UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA S CURSO DE NIVELACIÓN 2015 – 2S CAPÍTULO: N Ú M E R O S R E A L E S D E B E R 3 1) Represente en un diagrama de Venn la clasificación de los números reales. Si R es el conjunto de los números reales, Q es el conjunto de los números racionales, I es el conjunto de los números irracionales, Z es el conjunto de los números enteros y N es el conjunto de los números naturales, identifique la proposición FALSA. 2) a) ( N ∪ Q) ⊆ R b) c) d) e) Q ∩ I = R Z ⊆ Q N ⊆ Z N ⊆ (Q ∪ I ) Respuesta: b) 2.1 Representación decimal 3) Ubique en la misma recta numérica los siguientes números racionales: a) 3.14 b) 4/5 c) 3/2 d) –1/3 e) –5/2 4) Ubique en la misma recta numérica los siguientes números irracionales: 2 3 a) b) 2 3 c) 3 d) 2 − 2 − π 2 e) 2 5) Determine si los siguientes números son racionales o irracionales: a) b) 7.31 0.505005000… c) d) −3.5478 5.070077000777… Respuesta: a) Racional, b) Irracional, c) Racional, d) Irracional 6) La suma (o la diferencia) de un número racional con otro número irracional es un número irracional. a) Verdadero b) Falso Respuesta: a) Página 1 de 12 26 b) 0. diferente de cero. a) Verdadero b) Falso Respuesta: a) 8) El cociente de un número racional. diferente de cero.456 c) d) 3. d) 145090/999 Página 2 de 12 . c) 10471/3333. a) Verdadero b) Falso Respuesta: b) 9) La fracción recíproca de un número irracional es otro número irracional.7) El producto de un número racional. por un número irracional. es otro número irracional.235 Respuesta: a) 526/100. b) 456/1000. es otro número racional.1416 145. a) Verdadero b) Falso Respuesta: a) 10) Realice las operaciones matemáticas necesarias para representar cada número en notación decimal como un número racional: a) 5. entre un número irracional. INTERVALOS 11) Defina: a) Intervalo cerrado. c) Intervalo semiabierto/semicerrado. f) Valor absoluto.5) . b) Intervalo abierto. 12) Sean los intervalos A = [−5. d) Intervalo con extremo infinito a la izquierda.12) y B = [−9. e) Intervalo con extremo infinito a la derecha. Determine la cantidad de números enteros que pertenecen al conjunto A − B . Respuesta: 7 13) Determine el valor de verdad de la siguiente proposición: ∀x ∈ ! Respuesta: 0 2 x = x Página 3 de 12 . 14) Sea la ecuación lineal 5 − 1− x +5 2 = 2x . la suma de los valores que debe tener k .5) Respuesta: d) € € 15) Sea Re = ! . Luego de comprobar sus € € € () ( )€ ( ) soluciones.1) b) [1. tabule los conjuntos de verdad Ap x . tenga SOLUCIÓN ÚNICA en el conjunto de los números reales. ( ) mn !"a (m − x) + bx#$ = b (n − x) + ax q ( x ) : 5x + 6 = 1 32 x−3 r ( x) : −3= x +1 x + 3x + 2 a) p x : b) c) 2 () " 7% 5' () { Respuesta: b) Aq x = #−1. Aq x y Ar x .3) d) [ 3.2) c) [2. al determinar su solución considerando como 3 conjunto referencial a los números reales.2 $ } 2 16) Para que la ecuación cuadrática: 4 x − 2kx + 1 = 0 . se obtiene que pertenece al intervalo: a) [0. Ecuaciones Defina: a) Identidad.4 ) e) [ 4. c) Ar x = −4. resuelva la ecuación asociada a cada predicado. es igual a: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 Respuesta: e) Página 4 de 12 . b) Ecuación.− & . 7} b) {−7. entonces N ( Ap ( x )) es: b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Respuesta: b) () 20) Sea el conjunto referencial Re = ! y el predicado p u : 1− u + u = 1 . es VERDAD que: a) b) c) d) e) () Ap (u ) = {1} N ( Ap (u )) = 1 N ( Ap (u )) = 2 N ( Ap (u )) = 3 Ap u = ∅ Respuesta: d) 21) Sea el conjunto referencial Re = ! y los predicados: () q ( x) : p x : x 2 + x − 56 = 0 x 2 = 49 El conjunto A"# p x ∨ q x $% es igual a: () () a) { − 7.7 { } d) 7 { } e) 8 {} Respuesta: d) Página 5 de 12 . 7} c) − 8. la suma de los elementos del conjunto de verdad Ap ( x ) es igual a: a) –2 b) 0 c) 2 d) 8 e) 12 Respuesta: a) 2 18) Sea Re = ! y p x : x − m −1 x + m +1 = 0 . Si x1 y x2 son los elementos de Ap x () ( ) ( () ) 1 1 1 2 . − 8. Entonces. + = .17) Sea el conjunto referencial Re = ! y el predicado p ( x ) : −4x 2 − 8x = −32 . calcule 3 x1 x2 3 m+3 y se cumple que Respuesta: () 19) Sea Re = ! y p x : a) 0 1 2 x − x + 29 = 1 . el segundo. determine la cantidad de problemas que el estudiante resolvió bien. Respuesta: 39 Página 6 de 12 . un cuarto del nuevo resto menos una y el cuarto niño.50 c) $ 8. Considere Re = ! . Determine el producto de las raíces de ambas ecuaciones. entonces determine el producto de los tres números.22) Dada la primera ecuación: x 2 + 5x + 6 = 0 y la segunda ecuación: x 2 + 7x + k = 0 . Entonces.50 c) $ 7. el tercero. se reparten a $ 8 por persona y les sobra $ 4.50 b) $ 6.50 e) $ 9. la cantidad de dinero a repartirse es: a) $ 52 b) $ 60 c) $ 68 d) $ 76 e) $ 84 Respuesta: b) 26) Un trabajador recibió $ 390 como pago por el trabajo de una semana. En un segundo intento. de las cuales 40 horas fueron normales y el resto horas extras. y le promete 5 puntos por cada uno de los problemas que resuelva bien.50 Respuesta: c) 27) Si la suma de tres números pares consecutivos es 24. Respuesta: 30 25) Un grupo de amigos deben repartirse un dinero. a) –20 b) –12 c) 12 d) 60 e) 72 Respuesta: d) () 23) Si Re = ! . se reparten a $ 9 cada uno pero ahora les falta $ 3. las trece naranjas restantes. si se conoce que la raíz de mayor valor de la primera ecuación. es también solución de la segunda ecuación. con la condición de que le quitaría 2 puntos por cada uno de los problemas que resuelva mal. La primera vez que lo intentan. para un fin de semana. determine el conjunto de verdad Ap x : () q ( x) : a) p x : b) 9 7 2 − = 2x + 6 5x +15 3 x 2 −13 + x −13 = 0 () ! 33 $ % . laborando en total 48 horas. un tercio del resto menos dos. El valor de cada hora extra es 1.5 veces el valor de la hora normal. Si al final el estudiante obtuvo 73 puntos. b) Aq x = {7} # 20 & Respuesta: a) Ap x = " () 24) Cuatro niños se reparten cierto número de naranjas de la siguiente manera: el primero recibe la mitad del total menos seis. Respuesta: 480 28) Un maestro le propone 100 problemas a un estudiante. Determine la cantidad de naranjas que le corresponden a cada uno. Entonces el valor de la hora normal es: a) $ 5. La reina socorre a 150 necesitados más que la virreina.50 más que la reina. c on l a m isma a yuda. 29) Eduardo le dice a María: "Si al doble de mi edad le quitas el triple de la edad que tenía hace 40 años. la virreina a 800. Si ambos albañiles trabajan simultáneamente. ¿Cuántos de cada uno puedo comprar con $ 6 200? Respuesta: 10 libros de $ 300. ¿Cuál es el número? Respuesta: 42 32) Obtuve un 8 % de aumento se sueldo. Respuesta: 60 años. ¿Cuál era mi sueldo anterior y cuanto es mi sueldo actual? Respuesta: $ 255 000. Algunos cuestan $ 300 cada uno y otros $ 800 cada uno. 34) Determine un número entero tal que sumado al numerador y al denominador de 3/8 se obtenga 6/5 como resultado. calcule la edad actual de Eduardo. 30) La suma entre un número entero X y su recíproco es 26/5. obtendrás mi edad actual". Respuesta: 26 31) La cifra de las decenas de un cierto número excede en 2 a la de las unidades. lo que me significo $20400 más al mes. pero ésta da a cada necesitado $ 1. a u n 35) cierto número de necesitados. Si se divide el número por las cifras de sus unidades. Respuesta: –33 Una r eina y u na v irreina d edican $ 7 6 00 c ada u na p ara s ocorrer. resulta los 7/8 del número invertido. entonces el tiempo en que tardarán en construir la pared es igual a: a) 12 7 horas b) 3 7 horas c) 7 horas d) 4 horas e) 3 horas 2 3 4 Respuesta: a) Página 7 de 12 . ¿Cuántos necesitados son ayudados por cada una de ellas? Respuesta: La reina a 950. 36) Un albañil puede construir una pared en 4 horas y otro albañil puede hacer el mismo trabajo en 3 horas. $ 275 400 33) En una liquidación de libros quiero comprar 14 libros. calcule el valor de 5X + 1. 4 libros de $ 800. entonces el conjunto de verdad A c p ( x ) ∪ Aq ( x ) es igual a: 2 4 ! π 3π $ ! π 3π $ ! π 3π $ ! π 3π $ a) # . 2 ∪ &'4.2#$ 39) La cantidad de números enteros que satisfacen la inecuación: 4x −1 ≤ 5 . e) ∅ % c) # .+∞ ( ) Respuesta: c) Página 8 de 12 .9 Inecuaciones 37) Defina: a) Desigualdad.−4#$ ∪ − 2 . Respuesta: c) ( −∞. +∞ ) 5x + 3 ≥ 0 .+∞ () 42) Sea Re = ! y p x : a) ) ( x+ ) d) −3. d) # .+∞)( ( $16 ' . b) " . b) Inecuación. & " 3 % ! 16 $ & " 3% e) # 4. −1] c) [−3. +∞ ) ( e) 2.−1 ∪ 1.4 ∪ & . es igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Respuesta: b) 40) Sea el conjunto referencial Re = ! y los predicados: p ( x ) : x − π ≥ 0 y π π < . c) !"0. el conjunto de verdad Ap ( x ) es igual a: x −1 b) [ −3.2. considerando como conjunto referencial los números reales. El conjunto de x−4 ( ) es igual a: verdad Ap x a) $ ' (−∞.3) ∪ &% 163 .+∞) %3 ( ) b) −∞. −1] ∪ (1.1) ∪ ( 2.+∞ . 38) Resuelva las siguientes inecuaciones. b) −∞.3 ∪ & c) ( ) C ! 16 $ d) # 4. & & & " 4 4 % " 4 4 % "4 4 % #4 4 & q ( x) : x − Respuesta: a) 41) Sea el conjunto referencial Re = ! y el predicado p x : () 2x ≤ 8 .7 ) C ( ( ) ) . a) 3|2 – x| – 15 ≥ 0 b) |x2 -‐ 9| ≥ 7 c) |x + 1| ≥ |1 – 2x| ( Respuesta: a) −3.+∞) %3 ( $16 ' −∞. alquiler de taller y consumo de energía eléctrica.2) (−∞. 0) (0. Respuesta: b) Página 9 de 12 .1) ∪ (2. −2] ∪ (−1. +∞ y los predicados: ) () p x : x 2 − 6x ≤ 0 () q x : Entonces.1#$ ∪ &'2. ¿Cuántos pares de zapatos deben elaborarse y venderse semanalmente para obtener utilidad? a) Más de 50 pares de zapatos. +∞) c) d) e) Respuesta: a) 44) Sea el conjunto referencial Re = ! y los predicados p ( x ) : x + 3 −1 ≥ 0 y q ( x ) : x − 2 < −1 . luego los vende a un precio de $16. entonces el conjunto A ( p ( x ) → q ( x )) es igual a: a) (−∞.+∞) (−∞.1) ∪ [3. El costo en materiales por cada par de zapatos es de $8.1) ∪ [2.1#$ ∪ (2. d) Menos de 100 pares de zapatos. −3] ∪ [3. e) Entre 50 y 100 pares de zapatos. 4) d) (−2.1) ∪ (2. −2 ) c) [−2.+∞) (−∞.43) Sea el conjunto referencial Re = ! y el predicado p ( x ) : x −3 ≥ 0 . −2] ∪ (−1. x −1 ( ( ) ( )) entonces A p x ∨ q x es igual a: a) !1. el conjunto de x 2 −1 verdad Ap ( x ) es igual a: a) (−∞. 4) e) [−4. b) Más de 75 pares de zapatos. −2 ] Respuesta: b) 2 45) Sea el conjunto referencial Re = ! y los predicados p x : x −1 ≤ 0 y q x : () () 1 < 1 . +∞) (−∞. −3] ∪ (−1. c) Menos de 75 pares de zapatos. N " A p x ∧ q x $ es igual a: # % a) 0 b) 1 c) 2 x − 1 − 1 = 0 ( ( ) ( )) d) 3 e) 4 Respuesta: c) 47) Un artesano que fabrica y vende calzado tiene gastos fijos semanales de $600 entre salarios y operarios.2# " $ b) (1. +∞) b) (−∞.+∞) c) d) e) Respuesta: d) 46) Sea el conjunto referencial Re = !"0 . −4] b) (−4. +∞) (−∞. considere x . Hallar el conjunto de verdad de las siguientes desigualdades.48. a) b) c) d) e) f) Página 9 10 de 12 . Resolver las siguientes inecuaciones. a) b) c) d) e) f) 49. considere Re= . entonces −3 = 1 − 4. identifíquela: a) 4 = 2 siempre que −2π es un número irracional. Realizar las operaciones indicadas: a) |−7| + |3|− |−5| − 9| + |10 − 4| + |5| − |−5| c) |4 − 8| − |−6| + |14 − 11| − |−8| d) |3(−1) − (−1)| − |2(−1)− (−1)| − |3− (−1)| e) 2(1) −3 −|3(1) − 2(2)| + |4 − 5(−2)| f) |3(0) − 1| − [3(−4) + 6] − |−3 −2(−4)| b) |6 52. c) El número d) Si 2e ÷ e es irracional y |x − e|= |e − x|. 51. b) 6 ÷ (10 ÷ 5) = 3 o (−15)−2 es un número negativo. 2 es irracional. Definir sin barras de valor absoluto las siguientes expresiones: a) |x − a| b) |1 − x| c) |x − a + b| Página 9 11 de 12 . e) Una de las proposiciones anteriores es falsa.Valor Absoluto 50. Una de las siguientes proposiciones es falsa. Resolver las siguientes ecuaciones. Número natural impar. El inverso multiplicativo o recíproco de r. La diferencia positiva de los cubos entre dos números naturales pares consecutivos. El sucesor de n. El sucesor del cuadrado de n. El sucesor del recíproco de s. * * * * * * * * * * * * * * * Número natural cualquiera. El triple de x. A continuación se presenta una lista de diversos enunciados verbales de uso frecuente en el cálculo algebraico. considere x . El cuadrado del sucesor de n. Dos números naturales impares consecutivos. El cuadrado del sucesor del antecesor de n.53. El inverso aditivo u opuesto de r. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 54. La diferencia positiva de los cuadrados entre dos números naturales consecutivos. Expresarlos en forma algebraica. El antecesor de n. Página 9 12 de 12 . Número natural par.