⎦ Reemplaza do los valores de las co sta tes o te emos 2 ⎡ ⎛ 1 − 1 N Az / ck1 − 2 ln (1 − x A ) = − ⎢ n⎜ δ ⎢ ⎜ 1 − 1 x AG 2 ⎣ ⎝ 1 2 ( )⎞⎤ z − 2 n(1 − ⎟ ⎟⎥ ⎠⎥ ⎦ 1 2 x AG ) z /δ (1 − 1 x AG ) = [1 − 1 (N Az / ck1 )]z / δ (1 − 1 x AG )1− z / δ 2 2 2 Extrayen o Logaritmo nuevamente para obtener xA/ z ln (1 − 1 x A ) = δz ln 1 − 1 N Az / ck1 + (1 − δz ) ln (1 − 1 x AG ) 2 2 2 − x A 1 1 = {δ ln 1 − 1 (N A z / ck1 ) − δ ln (1 − 1 x AG )} z 2 2 2(1 − 1 x A ) 2 ⎡1 − 1 N / ck1'' ⎤ dx A 2 = − δ (1 − 1 x A ) ln ⎢ 2 1 Az ⎥ 2 dz ⎣ 1 − 2 AG ⎦ [ ( )] [ ] ( ) Reemplaza do e la expresió para NAz: N Az = ⎡1 − 1 (N Az / ck1'' )⎤ ⎫ 2cDAA 2 ⎡1 − 1 (N Az / ck1'' )⎤ − cDAA2 ⎧ 2 2 ln ⎢ 2 1 ⎨− δ (1 − 1 x A ) ln ⎢ ⎥⎬ = ⎥ 2 ( 1 − 1 x A ) ⎩ δ 1 − 1 x AG ⎦ ⎭ 2 2 ⎣ ⎣ 1 − 2 AG ⎦ Si y = − lculus”) n y 2 y3 tomarse 1 N Az / ck1'' con −1 < y ≤ 1 entonces (Taylor y Wade en “University Ca 2 y 4 n +1 y + − + + (− 1) + 2 3 4 n Para y suficientemente pe ueño puede solo el primer término de esta serie de Taylor así: ! Multiplica do todos los térmi os por − 1 y utilizando las propiedades de los lo aritmos 2 lle amos a '' ⎡ 1 ⎤ (1 − x A ) = ⎢1 − 2 (N1 Az / ck1 )⎥ ⎣ 1 − 2 AG ⎦ 1 2 "  " £ £ ¤ Despejando: C1 = − 2 ⎡ ⎛ 1 − 1 N Az / ck1 2 ⎢ n⎜ ⎜ 1− 1 x δ⎢ ⎝ 2 AG ⎣       ¥   £ "    ¥ ¥ £   ¥ ¥ ¤  ¥ ! ¤ ¥ ¥ ¥ £   2 ( ) ln (1 + y ) = y − 93 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento N Az = 2cDAA2 ⎡ N Az ⎤ − n (1 − 1 x AG )⎥ 2 ⎢− '' δ ⎣ 2ck1 ⎦ δ (1 + DAA 2cDAA2 2 ⎛ 1 ln⎜ ⎜1− 1 x /δ k 2 AG ⎝ 1 ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Ot as Condiciones Límite: En el caso ante io la elación ent e las densidades d e flujo NA y NB fue on obtenidas a pa ti de la estequiomet ía de la eacción. E n ot os casos es necesa io analiza cuidadosamente el modelo físico pa a dete mi na esta elación. EJEMPLO 2.8. Conside emos la difusión de sal común (NaCl) a t avés de agua en un apa ato simila a un balón de fondo plano (ve figu a 2.6). El sistema se manti ene a 68 °F, y el bulbo contiene c istales de sal. Suponemos que el líquido dent o del bulbo tiene concent ación unifo me e igual a la de satu ación y que no ha y mezcla convectiva en el tubo de difusión. De esta mane a, la concent ación en el ext emo infe io del tubo se puede conside a constante e igual a la de una s olución satu ada de sal en agua a 68 °F. El agua que odea el tubo y en la cual está inme so el balón tiene una concent ación desp eciable de sal. Solución. El mecanismo de la difusión de elect olitos en solución es complicado y se ha estud iado en fo ma p ofusa. Sin emba go, aunque los dife entes iones puedan tende a avanza a velocidades dife entes, el eque imiento de neut alidad eléct ica pe m ite analiza la difusión de una sola sal como la difusión de moléculas de sal. L a difusividad es una función de la concent ación; Reid y She wood dan valo es do nde se obse va que la va iación es pequeña. Seleccionamos un valo de DAB = 1.35 x10−5 cm2/s = 5.22x10−5 pie2/h . A medida que la sal sólida se disuelve pa a ee mplaza la sal que sale del tubo, el volumen de la fase sólida disminuye. Po lo tanto debe á existi un flujo de solución hacia adent o (c uzando el plano z = 0) pa a eemplaza este volumen. De esta fo ma en la salida del tubo (z = zf) ha b á un flujo neto de sal disuelta hacia afue a y un flujo neto de agua hacia ade nt o. La solución del p oblema comienza                               ¥                                               ¥               ¥                           ¥ Que fi alme te A: N Az = os permite u a expresió explícita para la de sidad de flujo de ¤         ¥                 ¥               94 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento (i) Estos t es té minos va ían con el tiempo, pe o el volumen V del bulbo es constan te: MS ρs + ML ρL =V (ii) de donde: − 1 dM S 1 dM L = ρ s dt ρ L dt (iii) El balance pa a la sal (especie A): M S + M L w AS = M A (iv) Dife enciamos las ecuaciones (i) y (iv) pa a obtene la velocidad de cambio de l a masa de los dife entes componentes en el bulbo: dM S dM L dM + = dt dt dt dM S dM L dM A + w AS = dt dt dt (v) (vi) Usando (iii) pa a elimina dMs/dt: ⎡ ρ s ⎤ dM L dM = ⎢1 − ⎥ dt ⎣ ρ L ⎦ dt ⎡ ρ s ⎤ dM L dM A = ⎢ w AS − ρ L ⎥ dt dt ⎣ ⎦ (vii) (viii) ¥ La relació   conside ando dive sos balances de mate ia que p ovean la elación necesa ia ent e NA (sal) y NB (agua). P ime o ealizamos un balance global de mate ia al ededo del bulbo, el cual contiene sal sólida (Ms) y solución satu ada (ML; wAS = 0.2 65 a 68 °F). MS + ML = M                                                               95 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to ρ dM A wAS − s ρL 1 dt = n A = = ρs dM n A + nB H 1− dt ρL La p ime a ley de Fick se t ansfo ma pa a este caso en: dw A n A = j A + wA n = − D AB ρ A + Hn A w A dz (ix) (x) Reo ganizando, sepa ando va iables e integ ando a lo la go del tubo: AL ρ dw A n A ∫ dz = − D AB ⎮ 0 wAS 1 − HwA zF w (xi) nA = − D AB w (xii) Conociendo a re ación experimenta entre a densidad de a so ución ρ y la f ac ción másica de la sal wA pe mite evalua la integ al en fo ma g áfica o numé ica . Sin emba go, de Pe y obse vamos que la g avedad específica de las soluciones de NaCl en agua va ía ent e 1.0 y 1.2, así que asumiendo un valo constante ρmed = 1.1 g/cm3, la integ al se evalúa como nA = DAB ρ med ⎡1 − HwAL ⎤ n ⎢ ⎥ H zF ⎣1 − wAS ⎦ (xiii) El flujo de la sal hacia afuera del ul o se puede ahora calcular usa do los sig uie tes valores para los parámetros: ρL = 1.20 g/cm3 ; ρs = 2.16 g/cm3 ; wAS = 0.265 ; H = 0.521 ; zf = 0.5 pie ; wAL = 0 ; ρmed = (1.1)(62.4) = 68.6 lb/pie3 ; DAB = (1.35x10−5) (3.875) = 5.22x10−5 pie2/h . El esultado es También n = nA H = (2.03x10−3) (0.521) = 1.058x10−3 lb./h .pie2 nA = 2.03x10−3 lb/h .pie2. AL ρ dw A z F ⎮wAS 1 − Hw A     ¥     ¥ ¤   ¤ ¥                ¤      ¥ ¤   ¥         ¤              ¥  ¤ ¤         ¥  96 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento nB = 1.058x10−3 − 2.03x10−3 = − 0.97x10−3 lb/h .pie2 Anotamos que si ρS es mucho mayo que ρL (como ocu i ía en la sublimación de un sólido), H tiende a la unidad y NB es igual a ce o, es deci , que el cambio de volumen del sólido causa un flujo desp eciable de B educiéndose al caso de la c elda de A nold. 2.1.5.3. Sistemas con á ea seccional va iable. En ot as palab as d va ía linealmente con z: d = az + b donde a y b son constant es que se obtienen a pa ti de las condiciones pa a z = z1 d = d1 y pa a z = z2 d = d2. Po cualquie a de los dos métodos ⎡ z − z1 ⎤ d = d1 − ⎢ ⎥ [d 1 − d 2 ] ⎣ z 2 − z1 ⎦ (i) Supo emos que ha tra scurrido suficie te tiempo para que se halla esta lecido el estado esta le ya que las co ce tracio es e z = z1 y z = z2 perma ece co sta tes co el tiempo. Ha rá difusió u idireccio al pues B es i solu le e A líquid o, o sea NB = 0.   EJEMPLO 2.9. Un ecipiente te mina en fo ma de cono t uncado inve tido en su pa te supe io , tal como lo muest a la figu a 2.7. El cue po del tanque es cilínd i co con diámet o de 2 pie, el nivel del líquido se mantiene dos pie po debajo de l tope. (a) ¿Cuales se án las pé didas ho a ias si el ai e en la pa te supe io es seco a 100 °F y una atmósfe a? (b) ¿Qué dife encia hab ía si el tanque te min a a en fo ma de cilind o ecto? Solución. (a) Po geomet ía, los t iángulos abe y gbf son semejantes. Podemos establece entonces que d −d z − z1 gb gf = = o 1 ab ae d 1 − d 2 z 2 − z1 ¥           ¥ ¥    ¥     ¥          ¥                                ¥ ¥               ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥                              ¥                  ¥     ¥   97 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to Si mA es la velocidad de tra sporte del vapor de agua (compo e te A) e la direc ció z e moles por u idad de tiempo, mA = NA S do de S es el área perpe dicular a la direcció de flujo z y varía co la posició , e forma opuesta a como lo h ace NA pues mA es co sta te e estado esta le. De la primera ley de ick para NB = 0 y ⎛p ⎞ N A = J A + ⎜ A ⎟( N A + N B ) ⎝ P ⎠ D dp A J A = − AB RT dz NA = − D AB P dp A (ii) mA = NA S = NA (πd2/4) = constante De (i) e (ii), ara z1 = 0 ⎤ dp A D AB P π ⎡ z mA = − ⎢d1 − [d1 − d 2 ]⎥ z2 T ( p − p A ) 4 ⎣ ⎦ dz 2 al separar varia les: 2 dp dz π D AB P mA = ⎮ =− ⎮ ( 2 4 1 − d 2 ]] z 0 (iii) Obsérvese que si hacemos (a − bz) = u, entonces du = − bdz, y por o tanto dz 1 du 1 =− 2 = ⎮ ⎮ 2 b u bu (a − bz ) z1 u1 z2 u2 u2 u1 Entonces (iii) se transforma en: ⎤ ⎡ z2 DAB P π [− ln(P − p A )]0p AS mA ⎢ ⎥ =− T 4 ⎣ (d1 − d 2 )[d1 − (z z 2 )[ d1 − d 2 ]]⎦ 0 mA z2 D π ⎡ P ⎤ n ⎢ = AB ⎥ d1d 2 T 4 ⎣ − p AS ⎦ z2 T p AS p − p A ) T (P − p A ) dz 0 [d 1 − ( z z 2 )[d ¥ ¥  ¤ ¥ ¥ ¥ ¥ © ¥ ¥  ¥  ¥ ¥ ¥ ¤ ¥ ¥ ¥ © ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥  98 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to La velocidad molar de evaporació será e to ces: mA = π d1 d 2 D AB P 4 z2 ⎡ P ⎤ n ⎢ ⎥ (iv) T ⎣ − p AS ⎦ (1.46 *10−4 )(560) 0.000146 T 2.5 = = (1)(560 + 441) P T + 441 2.5 = 1.0824 pie 2 / hr. (ecuación 3.14a) π (2)(1) 4 O sea mA = 1.386x10−4 lbmol/hr, ue e uivale a 1.13 cm3 evaporados por hora. (b) Este es un caso análo o al de la celda de Arnold, con NA y c constantes para to da z. mA = π d 2 DAB P ⎡ P ⎤ n ⎢ ⎥ 4 mA = π 22 4 (1.08)(1) ln ⎡ 760 ⎤ (0.7297 )(560)(2) ⎢ 760 − 49.09 ⎥ ⎣ ⎦ l mol / hr. E to ces mA = 2.772x10−4 lbmol/hr, ue es mas del doble de la velocidad de evapo ración calculada para el primer caso. EJEMPLO 2.10. Un recipiente esférico tiene diámetro de 2 pies y está abierto a l a atmósfera a través de un a ujero de tres pul adas de diámetro en su parte supe rior. Si este recipiente está lleno hasta la mitad con tolueno lí uido, ¿cual se rá la pérdida instantánea de tolueno a los alrededores por evaporación? La tempe ratura es 18.4 °C, la presión es atmosférica normal. Bajo estas condiciones la p T z 2 ⎣ − p AS ⎦  !    ! ¤ © ! ¤ (1.08)(1) ln ⎡ 760 ⎤ bmo (2) (0.7297 )(560) ⎢ 760 − 49.09 ⎥ hr ⎣ ⎦ ¥ ¤ ¤ (1)(359) atm. pie ⎡ PV ⎤ mA = =⎢ ⎥ = (1)(492 ) bmo .o R = 0.7297 ⎣ T ⎦ o ¥ ¥ ¥ ¥ ©  ¥ ¥ ¥ ¥ ara las co dicio es del medio, razó por medio circu da te y 100 ° , pAS = 1.9325 DAB del pro lema, supo ie do que el recipie te o está aislado la cual la temperatura será aproximadame te igual a la del o la de saturació adia ática: resió de vapor del agua a plg Hg = 49.086 mm Hg. ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  © ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤  ¥ ¥  © resión de vapor del tolueno es 20 99 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento mm. , su densidad es 54.1 lb/pie3, y la difusividad del sistema aire vapor d e tolueno es 0.326 pie2/hr. Solución. Suponemos ue se ha alcanzado el estado estable, es decir, mA = NA S e s constante con z. Refiriéndonos a la fi ura 2.8, observamos ue 0 < z < R = d/2 . El área vale S = π r2; r2 = (R2 – z2). Sólo hay flujo de A en la dirección z. NB = 0. ⎡ D AB P dp A ⎤ m A = ⎢− π (R 2 − z 2 ) = constante T (P − p A ) dz ⎥ ⎦ ⎣ [ ] : Co sta te u iversal de los gases. Separa do varia les e i tegra do: z2 dz dp A π D AB P =− mA ⎮ ⎮ 2 2 0 R − z 0 (i) (a + b )R + (b − a )z 1 a b = + = 2 R+z R−z R −z R2 − z2 (b − a ) = 0 ; (a + b ) R = 1 ; a = b = 1 2R 2 1 1 ⎡ 1 1 ⎤ = + 2 2R ⎢ R + z R − z ⎥ R −z ⎣ ⎦ 2 T p AS P − p A Reemplaza do los valores uméricos: ¤ La ecuació (i) se resuelve e to ces como: ⎡ P ⎤ 2π R D AB P ln ⎢ ⎥ ⎣ − p AS ⎦ mA = ⎡ ⎡ R + z2 ⎤ ⎡ R − z2 ⎤ ⎤ − n ⎢ R ⎥ ⎥ ⎣ ⎦⎦ ⎣ ⎣ R ⎦ T ⎢ n ⎢ ⎥   ! ¥ ¥ ¥ © ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ! ¥ ¤ 100 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to ⎡ 760 ⎤ 2π (1)(0.326)(1) ln ⎢ b mo ⎣ 760 − 20 ⎥ ⎦ mA = hr (1.3143)(291.55)⎡ n ⎡1 + 0.99 ⎤ − n ⎡1 − 0.99 ⎤ ⎤ ⎢ ⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦⎦ ⎣ ⎣ do de [ 2 1 ] 1 2 ⎡ ⎛ 1.5 ⎞ 2 ⎤ = ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ 12 ⎠ ⎥ ⎦ ⎣ 1 2 = 0.99 pie ó 1.24 cm3/hr, la velocidad de 2.1.6. Difusión con eneración interna. 2.1.6.1. Reacción uímica homo énea. Consideremos una película lí uida de espesor zF a través de la cual difunde un as A disuelto en la interfase as lí uido donde z = 0. Allí la concentración e s la de e uilibrio cAS. Supon amos ue la concentración en el límite de la pelíc ula, en la corriente principal de fluido es cAm. Dentro de la película lí uida A desaparece por reacción uímica homo énea. El sistema es claramente unidimensio nal. Aplicando el balance de materia (2.1a) para condiciones de estado estable o btenemos (dNA/dz) = ΦD. Al aplicar la ley de ick co sidera do desprecia le el t érmi o de arrastre cAvz*, por tratarse de fase líquida diluida, o te emos DAB d 2c A + ΦD = 0 dz 2 Si la reacció es de primer orde e irreversi le, ΦD = − k’cA. Así: d 2c A k − c A = 0 , con cA = cAS en z = 0 y cA = cAm en z = zF. Con k’/DAB = m2, esta 2 D AB dz ecuación es de la misma forma de la ecuación (1.35) con la condición límit e (iv). Tomamos la solución de la forma (1.37): !   ! ¥  ¥  ¥    ! mA = 2.5745x10−5 lbmol/hr. Son 1.076 /hr evaporación. ¥ ¤ ¤ (1)(359) = 1.3143 atm. pie3 ⎡ PV ⎤ =⎢ = z2 = R − r 2 bmo .K ⎣ T ⎥ o (1)(273.15) ⎦ ¤ ¥ ¥ ¥ ¥ ! ¤  ¥ ¥ ¤ ! !   ! ¥  ¤ ¥  ¥  101 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento cA = C1 senh(mz) + C2 cosh(mz) De la primera condición límite C2 = cAS, y de la segunda: cAm = C1 senh(mzF) + cAS cosh(mzF) resolviendo para C1 y reemplazando o btenemos: cA = c Am senh(mz ) − c As [cosh(mz F ) senh(mz ) − cosh(mz ) senh(mz F )] senh( mz F ) De las propiedades de las funciones hiperbólicas sabemos ue: cosh(x) senh(y) cosh(y) senh(x) = senh(y x). Aplicándola con x = mzF e y = mz: cA = c Am senh( mz ) − c As [senh(mz − mz F )] senh(mz F ) (2.8) Hatta demostró ue para mzF = B > 0.3, cAm ≈ 0; entonces cA = c As [senh(mz F − mz )] , pues senh(−x) = −senh(x). senh(mz F ) El flujo molar en la interfase: NAS = − DAB(dcA/dz)z = 0 N AS = − D AB dc A dz = z =0 D AB c AS B cosh B D AB c AS = B coth B zF zF senh B Observemos ue el coeficiente de masa convectivo se asimila a: kcR = NAS/cAS = ( DAB/zF)Bcoth(B) Si no hubiera reacción uímica se encontraría: NAS = (DAB/zF) cA S = kc cAS. Danckwertz definió el "Factor de ensanchamiento", E, como el factor por el cual la reacción uímica incrementa la velocidad de absorción, en compara ción con la absorción física cuando cAm = 0. O sea E = kcR/kc = B coth(B). De ac á se puede obtener kcR si DAB, k’ y kc se conocen.        102 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Para reacción rápida con difusividad pe ueña, B es grande y coth(B) tiende a la unidad. A uí E = B, y NAS = (cASDAB/zF)(k’zF2/DAB)1/2 = cAS(k’DAB)1/2. Observamo s ue es independiente de zF puesto ue la molécula reacciona antes de alcanzar zF. El coeficiente de transferencia de masa es entonces kcR = (k’DAB)1/2. La can tidad adimensional B es llamada número de Hatta. 2.1.6.2. Difusión con generación. Simetría esférica. Se puede utilizar a veces el concepto de reacción uímica homogénea habiendo rea lmente reacción heterogénea. En el ejemplo 2.7, la reacción ocurrió en la superf icie de un catalizador sólido no poroso y se describió por el empleo de una cond ición límite apropiada. Debido a ue una partícula de catalizador poroso, por lo común, tiene una superficie interna muy grande la reacción uímica se puede des cribir como si estuviera distribuida en forma uniforme por toda la partícula. Co nsideremos una corriente gaseosa compuesta de un reactivo A y un producto B ue fluye a través de esferas de catalizador en un reactor uímico. La concentración cAS de A en la superficie de una partícula de catalizador se asume constante. E l reactivo A difunde desde la superficie a través de los poros del catalizador y reacciona dentro de la esfera. El producto B se forma y contra difunde hasta la superficie externa del catalizador y desde allí hacia la corriente gaseosa. Hal lar la distribución de concentraciones en la partícula y la transferencia total de A en la superficie. Solución. La simetría es esférica. Como solo habrá gradientes radiales, mAr, el flujo molar de la especie a en la dirección radial será constante aun ue no la d ensidad de flujo por estar referida a un área variable. Aplicando nuevamente la ecuación (1.7) a un cascarón esférico de espesor dr obtenemos una expresión simi lar a la (2.2), a saber: ∂m Ar ∂c dr + A dV = Φ D dV ∂r ∂t co dV = 4πr2dr. Dividiendo or dV, y reconoci endo que mAr = 4πr2NAr obtenemos: ∂c 1 ∂ 2 r N Ar + A = Φ D 2 ∂t r ∂r [ ] (2.9) do de ΦD será e este caso la velocidad molar de producció de la especie A por u idad de volume del catalizador. Como A es el reactivo, ΦD será egativo y pue de estar dado por u a expresió ci ética de primer orde como ΦD = − k’cA donde k’   ¥   ¥  ¥   ¥  ¥  ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ 103 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento es la constante específica de velocidad con dimensiones de [t−1]. Para estado es table y despreciando el término de arrastre en NAr, la ecuación (2.9) ueda: 1 d ⎡ 2 dc A ⎤ k' r − cA = 0 2 r dr ⎢ dr ⎥ DAC ⎣ ⎦ (2.10) do de DAC es la "Difusividad Efectiva" de A a través de los poros del catalizado r. Esta de e esta lecerse empíricame te por ause cia de i formació refere te al meca ismo de tra sporte de a e los poros del catalizador y de la lo gitud de l os mismos. La solució se puede simplificar hacie do cA = f(r)/r: dc A 1 df (r ) f (r ) = − 2 por tanto dr r dr r d ⎡ 2 dc A ⎤ d ⎡ df (r ) d 2 f (r ) df (r ) df (r ) d 2 f (r ) ⎤ r r = − f (r )⎥ = r + − =r dr ⎢ dr ⎥ dr ⎢ dr dr dr dr 2 dr 2 ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ Co esto y hacie do m2 = k’/DAC, la ecuació (2.8) se co vierte e : d 2 f (r ) − m 2 f (r ) = 0 2 dr Ecuación similar a la (1.35) cuya solución ya conoc emos (1.37): rcA = f(r) = C1 cosh(mr) + C2 senh(mr) Las condiciones límite son: f(r) = 0 o sea cA finito en r = 0; f(r) = RcAS ; cA = cAS en r = R donde R es el radio de la partícula esférica de catalizador. La primera hace ue C1 = 0. La s e unda condición nos da : C2 = Rc AS senh(mR) o sea: cA = c AS R senh(mr ) r senh(mR) (2.11) ¥ ¥  ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ! 104 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento El transporte total en la superficie es: mAS = α N Ar S r = R = −α 4π R 2 DAC dc A dr r =R α= Volumen de poros = fr cciónde oc s de poros en l superficie Volumen de p rtícu l Diferenci ndo (211) y reempl z ndo: mAS = 4απ RDAC c AS ⎡1 − ⎢ ⎣ ( k / DAC ) R coth ( ( k / DAC ) R )⎤ ⎥ ⎦ (2.12) Esta ecuació expresa la velocidad de co versió (moles/tiempo) de A a B e u a partícula catalítica de radio R, e fu ció de los procesos difusio ales que tie e lugar. Imagi émo os u catalizador perfectame te efectivo e el cual todos s us poros i teriores alca za cAS. El tra sporte total e la superficie sería igu al e to ces a la producció total e el i terior, o sea mA = α[4πR3/3][−k’cAS]. La relación entre la velocidad de transporte de un catalizador real y de uno pe rfecto es el llamado factor de eficacia. Para una esfera viene dado por: η= m AS = m AP ( (k 3 2 [ (k / D AC )R cot ( (k / D AC )R ) / D AC )R ) − 1] (2.12a) (k’/DAc)½ R e un grupo a imen ional llama o número e T iele. Para partícula n o e férica , e pue e u ar un ra io equivalente efini o por: Req = 3Vp/Ap, on e Vp y Ap on el volumen y la uperficie e la partícula re pectivamente. La efi ciencia tiene en cuenta la re i tencia ifu ional el proce o global e conver i ón. £ £  ¥ ¥ ¡ £ ¥ ¥  ©  ¥ £ £ £ ¡ ¥ £ ¥  ¥ £ ¥ ¥ £ ¥ £ ¥ ¥ ¥ ¡ £    ¡ ¡  ¥ ¥ ¥ ¥ £  ¡ ¥ £  ¥    ¥ ¥ ¡ ¥ ¥  ¥ ¥ ¡ 105 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 2.2. INTRODUCCIÓN AL TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y DIN MICA DE FLUIDOS. A ora que e an vi to alguno ejemplo elementale e tran porte e calor y ma a, no encontramo en mejore con icione para compren er el tema e tran porte e impul o. Da o que el impul o o la canti a e movimiento e un cuerpo, e e fine como el pro ucto e u ma a por u veloci a , e pue e pen ar en la veloci a e un flui o en un punto a o como u impul o por uni a e ma a. O ea que, lo cambio en la veloci a e un flui o pue en originar tran porte e canti a e movimiento, a í como lo cambio e temperatura originan tran porte e calor. La e cripción matemática e e te tran porte forma una parte importante e la c iencia e la mecánica e flui o . Como el concepto e tran porte e canti a e movimiento generalmente no e enfatiza, ebemo revi ar alguna efinicione bá ica . 2.1.7. Tran porte e canti a e movimiento entre placa paralela . Flujo e Couette. Con i eremo un flui o conteni o entre o gran e placa paralela (figura 2.9a). La i tancia entre la placa e b, que e pequeña compara a con la otra imen ione e la placa . En el tiempo t = 0 la placa inferior e pon e en movimiento con veloci a con tante vx1 = V aplican o una fuerza F en la ir ección x mientra la placa uperior e eja e tacionaria (vx = 0). Al mover e la placa inferior arra tra con igo la capa e flui o inme iatamente a yacente, la que e mueve a la mi ma veloci a e la uperficie. E ta e la con ición e fron tera enomina a e “no e lizamiento” fun amenta a experimental y teóricamente. Como la placa uperior e tá e tacionaria, la veloci a el flui o allí e cero. Pero la capa e flui o vecina a la placa inferior e mueve con re pecto a la cap a e flui o inme iatamente uperior que inicialmente e encontraba en repo o y a u vez le imprime movimiento. De e ta manera el movimiento e la placa inferior ace aparecer un campo e veloci a e en el líqui o, con la veloci a ecrecien o continuamente e e V en la placa inferior a ta cero en la placa uperior.  £  £ £ £ £ £ £ £ £ £      £ £  £   £ £ £   £  £ £ £ £  £ £   # £  £   £  £ £ £ £ £    £ £ £ £ £ £    £    £ £  £   £ £ £  £ £   £   £ £ £ £   £  £ £ £  £ £ £ £ £ £   £  £    £  £ £      £  £    £   £ £ £   £ £ £ £   £ £  £ £   £ £ £    £   £ £ £ £ £  £  £ £ £ £   £  £ £ £ £   £ £ £  £   £        £ £ £ £  106 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento El movimiento e la placa inferior por tanto cau a un aumento en vx, la veloci a el flui o en la irección x, e e cero a ta algún valor po itivo. Como la c anti a e movimiento e proporcional a la veloci a , abrá un corre pon iente a umento en la canti a e movimiento x. En otra palabra , la canti a e movimie nto x e tran porta en la irección z e e la placa a ta el flui o y allí e e una capa e flui o a la iguiente. En la figura 2.9b e grafican lo perfile e veloci a para vario tiempo . Para t = 0 ay un cambio bru co en z = 0 e e vx = V a ta vx = 0. En t = t1 la veloci a aumentó cerca el plano inferior, p ero el impul o to avía no a penetra o en el flui o cercano al plano uperior. E n t = t2, la placa uperior comienza a percibir el movimiento e la placa inferi or. Finalmente en t = ∞ e obtiene e ta o e table en el cual la veloci a no vue lve a cambiar con el tiempo. El concepto e tiempo infinito e claramente una ab tracción matemática. Para flui o muy vi co o e pue e requerir olo una fracc ión e egun o para alcanzar el 99 % e la con ición e e ta o e table. 2.1.8. L ey e Newton e la vi co i a . Continuemo con i eran o el flujo entre o placa . Luego e un cierto perio o e tiempo el perfil alcanza u e ta o final e taci onario (figura 2.9b). Una vez alcanza o ic o e ta o e tacionario e movimiento e preci o aplicar una fuerza Fx con tante para con ervar el movimiento e la lá mina inferior. E ta fuerza claramente epen e e la veloci a V, e la naturalez a el flui o, e la i tancia b entre la placa y el área e contacto S e la mi ma con el líqui o. Para e te ca o e pecial viene a a por: Fx V (0 − V ) = µ = −µ S b (b − 0) (2.13) E ecir, que la fuerza por uni a e área e proporcional a la i minución e l a veloci a con la i tancia z. El coeficiente e proporcionali a µ e enomina vi co i a el flui o. Para e arrollar una expre ión má general con i eremo una e la curva e la figura 2.9b ante e alcanzar el e ta o e tacionario y l a graficamo como vx contra z a t con tante (figura 2.10). Con i eran o una regi ón e e pe or ∆z en la cual la velocidad cambia en una cantidad ∆vx, la cual, us ando la definición del ope ado dife encia se esc ibe como ∆v x = v x ( z + ∆z ,t ) − vx ( z ,t ) Una ecuación consistente con la (2.13) se á: Fx ∆v = −µ x S ∆z  £  £  £ £  £ £ £  £  £ £ £  £ £ £  £   £  £ £ £ £ £ £ £  £ £     £ £    £ £ £ £ £ £ £ £ £ £     £   £  £ £ £ £ £     £ £ £   £ £      £   £  £ £     £ £    £ £ £    £ £     £ £ £ £   £ £  £     £ £ £ £ £ £     £    £   £ £ £  £ £ £  £ £ £ £ £ £ £  £   £ £  £  £ £ £ £ £ £ £   £ £  £  £ £ £  £  £ £ £ £ £ £ £     £ 107 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento Donde la pendiente de la cu va vx cont a z es ∆vx/∆z. Al toma el límite cuando (z tiende a 0 nos ap oximamos a la ve dade a pendiente en z, la que está dada po la de ivada pa cial ∂vx/∂z. La ecuación básica esultante pa a el t anspo te d e impulso unidi eccional inestable es: ∂v x (2.14) ∂z llamada ley de Newton de la viscosidad en una dimensión. τzx es e l esfuerzo cor an e que se ejerce en la dirección x sobre la superficie de un fl uido si uada a una dis ancia z, por el fluido exis en e en la región donde z es menor. Los fluidos que obedecen la ecuación (2.14) se denominan new onianos. τ zx = − µ Muchos fluidos de importancia industrial y bioló ica no obedecen esta ley y se l laman no newtonianos. Al unos de ellos son la pasta dental, plásticos fundidos y soluciones poliméricas. Todos los ases y la mayoría de los lí uidos simples, e ntre ellos el aire y el a ua son fluidos newtonianos. Se ún las consideraciones del numeral anterior τzx puede in erpre arse ambién como la densidad de flujo v iscoso de can idad de movimien o x (densidad de flujo es velocidad de flujo por unidad de área, o sea que son unidades de can idad de movimien o por unidad de iempo y unidad de área) en la dirección z. Según la ecuación (2.14) se deduce qu e la densidad de flujo viscoso de can idad de movimien o sigue la dirección del gradien e nega ivo de velocidad, es decir, la dirección de velocidad decrecien e , al como ocurre con la densidad de flujo de calor que es proporcional al gradi en e nega ivo de empera ura o al de masa que es proporcional al gradien e nega ivo de concen ración. Examinando la ecuación ambién vemos que µ iene las dimen siones de masa por unidad de longi ud y unidad de iempo. An eriormen e se expre só en g/cm.s. o poise (P), o en unidades de 0.01P, conocidas como cen ipoises (c P). En el sis ema in ernacional de unidades (SI) la viscosidad es á dada en pasc al segundo (Pa.s) donde 1 Pa.s = 10 P = 1000 cP = 1 Kg/m.s 2.1.9. Fluidos no new onianos. Un fluido new oniano se describió como uno en el cual el esfuerzo cor an e es direc amen e proporcional a la velocidad de deformación, o sea la viscos idad es cons an e e independien e de la velocidad de deformación. Una gráfica de τzx con ra -∂vx/∂z a presión y empera ura cons an es, nos dará una línea rec a para un fluido new oniano pero se desviará de la línea rec a para un fluido no new oniano (figura 2.11). Es e compor amien o más sencillo es el correspondien e a la curva A, que es una rec a que pasa por el origen de coordenadas. Las demás curvas de la figura 2.11 represen an el compor amien o reológico de líquidos ll amados no New onianos. Algunos líquidos como lodos, no fluyen has a que se alcan za un esfuerzo cor an e mínimo, que se represen a por τ0, y después fluyen linea lmen e para esfuerzos cor an es superiores. La curva B es un ejemplo de es e com por amien o. Los líquidos que se compor an de es a forma reciben el nombre de ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦     ¦ ¦   ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦    ¦     ¦ ¦ !   ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦   ! ¦ ¦ ¦   ¦ ¦ ¦ ¦     ¦ ¦ ¦     ¦ ¦ ! ¦ ¦ ¦ ¦ ¦   ¦ ¦ ¦ ¦ ¦   ! ! ¦ ¦ ¦ ¦ ¦   ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦     ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦   ¦ ¦   ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦   ¦ 108 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Be ancour Grajales Transferencia molecular de calor masa y can idad de movimien o Plás icos de Bingham. La línea C represen a un fluido seudoplás ico. La curva pa sa por el origen, es cóncava hacia abajo para bajos esfuerzos cor an es haciéndo se rec a para esfuerzos cor an es elevados. El lá ex del caucho es un ejemplo de un fluido de és e ipo. La curva D represen a un fluido dile an e. La curva es cóncava hacia arriba para bajos esfuerzos cor an es y se hace lineal para esfuer zos cor an es elevados. La arena movediza y algunas emulsiones de arena presen a n és e compor amien o. 2.1.9.1. Flujo dependien e del iempo. Ninguna de las curvas de la figura 2.11 d epende de la his oria del fluido de al forma que una de erminada mues ra de ma erial presen a el mismo compor amien o independien emen e del iempo que se le h aya aplicado el esfuerzo cor an e. Sin embargo és e no es el caso de algunos flu idos no new onianos cuyas curvas de esfuerzo cor an e con ra velocidad de cizall adura dependen del iempo que ha ac uado el esfuerzo cor an e. Los líquidos ixo rópicos se desna uralizan bajo la acción con inuada de un esfuerzo cor an e y, al mezclarlos de nuevo, dan lugar a un menor esfuerzo cor an e al aplicar una ve locidad de cizalladura dada. Las sus ancias reopéc icas se compor an de manera c on raria, de forma que para una velocidad de cizalladura cons an e el esfuerzo c or an e aumen a con el iempo. En general, las es ruc uras originales se recuper an con el iempo. 2.1.9.2. Esfuerzo cor an e fren e a gradien es de velocidad pa ra fluidos no new onianos. Los plás icos de Bingham como los represen ados por l a curva B siguen una ecuación reológica del ipo ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 109 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Be ancour Grajales Transferencia molecular de calor masa y can idad de movimien o τ yx = − µ 0 Los fluidos dile an es y pseudoplás icos siguen con frecuencia la ecuación de la ley de la po encia n, donde n = 1 para fluidos new onianos, n > 1 para un fluid o dile an e o que aumen a la viscosidad con el esfuerzo, y n < 1 para fluidos ps eudoplás icos o sea que el coeficien e disminuye al aumen ar el gradien e. τ yx n −1 Esta ecuación es llamada también modelo de Ostwald de Waele. Los parámetros m y n son constantes ue reciben el nombre de índice de consistencia de flujo e índi ce de comportamiento de flujo, respectivamente. 2.1.9.3. Número de Reynolds para fluidos no newtonianos. Puesto ue los fluidos no Newtonianos no tienen un únic o valor de la viscosidad independiente del esfuerzo cortante, no puede utilizars e la ecuación para el número de Reynolds. La definición del número de Reynolds p ara tales fluidos es al o arbitraria; una definición ampliamente utilizada para fluidos de la ley de la potencia es Re = 2 3− n n 2− n ⎛ n ⎞ D ρV ⎟ ⎜ m ⎝ 3n + 1 ⎠ n Pa a el núme o de Reynolds c ítico co espondiente a la t ansición a flujo tu bu lento, se ha p opuesto la siguiente ecuación Re = 2100 (4n + 2)(5n + 3) 3(3n + 1 ) 2 que está de acue do con las obse vaciones de que la iniciación de la tu bulencia ocu e pa a núme os de Reynolds supe io es a 2100 con fluidos seudoplásticos (n < 1). 2.1.10. T anspo te de cantidad de movimiento unidi eccional estaciona io. Flujo de Couette. Este es el caso que se p esenta en la sección 2.2.1 y al cual hacen alusión las figu as 2.9a y 2.9b. En este caso no hay flujo neto de cantidad de movimiento co nvectivo en la di ección x debido a que vx no depende de x. La acción de los esf ue zos co tantes en un elemento de volumen de altu a dz puede inclui se tanto co mo fue zas en un balance de fue zas como un                               !                           " dv dy " dv = −m dy ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ $ " dv dv τ 0 … si … τ yx > τ 0 ;… x = 0… si … τ yx < τ 0 dy dy ¦ ¦ ¦ ¦     110 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento flujo de cantidad de movimiento en un balance de cantidad de movimiento. Nótese que no existen ot as fue zas netas actuando en la di ección x pues la p esión no va ía con x y la g avedad no va ía en esta di ección. Aplicando el balance gene alizado, (1.7) pa a el caso de fluidos newtonianos de densidad y viscosidad con stantes, teniendo p esente que se supone alcanzado el estado estaciona io y que vx es sólo función de z, además de las ante io es conside aciones sob e p esión y fue za obtenemos: τ zx z + dz − τ zx z = 0 pero τ zx z + dz = τ zx z + d (τ zx )dz por lo cual dz (2.15) dτ zx d ⎛ dv ⎞ d 2vx = ⎜ − µ x ⎟ = −µ =0 dz dz ⎝ dz ⎠ dz 2 Es deci , τzx = τS es una cons an e. O sea hay dis ribución de flujo de can idad de movimien o cons an e. Separando variables en la ley de new on e in egrando e n re los lími es dados por las condiciones lími e: z vx =µV ( b) De acá el perfil de velocidad es v ⎛ z ⎞ = ⎜1 − ⎟ V ⎝ b⎠   2.1.11. Simet ía adial. Adve timos que la analogía ent e el t anspo te de calo y cantidad de movimiento no es completa en gene al, puesto que la cantidad de movimiento es un vecto y la tempe atu a un escala . Esta dife encia gene almente se evidencia en el flujo bidimensional, y aún en sistemas monodimensionales cuando se usan sistemas coo denados dife entes al ca tesiano. Sin emba go, si, hablando de simet ía cilínd i ca, vz = f( ) y v = vθ = 0, el transporte de cantidad de movimiento en la direc ción r está descrito por:         Este pe fil lineal es análogo al obtenido pa a el t anspo te de calo ed plana sin gene ación haciendo T2 = 0 (ecuación 1.9).                                           " µ (V − v z ) " (τ S ) ∫ dz = − µ ∫ dv 0 V ⇉ τ S = en una pa   ¦         ¦ ¦         ¦ ¦           ¦ ¦       ¦ ¦         ¦ ¦               ¦ "   τ rz = − µ ∂v z ∂r (2.16) 111 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento ue es similar a la ecuación de τzx para ranspor e de la can idad de movimien o x en la dirección z, ecuación (2.14). 2.1.11.1. Transpor e de can idad de movimien o en un anillo. Consideremos un pis ón me álico horizon al de radio R1 y longi ud L, moviéndose axialmen e a ravés de un acei e lubrican e con enido en el espacio anular compr endido en re el pis ón y un cilindro concén rico de radio R2. (Figura 2.12). Se desea hallar la fuerza Fz requerida para mover el pis ón a ravés del acei e con velocidad cons an e V, no habiendo diferencias de presión o fuerzas gravi acion ales. Desprecie los efec os de borde. Solución: Sea r la dis ancia desde el cen ro del pis ón y z la dis ancia a lo largo del eje del mismo. Como el pis ón se m ueve en la dirección z el fluido endrá una componen e de velocidad vz. Ahora, l a velocidad en la superficie del pis ón (r = R1) debe ser igual a V pues o que e l fluido se adhiere a la superficie del pis ón. Por igual razón, la velocidad de l fluido en la superficie del cilindro ex erno debe ser cero ya que el cilindro ex erno es á fijo. De es a manera la velocidad del fluido variará con la posició n radial desde vz = V has a vz = 0. Es a variación radial significa que el pis ó n es á impar iendo can idad de movimien o z al fluido y es a can idad de movimie n o se ranspor a radialmen e a ravés de capas sucesivas de fluido has a el cil indro ex erior. Así en el es ado es able, enemos una si uación similar al ejemp lo de las placas paralelas excep o que debemos rabajar en coordenadas cilíndric as. En es e momen o, el problema es análogo al problema de ransferencia de calo r a ravés de la pared de un ubo ya discu ido. Las condiciones físicas simplifi can es de la ecuación general son: la presión es cons an e, el pis ón es horizon al y no habrá fuerzas gravi acionales ni de presión en la dirección z. Aplicand o la ecuación de balance (1.7)en la dirección radial: SALIDA − ENTRADA + ACUMULACION = GENERACION (1.7) a un cascarón cilíndrico de espesor dr, con Sr = 2πrL: ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 112 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento (τ rz r + dr − τ rz r d )(2πrL) = 0 ⇉ r (rτ ) = 0 rz (2.17) In egrando rτrz = C1; la dis ribución de densidad de flujo es: C1 dv = − µ z ⇉ − µv z = C1 ln r + C 2 r r La con icione límite τ rz = (2.18) i. ii. vz = V en r = R1. vz = 0 en r = R2. C1 = µV ln R2 R1 ; C 2 = − µV − µv ln R1 ln R2 R1 y el perfil de velocidades es V − v z ln r R1 = R V ln 2 R1 despejando v z ln r R2 = V ln R1 R2 (2.19) Si observamos sin embar o, ue las ecuaciones diferenciales, leyes de flujo y co ndiciones límite son análo as al caso de transporte de calor en la pared de un t ubo siempre ue To = 0, podemos aplicar las ecuaciones obtenidas reemplazando T por vz, Ti por V y To por 0. La distribución de velocidades es entonces similar a (1.23) La velocidad de flujo de cantidad de movimiento se obtiene multiplicand o el flujo de cantidad de movimiento por el área de flujo, ambos evaluados en r = R1. Es similar al flujo de calor Qr calculado en r = Ri y podría obtenerse por similitud con la ecuación (1.25). Sin embar o, lo realizaremos para enfatizar e l procedimiento: Como el flujo de cantidad de movimiento es constante puede eval uarse en r = R1, r = R2 o cual uier r arbitrario. Seleccionando r = R1 y usando la ley de Newton de la viscosidad, F1 = τ rz S r ⎡ dv = ⎢− µ z dr ⎢ ⎣ ⎤ ⎡ 2πR1 LV ⎤ 2πLVµ = ⎥[2πR1 L] = µ ⎢ ⎥ ⎣ r l  £  ! £  ¦ !  ! £  ¦ = R1   ( R2 / R1 ) ⎦ r = R1 l ⎛ R2 ⎞ = R1 ⎥ ⎦ ⎜ R ⎟ 1⎠ ⎝ ¥   ¥ 113 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 2.1.12. T anspo te de cantidad de movimiento con gene ación. Un fluido newtoniano fluye hacia a iba en estado estable en el inte io de un c onducto ci cula la go de longitud L. Conside emos una sección del tubo alejada de los ext emos del mismo (figu a 2.13). Tomemos como z la di ección hacia a ib a, y la distancia desde el cent o. La velocidad en la di ección z positiva es vz, la que depende de la posición adial. En z = 0 la p esión que actúa unifo me mente sob e el á ea t ansve sal πR2 es P0; en z = L es PL. La densidad ρ del flu ido se asume constante, o sea que hablamos de un fluido incomp esible. En estas condiciones se dice que el flujo está completamente desa ollado, indicando que la velocidad vz es sólo función de , no cambiando con z. Adicionalmente suponem os que el fluido está en flujo lamina . Esto significa que una pa tícula t azado a colocada en una posición cualquie a, adial y angula mente hablando, pe manec e en la misma posición adial y angula a medida que avanza axialmente con el fl uido. Pa a un fluido newtoniano fluyendo en un conducto ci cula el flujo lamina existe, pa a valo es del núme o de Reynolds infe io es a 2100. El núme o de Re ynolds es una cantidad adimensional definida, pa a el caso de conductos ci cula es po la exp esión Re = ρvd/µ. Como p oblema de diseño pod íamos pensa en la n ecesidad de dete mina la dife encia de p esiones P0 − PL eque ida pa a bombea un fluido con dete minada viscosidad a t avés de un conducto de adio R y longi tud L a una velocidad p omedio V, con el fin de dete mina el tamaño de la bomba necesa ia. 2.1.13. Velocidad p omedio. Si la densidad es constante, la velocidad p omedio vmed se define en té minos de l caudal volumét ico Q’ [m3/s] po : Q’ = Azvmed, en la que Az es el á ea t ansve sal (πR2 ara el tubo). Para hallar vmed a artir de la distribución de velocid ad ara tubos vz(r), se debe encontrar rimero una ecuación ara Q’ en términos de vz. Para hacerlo, consideremos un elemento de área dAz = 2πr∆ , como se indic a en la figu a 2.13. El caudal volumét ico pa a este elemento de á ea pa a cualq uie z es ∆Q’= vz(2πr∆ ). Pa a halla el caudal volumét ico pa a el tubo complet o integ amos sob e el á ea t ansve sal, haciendo tende ∆ a ce o: Q = ∫ dQ = ∫ v z 2πrdr Az R (2.20) 0                                                                                                                                                                                                                           114 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento v med = Q 1 R = ∫ v z 2πrdr Az πR 2 0 (2.21) 1 ∫ v z dAz Az Az (2.22) donde dAz es un elemento diferencial de área, normal a la dirección del flujo. E n el ejem lo anterior dAz = d(πr2) = 2πrdr. Observando la ecuación (2.22) es cla ro que el cálculo de vmed requiere el conocimiento de vz en cada osición radial . Para esto es necesario realizar un balance de cantidad de movimiento en la dir ección z sobre el elemento de volumen ∆V = 2πrL∆ (figu a 2.13) Como se supuso e stado estable no hay acele ación neta y la suma de fue zas actuando en la di ecc ión z es ce o. Estas son fue zas supe ficiales como la p esión, y del cue po o q ue actúan a t avés del fluido como las g avitacionales. En gene al las fue zas v iscosas pueden actua ya sea pe pendicula mente a las supe ficies del fluido (fu e zas no males) o tangencialmente a las mismas (fue zas co tantes). Sin emba go, pa a un fluido incomp esible y newtoniano no hay esfue zos viscosos no males co mo τzz pues o que és os dependerían de ∂vz/∂z, que es cero en flujo comple amen e desarrollado (vz no es función de z). El balance de can idad de movimien o vis coso en la dirección r y convec ivo en la dirección z debe equilibrarse con la s uma de fuerzas de presión y gravi a orias que ac úan sobre el elemen o de volume n, a saber: τ rz S r − τ rz S r r + ( ρv z v z z=L − ρv z v z z =0 )(2πrdr ) = ( P0 − PL )(2πrdr ) + ρg z ∆V Como la velocidad en la di ección z no cambia sob e la misma línea de co iente, el segundo té mino del lado izquie do, co espondiente al cambio de cantidad de movimiento convectivo en la di ección z es ce o. Reco dando que S = 2πrL y ∆V = 2πrLdr, dividimos or ∆V ⇉ 0, y como por la i po ición e lo eje gz = − g: 1 [rτ rz ] = P0 − PL − ρg d L (2.23)        £      £                     r + ∆ ¦       ¦ ¦     ¦        ¦             ¦       ¦ ¦   ¦         ¦  En forma general v med , z = ara un conducto de área seccional arbitraria Az:     ¦      £   115 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento (2.23a) que tiene dimensiones de cantidad de movimiento po unidad de tiempo y unidad de volumen (o fue za po unidad de volumen); esc ita de esta fo ma la solución tie ne analogía con la situación de análisis de un eacto nuclea cilínd ico cuya t empe atu a supe ficial se mantiene constante g acias al flujo de un ef ige ante (Simet ía cilínd ica con gene ación, capítulo 1). Las condiciones límite pa a ( 2.23) son: i. = 0, τrz = 0. ii. r = R, vz = 0. Ob enemos: rτ rz d (rτ ) = r Φ rdr ⇉ rτ = Φ (r2/2) y Rτ = Φ (R2/2) rz M S M ∫ M ⎮ rz 0 de donde: τrz = o en r = R. Es o la ley de New e i tegra do e 2 2 ⎡ ⎛ Φ M R 2 ⎠ ⎥ ⎝ 4µ ⎠⎢ ⎝ R (2.24) Compara do co el reactor cilí drico (1.22) se podrá o servar que ta to la distr i ució de velocidades como la de temperaturas so para ólicas al tiempo que las de sidades de flujo so li eales, te ie do su máximo e la pared y cero e el c e tro, co siste teme te co el hecho de que los perfiles te ga su máximo e el eje de simetría. E ge eral si la solució a u pro lema de tra sporte se puede o te er, por ejemplo de la literatura, la solució a u pro lema a álogo se pued e escri ir por éste procedimie to. Y aú e pro lemas más complejos, e los cual es o es posi le o te er la solució a alítica, es posi le hacer uso de la a alo gía midie do experime talme te u a ca tidad y usa do este resultado para o te er otra. or ejemplo e la estimació de la temperatura máxima e u reactor ucle ar más complejo que el descrito, puede ser más fácil y seguro medir la velocidad máxima e u experime to a álogo de flujo de fluidos y e to ces usar la a alogí a para calcular la temperatura e el reactor e lugar de medirla directame te. 0 ΦM (r/2) = τS (r/R). Aquí τS es el flujo de can idad de movimien a expresión indica que la dis ribución de flujo es lineal. Usand on de la viscosidad: − µ(dvz/dr) = ΦM (r/2). Separa do varia les tre r y R o te emos: ⎞⎡ ⎛ ⎞ ⎤ r⎞ ⎤ ⎜ ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ = vmax ⎢1 − ⎛ ⎟ ⎥ vz = ⎜ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝R ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦   ¥ ¥  ¥      ¥ ¥ ¥ ¥   ¥     ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¦ ¥ ¥ ¥     ¥ ¥  ¥    ¥   ¦    ¥ ¥ ¥        ¥ ¥ ¦ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥     ¥  ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥       ¥ ¥ ¥  ¥ ¥           ¥ ¦ ¦ ¥   ¥  ¥ ¥       ¥ ¥ ¥ Al obse samente suma de ΦM = 0 va el pa alelismo ent e las ecuaciones (1.20) y (2.23), nos lleva fo zo a conclui que el té mino de gene ación de cantidad de movimiento es la fue zas, es deci − PL − ρg L                   ¥  © ¥   © ¥ ¥  ¥ ¥  ¥ ¦ 116 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 2.1.14. Ecuació de Hage oiseuille. Regresa do a uestro o jetivo de o te er u a expresió para la caída de presió e el tu o e térmi os de la velocidad promedio, primero i tegramos (2.22) para o te er la velocidad promedio segú (2.21): ⎛ 2v = ⎜ max 2 ⎝ R 2 ⎛ 2v ⎞ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎟⎮ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥rdr = ⎜ max 2 ⎝ R ⎠⎮ ⎢ ⎝ R ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 0 R v med v r4 ⎤ ⎞⎡ r 2 = max ⎟⎢ − 2 ⎥ 2 ⎠⎣ 2 4R ⎦ 0 R Es decir que la velocidad máxima es el do le de la promedia. Reemplaza do las eq uivale cias: v med = ( 0 − PL ) + ρg z L 2 R 8µL (2.25) Algunos textos usan la llamada p esión dinámica o modificada, definida como: ℘ = (P − ρgzz), de tal fo ma que ℘0 = Po; ℘L = (PL − ρgzL). Así: P0 − PL + ρgzL = ℘0 − ℘L. ℘0 −℘L = 8µLv m R2 (2.26)     que es la ecuación de Hagen Poiseuille. La cantidad ℘0 − ℘L, denominada la dife encia dinámica de p esiones, es la fue za guía que p ovoca el flujo. Hagamos un pa éntesis pa a conside a el caso en el cual no hay flujo, es deci el fluido e stá estático en el tubo. Entonces vm = 0, y de la ecuación (2.26), ℘o − ℘L vald á ce o, po tanto: PO + ρgzL = PL. Multiplicando po el á ea t ansve sal Az pa a obtene el balance de fue zas: POAz + ρgzLAz = PL Az   ¥ ¥     ¥   ¥   ¥ ¥     ¥    ¥ ¥  ¥ ¥     © ¥          ¥ ¥  ¥     ¥ ¥   ¥   ¥   ¥  ¥   ©  117 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento Esta ecuación establece que la fue za de p esión actuando hacia abajo en z = L e s mayo que la fue za de p esión actuando hacia a iba en z = 0 po la fue za de bida a la g avedad ρgzAzL cuando el fluido está en eposo. Si dividimos la fue z a g avitato io po ρgzAz obtenemos la cantidad L, llamada la cabeza hid ostática . La cabeza hid ostática f ecuentemente se mide en unidades tales como pies de a gua. Si el fluido no estuvie a en eposo, el té mino (℘0 − ℘L)/ρ se ía la dife e ncia total de cabeza. Algunos ingenie os definen la p esión dinámica como ℘ = P + ρgh , donde h es la distancia po a iba de un punto de efe encia, y g siemp e es positiva. En el ejemplo ante io h = L en z = L y no hay dife encia con la definición inicial puesto que gz = −g. Reto nando a la exp esión pa a ΦΜ: Φ = ( P0 − PL ) + ρg z L ℘0 −℘L − ∆P = = + ρg z L L L Esta ep esenta la velocidad de gene ación de cantidad de movimiento po unidad de volumen. Notamos que es positiva, negativa o ce o, dependiendo del signo de ( PO − PL) y de gz. Si el té mino de gene ación es negativo, la inte p etación fís ica es que el flujo ocu e en la di ección z negativa y se gene a cantidad de mo vimiento negativo, es deci , vz < 0. Pa a ΦΜ = 0 no hay flujo. Es algunas veces conveniente tene la ecuación de Hagen Poiseuille (2.26) en té minos del caudal volumét ico de flujo pa a lo cual multiplicamos vm po el á ea seccional de fluj o: ℘0 −℘L = 8µLQ ' 8µLm' 128µLm' = = πR 4 ρπR 4 ρπD 4 (2.27) m’ es el caudal másico y D el diámetro interno de la tubería. 2.3. ANALOGÍAS ENTRE LOS TRES FENÓMENOS DE TRANSPORTE. asta ahora se han usado los mismos modelos básicos ara desarrollar las siguien tes leyes de flujo (ecuaciones constitutivas o ex resiones fenomenológicas) ara el trans orte de energía, masa y cantidad de movimiento: Energía Materia Cantidad de movimiento unidireccional qz = − k (∂T/∂z) JAz = − D AB (∂cA/∂z) τzx = − µ (∂vx/∂z) Ley de ou ie . Ley de ick Ley de Newton de la v iscosidad.   En cada caso las ecuaciones toman la fo ma: Densidad de lujo = (P opiedad de T anspo te)x(G adiente de Potencial)                                                                                                                                                   %  118 ENÓ ENOS DE TRAN ERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento Donde k, DAB y µ se llaman las p opiedades de t anspo te molecula es, y T, cA y vx son los potenciales. Aunque estas ecuaciones son simila es ellas no son compl etamente análogas debido a que las p opiedades de t anspo te tienen unidades dif e entes. Notando que las dimensiones de la difusividad másica son [longitud al c uad ado/tiempo], podemos defini difusividades pa a calo y cantidad de movimien to como Difusividad Té mica: α = k , donde Cp es c p cid d c lorífic presión const nte. ρC p Difusividad de cantidad de movimiento: υ = µ , llamada también viscosidad cinemática. ρ S poniendo q e Cp y ρ son constantes eesc ibimos las leyes de fl jo como: Ene g ía Té mica q z = −α ∂ ( ρC P T ) ∂z ∂c A ∂z ∂ρ A ∂z Masa de A J Az = − D AB j Az = − D AB o simila mente Cantidad de Movimiento τ zx = −ν ∂ ( ρv x ) ∂z Notemos q e (ρCPT) tiene nidades de ene gía po nidad de vol men o concent aci ón de ene gía po analogía con cA (moles de A po nidad de vol men) o ρA (masa de A po nidad de vol men). Además ρvx tiene dimensiones de cantidad de movimie nto po nidad de vol men y p ede inte p eta se como concent ación de cantidad d e movimiento. Aq í las leyes de fl jo están esc itas en la fo ma dif sional: Fl jo = − Dif sividad x G adiente de Concent ación. Podemos gene aliza esta similit d y esc ibi la como Πmz = − β(∂Ψ/∂z), siendo Πm z cualquiera de las de sidades de flujo difusivas, β cualquiera de las difusivid ades y Ψ c alq ie a de las concent aciones. A nq e en este capít lo no vimos t a nsfe encia convectiva neta de calo ni de cantidad de movimiento, obse vamos q e c ando hay t ansfe encia de masa, este hecho p ede gene a na densidad de fl j o convectiva neta q e ep esentamos po ρAvz. Podemos extende la analogía pa a c b i esta sit ación diciendo     & &         &   & & & &         &               ¡   &   &     & &     &                       ¡ ¡         &   &     & ¡       &   & ¡   & & ¥ ¡ ¡        & & &   &   & & &   &     &           &   %   & &   &  119 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betanco t G ajales T ansfe encia molec la de calo masa y cantidad de movimiento entonces q e las densidades de fl jo p eden tene componente dif siva Πm y compo e te co vectiva ΠCz = Ψvz. Esto lo podemos extende pa a n sistema m ltidi ecc ional y nos se á de m cha tilidad en los balances gene alizados. Como las dif s ividades poseen las mismas dimensiones, s elación nos da á cantidades adimensi onales: Núme o de P andtl: P = ν/α Número de Schmidt: Sc = ν/DAB Número de Lewi s: Le = α/DAB = Sc/Pr. Est s c ntid des p recen en situ ciones donde h y tr nsp orte simultáneo de c lor e impulso; m s e impulso; o c lor y m s respectiv men te. 2.1.15. Ecu ciones de continuid d p r un mezcl in ri . Apliquemos l ley de l conserv ción de l m teri de l especi A un elemento de volumen ∆x∆y∆z fijo en el espacio, a t avés del cual fluye una mezcla bina i a de A y B. Dent o de este elemento se puede p oduci A po eacción química con una velocidad ΦΑ Las distintas (masa/tiempo—volumen). contribuciones al balance de materia son (ver figura 2.14): Velocidad de variación de la masa de A con el tiempo en el elemento de volumen: ∂ρ ∆ x∆ y∆ z ∂t Velocidad de p oducción de A po eacción química homogénea: Φ ∆x∆y∆z Ent ada de A a t avés de la ca a situada en x: ( n Ax x ∆y∆z ) Salida de A a t avés de la ca a situada en x + ∆x: ( n Ax x + ∆x ∆y∆z ) También existen té minos de ent ada y salida en las di ecciones y e z. Esc ibien do el balance completo de mate ia y dividiendo po ∆x∆y∆z y haciendo tende a ce o el elemento de volumen, se obtiene:   &     ¡ ¡       & ¡ &   ¡ ¡ ¡ & ¡ '           &   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡          ¡ ¡           ¡ ¡ ¡   &  & ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ & ¡ ¡     &   ¡ ¡   ¡     ¡ & ¡ & ¡               ¡ ¡ & ¥     '   ¥ ¥   120 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento ⎡ ∂n Ax ∂n Ay ∂n Az ⎤ ∂ρ (2.28) Esta es la ecuació de co ti uidad para el compo e te A de u a mezcla i aria, q ue descri e la variació de la co ce tració de A co respecto al tiempo para u pu to fijo e el espacio. Esta variació resulta del movimie to de A y de las r eaccio es químicas que da lugar a A. Las mag itudes Ax, Ay, Az so los compo e tes recta gulares del vector de sidad de flujo de materia A = ρΑv , ya defin ido. La int oducción del ope ado ∇ (nabla) pe mite simplificaciones conside abl es. Este ope ado puede se aplicado a un escala tal como la tempe atu a o la c oncent ación: ∂c A ∂c ∂c + e y A + ez A (2.29) ∂x ∂y ∂z ex, ey, ez son los vecto es unita ios en las di ecciones x, y, z. El té mino ∇cA se llama el g adiente de cA. Este ope ado puede mi a se como una notación taquig áfica de la sucesión de vecto es un ita ios y de de ivadas pa ciales most ados. ∇c A = e x ⎢ ∂x + ∂y + ∂z ⎥ + ∂t = Φ ⎣ ⎦ El ope ado ∇ puede también aplica se a un vecto tal como la densidad de flujo. El vecto densidad de flujo en coo denadas ectangula es es nA = nAx + nAy + nA z, y (2.28) se á: ∇n A + ∂ρ A = Φ ∂t (2.28a) 2.1.16. La ecuación de continuidad. Como se indicó ante io mente una de las p opiedades más impo tantes que se conse van en un sistema es la masa total. Natu almente, la masa total es la cantidad total de todos los mate iales en el sistema. La masa total debe distingui se de la cantidad (o concent ación) de alguna especie individual que pueda difundi ad ent o o afue a del sistema. En p oblemas de t ansfe encia de calo o de cantidad de movimiento es vital contabiliza la masa que ent a o que sale, aún si un sól o componente está p esente en el sistema o si la composición es inva iable en un sistema multicomponente (tal como el ai e). Pe mítanos supone que no se c ea o se dest uye mate ia po medios nuclea es (no hay gene ación). Si el sistema tie ne solo dos componentes, el balance pa a la especie B viene dado po ∇n B + ∂ρ B = ΦB ∂t (2.28b) La suma de estas dos ecuaciones (2.28) y (2.28b) conduce a: ¥               ¥    ' ¥           ¥     ¥ ¥   ¥ ¥         ' ¥     ¥ ¥ ¥             ¥     ¥         ¥       ¥ ¥       ¥           ¥ ¥     ' ¥     ¥         ¥           '   ¥     ¥                ¥           ¥ ¥ ¥   ∇ ⋅ ρv + ∂ρ =0 ∂t (2.28c) que es la ecuación de continuidad pa a la mezcla, idéntica a la que se obtend ía pa a un fluido pu o. Pa a obtene la aplicamos ρ + ρB = ρ; n + nB = ρv así com o la ley de la conse vación de la mate ia exp esada como ΦΑ + ΦΒ = 0. Aquí la pr opiedad de concentración es ahora la masa total por unidad de volumen y es la de nsidad. Su expansión en los diversos sistemas coordenados es como sigue: Coorden adas rectangulares: ρ∇⋅v + v⋅∇ρ + ∂ρ/∂t = 0 Coo denadas Cilínd icas: 1 ∂ (ρ v ) + 1 ∂ ( ρvθ ) + ∂ ( ρv z ) + ∂ρ = 0 ∂ ∂θ ∂z ∂t Coordenadas Esféricas ∂ 1 ∂ 1 ( ρvθ sen θ ) + 1 ∂ (ρvφ ) + ∂ρ = 0 ρ 2 v + 2 sen θ ∂θ r sen θ ∂φ ∂t r ∂r (2.28d) ( ) En muchos problemas ingenieriles la densidad puede asumirse constante, es decir el lujo es incompresible. La suposición de incomprensibilidad es cierta aún par a lujos gaseosos cuando los cambios en presión son modestos. Si la densidad es constante, la ecuación (2.28d) se reduce a (∇.v) = 0. Esta ecuación es ext emada mente impo tante y tiene amplia aplicación. Debemos además enfatiza que es cie ta pa a cualquie sistema de densidad constante y no es necesa io supone estado estable, puesto que ∂ρ/∂t debe se 0 si la densidad es constante. Esto signific a, po ejemplo, que la fo ma co ecta de la ecuación de continuidad pa a un p ob lema de flujo en estado t ansito io, tal como el flujo sanguíneo desde el co azó n sigue siendo desc ito po ésta ecuación. Un desa ollo simila puede hace se e n función de unidades mola es: ∇N A + ∂c A = Φ* ; A ∂t ∇N B + ∂c B = Φ* ; ∂t ∇cv * + ∂c = Φ* + Φ* A ∂t donde NA + N = cv* y cA + c = c. Sin embargo, como en general el numero de mol es no se conserva, no podemos tomar ΦA* + Φ * = 0. Si los moles que desaparecen son iguales a los que se generan, a concentración molar total constante y estado estable se reduce a (∇⋅v*) = 0. Esta ecuación no es tan útil, debido a que               121 ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento         )           '          '       ) )                      )           '         '   )             ( (  de 122 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro etancourt Grajales Trans erencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento la mayoría de los problemas involucran densidad constante pero no concentración molar constante. Podemos usar la analogía para extender este balance a trans ere ncia de calor o de cantidad de movimiento, recordando que la densidad de lujo e s la suma de dos términos, uno di usional y uno convectivo: Π = Πm + Πc. La ecua ció (2.28a) puede escri irse e to ces como ∇Π + ∂Ψ =Φ ∂t (2.28e) La aplicación del operador ∇ a un vecto se llama la dive gencia de ese vecto , o más simplemente el p oducto punto. Pa a coo denadas ectangula es: ∇⋅Π = ∂Π x ∂Π y ∂Π z + + ∂z ∂y ∂x (2.30) Al aplicar el operador ∇ a la densidad de flujo convectiva Π c = Ψv obtenemos ∇.Ψv = ∂ ( Ψ v x ) ∂ ( Ψ v y ) ∂ ( Ψv z ) + + ∂x ∂y ∂z ) = Ψ ⎜ x + y + z ⎟ ∂z ⎠ ∂y ⎝ ∂x ∂v y ∂v z ⎞ ⎛ ∂v ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ⋅ Ψv = Ψ ⎜ x + ⎟ ⎜ ∂x ∂z ∂y ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ + vz + v El producto (∇.Ψv) es llamado la divergencia de Ψv o el producto punto de ∇ y Ψv ; el producto resultante es un escalar. Nótese que el gradiente (un vector por u n escalar) da un vector. El operador ∇ tiene la ventaja adicional de que puede s e exp esado en coo denadas cu vilíneas. Esto se á de g an ayuda cuando las ecua ciones de balance deban se exp esadas     Esto puede expandirse es (∇⋅Ψv) = Ψ(∇⋅v) + x Similarmente ⎛ ∂v ∂v ∂v ⎞ Ψ (∇ ⋅ v ⎟ + vx + vz + vy + ∇ y ∂z ∂y ∂x usando la relación general ∂(xy) = x∂y + y∂x. El resultado (v⋅∇)Ψ. El producto (v⋅∇) ope ando en Ψ es ( v ⋅ ∇) Ψ = v   ( (   (             ) ¥ ¥ (               ¥    123 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento Coo denadas Cilínd icas: ⎡1 ∂ (rΠ r ) + 1 ∂Πθ + ∂Π z ⎤ ∇⋅Π = ⎢ r ∂θ ∂z ⎥ ⎣ r ∂r ⎦ (2.31) Coorde adas Esféricas: ∂Π φ ⎤ ⎡1 ∂ 2 1 ∂ (Π θ sen θ ) + 1 r Πr + ∇⋅Π = ⎢ 2 ⎥ r sen θ ∂θ r sen θ ∂φ ⎦ ⎣ r ∂r ( ) (2.32) Las ecuacio es de e dejarse e térmi os de co ce tració de la propiedad mejor que e de sidad de flujo. A teriorme te la de sidad de flujo fue prese tada como la suma de térmi os moleculares y co vectivos. ara el pro lema tridime sio al, la ecuació vectorial correspo die te es la diverge cia de la de sidad de flujo (∇⋅Π) = (∇⋅Πm) + (∇⋅Πc) = [∇⋅(−β∇Ψ)] + (∇⋅Ψv)] (2.33) Incluyendo esta expresión en el balance generalizado (2.28a), ∇Π + ∂Ψ/∂t = Φ, ob tenemos: (∇⋅Ψv) + (∂Ψ/∂t) = ∇⋅(β∇Ψ) + Φ (2.34) Para di usividad β co sta te e isotrópica, os aparece al lado derecho el térmi o β (∇⋅∇Ψ). El producto punto (∇⋅∇) ope ando sob e un escala ocu e tan f ecuen temente que se le ha dado un símbolo especial ∇2, y un nomb e especial, el de op e ado Laplaciano. ¥   ¥     ¥ ¥      ¥       en sistemas coo denados alte nos. Esto es posible ya que una esc ita en notación vecto ial se aplica a todos los sistemas que una ecuación esc ita en notación vecto ial puede t ansfo istema coo denado. La dive gencia en coo denadas cilínd icas ecuación vecto ial coo denados. O sea ma se a cualquie s y esfé icas es          ¥       ¥ © ¥ ¥ ¥     ¥         ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥   ¥     ¥ ¥   ¥    ¥   ¥ ¥   ¥ ( ¥     ¥       124 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 2.1.17. El g adiente y el laplaciano de un escala . Coo denadas Cilínd icas (e , eθ, ez son vectores unitarios en r, θ, z respectiva mente). ∇Ψ = e r ∂Ψ ∂Ψ 1 ∂Ψ + eθ + ez ∂r r ∂θ ∂z (2.35) ∇2Ψ = (2.36) Coordenadas Esféricas (er, eθ, eφ son vectores unitarios en r, θ, φ respectivame nte). ∇Ψ = e r ∂Ψ 1 ∂Ψ 1 ∂Ψ + eθ + eφ r ∂θ r sen φ ∂φ ∂r (2.37) ∇2Ψ = (2.38) (2.40) 2.1.18.1. La derivada substancial. Se puede incluir una simpli icación adicional en la escritura de iniendo de la s iguiente orma la derivada sustancial. La concentración (de masa, energía calorí ica o cantidad de movimiento) puede, en un caso general, ser unción de la posi ción y/o del tiempo, lo que en coordenadas rectangulares nos lleva a: dΨ ∂Ψ dx ∂Ψ dy ∂Ψ dz ∂Ψ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t El signi icado ísico de esta derivada puede entenderse si imaginamos un instrum ento que lea Ψ y pueda moverse en el luido. Las cantidades dx/dt, dy/dt, dz/dt son las componentes de velocidad del elemento detector y dΨ/dt será una derivada total. Si el detector está ijo   2.1.18. Balance gene alizado pa a fluido incomp esible y p opiedades de t anspo te constantes. En este caso el balance (2.34): (∇⋅Ψv) + (∂Ψ/∂t) = ∇⋅(β∇Ψ) + Φ con (∇⋅Ψv) = Ψ(∇—v) + (v⋅∇)Ψ y (∇—v) = 0 se reduc e a (v⋅∇)Ψ + ∂Ψ/∂t = β∇2Ψ + Φ   ( (     ∂ 2Ψ 1 ∂ ⎛ 2 ∂Ψ ⎞ 1 1 ∂ ⎛ ∂Ψ ⎞ ⎟+ 2 ⎜ sen θ ⎟+ 2 ⎜ ∂θ ⎠ ∂ ⎠ sen θ ∂θ ⎝         (         1 ∂ ⎛ ∂Ψ ⎞ 1 ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ + ⎜ ⎟+ ∂ ⎝ ∂ ⎠ ∂θ 2 ∂z 2 sen 2 θ ∂φ 2 r 2 ∂r ⎝               ( (       (   ( (         ( 125 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro etancourt Grajales Trans erencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento en el espacio dΨ/dt = ∂Ψ/∂t. Si el elemento detector sigue el lujo, sus compone ntes de velocidad serán las mismas del luido y nosotros tenemos DΨ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ + + vz + vy = vx Dt ∂t ∂z ∂y ∂x Esta nueva derivada se denomina la derivada substancial o material, o en ocasion es la derivada de Lagrange. Representa la velocidad de cambio de Ψ para una masa constante de luido que se mueve; el volumen de esta masa de luido puede cambi ar con el tiempo mientras se mueve. Vemos que DΨ/Dt = (v⋅∇)Ψ + ∂Ψ/∂t. El balance (2.40) se reduce entonces a: DΨ = β∇ 2 Ψ + Φ Dt (2.41) El balance general de masa o de calor es ácilmente obtenido haciendo la sustitu ción adecuada de concentraciones. Para trans erencia de calor con k constante la ecuación es: ρC P DT = k∇2T + Φ H Dt (2.42) Se aplica para gases a presión constante y para luidos incompresibles (ρ consta nte). Pa a sólidos, la densidad puede conside a se constante y v = 0 po lo cual ρC P ∂T = k∇ 2T + Φ H ∂t EJEMPLO 2.11. Determine la distribución de temperaturas en la pared de un tubo c ircular largo de radios interno y externo R1 y R2 respectivamente, si se mantien en temperaturas uni ormes T1 y T2 en las super icies interna y externa, mientras la generación de energía térmica ΦH ocurre dentro de la pared del tubo (R1, < r < R2). Considere condiciones de estado estable para las que T1 > T2. ¿Es posibl e mantener una distribución de temperaturas radial lineal en la pared? Si es así , ¿qué condiciones especiales deben existir? Solución. El balance generalizado e n coordenadas cilíndricas y v = 0       ∂T ∂T 1 ∂ 1 ∂ ∂ ∂T ∂T (kr )+ 2 (k ) + (k ) + Φ H = ρc p ∂ ∂φ ∂φ ∂r ∂z ∂z ∂t   ( ( (     ( ( ( ( ( ) (  (    126 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro etancourt Grajales Trans erencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Como T es solo unción de r dT 1 d (kr ) + ΦH = 0 r dr dr Integrando una vez con k constante r dT Φ r2 = − H + C1 2k dr Integrando nuevamente T =− ΦHr2 + C 1 ln r + C 2 4k Aplicando las condiciones límite T1 = − Φ H R12 + C1 ⋅ lnR1 + C2 4k T2 = − Φ H R22 + C 1 ⋅ ln R 2 + C 2 4k ΦH R + C1 ⋅ ln 1 R2 4k 2 (T1 − T2 ) = ( R2 2 − R12 ) C1 = (T1 − T2 ) − ( R2 − R1 ) 2 ΦH 4k ln 2 R1 R2 2 Φ R Φ R C2 = T1 + H 1 − C1 ln R1 o también C2 = T2 + H 2 − C1 ln R2 4k 4k ( ) ( ) ) Varía para ólica y logarítmicame te e forma simultá ea. ¤ Reemplazando y reorganizando 2 2 ln (r / R2 ) ⎡ Φ H R2 − r 2 Φ H R2 − R12 ⎤ (T − T2 ) = (T1 − T2 ) − + ⎥ 4k n (R1 / R2 ) ⎢ 4k ⎦ ⎣ ( ¥ ¥ ¥ )  (   127 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to ara tra sfere cia de masa el resultado e térmi os de co ce tracio es másicas s e o tie e similarme te de la ecuació (2.41), pero cua do de e te erse prese te la relació ( i/Σni) entre las diferentes densidades de flujo, es preferible par tir de la más general (2.28). EJEMPLO 2.12. El compuesto A se convierte en el compuesto B en los “sitios activ os” en el interior de una partícula porosa de catalizador que se fabrica en form a de discos delgados de radio R. El área superficial del borde de los discos es pequeña en comparación con la de las dos caras circulares, de tal forma que pued e despreciarse la difusión por dichos bordes. La rapidez de desaparición de A se relaciona con la concentración dentro del catalizador por la expresión: Φ A = − k1'' ac A [mol A/m3.s] donde a es la superficie catalítica por unidad de volumen del catalizador (sólid o + poros). El coeficiente k1'' [m/s] es la constante de reacción. En términos del “coeficiente de difusión efectivo” DAB,ef; la concentración cA de A sobre la superficie exterior de los discos (z = ± L), constante; la rapidez de reacción k1'' a, y el semiespesor de los discos L, desarrolle expresiones pa ra (i) el perfil de concentración dentro del catalizador; (ii) el flujo molar a través de la superficie total de un disco (z = ± L) olución. Φ A = −k1'' ac A . imetría plana con generación. La ecuación 2.28: ∇N A + ∂c A = ΦA ∂t con N A = − N B y estado estable, gradientes solo en z: dc d (− D AB A ) = −k1" ac A dz dz 0 ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  0 0 © 128 ENÓMENO DE TRAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Para propiedades constantes d 2 c A k1" a − cA = 0 D AB dz 2 CL1 : z = 0 dc A =0 dz CL 2 : z = L olución similar a la aleta aislada: c A = C1 cosh(mz ) + C 2 senh(mz ) m= k1"a DAB dc A = C1 msenh(mz ) + C 2 m cosh(mz ) dz En z = 0 C2 m = 0 ⇉ C2 = 0 En z = L cAS = C1 co (mL) C1 = c AS co (mL) cA co (mz ) e mz + e − mz = = c AS co (mL) e mL + e − mL N AS = − D AB =− z=L c AS mD AB en (mL) co (mL) N AS = − D AB c AS k 1" a ⎛ molA ⎞ tgh ( mL ) ⎜ 2 ⎟ D AB ⎝ cm s ⎠ El signo menos indica que el eactivo A penet a al catalizado desde la ca a ubi cada en z + L avanzando en sentido negativo del eje z. La cantidad ent ando po la ca a opuesta es la mima de tal fo ma que el flujo total hacia la pa tícula de catalizado es mAS = 2πR2DABef CAS m tgh(mL) c A z   £   £                     0 c A = c A  0    0  129 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento (2.43) que puede escribirse ⎤ ∂p ⎤ ⎡∂ ⎡∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρv x = − ⎢ ρv x v x + ρv y v x + ρv z v x ⎥ − ⎢ τ xx + τ yx + τ zx ⎥ − + ρg x ∂t ∂y ∂z ∂y ∂z ⎦ ∂x ⎦ ⎣∂ x ⎣∂ x La compo e te z de la ecuació de movimie to aparecerá: ⎤ ∂p ⎤ ⎡∂ ⎡∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρv z = − ⎢ ρv x v z + ρv y v z + ρv z v z ⎥ − ⎢ τ xz + τ yz + τ zz ⎥ − + ρg z ∂t ∂y ∂z ∂y ∂z ⎦ ∂x ⎦ ⎣∂ x ⎣∂ x La compo e te y puede o te erse de u a ma era a áloga: ⎡∂ ⎤ ⎡∂ ⎤ ∂p ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρv y = − ⎢ ρv x v y + ρv y v y + ρv z v y ⎥ − ⎢ τ xy + τ yy + τ zy ⎥ − + ρg y ∂t ∂y ∂z ∂y ∂ z ⎦ ∂y ⎣∂ x ⎦ ⎣∂ x Las mag itudes ρvx, ρvy, ρvz son las componentes del vecto ρv; de igual fo ma g x, gy, gz son las componentes de la acele ación g avitacional g. Po ot a pa te ∂ p ∂ p ∂ p ; ; ; son las componentes del vecto ∇p ∂x ∂y ∂z Los té minos ρvxvx, ρvxvy, ρvxvz, ρvyvz, etc. son las nueve componentes de la de nsidad de flujo convectivo de cantidad de movimiento ρv⋅v que es el producto diá dico de ρv y v (díadas son los tenso es que esultan de multiplica ent e si dos vecto es). nálogamente, τxx, τxy, τxz, τyz, e c., son las nueve componen es de τ que es el ensor esfuerzo. Tenga presen e que τyz es la densidad de flujo de can idad de movimien o z a ravés de una cara perpendicular al eje y. Obsérvese que es as densidades de flujo de can idad de movimien o pueden considerarse como esfuerzos. Por an o τzz es el esfuerzo normal que ac úa sobre la cara en z, τx z es el esfuerzo angencial (o cor an e) que ac úa sobre la cara en x en la dire cción z, y que resul an como consecuencia de las fuerzas viscosas. Ahora, hablan do de las fuerzas que ac úan sobre el elemen o, las más usuales e impor an es so n las originadas en la presión p del fluido y la fuerza gravi acional por unidad de masa.   El balance de transferencia de cantidad de movimiento es com licado or el hecho de que (ρv) es un vecto compuesto de t es componentes ρvx, ρvy, ρvz. Sin emba go la ecuación adecuada pa a coo denadas ectangula es puede obtene se simplemen te conside ando cada componente de mane a sepa ada como un té mino escala . Po ejemplo, el componente x de la cantidad de movimiento es D( ρv x ) ∂ ( ρv x ) = (v ⋅ ∇)( ρv x ) + = [∇ ⋅ (µ / ρ )∇( ρv x )] + Φ M Dt ∂t       ¦ ¦ ¦                ¦    ¦ ¦       ¥ ¦ ¦     ¦ ¦         ¥ ¥ ¦ ¦   ¥ ¦   ¥ ¦   ¥    ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ '   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥     ¦ ¦ 130 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Be ancour Grajales Transferencia molecular de calor masa y can idad de movimien o Combinando las ecuaciones de las res componen es en forma de ecuación vec orial : ∂ ρv = −[∇.ρvv] − [∇. p ] − [∇.τ ] + ρg ∂t <1> <2> <3> <4> <5> Cada té mino de la exp esión ante io significa: <1> Velocidad de aumento de can tidad de movimiento po unidad de volumen. <2> Velocidad de ganancia de cantidad de movimiento po convección, po unidad de volumen. <3> ue za de p esión que actúa sob e el elemento po unidad de volumen. <4> Velocidad de ganancia de cant idad de movimiento po t anspo te viscoso po unidad de volumen. <5> ue za de g avitación que actúa sob e el elemento po unidad de volumen. Las exp esiones [∇ .ρvv] y [∇.τ ] no son divergencias simples debido a la na uraleza ensorial de ρ vv y τ e indican velocidad de pérdida de can idad de movimien o por unidad de vo lumen debido al flujo del fluido. Haciendo la operación indicada en el caso de l a componen e x de la ecuación de movimien o: ρ ∂ρv y ⎡ ∂ρvx ∂ρv y ∂ρv z ⎤ ⎡ ∂ρvx ∂v x ∂ρ ∂ρvz ⎤ + vx = −v x ⎢ + + ⎥ − ρ ⎢v x ∂ x + v y ∂ y + v z ∂ z ⎥ − ∂t ∂t ∂y ∂z ⎦ ⎣ ∂x ⎣ ⎦ ⎡ ∂τ xx ∂τ yx ∂τ zx ⎤ ∂p ⎢ ∂ x + ∂ y + ∂ z ⎥ − ∂ x + ρg x ⎣ ⎦ A partir de la ecuació de co ti uidad (2.39) reco ocemos que el primer paré tes is es − ∂ρ/∂t = ∇—ρv, y podemos esc ibi ρ ∂τ ⎡ ∂τ Dv x ∂τ ⎤ ∂p = − ⎢ xx + yx + zx ⎥ − + ρg x Dt ∂x ∂y ∂z ⎦ ∂x ⎣ ara las compo e tes y e z puede o te erse expresio es a álogas. Suma do vector ialme te los tres compo e tes se llega a: ¥ ¦   ¥      ¦   ¦  ¦ ¥ ¥ ¥ ¦   ¦ ¦   ¦   ¥  ¥     ¦   ¦   ¦ ¥ ¥     ¥ ¥           ¥   ¦ ¥ ¥ ¦     ¥   © 131 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to ρ Dv = −[∇. p ] − [∇.τ ] + ρg Dt <1> <2> <3> <4> <1> Masa po unidad de volumen multiplicada po acele ación. <2> ue za de p esi ón sob e el elemento po unidad de volumen. <3> ue za viscosa sob e el elemento po unidad de volumen. <4> ue za g avitacional sob e el elemento po unidad de volumen. Vemos po lo tanto que el balance de cantidad de movimiento es totalme nte equivalente a la segunda ley del movimiento de Newton. Con el fin de utiliza estas ecuaciones pa a dete mina las dist ibuciones de velocidad hay que exp e sa los distintos esfue zos en función de los g adientes de velocidad y las p op iedades del fluido: La velocidad misma es un vecto y el g adiente de esta, ∇v e s un tenso de segundo o den. Simila mente, el flujo de cantidad de movimiento o esfue zo co tante es también un tenso de segundo o den. En luga de una simple ecuación vecto ial, la ecuación de cantidad de movimiento en t es dimensiones e s una elación tenso ial, la cual pa a un fluido incomp esible es τ = − µ [∇v + ∇vT ] (2.44) Esta ecuación muest a que el tenso esfue zo es una función del tenso defo maci ón po cizallamiento [∇v] y su t anspuesta [∇v]T. La velocidad, cantidad vecto i al, tiene t es componentes y cualquie a de estas componentes puede va ia en t e s di ecciones. Consecuentemente, hay t es componentes tomando t es caminos, o nu eve posibles té minos. En fo ma de a eglo estos té minos son ⎡ ∂v x ⎢∂ x ⎢ ∂v ∇v = ⎢ x ⎢∂ y ⎢ ⎢ ∂v x ⎢∂z ⎣ ∂v y ∂x ∂v y ∂y ∂v y ∂z ∂v z ⎤ ∂x⎥ ⎥ ∂v z ⎥ ∂ y⎥ ⎥ ∂v z ⎥ ∂z⎥ ⎦ [∇v] T ⎡ ∂v x ⎢∂x ⎢ ∂v y =⎢ ⎢∂x ⎢ ∂v ⎢ z ⎢ ⎣∂x ∂v x ∂y ∂v y ∂y ∂v z ∂y ∂v x ⎤ ∂z⎥ ⎥ ∂v y ⎥ ∂z⎥ ∂v z ⎥ ⎥ ∂z⎥ ⎦ Como la ecuació para el te sor esfuerzo de e ser homogé ea, el lado izquierdo s erá tam ié u te sor de segu do orde                                ¥   ¥ ¥                                  ¥ ¥           ¥     ¥      ¥               ¥  ¥     ¥ ¥ ¥                           132 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to ⎡τ xx τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ τ = ⎢τ yx τ yy τ yz ⎥ ⎢τ zx τ zy τ zz ⎥ ⎣ ⎦ Cada fila del te sor tie e tres térmi os. E la primera fila hay u esfuerzo or mal τxx y dos esfuerzos angenciales, τxy y τxz. Los res esfuerzos normales (lo s elemen os de la diagonal) ac úan en las direcciones x, y, e z, y cada uno es l a fuerza por unidad de área en un plano perpendicular a la dirección en la cual ac úan. La ecuación del ensor esfuerzo es realmen e una represen ación abreviad a o aquigráfica para nueve ecuaciones. Ellas son τ xx = −2µ ∂v ∂v x ; τ yy = −2 µ y ; ∂x ∂y τ zz = −2 µ ∂v z ; ∂z τ xy = τ yx = − µ ⎢ τ yz ⎡ ∂v x ∂v y ⎤ + ⎥ ⎣∂ x ∂ x ⎦ ⎡ ∂v ∂v ⎤ = τ zy = − µ ⎢ y + z ⎥ ⎣∂ z ∂ y⎦ ⎡ ∂v z ∂ v x ⎤ + ⎥ ⎣∂ x ∂ z ⎦ τ zx = τ x z = − µ ⎢ Para f ujo compresib e os esfuerzos norma es deberían tener un término adiciona : ∂v x ⎡ 2 ⎤ + ⎢ µ − k ⎥ (∇.v ) ∂ x ⎣3 ⎦ ∂v ⎡ 2 ⎤ τ yy = −2µ y + ⎢ µ − k ⎥ (∇.v ) ∂ y ⎣3 ⎦ ∂v ⎡ 2 ⎤ τ zz = −2 µ z + ⎢ µ − k ⎥ (∇.v ) ∂ z ⎣3 ⎦ τ xx = −2µ k es en estas ecuaciones la viscosidad de conjunto que es cero para los gases mo noatómicos a baja densidad y tiende a cero para gases densos y líquidos (Hirschf elder). Para fluidos de densidad constante ∇.v es ce o, y solamente cuando exist en g adientes de velocidad muy g andes en la di ección del esfue zo los esfue zo s no males van a dife i ap eciablemente de ce o. El análisis de una onda de cho que no mal es un ejemplo donde todos los té minos tienen valo es significativos. Pa a el p oblema unidimensional, cuando el fluido ci cula en la di ección x ent e dos láminas pe pendicula es a la di ección z de fo ma que vx es función exclu siva de z, y tanto vy como vz son ce o, la mayo ía de las de ivadas en ∇v son ce o en (2.44); de las nueve   ¥   ¥ ¦   ¥     ¥     ¦   ¦         ¥ ¤   ¥ ¥   ¥   ¦     ¦ ¥ ¦ ¤     ¤   ¥  ¥   ¦ ¤       ¦   ¦ ¤      133 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento τ xz = τ zx = − µ ⎢ ⎡ ∂v x ⎤ ⎥ ⎣∂ z ⎦ La i terpretació física de τ es complicada por el hecho de que es usado comúnme n e an o como flujo difusivo o molecular de can idad de movimien o, que como un esfuerzo cor an e. Por es o úl imo se le llama el ensor de esfuerzos. Si consi deramos el espacio en re dos placas paralelas, la inferior de las cuales es á en movimien o con velocidad cons an e gracias a una fuerza, se causa un gradien e de velocidad vx en el fluido como función de z, la dirección perpendicular al pl ano xy que se mueve, hay un flujo de can idad de movimien o ac uando en la direc ción z. El esfuerzo cor an e, por o ra par e, es en la dirección x como resul ad o de la fuerza en la dirección x. Se reconoce confusión pues el mismo símbolo se usa para deno ar el flujo de impulso y el esfuerzo cor an e, especialmen e cuan do hay igualdad en magni ud pero diferencia en direcciones. Reemplazando es as e cuaciones en las de movimien o hacen, jun o con las de con inuidad, la de es ado para la presión, la de variación de la viscosidad con la densidad, y las condic iones iniciales y lími e, el conjun o de expresiones que de erminan comple amen e la presión, densidad y las componen es de velocidad para el flujo iso érmico d e un fluido. La ecuación (2.43) para ρ y µ constantes, se puede expandi así: ⎡ ∂v x ∂v x ∂v x ∂v x ⎤ ⎛ µ ⎞ ⎡ ∂ 2 v x ∂ 2 v x ∂ 2 v x ⎤ Φ M ⎢v x ∂x + v y ∂y + v z ∂z + ∂t ⎥ = ⎜ ρ ⎟ ⎢ ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 ⎥ + ρ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦ Las ecuacio es para los compo e tes y e z se o tie e de ma era similar. Suma do vectorialme te las tres compo e tes y recorda do que ΦM = − ∇P + ρg el balance gene alizado de cantidad de movimiento queda (coo denadas ectangula es únicamen te): ρ Dv ∂v = ( v ⋅ ∇) v + = µ∇2v − ∇P + ρg Dt ∂t (2.45) Esta exp esión se conoce como la ecuación de Navie – Stokes y al expandi la es ultan 27 té minos. Suele inte p eta se como una fo ma de la segunda ley de Newto n del movimiento: masa po acele ación = Suma de fue zas (viscosas, de p esión y g avitato ias)   ecuaciones ep esentadas taquig áficamente solo dos pe manecen dife entes de ce o las cuales son τzx e τxz: ¦   ¦ ¦ ¥   ¦ ¦ ¦ ¦   ¦   ¦     ¦ ¦   ¦ ¥     ¦ ¦ ¦ ¦       ¥ ¥ ¦       ¦   ¥    ¦ ¦ ¦ ¦   ¦ ¦ ¦ ¦       ¥ ¥ ¥ ¥     ¦ ¦ ¦ ¦ ¦   ¦ ¦ ¦ ¥ ¦ ¦     ¦ ¥   ¥   ¦   ¦     ¦ ¦ ¥   134 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento que actúan sob e el sistema. Todo po unidad de volumen. Pa a aplica la a coo de nadas dife entes a las ectangula es usamos: 2.1.18.2. Coo denadas cilínd icas. 2 ⎛ ∂v v ∂v v ∂v ∂v ⎞ Componente : ρ ⎜ v + θ θ − θ + v z r + r ⎟ = ⎜ ∂ ∂z ∂ t ⎟ ∂θ r ⎠ ⎝ 2 2 ⎡ ∂ ⎛1 ∂ ⎤ (rvr )⎞ + 12 ∂ v2 − 22 ∂vθ + ∂ v2r ⎥ − ∂p + ρg ⎟ ⎜ ∂z ⎦ ∂r r ∂θ ⎠ ∂θ ⎣ ∂r ⎝ ∂ µ⎢ E término ρvθ2/r es la fuerza centrífu a. Corresponde a la fuerza efectiva en l a dirección r ue resulta del movimiento del fluido en la dirección θ. Este térm ino aparece automáticamente en la transformación de coordenadas rectan ulares a cilíndricas. ∂v ⎞ ∂v v ∂v vv ⎛ ∂v Componente θ: ρ ⎜ v θ + θ θ + r θ + v z θ + θ ⎟ = ∂t ⎠ ∂z ∂θ r ⎝ ∂ µ⎢ ⎤ 1 ∂p + ρgθ ⎥− ⎦ r ∂θ El término ρv vθ/r es la fuerza de Coriolis. Es una fuerza efectiva en la direcc ión θ cuando e iste flujo en ambas direcciones r y θ. Este término aparece tambi én automáticamente en la transformación de sistemas coordenados. La fuerza de co riolis interviene en el análisis del flujo sobre un disco ue ira. v ∂v ∂v ⎞ ∂v ⎛ ∂v Componente z: ρ ⎜ v z + θ z + v z z + z ⎟ = ∂t ⎠ ∂z ∂θ ⎝ ∂ µ⎢ 2.1.18.3. Coordenadas esféricas. ⎛ ∂v vθ ∂v r vφ ∂v r vθ2 + vφ2 ∂v r ⎞ ⎟= ⎜ v − + + + Componente : ρ ⎜ ∂ ∂t ⎟ ∂θ r sen θ ∂φ ⎠ ⎝       ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂v z ⎞ 1 ∂ 2 v z ∂ 2 v z ⎤ ∂p + 2 ⎥− + ρg z ⎜ ⎠ ∂θ ⎟+ 2 2 ∂z ⎦ ∂z ⎣ r ∂r ⎝ ∂         !      2 2 ⎡ ∂ ⎛1 ∂ θ (rvθ )⎞ + 12 ∂ v2 + 22 ∂v + ∂ v2θ ⎟ ⎜ ∂θ ∂z ⎠ ∂θ ⎣ ∂r ⎝ ∂         !                         !                          "                     ¤   135 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento µ ⎢∇ 2 v − ⎢ ⎣ ⎡ 2 r2 µ ⎢∇ 2 vθ + ⎣ ⎡ µ ⎢∇ 2 vφ − ⎣ ⎡ En las ecuaciones ante io es se usa la exp esión de ∇2 que se dio ante io mente, (2.38), eemplazando Ψ por vr, vθ, vφ según sea el caso. Rara vez se utilizan e stas ecuaciones en su orma completa para el planteamiento de problemas, sino qu e generalmente es más conveniente emplear ormas restringidas de las mismas. 2.1.19. Utilización de las ecuaciones de variación para el planteamiento de prob lemas de estado estacionario (Ψ no es unción del tiempo). 2.1.19.1. lujo axial de un luido incompresible en un tubo circular. La ecuación del movimiento escrita en coordenadas cilíndricas tiene componente r adial, componente angular y componente axial. En este caso sencillo solo tenemos componente axial de la velocidad y esta solo es unción de la posición radial. Teniendo esto presente, la ecuación se reduce al componente z que para ρ y µ con stantes, con v y vθ en cero, se simplifica: ρvz ⎡ 1 ∂ ⎡ ∂ vz ⎤ ∂ 2vz ⎤ ∂ p ∂ vz = µ⎢ − + ρg z ⎢r ⎥+ 2 ⎥ ∂z ⎣r ∂ r ⎣ ∂ r ⎦ ∂ z ⎦ ∂ z     ¥ 2 ⎛ vφ 1 ∂v r cosθ ∂vθ ⎞⎤ 1 ∂p ⎜ ⎟⎥ − − − + ρg φ 2 ⎜ 2 2 sen θ ∂φ ⎟⎦ r se r ⎝ 2 sen θ sen θ φ ⎠ θ ∂φ        vφ ∂vφ vr vφ vθ vφ cot θ ∂vφ ⎞ ⎛ ∂vφ vθ ∂vφ ⎟= Componente φ: ρ ⎜ v ∂θ + r sen θ ∂φ + r + r ∂t ⎟ ⎝ ⎠   vθ 2 ⎛ ∂v cosθ ∂vφ ⎞⎤ 1 ∂p ⎜ ⎟⎥ − − − + ρgθ 2 ⎜ 2 r ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ 2 sen θ sen 2 θ ∂φ ⎟⎦ + ⎜ ∂ +   ⎛ ∂v vφ ∂vθ vr vθ vφ2 cot θ ∂vθ ⎞ v ∂v ⎟= Componente θ: ρ ⎜ v ⎜ ∂ ∂t ⎟ ∂θ r sen θ ∂φ r r ⎠ ⎝   (   ( (   ⎛ ∂v 1 ∂vφ ⎞⎤ ∂p ⎟⎥ − ⎜ v + θ + vθ cot θ + + ρg ⎜ ∂θ sen θ ∂φ ⎟⎥ ∂r ⎠⎦ ⎝ θ + θ θ + + − +                 (           (     136 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to Esta ecuació puede simplificarse hacie do aplicació de la ecuació de co ti ui dad, que e este caso se reduce a ∂vz/∂z = 0. Resulta evide te que tam ié ∂2vz/ ∂z2 es cero, co lo que la ecuació a terior se tra sforma e : ⎡ 1 ∂ ⎡ ∂v z ⎤ ⎤ ∂p 0 = µ⎢ + ρg z ⎢r ⎥⎥ − ⎣ r ∂ r ⎣ ∂ r ⎦⎦ ∂ z (2.23 ) I tegra do dos veces co respecto a r, y utiliza do las co dicio es límite vz = 0 para r = R y vz = fi ito para r = 0, vz (℘o −℘L )R 2 ⎡1 − ⎛ ⎞ 2 ⎤ = 4 µL ⎢ ⎢ ⎣ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝R⎠ ⎥ ⎦ ; ℘ = p − ρg z L (2.24a) pa ti de esta ecuación podemos dete mina cantidades tales como la velocidad máxima (en el eje de simet ía), la velocidad p omedia (integ ando sob e el á ea y dividiendo po la misma, ve ecuación 2.22), el caudal volumét ico de flujo (e cuación de Hagen Poiseuille, 2.23, 2.25, 2.27), la fue za neta que actúa sob e e l cilind o de fluido en el sentido de la co iente debido a la dife encia de p e sión y la acele ación g avitacional, que se equilib a po la fue za viscosa que se opone al movimiento del fluido, etc. Estos esultados p esentan validez pa a flujo lamina del fluido, o sea pa a valo es del pa ámet o de Reynolds, Re = (ρv d/µ), meno es de 2100. 2.1.19.2. T anspo te en un anillo con gene ación inte na. Vamos a conside a a continuación dos p oblemas de t anspo te simila es, involuc ando geomet ía anula . En uno se estudia el flujo lamina de un fluido newtonia no en el anillo, mient as que en el segundo t atamos con t ansfe encia de calo desde un elemento de combustible nuclea con fo ma anula . mbas situaciones se ilust an en la figu a 2.16. Los adios inte io y exte io de las egiones anula es son R1 y R2, λ = R1/R2 es a re ación de radios. Las paredes interna y exter na de e emento de combustib e se mantienen a TS, y a ve ocidad de f uido en R 1 y R2 es cero por a condición ímite de no resba amiento.       ¥ ¥     ¥  ¤ ¤       ¥         ¥ ¥   ¥ ¥     '           ¥ ¤ ¥           ¤ ¥     ¥ ¤ ¥                          ¥   ¥ ¥ ¥ ¤   ¥   ¤ ¤   ¤     ¥     ¥     ¤       ¥      ¥     ¥     ¥   ¤ ¤   ¥     ¥     ' 137 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento 2.1.19.3. Transporte de ca or. Ca cu aremos e perfi de temperatura y as pérdidas tota es de ca or desde amba s superficies. Se trata de simetría ci índrica y transferencia en estado estab e dentro de un só ido. La ecuación (2.42) modificada para transferencia de ca or en só idos donde vx =vy = vz = 0: ρC P ∂T = k∇ 2T + Φ H ∂t (2.42a) es la adecuada. El término de la izquierda es cero por condición de estado estab le. El primer término de la derecha, se escribe en función de coordenadas cilínd ricas, ecuación (2.36), descontando los términos que contienen a θ y z puesto u e T es sólo función de r. Así la ecuación diferencial ue describe nuestro siste ma es: ⎡ 1 d ⎛ dT ⎞⎤ k⎢ ⎟⎥ + Φ H = 0 ⎜ ⎣ r dr ⎝ d ⎠⎦ (2.42 ) Aplicando las condiciones límite: T = − (ΦHR12/4k) + C1⋅ln R1 + C2 T = − (ΦHR2 2/4k) + C1⋅ln R2 + C2 en r = R1 en r = R2 Restando la segunda de la primera y despejando para C1: 2 Φ H R2 − R12 C1 = 4k ln( R2 / R1 ) Reemplazando en la primera ( ) ¥ Usamos derivadas totales pues T es solo fu ció de r. Las co dicio es límite so : i. ara r = R1, T = TS. ii. ara r = R2, T = TS. I tegra do co respecto a r: rΦ C dT =− H + 1 dr 2k r T =− ΦH r2 + C1 ln r + C 2 4k ¤  ¤ ¤ ¤ 0 ¤ ¥ ¥  ¥ ¥ ¤  ¥ ¤   ¥ ¥ ¤ ¤   0 © ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ © ¤ 138 ENÓMENO DE TRAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento + 2 Φ H R12 Φ H R2 − R12 ln R1 − 4k 4k ln( R2 / R1 ) ( ) se obtiene el perfil de temperatura: 2 2 Φ H R12 ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ Φ H R2 − R12 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + T − TS = n(r / R1 ) 4k ⎢ ⎜ R1 ⎟ ⎥ 4k n( R2 / R1 ) ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ ( ) Aplica do la ley de ourier e co tramos la de sidad de flujo de calor como fu ci ó de r: 2 dT rΦ H Φ H R2 − R12 q r = −k = − 2 4r ln( R2 / R1 ) dr ( ) 2.1.19.4. Velocidad neta de pérdida de calor. Como no hay entrada de calor al sistema, todo el calor generado por el combustib le debe eliminarse por las paredes, tanto interna como externa. Es decir el calo r total transferido al medio enfriante es QTotal = ΦH[πR22 − πR12]⋅L, donde [πR2 2 − πR12]⋅L es el volumen total del elemento de combustible. Ahora odemos calcu lar, a artir de las densidades de flujo en R1 y R2, recordando que la magnitud del flujo de calor en cada su erficie es el roducto de la densidad de flujo qr or el área 2πrL, evaluadas en cada su erficie. Sin embargo en r = R2, qr será ositivo ues allí dT/dr es negativo, ero en r = R1, qr es negativo uesto que d T/dr es ositivo (observar los erfiles de tem eratura en el gráfico). Teniendo esto resente: Flujo de calor a través de la su erficie exterior Qr = (2πR2 L )⋅ q r ⎡R Φ Φ R 2 − R12 ⎤ =⎢ 2 H − H 2 ⎥ (2πR2 L ) 4 R2 ln( R2 / R1 ) ⎦ ⎣ 2 ( ) r = R2 r = R2 lujo de calor a través de la superficie i terior Qr = (2πR1 L ) ⋅ q r ⎡ RΦ Φ (R 2 − R12 ) ⎤ = ⎢− 1 H + H 2 ⎥ (2πR1 L ) 2 4 R1 ln( R2 / R1 ) ⎦ ⎣ r = R1 r = R1 r = R1 Suma do am os térmi os o te emos QTotal = ΦH[πR22 − πR12]⋅L = Qr se había revis  ¥    ¤   ¥  ¥  ¥ ¥   ¥   ¥     0 C 2 = T  0  ¤ ¥  ¥ ¥   to. + Qr r = R2 como 139 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 2.1.19.5. Trans orte de cantidad de movimiento. Ahora debemos obtener ex resiones ara el erfil de velocidad y la fuerza result ante en la ared, así como relaciones entre el caudal de flujo y la caída de re sión. A artir de un balance de cantidad de movimiento usando la ecuación de Nav ier Stokes en coordenadas cilíndricas como en el caso de flujo en el interior de un conducto circular, la misma ecuación diferencial describe ambos rocesos: ⎡ 1 ∂ ⎡ ∂v z ⎤ ⎤ ∂p 0 = µ⎢ + ρg z ⎢r ⎥⎥ − ⎣ r ∂ r ⎣ ∂ r ⎦⎦ ∂ z (2.23 ) pero co difere tes co dicio es límite: vz = 0 para r = R1 y para r = R2. O serv amos que las ecuacio es difere ciales para los casos de tra sfere cia de calor ( 2.42 ) y de ca tidad de movimie to (2.23 ) difiere sólo e la otació . Esto se hace más claro si recordamos que ΦM = − dp/dz + ρgz. También las condiciones lí mite se hacen simila es si eemplazamos (T − TS) po vz. O sea que los p oblemas son análogos, y podemos simplemente usa el esultado obtenido en el p oblema d e t ansfe encia de calo , inte cambiando ΦH po ΦM y k po µ. El pe fil de veloc idad es entonces: Φ M R12 vz = 4µ ⎡ ⎛ ⎞2 ⎤ Φ R 2 − R2 1 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + M 2 n(r / R1 ) ⎜R ⎟ ⎢ ⎝ 1 ⎠ ⎥ 4 µ n( R2 / R1 ) ⎣ ⎦ ( ) Igualme te el flujo de ca tidad de movimie to se o tie e por a alogía o aplica d o la ley de Newto de la viscosidad: τ rz = − µ 2 dv z rΦ M Φ M R2 − R12 = − 2 4r ln( R2 / R1 ) dr ( ) Ambos se representan en el gráfico 2.16. La pérdida total de cantidad de movimie nto en la pared (o fuerza resistente ) es: Total = (2πR2 L) ⋅ τ rz r = R2 − (2πR1 L) ⋅ τ rz r = R1 2 = πR2 − πR12 [(P0 − PL ) / L + ρg z ] ⋅ L ( ) Se obse va que la fue za viscosa neta en las pa edes iguala a la suma de las fue zas de p esión y las fue zas g avitacionales. 2.1.19.5.1. Caída de p esión en un anillo.         La elación más útil es esa ent e la velocidad p omedio y la dife encia dinámica ¥       ¥    ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¤ ¥   ¥        ¥       ¥   ¥ ¥     ¥      ¥       ¥ ¥ ¥ ¥      ¤    ¥ ¥        de p esiones. Dete minamos la velocidad p omedia en el anillo:       R2 vm = (πR R1 ∫v z ⋅ 2πrdr − πR12 2 2 ) [( P0 − PL ) + ρg z L]R22 ⎡1 − λ4 − = 8µL ⎢ 2 ⎣1 − λ 1 − λ2 ⎤ ⎥ n(1 / λ ) ⎦ (2.46) Solución. Este sistema se describe más fácilmente en coordenadas cilíndricas, y por lo tanto vamos a utilizar las ecuaciones de variación en este sistema coorde nado. Sabemos ue en el estado estacionario vz = vr = 0, y ue vθ es una función e clusiva de r. Sabemos, también, ue la presión dependerá de r, a causa de la fuerza centrífu a, y de z, debido a la fuerza ravitacional. Al i ual ue en el ejemplo anterior, no hay contribución de la ecuación de continuidad, y la ecuaci ón de movimiento se reduce a: componente r: ρvθ 2 r = ∂ p ∂r componente θ: µ ¤ 2.1.19.5.2. Forma de a superficie de un íquido que gira. Un f uido de densidad y viscosidad constante está contenido en un recipiente ci índrico de radio R. E recipiente rota a rededor de su eje con una ve ocidad ang u ar Ω. El eje del cilind o es ve tical, de fo ma que g = gθ = 0, y z = − . allar la forma de la superficie libre, una vez alcanzado el estado estacionario. ¤ co λ = R1/R2. Esta ecuación tiene una uti idad simi ar a a de Hagen – Poiseui e, pero en esta ocasión, para f ujo aminar en conductos anu ares. E cauda se rá Q´=πR2(1-λ2)vm.   ¤ 140 ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento !  ¤ ! ¤ !   ¤  ¤     ¤     !   ¤ ¤ ¤ ¤    ¤     ' ¤ ¤ ' !  ¤   ¤ ¥ " ¤ ¤  de ⎤ ∂ ⎡1 ∂ (rvθ )⎥ = 0 ⎢ ∂ r ⎣r ∂ r ⎦ compo e te z: − ∂ p − ρg = 0 ∂z ¥ ¥ La ecuación pa a el componente θ puede inte rarse de forma inmediata para obtene r vθ = C1 r/2 + C2/r en la ue C1 y C2 son constantes de inte ración. Como vθ no puede ser infinito para r = 0, la constante C2 ha de ser cero. Sabemos además ue para r = R la velocidad vθ es RΩ. De acue do con esto puede evalua se C1 y ll ega a vθ = rΩ lo que establece que cada elemento del fluido que gi a se mueve d e igual fo ma que los elementos de un cue po ígido. Este esultado puede substi tui se en el componente de la ecuación de movimiento. De esta fo ma se obtiene n dos exp esiones pa a los g adientes de p esión: ∂ p = − gρ ∂z Como p es una función analítica de la posición, puede esc ibi se ⎛∂ p⎞ ⎛∂ p⎞ ⎟d + ⎜ dp = ⎜ ⎜ ∂ z ⎟dz ⎟ ⎜ ∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Substituyendo en esta exp esión e integ ando, se llega a p = − ρgz + +C siendo C una constante de integ ación, que puede dete mina se teniendo en cuenta que p = p0 pa a = 0 y z = z0, de fo ma que p0 = − ρgz0 + C. De aquí p − p 0 = − ρg ( z − z 0 ) +                 La supe ficie lib e es el lo tanto su ecuación es Este esultado nos indica a fo ma de un pa aboloide         ρΩ 2 2 2 luga geomét ico de los puntos en los que p = p0, y po ρΩ 2 2 0 = − ρg ( z + z 0 ) + 2 2 2 Ω z − z0 = 2g que la supe ficie lib e de un líquido que gi a, toma l de evolución.               ρΩ 2 2 2               ∂ p = ρΩ 2 ∂    141 ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento         !           !              '   '                      de 142 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 2.1.19.6. T ansfe encia de cantidad de movimiento. Facto de f icción. Conside emos el flujo a t avés de una tube ía o conducto ci cula como ya se dis cutió. En el caso de flujo lamina completamente desa ollado podemos usa la ec uación de Hagen Poiseuille (2.23) pa a calcula la caída de p esión a dete minad a velocidad de flujo. En fo ma simila , pa a flujo lamina en un anillo podemos usa (2.46) pa a el mismo p opósito. Pe o ambas ecuaciones se de ivan aplicando la ley de Newton de la viscosidad la cual se aplica solamente en flujo lamina . Pa a flujo tu bulento no existe una teo ía aceptada que pueda usa se pa a p edec i el flujo de cantidad de movimiento tu bulento. En gene al los ingenie os han debido efe i se a co elaciones empí icas de datos expe imentales. Sin emba go, un p og ama de expe imentos es gene almente más costoso que un análisis teó ico , po lo que es deseable educi la cantidad de datos eque idos en la medida de lo posible. Esto puede hace se usando va iables adimensionales. 2.1.19.7. Análisis dimensional. Pa a el flujo en un conducto ci cula (figu a 2.13) se puede espe a que la caíd a de p esión dinámica (℘0 − ℘L) dependa de va iables tales como la longitud del tubo, el diámet o del mismo, la viscosidad µ del fluido, la velocidad p omedio v m y la densidad del fluido ρ. Como pa a flujo completamente desa ollado la caíd a de p esión apa ece di ectamente p opo cional a la longitud podemos simplifica el p oblema usando una cantidad independiente de la longitud: ℘0 −℘L ∆℘ =− = f ( D, µ , ρ , v m ) L L (2.47) Pa a dete mina la natu aleza de esta elación sin usa análisis dimensional, de be íamos medi la caída de p esión como función de la velocidad p omedio del flu ido vm. Luego debemos hace mediciones simila es con tubos de distintos diámet o s y longitudes. Poste io mente debemos efectua ensayos con fluidos de dife ente s viscosidades y densidades, nuevamente pa a dife entes diámet os y longitudes. Se evidencia que el núme o total de ensayos se ía bastante g ande debido al núme o de pa ámet os y va iables involuc adas y que la co elación de los datos obte nidos así como su extensión a condiciones dife entes se ha ía difícil. Po esta azón es conveniente esc ibi ecuaciones como la (2.47) en té minos de g upos ad imensionales. Pa a ello nos efe imos al apéndice sob e Análisis Dimensional. Us ando los p ocedimientos allí desc itos se dete mina el que sólo dos g upos adime nsionales son necesa ios pa a desc ibi el fenómeno: una caída de p esión dinámi ca adimensional y una velocidad adimensional. Como dijimos antes, expe imentalme nte se ha encont ado que existe flujo lamina en conductos ci cula es cuando la cantidad                                                                                                                                                                                                                                                                                     143 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento adimensional denominada núme o de Reynolds es meno que 2100. Apa ece convenient e usa el núme o de Reynolds como la velocidad adimensional. 2.1.20. Definición gene al del facto de f icción. Deseamos una definición gene al, que incluya tanto el flujo inte no, como el flu jo exte no, o sea pasando al ededo de un objeto (tal como al ededo de una pa tícula de catalizado o del ala de un ae oplano). Pa a este caso se utiliza el n omb e de coeficiente de a ast e (o de esistencia), en luga de facto de f icc ión, y la fue za de f icción o a ast e del sólido actuando en el fluido es la v a iable deseada en luga de la caída de p esión po unidad de longitud. El facto de f icción puede defini se entonces como el facto de p opo cionalidad ent e la fue za esistente po unidad de á ea y la ene gía cinética del fluido po uni dad de volumen: FC = f ⋅ KC (2.48) Donde C es la fuerza ejercida por el fluido en virtud de su movimiento, es el área característica que, para el flujo en conducciones (o interno), es la super ficie mojada; para el flujo pasando objetos sumergidos (o externo) es el área pr oyectada en un plano perpendicular a la velocidad de aproximación del fluido; y KC es la energía cinética característica por unidad de volumen 2 K C = 1 ρvm 2 Siendo vm la velocidad p omedio del fluido pa a flujo inte no y la velocidad de ap oximación del mismo pa a flujo exte no: ue za esistente Ene gía cinética = f⋅ ea ca acte ística Volumen Recué dese que esto no es una ley sino la definic ión del facto de f icción y que según se defina el á ea ca acte ística puede te ne un valo numé ico distinto po lo que se debe tene g an atención cuando se use. 2.1.20.1. Coeficiente de fo ma. Este se define análogamente al coeficiente de f icción pelicula (inte no o exte no) como un coeficiente de p opo cionalidad ent e la fue za esistente y la ene gía cinética media del fluido:           0                                                                                                           0                                                    '               D = CD (½ ρv∞2S) D: ue za esistente po unidad de á ea f ontal. S: Á ea f on tal (p oyección pe pendicula al sentido de flujo del fluido) (2.47a) 2.1.20.2. Ecuaciones pa a el movimiento unidimensional de una pa tícula a t avés de un fluido. Conside emos una pa tícula de masa m moviéndose a t avés de un fluido bajo la ac ción de una fue za exte na e. La velocidad de la pa tícula con especto al flui do es ν. La fuerza oya te o de flotació e la partícula es . La fuerza resis te te es D. La fuerza resulta te so re la partícula es: m dv = e − b − D dt (1) La fuerza externa será el producto de la masa de la partícula por la aceleración externa ae. La fuerza boyante es, por el principio de Arquímedes, el producto d e la masa del fluido desplazado por la partícula y la aceleración debida a la fu erza externa. El volumen de la partícula será m/ρp, siendo ρp la densidad de la misma, y éste es el volumen de fluido desplazado po la pa tícula. La masa de fl uido desplazada se á (m/ρP)ρ, donde ρ es la densidad del fluido. La fue za esis tente viene dada po D = CD (ρν∞2 S/2) do de D : uerza resiste te por u idad de área fro tal. S : rea fro tal (proyecció perpe dicular al se tido de flujo del fluido) CD es el coeficie te de forma que se defi e a álogame te al coeficie te de fricció pelicular (i ter o o exter o) como u coeficie te de proporcio a lidad e tre la fuerza resiste te y la e ergía ci ética media del fluido. Reempla za do e (1) y dividie do por m: 2 ρ p − ρ C D v 2 ρS p dv ρa e C D v ρS p = ae − − = ae − 2m 2m dt ρp ρp (2) Si la fue za exte na es la g avedad ae = g Si se t ata a de un campo cent ifugo ae = ω2. r : radio de la trayectoria de la partícula. ω : Velocidad angular. En este caso, ν es la velocidad de la partícula relativa al fluido, y está dirigid a hacia afuera a lo largo de u radio. 2.1.20.3. Velocidad termi al. Cua do ocurre sedime tació por gravedad, g es co sta te. Además la fuerza resis te te aume ta co la velocidad. dv/dt dismi uirá co el tiempo te die do a cero e (2). La ¥     144 ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento      ¥        ¥ ¥ ¥ ¥ ¥       ¥       ¥       ¥ ¥     ¥   ¥  ¥   ¥ ¥    ¥ ¥ ¥ ¥     ¥ ¥ ¥  ¥   ¥ ¥   ¥ ¥ ¥     ¥  ¥   ¥ '   ¥   ¥ #      ¥         ' ¥   ¥ ¥ ¥      ¥ ¥       ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ de 145 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to partícula, rápidame te alca zará u a velocidad co sta te, la cual es la máxima o te i le ajo las circu sta cias, y la cual se de omi a velocidad termi al. ara sedime tació gravitacio al, hacie do dv/dt = 0 e (2) te emos: ⎡ 2 g ( ρ P − ρ )m ⎤ vt = ⎢ ⎥ ⎢ S P ρ P CD ρ ⎥ ⎦ ⎣ 0.5 (3) Si la partícula es esférica de diámetro d , se reduce a ⎡ 4 g ( ρ P − ρ )d P ⎤ v t = ⎢ ⎥ ρ CD ⎣3 ⎦ 0.5 ara usar cua titativame te las ecuacio es (1) a (3) se requiere los valores u méricos del coeficie te de arrastre CD. ara esferas se o tie e curvas de CD co tra Re, que puede aproximarse por las siguie tes expresio es: Re < 1.9 CD = 24 /Re D = 3πµνtDp (4) Se de omi a ra go de la ley de Stokes y correspo de al flujo repta te so re la e sfera: o hay separació de la capa límite. El ra go siguie te o i termedio, vál ido para 1.9 ≤ Re ≤ 500 CD = 18.5/Re0.6 D = 2.31 π(νtDp)1.4 µ0.6 ρ0.4 (5) El último ango está comp endido ent e: 500 < Re < 200000, allí: CD = 0.44; 0.055 π(νtDp)2ρ (6) D = Es denominado ango de Newton. Si la velocidad te minal de la pa tícula se equi e e, se desconoce Re y no es posible dete mina el ango de la ley. Pa a identif ica lo, la siguiente ecuación p ovee un c ite io: ⎡ gρ( ρ P − ρ ) ⎤ K = dP ⎢ ⎥ µ 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 3 (7) ¥ ©     ¥   ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥   ¥   ¥ ¥ ¥ ¥     ¥     © © ¥  ¥   ¥ ¥ ¥   ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥    ¥ ¥ ¥    ¥ ¥ ¥ ¥  ¥      © ¥ 146 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to Si el tamaño de las partículas es co ocido, K se calcula de (7). Si es me or de 3.3 se aplica la ley de Stokes. Si K cae e tre 3.3 y 44.0 de erá usarse la ley i termedia, y si está e tre 44.0 y 2360 de erá escogerse la ley de Newto . Cua do se trata de esferas m: masa de la partícula = (π d 3ρp)/6; Sp: á ea p oyectada pe pendicula a la di ección del flujo = πd 2/4 Otras formas que a arecen frecue ntemente son los discos y los cilindros. Para valores de Re mayores que 80, se uede considerar su factor de forma constante en a roximadamente 2.0. Para Re men ores los discos se com ortan rácticamente igual a las esferas, mientras que los cilindros resentan factores de arrastre menores. Las ecuaciones (4) a (7) se a lican a esferas sólidas, no siendo im edidas en su movimiento or otras artícu las o las aredes del reci iente, moviéndose a velocidad constante; no deben ser demasiado equeñas y moverse a través de líquido estancado. Cuando la artícula se encuentra a suficiente distancia de los límites del contenedor y de otras a rtículas, de tal manera que su caída no es afectada or ellas, el roceso se den omina sedimentación libre. Si el movimiento de la artícula es influido or otra s artículas, lo cual uede ocurrir cuando las artículas están cerca unas de ot ras aunque no colisionen, el roceso se denomina sedimentación im edida. En este caso el coeficiente de arrastre es mayor que en la sedimentación libre. Si la artícula está acelerada (velocidad variable), la resistencia se ve influenciada or los cambios en los gradientes de velocidad cerca a la su erficie de la artí cula, aumentándose. También, si las artículas son gotas líquidas (o burbujas), se generan corrientes circulantes, y oscilaciones o cambios de forma. Fuerza res istente adicional será necesaria ara suministrar la energía requerida ara mant ener estos movimientos de la gota (burbuja) misma. Si las artículas son muy eq ueñas, a arece el movimiento browniano. Este es un movimiento aleatorio im artid o a la artícula or colisiones entre la artícula y las moléculas del fluido qu e la rodea. Este efecto se vuelve a reciable ara artículas de dos a tres micró metros, y redomina sobre las fuerzas gravitacionales ara artículas de 0.1 mic rómetros o menos. El movimiento al azar de la artícula, tiende a su rimir el ef ecto de la fuerza gravitacional y la sedimentación no ocurre. La a licación de f uerza centrífuga, reduce el efecto relativo del movimiento browniano. 2.1.20.4. Flujo en conductos. En estos la fuerza resistente será: FC = ∫ τ S dS S (2.49)    ¥    ¥     ¥         ¥      ¥           ¥   ¥  ¥   ¥     ¥     ¥            ¥   147 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Be ancour Grajales Transferencia molecular de calor masa y can idad de movimien o donde S es el área de la pared del conduc o (2πRL ara un tubo circular) y τS es el esfuerzo cor an e (o flujo de can idad de movimien o) evaluado en la pared. Para flujo desarrollado en un conduc o de sección ransversal cons an e, τS no d epende de la longi ud, así f es ará definido por: f = 1 2 τS 2 ρv m Relacionando τS a la caída de presión a ravés de un balance de fuerzas: FC = (P 0 − PL ) πR 2 + ρg z πR 2 L = −(∆℘) πR 2 f = 1 D ⎛ − ∆℘ ⎞ ⎜ ⎟ 2 4 L ⎜ 1 ρv m ⎟ ⎝2 ⎠ [ ( ) ( )] ( ) y (2.50) Y la fo ma adimensional de la exp esión (2.47) se convie te en: f = f(Re), donde f es llamado el facto de f icción de Fanning. La definición de f va ía de unos lib os a ot os po lo que se debe tene cuidado al utiliza fó mulas y tablas e n las que inte vengan facto es de f icción. El uso de las va iables adimensional es f y Re hace que necesitemos menos datos pa a co elaciona las que si t atá am os de hace va ia independientemente las cantidades incluidas en la ecuación (2 .46). O sea, en flujo tu bulento pod ía se suficiente va ia la velocidad p ome dio y medi la caída de p esión pa a el flujo de un fluido como po ejemplo agua , a t avés de un tubo (un D y una L). En la p áctica las elaciones empí icas se comp ueban con más de un fluido pa a asegu a el habe escogido los g upos adim ensionales adecuados. Aún así, la cantidad de expe imentación se educe eno meme nte al usa el método de g upos adimensionales. Pa a el caso pa ticula de flujo a t avés de una tube ía en flujo lamina la ecuación de Hagen Poiseuille: − ∆ ℘ 8µvm = L R2 (2.26) al se sustituida en (2.50), nos da: f = 1 D ⎛ − ∆℘ ⎞ 16 16 ⎜ ⎟ ⎜ 1 ρv 2 ⎟ = ρv D / µ = Re 4 L⎝2 m⎠ m (2.51)                 ¦ ¦                         ¦        ¦         ¦   ¦   ¦   ¦ ¦   ¦       ¦   ¦               ¦ ¦   ¦     ¦                       148 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento Esta exp esión nos indica que pa a flujo lamina basta conoce Re pa a conoce f . Sin emba go, a t avés de la ecuación de Hagen Poiseuille pod íamos dete mina la caída de p esión en fo ma di ecta. Pe o es conveniente tene un manejo unif icado de cálculo tanto pa a flujo lamina como pa a flujo tu bulento y en este ú ltimo no es posible obtene una exp esión analítica exacta sino que es necesa io obtene elaciones empí icas ent e f y Re. Combinando ecuaciones pa a tube ías ugosas en egímenes de flujo lamina y tu bulento Chu chill desa olló una sola ecuación pa a el facto de f icción en flujo lamina , de t ansición o tu bulent o, y pa a tube ías tanto lisas como ugosas: 12 3/ 2 f ⎧⎛ 8 ⎞ ⎪ ⎪ ⎡ 1 ⎤ ⎫ = ⎨⎜ ⎟ + ⎢ ⎥ ⎬ 2 ⎪⎝ Re ⎠ ⎣ A+ B⎦ ⎪ ⎩ ⎭ 1 / 12 (2.52) ⎫ ⎧ ⎤⎪ ⎡ 1 ⎪ A = ⎨2.457 ln ⎢ ⎥⎬ 0.9 ⎪ ⎣ (7 / Re ) + 0.27(ε / D) ⎦ ⎪ ⎭ ⎩ 16 ⎛ 37530 ⎞ B=⎜ ⎟ ⎝ Re ⎠ 16 (ε/D) s la rugosidad r lativa d la tub ría. Las cuacion s son más conv ni nt s qu las tablas o las corr lacion s gráficas n dis ño y op ración ayudadas por computador. Pru ba y rror s n c sario si n lugar d la v locidad d flujo s sp cifica la caída d pr sión. La cuación (2.52) no sólo r produc l gráfico d l factor d fricción (o d Moody) sino qu vita int rpolacion s y da valor s únicos n la r gión d transición. Estos valor s stán, naturalm nt , suj tos a alguna inc rtidumbr , d bido a la in stabilidad física inh r nt n sta r gión . 2.1.20.5. Aplicación a s ccion s transv rsal s arbitrarias. Consid r mos flujo a través d un conducto d longitud L y ár a d s cción trans v rsal A. El ár a d la par d s rá S = PH⋅L dond PH s l p rím tro húm do, o s a l p rím tro d la sup rfici d la par d qu s halla n contacto con l flu ido. Así para un anillo, PH = 2π(R1 + R2) (figura 2.16). Un balance de esfuerzos nos da: 2 FC = [(P0 − PL )( A) + ρg z ( L )] = f ⋅ 1 ρvm S 2 o sea: f = (℘0 −℘L ) − ∆℘ A − ∆℘ RH =1 2 = 1 2 2 1 2 ρv m S 2 ρv m LP 2 ρv m L ¢ ¢ ¢       ¢ ¢     ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢     ¢ ¢ ¢ ¢ ¢              ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢   ¢   ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢       ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢       ¢   ¢ ¢ ¢     ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢       '   ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢   ¢     ¢   ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢   ¢ ¢   ¢     ¢ ¢   '       ¢ ¢ ¢   ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢     149 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento Donde RH = A/PH = Radio hid áulico = (á ea sección t ansve sal)/(Pe ímet o húmed o) Pa a un tubo: RH = πR 2 R D = = 2πR 2 4 donde D es el diámetro del tubo. Por esto frecuentemente se define el diámetro e quivalente como Deq = 4⋅R = 4A/P . En algunos textos se define un factor de fri cción diferente fD: fD = 4 f = (℘0 − ℘L ) Deq 2 1 L 2 ρv m 2.1.20.6. acto de f icción pa a un anillo. Defini el facto de f icción pa a un anillo y elaciona lo con el núme o de Rey nolds en el caso de flujo lamina . Pa a el anillo, la definición del facto de f icción y la aplicación del balance de fue zas da: f = − ∆℘ RH 2 1 L 2 ρv m 2 R − R1 π R2 − R12 A = 2 = PH 2π (R1 + R2 ) 2 donde: R = ( ) A artir de la ecuación (2.46), reem lazamos (−∆℘/L) en la exp esión pa a f: f = 2 8 µv m RH 16 4 RH 16 (1 − λ ) = = 2 2 2 1 [(4 RH ρvm ) / µ ] R2 ⋅ φ (λ ) Re eq φ (λ ) 2 ρvm R2 ⋅ φ (λ ) 2 ¤ ρvDeq 4 RH v ⎡1 − λ4 1 − λ2 ⎤ donde: φ (λ ) = ⎢ − ⎥ y Re eq = µ = µ 2 ⎣1 − λ 1 / λ ) ⎦ n(   Este se denomina facto de f icción de Blasius, mient as que f es llamado facto de f icción de anning. La conocida ecuación de Da cy – Weisbach pa a pé didas po f icción en tube ías f ecuentemente se basa en fD po lo que se debe tene p ecaución al usa g áficos y ecuaciones en los que inte venga el facto de f icc ión.                                                                                                            150 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to Se de e recordar que para flujo lami ar e u tu o f = 16/Re. O sea que la relac ió e tre f y Re para u a illo o es la misma como para u tu o au que la últim a se modifique usa do el diámetro equivale te. ara el a illo este empirismo pue de co llevar a errores de hasta el 50 %. Si em argo, esta regla empírica prese ta mejores resultados co otras seccio es tra sversales y para flujo tur ule to. A falta de otra i formació puede usarse como aproximació . ara tra sfere cias de calor e co ductos de secció tra sversal a ular, el diámetro equivale te qu e se usa e las correlacio es para el coeficie te co vectivo o pelicular de tra sfere cia de calor co sidera como perímetro húmedo solo el del tu o i ter o. 2.1.21. Relació co los coeficie tes de tra sfere cia de calor y masa. E los pro lemas de dime sio amie to de equipos de i ge iería, co frecue cia e cesitamos calcular el tra sporte de calor, masa o ca tidad de movimie to hacia o desde u a superficie o i terfase, es decir u límite e tre fases. E ge eral el pro lema se reduce a determi ar las de sidades de flujo e la pared (o i terfas e). E tra sfere cia de calor se ha usado históricame te la ley de Newto del e friamie to: qS = h (TS − TG) donde TG representa la temperatura promedio del flu ido y h es el coeficiente de transferencia de calor. En forma similar hemos defi nido un coeficiente de transferencia de masa como: NA = kc (cA − cAG) Donde NA es el flujo molar de A en la interfase, cAG es la concentración promedio en un punto en el fluido y cA es la concentración de A en la interfase. Notemos que para cantidad de movimiento podríamos análogamente definir un coeficiente de tra nsporte a saber (de la definición del coeficiente de fricción): τS = ½fvm (ρvzG − ρvzS) = ½fvm (ρvm − 0) = (f/2)ρvm2 O sea el coeficiente se ía ½ f vm pe o en l a p áctica se usa el facto de f icción. Este facto de f icción tiene la ca act e ística de se adimensional, lo que no ocu e con los coeficientes de t ansfe e ncia de calo y masa. ¥ ¥ ¥   ¥   ¥ ¥ ¥ ¥    ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ 0 ¥  © ¥   ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ 0 ¥ ¥ ¥ ¥   ¥  © ¥ ¥ ¥ ¥    ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ 0 ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥     ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥      ¥ 0  2.1.21.1. Teo ía pelicula . En fo ma simila a como lo desc ibié amos pa a t ansfe encia de masa, se ha enco nt ado expe imentalmente que el pe fil de tempe atu a en flujo tu bulento aument a ápidamente ce ca a la pa ed y es bastante plano al aleja se de la pa ed (figu a 2.18). Esto indica que el mayo po centaje de la esistencia a la t ansfe enc ia ocu e ce ca a la pa ed, y se acostumb a en la p áctica ingenie il postula e l que toda la esistencia al t anspo te ocu e en una delgada película de fluido ce cana a la pa ed. ue a de esta película la tempe atu a se supone igual a la de la masa p incipal del fluido. Dent o de la película se asume flujo lamina au nque fue a de ella sea tu bulento. La distancia z se denomina espeso efectivo de película, y el coeficiente de t ansfe encia convectivo es f ecuentemente deno minado coeficiente pelicula . Si conside amos la t ansfe encia de calo desde un a inte fase hacia un fluido de acue do con este modelo, el t anspo te total de c alo po conducción a t avés de la película estancada esta ía dado po :   Podemos adimensionaliza así: Nu = h D / k Coeficiente adimensional de t ansfe e ncia de calo o núme o de Nusselt. Sh = kc D /D B Coeficiente adimensional de t ansfe encia de masa o núme o de She wood. En algunos textos lo denominan Nusselt pa a t ansfe encia de masa y lo simbolizan (Nu) B. quí D es una longitud ca ac te ística pa a el sistema, k es la conductividad té mica, kc es un coeficiente c onvectivo de t ansfe encia de masa que actúa sob e fue zas guías exp esadas en c oncent aciones mola es y D B es la difusividad másica de a t avés de B. Pa a f lujo en tube ías la longitud ca acte ística es el diámet o del tubo; pa a flujo en ot os conductos se toma gene almente el diámet o equivalente. Pa a flujo pasa ndo esfe as la longitud ca acte ística es el diámet o de la esfe a al igual que pa a flujo pe pendicula a cilind os; pa a objetos no esfé icos se usa el diámet o equivalente.               151 ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento                                           '                   '                ' '                                                            '       '                '                                                                       de QS = kS (TS −T m ) = qS S z qS = h (TS – Tm) k (TS − Tm ) = h(TS − Tm ) ⇉ = k/zF zF Análogamente, i e e una uperficie ifun e oluto acia un flui o. N AS = D AB (c AS − c Am ) = kc (c AS − c Am ) ⇉ kc = DAB/zF zF E to re ulta o no icen que para aumentar lo coeficiente peliculare ebemo re ucir el e pe or e la película. E to pue e lograr e aumentan o la veloci a el flui o que pa a obre la uperficie. También pue e mejorar e i la con ucti vi a térmica (o la ifu ivi a má ica) aumentan. Sin embargo, e ebe er caute lo o pue zF pue e er función e k. En reali a la teoría pelicular ólo no e ja un parámetro empírico en función e otro pero no permite un análi i cualita tivo má encillo el fenómeno. 2.1.21.2. Con icione límite generale en una interfa e. En muc a aplicacione e Ingeniería ebemo tratar con i tema compue to que con tan e o o má fa e . Al re olver un problema e e ta cla e el proce imien to a eguir e : 1. Derivar ecuacione iferenciale para el flujo en ca a fa e. 2. E cribir la leye e flujo para ca a fa e. 3. Re olver la ecuacione anteri ore utilizan o la con icione límite. En general po emo e preciar la re i te ncia al tran porte en la interfa e. La con icione límite corre pon erán entonc e a (1): igual a e potenciale y/o (2): igual a e flujo . U an o el uperín ice (α) p r referirnos l f se α y el superíndice (β) p r referirnos l f se β y el su índice (i) p r referirnos l interf se, l s condiciones límite p r tr nsporte en l dirección z son: Energí : Tα = T β i i ; qα = q zβ z i i £ £ £ £  ¡ ¡   £ £ £   £        £  £ £   £    £ ¡ ¡ ¡   £ £    £  £ ¡ £ £  £ £   £ £ £ ¡ ¡ ¡  £   £  £  £  £  ¡   £ £  £    ¡ ¡ ¡ ¡ £ £ £ £    £  £  £        £  £  £   £  £  £  £ ¡  £  £   £ ¡ ¡  £    ¡ £ £ £ £   £ ¡ ¡ ¡   po definición: o sea:   152 ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento           '  '    £  de 153 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento C ntid d de movimiento x en l dirección z (despreci ndo v ri ciones de l tensi ón interf ci l): vα = v zβ z i i β ; τ α = τ zx zx i i Masa de A: β cα = mc A A i i β ; Nα = NA A i i Donde m está d d por condiciones de equili rio termodinámico y puede ser funció n de l concentr ción. En re lid d en l interf se los potenci les químicos o en ergí s li res p rci les mol res son los que son igu les: Gα A i β = GA i De l termodinámic conocemos que Gα , el potenci l químico de l especie A en l f se α A α o concentr ción c A , se puede rel cion r con G Aα ,el potenci l químico en un est do y concentr ción de referenci según l rel ción: o Gα = G Aα + T ln α A A Donde α es l ctivid d de A en l f se α: α = γ α cα , donde γ α es el coefic iente de A A A A A ctivid d de A en α. Simil rmente o tenemos: β β β o G A = G Aβ + T ln γ A c A Al i ualar los potenciales uímicos en cada fase: β β o o T l γ α cα = G Aβ − G Aα + T ln γ A c A A A β o γA G oβ − G Aα exp A γα T A de donde m = ¡ o o β β Si h cemos: G Aα = G Aβ ⇉ aα = A ⇉ m = γ A γ α A A i i ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ! ¡ ¡ ¡ ¡ 154 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 2.1.21.3. Otr s condiciones límite en l interf se. P r interf ses g s líquido es neces rio diferenci r entre sistem s ide les y no ide les. Un sistem ide l es quel donde el v por o edece l ley de los g ses i de les y el líquido o edece l ley de R oult. Un mezcl de g s ide l o edece l ley de D lton. pi = yiP (5) El v lor K es un medid de l tendenci del componente i v poriz rse. Si el v lor K es lto, el componente tiende concentr rse en el v por; si jo, tiende concentr rse en el líquido. El v lor K es un función de l temper tur presi ón y composición. En el equili rio, si dos cu lquier de est s tres v ri les se fij , l tercer t m ién. El v lor de K puede entonces mir rse como un función de presión y composición, temper tur y composición, o temper tur y presión. P r sistem s no ide les, l s fug cid des del componente i en el v por y en el lí quido tienen l mism función como l presión p rci l del componente en el v por y l presión de v por del componente en el líquido. L fug cid d puede mir rse como un presión termodinámic . En el equili rio l fug cid d en el v por es igu l l fug cid d en el líquido. f iV = f i L (8) ¡ ¡ ¡ Un solución ide l o edece l ley de R oult, l cu l est lece que l presión p rci l de un componente en solución es igu l l producto de su fr cción mol r y d e l presión de v por del componente puro. pi = xi PiT En oc siones es válid l ley de Henry: HA xA = P yA HA const nte de Henry p r l especie A. De l s ecu ciones nteriores y l definición del v lor K se o tiene yi PiT Ki = = xi P Ki = Fr cción mol r del componente i en l f se v por Fr cción mol r del componente i en l f se líquid (7) (6) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡  ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 155 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento Similarmente la ugacidad en la ase líquida puede mirarse como una presión de v apor corregida dada por iV = φiLγ iψ i (xi Pi T ) (10) Para ver la derivación detallada de estas ecuaciones se puede referir a algún te xto de termodinámica tal como Prausnitz, Eckert, Or e O’Conell: Computer Calcu lation for Multicomponent Vapor – Liquid Equilibrium, Prentice Hall, Englewood C liffs, N. J., 1967, o Null: Phase Equilibrium in Process Design, Wile Interscie nce, N. Y. 1970. Los diferentes coeficientes de estas ecuaciones tienen el sigui ente significado: Coeficiente de la fugacidad en el vapor. Este considera el efe cto de la no-idealidad en la fugacidad del vapor. Usualmente se estima a partir de una ecuación de estado se basa en la temperatura del sistema, presión fra cción molar del vapor. Coeficiente de la fugacidad en el líquido. Considera el e fecto de la no idealidad del vapor en la fugacidad líquida. Este coeficiente se determina de una manera similar al coeficiente de fugacidad en la fase vapor, pe ro se basa en la temperatura del sistema en la presión de vapor del componente puro. El factor de corrección de Po nting. Tiene en cuenta el efecto de la pres ión en la fugacidad líquida. Así como φiL se evalúa a la presión de vapor del co mponente puro, ψi se usa para considerar la diferencia entre la presión de vapor del componente puro la presión de la mezcla. Este efecto es pequeño puede s er despreciado a bajas presiones, pero es importante a presiones altas (Mathur Powle en Henle (ed.) Stagewise and Mass Transfer Operations, vol. 1, A.I.Ch.E . Modular Instruction, 1980. φiV φiL ψi γi El coeficiente de actividad para el lí uido. Corri e la fu acidad lí uida por el efecto de la composición. Su valor depende de ué tan similares son los compone ntes. Para dos componentes similares, tales como una mezcla de isobutano – norma l butano, el coeficiente de actividad lí uido es cercano a la unidad. Si los com ponentes de la mezcla son diferentes, el coeficiente de actividad se desvía de l a unidad. Combinando las ecuaciones 1, 8, 9 y 10, obtenemos 1 ¡ ¡ ¡ 1 1 L fug cid d del v por puede mir rse como un presión p rci l corregid d d l ecu ción f iV = φiV (Pyi ) (9) ¡ 1  ¡ ¡ ! ¡ ¡ 1 1 ! ¡ ¡  ¡ 1   ¡ 1 ¡ ( ¡ 1 ( 1 ¡ ¡ ( 1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 1 ¡ ¡ por ¡ 156 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Ki = yi φiL PT = V γ iψ i i xi φi P (11) 2. Tran ferencia e ma a en una interfa e impermeable: * J Az = 0 ⇉ i c A =0 z i 3. Tran ferencia e impul o en una interfa e ga líqui o: τ zx i = 0 ⇉ v x =0 z i pue µG /µL ≅ 0. Para flujo turbulento en la fa e ga eo a pue e no er cierto. P ara reaccione química eterogénea ocurrien o en la interfa e, la en i a e flujo uperficial e pue e e pecificar: 1 n N Ai = k R c A  2.1.22. Tran ferencia e calor o ma a uperpue ta a un campo e flujo 2.1.22.1. Tran ferencia e ma a en una película liqui a e cen ente. La ituación a analizar e con i te en una película líqui a e propie a e con ta nte que e cien e con flujo e tacionario, por una uperficie óli a plana y li a. La uperficie libre e la película que e cien e e a yacente a una fa e ga e o a. Pue e ocurrir tran ferencia e ma a, tanto entre la uperficie óli a y la película como entre la película y la fa e ga eo a.   £  £ £  £  £ £ £   1 Don e k R e la con tante e pecífica e reacción y n e el or en. ( Las condiciones límite a tener en cuenta son: Para inter ases impermeables el ujo se hace cero: 1. Trans erencia de calor en una inter ase aislada: qz i = 0 ⇉ T =0 z i l £ £ £  £ £  £ ( ( £  £   £ £   £  £  £    £  £    £     (  £   £    £    £ £ £ £ £     £ £ £ £ £    £     £ £ 157 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento Ca a po ibili a e examinará a u turno, para con icione e baja concentración e oluto y baja veloci a e e tran ferencia e ma a, en forma tal que la vel oci a e arra tre ebi a a la ifu ión pue a e preciar e. 2.1.22.1.1. Tran ferencia e ma a entre una fa e ga eo a y una película liqui a e cen ente. E ta e una ituación que e pre enta por ejemplo en ab orción ga eo a en una co lumna e pare úme a, para un i tema en el cual la re i tencia controlante e encuentra en la fa e líqui a. Para é te ca o e pue e a umir que la concentració n e oluto en la uperficie e con tante en ρ s, la solubilidad del gas en el l íquido. Se supone además que las concent aciones de son bajas de tal fo ma que las velocidades difusionales pe pendicula es a la pa ed son efectivamente ce o, y que la difusión en la di ección x es desp eciable compa ada al t anspo te po movimiento convectivo. Balance pa a la especie : ∂n x ∂n y ∂n z ∂ρ + + = Φ + ∂y ∂z ∂t ∂x (2.28) n x = j x + ρ vx n y = j y + ρv y n Z = 0 (no hay g adientes en la di ección z) ρ v y = 0 ; Componente de velocidad y desp eciable. J x << ρ vx ; El t anspo te convectivo de en la di ección x es mucho mayo q ue el t anspo te difusional en tal di ección. Reemplazando en (2.28) obtenemos: ∂ρ ∂2ρ − D B =0 ∂x ∂y 2 vx (2.60) Esta ecuación dife encial pa cial no puede esolve se sin esolve la ecuación d e cantidad de movimiento pa a encont a el pe fil de velocidades vx. Es convenie nte ubica el o igen             '                       ∂ρ Φ = 0 (estado estable) ∂t = 0 (no hay eacción química homogénea)   £    £        £             ' £ £  £ '  £ £ '                 £  £ £ £ £     '   £  £ £ £ £ ' £ £        '   £ £ '  '   £ '   ' ' ' '   £ £ £ £  £ £  £  ' ' ' '  £ ' ' ' ' '  £ del sistema coo denado en la supe ficie de la película descendente como se indic a en la figu a 2.16. pa ti de Navie Stokes: µ d 2vx + ρg x = 0 dy CL 1: y = 0; dvx/dy = 0 CL 2: y = b; vx = 0 dv x ρg y = − x + C1 dy µ CL 1: C1 = 0 ; ρg x b 2 + C2 vx = − 2µ CL 2 : ρg x b 2 = C2 2µ 2 ⎛ ρg b 2 ⎞ ⎡ ⎛ y ⎞ ⎤ ⎛ ρg x ⎞ 2 ⎜ ⎟(b − y 2 ) = ⎜ x ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ vx = ⎜ ⎟ ⎜ 2µ ⎟ ⎝ 2µ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎝ b ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ (2.61) El caudal líquido e la película será: Q = H ∫ v x dy = 0 Hρ g x b 3 , donde H es el ancho de la placa en di ección z. 3µ O sea, que el espeso de la película es ⎡ 3µ Q ⎤ b=⎢ ⎥ ⎣ Hρ g x ⎦ 1/ 3 La velocidad promedio e la película vm = Q ρ g xb 2 2 = = vmax bH 3µ 3 Definimos un núme o de Re pa a la película como:   158 ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento                       ' ¥ '   ¥   '        de Re f = ρ vm Deq ; µ Deq = 4 RH = 4 4bH ≈ = 4b PH H es deci : Re f = 4 ρ Q' 4Γ = µ Hµ Donde Γ es el caudal másico por unidad de ancho de la película. El número de Re nolds es un indicador de las condiciones de flujo. Para Ref ≤ 30 la película es laminar libre de ondas. Hasta Ref = 1800 se forman rizos u ondas sobre la pelí cula, a Ref ≈ 1800 la transición de flujo laminar a turbulento es completa. Re emplazando (2.61) en (2.60), la ecuación diferencial que describe este proceso e s: 2 ⎛ ρg x b 2 ⎞ ⎡ ⎛ y ⎞ ⎤ ∂ρ ∂2 ρ ⎜ ⎜ 2µ ⎟ ⎢1 − ⎜ b ⎟ ⎥ ∂x = DAB ∂y 2 ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ Co las siguie tes co dicio es límite: x=0 0≤ y≤ pa a todo x, y = 0, ρ = ρ S en la inte fase existe equilib io y = δ, to o x, ∂ρ = 0 la placa es impe meable al soluto ∂y es co to, la sustancia penet a á de velocidad unifo me e igual a vma existencia de la pa ed, la película de espeso infinito.     '         2.1.22.1.2. Tiempos co tos de exposición. Cuando el tiempo de exposición texp = L/vmax poco en la película, y podemos asumi pe fil x. demás, como no alcanza a ente a se de la se á, desde el punto de vista del soluto , £   '   '             '     '   ρ = ρ O concent ación unifo me a la ent ada 1   159 ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento          '   ' ¥ ' ¥ ' ¥ 1 '   1     ' '   ' ¥ '  de = D B ∂x ∂y 2 (2.61) ⎛ ρg b 2 ⎞ 3 v x ≈ vmáx = ⎜ x ⎟ = vmed = Constante ⎜ 2µ ⎟ 2 ⎝ ⎠ Condiciones límite: x ≤ 0 ρA y=0 y→∞ = ρAo Condición de ent ada ρA = ρAs Supe ficie lib e. ρA = ρAo Poca penet ación. Haciendo un cambio de va iable, la ecuación (2.61) se convie te en una ecuación dife encial o dina ia: y D AB x 2 vmax Asumimos ρA = f(n) con n = ∂ρ A ∂f dn entonces = ∂x ∂n dx ∂ρ A ∂f dn ; = ; ∂y ∂n dy ∂2 ρA ∂2 f = 2 ∂y 2 ∂n ⎛ dn ⎞ ⎜ dx ⎟ ⎝ ⎠ 2 dn n dn n = ; =− dy y dx 2x Reemplazando en (2.61) ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ D AB ⎜ ⎟ f " (n ) + vmax ⎜ ⎟ f ⎝ 2x ⎠ ⎝ ⎠ 2 (n ) = 0 ⎜ y⎟           '   ' Po tanto: vmáx ∂ρ ∂2ρ   160 ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento           ' '     '        de 161 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento Reconociendo que y 2 vmax = 2n 2 obtenemos 2 xDAB f " (n ) + 2nf (n ) = 0 Con las condiciones límite: CL1: pa a y = 0 ; n= 0 ; ρA = ρAs CL2: pa a y → ∞ o pa a x = 0 ; n → ∞ , ρA = ρAo Substituyendo f po γ se lle a a una ecuación de primer orden de variables separables ue se puede resolver para dar: dγ γ = −2ndn ⇉ lnγ = −n 2 + ln C1 ⇉ γ = n df = C1 e p(− n 2 ) dn (2.62) f (n ) = ρ 0 ( ) = C1 ∫ exp − n 2 dn + C2 quí se elige a bit a iamente el límite infe io de la integ al indefinida, que no puede esolve se en fo ma ilimitada. Si se cambiase el límite infe io po ot o valo se alte a ía simplemente el valo de las constantes de integ ación, no dete minadas aún. plicando las condiciones límite se obtiene: CL 1 : CL 2: C2 = ρ S C1 = − ∞ 0 ρ 0 − ρ S 2 ∫ exp(− n )dn Haciendo u = n ; dn = (1/2) u ½ du ∞ 2 2 ∫ exp − n dn = 0 ( ) 1 ( 12 −1) u exp(− u )du 2∫ 0 ∞ po definición de la función Gama:                 !                           '         '   " '           ' '   ' Γ(α ) = ∫ u α −1 exp(− u )du 0 ∞ entonces: ∞ ∫ exp(− n )dn = ( )Γ( ) = 2 1 2 1 2 0 π 2 Por tanto: n ρ − ρ S 2 2 = ∫ exp(− n )dn ρ 0 − ρ S π 0 (2.63) La relación: 0 ∞ ∫ ex (− n )dn n 2 ∫ exp(− n )dn 2 0 = 2 π ∫ ex (− n )dn = erf (n) n 2 0 e denomina función error, y se abrevia "erf" (ver apéndice). La función complem entaria de error es: [1 erf(n)] = erfc(n) Podemos expresar la solución como: ⎦ ⎣ La fu ció de error es u a fu ció mo óto a crecie te cuyo i tervalo va de c ero a u o y alca za el valor de 0.99 cua do vale 2. odemos utilizar este hech o para defi ir u a especie de profu didad de pe etració del soluto, δ, como la i tancia y para la cual (ρ − ρ o) ha disminuido hasta un valo de (0.005)(ρ s. ρ o), es deci , e fc(n) = 0.005 ⇉ n = 2 y la profun i a penetra a por el olut o erá ypenetración ⎡D x⎤ = 4⎢ AB ⎥ ⎣ vmáx ⎦ 1 2 (2.64) (2.65)   ⎡ ⎛D x⎞ ⎤ ρ 1 2 − ρ 0 = e fc ⎢ y 2⎜ AB ⎟ ⎥ ⎜ v ⎟ ρ As − ρ A0 ⎢ ⎝ max ⎠ ⎥ '   162 ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento  £ ¥     £ £ £   ¥ © ¥ ¥   ¥ ¥   ' ¥ ¥ ¥ ' ¥ ¥ '   ¥ '  '   ' ' ¥ ¥   ¥ ' ¥ ' ¥ ¥   '   '   0 £ de 163 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento Esta distancia es una medida de a cantidad de masa de A que ha penetrado en a pe ícu a de f uido. Obsérvese que es proporciona a a raíz cuadrada de tiempo de exposición. Para va ores típicos de tiempo de exposición de 2 segundos y de d ifusividades en íquidos de orden de 10−5 cm2/s, e so uto, en a parte inferio r de a p aca habrá entrado hasta capas donde a ve ocidad de f uido es todavía e 99% de a ve ocidad máxima. La densidad de f ujo de materia a través de a i nterfase en un punto x: n Ay = − DAB ∂ρ ∂y y =0 ; pa tiendo de (2.64): y =0 ∂ρ ∂y y =0 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ∂ρ ∂n ⎡ − 2( ρ s − ρ 0 ) ⎤ ⎢ exp − n 2 ⎥ = = 1 ⎥⎢ ⎥ ∂n ∂y ⎢ π ⎣ ⎦ ⎢ ⎛ DAB x ⎞ 2 ⎥ ⎜ ⎟ 2 ⎢ ⎜ vmax ⎟ ⎥ ⎠ ⎦ y =0 ⎣ ⎝ ( ) n Ay y =0 2 ⎡ DAB vmáx ⎤ [ρ 1 Idé tico resultado se o tie e a partir de la ecuació (2.63). Esta es u a de sid ad de flujo local que varía i versame te co x0.5, es decir cua do aume ta el va lor pe etrado que es u a medida del cami o de difusió . U valor promedio de la de sidad de flujo lo e co tramos i tegra do Ay a lo largo de x y dividie do por la lo gitud L de la placa: AS (ρ − ρ 0 ) ⎡ DAB vmáx ⎤ 1 = ∫ n Ay dx = As ⎢ π ⎥ L0 L ⎣ ⎦ L 1 2 ⎡D v ⎤ ∫ x dx = 2⎢ ABLmáx ⎥ ⎣ π ⎦ 0 L − 12 1 2 (ρ s − ρ 0 ) s − ρ 0 ] =⎢ ⎣ πx ⎥ ⎦ ¤ ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¥ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ' ¥ ¥ ¤ ¥ ' ' ¥ ¥ ¥  ¤ ' ¤ ' ¤ ¤ ¤ ' ' ¤ ' ¤ ¥ ¥ ¤   ¤ ' ¥ ' ¤ ¤ ¥ O en té minos de la velocidad p omedio n 1 2 (ρ s − ρ 0 ) (2.66) La masa total de , abso bida po la película se á el p oducto de n S po el á e a de la supe ficie. Usando la definición del coeficiente convectivo, n S = kρ(ρ S − ρ 0), nos apa ece definido un coeficiente de t ansfe encia de mate ia que us a como fue za guía un valo constante e '       ' '         ' S ⎡ 6D v ⎤ = ⎢ AB med ⎥ ⎣ πL ⎦           '     '   ' ' igual a la máxima dife encia de concent aciones ent e la supe ficie y el fluido y que además es p opo cional a D B½. Esto es ca acte ístico de la "Teo ía de la Penet ación" p opuesta po Higbie en 1935. ⎡ 6D v ⎤ k ρ = ⎢ AB med ⎥ ⎣ πL ⎦ 1 2 (2.67) Este coeficie te tie e su í dice ρ po que actúa sob e dife encias de concent aci ón exp esadas en unidades de concent ación másicas volumét icas y, como puede co mp oba se sus dimensiones son las de una velocidad (L/t). Las exp esiones pa a p elículas líquidas descendiendo po el inte io o exte io de tubos (columnas de pa ed húmeda), pueden t ata se con las mismas exp esiones que la película líquid a descendente plana, cuando son hid odinámicamente equivalentes, lo que ocu e p a a núme os de Gouche mayo es que t es: ⎡ ρg ⎤ Go = R ⎢ ⎥ ⎣ 2σ ⎦ 0.5 >3 (2.68) Do de σ e la ten ión uperficial. 2.1.23. Tran ferencia imultanea e calor y canti a e movimiento. Lo problema e tran ferencia e calor que má frecuentemente e encuentran e t án relaciona o con calentamiento y enfriamiento e flui o en tubería . De prec iaremo lo efecto e entra a. Para flujo i otérmico laminar e arrolla o el pe rfil e veloci a e parabólico. Del balance e canti a e movimiento (ecuación e Navier Stoke ) obtenemo : ⎡ ⎛ ⎞2 ⎤ v z = vmax ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝R⎠ ⎥ ⎦ ⎣ (2.24 ) Si el fluido se calie ta o e fría, el perfil de velocidad puede alterarse asta te de ido al efecto de la temperatura so re la viscosidad. Las complicacio es qu e resulta hace que sólo se o te ga solucio es aproximadas. Graetz (1883 y 188 5) desarrolló solucio es para dos casos: u o e el que se supo e desprecia le la distorsió del perfil de velocidad y otra e la cual se supo e que la distorsió es ta gra de que el perfil de velocidad es pla o para toda el área tra sversa l de la tu ería. Este último tipo de flujo se de omi a flujo pistó . ¥        164 ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento     ¥   ¥ £    ¥     £ ¥ ¥          £ £ £     £   £ £ £       ¥ ¥ ¥   £      ¥ ¥ ¥ ¥     £              ¥ ¥      £ '   £ £ ¥      ¥    '            ¥ ¥ ¥    £ £  £  £  £     ' ¥   ¥ ¥ ¥   ¥   ¥     £           ¥   £ ¥ de 165 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 2.1.23.1. erfil de velocidad para ólico co temperatura u iforme de pared. Supo emos que la temperatura del fluido a la e trada es co sta te para toda la s ecció de la tu ería. El ala ce de e ergía e coorde adas cilí dricas, aplicado al sistema e estado esta le y co simetría axial es: ⎡ ∂ 2T 1 ∂T ∂ 2T ⎤ ∂T =α⎢ 2 + + vz ∂z r ∂r ∂z 2 ⎥ ⎣ ∂r ⎦ (2.69) Si además asumimos el que la co ducció e la direcció de flujo es desprecia le e comparació co los otros térmi os de tra sporte, el último térmi o puede su primirse. Reemplaza do la ecuació para la distri ució de velocidades y hacie d o esta última simplificació : 2 1 ⎛ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎞ v max ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ∂T ⎜ ⎜ ⎟⎟ = ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ r ⎜ ∂ ⎝ ∂ ⎠ ⎟ α ⎢ ⎝ R ⎠ ⎥ ∂z ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (2.70) Esta ecuació difere cial parcial puede resolverse por la téc ica de separació de varia les, o te ié dose dos ecuacio es difere ciales ordi arias. La solució de la ecuació que relacio a T y z es u a relació expo e cial simple. La soluci ó de la ecuació que relacio a T y r es u a serie. Su com i ació da T como u a fu ció de z y r. Las co dicio es límite so : ara z = 0, T = T0 todo r; para r = 0, todo z, ∂T/∂r = 0 ; para r = R, T = TS, todo z. Detalles de la solució es tá dados e Jako . Este lleva a ecuacio es complejas que expresa el grupo de N usselt local como u a fu ció del úmero de Graetz: m Cp ⎛ π ⎞⎛ D ⎞ = Pe⎜ ⎟⎜ ⎟ kz ⎝ 4 ⎠⎝ z ⎠ (2.71) 1 Aquí, Pe = (Re⋅Pr) es el número de Peclet D es el diámetro del conducto. ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ © ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥  ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥    ¥ ¥ ¥ ©  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  2.1.23.2. Perfil de velocidad plano. Si se supone flujo pistón, vz = vm en todos los puntos la ecuación combinada d e continuidad, energía cantidad de movimiento (2.69) se simplifica a: ∂ 2T 1 ∂T ⎛ vm ⎞ ∂T + =⎜ ⎟ ∂ 2 ∂ ⎝ α ⎠ ∂z La solución de esta ecuación es algo más simple que la solución de la ecuación q ue involuc a el pe fil pa abólico. Esto ocu e debido a que la ecuación dife enc ial pa cial, al sepa a las va iables nos da dos ecuaciones dife enciales o dina ias que pueden esolve se po métodos estánda . Una solución es una ecuación ex ponencial simple y la ot a involuc a funciones de Bessel. 2.1.23.3. T ansfe encia de calo con flujo lamina en tubos ci cula es. Solución de Lévêque. Una de las soluciones más sencillas pa a el coeficiente de t ansfe encia de calo con flujo lamina en tubos ci cula es es la de Lévêque. Este análisis se aplic a di ectamente a la t ansfe encia de calo lamina sob e una placa plana, pe o e stos esultados pueden aplica se fácilmente a tubos ci cula es. Esta solución se desa olla matemáticamente asumiendo que el pe fil de tempe atu as está confina do a una est echa zona ce cana a la pa ed del tubo, como en los casos donde el c audal másico es alto y la longitud del tubo no es g ande, lo que ocu e pa a m’C P/kL > 20. Como c ite io tenemos que: El pe fil de velocidad se halla completame nte desa ollado a una distancia LeM ≈ 0.05 Re, D El pe fil de tempe atu a se de sa olla completamente a LeT ≈ 0.05 Re P ; D y el pe fil de concent aciones a Lec ≈ 0.05 Re Sc . D Conside amos, po ejemplo el caso de agua fluyendo a t avés de un tubo a Re = 10 0 y 68°F. A esta tempe atu a P = 7. El núme o de Schmidt pa a va ios mate iales en agua es substancialmente dependiente del soluto, pe o un valo típico es del o den de 1200.                                              1                   §   166 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt calor masa cantidad de movimiento rajales Transferencia molecular de                                                1                         1                            167 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento Entonces las longitudes de ent ada de concent aciones, té mica e hid odinámica s on espectivamente: Lec = 6000 D LeT = 35 D Le =5 D Esto nos indica que el pe fi l de concent aciones completamente desa ollado puede no obtene se en fluidos co n Schmidt g ande y cuando la zona de calentamiento empieza luego de que se ha de sa ollado el pe fil de velocidades podemos encont a esta situación válida en t ansfe encia de calo con flujos g andes y poca longitud de conducto. Pa a este caso, y debido a la poca penet ación de la honda té mica podemos asimila el sis tema al de una placa plana, y, desp eciando los efectos té micos debidos a la f icción viscosa es, en estado estable: vx ⎡ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ⎤ ∂T ∂T ∂T + vy + vz =α⎢ 2 + 2 + 2 ⎥ ∂x ∂y ∂z ∂x ⎦ ∂y ⎣ ∂x (2.72) Co sideramos u fluido fluye do so re u a superficie pla a ajo las siguie tes c o dicio es: • • • • • Las propiedades del fluido so co sta tes. La temperatura e la superficie es u iforme TS. La temperatura del fluido fuera de la capa lími te es T0 (igual a la temperatura u iforme a la e trada del co ducto). La tra sfe re cia e la direcció y (radial) ocurre por difusió exclusivame te. Se asume d istri ució li eal de velocidades o sea: vz = ß(R. r) = ßy, do de ß es el gradie te de velocidad e la pared. ∂ 2T es cero. ∂x 2 ¥ ¥ ¥ La temperatura del fluido T es u a fu ció metal líquido ⎡ ∂ 2T ∂ 2T ⎤ << 2 ⎥ ⎢ ∂z 2 ∂y ⎦ ⎣ de z e y o sea Si el fluido o es u       ¥ ¥       ¥   ¥   ¥ ¥ ¥  ¥           ¥   ¥ ¥          ¥ ¥      ¥ ¥       ¥ ¥ ¥   ¥   ¥ ¥     ¥ ¥ ¥           ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ 168 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to La ecuació (2.72) se reduce a: ∂T ∂ 2T =α 2 ∂z ∂y Con l s siguientes condicione s límite: βy (2.73) CL1: CL2: CL3: z=0 z>0 Todo z y>0 y=0 y→∞ T = T0 T = TS T = T0 Est ecu ción puede tr nsform rse un ecu ción diferenci l ordin ri introduci endo el c m io de v ri le ⎡ β ⎤ n = y⎢ ⎥ ⎣ 9α z ⎦ Así: ∂T ∂f ∂ ∂ 1 = ; =− ∂z ∂n ∂z ∂z 3z ∂T ∂f ∂n ∂ 2T ∂ 2 f ; = = 2 ∂y ∂n ∂y ∂y 2 ∂n ⎡ ∂n ⎤ ⎢ ∂y ⎥ ⎣ ⎦ 2 1/ 3 y supo ie do T = f( ). ; Reemplaza do e (2.72) o te emos: ⎛n⎞ f (n ) = α ⎜ ⎟ f (n ) − ⎜ y⎟ 3z ⎝ ⎠ Obse vando que ⎡ β ⎤ 3 y3 ⎢ ⎥ = 3n ⎣ 3αz ⎦ y reorga iza do: f +3 2 f = 0 d o de las comillas i dica derivadas co respecto a . (2.74) 2 ¥ β y ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ∂ = ∂y y ¥ ¥ ¥ ¡ ¡ ¥ ¡ ¥ ¡ ¡ ¡ ¥ ¡ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ¥  ¡  ¡ ¥ ¥ ¥ ¡ ¥  169 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to Las tres co dicio es límites origi ales se reduce a dos (la co dició límite 1 y 3 se hace iguales): CL1: → ∞ CL2: = 0 Hacie do f = θ dθ + 3n 2θ = 0 dn dθ = −3n 2 dn , entonces ln θ = − n 3 + ln C1 dn T = T0 T = TS ⇉ f = (z = 0 ó y → ∞) ( y = 0) θ la ecuación (2.74) ueda: dn θ = C1 e p(− n 3 ) T n ; dT = C1 e p(− n 3 ) dn (2.75) TS ∫ dT = C ∫ e p(− n )dn 3 1 0 Para evaluar la constante de inte ración, C1, usamos las condiciones límite así: T0 TS ∫ dT = C ∫ e p(− n )dn 3 1 0 ∞ ∞ Llamemos I = ∫ e p(− n3 )dn 0 1 Sea u = n3 ; entonces n = u1 / 3 y así dn = u − 2 / 3 du 3 Si n = 0, u = 0 ; ∞ si n → ∞ , u → ∞; lue o : 1 −2 / 3 u e p(− u ) du 3∫ 0 Por definición: I = ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ! ¥  ¥  ¥ " " " " ¥ ¥ " " ! £ 170 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento Γ(α ) = ∫ uα −1 exp(− u ) du 0 ∞ En consecuenci : 1 1 ⎛1⎞ I = ∫ u 1 / 3−1 exp(− u )du = Γ⎜ ⎟ 30 3 ⎝3⎠ ∞ Utilizando integ ación po pa tes se demuest a la siguiente p opiedad de la func ión gama: Γ( p + 1) = pΓ( p ) , por esto: 1 ⎛1⎞ ⎛4⎞ ⎛1 ⎞ I = Γ⎜ ⎟ = Γ⎜ + 1⎟ = Γ⎜ ⎟ 3 ⎝ 3⎠ ⎝3⎠ ⎝3 ⎠ ⎛4⎞ De una tabla: Γ⎜ ⎟ ≈ 0.8934 (o po integ ación numé ica) ⎝3⎠ ⎛4⎞ Γ⎜ ⎟ = ⎝3⎠ 4/3 ∫ exp(− x )dx 3 0 (T0 − TS ) 0.8934 de donde, (2.74) se t ansfo ma en: n T − TS 1 3 (2.76) = ∫ exp − n dn T0 − TS 0.8934 0 La integ al de esta exp esió n puede evalua se mediante el uso de se ies u ot o método numé ico y tiende ápi damente a su valo asintótico va iando ent e 0 y 0.8930 pa a n va iando ent e 0 y 2. ( ) Podemos usa el pe fil de tempe atu as pa a dete mina el coeficiente de t ansfe encia de calo en función de z: q S = h(TS − T0 ) = −k dT dy y =0 pa a z constante:                                                     Po esto, eemplazando en (2.75) C1 =                 ¡     171 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento ∂T ∂T ∂n = ∂y ∂n ∂y ∂n ⎡ β ⎤ = ∂y ⎢ 9αz ⎥ ⎣ ⎦ 1/ 3 ∂T T0 − T = exp − n 3 ∂n 0.8934 ( ) Pues la derivada de una integral con respecto al límite superior es el integrand o. ∂T ∂y ⎡ T − TS ⎤⎡ β ⎤ exp(− n 3 )⎥ ⎢ =⎢ 0 ⎥ ⎣ 0.8934 ⎦ ⎣ 9αz ⎦ 1/ 3 1 3 y =0 y =0 k ⎡ β ⎤ hz = 0.8934 ⎢ 9αz ⎥ ⎣ ⎦ Este es el coeficie te co vectivo de tra sfere cia de calor a u a dista cia z de l sitio do de comie za el cale tamie to. Como ß es la pe die te del perfil de ve locidades e la superficie, supo ie do que el perfil de velocidades está complet ame te desarrollado, o sea: ⎡ ⎛ ⎞2 ⎤ v z = 2v m ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝R⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ∂v z ∂r co O sea: k ⎡ 8v m ⎤ hz = 0.8934 ⎢ 9αDz ⎥ ⎦ ⎣ 1/ 3 =− r=R 4v m R ∂v z ∂v =− z ∂r ∂y r=R− y ⎛ v ⎞3 = 1.076 k ⎜ m ⎟ ⎝ α zD ⎠ 1 o en modo adimensional   ¥ ¥   ¥ ¥     ¥   ¥   ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ 0   ¥ ¥ 172 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento Nu z = Esta ecuación da los mismos valo es que los obtenidos po G aetz pa a flujo pa a bólico desa ollado en el ango ReP (D/z) > 100. Como la ecuación de Lévêque no es válida en la egión más allá de donde el pe fil de tempe atu as alcanza el ce nt o de la tube ía, la egión donde coinciden ambas soluciones puede toma se com o una medida de la longitud de la ent ada té mica. La suposición del g adiente d e velocidad ß constante no es válida en la inmediata ent ada del tubo donde el g adiente es infinito; pe o sin emba go, los g adientes de velocidad junto a la p a ed se desa ollan ápidamente y p onto se ap oximan al utilizado en el desa o llo ante io . El coeficiente convectivo p omedio lo hallamos integ ando sob e z y dividiendo po la longitud L del conducto: L hm = ∫ hz dz L 0 3 k ⎛ v ⎞ ⎛ 8v m ⎞ L − 13 = ⎟ ∫ z dz = 1.614 k ⎜ m ⎟ ⎜ 0.8934 L ⎝ 9α D ⎠ 0 ⎝ DLα ⎠ 1 1 3 El valo p omedio pa a el coeficiente adimensional es: Nu m = 1 hm D 1 1 = 1.614 Re 3 P 3 (D / L ) 3 k (2.77) La ecuación (2.77) es la base de la co elación de Siede y Tate (1936) quienes, pa a t ansfe encia de calo con flujo lamina en tubos p opusie on: Nu = 1.86 R e 1/ 3 1/ 3 ⎛D⎞ ⎜ ⎟ ⎝L⎠ 1/ 3 ⎛ µb ⎜ ⎜µ ⎝ s ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 0.14 (2.78)   P                                                               1 hz D 1 1 = 1.076 Re 3 P 3 (D z ) 3 k                                                         donde µ es la viscosidad del fluido a la tempe atu a p omedio global y µs es la viscosidad a la tempe atu a de pa ed. El te mino µb/µs es una co ección empí ic a pa a la disto sión del pe fil de velocidad esultante del efecto de la tempe a tu a en la viscosidad. El coeficiente obtenido con esta ecuación, usa como fue z a guía el p omedio loga ítmico de las dife encias de tempe atu a en los ext emos . Es conse vativa según McAdams po supone pe fil desa ollado en tubos co tos.                                                           173 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 2.1.23.4. T ansmisión de calo desde una pa ed a una película descendente: tiemp os de contacto co tos. Una película de un líquido f ío que desciende po una pa ed sólida ve tical o in clinada, tal como se indica en la figu a, eje ce un conside able efecto de ef i ge ación sob e la supe ficie del sólido. Estima la velocidad de t ansmisión de calo desde la pa ed al fluido pa a tiempos de contacto tan co tos que la tempe atu a del fluido sólo va ía ap eciablemente en la egión inmediata a la pa ed. ⎡ 2 y ⎛ y ⎞2 ⎤ v z = vmax ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ ; siendo ⎢ δ ⎝δ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ a. Demostrar que vmax = δ 2 ρg 2µ tanto en la vecindad de la pa ed ⎞ ⎟ y = ρ gδ y ⎟ µ y =0 ⎠ ⎛ dv vz ≈ ⎜ z ⎜ dy ⎝ b. Demost a que la ecuación de ene gía se educe a ρC P v z ∂T ∂ 2T = ∂z ∂y 2 (¿Qué suposiciones simplificantes se necesitan pa a obtene este esultado?) Com bina los esultados ante io es pa a obtene la ecuación dife encial ap oximada ∂T ∂ 2T µk =γ 2 ; γ = y ∂z ∂y ρC P gδ c. Demo trar que para corto tiempo e co ntacto pue en tomar e la iguiente con icione límite C.L. 1: T = T0 para C.L. 2: T = T0 para C.L. 3: T = TS para z=0 e y=∞ y y=0 y y>0 z finita z>0 £                   £                  £     Po                                                                         174 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 3 Inte rar una vez para obtener dΘ/dη = Cexp(−η3), ien o C una con tante e integ ración. Integrar, e nuevo utilizan o la con icione límite con el fin e obten er Θ= 1 ∞ −η 3 ∫ e η Γ( 4 ) η 3 y =0 2.1.24. T ansfe encia simultanea de calo y masa. La t ansfe encia de masa afecta al mismo coeficiente de t ansfe encia de mate ia , al facto de f icción y a los coeficientes de t ansfe encia de calo . Veamos e l efecto del flujo másico sob e el flujo de ene gía. Gene almente, un p oceso di fusional está acompañado po t anspo te de ene gía aún dent o de un sistema isot é mico. Refi iéndonos a la figu a 2.12, obse vamos que el flujo total de entalpí a hacia un elemento de volumen de espeso dz consta de dos pa tes. Una es el cal o que llega po conducción y g acias a una dife encia de tempe atu as, k dt/dz ; el ot o es el flujo de entalpía debido a la difusión: N A M ACp A (T − T0 ) + N B M B Cp B (T − T0 ) donde To es una tempe atu a de efe encia que analiza emo s luego. Aplicando el balance pa a estado estaciona io, encont amos que la dist ibución de tempe atu as debe satisface : k dT d 2T − ( N A Cp A + N B Cp B ) =0 2 dz dz (2.79)      e. Demo trar que la en i a me ia e flujo e calor tran miti o al flui o e y ,me k (TS − T0 ) ⎛ γ ⎞ = ⎜ ⎟ 2Γ( 4 ) ⎝ 9 L ⎠ 3 1 3 q  . E cribir e nuevo la ecuación iferencial y la con icione límite anteriore en función e la variable re uci a Θ= T − T0 T − T0 ; η= y 9γz £    £ £ £              £                £ £     0            £     £           £ £ £ £       £ £        £ £  £ £ £   £ £ £            £ £       £      !     £ 175 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento haciendo dT/dz = θ: dθ θ = 1 (N A M A Cp A + N B M B Cp B )dz = dz k k donde hemos abreviado haciendo = NA MA CpA + NB MB CpB dT ⎛ Hz ⎞ = C1 exp⎜ ⎟ ; dz ⎝ k ⎠ T = C1 k ⎛ Hz ⎞ exp⎜ ⎟ + C2 H ⎝ k ⎠ Con las condicione límite a sabe , T = TS pa a z = 0 ; T = TG pa a z = zF, el lí mite de la película, obtenemos, ⎛k ⎞ TS = C1 ⎜ ⎟ + C 2 ⎝H⎠ ; ⎛ Hz ⎞ TG = C1 exp⎜ F ⎟ + C 2 ⎝ z ⎠ estando miemb o a miemb o y eo ganizando: C1 = (k H )⎡1 − exp⎛ Hz ⎜ ⎢ ⎝ ⎣ (TS (TS − TG ) ⎞⎤ k ⎟⎥ ⎠⎦ ⎡ ⎛ Hz F ⎞⎤ ⎢1 − exp⎜ k ⎟⎥ ⎠⎦ ⎝ ⎣ hacie do h = k/z ; y Hz /k = H/h = Co C 2 = TS − − TG ) ⎛ Co * z ⎞ exp⎜ ⎜ z ⎟ −1 ⎟ T − TS ⎝ F ⎠ = TG − TS exp(Co ) − 1 (2.80) A pa ti de esta dist ibución de tempe atu as hallamos la densidad de flujo de c alo debido al g adiente de tempe atu a en la inte fase: qS = −k dT dz ⎡ Hz ⎤ = − kC1 exp ⎢ ⎥ ⎣ k ⎦ z =0 z =0                     ¥                                    176 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to qS = − hCo (T − TG ) 1 − exp(Co ) (2.81) Observamos que qs no es igual al flujo total de entalpía en la interfase, a meno s que To sea igual a T . En general, la entalpía total, qH, es igual a q + (N A M A Cp A + N B M B Cp B )(T − T0 ) donde los CP son calores específicos másic os. i las entalpías se calculan relativas a un estado de referencia tomado como la temperatura del gas, o sea haciendo TG = T0, el flujo de entalpía total desd e la superficie es, haciendo H = h Co: ⎡ exp(Co ) ⎤ ⎡ ⎤ 1 q H = hCo(TS − TG )⎢ + 1⎥ = hCo(TS − TG )⎢ ⎥ ⎣ exp(Co ) − 1⎦ ⎣ exp(Co ) − 1 ⎦ ⎛ ⎞ Co q H = h(Ts − TG )⎜ ⎜ 1 − exp(− Co ) ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ (2.82) Co/[1. exp( Co)] se conoce como el facto de co ección de Acke man, y co ige el coeficiente de t ansfe encia de calo po la t ansfe encia de masa simultánea . Se á mayo que la unidad si la t ansfe encia de masa se efectúa en el mismo se ntido que la t ansfe encia de calo y más pequeño si las dos van en sentidos opu estos así, una supe ficie expuesta a un gas caliente puede p otege se pa cialmen te del calentamiento ápido si la supe ficie se mantiene húmeda con un líquido v olátil, el cual se evapo a c eando una t ansfe encia de masa opuesta (enf iamien to pelicula o po sudo ). Puede aplica se a la condensación de un componente A en p esencia de un componente B incondensable (NB = 0 , C0 negativo) o a mezclas de va ios componentes pa a los cuales (NA CpA + NB CpB) se substituye po ∑ N Cp i i . El calo total disipado en la inte fase, qT inclui á adicionalmente, el efecto p oducido cuando la masa t ansfe ida pasa a t avés de la inte fase. Dicho efecto puede se un calo latente de vapo ización, un calo de solución o ambos según l as ci cunstancias. Entonces: qT = q H + λ A N A + λ B N B donde λA y λB son os ca ores atentes másicos a TS. En a gunos casos, e ca or iberado en a interfa se sigue f uyendo hacia a izquierda en a figura 2.18, debido a una temperatura inferior de a fase adyacente. En otros casos e ca or ¤    0       ¤     ¥     ¤ ¥   ¤ ¤     ¤      ¤                 ¤   ¥ ¤         ¥   0             ¤ 0             ¥    ¤      ¤   ¤   0     0     ¤    177 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento sensib e transferido por conducción igua a a ca or acarreado desde a interfase hasta e f uido, no entrando ca or a a fase adyacente. E caso de una pequeña gota evaporándose en una gran masa de gas no saturado es una situación en a cua , a energía necesaria para e paso de a fase íquida a a fase vapor inicia m ente es suministrado por as mo écu as restantes en a fase íquida. Esta dismin ución de a energía cinética promedio se ref eja en una disminución de temperatu ra, o que origina transferencia de ca or sensib e desde os a rededores hacia a gota. Eventua mente a ve ocidad con que ega ca or sensib e a a superficie, igua a a ve ocidad con que se consume ca or atente para mantener a ve ocidad de evaporación causada por a diferencia de concentración entre a capa de gas adyacente a íquido (saturado) y as capas de gas más a ejadas. En este caso e ca or tota va e cero, o sea: hG (TG − TS ) 1 − y AG Co = λ AS M A FG Ln 1 − exp(− Co ) 1 − y AS (2.83) Si a ve ocidad de evaporación es pequeña y a concentración de vapor de A en a fase gaseosa es baja, podemos expresar a ve ocidad de evaporación uti izando c oeficientes tipo ky en ugar de FG. Así ⎤ ⎡ Co hG (TG − TS )⎢ ⎥ = λ AS M A k y ( y AS − y AG ) ⎣1 − exp(− Co ) ⎦ (2.84) Los coeficie tes co vectivos adime sio ales de tra sfere cia de calor Nu, y de m asa Sh, so ge eralme te proporcio ales a los úmeros de r y de Sc respectiva me te, do de es u expo e te positivo me or que 1. ara la mayor parte de las aplicacio es es razo a le supo er u valor de = 1/3. De esta ma era ky kC DAB ⎛ Sc ⎞ 3 1 = = ⎜ ⎟ = 2 hG chG k ⎝ P ⎠ ρ G C PG Le 3 1 2.1.24.1. El psicrómetro de ul o húmedo L ecu ción (2.84) permite determin r l diferenci de temper tur s, en est do e st le, entre el g s y el líquido cu ndo l composición del g s y l de s tur ci ón l temper tur de l superficie se conocen. T m ién puede utiliz rse p r d etermin r l composición del g s si l s temper tur s del g s, del líquido y l c oncentr ción de s tur ción l temper tur ¡ Po la definición de α, el coeficiente de difusión térmic , reempl z ndo l rel ción α/DAB por Le, el numero de Lewis. P r ire húmedo presión y temper tur s moder d s Le ≈ 0.91 ¤ ¤ ¤ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¤ ¤ ¡ ¡ ¤ ¤ ¤ ¡ ¤ ¤ ¡ ¡ ¥ ¡ ¤ ¤ ¡ ¥ ¤ ¤ ¡ ¡ ¤ ¥ © ¥ ¤ ¤ ¡ ¤ ¤ ¡ ¡ © ¤  ¤ ¤ ¡ ¡ ¡ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤¤ ¤ ¡ ¥   ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ¤ ¤ ¤ ¡ ¤ ¤ ¡ ¡ ¥ ¡ ¡ ¤ ¥ ¤ ¥ ¥ ¤ ¤  ¤ ¡ ¡ ¡ ¥ ¤ ¤ ¥ ¥ ¤ ¡ ¤ ¤ ¥ ¥ ¡ ¥ ¥ ¡ ¡ ¡ ¤ ¤ ¡ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¡ ¤ ¤ ¤ ¤ ¡ ¡ ¡ ¡ ¤ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤   ¥ ¤ 178 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento de este último se conocen. Est es l se del psicrómetro de ul o húmedo, el c u l const de dos termómetros, uno de los cu les está cu ierto con un g s hume decid en el líquido y l est iliz rse proveerá l temper tur TS y, de l lite r tur , se o tienen λAS y pAS a presión de vapor a TS, y de aquí yAS. E otro t ermómetro da a temperatura TG. Con a ecuación se ca cu a a concentración o hu medad de gas. Una forma de expresar esta ú tima es a través de a así amada h umedad re ativa definida por a re ación entre a presión parcia de vapor en e gas y a presión de saturación a a temperatura de mismo. Una corre ación sen ci a que permite ha ar a presión de vapor de agua en pasca es en función de su temperatura en ke vin es: p 6153.1 ⎛ ⎞ ln ⎜ ⎟ = 30.9566 − T ⎝ 0.13332277 ⎠ EJERCICIOS 1. Calcule la concent ación mola de N2 en un tanque de 16 m3 que se encuent a a 2 atm y 300 K y contiene una mezcla 50% de N2 y 50% O2. Suponga que se puede ap lica la Ley de los gases ideales. De la espuesta en lb. mol /pie3. 2. El ácido esidual de un p oceso de nit ación contiene 15% HNO3, 45% de H2S04, y 40% de H 20 en peso. Este ácido debe se concent ado hasta 25% HNO3, 50% H2S04, y 25% H20 . Pa a ello se dispone de soluciones concent adas de ácido en agua, una de 95% d e H2S04 y ot a de 85% de HN03. Si 1500 kg de p oducto final se equie en, encuen t e la masa de cada solución concent ada que debe ag ega se. 3. Un tanque que co ntiene 15% mola de C02 en ai e se conecta a un segundo tanque que contiene solo ai e. La línea de conexión tiene 5 cm de diámet o y 30 cm de longitud. Ambos ta nques se encuent an a una atm de p esión y 298.15 K. El volumen de cada tanque e s muy g ande compa ado con el volumen del gas en la línea de conexión de fo ma t al que los cambios en la concent ación de cada tanque son desp eciables du ante mucho tiempo. La difusividad másica del C02 en ai e a una atm y 25°C es 0.164x10 −4 m2/s. (a) encuent e la densidad de flujo mola de CO2 y (b) encuent e el núme o de lib as de CO2 que pasa po el conducto en una ho a. Difunde el ai e? En qu é cantidad? 4. Conside e un ecipiente de fo ma cilínd ica de dos pies de diámet o y dos de longitud, dispuesto ho izontalmente el cual se encuent a abie to a l a atmósfe a a t avés de una anu a de 3 plg. de ancho po toda su longitud sob e su pa te supe io . Si este ecipiente está lleno hasta la mitad con tolueno líq uido, cual se á la pé dida instantánea de tolueno a los al ededo es po evapo ac ión? La tempe atu a es 18.4 °C, la p esión es la atmosfé ica no mal. Bajo estas condiciones la p esión de vapo del tolueno es 20 mm Hg y su densidad como líqui do es 54.1 lb/pie3       ¡     ¤ ¡ ¡ ¡ ¡   ¤¤   ¤       ¤ ¡    ¤ ¤       ¡ ¤   ¤ ¤ ¤ ¡   ¡            ¤   ¡ ¡ ¡       ¤ ¤   ¡     ¤   ¡    ¡ ¡ ¤     ¡ ¤ ¤             ¤ ¡  ¡       ¤   ¡       ¤ ¡   ¤ ¤¤       ¡                   ¡     ¤    ¡ ¡ ¡     ¤ ¤ ¤     ¡ ¡     ¤¤   ¡ ¡ ¡     ¤     179 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 5. La isome ización de nA pa a fo ma An po medio de la eacción nA ⇉ An ocurre en una partícula cataliza ora con una rapi ez tan gran e que la ifu ión en la película e tanca a alre e or el cataliza or controla la rapi ez e e compo ici ón. Obtenga una expre ión corre pon iente a la rapi ez e i omerización en funci ón e la propie a e el flujo, e la concentracione e A y An en la fa e flu i a global y el e pe or e la película e tanca a i el cataliza or e : (a) e fé rico e ra io R (b) un cilin ro e ra io R y longitu L; (c) una placa plana e longitu L y e pe or W. 6. Determine la veloci a e Tran ferencia e Ma a para una ección cónica e 30 cm e altura, e iámetro mayor 10 cm y iámetro menor 5 cm, cuan o la concentración e CO2 al la o el iámetro mayor e 30% y al la o el iámetro menor e 3%. El otro componente e aire. La mezcla ga eo a e encu entra a una atmó fera e pre ión y 25 °C. en to o u punto . De precie cualqui er po ible efecto bi imen ional. ¿Qué ocurre i e invierten la concentracione ? ¿Qué i e u a un con ucto con iámetro igual al prome io aritmético? ¿al prom e io geométrico?¿al prome io logarítmico? 7. Una cel a e Arnol en e ta o e tab le e u a para eterminar la ifu ivi a e alco ol etílico en aire a 297 K y 1 atm. Si el re ulta o coinci e con el valor reporta o en la literatura, y la cel a tiene área tran ver al 0.82 cm2 y trayectoria e ifu ión e 15 cm, ¿Qué cau a l e etanol ebe umini trar e a la cel a para mantener un nivel e líqui o con tante? A 297 K, la pre ión e vapor e etanol e e 53 mm Hg y u grave a e pec ífica e 0.79. 8. Un gramo e yo o e coloca en un balón e fon o plano. Si el t ubo a travé el cual toma lugar la ifu ión tiene 3 plg. e largo y 1/16 pl. e iámetro, que tiempo e emoraría para e aparecer a 85 °C? A uma que el aire e n el bulbo e tá atura o e yo o, y que la concentración e yo o en la atmó fera circun ante e cero. 9. Un ga A ifun e a travé e una película e tanca a e ga que ro ea una partícula e férica e cataliza or no poro o. En la uperficie e e te ocurre la reacción in tantánea 3A ⇉ B. El pro ucto B ifun e e retorno a travé e la película e tanca a a ta la corriente principal. A umien o operac ión i otérmica, obtenga una expre ión para la veloci a e reacción en término el e pe or e la película e tanca a, y e la compo ición e la corriente ga eo a, yAG, yBG. 10. Cuan o el cau al volumétrico e aire a 20 °C, a travé e un ca pilar e 0.0025 m e iámetro y 0.1 m e longitu , e 4.45x10−5 m3/ , la iferen cia e altura en la o rama e un manómetro e ibutil ftalato e 9.6x10−3 m . Calcule la vi co i a el aire a 20 °C. Lo ato on: ρai e = 1.21 kg/m3; ρm = 901.7 kg/m3. 11. gua pu a ent a al p ime o de dos tanques conectados en se ie a una velocidad de flujo de 4.5 m3/h . En un p incipio el p ime tanque contien e 1.9 m3 de NaOH al 20% y el segundo 1.15 m3 de NaOH al 40%. Dete mine el tiempo eque ido pa a que la co iente que sale del segundo tanque alcance una concent ación de NaOH del 5% si la velocidad    £  £ £ £ £    £ £          £ £ £ £  £  £ £ £ £ £   £  £   £        £ £ £ £  £  £    £ £       £ £  £  £ £ £ £  £ £ £       £    £ £ £ £ £ £   £ £ £ £ £  £ £ £ £   £ £ £ £ £    £   £ £ £ £ £ £    £       £ £ £ £ £          £   £ £ £  £ £     £   £  £ £  £     £ £ £ £  £  £ £ £   £ £ £ £    £ £ £ £ £    £ £  £ £ £ £ £  £ £   £ £ '   £  £  £ £ £ £    £ £   £ £ £    £ £      £ £  £ £      £ £ £ £  £       £ £      £ £   £  £ £ £     £ £ £ £ £ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ de flujo de salida de ambos tanques es 4.5 m3/h. suma mezclado pe fecto. Tome l a densidad del NaOH como 1220 kg/m3. 12. Las tempe atu as de los te mómet os sec o y húmedo de una co iente de ai e húmedo, medidas a una elevada velocidad de a i e y a la p esión total de 800 mm Hg, son 54,5 °C y 26.7 °C, espectivamente. C alcula la f acción mola del vapo de agua en la co iente de ai e. Pa a mayo sencillez, al estima las p opiedades de la película considé ese que el ai e sól o contiene t azas de agua ( ) 13. Suponga que un te mómet o de bulbo seco y ot o de bulbo húmedo están instalados en una la ga conducción en la que la tempe atu a TS de la supe ficie inte io es constante y la velocidad del ai e es pequeña. Po consiguiente, hay que co egi las tempe atu as del te mómet o seco Tbs y d el te mómet o húmedo Tbh debido a los efectos de adiación. Pa a simplifica , su póngase también que los te mómet os están instalados de tal fo ma, que se puede desp ecia la conducción de calo a lo la go de las va illas de vid io. (a) pli ca un balance de ene gía po unidad de á ea del bulbo seco con el fin de obtene una ecuación de la tempe atu a del gas T∞, en función de Tbs, TS, hbs (coefici ente convectivo pa a el te mómet o de bulbo seco), εbs, y α s (siendo estos dos últimos términos l emisivid d y el coeficiente de sorción del ul o seco). ( ) Aplic r un l nce de energí por unid d de áre del ul o húmedo con el fin d e o tener un expresión de l velocid d de ev por ción. Asum est do est le y j velocid d de ev por ción, es decir el f ctor de corrección de Ackerm n es p roxim d mente l unid d. (c) C lcul r yA∞ p r 1 tm de presión tot l y si l s l ectur s termométric s son T h = 21 °C y T s = 60 °C, y los siguientes d tos dic ion les: v∞ = 457 cm/seg., TS = 54.5 °C, εbs = α s = εbh = α h = 0.93, diámetro del ul o seco = 0.25 cm, y diámetro del ul o húmedo incluyendo l muselin o g s humedecid que lo envuelve = 0.38 cm. 14. Un tu o de vidrio isl do y un con dens dor se mont n so re un rehervidor que contiene enceno y tolueno. El conden s dor retorn reflujo líquido de t l form que desciende por l p red interior d el tu o. En un punto en el tu o, donde l temper tur es de 170 °F, el v por tie ne un concentr ción de 30 % en volumen de tolueno y el reflujo líquido tiene fr cción mol r xAL = 0.40 de tolueno. El espesor efectivo de l películ est nc d de v por se estim en zF = 2.5 mm. Los c lores l tentes mol res de tolueno y e nceno son igu les. Determine l velocid d con l cu l se están interc m i ndo to lueno y enceno en este punto del tu o como moles por unid d de tiempo y de áre . Asum válid l ley de R oult p r determin r l presión p rci l del tolueno e n l interf se: pAi = PA.xAL. L presión de v por del tolueno 170 °F es PA = 4 00 mm Hg. C lcule l difusivid d tolueno – enceno por cu lquier de l s correl ciones s d s en l teorí cinétic de Ch pm n – Enskog. L presión tot l en el sistem es de un tmósfer . 15. S lmuer con un contenido de s l del 20 % en m s , entr un t nque git do r zón de 20 Kg./min. El t nque contiene inici l mente 1000 Kg. de s lmuer del 10 % en m s y l solución result nte dej el t n que con c ud l másico de 10 Kg./min. H lle un       ¡ ¡ ¡     ¡ ¡ 180 ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento '   ¡     ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡   ¡  ¡ ¡ ¡ ¡        ¡   ¡     ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡       ¡     ¡ ¡ ¡ ¡    ¡  ¡ ¡    ¡          ¡ ¡     ¡       ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ' ¡  ¡ ¡     ¡ ¡ ¡  ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡      ¡ ¡     ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡     ¡           ¡          ¡ ¡ ¡ ¡    ¡ ¡ '   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡        ¡   ' ¡      ¡    ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ '   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡        ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡    ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡       ¡ ¡ ¡        ¡ ¡   ¡     ¡  de 181 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento expresión que nos permit conocer l m s de s l presente en el t nque en funció n del tiempo 16. En un t nque esférico de 100 mm de diámetro externo, que tiene un p red de cero de 2 mm de espesor, se lm cen hidrógeno g seoso 10 r y 27 °C. L concentr ción mol r de hidrógeno en el cero 1.50 kmol/m3 en l superf icie intern e insignific nte en l superficie extern , mientr s que l difusivi d d del hidrógeno en cero es proxim d mente 0.3x10−12 m2/s. ¿Cuál es el flujo inici l de pérdid de m s del hidrógeno por difusión tr vés de l p red del t nque? ¿Cuál es l r zón inici l de pérdid de presión dentro del t nque? 17. Un lecho de poco espesor constituido por sólidos gr nul res s tur dos de gu se s omete sec do h ciendo p s r tr vés de él ire seco l presión de 1.1 tm c on un velocid d superfici l de 457 cm/seg. ¿Cuál h de ser l temper tur del ire p r que l temper tur de l superficie del m teri l sólido se m nteng 1 5.5 °C? Despréciese l r di ción 18. C lcul r l velocid d inici l, expres d en kgmol/hr m3, con l que se elimin gu en l oper ción de sec do descrit en e l pro lem 17, si el m teri l sólido está constituido por esc m s, siendo = 59 0 m2/m3 19. Un nillo circul r horizont l tiene un longitud de 8.23 m. El r dio externo del cilindro interior es de 1.257 cm y el r dio interno del cilindro ex terior es de 2.794 cm. Medi nte un om se h ce circul r tr vés del conducto nul r un solución cuos de s c ros (C12H22O11) l 60% 20 °C. L densid d del fluido es 1.286 g/cm3 y su viscosid d 56.5 cP. Cu l es l velocid d volumétr ic de flujo cu ndo se le comunic un diferenci de presión de 0.379 kg/cm2.¿Co mo define usted el f ctor de fricción p r el flujo tr vés de un nillo y p r el flujo tr nsvers l lrededor de un cilindro? Not : P r conductos de sección tr nsvers l diferente l circul r, puede tr j rse como circul r us ndo como longitud c r cterístic el diámetro equiv lente cu ndo el flujo es tur ulento. O serve que este no es el c so. 20. Ev por ción de un got que c e li remente: U n got de gu de 1.00 mm de diámetro c e li remente tr vés de ire seco en r eposo 1 tm y T = 37.8 °C. Suponiendo un comport miento de seudo est do est ci on rio y un pequeñ velocid d de tr nsferenci de m teri , c lcul r: ( ) l vel ocid d de descenso de l got ; ( ) l temper tur de l superficie de l got ; ( c) l velocid d de v ri ción del diámetro de l got en cm/seg. Supong que l s «propied des de películ son l s del ire seco 26,7 °C 21. L s temper tur s d e los termómetros seco y húmedo de un corriente de ire húmedo, medid s un e lev d velocid d de ire y l presión tot l de 800 mm Hg, son 54,5 °C y 26,7 ° C, respectiv mente. C lcul r l fr cción mol r del v por de gu en l corriente de ire. P r m yor sencillez, l estim r l s propied des de l películ consid érese que el ire sólo contiene tr z s de gu (A) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 2¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  182 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 2cDAB en la que D es el diámet o de la DpBML gota. Discuta el significado de est e esultado aplicado a al evapo ación de una gota en una g an masa de gas que no está en movimiento. demost a que, cuando R2 → ∞, se cumple kG = ¡ ¡ 22. So re un pl c pl n de ncho W fluye un películ de líquido de form l mi n r y est le h ci jo de l pl c , l cu l está inclin d un ángulo α con l horizont l. Determine el perfil de velocid d. ( ) Seleccione el origen coorden do so re l superficie de l pl c . ( ) So re l superficie li re. Demuestre si es o no cierto que δ = Γ/ρ.vm (espeso película). 23. Dos placas pa alelas están apa tadas 10 cm. La placa infe io es estaciona ia. El fluido ent e las placas es agua la cual tiene una viscosidad de 1 cP. a) Calcule la densidad de flujo de cantidad de movimiento y la fue za po unidad de á ea necesa ia pa a mantene u na placa en movimiento con velocidad de 30 cm/s. b) Si se eemplaza el agua con un fluido de viscosidad 10 cP, y si la densidad de flujo de cantidad de movimien to se mantiene, halle la nueva velocidad de la placa supe io . 24. Una gota esfé ica está suspendida en una co iente de gas B. El adio de la gota es R1. Se ad mite que existe una película esfé ica de gas estancado que odea la gota, de ad io R2. La concent ación de en la fase gaseosa es y S pa a = R1 y pa a = R2 es y G. (a) Demuest e que pa a la difusión en estado estaciona io N 2 es una constante. (b) Demuest e a pa ti de la fo ma adecuada de la p ime a ley de ic k y del esultado ante io que esta constante vale pa a la supe ficie de la gota : cD B 2 dy R12 N = R = − 1 1 − y d c) Integ a ent e R1 y R2 con el fin de obtene cD B ⎛ R2 ⎞ y BG ⎜ ⎟ ln N A = R = 1 R2 − R1 ⎜ R1 ⎟ y BS ⎝ ⎠ d) Si se define un coeficiente de t ansfe encia kG que t abaja con concent aciones de la fase gaseosa exp esadas como p esiones pa ciales mediante la ecuación N A = R = kG ( p AS − p AG ) , 1 ¡ ¡           '     ¡         ¡            ¡ ¡                   ¡ ¡     '     ¡ ¡ ¡ ¡     ¡   ¡ ¡ ¡     '       ¡         ¡ ¡  ¡ ¡                    ¡ ¡       ¡ ¡ '    '     ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡         ' ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡  ' ¡ ¡     '   ' ¡       ¡   183 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento Capítulo 3. ESTIMACION DE LAS PROPIEDADES DE TRANSPORTE. 3.1. PROPIEDADES DE TRA NSPORTE A PARTIR DE LA TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES SIMPLIFICADA. Las teo ías mo lecula es son útiles pa a mejo a la comp ensión de los va ios p ocesos de t ans po te. También pueden se útiles pa a p edeci cualitativa y/o cuantitativamente la dependencia de los coeficientes de t anspo te, µ, DAB, y k, de la tempe atu a y la p esión. Idealmente, una teo ía molecula pe miti ía p edeci estos coefi cientes pa a una sustancia dada sin necesidad de ecu i a mediciones expe imen tales. Sin emba go, este objetivo solo se ha log ado pa a los gases. 3.1.1. T an spo te de masa en gases a baja p esión. Pa a obtene una visión simplificada del mecanismo de t anspo te difusional en gases, conside emos una mezcla de los gas es A y B en equilib io, es deci , a tempe atu a, p esión y concent ación unifo m es. Según la teo ía cinética las moléculas esta án en movimiento caótico colisio nando unas con ot as a azón de ap oximadamente 1021 choques po segundo. En un momento y luga dado cada molécula tend á su p opia velocidad, y puede at avesa una cie ta distancia antes de choca con ot a. Hab á una dist ibución de veloci dades que oscila á ent e 0 e ∞. Conociendo esta dist ibución podemos calcula un a velocidad p omedio V y una distancia media ent e colisiones, λ, amada a "Tr ayectoria ibre media" Como as condiciones son uniformes dentro de gas, V y λ no variarán con a posición, y dado que todas as direcciones son posib es para e movimiento mo ecu ar V será e mismo para todas as direcciones y orientacion es de os ejes coordenados, o sea, es un esca ar. Considerando un p ano arbitrar io en z = z, e número de mo écu as que o atraviesan en a unidad de tiempo y q ue se originan por debajo de p ano, será igua a que o atraviesan teniendo or igen por encima de mismo. No habrá un f ujo neto o difusión mo ecu ar de A en a dirección z. Supongamos ahora que xA es a fracción mo ar de A en a mezc a y que existe un gradiente de A en a dirección z, dcA/dz o dxA/dz, pero no en a d irección x o y. Si a concentración de A es mayor a menores va ores de z, o sea que dcA/dz es negativa habrá más mo écu as de A     ¤           ¤ ¤     ¤     ¤ ¤ ¤   ¤ ¤¤ ¤       ¤   ¤       ¤                                ¤   ¤     ¤ ¤ ¤       ¤     ¤     ¤       ¤ ¤   ¤       ¤         ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤     ¤           ¤   ¤ ¤       ¤ ¤       ¤     ¤       ¤       ¤ 184 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento que atraviesan e p ano desde abajo que desde arriba simp emente porque hay más mo écu as de A por unidad de vo umen en a región inferior. Habrá pues un f ujo neto de A en a dirección z. Para ca cu ar este f ujo difusivo suponemos que as mo écu as que egan desde abajo tienen su ú tima co isión en z − λ y as que egan desde arriba a tienen en z + λ. Se supone en este mode o simp ificado que a tercera parte de as mo écu as tota es se mueven a o argo de cada uno de os tres ejes coordenados, o sea que en a dirección positiva de eje z se mueven 1/6. Si n es e número de mo écu as por unidad de vo umen, e número de mo écu as de A y B que pasan hacia arriba por unidad de tiempo a través de un p ano de área Sz es (1/6) nVS, y de estas xA (1/6) (nVSz) son mo écu as de A. Entonces, s i no hay f ujo convectivo de A o B en a dirección z, e f ujo neto de as mo éc u as de A es a diferencia entre e f ujo debido a as mo écu as de A que se mue ven hacia arriba y hacia abajo: J Az = − ∆(nVx A ) Vc∆x A λV dc A Vc(2λ ) dx A =− =− =− 6N 6 6 dz 3 dz Aquí se ha supuesto que, como λ es pequeño, dxA/dz es constante sobre e espacio 2λ. Como T y P son constantes, c también o es. Comparando con a ey de Fick o btenemos fina mente D AB = λV 3 Uti izando a teoría cinética simp ificada de os gases que asume a no existenc ia de gradientes de concentración, as mo écu as A y B como esferas rígidas sin fuerzas atractivas, de aproximadamente a misma masa y tamaño, y gas idea : ⎛ 8k T ⎞ V =⎜ B ⎟ ⎝ πm ⎠ 1 2 y λ= V 1 = 2 Θ πd n 2 donde ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ mo écu as de A = (S z 6 )(nVx A ) Para obtener a densidad de f ujo número de Avogadro para convertir 23 partícu as por mo gramo es e z −λ − (S z 6)(nVx A ) z +λ unidad de tiempo difusivo de A debemos dividir por Sz y por e de mo écu as a mo es pues n = cN, N = 6.023x10 número de Avogadro ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ 185 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento kB = Constante de Boltzman = 1.38062*10−23 J/K = /N m = Masa de la molécula = M/N M = Peso molecular n = Moléculas por unidad de volumen = n = p/kBT = CN = Constante de los gases. N = Número de Avogadro d = Diámetro molecular. Θ = Frecu encia de colisiones [s−1] Así el coeficiente de autodifusión, DAA*: D AA* 2⎛ k3 ⎞ = ⎜ 3B ⎟ 3 ⎜ π mA ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 T 2 2 pd A 3 Si A y B tienen dife ente masa y tamaño, d = (1/2)(dA + dB) D AB 3 2 ⎛ kB ⎞ ⎜ 3 ⎟ = ⎜ 3 ⎝π m ⎟ ⎠ 1 2 1/m = 1/mA + 1/mB T 2 pd 2 3 3.1.2. T anspo te de cantidad de movimiento. Supongamos aho a que el fluido está en movimiento en la di ección x, y que hay u n g adiente de velocidad − dvx/dz mient as que vy = vz = 0. Entonces las molécul as que at aviesan el plano ubicado en z o iginándose desde abajo tend án una vel ocidad mayo que aquellas que se o iginan po encima. También como el impulso es masa po velocidad, tend án un mayo impulso x. Po lo tanto cuando colisionan las moléculas de abajo con mayo impulso tende án a acele a las moléculas más l entas de a iba y simila mente las moléculas más lentas de a iba tende án a f e na las moléculas más ápidas del lado infe io . Hab á entonces un t anspo te ne to de impulso x desde un z meno hasta un z mayo (o en la di ección z positiva) . La acele ación del fluido supe io po el fluido infe io tiene el efecto de u na fue za actuando tangencialmente al á ea Sz (pe pendicula al eje z); esta es la fue za co tante τzxSz. Similarmen e, el frenado del fluido inferior equivale al efec o de una fuerza cor an e igual y opues a, frecuen emen e llamada fuerza de arras re o sea una fuerza de fricción. La fuerza cor an e se relaciona a rav és de la ley de New on del movimien o con la velocidad de flujo de la can idad d e movimien o. Así el resul ado del movimien o alea orio de las moléculas es simu l áneamen e una fuerza cor an e y un flujo de can idad de movimien o. Si m es la masa de una molécula, su can idad de movimien o será mvx. En onces la velocidad de flujo del impulso x hacia arriba de (z − λ) será:   ¦   ¦       ¦ ¦          ¦         ¦ ¦ ¦     ¦   ¦         ¦ ¦   ¦           ¦       ¦     ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦       ¦              ¦   m = Masa educida     ¦     ¦ ¦         ¦ 186 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento ⎛ moléculas ⎞⎛ impulso ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ tiempo ⎟⎜ molécula ⎟ = (S z nV 6)(mv x ) z −λ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ y la velocidad neta de flujo de cantidad de movimiento se á (S z nV 6)(mvx ) z −λ − (S z nV 6)(mvx ) z +λ Para obtener a densidad de f ujo de impu so x en a dirección z, dividimos por Sz para obtener: τ zx = 1 nVmv x 6 z −λ − 1 nVmv x 6 z +λ = − 1 nVm∆v x = − 1 ρVλ 6 3 dv x dz Aquí nuevamente asumimos gradiente inea sobre a distancia 2λ y usamos n⋅m = ρ . l compa a con la ley de Newton de la viscosidad obtenemos pa a la viscosidad cinemática o difusividad de cantidad de movimiento ν= µ Vλ = ρ 3 que es la misma exp esión pa a D B siendo en este caso Sc = 1. Substituyendo λ y V de a teoría cinética de os gases obtenemos: ⎛ 2 ⎞⎛ mk T ⎞ µ = ⎜ 2 ⎟⎜ B ⎟ 3 ⎝ 3d ⎠⎝ π ⎠ 1 2 Nótese que µ aumenta con la tempe atu a y es independiente de la p esión o, equi valentemente, es independiente de la densidad a tempe atu a constante. 3.1.3. T anspo te de ene gía. Supongamos aho a que existe un g adiente negativo de tempe atu a en el plano ubi cado en z. Asumiendo que el gas es monoatómico y desp eciando las cont ibuciones vib acionales y otacionales a la ene gía, cada molécula tend á una ene gía int e na de e = (1/2) m V2 = (3/2) kB T Como antes, las moléculas se encuent an en m ovimiento aleato io, pe o las que se o iginan en z − λ tienen más energía (mayor temperatura) que as que se originan en z + λ. ¤     ¤                     ¤ ¤ ¤ ¤ ¤       ¤ ¤     ' ¤ ¤         ¤         ¤       ¤   ¤ '   187 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento Siguiendo e anterior procedimiento dividimos e f ujo neto de energía por e ár ea para obtener a densidad de f ujo de ca or o f ujo neto de energía ⎛ Vne ⎞ ⎛ Vne ⎞ qz = ⎜ = −(1 / 6) nV∆e = −(1 / 6) nV∆ (3k BT / 2 ) ⎟ −⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠ z −λ ⎝ 6 ⎠ z + λ Ahora, suponiendo dT/dz inea y n constante sobre e interva o 2λ ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ d ⎛ 1 ⎞⎛ d ⎞⎛ 3nk BT ⎞ q z = −⎜ V ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟(2λ ) = ⎜ V ⎟⎜ ρCV T ⎟ ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ dz ⎝ 6 ⎠⎝ dz ⎠⎝ 2 ⎠ dado que (3/2) nkBT = (3/2) (ρN/M) ( /N) T = ρCVT pues CV = 3 /2M pa a un ga s monoatómico. Aquí, CV es el calo específico a volumen constante (ene gía/masa .tempe atu a). Las unidades de ρCVT son ene gía po unidad de volumen y Vλ es o ngitud a cuadrado sobre tiempo, que podría denominarse difusividad térmica. Tom ando α = k/ρCp q z = −α C d d ρCPT = − 1 Vλ V ρC PT 3 C P dz dz C 1 Vλ donde γ = P CV 3 γ o sea α = p r un g s mono tómico Pr = 1 Vλ µ 5 = 13 =γ = ρα 3 Vλ / γ 3 En la realidad Prandtl tiende más a 2/3. De la ley de Fourier y del desarrollo a nterior obtenemos la si uiente e presión para la conductividad térmica de un as monoatómico. 1 k= 2 d 3 ⎛ k BT ⎞ ⎜ 3 ⎟ ⎜π m ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 En consecuencia, el modelo simplificado nos p edice que k va ía ap oximadamente con T½ y debe ía se independiente de la p esión. ¤ ! ¤ ¤     ¤ ¤     ¤ ¤   ¤ ¤ ¤     ¤   ¤   ¤ " ¤ !   ¤ ¡   ¤   ¡ ¤   ¤ ¡ ¡ 188 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento Las ecuaciones ante io es dan solo una vaga estimación de las p opiedades de t a nspo te. La p incipal fuente de e o su ge en la suposición de que las molécula s se compo tan como esfe as ígidas sin inte acción. Realmente las moléculas son comp esibles, y existen fue zas ent e ellas. Esta fue za de acción inte molecul a va ía con su sepa ación y se elaciona a la ene gía potencial de inte acció n EP po F = − dEP/d . La fo ma de la ene gía potencial EP es una función de la sepa ación: pa a pequeños valo es de , las moléculas se epelen y la ene gía es g ande y positiva; pa a valo es mayo es las moléculas se at aen, y a valo es aú n mayo es de , las fue zas inte molecula es tienden a ce o. Pa a tene en cuent a tanto las fue zas epulsivas como las at activas ent e moléculas no pola es, s e acostumb a a asumi que la ene gía potencial total es la suma de dos potencial es sepa ados: EP Total = EP epulsivo + EP at activo = A/ n – B/ m. (3.1) Donde A, B, n y m son constantes positivas y n > m. Esta ecuación fue p opuesta inicialmente po Mie e investigada extensivamente po Lenna d y Jones, y ha sido usada especialmente pa a calcula p opiedades te modinámicas y de t anspo te en gases diluidos no pola es. Al analiza la ecuación (3.1) se hace evidente que pa a alguna distancia mínim a, EP es un mínimo. Reo ganizando: ⎡ ε n n / m m 1n− m ⎤ ⎡⎛ σ ⎞ n ⎛ σ ⎞ m ⎤ ⎥ ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ EP = ⎢ n−m ⎢ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎦ ⎣ ⎦⎣ Do de ε = − EPmínimo y σ e la i tancia intermolecular cuan o EP = 0. Lon on emo tró a partir e la teoría e la fuerza e i per ión que m = 6 , pero no e i pone e un valor teórico para n. Un re ulta o acor e con lo exp erimento e obtiene ejan o n como un parámetro aju table: ( )                  £         £        £  £ £                               £   £                             3.2. TEORÍA RIGUROSA DE CHAPMAN ENSKOG PARA GASES DILUIDOS.                 £             £               £ £                 £ £ £ ¥                                   189 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento ⎛n⎞ EP = ⎜ ⎟ ⎝6⎠ 6 n−6 Se halla co ve ie te para los cálculos hacer = 12 o te ie do ⎡⎛ σ ⎞12 ⎛ σ ⎞ 6 ⎤ E P = 4ε ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎣ ⎦ Esta expresió se de omi a pote cial 6-12 de Le ard - Jo es. Ella relacio a la e ergía pote cial de dos moléculas a su dista cia de separació e térmi os de d os parámetros característicos de la molécula ya me cio ados: u parámetro e ergé tico ε, l cual s l n gativo d la n rgía mínima corr spondi nt a la s parac ión d quilibrio; y un parám tro d distancia σ, el que e igual a la eparació n intermolecular cuan o la energía potencial e cero (ver figura 3.2). En una me zcla e molécula A y B abrá interacción entre ella E PAB ⎡⎛ σ AB ⎞12 ⎛ σ AB ⎞ 6 ⎤ = 4ε AB ⎢⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎣ ⎦ Los parámetros σAB y εAB caract rísticos d la m zcla pu d n stimars a partir d los parám tros para los compon nt s puros por las cuacion s aproximadas: σAB = (1/2)(σA + σB) y εΑΒ = (εAεB)1/2. Chapman y Enskog d sarrollaron cuacion s para gas s no polar s a baja pr sión: 3.2.1. Viscosidad. ⎡ MT ⎤ ⎥ 2 ⎢σ Ω µ ⎥ ⎣ ⎦ (3.2) Esta ecuació es válida para gases o polares. Aquí M es peso molecular; µ está e a.s; T e K; σ en nanómetro y Ωµ es la integ al de colisión. También ⎡ MT ⎤ ⎥ 2 ⎢σ Ω µ ⎥ ⎣ ⎦ (3.2a)  µ = 2.6693 10 −5 ⎢   ¥  ¥ ¥  µ = 2.6693 10 −8 ⎢ ¢ ¥ ¥ ¢ ¥  ¢ ¢ ¢ ¥ ¥ ¥     ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¥ ¥   ¥   n 6 ⎛ n ⎞ ⎡⎛ σ ⎞ ⎛ σ ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ε ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ n − 6 ⎠ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ £  ¢ ¥       ¥ ¢ ¥¥ ¢  ¥ ¥   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¥ ¢ ¢ ¢ ¥  £ £ £ ¢ £ ¥ ¢ ¢ ¢ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¢  ¢ ¢ ¢ £ © ¥ ¥ ¢ 190 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento Esta ecuación se diferencia de a (3.2) so o en as unidades a saber: µ [g/cm.s] , T [K], σ [Å] y Ωµ, la integ al de colisión puede ap oxima se po Ωµ = 1.604/(T*) 1/2 con 0.4 ≤ T* ≤ 1.4 Ωµ = (T ) 1.16145 * 0.14874 + 0.52487 2.16178 + * exp 0.7732T exp 2.43787T * ( ) ( ) (3.3) 2 (3.4) (3.4a) U e el momento ipolar en Debye ; δ momento ipolar a imen ional −25 ½ 2 −18 −3 0 1 ebye = 3.162 x 10 N m = 10 e u.cm. = 3.333 x 10 C.m. 9 ε stá n N.m y σ en m, Tb e la temperatura el punto e Coulomb = 3.0 x 10 e u. ebullición normal en Kelvin. Para e te ca o σ = [1.585Vb/(1+1.3δ2)]1/3 ε/kB = 1.18(1+1.3δ2)Tb en Å en K (3.4b). (3.4c) ¢ ¢   £ £ £   £     £    Ωµ pola = Ωµ no pola + (0.2 δ /T*) δ = U2/2εσ3 = 1.94x103U2/VbTb   Esta exp esión puede da nos e o es meno es al 0.064% pa a valo es de T* ent e 0 .3 y 100. Pa a moléculas pola es un potencial dife ente (Stockmaye ) debe á usa se. B okaw ecomienda modifica Ωµ usando     ¢ ¢     ¢   ¢   ¢ ¢   ¢          ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ donde T* = kBT/ε n. Una forma más s una t mp ratura adim nsional y kB s la constant d Boltzma xacta d calcular la int gral d colisión s: ¤ ¤       ¤ ¤ ¤ ¤           £ ¤ Vb e el volumen molecular como líqui o en el punto e ebullición en cm3/gmol, q ue pue e er e tima o a partir e la tabla iguiente. Para u arla e uman la c ontribucione e lo átomo con tituyente e la molécula. Por ejemplo para el t olueno, C7H8, Vb = 7x14.8 + 8x3.7 − 15 = 118.2    £ £   £  £   £ £    £  µ mezcla = ∑y µ ∑y φ j =1 j i =1 n i n i (3.5) ij siendo φij según Wilke ⎡ ⎛ ⎢1 + ⎜ µ i ⎢ ⎜µj ⎣ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1 2 φ ij = ⎛Mj ⎜ ⎜M ⎝ i 1 ⎤ ⎞ 4⎥ ⎟ ⎟ ⎥ ⎠ ⎦ 1 2 2 ⎡ ⎛ M ⎞⎤ ⎢8⎜1 + i ⎟⎥ ⎢ ⎜ M j ⎟⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎝ Donde n = Nume o de especies en la mezcla, yi, yj = F acciones mola es de i, j. µi, µj = Viscosidades de i, j pu os a la tempe atu a y p esión de la mezcla. Mi, Mj = Pesos molecula es. El cálculo de la viscosidad de una mezcla gaseosa de co mposición conocida se puede hace también con la exp esión siguiente, que es sim ple y suficientemente exacta, en especial pa a hid oca bu os gaseosos de peso mo lecula simila :                                      Para mezcla ga eo a e u an ecuacione emiempírica (Wilke, 1950).   191 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento Tabla 3.1: Volúmene atómico y moleculare en cm3/gmol egún Le Ba *. Volumen Atómico Volumen Molecular Carbón 14.8 H2 14. 3 Hi rógeno (en compue to ) 3.7 O2 25.6 Cloro (R CHCl R) 24.6 N2 31.2 Bromo 27.0 Aire 29.9 Yo o 37.0 CO 30.7 Azufre 25.6 CO2 34.0 Nitrógeno ( oble enlace) 15.6 SO2 44.8 Nitrógeno en amina primaria 10.5 NO 23.6 Nitrógeno en amina ecun ar ia 12.0 N2O 36.4 Oxígeno 7.4 NH3 25.8 Oxígeno en é tere metílico al e í o , c etona 9.1 H2O 18.9 Oxígeno en é tere mayore y étere 11.0 H2S 32.9 Oxígeno en áci o 12.0 COS 51.5 Oxígeno en étere metílico 9.9 Cl2 48.4 Oxígeno en étere mayore 11.0 Br2 53.2 Anillo bencénico: ub traer 15.0 I2 71.5 Anillo nafténico : ub traer 30.0 * G. Le Ba . T e Molecular Volume of Liqui C emical Compoun , Long Man , Green & Co., Lon re , 1915. £ £ £  £    £    £ £                £     £ £ £ £     £    £  192 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento µ mezcla = ∑µ y i =1 n i n i Mi ∑y i =1 (3.5a) i Mi Tabla 3.2: momentos dipola es de algunas substancias gaseosas SUBSTANCIA U (debye) SUBSTANCIA HF 1.91 HCl HB 0.80 HI CO 0.10 H2O NH3 1.47 CH3 Cl CH2Cl2 1.60 CHCl3 (Clo ofo mo) HCN 3.00 CH3CN (Acetonit ilo) CH3NO2 3.50 (C2H 5)2O (Ete ) CH3OH 1.70 CsCl CsF 7.90 KF KCl 10.40 KB C3H6 0.35 C6H5CH3 (Tolueno ) PH3 0.55 C6H5NH2 (Anilina) C6H5Cl 1.55 C2H5SH (Etanotiol) SO2 1.61 CH3I CH3COO CH3 1.67 C2H5OH (Etanol) C2H5F 1.92 (CH3)2CO (Acetona) C2H5COCH3 (MEK) 3.00 C2H5 NO2 CO(NH2)2 (U ea) 4.60 H2S Una extensa compilación de momentos dipola es es da da po Nelson 1967. Tabla 3.3 Constantes del potencial 6 – 12 de Lenna d – Jones Molécula A He K Ne Xe Ai e AsH3 BCl3 BF3 B(OCH3)3 B 2 CCI4 CF4 CHCI3 CH2CI2 No mb e del compuesto A gon Helio K ypton Neón Xenón Ai e A sina Clo u o de Bo o Fluo u o de Bo o Meti l bo ato B omo Tet aclo u o de Ca bono Tet afluo u o de Ca bono Clo ofo mo Diclo u o de metilo U (debye) 1.00 0.40 1.84 1.90 1.05 3.94 1.16 10.50 7.30 9.07 0.37 1.48 1.56 1.64 1.70 2.88 3.70 0.92 σx1010,m 3.542 2.551 * 3.655 2.820 4.047 3.711 4.145 5.127 4.198 5.503 4.296 5.9 47 4.662 5.389 4.898 εµ/kB, K 93.3 10.22 178.9 32.8 231.0 78.6 259.8 337.7 186.3 396.7 507.9 322.7 13 4.0 340.2 356.3 Molécula iso-C4H10 C2H5O C2H5 CH3COOC2H5 n-C5H12 C(CH3)4 C6H6 C6H12 n-C6H14 Cl2 F2 HBr HCN HCl HF HI Nombr d l compu sto Isobutano Et r Etílico Ac tato d Etilo n-P ntano 2,2-Dim tilpropano B nc no Cic loh xano n-H xano Cloro Fluor Acido Bromhídrico Acido Cianhídrico Acido Clorhídr ico Acido Fluorhídrico Acido Yodhídrico σx1010,m 5.278 5.678 5.205 5.784 6.464 5.349 6.182 5.949 4.217 3.357 3.353 3.630 3.339 3.148 4.211 εµ/kB, K 330.1 313.8 521.3 341.1 193.4 412.3 297.1 399.3 316.0 112.6 449 569.1 3 44.7 330 288.7     ¢ ¢                   ¢                     ¢           ¢               ¢     ¢     ¢ ¢     ¢ ¢       ¢         193 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro B tancourt rajal s Transf r ncia mol cular d calor masa y cantidad d movimi nto CH3Br CH3CI CH3OH CH4 CO COS CO2 CS, C2H2 C 2H4 C2H6 C2H5Cl C2H5OH C2N2 CH30CH3 CH2CHCH3 CH3CCH C3H6 C3H8 n-C3H70H CH3COCH3 Bromuro d m tilo Cloruro d m tilo M tanol M tano Monóxido d Carbono Sulfuro d Carbonilo Dióxido d Carbono Disulfuro d Carbono Ac til no Ethil no Etano Clo ruro d Etilo Etanol Cianóg no Et r M tílico Propil no M tilac til no Ciclopropa no Propano Alcohol n-Propílico Ac tona 4.118 4.182 3.626 3.758 3.690 4.130 3.941 4.483 4.033 4.163 4.443 4.898 4.530 4. 361 4.307 4.678 4.761 4.807 5.118 4.549 4.600 4.936 449.2 350 481.8 148.6 91.7 336.0 195.2 467 231.8 224.7 215.7 300 362.6 348.6 395 .0 298.9 251.8 248.9 237.1 576.7 560.2 469.8 H2 H20 H202 H2S Hg HgBr2 HgCI2 HgI2 I2 NH3 NO NOCl N2 N2O O2 PH3 SF6 SO2 SiF4 Si H4 SnBr4 UF6 Hydróg no Agua P róxido d Hidróg no Acido Sulfhídrico M rcurio 2.827 2.641 4.196 3.623 2.969 59.7 809.1 289.3 301.1 750 686.2 750 695.6 474.2 558.3 116.7 395.3 71.4 232.4 10 6.7 251.5 222.1 335.4 171.9 207.6 563.7 236.8 Bromuro d M rcurio 5.080 Cloruro d M rcurio Yoduro d M rcurio Yodo Amoníaco O xido Nítrico Cloruro d Nitrosilo Nitróg no Oxido Nitroso Oxíg no Fosfina H xafl uoruro d azufr Dióxido d Azufr T trafluoruro d Silicio Hidruro d Silicio B romuro stánico H xafluoruro d Uranio 4.550 5.625 5.160 2.900 3.492 4.112 3.798 3.828 3.467 3.981 5.128 4.112 4.880 4. 084 6.388 5.967 CH3COOCH3 Ac tato d M tilol n-Butano n-C4H10 4.687 531.4 Tomado d Sv hla, r port técnico R – 132 NASA 1962 . Estos valor s s d t rminaron d datos d viscosidad, xc pto l marcado * qu s d t rminó por fórmulas d la m cánica cuántica. D b anotars qu como log Ω µ es una función casi lineal de log T*, el conjunto de pa ámet os de Lenna d Jon es pa a un compuesto dado no es único, po lo cual es muy impo tante usa valo e s consistentes de estos pa ámet os sin asomb a se po las dife encias que puedan su gi ent e dive sos investigado es. Si no se conocen los valo es de σ y ε, pu d n calculars a partir d las propi d ad s d l fluido n l punto crítico (c), d la t mp ratura normal d bullición d l líquido (b) o d l punto d fusión d l sólido (m), m diant las sigui nt s c uacion s mpíricas: ε/kB = 0.77 Tc = 1.15 Tb = 1.92 Tm [K] (3.6a) σ = 0.841 Vc1/3 = 2.44 (Tc/Pc)1/3 = 1.166 (Vbliq)1/3 = 1.222(Vm ol)1/3 [Å] (3.6b) −10 Don e ε/kB y T stán n K lv in, σ en uni a e Am trong (1 Å = 10 m), V en cm3/gmol y Pc en atm.  EJEMPLO 3.1. Calcule la vi co i a el amoníaco a 0° C. El punto e ebullición n ormal el amoníaco e −33.4 °C (240 K). La en i a en u punto e ebullición e 0.682 g/cm3, e ecir Vb = 17.03/0.682 = 25 cm3/gmol. El momento ipolar e 1.4 7 ebye. ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢  ¢   ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ ¢ ¢       ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢  ¢ ¢ £ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ ¢      § ¢ ¢ ¢ ¢ £ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢  ¢ ¢ ¢    ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢   ¢ £  ¢  ¢ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢     ¢ ¢ ¢ £   ¢ £ ¢ ¢ 194 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento Solución. Por la correlación (4a), δ = (1.94x103U2)/(VbTb) = 0.7 ⎡ 1.585 Vb ⎤ de a ecuación (4b) para σ, σ = ⎢ 2 ⎥ ⎣1 + 1.3 δ ⎦ 2 2/3 2/3 = 8.36 Å2 y por (4c), ε/kB = 1.18(1 + 1.3δ )Tb = 1.18(1 + 1.3x0.70 )240 = 464 K e ecir q ue a 0 °C (273 K), T*= 273/464 = 0.589 = kBT/ε. D la cuación (3), Ωµ = 2.10 y de la (4) Ωm,P = 2.10 + (0.2)(0.72)/(0.589) = 2.27. ⎡ 17.03 273 ⎤ −5 Fina mente de (2a) µ = 2.6693 10 −5 ⎢ ⎥ = 9.59 10 poises ⎣ 8.36 2.27 ⎦ 2 El valor experime tal dado e la literatura es 9.20 x10−5 poise (error de + 4.2 %). El error promedio hallado al aplicar estas expresiones es de 5.8% y el máxim o es del orden del 14%. Esto nos da una buena indicación sobre el tipo de predic ción que podemos hacer sin información experimental. Ahora, se puede lograr una mejor predicción si se dispone de un dato experimental. Tomemos por ejemplo el m etanol gaseoso. Experimentalmente se ha determinado una viscosidad de 10.13x10−5 poise a 308 K. Las ecuaciones (3.4) y subsiguientes nos predicen δ = 0.39 ; σ = 3.84 Å y ε/ kB = 477 K. T ni ndo disponibl un dato xp rim ntal, la cuación ( 3.2) podría utilizars n lugar d una d las cuacion s para ε /kB o para σ. No rmalmente la ecuación para σ eberá e cartar e a o que la vi co i a epen e m á fuertemente el parámetro e tamaño σ, que el parámetro e energía ε. Sin m bargo, l vapor d m tanol stá parcialm nt asociado n l punto d bullición ( xist una conc ntración apr ciabl d t trám ros). Por sta razón n st caso s pu d supon r qu l punto d bullición no da un valor corr cto d ε /kB y d scartamos la cuación corr spondi nt . En su lugar supon mos un valor d δ, ca lculamo σ3 y ε/ kB d la sigui nt xpr sión obt nida d (4a) ε/ kB = (1/2)(U2/ kBδσ3). E to valore e u an en la ecuación (3.2) para calcular una vi co i a . El proce imiento e repite e cogien o otro valore e ε/ kB, hasta qu las vis cosidad s calculada y xp rim ntal coincidan. D sta man ra s obtuvi ron las s igui nt s constant s d fu rza r visadas: δ = 0.51 ; σ = 3.7 Å; ε/ kB = 406 K Co n stos nu vos valor s s pr dic la viscosidad a 585 K como 19.4x10−5 poise. i no se hubiera tenido en cuenta el valor experimental, a 308 K, se habría obteni do 16.9x10−5 0 ¢ £ £ £ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £  £ £ £ ¢ ¢   £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢    £ £  ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ ¢  ¢ ¢ ¢  £ ¢  ¢ ¢ £ £ ¥ ¤ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢  £      ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢  ¥ £  ⎡ 1.585 2 25 ⎤ =⎢ 2 ⎣1 + 1.3 0.7 ⎥ ⎦ £    £ £ £ ¤    195 ENÓMENO DE TRAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento poise. El valor experimental para T = 585 K es 19.2x10−5 poise, muy buena aproxi mación al obtenido basándonos en el dato experimental. Una forma más sencilla de predecir el cambio de la viscosidad con la temperatura es observar que, a parti r de la ecuación (2) o (2a), µ es directamente proporcional a (T0.5/Ωµ) o sea: µ 2/µ1 = [T2/T1]0.5 [Ωµ1/Ωµ2] Po se molécula pola ε/ kB s calcula d (4c) como ε/kB = 1.18(1+1.3δ2)Tb Tb = 64.7 °C = 337.85 K y ε/ kB = 477 K Ω = 1.439 T * = 585/477 = 1.226 2 µ2 T1* = 308/477 = 0.6457 Ωµ1 = 2.006 −5 −5 µ2 = (10.13x10 )(585/308)½(2.006/1.439) = 19.46x10 poise. 3.2.1.1. Gases pu os a p esiones elevadas. Habitualmente estas va iaciones no son significativas a tempe atu a educida muy elevada o a p esión educida muy baja. Childs y Hanley establecie on un c ite i o pa a sabe si debe co egi se o no el efecto de la p esión sob e la viscosidad de los gases. Al g afica P/PC = 0.184(T/TC) − 0.0194 se obtiene una línea ect a po debajo de la cual se puede conside a que el gas es diluido y po encima d e la misma se á denso. La figu a 3.3 pe mite obtene una estimación ap oximada d e la viscosidad de los gases densos. La viscosidad c ítica se estima mediante la co elación µC = 7.7 M 0.5 PC2 / 3 1 TC / 6 µc en mic opoises (µP), Tc en K y Pc en atm. Thodos y colabo ado es p oponen la siguiente co elación pa a gases no pola es: ⎡ ⎤ Tc 6 ⎢(µ − µ 0 ) 12 2 3 + 1⎥ M Pc ⎣ ⎦ 1 0.25 válida pa a 0.1 ≤ ρ ≤ 3, donde ρ = ρ/ρc = Vc/V (V es el volumen específico). E l té mino µ0 es la viscosidad a baja p esión exp esada en µP; TC en K, PC en atm ósfe as.               = 1.023 + 0.23364 ρ + 0.58533ρ 2 − 0.40758ρ 3 + 0.093324ρ 4             ¢               ¢                                                          0               196 ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento           ' '    de 3.2.2. Conductividad té mica. Pa a gases monoatómicos ⎡ T k = 1.9891 10 ⎢ 2 M ⎢σ Ωk ⎢ ⎣ −4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (3.7) do de k es la co ductividad térmica e cal/cm.s.K, σ en Å, y, Ωk = Ωµ (ve ecuac ión 3.3). Combinando con la ecuación pa a viscosidad (3.2.a) k= 15 5 3 µ = Cv µ = C P µ 4 M 2 2 dado que Cv, la capacidad calo ífica a volumen constante es (3/2)( /M) pa a ga ses monoatómicos. Esta ecuación es aplicable a gases compuestos po moléculas es fé icas y simét icas que solo tienen ene gía t aslacional. El facto de Eucken s e define como el g upo adimensional Eu = k k CP γ 5 = = = µCV µC P CV Pr 2 Este valor coincide con los hallados e perimentalmente para ases monoatómicos. Las ecuaciones anteriores no se aplican a ases poliatómicos, los cuales pueden transferir ener ía en las colisiones como ener ía vibracional. Este hecho puede tenerse en cuenta por medio de la correlación de Eucken: Eu = (k/µCv) = [(9/4)γ 5/4] = [1+ 4.47/µCv] La ecuación modificada de Eucken k ⎡ 7.032γ − 1.720 ⎤ =⎢ ⎥ ; k [W/m.K] ; µ [kg/m.s] ; CP, CV [J/kg.K] µCV ⎣ 4 ⎦ predice valores de k muy altos mie tras que la primera predice valores muy peque ños excepto para gases polares, para los cuales am as so altas. La ecuació par a estimar k e mezclas es la misma (3.5) cam ia do µ por k.   197 ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento   ¥         ! ¥    ¥     !    !     " ¥ ¥     '     ' ¥    ! ¥       ¥   de 198 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to U a expresió válida para gases mo oatómicos que os da la co ductividad térmica e W/m.K usa do T e K, σ en nm. y Ωk = Ωµ es: ⎡ T k = 8.322 10 ⎢ 2 M ⎢ σ Ωk ⎢ ⎣ −4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (3.7a) 3.2.3. Difusividad másica. ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎢T ⎜ M A + M B ⎟ ⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎝ 2 σ AB Ω D 1/ 2 cD AB = 2.2646 × 10 −5 (3.8) Pa a la difusión del gas A en el gas B a bajas densidades, suponiendo que se cum ple la ley de los gases pe fectos, c = P/ T, la difusividad es: ⎡ 3⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎢T ⎜ M A + M B ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ = 0.0018583 ⎣ 2 σ AB Ω D 1/ 2 D AB (3.9) En las ecuaciones ante io es DAB está en cm2/s, P en atm, T en K, σΑΒ = ½(σA + σ B) en Å, y ΩD es una función de kBT/εΑΒ = T* dada por (3.10 y 3.12b) para molécu las no polares. ΩD = 1.06036 0.19300 1.03587 1.76474 + + + *0.1561 * * T exp 0.47635T exp 1.52996T ex p 3.89411T * ( ) ( ) ( ) (3.10) También D AB = 1.8829 × 10 − 4 ⎡ 3⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎢T ⎜ M A + M B ⎟⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎝ 2 Pσ AB Ω D 1/ 2 (3.11) donde DAB está en m2/s, P en N/m2 y σΑΒ en nm (nanómetros). Si conocemos la di u ( ¥ ¥ ¥ © ¥ ¥ ¥ ¥       ¥ ¥   ¥ ¥   ¥ ¥  sividad a T1, la di usividad para el mismo sistema a T2 puede estimarse: DA 2 = DA 1 [T2/T1]3/2 [ΩD1/ΩD2] ≈ DAB1 [T2/T1]n Pa a el sistema ai e vapo de agua e nt e 14.62 °C (nueva) y 25.9 °C (DAB conocida = 0.258 cm2/s) )        (   ) 199 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento kT1/εAB = (299.1)/[(809.1)(97)]1/2 = 1.068 ⇉ ΩD1 = 1.395 kT2/εAB = (287.8)/[(809 .1)(97)]1/2 = 1.027 ⇉ ΩD2 = 1.422 La difusividad buscada se á entonces DAB = (0. 258)[(287.8)/(299.1)] [(1.395)/(1.422)] = 0.239 cm2/s Anotamos que, como ΩD es f unción dec eciente de la tempe atu a, DAB va ía ap oximadamente con Tn donde 1.6 5 ≤ n ≤ 2. En el caso ante io n esulta se 1.986 (vapo de agua en un gas no p ola ) aunque pa a gases no pola es el valo está usualmente mas ce ca de 1.65. P a a moléculas pola es B okaw int oduce el potencial de Stockmaye modificando la integ al de colisión 2 ΩD pola = ΩD no pola + 0.19δ /T* 3/2 (3.12) δ = 1.94x103U2/VbTb = (1/2)(U2/εABσAB3) El momento ipolar (Tabla 3.2) U en ebye (10−18 e u.cm); Vb (Tabla 3.1) en cm3/ gmol; Tb en Kelvin.; Vb e el volumen molar el líqui o en u punto e ebullició n normal, y Tb e el punto e ebullición normal. σAB = (σAσB)1/2 εAB/kB = [(εA/kB)(εB/kB)]1/2 δAB = (δAδB)1/2 en Å en K. (3.12a) (3.12b) (3.12c) Una excelente correlación propue ta por Fuller, Sc ettler y Gi ing con i eran o olo lo ato má mo erno y confiable e : D AB = 10 −7 T 1.75 [(1 / M A ) + (1 / M B )] P (∑ V )A + (∑ V )B 1/ 3 1/ 2 [ 1/ 3 2 ] (3.13) Aquí DAB e tá en m2/ , T en K, P en atm. Para ca a e pecie, el término ΣV’ se en cuentra sumando los volúmenes atómicos de difusión dados en la tabla 3.3 £ £   ££   £      £   3.2.4. Correlacione empírica para ga e .   £              £            £   £                 £             £ £                200 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt rajales Transferencia molecular de calor masa cantidad de movimiento TABLA 3.4: Volúmenes Atómicos Difusionales para la Correlación (FS ) Incrementos difusionales a los volúmenes atómicos estr ucturales V’. C H O (N) 16.5 1.98 5.48 5.69 (Cl)* (S) Anillo Aromático Anillo He terocíclico 19.5 17.0 −20.2 −20.2 Volúmenes Difusionales para moléculas simples. H2 7.07 CO 18.9 D2 6.70 CO2 26.9 He 2.88 N2O 35.9 N2 17.9 NH3 14.9 O2 16.6 H2O 12.7 Aire 20.1 (CCl2 2) 114.8 Ar 1 6.1 ( 6) 69.7 Kr 22.8 (Cl2) 37.7 (Xe) 37.9 (Br2) 67.2 Ne 5.59 ( O2) 41.1 * Los paréntesis indican que los valores están basados en pocos puntos experimentales. La correlación G (3.13), aunque estrictamente empírica, requiere menos informa ción suplementaria que las otras ecuaciones anteriores (3.8, 3.9, y 3.11), basad as en la teoría de Chapman – Enskog se recomienda para uso general. Estas son más rigurosas dan resultados comparables cuando las constantes de fuerza se le en de una tabla confiable. De otra forma se recomienda el uso de la correlación FS . Como un ejemplo del uso de la tabla 3.2, para el 1-propanol, con fórmula qu ímica C3H8O la sumatoria (ΣV’)A = 3x16.5 + 8x1.98 +1x5.48 = 70.82. Para vapor de agua en aire, sistema que aparece con mucha frecuencia puede usarse: ⎡ T 2 .5 ⎤ 2 o PD AB = 0.000146 ⎢ ⎥ [atm.pie /h] ; T [ R] ⎣ T + 441 ⎦ ⎡ T 2. 5 ⎤ 2 PD AB = 1.6378 10 −8 ⎢ ⎥ [atm.m /s] ; T [K] ⎣1.8T + 441 ⎦ (3.14a) (3.14 ) (3.14c) 3.2.4.1. Difusió e mezclas multicompo e tes.  ⎡ T 2 .5 ⎤ [Pa.m2/s] ; T [K] PD AB = 1.695 10 −3 ⎢ 1.8T + 441⎥ ⎣ ⎦  0 § ¥ ¥ 1 § ¥ ¥  0  1 1 0   § 201 ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to (3.15) Ni es positivo si va e el mismo se tido de A y egativo si difu de e la direcc ió opuesta. DAi so las difusividades i arias. Se o serva que DAm está i flue ciado por la composició y puede variar fuerteme te desde u extremo al otro del cami o de difusió . E la práctica se supo e variació li eal de la composició . Cua do todos los compo e tes está esta cados y solo A difu de (o todos se mue ve co la misma velocidad), la expresió para DAm se reduce a D Am (1 − y ) ⎡ n Y ⎤ = n A = ⎢∑ i ⎥ y D ∑ D i ⎣ i= B Ai ⎦ i=B Ai −1 (3.16) Aquí i es la fracción molar del componente i en base libre de A o relación mola r. EJEMPLO 3.2. Calcular el coeficiente de difusión entre el cloruro de metilo y di óxido de azufre a 50 °C y 1 atm. olución. Llamemos el cloruro de metilo A y el dióxido de azufre B. A partir de las propiedades en el punto de ebullición y los momentos dipolares calculemos las constantes de fuerza para cada sustancia segú n las ecuaciones (3.4a), (3.4b), (3.4c).Estos son: TbA = −24 °C; TbB = −10 °C; VA = 47.5 cm3/gmol; VB = 44.8 cm3/gmol; UA = 1.90 de bye; UB = 1.61 debye; σΑ = 3.833 Å; εΑ / kB = 404 K ; δΑ = 0.54 σΒ = 3.818 Å; εΒ / k = 387 K ; δΒ = 0.435 ½ σΑΒ = (σΑσB)1/2 = (3.833x3.818) = 3.85 Å e (3.12a) εΑΒ / k = [(εΑ/kB)(εΒ/k )]½ = (404x387)½ = 395 K δΑΒ = (δA δB)½ = (0.54 x 0.435 ) = 0.485 a 50 °C = 323 K , T*= 232/395 = 0.818 ¥ ¥ ¥ Esta situació , cua do se tie e estado esta le, se ma eja ge eralme te usa do u a "difusividad efectiva", del compo e te e la mezcla: ⎤ ⎡ n 1 1 ( yi N A − y A N i )⎥ ÷ ⎡ N A − y A ∑ N i ⎤ = ⎢∑ ⎢ ⎥ D Am ⎣ i = A D Ai i= A ⎦ ⎦ ⎣ ¥ ¥ £ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥  ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ 0 ¥ ¥ ¥ ¥ ) ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ) ¥ ¥ ¥ ¥ ¨ ) ¥ ¥ 202 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento A partir e la ecuación (3.10) ΩD = 1.594 ; y de (3.12) ΩD,P = 1.594 + (0.19)(0. 485)2/(0.818) = 1.649 Los pesos molecula es del CH3Cl y SO2 son 50.2 y 64.1 esp ectivamente, o sea, a pa ti de la ecuación (3.9) DAB [323 (150.5 + 164.1)] = 0.0018583 3 0.5 1× 3.85 × 1.649 2 = 0.083 cm2/s. El valo expe imental epo tado es 0.0769 cm2/s (e o +7.9 %). En gene al los e o es son lige amente mayo es que pa a los cálculos de viscosidad y algo meno e s que pa a las estimaciones de conductividad té mica. EJEMPLO 3.3. Calcula la difusividad A gón Oxígeno a 293 K y 1 atm, los que ti enen tempe atu as c íticas 151.2 K y 154.4 K espectivamente y p esiones c ítica s 48 y 49.7 atm. Expe imentalmente se ha encont ado un valo de 0.2 cm2/s. Soluc ión. Usando la ecuación (3.9) MA = 39.944 ; σΑ = 3.418 Å; εΑ / kB = 124 K MB = 32 ; σΒ = 3.433 Å; εΒ / k = 11 3 K σAB= 3.426 Å; εΑΒ / k = 118.5 K ; k T/εΑΒ = 2.47 ; ΩD = 1.004 DAB [293.2 (139.44 + 132)] = 0.0018583 3 1/ 2 1 × 3.426 × 1.004 2 = 0.188 cm2/s. 3.3. ECUACIONES RECOMENDADAS PARA PREDECIR PROPIEDADES DE TRANSPORTE EN LÍQUIDOS .   £     )                       )             ) £ £ £                 £           203 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 3.3.1. Viscosidad. La ecuación de Ey ing es µ = (Nh/V) e(3.8 Tb/T), donde N = Núme o de Avogad o, V es Volumen mola , h = Constante de Planck, Tb = Tempe atu a de ebullición no ma l. Esta ecuación se limita a líquidos Newtonianos y no se compo ta bien pa a mol éculas la gas o ce ca al punto c ítico. Gene almente p edice valo es dent o de u n ma gen de e o del 40 %. Sin emba go es muy útil pa a inte pola ent e datos expe imentales si se esc ibe en la fo ma B µ = Ae T conocida como co elación de And ade. A y B deben obtene se a pa ti de al menos 2 datos expe imentales. El cálculo de la viscosidad de una mezcla de composición conocida, en la cual las m oléculas no están asociadas se hace: µ 1 3 = ∑ µ i 3 xi 1 n i =1 xi : F acción mola de los componentes en la mezcla. 3.3.2. Conductividad té mica. Pa a p edeci la conductividad té mica de los líquidos Sato (Reid y She wood) e comienda la ecuación 11.05 × 10 −3 C P Tb ⎛ C ⎜ k= 1 ⎜C ⎝ b M 2 C PbT ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 4 3 k = Conductividad té mica W/m.K.; Cp = Capacidad calo ífica mola , J/gmol.K. C = Concent ación mola total, gmol/cm3 T = Tempe atu as absolutas en Kelvin. Aquí el subíndice b se efie e a condiciones en el punto no mal de ebullición. 3.3.3. Difusividad. Pa a la difusión de moléculas g andes y esfé icas o pa tículas en líquidos, como deci moléculas de políme os o pa tículas coloidales, la ecuación de Stokes E instein da buenos esultados                                                                                                                                          204 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento D AB µ B 1 = κ BT 6πR A donde RA es el radio de la molécula difundente A. Para la difusión de moléculas de tamaño normal no existe teoría que rovea una concordancia razonable con la e x erimentación. ay relaciones em íricas que dan buenas redicciones. La más con ocida es la de Wilke Chang D AB = 7.40 10 −8 (φ 1 DA = Di usividad, cm2/s. µ = Viscosidad de la solución cP. VA = Volumen molar d el soluto como líquido a la temperatura normal de ebullición, en cm3/gmol. Vale 75.6 para agua como soluto. φ = parámetro de asociación para el solvente. M = peso molecular del solvente. T = Temperatura en grados kelvin. El parámetro φΒ t oma el valor de 1 para solventes no asociados como benceno, éter etílico, heptan o, octano, etc.; 1.5 para etanol; 1.9 para metanol, y 2.6 para agua como solvent e. La ecuación de Wilke Chang provee estimaciones que generalmente están dentro del 10 al 20 % de los valores experimentales. La ecuación anterior da valores de DA cuando A está presente en bajas concentraciones, y no es simétrica (DA ≠ D A). VA se obtiene por el método aditivo de Le as, tal como se explica para la tabla 3.1. Para la mayoría de las soluciones DA varía con la concentración y no existen ecuaciones que predigan esta variación satis actoriamente. Sin embargo, nos permite predecir la variación con la temperatura el notar que para los mism os componentes ⎛ D AB µ ⎞ ⎛ D AB µ ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ T ⎠1 ⎝ T ⎠ 2 3.4. DIFUSIVIDAD EN SÓLIDOS. Un componente en una mezcla sólida puede difundi se a t avés de ot o a una veloc idad medible, si hay un g adiente de concent ación conveniente y la tempe atu a es M ) 2 T µV A0.6     ) )            (   ) )           )     ( )   ) ) )  ) 205 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento suficientemente alta. Los efectos de difusión en sólidos son muy impo tantes en metalu gia así: La p ofundidad a la cual el ca bón puede penet a en un tiempo d ado desde la supe ficie de un ace o sometido a endu ecimiento es gobe nado po l as leyes de difusión. La velocidad de eacción en algunos p ocesos químicos está dete minada po la difusión en sólidos, pe o el núme o de aplicaciones de impo tancia en Ingenie ía Química es meno que las elacionadas a la difusión en líqu idos y gases. El o den de magnitud está ent e 10−9 cm2/s y 10−1 cm2/s según el s istema. Los coeficientes de difusión pa a una pa eja de sólidos no pueden se p edichos exactamente po la teo ía, se puede hace una estimación cualitativa usa ndo la teo ía de Ey ing, en la cual se postula que la difusión es un p oceso act ivado. Un inte cambio de átomos ocu e en la est uctu a de un sólido cuando los átomos de un plano dado vib an al ededo de sus posiciones de equilib io. Una f acción estadística de éstos vib a con ene gías mayo es que la de activación y s altan a nuevas posiciones de equilib io, a "aguje os" adyacentes en la ed est u ctu al; la velocidad de t ansfe encia de masa es di ectamente p opo cional a ⎛ − ∆U ⎞ DAB = D0 exp⎜ ⎟ ⎝ T ⎠ que es una fo ma típica de desc ibi un p oceso activado y que nos indica que la difusividad aumenta ápidamente con la tempe atu a. EJERCICIOS 1. P ediga el coeficiente de difusión del vapo de agua en ai e a 2 atm y 75 °C si el coeficiente de difusión a 1 atm y 0 °C es 0.219x10−4 m2/s. 2. Estime la vi scosidad del ai e y del agua a 53 °C a pa ti de los siguientes datos expe iment ales: pa a ai e a 320 K, µ = 1.9391x10−5 Pa.s; pa a agua a 273 K, µ = 1.79x10−3 Pa.s 3. Estime la viscosidad de ai e a 40 °C y 1 atm usando una co elación adec uada; compa e la espuesta con el valo expe imental de 19.11x10−6 N.s/m2. 4. Ca lcule la conductividad té mica de ai e y de a gón a 40 °C y 1 atm usando la ecua ción de Chapman Enskog. Calcule la conductividad té mica del ai e a las mismas c ondiciones, conociendo que la capacidad calo ífica Cp es 1005 J/kg.K. 5. La difu sividad másica del sistema Helio Nit ógeno es 7.66x10−5 m2/s a 323 K y 1 atm.                                                                                                                                                                                             206 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento (a)Use la ecuación basada en la teo ía de Chapman Enskog (3.9) pa a encont a la difusividad a 413 K, 600 K, 900 K, y 1200 K. (b) Use el dato expe imental y la integ al de colisión pa a estima los coeficientes de la pa te (a). (c) Repita ( b) po el método simplificado usando exponentes 1.75 y 1.8 pa a co egi las tem pe atu as. (d) Compa e todas las espuestas con el esultado expe imental. 6. El coeficiente de difusión del sistema Clo u o de Metilo Dióxido de Azuf e es 7. 7x10−6 m2/s a 1 atm y 323 K. Compa e este esultado con el p edicho po la teo í a de Chapman Enskog. El punto de ebullición no mal en K es 249 y 263 espectivam ente. 7. P epa e un g áfico de la viscosidad del agua ent e 273 K y 373 K a pa t i de datos de la lite atu a (1.79x10−3 y 0.282x10−3 Pa.s espectivamente). Use la co elación de And ade pa a ext apola a 420 K. El valo expe imental es 0.18 5x10−3 Pa.s. 8. Halle la difusividad másica del sistema Helio 1 P opanol a 423 .2 K y 5 atm usando la co elación Fulle , Schettle y Giddings. El valo expe i mental es 1.352x10−5 m2/s. 9. Compa e el coeficiente de difusión del agua a t av és de 1 P opanol (CH2CH2CH2OH) con ese del 1 P opanol difundiendo a t avés del a gua, cada uno a dilución infinita, a 288 K. Pa a 1 P opanol, la viscosidad a 288 K y su peso molecula son 2.6 cP y 60.09. Pa a el agua, son 1.14 cP y 18.015 e spectivamente. 10. Una celda de A nold en estado estable se usa pa a dete mina la difusividad de alcohol etílico en ai e a 297 K y 1 atm. Si el esultado coinc ide con el valo obtenido a pa ti de la ecuación de Hi schfelde et al (3.9), y la celda tiene á ea t ansve sal 0.82 cm2 y t ayecto ia de difusión de 15 cm, ¿Q ué caudal de etanol debe suminist a se a la celda pa a mantene un nivel de líqu ido constante? A 297 K, la p esión de vapo de etanol es de 53 mm Hg y su g aved ad específica es 0.79.                                                                                                                                                                                               FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 207 Capítulo 4. PROCESOS EN ESTADO INESTABLE. 4.1. SOLUCIONES ANALÍTICAS. Estudia emos el mecanismo de t ansfe encia que su ge cuando el campo de tempe atu as (concent aciones) en la egión de conducción de pende del tiempo. El balance gene alizado pa a fluido incomp esible y p opiedade s de t anspo te constantes (v⋅∇)Ψ + ∂Ψ/∂t = β∇2Ψ + Φ (2.40) olamente analizaremos casos de difusión y conducción. En ausencia de generación la ecuación anterior se reduce a ∂Ψ/∂ t = β∇ 2Ψ El operador Laplaciano tomará la forma acorde con la simetría. Para gradientes u nidimensionales tendremos: Coordenadas rectangulares ∇2Ψ = ∂ 2Ψ ∂z 2 Coordenadas cilíndricas, gradientes radiales ∇2Ψ = El t anspo te molecula en estado inestable, ya sea t ansito io o pe iódico, es impo tante en muchas aplicaciones de t ansfe encia de calo , masa, y cantidad de movimiento. El estudio de los fenómenos t ansito ios de todo tipo es de inte és en los p oblemas de puesta en ma cha y cont ol. El estado inestable apa ece tam bién en la dete minación del tiempo de p ocesado de muchos a tículos sólidos. Po ejemplo, el tiempo de cu ado de objetos hechos de plástico                                       1 ∂ ⎛ 2 ∂Ψ ⎞ ⎜ ⎟ 2 ∂ ⎝ ∂ ⎠               1 ∂ ⎛ ∂Ψ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ∂ ⎠ Coo denadas esfé icas, g adientes adiales ∇ 2Ψ =                                                         0   FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 208 moldeado o de caucho, dependen f ecuentemente del tiempo eque ido pa a que el c ent o alcance alguna tempe atu a especificada sin causa daño té mico al mate ia l de la supe ficie. La teo ía de la conducción no estable tiene también aplicaci ón en el t atamiento té mico y templado de metales. Un tipo de p oblema lige ame nte dife ente se ca acte iza po la va iación pe iódica de la tempe atu a. Las m áquinas de combustión inte na, los comp eso es, las a mas automáticas, gene an c alo pe iódicamente; la disipación de éste calo causa fluctuaciones pe iódicas de tempe atu a en los al ededo es. Ot o ejemplo es el efecto de las va iaciones diu nas de la tempe atu a atmosfé ica en est uctu as g andes como puentes o pequ eñas como plantas en c ecimiento. Existen pues, en gene al, dos clases dife ente s de p ocesos no estables. Uno es un t ansito io, donde el campo de tempe atu a, concent ación o velocidades, cambia con el tiempo, desde una condición inicial, hacia un eventual estado estable. El ot o p oceso común es uno pe iódico en el cual la tempe atu a en cada punto de la egión sigue va iando pe iódicamente con el tiempo. Este es el caso ap oximado en las capas supe ficiales de la tie a, debido a las va iaciones dia ias y anuales de las condiciones atmosfé icas. El c omponente pe iódico anual tiene 365 días mient as que el dia io tiene 24 ho as. Ot o ejemplo es la pa ed del cilind o de un pistón du ante la ope ación cíclica de una máquina de combustión inte na. El pe íodo es de 10−3 min. pa a una f ecue ncia de 1000 pm. De ot a pa te, una alta f acción de las ope aciones ingenie il es de t ansfe encia de masa, involuc an t ansfe encia ent e dos fases una de las cuales está dispe sa como gotas o bu bujas en la ot a. Un ace camiento al análi sis teó ico de estos p ocesos asume que las gotas o bu bujas de la fase dispe sa pueden mi a se como esfe as, en las cuales la t ansfe encia ocu e po difusión molecula no estaciona ia. Algunos p oblemas de secado p esentan también esta g eomet ía. Los p ocesos de t anspo te en estado no estable se ca acte izan po qu e la concent ación va ía con el tiempo, lo que hace que, aunque sea flujo unidim ensional debamos tene más de una va iable independiente. Pa a halla la solució n analítica se dispone de va ias técnicas matemáticas tales como la sepa ación d e va iables, la t ansfo mada de Laplace, las t ansfo madas integ ales, la va iab le compleja, la combinación de va iables, se ies de Fou ie , etc. El método de c ombinación de va iables pe mite educi la ecuación dife encial en de ivadas pa ciales a una simple ecuación dife encial o dina ia; este p ocedimiento solamente es posible cuando dos condiciones límite pueden euni se en una sola. Es p ecis o tene en cuenta que éste tipo de sistema jamás tiende a un estado estaciona io límite. El método de sepa ación de va iables pe mite educi la ecuación dife e ncial en de ivadas pa ciales a dos ecuaciones dife enciales o dina ias. Este tip o de sistema alcanza un pe fil límite de concent aciones (tempe atu a o velocida d) cuando el tiempo tiende a infinito, es                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 209 deci , el sistema tiende a estado estaciona io. El método más di ecto pa a esol ve p oblemas de conducción de calo (o t ansfe encia difusiva de masa) que p es enten mas de una va iable independiente es el de sepa ación de va iables o métod o del p oducto, siemp e y cuando sea aplicable. Este método de solución de ecuac iones dife enciales pa ciales da luga a un conjunto de ecuaciones dife enciales o dina ias y al menos uno de estos p oblemas auxilia es es el llamado p oblema del valo p opio y sus soluciones son las funciones p opias. La solución complet a del p oblema de conducción de calo es entonces la suma lineal de todas las so luciones elementales ap opiadas de los p oblemas auxilia es. Los coeficientes de expansión asociados con esta sumato ia no se conocen y se dete minan est ingie ndo la solución pa a que satisfaga la condición de f onte a no homogénea (o cond ición inicial) del p oblema o iginal. La p opiedad de o togonalidad de las funci ones p opias juega un papel impo tante en la dete minación de estos coeficientes de expansión desconocidos. La o togonalidad de las funciones fue investigada o iginalmente po Stu m y Liouville en 1536, po esta azón los p oblemas de valo p opio se llaman algunas veces p oblemas de Stu m Liouville. El método de la t ansfo mada de Laplace es esencialmente un método de ope ado . Es el más pode oso de éstos t es, pa ticula mente pa a los p oblemas más complicados. Dependiendo de las condiciones límite y el método utilizado, tienen una de dos fo mas estánd a : se ies de la función de e o o sus integ ales elacionadas, las que son más útiles en la evaluación numé ica pa a tiempos co tos o sea en las etapas inicia les de la difusión; o en la fo ma de se ies t igonomét icas, las cuales conve ge n más satisfacto iamente pa a valo es g andes del tiempo. Cuando la difusión ocu e en geomet ía cilínd ica las se ies t igonomét icas son eemplazadas po se i es de funciones de Bessel. 4.1.1. Método de sepa ación de va iables. Pa a la conducción de calo en estado no estable sin gene ación, el balance gene alizado en sólidos, ecuación (2.42a) se educe a la llamada ecuación de Fou ie : ∇ 2T = 1 ∂T α ∂t ∂ 2 Ψ 1 ∂Ψ = para Ψ(z,t) = (z)G(t) ∂z 2 β ∂t (4.1) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ En un proceso unidimension l, l form istem es: • Simetrí pl n . de est ecu ción según l geometrí del s                                                                                                                                                        ¡        ¡                             ¡ ¡               ¡         ¡                    ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 210 • Simetría cilí drica. ∂ 2 Ψ 1 ∂Ψ 1 ∂Ψ para ΨC(r,t) = C(r)G(t) = + ∂r 2 r ∂r β ∂t • Simetría esférica. (4.2) (4.3) E esta simetría, hacie do que la varia le depe die te, llámese T o cA se modifi que: Ψ = f(r)/r, f (r ) 1 ∂ f (r ) ∂Ψ =− 2 + ∂r r r ∂r ∂ ⎡ 2 ∂ Ψ⎤ ∂ ⎡ ∂ f (r ) ⎤ ⎡ ∂ f (r ) ∂ 2 f (r ) ∂ f (r ) ⎤ r = − +r + = − f (r ) + r ∂r ⎢ ∂r ⎥ ∂r ⎢ ∂r ⎥ ⎢ ∂r ∂ r2 ∂r ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ por lo ta to ∂ ⎡ 2 ∂ Ψ⎤ ∂ 2 f (r ) =r r ∂r ⎢ ∂r ⎥ ∂ r2 ⎣ ⎦ Además ∂ Ψ 1 ∂ f (r ) = ∂t r ∂t La ecuación (4.3) se transforma en ∂ f (r ) ∂ 2 f (r ) =β ∂t ∂ r2 • Simetría pla a: Reemplaza do Ψ(z,t) en (4.1) nos lleva a la relación: 1 d 2 1 dG (= ±γ 2 ) = 2 F dz βG dt Como resultado de la defi ició de y de G, el lado izquierdo de la igualdad se rá fu ció solo de z y el lado derecho solo de t. Como z y t so i depe die tes, i gú lado de la ecuació será fu ció i de z i de t, es decir, am os lados so iguales a u a co sta te γ2 o −γ2, así:   ¥ ¥  ¥ ¥ 0 1 ∂ ⎛ ∂Ψ ⎞ ∂ 2 Ψ 2 ∂Ψ 1 ∂Ψ = 2 ⎜ 2 = + ⎟ pa a Ψ (r,t) = ∂ β ∂t ∂r (r)G(t) 2 r ∂r ⎝ ∂ ⎠ ¥ ¥  ¥ ¥ 0 ¥   ¥ ¥  ¥  ¥ ¥    ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥      ¥  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 211 F’’= γ2F ; G’= αγ2G. Las soluciones son: para +γ2: F ( z ) = C1e γz + C 2 e −γz para −γ2 F ( z ) = C 3 e iγz + C 4 e iγz = C 3 cos(γz ) + C 4 sen(γz ) para γ2 G (t ) = C 5 e αγ 2 t Las formas anteriores anticipan las diferentes clases de procesos a encontrar. L a variable de separación γ2 puede ser real, ima inaria o compleja. La selección se basa en las condiciones ue deben ser satisfechas en una circunstancia dada. Para γ2 real, la dependencia de z puede ser e ponencial (+γ2) o periódica (−γ2), esta última permite una e pansión por series de una condición inicial. El térmi no acompañante indica la dependencia de t ue puede ser el crecimiento o decreci miento e ponencial del campo de temperaturas (concentraciones) para una condició n límite impuesta. Para γ2 ima inario, la dependencia con el tiempo será puramen te periódica, y la dependencia con z para esta selección resulta en una combinac ión de comportamientos periódicos y e ponenciales en z. Para γ2 complejo, los co mportamientos dependientes de z y de t tienen ambos efectos periódicos y e ponen ciales. En conclusión γ2 se selecciona de acuerdo al proceso de interés como se verá más adelante. • 1 FC Simetría Cilíndrica: El reemplazo de ΨC(r,t) en (4.2) nos da la siguiente relaci ón: ⎞ 1 dG 2 ⎟= ⎟ βG dt = γ ⎠ siendo nuevamente γ2 la constante de separación o valor propio. • 1 FS Simetría Esférica: La ecuación (4.3) en términos de TS(r,t) se convierte en ⎞ 1 dG 2 ⎟= ⎟ βG dt = γ ⎠ Las fo mas de FS depende án, como en los casos ante io es, de los p ocesos pa ti cula es. 4.1.2. T ansfo mada de Laplace. ¡ ¡   ¡   ¡ ¡     ¡ ¡ ¡      ¡ ¡ ¡ Este a lo = α s, T método ha sido usado en la solución de mucha clase de t ansito ios. Pa a us en la solución de la ecuación de Fou ie asumimos que las p opiedades k/ρCP perm necen const ntes en l región. Si tr j mos en coorden d s c rtesi n = T(x,y,z,t). Este             ⎛ d 2 FS 2 dFS ⎜ ⎜ d 2 +     ⎛ d 2 FC 1 dFC ⎜ ⎜ d 2 + d ⎝ d ⎝ " ! "  " !  " $   $ $ $     $ $     "   $ $     FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 212 Aquí p puede ser complejo y su p rte re l es positiv y suficientemente gr nde p r que l integr l converj . Así, si f(t) = e2⋅t, p de e ser m yor que 2. De em os tener siempre presente que sí como l función origin l es función de t, su t r nsform d será función de p. L integr l, un función de p, es l tr nsform ci ón de T(x,y,z,t) T (x,y,z). Así, l s tr nsform d s de funciones corrientes son construid s fácilmente efectu ndo l integr l t l como en los siguientes ejempl os: si T = 1, T = ∫ e − pt dt = 1/p; 0 ∞ si T = e t , T = ∫ e − pt e t dt = ∫ e −( p − )t dt = 0 0 ∞ ∞ si T = sen(wt), T = ∫ e − pt sen(wt )dt = o ∞ w p + w2 2 4.1.2.1. Propied des. Algun s de l s propied des más corrientemente utiliz d s de l tr nsform d de L pl ce son: i. L[T1 + T2] = L(T1) + L(T2). Esto es, l tr nsform d de un sum de funciones es un sum de tr nsform d s. ⎛ ∂T ⎞ + ii. L⎜ ⎟ = pL(T ) − T0 = pT ( x, y, z ) − T ( x, y, z ,0 ) ⎝ ∂t ⎠ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 1 p− ¡ método ofrece con frecuenci nálisis simples p r muchos mec nismos físicos que se h cen difíciles de n liz r p rtir de l sep r ción de v ri les. L vent j inici l de un tr nsform d de L pl ce en cu lquier circunst nci p rticul r es que remueve l deriv d respecto l tiempo. El result do es un ecu ción dife renci l ordin ri en términos de T (x,y,z), ll m d l tr nsform d de T(x,y,z,t ). L s condiciones inici les y de contorno se plic n l solución de l ecu ci ón diferenci l result nte en términos de l función T . L solución de l formul ción origin l se recuper entonces por inversión de l solución tr nsform d T (x,y,z) de nuevo h ci T(x,y,z,t). Est tr nsform ción gener lmente se h ce us n do l s t l s existentes en l liter tur . L tr nsform d de L pl ce L[T(x,y,z, t)] de T(x,y,z,t), escrit en cu tro not ciones usu les es L[T ( x, y, z , t )] = L(T ) = T ( x, y, z ) = ∫ e − pt T ( x, y, z , t )dt = T ( p ) 0 ∞ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 213 donde T(x,y,z,0+) = límite de T cuando t tiende a 0+. ⎛ ∂ nT ⎞ ∂ n T iii. L⎜ n ⎟ = n se aplica también pa a y e z. En té minos de la integ al es ⎜ ∂x ⎟ ∂x ⎠ ⎝ n ∂n ∞ − pt ∂ T e dt = n ∫ e − pt Tdt . ⎮ ∂x n ∂x 0 0 ∞ vi. L e −bt T = T ( p + b ) = ∫ e −( p +b )t T ( x, y, z , t )dt 0 [ ] 4.1.2.2. T ansfo mación e inve sión. Como ejemplo pa a T(z,t) aplicamos las eglas iii e ii ante io es: ⎛ ∂ 2T ⎞ ∂ 2 ∂2T L⎜ 2 ⎟ = 2 e − pt T ( z , t )dt = 2 ⎜ ∂z ⎟ ∂z ⎮ ∂z ⎝ ⎠ 0 ∞ ⎛ ∂T ⎞ ⎠ ∞ ( ) ( ) 0 La ecuación subsidia ia a la de Fou ie , en té minos de T (z) se á: ∂ 2 T ( z) p T ( z ,0 + ) − T ( z) = − α α ∂z 2 T(z,0+) es l condición inici l t l como se especific en el teorem ii. − pt ∂T L⎜ dt = pL(T ) − T z ,0 + = pT ( z ) − T z ,0 + ⎟ = ⎮e ∂t ⎝ ∂t ¥ ¥ ¥ ¡ ¡   ¥     ¥ ¡   ¤       ¥ ¥ ¥    ¡       ¥ ¥ ¥   ¤ ¡ ¥ Para T T ⎡t ⎤ ormada Dada u sitiva Aquí T 0 ∞ ∞ ta que se puedan intercambiar e orden de integración y diferenciación. 1 iv. L ⎢ ∫ T ( x, y, z , t )dt ⎥ = L(t ) = . p ⎣0 ⎦ p Esto es, la tra sf de la i tegral de T so re u i tervalo de tiempo e tre 0 y t es T /p. v. a fu ció T(x,y,z,t), do de t se reemplaza por Kt y K es u a co sta te po múltiplo del tiempo t, 1 1 L[TK ( x, y, z , Kt )] = TK = T ( p / K ) K K K 1 ⎛ pt ⎞ = ⎮ exp⎜ − ⎟T ( x, y, z , t )dt K ⎝ K ⎠                     FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 214 L s condiciones de fronter t m ién de en tr nsform rse p r formul r complet me nte l solución de l función de tr nsform ción T (z). Est tr nsform d se invi erte entonces p r d r l solución T(z,t). L rel ción invers , en términos de T (z), es 1 T ( z , t ) = e λt T ( λ ) dλ ⎮ 2i γ −i∞ γ +i∞ A uí λ es a variab e comp eja de integración y γ debe ser suficientemente rand e para ue todas las sin ularidades de T (λ) caigan a a izquierda de a ínea ( γ − i∞, γ + i∞). 4.1.2.3. Sólido semiinfinito – Método de la transformada de Laplace. Como un ejemplo de la aplicación de la transformada de Laplace, problema de la difusión en un medio semiinfinito, z > 0, cuando tiene a concentración constante cAS, y la concentración inicial de todo el medio. Debemos pues resolver el si uiente modelo: ∂ ∂t ∂ z2 (i) consideremos el el límite se man es cero a través cA ∂ 2cA = D AB cA = cAS para z = 0, t > 0 ; cA = 0 para z > 0, t = 0; cA = 0 para t > 0 y z → ∞ Sabiendo ue L[T ( , y, z , t )] = L(T ) = T ( , y, z ) = ∫ e − pt T ( , y, z , t )dt = T ( p ) 0 ∞ Multiplicamos ambos lados de la ecuación (i) por e−pt e inte ramos con respecto a t entre 0 e ∞; obtenemos: ∞ 2 e − pt ∂ c A dt = D e − pt ∂ c A dt ⎮ AB ⎮ 0 ∂t ∂ z2 0 ∞ Asumiendo que e orden de a integración y a diferenciación pueden intercambiar se, y esto se justifica para as funciones que tratamos, a segunda integra ser á: 2 ∂ 2cA ∂ 2 − pt − pt ∂ c A e dt = e c A dt = ⎮ ⎮ ∂ z2 ∂ z 2 0 ∂ z2 0 ∞ ∞ ¤ ¤ La otra integra cA a hacemos por partes: u = e−pt ; du = −pe−pt ; dv = dcA , v = ¡ ¡ ¤ ! ¤ ¤ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ! " ¤ ¡ ¤ ¡ ¡ ¡ ¡ ! ¡ ¡ ¤ ¡  ¡ ¡ "  ¡ ¡ ¤ ¡ ¤ ¤ ¡ ! ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¤ ¡ ¤ ¡ ¡ ¤   " ¡ ¡ ¡  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento ∞ e − pt ∂ c A dt = e − pt c ⎮ A 0 ∂t 215 [ ] ∞ 0 + p ∫0 c A e − pt dt = pc A ∞ E primer sumando se cance a pues a condición inicia hace cero a cA en t = 0, y e término exponencia se hace cero para t → ∞. La ecuación diferencia se tra nsforma entonces en: pc A = D AB ∂ 2 c A pc A ∂ 2c A − =0 o ∂ z 2 D AB ∂ z2 ∫ ∞ 0 c AS e − pt dt = c AS = C2 p c AS − mz e p por tanto c A = Si inicia mente a concentración no fuera 0 sino cAo, constante, un cambio de va riab e ta como hacer C = cA − cAo nos produce e resu tado c A − c Ao z = erfc c AS − c Ao 2 D AB t (4.51) ¤ ¤ ¤ La tab a 2.2 de Crank, numera 8, nos da fc z 2 D AB t a transformada inversa: c A = c AS er ¤ Esta ecuación tiene como so ución: c A = C1e mz + C 2 e − mz ; m = (p/DAB)1/2 E hecho de que para z → ∞ se debe mantener a condición inicia hace C1 = 0. La c ondición ímite para z = 0 a transformamos también: ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento 216 4.2. MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES. 4.2.1. Transporte de ca or en estado tra nsitorio a través de una p aca p ana. Consideremos una p aca p ana só ida que tiene espesor L, y en e tiempo t = 0 es tá a temperatura uniforme T0. Para t > 0, a superficie en z = 0 se mantiene a u na temperatura constante T1 mientras que a superficie contraria permanece a tem peratura constante T2. En cua quier punto z e f ujo de ca or y a temperatura d entro de a p aca dependerán de tiempo. A partir de un ba ance de energía térmi ca se obtiene a siguiente ecuación genera izada de energía en función de a tem peratura T de f uido (2.42). Esta ecuación es úti para ca cu ar os perfi es d e temperatura en un sistema tridimensiona con o sin generación (originada en ma nantia químico, nuc ear, e éctrico, viscoso, etc.), en estado estab e o transit orio: ρC P DT = k∇2T + Φ H Dt donde DT/Dt es la derivada substancial de la temperatura, que es la derivada tot al con respecto al tiempo para un recorrido que sigue el movimiento del fluido, es decir cuando dx/dt; dy/dt; dz/dt; son simultáneamente vx; vy; vz, las compone ntes de la velocidad del observador y, respectivamente, del fluido. Esta ecuació n se toma como punto de partida para la mayor parte de los tratamientos de trans misión de calor. Para sólidos, la densidad puede considerarse constante y además v = 0: ∂T ρC p = k∇ 2 T + Φ H (4.4) ∂t La ecuación diferencial asociada a este problema unidimensional será, teniendo presente que aquí el término de acumulaci ón no desaparece, pero sí el de generación y los gradientes en x e y ρC p ∂T ∂2T =k 2 ∂t ∂z Sabiendo que la difusividad té mica se define como α = k / ρ.Cp: ∂T ∂2T =α ∂t ∂ z2 (4.5) ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤   ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 217 θ= T − T2 T1 − T2 (4.6) el valor de θ será uno en z = 0 y cero en z = L. Resultados comparables se obten drían definiendo η=1 − θ, pero la solución matemática es más sencilla si usamos θ pues el problema cae en una clase para la cual hay procedimientos enerales de prueba y solución. La primera etapa es transformar la ecuación diferencial de l a variable T a la variable θ con T = T2 + θ (T1 − T2). ∂ T ∂ θ (T1 − T2 )… ∂ T = 0 + ∂ θ (T1 − T2 ) = 0+ ∂ t ∂ t ∂ z ∂ z ∂ 2T ∂ 2θ (T1 − T2 ) = ∂z 2 ∂z 2 Y de la ecuación (4.5): α (T1 − T2 ) ∂ 2 θ ∂θ = (T − T ) ∂ z2 ∂t 1 2 (4.7) ∂ 2 θ ∂θ α 2 = ∂t ∂z Si el flujo de c lor fuer est le (lo que ocurrirá en un esp cio de tiempo sufi cientemente l rgo) el l nce se reduce ∂ 2θ ∞ =0 (4.8) α ∂z 2 l cuál fácilme nte se resuelve p r d r: T = C1z + C2. L s const ntes C1 y C2 pueden ev lu rse p rtir de l s condiciones límite que nos indic n l s temper tur s de l s super ficies en z = 0 y z = L. Aplic ndo est s condiciones se o tiene un expresión p r l distri ución de temper tur s en l pl c : ¡ Est ecu ción se conoce como l ecu ción unidimension l de difusión y reconocemo s en ell un ecu ción diferenci l p rci l de segundo orden, line l no homogéne . P r resolver ecu ciones diferenci les p rci les por el método de sep r ción d e v ri les, gener lmente es conveniente us r v ri les dimension les definid s en form t l que se n cero o l unid d en los límites del sistem . Así, l eleg ir ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ! ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 218 T − T1 z = = 1−θ∞ T2 − T1 L (4.9) ue podemos escribir como θ∞ = 1 − z , independiente del tiempo. L La solución eneral puede escribirse en la forma θ = θ∞ − θt (4.10) Donde θt es la contribución transitoria a θ; se hace cero cuando t tiende a infi nito y al comienzo. La ecuación (4.10) se puede reescribir como θt = θ∞ − θ Donde observamos ue θt es una medida del cambio de temperatura faltante para al canzar el estado estable. En la fi ura 4.2 vemos ue θt es la diferencia entre l as curvas para θ y θ∞. Condiciones límite: Condición inicial: t = 0 ; T = T0; 0< z<L (4.10a) θ = θ 0= T0 − T2 T1 − T2 ; θt = θ∞ − θ0 T0 puede o no ser función de z. En este caso es constante y diferente de cero. C ondición límite 1: z = 0 ; T = T1; t ≥ 0 ; θ = 1 = θ∞ ; θt = 0 Condición límite 2: z = L ; T = T2; t ≥ 0 ; θ = 0 = θ∞ ; θt = 0 Substituyendo (4.10) en (4.7): ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ! ¡ ¡  ¡ ! ¡ ¡ ¡  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 219 ⎡ d 2θ∞ ∂ 2 θt ⎤ ∂θ α⎢ 2 − 2 ⎥ = 0 − t ∂t ∂z ⎦ ⎣ dz (4.11) Resta do (4.11) de (4.8) o te emos α ∂ 2θt ∂θt = ∂t ∂ z2 (4.12) Podemos reducirla a dos ecuaciones diferenciales ordinarias ue se resuelven por los métodos usuales. Para ello postulamos ue una solución de la ecuación (4.12 ) puede escribirse como el producto de dos funciones, una de las cuales, F(z), d epende solo de z, y la otra, G (t), depende sólo de t; θt(z,t) = F(z)⋅G(t) dG( t ) ∂θt = F ( z) = F ( z ) G ′( t ) ∂t dt (4.13) Donde la prima indica diferenciación con respecto a la variable independiente. C omo solo una variable independiente está involucrada, se usan derivadas totales. Similarmente ∂ 2 θt d 2 F ( z ) = G( t ) = F " ( z ) G( t ) ∂ z2 dz 2 Reemplazando en (4.12) αF ′′( z ) G( t ) = F ( z ) G ′( t ) Al dividir por αF(z) G(t), el l do izquierdo será solo función de z y el derecho será solo función de t. P r que se m nteng l igu ld d es neces rio que los dos términos se n igu les un mism const nte, pues l s v ri les z y t son independientes entre si: F " ( z ) G ′( t ) = = const nte = K F ( z ) αG( t ) donde K es un const nte p or determin r. C d igu ld d nos d un ecu ción diferenci l ordin ri : (4.14) G ′( t ) − αKG( t ) = 0 F " ( z ) − KF ( z ) = 0 (4.15) (4.16) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 220 Además, como θt(0,t) = 0 entonces, F(0) = 0 , pues de lo contrario se re ueriría ue G(t) = 0, lo ue implica ue θt(z,t) = 0 para todo valor de z y t. En este caso T1 = T2 = T0 no ocurriendo transferencia de calor. Sería una solución trivi al. Por razones similares, como θt(L,t) = 0 = F(L)⋅G(t), entonces F(L) = 0. La e cuación (4.16) con estas condiciones límite homo éneas: F"(z) − K F(z) = 0 F(0) = 0 ; F(L) = 0 confi ura así un problema de valor propio o problema de Sturm Liouville ue tend rá solución no trivial solamente para ciertos valores de un parámetro ue llamam os λn, con n = 1,2,3,... en donde os λn son os va ores propios (o números cara cterísticos) y tiene so uciones trivia es (esto es F ≡ 0) cuando λ no es un va o r propio. Las so uciones no trivia es F(λn,z) son as amadas funciones propias . Si F(λm,z) y F(λn,z) representan as dos funciones propias diferentes correspo ndientes a os va ores propios λm y λn respectivamente, se puede estab ecer a p ropiedad de ortogona idad de as funciones propias en a región 0 ≤ z ≤ L por a re ación L 0 ∫ F ( λm , z ) ⋅ F ( λ n , z ) ⋅ dz = { λn donde N es a integra de norma ización definida como L 0 ∫ [F (λ n , z )] dz = N 2 Ana izamos a continuación e va or de K. i) Suponemos K = 0 En ese caso F" = 0; F'= A; F(z) = Az +B; F(0) = 0 = B entonces F(z) = Az; F(1) = 0 =A y F(z) ≡ 0 Por tanto K = 0 no es un valor propio de esta ecuación. ii) Suponemos K > 0 ; K = λ 2 : λ un número rea Ahora F" λ2F = 0 F = A exp(λz) + B exp(−λz) = C cosh(λz) + D senh(λz) F(0) = 0 = C pues cosh(0) = 1 y senh(0) = 0; entonces F = D senh(λz ); F(L) = 0 = D senh(λL); Como λL es diferente de cero por p anteamiento, senh(λ L) es diferente de cero y D = 0 o que hace F(z) ≡ 0. No ha valores propios pos itivos para esta ecuación. ¤ 1 ¤ 0 cuando λm diferente de N cuando λm igua a λn ¤ ¤ ¤ ¡   ¤  ¡ ¡ ¤¤ ¤ ¤ ¤ ¡ ¡ ! ¤ ¤ ¡ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤   ¤ ¡ ¤ ¤ ¤ ¤ ¡ ¤  ¤ ¤ ¡ ¤ ¤ ¡ ¡ ! ¤ ¤ ¡  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt calor masa cantidad de movimiento 221 iii) Resta estudiar K < 0. K = −(λ2), λ es un número rea . F = A exp(iλz) + B ex p(−iλz) = C cos(λz) + D sen(λz) F" + λ2F = 0 F(0) = 0 = C pues sen 0 = 0 y cos 0 = 1. F(z) = D sen(λz) F(L) = 0 = D sen(λL) D no puede ser cero pues θt varía co n z. Por tanto sen(λL) = 0. Sabemos que a función seno es cero a interva os de π y habrá un número infinito de estos untos. La enésima raíz es λnL donde λnL = nπ ; n = 1,2,3,...; entonces, las funciones ro ias son, omitiendo la constante D que no es necesaria, F(λn,z) = sen(λnz), y e conjunto de va ores propios λn son as raices de sen(λnL) = 0, es decir λn = nπ/L; n = 1, 2, 3 ... La ecuación (4.15) se resuelve con los mismos valores de Kn = −λn2: G( t ) = C exp( − λn 2 ⋅ α t ) (4.17) O serv mos que el v lor de Kn concuerd con l experienci físic de que θt tien de a cero (θ tiende a θ∞) cuando el tiempo crece. En conclusión hay una solución de la ecuación (4.12) para cada valor de n, la cual tiene la forma: 2 2 θtn = D sen(λn z ) C exp( − λn α t ) = An sen(λn z ) exp( − λn αt ) [ ][ ] [ ][ ] ∞ ∞ [ ][ ] (4.18) P r encontr r l const nte An us mos l condición inici l: en t = 0. ; θt = θ∞ − θ0 = 1 − z/L θ0 ; Gn (0) = 1 ; entonces: ∞ ∞ z⎞ ⎛ (4.19) θt ( z ,0) = θ∞ − θ0 = ⎜ 1 − ⎟ − θ0 = ∑ An Fn = ∑ An sen( λn z ) ⎝ b⎠ 1 1 Tenemos pues que F(z) se puede exp esa como una combinación lineal in finita de funciones sen(nπz/L) las cuales, como ya se vio, son las funciones ro ias de un roblema de Sturm Liouville y or tanto forman un sistema ortogonal e n la región 0 ≤ z ≤ L. Para [ ¡ Donde An = D⋅C. Es propied d de l s ecu ciones diferenci les line les el que cu lquier com in ción de soluciones es t m ién un solución. Est propied d se m nt iene p r un sum infinit de tod s l s soluciones: 2 θt = ∑ An Fn Gn = ∑ An sen( λn z ) exp( − λn α t ) 1 1 ¡  ¤ ¡ ¡ ¡ ¤ ¡ ¡ ¤ ¡ ¡   ¤   ¡ ¡ §   rajales Transferencia molecular de  ¤ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 1   ¡ ¡ ¡ ¤ ¡ ¡   ] FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 222 usar sus ro iedades multi licamos ambos lados de la ecuación 4.19 or Fm = sen( λm z) e integramos de 0 hasta L: ∞ (1 − z L ) − θ0 ] Fm ( z ) ⋅ dz = ⎮ ∑ An F n Fm dz ∫[ 1 0 L 0 L ∫ [(1 − z L) − θ0 ] sen(λm z)dz = ∑ An ∫ sen(λn z) sen(λm z)dz L 0 0 1 L ∞ (4.20) ∑ An ∫ Fn Fm ⋅ dz = 0+...+ An ∫ Fn2 dz +...+0 = An ⋅ ( L / 2) L 1 0 0 ∞ L esto dado que a propiedad de ortogona idad de estas funciones propias se expres a así L 0 ∫ sen( λ n z ) sen( λm z ) ⋅ dz = { L 0 si n es diferente de m L / 2 si n es igua a m puesto que a integra de norma ización 1 1 − cos( 2λn z ) L ⋅ dz = N = ∫ sen 2 ( λn z ) ⋅ dz = ⎮ 2 2 λn L 0 ∫ sen(λn z ) ⋅ dz = − λ1 [cos(λn L) − 1] = − λ1 [cos(nπ ) − 1] pues λn = nπ L n n La segunda la hacemos or artes: 1 1 ⎡ z cos(λn z ) sen(λn z ) ⎤ cos(nπ ) +0 − ⎮ zsen(λn z )dz = − ⎢− + ⎥ = 2 L⎮ L⎣ λn λn λn ⎦ 0 L 0 L La suma de estas dos da pues 1/λn = L/nπ. La tercera es idéntica a la rimera mu lti licada or la constante −θ0 y nos da −2θ0/nπ ues cos(nπ) es −1 para n impar y 1 para n par. Al despejar An de la ecuación (4.20) obtenemos 2 ⎡ L 2θ 0 L ⎤ A n = ⎢ − = (2 / nπ )[1 − 2θ 0 ] L ⎣ π nπ ⎥ ⎦ ¤  ¤ E ado izquierdo de (4.20) o podemos descomponer en a saber: La primera es L 0  ¤ ¤ ¥ ¤ ¤   ¤ ¤ ¤ Reso viendo e ado derecho da ¤ Invirtiendo e orden de a suma y a integra tendremos a suma de tres integra es  ¤  ¤ ¤ ¤  ¤  ¤ 0 ¤ ¤  ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 223 Así la solució de este pro lema de co ducció de calor depe die te del tiempo e s: ⎡ ⎛ nπ z ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ n 2 π 2α t ⎞ ⎤ ⎛ 2⎞ θt = ∑ An Fn Gn = ∑ ⎜ ⎟ [1 − 2θ0 ]⎢sen⎜ ⎟⎥ ⎟ ⎥ ⎢exp⎜ − ⎝ nπ ⎠ L2 ⎠ ⎦ 1 1 ⎣ ⎝ L ⎠ ⎦⎣ ⎝ ∞ ∞ (4.21) Y la solución completa θ = θ∞ − θt: T − T2 z ∞ ⎛ 2 = 1− − ∑⎜ T1 − T2 L n=1 ⎝ nπ 2 2 ⎡ ⎤ ⎞ ⎟ ⎜ [1 − 2θ 0 ]⎡sen⎛ nπ z ⎞⎤ ⎢exp⎛ − n π 2 α t ⎞⎥ ⎟ ⎢ ⎜ L ⎟⎥ ⎜ L ⎟⎦ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ (4.22) El método usado pa a dete mina An es llamado una expansión de la función θ(z) e n una serie de senos de Fourier con coeficientes An. 4.2.2. Transporte de masa y/o cantidad de movimiento. Las ecuaciones diferenciales resultantes para el problema análo o de transferenc ia de materia, sin reacción uímica homo énea, considerando radiente de concent ración solo en la dirección z, y despreciando el término de arrastre o flujo lo bal (o considerando contradifusión) ∂ cA ∂ 2cA = D AB (4.23) ∂t ∂ z2 Denominada la se unda ley de Fick. Para el caso de transferencia de cantidad de movimiento en su componente z, sabiendo ue v es solo función de z, ue no hay fuerzas d e volumen sobre el fluido, y ue vy = vz = 0, se obtiene (flujo de Couette): ⎡ ∂ vx ⎤ µ ⎡ ∂ 2 vx ⎤ ⎢ ∂ t ⎥ = ρ ⎢ ∂ z2 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ (4.24) odemos hacer similitud e tre los varios procesos de tra sporte usa do las varia les adime sio ales: = θ T − T2 T1 − T2 θD = c A − c A2 c A1 − c A 2 θM = v V V es la velocidad de la placa inferior. ! ¥ ¥ ¥ ! ¥ !  ¥ ¥ ¥ ! ¥ ¥ " ¥         ¥   ¥  ¥ ¥ ¥ !  " "  © FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 224 DAB t µt FoM = 2 2 L L ρL Este es un tiempo adimensional denominado núme o de u ie ( o). oH = 2 αt FoD = L solución gener l, plic le los tres procesos, con z* = z/L es: θ (ξ , Fo) = 1 − z * − ∑ ⎜ ⎛ 2 ⎞ * 2 2 ⎟[1 − 2θ 0 ] sen nπz ex − n π Fo n =1 ⎝ nπ ⎠ ∞ [ ( )][ ( )] (4.22.a) EJEMPLO 4.1. Un tubo de diámet o nominal 3 pl., cédula 40, de 3 pie de longitud contiene helio a una atm y 371.2 K (44 °C). Los ext emos del tubo se encuent an inicialmente ce ados. En el tiempo ce o, los ext emos se ab en, y los ext emos del tubo quedan en contacto con co ientes de mezclas de ai e y helio a la misma tempe atu a y p esión. En el ext emo izquie do, la co iente tiene 10% (en volu men) de He mient as que en la de echa tiene 20%. Podemos supone que el flujo ma ntiene estos valo es constantes en los ext emos del tubo. Si se mantienen las co ndiciones isoté micas e isobá icas, y no hay efectos te minales asociados con la s co ientes de los ext emos del tubo, use se ies de Fou ie pa a calcula el pe fil de composiciones (a cuat o decimales) después de que han t anscu ido 600 y 3600 s., con inc ementos de espacio de 0.5 pie. El diámet o inte no de un tubo de estas ca acte ísticas es 3.068 pl. Una estimación de la difusividad másica de l He en ai e a estas condiciones es DHe Ai e = 0.7652x10 4 m2/s. (2.9652 pie2/h) . Solución. Debemos nota que la t ansfe encia de masa ocu i á solamente en la di ección axial no habiendo g adientes ni en la di ección adial ni en la angula . La situación es pues, la de flujo unidi eccional, sin gene ación a t avés de una película plana estancada de espeso L = 3 pies, con concent aciones constant es en los dos ext emos y concent ación inicial constante en toda la película. La ecuación pa a este caso de difusión unidimensional t ansito ia con cont adifusi ón equimolecula es la misma (4.23), ∂ cA ∂ 2cA = D AB ∂t ∂ z2 que en té minos d e la f acción mola de A: yA = cA/c, con c, la concent ación mola constante (p esión y tempe atu a constantes) es: ∂ yA ∂ 2 yA = D AB ∂t ∂ z2    o                                                                                                ¡         ¡      ¡   ¡                                              ¡     FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 225 con condición inicial yA = yA0 pa a t = 0, y condiciones límite yA = yA1 pa a z = 0 : yA = yA2 pa a z = L. Obse vamos que la situación es idéntica a la plantead a pa a la ecuación (4.5) inte cambiando T po yA y las difusividades té mica y m ásica α por DAB. Con estos justes l ecu ción (4.22) o l (4.22 ) con θD = y A − y A2 y A1 − y A 2 será la solución. Reemplazando los valores numéricos, teniendo en cuenta ue se trata de funciones tri onométricas de números reales por lo cual los cálculos de ben hacerse en radianes, obtenemos la si uiente tabla de resultados. Resultados: Fracción Molar yA como función de la distancia z. Tiempo, s 0.0 s. 1.0 s. 600.0 3600.0. ∞ 0 pie 1.0000 0.1000 0.1000 0.10000 0.100 00 0.5 pie 1.0000 1.0000 0.4373 0.1376 0.1167 1.0 pie 1.0000 1.0000 0.6816 0.169 6 0.1333 1.5 pie 1.0000 1.0000 0.7767 0.1919 0.1500 2.0 pie 1.0000 1.0000 0.7087 0.2030 0.1667 2.5 pie 1.0000 1.0000 0.4977 0.2043 0.1833 3.0 pie 1.0000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 Es de anotar ue usando métodos numéricos tales como diferencia finita, ya sea e plícito como totalmente implícito, o el intermedio de Crank Nicolson se obtie nen buenas apro imaciones.        ¡    ¡         ¡ ! ¡         ¡ !   "      " FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 226 Debemos resaltar el hecho de ue dos fenómenos físicos diferentes, descritos por modelos matemáticos análo os, pueden tratarse con el mismo tipo de solución ana lítica o numérica. EJEMPLO 4.2. Se calienta una barra de acero de 1 m de lon itud hasta ue la barr a tiene un radiente lineal ue va desde 300 °C en un e tremo hasta 600 °C en el otro. La temperatura en el e tremo de 600 °C disminuye súbitamente hasta 100 °C . Los lados y el otro e tremo de la barra se mantienen aislados. Calcule el perf il de temperatura después de 0.27 Ms. (Su erencia: debido a ue los lados y un e tremo están aislados es posible considerar a la barra como la mitad de una plac a plana con el e tremo de 600 °C en la superficie de la placa). Tome las si uien tes propiedades para el metal: ρ = 7820 kg/m3; CP = 465 J/kg.K ; k = 16 W/m.K. Solución analítica. Estado t ansito io unidimensional sin gene ación, adiación ni convección. Dist ibución inicial no unifo me. ∂ 2T 1 ∂T = Ecuación de ou ie ∂z 2 α ∂t Condición inici l: t = 0; T = T0(z) = T1 + (TS – T1)(z/L) Condiciones límite: z = 0, ∂T/∂z = 0; z = L, T = T2. T1 = 300°C; TS = 600 °C; L = 1m; T2 = 100 °C. C m io de v ri le p r homogeniz r l segund condición límite: ∂ 2θ 1 ∂θ ; z = 0, ∂θ/∂z = 0; z = L, θ = 0 (1) θ = T – T2 ⇉ = ∂z 2 α ∂t Por sep r ción de v ri les, θ(z,t) = F(z)G(t) θ’t(z,t) = F(z) ’(t); θ’z(z,t) = F’(z) (t), θ”z( z,t) = F”(z)G(t) Reemplazando en (1) F”(z)G(t) = (1/α)F(z)G’(t). Dividiendo por F(z)G(t) F " ( z ) G (t ) = = −λ2 . La constante de separación λ, es un número rea . F ( z ) αG (t ) G(t) = C1exp( αλ2t) F(z) = C2sen(λz) + C3cos(λz); F’(z) = C2cos(λz) – C3sen(λz) Como F’(z) = 0 para z = 0, ⇉ C2 = 0. De la otra con ición límite, F(L) = C3co (λL) = 0 ⇉ λn = [(2n – 1)π/2L] Función ro ia cos(λz); va o res propios λn. La so ución genera será θ ( z, t ) = ∑ An Fn Gn = ∑ An [cos(λ n z )][exp(− λ2 α t )] n ∞ ∞ (2) 1 1 ¡ ¡ ¡ ¡ P r determin r An que englo C1 y C3, h cemos uso de l condición inici l:   ¤   ! ¡ ¡ § £          ! " ¡ § ¡   ¡ !    ¤ ¡ ¡ "     ¡ ! " ¡ ¡  ¤    " ¡ !  ¡ ¡ ¡  ¤ ¡ ¡ " FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 227 θ ( z,0) = ∑ An [cos(λ n z )] = θ 0 = T0 − T2 = T1 + (TS − T1 ) z L − T2 1 ∞ [ ( ) ] Para hacer uso de las propiedades de orto onalidad de las funciones propias mult iplicamos ambos lados por cos(λz) e integramos entre 0 y L, intercambiando a su matoria y a integra donde es preciso. Obtenemos L 0 ∫ [T + (T 1 S − T1 ) z ( L) − T ]cos(λ z )dz = A ∫ [cos (λ z )]dz L 2 2 n n 0 n (3) (TS − T1 ) L L ⎡ − 1 (− 1)n −1 ⎤ + ∫ z cos(λ n z )dz =(TS − T1 )⎢ ⎥ 2 λn ⎥ 0 ⎢ Lλ n ⎣ ⎦ ⎤ ⎥ n⎦ −1 L (T1 − T2 )∫ cos(λz )dz =(T1 − T2 )⎡(− 1) λ ⎢ 0 ⎣ L 0 ∫ cos 2 (λ n z )dz = L / 2 Reemp azando en (3) y reorganizando: An = ¡ ¤ ¡ ¡ ¡ ¡ ! ¡ ¡ ¡ ¤ ¡ ¡ ¡ ¤ ¤ ¡ ¥ n −1 8(T − T ) 2 ⎡ (− 1) (TS − T2 ) (TS − T1 ) ⎤ (− 1) 4 (TS − T2 ) − S 2 1 2 − = ⎢ ⎥ 2 L⎢ λn (2n − 1) π Lλ n ⎥ (2n − 1) π ⎣ ⎦ −1 Reemplazando en (2) n −1 ∞ ⎡ ⎞ ⎛ ( )⎤ ( z, t ) = T2 + ∑ ⎢ 4 (TS − T2 )⎜ (− 1) ⎟ − 8 TS − 2T1 2 ⎥ cos (λ n z ) exp(− λ2αt ) T ⎜ (2n − 1) ⎟ (2n − 1) π 1 ⎢π ⎥ ⎠ ⎝ ⎦ ⎣ Da do valores uméricos A1 = 393.45, A2 = − 239. 23, A3 = 117.6, A4 = −95, A5 = 67, A6 = −59.88, A7 = 47.53. Esta serie converge lentamente para valores de o m enores que 0.2, es decir para tiempos menores que 46000 s. Así para estimar un m áximo de temperatura (383.4°C) que se presenta en el extremo aislado al cabo de 18600 s (5.17 h), el cuarto sumando (−0.005) aún afecta la tercera cifra decimal . En los valores encontrados para t = 54000 s (15 h) se debió tener en cuenta el segundo sumando. En el resto de los casos la aproximación con el primer término de la serie fue exacta hasta la sexta cifra decimal o superior.  ¥ ¥ ¥ ENÓMENO DE TRAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 228 ∆t 0 1 2 3 4 5 t [h] 0 15 30 45 60 75 T0 300 317.7 221.8 167.8 137.7 121.0 T1 375 301.8 212.5 162.6 134.8 119.4 T2 450 255.7 186.1 147.9 126.7 114.8 T3 525 184.9 146.6 125.9 114.4 108.0 T4 600 100 100 100 100 100 4.3. TRANSFORMADA DE LAPLACE. 4.3.1. Difusión t ansito ia en una placa simét ica . El p oblema de la difusión t ansito ia en una placa es de impo tancia, po ejemp lo, en ope aciones de secado de mate iales coloidales o gelatinosos, donde es ne cesa io conoce la dist ibución de la humedad en la placa como una función de la posición y el tiempo, o la elación ent e el contenido p omedio de humedad de l a placa y la du ación del secado. Pa a p opósitos de aná0lisis puede supone se q ue los ext emos delgados de la placa están sellados a la t ansfe encia. En fo ma alte na, la placa o losa puede imagina se lo suficientemente delgada como pa a que los efectos de bo de puedan desp ecia se y tend emos difusión a t avés de do s ca as opuestas. Conside emos concent ación inicial unifo me en cA0, en toda la placa, concent ación constante cAS en las dos supe ficies mayo es, difusión ocu iendo solo no mal a las dos supe ficies mayo es las cuales son pe meables al s oluto A, p opiedades físicas constantes. Se toma el o igen de coo denadas en el plano cent al o de simet ía el cual tiene á ea S no mal a z. La ecuación (2.24a) en concent aciones mola es y sin gene ación es: ∇N A + ∂c A =0 ∂t Teniendo p esente que solo hay g adientes en la di ección z ∂ c A ∂ N Az + =0 ∂t ∂z (4.23)                                                                                                          0             FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento * N AZ = J AZ + c A v Z ≈ J AZ 229 (4.24) Puesto que se t ata de difusión en sólidos. La ecuación (4.23) se educe a ∂ cA ∂ 2 cA = D AB ∂t ∂ z2 Haciendo Y = (cA − cAS) (4.25) (4.26) Cualquie z, t = 0, z = 0, cualquie t, ∂cA/∂z = 0, La última de las condiciones de f onte a su ge del hecho de la simet ía del sist ema. En el plano inte medio siemp e hab á un máximo (o mínimo) de concent acione s. Esta condición equivale también a que no haya flujo a t avés de tal plano, es deci que estuviese sellado a la t ansfe encia. La ecuación (4.26) pod ía esol ve se po el método de sepa ación de va iables de fo ma análoga al p oblema ante io . Estos esultados son útiles pa a tiempos la gos de difusión ya que la se i e conve ge ápidamente en tales condiciones. Un método alte no de solución lo da el uso de la t ansfo mada de Laplace. Este da esultados útiles pa a pequeños t iempos de difusión (Fo < 0.2). Como ya vimos, pa a una función f(z,t) de dos va iables independientes z e t, la t ansfo mada de Laplace (pa cial) de f(z,t) con especto a t es definida po : f ( z , p ) = Lt [ f (z , t )] = ∫ exp(− pt ) f ( z , t )dt ∞ 0 (4.27) El subíndice t denota t ansfo mación con especto a t. Las p opiedades de la t a nsfo madas de Laplace que más nos inte esan pa a el p oblema son:                                                           ∂Y ∂ 2Y = D AB ∂t ∂ z2 Condiciones límite: z = a, cualquie 0 t, cA = cAS, Y = 0 cA = cA0, Y = Y0 ∂Y/∂z =                                                                   FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 230 ⎡ ∂ f (z, t )⎤ Lt ⎢ ⎥ = p f ( z , p ) − f ( z ,0 ) ⎣ ∂t ⎦ ⎡ ∂ f (z, t )⎤ ∂ f (z, p ) Lt ⎢ ⎥= ∂z ⎣ ∂z ⎦ (4.28) (4.28a) Hemos supuesto que el orde de difere ciació y de i tegració co respecto a z puede i tercam iarse. Toma do tra sformadas de Laplace a am os lados de la ecua ció (4.26) co respecto a t: ⎡ ∂ 2Y ⎤ ⎡∂ Y ⎤ Lt ⎢ ⎥ = pY − Yo = DAB Lt ⎢ 2 ⎥ ⎣ ∂t ⎦ ⎣∂ z ⎦ (4.29) Y = Lt [Y ( z , t )] = Y ( z , p) Reorga iza do (4.29) Y d 2Y pY − =− o 2 D AB D AB dz (4.30) aquí p se mira como un parámetro. Esta ecuación diferencial ordinaria no homogén ea tiene por solución la suma de la homogénea y la particular. La primera es de las mismas características de la ecuación de la aleta. La segunda será una const ante C, que para satisfacer la ecuación original debe cumplir 0− pC = − o ⇉ C = − Y0/p DAB DAB La olución general e la uma e amba Y = C1 exp(− mz ) + C 2 exp(mz ) + con i cione límite para z = 0, Y = −C1 m exp(− mz ) + C 2 m exp(mz ) = 0 z a ora pa ra z = a entonce C1 = C2 Yo p con m2 = p/DAB (4.31) £    £ ¥ ¨   ¥    ¥   ¥ ¥   ¥  ¥ ¥   £ ¥ ¥ £     ¥ ¥ ¥     ¥ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 231 Yo − Y0 = 0 ⇉ C1 = p p[exp(− ma) + exp(ma)] ⎡ exp(− mz ) + exp(mz ) ⎤ Yo ⎢ exp(− ma ) + exp(ma )⎥ + p ⎣ ⎦ Y =− o p Dividiendo numerador y denominador por exp(ma): =− o ⎡ exp[− m(a + z )] + exp [− m(a − z )]⎤ Y ⎥+ p p⎢ exp(− 2ma ) + 1 ⎣ ⎦ (4.32) x n −1 = ∑ (− 1) x n n 0 ∞ aplicándolo al denominador del término entre paréntesis de la ecuación (4.32): [1 + exp(− 2ma )]−1 = ∑ (− 1)n exp(− 2nma ) n =0 ∞ por lo cual ∞ ⎡ 1 ∞ (− 1)n (− 1)n exp{− m[(2n + 1)a + z ]}⎤ Y = Yo ⎢ − ∑ exp{− m[(2n + 1)a − z ]} − ∑ ⎥ p n=0 ⎣ p =0 p ⎦ (4.33) Aquí erfc es la abreviatura para función complementaria de error. Definimos la f unción de error como 2 π erf ( x) = ex (− β 2 )dβ y dado que exp(− β 2 )dβ = ⎮ ⎮ 2 π 0 0 x ∞ se sigue que erf(∞) = 1 ; erf(−x) = −erf(x) ; erf(0) = 0. También se usa la llam ada función complementaria de error: 0 c A ¥ La tra sformada i versa de cada térmi o e estas dos series se e cue tra e as; por ejemplo, el ítem 8 e la ta la de tra sformadas de Laplace dada por k ta la 2.2 p. 327 o item 83 p.316 de Mickley Sherwood y Reed. El resultado e escri irse como: ∞ c A − c Ao (2n + 1)a − z + ∞ (− 1)n erfc (2n + 1)a + z n = ∑ (− 1) erfc ∑ − c Ao n=0 2 DAB t 2 DAB t n =0 ta l Cra pued ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ El – ésimo poli omio de Taylor e x0 = 0 o fórmula de Maclauri 1/(1 + x) es 1 = 1 − x + x 2 − x3 + 1+ x + (− 1) n −1 ¥ ¨ ¨ ¥ ¥  ¥  Y = C1 [exp(− mz ) + exp(mz )] + o ea: de la fu ció £    ¥ ¥ £ £ £ ¥ ¥ ¥   ¥  ¥ ¨ ENÓMENO DE TRAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 232 2 erfc( x) = 1 − erf ( x) = x ∞ La serie (4.33) converge rá idamente ara todos menos, valores de Fo = DABt/a2 > 0.2. Por ejem lo, ara la concentración en el centro, z = 0 , cuando Fo = 1: c A − c A0 = 0.9590 − 0.0678 + 0.0008 = 0.8920 c A − c A0 y cuando o = 0.25 c A − c A0 = 0.3146 − 0.0001 = 0.3145 c A − c A0 Para valore s de o = DABt/a2 > 0.2, una solución que converge más rápidamente es obtenida p or el método de separación de variables: n ⎡ − D AB (2n + 1)2 π 2 t ⎤ c A − c As 4 ∞ (− 1) ⎡ (2n + 1)π z ⎤ cos ⎢ exp ⎢ = ∑ ⎥ ⎥ c Ao − c As π 0 2n + 1 2a 4a 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4.34) La velocidad de tra sfere cia de materia a través de la superficie de la placa, e el mome to t será: ⎡∂ c ⎤ 2 SN AS (t ) = −2 SD AB ⎢ A ⎥ = m AS (t ) ⎣ ∂ z ⎦ z =a La masa total tra sferida hasta el tiempo t: m At = ∫ m AS (t )dt = (c Ao − c Am )( )(2a ) t 0 Donde cAm es la concentración promedio a t. La extracción promedio desde la placa lo que se ha extraído y lo máximo que se c A0 − c Am m At = c A0 − c A 2a (c A0 exp(− β 2 )dβ ⎮ π través de toda la placa en el instante puede definirse como la relación entre podría extraer: − c A ) La expresión pues para la concentración promedio cA a través de la placa en el t iempo t es: 0 0 0 0  0 0  ¥  ¥ ¥  ¥  0  ¥  ENÓMENO DE TRAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 0.5 ∞ c Ao − c Am na ⎤ ⎛ DAB t ⎞ ⎡ 1 n = 2⎜ 2 ⎟ ⎢ 0.5 + 2∑ (− 1) ierfc c Ao − c AS (DABt )0.5 ⎥ ⎝ a ⎠ ⎣π n =1 ⎦ 233 (4.35) E pro lemas de co ducció de calor y tra sfere cia de masa difusio al, so impo rta tes las i tegrales repetidas de la fu ció de error. Escri imos: i erfc( x ) = ∫ i −1erfc( β )dβ x ∞ = 1, 2, 3,... i 0 erfc( x) = erfc( x) i tegra do por partes o te emos i 1erfc( x) = ierfc( x) = exp − x 2 ( π ) − xerfc( x) La expresión correspondiente para valores grandes de ourier c Am − c Ao c − c As 8 = 1 − Am = 1− 2 c As − c Ao c Ao − c As π ⎡ − D AB (2n + 1)2 π 2 t ⎤ 1 exp ⎢ ⎥ ∑ (2n + 1)2 4a 2 0 ⎣ ⎦ ∞ (4.36) Algu as veces se e cue tra difusió e u a placa e la que las dos caras opuesta s se ma tie e a sus respectivame te co sta tes pero difere tes co ce tracio es cA1 y cA2. El i terior de la placa se e co tra a i icialme te a co ce tració cA 0. Es el caso de difusió a través de u a mem ra a. La distri ució de co ce tra cio es está dada por la ecuació (4.22) ó (4.22a). La co ce tració promedio e cualquier tiempo c Ao − c Am 8 = 1− 2 − 0.5(c A1 − c A2 ) π ⎡ − D AB (2n + 1)2 π 2 t ⎤ exp⎢ ⎥ ∑ ( 2n + 1)2 4a 2 n =0 ⎣ ⎦ ∞ 1 c Ao (4.36a) La difusió puede ocurrir a través de sólo u a de las superficies mayores de u a placa, sie do la otra impermea le a la tra sfere cia. Esta situació surge por ejemplo e los secadores de a dejas. El gradie te de co ce tració ∂cA/∂z es ce ro e u a superficie ¥ ¥ Do de 2a = es el espesor de la placa. ara cálculos rápidos esta fu ció las de esferas y cili dros se halla graficadas por Newma ( igura 4.6). 4.3.2. Difusió a través de u a sola superficie de u a placa. como ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥  ¥  ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ © ¥ ¥ ¥  ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ 0 ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 234 impermea le, lo que coi cide tam ié para el pla o ce tral de la placa estudiada a teriorme te. O sea que la cara impermea le equivale al pla o medio de la plac a y por lo ta to la solució para el caso de la difusió simétrica se aplica e esta ocasió e la superficie permea le e z = a y la impermea le e z = 0. 4.4. DI USION EN ESTADO TRANSITORIO EN UN CILINDRO. Se sella los extremos pla os del cili dro para que la difusió ocurra sólo e d irecció radial, lo que ocurriría tam ié si el cili dro fuera de lo gitud i fi ita. La ecuació (2.28a) escrita e térmi os molares ∇N A + ∂c A = Φ* A ∂t (2.28 a’) Escrita en coordenadas cilíndricas con a uda de (2.31) ⎡1 ∂ (rN Ar ) + 1 ∂N Aθ + ∂N Az ⎤ ∇⋅ NA = ⎢ ∂z ⎥ r ∂θ ⎣ r ∂r ⎦ te ie do prese te que NAθ y NAz son cero, no hay reacción, y despreciando el término de arrastre cAvr*, (2.28a’)se reduce a: ⎡∂ 2c A 1 ∂ c A ⎤ ∂ cA = D AB ⎢ + ⎥ 2 r ∂r ⎦ ∂t ⎣ ∂r (4.37) todo r cA = cA0 cA = cAS ∂cA/∂r = 0 r=R r=0 Haciendo θ = ⎡ ∂ 2θ 1 ∂θ ⎤ ∂θ = DAB ⎢ 2 + ∂t r ∂r⎥ ⎣∂ r ⎦ (4.37a) θ = 0 en r = R; θ = 1 en t = 0 y ∂θ/∂r = 0 en r = 0 0 0 para t = 0 todo t todo t c A − c A c A0 − c A ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ 1  ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥  ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥  ¥  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 235 Se uimos el procedimiento convencional para la separación de variables asumiendo ue e iste una solución de la forma θ(r,t) = F(r)—G(t). Al reemplazar en (4.37a ) y reorganizar dG 1 ⎡ d 2 F 1 dF ⎤ 2 = ⎢ 2 + ⎥ = −λ ; λ numero rea . DAB G dt F ⎣ dr r dr ⎦ 1 Resulta dos ecuacio es difere ciales ordi arias. La que es fu ció de la posici ó radial es u a ecuació de Bessel de orde cero. ara las co dicio es límite ( ∂θ/∂r)r=0 = 0 = (dF/dr)r=0 y θ = 0 = F en r = R la solución particular es F = ∑A nJ0(λnr), donde J0(λnr) es una serie denominada función de Besse de primera c a se y orden cero. Las constantes λn deben satisfacer J0(λnR) = 0. Los coeficiente s An se determinan a partir de as condiciones inicia es y as propiedades de or togona idad de as funciones propias (Li Wen Hsiung, Engineering Ana ysis, Prent ice Ha , 1960, pp. 328 330): R 0 2 2 ∫ rJ 0 (λn r )J 0 (λm r )dr = 1 R J1 (λn R ) si m = n y cero en os otro s casos. 2 J1 es una función de Besse de primera c ase y orden uno. Por definición (λn r )dr = ⎛ R ⎞ J1 (λn R ) ⎜ λ ⎟ ⎮ n⎠ ⎝ 0 R Combinando las soluciones ante io es obtenemos θ (r , t ) = c A − c As 2 ∞ J (λ r ) = ∑ 0 n exp − D AB λ2 t n c Ao − c As R n=1 λn J1 (λn R ) ( ) (4.38) Para a concentración promedio en e tiempo t: θ m (t ) = 1 R ∫ θ (r , t )2πrdr πR 2 0 c Am − c Ao c − c As 4 = 1 − Am = 1− 2 c As − c Ao c Ao − c As R ∑λ n =1 ∞ 1 2 n exp(− D AB λ2 t ) n (4.39) rJ 0 ' Podemos usar otras unidades de concentración: c Am − c As ρ m − ρ s y m − y s W m − W s = = = = Ei de la figu a 4.6. c o ¤ ¤ ¤ ¥   ¥ ¤ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ © ¥ ¥ ' ¤ ' ¤     ' ¤ ¥ ¤ '  ¥ ' ¥ ¤ ¥ ' ¤¤ ¤ ¥ " ¤ ! ¥ − c s ρ o − ρ s y o − y s W o − W s W = elación en peso de en el sólido = masa de humedad/masa sólido seco; dife ente de la f acción en peso w . ' '       ' ' ' ' ' ' ' ' 236 Pa a la última igualdad se supone que el volumen del sólido no se alte a du ante el p oceso y po tal la densidad del sólido seco, ρss, puede conside a se const ante, y basta dividi nume ado y denominado del segundo té mino po ρss. W = w 1− w w = W 1+ W Las cantidades J0 y J1 son funciones de Bessel de p ime a clase y o den ce o y u no espectivamente. Si no se dispone del p og ama que gene a estos valo es, se p ueden busca tabulados. La función Bessel de p ime a clase de o den p se define, pa a p ce o o un ente o positivo, po la se ie J p(x) = ∑ Si x → ∞, ( −1) k ( x 2 )2 k + p k = 0 k !( k + p )! ∞ o sea J0( x) = ∑ ∞ ( −1) k ( x 2 )2 k ( k !)2 k =0 ; J 0 ( 0) = 1 2 J p(x) ≈ cos x − π 4 − pπ 2 πx ( ) y si x → 0, J (x) ≈ además J 0 ( x ) ≈ 0 ara x ≅ (4n − 1)(π/4) con x suficientemente grande. Damos a continuación algunos valores de las raíces de J ( x) = 0 . Orden Raíz 1 2 3 4 5 =0 2.40483 5.52008 8.65373 11.79153 14.93092 =0 (4n – 1)( π / 4) 2.35619 5.49779 8.63938 11.78097 14.92257 =1 3.83171 7.01559 10.17347 13 .32369 16.47063 =2 5.13562 8.41724 11.61984 14.79595 17.95982 =3 6.38016 9.761 02 13.01520 16.22346 19.40941 =4 7.58834 11.06471 14.37254 17.61597 20.82693 4.5. ESFERA. 4.5.1. Esfera con tem eratura inicial constante. Consideremos un cuer o esférico de radio R con tem eratura inicial constante To y sin fuentes de calor. Para t > 0 la tem eratura en la su erficie se mantiene a una tem eratura constante Ts > To. Problemas de conducción radial en cuer os es féricos ueden reducirse a roblemas de flujo lineal en lacas haciendo la trans formación u = Tr. Un balance térmico, sin generación escrito en coordenadas esfé ricas y sabiendo que T sólo de ende de r, la ecuación gobernante                    x 2 !   ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento                                                     '   '   '   '   ' '     '            '   de FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 237 ρ Cp ⎡ 1 ∂ ⎡ 2 ∂ T ⎤⎤ ∂T = k⎢ 2 ⎢r ⎥⎥ ∂t ⎣ r ∂ r ⎣ ∂ r ⎦⎦ t = 0, T = T0; r = R, T = TS ó hacie do Y = T − T0 ⎡∂ 2 Y 2 ∂ Y ⎤ ∂Y = α⎢ 2 + ⎥ ∂t r ∂r⎦ ⎣∂ r Haciendo θ = Y⋅r, obtenemos: ∂θ ∂ 2θ =α ∂t ∂ r2 θ0 = 0 θ = YsR = θs 0≤r≤R r=R t=0 t > 0, La transformada de Laplace y las condiciones límite son d 2θ p − θ =0 dr 2 a _ _ θ = θs/p en r = R ; θ = 0 en r=0 La solución es: − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ θ = C1 e p ⎢− r p α ⎥ + C2 exp ⎢r p α ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ y al evaluar las co sta tes: ⎡ ⎤ senh ⎢r p ⎥ α⎦ θ ⎣ θ = s p ⎡ ⎤ senh ⎢ R p ⎥ α⎦ ⎣ ⎡ ⎤ senh ⎢r p ⎥ α⎦ RY S ⎣ Y = pr ⎡ ⎤ senh ⎢ R p ⎥ α⎦ ⎣ 0 Co dicio es de fro tera : T0 − To = 0 = 0 ición inicial t > 0 Condición de borde = ¨ ¨ ¨ ¥ ¥ ¥ " ¥ ¥ s = T − T0 0≤r≤R r=R t = 0 Cond ¥ ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 238 La tra sformada i versa es: T − To R ∞ ⎡ [(2n + 1)R + r ] − erf [(2n + 1)R − r ]⎤ = ∑ ⎢erf Ts − To r n=0 ⎣ ( 4α t )12 (4α t )12 ⎥ ⎦ (4.40a) or el método de separació de varia les o te emos ⎡ − αn 2π 2t ⎤ T − T0 2 R ∞ (− 1) 1 ⎡ nπ r ⎤ exp ⎢ sen ⎢ = 1+ ∑ ⎥ 2 π n=1 n r TS − T0 ⎦ ⎣ R ⎥ ⎣ R ⎦ (4.40 ) La temperatura TC e el ce tro, dada por el límite cua do r → 0, es, respectivam e te TC − T0 R = T − T0 απt ∞ ⎛ (2n + 1)2 R 2 ⎞ ⎛ αn 2π 2t ⎞ ⎟ = 1 + 2∑ (− 1)n exp⎜ − ⎜− ⎟ ∑ exp⎜ ⎜ ⎟ 4αt R2 ⎟ n=0 n =1 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ∞ La tempe atu a p omedio de la esfe a Tm en cualquie tiempo se á: Tm − T0 6 αt 3αt 12 αt = − 2 + TS − T0 R π R R 6 ⎛ nR ⎞ ∑ ie fc⎜ αt ⎟ = 1 − π 2 ⎝ ⎠ n =1 ∞ ⎛ αn 2π 2t ⎞ 1 ∑ n 2 exp⎜ − R 2 ⎟ ⎜ ⎟ n =1 ⎝ ⎠ ∞ ⎣ ∂ r ⎦ r =R La situació a áloga e tra sfere cia de masa, pero resuelta por separació de v aria les es: c A − c As 2 R ∞ ( − 1) = ∑ c Ao − c As π n =1 n n +1 ⎡ − D AB n 2 π 2 t ⎤ 1 ⎡nπ r ⎤ sen ⎢ ⎥ ⎥ exp ⎢ r R2 ⎣ R ⎦ ⎣ ⎦ (4.40c) Esta co verge rápidame te sólo para altos valores de o = DABt/R2 (ó αt/R2 si es tr nsferenci de c lor). Cu ndo r ⇉ 0, {[ en(nπr/R)]/r} ⇉ nπ/R a licando L’ o i tal.  ¥              ¥   ¡ ¥   El contenido de calo de ntenido inicial de calo l flujo de calo hacia o e ficie en = R: ⎡∂ T ⎤ Q = −4π R 2 k ⎢ ⎥ la esfe a en cualquie instante es (4/3)πR3ρCPTm. El co en exceso, de la esfe a es Qo = (4/3)πR3ρCP(T0 − TS). E desde la esfe a es el flujo de calo a t avés de la sup ¥     ¥ ¥   ¥  ¥    ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¡ ¥ ¥  ¥     ¥ ¥ 0 ¡       ¥ ¥   ¡   ¥ ¥ © FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 239 La concentración romedio con el tiem o es: c Am − c Ao 6 = 1− 2 c As − c Ao π ⎡ − D AB n 2 π 2 t ⎤ 1 exp ⎢ ∑ n2 ⎥ R2 n =1 ⎣ ⎦ ∞ (4.41) puesto que la velocidad i sta tá ea de flujo a través de la superficie es mA(t) = −4πR2DAB(∂cA/∂r)r=R y el total transferido hasta el tiem o t es ∫tmA(t)dt = (4/3)πR3(cAm − cA0) dond e cAm es la concentración promedia en la esfera en el instante t. Una expresión que converge rápidamente para bajos valores de o: ∞ c Am − c Ao D AB t ⎡ 1 nR ⎤ D t =6 + 2∑ ierfc ⎥ − 3 AB ⎢ 2 c As − c Ao R ⎢ π R 2 D AB t ⎥ n =1 ⎦ ⎣ (4.41a) 4.6. INTERDI USION DE DOS GASES. La difusividad para u a mezcla i aria gaseosa se ha o te ido experime talme te midie do la velocidad de i terdifusió de dos gases origi alme te co fi ados e los dos extremos de u cili dro hueco. U diafragma delgado que separa los gases e el ce tro, se remueve repe ti ame te y se permite que los gases se mezcle d ura te u tiempo medido. Se reemplaza e to ces el diafragma y los gases de cada mitad del cili dro so ie mezclados y a alizados. E ause cia de efectos co ve ctivos, la difusividad molecular se o tie e compara do los resultados co u a so lució de la ecuació difere cial ásica. artie do de (2.28a’) ∂ cA + ∇N A = Φ A ∂t (2.28a’) no ha reacción química homogénea siendo el cilindro suficientemente estrecho podemos aceptar que sólo ha difusión en la dirección axial. Por lo tanto tenemo s: Según la descripción de la situación, es claro que habrá contradifusión equimole cular pues la presión total sobre el sistema su temperatura permanecen constan tes, es decir, 1 1 ∂ c A ∂ N Az + = 0 ; N Az = J Az + A = fracción molar de A. A ( N Az + N Bz ) ∂t ∂z ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ©  ¥  ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  1 ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ 1 ¥ ¥ ¥  ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ 1 ¥ ¥ 1 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt calor masa cantidad de movimiento 240 NAz = − NBz. Así que finalmente llegamos a la expresión: ∂ cA ∂ 2 cA = DAB ∂t ∂ z2 abemos que cA = pA/ T , donde pA es la presión parcial ejercida por el gas A en la mezcla: pA + pB = P. Usando presiones parciales como medida de concentración : ∂ pA ∂ 2 pA = D AB ∂t ∂ z2 (4.42) Para sustituir pA por una variable que varíe de 1 a 0 mientras t aumenta de cero a infinito, consideramos que si las dos mitades del cilindro son iguales, pA va riará entre P y P/2. Escogemos una nueva variable X, tal que: 1⎤ ⎡p X = 2⎢ A − ⎥ ⎣ 2⎦ La co sta te desaparece e la difere ciació y (4.42) queda: (4.43) ∂X ∂ 2X = D AB ∂t ∂ z2 (4.44) Sie do los gases puros y a la misma presió e las dos mitades al come zar, e to ces las co ce tracio es será simétricas alrededor del pu to medio y será ec esario o te er u a solució sólo para la mitad. Coloquemos el orige e el ce tr o y hagamos que la lo gitud del cili dro sea 2a. Si A está al lado derecho, las co dicio es de fro tera so : t = 0 pA = X=1 0≤z≤a t = ∞ pA = 0.5 X = 0 0 ≤ z ≤ a todo t pA = 0.5 X = 0 z = 0 todo t ∂X/∂z = 0 z = a Esta última i dica que o ha rá flujo a través de la pared u icada e z = a. Como a tes, por separació de v aria les o te emos: X = C3 exp − λ2t [C1 cos(λz ) + C2 sen(λz )] ( ) ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ § rajales Transferencia molecular de ¥ © ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ © © ¥ ¥  1 © ¥  © ¥ ¥ ¥ 0  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento 241 Como X = 0 en z = 0 ⇉ C1 = 0 De la última con ición, co (λa) = 0 y λn = (2n − 1) π/2a, con n = 1,2,3, ... A licando la condición inicial 1 = A1sen πz 2a + A2 sen 3π z 5π z + A3 sen + ..... 2a 2a (4.45) multi licamos ambos lados or la función ro ia e integrando, recordando la ro iedad ortogonal de las funciones ro ias ∫ sen(λm z )sen(λn z )dz = 0 para m ≠ n : a 0 sen(λ z )dz = A a sen 2 (λ z )dz ⎮ n n∫ n 0 a ⎡z ⎤ 1 sen(λn z ) cos(λn z )⎥ − cos(λn z )] = An ⎢ − λn ⎣ 2 2λ n ⎦0 1 a 0 a A = 4/[(2 − 1)π] La solución resultante es: X = 2 2 ⎤ ⎤ ⎡ ⎛ π ⎞2 ⎤ ⎡ ⎤ 3π z 1 5π z 4 ⎡ ⎡⎛ π ⎞ πz 1 ⎛π ⎞ + exp ⎢− 9⎜ ⎟ Fo⎥ sen + exp ⎢− 25⎜ ⎟ Fo ⎥ sen + ...⎥ ⎢exp ⎢⎜ − ⎟ Fo ⎥ sen 2a 3 2a 5 2a π ⎢ ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠ ⎥ ⎢ ⎝2⎠ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ o = DABt/a2 Esta expresió es idé tica a la que se o tie e para la difusió e u a placa i fi ita e friada (o cale tada) desde sus caras si el orige de los ej es coorde ados se coloca e u a de sus caras de tal ma era que la otra está e z = 2a. O sea, que e esas co dicio es el pla o de simetría está e z = a. De (4. 43) X = (2yA − 1). i yAm representa la fracción de gas original que aún permane ce en la mitad del cilindro, 1a 1 1 a y Am = ∫ y A dz = + X dz a0 2 2a ∫0 y Am = 1 4 + 2 π2 2 ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎛ π ⎞2 ⎤ 1 ⎡⎛ π ⎞ 2 ⎤ 1 ⎛π ⎞ ⎢exp ⎢⎜ − ⎟ Fo ⎥ + exp ⎢− 9⎜ ⎟ Fo ⎥ + e xp ⎢ − 25⎜ ⎟ Fo ⎥ + .....⎥ ⎝2⎠ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 25 ⎢ ⎝2⎠ ⎥ 9 ⎢⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ (4.46) 0  ¥ ¥ ¥  ¤ ¤ ¥ ¥ ¥  ¥  ¤ £  ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ 0 ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¤ ¥ ¥  ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 242 Esta fu ció puede usarse e la estimació del tiempo de reside cia ecesario pa ra preparar u a mezcla gaseosa e u cili dro a presió para o te er diversos gr ados de u iformidad. EJEM LO 4.3. U procedimie to experime tal comú para la medició de la difusivi dad e sistemas gaseosos i arios emplea u a cavidad cilí drica dividida por u a separació que puede removerse. U gas A lle a i icialme te la cavidad del lado de la partició y u gas B el ot ro lado. Se remueve el separador y se permite que ocurra la difusió a temperatu ra y presió co sta tes, si co vecció tal como se especifica e la secció "I terdifusio de Gases". Si esto ocurre e u cili dro de 120 cm de lo gitud, co helio e u compartime to y meta o e el otro, a presió total de 5 atm y 20 °C de temperatura, se requiere 2.5 hr para que la co ce tració media del helio a je a 0.7 c0 e u a mitad y aume te a 0.3 c0 e la otra, calcule la difusividad p ara este sistema. Solució . La situació e caja exactame te e el desarrollo seguido para o te er la ecuació (4.46). Toma do solame te el primer térmi o de la serie. 1 4 π2 ⎛ 1⎞ ⎛π ⎞ ⎛ D t ⎞ + 2 exp(− b ) ; b = ⎜ ⎟ ⎜ AB ⎟ ; exp(− b ) = ⎜ y Am − ⎟ 2 4 ⎝ 2⎠ 2 π ⎝2⎠ ⎝ a ⎠ 2 2 ⎡ ⎤ ⎛ π ⎞⎛ DAB t ⎞ 4a 8 8 ⎜ ⎟⎜ 2 ⎟ = ln 2 ; D AB = 2 ln ⎢ 2 ⎥ ⎜ 4 ⎟ a π (2 y Am − 1) π t ⎢π (2 y Af − 1)⎥ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎣ ⎦ y Am = Los valores de los parámetros so : a = 60 cm ; = 5 atm. ; T = 293 K ; t = (2.5 )(3600)s ; yAm= 0.7 Reemplaza do o te emos: DAB = 0.1145 cm2/s El térmi o siguie te de la expresió (4.46) es: ⎡ − 9π 2 (0.1145)(2.5)(3600) ⎤ ⎡ 9π 2 ⎛ D AB t ⎞⎤ ⎤ 4 ⎡1 4 −13 exp ⎢− ⎜ 2 ⎟⎥ ⎥ = 2 exp ⎢ ⎢ ⎥ = 4.08 *10 2 4 ⎝ a ⎠⎦ ⎦ 9π 4 π 2 ⎣9 (60) ⎣ ⎣ ⎦ Ca tidad suficie teme te pequeña como para justificar el que e el pa so i icial hu iéramos tomado sólo el primer térmi o de la serie e (4.46). 2 ¥ ¥ ¥  ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ © ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ © ¥ ¥ ¥ ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 243 ara cálculos rápidos compara do la ecuació (4.46) co la ecuació (4.35) y (4. 36), o servamos que la orde ada de la figura 4.6 (ó 4.2 de Trey al) vale Ea = (2 yAm − 1). Para yAm = 0.7, Ea = 0.4 ; DABt/a2 = 0.28 (de la gráfica) y DAB = 0.11 2 cm2/s. her ood, Pigford y Wilke dan un valor experimental para la difusividad Helio Metano a 298 K (DAB) = 0.675 cm2/s. Corrigiéndola para las condiciones de l experimento tenemos: DAB = (0.675/5)(293/298)1.5(0.7769/0.7793) = 0.1312 cm2/s 4.7. EL ÓLIDO EMI – INFINITO. Otra geometría simple para la cual pueden hallarse soluciones analíticas es el s ólido semi - infinito. Dado que tal sólido se extiende hasta el infinito en toda s menos una dirección, se caracteriza por tener una sola superficie identificabl e. Si repentinamente cambian las condiciones en esta superficie, ocurrirá transp orte transitorio unidimensional al interior del sólido. Nuevamente la ecuación q ue describe transferencia unidimensional transitoria es: esta ¡ ¡ ∂T ∂ 2T =α si se tr t de tr nsferenci de c lor, y ∂t ∂ z2 ∂ cA ∂ 2c A = DAB p r tr nsferenci de m s . ∂t ∂ z2 L condición inici l est rá d d por T(z,0) = T0 y l condición límite intern s erá de l form T(∞,t) = T0. Se us n princip lmente l s soluciones o tenid s p r tres condiciones de superficie, plic d s inst ntáne mente p r t = 0. Son: te mper tur const nte en l superficie TS ≠ T0 ; flujo const nte de c lor en l p red qS, y exposición de l superficie un fluido c r cteriz do por T∞ ≠ T0 y un coeficiente convectivo h. L solución p r el c so 1 puede o tenerse reconocien do l existenci de un v ri le de similitud η, me iante la cual la ecuación i ferencial parcial, involucran o o variable in epen iente (z, t) pue e tran f ormar e en una ecuación iferencial or inaria expre a a en término e una ola variable e imilitu . ¡ ¡ ¡  £ ¡  £  £ ¡  ¥ ¡ ¡ ¥  ¡  ¡ ¥ ¡ ¡ ¥ £ £ £ £ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ £ ¡ ¡ £  £ £¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ¡ ¡ ¥ ¡ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ £ ¥  0 ¡ ¡ ¡ 3  0 £ 0 ¡ ¡  ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ © FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 244 Si analizamo la figura 4.7 ob ervamo que la curva para θ contra z en t1 y t2 muestran similitud en la forma, pero difieren en ue en t2 el calor ha penetrad o más profundamente en la pared ue en t1. Así parece ue cada curva puede carac terizarse por un espesor de penetración ξ(t) diferente, y podemos pre untarnos s i e iste una variable, di amos η = z/ξ(t) , ue pueda unificar todas las curvas en una sola. Analicemos ue la temperatura Tp correspondiente al punto θp se alc anza a la profundidad z1, después de un tiempo t1, pero a la profundidad z2 sólo se alcanza después de un tiempo t2. Si definimos ξ(t) de manera tal ue: ξ1 (t1 ) z1 = ξ2 (t 2 ) z2 = ηp ambo punto (y to o lo punto en lo que e tiene TP o θP) como se muestra en la fi ura 4.8 coincidirán. En ese caso, de la ecuación diferencial parcial ue describe el fenómeno: α ∂ 2θ ∂ θ = ∂ z2 ∂ t (4.47) se podrán eliminar z y t, reduciéndola a una ecuación diferencial ordinaria de l a forma θ(η), on e: T − T0 θ= TS − T0 es la temperatura adimensional. Para dete rminar si la transformación es posible reemplazamos η en la ecuación iferencial u an o la regla e la ca ena : ∂ θ dθ dη θ ⎡ z dξ ⎤ = = − ∂ t dη t η ⎢ ξ 2 dt ⎥ ⎣ ⎦ ; ∂ θ dθ dη θ 1 = = ∂ z dη z η ξ ∂ 2θ ⎡ d ⎡ ∂ θ ⎤ ⎤ ∂ η ⎡ d 2θ 1 ⎤ 1 1 d 2θ =⎢ = = ⎥ ∂ z 2 ⎣ dη ⎢ ∂ z ⎥ ⎦ ∂ z ⎢ d η 2 ξ ⎥ ξ ξ 2 dη 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ £  !  £          £ £     £ £ ! £  £ £ £  £ £ £ £   £ £  ! £  "  ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 245 La ecuació (4.47) se co vierte e : α d 2θ z dθ dξ 2 2 = − 2 ξ dη ξ dη t U an o la efinición e η para eliminar z: 2θ ηξ dξ dθ + ⋅ ⋅ =0 dη 2 α dt dη (4.48) ξ dξ = constante = a α dt Como ξ = 0 en t = 0 (por principios físicos) (4.49) ∫ ξ dξ = aα ∫ dt 0 0 ξ t ; ξ = (2aα t ) 1 2 (4.50) con: θ = 0 θ=1 para η = ∞ para η = 0 í ξ = (4αt)½ h ciendo = 2 por convenienci : Su stituyendo dθ/dη por β se lleg a a u a ecuació de primer orde de varia les separa les que se puede resolver p ara dar: dθ dβ dβ + 2ηβ = 0 ; = −2η η ; ln β = −η 2 + ln C1 ⇉ = C1 exp − η 2 β d η η ( ) θ = C1 ∫ e p(− η 2 ) η + C2 η 0 ¡   ¡ ¡  £ ¡ ¡ L ecu ción diferenci l ordin ri d 2θ dθ =0 2 + aη η η (4.48) se tr nsform en:  E ta ecuación to avía contiene t, pero i acemo ¥ ¥   ¥ £ ¥ ¥ ¥ ¥ ¡ £ ¡ £ £ £ ¥  £ ¥ ¡ ¥ £ " ¡ ¥ £ £ £  ¡   FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 246 Aquí e elige arbitrariamente el límite inferior e la integral in efini a, que no pue e re olver e en forma ilimita a. Si e cambia e el límite inferior por ot ro valor e alteraría implemente el valor e la con tante e integración, no etermina a aún. Aplican o la con icione límite e obtiene: η C2 = 1 ; C1 = − ∞ 0 1 2 ∫ exp(− η ) η 0 ⇉ θ = 1− ∞ o 2 ∫ e p(− η ) η 2 ∫ exp(− η ) η E te valor cambiará entre uno y cero egún η cambie e cero a infinito. para eva luar el enomina or acemo u = η2 ; η = (1/2) u−½ u, y por efinición e la f unción Gama: Γ(α ) = ∫ u α −1 exp(− u )du 0 ∞ ∞ ∞ ( ) 0 entonces: θ= ⎡ z ⎤ T − T0 2 n 2 =1− ∫ exp − η n = erfc(η ) = erfc ⎢ 1/ 2 ⎥ TS − T0 π 0 ⎣ 2(α t ) ⎦ ( ) (4.51) Do de erfc(η) e la función complementaria e error. Significan o por T0 la temp eratura uniforme inicial el cuerpo y TS la temperatura a la que e omete u u perficie a partir e t = 0. De lo valore e la función e error ob ervamo que , para η = 2.0, erfη = 0.995, erfcη = 0.005. Si efinimo zP como la i tancia a la cual el cambio e temperatura T − T0 e 0.5 % el cambio máximo total TS − T 0, entonce zp = 4(αt)0.5. Est c ntid d se conoce como l profundid d de penetr ción y se tom como criterio p r consider r un sólido re l como semiinfinito. O sérvese que no podemos definir est dist nci como quell l cu l T = T0 pu esto que, según nuestro modelo, serí infinit . 1 12 −1 1 π 2 ⎮ exp − η η = ⎮ u exp(− u )du = Γ( 1 2 ) = ⎮ 2 2 2 0   £ £ £  £   ¡ ¡ £ ¡ ¡ ¡ ¡ £ £ £   ¡ £   ¡   £ £  £ £  £ ¡ ¡ ¡ ¡ £  £ £    ¡ £  ¡ ¡ £ £  ¡ ¡ ¡ ¡ £  £ £  £  £ £ £ £  £ £  £  ¡ £ £     £  £ £ " ¥  ¡ £ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 247 z =0 ∂T ∂z = −k (Ts − To ) z =0 dT dη = n =0 T η ( ) n =0 n =0 π =− 2 π (4.52) παt ∂T ∂ 2T =α ∂t ∂ z2 Definiendo Y = T − TS, con TS const nte o tenemos ∂Y ∂ 2Y =α ∂t ∂ z2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ L c ntid d (παt)1/2 se tom con frecuenci como l profundid d de penetr ción ( en lug r de zp = 2(4αt)1/2) por n logí con l expresión p r l densid d de fl ujo de c lor en pl c pl n en st do est le. Sin em rgo, l reempl z rl en ( 4.51) se encuentr que es l dist nci l cu l l diferenci de temper tur h disminuido l 20% de su v lor tot l Ts − To (erfc(0.9) = 0.20). Por esto, p r determin r cu ndo el espesor de un o jeto finito permite h cer el nálisis de cu erpo semi − infinito, consider ndo como criterio el que L ≥ zp, p rece más conse rv dor zP = 4(αt)½ que zp = (παt)½. Como ejercicio solucion remos este mismo c s o us ndo el método de l tr nsform d de L pl ce. Método de Tr nsform d de L pl ce L ecu ción resolver es como ntes ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  − k (T − To ) T q ¡ ¡ ¥ ⎡ dη ⎤ ⎢ dz ⎥ ⎦ =0 ⎣ − 2 exp − η 2 = (4α t )1/ 2 dη qS = k (TS − T0 ) ¡ ¡ ¡ ¡ Es de import nci c lcul r l ley de Fourier : qs = q z = −k velocid d de tr nsporte dentro del medio. Us ndo l ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ £ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ £ £ ¡ ¡ ¡ ¡ (4.53) Con l s siguientes condiciones límite: t = 0, Y = Y0 = T0 − TS , 0 ≤ z ≤ ∞ t >0, Y = 0, z = 0 ; Y = Y0 , z = ∞ ¡ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 248 Recordemos l s tr nsform d s estánd r implic d s ⎡ ∂ f (z ,t ) ⎤ Lt ⎢ ⎥ = p f ( z , p ) − f ( z ,0 ) ⎣ ∂t ⎦ ⎡ ∂ f (z, t )⎤ ∂ f (z , p ) Lt ⎢ ⎥= ∂z ⎣ ∂z ⎦ Usá dolas la tra sformada de (4.53) se escri e como ⎡ d 2Y ⎤ ⎡ dY ⎤ Lt ⎢ ⎥ = Lt ⎢α 2 ⎥ ⎣ dt ⎦ ⎣ dz ⎦ Y Y d 2 Y pY − = − o ; (0, p ) = 0 ; (∞, p ) = 0 2 α α p dz Yo ; m = (p/α)1/ 2 p Aplic ndo l segund condición límite Y = C1 exp(− mz ) + C 2 exp(mz ) + Y ( ∞, p ) = C1 exp(− m∞ ) + C2 exp(m∞ ) + Yo Y0 = ⇉ C2 = 0 p p Yo p A ora, la olución e re uce a Y = C1 exp(− mz ) + Aplican o la otra con ición l ímite Y (0, p) = C1 exp(− m0) + La olución erá Y ( z , p ) 1 exp(− mz ) = − Y0 p p Yo = 0 ⇉ C1 = − Y0/p p Aplican o la tran forma a inver a obtenemo T − TS ⎡ z ⎤ ⎡ z ⎤ = 1 − erfc ⎢ ⎥ = erf ⎢ 2 αt ⎥ T0 − TS ⎣ 2 αt ⎦ ⎣ ⎦ ver (4.51) ¡ £ ¡ £ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡    ¨ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ £ ¡ ¨ £ ¡  ¡  ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ £ ¥ ¡  ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 249 4.8. DI USIÓN Y CONDUCCIÓN NO ESTABLE CON CONVENCIÓN. E los casos a teriores se usaro como co dicio es límite u as e las que la tem peratura o la co ce tració , segú el caso, era co ocida y co sta te. Esta co di ció límite si em argo se aplica solame te e la circu sta cia especial e la c ual o hay resiste cia e la superficie, es decir, cua do la temperatura e la s uperficie es igual a la temperatura del medio am ie te. E la práctica o es sie mpre esa la situació , y la resiste cia de la película veci a al sólido de e co siderarse. ara esto se usa la co dició : qs = h(Ts - T∞) Do de qs es la de sida d de flujo de calor e la superficie y h u coeficie te de tra sfere cia de calo r, cuyo recíproco es u a medida de la resiste cia a la tra sfere cia de calor e la película exter a. Así, si h tie de a i fi ito (Ts − T∞) tiende a cero, o Ts tiende a T∞. Pero si h tiende a cero, qs tiende a cero y estamos en el caso de u n aislador perfecto. La condición límite es pues, para z = L −k ∂T ∂z = h(TL − T∞ ) z= L (4.54) Podría hacerse otro tanto en la superficie z = 0. i la temperatura y los coefic ientes convectivos de transferencia son iguales a ambos lados de la placa, y la distribución inicial de temperaturas es uniforme, la situación es simétrica y en el plano de simetría existirá un máximo o un mínimo. Tomando el origen en el pl ano central tendremos allí una condición límite de segunda especie (similar a un plano aislado): −k ∂T ∂z =0 z=0 Para adimensionalizar la condición límite debemos redefinir θ pues la temperatur a de la superficie ya no es constante: T − T∞ θ= ; z* = z/L To − T∞ Donde T0 es la temperatura inicial uniforme de la placa y T∞ es la temperatura del medio ady acente a la cara en z = L. La ecuación (4.54) y las condiciones límite uedan: −k To − T∞ ∂ θ = h(TL − T∞ ) L ∂ z * z *=1 ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  0 ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ©  ¥ ¥ ¥  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 250 − ∂θ + Biθ L = 0 ∂ z * z *=1 − ∂θ =0 ∂ z * z *=0 donde Bi = hL/k ; L es la lon itud característica, en este caso el semiespesor d e la placa. Bi es el número de Biot. Esta es una relación entre la resistencia a la conducción en el sólido (L/k) y la resistencia a la convección en la películ a e terna (1/h). Obsérvese ue el número de Biot es aparentemente i ual al númer o de Nusselt, pero difiere en forma fundamental pues Nusselt se basa en la condu ctividad del fluido en la película e terior y no en la conductividad del sólido. Aun ue la ecuación diferencial parcial ue describe el fenómeno no varía, su so lución con el fenómeno convectivo será de la forma θ = θ(z ,Fo,Bi). EJEMPLO 4.4. Plantee una ecuación diferencial para el caso de una placa plana co n eneración en estado inestable intercambiando calor con un medio a T∞. Su dist ribución de temperatura inicial es parabólica. Su erencia: Use el método de supe rposición para resolver la ecuación diferencial parcial resultante. Solución. La ecuación ue modela este caso es nuevamente la ecuación: ρC p ∂T = k∇ 2 T + Φ H ∂t Los casos en los que se genera calor en un sólido tienen importantes aplicacione s técnicas. El calor puede generarse por (i) el paso de una corriente eléctrica, (ii) Calentamiento dieléctrico o inductivo, (iii) descomposición radioactiva, ( iv) absorción de radiación, (v) generación mecánica en flujo viscoso o plástico, (vi) reacción química, incluyéndose aquí situaciones tan diversas como el fragu ado del cemento y la maduración de las manzanas. El término de generación puede ser función de la temperatura y/o de la posición, o constante como se presenta e n el calentamiento dieléctrico, entre otros. Utilizando coordenadas rectangulare s y sabiendo que solo existen gradientes de temperatura en la dirección z, coloc ando el origen coordenado en el plano de simetría se obtiene el modelo matemátic o que describe esta situación: 1 ∂T ∂ 2T Φ H + = 2 k α ∂t ∂z donde k: conductivi d d térmic [W/m.K]; α: difusivid d térmic [m2/s]. (1) ! ! ¡  " ¡ !  ¡   " ! ¡ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 251 Condición inici l 2 ⎡ ⎛ z ⎞2 ⎤ ⎛z⎞ t = 0 ; T = T0 = a ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + TS 0 = b − a⎜ ⎟ ; 0 ≤ z ≤ L ⎝L⎠ ⎢ ⎝L⎠ ⎥ ⎦ ⎣ = a + TS0 ; TS0 es la temperatura i icial e la superficie. Co las siguie tes co dicio es límite o de co tor o: t>0 ; ∂T = 0 ; z = 0 pla o de simetría o superficie adia ática ∂z ∂T = h(T − T∞ ) ; z = L superficie convec tiva ∂z t>0 ; −k e resuelve la ecuación el siguiente cambio de iciones límite toman la 0 ≤ z ≤ L ; Ω = T0 F ∂z ∂z ∂z ∂z por el método de superposición para lo cual introducimos variables: T = Ω(z,t) + F(z). La ecuación (1) y sus cond fo ma 1 ∂Ω ∂ 2Ω ∂ 2 F Φ H = + 2 + 2 k α ∂t ∂z ∂z t = 0 : t>0 ; z=0 ; ∂Ω ∂F ∂Ω ∂F + = 0 que es satisfecha po = =0 ⎡ ∂Ω ∂F ⎤ + = h(Ω + F − T∞ ) t > 0 ; z = L ; − k⎢ ⎣ ∂z ∂z ⎥ ⎦ Se puede decir: − k ∂Ω ∂z = hΩ z = L ; − k ∂F ∂z = h(FL − T∞ ) z=L z=L Haciendo que F cumpla: ∂2F ΦH + =0 k ∂z 2 ∂ 2 Ω 1 ∂Ω = Esto implica ∂z 2 α ∂t (2) (3) F se o tiene medi nte integr ción repetid de (2) y l s const ntes de integr ció n se h ll n p rtir de l s condiciones límite y discutid s. Integr ndo un vez : Φ d = − H z + C1 dz k ¥ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ¡ ¡ ¥ ¡ ¡ ¥ ¡ ¥ ¡ ¡  ¡ ¡ ¥   ¡ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¥ 0 ENÓMENO DE TRAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 252 CL1: z = 0 ; d /dz = 0 ⇉ C1 = 0. Integran o nuevamente F =− ΦH z2 + C2 2k CL2: z = L ; −k(d /dz)z = L = h( L − Τ∞) ⎡ Φ L2 ⎤ Φ Φ L ⎛ Φ L⎞ − k ⎜ − H ⎟ = h ⎢− H + C 2 − T∞ ⎥ F = H L2 − z 2 + H + T∞ 2k h k ⎠ 2k ⎝ ⎣ ⎦ ( ) (4) La fu ció Ω(z,t) se obtiene esolviendo (3) po sepa ación de va iables pues se t ata de una ecuación dife encial pa cial con condiciones de conto no homogénea s (pe manecen idénticas al multiplica po una constante la va iable dependiente Ω). Pa a ello se supone que existen dos funciones Θ(z) y G(t), la primera funci ón exclusiva de la posición y la segunda función exclusiva del tiempo, tales que : Ω( z , t ) = Θ( z ) * G (t ) Reemplazando en (3) y reorganizando se tiene 1 dG 1 d 2 Θ = = −γ 2 2 αG dt Θ dz donde γ es un número real. Se i uala a esta const ante pues siendo cada lado función de una variable diferente debe ser una consta nte. Se puede demostrar ue esta constante es un número real y debe ser una cant idad ne ativa para ue no produzca soluciones triviales. De otra parte este valo r es ló ico pues la temperatura debe tener un valor finto cuando t aumenta indef inidamente. Tenemos entonces dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales co n coeficientes constantes. La primera, de primer orden se resuelve por separació n de variables: dG = −αγ 2 dt ⇉ G = C1 exp(−γ 2αt ) G L segund , de segundo ord en d 2Θ + γ 2Θ = 0 2 dz Representando D = d/dz, tendrá por ecuación auxiliar D2 + γ2 = 0 con solución D = iγ, i la unidad ima inaria ( 1)1/2. Entonces (5)     ¡   !  ¡     !   £          $     ¥ 0   ! !   ¥    FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 253 Θ = Ae iγz + Be − iγz = C 2 sen (γz ) + C 3 cos(γz ) CL1: t > 0 ; z = 0 ; dΩ/dz = 0 ⇉ Θ/dz = 0 para solución no trivial. dΘ dz = C 2γ cos(γz ) − C 3 sen (γz ) z =0 = γC 2 = 0 ⇉ C2 = 0. (6) z =0 Con ición límite 2: −k ∂Ω ∂z = hΩ z = L ⇉ − k ∂Θ ∂z = hΘ z = L ya que G no depende de z. z=L z=L Reemplazando − kC3 [− γ sen (γz )]z = L = hΘ L ⇉ C 3 = Θ L kγ sen (γL ) Calculando la ecuación para Θ en z = L con los valores hallados para C2 y C3: ΘL = hΘ L cos(γL ) ⇉ γtan(γL) = h / k ⇉ (γL )tan(γL ) = Bi kγ sen (γL ) (7) Todos los valores de γ ue satisfa an la ecuación trascendental (7) constituyen solución particular de (6). La solución más eneral se obtiene por superposición de las soluciones particulares, a saber: ∞ ⎛ − λ2αt ⎞ ⎛λ z⎞ n ⎟ Ω ( z ,t ) = ∑ An cos⎜ n ⎟ exp⎜ ⎜ L2 ⎟ ⎝ L ⎠ 1 ⎠ ⎝ (8) donde los valo es p opios λn = γL son las raíces de la ecuación trascendental λntanλn = Bi, con Bi = hL/k. La función propia de este prob ema de va or propio es a función cos(λnz/L). An = C1C3, eng oba as dos constantes de integración a determinar. Ap icando a con dición inicia (t = 0) y uti izando as propiedades de ortogona idad que present an as funciones propias, mu tip icamos ambos ados de Ω(z,0) po cos(λnz/L) e i ntegrando: ¤ ¤   ¤ ¤ ¤ ! ¤ ¤ ! ¤ ¤ ¤ ¤    ¤   ¤ ¤ £ ¤ £  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento L ⎛ λn z ⎞ ⎛λ z⎞ ⎮ (T0 − F ) cos⎜ ⎟dz = An ⎮ cos 2 ⎜ n ⎟dz ⎮ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ 0 0 L 254 (9) ⎛ ⎞ Φ L2 Φ L a ⎛λ z⎞ ⎛Φ = ⎜ b − H − H − T∞ ⎟⎮ cos⎜ n ⎟dz + ⎜ H − 2 ⎜ ⎟ 2k h ⎝ 2 k L ⎝ L ⎠ ⎝ ⎠ 0 L ⎛λ z⎞ ⎞ 2 ⎟⎮ z cos⎜ n ⎟dz ⎠ ⎝ L ⎠ Se estiman a continuación las dife entes integ ales involuc adas en (9) λn n L λ ⎞ ⎡ sen (2u ) u ⎤ n ⎟⎢ + ⎥ ⎟⎣ 4 2⎦0 ⎠ λ 0 =⎜ ⎜ ⎛ L ⎞ ⎡ sen (2λ n ) λ n ⎤ sen λ n cos λ n + λ n ⎟⎢ + ⎥= ⎟ 4 2⎦ 2(λ n / L ) ⎝ λn ⎠⎣ La i tegral de cos(cz) es (1/c)se (cz). La i tegral resta te de erá hacerse por partes y de ma era recurre te: L ⎛ z2 ⎞ ⎛2⎞ 2 ⎮ z cos(cz )dz = ⎜ ⎟ sen (cz ) − ⎮ ⎜ ⎟ z sen(cz )dz ⎜ c ⎟ ⎮ ⎝ c⎠ ⎝ ⎠ 0 0 L L ⎮ z sen (cz )dz = −⎛ z ⎞ cos(cz ) + 0 0 L Se obtiene entonces que: ⎛ L3 2 ⎛ λn z ⎞ ⎮ z cos⎜ L ⎟dz = ⎜ λ ⎜ 0 L ⎝ ⎠ ⎝ n ⎛ 1 ⎞ cos(cz )dz ⎜ ⎟ ⎮⎜a⎟ ⎮ ⎝a⎠ ⎝ ⎠ ⎛ L cos( 2u ) + 1 ⎛λ z⎞ du = ⎜ ⎮ ⎮ ⎜λ 2 ⎮ ⎝ L ⎠ cos 2 ⎜ n ⎟ dz =(L / λ n )⎮ cos 2 udu = (L / λ n ) ⎝ n 0 0 ⎛ 2 L3 ⎞ ⎛ 2 L3 ⎞ ⎞ ⎜ 2 ⎟ cos λ n − ⎜ 3 ⎟ sen λ n ⎟ sen λ n + ⎜ ⎟ ⎜ λ ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ λn ⎠ ⎝ n ⎠ 4 eemplazando los valo es de T0 y F, la integ al de la izquie da es L 2 2 2 ⎮ (T − F ) cos⎛ λ n z ⎞dz = ⎛ b − az − Φ H L + Φ H z − Φ H L − os⎛ λ n z ⎞dz ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ∞ ⎟ ⎮⎜ ⎮ h 2k 2k L2 ⎝ L ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ L ⎠ 0 0 L ¤ ¤      ¥ ¤     ¥   ¥ ¥   ¥ ¥ ¤   ⎞ c FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 255 ⎡ L3 2 L3 ⎤ ⎛ 2 L3 ⎞ = ⎜ 2 ⎟ cos λ n + ⎢ − 3 ⎥ sen λ n ⎜ λ ⎟ ⎣ λn λn ⎦ ⎝ n ⎠ Teniendo en cuenta los valo es de las integ ales ante io es, las constantes An s on: ⎡ Φ L Φ L2 2a ⎤ a⎤ 4 L2 ⎡ Φ H − 2 ⎢(TS 0 − T∞ ) − H − H 2 + 2 ⎥ sen (λ n ) + cos (λ n ) h λ n ⎢ 2k L2 ⎥ kλ n λn ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ A = se (λ n ) cos(λ n ) + λ n Fina mente a expresión para e perfi de temperaturas es ∞ ⎛ − λ2αt ⎞ Φ H 2 ΦH L ⎛λ z⎞ 2 n T( z ,t ) = ∑ An cos⎜ n ⎟ exp⎜ ⎟ ⎜ L2 ⎟ + 2k L − z + h + T∞ ⎝ L ⎠ 1 ⎠ ⎝ ( ) (10) Aplicación numé ica. Un elemento combustible de un eacto nuclea tiene la fo m a de una placa plana de espeso 2L = 20 mm y está enf iado desde sus dos supe fi cies con coeficiente convectivo 1100 W/m2.K, y T∞ = 250 °C. En ope ación no mal gene a ΦH1 = 107 W/m3. Si repentinamente esta potencia aumenta a ΦH2 = 2x107 W/m 3, determine la nueva distribución de temperaturas en la placa después de alcanz ar nuevamente el estado estable. Las propiedades térmicas del elemento de combus tible nuclear son k = 30 W/m.K y α = 5x10−6 m2/s. En est do est le l ecu ción (1) se reduce ∂ 2T Φ H + =0 k ∂z 2 Con las condi ciones límite CL1: ∂ = 0 ; z = 0 plano de simetría o superficie adiabática ∂z ∂ = h( − ∞ ) ∂z z = L superficie convectiva CL2: − k Integrando una vez Φ d = − H z + C1 dz k                             ¥ ¡     ¥ ¤   ¤     ¡ 4 ¡   ¡  ¤ 4 ¡ 4   ¤   4 4 ENÓMENOS DE RAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales ransferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 256 ⎛ Φ L2 ⎞ ⎛ Φ L⎞ CL2: − k ⎜ − H ⎟ = h⎜ − H + C 2 − T∞ ⎟ ⎜ ⎟ 2k k ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ Se o serva que cua do h tie de a i fi ito, TS, la temperatura de la superficie z = L, tie de a T∞ la temperatura del medio. ara el caso prese te, reemplaza do los valores uméricos, e la situació i icial la distri ució de temperaturas e s: ⎡ ⎛ z ⎞2 ⎤ T1 = 16.667 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + 340.91 °C ⎢ ⎝ 0.01 ⎠ ⎥ ⎦ ⎣ (11) Y cua do uevame te se alca za la co dició de estado esta le: ⎡ ⎛ z ⎞2 ⎤ T2 = 33.334⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + 431.82 °C ⎢ ⎝ 0.01 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ (12) Se o serva que el orige coorde ado se toma e el pla o de simetría por lo cual la lo gitud característica L es el semiespesor (10 mm). Reemplaza do los valores uméricos a teriores, la expresió (10) toma la forma ∞ ⎛λ z⎞ T ( z , t ) = ∑ An cos⎜ n ⎟ exp − 0.05λ2 t − 3.333 x10 5 z 2 + 465.15 n ⎝ 0.01 ⎠ n =1 ( ) (13) con An = [(66.66 cos λ n ) / λ n ] − [181.82 + (66.66 / λ2n )] sen λ n cos λ n + λ n ¥ ¥ 4 ¥ ¥   ¥ ¥ © ¥ ¥ ¥ 4 Φ H L Φ H L2 ⇉ C2 = + + T∞ 2k h ⎢ ⎝L⎠ ⎥ ⎣ ⎦ Φ L2 = H 2k ⎡ ⎛ z ⎞2 ⎤ Φ H L + ∞ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + 4 aplicando la primera condición límite C1 = 0. Integrando nuevamente C2 2k 4 ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ 4 ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥  =− ΦH z2 + FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento 257 Para apreciar a rápida convergencia de esta serie haremos eva uaciones en difer entes posiciones y tiempos. E estado estab e T1 corresponderá a t = 0 y e T2 a t = ∞. Eva uamos Biot: Bi = hL (1100)(0.01) 0.367 = = 0.367 ⇉ tanλ n = λn 30 k Uti izando e método de Newton de convergencia obtenemos λ1 = 0.5711; λ2 = 3.253 9; λ3 = 6.3410; λ4 = 9.4635, y, respectivamente A1 = − 107.79; A2 = 0.216; A3 = − 0.0167; A4 = 0.00304. Tomando so o os dos primeros términos de a sumatoria o btenemos: Ecuación (11) T1 = 357.58 T1 = 353.41 T1 = 340.91 Ecuación (13) T(0,0) = 357.58 T(0.005,0)=353.38 T(0.01,0) = 340.92 Ecuación (12) T2 = 465.15 T2 = 456.82 T2 = 431.82 Ecuación (13) T(0,∞) = 465.15 T(0.005,∞)=456.82 T(0.01,∞) = 431.82 z=0 z = L/2 z=L En a tab a anterior as ongitudes están en metros y as temperaturas en °C. Es de anotarse que para este sistema, después de 300 s, a temperatura en e centr o T(0.005,300) difiere menos de un grado centígrado respecto a a de estado esta b e T2, y después de 500 s difiere en menos de 0.1 °C. 4.9. CONDUCCION NO ESTACIONARIA CON CONVECCION. CONDICION INICIAL UNIFORME. 4.9. 1. Pared p ana infinita con convención simétrica. La situación es semejante a a i ustrada a figura 4.5 pero para transferencia g enera izada y con condiciones de frontera diferentes. Su espesor es 2L. Partiend o de a ecuación (4.1): ∂ 2 Ψ 1 ∂Ψ = ∂z 2 β ∂t La co dició i icial: Ψ = Ψ0 para t = 0 y todo z. Las condiciones de frontera: p ara z = 0 (plano de simetría) ∂Ψ/∂z = 0 En la superficie, ubicada en z = L (o en −L) el calor (o la materia) que llega por conducción se transfiere por convecci ón hacia un medio de concentración Ψ∞: −k(∂Ψ/∂z) = h(Ψ − Ψ∞) ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ENÓMENOS DE RAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales ransferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 258 La solución por el método de separación de variables es: θ= ∞ Ψ − Ψ∞ = ∑ Cn exp(−λ2 Fo) cos(λn z * ) n Ψ0 − Ψ∞ n=1 (4.55) z* = z/L, coordenada adimensional. L es el semiespesor de la pared. El coeficien te Cn es 4 senλ n Cn = 2λ n + sen(2λ n ) y os va ores discretos (propios o va o res eigen) de λn son as raíces positivas de a ecuación trascendenta λn tan λn = Bi Bi = hL para transferencia de ca or k kc L D AB para transferencia de masa Bi = 4.9.2. Ci indro infinito con convención. Las condiciones son simi ares a as discutidas para obtener a ecuación (4.38). Para temperatura inicia uniforme y convección en a superficie a so ución es θ= ∞ Ψ − Ψ∞ = ∑ Cn exp(−λ2 Fo) J 0 (λn r * ) n Ψ0 − Ψ∞ n=1 (4.56) Donde r* = r/R, posición adimensional, y Cn = ⎤ 2 ⎡ J 1 ( λn ) ⎢ 2 2 λn ⎣ J 0 ( λn ) + J 1 ( λ n ) ⎥ ⎦ λn J 1 (λn ) = Bi J 0 (λn ) ¤ y los valores discretos de λn son as raíces positivas de ta a ecuación trascenden ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ 4 ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤  4 ¤ ¤  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento 259 Bi = hR k kc R DAB para transferencia de ca or Bi = para transferencia de masa Las cantidades J0 y J1 son funciones Besse de primera c ase y orden cero y uno respectivamente (véase definición después de a ecuación (4.39) 4.9.3. Esfera con temperatura inicia constante. De forma simi ar a como obtuvimos as ecuaciones (4.40), ahora, para a esfera c on resistencia convectiva θ= ∞ Ψ − Ψ∞ 1 = ∑ Cn exp(−λ2 Fo) sen(λn r * ) n * Ψ0 − Ψ∞ n=1 λn r (4.57) Donde r* = r/R, posición adimensiona , y Cn = 4[sen(λn ) − λn cos(λn )] 2λn − se n(2λn ) y os va ores discretos de λn son as raíces positivas de a ecuación trascenden ta 1 − λn cot λn = Bi Bi = hR k kc R DAB para transferencia de ca or Bi = para transferencia de masa Cuando r = 0, por L’Hopital se demuestra que: sen(λnr*)/(λnr*) → 1, es decir θC = ΨC − Ψ∞ 2 = C1 exp(−λ1 Fo) Ψ0 − Ψ∞ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ENÓMENOS DE RAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales ransferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 260 4.9.4. Soluciones aproximadas. Para valores de o ≥ 0.2, las series infinitas de las ecuaciones (4.55), (4.56) y (4.57) se puede aproximar por el primer término de la serie. Los valores de Cn y λn para una gama de va ores de numero de Biot se dan en a tab a 1. 4.10. VALORES PROMEDIO. Integrando con respecto a vo umen y dividiendo por e mismo obtenemos e va or promedio de a variab e independiente en e sistema con función de tiempo. 4.10.1. P aca p ana infinita. Integrando sobre e vo umen de a pared a ecuación (4.55) ∞ Ψ − Ψ∞ senλ n 1 Ψ − Ψ∞ dz = m =∑ C n exp(−λ 2 Fo) n ⎮ Ψ −Ψ L λ n ∞ 0 L (4.55a) Estos va ores promedio son de uti idad para averiguar entre otras, a cantidad d e materia (energía) que ha entrado o sa ido de sistema en un apso dado. La can tidad Q0 = ρCPV (T0 − T∞ ) puede se inte p etada como la ene gía inte na inicia l de la pa ed elativa a la tempe atu a del fluido. También es la máxima cantida d de ene gía que se pod ía t ansfe i si el p oceso se continua a po tiempo inf inito. Compa ablemente, M 0 = V(c 0 − c ∞) se ía la máxima cantidad de la especi e que pod ía ext ae se del (o t ansfe i se al, si negativo) sistema. 4.10.2. Cilind o infinito. Pa tiendo de (4.56) y sabiendo que po definición J 0 (λn r )dr = ⎛ R ⎞ J1 (λ n R ) ⎜ λ ⎟ ⎮ n⎠ ⎝ 0 ∞ C exp(−λ2 Fo) J1 (λn ) Ψ − Ψ∞ 2 Ψ − Ψ∞ n rdr = m = 2∑ n λn R 2 ⎮ Ψ0 − Ψ∞ Ψ 0 − Ψ∞ n =1 0 R R (4.56a) 0 Ψ0 − Ψ∞ n =1 ¤ ¤     ¤ ¤ ¤     ¤ ¤ 4 ¤   ¤         ¤     ' ¤ ¤           ¤ ¤     ' ¤ ¤   ¤ ¤ '   ¤ ¤     ¤   ¤     4 ¤       ¤ ¤     '  ENÓMENOS DE RAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales ransferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 261 4.10.3. Esfera. Partiendo de (4.57) ∞ Cn exp(−λ2 Fo) Ψm − Ψ∞ 3 R 2 n = 3∑ [sen(λn ) − cos(λn )] ∫ θ r dr = R3 0 Ψ0 − Ψ∞ λ3 n =1 n (4.57a) Como ya vimos, a condición inicia estará dada por Ψ(z,0) = Ψ0 y la condición l ímite interna será de la forma Ψ(∞,t) = Ψ0. Se usan principalmente las solucione s obtenidas para tres condiciones de superficie, aplicadas instantáneamente para t = 0. Son: concentración constante en la superficie ΨS ≠ Ψ0 ; flujo constante en la pared ΠmS, y exposició de la superficie a u fluido caracterizado por Ψ∞ ≠ Ψ0 y un coeficiente convectivo h o kc que en forma general denominaremos H. Ha llamos las siguientes soluciones: ¤ Los va ores de Cn y λn se toman de a tab a 4.1 usando os coeficientes de ema correspondiente. 4.11. EL SÓLIDO SEMI – INFINITO. ¤ 4 ¥ ¤ ¤ ¤ ¥  ¤ 4 ¤  sist ENÓMENOS DE RAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales ransferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 262 4.11.1. Caso 1 Concentración constante en la superficie: Ψ(0,t) = ΨS. ⎡ ⎤ Ψ ( z , t ) − ΨS z = erf ⎢ 1/ 2 ⎥ Ψ0 − ΨS ⎣ 2( β t ) ⎦ (4.51a) erfη ≡ 2 η o π 2 ∫ ex ( −u )du es la función de error gaussiana que se encuentra tabulada o se puede calcular directamente con la ayuda de una calculadora que tenga la función integral. Π mS = β (ΨS − Ψ0 ) πβ t (4.52a) 4.11.2. Caso 2 - lujo co sta te e la superficie: ΠmS = − β(∂T/∂z)z = 0 = co st a te. 2Π mS β t ⎞ π ex ⎛ − z 2 ⎞ − Π mS z erfc⎛ z ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 2 β t⎟ ⎟ 4β t ⎠ ⎝ β ⎝ ⎠ Ψ ( z , t ) − Ψ0 = β erfc η ≡ 1 − erf η función complementaria e la función 4.11.3. Ca o 3 Convección en la uperficie. −k ∂T ∂z = T∞ − T (0, t ) z =0 [ ] ó − DAB ∂ cA ∂ z = k c [c A∞ − c A (0, t )] z =0 Para e te ca o en la uperficie z = 0 ay una re i tencia finita; TS (cAS) ya no e con tante ino que varía con el tiempo y la temperatura el me io, T∞ (o la e error. ¥ £ £ £ 4  £   ¥ ¥ ¥       4        ¥  concentración cA∞) e la que e con i era con tante. La olución e entonce : ⎡ z ⎤ ⎡ hz h 2α t ⎤ ⎡ T ( z , t ) − T∞ + exp ⎢ + 2 ⎥ ⎢1 − erf = erf ⎢ 1/ 2 ⎥ To − T∞ k ⎦⎢ ⎣k ⎣ 2(αt ) ⎦ ⎣ ⎡ h(α t ) 1/ 2 ⎤⎤ z ⎢ ⎥⎥ + 1/ 2 ⎢ k 2(α t ) ⎥ ⎥ ⎣ ⎦⎦ (4.51c) ⎤⎤ ⎡ ⎛ t ⎞1/ 2 ⎡ ⎤ ⎡ kc z k c2 t ⎤ ⎡ z z c A ( z , t ) − c A∞ ⎢1 − erf ⎢k c ⎜ ⎟ + ⎥⎥ = erf ⎢ + exp ⎢ + ⎥ 1/ 2 ⎥ 1/ 2 ⎟ ⎜ c Ao − c A∞ 2(DAB t ) ⎦ 2(D AB t ) ⎥ ⎥ ⎢ ⎝ D AB ⎠ ⎣ D AB D AB ⎦ ⎢ ⎣ ⎦⎦ ⎣ ⎣ (4.51d)     £    ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 263 La temperatura (co ce tració ) de la superficie la e co tramos para z = 0 y la d e sidad de flujo puede determi arse como q = h(TS − ∞) ó NA = kc(cAS cA∞) don de h o kc es el coeficiente convectivo calculado para las condiciones del fluido circundante. El fenómeno puede analizarse como si se agregara un espesor adicio nal de sólido del tamaño k/h = ∆z* o DAB/kc = ∆z*. Al analiza los t es casos po demos obtene algunas conclusiones: pa a el caso 1, la tempe atu a del medio se ap oxima monótonamente a TS a medida que t anscu e el tiempo, mient as que la m agnitud del g adiente de tempe atu a supe ficial así como el flujo de calo en l a supe ficie, dec ece como t−0.5. En cont aste, pa a el caso de flujo constante en la inte fase, se obse va que T(0,t) = TS(t) aumenta monótonamente con t1/2. P a a el caso de convección en la supe ficie, la tempe atu a supe ficial y la temp e atu a dent o del sólido se ap oximan a la tempe atu a T∞ del fluido a medida q ue t anscu e el tiempo. Ocu e po lo tanto un dec ecimiento en el flujo de cal o en la inte fase, qS(t) = h[ TS(t) − T∞ ]. Debe nota se que pa a el caso (3) e l esultado de hace h = ∞ es equivalente al caso (1), es deci que la supe fici e alcanza instantáneamente la tempe atu a del medio (TS = T∞). Los ante io es e sultados analíticos se p esentan en fo ma g áfica en las siguientes fo mas funci onales: θ = f1(Bi, Fo, z/L) tales como los ráficos de Gurney Lurie o los de G röber Erk; θ = f2(Bi, Fo, 0) o de temperatura (concentración) en el plano, eje o centro de simetría; θ = f3(Bi, Fo, 1) o de temperatura (concentración) en la superficie; Q/Q0 = f4(Bi, Fo) o de calor (masa) total transferida. f2 y f3 son d enominados de eisler. 4.11.4. Sólido infinito compuesto. Una permutación interesante del caso (1) resulta cuando dos sólidos semi infin itos, a temperaturas iniciales TA0 y TB0, se ponen en contacto a través de sus s uperficies libres. Si la resistencia de contacto es despreciable, el re uisito d e e uilibrio térmico indica ue para t = 0, el momento del contacto, ambas super ficies deben tomar la misma temperatura TS, la cual será TB0 < TS < TA0 (suponie ndo TB0 < TA0). Como TS no cambiará con el tiempo, implica ue tanto la historia de la temperatura como la del flujo de calor en la interfase para cada uno de l os sólidos viene dada por las ecuaciones del caso (1).                          ¥         ¥   ¥     4 ¥            !               ¥         ¥     ¥    ¥      ¥ ¥     ¥                                  ¥  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 264 La temperatura de e uilibrio en la interfase puede determinarse a partir de un b alance de ener ía, el cual re uiere ue SA = SB. Reemplazando la ecuación para flujo de calor, reconociendo ue si tomamos el ori en coordenado en la interfas e SA debe cambiar de si no, obtenemos: TS = TA 0 ( kρC P ) + TB 0 ( kρC P ) B ( kρC P ) + ( kρC P ) B quí, la cantidad m ≡ (kρC P ) es un facto que dete mina si TS está más p óxima T 0 (m > mB) o a TB0 (m < mB). 4.11.5. coplamiento infinito de difusión. Un caso simila en t ansfe encia de masa pod ía visualiza se cuando un ext emo d e un bloque semiinfinito de ace o conteniendo concent ación unifo me de ca bón c 0, se coloca en contacto íntimo con ot o ext emo de un bloque semiinfinito de a ce o pu o y el ca bón difunde hacia el ace o pu o. Si analizamos en gene al y ll amamos c 2 la concent ación pa a z < 0 y c 1 pa a z > 0 las condiciones límite e n z = 0 pueden esc ibi se como c 2/c 1 = γ ; DAB1(∂cA1/∂z) = DAB2(∂cA2/∂z) donde γ es la relación entre la concentración ue se tendría en la z < 0 y la de la r e ión z > 0 cuando el e uilibrio se alcance. Observando las soluciones (4.51) no sotros buscaremos soluciones de la forma z z>0 c A1 = A1 + B1erf 2 D AB1t c A 2 = A2 + B2 erf z 2 D AB 2 t z<0 A partir de las condiciones iniciales A1 + B1 = cA0 ; A2 + B2 = 0. A partir de l as condiciones de frontera γA1 = A2 ; B1(DAB1)1/2 = − B2(DAB2)1/2. Despejando la s constantes y reemplazando obtenemos c A1 1 = c A0 1 + γ (D AB 2 / D AB1 )1 / 2 c A2 γ = c A0 1 + γ (D AB 2 / D AB1 )1 / 2 ⎡ ⎤ z 1/ 2 ⎢1 + γ (D AB 2 / D AB1 ) erf ⎥ 2 D AB1t ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ z ⎢1 − erf ⎥ 2 D AB 2 t ⎥ ⎢ ⎣ ⎦           '       !            '       ' '        ' !               ! ' ' ' '     ' ! ' ' ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 265 Se puede o servar que cua do la difusió ocurre los valores e la i terface perm a ece co sta tes e iguales a c A1 1 = c A0 1 + γ (D AB 2 / D AB1 )1 / 2 c A2 γ = c A0 1 + γ (D AB 2 / D AB1 )1 / 2 Para el caso ue nos ocupa la difusividad en las dos barras será i ual y γ = 1 p or lo ue ⎛ ⎞ c A1 1 1 z ⎟ ; = + e f ⎜ ⎜2 D t ⎟ c A0 2 2 AB ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ c A2 1 1 z ⎟ = − e f ⎜ ⎜2 D t ⎟ c A0 2 2 AB ⎠ ⎝ El flujo de ca bón a t avés del plano en z = 0 es J Az = − D AB ∂ cA ∂z = z =0 c A0 2 D AB t π La masa de carbón que ha cruzado el lano z = 0en el tiem o t es M = ∫ J A dt = −c A0 0 t D AB t π La difusividad másica del carbón en el acero a 1000 °C es 3x10−11 m2/s. 4.12. CILINDROS PLACAS INI AS. Analizamos el caso presentado en la figura 4.9, donde tenemos un paralelepípedo rectangular de lados 2a, 2b y 2c. Sin embargo, los extremos en z = ± c están sel lados a la transferencia lo que es equivalente a tener un paralelepípedo de long itud infinita, y sólo habrá gradiente en las direcciones x e y. La ecuación ( 3. 41 ) se reduce en esta ocasión a: ρC p ⎡ ∂ 2T ∂ 2T ⎤ ∂T = k⎢ 2 + ∂t ∂Y 2 ⎥ ⎣∂ x ⎦ (4.58) Co dicio es de fro tera: t < 0 T = T0 - a < x < a t=0 −k b<y<b y=±b 4 4 4 ∂ ∂ = h( − ∞ ) x = ± a; − k = h( − ∞ ) ∂x ∂y ¥ ! ¥ ¥  ¥  ¥ ¥    ¥ 4 ¥    ¥ ¥  ¨   ¥  4  ¥ ¥    ¥ 4 4 ¥ ¥  ENÓMENOS DE RAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales ransferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 266 x=0 ∂ =0 ∂x y=0 ∂ =0 ∂y Para resolver este problema consideremos que la barra rectangular infinita de la figura 6 está formada por la intersección de dos placas infinitas de espesor 2a y 2b. Newman demostró (1931) que es posible expresar la distribución de tempera tura adimensional como un producto de las soluciones para las dos placas de espe sor 2a y 2b respectivamente: ⎡ T − T∞ ⎤ ⎡ T − T∞ ⎤ ⎡ T − T∞ ⎤ =⎢ =⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ To − ∞ ⎦ arra ⎣ To − ∞ ⎦ placa2 a ⎣ To − ∞ ⎦ placa2 (4.59) Do de T0 es la temperatura i icial de la arra y T∞ es la temperatura am ie te q ue para h te die do a i fi ito se co vierte e TS. ara usar el método de separa ció de varia les para solucio ar la ecuació (4.58) supo emos u a solució prod ucto de la forma: T(x,y,t) = (x,t).G(y,t) (4.60) ∂ 2T ∂ 2 =G , ∂ x2 ∂ x2 ∂ 2T ∂ 2G = ∂ y2 ∂y 2 α ∂ 2T ∂T = ∂ x2 ∂t α ∂ 2T ∂T = ∂ y2 ∂t (4.61) ∂ 2 T ∂ 2 T ∂T = Fα + Gα ∂ x2 ∂ y2 ∂t  ∂T ∂G ∂ = +G ∂t ∂t ∂t ara placas i fi itas supo ie do solucio es Ta = (x,t) ; T escri ir: = G(y,t) , Se podrá ¥  ¥ ¥ ¥ 4  ©  ¥ ¥ 4  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ 4  ¥ ¥ ¥ 4 ¥    ¡     ¡ ¡  4 ¥ ¥ 4 4 © FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 267 Reempl z ndo en (4.58): α ⎢F ⎡ ∂ 2 Tb ⎡ ∂ 2 Tb ∂ 2 Ta ⎤ ∂ 2 Ta ⎤ +G = α ⎢F +G 2 2 ∂ x2 ⎥ ∂ x2 ⎥ ⎣ ∂y ⎦ ⎣ ∂y ⎦ Esto sig ifica que la distri ució de temperatura adime sio al para la arra rec ta gular i fi ita puede expresarse como u producto de las solucio es para las d os placas de espesor 2a y 2 como se i dica e (4.59). E forma semeja te, la so lució para u loque tridime sio al (como por ejemplo u ladrillo) puede expres arse como u producto de las solucio es de las tres placas i fi itas que tie e por espesores las tres aristas del loque. Así mismo u a solució para u cil dr o de lo gitud fi ita podría expresarse como u producto de solucio es de u cili dro i fi ito y u a placa i fi ita de espesor igual a la lo gitud del cili dro. odría com i arse las solucio es de cili dro i fi ito y el sólido semii fi ito para o te er distri ucio es de temperatura e cili dros y arras semi-i fi itos. 4.13. SISTEMAS CON BAJA RESISTENCIA INTERNA Y ALTA RESISTENCIA EXTERNA. Al a alizar las expresio es que correlacio a el perfil de temperatura co el ti empo y la posició cua do hay resiste cia exter a, se o serva que para valores d el parámetro Bi = hL/ks (ks co ductividad térmica del sólido) me ores de 0.1 (pa ra el i verso mayor que 10), la temperatura e el sólido es ese cialme te u ifor me e cualquier i sta te (difere cias de temperatura me ores al 5%). E tales ca sos se puede despreciar la variació de la temperatura co la posició co sidera do que ésta sólo varía co el tiempo. Como la forma geométrica o tie e importa cia el a álisis se simplifica. Co sideremos u sólido de forma ar itraria, volu me V, área superficial total S, co ductividad térmica k, de sidad ρ, calo espe cífico Cp y tempe atu a unifo me T0 que en el instante t = 0 se sume ge en un fl uido bien agitado que se matiene a tempe atu a T∞. Hay t ansfe encia de calo po convección ent e el sólido y el líquido con coeficiente de t ansfe encia de ca lo h. Se supone que en cualquie instante la dist ibución de tempe atu a dent o del sólido es suficientemente unifo me, de tal modo que se puede conside a que la tempe atu a del sólido es función solamente del tiempo. Definimos la longitu d ca acte ística L del sólido como el volumen dividido po el á ea supe ficial, o sea L = V/S. Si el sólido está siendo enf iado T > T∞_ y el balance mac oscópi co da:   ¥ ¥ ¥   ¡     ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥     ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥      ¥       ¡ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥       ¥ ¥ ¥ ¥    ¥ ¡   ¥ ¥ ¥  ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¡ ¡ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥   ¥ ¥   ¥ ¡ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¡   ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¡    ¥ ¥ ¥ ¥   ¡ ¥   ¥ ¥ ¥  ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¡ ¡     ¥ ¡ ¡ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¡   ¥ ¥   © ¥ ¥ ¥ 268 − ρ C pV (4.62) θ= ⎡ hSt ⎤ ⎡ t⎤ T − T∞ = exp ⎢− ⎥ = exp ⎢− ⎥ To − T∞ ⎢ ρ C pV ⎥ ⎣ to ⎦ ⎣ ⎦ (4.63) El grupo (ρCpV/hS) es una constante de tiempo tC. Se define como el tiempo neces a io pa a que θ val a e p(−1) = 0.368 ó 1 − θ val a 0.632 1−θ = T − To T∞ − To ue es el tiempo necesario para ue ocurra el 63.2 % del cambio de temperatura t otal. Observando la fi ura 4.10 vemos ue la temperatura decrece e ponencialment e con el tiempo y el valor de m en el e ponente determina la forma de la curva. Observemos ue la cantidad hSt ⎛ hL ⎞ k t = Bi Fo ≡⎜ ⎟ ρ C pV ⎝ k ⎠ ρ C p L2 La longitud ca acte ística pa a una esfe a se convie te en R/3, pa a un cilind o in finito es R/2 y pa a una placa infinita de espeso 2a es a. El equivalente al nú me o de Bi en t ansfe encia de masa es BiD = (kρa/DAB) ó (kρR/DAB) según el caso ; kρ es el coeficiente de t ansfe encia de masa, DAB es la difusividad dent o de l sistema. EJEMPLO 4.5. Si se desea medi una tempe atu a inestable con un te mómet o es im po tante conoce la velocidad con la cual el te mómet o sigue el p oceso. El "ti empo del valo medio" es el tiempo dent o del cual la dife encia inicial ent e l a tempe atu a ve dade a y la tempe atu a indicada po el te mómet o, se educe a la mitad después de un cambio epentino de la tempe atu a ve dade a.   1 Velocidad de disminución de entalpía. 2 Velocidad de pé dida de calo en la supe ficie. Reo ganizando e integ ando con T = To en t = 0 :                 "                         !             "                     dT = h(T − T∞ ) dt 1 2   ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento           ' " !       !   '                                 de FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 269 (1.0 x10 − 4 )(69.3) hr =0.0098 hr = 35 s. (4)(0.178) Sol mente p r c m ios inest les de temper tur mucho más lentos (por ejemplo s i el c m io de temper tur es de form sinusoid l, l dur ción del período de e ser del orden de diez veces m yor), podemos esper r que el termómetro indique l m rch de l temper tur en form decu d . 4.14. CONDICIONES LIMITE EN FUNCION DEL TIEMPO. Supong mos que el sólido que n liz mos está sumergido en un fluido cuy temper tur c m i line lmente con el tiempo, o se l temper tur del fluido o edece l siguiente expresión : T∞ = T0 + βt L ecu ción (4.58) qued de l form : hS (T − T0 − β t ) ∂ T hS (T∞ − T ) ρC p = =− V V ∂t de donde: dT hS hSβ hST0 T= t+ + dt ρ C pV ρ C pV ρ C pV   ¡ Debemos calcula este tiempo de valo medio pa a un te mómet o de me cu io que e stá instalado en una co iente de ai e. El bulbo de me cu io tiene fo ma cilínd ica de 0.01 pie de adio. La conductividad té mica del me cu io es k = 5 Btu/h.p ie.°F; su difusividad té mica es α = 0.178 pie2/h. Despreci mos l resistenci t érmic de l pequeñ p red de vidrio. El coeficiente de tr nsferenci de c lor e n l corriente de ire se estim en h = 10 Btu/h.pie2.°F. Con estos d tos Bi = h L/k = (10)(0.01)/((5)(2)) = 0.01. L rel ción de temper tur en l ecu ción (4.5 9) es 0.5 cu ndo el exponente v le 0.693. Entonces l ecu ción p r l determin ción del tiempo de v lor medio tm es: (αtm/L2)(hL/k) = 0.693 (αtm/L2) = 0.693/0. 01 = 69.3 tm = ¡ ¡ ¡ ¡    ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡     ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡             ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡     ¡ ¡ ¡ ¡   ¡   ¡ ¡ ¡ ¡     ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡      ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡    ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ 270 haciendo: m= hS ρCpV (4.64) dT + mT = mβt + mT0 dt La solució particular tie e la forma: T = A1t + A0. Reemplaza do e (4.64), A1 + m(A1t + A0) = mβt + mT0 ara que se cumpla esta igualdad: A1mt = mβt ; A1 = β A1 + mA0 = mT0 ; A0 = T0 −β/m La solució de la ecuació reducida es T = C1 exp( − mt) d + m = 0 dt La solución general es: = βt +T0 − (β/m) + C1 exp(− mt) Para evaluar C1 aplica mos la condición límite: t = 0 ; = 0 ⇉ C1 = β/m O sea: T = T0 + βt − ρ C pV hS β ⎢1 − exp ⎢− ⎢ ⎣ ⎡ hSt ⎤ ⎤ ⎥⎥ ⎢ ρ C pV ⎥ ⎥ ⎦⎦ ⎣ ⎡ (4.65) La ecuación (4.65) se grafica en a figura 4.11. Se puede observar que a temper atura de só ido siempre está rezagada con respecto a a temperatura de f uido. Tan pronto como a transición inicia termina, e retraso permanece constante. Su va or se obtiene de a ecuación (4.65) para un tiempo t suficientemente grand e.   ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento ¤ ¤ ¤ ¥ ¥     ¥ ¤ ¤     ¥ 4 ¤ 4 ¤   © ¥ 4 ' ¤ ¤ ' 4 ¤ ¥ ¤ 4   ¤  de FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento 271 EJEMPLO 4.6. Si e termómetro que se usó en e ejemp o 4.5 se emp ea para monito rear a temperatura de un horno de cocina, es interesante ca cu ar e retraso de termómetro mientras e horno se ca ienta a una ve ocidad de 400 °F/h. Supongam os que e coeficiente de transferencia de ca or va e h = 2 Btu/h.pie2.°F. ρC PV hS = (0.01)(5) = 0.0705 k R = αh 2 (2 )(0.178)(2) ∆T et aso = (0.0705)(400) = 28.2 °F = 15.7 °C EJEMPLO 4.7. Tempe atu a con va iación sinusoidal. Se dispone de dos dispositivo s pa a medi la tempe atu a de un fluido que pasa po el inte io de un tubo. La tempe atu a del fluido cambia según T = (100 + 50sen2πt) °F; t en horas. Su ong a que los dos dis ositivos tienen inicialmente 60 °F y ara ambos el coeficiente convectivo es 5 Btu/hr. ie2.°F. Uno de estos dis ositivos es un termómetro de m ercurio construido en vidrio, cuyo bulbo tiene 1/4 de lg de diámetro y 1 lg de longitud. El otro dis ositivo es una termocu la de hierro constantano de 1/32 d e lg de diámetro y 2 lg de longitud inmersa en el fluido. Com are la res uesta tem eratura - tiem o ara ambos equi os. Solución. Un balance alrededor de cual quiera de los dis ositivos iguala velocidad de cambio de tem eratura con la gana ncia de calor or convección: ρC PV dT = hS (T∞ − T ) dt Tanto T∞ como T son función del tiempo. Se p esenta una ecuación dife encial het e ogénea cuya solución se plantea como la solución de una homogénea (la ecuación complementa ia) mas una solución pa ticula : hS dT hS + T T= ρC PV ∞ dt ρC PV H omogénea dT hS + T =0 dt ρC PV  ¤   ¤   ¤ ¤     ¤  ¤    ¤   ¤ ¤ ¤  ¤    ¤    ¤              ¤    ¤          ¤   ¤        ¤    ¤ 272 Su solución es T1 = C1exp(−mT), donde m = (hS/ρCPV). Pa ticula : Siendo que T∞ v a ía sinusoidalmente la solución pa ticula tend á un componente t igonomét ico y un té mino constante, a sabe : T2 = C2sen2πt + C3cos2πt + C4 Los coeficientes los determinamos reem lazando esta solución en la ecuación diferencial heterogén ea, a la cual debe satisfacer: (2πC2 + mC3 ) cos 2πt + (mC2 − 2πC3 )sen2πt + mC4 = 100m + 50m sin 2πt Los coeficientes de de los términos análogos son iguales a cada lado de la ecuac ión: 2πC2 + mC3 = 0 mC2 − 2πC3 = 50m C4 = 100 coeficientes de los cosenos coefic ientes de los senos término inde endiente Para ex resar T2 en forma com acta a rovechamos las ro iedades trigonométricas de la siguiente manera: ⎛ ⎞ C2 B 2 C2 sen2πt − B cos 2πt = C2 + B 2 ⎜ sen2πt − cos 2πt ⎟ 2 ⎜ C 2 + B2 ⎟ C2 + B 2 2 ⎝ ⎠ A ora, abien o que en(α − β) = senα⋅cosβ − cosα⋅senβ o tenemos          con B = − C3. Al const ui 2 ectángulo con C2 + B 2 ent e la hipotenusa y C2 2 2 C2/ C2 + B 2 = co δ, un t iángulo como hipotenusa, con C2 y B como catetos, si el ángulo lo denominamos δ, entonce B/ C2 + B 2 = enδ.    Resolviendo simultáneamente las dos C3 = − 50(2π / m ) 2 1 + (2π / m ) rimeras obtenemos: C2 = 50 2 1 + (2π / m )   ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento                              '    ' £               de FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 273 2 C2sen2πt − B cos2πt = C2 + B 2 sen(2πt − δ) on e δ = arctan (B/C2) repre enta el retra o el i po itivo para re pon er al cambio e temperatura. La olución total a la ecuación eterogénea erá entonce T = 100 + 100 2 1 + (2π / m ) sen(2π t − δ ) + C1 exp(− mt ) 2 1 + (2π / m ) sin (− δ ) + C1 100π / m − 40 2 1 + (2π / m ) Así, la historia tem eratura tiem o ara los dis ositivos es ⎤ ⎡ 100π / m 50 T =⎢ sen(2πt − δ ) + 100 − 40⎥ exp(− mt ) + 2 2 1 + (2π / m ) ⎦ ⎣1 + (2π / m ) T ( °F ) 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 0 10 20 30 Termómetro 40 Termocu la 50 Fluido 60 70 Tiem o (min) Tem eratura Variable    Utilizan o la i enti a C1 = trigonométrica para en (− δ) = − en δ  Procedemos ahora a calcular la constante de integración C1 a ciones iniciales es decir ara t = 0, T = 60 °F: 60 = 100 + 50 1 + (2π / m ) 2 artir de las condi ¡   ¡ ¡ £ ¡ ¡ £ £  £ ¡     ¡   £ £   ¡  £ ¡ £ £ ¡ ¡  £ ¡  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 274 El tiem o de retraso δ en ora e obtiene ivi ien o el retra o en ra iane por el numero e ra iane corre pon iente al tiempo incremental unitario, o ea 2π radianes. El valor numérico de m se determina así: 4h hS hπDL = = m= 2 ρC PV (π / 4)πD L ρC P D El valo de m usando las p opiedades físicas del me cu io ρ = 8 49 lb/pie3 ; CP = 0.0325 Btu/lb.° ; D = 0.021 pie ; m = 35.2 h −1 Pa a la te mo cupla, usando las p opiedades del hie o como ap oximación ρ = 475 lb/pie3 ; CP = 0.12 Btu/lb.° ; D = 0.0026 pie ; m = 135 h −1 sí, espuesta tiempo tempe atu a pa a el te mómet o es THg = 100 + 49.3 sen(2πt − 0.178) − 31.35 exp (− 35.2 t ) y, respectivamente para la termocupla e = 100 + 50 sen(2πt − 0.0465) − 37.7 exp (− 135 t) EJEMPLO 4.8. La placa de una plancha doméstica tiene un área superficial de 0.5 pie2 y está fabricada en acero inoxidable con un peso total de 3 lb. Si el coefi ciente convectivo entre la plancha y el medio ambiente es de 3 Btu/hr.pie2 ° , ¿ Cuánto tarda la plancha en llegar a 240 ° ?. La plancha consume 500 W y original mente está a la temperatura de su medio ambiente que es 65 ° . Nota: 1 W = 3.413 Btu/hr. Solución. Datos: S = 0.5 pie2 ; h = 3.0 Btu/hr.pie2.° ; 0 = ∞ = 65 ° ; f = 240 ° . Para el acero: ρ = 488 lb/pie3 ; k = 13 Btu/h .pie.° ; Cp = 0.11 Btu/lb.° La e cuación gene al de conducción de calo en sólidos es: ρC p ∂T = k∇ 2T + φ H ∂t Calculamos el número de iot para saber criterios de trabajo i = h(V / S ) (3)(3 / 488) = = 0.00284 < 0.1 (3)(0.5) k          4 £     4         £ '     £     £ 4          £       )      £       £    4   ) ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro etancourt Grajales Trans erencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 275 Para este valor los gradientes de temperatura son despreciables dentro del sólid o. Aplicando el método de parámetros concentrados: ρVC P dT = hS (T∞ − T ) + Φ H V dt Sepa ando va iables e integ ando, llamando a = ΦΗ /ρCp y b = (hS)/(ρCpV) ∫ dt = ∫ 0 t θf θo 1 ⎡ a − bθ f ⎤ 1 ⎡ a − bθ o ⎤ dθ = − ln ⎢ ⎥ ⎥ = n ⎢ a − bθ b ⎣ a − bθ o ⎦ − bθ f ⎥ ⎦ ⎣ o Φ H V (500)(3.413) a= = = 5171 (0.11)(3.0) Cpm hr = (3.0)(0.5) = 4.55 hr −1 hS = C p m (0.11)(3.0 ) θ o = T∞ − T∞ = 0 ; θ f = 240 − 65 = 175 oF t= ⎡ ⎤ 1 5171 n ⎢ = 0.03675 hr = 2min 12.3seg 4.55 ⎣ 5171 − (4.55)(175) ⎥ ⎦ 4.15. SISTEMAS EN ESTADO SEUDOESTACIONARIO. E muchas operacio es de tra sfere cia de masa, u o de los límites se mueve co el tiempo. Si la lo gitud de la trayectoria de difusió cam ia e u a ca tidad p equeña dura te u período largo de tiempo (comparado co el tiempo ecesario par a alca zar el estado esta le), se puede utilizar u modelo de estado seudoestaci o ario e el que las ecuacio es de estado esta le para la difusió molecular se usa para descri ir el proceso. ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¤  Haciendo θ = T − T∞, la ecuación de conducción dθ Φ H hSθ = − dt ρ C p ρ C p V ueda: (  ) ¥ ¥ ¥    ¥ ¥  ¥  ¤   ¥ ¥ ¥   ¥  ¥ ¥  ⎢ a ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 276 4.15.1. El tu o de Stefa . U método experime tal para medir la difusividad másica DAB e sistemas i arios gaseosos co siste e colocar u líquido A lle a do la parte i ferior de u tu o de diámetro pequeño (e la práctica es casi u capilar), colocá dolo e co tact o co u gas B. El gas B puro se pasa le tame te so re el extremo superior del t u o, ma te ie do la presió parcial de A, e este pu to, pAG, igual a cero (u ot ro valor co ocido). La presió parcial de A e el gas adyace te a la superficie líquida, pAS, se supo e igual a la presió de vapor de A a la temperatura del ex perime to. La difusió de A a través de B ocurre e la parte del tu o lle a de f ase gaseosa, de lo gitud varia le z , La velocidad de difusió se determi a a pa rtir de la velocidad de caída del ivel del líquido cuya de sidad es co ocida y co sta te ρ L. unque este es cla amente un caso de difusión en estado t ansito io, los datos obtenidos se inte p etan gene almente igualando el flujo en estado estaciona io (película plana estancada o celda de nold) a la velocidad de eva po ación calculada a pa ti de la velocidad de descenso de la supe ficie líquida . Suponiendo estado estaciona io y que difunde en B estancado (B no es soluble en líquido): d N z = 0; dz N z = − (1 − y ) c D B d y = constante. dz Integ ando: N ins tan táneo = c D B ⎡1 − y AG ⎤ n ⎢ ⎥ vá ido para estado estab e. zF ⎣ 1 − y AS ⎦ A álisis estado seudoestacio ario: N Amed . = [z 2 − z M ∆t Ains tan t = ρ AL d z F M A dt igualando estas densidades de flujo, usando como medida de la concent ación del vapo A en la fase gaseosa su p esión pa cial pA en luga de la f acción mola y A = pA/P: N AS = DAB P [ p AS − p AG ] ρ AL d z F = pBML M A dt T z F (1) 1 ]ρ L ; N      ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥   ¥ ¤        ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥    ' ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¤     ' ¤ ¥       ¥   ¥   ¥   ¥ ¥     ¥ ¥ ¥ ' ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ' ¥  ' '  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ' '    ' ¥ ¥     ' ' ' '    ¥ ' ¥  ¥  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 277 Aquí se ha supuesto válida la ley de los gases pe fectos c= P ; T p BML = p BG − p BS Ln pBG pBS ( ) P = pA + pB = p esión total igual a la suma de las p esiones pa ciales en cualqu ie punto de la fase gaseosa. Sepa ando va iables, integ ando y eo ganizando D AB = 2 2 T p BML ρ AL z F 2 − z F 1 c z2 − z2 = AL F 2 1− y AGF 1 2 P M A ( p AS − p AG )t 2ct ln 1− y AS [ ] [ ( ) ] (2) zF1 y zF2 son los espeso es del espacio gaseoso sob e el líquido en los momentos t = 0 y t = tf espectivamente. Un e o obvio en el análisis es que la dist ib ución inicial de concent aciones en el tubo puede se bastante dife ente del pe fil de concent aciones en el estado estable. Pa ece entonces impo tante dete min a el tiempo eque ido pa a establece las condiciones suficientemente ce canas al estado estable pa a que la ecuación (1) pueda usa se con e o desp eciable. 4.15.2. Establecimiento del estado estable. Si definimos una va iable h = pA/pAs sabiendo que pAS es constante a tempe atu a constante, la ecuación ante io se t ansfo ma en ∂h ∂ 2h = D AB ∂t ∂z 2 con las siguientes condiciones límite: h = 1 en z = zF pa a todo t h = 1 en t = 0 pa a toda z h = 0 en z = 0 pa a todo t > 0                 Podemos obtene un buen esultado haciendo las siguientes o suponemos que el espacio gaseoso en el tubo de difusión nte satu ado con vapo es de la especie A, a su p esión de icionalmente que pAS es suficientemente pequeña como pa a nal pueda ep esenta se satisfacto iamente po la segunda ∂p A ∂2 pA = D AB ∂t ∂z 2 ap oximaciones: P ime se encuent a inicialme vapo pAS. Asumimos ad que el p oceso difusio ley de Fick:                                                                                                                             FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 278 Este conjunto de ecuaciones es idéntico al que su ge cuando se plantea la t ansf e encia de calo en estado t ansito io en una placa plana infinita con dist ibuc ión inicial unifo me de tempe atu a y condiciones límite de p ime a especie (con stantes y conocidas), dife entes. La solución, obtenida po el método de sepa ac ión de va iables es: h= ⎛ − DAB n 2π 2t ⎞ z 2 ∞ cos nπ nπz ⎟+ + ∑ × sen × exp⎜ 2 ⎜ ⎟ z F π z =1 n zF zF ⎝ ⎠ 2 zF La elación ent e la velocidad de evapo ación en cualquie instante t, a la velo cidad de evapo ación cuando el tiempo tiende a infinito, es deci cuando se alca nza el estado estable viene dada po (N A )t =t ( ∂∂h )z= z ,t =t z = ∂h (N A )t =∞ ( ∂z )z= z ,t =∞ F F Dife enciando la ecuación pa a h con especto a z en z = zF, evaluamos el lado d e echo y obtenemos (NA )t=t ( ( ( = 1− 2exp−12 π 2 Fo) + 2ex − 22 π 2 Fo) − 2exp− 32 π 2 Fo) + (NA )t=∞ 2 ex − 4 2 π 2 Fo − 2 exp − 5 2 π 2 Fo + ⋅ ⋅ ⋅ Fo = DAB t 2 zF ( ) ( ) (3) Fo es un tiem o adimensional conocido como numero de Fourier. Calculando observa mos que ara valores de Fourier tan equeños como 0.3 se ha alcanzado el 90% del estado estable. Si este grado de a roximación se considera ace table, usando va lores tí icos de 10 cm ara zF y 0.1 cm2/s ara la difusividad, este valor de Fo se alcanza en 5 minutos. Pero si reducimos zF a, or ejem lo, un centímetro, el tiem o disminuye dramáticamente a 3 segundos. Pero la otra escala de tiem o inv olucrada, la velocidad con la que aumenta el camino de difusión se incrementa.                    ⎛ − D n 2π 2t ⎞ F nπz nπz ∑ sen z ⎝ ∞ z ex ⎜ AB2 ⎟ × ∫ sen z dz ⎟ ⎜ zF n =1 F F ⎠ 0                                                                 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 279 EJEMPLO 4.9. Un reci iente cilíndrico delgado, de dos ies de altura se llena co n tolueno hasta una altura de 18 ulgadas. La tem eratura es de 18 °C. Si el rec i iente está abierto, que tiem o se necesitará ara que se ierda el 5 % del tol ueno or eva oración hacia los alrededores cuando la resión total es 540 mm de g?. El aire en el interior del reci iente está inmóvil, ero la corriente de ai re sobre el extremo su erior asegura concentración cero ara el tolueno allí. Ba jo las condiciones del roblema, la resión de va or del tolueno es 20 mm g, su densidad (como líquido) es 54.1 lb/ ie3, y la difusividad del sistema aire - va or de tolueno a 0 °C y 1 atmósfera es 0.076 cm2/s (Perry, quinta edición, tabla 3-299, . . 3- 223). Solución. Si se eva ora el 5 % del tolueno la columna líqu ida tendrá al final una altura de (0.95)(18) = 17.1 ulgadas, o sea que la traye ctoria de difusión al final valdrá (18 − 17.1) = 0.9 pulgadas más que al comienz o; z 2 = 6 + 0.9 = 6.9 pulgadas. El incremento en la longitud de la trayectoria de difusión es 0.9/6 = 0.15 o sea del 15 %. A : olueno ; B : Aire. ; = 18 °C = 291.15 K z 1 = 24 18 = 6 plg. ; z 2 = 6.9 plg. Análisis suponiendo estado estacionario con NB = 0: d N AZ = 0; dz NA = − c D AB d y A = constante (1 − y A ) d z Integrando: NAistantáneo = c D AB ⎡1 − y AG ⎤ n ⎢ ⎥ vá ido para estado estab e zF ⎣ 1 − y AS ⎦ (1) A álisis experime tal: N Amed . = [z 2 − z 1 ]ρ M ∆t N Ainstantáneo = ρ AL d z f M A dt (2) L ;         ¤         ¤ 4    ¤ ¥ '     4  '  ¥  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 280 Análisis pseudoestaciona io (1) = (2) ρ AL z F dz F t = ∫ dt = ⎮ 0 ⎮ ⎛ 1 − y AG ⎞ ⎠ ⎝ t zF 2 t= 2 2 ρ AL [z F 2 − z F 1 ] 2cM A DAB ln ( 1− y AG 1− y AS ) Pa a gases pe fectos c = P/ T ; = (P0 V0) / (n T0) donde el subíndice 0 indica condiciones estánda . D AB cm 2 pie 2 ⎡ 291.15 ⎤ ⎡ 760 ⎤ ≈ (0.076)⎢ = 0.12 = 0. 465 s s ⎣ 273.15 ⎥ ⎢ 540 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ 1.8 t= (54.1)(760)(359)(291.15)(6.9 2 − 6 2 )(1 144) = 726.45hr. (1)(2)(273.15)(92.13)( 540)ln ⎡ 540 ⎤(0.465) ⎢ ⎥ ⎣ 540 − 20 ⎦ cM A DAB ln⎜ ⎜ 1− y ⎟ ⎟ zF 1 AS EJEM LO 4.10. Difusió desde u a gota hacia u gas esta cado. Calcule el tiempo para que se evapore u a gota de agua de 1.0 mm de diámetro i icial. i) Hasta reducir su diámetro hasta 0.2 mm. ii) Hasta evaporarse completame te. A suma que la presió es 1.0 atm. y la temperatura del aire seco es 100 ° . Tam ié que la gota perma ece esférica y que está suspe dida de algu a forma (de u fi ísimo hilo) e aire esta cado. Solució . odemos reducir i icialme te uestra situació al a álisis de la difusió e est ado estacio ario a través de u a película esférica isotérmica. Co sideremos u a esfera de radio R1 localizada de tro de u a e voltura esférica co cé trica de ra dio R2. E la superficie de la esfera se ma tie e la co ce tració del compo e t e A co sta te e igual a yA1. El e volve te esférico co tie e u gas B ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ó, e otras pala ras, u mes.                      ©   ¥ ¥ © ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 281 e reposo e el cual la difusividad del compo e te A es co sta te Los alrededore s de la e volve te esférica se ma tie e a otra co ce tració co sta te yA2 < yA 1. E estado estacio ario podemos o servar que: 2 N A1 4π R12 = N A 2 4π R2 = N A r 4π r 2 [ ] [ ] [ ] uesto que no hay acumulación de sustancia en ningún elemento de volumen ni tam oco reacción química. O sea que el balance de materia a licado a cualquier envol vente esférico nos lleva a la ex resión d 2 r N Ar = 0 dr NAr es la densidad de flujo radial de la es ecie A. N Ar = y A [N Ar + N Br ] − cDAB que para NBr = 0 nos lleva a: N A r = −c DAB d y A 1 − yA d r [ ] d yA dr Reemplazando en la ecuación del balance de materia: d ⎡ 2 c DAB d y A ⎤ ⎥=0 ⎢r d r ⎣ 1 − yA d r ⎦ A temperatura y presió co sta tes c DAB es co sta te y ésta ecuació puede i te grarse para o te er la distri ució de co ce tració : 1 ⎡ R −1 ⎤ 1 − y A ⎡1 − y A 2 ⎤ r =⎢ exp ⎢ 1 1 1 ⎥ ⎥ 1 − y A1 ⎣ 1 − y A1 ⎦ ⎢ R1 − R2 ⎥ ⎣ ⎦  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥  ¥ ¥  ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 282 La velocidad de tra sfere cia e la superficie 1 puede o te erse a partir de est a ecuació sa ie do que: N Ar = c D AB ⎡ d y A ⎤ 1 − y A ⎢ d r ⎥ r =R ⎣ ⎦ 1 r = R! o, si ecesidad de co ocer el perfil de co ce tració , dado que − r 2 c DAB d y A = N A1 R12 1 − yA d r es os ⎡1 AB un valor constante para cualquier r, separando variables e integrando entre l límites conocidos yA = yA1 en r = R1 ; yA = yA2 en r = R2: − y A 2 ⎤ ⎡1 1⎤ R12 N A1 ⎢ − ⎥ = cDAB n ⎢ ⎥ ⎣ 1 − y A1 ⎦ ⎣ R1 R2 ⎦ N A1 = cD R2 − R1 ⎡ R2 ⎤ ⎡1 − y A 2 ⎤ ⎢ ⎥ n ⎢ ⎥ ⎣ R1 ⎦ ⎣ 1 − y A1 ⎦ aplicar este resultado a la evaporació de uestra gota que se halla masa de aire que o está e movimie to, de emos uscar el límite cu De la primera de estas dos expresio es es o vio que AB ⎡ y B 2 ⎤ n ⎢ ⎥ R1 ⎣ y B1 ⎦ Llama do ahora R1 como R el radio de la gota, N A 4π R 2 = − dmA dt es la velocidad instantánea de evaporación de la gota: mA = 4π R 3 ρ 4π R 2 = − dm A 4π ρ R 2 = dR M 4π ρ L R 2 dR M dt L 3M N ' ' '   ¥ ' ¥ ¥ ¥ ' ¥ ' ¥ ¤ ' ¥ Si queremos e u a gra a do R → ∞. N A1 = − cD ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  283 Substituyendo valo es, sepa ando va iables e integ ando obtenemos: Rf ( ) ( ( ) ) R1 La evaporación de a gota hace que su temperatura baje hasta un va or estab e de nominado temperatura de bu bo húmedo. De diagrama psicrométrico podemos tomar, considerando e aire comp etamente seco, a temperatura de saturación adiabática , como a de agua, o sea 58 °F, (14.62°C) a a que corresponde una presión de v apor de 0.01624 atm. Los efectos debidos a cambio de presión de vapor por a cu rvatura, y a a difusión por convección natura debido a a diferencia de densid ad entre a vecindad a a superficie de a gota y a masa g oba de aire son des preciab es, y os ú timos serán discutidos más ade ante. Así mismo, como en e c aso de tubo de Stefan, e sistema se acepta en estado estacionario no siendo es to comp etamente cierto. yA1 = 1.624x10−2 ; yA2 = 0 ; MA = 18 c = P/ T = 1/(82.0 6)(287.8) = 4.23510−5 gmo /cm Conocemos DAB a 25.9 °C (299.1 K) y 1 atm. (de a tab a 2.1 de Treyba ), que es prácticamente a temperatura promedio. DAB = 0.258 cm2/s ; ρ L = 0.9988 g/cm3 a 58 ° . i) Rf = (0.2mm)/2 = 0.01 cm. t= ; R1 = (1.0mm)/2 = 0.05 cm. (0.9988)(0.052 − 0.012 ) (2)(18)(4.235 x10 −5 )(0.258) ln(1 / 0.9838) t = 373.13 seg. = 6.22 min. = 0.1037 h . ii) Rf = 0.0 t = 393.58 seg. = 6.56 min. = 0.1093 h . EJEMPLO 4.11. Los investigado es han estudiado la t ansfe encia de masa desde es fe as únicas co elacionando el núme o de She wood como Sh = Sh0 + C Rem Sc1/3 ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ρ L R12 − R 2 ρ L RdR yB 1 yB yB t f t = ∫ dt = −⎮ = 2 2 0 M A cDAB n yB 1 2M A cDAB n   ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento   ¤ ¤           ¤ ¤   ¤ ¤   ¤   ¤ ¤ ¤ ¤              ¤ ¤ ¤ ¤ ' ¤ ¤ ¤   ¤ ' '    ¤ ¤ ¤ ¤ ' ¤ ¤ ¤ ¤ ¤   ¤   '  de 284 El valo Sh0 = 2.0 ep esenta la cont ibución po difusión molecula en un g an volumen de ai e estancado. Conside ando la difusión desde una esfe a de diámet o fijo, de ive Sh0 pa a la difusión molecula y evalúe qué suposiciones se deben hace pa a que sea igual a 2.0. Solución. Conside emos una esfe a de adio R en una envoltu a de gas estancado d e adio R + δ. pAS :Pre ión parcial el componente A en la uperficie e la e fera. pAG:Pre ión parcial el componente A en el límite e la envoltura e ga e tanca o. on e p AS > pAG. DAB con tante. Un balance e materia no lleva a: 2 r N Ar = 0 r y la ley e Fick: N AS = El flujo molar: m A = 4π r 2 N Ar = I ntegrando: 4π r 2 N Ar = 4π D AB P ⎡ R(R + δ ) ⎤ ⎡ p − p AG ⎤ ⎥ n ⎢ p − p ⎥ T ⎢ δ ⎣ ⎦ ⎣ A S ⎦ [ ] DAB dp A T ( − p A ) dr T (P − p A ) dr 4π r 2 DAB P d A = constante (i) (ii) dS = 2R  se define kG como: 4π r 2 N Ar = kGπ d s2 ( AS − p AG )       ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento £  £ £              £ £ ¤           £     £       £ '     £      ' £ ©        £       ©   £ de ENÓMENOS DE RAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales ransferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 285 p BML = p AS − p AG p ln AS p AG Combinando (i) y (ii) tenemos: kG pBML d S 2(R + δ ) 2 = S = = PDAB δ δ (R + δ ) Cuan o δ tien e a infinito, el número e S erwoo tien e a 2, que e valor lí mite para una e fera en un me io e tanca o. Ob ervemo que egún la relación ent re δ y R, S 0 varía: (R + δ)/R 2 5 10 15 ∞ S 0 4.00 2.50 2.22 2.04 2.00 Una gota e agua e iámetro inicial 1.00 mm. cae en aire e tanca o a 1.0 atm., 100 °F. Tome la temperatura el líqui o como 58 °F; uponga que la gota permanec e e férica y que la pre ión atmo férica permanece con tante e igual a 1.0 atm. a ) Calcule la veloci a inicial e evaporación. b) Calcule el tiempo y la i tanc ia e caí a libre para que la gota e evapore a ta un iámetro e 0.20 mm. c) C alcule el tiempo para la evaporación anterior, uponien o que la gota e tá u pe n i a en aire quieto. Solución. Para flujo alre e or e e fera única con Sc entre 0.6 y 3200 y Re"Sc 0.5 entre 1.8 y 600000, Treybal y Steinberger recomien an la iguiente expre ión para el coeficiente e tran ferencia e ma a: £ EJEMPLO 4.12. La veloci a terminal en caí a libre para gota e agua en aire a pre ión atmo férica, e tá a a por S erwoo y Pigfor egún la iguiente tabla e ato Diámetro mm Veloci a pie/ 0.05 0.18 0.20 2.30 0.50 7.00 1.00 12.70 2.00 19.20 3.00 23.80    £   £ £  £      £ £ £ 4  £    £ £       £ £ £ £ 4  £ £     £ £ £  £ £ £ £ £  £ £ £ £   £ £ £ £ £  £  4   £ £ £  £ £  £ £  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 286 S m = S 0 + 0.347 Re" Sc 0.5 ( ) 0.62 on e para Gr Sc < 108 ; S 0 = 2.0 + 0.569 (GrD Sc)0.25 Gr Sc > 108 ; S 0 = 2.0 + 0.0254 (GrD Sc)1/3 Sc0.244 a) GrD = g 3 (∆ρ/ρ)(ρ/µ)2 es el núme o de G ashof pa a t ansfe encia de masa. Las p opiedades deben se calculadas a la tempe atu a media de película, Tf = (TG + TS)/2 = 79 °F = 539 °R; ρai e = ρG100 = (PM/ T) = (1x29x492)/(1x359x560) = 0.0710 lb/pie3. pAS = 12.34 m mHg (p esión de vapo del agua a 58 °F). ρAS = (pAS M/ T) = (12.34x18x492)/(760x 359x518) = 0.000773 lb/pie3. ρBS = (760 − 12.34)(29x492)/(760x359x518) = 0.0755 lb/pie3. ρS = ρAS + ρBS = 0.07625 lb/pie3 Pa a las mismas condiciones de película: νB = 0.169x10−3 pie2/s ; ρB = 0.0735 lb/pie3 D B = 1.0075 (539/536.4)2.334 = 1.020 pie2/h d = 1/(25.4x12) = 0.00328 pie G D = (32.2x0.003283)(0.07625 − 0.0710)/(0.0735x0.0001692) = 2.84 Sc = (1.69x10−4)(3 600)/(1.020) = 0.597 G D Sc = 1.70 < 108 v = 12.7 pie/s ; Re" = (12.7x0.00328)/( 0.000169) = 247 Sh0 = 2.0 + 0.569(1.70)0.250 = 2.650 ; Sh = 11.65 = ( G d)/(c D B) c = P/ T = 0.00254 lbmol/pie3 ; G = 9.20 lbmol/h pie2 p BML = ln (760 (760−12.34 )) (12.34 / 760) = 0.992 atm.   ' £                   £     £ £ £               £ £     ' 287 kG = ( G/pBML) = 9.20/0.992 = 9.28 (lbmol/h .pie2.atm) N = 9.28x12.34/760 = 0.1 51 lbmol/h .pie2. b) d1 = 0.00328 pie ; d2 = 0.000656 pie. En el momento t la go ta tiene M moles. Á ea de la gota = 4π (d/2)2 = πd2 = S NA⋅S=kG ∆pA (πd2)= −(dM/ dt) moles transferidos/hora. Volumen de la gota = (4/3)π(d/2)3 = πd3/6 = M= MMA/ρL ρL π d 3 MA 6 dM ρ πd2 = L dd M A 2 − d M = k G ∆ pπ d 2 d t = − t = ∫ dt = 0 ρL π d 2 MA 2 d (d ) t d 2 d (d ) 0.00328 d (d ) − ρL ∫d1 kG = 106.8∫0.000666 kG 2M [h ] á ea vale (0.25x10−1)(0.5x10−3) = En la figu a 4.14 cada 1.25x10−5 h .pie3.atm./lb mol. d, pie 1/kG, h .ft2.atm/lbmol v/kG, ft.atm/lbmol 0.003280 0.1088 4970 unidad de 0.002624 0.1053 4095 0.001968 0.1006 3080 0.001312 0.0952 1850 0.000656 0.0761 630 t = (20.7)(106.8)(1.25x10−5) = 0.0276 h . = 99.4 s. Simila mente z = vmed ⋅ t = ∫ 0.0276 0 vdt = ∫ 0.00328 0.000656 ∆ p A   ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento   '   '               '   '               de v d (d ) kG Area = 7765 (no se muestra la gráfica) z = 830 pies (253 m). ENÓMENOS DE RAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales ransferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 288 c) Re" = 0 1/kG dx103 0.485 3.280 0.402 2.642 0.3145 1.968 0.220 1.312 0.117 0.656 t = 106.8(0.0008115) = 0.0866 hr. = 5 min 11.8 seg. Compare con la solución dada en el ejemplo anterior (no se consideraba la convección natural). EJEMPLO 4.13. Una partícula esférica de carbón pulverizado arde en aire a 2000 ° (1093 °C). Si la reacción C + O2 → CO2 ocurre muy rápidamente en la superficie de la partícula, estime el tiempo requerido para que la partícula se consuma co mpletamente partiendo de un diámetro inicial de 0.010 pulg. (0.254 mm.), suponga que el carbón es puro, con densidad de 80 lb/pie3 (1.28 g/cm3); la difusividad másica del O2 en la mezcla es de 6.0 pie2/hr (1.55 cm2/s). Solución. El oxígeno (A) del aire debe difundirse a través del gas circundando la partícula hasta la superficie donde ocurre una reacción heterogénea instantánea (proceso controlado por la difusión). El gas carbónico producido en la reacción (B) difunde radialm ente y en sentido opuesto hacia el medio circundante. De la estequiometría de la reacción observamos NA = − NB. Considerando la ecuación diferencial general par a transferencia de masa en coordenadas esféricas: ΦA = 1 1 ∂ cA ⎡ 1 ∂ 2 [r N Ar ] + r senθ ∂∂θ [N Aθ senθ ] + r senθ ∂ ∂NφAφ ⎤ +⎢ 2 ⎥ ∂ t ⎣r ∂ r ⎦ ara estado esta le, ∂cA/∂t = 0 , y al o ha er ge eració o desaparició de O2 por reacció química homogé ea de tro del volume de co trol, ΦA = 0. El flujo d e materia es sólo e direcció radial por lo que NAθ = NAφ = 0, por lo tanto la expresión general se reduce a: 1 d 2 r N A r = 0, r 2 dr a partir de la ley de ick: N Ar = − cD Am dy A + yAN dr [ ] o sea d 2 r N Ar = 0 dr [ ] (i)  ¥ ¥ ¥ 4 ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   4 ¥  © ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro etancourt Grajales Trans erencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 289 N = NA + N + NN2 ; NA = −N ; NN2 = 0 pues en este caso no di unde el nitrógeno . Entonces N Ar = − cD Am dy A dr (ii) De (i) observamos que r2 NAr es constante y lo será también mA = 4πr2 NAr, la ve locidad de transferencia de masa en cualquier unto, or tanto : dy ⎤ ⎡ mA = 4π R 2 N AS = 4π r 2 ⎢− cD Am A ⎥ dr ⎦ ⎣ separa do varia les e i tegra do mA ∫ y AG dr = −4π cD Am ∫ dy A R r2 y AS r Acá, yAS vale cero, ues la reacción ocurre muy rá idamente en la su erficie. Si la reacción no se udiera considerar instantánea sería necesario conocer la vel ocidad de reacción química ara obtener la condición límite: en r = R, NAS = − k S cAS donde kS es la constante de reacción superficial, y la concentración en la superficie estaría dada por yAS = − NAS/(kS c) . Integrando: mA = Siendo yAG la composición del gas ci cundante va ios diámet os afue a de la supe ficie, puede se g ande compa ativamente con R. mA se ía la velocidad instant ánea de t ansfe encia pues R va ía al consumi se la pa tícula. Haciendo la supos ición de que se cumplen las condiciones pa a aplica el análisis de estado estac iona io, podemos iguala la velocidad de t ansfe encia instantánea con la veloci dad de desapa ición de la mate ia de la esfe a: − m A = mB = − dM c dt ⎛ ρ ⎞⎛ 4π R 3 ⎞ M c = ⎜ c ⎟⎜ ⎟ ⎜ M ⎟⎜ 3 ⎟ ⎠ ⎝ c ⎠⎝ mA es negativo pues ocu e en la di ección negativa del eje adial. Aho a ⎛ ρ ⎞⎛ dR ⎞ 4π cDAm R( y AG − y AS ) = −4π R 2 ⎜ c ⎟⎜ ⎜ M ⎟⎝ dt ⎟ ⎠ ⎝ c⎠                             4π cD Am ( y AG − y AS ) ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ R⎠  ( (        )       ¥ )       ¥             )     ¥      FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 290 Simplificando, sepa ando va iables y aplicando condiciones límite: DAm c[ y AG − y AS ]∫ dt = − t 0 ρc MC ∫ R2 R1 RdR Pa a ai e a nivel del ma yAG = 0.21. Ya hemos visto que en nuest o caso yAS = 0 . ρc t= Mc 2 DAm c( y AG − y AS ) (R 2 1 2 − R2 ) Reemplazando valo es: t= (80)(0.005 / 12)2 − 0](3600) = 2.97 s. [ (12)(2)(6)(5.57 x10 −4 )(0.21 − 0) Aquí c = P/ T = (1)/(0.7297)(2460) = 5.57x10−4 lbmol/pie3. = (1)(359) = 0.729 atm. pie3 (1)(492) lbmol. R EJEMPLO 4.14. Una esfe a de ácido benzóico sólido tiene un diámet o de 1/2 pulga da (12.7 mm.) y cae una distancia de 10 pies (3.048 m.) a t avés de una columna de agua estancada. ¿Cuánto ácido se disuelve du ante ésta caída?. El sistema se encuent a a 77 °F (25 °C). Las p opiedades físicas co espondientes a esta tempe atu a son ρB = 62.24 lb/pie3 ; ρA = 79.03 lb/pie3 ; µB = 2.16 lb/pie.h ; DAB = 4.695x10−5 pie2/h . ρAS = solubilidad de satu ación = 0.213 lb A/pie3 (solución acuosa) A                3C + 2O2 → 2CO + CO2 ? RESPUESTA. N A = cD AB dy A (1 + 0.5 y A ) d      PREGUNTA. ¿Como se modifica la ecuación (ii) si la eamente en la supe ficie puede ep esenta se po eacción que ocu e instantán             5                                         : Acido benzoico ; B : Agua. FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 291 Solución. La densidad y la viscosidad pueden conside a se constantes dada la baj a solubilidad del ácido benzoico en el agua. Como ya estudiamos, el movimiento de la pa tícula se dete mina haciendo un balan ce de las fue zas que actúan sob e ella, a sabe la fue za g avitacional, la fue za de flotación y la fue za viscosa. Esta última depende de la velocidad, inc e mentándose hasta que la suma neta de las fue zas se anula, alcanzando la pa tícu la una velocidad constante denominada velocidad te minal: ⎡ 2 g( ρP − ρ )m ⎤ ⎥ vt = ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ A ρP cD ρ ⎦ 0.5 ρP : densidad de la pa tícula. K= 2 0.5 ⎡ 32(79.03 − 62.24)62.4(3600) ⎤ ⎥ = 189 ⎢ 12 ⎣ (2.16)2 ⎦ Esta do este valor e tre 44.0 y 2360, la esfera al fi al te drá u a velocidad ta l que de emos usar la ley de Newto para calcular el coeficie te de fricció : C D = 0.44 ⎡ gd ( ρ − ρ )⎤ vt = 1.74 ⎢ P P ⎥ ρ ⎣ ⎦ 0.5 = 1.047 pie / s (62.24)(1.047 )(3600)⎛ 0.5 ⎞ ⎟ ⎜ Re t = (2.16) ⎝ 12 ⎠ = 4540 La exp esión sencilla dada po Ramz y Ma shall pa a casos en que la convección n atu al es desp eciable y que según She wood se ajusta bien a datos tomados pa a el sistema ácido benzóico agua: 1 Sh = 2.0 + 0.60 Re 0.5 Sc 3 = 367.7   ¥   ¥   ¥ ¥ ¥           ¥    ¥        ¥     m i ⎡ 1 : masa de la pa tícula = (π dP3 ρP)/6 P: á ea p oyectada pe pendicula a la d ección del flujo = πdP2/4 Determinamos gρ ( ρ P − ρ ) ⎤ K = dP ⎢ ⎥ µ2 ⎣ ⎦ 3                                 ' ©               FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 292 adoptamos pa a el p esente cálculo Sh = 368.0 Sh = k ρdP ; k ρ = 0.415 pie / h D AB n AS = k ρ ( ρ As − ρ A∞ ) = (0.415)(0.213 − 0.0 ) = 0.088lb A / h . pie 2 La esfe a cae 10 pies en 9.62 segundos, o sea que la cantidad disuelta du ante l a caída es: (0.088)(π )⎛ 1 ⎞ (9.62) ⎜ ⎟ , ⎝ 24 ⎠ mA = 1.3 *10 −6 lbde A (3600) La esfe a pesa inicialmente 3 ⎡π d P ⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎢ 6 ⎥ ρ P = (π )⎜ 24 ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 3 2 ⎛ 79.03 ⎞ −3 ⎜ ⎟ = 3.0 *10 lb ⎝ 6 ⎠ es deci , que pie de el 0.043 % de su masa, o su diámet o ha disminuido en 0.014 3 %, de tal fo ma que es co ecto supone dP constante al igual que vt constante . EJEMPLO 4.15. Pa a casos como el conside ado en los ejemplos ante io es, o sea e l de una esfe a disolviéndose, evapo ándose o quemándose po difusión molecula en un medio estancado de infinito volumen, pe o con adio R constante, ¿Cuanto t iempo se á necesa io pa a que el flujo en la supe ficie alcance 99 % de su valo de estado estable?. Solución. El balance de mate ia en coo denadas esfé icas es : 1 1 ∂ cA ⎡ 1 ∂ 2 (r N Ar ) + r Senθ ∂∂θ (N Aθ Senθ )+ r Senθ ∂ ∂NφAφ ⎤ = Φ A +⎢ 2 ⎥ ∂ t ⎣r ∂ r ⎦ do de θ es el án ulo ue hace el radio vector con el eje z, y φ es el ángulo que su proyección en el plano xy hace con el eje x. Como solamente se presentan gra dientes radiales de concentración, esta ecuación se reduce a                                                               !                 ¥ ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro etancourt Grajales Trans erencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 293 ∂ cA 1 ∂ 2 [r N Ar ] = 0 + ∂ t r2 ∂ r Para simpli icar podemos considerar que el movimiento global radial neto o veloc idad de arrastre es prácticamente nulo. La primera ley de ick se reduce a: ⎛∂c ⎞ N A = J A + 0 = − DAB ⎜ A ⎟ ⎜ ∂ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ c A DAB ∂ ⎡ 2 ∂ c A ⎤ = 2 r =0 r ∂r ⎢ ∂r ⎥ ∂t ⎣ ⎦ hacie do cA = f(r)/r, f (r ) 1 ∂ f (r ) ∂ cA =− 2 + r r ∂r ∂r (i) ∂ ⎡ 2 ∂ cA ⎤ ∂ ⎡ ∂ f (r ) ⎤ ⎡ ∂ f (r ) ∂ 2 f (r ) ∂ f (r ) ⎤ r = − f (r ) + r = − +r + ∂r ⎢ ∂r ⎥ ∂r ⎢ ∂r ⎥ ⎢ ∂r ∂ r2 ∂r ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∂ ⎡ 2 ∂ cA ⎤ ∂ 2 f (r ) =r r ∂r ⎢ ∂r ⎥ ∂ r2 ⎣ ⎦ Además ∂ c A 1 ∂ f (r ) = ∂t r ∂t Co esto la ecuació (i) se tra sforma e : ∂ f (r ) ∂ 2 f (r ) = D AB ∂t ∂ r2 (ii) Las co dicio es límite so los de u a regió limitada i ter ame te por u a esfer a de radio R y co co ce tració i icial cero y co ce tració superficial co sta te: r=R cA = cAS f(r) = R cAS todo t r = >> R cA = 0 f(r) = 0 = cA todo t r> R cA = cA0 = 0 f(r) = r cA0 = 0 t = 0 La solució , similar a la del sólido semii fi ito (Carslaw y Jaeger, secció 9.10(2), pag 247), está dada por: ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ (  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥   ¥ ¥ ¥ ) ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ (   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 294 r−R ⎤ cA R ⎡ = ⎢erfc 0.5 ⎥ c AS r ⎢ 2(DAB t ) ⎥ ⎣ ⎦ (iii) Nos i teresa NAr e la solució adyace te a la superficie N AS = N Ar = − DAB r =R ∂ cA ∂r r =R Diferenciando (iii): ⎤ ⎡ − (r − R )2 ⎤ Rc AS r−R ∂ c A c AS R ⎡ = 2 ⎢erfc − 1⎥ − exp ⎢ ⎥ 0.5 0.5 r ⎢ ∂r 2(DAB t ) ⎥ r (π D AB t ) ⎣ 4DAB t ⎦ ⎣ ⎦ calcula do e r = R: N AS = D AB c AS DAB c AS + R (π DAB t )0.5 (iv) Com arando con la ecuación ara mA del ejem lo 4.12, reconocemos que el rimer t érmino de la arte derecha en la ecuación (iv) corres onde a la solución ara el estado estable. Por tanto, (iv) diferirá del estado estable en 1.0 % cuando inestable − estable R = 0.01 = estable (π DAB t )0.5 equivalente a que (πDABt)0.5 sea 100 R, o sea en un tiem o 10000 R 2 t= π D AB P ara el caso de la gota de agua eva orándose en aire estancado : 10000(0.05) t= = 30.8 s π (0.258) 2 (v) esto es un 7.8 % del tiem o que demora la gota en eva orarse com letamente. Adem ás al disminuir el diámetro, el tiem o ara alcanzar estado estacionario disminu ye sensiblemente.   ¥ ¥      ¥ ¥  ¥ ¥   ¥ ¥   ¥ ¥ ¥   FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 295 Para la esfera de carbón quemándose a CO2, t= 10000 ( 0.005) (3600) = 0.3316 seg . π ( 6)(144) 2 Este es el 11.0 % del tiem o necesario ara que se consuma com letamente. EJEMPLO 4.16. Retomando la esfera de ácido benzoico considerada anteriormente, ¿ Qué tiem o demoraría la disolución de la misma cantidad de ácido si la esfera es tuviera sus endida en agua com letamente libre de convección forzada? Solución. Para este caso la esfera está sus endida en agua, libre de convección forzada. L a ecuación de Steinberger es adecuada : Sh0 = 31.7 t = 9.62(368/31.7) = 111.6 s. ues será inversamente ro orcional a l os coeficientes de transferencia. ay claramente mayor velocidad de dilución que si su usiéramos sólo difusión molecular sin tener resente la convección natura l. Es bueno anotar que ara este caso, el tiem o que demoraría la transferencia ara alcanzar el estado estable de acuerdo con el análisis que nos lleva a la ec uación (v) del ejem lo 4.14 es: ⎛ 1 ⎞ 10000⎜ ⎟ ⎝ 48 ⎠ = 29426ho as = 106.0 *106 s t= π (4.695 *10 −5 ) 2 Casi tres y medio años, tiempo en el que la esfera se ha disuelto unas diez vece s. Para este caso, el uso de la aproximación de estado seudoestacionario conduci ría a un grave error. La lentitud con la que este sistema se aproxima a las cond iciones de estado estable se debe al pequeño valor de DAB y al hecho de que la c oncentración molar de ácido en solución es relativamente grande (mucho mayor que , por ejemplo, la concentración de vapor de A en el espacio gaseoso en el tubo d e Stefan). Al irse disolviendo la esfera se presentarían dos transitorios tal co mo ocurre en el tubo de Stefan: el cambio radial en la distribución de concentra ciones, y el cambio del radio y superficie de disolución de la esfera. Esta últi ma conlleva el reemplazo del sólido                   ENÓMENOS DE RAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales ransferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 296 por solución aproximadamente saturada. Además una superficie esférica de cero tr ansporte volumétrico neto se mueve con respecto al centro de la esfera. La canti dad de soluto contenido en la esfera originalemte ocupada por el sólido es evide ntemente significativo, y el uso de la ecuación de estado estable introduciría u n error considerable, aún si la distribución inicial de concentraciones correspo ndiera exactamente a la del estado estable para el radio original. El análisis e xacto de la situación descrita presenta un problema matemático difícil que parec e no haber sido resuelto aún. 4.16. CONDUCCIÓN DE CALOR EN ES ADO RANSI ORIO. MÉ ODOS APROXIMADOS. Para problemas de geometría compleja o con condiciones límite no lineales o con otras complicaciones, se puede recurrir a formulaciones aproximadas de las ecuac iones de conducción de calor. Una de estas aproximaciones es la forma integrada de la ecuación de conducción de calor presentada por Goodman en 1958. La técnica y las ecuaciones resultantes son similares a las de Von Karmán usadas en la cap a límite térmica e hidrodinámica. Estas ecuaciones son aproximadas en el sentido de que no dan el perfil real de temperaturas o los flujos de calor locales exac tos, pero satisfacen exactamente el balance de energía. El método tiene la virtu d de ser simple, rápido, y su precisión es razonable, comparada con las solucion es exactas. Haremos el análisis para el caso de estado transitorio en una dimens ión en un cuerpo semiinfinito: Cuando un cuerpo semiinfinito el cual se halla in icialmente a una temperatura 0, pierde calor (o gana) desde la superficie libre , un gradiente de temperatura aparece, tal como se esquematiza en la figura 4.15 . Este campo de temperaturas comprende la región dentro del cuerpo donde la temp eratura local difiere de 0. La profundidad a la cual son sentidos los efectos d el gradiente de temperatura se llama la profundidad de penetración δ. E ta e fu nción el tiempo. La ecuación iferencial para el ca o el óli o emiinfinito c on propie a e con tante e , como ya lo emo vi to ∂T ∂ 2T =α ∂t ∂ z2    £  £ 4  4   4  4 4 £ 4  4   4  £ £ £  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 297 Est se puede integr r desde z = 0 h st z = H con H > δ: ∂ 2T ∂T z =⎮ α dz ⎮ 2 ∂t ∂z 0 0 H H (4.66) ⎡∂ T H d ⎡ δ T ( z , t ) z + ∫ T ( z , t ) z ⎤ = α ⎢ ⎥ δ ⎣ ⎦ dt ⎢ ∫0 ⎢∂ z ⎣ − z=H ∂ ∂z ⎤ ⎥ z =0 ⎥ ⎦ (4.67) E esta ecuació T(z,t) = T0, co sta te, para δ ≤ z ≤ H. Por lo tanto: δ δ ∂T ∫0 T (z, t ) z − T0 t = −α ∂ z dt (4.68) z =0 O serv mos que ρC P d δ δ ∂T ∫0 T (z, t ) z − ρCPT0 dt = −k ∂ z dt = qS z =0 (4.69) Conside emos el caso de un sólido semiinfinito de p opiedades físicas constantes . Este se tiene inicialmente a tempe atu a unifo me T0. En el tiempo ce o, la te mpe atu a supe ficial se educe a una nueva tempe atu a TS que se mantiene const ante de allí en adelante. La ecuación dife encial y las condiciones límite que d esc iben el p oblema son: ∂T ∂ 2T =α ∂t ∂ z2   el flujo de calo en la supe ficie. Estas ecuaciones p oducen soluciones ap oxim adas pa a conducción en estado t ansito io en cue pos semi infinitos y placas g uesas teniendo p opiedades físicas constantes o va iables. En la fo ma integ ada de la ecuación de conducción de calo es necesa io desc ibi la dist ibución de tempe atu a po medio de una exp esión analítica ap opiada pa a evalua las int eg ales y de ivadas de (4.68) o (4.69). El pe fil analítico de tempe atu as así seleccionando debe, no sólo se físicamente ep esentativo del pe fil eal de te mpe atu a (o concent ación) sino además satisface las condiciones límite bajo c onside ación. 4.16.1. Sólido semiinfinito con p opiedades físicas constantes.   ¡                 ¡        ¡             ¡ ¡                   £   ¡   ¡     ¡ ¥       ¥   £ ¡     £ £ £ ¡ ¡       ¡   ¥       £ ¡ ¡           ¡     £ £ ¡       ¡   4 £ ¥  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 298 t = 0 T(z,0) = T0 ; t > 0 T(0,t) = TS Suponiendo que T(z,t) puede represent rse por un polinomio de tercer gr do, T = z3 + z2 + cz + d sujet l s condicione s físic s siguientes: En z = 0, T = TS ; en z = δ, T = T0 ; ∂T/∂z = 0. Si la tem peratura en la uperficie e con tante, e igue e la ecuación iferencial qu e n z = 0 ∂2T/∂z2 = 0. De la primera con ición límite, = TS. Derivan o una vez, 3aδ2 + 2bδ = − c. Derivan o nuevamente 6az + 2b = 0 para z = 0 por lo cual b = 0 .Finalmente T0 = aδ3 + cδ + TS con lo cual allamo lo coeficiente bu ca o : T − TS 3 ⎛ z ⎞ 1 ⎛ z ⎞ = ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ T0 − TS 2 ⎝ δ ⎠ 2 ⎝ δ ⎠ 3 (4.70) Reemplazando este pe fil en la ecuación integ al 3 ⎤ d ⎡3 ⎛ z ⎞ 1 ⎛ z ⎞ (T0 − TS ) ⎮ ⎢ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + TS ⎥dz − T0 dδ = − 3 α (T0 − TS ) 2 δ t ⎮ ⎢ 2 ⎝ δ ⎠ 2 ⎝ δ ⎠ dt ⎥ ⎦ ⎣ 0 δ ∫ δ 0 δ δ = 4α ∫ dt ⇉ δ = 8αt 0 t El perfil será T − TS 3 ⎛ z ⎞ 1 ⎛ z ⎞ = ⎜ ⎟ ⎟− ⎜ T0 − TS 2 ⎝ 8αt ⎠ 2 ⎝ 8αt ⎠ 3 La solución exacta pa a este p oblema fué T − Ts z = e f 1/ 2 To − Ts 2(α t ) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ En z = (8αt)1/2 , l TS). diferenci (T0 − T) es 0.05 % de l máxim diferenci (T0 –  Re olvien o y implifican o obtenemo  ¡ ¡ £  £ £ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡  £  ¡ ¡ £     £  ¡ ¡    ¡ ¡  £ £     ¡ ¡     ¡ ¡ £ £ ¡ ¡  £ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 299 El flujo de c lor en l superficie se o tiene como: ⎡∂ T ⎤ 3k (TS − T0 ) k (TS − T0 ) qs = − k ⎢ ⎥ = = (32 9 )αt 2 8αt ⎣ ∂ z ⎦ z =0 (4.71) se puede o serv r que existe un pequeñ diferenci entre los result dos de l s olución ex ct y l solución proxim d . De hecho est últim es 6 % menor. Si s e seleccion un perfil p r ólico (polinomio de segundo gr do) p r descri ir el perfil de temper tur , el flujo de c lor predicho en l interf se será 2.3% m y or. M yor gr do de proxim ción se o tiene seleccion ndo un polinomio de cu rto gr do. P r este c so de emos greg r l condición límite que p r z = δ , ∂2T/∂ z2 = 0. 4.16.2. Sóli o emiinfinito con temperatura e uperficie variable con el tiempo . Con i eremo nuevamente un óli o emiinfinito, con propie a e fí ica con tant e , pero on e el flujo e calor en la uperficie pue e variar arbitrariamente c on el tiempo. E to origina temperatura e uperficie variable . Supongamo que el cuerpo e tá inicialmente a una temperatura T0 con tante, luego a partir e un momento a o, la uperficie en z = 0 e omete a un flujo e calor variable con el tiempo. Si θ = T – T0 ∂θ ∂ 2θ =α ∂t ∂ z2 z = 0 z > 0 t>0 q = qS(t) v rí con el tiempo. t = 0 T = T0 ; θ = 0 Asumimos perfil de temperatura cúbico : θ(z,t) = az3 + bz2 + cz + d (4.72) ¡ ¡ ¡  £   ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡   ¡ £ £ £ ¡ ¡ ¡ £ ¡  ¡  £   £ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡  ¡ £ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡  £ ¡ ¥ al comparar (4.67) co qs = k (TS − 0 ) παt el valor exacto ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡   ¡ 4 ¡ ¡ ¡ ¡ £ £ £ £  £ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ £  ¡ ¡  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 300 Son cuatro constantes. Re uerimos cuatro condiciones límite a saber: z=0; ∂θ =− s ∂z k z = δ ; θ (δ , t ) = 0; Re olvien o: a=− ∂θ = 0; ∂z ∂ 2θ =0 ∂ z2 (4.73) Al reemplazar obtenemo una ecuación iferencial or inaria. ⎡1 2⎤ ⎢12 qsδ ⎥ = α qs dt ⎣ ⎦ (4.74) Así cua do se resuelve supo ie do qS como co sta te, δ = 12α t q θ (z, t ) = s k ⎡4 ⎤ ⎢ 3 αt ⎥ ⎣ ⎦ 1/ 2 (4.75) ⎤ ⎡ z ⎢1 − 1/ 2 ⎥ ⎣ (12α t ) ⎦ 3 (4.76) para z = 0, q θs = s k ⎡4 ⎤ ⎢ 3 αt ⎥ ⎦ ⎣ 1/ 2 (4.77) La solució exacta dada por Carslaw y Jaeger (p-75) es: q ⎡ 4α t ⎤ θs = s ⎢ k ⎣ π ⎥ ⎦ El resultado (4.77) es sólo 2.33 % mayor 1/ 2 (4.78) £ ¥ ¥ £  ¥ ¥  ¥    S δ ; b= S ; c=− S ; = S 2 3kδ kδ k 3k Hacien o η = z/δ: θ= δ q δ (1 − 3η + 3η 2 − η 3 ) = q3 k (1 − η )3 3k £ £   ¥ £  £ ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 301 Se puede usar los resultados a teriores para determi ar el flujo de calor e la superficie por pérdidas co vectivas hacia u fluido. Nuevame te co sideremos qu e el sólido se e cue tra i icialme te a temperatura u iforme T0. La superficie l i re e z = 0 está e co tacto co u fluido a temperatura co sta te T∞. Sea θ = (T – T0). El problema ueda descrito por las si uientes ecuaciones y condicione s límite: ∂ θ ∂ 2θ = ∂ t ∂ z2 ⎡∂ θ ⎤ qs h ⎢ ∂ z ⎥ = − k = k [θ (0, t ) − θ ∞ ] ⎣ ⎦ z =0 (4.79) Do de θ∞ = (T∞ − T0) es constante y S es función del tiempo. Tomando el mismo p erfil de temperatura (4.69), evaluado en z = 0, nos da: δ= 3kθ s s (4.80) donde θS = θ(0,t) = (TS – T0) es función del tiempo. Introduciendo (4.79) en (4. 74) obtenemos : d ⎡ kθ s2 ⎤ 4 q s ⎢ ⎥= α dt ⎣ q s ⎦ 3 k (4.81) como qS/k es fu ció de θS por (4.74), es posible separar las variables para obt ener una solución analítica. Podemos reescribir (4.81) como : ⎛ θ2 ⎞ 4 d ⎜ s ⎟ = α dt f (θ s ) ⎜ f (θ s ) ⎟ 3 ⎝ ⎠ 1 que se puede expandi como: 2θ s f (θ s ) − θ s2 f ' (θ s ) 4 dθ s = α dt 3 f (θ s ) 3 ¥ ¥ ¥ ¥ 4.16.3. Sólido semii fi ito co pérdidas co vectivas de calor e ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ! ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥  ¥   la superficie. FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 302 Goodman halló la solución para la variación de la temperatura en la superficie z = 0: −2 2 ⎤ ⎡ θ ⎤ 4 ⎡h⎤ 1 ⎡⎛ θ s ⎞ α t = ⎢⎜1 − ⎟ − 1⎥ + n ⎢1 − s ⎥ ⎜ θ ⎟ ⎢k ⎥ 3⎣ ⎦ 2 ⎢⎝ ⎥ ∞ ⎠ ⎣ θ∞ ⎦ ⎣ ⎦ (4.82) Carslaw y Jaeger da la solució exacta (p. 72): ⎡ z ⎤ ⎡ z ⎡ hz h 2α t ⎤ θ h 1/ 2 ⎤ = erfc ⎢ − exp ⎢ + + (α t ) ⎥ ⎥ erfc ⎢ 1/ 2 ⎥ 1/ 2 θ∞ k ⎦ k ⎣k ⎣ 2(α t ) ⎦ ⎣ 2(α t ) ⎦ (4.83) Evalua do esta expresió para z = 0 y grafica do θS/θ∞ en las ordenadas contra l n [(h/k)(αt)½] en l s scis s, no se preci diferenci entre m s curv s. 4.16.4. Fuente de c lor uniformemente distri uid . En términos de θ = T – T0 la situación se describe por ∂ 2θ Φ H 1 ∂θ + = k α ∂t ∂z 2 (4.84) en z = 0, t ≥ 0, θ = 0; en z > 0, t = 0, θ = 0. Otra condición para z > δ, e e uce e la ecuación (A), pue to que para e ta circun tancia ∂2θ/∂z2 = 0, 1 t Φ H 1 ∂θ o θ= = ∫ Φ dt k α ∂t ρC P 0 H Integ ando (4.84) esulta ∂θ −α ∂z t ⎡ ⎤ d ⎢δ ΦH ⎥ = θdz + δ ⎮ dt ∫ dt ⎢ 0 ρC P ⎥ 0 ⎣ ⎦ z =0 La siguie te relació satisface todas las co dicio es θ= tΦ H 3 1 − (1 − X ) ρC P [ ] X = z/δ £  ¡ ¡ ¡  ¡    ¤ ¥ ¡ ¡ ¥ ¥    ¡ ¥ ¡  ¡ ¡ ¡  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ £ £ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 303 La ecuación re ultante que relaciona δ y ΦH es d [tδ Φ H ] = 12αtΦ H dt δ De e ta manera, δ e encuentra cuan o e a ΦH. Cuando ΦH es constante, el flujo de calor en la superficie qS es 6% menor que el hallado por la solución exacta qS = ΦH(4αt/π)1/2. El hecho de que los resultados anteriores concuerden ace tabl emente con los cálculos analíticos, nos indica que el uso de este método a roxim ado es adecuado ara muchos casos en los que no es osible un desarrollo exacto. Este método resenta también en ocasiones ventajas sobre los métodos numéricos or indicar más claramente los arámetros relevantes de un roceso y su de enden cia funcional. También ermite tener resentes las variaciones de las ro iedade s es aciales y termofísicas de región de conducción. Más información en “ eat Co nduction”, John Wiley and Sons, 1980 or M. N. Özizik. 4.17. METODOS NUMERICOS EN PROCESOS NO ESTABLES. En muchos rocesos que de enden del tiem o, las condiciones de o eración actual no corres onden a las condiciones límite e iniciales esti uladas en las solucion es analíticas estudiadas con anterioridad. La distribución inicial de concentrac iones (o de tem eraturas) uede resentar características no uniformes, o la tem eratura ambiente, los coeficientes convectivos o las difusividades ueden varia r. Estos casos com lejos ueden evaluarse em leando técnicas numéricas. En mucha s ocasiones a arecen roblemas, tanto en estado estable como en estado inestable que son difíciles de resolver analíticamente, a esar de que la ecuación difere ncial basada en el balance de energía diferencial sea obtenida. Generalmente, si el sistema no osee algún ti o de simetría de forma o de distribución, ya sea d e tem eraturas o de concentraciones, es difícil conseguir una solución analítica . Cuando no ueden obtenerse soluciones analíticas se uede recurrir a métodos a lternativos tales como análisis numérico o gráfico, o se uede construir un anál ogo eléctrico o hidráulico del sistema. £                £     £       £ £ £                   FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 304 4.17.1. Métodos de diferencias finitas. Método ex lícito. Las ecuaciones fundamentales ueden obtenerse or dos vías: matemáticamente, ree m lazando en las ecuaciones diferenciales básicas las derivadas or sus ex resio nes en función de diferencias finitas, o or balances de energía (o de materia) en cada unto del sistema en el que se desea conocer la tem eratura (o concentra ción). 4.17.1.1. Formulación matemática de las ecuaciones de diferencias finitas. La reducción de una ecuación diferencial arcial a una a roximación adecuada en diferencias finitas se uede hacer fácilmente or medio de las series de Taylor. Para ilustrar el método consideremos la ecuación diferencial arcial que caract eriza los rocesos de transferencia de calor (masa) en estado no estable, unidir eccional, sin generación: 1 ∂T ∂ 2T = α ∂t ∂z 2 Como T = T(z,t), puede exp ndirs e lrededor de t p r un v lor fijo de z: T ( z , t + ∆t ) = T ( z , t ) + (∆t ) ∂T (∆t ) 2 ∂ 2T (∆t ) 3 ∂ 3T (∆t ) 4 ∂ 4T + ⋅⋅⋅ + + + ∂ 2 ∂t 2 6 ∂t 3 24 ∂t 4 (4.85) En la medida que ∆t sea suficientemente pequeño, los té minos del o den de (∆t)2 y supe io es, pueden se desp eciados, y una p ime a ap oximación a ∂T/∂t es t t ∂T T ( z , t + ∆t ) − T ( z , t ) Tm+1 − Tm = = ∂t ∆t ∆t (4.86) Aquí hemos int oducido una notación ab eviada donde el subíndice indica el punto o nodo donde se mide la va iable, y el supe índice el momento en el cual se hac e tal medición. Pa a obtene la p ime a ap oximación a ∂2T/∂z2 se necesitan dos expansiones de la se ie: ∂T (∆z ) 2 ∂ 2T (∆z ) 3 ∂ 3T (∆z ) 4 ∂ 4T + ⋅⋅⋅ ( z + ∆z , t ) = T ( z , t ) + (∆z ) + + + ∂z 2 ∂z 2 6 ∂z 3 24 ∂z 4 T ( z − ∆z , t ) = T ( z , t ) − (∆z ) ∂T (∆z ) 2 ∂ 2T (∆z ) 3 ∂ 3T (∆z ) 4 ∂ 4T − ⋅⋅⋅ + − + ∂z 2 ∂z 2 6 ∂z 3 24 ∂z 4 ¡               4                      ¡      ¡ ¡   4         ¡  ENÓMENOS DE RAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales ransferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 305 Sumando miembro a miembro y despreciando los términos de orden (∆z)4 y supe io e s la así llamada ap oximación cent al en dife encias finitas a la segunda de iva da es: t t t ∂ 2T T ( z + ∆z , t ) − 2T ( z , t ) + T ( z − ∆z , t ) Tm +1 − 2Tm + Tm − 1 = = ∂z 2 (∆z ) 2 (∆z ) 2 (4.87) El e o de t uncamiento involuc ado al omiti el esto de la se ie es del o den de (∆z)4. Reemplazando las ap oximaciones (4.86) y (4.87) ante io es en dife en cias finitas en la ecuación (4.85) t t t t t 1 Tm+1 − Tm Tm +1 − 2Tm + Tm −1 = ∆t α (∆z ) 2 (4.88) Notando que α∆t/(∆z)2 es un núme o de Fou ie en té minos de la distancia inc em ental ∆z y el inte valo de tiempo ∆t, eesc ibimos t t t t Tm+1 = FoTm −1 + (1 − 2 Fo)Tm + FoTm +1 (4.89) Aquí, explícitamente hallamos la tempe atu a del nodo m en un momento futu o t+1 , a pa ti de las tempe atu as de los 3 nodos adyacentes en el momento p esente t. A continuación ilust amos la mane a de obtene estas mismas ecuaciones a t av és de balances de mate ia o de ene gía. Conside emos un sólido semiinfinito en c uya supe ficie la concent ación del componente A es cAS. La concent ación inicia l dent o de la pa ed es cA0. Dividimos la pa ed en capas, cada una de ellas de e speso ∆z. Cada división se nume a a pa ti de 0 en la supe ficie. Estas son lín eas de efe encia de concent ación. Luego de un co to inte valo de tiempo ∆t, fl ui á masa hacia el plano 1 debido a la fue za guía de concent aciones (cAS − c A0). Si en este inte valo la fue za guía ent e los planos 1 y 2 pe manece en ce o (cA0 − cA0), hab á acumulación de masa en la capa ab, la que se extiende ∆ z/2 a izquie da y de echa del plano 1 . Esc ibiendo un balance de masa pa a el inte valo ∆t, con el á ea pe pendicula a la di ección z como S:                                       4                                                                                           4                               FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 306 Salida − Ent ada + Acumulación = Gene ación. D AB S (c tA1 − c tA 2 ) D AB S (c tAS − c tA1 ) (∆z ) S (c tA+1 − c tA1 ) 1 − + =0 ∆z ∆z ∆t Donde c tA+1 es la nueva concent ación en el plano de efe encia 1 al fin del inte valo de 1 tiempo ∆t. Dividiendo todos los té minos ent e (∆z)S/∆t y eo gan izando c tA+1 = c tA1 + 1 D AB ∆t t c As − 2c tA1 + c tA 2 2 ( ∆z ) ( ) (4.90) Obsé vese la similitud con la ecuación (4.88). La elación adimensional DAB∆t /( ∆z)2 ecue da el núme o de Fou ie y es impo tante en la solución del p oblema p ues elaciona el inc emento de tiempo y el tamaño del nodo ∆z. 4.17.1.2. Método g áfico de Schmidt. Si seleccionamos ∆z y ∆t en fo ma tal que: D AB ∆t 1 = 2 ∆z 2 (4.91) La ecuación (4.90) se simplifica a: c tA+1 = 1 c tAS + c tA2 2 (4.92) Al selecciona en esta fo ma ∆t y ∆z, eliminamos c tA1 y la nueva concent ación c tA+1 es 1 simplemente el p omedio a itmético de la concent ación en el momento t en los planos adyacentes. La línea ecta 1 que conecta cAS y c tA 2 localiz a c tA+1 en el punto donde la línea 1 inte secta al plano nodal 1. De la misma m ane a, la concent ación en cualquie plano de efe encia en el tiempo (t + 1) es el p omedio a itmético de las concent aciones de los planos adyacentes en el ti empo (t): (4.93) 2 Refi iéndonos a la Figu a 4.16, la línea 2 se dibuja ent e c tA+1 en la línea nodal 1 y cA0 en 1 la línea nodal 3 . Esta línea inte sect a la línea nodal 2 en la concent ación pa a después +1 c tAm = c tA( m −1) + c tA( m +1)                                                                                                               FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 307 de dos inte valos de tiempo. Pa a el te ce inte valo de tiempo ∆t3 se dibujan d os líneas 3 , una ent e cAS, que no va ía con el tiempo, y el nuevo c tA+22 de la línea nodal 2 , y una ent e este punto y cA0 en la línea nodal 4 (hasta el momento no se ha cambiado la concent ación en este plano de efe encia). Estas líneas indican que las concent aciones en los nodos 1 y 3 son ap oximadament e c tA+3 y c tA+33 al final del te ce inte valo de tiempo. El mismo 1 p ocedimi ento puede continua se pa a inte valos de tiempo adicionales. Es impo tante que valo es constantes de ∆z y ∆t se usen a lo la go de la solución. La densidad de flujo mola po unidad de á ea dent o de la pa ed en cualquie instante puede ob tene se a pa ti de la pendiente del pe fil de concent aciones ent e la supe fic ie y la línea nodal 1 . La exp esión algeb aica es: t N Az = D AB (c AS − c tA1 ) ∆z (4.94) Esta técnica g áfica se basa en la suposición de que el coeficiente difusional s ea constante, y que el cue po al comienzo tiene un pe fil de concent aciones con ocido. La p ecisión puede mejo a se en la medida en que ∆z se haga más y más peq ueño. El método de Schmidt puede aplica se a cualquie condición inicial. Cuando la concent ación supe ficial no es constante debido a la t ansfe encia de masa convectiva el g adiente de concent ación (tempe atu a) en la supe ficie en cada instante está definido po las condiciones de la supe ficie: N AS = − DAB dc A dz = kc (c As − c A∞ ) z =0 c A∞ − c As c A∞ − c As = D AB / k C ∆z* (4.95) Basta á entonces ag ega una línea de efe encia a la izquie da del plano nodal 0 a una distancia ∆z* = DAB/kC (k/h pa a t ansfe encia de calo ). Aquí la conc ent ación que pe manece á constante se á cA∞, pe o pa tiendo de esta nueva línea de efe encia se puede efectua el p ocedimiento sin más modificaciones, aunque alguna p ecisión adicional se log a desplazando los planos nodales ½∆z a la izq uie da de tal mane a que la supe ficie de la pa ed co esponda a la mitad del p ime inc emento. Así las líneas que c ucen la supe ficie tend án la pendiente p evista.   G áficamente esto significa que la tangente al pe fil de concent aciones (tempe atu as) en la supe ficie debe pasa a t avés de un punto de efe encia cuya dist ancia desde la pa ed es DAB/kC (o k/h) y cuya o denada es la concent ación del f luido cA∞ (o T∞). dc A dz = z =0                                                                                                                                                                                                                                        FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 308 4.17.1.3. Exactitud, conve gencia y estabilidad. En los cálculos numé icos, el té mino e o se efie e gene almente a la dife en cia ent e una solución ap oximada y la solución exacta de la ecuación o iginal e n de ivadas pa ciales. Existen dos tipos de e o es que afectan dicha dife encia . El p ime o de ellos es el debido a la sustitución de las de ivadas po inc eme ntos finitos y se denomina e o de t uncamiento el cual depende de la dist ibuc ión inicial de tempe atu as en el sólido, de las condiciones límite, del esquema de desa ollo del método de inc ementos finitos y de la magnitud del núme o de Fou ie , del que dependen los inc ementos de espacio y tiempo elegidos pa a el c álculo. El g ado en el cual la solución ap oximada se ace ca a la exacta al dec ece los inte valos de espacio y tiempo se denomina conve gencia del método. El segundo tipo de e o se o igina en la imposibilidad de a ast a un núme o infi nito de decimales en los cálculos. Al edondea los núme os f acciona ios se int oduce el e o de edondeo. Independientemente de los e o es de t uncamiento y edondeo se p esenta un p oblema más se io asociado a cie tos métodos de inc em entos finitos como el que acabamos de int oduci , como es el p oblema de la esta bilidad. En ocasiones al p og esa el cálculo, los valo es obtenidos pa a los no dos en tiempos sucesivos oscilan con amplitud c eciente cambiando incluso de sig no, y sin esponde nunca a los valo es eales co espondientes. Los e o es de edondeo tienden a c ece cuando el sistema es inestable y disminuyen cuando es estable. Resulta entonces que no se pueden selecciona a bit a iamente las magni tudes de los inte valos de espacio ∆z y de tiempo ∆t sino que debe án elegi se d e fo ma que satisfagan cie tas condiciones de estabilidad.                                                                                                                                                                                                                       FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 309 Un c ite io de estabilidad sencillo y útil es el siguiente: en cualquie ecuació n en dife encias finitas el coeficiente de la va iable, llámese tempe atu a o co ncent ación, del nodo m en el tiempo t actual debe se mayo o igual a ce o. Pa a el caso de las ecuaciones (4.89) o (4.90) esto se cumple si (1 − 2Fo) ≥ 0 ⇉ Fo ≤ ½. 4.17.2. Méto o implícito. E te méto o e incremento finito para régimen no e tacionario e , a iferencia el anterior, e table para prácticamente to a la magnitu e e lo intervalo e e pacio y tiempo ∆z y ∆t, es deci pa a todos los valo es de los núme os de Fou ie y Biot, aunque los valo es se án tanto más p ecisos cuanto meno es sean dichos inte valos, al educi se los e o es de t uncamiento y edondeo. El métod o se dife encia del explícito en que el balance de ene gía se establece en el in stante (t + ∆t) en luga del (t), modificando la ecuación (4.88) así: t t t t t 1 Tm+1 − Tm Tm+1 − 2Tm+1 + Tm+1 −1 = +1 ∆t α (∆z ) 2 (4.96) A dife encia del método explícito, la tempe atu a del nodo m en el tiempo (t + 1 ) queda exp esada en función de las de los nodos vecinos pe o también en el futu o. Se hace entonces necesa io esolve simultáneamente el sistema de ecuaciones de todos los nodos simultáneamente. Esto se puede hace usando el método de Gau ss – Seidel, o el de inve sión de mat ices. Sin emba go el se incondicionalment e estable le da ventaja sob e el método explícito, pues al selecciona po ejemp lo un valo de 2 pa a Fo, pe mite encont a un esultado con la cua ta pa te de los pasos necesa ios si usá amos el máximo Fo = ½ en el método explícito. Se deb e adve ti que al analiza nodos de f onte a pueden apa ece equisitos de estab ilidad aún más est ictivos. 4.17.3. Métodos mixtos. En este caso se etiene el lado izquie do de la ecuación en dife encia finita da da en las ecuaciones (4.88) o (4.96) pe o en el lado de echo se toma el p omedio de los lados de echos de ambas:   Se encuent an también métodos de inc ementos finitos basados en los dos ante io es. Explica emos a continuación uno basado en la media a itmética de ambos, deno minado de C ank – Nicolson. 4.17.3.1. Método de C ank – Nicolson.                        £        £            £                                        £                                                                           £ £ £                                    £ £    FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento t t t t t t t t Tm+1 − Tm α ⎡ Tm +1 − 2Tm + Tm −1 Tm+1 − 2Tm+1 + Tm+1 ⎤ −1 + +1 = ⎢ ⎥ 2 2 2⎣ ∆t ( ∆z ) ( ∆z ) ⎦ 310 que se puede reorga izar como t t t t t t − o m+1 + (2 + 2 o ) m+1 − o m+1 = o m −1 + (2 − 2 o ) m + o m +1 −1 +1 Si m = 0, 1, 2, . . ., N, se presentan N + 1 ecuaciones algebraicas acopladas de las N + 1 t temperaturas desconocidas m+1 (m = 0, 1, 2, . . ., N) de los punto s nodales. Las temperaturas para m = −1 y m = N +1 se obtienen de las condicione s de frontera. En resumen, el método implícito produce un grupo de ecuaciones ac opladas que se deben resolver en cada intervalo de tiempo mientras que las ecuac iones del método explícito no son acopladas. Sin embargo al poder seleccionar in tervalos de tiempo ∆t mayo es se puede obtene una espuesta más ápidamente. A continuación obtenemos ecuaciones po los t es métodos pa a dife entes condicion es de f onte a y con gene ación usando el método de balances de ene gía po se más ilust ativo. Los cambios pa a adapta las ecuaciones supe ficiales a ot a si tuación son obvios si tenemos p esente que los nodos se nume an de izquie da a d e echa como 0, 1, ..., m − 1, m, m +1, ..., N − 1, N. 4.17.4. Nodo inte no (m) con gene ación, Podemos desa olla la ecuación en dife encias finitas aplicando un balance de e ne gía (salida menos ent ada más acumulación igual gene ación) al ededo del nod o m. 4.17.4.1. Método explícito. (T kS (T t m t t t t t − Tm+1 Tm−1 − Tm Tm+1 − Tm − kS + ρC P S∆z = Φ H S∆z ∆z ∆z ∆t ) ( ) ( ) Dividiendo po ρCPS∆z y eo ganizando obtenemos t +1 m t − Tm ) Φ k ( mt −1 − 2 mt + mt +1 ) + ρCH = 2 ∆t ρC P (∆z ) P (4.88) Reconociendo que α = k ρC P Φ α ΦH ⎛ α∆t ⎞ Φ o(∆z ) 2 ⎟ ⇉ = H = H Fo = ⎜ ⎜ (∆z ) 2 ⎟ k∆t ρC P k ⎠ ⎝ 4            4                        4        4        4   4   4         4            4 ¥      4                   FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento t t t t Tm+1 = FoTm−1 + (1 − 2 Fo )Tm + FoTm+1 + 311 Φ H ∆t ρC P (4.88a) 4.17.4.2. Método implícito. (T t +1 m t − Tm Φ k t t t = m+1 − 2 m+1 + m+1 + H −1 +1 2 ∆t ρC P (∆z ) ρC P ) ( ) (4.96) t t t t − FoTm+1 + (1 + 2 Fo )Tm+1 − FoTm+1 = Tm + −1 +1 Φ H ∆t ρC P (4.96a) 4.17.4.3. Método mixto. Sumando miemb o a miemb o las ecuaciones (4.88) y (4.96) y dividiendo po dos ob tenemos la exp esión pa a C ank – Nicolson: (T (T t +1 m t − Tm ) Φ k ( mt −1 − 2 mt + mt +1 + mt+−11 − 2 mt+1 + mt++11 ) + ρCH = 2 ∆t 2 ρC P (∆z ) P (4.97) t +1 m t − Tm = ) Φ ∆t Fo t t t t t t Tm −1 − 2Tm + Tm +1 + Tm+1 − 2Tm+1 + Tm+1 + H −1 +1 ρC P 2   4 4 4   t El coeficiente de Tm es la unidad po e estable. lo que este sistema es incondicionalment       t Pa a estabilidad el coeficiente de Tm debe se mayo Fo ≤ ½. o igual a ce o, es deci             4   4 4   4     4     4     ( ) Sepa ando las incógnitas, es deci las tempe atu as de los nodos en el tiempo (t + 1) y colocando las tempe atu as de los nodos con sus espectivos coeficientes queda t t t t t t − FoTm+1 + (2 + 2 Fo )Tm+1 − FoTm+1 = FoTm −1 + (2 − 2 Fo )Tm + FoTm +1 + 2 −1 +1 Φ H α∆t k (4.97a) Pa a estabilidad te modinámica y matemática el coeficiente del nodo m en el mome nto actual t, debe se mayo o igual a ce o, es deci (2 − 2Fo) ≥ 0 ⇉ Fo ≤ 1. Pu e e ob ervar e que el no o ai la o o a iabático e pue e obtener también e e ta ecuacione acien o el ubín ice m +1 = m − 1 egún convenga. E to a o que un no o a iabático repre enta matemáticamente la mi ma ituación que un plano e imetría.   £ £ £ £    £            £   £   £      £      £  £    £    £ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 312 4.17.5. No o a iabático izquier o (0) con generación. Φ H ∆t ; Fo ≤ ½ ρC P (4.98a) 4.17.5.2. Método implícito. (1 + 2 Fo )Tmt +1 − 2 FoTmt +11 = Tmt + Φ H ∆t + ρC P 4.17.5.3. Método C ank – Nicolson. ; Incondicionalmente estable (4.98b) (1 + Fo )T0t +1 − FoT1t +1 = (1 − Fo )T0t + FoT1t + Φ H α∆t k (4.98c) La condición de estabilidad en esta ocasión es nuevamente Fo ≤ 1. 4.17.6. Nodo convectivo de echo (n), con gene ación. Hacemos esalta que en los casos siguientes se establece el balance de ene gía al ededo del nodo del bo de con acumulación y/o gene ación en la mitad del últi mo inc emento ∆x/2. En el caso de los nodos inte nos se utiliza medio inc emento ante io y medio inc emento poste io como se obse va en la figu a 1. 4.17.6.1. Método explícito. t +1 t t t kS TN −1 − TN ⎛ ∆z ⎞ ⎡ TN − TN ⎤ ⎛ ∆z ⎞ hS T − T∞ − + ρC P S ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ = Φ H S⎜ ⎟ ∆t ∆z ⎝ 2 ⎠⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ( t N ) ( ) ( ) (4.99) Φ H ∆t ρC P 4 4 t t t TN+1 = 2 oTN −1 + (1 − 2 o − 2 Bi o ) N + 2 Bi o ∞ +                 Siguien o la recomen ación anterior obtenemo 4.17.5.1. Méto o explícito. t t t Tm+1 = (1 − 2 Fo )Tm + 2 FoTm+1 + £         £     £ £ £   £      £ £ £            £   (4.99a) Pa a estabilidad (1 − 2Fo – 2BiFo) ≥ 0 ⇉ Fo ≤ 1/[2(1 + Bi)]   FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 313 4.17.6.2. Méto o implícito. t S TN+1 − T∞ − ( ) t t t +1 t kS TN+1 − TN+1 ⎛ ∆z ⎞ ⎡ T − TN ⎤ ⎛ ∆z ⎞ −1 + ρC P S ⎜ ⎟ ⎢ N ⎥ = ΦH S⎜ ⎟ ∆t ∆z ⎝ 2 ⎠⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ( ) ( ) (4.100) t t t − 2 o N+1 + (1 + 2 o + 2 Bi o ) N+1 = N + 2 Bi o ∞ + −1 Φ H ∆t ρC P (4.100a) t Como el coeficiente de TN es independiente de Bi o Fo se á incondicionalmente estable. 4.17.6.3. Método C ank – Nicolson. Dividiendo las ecuaciones (4.99) y (4.100) po ρCPS(∆z/2), sumando y eo ganizan do: t ⎡ T t +1 − TN ⎤ ⎛ ⎞ t ⎛ 2h ⎞ t 2k t t +1 t +1 t +1 2⎢ N ⎥=⎜ ⎜ ρC (∆z ) 2 ⎟ TN −1 − TN + TN −1 − TN − ⎜ ρC ∆z ⎟ TN − T∞ + TN − T∞ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ∆t ⎦ ⎝ P P ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ( ) +2 ΦH ⎛ α∆t ⎞ k ⎛ h∆z ⎞ ⎛ hα∆t ⎞ ⎛ h∆t ⎞ ; con α = ⇉ Fo = ⎜ ⎟ ⎜ (∆z ) 2 ⎟ ; Bi = ⎜ k ⎟ ; BiFo = ⎜ k∆z ⎟ = ⎜ ρC ∆z ⎟ ⎜ ⎟ ρC P ρC P ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ P ⎠ (BiFo + Fo + 1)TNt +1 − FoTNt +−11 = 2BiFoT∞ + (1 − BiFo − Fo)TNt + FoTNt −1 + Φ H ∆t / ρCP (4.101) Pa a estabilidad el coeficiente del nodo N en el momento actual debe se mayo o igual a ce o, es deci [1 − Fo(Bi +1)] ≥ 0 ⇉ (Bi +1)Fo ≤ 1. 4.17.7. Flujo con tante en la pare . No o izquier o (0). Generación uniforme en tro el óli o. £   £         4   £ 4   4 £  £  £ £ £      £ 4 £      £    4.17.7.1. Méto o explícito (por uni a e área). ⎛ T t − T1t k⎜ 0 ⎜ ∆z ⎝ ⎞ ∆z ⎛ T t +1 − T0t ⎞ ∆z ⎟ − q S + ρC P ⎛ ⎞⎜ 0 ⎟ = ΦH ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ∆t ⎝ 2 ⎠⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎠ 2∆tqS Φ H ∆t = (1 − 2 Fo )T0t + 2 FoT1t + + ; Fo ≤ ½ ρC P ∆z ρC P (4.102) (4.102a) T0t +1 £ £ £ £ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 314 4.17.7.2. Método Implícito (po unidad de á ea), ⎛ T t +1 − T1t +1 ⎞ ∆z ⎛ T t +1 − T0t ⎟ − q S + ρC P ⎛ ⎞⎜ 0 k⎜ 0 ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ∆z ∆t ⎝ 2 ⎠⎝ ⎝ ⎠ ⎞ ∆z ⎟ = ΦH ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎠ (4.103) (1 + 2 Fo )T0t +1 − 2 FoT1t +1 = T0t + Siemp e estable 2qS ∆t Φ H ∆t + ρC P ∆z ρC P (4.103a) 4.17.7.3. Método C ank Nicolson. Dividiendo (4.102) y (4.103) po ρCP∆z/2 y p omediando ⎛ T0t +1 − T0t ⎜ ⎜ ∆t ⎝ ⎞ Φ H α ⎛ 2q S α ⎞ Fo t ⎟= T0 − T1t + T0t +1 − T1t +1 +⎜ ⎟− ⎟ k k∆z ⎠ ∆t ⎝ ⎠ ( ) Multiplicando po ∆t, colocando las incógnitas a la izquie da y los valo es cono cidos a la de echa (con sus espectivos coeficientes) se encuent a: (Fo + 1)T0t +1 − FoT1t +1 = ⎛ 2q S Fo∆z ⎞ + (1 − Fo )T0t + FoT1t + Φ H ⎜ ⎟ ⎜ ⎛ ⎝ ⎝ k ⎠ k 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (4.104) Pa a estabilidad (1 − Fo) ≥ 0 ⇉ Fo ≤ 1 Cuan o exi te convección natural o ra iac ión, el coeficiente convectivo o el efecto ra iante e ven afecta o por la temp eratura e la uperficie y algún tipo e méto o interactivo ebe u ar e para ca a intervalo e tiempo. EJEMPLO 4.17. Enfriamiento rápi o (Quenc ing). Mol ura e ierro en forma e pl aca e 10 plg e grue o e mantienen al rojo (1100 °F) ante e colgar e vertic almente al aire a 70 °F para enfriar e. La operacione po teriore e inician 4 ora má tar e. ¿Cuále on la temperatura e la uperficie y la el centro e pué e e te tiempo? El coeficiente convectivo varía como c = (TS − T∞)0.25 y el coeficiente por ra iación, e acuer o a la ecuación (1.16) r = σε(TS4 − ∞4)/( S − ∞). Las propi edades asumidas constantes son ε = 0.70; k = 27 Btu/hr.pi .°F; CP = 0.14 Btu/lb. °F; ρ = 490 lb/pie3; α = 0.394 pie2/h; l const nte σ = 0.173x10−8 Btu/ r.pie2.° R4; TS0 = 1560 °R; T∞ = Talrr = 530 R. o⎜ (∆z ) £ £ £   £ £        £ 4 £   £   4  £ £    ¢     4   £  ¡   £ £ £      £   ¡   £       £           £ £ £ £     £ £ £     £       FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 315 Solución. Para la con icione iniciale c0 = 1.7 Btu/ r.pie2.°R; r0 = 6.9 Btu / r.pie2.°R. Con e to valore 0 = 8.6 Btu/ r.pie2.°R. Seleccionamo ∆z = 1 plg ; ∆t = 1 h . obtenemos Fo = 56.74; Bi0 = 0.0265 lo que pa a un cálculo manual im plica usa el método implícito y cuat o ite aciones. Po la simet ía del sistema , pa ed plana simét ica sin gene ación, nos ep esenta seis nodos, el ce o adiab ático po simet ía, el cinco convectivo – adiativo, y el esto inte nos. P ocediendo secuencialmente obtenemos TS1 = 1224 °R; hc1 = 1.54 Btu/h .pie2.°R; h 1 = 3.80 Btu/h .pie2.°R; h1 = 5.32; Bi1= 0.0164 TS2 = 1061 °R; hc2 = 1.44 Btu/ h .pie2.°R; h 2 = 2.71 Btu/h .pie2.°R; h2 = 4.15; Bi2= 0.0128 TS3 = 937 °R; hc3 = 1.35 Btu/h .pie2.°R; h 3 = 2.06 Btu/h .pie2.°R; h3 = 3.41; Bi3= 0.0105 TS4 = 8 37.5 °R = 377.5 °F; TC4 = 845 °R = 385.3 °F. Es cla o que estamos t abajando du ante cada inte valo de tiempo con los coeficientes estimados pa a el comienzo de este pe íodo. Mejo p ecisión se obtend ía entonces si se t abaja a con coefici entes calculados a la tempe atu a p omedio de la supe ficie en cada inte valo lo que eque i ía al menos una ite ación adicional en cada inte valo de tiempo. EJEMPLO 4.18. Un elemento combustible de un eacto nuclea tiene la fo ma de un a placa plana de espeso 2L = 20 mm y está enf iado desde sus dos supe ficies co n coeficiente convectivo 1100 W/m2.K, y T∞ = 250 °C. En ope ación no mal gene a ΦH1 = 107 W/m3. Si repentinamente esta potencia aumenta a ΦH2 = 2x107 W/m3, dete rmine la distribución de temperaturas en la placa después de 3 s. Las propiedade s térmicas del elemento de combustible nuclear son k = 30 W/m.K y α = 5x10−6 m2/ s. Solución. P r resolver este ejercicio us remos el método de diferenci s fini t s según Cr nk – Nicolson. P r comenz r, l distri ución inici l de temper tur s de e conocerse. P r pl c pl n con gener ción, simétric y en est do est l e. Del c pítulo 1 tenemos tom ndo como origen coorden do el pl no centr l de l pl c , de donde p r z = 0, dT/dz = 0. ⎞⎡ ⎛ z ⎞ ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎟ ⎠⎢ ⎝ L ⎠ ⎣ 2 ⎤ ⎥ + TS ⎥ ⎦ (4.105) 4 ⎛ Φ L2 = ⎜ H1 ⎜ 2k ⎝   ¡ ¡  ¡ £   ¡       ¡   ¡               ¡   ¡     ¡              ¡           ¡         ¡ ¡        ¡     ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡                 £ £ £     ¡ ¡ £    ¡ ¡    ¡ ¡             ¡         ¡      ¡ ¡       ¡ ¡  ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 316 TS se o tie e por la co dició límite para z = L −k d dz = h( S − ∞ ) ⇉ TS = T∞ + z=L Φ H1L h ambién la podemos obtener, en estado estable, igualando el calor generado en la mitad del volumen al perdido por convección Φ H Az L = hAz ( S − ∞ ) ⇉ TS = 250 + (10 7 )(0.01) = 340.91 °C. 1100 De ido a la simetría podemos co siderar la mitad de la placa sa ie do que el per fil se reflejará e la otra mitad como e u espejo. Co esto e me te seleccio amos uestro orige coorde ado e el pla o de simetría que equivale e to ces a u a superficie adia ática. El espesor a a alizar es e to ces de 10 mm. Toma do ∆z = 10/4 = 2.5 mm tend emos 5 nodos pa a analiza (9 pa a la placa completa). El nodo ce o adiabático, los nodos 1, 2, y 3 inte nos y el 4 es convectivo. Todos e llos con gene ación. Obse vando las espectivas ecuaciones se ap ecia que la con dición de estabilidad más est ictiva es la del nodo convectivo: (Bi + 1)Fo ≤ 1. 1 ⎛ h∆z ⎞ (1100)(0.0025) = 0.0917 ⇉ Fo ≤ = 0.916 Calculamo Bi = ⎜ ⎟= 30 1.0917 ⎝ k ⎠ (0.916)(0.0025) 2 entonces ∆tmax = = 1.145 s. 5 x10 −6 Si seleccionamos ∆ t = 0.75 s < ∆tmax, después de cuat o inc ementos de tiempo alcanza emos el tiem po eque ido de 3 s y Fo = (5x10−6)(0.75)/(0.0025)2 = 0.6 < 0.916. Con estos val o es, eemplazamos en las espectivas co elaciones: nodo ce o (ecuación 4.98c): (1.6)T0t +1 − (0.6)T1t +1 = (0.4)T0t + (0.6)T1t + (2 x10 7 )(5 x10 −6 )(0.75) 30 ¥  Para cualquier punto entre 0 ≤ z ≤ L, la i tribución inicial e temperatura rá: ⎡ ⎛ z ⎞2 ⎤ T ( z ) = 16.67 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + 340.91 ⎢ ⎝ 0.01 ⎠ ⎥ ⎦ ⎣ 0 ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥    ¥ £    ¥ ¥   ¥ ¥      ¥ ¥ ¥ ¥      £ ¥       ¥ ¥ ¥   ¥     ¥   ¥ 4   4 ¥ ¥ ¥  4 4   ¥        ¥ 4      4 ¥ e FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 317 ΦHα∆t/k = 2.5 °C. nodo uno (ecuación 4.97a): − (0.6)T0t +1 + (3.2)T1t +1 − (0.6)T2t +1 = (0.6)T0t + (0.8)T1t + (0.6)T2t + 5 nodo dos (ecuación 4.97a): − (0.6)T1t +1 + (3.2)T2t +1 − (0.6)T3t +1 = (0.6)T1t + (0.8)T2t + (0.6)T3t + 5 nodo t es (ecuación 4.97a): − (0.6)T2t +1 + (3.2)T3t +1 − (0.6)T4t +1 = (0.6)T2t + (0.8)T3t + (0.6)T4t + 5 nodo cuat o (ecuación 4.101): (1.655)T4t +1 − (0.6)T3t +1 = 27.5 + (0.345)T4t + (0.6)T3t + 2.5 Este sistema de ecuaciones simultáneas puede esolve se po el mé todo de inve sión de mat ices. Exp esando la ecuación en la fo ma [A][T] = [C] d onde 0 0 0 ⎤ ⎡ 1.6 − 0.6 ⎢− 0.6 3.2 − 0.6 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ [A] = ⎢ 0 − 0.6 3.2 − 0.6 0 ⎥ ⎥ ⎢ 0 − 0.6 3.2 − 0.6⎥ ⎢ 0 ⎢ 0 0 0 − 0.6 1.66 ⎥ ⎦ ⎣ ⎤ ⎡0.4T0t + 0.6T1t + 2.5 ⎥ ⎢ t t t ⎢0.6T0 + 0.8T1 + 0.6T2 + 5 ⎥ = ⎢0.6T1t + 0.8T 2t + 0.6T3t + 5 ⎥ ⎥ ⎢ t t t ⎢0.6T2 + 0.8T3 + 0.6T4 + 5 ⎥ ⎢27.5 + 0.345T t + 0.6T t + 2.5⎥ 4 3 ⎦ ⎣ ⎡T0t +1 ⎤ ⎢ t +1 ⎥ ⎢T1 ⎥ [T ] = ⎢T2t +1 ⎥ ⎢ t +1 ⎥ ⎢T3 ⎥ ⎢T t +1 ⎥ ⎣ 4 ⎦ [C ] t La matriz [C] se calcula e el tiempo (t) y provee las temperaturas de los difer e tes odos e el tiempo (t+1). ara la distri ució i icial de temperaturas, o sea t = 0 los 0 valores de las Tm temperaturas las o te emos de la ecuació (4.1 05) para estado esta le hacie do z = 0, 2.5, 5, 7.5 y 10 mm respectivame te. Se o tie e los siguie tes valores:   ¥   ¥           ¥  ¥ ¥        ©   ¥ ¥    ¥ ¥     ¥ ¥   ¥   ¥  ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 318 [T ]0 ⎡357.58⎤ ⎢356.54⎥ ⎢ ⎥ = ⎢353.41⎥ ⎢ ⎥ ⎢348.20⎥ ⎢340.91⎥ ⎣ ⎦ [C ]0 ⎡359.46⎤ ⎢716.83⎥ ⎢ ⎥ = ⎢710.57⎥ ⎢ ⎥ ⎢700.15⎥ ⎢356.53⎥ ⎣ ⎦ Multiplica do [A]−1 (la matriz inversa de [A]) por [C]0 se obtienen las temperat uras 1 m de los diferentes nodos las que a su vez nos generan [C]1 que al multi plicarse 2 por [A]−1 genera los m y así sucesivamente se continúa tantos incrementos de tiempo como se requiera. Obtenemos finalmente: ∆t 0 1 2 3 4 t[s] 0 0.75 1.50 2.25 3.00 T0∆t 357.58 358.83 360.06 361.36 362.63 T1∆t 356.54 357.78 358.99 360.43 361.52 T2∆t 353.41 354.62 355.73 357.13 358.09 T3∆t 348.20 349.23 350.07 351.23 352.11 T4∆t 340.91 341.00 341.70 342.57 343.49 Datos: Tome las siguientes p opiedades pa a el metal: ρ = 7820 kg/m3; CP = 465 J/kg.K ; k = 16 W/m.K. Ot os valo es dados en la lite atu a son ρ = 7823 kg/m3 ; CP = 434 J/kg.K ; k = 63.9 W/m.K. ρ = 7820 kg/m3; CP = 473.3 J/kg.K ; k = 39 W/m.K. ρ = 7820 kg/m3; CP = 460.8 J/kg.K ; k = 23 W/m.K.     La solución analítica de este caso fue dada ya en este capítulo (Ejemplo 4.3). EJEMPLO 4.19. Se calienta una ba a de ace o de 1 m de longitud hasta que la ba a tiene un g adiente lineal que va desde 300 °C en un ext emo hasta 600 °C en e l ot o. La tempe atu a en el ext emo de 600 °C disminuye súbitamente hasta 100 ° C. Los lados y el ot o ext emo de la ba a se mantienen aislados. Calcule el pe fil de tempe atu a después de 0.27 Ms. (Suge encia: debido a que los lados y un ext emo están aislados es posible conside a a la ba a como la mitad de una pla ca plana con el ext emo de 600 °C en la supe ficie de la placa). Nota: Debido a lo p olongado del tiempo (75 h) pa ece indicado usa el método de dife encias fi nitas completamente implícito, con inc ementos de tiempo del o den de 15 h y ∆z de 20 o 25 centímet os. Compa a con la solución analítica dada en el ejemplo 4. 2.   ¥     ¥                       ¥        ¥             4         ¥            ¥ 4            FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 319 Solución. Pa a ealiza el cálculo en fo ma manual p ocedemos a t abaja po el método completamente implícito de dife encias finitas con ∆z = 0.25 m y ∆t = 15 h = 54000 s. El núme o de Fou ie , con α = 0.44x10 5 m2/s es 3.8. S crific mos e x ctitud pero reducimos l c ntid d de oper ciones re liz r. Necesit remos 5 i ncrementos de tiempo y el enm ll do tendrá solo 4 nodos s er: t t t Nodo (0), di ático: (1 + 2 Fo )Tm+1 − 2 FoTm+1 = Tm ⇉ (8.6)T0t +1 − 7.6T 1t +1 = T0t +1 t t t t No o interno : − FoTm+1 + (1 + 2 Fo )Tm+1 − FoTm+1 = Tm −1 +1 No o (1) − 3.8T0t +1 + 8.6T1t +1 − 3.8T2t +1 = T1t No o (2) − 3.8T1t +1 + 8.6T2t +1 − 3.8T3t +1 = T2t No o (3) − 3.8T2t +1 + 8.6T3t +1 = T3t + 3.8T4 con T4 = 10 0 °C, con tante y conoci o. La matrice iniciale on: 0 0 ⎤ ⎡ 8.6 − 7.6 ⎡300⎤ ⎢− 3.8 8.6 − 3.8 ⎢375⎥ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎢ ⎥ A= Tm = ⎢ ⎢ 0 ⎢450⎥ − 3.8 8.6 − 3.8⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ − 3.8 8.6 ⎦ 0 ⎣ 0 ⎣525⎦ ⎡ 300 ⎤ ⎢ 375 ⎥ 0 ⎥ C =⎢ ⎢ 450 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣525 + 380⎦ I virtie do A o te emos Tt+1 = A−1C0 ; Ct+1 se diferencia de Ct solamente en el último término que se va modificando en la medida que se modifique 3 ; A−1 perm anece inmodificable. Obtenemos las siguientes distribuciones de temperatura: ∆t 0 1 2 3 4 5 t [h] 0 15 30 45 60 75 T0 300 307.7 245.0 196.0 161.3 138.9 T1 37 5 308.7 239.0 189.3 156.8 136.0 T2 450 292.3 212.7 169.5 143.7 127.6 T3 525 234. 4 165.4 138.3 123.8 114.9 T4 100 100 100 100 100 100 Pa a obse va la eficiencia del sistema en función del núme o de Fou ie , p esen tamos los valo es obtenidos con ∆z = 0.05 m (21 nodos) y ∆t = 600 s (450 ite aci ones), Fo = 1.06, ve ificado usando el paquete I. H. T.         ¡     ¡   ¡ 4     ¡ ¡ ¡ ¡     £   ¡     ¡        ¡ ¡ ¡ ¡ ¡        £ £        ¡ ¡  ¥             £  ¥     £ ¡ ¥ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento ∆t 0 1 2 3 4 5 t [h] 0 15 30 45 60 75 T0 30 0 317.8 222.3 168.2 138.0 121.2 T1 375 302.0 2113.0 163.0 135.1 119.6 T2 450 256 .1 186.5 148.2 126.9 115.3 T3 525 185.3 146.8 126.1 114.6 108.3 T4 100 100 100 1 00 100 100 320 La ecuación (Costa Novella # 5 pg 83; Bi d et al pg 19 – 32; Inc ope a De Witt p g 822, 14.32 y 14.33) ∂c A ∂ 2c A = DAB − k cA ∂t ∂z 2 (I) con las condiciones t = 0 , z , cA = cAo = 0 t > 0 , z = 0 : cA = cAs = constan te t > 0 , z = ∞ : cA = 0 desc ibe un p oceso de abso ción con eacción química en un medio semi infinito, siendo k’ la constante de velocidad de eacción de p ime o den. Conside emos un medio semiinfinito que se extiende desde el plano lí mite z = 0 hasta z = ∞. En el instante t = 0 la sustancia A se pone en contacto con este medio en el plano z = 0, siendo la concent ación supe ficial cAs (pa a la abso ción del gas A po el líquido B, cAs se ía la concent ación de satu ació n). A y B eaccionan pa a p oduci C según una eacción homogénea i eve sible d e p ime o den A + B → C. Se supone que la concent ación de A es pequeña. Esta s ituación co esponde a muchas situaciones eales ent e las que mencionamos la co ntaminación atmosfé ica con NO2 y su dest ucción po eacción fotoquímica, o el consumo de CO2 en el seno de un cue po de agua po fotosíntesis.                                                                                                    Al obse pa a Fo 3.8 es 4.17.8. va los esultados calculados po los t es métodos desc itos las cu vas = 1y el análisis exacto se confunden, pe o la dife encia especto a Fo = notable. Difusión con eacción química homogénea.                       FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 321 4.17.9. Conducción t ansito ia en una aleta. La ecuación (Adams y Roge s pg 210; Holman pg 176, REA’S Heat pg 155 y pg 120) ∂ 2T Ph(T − T∞ ) 1 ∂T − = ∂z 2 kAz α ∂t (ii) con condiciones t = 0 , z : T = To = T∞ t > 0 , z = 0 : T = Ts = constante t > 0 , z = ∞ : T = T∞ desc ibe una aleta de enf iamiento infinita en un medio de te mpe atu a T∞ y coeficiente convectivo h, en sus momentos iniciales Haciendo θ = (T – T∞), con T∞ constante, las condiciones límite para las ecuaciones (i) y (ii ) se hacen idénticas: 4.17.10. Diferencias finitas. Las ecuaciones (i) y (ii) pueden e presarse en términos de diferencias finitas d e manera sencilla: 4.17.10.1. Método implícito. Aleta unidimensional transitoria sin eneración. No do interno (m). t t t t t t Tm+1 − 2Tm+1 + Tm+1 Ph(Tm+1 − T∞ ) 1 Tm+1 − Tm +1 −1 − = kAz α ∆t (∆ z )2 Reo ganizando t t t t − FoTm+1 + 1 + 2 Fo + BiFoL* Tm+1 − FoTm+1 = BiFoL*T∞ + Tm −1 +1 ( ) donde Fo = (∆z ) α∆t 2 ; Bi = h(∆z ) ; L* = S / Az ; S = P(∆z ) k P es pe ímet o, Az á ea pe pendicula a z, z coincide con el eje de la aleta. Po un balance obtenemos el nodo convectivo:   !             "                             FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento t hAz (TN+1 − T∞ ) + t +1 t +1 t +1 t Ph(∆z ) t +1 − (TN − T∞ ) − kAz (TN∆1z− TN ) + ρCP Az (∆z ) (TN ∆− TN ) = 0 t 2 2 322 Reo ganizando (1 + 2Fo + 2BiFo + BiFoL )T * t +1 N t t − 2 FoTN+1 = 2 BiFo + BiFoL* T∞ + TN −1 ( ) Pa a t ansfe encia de masa T se sustituye po cA, α por DAB y (αhP/kAz) por k’. 4.17.10.2. Método explícito. Alet unidimension l tr nsitori sin gener ción. No do interno (m). t t t t Tm+1 = 1 − 2Fo − 2BiFo − BiFoL* Tm + FoTm −1 + FoTm +1 + BiFoL*T∞ ( ) Nodo Convectivo derecho (N) t t t TN+1 = 1 − 2Fo − 2BiFo − BiFoL* Tm + 2FoTN −1 + BiFo 2 + L* T∞ ( ) ( ) EJEMPLO 4.20 Un v rill de cero (k = 50 W/m.K) de 3 mm de diámetro y 10 cm de l rgo, se enc uentr inici lmente 200 °C. En el tiempo cero, se sumerge en un fluido con h = 50 W/m2.s y T∞ = 40 °C, mientr s que uno de sus extremos se m ntiene 200 °C. Determine l distri ución de temper tur s en l v rill después de 40 s. L s pro pied des del cero son ρ = 7800 kg/m3 y CP = 470 J/kg.K. Tome ∆z = 2.5 cm, ∆t = 10 s. Use el método implícito. ¿Cuál se á el flujo de calo a los 40 s? Solución. Pa a el caso numé ico que nos ocupa 0 0 ⎤ ⎡50.88 + T1t ⎤ ⎡ 1.618 − 0.218 ⎢ ⎢− 0.218 1.618 − 0.218 t ⎥ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ; C t = ⎢ 7.28 + T2 ⎥ A= ⎢ 7.28 + T3t ⎥ ⎢ 0 − 0.218 1.618 − 0.218⎥ ⎢ ⎢ ⎥ t⎥ − 0.436 1. 629 ⎦ 0 ⎢7.716 + T4 ⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎣   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡     ¡ ¡ ¡ ¡ ¡       ¡   ¡ ¡   ¡   ¡  ¡ ¡     ¡ ¡ ¡     ¡ ¡ ¡ ¡     ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 323 ⎡178.74⎤ ⎡162.61⎤ ⎡150.76⎤ ⎡141.65⎤ ⎢175.81⎥ ⎢155.88⎥ ⎢139.62⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ ; T2 = ⎢ ⎥ ; T3 = ⎢ ⎥ ; T 4 = ⎢126.38⎥ T = ⎢175.30⎥ ⎢154.48⎥ ⎢137.04⎥ ⎢122.48⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣174.44⎦ ⎣153.18⎦ ⎣135.46⎦ ⎣120.69⎦ El flujo de calor e cualquier i sta te de e evaluarse aplica do la “Ley del e f riamie to” a cada odo, te ie do e cue ta que para el odo cero el área para co vecció es (∆z)/2 y pa a el nodo cuat o es P(∆z)/2 + Az. Pa a el esto se á P( ∆z). EJERCICIOS. 1. Un método pa a p epa a una mezcla gaseosa con un cie to g ado de unifo midad usa la inte difusión de dos gases inicialmente confinados a las dos mitades de un cilind o hueco. Un diaf agma delgado que sepa a los gases en el cent o, se e ti a epentinamente y se pe mite que los dos gases se mezclen du ante un cie to tiempo. Se eemplaza entonces el diaf agma y se pe mite que las mezclas en las d os mitades se unifo micen. Si en ambas mitades tenemos inicialmente O2 y N2 pu o s, cuanto tiempo debe emove se el diaf agma si que emos que en uno de los compa timentos se tenga al final una mezcla de composición simila a la del ai e está nda (21% O2 y 79% N2) ? La p esión total es una atm y la tempe atu a 20 °C. El cilind o tiene 20 cm de longitud y 10 cm de diámet o. 2. En el cu ado del caucho , este es moldeado en esfe as y calentado hasta 360 K. A continuación se le pe m ite enf ia se a tempe atu a ambiente. Qué tiempo debe á t anscu i pa a que la tempe atu a supe ficial sea 320 K si el ai e de los al ededo es está a 295 K ? L a esfe a es de 7.5 cm de diámet o. Pa a el caucho k = 0.24 W/m.K.; ρ = 1120 kg./ m3; Cp =1020 J/kg.K. ¿Cuando alcanza á el cent o esta tempe atu a? ¿Cual se á en tonces la tempe atu a de la supe ficie? ¿Cuál la tempe atu a p omedio? 3. Una ba a la ga de made a con diámet o exte no igual a 12 mm se expone a ai e de tempe atu a 1400 °C. Si la tempe atu a de ignición de la made a es de 425 °C, dete mi ne el tiempo eque ido pa a inicia la combustión dado que la tempe atu a inicia l de la ba a es de 10 °C. Tome k = 0.15 W/m.K; h = 16 W/m2.K; ρ = 730 kg/m3, y Cp = 25 kJ/kg.K. 4. Una bombilla de 60 W tiene filamento cilínd ico de tungsteno de 0.03 pl. de diámet o y 1.5 pl. de longitud. a) Suponiendo que las pé didas p o conducción y convección y la e adiación desde los al ededo es son desp ecia bles, encuent e la tempe atu a de ope ación del filamento. Suponga que esta temp e atu a es unifo me pa a todos los puntos del filamento en cualquie momento. b) Si el límite infe io de adiación visible desde el filamento ocu e a tempe at u a de 2000 °F, cuanto se demo a el filamento pa a       ¥                                                       ¥           ¥         ¥     ¥                        ¥   ¥           ¥        ¥ ¥   ¥           ¥ ¥                                               ¥ ¥     ¥              ©                  ¥     ¥                        ¥ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 324 comenza a “alumb a ”? Pa a el filamento tome la emisividad ε = 0.39; d nsidad ρ = 1192 lb/pie3; calo específico Cp = 0.037 Btu/lb.° . 5. Esfe as de cob e de 0 .01 m de diámet o a tempe atu a inicial unifo me de 360 K, se dejan cae en un t anque de agua a 300 K. La p ofundidad del agua es de 1 m. Suponiendo que las esf e as alcanzan su velocidad te minal tan p onto como ent an al agua, dete mine qu é tempe atu a tienen las esfe as al llega al fondo del tanque. Pa a agua a 300 K, ρ = 997 kg/m3; ν = 8.6x10-7 m2/s; k = 0.608 W/m.K.; r = 5.88; µ = 8.57x10-4 a.s (a 300K); µS =3.2x10−4 Pa.s (a 360 K); para el cobre ρ = 8933 kg/m3; k = 41 0 W/m.K.; α = 11.6x10−5 m2/s. ¿Cu nto demor re lmente l esfer en lc nz r l velocid d termin l? ¿Cu nto esp cio recorre en este l pso? 6. L c r li re de u n rr semi infinit de cero de k = 42 W/m.K. y α = 1.2x10 5 m2/s, l cu l se h ll un temper tur uniforme inici l de 25 °C se coloc en cont cto con un corriente de fluido 400 °C y h0 = 100 W/m2.K. Gr fique los perfiles de temper tur luego de tr nscurridos 1, 5,10 y 30 minutos ( scis s entre 0 y 0.20 m.; o rden d s entre 25 y 150 °C), y l histori de l temper tur en puntos coloc dos 0, 0.05 y 0.10 m de l superficie dentro del sólido ( scis s entre 0 y 60 mi n.; orden d s entre 25 y 170 °C). 7. Se h demostr do que l elimin ción del ce ite de soy que impregn un rcill poros por cont cto con un disolvente del ceite, es oc sion d por difusión intern del ceite tr vés del sólido. L pl c de rcill , de 1/16 pl. de espesor, 1.80 pl. de longitud y 1.08 pl. de grosor , con los l dos estrechos sell dos, se impregnó con ceite de soy h st un con centr ción uniforme de 0.229 kg de ceite/kg de rcill sec . Se sumergió en un corriente en movimiento de tetr cloroetileno puro 120°F, en donde el contenid o de ceite en l pl c se redujo 0.048 kg de ceite/kg rcill sec en un ho r . L resistenci l difusión puede consider rse que reside complet mente en l pl c ; el contenido fin l de ceite en l rcill puede consider rse como 0 c u ndo se pone en cont cto con el solvente puro dur nte un tiempo infinito. ( )C lcule l difusivid d efectiv . ( )Un cilindro de l mism rcill , 0.5 pl. de di ámetro, 1 pl. de longitud, contiene concentr ción inici l uniforme de 0.17 kg c eite/kg rcill . Cu ndo se sumerge en un corriente en movimiento de tetr cloroe tileno puro 49 °C, que concentr ción descenderá el contenido de ceite despu és de 10 h?. (c)En cuánto tiempo descenderá l concentr ción h st 0.01 kg ceit e/kg rcill p r el c so nterior cu ndo ninguno de los extremos está sell do?. 8. Un t nque de 2 m de diámetro, provisto de un git dor de tur in , contiene 6 200 kg de un disolución cuos diluid . El git dor tiene 2/3 m de diámetro y g ir 140 R.P.M. El t nque está provisto de un c mis en l que condens v por de gu 110 °C y el áre de tr nsmisión de c lor es de 14 m2. L s p redes del t nque son de 10 mm de espesor. Si l dilución está 40°C y el coeficiente de t r nsmisión de c lor del v por de gu condens nte es de 10 kW/m2 °C, ¿Cu l es l velocid d de tr nsferenci de c lor ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡   ¡   ¡ ¡ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡    ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡     ¡ © ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡     ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡       ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡     ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡     ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡     ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ © FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 325 entre el v por de gu y el líquido? ¿Cu nto tiempo se necesit rá p r c lent r el contenido del t nque desde 20 °C h st 60 °C ? ¿Desde 60 h st 100 °C?. P r tr nsmisión de c lor h ci o desde el enc mis do de un t nque con pl c s deflect or s se plic l siguiente ecu ción cu ndo se utiliz un tur in norm l de p l s rect s: 2 2/3 1/3 0.24 (h Dt/ k) = 0.76 (D N ρ / µ) (CP µ / k) (µ / µS) . q uí Dt es el diámet o del tanque, Da es el diámet o del agitado , y la f ecuencia de otación N debe esta en evoluciones po segundo (o po minuto si fue a el caso pa a adimensionaliza ). 9. Una pa tícula de ca bón pulve izado a de en ai e a 2200 ° . Suponga que la pa tícula es C pu o con ρ = 80 lb/pie3 y que la pa tí cula es esfé ica con diámet o inicial 0.06 pl. Bajo las condiciones desc itas la difusividad del oxígeno en la mezcla gaseosa puede toma se como 4.0 pie2/h . Cu anto tiempo se eque i á pa a educi el diámet o de la pa tícula hasta 0.001 pl . ? En la supe ficie ocu e la siguiente eacción hete ogénea instantánea: 3C + 2O2 ⇉ 2CO + CO2 E váli o el análi i e e ta o p eu oe tacionario? Porqué i o porqué no. 10. E time que tiempo emorará para re ucir e el iámetro e una gota emi férica e agua, que repo a obre una uperficie plana, e e 0.6 cm a ta 0.025 cm, i el agua e evapora por ifu ión molecular a travé e una "película efectiva" e nitrógeno, e 0.05 cm e e pe or, la cual ro ea la gota. La ma a p rincipal e nitrógeno ma allá e la película efectiva e pue e uponer libre e l vapor e agua. El agua en la gota e mantiene a una temperatura tal que la pre ión el vapor e agua e iempre 1.013x104 Pa. La pre ión el i tema e 1.013x 105 Pa. De precie inicialmente el efecto el movimiento e la fa e ga eo a reque ri o para reemplazar el líqui o evapora o. ¿Como e mo ificaría u cálculo para con i erar el movimiento global e la fa e ga eo a requeri o para reemplazar el líqui o que e evapora? Con e ta película efectiva pue e u te calcular un coefi ciente e tran ferencia. ¿Cuanto vale? 11. En la oxi ación e muc o metale , un a película e óxi o e forma en la uperficie el metal. Para que la oxi ación p ro iga el oxígeno ebe ifun ir a travé e la película e óxi o a ta la uperf icie el metal. El óxi o pro uci o tiene volumen mayor al el metal con umi o; p or lo tanto, el camino e ifu ión aumenta con el tiempo. Eventualmente, la oxi ación e vuelva controla a por la ifu ión y la concentración el oxígeno i uel to en la interfa e óxi o metal e ace e encialmente cero. Si e a ume una con i ción e e ta o p eu oe tacionario e arrolle una expre ión para la profun i a e la película e óxi o como función el tiempo, e la concentración e oxígeno e n la uperficie libre (O2 aire) y la ifu ivi a el O2 a travé el óxi o. 12. Un e tu iante planea u ar el tubo e Stefan para comprobar lo valore e la if u ivi a má ica e benceno en nitrógeno a 26.1 °C. A e ta temperatura la pre ión e vapor e benceno e 100 mm e Hg. El error en la lectura el nivel el líqui o con un catetómetro e tal que el nivel ebería caer al meno 1.0 cm urante e l experimento. El £ £ £ £ £     £ £ £   £ £ £ £ £ £ £ £ £   £ £ £ £ £     £    £ £ £  £  £ £ £ £     £ £ £ £  £  £   £ £   £ £    £ £   £ £ £    £ £     £    £  £ £   £ £   £ £    £ £ ¡ ¡ ¡ ' ¡      ¡       ¡ ¡ ¡   ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡     £ ¡     £     ¡ ¡ ¡ ¡       £   ¡ ¡ £      ¡ ¡ £      ¡ ¡ ¡ ¡ ¡     £ ¡   £                    ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡     ¡  £  £  £ £ £  £  £ £ £ £ £  £  £     £   £        ¡  £  £ ¡   £   £  £ £ £ ¡ ¡  £ £ £ £ £ £   £ £  £ ¡ £ £ £    FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 326  ¡   e tu iante quiere acer u me icione el nivel inicial y final en un perío o e 24 ora . ¿ A qué nivel eberá el llenar el tubo con benceno líqui o? Si el e tu iante mi e el nivel el benceno a iferente intervalo e tiempo, ¿Cual ebe ría er el análi i e u ato ? De precie la acumulación e vapore e benceno en el tubo. La pre ión total e tal que el agua e tila a ierve a 91 °C y el n itrógeno e puro. Tome la grave a e pecífica el benceno líqui o como 0.8272 g/ cm3. Si el i po itivo anterior e tá lleno con metanol a ta la ali a el tubo, cuánto tiempo emoraría el nivel e metanol para bajar a la ba e el tubo (3 pl .)?.El aire e lo alre e ore e aire a 25°C. 13. Una pare e ormigón e e pe or b = 1 pie, con uctivi a térmica k = 0.5 Btu/ .pie.°F, ifu ivi a térmica α = 0.02 pie2/h, tiene inici lmente temper tur uniforme T0 = 100 °F. P r un tie mpo t > 0 l superficie límite en z = 0 lc nz y se m ntiene temper tur T1 = 1100 °F (est lló un incendio; l p red protege l zon de com usti les), pero e l l do opuesto de l p red se m ntiene T2 = To = 100 °F. Determin r l temper tur en el pl no centr l de l p red 1, 5 y 20 hor s después de h er comenz do el c lent miento. 14. Un pl c de co re (k = 220 Btu/h.pie. F, ρ = 560 lb/pie3, CP = 0.1 Btu/lb. ) está inicialmente a tempe atu a unifo me de 70 . Repenti namente se aplica a una de sus ca as un flujo de calo q = 1500 Btu/h.pie2, en t anto que la ot a ca a disipa calo po convección hacia un medio de 70 y coef iciente de t ansfe encia de calo h = 10 Btu/h.pie2. . Usando el método de pa ámet os concent ados (Bi < 0.1) dete mine la tempe atu a de la placa 5 minutos d espués de habe aplicado el flujo de calo . Dete mine también la tempe atu a de la placa en estado estable. 15. Una va illa la ga de 40 mm de diámet o, fab icad a de zafi o (óxido de aluminio) e inicialmente a una tempe atu a unifo me de 800 K, se enf ía de súbito con un fluido a 300 K que tiene un coeficiente de t ansf e encia de calo de 1600 W/m2.K. Después de 35 s, la va illa se envuelve en un a islante y no expe imenta pé didas de calo . ¿Cuál se á la tempe atu a de la va i lla después de un la go tiempo? ¿Cuál la tempe atu a de la supe ficie y la del c ent o en el momento de te mina el enf iamiento?. ρ = 3970 kg/m3; CP = 765 J/kg. K; k = 46 W/m.K; α = 15.1x10−6 m2/s. 16. Un p red de 0.12 m de espesor que tien e un difusivid d térmic de 1.5x10−6 m2/s está inici lmente un temper tur u niforme de 85°C. De pronto un c r se j un temper tur de 20°C mientr s l otr c r qued perfect mente isl d . ( ) Con l técnic de diferenci s finit s implícit y con incrementos de esp cio y tiempo de 30 mm y 900 s, respectiv m ente, determine l distri ución de temper tur s t = 45 min. ( ) Di uje el resu lt do y compárelo con l solución n lític . ¿Cu ntos gr dos difiere c d nodo d e l temper tur de est do est le? P r c d v lor de ∆t, t ace las histo ias d e la tempe atu a pa a cada ca a y pa a el plano medio. £   ¡ £  ¡ ¡ ¡ £ £       ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ £ ¡ ¡ ¡ 5  ¡ £     £ 5  £ £ £   £ £ £      £ £  ¡ ¡    ¡     £  ¡   ¡ 5 ¡     £ £  £   ¡ ¡ ¡    ¡ ¡   5    ¡       ¡         ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ £    ¡    ¡ ¡ ¡ ¡ ¡     ¡ ¡ £     ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ £     £        £       £  £   £ £ £ £   £ ¡   £ £      ¡ 5  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ £ £ £ £   £          £   ¡ £  ¡     ¡ ¡         ¡ ¡ ¡   £ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ £  £   ¡    ¡   ¡ £ ¡ ¡   ¡ ¡ £    ¡ ¡ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 327 17. Unas pelotas de hule se moldean en fo ma de esfe as y se vulcanizan a 360 K. Después de esta ope ación se dejan enf ia a tempe atu a ambiente. a) ¿Cuánto t iempo t anscu i á pa a que la tempe atu a en la supe ficie de una pelota sólida de hule llegue a 320 K cuando la tempe atu a del ai e ci cundante es de 295 K? Conside e que las pelotas tienen diámet o de 7.5 cm. Las p opiedades del hule qu e pueden usa se son las siguientes: k = 0.24 W/m.K, ρ = 1120 kg/m3 y Cp = 1020 J /kg.K. b) Dete mina el tiempo que se equie e pa a que las pelotas de hule desc itas lleguen a la condición en que la tempe atu a del cent o sea de 320 K. ¿Cuá l se á la tempe atu a de la supe ficie cuando la tempe atu a en el cent o llegue a 320 K?. 18. Resuelva el ejemplo 4.1 usando el método de C ank Nicolson, po e l método explícito y po el método completamente implícito. Compa e la exactitud de los esultados con la solución analítica. Repita po el método g áfico de Sc hmidt. 19. Una esfe a de cob e pu o, cuyo diámet o es 60 cm. se encuent a a una tempe atu a inicial de 200 °C, se sume ge súbitamente en un m3 de agua cuya temp e atu a es de 40 °C pa a la cual el coeficiente convectivo de t ansfe encia de c alo es 300 W/m2K, ¿Cual se á la tempe atu a de la esfe a después de habe t ans cu ido 10 minutos? Obse ve que las capacidades calo íficas de la esfe a y el ag ua son del mismo o den de magnitud. de tal mane a que la tempe atu a del agua au menta á a medida que la esfe a se enf ía. 20. Conside e el elemento de combustib le nuclea del que t ata el ejemplo 4.4. Inicialmente, el elemento está a tempe atu a unifo me de 250 °C sin gene ación de calo . Cuando el elemento se inse ta en el eacto comienza a gene a de mane a unifo me a azón de ΦH = 108 W/m3. La s superficies se enfrían por convección hacia un medio con ∞ = 250°C y h = 1100 W/m2.K. Utilizando el método de Crank Nicolson, e incrementos ∆z = 2.5 mm, dete mine la dist ibución de tempe atu as 3 s después de que se inse ta el elemento en el eacto . Compa e con el esultado analítico. Repita usando el método explí cito con Fo = 0.5. Dibuje los esultados. 21. Se fab ica un catalizado de plati no sume giendo píldo as esfé icas de alúmina (Al2O3) en una solución de ácido cl o oplatínico (H2PtCl6) hasta que se difunde cie ta cantidad de ácido hacia el in te io de la píldo a. Entonces, se educe el ácido pa a obtene platino finament e dividido sob e la alúmina. Al p incipio, se humedecen las píldo as, de media p ulgada de diámet o, con agua pu a. Luego se sume gen en una solución ácida de ma ne a que la concent ación en la supe ficie se mantiene 50% mola de ácido y 50% mola de agua. La t ansfe encia del ácido se obtiene po t anspo te molecula y DAB = 5x10−5 pie2/h. (a) calcule la concent ación de ácido a 1/8 plg del cent o después de 3 h de inme sión. (b) calcule el tiempo que se equie e pa a alcanza una concent ación de ácido 40% mola en el cent o. (c) ¿Cuales son las concent aciones p omedio en los casos ante io es? Use co elaciones. 22. La mue te inve nal de peces en lagos montañosos se at ibuye en pa te a la educción de oxígeno en el agua debido a la supe ficie congelada. Al final del invie no, enseguida de l                                                                     4                                                                                                                                                                                                                                                                  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 328     descongelamiento se halló que la concent ación de oxígeno en uno de los casos e a de 3.0x10−5 kgmol/m3. Sin emba go, en la p imave a, el agua es ot a vez oxigen ada como consecuencia de su contacto con el ai e. Si el lago está a una elevació n de 2133 m sob e el nivel del ma (P = 0.769 atm) y es muy p ofundo, dete mine la concent ación de oxígeno en el agua a una p ofundidad de 0.06 m debida a la d ifusión después de (a) un día y (b) t es días. (c) Dete mine la distancia de pen et ación del oxígeno después de 30 días. La tempe atu a del lago es unifo me a 5 C (DAB = 1.58x10−9 m2/s). Suponga que la concent ación de oxígeno en el agua d e la supe ficie está en equilib io con el ai e.. Use la ley de Hen y pa a dete m ina la concent ación supe ficial: pO2 = HxO2 con H = 2.91x104 atm/(kgmol O2/kgm ol de solución) 23. Un conducto ve tical de 10 pulgadas de diámet o inte io tie ne una conexión ho izontal de p ueba de 0.5 pulgadas de diámet o inte io te min ada en una válvula 2 pies fue a de la línea g ande. Hid ógeno fluye a t avés de la línea g ande a 100 psia y 15 °C po va ios días, y la línea de p ueba es pu g ada y la válvula ce ada. El gas que fluye se cambia de hid ógeno a un gas efo mado que contiene 70 % mola de hid ógeno y 30 % mola de metano y el flujo cont inúa a 100 psia y 15 °C. Una ho a más ta de, un poco de gas de p ueba es emovid o pa a análisis, ab iendo la válvula. Estime la composición del p ime pequeño i nc emento de gas eti ado, asumiendo que el gas en la pequeña línea de p ueba ha pe manecido completamente estancado. 24. Una celda de difusión de Ney A miste ad consta de dos bulbos de igual volumen conectados po un capila como se ve en la figu a. Pa a dete mina el coeficiente de difusión, se llena inicialmente la celda I con helio pu o y la celda II con a gón pu o, ambas a la misma p esión y tempe atu a. Demost a como se puede calcula DAB a pa ti del conocimiento de como va ía la f acción mola de helio en un bulbo como función del tiempo, y de las dimensiones del apa ato. El volumen del capila se puede desp ecia en compa ación con el del bulbo. 25. El coeficiente de t ansfe encia de calo pa a el ai e que fluye al ededo de una esfe a se dete mina á mediante la obse vación de l a histo ia de tempe atu a de una esfe a fab icada con cob e pu o. La esfe a, que tiene 12.7 mm de diámet o, está a 66°C antes de coloca la en un flujo de ai e q ue tiene una tempe atu a de 27°C. Un te mopa en la supe ficie exte na de la esf e a indica 55°C 69 s después de que se inse ta la esfe a en el flujo de ai e. Su ponga y después justifique que la esfe a se compo ta como un objeto de esistenc ia inte na desp eciable, y calcule el coeficiente de t ansfe encia de calo .                                                                                                                                                                                                                                                                                 5         FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 329 29. Una placa plana infinita de espeso 1 pie tiene una dist ibución inicial de tempe atu a dada po la exp esión T = 300sin(πz) + 150 (T en °F si z en ies) gr acias a un sistema de generación interna. La laca se one súbitamente en contac to con un medio que mantiene sus su erficies a 100 °F al tiem o que la generació n se sus ende. Determine la distribución de tem eratura en la laca des ués de 3 .3 min utilizando el método ex licito. Tome ∆z = 0.25 pie y Fo = 1/3. La difusiv idad té mica del mate ial es α = 1.138 pie2/hr. 30. Un t nque ien git do conti ene 100 pie3 de un líquido que tiene concentr ción inici l de l especie A, ρ o = 5 lb/pie3. Ent a una co iente líquida a azón de 10 pie3/min con concent ació n ρ 1 = 15 lb/pie3. Si la eacción → B ocu e a una velocidad Φ = −k’ρ con k ’ = 0.1/min, ¿cómo varía la concentración de A en el tanque con el tiempo? La co rriente de salida es igual que la de entrada de 10 pie3/min pero su concentració n será ρ 2, y po se un tanque pe fectamente agitado su concent ación va ia á c on el tiempo lo mismo que la del tanque, ρ . 31. Una pa ed de lad illo (α = 0.01 6 pie2/hr) con espesor de 1.5 pie, está inici lmente temper tur uniforme de 8 0 °F. ¿Cu nto tiempo después de que sus superficies se ponen en cont cto con ir e 350 y 650 °F respectiv mente, l temper tur en el centro de l p red lc nz 300 °F? k = 0.38 Btu/hr.pie.°F; h∞ = 0.19 ∆T1/3 Btu/h .pie2.°F. ¿Cuál se á la tempe atu a de las supe ficies en ese momento?   26. Demuest e la ecuación (4.34). Tome el o igen en el plano de simet ía. 27. Ob tenga una expansión equivalente a la (4.34) tomando el o igen en la ca a izquie da de la placa. 28. Conside e un cilind o ve tical de 3 plg de diámet o y 5 pie de longitud, componente de un apa ato de humidificación, po cuya supe ficie ext e io desciende una delgada película de agua. En ángulo ecto con el cilind o ci cula ai e seco a 110 °F y 600 mm Hg con velocidad de 22 pie/s. El agua no debe gotea po abajo del cilind o. (a) Dete mine la tempe atu a del agua. (b) Dete m ine el caudal al cual debe suminist a se el agua en la pa te supe io del tubo. Pa a agiliza , tome como constantes las siguientes p opiedades del ai e: viscosi dad dinámica µ = 0.01876 cP = 0.0454 lb/pie.h; DAB = 1.021 pie2/h. ¿A qué p esió n y tempe atu a debe án calcula se estas p opiedades? La p esión de vapo del ag ua puede conside a se, pa a el inte valo de inte és, dada po : PA = a.exp [b/(T + 460)] en mm Hg si T en °F, con a = 1.1832x109 y b = −9524.86. Algunos valo es del calo latente de vapo ización del agua en Btu/lb son: T, oF hfg 32 1075.8 40 1071.3 50 1065.6 60 1059.9 70 1054.3 80 1048.6 90 1042.9     ¡ ¡ ¡ '               '    ¡            ¡ ¡     ¡ ¡ ¡ ¡     ' ¡                     ¡ ¡          ¡     ¡    ¡      ¡      ¡     '             ¡  '                     ¡                                       ¡      '               '   ¡ ¡ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 330         32. Un alamb e de cob e de ¼ de plg de diámet o se somete a una co iente de ai e con tempe atu a T∞ = 100 °F. Luego de 30 s la tempe atu a p omedio del alamb e cambió desde 50 °F hasta 80 °F. Estime el coeficiente convectivo. ρ = 555 lb/pi e3; CP = 0.092 Btu/lb.°F; k = 22.3 Btu/h .pie.°F. Asuma y comp uebe baja esiste ncia inte na. 33. ¿Cuál es el tiempo necesa io pa a que una te mocupla de cob e que está expuesta a una co iente de ai e a 250 °F alcance la tempe atu a de 249 ,5 °F si la tempe atu a inicial T0 es 70 °F? El coeficiente convectivo es h = 5 Btu/h .pie2.°F; k = 100 Btu/h .pie.°F. El diámet o del te mopa es de 0.006 plg y los alamb es conecto es tienen diámet o de 0.002 plg. 34. Dete mine el espeso de asbesto necesa io pa a p otege el contenido de una caja fue te de g an tama ño. Pa a una tempe atu a inicial de 100 °F, la tempe atu a de la supe ficie inte io debe á pe manece infe io a 300 °F po al menos una ho a después de que la tempe atu a exte io aumente b uscamente y se mantenga en 1500 °F. El asbesto s e coloca ent e dos placas de ace o de 1/16 plg de espeso . Desp ecie los efectos de bo de. 35. Un g an bloque de conc eto aislante de dos pies de espeso p oteg e un comp eso en una fáb ica de pintu as que a de sometiendo una de las ca as d el bloque a una tempe atu a unifo me de 2000 °F. Todo el sistema se encont aba i nicialmente a 70 °F. ¿cuanto tiempo se equie e pa a que el bloque alcance 1000 °F en su cent o? ¿hasta qué momento puede conside a se como sólido semiinfinito? 36. Una tabla de made a de pino blanco de 5 cm de g ueso tiene un contenido de humedad de 45 % en peso al p incipio del p oceso de secado. El contenido de hume dad en el equilib io es de 14% en peso pa a las condiciones de humedad en el ai e de secado. Los ext emos y las o illas se cub en con un acabado esistente a la humedad pa a evita la evapo ación. Puede supone se que la difusividad del agua a t avés del pino blanco es de 1x10−9 m2/s.Inicialmente, se utiliza on valo es bajos de la apidez de flujo de ai e. Esto dio como esultado un p oceso de seca do en donde la elación de la esistencia supe ficial a la esistencia inte na y a la difusión e a igual a 0.25. Se encont ó que el tiempo necesa io pa a educi el contenido de humedad en la línea cent al a 25% en peso e a demasiado g ande De acue do con esto, se inc ementó la velocidad del viento pa a el secado hasta que la elación de las esistencias se ap oximó a ce o. Dete mina el tiempo de secado pa a cada uno de los p ocesos desc itos. 37. T aza una cu va que muest e la elación de concent ación pa a el hid ógeno, c A − c AS c A0 − c AS en func ión de la distancia a medida que difunde en una hoja de ace o dulce que tiene 6 mm de g ueso. La difusividad del H2 en el ace o es igual a [1.6x10−2exp(−9200/ T )] cm2/s, donde T está en K y = 1.987 cal/molg.K. Se expusie on muest as de la hoja de                                                                                                                                                                                                                                                                                                               FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 331 ace o al hid ógeno a una atmósfe a de p esión y 500 °C du ante pe iodos de a) 10 min; b) 1 h ; c) 10 h . 38. Un camión ciste na de g an tamaño se vuelca y de a ma un he bicida sob e un campo. Si la difusividad en masa del fluido en el suelo es 1x10−8 m2/s y el fluido pe manece sob e el suelo du ante 1800 s antes de eva po a se en el ai e, dete mina la p ofundidad a la cual es p obable que se dest uya la vida vegetal y los insectos si una concent ación de 0.1 % en peso dest ui á la mayo pa te de la vida. 39. Una tabla de pino blanco, de 2 pulg de espeso , tiene el siguiente contenido de humedad inicial al p incipio del p oceso de se cado: z, plg % en peso 0.0 46.0 0.2 48.0 0.4 49.0 0.6 49.5 0.8 50.0 1.0 50.0 1.2 50.0 1.4 49.5 1.6 49.0 l.8 48.0 2.0 46.0   donde z es la distancia desde una de las supe ficies planas g andes. Los ext emo s y los bo des esta án cubie tos con un sellado pa a evita la evapo ación. Si las condiciones de secado mantienen una humedad supe ficial constante de 13 % en peso en ambas supe ficies y la difusividad del agua a t avés del pino es 4x10−5 pies2/h , dete mina el tiempo necesa io pa a disminui el contenido de humedad en la línea cent al hasta 35 % en peso. 40. La tabla de pino blanco que se desc ibió en el p oblema 27.12 se seca á en ot o secado que mantiene el contenido d e humedad en z = 0 plg a 13 % en peso y el contenido de humedad en z = 2.0 plg a 15 % en peso. Dete mina el tiempo necesa io pa a disminui el contenido de hum edad en la línea cent al hasta 30 % en peso. 41. La concent ación de oxígeno en un lago g ande, de p ofundidad media, al p incipio tenía un valo unifo me de 1. 5 kg/m3; epentinamente, la concent ación en su supe ficie se eleva hasta 8 kg/m 3 y se mantiene a este nivel. T aza un pe fil de concent aciones, cA, en funció n de la p ofundidad, z, pa a el pe íodo de 3600 utilizando a) la ecuación pa a s ólido semiinfinito; b) una g áfica de Schmidt modificada con un valo del inc em ento igual a 3 mm. El lago se encuent a a 283 K. 42. Un aglome ado de ca bón, ap oximadamente esfé ico, con un adio de 2 cm, tiene un contenido de humedad inic ial de 400 kg/m3. Se coloca en un secado con ci culación fo zada de ai e, que p oduce una concent ación de humedad en la supe ficie de 10 kg/m3. Si la difusivi dad del agua en el ca bón es 1.3 x 10−6 m2/s y la esistencia de la supe ficie e s desp eciable, estima el tiempo que se equie e pa a seca el cent o del aglom e ado de ca bón hasta una concent ación de humedad de 50 kg/m3. 43. El pe fil de concent aciones que se obtiene po la difusión t ansito ia en una hoja de made a g ande, bajo condiciones de esistencia supe ficial desp eciable, se desc ibe po la ecuación adecuada. Utiliza esta ecuación pa a desa olla una ecuación q ue p ediga la concent ación p omedio, cAm; evalua y g afica el pe fil de conce nt aciones                                                                                                                                                                                                                                                                                         FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 332 p omedio adimensional, (cAm – cAS)/(cA0 − cAS) en función de la elación de tiem po adimensional elativa, Fo. 44. Una hoja g ande de mate ial de 40 mm de espeso contiene hid ógeno disuelto (H2) que tiene una concent ación unifo me de 3 kmo l/m3. La hoja se expone a un cho o fluido que ocasiona que la concent ación del hid ógeno disuelto se eduzca súbitamente a ce o en ambas supe ficies. Esta con dición supe ficial se mantiene constante de allí en adelante. Si la difusividad másica del hid ógeno es 9x10−7 m2/s, ¿cuánto tiempo se equie e pa a lleva la d ensidad del hid ógeno disuelto a un valo de 1.2 kgmol/m3 en el cent o de la hoj a?                                                                FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 333 ANEXOS Anexo A. Coeficientes usados en la ap oximación a un té mino de la solución en s e ies de Fou ie pa a la conducción t ansito ia unidimensional con convección. B i = hL/k pa a la pa ed plana simét ica y hR/k pa a el cilind o infinito y la esf e a (kcL/DAB y kcR/DAB en t ansfe encia de masa). Anexo B. P ime as seis aíces αi, de . Anexo C. Primer s seis r íces βn de β t n β = C L s r íces son tod s re les si C > 0. Anexo D. Primer s seis r íces de αctgα + C = 0 (r di nes). Anexo E. COEFICIENTES CONVECTIVOS. PROBLEMAS. Anexo F. ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITU D HIDRAULICA. Anexo G. DETERMINACION DEL TIEMPO NECESARIO PARA QUE UNA PARTICULA ESFERICA CAYENDO EN UN FLUIDO ALCANCE SU VELOCIDAD TERMINAL. Anexo H. FUNCION E RROR Y OTRAS FUNCIONES RELACIONADAS. Anexo I. EXPONENTES DE e Anexo J. DEFINICIO N DE UN VALOR MEDIO Determin ción de l temper tur medi glo l, de mezcl o pr omedi de loque. Anexo K. FUNCIONES BESSEL Y GAMMA   ¡ ¡   ¡ ¡   ¡ ¡        ¡ ¡     ¡   ¡   ¡     ¡ ¡       ¡     ¡ ¡   ¡              ¡     ¡ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 334 Anexo A. Coeficientes us dos en l proxim ción un término de l solución en s eries de Fourier p r l conducción tr nsitori unidimension l con convección. B i = hL/k p r l p red pl n simétric y hR/k p r el cilindro infinito y l esf er (kcL/DAB y kcR/DAB en tr nsferenci de m s ). Cilindro Esfer Infinito C1 C1 C1 Bi λ1 (rad) λ1 (rad) λ1 (rad) 0.0998 1.0017 0. 1412 1.0025 0.1730 1.0030 0.01 0.1410 1.0033 0.1995 1.0050 0.2445 1.0060 0.02 0. 1732 1.0049 0.2439 1.0075 0.2989 1.0090 0.03 0.1987 1.0066 0.2814 1.0099 0.3450 1.0120 0.04 0.2217 .0082 0.3142 1.0124 0.3852 1.0149 0.05 0.2425 1.0098 0.3438 1.0148 0.4217 1.0179 0.06 0.2615 1.0114 0.3708 1.0173 0.4550 1.0209 0.07 0.2791 1.0130 0.3960 1.0197 0.4860 1.0239 0.08 0.2956 1.0145 0.4195 1.0222 0.5150 1.026 8 0.09 0.3111 1.0160 0.4417 1.0246 0.5423 1.0298 0.10 0.3779 1.0237 0.5376 1.036 5 0.6608 1.0445 0.15 0.4328 1.0311 0.6170 1.0483 0.7593 1.0592 0.20 0.4801 1.038 2 0.6856 1.0598 0.8448 1.0737 0.25 0.5218 1.0450 0.7465 1.0712 0.9208 1.0880 0.3 0 0.5932 1.0580 0.8516 1.0932 1.0528 1.1164 0.4 0.6533 1.0701 0.9408 1.1143 1.16 56 1.1441 0.5 0.7051 1.0814 1.0185 1.1346 1.2644 1.1713 0.6 0.7506 1.0919 1.0873 1.1539 1.3525 1.1978 0.7 0.7910 1.1016 1.1490 1.1725 1.4320 1.2236 0.8 0.8274 1 .1107 1.2048 1.1902 1.5044 1.2488 0.9 0.8603 1.1191 1.2558 1.2071 1.5708 1.2732 1.0 1.0769 1.1795 1.5995 1.3384 2.0289 1.4793 2.0 1.1925 1.2102 1.7887 11.4191 2 .2889 1.6227 3.0 1.2646 1.2287 1.9081 1.4698 2.4556 1.7201 4.0 1.3138 1.2402 1.9 898 1.5029 2.5704 1.7870 5.0 1.3496 1.2479 2.0490 1.5253 2.6537 1.8334 6.0 1.376 6 1.2532 2.0937 1.5411 2.7165 1.8674 7.0 1.3978 1.2570 2.1286 1.5526 2.7654 1.89 21 8.0 1.4149 1.2598 2.1566 1.5611 2.8044 1.9106 9.0 1.4289 1.2620 2.1795 1.5677 2.8363 1.9249 10.0 1.4961 1.2699 2.2881 1.5919 2.9857 1.9781 20.0 1.5202 1.2717 2.3261 1.5973 3.0372 1.9898 30.0 1.5325 1.2723 2.3455 1.3993 3.0632 1.9942 40.0 1.5400 1.2727 2.3572 1.6002 3.0788 1.9962 50.0 1.5552 1.2731 2.3809 1.6015 3.11 02 1.9990 100 1.5707 1.2733 2.4050 1.6018 2.0 ∞ π Bi = ∞ im lica que la concentr ación en el medio (Ψ∞) es igual a la de la su erficie (ΨS). Pared Plana ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¤ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 335 Anexo B. Primeras seis raíces αi, de αJ 1 (α ) − CJ 0 (α ) = 0 . C 0 0.01 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.15 0.2 0.3 0.4 0.5 0.8 0.7 0.8 0.9 1.0 1.5 2. 0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 15.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 80.0 100.0 ∞ α1 0 0.1412 0.1995 0.2814 0.3438 0.3960 0.4417 0.5376 0.6170 0 7465 0.8516 0.9408 1.0184 1.0873 1.1490 1.2048 1.2558 1.4569 1.5994 1.7887 1.9081 1.9898 2.0490 2.0 937 2.1286 2.1566 2.1795 2.2509 2.2880 2.3261 2.3455 2.3572 2.3651 2.3750 2.3809 2.4048 α2 3.8317 3.8343 3.8369 3.8421 3.8473 3.8525 3.8577 3.8706 3.8835 3.9091 3.9344 3.9594 3.9841 4.0085 4.0325 4.0562 4.0795 4.1902 4.2910 4.4634 4.6018 4. 7131 4.8033 4.8772 4.9384 4.9897 5.0332 5.1773 5.2568 5.3410 5.3846 5.4112 5.429 1 5.4516 5.4652 5.5201 α3 7.0156 7.0170 7.0184 7.0213 7.0241 7.0270 7.0298 7.036 9 7.0440 7.0582 7.0723 7.0864 7.1004 7.1143 7.1282 7.1421 7.1558 7.2233 7.2884 7 .4103 7.5201 7.6177 7.7039 7.7797 7.8464 7.9051 7.9569 8.1422 8.2534 8.3771 8.44 32 8.4840 8.5116 8.5466 8.5678 8.6537 α4 10.1735 10.1745 10.1754 10.1774 10.1794 10.1813 10.1833 10.1882 10.1931 10.2029 10.2127 10.2225 10.2322 10.2419 10.2516 10.2613 10.2710 10.3188 10.3658 10.4566 10.5423 10.6223 10.6964 10.7646 10.8271 10.8842 10.9363 11.1367 11.2677 11.4221 11.5081 11.5621 11.5090 11.6461 11.6747 11.7915 α5 13.3237 13.3244 13.3252 13.3267 13.3282 13.3297 13.3312 13.3349 13.3 387 13.3462 13.3537 13.3611 13.3686 13.3761 13.3835 13.3910 13.3984 13.4353 13.4 719 13.5434 13.6125 13.6786 13.7414 13.8008 13.8566 13.9090 13.9580 14.1576 14.2 983 14.4748 14.5774 14.6433 14.6889 14.7475 14.7834 14.9309 α6 16.4704 16.4712 1 6.4718 16.4731 16.4743 16.4755 16.4767 18.4797 16.4828 16.4888 16.4949 16.5010 1 6.5070 16.5131 16.5191 16.5251 16.5312 16.5612 18.5910 16.6499 16.7073 16.7630 1 6.8168 16.8684 16.9179 16.9650 17.0099 17.2008 17.3442 17.5348 17.6508 17.7272 1 7.7807 17.8502 17.8931 18.0711 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 336 Anexo C. Primer s seis r íces βn de β t n β = C L s r íces son tod s re les si C > 0. C 0 0.001 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 .6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 15.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 80.0 100.0 ∞ β1 0 0.0316 0.0447 0.0632 0.0774 0.0893 0.0998 0.1410 0.1 987 0.2423 0.2791 0.3111 0.4328 0.5218 0.5932 0.6533 0.7051 0.7506 0.7910 0.8274 0.8603 0.9882 1.0769 1.1925 1.2646 1.3138 1.3496 1.3766 1.3978 1.4149 1.4289 1. 4729 1.4961 1.5202 1.5325 1.5400 1.3451 1.5514 1.5552 1.5708 β2 3.1416 3.1419 3. 1422 3.1429 3.1435 3.1441 3.1448 3.1479 3.1543 3.1606 3.1668 3.1731 3.2039 3.234 1 3.2636 3.2923 3.3204 3.3477 3.3744 3.4003 3.4256 3.5422 3.6436 3.8088 3.9352 4 .0336 4.1116 4.1746 4.2264 4.2694 4.3058 4.4255 4.4915 4.5615 4.5979 4.6202 4.63 53 4.6343 4.6658 4.7124 β3 6.2832 6.2833 6.2835 6.2838 6.2841 6.2845 6.2848 4.28 64 4.2895 6.2927 6.2959 6.2991 6.3148 6.3305 6.3461 6.3616 6.3770 6.3923 6.4074 6.4224 6.4373 6.5097 6.5783 6.7040 6.8140 6.9096 6.9924 7.0640 7.1263 7.1806 7.2 281 7.3959 7.4954 7.6O57 7.6647 7.7012 7.7259 7.7573 7.7764 7.8540 β4 9.4248 9.4 249 9.4250 9.4252 9.4254 9.4256 9.4258 9.4269 9.4290 9.4311 9.4333 9.4354 9.4459 9.4565 9.4670 9.4775 9.4879 9.4983 9.5087 9.5190 9.5293 9.5801 9.6296 9.7240 9. 8119 9.8928 9.9667 10.0339 10.0949 10.1502 10.2003 10.3898 10.5117 10.6543 10.73 34 10.7832 10.8172 10.8606 10.8871 10.9956 β5 12.5664 12.5665 12.5665 12.5667 12 .5668 12.5670 12.5672 12.5680 12.5696 12.5711 12.5727 12.5743 12.5823 12.5902 12 .5981 12.6060 12.6139 12.6218: 12.6296 12.6375. 12.6453 12.6841 12.7223 12.7966 12.8618 12.9352 12.9938 13.0504 13.1141 13.1660 13.2142 13.4078 13.5420 13.7085 13.8048 13.8666 13.9094 13.9644 13.9981 14.1372 β6 15.7080 15.7080 15.7081 15.70 82 15.7083 15.7085 15.7086 15.7092 15.7105 15.7118 15.7131 15.7143 15.7207 15.72 70 15.7334 15.7397 15.7460 15.7524 15.7587 15.7650 15.7713 15.8026 15.8336 15.89 45 15.9536 16.0107 16.0654 16.1177 16.1675 16.2147 16.2594 16.4474 16.5864 16.76 91 16.8794 16.9519 17.0026 17.0686 17.1093 17.2788 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 337 Anexo D. Primer s seis r íces de αctgα + C = 0 (r di nes). C 1.0 0.995 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94 0.93 0.92 0.91 0.90 0.85 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 03 0.4 05 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.5 2.0 30 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 15.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 80.0 100.0 ∞ α1 0 0.1224 0.1730 0.2445 0.2991 0.3450 0.3854 0.4217 0 4551 0.4860 0.5150 0. 5423 0.6609 0.7593 0.9208 1.0528 1.1656 1.2644 1.3525 1.4320 1.5044 1.5708 1.632 0 1.6887 1.7414 1.7906 1.8366 1.8798 1.9203 1.9586 1.9947 2.0288 2.1746 2.2889 2 .4557 2.5704 2.6537 2 7165 2.7165 2.8044 2.8363 2.8628 2.9476 2.9930 3 0406 3.06 51 3.0801 3.0901 3.1028 3.1105 π α2 4.4934 4.4945 4.4956 4.4979 4.5001 4.5023 4. 5045 4.5068 4.5090 4.5112 4.5134 4.5157 4.5268 4.5723 4.5601 4.5822 4.6042 4.626 1 4.6479 4.6696 4.6911 4.7124 4.7335 4.7544 4.7751 4.7956 4.8158 4.8358 4.8556 4 .8751 4.8943 4.9132 5.0037 5.0870 5.2329 5.3540 5.4544 5.5378 5.6078 5.6669 5.71 72 5.7606 5.9080 5.9921 6.0831 6.1311 6.1606 6.1805 6.2058 6.2211 2π α3 7.7253 7 .7259 7 7265 7.7278 7.7291 7.7304 7.7317 7.7330 7.7343 7.7356 7.7369 7.7382 7.74 47 7.7511 7.7641 7.7770 7.7899 7.8028 7.8156 7.8284 7.8412 7.8540 7.8667 7.8794 7.8920 7.9046 7.9171 7.9295 7.9419 7.9542 7.9665 7.9787 8.0385 8.0962 8.2045 8.3 029 8.3914 8.4703 8.5406 8.6031 8.6587 8.7083 8.8898 9.0019 9.1294 9.1987 9.2420 9.2715 9.3089 9.3317 3π α4 10.041 10.9046 10.9050 10.9060 10.9069 10.9078 10.90 87 10.9096 10.9105 10.9115 10.9124 10.9133 10.9179 10.9225 10.9316 10.9408 10.94 99 10 9591 10.9682 10.9774 10.9865 10.9956 11.0047 11.0137 11.0228 11.0318 11.04 09 11.0498 11.0588 11.0677 11.0767 11.0856 11.1296 11.1727 11.2560 11.3349 11.40 86 11.4773 11.5408 11.5994 11.6532 11.7027 11.8959 12.0250 12.1807 12.2688 12.32 47 12.3632 1.4124 12.4426 4π α5 14.0662. 14.0666 14 0669 14 0676 14.0683 14.0690 1 4.0697 14.0705 14.0712 14.0719 14.0726 14.0733 14.0769 14.0804 14.0875 14.094 6 14.1017 14.1088 14.1159 14.1230 14.1301 14.1372 14.1443 14.1513 14.1584 14.165 4 14.1724 14.1795 14.1865 14.1935 14.2005 14.2075 14.2421 14.2764 14.3434 14.408 0 14.4699 14.5288 14.5847 14.6374 14.6870 14.7335 14.9251 15.0625 15.2380 15.341 7 15.4090 15.4559 15.5164 15.5537 5π α6 17.2208 17.2210 17.2213 17.2219 17.2225 17.2231 17.2237 17.2242 17.2248 17.2254 17.2260 17.2266 17.2295 17.2324 17.2382 17.2440 17.2498 17.2556 17.2614 17.2672 17.2730 17.2788 17.2845 17.2903 17.2961 17.3019 17.3076 17.3134 17.3192 17.3249 17.3306 17.3364 17.3649 17.3932 17.4490 17.5034 17.5562 17.6072 17.6562 17.7032 17.7481 17.7908 17.9742 18.1136 18.3018 18.4180 18.4953 18.5497 18.6209 18.6650 6π ¡   ¡  ¡  ¡ ¡ ¡ ¡   ¡    ¡   ¡ ¡   ¡ ¡   ¡ ¡    ¡   FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 338 Anexo E. COEFICIENTES CONVECTIVOS. La ecuación de Navier – Stokes (2.45) ara esta geometría se reduce a: ⎡ ∂vx ∂v ⎤ µ ⎡ ∂ 2v ⎤ + v y x ⎥ = ⎢ 2x ⎥ vx ⎢ ∂x ∂y ⎦ ρ ⎣ ∂y ⎦ ⎣ La ecuació de co ti uidad: ⎡ ∂vx ∂v y ⎤ ⎢ ∂x + ∂y ⎥ = 0 ⎣ ⎦ El ala ce de e ergía calorífica ⎡ ∂ 2T ⎤ ⎡ ∂T ∂T ⎤ vx + vy =α⎢ 2 ⎥ ⎢ ∂x ∂y ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ∂y ⎦ El ala ce para la especie A: ⎡∂2 ρ ⎤ ⎡ ∂ρ ∂ρ ⎤ vx + v y A ⎥ = DAB ⎢ 2A ⎥ ⎢ ∂x ∂y ⎦ ⎣ ⎣ ∂y ⎦ Resolvie do para capa límite lami ar (L ≤ xC) fx = 0.664 ; Re x f L = 1 ∫ f x dx = L 0 L 1.328 Re L Nu L = ; Re x = ρv∞ x µ Nu x = 1 1 hx x = 0.332 Re x2 P 3 k 1 1 hL L = 0.664 Re L2 P 3 k 1 hL = L ∫ hx dx 0 L Shx = k ρx x D B = 0.332 Re x2 Sc 1 1 3 kρx es un coeficiente convectivo másico local  ¥ E.1. FLUJO EXTERNO. E.1.1. Placa lana horizontal.     ¥ ¥ ¥ ' ¥ ¥ ' ¥ ¥  339 Esta exp esión tiene validez pa a vs = 0, es deci , cuando la componente “y” de la velocidad en la superficie de la placa vale cero. in embargo si hay transfer encia de masa, algún componente de velocidad habrá allí, pues analizando la ley de ick: nA = jA + ρ SvS = j S + (n S + nBS)w S Como nBS = 0, vS = (n S w S/ρ S) = n S/ρS Pa a tene en cuenta este componente “y” de la velocidad en la super ficie, el coeficiente 0.332 de la ecuación para hx se modifica según sea el par ámetro (v /v∞)(Rex)0.5: TABLA 1. 0.60 0.01 0.50 0.06 0.25 0.17 0.00 0.332 2.50 1.64 El valor del coeficiente se puede aproximar en el intervalo por m ≅ 0.332 – 0.5 28 (vS / v∞ ) Re x Para (vS / v∞ ) Re x > 0.62 la capa límite se desprende dej an de ser aplicables las ecuaciones. vS aumenta el espesor de la capa límite dec reciendo nAS τS. Si asumimos que la capa lími e es urbulen a desde el borde d e a aque (xC << L), fx = 0.058(Rex)−0.2 ; fL = 0.072(ReL)−0.2 Nu x = 0.0292 Re 0.8 Pr x 1 3 Shx = 0.0292 Re 0.8 Sc x 1 3 En la práctica una parte de la placa se hallará en régimen laminar y la otra en régimen turbulento. Podemos encontrar un coeficiente promedio para este flujo en régimen mixto así: ⎤ ⎡ xC L 1 ⎢ k Re 0.5 dx + ∫ 0.0292 k Re 0.8 dx ⎥ Pr 1 / 3 hm = ⎮ 0.332 x x x x ⎥ L ⎢ xc ⎦ ⎣0 ( ) ( ) 1 hm L 0 0 = 0.664 Re C.5 + 0.0365 Re 0.8 − Re C.8 Pr 3 (1) L k 0.6 ≤ Pr ≤ 60; R eL ≤ 108. ReC es el Reynolds crítico; ReL es el Reynolds para toda la placa; si L ≤ xC use solamente la primera parte del paréntesis cuadrado tal como se despre nde de Nu m = [ 1 0 ¦ ¦ ¦ 0 (v / v∞ ) Re x (Coeficiente) m '   ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento ' '     0   0 '     '     ' '   ' 0 '   1 0 0   '    ¦ 0   de ( )] ENÓMENOS DE RAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales ransferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 340 las correlaciones ya mostradas para capa límite en régimen laminar. Para números de Pr grandes el coeficiente 0.664 se convierte en 0.678. El anterior es un coe ficiente promediado para toda la placa. Cuando el calentamiento no comienza en e l borde de ataque sino a una distancia x0, el coeficiente local adimensional Nux para flujo laminar sobre la placa está dado por Nu x = Nu x x0 = 0 1/ 3 ⎡ ⎛ x0 ⎞ 3 / 4 ⎤ ⎢1 − ⎜ x ⎟ ⎥ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ (2) y pa a flujo tu bulento Nu x = Nu x x0 = 0 1/ 9 ⎡ ⎛ x0 ⎞ 9 / 10 ⎤ ⎢1 − ⎜ x ⎟ ⎥ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ (3) También es posible tene Flujo unifo me de calo en la pa ed en luga de tempe a tu a unifo me. Pa a flujo lamina (Kays, W. M. y M. E. C awfo d, Convective Heat and Mass T ansfe , Mac G aw – Hill, New Yo k, 1980): Nu x = 0.453 Re 0.5 P 1 / 3 P ≥ 0.6 x Nu x = 0.0308 Re 0.8 P 1 / 3 0.6 ≤ P ≤ 60 x (4) (5) La p esencia de una zona sin calenta puede nuevamente p edeci se usando las ecu aciones (2) y (3). Si se conoce el flujo de calo podemos dete mina la va iació n de la tempe atu a con la posición. Aquí pa ece impo tante dete mina una tempe atu a p omedia mas bien que un coeficiente p omedio: L qS x qS L 1⎮ (TS − T∞ ) m = (TS − T∞ )dx = ⎮ kNu dx = kNu L⎮ L x L 0 0 L (6) Para transferencia de masa cambiamos Nu por Sh y Pr por Sc, a saber: 0 0 ShL = 0.664 Re C.5 + 0.0365 Re 0.8 − Re C.8 Sc L [ ( )] 1 3                             4                                    4                    (7) ¤ 0.6 ≤ Sc ≤ 3000, o demás como para (1). FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento 341 E.1.2. F ujo aminar de meta es íquidos sobre p acas p anas. 0 Nu x = 0.564 Pe x .5 Pr ≤ 0.05, Pex ≥ 100. (9) Pe = Re.Pr es e número de Pec et. E.1.3. F ujo transversa a ci indros. E número de Nusse t para convección forzada entre un ci indro y un f uido que s e desp aza perpendicu armente a eje de ci indro está corre acionado con os nú meros de Reyno ds y Prandt según Hi pert por NuD = C ⋅ Re m ⋅ Pr D 1 3 (10) TABLA 2: Constantes para a ecuación (10) con barras no ci índricas y gases. Geo metría Cuadrado 5 103 – 108 5 103 – 108 Hexágono 5 103 – 1.95 104 1.95 104 – 108 5 103 – 1.5 104 P aca Vertica 4 103 – 108 0.228 0.731 0.160 0.0385 0.153 0.638 0.782 0.638 0.246 0.102 0.588 0.675 ReD C m Los va ores de C y m dependen de numero de Reyno ds como se indica en a tab a 3. TABLA 3:Constantes para a ecuación (10) con barras ci índricas. Rango de ReD 0. 4 — 4 4 — 40 40 — 4000 4000 — 40000 40000 — 400000 C 0.989 0.911 0.683 0.193 0.0 27 m 0.330 0.385 0.466 0.618 0.805 ¤ ¤ ¤ ¤ ¤  ¤  ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤  ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤  ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤  ¤ ¤ ¤  ¤ ¤ ¤ ¤ ¤  ¤ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento 342 + ⎟ ⎥ ⎢ 2 / 3 1/ 4 ⎢ ⎝ 2 [ ] (11) E.1.4. Esferas. Se ha propuesto umerosas correlacio es. Whitaker, S. (AIChEJ.,18, 361, 1972) r ecomie da la siguie te expresió : Nu D = 2 + 0.4 Re 0.5 + 0.06 Re 2 / 3 r 0.4 (µ / µ S ) D D ( ) 0.25 (12) 0.71 ≤ r ≤ 380 3.5 ≤ ReD ≤ 7.6x104 1.0 ≤ (µ/µS) ≤ 3.2 Todas las propiedades me os µS se evalúa a T∞ y los resultados puede aplicarse a pro lemas de tra sfere cia de masa simpleme te reemplaza do NuD y r por ShD y Sc respectivame te. U caso especial de tra sfere cia co vectiva de calor y/o masa desde esferas está relacio ado a la tra sfere cia desde gotas líquidas desc e die do li reme te y la correlació de Ra z, W. y W. Marshall (Chem. E g. rog. , 48, 141, 1952) se usa frecue teme te: NuD = 2 + 0.6 Re0.5 r1 / 3 D (13) E el límite cua do ReD → 0, estas dos ecuacio es tie de a NuD = 2, valor que c orrespo de a la tra sfere cia de calor por co ducció (e ause cia de co vecció atural) desde u a superficie esférica. E.1.5. Lechos empacados. El flujo de gases (o líquidos) a través de lechos empacados de partículas sólida s tie e importa cia e muchos procesos i dustriales que i cluye tra sfere cia y almace amie to de e ergía térmica, reacció catalítica heterogé ea y secado. εjH = εj AB = 2.06 R −0.575 Pr = 0.7 90 ≤ ReD ≤ 4000 D ¥ © ¥ ¥ ¥ © ¥ ¥ ¤¤ ¤ ¥ ¥ ¥ ¤ Todas as propiedades deben ca cu arse a a temperatura (10) puede también usarse para f ujo gaseoso a rededor nsversa no circu ar con D y as constantes de a tab a proponen una ecuación que cubre todo e rango de ReD y > 0.2: 5/8 0.62 Re 0.5 Pr 1 / 3 ⎡ ⎛ Re D ⎞ ⎤ D 1+ ⎜ Nu D = 0.3 82000 ⎠ ⎥ 1 + (0.4 / Pr ) ⎣ ⎦ 4/5 de de 2. se pe ícu a. La ecuación barras de sección tra Churchi y Bernstein recomienda para ReDPr ¤ ¤ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¥ ¥ ¤ © ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ © ¢ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¤ © ¥ ¥ ¤ ¥ ¥  ¥ ¥ ¤ ¥ ¥ ¥ (16) ENÓMENOS DE RAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales ransferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 343 El numero de Reynolds se define con base en la velocidad que existiría si el lec ho estuviera vacío y la dimensión característica de las partículas. Wilson y Gea nkopolis (1966) recomiendan para flujo de líquidos εjH = εj AB = 1.09 R −2 / 3 D εjH = εj AB = 0.250 R −0.31 D 0.0016 ≤ ReD ≤ 55 0.55 ≤ ReD ≤ 1500 En ambos casos 168 ≤ Sc ≤ 70600, y 0.35 ≤ ε ≤ 0.75 E.2. FLUJO INTERNO. Pi rc , (Ch mical Engin ring 86, 27, p 113, 1979), propon una sola cuación qu corr laciona l factor d Colburn con todos los núm ros d R ynolds. Esta cua ción produc una curva continua y suav conv ni nt para utilizar n los análisi s y dis ños ayudados por computador o calculadora. 3 / 2 −1 ⎤ ⎡ ⎫ ⎧⎡ 1.6 6 8⎤ ⎛ 1.986 × 10 ⎞ Re ⎢ 1 ⎪ ⎥ ⎪ ⎟ ⎥ ⎬ ⎥ J H = ⎢ 9.36 + ⎨⎢ +⎜ −14 ⎟ ⎜ Re Re ⎠ ⎥ ⎪ ⎥ ⎝ ⎪⎢ 7.831 10 ⎦ ⎭ ⎢ ⎩⎣ ⎦ ⎣ 1 12 ⎛ µb ⎜ ⎜µ ⎝ S ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 0.14 (23) Es aplicable pa a 0.7 ≤ P ≤ 16700. JH = St P 2/3 = (h/ρCPvm)P 2/3 La extensión a t ansfe encia de masa es obvia haciendo JH = JAB = StAB Sc2/3 = (kC/vm)Sc2/3 y haciendo igual a la unidad la co ección po viscosidad. Ot as exp esiones que t adicionalmente se han usado se mencionan a continuación. E.2.1. Flujo lamina en tubos. Una co elación de datos expe imentales fue hecha po F. N. Siede y G. E. Tate (Ind. Eng. Chem., 1429, 1936): ⎛ D⎞ Nu D = 1.86⎜ Pe ⎟ L⎠ ⎝ 1/ 3 ⎛ µb ⎜ ⎜µ ⎝ S ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 0.14 (17) Todas las p opiedades excepto µS se evalúan a la tempe atu a media global. El úl timo pa éntesis de la ecuación (17) tiene en cuenta la disto sión del pe fil de velocidades po el ¢   ¢   ¢     ¢ ¢ ¢       4   ¢   ¢ ¢     ¢ ¢       ¢   ¢¢ ¢ ¢      ¢   4   ¢ ¢        ¢ ¢ ¢ ¢ ¢      FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 344 g adiente de tempe atu a ent e le pa ed y el fluido. Válida pa a 0.48 ≤ P ≤ 167 00; TS constante;0.0044 ≤ (µ/µS) ≤ 9.75. Whitake ecomienda su uso cuando Nu ≥ 3.72, pues pa a valo es meno es se p esentan condiciones de pe files completamen te desa ollados. Hausen, H. (1943) p esentó la siguiente fó mula del nume o med io de Nusselt en la egión té mica de ent ada en el caso pe fil pa abólico de ve locidad y pa ed de tempe atu a constante: ⎧ C1 ( D / z ) Re Pr ⎫⎛ µ b ⎜ Nu = ⎨ Nu∞ + n ⎬ 1 + C2 [( D / z ) Re Pr ] ⎭⎜ µ S ⎝ ⎩ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 0.14 (18) Según los valo es de C1, C2 y n, la ecuación (18) tiene dife entes aplicaciones: TABLA 4. Condición en la supe ficie Ts constante Ts constante qs constante qs co nstante Pe fil de velocidad Pa abólico Plano Pa abólico Plano P Todos 0.7 Todos 0.7 Nu Medio Medio Local Local Nu∞ 3.66 3.66 4.36 4.36 C1 0.0668 0.1040 0.023 0 .036 C2 0.04 0.016 0.0012 0.0011 n 2/3 0.8 1.0 1.0 La extensión a t ansfe encia de masa es sencilla si tenemos p esente que JD = JH .. E.2.2. Flujo tu bulento en tubos ci cula es lisos. Pa a tubos lisos y longitudes supe io es a sesenta diámet os, po expe imentació n se encuent a que el coeficiente convectivo de t ansfe encia de calo h = φ(D, k, CP, µ, ρ, v). pa ti del análisis dimensional encont amos el siguiente ag u pamiento de tales va iables: ⎛ ρvD C P µ ⎞ hD = φ⎜ ⎟ ⎜ µ , k ⎟ k ⎠ ⎝ (19) Nusselt expe imentó con t es gases (ai e, gas ca bónico y gas natu al). Al ep e senta en coo denadas doble loga ítmicas h cont a la velocidad másica (ρv), enco nt ó que pa a cada uno de los gases se alineaban sob e una ecta po encima de u n cie to valo c ítico de ρv, esultando t es ectas pa alelas. Estos esultados se explican si la función φ de la ecuación (19) puede expresarse de manera pote ncial, a saber: Nu = CReaPrb. A partir de la pendiente de las rectas en el grá i co doble logarítmico encontramos el valor del exponente del número de Reynolds c omo a = 0.8. El hecho de que para valores de la velocidad másica in eriores a la crítica ueran superiores a los correspondientes por extrapolación de las recta s de       (               (                                                                                                                 '                         (                ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro etancourt Grajales Trans erencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 345 pendiente 0.8, ue explicado por Nusselt como debido a la contribución de la con vección natural a los lujos gaseosos a baja velocidad. De experimentaciones pos teriores con otros gases y líquidos se obtuvo el valor de 0.023 para C, y se enc ontró que b estaría entre 0.3 y 0.4, siendo más apropiado el valor 0.3 cuando el luido se en riaba y 0.4 cuando se calentaba. Teniendo en cuenta todas estas ci rcunstancias, se propusieron tres ecuaciones concretas: Ecuación de Dittus oe lter (1930) Nu = 0.023Re0.8Prn, (20) con n = 0.4 para cale acción y n = 0.3 para en riamiento. Las propiedades del l uido deben calcularse a la temperatura media aritmética de las másicas extremas del luido. Re > 10000. 0.7 ≤ Pr ≤ 100. L/D > 60. Ecuación de Colburn (1933) Nu = 0.023Re0.8Pr1/3 ⇉ StPr2/3 = JH = 0.023Re−0.2 (21) La propie a e el flui o excepto CP en el número e Stanton ( /ρCPv) se evalúa n al valo medio de la tempe atu a de película Tf. Re >10000; 0.7 ≤ P ≤ 160; L/ D > 60. Ecuación de Siede y Tate (1936) Nu = 0.027 Re0.8 P 1/3 (µm/µS)0.14 ⇉ JH (µm/µS)−0.14 = 0.027 Re−0.2 (22) Se recomien a e ta relación para la tran ferencia e calor en flui o cuya vi co i a cambie marca amente con la temperatura y e aplicable para 0.7 ≤ Pr ≤ 1670 0; L/D > 60 y Re > 10000. To a la propie a e excepto µS e eterminan a la te mperatura me ia el flui o. Una correlación que e atribuye a Petuk ov (1970) e e la forma ( f / 2) Re D Pr Nu D = 1.07 + 12.7 f / 2 (Pr 2 / 3 − 1) (24) 0.5 ≤ Pr ≤ 2000; 10000 ≤ Re ≤ 5x106. Para obtener concor ancia con valore a men or Re, Gnielin ki (1976) mo ificó la expre ión a í: Nu D = ( f / 2)(Re D − 1000) Pr 1 + 12.7 f / 2 Pr 2 / 3 − 1 ( ) (25) 0.5 ≤ Pr ≤ 2000; 3000 ≤ Re ≤ 5x106. La ecuacione (24) y (25) e aplican tanto a temperatura con tante como a flujo con tante en la pare . La propie a e e e valúan a la  (  )    £ £     £    £ (    £ £ £ £     (  £ £      )      £ £   £ £ ( ( £    £ £ (   ( £   £ £ £ ( £ £  ( £   FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 346 Temperatura global me ia. Aquí f e el factor e fricción e Fanning que pue e o btener e el iagrama e Moo y o e la ecuación (26). Combinan o ecuacione para tubería rugo a en regímene e flujo laminar y turbulento C urc ill e arroll ó una ola ecuación para el factor e fricción en flujo laminar, e tran ición o turbulento, y para tubería tanto li a como rugo a : 12 3/ 2 f ⎧⎛ 8 ⎞ ⎪ ⎪ ⎡ 1 ⎤ ⎫ = ⎨⎜ ⎟ + ⎢ ⎥ ⎬ 2 ⎪⎝ Re ⎠ ⎣ A+ B⎦ ⎪ ⎩ ⎭ 1 / 12 (26) ⎧ ⎡ ⎤⎫ 1 ⎪ ⎪ A = ⎨2.457 ln ⎢ ⎥⎬ 0.9 ⎪ ⎣ (7 / Re ) + 0.27(ε / D) ⎦ ⎪ ⎭ ⎩ 16 ⎛ 37530 ⎞ B=⎜ ⎟ ⎝ Re ⎠ 16 Las ecuaciones son más convenientes que las tablas o las co elaciones g áficas en diseño y ope ación ayudadas po computado . P ueba y e o es necesa ios si e n luga de la velocidad de flujo se especifica la caída de p esión. La ecuación (26) no sólo ep oduce el g áfico del facto de f icción sino que evita inte pol aciones y da valo es únicos en la egión de t ansición. Estos valo es están, nat u almente, sujetos a alguna ince tidumb e, debido a la inestabilidad física inhe ente en esta egión. Ecuación de Notte y Sleiche Nu = 5 + 0.016 Rea P b; a = 0.88 − 0.24/(4 + P ); b = 0.33 + 0.5e−0.6P 0.1 ≤ P ≤ 104; 104 ≤ Re ≤ 106 ; L/D > 25. Región de ent ada té mica Nu = 0.036 Re0.8 P 1/3 (D/L)0.055; 10 ≤ L/D ≤ 4 00 Las p opiedades del fluido a la tempe atu a media. E.2.3. Flujo tu bulento de metales líquidos dent o de tubos lisos. (27) (28)     Pa a flujo de calo constante en la pa ed Skupinski et al. (1965) a siguiente co elación: NuD = 4.82 + 0.0185 Pe0.827 (29) ecomenda on l £   £         £    £ £            £               £                    £ £       £  £      £ £ £ £ £                       £  £            FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 347 3.6x103 ≤ Re ≤ 9.05x105 ; 100 ≤ Pe ≤ 104 Pa a tempe atu a constante en la pa ed Seban y Shimazaki (1951) ecomiendan: Nu = 5.0 + 0.025 Pe0.8 ; Pe > 100 E.2.4. Flujo Tu bulento en conductos lisos no ci cula es. (30) Se pueden usa las co elaciones pa a flujo en conductos ci cula es utilizando e l diámet o equivalente Dh = 4A/PH ; A es el á ea de flujo pa a el fluido y PH es el pe ímet o húmedo. Se debe tene p esente que pa a flujo lamina el e o es g ande y que pa a flujo en el espacio anula de un inte cambiado de tubos concé nt icos, el pe ímet o “húmedo” pa a t ansfe encia de calo es solamente el pe ím et o del tubo inte no, a dife encia de pe ímet o húmedo pa a t ansfe encia de ca ntidades de movimiento que es la suma de los pe ímet os de los dos tubos. E.3. CONVECCION NATURAL EN PLACA VERTICAL. Pa a tempe atu a unifo me en la supe ficie McAdams ecomienda pa a placa o cilin d o ve tical (si el adio es mucho mayo que el espeso de la capa límite) Num = C (G L P ) n Nu m = hm L k G L = gβρ 2 L3 TS − T∞ µ2 L es la altu a de la placa o cilind o ve tical, G es el nume o de G aetz pa a t ansfe encia de calo , β es el coeficie te de expa sió volumétrica para el flui do: β= 1 ⎛ ∂V ⎞ ⎜ ⎟ V = volumen específico ⇉ ρV = 1 ⇉ ρdV + Vdρ = 0. Po lo tanto V ⎝ ∂ T ⎠ P 1 ⎛ ∂ρ ⎞ 1 (ρ ∞ − ρ ) ⎜ ⎟ ≈− ρ ⎝ ∂T ⎠ P ρ (T∞ − T ) β =− Si este fluido puede considerarse gas ideal β = 1/T∞. Las propiedades del fluido se calcula a la temperatura de película. ara valores del producto GrL r e tre 104 y 1013 C y se lee e la ta la 5. TABLA 5. Tipo de flujo Lami ar Tur ule to Ra go de GrL r 104 a 109 109 a 1013 C 0.59 0.10 ¼ 1/3         ¥      ©                                     ¥ ©           ¥             ¥       ©         ¥ ¥                    ¥ ¥ ¥                ¥                 ¥     ¥                         ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 348 E el caso de metales líquidos ( r < 0.03) para placa pla a isotérmica vertical Num = 0.68(GrL r2)1/4 Cili dros horizo tales Num = C (GrD r ) h D Nu m = m k GrD = gβρ 2 D 3 TS − T∞ µ2 D es el diámet o exte no del cilind o. C y n de la tabla 6. T BL 6. Tipo de flujo Lamina Tu bulento Rango de G LP 104 a 109 109 a 1012 C 0.53 0.13 n ¼ 1/3 Pa a cilind os ho izontales de tempe atu a supe ficial constante en metales líqu idos Num = 0.53(G DP 2)1/4 Pa a convección lib e hacia ai e a p esión atmosfé ic a y tempe atu as mode adas (37 °C a 815 °C) T BL 7. Geomet ía Placas ve ticales Cilind os ho izontales L ltu a Diámet o ex te no Tipo de flujo Lamina Tu bulento Lamina Tu bulento Rango de G LP 104 a 1 09 109 a 1013 104 a 109 109 a 1012 hm[Btu/h .pie2.° ] 0.29(∆T/L)1/4 0.19(∆T)1/3 0.27(∆T/L)1/4 0.18(∆T)1/3 hm[W/m2.K] 1.42(∆T/L)1/4 1.31(∆T)1/3 1.32(∆T/L)1/4 1.2 4(∆T)1/3 Pa a esfe as pueden usa se las mismas co elaciones que pa a los cilind os ho iz ontales, pe o la longitud ca acte ística es el adio. Pa a la última columna se usan unidades del SI y pa a la penúltima del sistema inglés. Se pueden adapta p a a p esiones dife entes a la atmosfé ica así: unidades inglesas y flujo lamina , multiplica po (P/14.7)0.5 pa a flujo tu bulento po (P/14.7)2/3; P en psia. SI y flujo lamina multiplica po (P/1.0132)0.5, pa a flujo tu bulento multipli ca po (P/1.0132)2/3. P en ba . La analogía con t ansfe encia de masa puede man tene se pa a geomet ías simila es si definimos un “coeficiente de expansión” o i ginado en los g adientes de concent ación: β AB ≈ − ρ (ρ ∞ − ρ 1 (ρ∞ − ρ ) )                         ¥ '     ¥ ¥                                       ¥ ¥                       ¥ ©             ¥                       ¥        © ©     '               '   ' '   ' '         ¥ ¥ 349 y consecuentemente definimos un nume o de G ashof pa a t ansfe encia de masa: G B = gL3 ρ 2 ρ ∞ µ2 ρS −1 E.4. CONVECCIÓN N TUR L Y CONVECCIÓN ORZ D COMBIN D S. La convección lib e es desp eciable si G /Re2 << 1 y la convección fo zada es de sp eciable cuando G /Re2 >>1. La convección combinada se puede p esenta cuando G /Re2 ≈ 1. Se acostumb a co elaciona los coeficientes pa a convección combina da, tanto pa a flujo inte no como pa a exte no po una exp esión de la fo ma Nun = Nun NunN. Pa a la geomet ía específica que inte ese, los valo es de Nu y NuN se dete minan a pa ti de las co espondientes exp esiones pa a convección f o zada y natu al. El signo (+) se utiliza pa a flujo asistido y t ansve sal, mie nt as que el signo (−) se usa pa a flujo opuesto. La mejo co elación de los da tos se obtiene pa a n = 3, aunque valo es como 3.5 y 4 se adaptan mejo pa a flu jo t ansve sal involuc ando placas y cilind os o esfe as, espectivamente. E.4.1. Influencia de la convección natu al. La convección natu al puede juga papel impo tante en los casos de t ansmisión d e calo du ante el flujo inte no y lamina de los fluidos, si los pe files de ve locidad y tempe atu a se alte an suficientemente po este tipo de convección. Co nducto ve tical. Tempe atu a de pa ed constante. Ma tinelli y Boelte (Univ. Cal if. – Be keley Publis. Eng ., 5, 23 (1942)), investiga on la calefacción de fl uidos en flujo inte no ve tical ascendente y el enf iamiento de los mismos en fl ujo inte no ve tical descendente. En ambos casos las velocidades de los fluidos en las p oximidades de las pa edes se inc ementan po la convección natu al o ig inada en las va iaciones de densidad su gidas po los g adientes de densidad po dife encia de tempe atu as. P oponen la siguiente ecuación: Nu = 1.75 1[Gz+0.07 22 2(G SP SD/L)0.84]1/3 (31) quí, 1 = (TS − T)ML/(TS − T)M ; 2 p evé la disminución de la fue za convectiv a cuando la tempe atu a del fluido se ap oxima a la de la pa ed, y se puede ap o xima po la co elación: 2 = 1 − 0.4145(πNu/Gz) ara (πNu/Gz) ≤ 1.93 F2 = 5.71 43 − 2.857(πNu/Gz) si (πNu/Gz) > 1.93         ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento                                                                ' '                            ' '                               '                                     '         '                      ' '                            $                     '       ' de FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 350 (πNu/Gz) = (T2 − 1)/( S − )MA. Gz es el número de Graetz, Gz = m Cp/kz = (π/2) PeR/z, siendo Pe = RePr el número de Péclet y R el radio del conducto. El número de Grashof, característico en convección natural, Gr = gρ2D3β∆T/µ2, se basa en el diámet o de los tubos y la dife encia ent e la tempe atu a de sus pa edes y l a tempe atu a másica o media del fluido. β es el coeficie te de expa sió térmic a del sistema. La ecuació (31) se aplica para las siguie tes co dicio es: 1. Gz se evalúa co las propiedades del fluido correspo die tes a la temperatura mási ca media del mismo (T1 + T2)/2. 2. GrS y rS se evalúa co las propiedades del fluido correspo die tes a la temperatura TS de la pared. ara GrS: ∆T = TS − T1. 3. Calefacción en flujo ascendente o enf iamiento en flujo descendente. 4. Pa a calefacción y flujo descendente o enf iamiento y flujo ascendente se cambia +0. 0722 po −0.0722. 5. El efecto de la convección natu al en tube ías ve ticales u ho izontales con égimen lamina se vuelve impo tante cuando se cumple: Re ≤ 0. 1334(G .P .d/L)0.875 y G .P .(d/L) ≤ 1x105 Re < 177.8(G .P .d/L)0.25 y G .P .d/L > 1x105 ambas condiciones deben además cumpli 102 > P (D/L) >1. E.4.2. Conductos ho izontales. En el flujo inte no de fluidos po tubos ho izontales con tempe atu as de pa ed TS constante, el aumento de tempe atu a del fluido en las vecindades de la pa ed dete mina una ci culación pe ifé ica ascendente complementada con una descenden te po la pa te cent al. Estos efectos supe puestos al flujo fo zado ocasionan e l avance en espi al del fluido, con la consiguiente mezcla adicional y aumento d el coeficiente de t ansmisión de calo individual. Pa a este flujo Eubank y P oc to (Thesis, Dep. of Chem. Eng. MIT 1951) p oponen Nu = 1.75[Gz + 0.04(G .P .D/L )0.75]1/3[µ/µS]0.14 (32) Gz, G y P se evalúan con las p opiedades del fluido co espondientes a la temp e atu a másica media del mismo (T1 + T2)/2. Pa a G , ∆T = (TS − T)MA.                 ¥     ¥ ¥   ¥             ¥    ¥ ¥ ©   ¥ ¥       ¥                 ©                       4     ¥ 4       ¥   4       ¥ ¥                               FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 351 Pa a el flujo lamina de gases po el inte io de tubos cilínd icos, cualquie a que sea su posición, puede utiliza se con suficiente ap oximación simplificada p opuesta po Cho lette (Chem. Eng. P og., 44, 81 (1948)) y K oll, (“Heat T ansfe and P esu e D op fo Ai Flowing in Small Tubes”, Thesis Dep. of Chem. Eng. M. I.T. (1951)): Nu = 1.5 Gz0.4. Las p opiedades se evalúan a la tempe atu a másica media. Eje cicio: Po un conducto ve tical de t es cm de diámet o inte no ascie nde glice ina con caudal másico de 100 kg/h , cuya tempe atu a inicial es de 308 K. Calcula la tempe atu a de la glice ina en función de la distancia eco ida en el t amo inicial de la conducción si la tempe atu a de la supe ficie se mant iene a tempe atu a constante de 373 K. Las p opiedades físicas de la glice ina s on: CP = 2.5 kJ/kg.K; k = 0.286 W/m.K; β = 0.54x10−3 K−1; ρ = 1217 kg/m3. La vis cosidad va ía según la siguiente tabla: T BL 8. µ (kg/m.s) T (K) 10.715 272 2.083 288 0.893 300 0.270 308 0.150 311 Las dos disposiciones posibles de estos bloques son o alineadas o al t esbolillo como se ve en la figu a. En 1933 Colbu n (37) con los datos expe imentales disp onibles hasta entonces, dedujo la ecuación: ⎛D G ⎛ hDo ⎞ ⎟ = 0.33⎜ o máx ⎜ ⎜ µ ⎝ k ⎠T f ⎝ ⎞ ⎛ CP µ ⎞ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎠T f ⎝ k ⎠T f 0. 6 1 Condiciones: 1. 10 ≤ Re ≤ 40000 2. Velocidad másica supe ficial máxima ρvmáx = Gmáx basada en la mínima sección ve sal de flujo. 3. P opiedades del fluido evaluadas a Tf = 0 .5(T + T0). 4. Disposición de los tubos alte nada al t esbolillo. 5. Bloques con al menos diez filas de tubos.   E.5. LUJO DE LUIDOS SOBRE BLOQUES DE TUBOS. E.5.1. lujo pe pendicula es de tubos sin tabiques deflecto es. a bloqu                                                                                                                                   ' '       FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 352 En el caso de bloques de tubos alineados, Colbu n, teniendo en cuenta ot os dato s de la bibliog afía y los suyos p opios, indica que debe sustitui se la constan te de p opo cionalidad (facto de fo ma) 0,33 po 0,26. En 1937, G imison, a pa ti de datos expe imentales, p opuso una ecuación conc eta pa a el caso de que e l gas fue a ai e, que gene alizaba pa a cualquie ot o gas de la siguiente fo ma : ⎛DG ⎛ hDo ⎞ ⎟ = c⎜ o máx ⎜ ⎜ µ ⎝ k ⎠T f ⎝ ⎞ ⎛ CP µ ⎞ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎠T f ⎝ k ⎠T f n 1 Condiciones: 1. 2000 ≤ Reo ≤ 40000. 2. Velocidad másica supe ficial máxima Gmáx, basada en la mínima sección t ansve sal de flujo. 3. P opiedades del fluido evaluadas a Tf = 0.5(T + T0). 4. Bloques con al menos 10 filas de tubos. 5. Valo es de c y n de la tabla 9. TABLA 9. b/Do Disposición a/Do 0.6 0.9 1.0 Alte nada 1.125 1.250 1.50 2.0 3.0 1. 25 Alineada 1.50 2.0 3.0 0.585 0.509 0.456 0.350 0.393 0.414 0.472 0.327 0.556 0 .568 0.572 0.592 0.592 0.586 0.570 0.601 0.570 0.519 0.470 0.402 0.310 0.282 0.3 37 0.403 0.554 0.562 0.568 0.580 0.608 0.620 0.620 0.584 0.561 0.558 0.540 0.586 0.511 0.544 0.497 0.113 0.114 0.259 0.423 0.565 0.556 0.568 0.556 0.562 0.704 0 .702 0.632 0.581 0.585 0.589 0.591 0.507 0.476 0.071 0.076 0.224 0.323 0.560 0.5 62 0.568 0.570 0.574 0.552 0.755 0.648 0.608 c 1.25 n c 1.50 n c 0.504 2.00 n 0. 271 c 0.241 0.453 3.00 n 0.636 0.581 Snyde midió coeficientes de t ansmisión de calo individuales medios de tubos c o espondientes a distintas filas de bloques de ellos alte nados, sob e los que                                                                                        FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 353 pe pendicula mente fluía ai e. En líneas gene ales, sus esultados coincidie on con los alcanzados p eviamente po ot os investigado es al dete mina los coefic ientes locales sob e la pe ife ia de los indicados tubos de filas distintas del bloque. Los núme os de Nusselt medios aumentan hasta la te ce a fila, dec eciend o luego lige amente y pe maneciendo p ácticamente constantes a pa ti de la quin ta fila. Pudo exp esa sus esultados mediante la misma ecuación, pe o con los v alo es de c y n que se indican en la tabla 10, pa a 8000 ≤ Re0 ≤ 20000, a/Do = 1 .8 = b/Do; disposición alte nada al t esbolillo. Los valo es de h calculados con la ecuación de Colbu n esultan algo meno es que los calculados con la ecuación de G imison que se conside a de mayo p ecisión. Los valo es de h que se encuen t an con esta última ecuación pa a las filas 5 a 10 de un bloque de tubos son ap oximadamente 80 po 100 supe io es a los coeficientes medios de los tubos de la s p ime as filas. En el caso de bloques de menos de diez filas de tubos, los val o es de h calculados con las ecuaciones ante io es debe án multiplica se po los facto es que se indican en la tabla 11. TABLA 10. Fila núme o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c 0.226 0.215 0.183 0.191 0.169 0.201 0.234 0.240 0.244 0.252 n 0.588 0.608 0.638 0.640 0.654 0.640 0.625 0.624 0.622 0.620 TABLA 11. Núme o de filas T esbolillo Alineadas 1 0.68 0.64 2 0.75 0.80 3 0.83 0 .87 4 0.89 0.90 5 0.92 0.92 6 0.95 0.94 7 0.97 0.96 8 0.98 0.98 9 0.99 0.99 10 1 .0 1.0 E.5.2. Flujo sob e bloques de tubos con tabiques deflecto es. Se da este caso en el flujo de fluidos, po la pa te de la ca casa, exte namente a los tubos de los cambiado es de calo multitubula es. El estudio más completo sob e pé didas de ca ga y t ansmisión de calo en este tipo de flujo se debe a Tinke . Donohue, basándose en sus datos y en los de ot os investigado es, p opus o las siguientes co elaciones pa a los cambiado es multitubula es:                                                                                                                                                                                  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 354 ⎛ D G ⎞ ⎛C µ ⎞ hDO = (0.00825)De0.6 ⎜ o c ⎟ ⎜ P ⎟ ⎜ µ ⎟ k ⎠ ⎝ k ⎠ ⎝ Condiciones: 0.6 0.33 ⎛ µ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜µ ⎟ ⎝ o⎠ 0.14 1. 2.5 ≤ De (DoGc/µ) ≤ 500. 2. De= 4(á ea sección t ansve sal / pe ímet o mojado ) = 4(ab − πDo/4)/πD0 ex resado en metros, teniendo los arámetros a, b, Do el s ignificado de la figura 1 ara el bloque de tubos en el interior de la carcasa. 3. Gc velocidad másica del fluido en la carcasa, libre de tabiques deflectores, referida a la su erficie libre de flujo. 4. Pro iedades físicas del fluido evalu adas a su tem eratura másica, exce to µ0 (a la tem eratura de las aredes de los tubos). Parte de la carcasa de un cambiador multitubular con tabiques deflectores de dis coscoronas. ⎛ D G ⎞ ⎛C µ ⎞ hDO = (0.005842)De0.6 ⎜ o e ⎟ ⎜ P ⎟ ⎜ µ ⎟ k ⎝ ⎠ ⎝ k ⎠ Condiciones: 0.6 0.33 ⎛ µ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜µ ⎟ ⎝ o⎠ 0.14 1. 0,5 ≤ De (DoGe/µ) ≤ 700. 2. De como antes. 3. Ge = (Gco Gca c)0.5—siendo Gcor la velocidad másica referida a la abertura de las coronas y Gcarc la velocidad másica referida a la sección transversal de la carcasa. 4. Propiedades físicas d el fluido a su temperatura másica, excepto µ0. Parte de la carcasa de un cambiador multitubular con tabi ues deflectores de seg mentos circulares. ⎛ D G ⎞ ⎛C µ ⎞ hDO = (0.25)⎜ o e ⎟ ⎜ P ⎟ ⎜ µ ⎟ k ⎝ ⎠ ⎝ k ⎠ 0.6 0.33 ⎛ µ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜µ ⎟ ⎝ o⎠ 0.14     Pa te de la ca casa de un cambiado multitubula sin tabique deflecto alguno.                                             FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 355 Condiciones: 1. 10 ≤ (DoGe/µ) ≤ 5000. 2. Ge = (GsegGca c)0.5 siendo Gseg la velocidad másica efe ida a la abe tu a del segmento; Gca c la velocidad másica efe ida a la sec ción t ansve sal de la ca casa. 3. P opiedades físicas del fluido a su tempe atu a másica excepto µ0. William y Katz (T ans. ASME, 74, 1307 (1952)) llega on a u na ecuación simila a la ante io con valo es distintos de la constante de p opo cionalidad o facto de fo ma, que p ecisan pa a cada caso conc eto, incluso cua ndo las pa edes de los tubos del cambiado están extendidas con aletas. E.6. CONDENSACIÓN TIPO PELÍCULA DE VAPORES PUROS. A pa ti de la teo ía de Nusselt modificada po McAdams, el coeficiente p omedio de t ansfe encia de calo pa a la condensación sob e placas ve ticales se obtie ne de ⎡ ρ l g ( ρ l − ρ v )h fg k l3 ⎤ hm = 1.13⎢ ⎥ ⎢ µ (Tv − Tw ) L ⎥ ⎣ ⎦ 1/ 4 ⎛ µ2 ⎞ hm ⎜ 3 f2 ⎟ ⎜k ρ g⎟ ⎝ f f ⎠ 1/ 3 ⎛ 4Γ ⎞ ⎟ = 1.76⎜ ⎜µ ⎟ ⎝ f ⎠ −1 / 3 Ref ≤ 1800 La ecuación pa a el coeficiente p omedio de t ansfe encia de calo pa a condensa ción en el exte io de tubos ho izontales (7.13 en Man ique; 10.14 en Ka leka y Desmond; 14.18 en Necati Ösizik; 21.30 en Welty Wicks y Wilson; 10.41 en Inc op e a DeWitts, etc.) es: ⎡ ρ l g ( ρ l − ρ v )h fg kl3 ⎤ hm = 0.725⎢ ⎥ ⎢ µ (Tv − Tw ) D ⎥ ⎣ ⎦ 1/ 4 do de D es el diámetro exterior del tu o, Tv, Tw so las temperaturas del vapor y de la superficie de la pared respectivame te; hfg es el calor late te de co de sació . Los su í dices “l” i dica que la propiedad es para la fase líquida. Si despreciamos la de sidad del vapor fre te a la del líquido, es decir (ρl ρv) ≈ ρl podemos esc ibi la como ⎛ µ2 ⎞ hm ⎜ 3 f2 ⎟ ⎜k ρ g⎟ ⎝ f f ⎠ 1/ 3 ⎛ 4Γ ⎞ ⎟ = 1.514⎜ ⎜µ ⎟ ⎝ f ⎠ −1 / 3       ¥    ¥   ¥       ¥ ¤   ¥ ¥  ¥ ¥     ¥ ¥   ¥     ¥ Tam ié , e fu ció pecto a ρl del umero de Rey olds para la película, desprecia do ρv es                         ¤                                               ¥      ¥       ¥         ¥  ¥     ¥         ¥ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 356 Γ es caudal másico de condensado por unidad de longitud del tubo. EJERCICIO. Para determinar el coeficiente convectivo de transferencia de calor p or condensación en película en el interior de tuberías horizontales, Kern (págin a 269 - primera edición) recomienda utilizar la misma correlación usada para det erminar el coeficiente pelicular para condensación en el exterior de tubos horiz ontales tomando un caudal másico de condensado por unidad de longitud, Γ, doble del real. Esto equivale a escribir la ecuación (12 - 40) del texto en cuestión d e la siguiente manera: ⎛ µ 2f ⎞ hm ⎜ 3 2 ⎟ ⎜ k ρ g⎟ ⎝ f f ⎠ 1/ 3 ⎛ 8Γ ⎞ ⎟ = 1514⎜ . ⎜ ⎟ ⎝µf ⎠ −1/ 3 Aquí Γ es el caudal másico actual por unidad de longitud. Demuestre que esto es equivalente a escribir la ecuación para condensación en el exterior de tubos hor izontales en la siguiente forma: 1/ 4 ara hacerlo desprecie la de sidad del vapor fre te a la del líquido, es decir ( ρl ρv) ≈ ρl. E.7. NÁLISIS PROXIM DO DE L VELOCID D Y DEL RR STRE EN EL LUJO L MIN R SOBR E UN PL C PL N Conside emos el flujo estable en dos dimensiones de un fluido incomp esible de p opiedades constantes sob e una placa plana, tal como se ilust a en la figu a. El eje x se toma a lo la go de la placa con el o igen x = 0 en la a ista de ent ada y el eje y pe pendicula a la supe ficie de la placa. Sean u(x, y) y v(x, y) las componentes de la velocidad en las di ecciones x y y espe ctivamente, u∞ la velocidad lib e del flujo y δ (x) el e pe or e la capa límite e veloci a . La componente e la veloci a u(x, y) y v(x, y) ati facen la ecuacione e continui a y e canti a e movimiento e una capa límite.    '  '    £       £ ¤ ⎡ ρ l g ( ρ l − ρ v )h fg kl3 ⎤ hm = 0.725⎢ ⎥ ⎢ 2µ (Tv − Tw ) D ⎥ ⎣ ⎦       ' ' ¥   £ £         £ £ £ '     £   £ ' ¥   £ £ '      ' ' '   £ £ £   ' ' ' '      £   © FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 357 Continui a ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y Canti a e movimiento en x u ∂u ∂u p µ ∂ 2 u +v =− + ∂x ∂y x ρ ∂ y 2 El té mino de p esión en la ecuación de cantidad de movimiento se puede elacion a con la velocidad de flujo exte no u∞(x) evaluando la ecuación en el bo de de la capa límite de velocidad, en donde u ~ u∞(x). Encont amos que − dp du ( x ) = ρu ∞ ( x ) ∞ dx dx puesto que se conside a que u∞(x) es sólo función de x. En el análisis de la cap a límite se supone que se conoce la velocidad del flujo exte no u∞(x) la cual se halla al esolve el p oblema de velocidad del flujo po fue a de la capa límit e; en consecuencia se conside a que el té mino dp/dx es conocido. Po ejemplo, e n el caso de flujo a lo la go de una placa de velocidad del flujo exte no u∞ es constante, entonces dp =0 dx Po lo tanto el g adiente de p esión dp/dx no apa ece en la ecuación de cantidad de movimiento en x pa a flujo a lo la go de una placa plana. Las condiciones de f onte a de estas ecuaciones son u = 0; v = 0 en y = 0; u → u∞ en y = δ(x) La con icione e frontera e tablecen que en la uperficie e la placa la componente e la veloci a on cero (e ecir, la uperficie e impermeable al flujo) y que la componente axial e la vel oci a en el bor e e la capa límite en y = δ (x) e ca i igual a la veloci a el flujo externo u∞. A ora re olveremo el problema e veloci a e crito por el méto o integral aproxima o que fue e arrolla o originalmente por von Kármán. E l propó ito e pre entar aquí e te méto o aproxima o e análi i e el e ilu tr ar la aplicación e e ta po ero a técnica matemática para obtener una olución a nalítica el problema e veloci a y por lo tanto proporcionar alguna i ea el ignifica o e lo iferente parámetro . Lo méto o aproxima o on útile para re olver analíticamente problema má complica o lo cuale no e pue en re ol ver fácilmente por méto o exacto ; in embargo, la exactitu e un  £ £ £ £  £   £      £  £ £ £         £  £    £ £ £ £ £     £ £  £        £ £  £  £    £ £  £ £     £  £       £   £  £        £    £   £ £ £ £   £ £    £ £ £ £        £  £ £ £   £ £   £ £ £      £ £ £        FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 358 méto o aproxima o no e pue e conocer ante e comparar la olución aproxima a c on la olución exacta. Lo pa o bá ico e e te méto o on lo iguiente : 1 Se integra la ecuación e canti a e movimiento en x con re pecto a y, obre el e pe or e la capa límite δ(x) y e elimina la componente v(x, y) e la veloci a por me io e la ecuación e continui a . La ecuación re ultante recibe el nombr e e ecuación integral e canti a e movimiento. 2 Sobre el e pe or e la capa límite 0 ≤ y ≤ δ(x) e e coge un perfil a ecua o para la componente u(x,y) e la veloci a . Generalmente e elecciona un perfil polinomial y la experiencia a emo tra o que no e aumenta apreciablemente la exactitu e la olución i e e cogen polinomio mayore el cuarto gra o. Lo coeficiente e eterminan en fu nción el e pe or e la capa límite δ(x) acien o u o e la con icione en y = 0 y y = 8(x); entonce el perfil e veloci a e una función e y y e δ(x) e l a forma u ( x, y ) = f [ y, δ ( x )] 3. Se u tituye el perfil e veloci a u(x, y) en la ecuación integral e canti a e movimiento que e obtuvo en el pa o 1 y e integra con re pecto a la varia ble y La expre ión re ultante e una ecuación iferencial or inaria e δ(x); el e pe or e la capa límite e etermina re olvien o la ecuación iferencial or in aria ometién ola a la con ición e frontera δ(x) = 0 para x = 0 4. Una vez que e conoce δ(x) e pue e eterminar la i tribución e veloci a u (x, y) El coeficiente e arra tre e obtiene rápi amente a partir e u efinici ón por me io e la i tribución e veloci a encontra a en el pa o 4. El méto o integral que e acaba e e cribir proporciona un méto o e olución muy irecto e la ecuacione e la capa límite. Aunque el análi i e aproxima o, el coefi ciente e arra tre etermina o por e te méto o e en la mayoría e lo ca o prá ctico ba tante aproxima o a lo re ulta o exacto . Solución el problema e ve loci a por el méto o integral Pa o 1. Se integra la ecuación e canti a e mov imiento con re pecto a y, obre el e pe or e la capa límite δ(x); obtenemo £ £ £ £  £ £ £ £  £ £ £ £ £ £     £  £ £  £   £ £ £ £ £ £  £   £  £   £   £ £  £ £  £     £ £ £ £ £    £ £ £    £  £  £ £  £  £ £ £ £ £ £ £  £  £ £ £    £ £ £ £ £   £ £ £  £   £ £ £  £    £ £ £  £    £ £  £ £  £   £ £ £  £ £  £ £   £ £  £ £ £ £ £      £   £    £ £  £ £ £ £  £ £ £   £  £ £ £ £     £ £ £  £ £ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 359 ⎮ 0 δ (x ) ∂u u y + ⎮ ∂x 0 δ (x ) v ⎞ µ ⎛∂u ∂u ∂u ⎟=−µ ∂u dy = ⎜ − ρ ⎜ ∂ y y =δ ∂ y y = 0 ⎟ ρ ∂ y y =0 ∂y ⎠ ⎝ puesto que po el concepto de capa límite (du/dy) y=δ = 0. De e ta ecuación e e limina la componente y e la veloci a acien o u o e la ecuación e continui a . La egun a integral el la o izquier o e ace por parte ⎮ 0 δ (x) v ∂u δ δ δ pue to que u = u∞ en y = δ y u = 0 en y = 0. Lo término el la o erec o e e ta relación e eterminan e la iguiente manera: e la ecuación e continui a e obtiene inme iatamente v/ y − ∂u ∂v = ∂x ∂y e integran o e ta ecuación e e .y = 0 a ta y = δ e obtiene δ ∂u y v 0 = v δ = −⎮ 0 ∂x δ ya que v y = 0 = 0 Al u tituir e ta o ecuacione e encuentra δ δ ∂u ∂u ∂u v y = −u∞ y + u y ⎮ ⎮ ⎮ 0 ∂x 0 ∂x 0 ∂y δ Cuan o e u tituye e te re ulta o en la ecuación inicial e llega a ⎮ 0 δ (x ) 2u δ (x ) µ ∂u ∂u ∂u y − u∞ y =0 o puesto que du2 = 2udu ⎮ 0 ∂v ∂v y = uv 0 − ⎮ u dy = u∞ v δ − ⎮ u dy ∂y 0 ∂y 0 ∂y y = − ⎮ 0 ∂x ρ∂y ∂x δ (x) £ £ £ £  £  £ £ £ £   £      £ £   £     £  £ £ £  £    £ £ £ £ £ £ £ £   £  £ £ £ £ £  £ £ £  £ £      £ £  £ £  £   £ δ (x ) ∂u 2 y =0 ∂ (uu∞ ) y = − µ ∂ u y − ⎮ 0 ∂x ∂x ρ∂y Reag upando e invi tiendo el o den de dife enciación e integ ación     £   £     360 d δ µ u ∫0 u (u ∞ − u ) y = x ρ dy [ ] y =0 que es la ecuación integ al de cantidad de movimiento pa a placa plana ho izonta l. E.8. NÁLISIS PROXIM DO DE L TR NS ERENCI DE C LOR EN LUJO L MIN R SOBRE UN PL C PL N continuación se utiliza á el método integ al ap oximado pa a dete mina la dis t ibución de tempe atu a en flujo lamina sob e una placa plana que se mantiene a tempe atu a unifo me. Una vez que se conoce la dist ibución de tempe atu a, se puede dete mina ápidamente, a pa ti de la definición, el coeficiente de t an sfe encia de calo ent e el fluido y la supe ficie de la placa. Conside emos que un fluido a tempe atu a T∞ fluye con una velocidad u∞ sob e una placa plana com o se muest a en la figu a. El eje x se toma a lo la go de la placa en la di ecci ón del flujo con el o igen x= 0 en la a ista de ent ada y el eje y es pe pendicu la a la placa. Se supone que la t ansfe encia de calo ent e el fluido y la pla ca sólo ocu e desde la posición x = x0 ; esto es, la placa se mantiene a la tem pe atu a unifo me T∞ en la egión 0 ≤ x ≤ x0 y a una tempe atu a unifo me Tw en la egión x > x0. En la figu a obse vamo s que la capa límite de velocidad de espeso d(x) se comienza a desa olla en x = 0, pe o la capa límite té mica de espeso dt(x) se empieza a desa olla en x = x0 en donde comienza a tene luga la t ansfe encia de calo ent e la placa y el fluido. Sea T(x,y) la tempe atu a del fluido dent o de la capa límite té mic a. Entonces del balance de ene gía té mica se obtiene la ecuación de ene gía del flujo estable de la capa límite en dos dimensiones de un fluido incomp esible d e p opiedades constantes. Balance de ene gía té mica ⎛ ∂T ∂T ρC P ⎜ u ⎜ ∂x + v ∂y ⎝ ⎛ ∂u ⎞ ⎞ ∂ 2T ⎟ = k 2 + µ⎜ ⎟ ⎜ ∂y ⎟ ⎟ ∂y ⎝ ⎠ ⎠ 2 Po conveniencia defini emos la tempe atu a adimensional θ( , y) como θ ( , y ) = T ( , y ) − Tw T∞ − Tw en donde θ( ,y) varía desde el valor cero en la pared de la placa hasta la unida d en el borde de la capa límite térmica. Entonces la ecuación de ener ía en func ión θ( , y), en la ue se desprecia el término de disipación por viscosidad es '       ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento                                   ! '   '         "                    '                   '                       '             £ '         ' £                             '    '     '        ' ' "         £ "   ' ' ' " "             ' de FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 361 ⎛ ∂θ ∂θ ⎞ ∂ 2θ ⎜u +v ⎟ =α 2 ⎜ ∂x ∂y ⎟ ∂y ⎝ ⎠ y las condiciones de f onte a son θ =0 en y = 0 ; θ = 1 en y = δt(x) A ora e utilizará el méto o integral i cuti o previamente en la olución el p roblema e veloci a para re olver en forma aproxima a la ecuación e energía o metién ola a la con icione e frontera menciona a . Lo iguiente on lo pa o bá ico e e te méto o e olución: 1 Se integra la ecuación e energía con r e pecto a y entre 0 y H que ea mayor que el e pe or e la capa límite e vel oci a y térmica, y por me io e la ecuación e continui a e elimina la compon ente v(x, y) e la veloci a . La ecuación re ultante e Inecuación integral e l a energía. 2 Se e coge un perfil a ecua o, tanto para la i tribución e tempera tura como para la componente u(x, y) e la veloci a . Generalmente e to perfile entro e la capa límite e repre entan por polinomio . 3 En la ecuación integ ral e la energía obteni a en el pa o 1 e u tituyen lo perfile e temperatur a y e veloci a etermina o en el pa o 2 y luego e integra con re pecto a la variable y. Si el e pe or e la capa límite térmica e menor que el e la capa l ímite e veloci a (e ecir, δt < δ), que e el ca o que e con i era aquí, e obtiene una ecuación iferencial or inaria e una función ∆(x) = δt/δ. La funció n ∆(x) se puede dete mina al esolve esta ecuación dife encial sometiéndola a la condición de f onte a ∆ = 0 cuando x = x0 . Se calcula luego el espeso de la capa límite té mica a pa ti de δt = δ∆, ya que del análisis ante io se encont ó el espeso de la ca ga límite de velocidad δ. 4 Me iante el pa o 2 e etermi na la i tribución e temperatura en la capa límite pue to que ya e conoce δt.    £  £ £   £           £   £    £ £ £    £       £  £ £     £ £ £   £ £ £ £   £  £  £  £   £  £ £ £                     £  £  £ £ £ £ £  £  £ £ £   £ £ £ £ £ £ £  £ £ £  £ £  £  £ £  £ £ £ £    £ £ £    FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 362 Solución el problema e temperatura por el méto o integral Por el méto o integr al e re uelve la ecuación e energía y la i tribución e temperatura e efine como igue. Pa o 1 Se integra la ecuación e energía con re pecto a y obre una i tancia H que ea mayor que el e pe or e amba capa límite H H u ∂θ dy + v ∂θ dy = α ⎛ ∂ θ ⎜ ⎮ ⎮ ⎜∂ y 0 ∂x 0 ∂y ⎝ − y=H ∂u ∂y ⎞ ⎟ = −α ∂ θ ⎟ ∂y y =0 ⎠ y =0 puesto que po la definición de la capa límite (∂θ/∂y)y = = 0 Mediante la ecua ción de continuidad se elimina la componente v de la velocidad en la ecuación an terior. La se unda inte ral del lado iz uierdo de la ecuación se hace por partes ∂θ dy = vθ ⎮ v 0 ∂y H H 0 ∂v ∂v − ⎮ θ dy = v y = − ⎮ θ dy 0 ∂y = 0 ∂y puesto ue v y=0 = 0 y θ y = H = 1. Lo término v y e obtienen e continui a y ∂v/∂y que aparecen en e ta ecuación − ∂u ∂v = ∂x ∂y y H ∂u v y = H = − e la ecuación y ⎮ 0 ∂x θ v dy = − ⎮ ⎮ ⎮ 0 ∂x 0 ∂x 0 ∂y H a sustituir se obtiene H H ∂u ∂u ∂θ dy dy + ∂θ ∂u ∂u ⎞ ⎛ ∂θ ⎮ ⎜ u ∂x + θ ∂ − ∂ ⎟dy = −α ∂ y o puesto que d(uθ) = udθ + θdu y =0 ∂θ ⎛ ∂ (uθ ) ∂u ⎞ ⎮ ⎜ u ∂x − ∂x ⎟dy = −α ∂ y 0 ⎝ ⎠ ¤¤ " ¤ A remp azar en a ecuación inicia se ega a 0 ⎝ ⎠ £ £  £ £     £     £  £  £ £    " £   £ £ £ ! £ £  ¤    ! £ £  £  ¤    ¤ ¤ £   £  H y =0 Reag upando e invi tiendo el o den de dife enciación e integ ación           FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 363 d H =δ θ ∫0 u (1 − θ )dy = α dx dy [ ] y =0 que es l ecu ción integr l de energí . Aquí se restringe el límite superior de l integr l H = δt, ebi o a que θ = 1 cuando > δt y el integran o e aparec e cuan o H > δt. De forma imilar e trata la ituación cuan o exi ten perfile e concentración on e la variable a imen ional θ se interpretará como (usando l as unidades de concentración ue sean adecuadas) θ ( , y ) = ρ ( x, y ) − ρ w ρ ∞ − ρ w E.9. NÁLISIS PROXIM DO DE L C P LÍMITE DE VELOCID DES Y TÉRMIC SOBRE UN PL C PL N HORIZONT L US NDO EL MÉTODO INTEGR L DE VON K RMÁN Y SUPONIENDO PER IL ES P R BÓLICOS. ⎡δ ⎤ µ dvx ∫ ⎢ 0 vx (v∞ − vx )dy ⎥ = ρ dy dx ⎣ ⎦ para 0 ≤ y ≤ δ, con vx = vx(x,y), δ = δ(x). y =0 A umimo a continuación un perfil e veloci a e parabólico, a aber: vx = ay2 + by + c, con vx = 0 en y = 0; vx = v∞ en y = δ; vx/ y = 0 en y = δ. La o pri mera con icione límite on in erente a la e cripción el problema, la tercer a proviene e la mi ma efinición e capa límite. Aplicán ola : CL1: ⇉ c = 0; CL 2: ⇉ v∞ = aδ2 + bδ; CL3: ⇉ 2aδ = − b ⇉ a = − v∞/δ2; b = 2v∞δ. obtenemo el perfi l e veloci a vx ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ = 2⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ v∞ ⎝δ ⎠ ⎝δ ⎠ 2 (i) £    £   £  £     £ £ £    £ £  £ £ £ £ £ £  £ £      Pa a el caso de flujo lamina espeso de la capa límite hid e obre la longitu 0 ≤ x ≤ L alor. La ecuación integral e en la capa límite deduci las exp esiones pa a el odinámica δ(x), el coeficiente prome io e arra tr con L ≤ xC, y el coeficiente e tran ferencia e c canti a e movimiento e     '  £ £  '   £   ' '     '    ¡ £  ' ' '   '  £  £¡ £ ' ' £ ' £ £  ' £ '  ' ¡ £ £ ¡ ¡ £ ¡ £ £ ' ' ' ' ' ' '  £      "    ' £ ¡  £ £ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 364 A continuación sustituimos el pe fil de velocidad en la ecuación integ al de can tidad de movimiento: 2 ⎡ ⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞2 ⎤⎡ vx ⎤ 2 µv∞ ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ ⎤ 2 d vx ⎡ 2 d v∞ ⎮ v ⎢1 − v ⎥dy = v∞ dx ⎮ ⎢2⎜ δ ⎟ − ⎜ δ ⎟ ⎥ ⎢1 − 2⎜ δ ⎟ + ⎜ δ ⎟ ⎥dy = ρδ ⎮ ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎢ dx ∞ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ∞⎦ ⎣ ⎦ ⎦⎣ 0 0 δ δ El la o erec o e e ta ecuación e obtiene erivan o vx: (µ/ρ)(dvx/dy)y=0 = b(µ /ρ) = 2µv∞/ρδ. Rompien o parénte i , reunien o término emejante e integran o con re pecto a y obtenemo δ µ 1 δ 15µ 30µx = ⇉ ∫ δ δ = ⎮ dx ⇉ δ = ρv ρv∞ 15 dx ρv∞δ 0 ∞ 0 x (ii) δ x = 5.48 Re x (iia) Reemplazan o (ii) en (i) po emo eterminar el perfil e veloci a . Sin embargo, en la práctica tiene mayor interé el coeficiente e arra tre, que no correlac iona el e fuerzo cortante con la energía cinética prome ia el flui o, a aber: τ x = fx 2 ρv ∞ 2 =µ dv x dy esfue zo co tante local. y =0 El g adiente de velocidad lo obtenemos del pe fil de velocidad. Reemplazando obt enemos el coeficiente local de a ast e pa a flujo lamina sob e una placa plana : fx = 4µ 0.730 = 30νx Re x ρv∞ v∞    £ £ £   £   £ £ £             £   E te e pe or e capa límite an o que Rex = ρv∞x/µ: e aco tumbra a expre ar en forma a imen ional recor £      £      £   £ £         £  £ £  £  £   £   £ £ £        £ £ Se define el valo medio del coeficiente de a ast e en la longitud que se extie nde desde x = 0 hasta L como        365 1⎮ 0.730 fL = f x dx = L⎮ L 0 L ⎛ µ ⎞ 0 L x= L = 1.46 Re L Entonces el valo medio del coeficiente de a ast e en la longitud que va desde x = 0 hasta L es el doble del valo local del coeficiente de a ast e calculado en x = L. Conociendo el coeficiente medio de a ast e se puede dete mina la fue za F que actúa sob e una ca a de la placa de ancho w como F = wLfLρv∞2/2. P opi edades De La Capa Limite Lamina Sob e Una Capa Plana Dete minados Po Dife ente s Métodos. Fo ma de la cu va del pe fil de velocidad Solución de Blassius y Howa th Pe fil Sinusoidal Polinomio g ado de te ce Espeso de la capa límite 4.96 δ = x Re x Coeficiente e fricción total 1.328 fL = Re L fL = fL = fL = fL = 1.31 0 Re L 1.296 Re L 1.454 Re L 1.372 Re L Porcentaje e error 0.0* −1.36 −2.41 +9. 49 +3.31 δ x = = = = 4.80 Re x 4.64 Re x 5.50 Re x 5.83 Re x δ x Polinomio e egun o gra o Polinomio gra o e cuarto δ x δ x * E te valor e toma como referencia. E.10. AN LISIS APROXIMADO DEL FLUJO DE CALOR EN FLUJO LAMINAR SOBRE UNA PLACA PL ANA. − 12 ⎜ ⎟ ⎜ ρv ⎟ ⎮ x dx = 2 f x ⎝ ∞ ⎠  A continuación utilizaremo el méto o integral aproxima o para eterminar la i tribución e temperatura en flujo laminar obre una placa plana que e mantiene a temperatura uniforme TS. Una vez que e conoce la i tribución e temperatura, e pue e eterminar a partir e la efinición, el coeficiente convectivo e tra n ferencia e calor entre el flui o y la uperficie e la placa. £   ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento     £          £    £       £    £ £   £               £ £          £ £     £     £      ' £ £   £ '       £ £ £ £ £ #            de FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 366 T 0 ⎮ v x (T∞ − T )dy = α dy dx δt (iii) y =0 Seleccionan o un perfil parabólico para el perfil e temperatura tenemo : T = a y2 + by + c; en y = 0, T = TS; en y = δ, T = T∞; en y = δ, T/ y = 0. Proce ien o como en el ca o el perfil e veloci a e obtenemo ⎛ y⎞ ⎛ y T − TS = 2⎜ ⎟ − ⎜ ⎜δ ⎟ ⎜δ T∞ − TS ⎝ t⎠ ⎝ t Obse vando que 1− T − TS T −T = ∞ = 1−θ T∞ − TS T∞ − TS ⎞ ⎟ =θ ⎟ ⎠ 2 (iiia) eemplazamos el pe fil de tempe atu a y el de velocidad en la ecuación del balan ce integ al de ene gía (iii): 2 ⎛ y d ⎡ ⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞ ⎤⎡ v∞ (T∞ − TS ) ⎮ ⎢2⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢1 − 2⎜ ⎜δ x ⎮ ⎣ ⎝ δ ⎠ ⎝ δ ⎠ ⎥ ⎢ ⎝ t ⎦⎣ ⎢ 0 δt ⎞ ⎛ y ⎟+⎜ ⎟ ⎜δ ⎠ ⎝ t ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2 ⎤ 2α (T∞ − TS ) ⎥ dy = δt ⎥ ⎦ Descompo ie do paré tesis, i tegra do co respecto a y, reorga iza do o te emos: d ⎡ δ t2 4 δ t2 1 δ t2 δ t3 1 δ t3 1 δ t3 ⎤ 2α = + − 2 + − ⎢ − 2 2 ⎥ dx ⎣ δ 3 δ 2 δ 3δ 2δ 5 δ ⎦ v∞ δ t (iv) Definimo a ora una nueva variable, φ(x) como el cociente entre el espesor de la capa límite térmica con el de la capa límite de velocidad: φ ( x) = δ t ( x) δ ( x) £ £  ¥  £ ¥ £ £  ¥   £  La ecuación integral e energía calorífica para e te i tema e £    £ £ ¥   ¥     £ ¥ £ £ £ £ ¥     £  £ ¥ ¥      £ £   FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 367 Reemplazan o en (4) obtenemo : 2α d φδ t − 4 φδ t + 1 φδ t − 1 φ 2δ t + 1 φ 2δ t − 1 φ 2δ t = 3 2 3 2 5 x v∞ δ t [ ] ⎡ ⎛ φ φ 2 ⎞⎤ 2α ⎢δ t ⎜ − ⎟⎥ = ⎜ 6 30 ⎟ dx ⎣ ⎝ ⎠⎦ v∞ δ t (v) δt ⎡ ⎛ φ ⎞⎤ 2α δt ⎜ ⎟ = dx ⎢ ⎝ 6 ⎠⎥ v∞ ⎣ ⎦ ⇉ φδ 2 (φ δ ) = 12α dx v∞ x, φδ ⎢2φδ 2φ 2δ 2 ⎡ ⎣ dφ dδ ⎤ 12α +φ2 = dx dx ⎥ v ∞ ⎦ dφ dδ 12α + φ 3δ = x x v∞ 3 φ , reorganizamos para obtener φ = 3φ 2 dx dx reconociendo que dδ 12α 2 2 d 3 δ φ + φ 3δ = x v∞ 3 Según (ii) δ2 = 30 xµ ρv∞ y δ δ 15µ = x ρv∞ po lo cual £ £ ¡ Deriv ndo con respecto x     £ ( £ £    £ £   £ ¡ £ £  £ Si uponemo que el e pe or e la capa límite térmica δt e menor que el e pe or e la capa límite i ro inámica δ, y con el fin e implificar la ecuación (v), e preciamo el término φ2/30 rente a φ/6, recordando que δt = φδ obtenemo £ £    £ £ £ £ £    £ £ £ £ £ 20 µx d 3 µ φ + 15 φ 3 = 12α ; con Pr = µ/ρα numero de Pr ndtl: ρ dx ρ x d 3 3 3 3 1 φ + φ = dx 4 5 Pr ¡ ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro etancourt Grajales Trans erencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 368 Ecuación di erencial ordinaria de primer orden para φ3. Haciendo φ3 = , tenemos x 3 3 1 d + = 4 5 Pr dx Tiene una solución particular = C ⇉ 0 + 3C/4 = 3/5Pr Y = [3/(5Pr)]/(3/4) = 4/( 5Pr). Re olvien o la omogénea x Y 3Y =− x 4 ⇉ Y 3 x =− Y 4 x ln Y = − 3 ln x + ln C1 4 ⇉ φ 3 = C1 x − + 3 4 4 4 haciendo δt = 0 = φ en x = x0, C1 = − −3 5 Pr 5 Pr x o 4 3 4 4 ⎡ ⎛ x⎞ ⎢1 − ⎜ ⎟ φ = 5 Pr ⎢ ⎜ x0 ⎟ ⎣ ⎝ ⎠ 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ara x0 = 0, δt/δ = 0.93Pr−1/3 ⇉ δ/δt ≅ Pr1/3. E ta expre ión mue tra que la rel ación entre lo e pe ore e la capa límite e veloci a y térmica en el flujo laminar obre una placa plan e proporcional a la raíz cúbica el número e Pra n tl. Como e te e el or en e la uni a para ga e y mayor que e ta para líqui o ( iferente e metale líqui o ), la capa límite térmica erá menor o igual a la capa límite i ro inámica, ju tifican o la upo icione ec a . Reemplazan o δ e (2a), obtenemo δ t = 5.1 x Re Pr 1 / 3 12 x Con e te valor e δt(x) po emo obtener el perfil e temperatura a partir e (3 a). Sin embargo en la práctica e má importante allar el coeficiente e tran f erencia e calor entre el flui o y la uperficie e la placa como veremo a cont inuación.  £ £  £      £  £  £    £  £  £ £  £ £    Y = C1 x − 4 ; la olución general e 3 la uma e amba : ¨ ( £   ) £  £  £  ¨ £ £  £  £  £ £   £  £       £  £ £ ¨ (¨ £  £  £ £  £ £ £ © £ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 369 E.10.1. Coeficiente e tran ferencia e calor Se efine el coeficiente local e tran ferencia e calor (x) entre el flui o y la uperficie e la pare como q(x) = (x)(TS − T∞). El flujo e calor al flui o en la región inme iatamente a yacente a la pare , gracia a que en la pare la veloci a e flujo e re uce a cero y el calor entonce e tran fiere por con uc ción, e pue e eterminar por la expre ión q ( x) = −k ∂T ( x, y ) ∂y = k (TS − T∞ ) y =0 ∂θ ∂y y =0 Obtenemos entonces h( ) = k ∂θ ∂y =k y =0 Nu x = ( x ) x = 0.332 Re 1 / 2 Pr 1 / 3 x k (exacta) E ta ecuación tiene vali ez para 0.6 ≤ Pr ≤ 10. Cuan o el número e Pran tl e m uy gran e, lo cálculo exacto e Pol au en emue tran que el coeficiente local a imen ional viene a o por Nu x = 0.339 Re 1x/ 2 Pr 1 / 3 Definimo un coeficiente prome io e tran ferencia e calor obre la longitu e la placa que e extien e e e x = 0 a ta x = L con L < xC, m = 1L ∫ ( x) x = 2 ( x) x = L L0 m L = 0.664 Re1 / 2 Pr 1 / 3 x k De tal forma que Nu m = £ £ £  £  £  £ £  £      £ £  £ £ £ £  E ta olución aproxima a e r Pol au en (1921): 18 % mayor a la olución exacta el problema a a po £ £ £ " k = 0.392 Re 1 / 2 Pr 1 / 3 δt x 2 £ £ £ £ £  £      £ £   £ £ £  £ £ £ £ £ £ £  £ £ £  £  £  £  £ £ £ £     £    £ "  £    FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 370 Y DE CONCENTRACIONES DE VON KARM N Y SUPON Suponien o que exi ten una i tribución lineal e la veloci a y un perfil linea l e la concentración en la capa límite laminar, obre una placa plana: a) Obten ga la ecuacione e lo perfile e veloci a y e concentración. b) Demo trar, aplican o la ecuación integral e Von Karmán e canti a e movimiento, que el e fuerzo cortante en la pare e : 2 τ s v ∞ dδ = 6 x ρ Use esta elación, así como la ecuación integ al de Von Ka mán de la concent aci ón, pa a obtene una elación ent e el espeso hid odinámico de la capa límite, δ, el gro or e la capa límite e concentración, δc y el número e Sc mi t. a) P erfile : De veloci a : vx = a + by con icione límite: y = 0 vx = 0 ; y = δ vx = v∞ De aquí a = 0 ; v∞ = bδ ⇉ (vx/v∞) = (y/δ) De concentración: ρ = a + by cond iciones límite: y = 0 ρ = ρ S = a ; y = δc ρ = ρ ∞ Entonces b = ρ ∞ − ρ S ρ − ρ S y ⇉ = δc ρ ∞ − ρ S δ c b) Ecuación integral e canti a e movimiento τ S µ dv x d ⎡δ ⎤ = ∫ v x (v∞ − v x )dy ⎥ = − dx ⎢ 0 ρ ρ dy ⎦ ⎣ Reemplaza do el perfil de velocidad para 0 ≤ y ≤ δ, con vx = vx(x,y), δ = δ(x) y =0 £    £   # £ ' £ £ Para calcular el coeficiente e tran ferencia e calor por e anteriore e recomien a eterminar la propie a e el ra e película, e ecir a la temperatura me ia aritmética TS y la el flui o externo T∞. E.11. AN LISIS APROXIMADO DE LA CAPA LÍMITE DE VELOCIDADES SOBRE UNA PLACA PLANA HORIZONTAL USANDO EL MÉTODO INTEGRAL IENDO PERFILES LINEALES. me io e la relacion flui o a la temperatu entre la e la pare £ £ £ £ £   £ £ £ £   £ £   ' £  £ £ £ £ £     '  £  ' £  £ '   £ £ £ £   £  £ £ £ £ ' £  £ £ £ '   £ ' £ £ £ £  £ £     ' £    ' ¥ # £ £ £     £  £ '  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 371 2 δ ⎡ vx ⎤ µ v∞ ⎢1 − ⎥dy = ρ δ ⎣ v∞ ⎦ δ v v∞ ⎮ x dx v∞ 0 y⎛ y⎞ d ⎡ y2 y3 ⎤ 1 dδ µ 1 − ⎟dy = − 2⎥ = = ⎮ ⎜ ⎢ dx 0 6 dx ρv∞δ δ (i) δ ⎝ δ ⎠ dx ⎣ 2δ 3δ ⎦ Ecuación integ al pa a la especie dρ 0 δc y =0 d ⎮ v x ( ρ ∞ − ρ )dy = −n S = D B dx ρ δc dy = y =0 ρ − ρ S ρ − ρ ⎛ y⎞ ρ A∞ − ρ AS = A∞ = ⎜1 − ⎟ ; 1− A ⎜ δ ⎟ ρ A∞ − ρ AS ρ A∞ − ρ AS ⎝ δc c ⎠ ⎞ d ⎡ y2 y3 ⎤ d ⎡ δ c2 ⎤ D AB ⎟= = − ⎢ ⎥= ⎟ dx ⎢ 2δ 3δδ ⎥ dx ⎣ 6δ ⎦ v∞ δ c c ⎦0 ⎠ ⎣ δc y⎛ y ⎮ ⎜1 − ⎜ δ x ⎮ δ ⎝ c 0 Haciendo δc = nδ n 6 D AB δ ⎡ δ c2 ⎤ d 2 + 2nδ = n δ = n2 ⎢ ⎥= dx v∞ nδ x [ ] 3 d 6 D AB dδ + 2n 2δ 2 = x v∞ x e la ecuación (i) δ δ 6µ 12µx = y δ2 = x ρv∞ ρv∞ Reemplazando y simplificando con Sc = µ/ρD B £ £  x 0 δ 2 6 µx δ 3.464 6µ ⎮ δ δ = ⎮ dx ⇉ = = o ea ρv ∞ x 2 Re x ⎮ ρv∞ 0 dy x ⎣ δ ⎦ dx £   ' ' ' ' £ £ ' £ £ £ £   £ £ '   ' £ £  ' ' ' £ £ ¥ £ £ £ ¥ £ £ 372 n 3 + 4n 2 x dn 1 ; sepa ando va iables y haciendo u = n3 − 1/Sc = dx Sc du 3 3 dx ⎮ =− ⇉ ln u = − 3 ln x + ln C ⇉ u = Cx − 4 ⎮ 4 4 x ⎮ u δ = Sc − Para x = x0, δc = 0 = n, por lo cual n = δc Para x0 = 0, 1 3 ⎡ ⎛ x0 ⎞ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ x⎠ ⎣ 3 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 1 3 δ = Sc δc 1 3 E te re ulta o e comparable al e Pol au en para tran ferencia e calor y prevé que para i tema ga eo o , on e Sc e el or en e la uni a , la capa límite i ro inámica y la e concentracione on el mi mo or en e magnitu . A í mi mo , para la mayoría e lo i tema , en lo cuale Sc > 1, la capa límite e conce ntracione e tará embebi a en la capa límite e veloci a e . E.12. AN LISIS APROXIMADO DE LA VELOCIDAD Y DEL ARRASTRE EN EL FLUJO LAMINAR SOB RE UNA PLACA PLANA. Con i eremo el flujo e table en o imen ione e un flui o incompre ible e propie a e con tante obre una placa plana, tal como e ilu tra en la figura. El eje x e toma a lo largo e la placa con el origen x = 0 e n la ari ta e entra a y el eje y perpen icular a la uperficie e la placa. Sea n u(x, y) y v(x, y) la componente e la veloci a en la ireccione x y y re pectivamente, u∞ la veloci a libre el flujo y δ (x) el e pe or e la capa lími te e veloci a . La componente e la veloci a u(x, y) y v(x, y) ati facen la ecuacione e continui a y e canti a e movimiento e una capa límite. Cont inui a ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y  £    ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento  £    £ £   £ £ £  £ £    £  £  £ £ £ £    £  £  £ £ £ £  £ £ £ £   £      £  £  £ £ £    £  £  £  £ £ £    £   £ £  £ £    £   £ £  £ £ £ '  £    ' £ £ £ £  # £ £      £ £   £ £   £    de FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 373 Canti a e movimiento en x u ∂u ∂u p µ ∂ 2 u +v =− + ∂x ∂y x ρ ∂ y 2 El té mino de p esión en la ecuación de cantidad de movimiento se puede elacion a con la velocidad de flujo exte no u∞(x) evaluando la ecuación en el bo de de la capa límite de velocidad, en donde u ~ u∞(x). Encont amos que − du ( x ) dp = ρu ∞ ( x ) ∞ dx dx puesto que se conside a que u∞(x) es sólo función de x. En el análisis de la cap a límite se supone que se conoce la velocidad del flujo exte no u∞(x) la cual se halla al esolve el p oblema de velocidad del flujo po fue a de la capa límit e; en consecuencia se conside a que el té mino dp/dx es conocido. Po ejemplo, e n el caso de flujo a lo la go de una placa de velocidad del flujo exte no u∞ es constante, entonces dp =0 dx Po lo tanto el g adiente de p esión dp/dx no apa ece en la ecuación de cantidad de movimiento en x pa a flujo a lo la go de una placa plana. Las condiciones de f onte a de estas ecuaciones son u = 0; v = 0 en y = 0; u → u∞ en y = δ(x) La con icione e frontera e tablecen que en la uperficie e la placa la componente e la veloci a on cero (e ecir, la uperficie e impermeable al flujo) y que la componente axial e la vel oci a en el bor e e la capa límite en y = δ (x) e ca i igual a la veloci a el flujo externo u∞. A ora re olveremo el problema e veloci a e crito por el méto o integral aproxima o que fue e arrolla o originalmente por von Kármán. E l propó ito e pre entar aquí e te méto o aproxima o e análi i e el e ilu tr ar la aplicación e e ta po ero a técnica matemática para obtener una olución a nalítica el problema e veloci a y por lo tanto proporcionar alguna i ea el ignifica o e lo iferente parámetro . Lo méto o aproxima o on útile para re olver analíticamente problema má complica o lo cuale no e pue en re ol ver fácilmente por méto o exacto ; in embargo, la exactitu e un méto o aprox ima o no e pue e conocer ante e comparar la olución aproxima a con la oluci ón exacta.  £ £ £ £  £   £       £ £ £  £ £         £ £  £    £ £ £ £ £     £ £  £        £ £  £  £    £ £   £ £     £  £     £  £   £  £         £    £   £ £ £ £   £ £    £ £ £ £        £ £  £ £ £     £ £ £      £ £ £ £        FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 374 Lo pa o bá ico e e te méto o on lo iguiente : 1. Se integra la ecuación e canti a e movimiento en x con re pecto a y, obre el e pe or e la capa lími te δ(x) y e elimina la componente v(x, y) e la veloci a por me io e la ecuac ión e continui a . La ecuación re ultante recibe el nombre e ecuación integral e canti a e movimiento. 2. Sobre el e pe or e la capa límite 0 ≤ y ≤ δ (x) e e coge un perfil a ecua o para la componente u(x,y) e la veloci a . Generalm ente e elecciona un perfil polinomial y la experiencia a emo tra o que no e aumenta apreciablemente la exactitu e la olución i e e cogen polinomio ma yore el cuarto gra o. Lo coeficiente e eterminan en función el e pe or e la capa límite δ(x) acien o u o e la con icione en y = 0 y y = 8(x); entonc e el perfil e veloci a e una función e y y e δ(x) e la forma u ( x, y ) = f [ y, δ ( x )] 3. Se u tituye el perfil e veloci a u(x, y) en la ecuación integral e canti a e movimiento que e obtuvo en el pa o 1 y e integra con re pecto a la varia ble y La expre ión re ultante e una ecuación iferencial or inaria e δ(x); el e pe or e la capa límite e etermina re olvien o la ecuación iferencial or in aria ometién ola a la con ición e frontera δ(x) = 0 para x = 0 4. Una vez que e conoce δ(x) e pue e eterminar la i tribución e veloci a u (x, y). El coeficiente e arra tre e obtiene rápi amente a partir e u efinic ión por me io e la i tribución e veloci a encontra a en el pa o 4. El méto o integral que e acaba e e cribir proporciona un méto o e olución muy irect o e la ecuacione e la capa límite. Aunque el análi i e aproxima o, el coef iciente e arra tre etermina o por e te méto o e en la mayoría e lo ca o pr áctico ba tante aproxima o a lo re ulta o exacto . Solución el problema e v eloci a por el méto o integral Pa o 1. Se integra la ecuación e canti a e mo vimiento con re pecto a y, obre el e pe or e la capa límite δ(x); obtenemo ⎮ 0 δ (x ) u ∂u y + ⎮ ∂x 0 δ (x ) v ⎞ µ ⎛∂u ∂u ∂u ⎟=−µ ∂u dy = ⎜ − ρ ⎜ ∂ y y =δ ∂ y y = 0 ⎟ ρ ∂ y y=0 ∂y ⎠ ⎝ £ £ £   £ £ £ £ £ £ £ £ £      £ £ £  £ £ £ £ £ £ £ £ £  £ £ £  £  £ £ £  £ £   £  £    £ £  £  £ £ £     £   £ £ £ £  £  £  £   £  £ £ £  £   £   £ £ £  £ £   £ £     £  £   £ £ £ £  £ £  £   £ £ £  £ £    £ £  £ £ £ £  £ £ £    £ £ £ £ £    £ £ £  £ £ £ £ £  £  £     £ £ £ £  £  £ £ £  £  £  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 375 puesto que po el concepto de capa límite (du/dy) y=δ = 0. De e ta ecuación e e limina la componente y e la veloci a acien o u o e la ecuación e continui a . La egun a integral el la o izquier o e ace por parte ⎮ 0 δ (x) ∂u δ δ δ pue to que u = u∞ en y = δ y u = 0 en y = 0. Lo término el la o erec o e e ta relación e eterminan e la iguiente manera: e la ecuación e continui a e obtiene inme iatamente v/ y − ∂u ∂v = ∂x ∂y e integran o e ta ecuación e e .y = 0 a ta y = δ e obtiene δ ∂u δ v 0 = v δ = − y ⎮ 0 ∂x ya que v y = 0 = 0 Al u tituir e ta o ecuacione e encuentra δ δ ∂u ∂u y + u ∂u y ⎮ ⎮ v dy = −u∞ ⎮ 0 ∂x 0 ∂x 0 ∂y δ Cuan o e u tituye e te re ulta o en la ecuación inicial e llega a ⎮ 0 δ (x ) δ (x ) ∂u ∂u y = − µ ∂ u 2u y − u∞ ⎮ 0 ∂x ρ∂y ∂x y =0 o puesto que du2 = 2udu ⎮ 0 ∂v ∂v v y = uv 0 − ⎮ u dy = u∞ v δ − ⎮ u dy ∂y 0 ∂y 0 ∂y δ (x) δ (x ) ∂u 2 µ ∂u ∂ (uu∞ ) y − y =0 Reag upando e invi tiendo el o den de dife enciación e integ ación d δ µ u ∫0 u (u ∞ − u ) y = x ρ dy [ ] y =0 y = − ⎮ 0 ∂x ρ∂y ∂x £ £ £    £  £ £ £ £       £       £ £     £         £  £ £ £  £   £ £     £ £ £ £ £ £ £  £  £ £ £ £ £ £     £ £  £  £     £ £  £     £   £ 376 que es la ecuación integ al de cantidad de movimiento pa a placa plana ho izonta l. E.13. NÁLISIS PROXIM DO DE C P LÍMITE DE VELOCID DES Y TÉRMIC SOBRE UN PL C PL N HORIZONT L US NDO EL MÉTODO INTEGR L DE VON K RMÁN Y SUPONIENDO PER ILES P R BÓLICOS. en la capa límite deduci las exp esiones pa a el odinámica δ(x), el coeficiente prome io e arra tr con L ≤ xC, y el coeficiente e tran ferencia e c canti a e movimiento e ⎡δ ⎤ µ dvx ∫ vx (v∞ − vx )dy ⎥ = dx ⎢ 0 ⎣ ⎦ ρ dy pa a 0 ≤ y ≤ δ, con vx = vx(x,y), δ = δ(x). y =0 A umimo a continuación un perfil e veloci a e parabólico, a aber: vx = ay2 + by + c, con vx = 0 en y = 0; vx = v∞ en y = δ; vx/ y = 0 en y = δ. La o pri mera con icione límite on in erente a la e cripción el problema, la tercer a proviene e la mi ma efinición e capa límite. Aplicán ola : CL1: ⇉ c = 0; CL 2: ⇉ v∞ = aδ2 + bδ; CL3: ⇉ 2aδ = − b ⇉ a = − v∞/δ2; b = 2v∞δ. obtenemo el perfi l e veloci a vx ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ = 2⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ v∞ ⎝δ ⎠ ⎝δ ⎠ 2 (i) A continuación sustituimos el pe fil de velocidad en la ecuación integ al de can tidad de movimiento: 2 ⎡ ⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞2 ⎤⎡ vx ⎤ 2 µv∞ ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ ⎤ 2 d vx ⎡ 2 d v∞ ⎮ v ⎢1 − v ⎥dy = v∞ dx ⎮ ⎢2⎜ δ ⎟ − ⎜ δ ⎟ ⎥ ⎢1 − 2⎜ δ ⎟ + ⎜ δ ⎟ ⎥dy = ρδ ⎮ ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎢ dx ∞ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ∞⎦ ⎦⎣ ⎣ ⎦ 0 0 δ δ El la o erec o e e ta ecuación e obtiene erivan o vx: (µ/ρ)(dvx/dy)y=0 = b(µ /ρ) = 2µv∞/ρδ. Rompien o parénte i , reunien o término emejante e integran o con re pecto a y obtenemo £ £    £     £  £      £ £ £     £ £ £  £ £ £ £ £ £ £ £    £ £        Pa a el caso de flujo lamina espeso de la capa límite hid e obre la longitu 0 ≤ x ≤ L alor. La ecuación integral e '   ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento '   '       ' '     ' ' '   £ £    ' ' ' £   £ '  ' ' £  £ £ £ £ £ £     ' ' ' ' ' '         £  £ de FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 377 µ 1 δ 15µ δ 0 x (ii) 30µx = ⇉ ∫ δ δ = ⎮ dx ⇉ δ = ρv ρv∞ 15 dx ρv∞δ 0 ∞ δ x = 5.48 Re x (iia) Reemplazan o (ii) en (i) po emo eterminar el perfil e veloci a . Sin embargo, en la práctica tiene mayor interé el coeficiente e arra tre, que no correlac iona el e fuerzo cortante con la energía cinética prome ia el flui o, a aber: τ x = fx 2 ρv ∞ 2 =µ dv x dy esfue zo co tante local. y =0 El g adiente de velocidad lo obtenemos del pe fil de velocidad. Reemplazando obt enemos el coeficiente local de a ast e pa a flujo lamina sob e una placa plana : fx = 4µ 0.730 = 30νx Re x ρv∞ v∞ Se define el valo medio del coeficiente de a ast e en la longitud que se extie nde desde x = 0 hasta L como 1⎮ 0.730 fL = f x dx = L⎮ L 0 L ⎛ µ ⎞ 0 L x= L = − 12 ⎜ ⎜ ρv ⎟ ⎮ x dx = 2 f x ⎟ ⎝ ∞ ⎠    £ £ £   £   £ £ £                  £   E te e pe or e capa límite an o que Rex = ρv∞x/µ: e aco tumbra a expre ar en forma a imen ional recor £ £   £ £ £ £ £   £   £       £ £ £ 1.46 Re L Entonces el valo medio del coeficiente de a ast e en la longitud que va desde x = 0 hasta L es el doble del valo local del coeficiente de a ast e calculado en x = L. Conociendo el coeficiente medio de a ast e se puede dete mina la fue za F que actúa sob e una ca a de la placa de ancho w como F = wLfLρv∞2/2.                              FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 378 P opiedades de la capa limite lamina sob e una capa plana dete minados po dife entes métodos. Fo ma de la cu va del pe fil de velocidad Solución de Blassius y Howa th Pe fil Sinusoidal Espeso de la capa límite Coeficiente de f icción tot al Po centaje de e o 0.0* −1.36 −2.41 +9.49 δ δ x x = = = = = 4.96 Re x 4.80 Re x 4.64 Re x 5.50 Re x 5.83 Re x fL = fL = fL = fL = fL = 1.328 Re L 1.310 Re L 1.296 Re L 1.454 Re L 1.372 Re L δ Polinomio e tercer gra o x δ Polinomio e egun o gra o x δ Polinomio e cuarto gra o * E te valor e toma como referencia. x +3.31 E.14. AN LISIS APROXIMADO DE LA CAPA LÍMITE DE VELOCIDADES Y DE CONCENTRACIONES SOBRE UNA PLACA PLANA HORIZONTAL USANDO EL MÉTODO INTEGRAL DE VON KARM N Y SUPON IENDO PERFILES LINEALES. Suponien o que exi ten una i tribución lineal e la veloci a y un perfil linea l e la concentración en la capa límite laminar, obre una placa plana: a) Obten ga la ecuacione e lo perfile e veloci a y e concentración. b) Demo trar, aplican o la ecuación integral e Von Karmán e canti a e movimiento, que el e fuerzo cortante en la pare e : 2 τ s v ∞ dδ = 6 x ρ Use esta elación, así como la ecuación integ al de Von Ka mán de la concent aci ón, pa a obtene una elación ent e el espeso hid odinámico de la capa límite, δ, el gro or e la capa límite e concentración, δc y el número e Sc mi t. a) P erfile : De veloci a : vx = a + by con icione límite: y = 0 vx = 0 ; y = δ vx = v∞ De aquí a = 0 ; v∞ = bδ ⇉ (vx/v∞) = (y/δ)        £  #   £     £ £   £ £ £     £  £   £ £ £             £   £     £     £     £ £ £  £ £        £ £   £  £ £     £   £ £ £    # £ £           £      FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 379 De concentración: ρ = ρ ∞ Entonces b = ρ ∞ − ρ S ρ = a + by condiciones límite: y = 0 ρ = ρ S = a ; y = δc ρ S y ⇉ = δc ρ ∞ − ρ S δ c − ρ b) Ecuación integral e canti a e movimiento τ S µ dv x d ⎡δ ⎤ ∫ ⎢ 0 v x (v ∞ − v x )dy ⎥ = − ρ = ρ dy dx ⎣ ⎦ Reemplaza do el perfil de velocidad 2 d v v∞ ⎮ x dx v∞ 0 para 0 ≤ y ≤ δ, con vx = vx(x,y), δ = δ(x) y =0 δ ⎡ vx ⎤ µ v∞ ⎢1 − ⎥dy = ρ δ ⎣ v∞ ⎦ δ y⎛ y⎞ d ⎡ y2 y3 ⎤ 1 dδ µ = − 2⎥ = ⎜1 − ⎟dy = ⎮ ⎢ dx 6 dx ρv∞δ δ ⎝ δ ⎠ dx ⎣ 2δ 3δ ⎦ 0 δ (i) Ecuación integ al pa a la especie dρ 0 δc y =0 d ⎮ v x ( ρ ∞ − ρ )dy = −n S = D B dx ρ dy = y =0 ρ − ρ S ρ − ρ AS ⎝ δc c ⎠ ⎛ y⎞ ρ A∞ − ρ AS = A∞ = ⎜1 − ⎟ ; 1− A ⎜ δ ⎟ ρ A∞ − ρ AS ρ A∞ − ρ  x δ 2 6 µx δ 3.464 6µ ⎮ δ δ = ⎮ dx ⇉ = o ea = ρv ∞ x 2 Re x ⎮ ρv∞ 0 0 dy ' £ '  '  ' ' ' ' ' £ £ £ £ ' £ £ £ £   ' ' '   ' '  ' ¥ ' ' ' ' £ ' £ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 380 d 0 δc ⎞ d ⎡ y2 y3 ⎤ d ⎡ δ c2 ⎤ D AB ⎟= ⎟ dx ⎢ 2δ − 3δδ ⎥ = dx ⎢ 6δ ⎥ = v δ ∞ c c ⎦0 ⎠ ⎣ ⎣ ⎦ δc ⎡ δ c2 ⎤ d 2 dδ n 6 D AB n δ = n2 + 2nδ = Hacien o δc = nδ ⎢ ⎥= dx ⎣ δ ⎦ dx d x dx v∞ δ y⎛ y ⎮ ⎜1 − ⎮ δ ⎜ δc x ⎝ [ ] n3 n 6 D AB δ + 2n 2δ 2 = x v∞ x e la ecuación (i) δ δ 6µ 12µx = y δ2 = x ρv∞ ρv∞ Reemplazando y simplificando con Sc = µ/ρD B n 3 + 4n 2 x dn 1 ; sepa ando va iables y haciendo u = n3 − 1/Sc = dx Sc du 3 3 dx ⎮ =− ⇉ ln u = − 3 ln x + ln C ⇉ u = Cx − 4 ⎮ 4 4 x ⎮ u δ = Sc − Para x = x0, δc = 0 = n, por lo cual n = δc Para x0 = 0, 1 3 ⎡ ⎛ x0 ⎞ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ x⎠ ⎣ 3 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 1 3 δ = Sc δc 1 3 E te re ulta o e comparable al e Pol au en para tran ferencia e calor que para i tema ga eo o , on e Sc e el or en e la uni a , la capa i ro inámica y la e concentracione on el mi mo or en e magnitu . A , para la mayoría e lo i tema , en lo cuale Sc > 1, la capa límite ntracione e tará embebi a en la capa límite e veloci a e . y prevé límite í mi mo e conce    £  £ £ £ £    £ £ £   £  £ £ £  £     ' £  £        £ £ £   £  £ £    £   £ £   £ £   £ £ ¥    £ £   £ £ £ £ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 381 PROBLEMAS. 1. Una tubería e ierro e 3 pl. e iámetro nominal, cé ula 40, con uce vapor e agua a 90 p ig. La línea tiene 200 pie e longitu y no e encuentra ai la a. El aire e lo alre e ore e tá a 80°F. ¿ Cuánta libra e vapor con en arán p or ora ? ¿Qué porcentaje e la pér i a e originan en la ra iación ?. Dato y Nota : La emi ivi a e la uperficie no puli a el tubo pue e tomar e como ε = 0.74 y los alr d dor s como n gros. σ = 0.1714x10−8 Btu/ r.pie2.°R4. El iámetro externo el tubo en cue tión e 3.5 pl. y el interior 3.068 pl. La con uctivi a térmica el material a la temperatura e operación e 30 Btu/ r.pi e.°F. Para eterminar el coeficiente interno pue e u ar una e la correlacione a ecua a a umien o que la propie a e fí ica a la temperatura e película o n: ρl = ρ = 57.94 lb/pie3; kl = 0.396 Btu/h .pie.° ; µl = 0.199 cP; hfg = 924.7 Btu/lb; ρv = 0.236 lb/pie3. (kl3ρ2g/µ2)1/3 = 7.21. 90 psig (104.7 psia) la tem pe atu a de satu ación es 331.7 ° . Pa a dete mina el coeficiente convectivo ex te no po convección natu al puede utiliza las ecuaciones simplificadas de la c onvección lib e pa a ai e a la p esión atmosfé ica y tempe atu as mode adas eco mendadas en la tabla 6: (1/4) 4 9 hm = 0.27(∆T/D) pa a 10 < G P < 10 . hm = 0.18(∆T) (1/3) 12 pa a 10 < G DP < 10 . 9 D ambos en Btu/h .pie2.°F. G = gß(TS − T∞)D3ρ2 / µ2. Tome como p opiedades pa a e l ai e a tempe atu a de película los siguientes valo es: gßρ2/µ2 = 1.49x106 (°F. pie3)−1; P = 0.70 2. Es una p áctica co iente ecupe a el calo esidual de u n ho no a gas o aceite, usando los gases de salida pa a p ecalenta el ai e de c ombustión. Un dispositivo comúnmente usado pa a éste p opósito es un a eglo de tubos concént icos en el cual los gases de salida pasan a t avés del tubo inte i o , mient as que el ai e f ío fluye en pa alelo a t avés del espacio anula . Con side emos la situación pa a la cual existe una t ansfe encia unifo me de calo p o unidad de longitud, Q/L = 1.25x105 W/m, desde los gases calientes hacia la su pe ficie inte io del anillo, mient as fluye ai e a t avés del pasaje anula a azón de m’ = 2.1 kg/s. El tubo inte io de pa ed delgada ( esistencia té mica de sp eciable) tiene diámet o Di = 2 m, mient as que el tubo exte io , el cual se h alla pe fectamente aislado de los al ededo es, tiene diámet o Do = 2.05 m. Las p opiedades del ai e pueden toma se como: Cp = 1030 J/kg. K, µ = 270x10 7 N.s/m2, k = 0.041 W/m.K, y P = 0.68. (a) Si el ai e ent a a T1 = 300 K y L = 7 m, cuál es la tempe atu a de salida T2?. (b) Si el flujo de ai e está completamente des a ollado en la egión anula (coeficiente convectivo constante), cuál se á la t empe atu a del tubo inte io a la ent ada (TS1) y a la salida (TS2), y cuál la t empe atu a del tubo exte io a la ent ada (TSO1) ?.       £   £                  £       £ £        £                  £ £ £ £                  £    £          £ £             '              £                £      ¢       £ £     £ £ £ £        ¢ ¢ ¢  £ £ £ £                          £     £ £ £   £ £ £ £        £ £                              £ £ £     £         £     £            £            £        £ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 382 Nota: Recue de que el coeficiente convectivo pa a conductos anula es se calcula con las mismas ecuaciones que pa a los conductos ci cula es pe o usando el diáme t o equivalente De adecuado a t ansfe encia de calo tal como lo ecomienda Ke n . 3. Conside e una delgada capa de agua eposando sob e el suelo en una noche cl a a con tempe atu a ambiente 20 °C. La tempe atu a efectiva del fi mamento es 5 0 oC, la emisividad de la supe ficie del agua es 1.0 y el coeficiente convectivo de t ansfe encia de calo ent e ai e y agua es 30 W/m2.K. (a) Estime el coefici ente de t ansfe encia de masa pa a la evapo ación del agua. (b) Calcule la tempe atu a del ai e po debajo de la cual el agua se congela á. Asuma que no hay t a nsfe encia de calo po conducción hacia el piso, y que el ai e está seco. La p esión de vapo del agua a 0 oC es 614 Pa y su calo latente de evapo ación es 3. 338x105 J/kg. 4. Un p ocedimiento común pa a aumenta el contenido de humedad de l ai e es bu bujea lo a t avés de una columna de agua. Suponga que las bu bujas de ai e son esfe as de adio R = 1 mm y se encuent an en equilib io té mico con el agua a 25 °C. ¿Cuanto tiempo debe án pe manece las bu bujas en el agua pa a alcanza una concent ación de vapo en el cent o que sea 99% de la máxima posibl e (satu ación)?. El ai e se encuent a seco cuando ent a al agua. Suponiendo que las bu bujas alcanzan su velocidad te minal de fo ma instantánea, qué distancia hab án eco ido en este tiempo?. Algunos datos que pueden (o pueden no) se le ú tiles son: DAB = 0.26x10 4 m2/s, fase gaseosa, 298 K; ρai e = 1.1614 kg/m3; ρagu a = 1000 kg/m3; µagua = 855x10 6 Pa.s. La p esión de vapo del agua puede consid e a se, pa a el inte valo de inte és, dada po : PA = a.exp [b/(T + 460)] en mm H g si T en °F, con a = 1.1832x109 y b = −9524.86. 5. Los gases de salida de un ho no de p ocesado de alamb e se desca gan a una chimenea alta, y las tempe atu as del gas y de la supe ficie inte na a la salida de la chimenea se deben estima . El conocimiento de la tempe atu a de la salida del gas es útil pa a p edeci la dispe sión de efluentes en la co iente té mica, mient as que el conocimiento d e la supe ficie inte na de la chimenea a la salida indica si puede ocu i conde nsación de p oductos gaseosos. La chimenea cilínd ica tiene 0.5 m de diámet o in te no y 6 m de altu a. Su pa ed esta const uida po lad illo ef acta io de 10 c m de espeso cuya conductividad té mica es 1.21 W/m.K. El caudal de gases es 0.5 kg/s, y su tempe atu a de ent ada es 600 °C. La tempe atu a ambiente y la veloc idad del viento son 4 °C y 5 m/s, espectivamente. Tomando las p opiedades te mo físicas del gas como las del ai e, estime la tempe atu a de salida del gas y de la supe ficie inte na de la chimenea pa a las condiciones dadas. 6. Estime la al tu a necesa ia pa a que ai e pu o a 2 atm y 25°C, con flujo másico 710 kg/h, es ulte 70% satu ado en los equipos siguientes: (Tome la difusividad del vapo de a gua en ai e pa a el sistema DAB = 0.130 cm2/s). a) Una columna de pa ed húmeda c onstituida po una película de agua que desciende po la pa ed inte io de un tu bo                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 383 ve tical de 15 cm de diámet o inte no. b) Un lecho empacado con esfe as de 1 cm de diámet o satu adas de agua siendo el á ea específica a = 328 m2/m3. En este c aso la po osidad del lecho puede toma se como ε = 0.44. 7. Una corri nt d air a 600 mm Hg s usa para s car una s ri d placas fotográficas cada una d long itud Li = 0.25 m n la dir cción d flujo d air . El air stá s co y a t mp ra tura igual a la d las placas, T∞ = TS = 50 °C. La v locidad d l air s v∞ = 9. 1 m/s. ¿Cómo varía l co fici nt local d transf r ncia d masa con la distanci a d sd l bord inicial?. (b) ¿Cuál d las placas s s cará prim ro? Calcul la v locidad d s cado por m tro d ancho para sta placa n kg/s.m. (c) ¿A qué v locidad d b rá suministrars calor a la placa qu s s ca más rápidam nt para m ant n rla a TS = 50 °C constant durant l proc so d s cado?. 8. Consid r un cilindro v rtical d 3 plg d diám tro y 5 pi d longitud, compon nt d un apa rato d humidificación, por cuya sup rfici xt rior d sci nd una d lgada p líc ula d agua. En ángulo r cto con l cilindro circula air s co a 110 °F y 600 mm Hg con v locidad d 22 pi /s. El agua no d b got ar por abajo d l cilindro. (a ) D t rmin la t mp ratura d l agua. (b) D t rmin l caudal al cual d b sumini strars l agua n la part sup rior d l tubo. Para agilizar, tom como constant s las sigui nt s propi dad s d l air : viscosidad dinámica µ = 0.01876 cP = 0.0 454 lb/pi .h; DAB = 1.021 pi 2/h. ¿A qué pr sión y t mp ratura d b rán calculars stas propi dad s? 9. Una placa porosa colocada paral lam nt a una corri nt d air puro qu fluy con v locidad d 30 pi /s, stá inm rsa por su part inf rior n un r cipi nt con t tracloruro d carbono, cuya t mp ratura s manti n igual a la d la int rfas d l plato y l air . Esta int rfas p rman c hum d c ida con CCl4 gracias a la acción capilar a través d la placa. Si la pr sión d l air s 460 mm Hg y la t mp ratura d la corri nt d air s 262 °F, stim la t mp ratura d la sup rfici , la v locidad d vaporación n un punto ubicado a 6 pulgadas d l bord d ataqu y la v locidad d vaporación total si la placa mid 5x5 pi y la transición a flujo turbul nto s stima para R C = 3.5x105. Us las corr lacion s ad cuadas para stimar la viscosidad d l vapor d CCl4 y par a stimar la viscosidad d la m zcla air vapor, la conductividad térmica, l ca lor sp cífico, así como la difusividad d l sist ma a las condicion s d la int rfas y la corri nt principal d air para pod r obt n r valor s prom dio ad cu ados para la capa límit . No asuma baja v locidad d transf r ncia. 10. Pr diga la v locidad total d pérdida d calor por radiación y conv cción libr , n la u nidad d longitud d una tub ría horizontal r cubi rta con cartón d amianto. El diám tro xt rno d l aislami nto s 15 cm. La sup rfici xt rior d l aislami n to stá a 38 °C y las par d s qu lo rod an y l air ambi nt stán a 27 °C. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢     ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢     ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 384 11. A través d un l cho mpacado con sf ras porosas d 5 mm d diám tro hum d cidas con agua fluy air s co a una atm. y v locidad sup rficial d 1.0 pi /s. Suponga qu la vaporación ocurr n la sup rfici d las sf ras húm das a t mp ratura uniform y constant qu s s ncialm nt la d bulbo húm do. Suponga fl ujo pistón y stim la altura d mpaqu r qu rido para qu l air ll gu a st ar 90% saturado con agua. (Nos r f rimos a air saturado a la t mp ratura d l lí quido). Datos: Pu d usars ρ y µ del ai e seco a 20 °C, con D B = 0.233cm 2/s.L a f acción vacía en el lecho de esfe as es ε = 0.41. ¢ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro B tancourt rajal s Transf r ncia mol cular d calor masa y cantidad d movimi nto ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ' ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢     ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ § ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ 385 An xo F. ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD HIDRAULICA. El análisis dim nsional s aplicabl n todos los campos d la ing ni ría. Los p roc sos físicos pu d n d scribirs por cuacion s corr lacionando cantidad s fís icas dim nsional s o variabl s. Por m dio d l análisis dim nsional stas cantida d s s r organizan n forma d grupos adim nsional s. Los grupos adim nsional s obt nidos no nos dan información ac rca d l m canismo d l proc so p ro nos ayuda n a corr lacionar los datos xp rim ntal s y a d sarrollar r lacion s funcional s ntr las variabl s dim nsional s. F.1. SIMILITUD EOMETRICA. Los límit s físicos d cualqui r sist ma d flujo pu d n d scribirs ad cuadam n t por un núm ro d m didas d longitud L1, L2, . . . Ln. S dic qu xist sim ilitud g ométrica ntr un mod lo y l corr spondi nt prototipo si las r lacion s ntr todas las dim nsion s corr spondi nt s n mod lo y prototipo son igual s: Lm = Lr = R lación d Longitud s; Lp Am L2 m = 2 = L2 r Ap L p También, al dividir las dif r nt s dim nsion s d un sist ma por una arbitraria d llas, digamos L1, l sist ma pu d d finirs por: L1, r2, . . ,rn, dond r2 = L L2 ; rn = n L1 L1 La similitud g ométrica para los dos sist mas s cumplirá si las r lacion s d l ongitud son las mismas para cada sist ma, o s a rim = rip. Los subíndic s m y p s r fi r n a mod lo y prototipo r sp ctivam nt . F.2. SIMILITUD CINEMATICA. Esta s r fi r al movimi nto qu ocurr n l sist ma y consid ra las v locidad s xist nt s. Para qu xista similitud cin mática n dos sist mas g ométricam nt similar s, ¢ ¢ ¢ ¢ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro B tancourt rajal s Transf r ncia mol cular d calor masa y cantidad d movimi nto ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ § ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ § ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 386 las v locidad s n los mismos puntos r lativos n cada sist ma d b n mant n r la s sigui nt s r lacion s v xm v xp = v ym v yp v vm = p, , mm m p Así mismo, los gradi nt s d v locidad n cada sist ma d b n mant n r una r laci ón similar n cada uno. Otras r lacion s útil s son: vm Lm t m Lr = = v p L p t p tr 2 am Lm tm Lr = = a p L p t 2 t r2 p V locidad s. Ac l racion s. 3 Qm L3 t m Lr = m = Q p L3p t p tr Caudal s. F.3. SIMILITUD DINAMICA. Fu rza In rcial d l Mod lo Fu rza In rcial d l Prototipo = Fu rza Viscosa d l Mo d lo Fu rza Viscosa d l Prototipo Fu rza In rcial d l Mod lo Fu rza In rcial d l Prototipo = Fu rza ravitacional d l Mod lo Fu rza ravitacional d l Prototipo A partir d la s gunda l y d N wton s obti n n las sigui nt s corr lacion s: R lación d Fu rzas In rcial s. 3 M m am ρ m Lm L 2⎡L ⎤ Fr = = = ρ L ⎢ r ⎥ 3 2 M p a p ρ pL p t ⎣ tr ⎦ 2 ¢ Esta consid ra las r lacion s ntr las fu rzas in rcial s, normal s, cortant s y d campo qu actúan sobr l sist ma. En sist mas g ométrica y cin máticam nt similar s, la similitud dinámica xist n los mismos puntos r lativos d cada sist ma si: ¢ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro B tancourt rajal s Transf r ncia mol cular d calor masa y cantidad d movimi nto ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ § ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ § ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ §   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 387 o sea: Esta ecuación exp esa la ley gene al de la similitud dinámica ent e modelo y p o totipo y es f ecuentemente llamada la ecuación newtoniana. Relación ent e las fu e zas de p esión y las fue zas ine ciales: 3 2 Ma ρ L ( L t ) ρ L2V 2 ρV 2 = = = p pL2 pL2 p Núme o de Eule (Eu). Relación ent e las fue zas viscosas e ine ciales: Ma Ma ρ L2 v 2 ρ vL = = = 2 τ A µ ( dv dy ) A µ ( v L ) L µ Número de Reynolds (Re). Relación en re fuerzas gravi acionales e inerciales: oude ( aquí E es el módulo de elasticidad dado como fue za po unidad de á ea. La aíz cuad ada de esta elación v/(E/ρ)1/2, se conoce como Núme o de Mach Ma = Velocid ad / Velocidad del sonido. Relación de fue zas de tensión supe ficiales e ine ci ales. Ma ρL2 v 2 ρLv 2 = = σL σL σ Número e Weber (We). σ e la ten ión uperficial expre a a como fuerza por uni a e longitu .         £       £ £ £           £      '         £     Ma La ). Ma ρL2 v 2 v 2 = = Mg ρL3 g Lg aíz cuad ada de esta exp esión v/(Lg)1/2 se conoce como Nume o de Relación ent e las fue zas elásticas y las ine ciales ρL2 v 2 ρv 2 = = E E EL2         '     ¦               ¦     r = ρ L 2V 2 = ρ V 2 ¥ ¥ ¥ ¥    '   ¥          FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 388 En general, el ingeniero e tá intere a o en el efecto cau a o por la fuerza omi nante. En la mayoría e lo problema e flujo pre ominan la fuerza gravitacio nale , vi co a y/o elá tica aunque no nece ariamente en forma imultánea. Rela cione e tiempo. La relacione e tiempo e tableci a para patrone e flujo g oberna o e encialmente por la vi co i a , la grave a , por la ten ión uperfici al y por la ela tici a on re pectivamente: tr = L2 r ; aquí ν es la viscosidad ci emática. 1 νr ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2 1 2 .4. HOMOGENEID D DIMENSION L. Hay t es métodos p incipales de análisis dimensional, todos los cuales inden e sultados idénticos. • El método de Buckingham. quien en 1914 estableció el llama do teo ema π ( ues or la letra griega i denomina los diferentes gru os adimens ionales), que es la base del análisis dimensional, y establece que si una ecuaci ón es dimensionalmente homogénea, uede reducirse a una relación entre un conjun to de roductos adimensionales. Si hay n cantidades físicas (tales como velocida d,   Este p incipio se aplica a elaciones ent e va iables dimensionales. Una ecuació n que contiene va iables dimensionales es dimensionalmente homogénea si cada té mino de la ecuación tiene las mismas dimensiones. .5. METODOS DE N LISIS DIMENSION L.           '    '    ' '   '    (Er ρ )1/ 2   ⎡ Lr 3 ρ tr = Lr ⎤ tr = ⎢ ⎥ ⎣ σr ⎦     ⎛L t = ⎜ ⎜g ⎝ £ £  £      £   £ £ £  £  £ £ £  £  £       £ £ £ £ £  £   £    £            ¥  FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 389 densidad, viscosidad, resión, etc.) y k dimensiones fundamentales (tales como m asa, longitud, tiem o) la correlación final estará en función de (n k) gru os adimensionales. • El método de Rayleigh. quien en 1899 a licó or rimera vez el método del análisis dimensional como se usa generalmente en la actualidad. • El uso de ecuaciones diferenciales. F.5.1. El método de Buckingham. Sean Q1, Q2, . . . Qn, n variables dimensionales de las cuales de ende un roces o físico. Sean r2, . . . rn las relaciones adimensionales de longitud requeridas ara describir geométricamente los límites sólidos del sistema. Las relaciones funcionales entre las tres variables ueden ex resarse como: f 1 (Q 1 ,... Q n ; r 2 ,... r n )= 0 Considerando que nos limitamos a sistemas geométricamente similares, la relación se reduce a: f 2 ( Q 1 ,..., Q n ) (A) El número de roductos adimensionales in de endientes será i = n − k, siendo k el número de dimensiones fundamentales que intervienen. Cada ecuación dimensional homogénea tal como (A) puede reducirse a : πi = Q1 ai Q2 bi . . . Qk ki Qk+i   f 3 Los 1a2 . . (π 1 ,..., π i ) = 0 gru os adimensionales se ex resan así: π1 = Q1a1 Q2b1 . . . Qkk1 Qk+1 π2 = Q Q2b2 . . . Qkk2 Qk+2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .              FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 390 Aquí las cantidades dimensionales que se re iten, Q1, Q2, . . .,Qk deben, entre ellas, contener las k dimensiones fundamentales y ser referiblemente re resenta tivas de variables geométricas, cinemáticas y dinámicas en su conjunto. Los ex o nentes a1, b1,. . .k1; πi sean adimensionales. ai, bi,. . .ki, deben tener valor es tales que los roductos de EJEMPLO F.1. Determine los gru os adimensionales en los que ueden agru arse las variables dimensionales en el caso de la érdida de cabeza en un tubo horizonta l ara flujo turbulento incom resible. Solución. Para cualquier fluido, la érdi da de cabeza se re resenta or la disminución en el gradiente de resión y es un a medida de la resistencia al flujo a través de la tubería. La resistencia es una función del diámetro de la tubería, de la viscosidad y la densidad del fluido, la longitud de la tubería, la velocidad del fluido, y la ru gosidad ∈ del tubo. Este roblema uede escribirse matemáticamente como: f(∆p, d , µ, ρ, L, v, ∈) = 0 donde ∈ es la ugosidad elativa o elación del tamaño de l as i egula idades supe ficiales λ a diámetro d de conducto. Las cantidades fí sicas con sus dimensiones en e sistema Fuerza, Longitud y Tiempo son: Caída de presión ∆p : FL−2 Diámet o d : L Viscosidad absoluta µ : FtL−2 Densidad ρ : Ft2L −4 Longitud L : L Velocidad v : Lt −1 Rugosidad elativa ∈ : L1/L2          ¤       ¤    ¤                 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 391 Hay siete cantidades físicas y t es unidades fundamentales o sea 7 − 3 = 4 té mi nos adimensionales. Seleccionando el diámet o, la velocidad y la densidad (geomé t ica, cinemática y dinámica) como las va iables epetitivas con exponentes desc onocidos, los té minos π son: π1 = [La1] [Lb1 t −b1] [ c1 t 2c1 L−4c1] [ L−2] π 2 = [La2] [Lb2 t −b2] [ c2 t 2c 2 L−4c2] [ t L−2] π3 = [La3] [Lb3 t −b3] [ c3 t 2c3 L−4c3] [L] π4 = ∈ = L 1 / L 2 Se evalúan los ex onentes término a término: π1 : 0 = c1 + 1 ; 0 = a1 + b1 − 4c1 − 2 ; 0 = −b1 + 2c1 ; entonces : a1 = 0 ; b1 = −2 ; c1 = −1 ∆p π 1 = d 0 v − 2 ρ −1∆p = ρv 2 Núme o de Eule . En adelante omitimos los subíndices de los exponentes po sencillez: π2 : 0 = c + 1 ; 0 = a + b - 4c - 2 ; 0 = -b + 2c + 1 entonces: a = −1 ; b = − 1 ; c = − 1 π 2 = µ ρ vd ;ó ρ vd µ Núme o de Reynolds π3 : 0 = c ; 0 = a + b − 4c + 1 ; 0 = −b + 2c entonces : a = − 1 ; b = 0 ; c = 0 π3 = d−1 v0 ρ0 L = L / d π4 = L1/L2 = λ /d                                           FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento 392 Podemos escribir ahora a nueva re ación: ⎡ ∆p ρ vd f1 ⎢ , 2 µ ⎣ ρv , L λ ⎤ , = 0 d d ⎥ ⎦ Tam ié podemos despejar ∆p. Si U = ρg ∆p v 2 (2) f 2 ⎡Re, L , λ ⎤ = ⎢ U 2g d d⎥ ⎣ ⎦ or métodos experime tales se deduce que la caída de presió es fu ció de L/d a la primera pote cia: ∆p v 2 L (2) f 3 ⎡Re, λ ⎤ = ⎢ U 2g d d⎥ ⎦ ⎣ que puede expr esarse como: ∆p = (facto de f icción) (L/d) (v2/2g) U El facto de f icción es una función del núme o de Reynolds y de la ugosidad e lativa. Debemos anota que: i) Si el flujo fue a comp esible, ot a cantidad físi ca debe ía inclui se: el módulo de comp esibilidad E y un quinto té mino adimens ional, E/ρv2 equivalente al núme o de Mach v/(E/ρ)1/2, apa ece ía. ii)Si la g av edad inte vinie a en el p oblema gene al de flujo, la fue za g avitacional se ía ot a cantidad física y tend íamos un sexto té mino adimensional v2/gL , denomin ado el núme o de F oude. iii)Si fue a necesa io conside a la tensión supe ficia l σ, el éptimo término a imen ional toma la forma v2Lρ/σ , llama o el número e Weber.   £     ¤   ¤ ¥     ¥ £       ¥           ¤               ¤        £ ¤   ¥       ¥                ¥  ¤   © FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajale Tran ferencia molecular e calor ma a y canti a e movimiento 393 F.5.2. El méto o e Rayleig . E te méto o e análi i imen ional expre a como Q1 varía con Q2a Q3b. . . Qni. Lo grupo a imen ionale e obtienen evaluan o lo exponente en forma tal que la relación ea imen ionalmente omogénea. Po el método de Rayleigh = α ρa vb Lc µd Pa a que esta elación sea dimension almente homogénea ρa vb Lc µd debe tene las mismas unidades dimensionales de , o sea la exp esión [M/L3]a [L/t]b [L]c [M/Lt]d debe tene las dimensiones [ML/t 2] sí: M: 1=a+d L : 1 = −3a + b + c − d t : −2 = −b − d Tenemos cuat o incógnit as y t es ecuaciones, po lo que debemos esolve t es incógnitas en función de una cua ta. Las t es a se dete minadas deben contene , ent e ellas, todas las d imensiones fundamentales. Pa ece se conveniente esolve a, b, y c en té minos de d (que además está en las t es ecuaciones): a = 1−d               £ £ EJEMPLO F.2. La fuerza F ejerci a obre un cuerpo umergi o en miento e una función e la veloci a el flui o v, la en i a viscosidad µ y una longitud ca acte ística del cue po L. Dete dimensionales en los cuales las va iables dimensionales pueden ción. Las cantidades dimensionales a conside a son , ρ, v, L sistema absoluto de unidades donde gc = 1. un flui o en movi ρ del fluido, la mine los g upos a o ganiza se. Solu y µ si usamos un £ £        £   £                     £ £            £ £  £ £                  £ £ £ £   £  £   £ £    £ £ £       '    394 ⎡ µ ⎤ p F = = α ⎢ ⎥ ρv2 ρ v 2 L2 ⎣ ρ vL ⎦ Este resultado implica u a relació fu cio al e tre /ρ v2 L2 que es el núme o d e Eule y µ/ρvL que es el inve so del núme o de Reynolds. Los valo es de exponen tes y coeficientes debe án (po lo gene al) dete mina se expe imentalmente. Este esultado puede inte p eta se también como que si en dos sistemas geomét icamen te simila es, los núme os de Reynolds son iguales, también lo se án los núme os de Eule . .5.3. Uso de ecuaciones dife enciales. ρ Dv ∂v = ( v ⋅ ∇)v + = µ∇ 2 v − ∇P + ρ g Dt ∂t Limitándonos a la cantidad de movimiento en la di ección x: x x x x + vx + vy + vz ρ ⎢ = ∂x ∂y ∂z ⎥ ⎣ ∂t ⎦ ⎡ ∂v ∂v ∂v ∂v ⎤ = − ⎡ ∂ 2v x ∂ 2v x ∂ 2v x ⎤ ∂p + µ⎢ + + ⎥ + ρg x ∂x ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎦ ⎣ (B) La ecuació (B) es dime sio alme te homogé ea y la divisió por u o de los térmi os os dará grupos adime sio ales. Sólo los térmi os que se aplique al pro lem a particular se i cluye e el a álisis dime sio al (Kli ke erg y Mooy e Chemi cal E gi eeri g rogress., 44: 17 (1948)). El lado izquierdo represe ta las fuer zas i erciales y puede i terpretarse e térmi os de ρv2/L, siendo L una longitud ca acte ística del sistema. El p ime té mino de la de echa ep esenta las fue zas de p esión y se identifica con las dimensiones de p/L; el siguiente son   La ecuación de Navie Stokes (2.45), desc ibe el movimiento de un fluido incomp esible de viscosidad constante.          ¥ ¥ ¥   ¥         ¥ ¥ ¥      ¥     ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥       ¥   ¥   b = 2−d c = 1 + d − b + 3a = 2 − d po d tanto: = α ρ1−d v2−d L2−d µd   ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento          ¥   ¥ ¥         ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ' ¥ ¥         ¥   ' © ¥ ¥ ¥         ¥ ¥ ¥       ¥    ¥ de 395 las fue zas viscosas de dimensiones equivalentes a µv/L2 y el último co esponde a las fue zas g avitacionales. Dividiendo el lado izquie do ent e el segundo de l de echo se obtiene el núme o de Reynolds, elación ent e fue zas ine ciales y viscosas Re = (ρvL/µ); dividiendo el p ime o de la de echa ent e el lado izquie do se obtiene Eu = p/ρv2 el núme o de Eule , elación ent e fue zas de p esión y fue zas viscosas, y dividiendo el lado de la izquie da ent e el último de la de echa se obtiene = v2/gL el núme o de oude, elación ent e fue zas ine cial es y g avitacionales. .6. COMENT RIOS SOBRE EL N LISIS DIMENSION L. π1 = Dakbµcvdρ ; π2 = DekfµgvhCP ; π3 = Dikjµkvlh Al escribir π1 en forma dimens ional M0L0t0T0 = 1 = (L)a(M.L/t4.T)b(M/L.t)c(L/t)d(M/L3) Se igualan los ex onent es de las dimensiones fundamentales a ambos lados de la ecuación: L: 0 = a +b − c +d − 3   notamos que el análisis dimensional no da indicación sob e el mecanismo fundame ntal del p oceso. demás el análisis dimensional de cualquie p oceso es inválid o si cualquie va iable significativa se deja sin inclui . El uso de los métodos de Buckingham y Rayleigh nos p oveen los g upos adimensionales, pe o su signifi cado físico no es evidente. El uso de ecuaciones dife enciales nos pe mite inte p eta físicamente los g upos adimensionales así obtenidos, pe o tampoco nos da info mación sob e el mecanismo fundamental del p oceso, aunque disminuye las pos ibilidades de olvida alguna de las va iables. unque la ecuación dife encial se a demasiado complicada de esolve , si ve pa a obtene los g upos adimensionales pa a el sistema, lo que es muy útil pa a co elaciona los esultados expe imen tales y en la p og amación del estudio básico de cualquie p oceso. EJEMPLO .3a. Convección o zada. Se estudia el caso de un fluido que ci cula po el inte io de un conducto con velocidad p omedia v y que existe dife encia de tempe atu a ent e el fluido y la pa ed del tubo. Las va iables a tene en cuent a y sus dimensiones son: Diámet o del conducto, D [L]; Densidad del fluido ρ [M/ L3]; Viscosidad del fluido µ [M/L.t]; Capacidad calo ífica del fluido CP [Ene gí a/M.T] = [L2/t3.T]; Conductividad té mica del fluido k [Ene gía/t.L.T] = [M.L/t4 .T]; velocidad v [L/t]; Coeficiente de t ansfe encia de calo h [Ene gía/t.L2.T] = [M./t4.T]. Se incluyó una dimensión más, la tempe atu a T pa a desc ibi los efectos caló icos. La ene gía es una cantidad de ivada como fue za po velocidad . Si se escogen como va iables epetitivas D, k, µ y v se encont a á que los t e s g upos adimensionales (7 − 4 = 3) son         ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento                                                                                                               '                    '                                     ' '          '             ' '                   '                               ' de ENÓMENOS DE RAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales ransferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 396 M: 0 = b + c + 1 : 0 = − b t: 0 = − 4b c − d Despejando, c = − 1; d = 1; a = 1 π1 = ρvD/µ = Re (Reynolds); de la misma fo ma, π2 = µCP/k = Pr (Prandtl); π3 = hD/k = Nu (Nusselt). El resultado del análisis dimensional corres ondiente a la transferencia de calor con convección forzada en un conducto circular indica que existe una osible correlación entre las variables que es de la forma Nu = f1(R e, Pr). Si en el caso anterior se hubiera seleccionado como re etitivas ρ, µ, CP y v, el análisis hubie a p oducido los g upos ρvD/µ = Re, µCP/k = P ; y h/ρvCP = St (Stanton). Este se obtiene combinando Nu/Re.P . Entonces una elación alte na co espondiente a la convección fo zada en un conducto ci cula se á St = f2( Re,P ). EJEMPLO .3b. Como ejemplo del uso de ecuaciones dife enciales pa a obtene g up os adimensionales, el flujo en estado estaciona io de un fluido no viscoso en au sencia de efectos g avitacionales se á conside ado. La ecuación dife encial que desc ibe este flujo es: ρ ⎢v x ⎢ ⎣ ⎡ ∂vx + v ∂x y ∂p ∂vx ⎤ ∂vx + vz ⎥ = − ∂x ∂z ⎥ ∂ y ⎦ Las dime sio es de los térmi os so : Izquierda : ρv2/L ; De echa : p/L Dividiend o el té mino de la de echa po el de la izquie da obtenemos el núme o de Eule : p/L p = 2 2 ρv / L ρv Se puede inte p eta este esultado como que en la misma posición elativa, en s istemas geomét icamente simila es, hab á núme os de Eule idénticos.                                 4                        ¥     ¥             4        4  ¥    ¥         397 nexo G. DETERMIN CION DEL TIEMPO NECES RIO P R QUE UN P RTICUL ES ERIC NDO EN UN LUIDO LC NCE SU VELOCID D TERMIN L. INTRODUCCION Una esfe a de ácido benzoico sólido que tiene un diámet o de 1/2 pulgada (12.7 m m.) cae una distancia de 10 pies (3.048 m) a t avés de una columna de agua estan cada. ¿Cuánto ácido se disuelve du ante ésta caída?. El sistema se encuent a a 7 7 ° (25 °C). Las p opiedades físicas pe tinentes a esta tempe atu a son: densid ad del ácido benzoico sólido ρ = 79.03 lb/pie3; densidad del agua ρB= 62.24 lb/p ie3; viscosidad del agua µB=2.16 lb/pie.h . La difusividad en la fase líquida ci cundante a la esfe a D B se estima en 4.695x10 5 pie2/h . La solubilidad o conc ent ación de satu ación ρ S = 0.213 lb de ácido/pie3 de solución acuosa (3.412 m ilig amos/cm3). Cuestionamientos El eje cicio está esuelto suponiendo p opiedades físicas constantes y velocidad unifo me e igual a la velocidad te minal de una pa tícula de diámet o constante . nálisis La densidad y la viscosidad pueden conside a se constantes dada la baja solubili dad del ácido benzoico en el agua y suponiendo sistema isoté mico. El diámet o y la difusividad también si se disuelve una mínima pa te del ácido. La velocidad pod á conside a se constante si la velocidad te minal se alcanza en una f acción de tiempo pequeña compa ada con la du ación del p oceso. Solución      Comenzamos po dete mina el tiempo que se demo a la esfe a pa a hace el eco ido. El movimiento de la pa tícula se dete mina haciendo un balance de las fue z as que actúan sob e ella, a sabe la fue za g avitacional, la fue za de flotació n y la fue za viscosa. Esta última tiene sentido cont a io al movimiento y depen de de la velocidad, inc ementándose   Es co iente obse va que en los eje cicios planteados con fines didácticos se a suma que se ha alcanzado el estado estable. Con esto gene almente se log an sob esimplificaciones de la ealidad física con el fin de hace más sencillo el mane jo matemático. En estos casos las exp esiones que pe miten hace el cálculo tien en solo una va iable independiente. Pa a ilust a esta inquietud analiza emos un o de estos eje cicios típicos (Skelland, pp 281)[1], most ando la mane a de dete mina si es o no co ecta esta suposición. P oblema ' ' C YE     ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento                      '             ' '                                  ' '           '             '           '       '   '       '   '        ' ' '             '                                        ' ' de 398 con la misma hasta que la suma neta de las fue zas se anula, alcanzando la pa tí cula una velocidad constante denominada velocidad te minal (Mc Cabe, pp163)[2]: Re = ρvd P µ 0.5 ⎡ 2 g ( ρ P − ρ )m ⎤ vt = ⎢ ⎥ ⎣ A (1) ρ P C D ρ ⎦ ⎡ g ρ (ρ P − ρ )⎤ K = dP ⎢ ⎥ µ2 ⎣ ⎦ K= 1 3 2 0.5 ⎡ 32(79.03 − 62.24)62.4(3600) ⎤ ⎢ ⎥ = 189 2 12 ⎣ (2.16) ⎦ Esta do este valor e tre 44.0 y 2360, la esfera al fi al te drá u a velocidad ta l que de emos usar la ley de Newto para calcular el coeficie te de rozamie to: CD = 0.44 ⎡ gd ( ρ − ρ ) ⎤ vt = 1.74 ⎢ P P ⎥ ρ ⎣ ⎦ (62.24)(1.047)(3600)⎛ 0.5 ⎞ ⎜ ⎟ Re t = 0 .5 = 1.047 pie / s (2.16) ⎝ 12 ⎠ = 4540 Pa tiendo del eposo, la pa tícula acele a á hasta alcanza esta velocidad. Debe mos tene en cuenta que el flujo obedece á p ime o la ley de Stokes, luego la le y inte media y poste io mente la ley de Newton. Pa timos del balance de fue zas: fue za esultante = fue zas g avitato ias − fue za esistente o de ozamiento.    ¥     ¥ ¥ ¥     ρP : densidad de la pa tícula; ρ : densidad del medio; = (π dP3ρP)/6; P : á ea p oyectada pe pendicula a la P2)/4. CD : coeficiente de rozamiento. Este cambia con imado or una ecuación diferente de endiendo del rango e). Para saber en qué rango está determinamos: m : masa de la pa tícula di ección del flujo = (πd la velocidad y está a rox del número de Reynolds (R     ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento     ¥                                ¥ ©             '       ¥ ' '               ¥    de FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento ⎡ ρ − ρ ⎤ ⎡ ρC D P v 2 ⎤ dv = g⎢ P ⎥ ⎥−⎢ dt ⎣ ρ P ⎦ ⎣ 2m ⎦ 399 (2) (2a) ⎡ ⎡ Re 2 µ 2 ⎤ ⎤ ⎢2mg (ρ P − ρ ) − ρ ρ P C D P ⎢ 2 2 ⎥ ⎥ ⎣ ρ d ⎦⎦ ⎣ ρd P d Re = dt 2µ mρ P Hacemos φ= 2 2mg ( ρ P − ρ )ρd P ρ P P µ 2 (3) d Re φ − CD Re 2 = AP µ dt 2 md P (4) de (1) y m/ρP P=2dP/3 Re t = ρvt d P ; µ φ = C D . Re t2 observamos que ø es el máximo valor de CD—Re2 posible para una partícula de tama ño dP cayendo libremente en un campo gravitatorio de magnitud g. Siendo las part ículas esféricas: φ = Re t2 C D = 3 4 ρg ( ρ P − ρ )d P 2 3µ (5) Integ ando (4) ent e Re0 y Re, y t = 0 y t: µ P t 2d P m =∫ Re d Re Reo ' Multiplicando y dividiendo po ρP P µ2: 2 µ ⎡ 2mg (ρ P − ρ )ρd P − ρ P C D P Re 2 µ 2 ⎤ d Re = P ⎢ ⎥ dt ρ P d P ⎣ ⎦ ' ' ¥ '   ' ¥ De la defi ició del v= µ Re ρd P umero de Rey olds[3]: P µ 2 2m               ' ¥ ' ¥     ' ' φ − C D Re 2 (6) ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro etancourt Grajales Trans erencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 400 Si la partícula parte del reposo, o sea si en t = 0 v0 = 0, entonces Re0 = 0. Pa ra la zona donde es válida la ley de Stokes CD—Re es constante y la ecuación (6) puede integrarse directamente: µ AP t 2d P m = 1 ⎡φ − Reo ⎤ n ⎢ ⎥ F ⎣ φ − Re ⎦ (7) Re < 1.9 = CD—Re Eliminando Re y ø por medio de las ecuaciones (3) y (2 a), podemos expresar el t iempo en función de la velocidad directamente: t= 2d P m ⎡ vt − vo ⎤ n µ FAP ⎢ vt − v ⎥ ⎦ ⎣ (8) ρ P µ P Re < 1.9 Pa a pa tículas esfé icas = Re CD= 24 t= 2 ρ P d P ⎡ vt − vo ⎤ n ⎢ ⎥ 18µ ⎣ vt − v ⎦ Re<1.9 (8.a) vt = 2 g ( ρ P − ρ )ρd P 18µ (9) (9.a) v = vt − vt − v 0 ⎛ 18 µt exp⎜ ⎜ ρ d2 ⎝ P P ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Pa a 500 < Re < 200000, CD es constante y la ecuación (6) puede integ a se di ec tamente: µ AP t 2 DP m = (4C D φ ) − 0.5 ⎡ φ + Re C D ln ⎢ ⎢ φ − Re C D ⎣       '  E este caso vt = 2 g ( ρ P − ρ )ρd P m (  )  ¤ ¤ ¤           ¥  ( ( )( )( φ − Re C D )⎤ ⎥ φ + Re C D )⎥ ⎦ (10) Esta ecuació se usa para Re y Re0 positivos, o sea movimie to hacia a ajo, que es, e térmi os de velocidad:  ¥ ¥ ¥ ¥ ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 401 µ A t 2D m = (4CDφ ) −0.5 (11) Apliquemos ahora las ecuacio es a teriores a uestro caso umérico. Zo a de la l ey de Stokes Reo = 0 ; vo = 0 ; Ref = 1.9 = (ρvdP)/µ vf = . (2.16)(19) 0.5 (62.24)⎛ ⎞ (3600) ⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠ = 4.396 * 10 −4 pie / s o sea 0.042 % de la velocidad te minal De (7) y (5): 2 t= (79.03)⎛ 0.5 ⎞ (3600 ) ⎟ ⎜ ⎝ 12 ⎠ (18)(2.16 ) pa tiendo de (8.a) y (9.a), el espacio eco ido se á t ⎡ ρ d 2 ⎤⎡ ⎡ 18µ t ⎤ ⎤ e = ∫ vdt = vt t − (vt − vo )⎢ P P ⎥ ⎢1 − exp⎢− 2 ⎥⎥ 0 ⎣ 18µ ⎦ ⎣ ⎣ ρ P d P ⎦⎦ (12) ⎤⎤ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦⎥ ⎦ e1 = (1.05) 6.43 *10 −5 ( ) ⎡ ⎡ ⎢ ⎢ ⎡ (79.03)(3600 ) ⎤ ⎢ (− 18)(2.16 ) 6.43 *10 −5 − (1.05)⎢ 1 − exp ⎢ ⎥⎢ 2 2 ⎢ ⎛ 1 ⎞ ⎣ (24 ) (18)(2.16 )⎦ ⎢ ⎢ (3600 )(79.03)⎜ ⎟ ⎝ 24 ⎠ ⎢ ⎣ ⎣ ( ) e1 = 4.8964 *10−10 pie=1.4924 *10−7 mm (Lo único seguro es que tiende a cero) Para la región intermedia (en el rango de Reynolds entre 1.9 y 500), la integrac ión gráfica de la ecuación (6) permite la solución numérica directa: CD=18.5/Re0 .6 Por lo tanto: Re ⎡ ⎤ d Re =∫ ⎢ 2DP m Reo ⎣φ − 18.5Re1.4 ⎥ ⎦ µ A t (13)        ¤ φ = 9.015x106 ⎡ ⎤ 9.015 *106 n ⎢ = 6.43 *10 −5 s 9.015 *106 − 24 *1.9 ⎥ ⎣ ⎦ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¤ ⎡ (v + v )(vt − vo ) ⎤ n ⎢ t ⎥ ⎣ (vt − v )(vt + vo ) ⎦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  © © ©    ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to Re 1.9 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0 v (pie /s) 4.40*10-4 2.31*10-2 4.63*10-2 6.94*10-2 9.26*10-2 1.16*10-1 1/(φ 18.5Re1.4 ) 1.109*10 7 1.110*10 7 1.113*10 7 1.115*10 7 1.120*10 7 1.123*10 7 t (s) 0.00 3 .32*10 3 6.72*10 3 1.01*10 2 1.36*10 2 1.705*10 2 402 Una grá ica de v contra t muestra variación lineal en este rango. El área bajo l a curva nos da el espacio recorrido en este lapso e2 = (17.05 *10 )(11.6 *10 ) = 9.9 *10 −3 −2 −4 2 pie=0.30mm Al in de este período se ha alcanzado el 11.08 % de la velocidad terminal. Para Reynolds entre 500 y 200000 podemos usar la ecuación (11) ⎡ ρ d ⎤ ⎡ ⎡ v + v ⎤ ⎡ vt − vo ⎤ ⎤ t = ⎢ P P ⎥ n ⎢ ⎢ t ⎥⎥ ⎥⎢ ⎣ 0 .66 ρ v t ⎦ ⎣ ⎣ v t − v ⎦ ⎣ v t + v o ⎦ ⎦ ⎤ ⎡ ⎡1.05 + (1.05)(0.99) ⎤ ⎡1.05 − 0.116 ⎤ ⎤ ⎡ (79.03) t=⎢ ⎥⎢ ⎥ n ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ = 0.3 872s ⎣ (24)(0.66)(62.24)(1.05) ⎦ ⎣ ⎣1.05 − (1.05)(0.99) ⎦ ⎣1.05 + 0.116 ⎦ ⎦ Este es el tiempo ecesario para alca zar el 99.0 % de la velocidad termi al. El espacio recorrido ajo éste régime es: ⎤ ⎡ ⎡ 0.66 ρvt t ⎤ ⎢ (vt + v o ) exp ⎢ ⎥ + (vt − vo ) ⎥ ρ d ⎣ ρP dP ⎦ ⎥−v t e3 = P P n ⎢ ⎥ t 2vt 0.33ρ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎡ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤⎤ ⎢1.05 + 0.116 ⎢ ⎢ 0.66 − 62.24 * 0.39 *1.05 ⎥ ⎥ ⎥ 79.03 n ⎢ e3 = ⎢ex p⎢ ⎥ + 1⎥ ⎥ − 1.05 * 0.39 *12 1 0.66 − 62.24 ⎢ 2.1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥⎥ 79.03 * ⎥ ⎥⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 2 4 ⎦ ⎦⎦ ⎣ ⎣ ⎣ e3 = 3.79 pu lg adas= 9.63cm ¥  ¤  ¤ ¥ ¥   ¤  ¥ ¥  ¥ ¥    ¥ ¥    (  ¤ (  ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 403 El espacio total recorrido es e to ces 9.66 cm. o 3.80 pulgadas e u tiempo de 0.404 segu dos. Los diez pies se atraviesa e : 10 − 3.8 12 + 0.4 = 9.22 + 0.4 = 9.62segundos 1.05 Ahora, aplicamos el criterio de Garner y Keey[4] para saber si son importantes l os efectos de la convección natural en este caso. Los efectos de convección natu ral están prácticamente ausentes cuando el número de Sherwood obtenido por conve cción forzada iguala al obtenido por convección libre o natural. Esto se ajusta a valores de Reynolds que satisfagan la siguiente condición: Re ≥ 0.4 Gr Sc 0.5 − 1 6 (14) Gr numero de Grashoff, relación entre fuerzas gravitatorias y viscosas. La difer encia entre las densidades de una solución acuosa saturada de ácido benzoico y 3 agua pura a 77 ° es 0.025 lb/pie 3 2 3 ⎤ gd P ∆ ρ ρ ∞ gd P ⎡ ρ ∞ − 1⎥ = GrD = 2 ⎢ ν ⎣ ρS µ 2 ρs ⎦ ⎛ 0 .5 ⎞ 2 8 ⎜ ⎟ 4.17 *10 (0.025)(62.24 ) 12.4 ⎠ G D = ⎝ = 1.008 *10 4 2 (62.265 )(2.16 ) Sc = ( ) µ ρ DAB = 2.16 = 740 (62.24) 4.695 *10 −5 ( ) Reemplazando en (15): 0.4G 0.5 Sc − 1 6 = (0.4) 1.008 *10 4 (740)6 1 ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥    = 13.4 Esta cantidad es mucho meno que Reynolds (4540), lo que indica que los efectos de la convección natu al son desp eciables.       FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 404 Pa a dete mina el coeficiente de t ansfe encia se puede escoge ent e una g an cantidad de exp esiones dadas en la lite atu a. Usando la exp esión ecomendada po Steinbe ge y T eybal, debemos dete mina p ime o G D Sc = 1.008 * 10 4 (740) = 7.46 * 106 < 108 ( ) (15) Po lo tanto Sho = 2.0 + 0.569(G D Sc ) Sh = Sho + 0.347 ReSc 0.5 0.250 = 31.736 ( ) 0.62 = 529.66 La exp esión más sencilla dada po Ramz y Ma shall pa a casos en que la convecci ón natu al es desp eciable y que según She wood se ajusta bien a datos tomados p a a el sistema ácido benzoico agua: Sh = 2.0 + 0.60 Re 0.5 Sc − 3 = 367 .7 1 (16) Al hace cálculos con ot as exp esiones se hallan valo es que oscilan ent e 332 y 580. Se ía impo tante que en las expe iencias se pudie a info ma la intensida d de la tu bulencia. She wood también info ma que la exp esión de Williams, dada en McAdams pa a t ansfe encia de calo en ai e a esfe as, co elaciona adecuada mente los datos de t ansfe encia de masa: Sh = 0.43 Re 0.56 Sc − 3 = 434.34 1 La esfe a cae 10 pies en 9.62 segundos, o sea que la cantidad disuelta du ante l a caída es: (0.088)(π )⎛ 1 ⎞ (9.62) ⎜ ⎟ ⎝ 24 ⎠ 2 mA = = 1.3 *10 −6 lb de ácido. (3600)     n AS = k ρ ( ρ As − ρ A∞ ) = (0.415 )(0.213 − 0.0 ) = 0.088lb A / h . pie 2   Este valo se ap oxima al p omedio de los t es calculados que es 444.0 Sin emba go, po la info mación de She wood y po se un valo más conse vado adoptamos pa a el p esente cálculo Sh = 368.0 Sh = k ρρ dP DAB ; k ρ = 0.415 pie / h                                                                                                                                                                 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 405 La esfe a pesa inicialmente 3 ⎡π d P ⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 79.03 ⎞ −3 ⎟ = 3.0 *10 lb ⎢ ⎥ ρ P = (π )⎜ ⎟ ⎜ 6 ⎦ ⎝ 24 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎣ 3 Co clusió . O servamos que la esfera pierde el 0.043 % de su masa, co lo que su diámetro di smi uye e 0.0143 %, de tal forma que es correcto supo er d co sta te al igual que vt co sta te. E este caso los efectos de aceleració i iciales so realme t e desprecia les (ocupa el 4.16 % del tiempo total). Si em argo, a medida que l a difere cia de de sidades e tre partícula y fluido dismi uye , este efecto aume ta. RE ERENCIAS 1. SKELLAND, A. H. . "Diffusio al Mass Tra sfer" Joh Wiley So s I c. 1974. 2. M cCABE, W. L., J. C. Smith y . Harriott "Operacio es ásicas de I ge iería Quími ca" McGraw Hill 1991. 3. TREYBAL, R. E. "Operacio es de Tra sfere cia de Masa", Tercera Edició (segu da e español). McGraw Hill I c. 1980 4. LA LE, C. E., a d C. B. Shepherd. "Calculatio of article Trayectories" I d. E g. Chem. 32 : 5, 605 - 617 (1940). ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ©© ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ © ¥    ¥ ¥ ¥   ¥   ©   ¥ ¥ © ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ © ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥     ¥ ¥   ¥ ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 406 A exo H. LA UNCION ERROR Y OTRAS UNCIONES RELACIONADAS. (A) o sea que erf(∞) = 1; erf(−x) = −erf(x), erf(0) = 0 ambién se usa la llamada fu nción complementaria de error: 2 erfc( x) = 1 − erf ( x) = exp(− β 2 )dβ ⎮ π x ∞ (B) (C) Se ueden obtener a roximaciones ara valores grandes y equeños de x. Para valo res equeños de x se usa la serie ara ex (−β2) e (A) y o te emos: erf ( x ) = 2 ⎡ ∞ (− 1) β 2 ⎤ ⎥dβ ⎮ ⎢∑ n! π ⎣ =0 ⎦ (D) Como la serie co verge u iformeme te puede i tegrarse térmi o a térmi o y así: e rf ( x) = 2 ⎡ (− 1)n x 2 n +1 ⎤ ⎥ ∑⎢ π n =0 ⎣ (2 + 1) ! ⎦ ∞ (D.1) ara valores gra des de x se procede así: U a i tegració por partes da ∞ exp − x 2 1 exp − β 2 dβ 2 ⎮ exp − β dβ = − ⎮ 2x 2 β2 ⎮ x ∞ ( ) ( ) ( ) ( ) x Y repitiendo e proceso n veces, encontramos: ¥ ¥  ¥  ¥ ¥ 4 ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥    ¥ ¥ ¥ ¥ Defi imos la fu ció 0 x de error como: 2 erf ( x) = exp(− β 2 )dβ ⎮ ¥ ¥ ¥  ¥  ¥  ¥ ¥ ¥ ¤  ¥   ¥ ¥ © π FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Graja es Transferencia mo ecu ar de ca or masa y cantidad de movimiento 407 exp − x 2 ⎡ 1 1 1⋅ 3 n −1 ⎛ 1 ⋅ 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2 n − 3) ⎞ ⎤ 2 ⎢ x − 2 x 3 + 2 2 x 5 − ⋅ ⋅ ⋅ + (− 1) ⎜ 2 n −1 x 2 n −1 ⎟⎥ + ⎮ exp − β dβ = 2 ⎝ ⎠⎦ ⎣ ∞ ( ) ( ) x ∞ ( ) Esta se ie no conve ge po que la elación ent e el té mino n a el té mino (n − 1 ) no se mantiene meno que la unidad cuando n aumenta. Sin emba go, si se toman n té minos de la se ie, los estantes, o sea: 2 ⎛ 1 ⋅ 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n − 1) ⎞ exp − β dβ ⎜ ⎟⎮ β 2 2 ⎝ ⎠ x ∞ ( ) son menos que el té mino enésimo puesto que exp (− β 2 )dβ dβ < exp (− x )⎮ 2 n ⎮ 2n β ∞ ∞ x x β (D.2) La fu ció erf(x), que aparece e esta discusió , surge frecue teme te e pro le mas de co ducció de calor y difusió molecular. Otras i tegrales importa tes qu e lleva a fu cio es de error so : π 0 2 sen( 2 βy ) dβ = erf ( y ) ⎮ exp(− β ) 2 β ¥ odemos de esta ma era parar e cualquier térmi o y tomar la suma de los térmi s hasta allí como u a aproximació para la fu ció , sie do el error e valor a oluto, me or que el último térmi o que retuvimos. De esta forma, erfc(x) puede alcularse, uméricame te, para valores gra des de x, a partir de la formula: erfc( x) = exp(− x 2 ) ⎡ 1 1 1* 3 1* 3 * 5 ⎤ ⎢ x − 2 x 3 + 2 2 x 5 − 2 3 x 7 + ..⎥ π ⎣ ⎦  ¥ ¥ ¥   ¥   ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥ 2 (− 1) ⎛ 1 ⋅ 3 ⋅ ⋅ ⋅ (n2n − 1) ⎞ exp − β dβ ⎜ ⎟⎮ β2 2 ⎝ ⎠ n x ¤ ¤ ¤ ¥ ¥   ¥ ¥ ¥ ¥ ¥       ¥       ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥   ¥ ¥   ¤ © o s c . ∞ ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 408 ∞ H.1. DERIVADAS E INTEGRALES DE LAS UNCIONES DE ERROR. de error: Φ ( x) = así : ⎤ exp(− x 2 ) Φ 1 ( x) = ⎡ 2 ⎢ π⎥ ⎣ ⎦ ⎤ x exp(− x 2 ) , etc. Φ 2 ( x) = ⎡− 4 ⎢ π⎥ ⎣ ⎦ E pro lemas de co ducció de ca lor y tra sfere cia de masa difusio al, so más importa tes las i tegrales repet idas de la fu ció de error. Escri imos : ∞ = 1,2,3,..., π − xerfc ( x) ambién : i 2 erfc( x) = 1⎡ 2 1 2 2 ⎤ ⎢(1 + 2 x )erfc( x) − π x ex (− x )⎥ = 4 [ erfc( x) − 2 xierfc( x)] 4⎣ ⎦ (E)  ¥ do de i0 erfc(x) = erfc(x) Tam ié se a revia i erfc(x) e I tegra do por partes te emos : ierfc ( x) = exp( − x 2 )  ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ i 0 erfc( x) = ∫ i −1erfc( β )dβ , lugar de i1 erfc(x). ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ d erf ( x) dx ¥ or derivació sucesiva de la fu ció ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  π 0 2 ex (− y 2 )erf ( y ) ⎮ exp(− β ) se (2 βy )dβ = 2 ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥ ¥ 4 © ¥ ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 409 (F) d2 d + 2 x − 2ny = 0 2 dx dx H.2. UNCION DE ERROR DEL ARGUMEN O COMPLEJO. Esta función, que es de gran importancia en conducción de calor, está definida p or : ⎡ 2i w( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) = exp(− z 2 ) ⎢1 + π ⎣ do de z = x + iy, o sea w(iz) = exp(z2) erfc(z). Los resultados ( D.1 ) y ( D.2 ), demostrados para z real, se cumple tam ié si z es complejo. H.3. UNCION GAMMA. ⎤ exp(t 2 )dt ⎥ ∫ 0 ⎦ z Γ( z ) = ∫ t z −1 exp(−t )dt = k z ∫ t z −1 exp(−kt )dt; 0 0 ∞ ∞ z, k > 0 Llamada Integral de Euler Γ( z ) = Lim ∞ n n!n z z ( z + 1)...( z + n Llamada Fórmula de Euler. Aqui z es distinto de 0, -1, -2, ...,. ¥ 4 ¥ 1 Así mismo sigue de ( F ) que = i³ erfc(x) satisface la ecuación diferencial  ¥ ¥ ¥ y por i ducció la formula de recurre cia ge eral es e to ces: 2 i -2erfc(x)- 2 x i -1erfc(x) de la que ( E ) es el caso para se deduce que : i erfc (0) = 1 2 Γ ( 1 n + 1) 2 n ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ ¥  ¥ ¥ 1 1  ¥ ¥  i erfc(x) = = 2. De ( ) FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt calor masa cantidad de movimiento 410 ∞ 1 = z exp(rz ) π (1 + z ) ex (− z ; n n n =1 Γ( z ) [ ] z <∞ Llamada Producto Infinito de Euler. r = Lim[1 + 1 / 2 + 1 / 3 + ... + 1 / m − 1nm] = 0.5772156649 m − >∞ Llamada Constante de Euler. Γ(z) = z! = Γ(z+1) Γ (z+1) = zΓ(z) = z! = z(z-1)! Γ(1 / 2) = 2∫ exp(−t 2 )dt = π = (−1 / 2)! 0 ∞ Γ (3/2) = (1/2) √π = (1/2)! Γ ( n + 1 / 4) = 1.5.9.13...)( 4n − 3) Γ(1 / 4); 4n Γ (1/4) = 3.6256099082... Γ( n + 1 / 3) = 1.4.7.10...)(3n − 2) Γ(1 / 3); 3n Γ (1/3) = 2.6789385347... Γ ( n + 1 / 2) = 1.3.5.7...)( 2n − 1) Γ(1 / 2); 2n 2.5.8.11...)(3n − 1) Γ( 2 / 3); 3n Γ ( n + 2 / 3) = Γ (2/3) = 1.3541179394. . . Γ ( n + 3 / 4) = 3.7.11.15...)( 4n − 1) Γ(3 / 4); 4n Γ(3/4) = 1.2254167024.. § rajales Transferencia molecular de  1 FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt calor masa cantidad de movimiento 411 Anexo I. EXPONENTES DE e Los exponentes de e pueden expandirse en series de Maclaurin para dar: u2 u3 u4 exp(u ) = 1 + u + + + + ⋅⋅⋅ 2! 3! 4! exp(α + iβ) puede escri irse como exp(α)exp(iβ), y cu ndo u = iβ: i2 β 2 i3β 3 i4β 4 exp(iβ ) = 1 + iβ + + + + ⋅⋅⋅ 2! 3! 4! Con se en que i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, etc, podemos escri ir : exp(iβ ) = 1 + iβ − β2 2! −i β3 3! + β4 4! +i β5 5! − β6 6! − ⋅⋅⋅ Agrup ndo p rtes re les e im gin ri s: exp(iβ ) = 1 − β2 2! + β4 4! − β6 ⎡ ⎤ β3 β5 β7 + ⋅ ⋅ ⋅ + i ⎢β − + − + ⋅ ⋅ ⋅⎥ 6! 3! 5! 7! ⎣ ⎦  ¡ § rajales Transferencia molecular de ¡ ¡ ¡  ¡ 1 ¡ ¡ ¡  ero tam ié por series de Maclauri : se ( β ) = β − Por lo tanto β3 3! + β5 5! − β7 7! y cos(β ) = 1 − β2 2! + β4 4! − β6 6! + ⋅⋅⋅ exp(iβ) = cos(β) + ise (β) exp(αx).exp(ißx) = exp(αx)[cos(βx) + isen(βx)] En form simil r se puede demostr r que: exp(−iβ) = cos(β) − isen(β) o se que exp(α − iβ)x = exp(αx).exp(−iβx) = exp(αx)[cos(βx) − isen(βx)] T m ién: ¡ ¡ ¡ ¥  ¡ ¥ ¥  ¥ ¡ © FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 412 sen( βx) = exp(iβx) − exp(−iβx) 2i cos( βx) = exp(iβx) + exp(−iβx) 2i L correspondenci con l s funciones hiper ólic s surge lógic mente: exp(αx) = c osh(αx) + senh(αx) exp(−αx) = cosh(αx) − senh(αx) senh(αx ) = exp(αx ) − exp( −αx ) 2 cosh(αx ) = exp(αx ) + exp( −αx ) 2 sen(x) = −isenh(ix) senh(ix) = isen(x) cos(x) = cosh(ix) cosh2(x) = 1 + senh2(x) senh(x y) = senh(x)cosh(y) cosh(x)senh(y) cosh(x y) = cosh(x)cosh(y) se nh(x)senh(y) senh(2x) = 2senh(x)cosh(x) cosh(2x) = cosh2(x) + senh2(x) 2senh2(x/ 2) = cosh(x) − 1 2cosh2(x/2) = cosh(x) + 1 1/senh(x) = ln[x + (x2 + 1)½] 1/cosh( x) = ln[x + (x2 − 1)½] d[senh(x)] = cosh(x)dx d[cosh(x)] = senh(x)dx d[cos(x)] = −sen(x) d[sen(x)] = cos(x) $ ¡ ¡ ¡ ¡ $ ¡ ¡ ¡  ¡ $ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ $ ¡ ¡ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 413 Anexo J. DEFINICION DE UN VALOR MEDIO En gener l si y = f(x) (ver figur ), el v lor medio o promedio de y puede defini rse como: x2 ym = ∫ f ( x)dx x1 x2 − x1 (A) En (A) el numer dor es el áre jo l curv entre x1 y x2. Nótese que ym*(x 2 − x1) = áre jo el rectángulo de ltur y = ym y ncho x2 − x1, y x2 x1 ∫ ydx Es decir ym se define como el v lor de y p r el cu l est s áre s son igu les. L definición nterior se plic cu ndo x represent un dist nci line l en coor den d s c rtesi n s. Por ejemplo, l temper tur promedio de un pl c Tm = 1 x T ( x )dx Lx ∫ 0 L (B) En gener l l temper tur en un cuerpo rect ngul r v rí con tod s l s coorden d s esp ci les x, y, z. De est m ner el promedio volumétrico puede definirse co mo: Tm = 1 T ( x, y, z )dV V∫ (C) ¡ En coorden d s c rtesi n s dV = dx.dy.dz. Si se tr t de l pl c pl n con T v ri ndo sólo en l dirección z, dV = Szdz, con Sz const nte y (C) se reduce (B) . P r el c so de un cilindro en el que podemos consider r que sólo h y v ri ció n r di l de temper tur , R R 1 2 T= πT (r )Lz (2rdr ) = 2 ∫ T (r )rdr (D) πLz R 2 ∫ R 0 0 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ = áre jo l curv y = f (x) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡  ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 414 Este romedio volumétrico nos da el resultado más significativo desde el unto d e vista físico. J.1. DETERMINACIÓN DE LA TEMPERATURA MEDIA GLOBAL, DE MEZCLA O PROMEDIA DE BLOQU E. En el texto se define la velocidad romedia de flujo en un conducto circular de área seccional Az = πR2 como la velocidad vm que nos ermite calcular el caudal volumétrico de flujo multi licándolo or Az; o sea, Q’ = vmAz. Como vz varía sob re el área transversal, el caudal volumétrico se determina considerando el flujo a través de un elemento de área dAz = 2πrdr, e integrando sobre la sección tran sversal: Q = ∫ dQ = ∫ v z dAz Az 1 vm = v z dAz = Az ∫ ∫ v (2πrdr ) z R 0 ∫ 2πrdr 0 R (E) Su ongamos ahora que la tem eratura varía con la osición radial ero que la vel ocidad no. Podríamos definir una tem eratura media volumétrica como Tm = ∫ T (r )rdr 0 R ∫ rdr 0 R (F) Pero si la velocidad también variara en la sección transversal, tendría un mejor sentido físico definir un romedio global de tem eratura Tm como la tem eratura que nos ermitiera calcular el flujo de ental ía (contenido de calor) a través de la sección transversal, a artir de la velocidad romedio y el área total. Pa ra un fluido incom resible, el flujo total de ental ía en la sección transversal es: ∫ ρ Cp(T − T                    0 R R )vz d z que debe se igual a ρCp (Tm – TR) vm z igualando, pa a un fluido con ρCP constante, obtenemos: '     ' 415 Tm − TR = ∫ ρ Cp(T − TR )vz d z 0 R ρ C P vm z = ∫ (T − T 0 R z R R Como TR es constante: Tm = ∫ (Tvz )(2πrdr 0 R ∫ v (2πrdr ) z R = ∫ Tv rdr z R 0 R (G) 0 ∫ v rdr z 0     ∫ v d 0     )v z d   ENÓMENOS DE TR N ERENCI . Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula calo masa y cantidad de movimiento           ' ' ' '    de Esta ex resión difiere de la tem eratura romedio (F) orque se incluye la veloc idad como factor. Nótese que serán diferentes a menos que el erfil de velocidad sea lano. El romedio global de concentraciones cAm se define en forma similar , reem lazando T or cA o ρ . Este p omedio se conoce también como tempe atu a m ásica, se aplica a flujo inte no y ep esenta la tempe atu a que tend ía el flui do comp endido en un secto del conducto de longitud dife encial, después de hom ogeneiza se. Difie e de la tempe atu a local que es la tempe atu a en cualquie punto del sistema en un momento dado. Los valo es T que apa ecen en (G) son valo es puntuales de la tempe atu a en el elemento de longitud dife encial de supe f icie d z o si el conducto es cilínd ico 2πrdr.                                               '               '   FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 416 Anexo K. FUNCIONES BESSEL K.1. ECUACIÓN DE BESSEL. La ecuación lineal de segundo orden x2 d2y dy + y + x2 − p2 y = 0 2 dx dx ( ) ocurre con mucha frecuencia en problemas prácticos. Como resultado los valores n uméricos de la solución por series de esta ecuación se han calculado y tabulado como función de x, p. Esta ecuación se conoce como “ecuación de Bessel ( riedric h Wilhelm Bessel, 1784 1846) y sus soluciones como “funciones de Bessel”. El ori gen, x = 0, es un punto singular de ésta ecuación, por lo que el método de robe nius puede utilizarse para encontrar dos soluciones linealmente independientes q ue se colocan en la forma más frecuentemente usadas introduciendo la función Gam ma (tercera letra del alfabeto griego). K.2. LA UNCIÓN GAMMA. Γ(p). Se define para números complejos p con parte positiva real como Γ( p ) = ∫ e − x x p −1 dx 0 ∞ Nos referiremos solo números p reales mayores que 0, sin considerar lejos. La integral implicada es impropia, o sea que primero debemos converge lo cual se cumple si p > 0 (la única fuente de dificultad to). Las propiedades fundamentales de la función gamma son Γ(p + 1) valores comp comprobar si es el infini = pΓ(p) p>0 Si n es un entero positivo Γ(n + 1) = n! Γ(1) = 0! = 1 Se puede extender esta de finición para el factorial de reales positivos no enteros   ¨ GAMMA   FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt calor masa cantidad de movimiento 417 Γ(p + 1) ≡ p! Así Γ( 1 2 ) = 2 ∫ e − x dx = 2 π / 2 = π 2 ∞ 0 ( ) ; Γ ( 3 2 ) = ( 1 2 )Γ ( 1 2 ) = ( π / 2) 0 1 π 2a a K.3. FORMA GENERALIZADA DE LA ECUACIÓN DE BESSEL: La ecuación diferencial que se escribe a continuación uede reducirse a la forma de la ecuación de Bessel haciendo las transformaciones de variables a las que h alla lugar: d2y dy x + x(a + 2bx r ) + c + dx 2 s − b(1 − a − r ) x r + b 2 x 2 r y = 0 2 dx dx 2 [ ] Usando las propiedades de la función gamma y sujeto a los valores de p su soluci ón puede obtenerse en términos de funciones de Bessel. La solución generalizada es y=x (1− a ) 2 e −( bx r r ) ⎡ ⎛ d ⎞⎤ ⎛ d ⎞ ⎢c1Z p ⎜ x s ⎟ + c2 Z − p ⎜ x s ⎟⎥ ⎜ s ⎟⎥ ⎜ s ⎟ ⎢ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎣ 2 1 ⎛1− a ⎞ p= ⎜ ⎟ −c donde s ⎝ 2 ⎠ Aquí Z p ep esenta una de las funciones de Be       $  Cambiando variables en la integral ∞ − ax ∫ x e dx = odemos evaluar muchas integrales im ro ias § rajales Transferencia molecular de 1 ssel: a. Si b. Si d s es eal y p no es ni ce o ni un ente o, Zp es Jp; Z−p es J−p d s es eal y p es ce o o un ente o Zp es Jp; Z−p es Yp. d s es imagina io y p no es ni ce o ni un ente o, Zp es Ip; Z−p es I−p d s es imagina io y p es ce o o un ente o Zp es Ip; Z−p es Kp. c. Si d. Si                         FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Rami o Betancou t G ajales T ansfe encia molecula de calo masa y cantidad de movimiento 418 La función de Bessel de p ime a clase y o den p ( −1) k ( x 2 )2 k + p J p(x) = ∑ k = 0 k !( k + p )! ∞ ; J − p ( x) = ∑ (−1) k ( x 2 ) 2 k − p k!(k − p )! k =0 ∞ La función Bessel de segunda clase y o den n: 2 ⎧⎛ x 1 n−1 (n − k − 1)!(x / 2) ⎞ Yn ( x) = ⎨⎜ ln + γ ⎟ J n (x) − ∑ 2 k =0 k! π ⎩⎝ 2 ⎠ γ = 0.5772157... la constante de Euler 2k −n ( / 2)2k +n ⎫ 1 ∞ k +1 + ∑ (− 1) [φ (k ) + φ (k + n)] ⎬ 2 k =0 k!(n + k )! ⎭ φ(0) = 0 φ (k ) = ∑ 1 1 = 1+ + 2 m=1 m k + 1 k k ≥ 1; I p (x ) = i −p (x / 2)2 k + p J p (ix ) = ∑ k =0 k!(k + p ) ! ∞ La unción essel modi icada de segunda clase y orden n K n (x ) = π 2 i n+1 [J n (ix ) + i n (ix )] Los valores hacia los cuales tienden las funciones de Bessel cuando x → 0 o cuan do x → ∞ son im ortantes en la solución de roblemas rácticos. Para valores eq ueños de x (x < 0.5) son útiles las siguientes a roximaciones: J (x ) ≅ x 2 ! J − p (x ) ≅ 2 p x− p (− p )! p −p (x ) ≅ − 2 ( p − 1)! x p     ¨ ( ( ¨    ) ( La unción de essel modi icada de primera clase y orden p                     )   (  " π ≠0 I − p (x ) ≅ ; K p ( x ) ≅ 2 p −1 ( p − 1)! x − p p≠0 ; K 0 ( x ) ≅ − ln x  2 x− p (− p )!  x 2   ¨ 0 ( x ) ≅ 2 ln x π I (x ) ≅ ! ENÓMENOS DE RAN ERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales ransferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento 419 Se observa que solamente Jp e Ip son finitas en x = 0. Para valores grandes de x (x → ∞), se pueden usar las siguientes aproximaciones: J p (x ) ≅ I p (x ) ≅ 2 π π ⎞ ⎛ cos⎜ x − − ⎟ 4 2 ⎠ πx ⎝ ex 2πx ; (x ) ≅ 2 π π ⎞ ⎛ cos⎜ x − − ⎟ 4 2 ⎠ πx ⎝ ; K p (x ) ≅ π 2x e−x anto Jp como p oscilan como una onda sinusoidal amortiguada y se aproximan a c ero cuando x → ∞. La amplitud de las oscilaciones alrededor de cero decrece a me dida que x aumenta. Los ceros de Jp+1(x) separan los ceros de Jp(x); es decir, e ntre dos valores de x que hacen Jp+1 igual a cero existe un y solo un valor de x que hace Jp igual a cero. Esto mismo se aplica para p+1 y p. Por su parte Ip aumenta continuamente con x y Kp decrece en forma continua. Las relaciones sigui entes son de notable utilidad: ⎧αx p Z p−1 (αx) d p ⎪ x Z p (αx) = ⎨ p dx ⎪− αx Z p−1 (αx) ⎩ [ ] Z = J ,Y , I Z=K Z = J ,Y , K Z=I ⎧− αx − p Z p +1 (αx) d −p ⎪ x Z p (αx) = ⎨ − p dx ⎪αx Z p +1 (αx) ⎩ [ ] p ⎧ ⎪αZ p−1 (αx) − x Z p (αx) d ⎪ Z p (αx) = ⎨ dx ⎪− αZ (αx) − p Z (αx) p −1 p ⎪ x ⎩ [ ] Z = J ,Y , I Z=K p ⎧ ⎪− αZ p+1 (αx) + x Z p (αx) d ⎪ Z p (αx) = ⎨ dx ⎪αZ (αx) + p Z (αx) p ⎪ p+1 x ⎩ ¨ 4 ¨  ¨ 4   ¨ 4  [ ] Z = J ,Y , K Z=I 2 d I p (αx ) = α I p −1 (αx ) + I p +1 (αx ) dx [ ] FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. R miro Bet ncourt Gr j les Tr nsferenci molecul r de c lor m s y c ntid d de movimiento 420 2 d K n (αx ) = −α [K n−1 (αx ) + K n+1 (αx )] dx Z p (αx) = I p (αx) = K n (αx) = αx 2p [Z p +1 (αx) + Z p−1 (αx) ] Z = J ,Y − αx I p+1 (αx) − I p−1 (αx) 2p [ ] αx 2p [K n+1 (αx) + K n−1 (αx)] J −n (αx) = (−1) n J n (αx)⎫ ⎪ I −n (αx) = I n (αx) ⎬ cuando n es cero o entero ⎪ K −n (αx) = K n (αx) ⎭ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ENÓMENOS DE TRAN ERENCIA. Ramiro Beta court Grajales Tra sfere cia molecular de calor masa y ca tidad de movimie to 421 BIBLIOGRA IA. ADAMS, J. A. a d D. . Rogers: “Computer Aided Heat Tra sfer A aly sis” McGraw-Hill 1973 BARRER. "Difusió e y a través de Sólidos". McMilla N. Y . 1941. BARROW, G. M. " hysical Chemistry." McGraw Hill, I c. 1961. BENNETT, C. O. y J. E. Myers. "Mome tum, Heat, a d Mass Tra sfer " Segu da Edició . McGraw H ill, I c. 1974. BIRCHENALL."Los Meca ismos de Difusió e el Estado Sólido". Met alurgical Reviews 3 : 235 - 277 (1958). BIRD, R. B., W. E. 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