ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORALFACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN INTENSIVO FEBRERO 2018 TALLER 3 – (07H00) Guayaquil, 06 de marzo de 2018 S O L U C I Ó N y R Ú B R I C A Tema 1 (20 puntos) Obtenga el DOMINIO de la función 𝒇: 𝑿 ↦ ℝ tal que: 𝟏 𝒆 𝒙+𝟏 + 𝟐 𝒇 𝒙 = 𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 Solución: Para determinar el dominio de la función se deben cumplir 2 restricciones de los números reales: • En el exponente del numerador no debe existir una división para cero. • El radicando del denominador solamente debe ser positivo. Estos nos lleva a plantear y resolver una inecuación con valor absoluto y una inecuación cuadrática: 𝑥 − 1 − 2 ≠ 0 𝑥 − 1 ≠ 2 𝑥 − 1 ≠ −2 ∧ 𝑥 − 1 ≠ 2 𝑥 ≠ −1 ∧ 𝑥 ≠ 3 −∞ )( )( +∞ −1 3 16 − 𝑥 7 > 0 𝑥 7 < 16 𝑥 < 4 −4 < 𝑥 < 4 −∞ ( ) +∞ −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 El conjunto resultante de la intersección entre estos dos intervalos es el dominio de la función 𝑓: 𝑑𝑜𝑚 𝑓 = −4, 4 − −1, 3 𝑑𝑜𝑚 𝑓 = −4, −1 ∪ −1, 3 ∪ 3, 4 Elaborado por YAMM, CASL y @gbaqueri Página 1 de 6 Rúbrica: Identifica la restricción del numerador, plantea y resuelve la 7 puntos inecuación asociada. Identifica la restricción del denominador, plantea y resuelve la 7 puntos inecuación asociada. Obtiene el dominio de la función. 6 puntos Tema 2 (20 puntos) En el recibo del consumo mensual de agua en una casa aparece que por cada 𝒎𝟑 de agua consumida se cobra $ 𝟐 y por la distribución de dicha agua también se cobra un valor fijo de $ 𝟓: a) Sea 𝒙 la cantidad de 𝒎𝟑 de agua consumida, obtenga la regla de correspondencia para el cálculo en $ del consumo mensual de agua 𝒚 = 𝒇 𝒙 . Solución: Se trata de un problema de aplicación de funciones lineales, por lo tanto su regla de correspondencia tiene la forma: 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Por la condiciones dadas en el problema, la pendiente es el cobro por 𝑚L de agua y el valor fijo es el intercepto con el eje 𝑌. Entonces: 𝑚 = 2 ∧ 𝑏 = 5 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 5 Rúbrica: Obtiene la regla de correspondencia de 𝒇. 7 puntos b) Bosqueje en el plano cartesiano la gráfica de la función 𝒇. Solución: Nótese que la variable de dominio no puede ser negativa: 𝑦 𝑥 Rúbrica: Realiza el bosquejo de la gráfica de 𝒇. 7 puntos Elaborado por YAMM, CASL y @gbaqueri Página 2 de 6 c) Si una persona debe pagar $ 𝟐𝟕 en cierto mes, determine la cantidad de agua en 𝒎𝟑 que consumió en ese mes. Solución: Suponiendo que no había deuda del mes anterior, planteamos y resolvemos la siguiente ecuación lineal: 27 = 2𝑥 + 5 2𝑥 = 22 𝑥 = 11 Esa persona consumió en el mes 11 𝑚L . Rúbrica: Determina la cantidad de agua en m3 para la condición dada. 6 puntos Tema 3 (20 puntos) Dada la función 𝒇: ℝ ↦ ℝ cuya regla de correspondencia es: −𝒙 − 𝟐, 𝒙 < −𝟏 𝟐 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝒙, 𝒙 ≤ 𝟏 𝟐 −𝒙 + 𝟒𝒙 − 𝟑, 𝒙 > 𝟏 a) Bosqueje en el plano cartesiano la gráfica de la función 𝒇. Solución: y 3 2 1 0 x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 Rúbrica: Bosqueja la gráfica de la función 𝒇. 6 puntos Elaborado por YAMM, CASL y @gbaqueri Página 3 de 6 b) Determine la cantidad de raíces de 𝒇 especificando los respectivos pares ordenados. Solución: Las raíces de la función 𝑓 son los valores de 𝑥 tales que 𝑓 𝑥 = 0, por lo que observando su gráfica se deduce que tiene cuatro raíces. Los pares ordenados correspondientes son: −2, 0 , −1, 0 , 0, 0 , 3, 0 Rúbrica: Determina los pares ordenados correspondientes a las raíces de la 1 punto c/u función. c) Indique los intervalos de monotonía de 𝒇. Solución: T La función 𝑓 es monótona creciente en: − , 1 ∪ 1, 2 7 T La función 𝑓 es monótona decreciente en: −∞, −1 ∪ −1, − ∪ 2, +∞ 7 Rúbrica: Expresa los intervalos donde la función es estrictamente creciente. 2 puntos Expresa los intervalos donde la función es estrictamente decreciente. 2 puntos d) Bosqueje en el plano cartesiano la gráfica de la función 𝒈 𝒙 = 𝒔𝒈𝒏 𝒇 𝒙 . Solución: y f(x)=1 f(x)=-1 f(x)=-1 2 f(x)=1 f(x)=-1 Serie de puntos 1 Serie de puntos 2 1.5 Serie de puntos 3 Serie de puntos 4 1 0.5 x -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 -0.5 -1 -1.5 -2 Rúbrica: Bosqueja la gráfica de la función 𝒈. 6 puntos Elaborado por YAMM, CASL y @gbaqueri Página 4 de 6 Tema 4 (20 puntos) Dadas las funciones 𝒇: ℝ ↦ ℝ y 𝒈: ℝX ↦ ℝ tales que: −𝟏 − 𝒙 − 𝟏 𝟐 , 𝒙 < 𝟏 𝒇 𝒙 = 𝒙−𝟑 𝒈 𝒙 = 𝒙 , 𝒙≥𝟏 𝝅−𝟏 Determine la regla de correspondencia de la función 𝒈 ∘ 𝒇+𝟏 : Solución: Determinamos la función inversa de 𝑓 para cada tramo: 𝑦 = −1 − 𝑥 − 1 7 ; 𝑟𝑔 𝑓 = −∞, −1 𝑥−3 7 𝑦= ; 𝑟𝑔 𝑓 = −1, +∞ 𝑥 = −1 − 𝑦 − 1 2 𝑦 − 1 7 = −1 − 𝑥 𝑦−3 𝑥= 𝑦 − 1 = ± −1 − 𝑥 2 2𝑥 = 𝑦 − 3 𝑦 = 1 ± −1 − 𝑥 𝑦 = 2𝑥 + 3 𝑓 +T 𝑥 = 1 − −1 − 𝑥; 𝑥 < −1 𝑓 +T 𝑥 = 2𝑥 + 3; 𝑥 ≥ −1 Por lo tanto: 𝑓 +T 𝑥 = 1 − −1 − 𝑥, 𝑥 < −1 2𝑥 + 3, 𝑥 ≥ −1 Gráficamente podemos observar ambas funciones biyectivas en el mismo plano cartesiano, en simetría con la función identidad: 5 y 4 𝑓 +T 3 2 1 0 x -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 -2 -3 -4 𝑓 -5 Ahora procedemos a realizar la composición de funciones solicitada: 𝑔 ∘ 𝑓 +T 𝑥 = 𝑔 𝑓 +T 𝑥 = 𝑓 +T 𝑥 El radicando de la función compuesta debe ser solamente positivo por el dominio ℝX definido para 𝑔: 𝑓 +T 𝑥 > 0 𝑥 ∈ −2, −1 ∪ [−1, +∞) Elaborado por YAMM, CASL y @gbaqueri Página 5 de 6 La regla de correspondencia de la función compuesta 𝑔 ∘ 𝑓 +T es: 𝑔 ∘ 𝑓 +T 𝑥 = 1 − −1 − 𝑥, −2 < 𝑥 < −1 2𝑥 + 3, 𝑥 ≥ −1 Rúbrica: Obtiene la regla de correspondencia de la función inversa de 𝒇 en sus 5 puntos dos tramos. c/tramo Determina la regla de correspondencia de la composición de 5 puntos funciones en sus dos tramos. c/tramo Tema 5 (20 puntos) Justificando su respuesta, califique la siguiente proposición como VERDADERA o FALSA: “Toda función racional 𝒇: 𝑿 ⊆ ℝ ↦ ℝ tiene al menos una asíntota vertical”. Solución: A continuación proporcionamos un posible contraejemplo: 𝑥 𝑓 𝑥 = 7 𝑥 +1 La función es racional porque se puede expresar como el cociente de funciones polinomiales. En este caso, el numerador es una función polinomial de grado 1 y el denominador es una función polinomial de grado 2. Nótese que la función no presenta restricciones de dominio ya que está definida para todo número real. Esta función no tiene asíntotas verticales ya que la expresión del denominador 𝑥 7 + 1 siempre es diferente de cero. ∴ La proposición es FALSA. Rúbrica: Proporciona un contraejemplo que demuestra que una función 18 puntos racional no necesariamente debe tener una asíntota vertical. Concluye que la proposición es falsa. 2 puntos Observación.- Se puede proporcionar otro contraejemplo que evidencie que siendo una función racional no tenga asíntota vertical. Elaborado por YAMM, CASL y @gbaqueri Página 6 de 6