MECANICA DEMATERIALES Ejemplo 05 El miembro AC esta sometido a una fuerza vertical de 3 kN. Determine la posición «x» de esta fuerza de modo que el esfuerzo de compresión promedio en el soporte liso C sea igual al esfuerzo de tensión sea igual al esfuerzo de tensión promedio en el tirante AB. El tirante tiene un área en su sección transversal de 400 mm2 y el área en C es de 650 mm2 2 Ejemplo 06 En el soporte mostrado la porción superior del eslabón ABC es de 3/8 pulg de espesor y las porciones inferiores son cada uno de 1/4 pulg de grueso. Se utiliza resina epóxica para unir la porción superior con la inferior en B. El pasador en A tiene un diámetro de 3/8 pulg mientras que en C se emplea un pasador de 1/4 pulg. Determine a) el esfuerzo cortante en el pasador A, b) el esfuerzo cortante en el pasador C, c) el máximo esfuerzo normal en el eslabón ABC, d) el esfuerzo cortante promedio en las superficies pegadas en B y e) el esfuerzo de aplastamiento en el eslabón en C . 3 Análisis de DCL a) Esfuerzo cortante en el pasador A. Ya que este pasador de 3/8 pulg de diámetro está en cortante único, se escribe b) Esfuerzo cortante en el pasador C. Como este pasador de ¼ pulg de diámetro está en cortante doble, se anota 4 c) Máximo esfuerzo normal en el eslabón ABC. El máximo esfuerzo se encuentra donde el área es más pequeña; esto ocurre en la sección transversal en A donde se localiza el agujero de 3/8 pulg Así, se tiene que d) Esfuerzo cortante promedio en B. Se advierte que existe adhesión en ambos lados de la porción superior del eslabón y que la fuerza cortante en cada lado es F1= (750 lb)/2 = 375 lb. Por lo tanto, el esfuerzo cortante promedio en cada superficie es 5 0625 pulg2.25 pulg) = 0. e) Esfuerzo de aplastamiento en el eslabón en C. F1 = 375 lb y el área nominal de apoyo es de (0. Para cada porción del eslabón.25 pulg)(0. 6 . La viga y la varilla están conectados por un perno en B y los soportan pernos y ménsulas en A y en C. Consta de una viga AB con una sección transversal rectangular de 30 x 50 mm y de una varilla BC con una sección transversal circular de 20 mm de diámetro. respectivamente. Ejemplo 07 Considere la estructura mostrada. 7 . diseñada para soportar una carga de 30 kN. la varilla de 20 mm de diámetro BC tiene extremos planos de sección rectangular de 20 x 40 mm. Todos los pasadores tienen 25 mm de diámetro. La viga AB la soporta en A un pasador introducido en una ménsula doble. en tanto que la viga AB tiene una sección transversal de 30 x 50 mm y está provista de una horquilla en el extremo B. Aplicación al análisis y diseño de estructuras sencillas En la figura. mientras que la varilla BC se conecta en C a una ménsula simple. Ambos elementos se conectan en B por un pasador del que cuelga la carga de 30 kN por medio de una ménsula en forma de U. 8 . a) Determinación del esfuerzo normal en la viga AB y en la varilla BC. 9 . b) Determinación del esfuerzo cortante en el pasador A y C:. y la fuerza igual y opuesta ejercida por la ménsula. Al dibujar ahora el diagrama de la porción del pasador localizada bajo el plano DD` donde ocurren los esfuerzos cortantes (figura c). en el caso del pasador C del ejemplo se dibuja la figura (b). que muestra la fuerza de 50 kN ejercida por el elemento BC sobre el pasador.. se concluye que la fuerza cortante en ese plano es P =50 kN. Como el área transversal del pasador es 10 . Al dibujar los diagramas de cuerpo libre del pasador y de la porción del pasador colocada entre los planos DD´ y EE´ donde ocurren los esfuerzos cortantes. se llega a la conclusión de que P = 20 kN y que 11 . Considerando ahora el pasador en A se observa que se encuentra sometido a cortante doble. pueden generarse esfuerzos en el material. Tensiones de origen térmico Cuando un cuerpo experimenta cambios de temperatura. el esfuerzo generado puede encontrarse utilizando la ley de Hooke. Si el alargamiento producido por ΔT se halla dentro del rango elástico. se puede determinar el alargamiento de la misma mediante la relación: L T Donde α es el coeficiente de dilatación térmica y ΔT es la variación de temperatura que experimenta el cuerpo. En el caso de una barra que experimente una variación de temperatura. Cuando el alargamiento está restringido (existe algún(os) elemento(s) que lo prohíben). sufre variaciones en sus dimensiones (dilataciones y contracciones). 12 . 5 x 104 a 4 x 107 Mpa 13 . Ley de Hooke ❖ Para materiales sometidos a esfuerzos tensionantes. Es una medida de la rigidez de un material. a relativamente bajos niveles. ❖ Es medida en MPa y puede valer de ~4. o Módulo de Young. el esfuerzo y la deformación son proporcionales E ❖ La constante E es conocida como el Módulo de Elasticidad. la relación esfuerzo-deformación es llamada Ley de Hooke E σ = Esfuerzo Sus unidades son [N/m2] ó [Pa] E = Módulo de Young o de Rigidez o de Elasticidad Sus unidades son [N/m2] ó [Pa] ε = Deformación Es adimensional [m/m] El acero tiene un modulo aproximado de 30000 klb/pulg2 (210 GPa).7 a 14 GPa). El aluminio es mas o menos 10600 klb/pulg2 (73 GPa). Si la deformación es elástica. 14 . Los plásticos van de 100 a 2000 klb/pulg2 (0. 15 . aunque sea en una proporción muy pequeña. Todo elemento se deforma ante la presencia de cargas sobre él. Si aplicamos una carga axial de tracción a un cuerpo. Deformaciones Los cuerpos completamente rígidos no existen. observaremos que éste tenderá a alargarse en el sentido de dicha carga. el cuerpo se acortaría en la dirección de la carga. Si la carga fuese de compresión. Esta se establece de la siguiente forma: L f L0 L0 L0 Es importante mencionar que. podemos establecer un concepto que nos será muy útil en el estudio de los materiales: la Deformación Unitaria Normal (ε). Se llama Alargamiento (δ) al cambio de longitud que experimenta un cuerpo debido a una carga axial aplicada sobre el mismo. estos conceptos están íntimamente relacionados con los esfuerzos normales. 16 . Según la figura presentada anteriormente. se puede plantear así: L L f L0 A partir del Alargamiento. como el Alargamiento y la Deformación Unitaria Normal se deben a cargas axiales. Aunque estas curvas pueden tener múltiples comportamientos según el material del que se trate. es una gráfica donde se observa la variación del esfuerzo normal (σ) respecto a la deformación unitaria (ε) a partir de los resultados obtenidos en un ensayo de tracción. 17 .Deformación Como se expuso anteriormente. Curva Esfuerzo . las tendencias que nos interesa estudiar se muestran abajo. Para esto. la curva no presentará este fenómeno. 18 . a diferencia de los materiales dúctiles. Con una mirada superficial sobre las curvas. los materiales frágiles se deforman muy poco antes de romperse. y viceversa si se trata de una aleación. podremos notar que podemos dividir la curva en varias zonas. En primer lugar. Siendo más detallistas. Si el material es un metal puro. Por otro lado. centraremos nuestra atención en los materiales con zona de fluencia (por poseer la curva más compleja). podemos observar dos cosas. los materiales dúctiles pueden presentar ó no zona de fluencia. podemos dividir la curva en dos zonas generales. En la zona plástica ocurren tres fenómenos: • Fluencia (tramo BC) • Endurecimiento por deformación (tramo CD) • Formación de cuello o estricción (tramo DE) 19 . Por otro lado. en la zona plástica (BE) las deformaciones producidas son permanentes. La zona elástica (AB) se caracteriza porque las deformaciones producidas en esta sección son de carácter elástico. En primer lugar. Se cumple entonces hasta el valor de esfuerzo mencionado anteriormente la ley de Hooke: E Donde E es el módulo de Young ó módulo de elasticidad del material. a partir del cual cambia su tendencia. el cual es un valor de esfuerzo bastante difícil de conseguir. Durante el primer tramo. 20 . y es apenas un poco superior al límite de proporcionalidad del material. Zona Elástica Como se mencionó anteriormente. Este comportamiento elástico se cumple hasta el límite de elasticidad (σE). es decir: desaparecen si se retira la carga. esta zona exhibe un comportamiento lineal hasta el límite de proporcionalidad (σP). las deformaciones producidas en esta zona son elásticas. Zona de Fluencia ( tramo BC ) Se presenta en los metales aleados. En esta zona y en las siguientes. las deformaciones serán permanentes. Está caracterizada por dos valores de esfuerzo: el punto superior de fluencia y el punto inferior de fluencia. 21 . al igual que todos los cambios en sus propiedades mecánicas sufridos debido a dicha deformación. ocurre una disminución uniforme de la sección transversal de la probeta a lo largo de su longitud L. El esfuerzo último (σU) marca el final de esta etapa. por ello se dice que el material en esta zona se endurece. Zona de Endurecimiento por Deformación ( tramo CD ) Durante esta etapa. Para continuar deformando la probeta. 22 . se debe aumentar notablemente el valor de la carga aplicada. Debido a esta reducción. la carga que debe ejercer la máquina de ensayo para deformar la probeta se hace cada vez menor. Zona de formación de cuello ó Estricción En esta fase final ocurre la estricción. 23 . aunque en realidad el esfuerzo en la probeta va en aumento hasta que ocurre la ruptura. que consiste en una reducción del área de la sección transversal en una zona específica. el esfuerzo real no presenta un valor máximo luego de la fluencia. Al considerar la formación de cuello en la probeta. sino que aumenta hasta la ruptura del material. se les denomina Curvas Nominales de Esfuerzo-Deformación. La curvas mostradas hasta ahora desprecian el fenómeno de estricción en la probeta. Por ello. 24 . 25 . ❖ Se diferencia del esfuerzo de tensión sólo en la dirección de la fuerza aplicada (paralela para cortante y perpendicular para tensión). Esfuerzo Cortante (τ) ❖ El Esfuerzo Cortante es usado en aquellos casos donde se aplican fuerzas puramente torsionantes a un objeto y se denota por el símbolo τ. ❖ La fórmula de cálculo y las unidades permanecen iguales como en el caso de esfuerzo de tensión. 26 . determina qué extensión del plano fue desplazado. Esfuerzo Cortante y Deformación Deformación de Corte o Cizalle (γ) es definida como la tangente del ángulo θ y. en esencia. 27 . pero con una constante de proporcionalidad diferente. G La constante G es conocida como el Módulo de Corte y relaciona el Esfuerzo Cortante con la deformación en la región elástica. Esfuerzo Cortante y Deformación El Esfuerzo Cortante y la Deformación se relacionan de manera similar. Determine el esfuerzo de compresión promedio a lo largo de las áreas lisas de contacto definidas por AB y BC. y el esfuerzo cortante promedio a lo largo del plano horizontal definido por EDB 28 . Ejemplo 03 El miembro inclinado esta sometido a una fuerza de compresión de 600 lb. 29 . Determine la deformación unitaria normal promedio desarrollada en el alambre BC 30 . ocasiona que el brazo gire en sentido horario un Angulo de θ = 0. Ejemplo 04 Una fuerza que actúa sobre el mango de la palanca mostrada.002 rad. y 31 . determine (a) la deformación unitaria normal promedio a la largo de la diagonal AC. Si su lado derecho CD recibe un desplazamiento horizontal uniforme de 2mm. y (b) la deformación unitaria cortante en E relativa a los ejes x. esta empotrada a lo largo de AB y se mantiene en las guías rígidas horizontales en sus partes superior e inferior AD y BC. Ejemplo 05 La placa mostrada. 32 . habrá constricciones en las otras dos direcciones. v deformacion _ unitaria _ axial 33 . ❖ El Coeficiente de Poisson (ν) es la relación entre las deformaciones lateral y axial. ❖ Como resultado de esta elongación. deformacion _ unitaria _ lateral . se crea una deformación acompañante en la misma dirección. Coeficiente de Poisson (ν) ❖ Cuando un cuerpo es colocado bajo un esfuerzo tensionante. Algunos Conceptos 1. Tiene cuatro comportamientos distintos al ser cargado. la fluencia o cedencia. puesto que un material dúctil es usualmente muy resistente a cargas por impacto. Ductilidad: Es la habilidad de un material para deformarse antes de fracturarse. Ellos son el comportamiento elástico. • Materiales Dúctiles: Todo material que pueda estar sometido a deformaciones unitarias grandes antes de su rotura. al hacerse visible su gran deformación. • Es una característica muy importante en el diseño. 34 . • Tiene además la ventaja de “avisar” cuando va a ocurrir la fractura. el endurecimiento por deformación y la estricción. se dice que ha pasado su límite elástico. cuando cesa la acción que ha producido la deformación.Elasticidad: Es la habilidad que tiene un material que ha sido deformado de alguna manera para regresar a su estado y tamaño original. • Materiales Frágiles: Exhiben poca o ninguna fluencia antes de su rotura y se fracturan repentinamente. • Tanto la fragilidad como la ductilidad de un material son mediadas arbitrarias. • Un material frágil no tiene resistencia a cargas de impacto y se fractura aún en cargas estática sin previo aviso. Algunos Conceptos 2. Fragilidad: Es lo opuesto de ductilidad. 35 35 . de tal manera que no pueda regresar a su estado original. 3. • Cuando el material se deforma permanentemente. 4. Plasticidad: Es la habilidad de un material para adoptar nuevas formas bajo la presión y retener esa nueva forma. pero puede decirse que un material con un alargamiento mayor de 5% es dúctil y menor de 5% es frágil. se crea una deformación acompañante en la misma dirección. deformacion _ unitaria _ lateral . Coeficiente de Poisson (ν) ❖ Cuando un cuerpo es colocado bajo un esfuerzo tensionante. ❖ El Coeficiente de Poisson (ν) es la relación entre las deformaciones lateral y axial. ❖ Como resultado de esta elongación. v deformacion _ unitaria _ axial 36 36 . habrá constricciones en las otras dos direcciones. El esfuerzo normal en la barra es La deformación unitaria en la dirección Z 37 . El material se comporta elásticamente.. Si se aplica una fuerza axial P = 80 kN a la barra. Ejemplo: 01 Una barra de acero A-36 tiene las dimensiones mostradas en la figura. determine el cambio en su longitud y el cambio en las dimensiones de su sección transversal después de aplicada la carga. y son: Los cambios en las dimensiones de la sección transversal son 38 . Las contracciones en las direcciones x. Determine también cuanto se reduce el diámetro debido a esta fuerza.20 mm. Si una fuerza de 165 kN alarga la longitud calibrada 1. 39 . Considere Gal = 26 GPa y σy = 440 MPa. determine el modulo de elasticidad. Ejemplo: 02 El espécimen de aluminio mostrado en la figura tiene un diámetro d0 = 25 mm y una longitud calibrada L0 = 250 mm. Calculo de la relación de Poisson La contracción del diámetro es: 40 . dividida entre la carga permisible. La Ffalla. Fperm . Ffalla. El factor de seguridad (FS) es la razón de la carga de falla. se determina por medio de ensayos experimentales del material y el factor de seguridad se selecciona con base en la experiencia. 41 . Esfuerzo permisible Factores apropiados de seguridad deben ser considerados al diseñar grúas y cables usados para transferir cargas pesadas. Diseño de conexiones simples Área de la sección transversal de un miembro a tensión. 42 . El área de la sección transversal de un miembro prismático sometido a una fuerza de tensión puede determinarse si la fuerza tiene una línea de acción que pasa por el centroide de la sección transversal. tablones o varios miembros entre si. El perno esta sometido a una fuerza cortante interna resultante de V = P en esta sección transversal. es seguro suponer que cualquier fuerza de fricción entre las placas es despreciable. 43 43 . considere la junta traslapada mostrada en la figura. A menudo los pernos o pasadores se usan para conectar placas. Área de la sección transversal de un conector sometido a cortante. Si el perno esta suelto o la fuerza de agarre del perno es desconocida. El diagrama de cuerpo libre de una sección que pasa entre las placas y a través del perno se muestra en la figura. Por ejemplo. para impedir una falla es necesario determinar el área apropiada de apoyo para el material. puede aplastar o deformar localmente una o ambas superficies. Área requerida para resistir aplastamiento. Si este esfuerzo es demasiado grande. Por ejemplo. Un esfuerzo normal producido por la compresión de una superficie contra otra se denomina esfuerzo de aplastamiento. 44 . el área A de la placa B de base de la columna mostrada en la figura. Por tanto. usando un esfuerzo de aplastamiento permisible. Esta área es ( πd)l. Un diagrama de cuerpo libre de la barra. es la longitud del empotramiento. Ocasionalmente las barras u otros miembros son soportados en forma tal que puede desarrollarse un esfuerzo cortante en el miembro aun cuando este este sometido a carga axial. Un ejemplo de esta situación seria una barra de acero cuyo extremo este empotrado en concreto y se encuentre cargado como se muestra en la figura. Área requerida para resistir el cortante causado por carga axial. muestra que un esfuerzo cortante actúa sobre el área de contacto de la barra con el concreto. donde «d» es el diámetro de la barra y «l» . 45 . 2 klb/pulg2. Si los pasadores tienen un esfuerzo cortante permisible τperm = 12. Se muestran también en la figura dos vistas superiores de las conexiones por pasador en A y B. 46 46 . determine el diámetro mas pequeño. de los pasadores A y B y el diámetro de la barra CB. necesarios para soportar la carga. Ejemplo: 03 Los dos miembros están unidos por pasadores en B como se muestra en la figura. con una aproximación a 1/16 pulg.5 klb/pulg2 y el esfuerzo permisible de tensión de la barra CB es σperm = 16. 47 . 48 . para el pasador de acero en C si el esfuerzo cortante permisible para el acero es τperm = 8 lb/pulg2. con una aproximación de 1/4 pulg. 49 . Advierta en la figura que el pasador esta sometido a cortante doble. Determine el diámetro requerido. Ejemplo: 04 El brazo de control esta sometido a la carga mostrada en la figura. El pasador en C resiste la fuerza resultante en C Calculo del diámetro del pasador Entonces el diámetro elegido será 50 . Calculo del área 51 . como se muestra en la figura. El esfuerzo normal permisible para la barra es σperm = 60 MPa y el esfuerzo cortante permisible para el disco es τperm = 35 MPa. Si la barra pasa por un agujero con diámetro de 40 mm. determine el diámetro mínimo requerido de la barra y el espesor mínimo del disco necesario para soportar la carga de 20 kN. Ejemplo: 05 La barra colgante esta soportada en su extremo por un disco circular empotrado a ella. Calculo del diámetro de la barra Calculo del espesor mínimo del disco 52 . Esfuerzo de aplastamiento valor de P 53 .