2.1 Funciones Vectoriales – Ejercicios Resueltos CÁLCULO III PARA INGENIERÍA 1. Sea C una curva definida por el sistema Con y constantes. a) Representar C de la forma con b) Determinar el punto de C en el cual c) Obtener vectores en cualquier punto de C. d) Calcular la curvatura e) Calcular la torsión y determinar el punto en que es máxima. . 1) a) SOLUCIÓN: La curva C que nos da es un sistema de ecuaciones, lo cual a nosotros nos piden parametrizar C, entonces en la ecuación: Para esta ecuación siempre se parametriza de la siguiente forma: Con la parametrización señalada anteriormente, verifiquen si pertenece a la ecuación del cilindro. Ahora me falta parametrizar , con la otra ecuación tengo: Por tanto la curva C parametrizada es: b) SOLUCIÓN: Al obtener , primero tenemos que derivar con respecto a , obteniendo: Luego calcularemos su norma: 1 J.A.L.P A.P . para resolver la siguiente ecuación: Después calculamos el punto evaluando con .1 Funciones Vectoriales – Ejercicios Resueltos CÁLCULO III PARA INGENIERÍA Hacemos . lo primero que tenemos que hacer es obtener la segunda derivada de con respecto a Luego calculamos el producto cruz entre esos dos vectores: 2 J.2.L. obteniéndose: c) SOLUCIÓN: El vector tangente se calcula con la siguiente fórmula: El vector binormal se calcula de la siguiente manera: Es una operación cruz entre dos vectores (x) Entonces. 2. por tanto.L.1 Funciones Vectoriales – Ejercicios Resueltos CÁLCULO III PARA INGENIERÍA Calcularemos su norma: Por tanto. llamaremos: Estudiaremos los valores extremos (si es que tiene) de la función buscamos los puntos críticos: Hago . el vector binormal en cualquier punto de la curva C es: Y por último. Derivaremos dos veces y . teniendo los puntos críticos 3 J. puesto que en el numerador es una constante. ésta dependerá del denominador. el vector normal está dado por: d) SOLUCIÓN: La curvatura es un escalar y se calcula de la siguiente forma: Entonces tenemos: Vemos que en la curvatura.A.P . L.A. Sea C una curva dada por . entonces el valor mínimo de la función esta dado en el punto Por tanto la curvatura como depende de la función en el denominador. parametrizada en función de la longitud de arco . evaluada en .2. cuando es mínimo. entonces la curvatura es máxima. Para verificar (opcional) la torsión se calcula usando la fórmula: Calculamos la tercera derivada teniendo: Teniendo que la torsión: 2. Por tanto. para encontrar máximos y/o mínimos: Como es siempre positivo.1 Funciones Vectoriales – Ejercicios Resueltos CÁLCULO III PARA INGENIERÍA Evalúo en la segunda derivada. nos dará el valor máximo de la curvatura: e) SOLUCIÓN: Como el vector en consecuencia la torsión es una función vectorial constante (puesto que no depende de . que tiene curvatura y torsión constantes a) Probar que el vector es constante b) Obtener el valor de 4 J. o viceversa.P . en todo punto de C. . entonces el vector es constante. longitud de C. entonces: Usando las fórmulas de Frenet tenemos que: Por ende: Como la derivada es 0. es perpendicular a d) Obtener los versores .P .A. con a) Determinar el mayor intervalo b) Calcular c) Verificar que . calcularemos: Como son constantes. en el punto 5 J. Sea C una curva dada por . debemos probar que la derivada de ese vector con respecto a tiene que ser cero (puesto que la derivada de una constante es 0).L.2. Entonces. b) SOLUCIÓN: La norma se calcula de la siguiente forma: Pero Entonces la norma es: 3. si en el cual la curva C es regular.1 Funciones Vectoriales – Ejercicios Resueltos CÁLCULO III PARA INGENIERÍA 2) a) SOLUCIÓN: Para demostrar que el vector dado sea constante. P .L.A.1 Funciones Vectoriales – Ejercicios Resueltos CÁLCULO III PARA INGENIERÍA 3) a) SOLUCIÓN: El intervalo debe ser el dominio de la curva siguientes condiciones: por tanto se debe cumplir las Se hace eso. entonces la longitud de la curva está dada por la expresión: Primero calcularemos la norma: Por tanto. y el intervalo es: b) SOLUCIÓN: Dado que . Para que la curva C sea regular se tiene que cumplir que: Derivamos con respecto a Por tanto C es regular.2. la longitud de curva es: c) SOLUCIÓN: Para ver si son perpendiculares basta hacer la siguiente operación: 6 J. puesto que son raíces cuadradas. obtendremos el punto son perpendiculares tal que Es decir: Del cual se obtiene Evaluaremos: Calcularemos las normas: Por tanto los versores: 7 J.L.1 Funciones Vectoriales – Ejercicios Resueltos CÁLCULO III PARA INGENIERÍA Calcularemos: Luego aplicamos el producto punto de: Como el producto punto nos dio 0.2.P .A. entonces los vectores d) SOLUCIÓN: Primero. 4) a) SOLUCIÓN: La forma de la ecuación de la recta tangente es: Calcularemos Así que Por tanto la ecuación de la recta tangente en el punto dado es: Quedaría: Despejando tenemos la ecuación de la recta tangente: 8 J.2. Dada la curva . a) Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto .1 Funciones Vectoriales – Ejercicios Resueltos CÁLCULO III PARA INGENIERÍA 4.L.A.P . c) Determinar que la curva es plana y obtener la ecuación del plano en que reside la curva. b) Obtener la ecuación del plano osculador en el punto . Calculamos la tercera derivada Por tanto. entonces.L. La ecuación del plano osculador es: c) SOLUCIÓN: Para que la curva sea plana.P . la torsión es 0. evaluarla y aplicar el producto cruz entre esos dos vectores. basta que la torsión en todo punto sea 0. y eso quiere decir que la curva es plana.2.1 Funciones Vectoriales – Ejercicios Resueltos CÁLCULO III PARA INGENIERÍA b) SOLUCIÓN: La forma de la ecuación del plano osculador es: Como nos piden en el mismo punto del ítem anterior. faltaría calcular la segunda derivada de la curva. y ésta curva reside en el plano osculador 9 J.A. 2. la longitud de la curva C entre esos dos puntos es: Calculando la norma: Entonces: 10 J.L. . 5) a) SOLUCIÓN: Para que la curva C sea regular se tiene que cumplir: Derivaremos a con respecto a Pero claramente debido a que hemos verificado que la curva C es regular. lo cual: Donde y . y además es continua. por tanto.1 Funciones Vectoriales – Ejercicios Resueltos CÁLCULO III PARA INGENIERÍA 5. por tanto b) SOLUCIÓN: Primero debemos buscar los puntos del A hacia B.A. b) Calcular la longitud de segmento de C comprendido entre sus puntos y c) Calcular d) Determinar los puntos de C en que la curvatura sea máxima y puntos en que sea mínima. Sea C una curva dada por a) Verificar que C es regular.P . Con el punto es un valor mínimo para y valor máximo para la curvatura. los valores de la curvatura en esos puntos críticos son: 11 J.1 Funciones Vectoriales – Ejercicios Resueltos CÁLCULO III PARA INGENIERÍA c) SOLUCIÓN: Primero obtendremos la curvatura y la torsión .2. el cociente entre la curvatura y la torsión es: d) SOLUCIÓN: La curvatura va ser valor máximo si la función es valor mínimo. Y el valor mínimo para la curvatura es cuando .L. (Ustedes deriven y busquen el punto crítico).P . Por tanto. calculando Entonces la curvatura se calcula de la siguiente forma: Y la torsión Por tanto.A. J. entonces hemos probado que el ángulo es constante. tiene una escalera adosada por el exterior en forma de espiral cuya ecuación paramétrica es a) Probar que las rectas tangentes en cada punto a la espiral forman un ángulo constante con el eje z. se debe probar que: Derivamos y calcularemos su norma Y el Como . o sea: . por tanto. para que en cada punto la recta tangente forma un ángulo constante con respecto al eje z.L. para este caso. no la norma). podremos obtener el valor de Por tanto. para que el ángulo sea de 12 si . Un edificio de 10 pisos de forma cilíndrica con una base que es una circunferencia de 30 mts de radio.P .2.A. b) SOLUCIÓN: Con lo deducido anteriormente. el valor de tiene que ser . b) Determinar el valor que debe tomar para que el ángulo sea c) Determinar la longitud de la rampa de la escalera medida por el lado interior desde el suelo hasta el último piso (considerar que cada vez que se incrementa en se sube un piso). Entonces quedaría: es una constante. es el vector (solamente toma la dirección. 6) a) SOLUCIÓN: La recta tangente.1 Funciones Vectoriales – Ejercicios Resueltos CÁLCULO III PARA INGENIERÍA 6. A. entonces en plano cartesiano tenemos que: Como por ende . que cruza a la superficie . Sea la trayectoria a) Hallar las coordenadas del punto en que esta trayectoria cruza la superficie: b) Calcular la velocidad y la rapidez en dicho punto. pero fíjese que primero vamos a calcular la longitud de la rampa pero en un piso. la velocidad y la rapidez son conceptos distintos. b) SOLUCIÓN: Para que sepan. la longitud de la rampa de la escalera medida por el lado interior desde el suelo hasta el último piso es de: 7. la rapidez solamente tiene la norma.2.L.1 Funciones Vectoriales – Ejercicios Resueltos CÁLCULO III PARA INGENIERÍA c) SOLUCIÓN: Tenemos que calcular la longitud de la curva. Entonces: Por ende. Por fórmula la velocidad se obtiene: Mientras que la rapidez se obtiene: 13 J. Pero como por tanto nuestro punto de impacto es: (punto de impacto).P . 7) a) SOLUCIÓN: Tenemos que encontrar el punto dada. e) Determine el valor de la torsión en el punto de impacto. en cambio. c) Calcular la longitud de la trayectoria hasta el punto de impacto si parte de d) Determine las componentes tangencial y normal de la aceleración en el punto de intersección. entonces la trayectoria cruza en el instante . puesto que la velocidad aparte de tener la norma. para luego multiplicar por 10 (que es la altura del edificio). también indica dirección. la velocidad en el punto de impacto es: Y la rapidez es: c) SOLUCIÓN: La longitud de la trayectoria es: d) SOLUCIÓN: Por fórmula las componentes tangencial y normal de la aceleración se calcula respectivamente así: La segunda derivada representa la aceleración: Calculando tenemos: Por tanto.P .2.L. las componentes tangencial y normal de la aceleración en el punto de impacto es: 14 J.1 Funciones Vectoriales – Ejercicios Resueltos CÁLCULO III PARA INGENIERÍA Calcularemos: Por tanto.A. definida por a) Pruebe que para todo punto de la trayectoria b) Expresar el vector el vector . .L. como una combinación lineal de la base 8) a) SOLUCIÓN: En este ejercicio es un caso de reparametrización (en vez de tomar con la variable . donde es el parámetro está en el plano osculador. obteniendo: Pero por fórmula tenemos que: Entonces: Calcularemos la segunda derivada con respecto a : Por Frenet tenemos: 15 J. derivaremos a con respecto a .1 Funciones Vectoriales – Ejercicios Resueltos CÁLCULO III PARA INGENIERÍA e) SOLUCIÓN: Calculamos la tercera derivada Por ende la torsión en el punto de impacto es: 8. Entonces tenemos que Aplicando la regla de cadena.P .2. se toma otra variable ). Sea la trayectoria regular longitud de arco y .A. el vector es una combinación lineal de base 16 J.P .1 Funciones Vectoriales – Ejercicios Resueltos CÁLCULO III PARA INGENIERÍA Por ende: Así hemos probado que es el vector binormal ) está en el plano .2.L.A. está en el plano osculador (su perpendicular b) SOLUCIÓN: Tenemos que hallar la tercera derivada con respecto a aplicando regla de la cadena Por Frenet: Entonces quedaría: Por tanto. o sea.