Física I Semana 062018 - 00 NOTA FINAL DEL CURSO = (Promedio PCs).(N° de Open LABs Realizados).(0,25) Principio del Momento Angular 1 Semana 06 2018-00 2 Semana 06 2018-00 3 Principio del momento angular SESIÓN 41 4 LOGROS ESPERADOS Aplica el principio del momento angular para poder predecir el nuevo momento angular de un sistema. 5 Actividad Cuando el profesor de Física parado sobre una mesa giratoria con dos mancuernas, encoge los brazos, la velocidad con que gira aumenta. ¿Cómo explicaría esto? 6 Principio de Momento angular Si hay torques externos, el momento angular cambia. Torque Externo Sistema ∆𝐿𝑠𝑖𝑠 ≠ 0 http://www.woiweb.com/wiki/index.php?title=File:Torque_animation.gif Principio de Momento angular Torque Externo 𝑑𝑳𝑨 = 𝜏neto,A ∆𝐿𝐴 = 𝜏neto,A ∆𝑡 𝑑𝑡 Sistema ∆𝐿𝑠𝑖𝑠 ≠ 0 𝐿A : Momento angular total del sistema medido con respecto a A. 𝜏neto,A : Torque neto externo medido con respecto a A. Ejemplo 1 Fuente: [1] Sherwood, Ejemplo 12, pág. 450. En t = 15,0 s una partícula tiene momento angular, 𝑚2 𝐿𝑖,𝑂 = 3,00 𝑖 + 5,00 𝑗 − 2,00 𝑘 𝑘𝑔. 𝑠 respecto a la posición 𝑂. Si un torque constante 10,0 𝑖 − 12,0 𝑗 + 20,0 𝑘 m. N relativo a la posición 𝑂 actúa sobre la partícula. Determine el momento angular de la partícula para el instante t = 15,1 s. Ejemplo 2 Un yo-yo primitivo consta de una cuerda de masa despreciable enrollada alrededor de un cilindro sólido de masa 𝑀 y radio 𝑅. Se sostiene el extremo libre de la cuerda y se suelta el cilindro desde el reposo. La cuerda se desenrolla, pero no resbala ni se estira a medida que el cilindro desciende y rota. Encuentre la aceleracion con la que desciende el cilindro y la tensión en la cuerda. Ejemplo 3 Dos cilindros que tienen masas diferentes m1 y m2 están superpuestos (uno pegado sobre otro) formando una rueda. Se aplican las fuerzas mostradas en la figura en diferentes partes de la rueda. Encuentre en términos de a, b y las masas: a) El torque neto respecto al eje de rotación. b) La aceleración angular de la rueda. Ejemplo 4 Ejemplo N°6 Un cascarón esférico de 8,40 kg de masa y 50,0 cm Eje de de diámetro tiene 4 pequeñas masas de 2,00 kg rotación adheridas a su superficie externa, como se muestra en la figura. Esta combinación gira alrededor de un eje que pasa por el centro de la esfera (ver figura). ¿Cuál debe ser el torque de la fuerza de fricción necesario para reducir su rapidez angular de 75,0 rpm (revoluciones por minuto) a 50,0 rpm en 30,0 s? Ejemplo 5 La rueda gira en un eje sin fricción. La cuerda enrollada alrededor del diámetro más pequeño es unida al bloque. El bloque es soltado en 𝑡 = 0 s y toca el piso en 𝑡 = 𝑡1 s. Realice un gráfico de 𝜔 vs 𝑡. Taller de problemas para la Práctica Calificada 5 SESIÓN 42 14 LOGROS ESPERADOS Discute y resuelve problemas de acuerdo al enfoque por competencias para mostrar los saberes adquiridos. Ejemplo 6 Ejemplo 7 Un yo-yo primitivo consta de una cuerda de masa despreciable enrollada alrededor de un cilindro sólido de masa 𝑀 y radio 𝑅. Se sostiene el extremo libre de la cuerda y se suelta el cilindro desde el reposo. La cuerda se desenrolla, pero no resbala ni se estira a medida que el cilindro desciende y rota. Usando consideraciones energéticas, calcule la rapidez del centro de masa del cilindro, después que ha decendido una altura ℎ. Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Determine el torque neto que actúa sobre la barra, medido con respecto al punto B. Dos muchachos empujan una puerta como se muestra en la figura. Si Ejemplo 11 el niño en B ejerce una fuerza 𝐹𝐵 = 30 lb, determine la magnitud de la fuerza 𝐹𝐴 que el muchacho en A debe ejercer para prevenir que la puerta rote con respecto al punto C. Desprecie el ancho de la puerta. Determine el torque o momento neto que actúa sobre el sistema Ejemplo 12 mostrado, medido con respecto al punto O. La figura muestra un partícula con velocidad 𝑣. Dibuje el vector Ejemplo 13 momento angular medido con respecto al origen en cada caso. Coloque la cola del vector en el origen. Ejemplo 14 Una partícula se mueve siguiendo la treyectoria punteada mostrada en la figura. En un cierto instante se encuentra en la posición A, donde su velocidad forma 30 grados con la vertical y su magnitud es 15 m/s. Determine el momento angular de la partícula en ese instante con respecto al punto P. Ejemplo 15 Una partícula de masa 𝑚 , es soltada desde el reposo en el punto A y resbala por una superficie sin fricción. Determine su momento angular con respecto al punto A y al punto D, cuando pasa por a) La posición B. b) La posición C. Ejemplo 16 Una sistema consiste de tres partículas A, B y C con masas 𝑚𝐴 = 1 ,00 kg, 𝑚𝐵 = 2,00 kg y 𝑚𝐶 = 3,00 kg. Las velocidades de las partículas son: vA = (3𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘 ) m/s, vB = (4𝑖 + 3𝑗 ) m/s y vC = (2𝑖 + 5𝑗 − 3𝑘 ) m/s. Determine: a) el momento angular del sistema con respecto al punto O. b) El centro de masa (CM) del sistema. c) El momento angular del sistema respecto al CM. 26 Ejemplo 17 Un disco sólido uniforme de masa 𝑚 = 3,00 kg y radio 𝑟 = 0,200 m rota alrededor de un eje fijo perpendicular a su cara con rapidez angular de 6,00 rad/s. Calcule el momento angular del disco cuando el eje de rotación pasa por a) el centro de masa del disco. b) el punto medio entre el centro de masa y el borde. 27 Ejemplo 18 Indique la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones: A. Todos los cuerpos se muevan o no, pueden tener momento angular. B. Solo los objetos que rotan pueden tener momento angular. C. El momento angular es igual en magnitud al torque. D. Solo los objetos que tienen momento diferente de cero pueden tener momento angular. E. Solo los objetos con aceleración pueden tener momento angular. F. El momento angular no depende del punto donde se mide. Ejemplo 19 Fuente: [1] Sherwood, Problema 37, pág. 480. En la figura, una mancuerna gira alrededor de un pivote en su centro en A. La mancuerna consiste en dos pequeñas esferas, cada una de masa 500 gramos (0,5 kg), en los extremos de una barra de muy poca masa y largo d = 20 cm (0,2 m; el radio de rotación es 0,1 m). La mancuerna gira en sentido de las manecillas del reloj con rapidez angular 80 radianes/s. Podemos calcular el momento angular y la energía cinética de este objeto en dos formas distintas, tratando el objeto como dos bolas separadas o como una mancuerna. Use el sistema estándar de coordenadas x-y-z I: Trate el objeto como dos bolas separadas . Calcule las siguientes cantidades: (a)La rapidez de la bola1 , (b) 𝑳𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔,𝟏,𝑨 de la bola 1, (c) 𝑳𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔,𝟐,𝑨 de la bola 2, (d) 𝑳𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑨 (e) la energía cinética de traslación de la bola 1, (f) la energía cinética de traslación de la bola 2, (g) la energía cinética total de la mancuerna. II: trate al objeto como un mancuerna . Calcule las siguientes cantidades: (h) el momento de inercia I de la mancuerna respecto a su CM. (i) exprese 𝝎 como un vector. (j) 𝑳𝒓𝒐𝒕 de la mancuerna (k) 𝑲𝒓𝒐𝒕 · lIl: Compare los dos métodos : 1. Compare su resultado para 𝑳𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑨 en la parte I con lo obtenido para 𝑳𝒓𝒐𝒕 en la parte II. ¿Deberían ser estas cantidades las mismas o diferentes ? 2. Compare su resultado para 𝑲𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 en la parte I con lo obtenido para 𝑲𝒓𝒐𝒕 en la parte II. ¿Deberían ser estas cantidades las mismas o diferentes ? 29 Ejemplo 20 Sistema de muchas partículas con torque diferente de cero. SESIÓN 43 31 LOGROS ESPERADOS Aplica el Principio de Momento Angular a un sistema de más de una partícula para calcular el cambio del momento angular total de un sistema con respecto a un punto de referencia cualquiera. 32 Sistema de muchas partículas Consideremos por simplicidad un sistema formado por tres partículas (se puede generalizar a sistemas más grandes) 𝑓𝑖 : Fuerzas internas (debido a elementos del sistema) 𝐹𝑖 : Fuerzas externas (debido al entorno). 𝑟𝑖 : Posiciones de las partículas con respecto al punto A. 33 Sistema de muchas partículas Aplicando el principio del momento angular a cada partícula del sistema: 𝑑𝐿1, A = 𝑟1 × 𝐹1 + 𝑓1,2 + 𝑓1,3 𝑑𝑡 Los torques y Las fuerzas internas se momentos angulares se 𝑑𝐿2, A cancelan entre si. = 𝑟2 × 𝐹2 + 𝑓2,1 + 𝑓2,3 miden con respecto a A. 𝑑𝑡 𝑑𝐿3, A = 𝑟3 × 𝐹3 + 𝑓3,1 + 𝑓3,2 𝑑𝑡 _______________________________ 𝑑𝐿1, A 𝑑𝐿2, A 𝑑𝐿3, A + + = 𝑟1 × 𝐹1 + 𝑟2 × 𝐹2 + 𝑟3 × 𝐹3 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝒅𝑳 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥, 𝑨 𝝉 𝐧𝐞𝐭𝐨,𝑨 Torque debido a 𝒅𝒕 las fuerzas externas 34 Sistema de muchas partículas Principio de momento angular para un sistema de muchas partículas 𝑑𝐿 total, A = 𝜏neto,A 𝑑𝑡 o ∆𝐿 total, A = 𝜏neto,A ∆𝑡 𝐿total, A = 𝐿 1, A + 𝐿 2, A + 𝐿 3, A + ⋯ 35 Ejemplo 21 Una barra rígida de longitud ℓ = 𝟏𝟎, 𝟎 m y de masa despreciable, tiene adheridas dos partículas de masas iguales 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 = 𝟏, 𝟎𝟎 kg como se muestra en la figura. El sistema es libre de rotar sobre una superficie horizontal sin fricción alrededor de un eje perpendicular a la barra que pasa por el centro O. Inicialmente la barra se encuentra en reposo, pero luego se aplica una fuerza tangencial de módulo 𝑭 = 𝟓𝟎, 𝟎 N sobre cada una de las masas. Después de 𝟎, 𝟏𝟎𝟎 s la barra forma un ángulo de 53,0° con respecto al aje x positivo. Si las velocidades de las partículas en ese instante son: 𝒎 𝒗𝟏 = 𝟒, 𝟎𝟎 𝒊 − 𝟑, 𝟎𝟎 𝒋 𝒎/𝒔 y 𝒗𝟐 = (−𝟒, 𝟎𝟎 𝒊 + 𝟑, 𝟎𝟎 𝒋) . 𝒔 Para ese instante calcule: a) El momento angular del sistema con respecto a O. b) El momento angular de rotación con respecto a O. c) El cambio en el momento angular total del sistema con respecto a O. Tipos de Sistemas Con torque diferente de cero Con torque igual a cero Torque Externo Sistema Sistema 𝑑𝐿 total, A 𝑑𝐿 total, A = 𝜏neto,A =0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 El momento angular se conserva : ∆𝑳 = 𝟎 37 Sistemas con torques distintos de cero Ejemplo 22 Fuente: [4] Serway-Jewett, Ejemplo 11.4, pág. 341. Una esfera de masa 𝑚1 y un bloque de masa 𝑚2 son conectados con una cuerda ligera que pasa por una polea como se muestra en la figura. El radio de la polea es 𝑅, y la masa del borde delgado es 𝑀. El radio de la polea tiene masa despreciable. El bloque se deliza sobre la superficie horizontal sin fricción. Encuentre una expresión para la aceleración lineal de los dos objetos usando los conceptos de momento angular y torque. Respuesta: 𝒎𝟏 𝒈 𝒂= 38 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 + 𝑴 Principio de momento angular relativo al centro de masa (CM) El momento angular con respecto al punto A: 𝐿A = 𝑟CM,A × 𝑝total + 𝐿rot Si elegimos el punto A en el CM 0 𝐿CM = 𝑟CM,CM × 𝑝total + 𝐿rot Derivando con respecto al tiempo 𝑑𝐿CM 𝑑𝐿rot Principio de momento = = 𝜏neto,CM angular relativo al CM 𝑑𝑡 𝑑𝑡 39 Ejemplo 23 Fuente: [1] Chabay-Sherwood, Ejemplo, pág. 461 . Considere una regla de 300 gramos de masa que descansa sobre hielo. Jalas uno de los extremos de la regla, en ángulo recto, con una fuerza de 6N. Asuma que la fricción del hielo es despreciable. ¿Cuál es la razón de cambio de la rapidez angular 𝝎? Respuesta: 40 120 rad/s2 Ejemplo 24 Dos baldes unidos a una barra de masa despreciable rotan alrededor de un eje ubicado en el punto medio de la barra, formando un círculo. De pronto comienza a llover. Indique cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas: a) Los baldes continuan rotando con velocidad angular constante ya que la lluvia cae verticalmente mientras que los baldes se mueven en un plano horizontal. b) Los baldes continuan rotando con velocidad angular constante ya que la energía del sistema balde + lluvia se conserva. c) Los baldes incrementan su rapidez angular ya que la energia potencial de la lluvia es transformada en energía cinética. d) Loa baldes dismunuyen su velocidad angular ya que el momento angular del sistema balde + lluvia es conservado. e) Ambos (a) y (b). f) Ninguna de las anteriores. Ejemplo 25 Para que un satélite plano uniforme de forma cilíndrica rote a la tasa correcta, los ingenieros disparan cuatro cohetes dispuestos de forma tangencial, como se muestra en la figura. Suponiendo que el satélite tiene una masa de 3600 kg, radio de 4,0 m y que cada cohete tiene una masa de 250 kg ¿Cuál debe ser la fuerza que debe ejercer cada cohete, si se quiere que el satélite alcance 32 rpm en 5,0 minutos, partiendo del reposo? Respuesta: 31 N Ejemplo 26 Fuente: [2] Chabay-Sherwood, Problema 58, pág. 466. Una mancuerna está montada en un eje casi sin roce a través de su centro. En ese instante, hay dos fuerzas de igual magnitud aplicadas al sistema como se muestra en las direcciones indicadas, y en ese instante la rapidez angular es 60 rad/s, en sentido antihorario. En el siguiente 0,001 s, el momento angular con respecto a su centro aumenta en una cantidad 𝟐, 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟒 kg.m2/s. ¿Cuál es la magnitud de cada fuerza? ¿Cuál es la fuerza neta? Principio de momento angular. Sistema de muchas partículas con torque distinto de cero. (Mínimo dos horas de dedicación exclusiva ) SESIÓN 44 LOGROS ESPERADOS Discute y resuelve problemas acuerdo al enfoque por competencias para mostrar los saberes adquiridos en cualquier evaluación correspondiente. ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS LEER el problema cuidadosamente al menos dos veces. TRAZAR un diagrama mientras está releyendo el problema. CLASIFICAR todas las cantidades físicas y anótelas en el diagrama, usando la notación utilizada en clase. ENUNCIAR los conceptos, principios o leyes pertinentes a la situación, respetando la notación de los datos. PLANTEAR el problema. Escriba las ecuaciones a utilizar y obtenga algebraicamente la solución del problema . EVALUAR la respuesta algebraica. No sólo reemplace los valores numéricos de las cantidades físicas, sino proceder con el arrastre de unidades a lo largo de todo el proceso. Además, la meta no sólo es obtener un resultado, sino ampliar el entendimiento de la situación del problema. Fuente: [1] Sherwood, Ejemplo, pág. 436. Pregunta 1 Calcula la magnitud del momento angular de traslación (orbital) de la Tierra relativa al Sol cuando la Tierra está en A y cuando está en B, como se muestra en la figura. La masa de la Tierra es 6,00 × 1024 kg y la distancia al Sol es 1,50 × 1011 m. 47 Pregunta 2 (Principio de Momento Angular) Un disco, un aro y una esfera sólida (de igual masa y mismo radio) inicialmente en reposo, están hechas para girar alrededor de un eje fijo central mediante cuerdas que los envuelven respectivamente. Si se tira de las cuerdas durante cierto intervalo de tiempo ∆𝑡, generando la misma la tensión, realice un ranking: a) de sus cambios de momento angular, respecto a sus ejes centrales. b) de sus rapideces angulares. Vista superior Pregunta 3 Una barra rígida de 2,50 kg de masa y de 1,00 m de largo une a dos partículas, con masas de 4,00 kg y 3,00 kg, en sus extremos. La combinación da vueltas en el plano xy en torno a un eje a través del centro de la barra. Determine la cantidad de movimiento angular del sistema en torno al origen, cuando la rapidez de cada partícula sea 5,00 m/s. Rpta: 19,6 𝒌 kg.m2/s Pregunta 4 Fuente: [5] Halliday-Resnick-Walker, Problema 11.29, pág. 299. En el instante que se muestra en la figura, dos partículas se mueven en el plano 𝒙𝒚. La partícula 𝑷𝟏 tiene 6,5 kg de masa, rapidez 𝒗𝟏 =2,2 m/s y se encuentra a una distancia 𝒅𝟏 =1,5 m del punto O. La partícula 𝑷𝟐 tiene 3,1 kg de masa, rapidez 𝒗𝟐 = 3,6 m/s y se encuentra a una distancia 𝒅𝟐 = 2,8 m del punto O. ¿Cuál es la magnitud y la dirección del momento angular total de las dos partículas alrededor de O? Respuesta: 50 9,8 kg∙m2/s, 𝒌 Pregunta 5 Una piedra de 2,00 kg tiene una velocidad horizontal con magnitud de 12,0 m/s cuando está en el punto P de la figura mostrada. • ¿Qué momento angular (magnitud y dirección) tiene con respecto a O en ese instante? • Suponiendo que la única fuerza que actúa sobre la piedra es su peso, calcule la magnitud de la rapidez del cambio (razón de cambio) de dicho momento angular en ese instante. Conservación del momento angular SESIÓN 45 52 LOGROS ESPERADOS Analiza y aplica las condiciones que deben satisfacerse para que un cuerpo o una estructura esten en equilibrio rotacional. Aplica la conservación del momento angular a un sistema de más de una partícula. 53 Conservación del Momento angular ∆𝐿A,SIS + ∆𝐿A,ENT = 0 http://www.glowscript.org/#/user/matterandinteractions/folder/matterandinteractions/program/11-angular-momentum-binary-star Conservación del Momento angular Si no hay entorno, no hay torques externos. Sistema 𝑑𝐿 total, A =0 𝑑𝑡 El momento angular del sistema se conserva : ∆𝑳𝐀,𝐒𝐈𝐒 = 𝟎 SISTEMAS CON TORQUE CERO Una patinadora en hielo gira verticalmente sobre la punta de un patin con sus brazos y piernas extendidos, y luego acerca sus brazos y piernas. Entonces puede girar mucho más rápido. a) ¿Qué es lo que sucede? b) Durante el tiempo corto en el que la patinadora rápidamente cambia su configuración, ¿Qué puedes decir acerca del momento angular de rotación? c) Si el momento de rotación apenas cambia, ¿Cómo puede la patinadora girar más rápido? d) ¿De donde viene este aumento de energía? 56 SISTEMAS CON TORQUE CERO Un hábil clavadista salta desde un trampolin alto, acurrucado en una apretada bola(sosteniendo sus tobillos) rota bastante rápido en unos pocos giros. Después se estira y entra en el agua como un cichillo, apenas perturbando la superficie. a) ¿Qué puedes decir del momento angular de rotación del clavadista mientras está en el aire? b) Cuando el clavadista se estira desde su posición encogida, ¿Por qué deja de girar rápido? 57 Fuente: [1] Chabay-Sherwood, Problema 58, pág. 484. Ejemplo 27 Un juego del parque consiste en un disco de masa 𝑴 y radio 𝑹, montado en un eje de baja fricción. Un niño de masa 𝒎 corre con rapidez 𝒗 en una línea tangencial al disco y salta hacia el borde externo del disco. a) Si el disco estaba inicialmente en reposo, ¿ahora qué tan rápido rota? b) Calcula el cambio en momento lineal del sistema que consiste en el niño mas el disco. c) El niño en el disco camina hacia dentro del disco y termina parado en una nueva posición a una distancia 𝑅/2 del eje. ¿Ahora cuál es su rapidez angular? 58 Ejemplo 28 Dos masas iguales se encuentran en los extremos de una barra de 50,0 cm de largo. La barra rota alrededor de un eje que pasa por su centro con una rapidez angular de 2 rev/s. Repentinamente la barra incrementa su longitud a 160 cm. ¿Cuál será la nueva rapidez angular del sistema? 59 Ejemplo 29 Un disco sólido de 2,0 kg y 20 cm de diámetro está rotando a 200 revoluciones por minuto (rpm). Un anillo circular de 1,0 kg y 20 cm de diámetro se suelta sobre el disco sólido, como se muestra en la figura ¿Cuál será la rapidez angular final del sistema? 60 Ejemplo 30 Fuente: [1] Chabay-Sherwood, Prob 52, pág. 482. Un disco rotando de densidad uniforme de radio 0,6 m esta montado en el plano vertical, como se muestra en la figura. El eje es sostenido por un soporte que no es mostrado y el disco es libre de rotar en el eje casi sin fricción. El disco tiene una masa de 5 kg. Un trozo de plastelina de masa 0,4 kg cae y se pega en el borde externo de la rueda en la posición 𝒓 = −𝟎, 𝟑𝟔𝟎 𝒊 + 𝟎, 𝟒𝟖𝟎 𝒋 𝒎 Relativo a un origen en el centro del eje. Justo antes del impacto la plastilina tiene una rapidez de 8 m/s y el disco está rotando en el sentido horario con rapidez angular de 0,51 rad/s. a) Justo antes del impacto, ¿cuál es el momento angular del sistema rueda+plastilina respecto al centro C? b) Justo despues del impacto, ¿cuál es el momento angular del sistema rueda+plastilina respecto al centro C? c) Justo despues del impacto, ¿cuál es la velocidad angular de la rueda? 61 eje Fuente: [1] Chabay-Sherwood, Problema 55, pág. 483. Ejemplo 31 Vista lateral Una barra de largo 𝑳 y masa 𝑴 cuelga de un eje de baja barra fricción, como se muestra en la figura. Una bala de masa 𝒎 viajando a alta rapidez 𝒗 choca cerca del final de la barra y rápidamente se entierra en el barra. a) Durante el breve impacto, ¿es el momento lineal del sistema barra más bala constante? b) Durante el breve impacto, ¿alrededor de que punto el momento angular del sistema barra más bala se mantiene constante? c) Justo despues del impacto, ¿Cuál es la rapidez angular 𝜔 de la barra con la bala incrustada? d) Calcula el cambio en energía cinética desde justo antes hasta justo despues del impacto. ¿A dónde se ha ido la energía? e) La barra se balancea con un ángulo máximo 𝜃max despues del imnpacto, luego se regresa. Calcula 𝜃max . 62 Taller de problemas sobre el principio del momento angular y su conservación. SESIÓN 46 63 LOGROS ESPERADOS Discute y resuelve problemas sobre conservación de momento angular. 64 Ejemplo 32 Un profesor de física se para en el centro de un disco giratorio sin fricción, con los brazos estirados y sosteniendo una pesa de 5,00 kg en cada mano. El profesor se encuentra rotando alrededor del eje vertical dando 1 vuelta en 2 segundos. Encuentre su velocidad angular final, si el junta los brazos hacia su cuerpo. El momento de inercia del profesor(sin la pesas) es 3,0 kg.m2 con los brazos estirados y 2,2 kg.m2 con los brazos junto a su cuerpo. Las pesas se encuentran inicialmente a 1,0 m del eje y a 0,20 m al final. 65 Ejemplo 33 La figura muestra dos discos. Sus momentos de inercia son 𝐼𝐴 e 𝐼𝐵 , inicialmente se encuentran rotando con rapideces angulares constantes 𝜔𝐴 y 𝜔𝐵 respectivamente. Los discos se juntan usando fuerzas que actúan a lo largo de los ejes, de tal forma que no apliquen torque sobre los discos. Al juntarse los discos, eventualmente alcanzan una rapidez angular común 𝜔. Derive una expresión para 𝜔. 66 Ejemplo 34 Una puerta de 1,00 m de ancho y 15 kg de masa, puede rotar libremente alrededor de un eje vertical ubicado en la bisagra. Una bala con una masa de 10 g y una rapidez de 400 m/s impacta en el centro de la puerta, en una dirección perpendicular al plano de la puerta, y se queda incrustada en ella. a) Encuentre la rapidez angular de la puerta. b) ¿Es conservada la energía cinética? 67 Ejemplo 35 Un pequeño bloque de 0,0250 kg de masa se encuentra sobre una superficie horizontal sin fricción. El bloque se encuentra adherido a una cuerda de masa despreciable que pasa a través de un agujero en la superficie. El bloque se encuentra inicialmente dando vueltas a una distancia de 0,300 m del agujero con una rapidez angular de 2,85 rad/s. Repentinamente, la cuerda es jalada desde abajo, recortando el radio del círculo en el cual el bloque daba vueltas a 0,150m. a) ¿Se conserva el momento angular del bloque? b) ¿Cuál es la nueva rapidez angular? c) Encuentre el cambio en la energía cinética del bloque. d) ¿Cuánto trabajo se efectuó al jalar la cuerda? 68 Taller de problemas sobre el principio del momento angular. SESIÓN 47 69 LOGROS ESPERADOS Discute y resuelve problemas relacionados con los temas de estudio. 70 Ejemplo 36 Un estudiante abre una puerta uniforme de 12 kg aplicando una fuerza constante de 40 N a una distancia perpendicular de 0,90 m de la bisagra. Si la puerta tiene 2,0 m de altura y 1,0 m de ancho, ¿Qué magnitud tendrá su aceleración angular? (Suponga que la puerta gira libremente sobre sus bisagras.) 71 Ejemplo 37 Un bloque de masa 𝑚 cuelga de una cuerda que pasa por una polea sin fricción, con forma de disco, de masa 𝑀 y radio R, como se muestra en la figura. Si el bloque desciende desde el reposo bajo la influencia de la gravedad, ¿qué magnitud tendrá su aceleración lineal? 72 Ejemplo 38 Una pelota pequeña sujeta a una cuerda que pasa por un tubo, se mueve en un círculo como se ilustra en la figura. Cuando se tira de la cuerda hacia abajo a través del tubo, aumenta la rapidez angular de la pelota. a) ¿Ese aumento en la rapidez angular se debe a la acción de algún torque? b) Si la pelota gira inicialmente con rapidez de 2,8 m/s en un círculo de 0,30 m de radio ¿Qué rapidez tangencial tendrá si el el radio se reduce a 0,15 m tirando de la cuerda? 73 Ejemplo 39 El cuerpo de un satélite C, tiene una masa de 200 kg y un radio de giro alrededor del eje z 𝑘𝑧 = 0,2 m. Si el satélite rota alrededor del eje z con una rapidez angular de 5 rev/s cuando los paneles solares A y B se encuentran en una posición de 𝜃 = 0 grados. Determine la rapidez angular del cuando los paneles han rotado a una posición de 𝜃 = 90 grados. Considere que cada panel solar como un plato delgado de 30 kg de masa. Desprecie la masa de las barras. 74 Ejemplo 40 Un disco de 2,0 kg viajando a 3,0 m/s choca contra un palo de 1,0 kg de masa y 4,0 m de longitud que se encuentra sobre una superficie de hielo sin fricción. El disco choca contra el extremo del palo a una distancia de 𝑟 = 2,0 m del centro del palo. Asuma que la colisión es elástica y que el disco no se desvía de su línea original de movimiento. Encuentre la rapidez de traslación del disco, la rapidez de traslación del palo, y la rapidez angular del palo después de la colisión. El momento de inercia del palo con respecto a su centro de masa es 1,33 kg.m2. 75 Conservación del momento angular (Mínimo dos horas de dedicación exclusiva ) SESIÓN 48 LOGROS ESPERADOS Discute y resuelve problemas acuerdo al enfoque por competencias para mostrar los saberes adquiridos en cualquier evaluación correspondiente. ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS LEER el problema cuidadosamente al menos dos veces. TRAZAR un diagrama mientras está releyendo el problema. CLASIFICAR todas las cantidades físicas y anótelas en el diagrama, usando la notación utilizada en clase. ENUNCIAR los conceptos, principios o leyes pertinentes a la situación, respetando la notación de los datos. PLANTEAR el problema. Escriba las ecuaciones a utilizar y obtenga algebraicamente la solución del problema . EVALUAR la respuesta algebraica. No sólo reemplace los valores numéricos de las cantidades físicas, sino proceder con el arrastre de unidades a lo largo de todo el proceso. Además, la meta no sólo es obtener un resultado, sino ampliar el entendimiento de la situación del problema. Pregunta 1 79 Pregunta 2 80 Pregunta 3 81 Pregunta 4 82 Referencias [1] SHERWOOD, B & CHABAY, R. (2015). Materia e Interacciones Volumen I: Mecánica Moderna (1era). México: Trillas. LIBRO TEXTO [2] SHERWOOD, B & CHABAY, R. (2015). Matter and Interactions (4th). Hoboken, NJ, EE.UU.: John Wiley & Sons. LIBRO TEXTO [3] SERWAY RAYMOND, JEWETT JOHN W. Física para la Ciencias e Ingeniería. Volumen I. 7a Edición. México. Thomson. 2009. LIBRO TEXTO [4] TIPLER PAUL, MOSCA GENE. Física para la ciencia y la tecnología. VOLUMEN 1. Mecánica/Oscilaciones y ondas/Termodinámica. Sexta Edición. Barcelona. Reverte. 2010