ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 2015 – 1S CAPÍTULO: N Ú M E R O S R E A L E S D E B E R 3 1) Represente en un diagrama de Venn la clasificación de los números reales. Si R es el conjunto de los números reales, Q es el conjunto de los números racionales, I es el conjunto de los números irracionales, Z es el conjunto de los números enteros y N es el conjunto de los números naturales, identifique la proposición FALSA. 2) a) ( N ∪ Q) ⊆ R b) c) d) e) Q ∩ I = R Z ⊆ Q N ⊆ Z N ⊆ (Q ∪ I ) Respuesta: b) 2.1 Representación decimal 3) Ubique en la misma recta numérica los siguientes números racionales: a) 3.14 b) 4/5 c) 3/2 d) –1/3 e) –5/2 4) Ubique en la misma recta numérica los siguientes números irracionales: 2 3 a) b) 2 3 c) 3 d) 2 − 2 − π 2 e) 2 5) Determine si los siguientes números son racionales o irracionales: a) b) 7.31 0.505005000… c) d) −3.5478 5.070077000777… Respuesta: a) Racional, b) Irracional, c) Racional, d) Irracional 6) La suma (o la diferencia) de un número racional con otro número irracional es un número irracional. a) Verdadero b) Falso Respuesta: a) Página 1 de 28 7) El producto de un número racional, diferente de cero, por un número irracional, es otro número irracional. a) Verdadero b) Falso Respuesta: a) 8) El cociente de un número racional, diferente de cero, entre un número irracional, es otro número racional. a) Verdadero b) Falso Respuesta: b) 9) La fracción recíproca de un número irracional es otro número irracional. a) Verdadero b) Falso Respuesta: a) 10) Realice las operaciones matemáticas neecsarias para representar cada número en notación decimal como un número racional: a) 5.26 b) 0.456 c) d) 3.1416 145.235 Respuesta: a) 526/100, b) 456/1000, c) 10471/3333, d) 145090/999 2.2 Operaciones binarias 11) Defina: a) Operación binaria. b) Propiedad de cerradura. c) Propiedad conmutativa. d) Propiedad asociativa. e) Propiedad de elemento neutro. f) Propiedad de elemento inverso. 12) Toda operación binaria cumple con la propiedad de cerradura y la propiedad conmutativa. a) Verdadero b) Falso Respuesta: b) 13) Las operaciones de unión e intersección entre conjuntos son operaciones binarias. a) Verdadero b) Falso Respuesta: a) 14) El ser humano a través de la historia ha manejado diferentes tipos de representación numérica. Indique, justificando su respuesta, si las operaciones de suma y resta de los siguientes sistemas numéricos se pueden considerar operaciones binarias: a) Sistema de números romanos b) Sistema binario 15) Cree, de ser posible, una operación binaria que cumpla la propiedad conmutativa, pero no la asociativa. 16) Cree, de ser posible, una operación binaria que tenga elemento neutro, pero no tenga elemento inverso. Página 2 de 28 d) 0.17) Cree. a) La operación ⊗ es binaria. c} sobre el cual se define la operación binaria ∇ por medio de la siguiente tabla: ∇ a b c Identifique la proposición VERDADERA. a) α ∗ β = β ∗ γ b) γ ∗ α = α ∗ γ c) α ∗ α = β ∗ β d) γ ∗ γ = α ∗ α e) β ∗ γ = α ∗ β Respuesta: d) 20) Dado el conjunto 𝑆 = a. b) 0. justificando su respuesta. de ser posible. d) "#( a ⊗ b) ⊗ c$% = c e) La operación no es asociativa. b. c y “ ⊗ ” una operación binaria definida en 𝑆 por la siguiente manera: ⊗ a b c a b c a b a b c c c a b Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. una operación binaria que tenga elemento inverso. c) 0. 18) Sea el conjunto S = {a. pero no tenga elemento neutro. γ} como se muestra en la siguiente tabla: ∗ α β γ α β γ α β α γ α γ β γ β Identifique la proposición VERDADERA. β. e) 1 Página 3 de 28 . b) La operación es conmutativa. c) La operación tiene un elemento neutro. c) d) e) ( a∇a) = "#(b∇c) ∇a$% (b∇b) = "#(c∇b) ∇c$% "#( a∇b) ∇ ( a∇c)$% ≠ ( c∇b) Respuesta: c) 19) Sea la operación binaria ∗: S × S ! S definida sobre el conjunto S = {α. b. a) ( c∇c ) = "#( b∇c ) ∇c$% a b c b a a b c b a b c b) La operación binaria ∇ es conmutativa. Respuesta: a) 1. ..238 Respuesta: e) 2.. Respuesta: − 26) Sin utilizar la calculadora.3 Operaciones entre números reales 2 + 3 = 5 23) a) Verdadero b) Falso Respuesta: b) 24) Sin utilizar la calculadora. ∀ a..5 # 92 & ( )( ) 2 1 6 Respuesta: 9 3 1 +4 2 1 − 10 4 0 .348 d) –1. 2 27) Sin utilizar la calculadora.. 0. Entonces.) (0.383 c) –1.033.333.5−1 $1− '$1− ' # 3 &# 5 & 2 ) 2 0.... resuelva: (0. a) La operación ∇ es binaria. b ∈ S .21) Si ∇ es una operación definida sobre los números enteros como a∇b = 2a − 3b . d) El elemento neutro de la operación ∇ es 0.888.5−1) −2 3 1− 37 64 "1% $ ' 1.283 ( (( ) ) ) e) –1.022..222.. resuelva: 5. b) La operación ∇ es conmutativa.. c) La operación ∇ es asociativa.) 1 + 0.555. resuelva: (3. e) 4∇3 = 3∇5 Respuesta: a) 1. c) 0. −1) (3. d) 0.. resuelva: ( " 1 %" 3 % 0.6 − + 3 3 Respuesta: 73 5 Página 4 de 28 . !"2 * 5 * 1 #$ * !2 * −2 * 0 # es igual a: " $ a) 2. e) 0 22) Sea el conjunto S = Z y sea * una operación binaria tal que a *b = a + b + 2ab . 2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones.138 b) 2. justificando su respuesta. b) 0.1 5 1− 9 Respuesta: −8 25) Sin utilizar la calculadora. entonces 2n también es impar. Entonces es FALSO que: a) La operación * es binaria. b) La operación * es conmutativa. d) El elemento neutro es –2. $ # ( a) 1 12 b) 1 4 c) ( ) 3 4 d) )( ) 4 3 ( ) −1 % ' ' .02222. c) No tiene elemento inverso...06666. se obtiene: ' & e) 12 Respuesta: c) 29) Indique cuáles son las propiedades que posee la operación * definida sobre los números enteros: a * b = a 2 + b 30) Sea la operación binaria * definida sobre los números enteros de la siguiente manera: a * b = a + b + 2. Por lo tanto. es igual a: a) 28 b) 30 c) 32 d) 36 e) 40 Respuesta: c) Página 5 de 28 . entonces x > 0 d) Si n es impar. a) Si a = b) 40 ÷ −4 + 30 ÷ −3 ÷ 2= 5 2 3 ( ) (−3) (−3) c) Si −3 0 = x .... e) ( x+ y 2 ) = x + y Respuesta: b) 33) Sobre el conjunto de los números naturales se define la operación binaria: " b a $ a + b . $ 0..000 Respuesta: a) 32) Identifique la proposición VERDADERA: ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 4 y b = 9 .. Respuesta: c) ( ) ( ) #a 31) Si se conoce que a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ∧ % a) 0 b) 1 $b + c) 2 & 2000 b = 2 ( . e) La operación * es asociativa. " −1 $ 0..5 − 16 28) Al simplificar la siguiente expresión 0.25 0. el valor numérico de la a⊗b=# $% !!!!!ab.000 e) 2. si! ( a + b) !es!!par . entonces ab ∉ ! . el valor de ( a − b) es igual a: a ' d) 1. !!!!!!si! ( a + b) !es!impar operación: ( 2 ⊗1) ⊗ (1⊗ 3) . b. c) Propiedad reflexiva.b"# Respuesta: b) ( 42) Siendo x 2 y 3 z 5 un valor negativo. d .4 Relación de orden 35) Defina: a) Relación de orden. Identifique la proposición FALSA. a) El conjunto A = x / x ∈ !+ ∧ 3 < x ≤ 4 b) − Respuesta: a) 0. el producto que SIEMPRE ES NEGATIVO es: a) x 2 y b) xy 2 c) yz d) x 2 y 3 e) x 2 y 2 Respuesta: c) Página 6 de 28 . entonces a < c d) a < x ≤ b es equivalente a x ∈ a. ! 5. 36) Ordene en forma ascendente los siguientes números: 𝑒. b) 1 41) Sean los números reales a.c ∈ ! !" a > b ∧ b > c #$ → a > c ( a) Verdadero ) ( ( ) ) b) Falso Respuesta: a) 40) Justificando su respuesta. entonces # a) Verdadero "x b) Falso < 1$ & y% Respuesta: b) 39) ∀a. califique el valor de verdad de esta proposición: “Entre dos números racionales siempre es posible tener otro número racional. Respuesta: a) 36 36 . a) Si a > b y c > d . entonces ac < bc c) Si a < b y b < c .” ( !1 ) 38) Sean los números reales positivos x.34) Sea la operación binaria * definida en ! . determine el valor de verdad de cada proposición: ( )} es vacío. d) Propiedad transitiva. Si x < y . entonces b + d < a + c b) Si a < b y c < 0 . c) Determine cuál es su elemento neutro. b. c) 0 1 2. 2. b) Tricotomía de los números reales. c. ! 37) Justificando su respuesta. a b * c d = ad + bc bd ( ) a) Calcule 1 2 * 1 3 * 1 6 b) Demuestre que la operación es conmutativa. y . x . { El conjunto A = { x / x ∈ ! ∧ (−3 < x ≤ −2)} es unitario. e) Propiedad antisimétrica. 𝜋. b ∈ ! − 0 {} −1 *$ ' .b. b) Múltiplo. {} Identifique la proposición VERDADERA: a) b) c) 1 1 > b+c a bc < a 1 1 > b c 2 1 a d) (b + c) e) ! 1 1$ 1 # + & < "b c% a > 2 Respuesta: d) 2.b ∈ ! &'( ab < 0) ↔ (( a < 0∧b > 0) ∨ ( a < 0∧b < 0))() ∀a.5 Conceptos asociados a los números enteros 48) Defina: a) Divisor.+% a b ( /. Página 7 de 28 . b) 1 44) Si 0 < a < b y 0 < c < d.b ∈ ! &'( ab > 0) ↔ (( a > 0∧b > 0) ∨ ( a < 0∧b > 0))() ∀a.& 1 + 1 ) = a + b/ .entonces ac < bd a) Verdadero b) Falso Respuesta: a) 45) Si a < b < c < d < 0. $ ab = bc ↔ a = c & % ' ( ) ( ) ∀a. Respuesta: d) 47) Sean los números a.c ∈ ! b) c) d) e) ∀a.02 ' > 2 # 3 & Respuesta: a) 0.43) Califique cada proposición como verdadera o falsa.entonces ab > cd a) Verdadero b) Falso Respuesta: a) 46) Identifique la proposición VERDADERA.b. d) Número compuesto. c) Número primo. justificando su respuesta. − 1/4 a) 16 1/5 > 32 1 " 1 %2 1 b) $1 −1.b.c ∈ Z − 0 y las siguientes condiciones a > 0 > b > c .c ∈ ! &'( a ≤ b) → ( a − c ≤ b − c)() a) ∀a. Determine la cantidad de veces que como mínimo será necesario echar dicho recipiente lleno en cada botella. Número impar. el mayor número posible. con Miriam cada 5 días y con Sonia cada 6 días. y. Si la última vez se encontraron para festejar el 1 de enero (de un año que no es bisiesto). otro faro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. la cantidad de niños que recibieron dinero fue: a) 5 b) 15 c) 19 d) 44 e) 46 Respuesta: e) 51) Un “Don Juan” moderno se comprometió a salir con Giselle cada 3 días. Respuesta: 10. b) 200 Página 8 de 28 . 650 mililitros y 4/5 de litro. es: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 Respuesta: c) 53) Un faro se enciende cada 12 segundos. bombillas azules cada 10 segundos y bombillas rojas cada 15 segundos. durante un partido de fútbol (de 90 minutos). Indique cuándo será la próxima vez que le sucederá este inconveniente. El 2 de marzo de este año le correspondió cumplir con todas. al correr. 16 56) Un comerciante desea poner en cajas 12028 manzanas y 12772 naranjas. 52) Pablo y María van a correr en una pista atlética. es igual a: a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 Respuesta: e) 55) Se desea tener un recipiente (con capacidad en mililitros) para llenar 3 botellas cuyas capacidades son 1/2 litro. de tal manera que todos los niños reciban el mismo valor. él lo hace en 2 minutos y ella se demora 3 minutos. Determine: a) el número de manzanas (o de naranjas) a colocar en cada caja. el número de veces que volverán a coincidir en los 5 minutos siguientes es igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 40 e) 50 Respuesta: a) 54) Para los partidos de fútbol de la selección del Ecuador se encienden bombillas amarillas cada 18 segundos. pero superó el percance. Respuesta: a) 124. Entonces. 3 y 5 días respectivamente. Número par. m. 50) Un rey le da a sus tres hijos $ 60. Si parten al mismo tiempo y han corrido durante una hora. Si a las 18H30 los tres coinciden. La cantidad de veces que se encienden las 3 bombillas al mismo tiempo. Respuesta: 1 de mayo. además. C. D. b) el número de cajas necesarias. de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas (o de naranjas) y. c. $ 75 y $ 95 para que los repartan a los niños de su pueblo. 13. 2 de marzo. 49) Tres hermanas (que ya están casadas) visitan a sus padres cada 2. con Paola cada 4 días. en cuáles fechas del primer trimestre se volvieron a encontrar Respuesta: 31 de enero.e) f) g) h) M. la cantidad de veces que se han encontrado. m. de modo que ni falte ni sobre líquido. entonces m es par. La mínima cantidad de cajas que se necesitan para guardar todos los cartones es igual a: a) 4 b) 8 c) 10 d) 20 e) 40 Respuesta: c) 63) Utilizando el MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN DIRECTA. demuestre la siguiente propiedad de los números enteros: ∀m ∈ Z Si m2 es par. determine la hora y el día a la que volverán a dar la señal los tres juntos. 64) Utilizando el MÉTODO POR CONTRARRECÍPROCA. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Salinas? Respuesta: 360 días. en cuadrados lo más grandes posible. En la caja A tiene bolsitas de 24 botones cada una y no sobra botón alguno. ¿Cuántos botones como mínimo hay en cada caja? Respuesta: A = 5. El número de botones que hay en la caja A es igual al que hay en la caja B. B = 6 59) Un campo rectangular de 360 m de largo y 150 m de ancho. han coincidido en Salinas los tres jóvenes. a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado? b) ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera? Respuesta: a) 32 cm. 58) Sara tiene en su tienda los botones metidos en bolsitas. 60) Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho. otro va a Salinas cada 15 días y un tercero va a Salinas cada 8 días. En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra botón alguno. 10 de enero. 57) Karla tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos. Hoy. ¿Cuál es la longitud del lado de cada parcela cuadrada? Respuesta: 30 m. 61) Un joven visita Salinas cada 18 días. entonces m3 es impar. está dividido en parcelas cuadradas idénticas. Se requiere guardarlos en cajas que tengan el mismo número de cartones. otro reloj que da una señal cada 150 minutos y un tercero que da una señal cada 360 minutos. Respuesta: Mañana a las 15H00. Página 9 de 28 . 62) En un almacén se tienen 100 cartones de leche entera. b) 24 cuadrados. 60 cartones de leche semidescremada y 40 cartones de leche descremada. Si a las 9H00 del día de hoy los tres relojes han coincidido en dar la señal. El área de cada una de estas parcelas cuadradas es la mayor posible. demuestre la siguiente propiedad de los números enteros: ∀m ∈ Z Si m es impar. 6 Expresiones algebraicas 3 1 $ ! 2 65) Al desarrollar la expresión algebraica: # p 3 − q 3 & . es igual a: 15 a 6 a 3 a 4 Respuesta: b) " 3x y %'"$ 3x y %'" x y % se obtiene: − + $ 3 '$ 3 '$# 3 + 4 '& 2 2 # &# & 67) Al simplificar la expresión $ a) (3x 2 ) − 4 y 2 2 b) c) d) "x y% $ − ' #3 4& " x2 y2 % $ − ' # 9 16 & " % ( x − y ) $# 3x + 4y '& 2 e) " 3x y %' " x y % $ − $ 3 ' $# 3 + 4 '& 4 # & Respuesta: c) " a − b % a 2 c + 2abc + b 2 c 68) Al simplificar la expresión algebraica: $ . se obtiene: ' # a + b & a 2 − 2ab + b 2 a) a b b) c c) c c d) a c e) c 2 Respuesta: b) Página 10 de 28 . se obtiene: " % a) p 2 − q 4 b) p 2 q − 3p 3 q 4 1 4 1 4 2 c) p 2 − 3p 3 q d) p 2 − 3p 3 q e) p 2 − 3p 3 q 2 3 2 2 1 + 3p 3 q 3 − pq 3 2 2 2 2 2 2 3 − 3p 3 q 3 − q 3 + 3p 3 q 3 − q 3 + 3p 3 q 3 − q 3 1 Respuesta: d) 66) La expresión: 3 a 3 a) b) c) d) e) a a 1 5 8 4 4 a a .2. se obtiene: x −8 1 a) 2 x 3 +1 2 3 1 3 x + 4x + 4 b) 1 x 3 −1 2 3 1 3 c) x + 2x − 4 x3 − 2 1 3 1 d) x −1 1 x 3 +1 2 3 1 3 x + 2x + 4 e) x 3 −1 2 3 1 3 x + 2x + 4 Respuesta: d) 73) Simplifique la expresión algebraica: x6 + x3 y3 + y6 6 x − y 6 x9 − y9 ( ) Respuesta: x 3 + y 3 x x −1 74) Simplifique la expresión algebraica: x x− x −1 x+ Respuesta: x x−2 Página 11 de 28 . *)# y # x se obtiene: xy a) 2 m b) 3 m ( xy ) 2 ! xy $ c) # & "m% d) m2 x2 y2 e) x3 y 2 m3 Respuesta: c) " ( 70) Al simplificar la expresión algebraica $ # 4 x− y )( 4 x+ y % x + y x 2 + xy 2 + y 4 ' se & )( )( ) obtiene: ( x − y) ( x ( x + y) ( x a) b) c) x 3 − y 6 d) x 3 + y 6 e) x 2 − y 4 ) + y ) 2 + xy 2 + y 2 2 + xy 2 2 Respuesta: c) ( ) 71) Si se conoce que x 2 + y 2 + z 2 = 50 y que 49 − xy − xz − yz = 0 .69) Al simplificar la expresión algebraica: x 2 y 2 (" x 2 m2 " y 2 m2 xm %% " xy ym %+ ÷ *$$ ÷$ ⋅ 2 ''' ÷ $ 2 ÷ 2 '. m y && # m x &-. es igual a: # & 2 a) 0 b) 1 2 c) 2 2 d) 48 e) 50 Respuesta: c) 2 1 x3 − x3 − 2 72) Al simplificar la expresión algebraica: . entonces el valor ( ) " % numérico de la expresión $( x − y ) + ( x − z ) + ( y − z ) ' . 75) Simplifique la expresión algebraica: −x 2 x 4 +1 + x 2 +1 x 4 −1 Respuesta: 1 x −1 2 ! 2a 2 + 7a + 6 $! 2a 2 +17a + 8 $ &# 2 & 2 " 2a + 9a + 9 %" 4a + 9a + 2 % 76) Simplifique la expresión algebraica: # Respuesta: (a + 8) (2a +1) (a + 3) (4a +1) 77) Simplifique la expresión algebraica: 2 9 4x − 5 + + 2 2 x +10x + 24 18 − 3x − x x + x −12 2 Respuesta: 𝒙!𝟏 𝒙!𝟏 ! 𝒙!𝟏 𝒙!𝟏 78) Simplifique la expresión algebraica: 𝟐𝒙!𝟑 𝟒𝒙𝟐 !𝟔𝒙!𝟗 𝒙𝟐 !𝟏 ∗ 𝟐𝟕 − 𝟖𝒙 𝟑 4 x+4 Respuesta: 4x 79) Simplifique la expresión algebraica: 𝟐𝒙𝒑!𝒏 𝒙𝟐 𝟏!𝒂 𝒙𝒃!𝒏!𝟏 𝒙𝒏!𝟐𝒂 𝒙𝒃!𝒎!𝟑 Respuesta: 2x p+m−n 6x +12 x+2 x − 5 80) Simplifique la expresión algebraica: 11x − 22 x −4+ x−2 x+7 x +1− Respuesta: 1 " 2x 2 − 5x − 3 % (" x 2 + 6x + 9 % " x 2 − 9 %+ ' *$ '÷$ 2 '. 81) Simplifique la expresión algebraica: $ 2 # x − 9 & *)# 1+ 2x & # x + 4x + 3 &-. Respuesta: ( x + 3) ( x +1) x−3 Página 12 de 28 . se obtiene: 2 3 +3 2 d) 6a e) 36a 3 − 2 = a . $ ' 1 −1 1 % # 2x − y x2 − y2 & $ '" 3 # &$x + y 3 ' # & ( ) se obtiene: a) 1 c) x b) x − y d) x + y e) 2x Respuesta: a) 83) La expresión algebraica: −1 "8% 3 −$ ' # 27 & −2 " 1% $1− ' # 3& " m2 − 2mn + n 2 %" m + n % +$ '$ ' 2 2 # m −n &# m − n & es igual a: a) − 3 2 b) − 2 3 1 3 c) − d) 1 3 e) 2 3 Respuesta: d) 84) Simplifique la expresión algebraica: ( )( ⎡ x − 2 ax + a x + 2 ax + a ⎢ ⎢ x3 − 12 x 2 + 6 x − 8 ⎣ ) ⎤⎥ −1 ⎡ x 2 − ( a + b ) x + ab ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ 9 x 2 − 36 x + 36 ⎦ ⎦ 85) Defina RACIONALIZACIÓN.82) Al simplificar la expresión algebraica: 1 2 % " 23 3 3 " 2x 2 − 3xy + y 2 % $ x − xy + y ' 1 $ ' . 86) Racionalice: a) c) e) 1 2 + 3 − 5 1 x−3 y x+ y 3 x−3 y b) d) 1 3 m+3 n 1 4 a − 4 b ! f) ! ! !! ! ! ! !! !! ! 87) Si a) 6 6 . al racionalizar la siguiente expresión − 36a b) − 6a c) 0 Respuesta: d) Página 13 de 28 . Si la demanda de casas aumentó en 25% y las horas de trabajo diario disminuyen en 50%. ¿cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas? Respuesta: 7. Regla de tres simple y regla de tres compuesta 88) José trabaja los sábados cortando el césped a sus vecinos. 93) En una escuela hay 467 alumnos y el día de hoy faltaron 63.2km.25 96) Tres obreros descargan un camión en dos horas. Si las raciones se disminuyen en 1/3 y hay 10 hombres más.3 95) Pedro ahorra en 47 días $ 321. Para llenarse otro depósito de 8 m 3 con dos grifos iguales a los anteriores. una empresa constructora ha contratado 50 obreros que fabrican 4 casas diarias trabajando 8 horas durante cada día. ¿cuántos obreros adicionales debe contratar la empresa para cubrir la nueva demanda? Respuesta: 75 obreros. el tiempo que tardará.98 92) Si un niño camina 3 km en una hora y cuarto. Si su jornada aumenta en 2.2 horas. es igual a: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 Respuesta: a) 98) 50 hombres tienen provisiones para 20 días consumiendo 3 raciones diarias.50.95. ¿cuántos días durarán los víveres? Respuesta: 25 días. 91) Si el 25% de una cantidad es 68. en horas.5 horas. ¿cuánto cobra José por 15 días de trabajo? Respuesta: $375 89) 100 litros de aceite cuestan $ 189. Página 14 de 28 . 99) En un plan de vivienda en Guayaquil. ¿Cuánto tardarán con la ayuda de dos obreros más? Respuesta: 1.4% 94) Un trabajador gana por jornada de 8 horas $124.25 90) Un automóvil recorre 30 km en ¼ de hora. 97) Tres grifos llenan un depósito de 10 m 3 durante 5 horas. ¿cuánto es el 43% de esa misma cantidad? Respuesta: 116. ¿qué porcentaje de alumnos estuvo ausente? Respuesta: 13. ¿cuánto habrá ahorrado en un año? Respuesta: $2500. ¿cuál será su nuevo salario? Respuesta: 1634. ¿cuántos kilómetros recorrerá en 1 ½ horas? Respuesta: 180km. ¿cuánto cuestan 125 litros del mismo producto? Respuesta: $236. Sabiendo que trabaja todos los sábados las mismas horas y que por cada 6 días cobra $ 150. sabiendo que su MCD es 48 y que su suma es 288. Respuesta: 7 105) Determine el valor de verdad de la siguiente proposición: ∀x ∈ ! x 2 = x Respuesta: 0 Descomponga el valor absoluto en las siguientes expresiones: 106) 3𝑥 + 6 107) −2𝑥 + 1 108) x 2 − 5x + 6 109) x 2 − 4x + 3 110) x − x 111) x x 112) El valor absoluto de la diferencia de dos números enteros positivos.7 Valor absoluto 102) Defina: a) Intervalo cerrado. f) Valor absoluto.100) Una barda construida con 300 tabiques tiene un largo de 5 metros y una altura de 3 metros. ∀a. 10 obreros han hecho la tercera parte de una obra. c) Intervalo semiabierto/semicerrado. d) Intervalo con extremo infinito a la izquierda. Determine la cantidad de números enteros que pertenecen al conjunto A − B . luego se retiran n obreros 1 más de la obra en k días.5 metros de altura? 101) En 24 días.12) y B = [−9. ¿Qué largo tendría la barda si se contaran 850 tabiques y tuviera 2.b ∈ ! ab = a b 103) Demuestre que: 104) Sean los intervalos A = [−5. Si estos últimos terminan lo que 6 k falta de la obra trabajando k + 60 días. e) Intervalo con extremo infinito a la derecha. b) Intervalo abierto. es igual a: a) 96 b) 112 c) 150 d) 192 e) 200 Respuesta: d) Página 15 de 28 .5) . ¿cuál es el valor de ? 5n y los que quedan avanzan Respuesta: 1 2. 1 y la operación binaria en A .5) Respuesta: d) € € 117) Sea Re = ! .0) {0} e) = − x es válida en el siguiente subconjunto de números reales: Respuesta: c) 114) Sea A = −1.− & .8 Ecuaciones 115) Defina: a) Identidad. Aq x y Ar x . b) Ecuación.2 $ } 118) Para que la ecuación cuadrática: 4 x 2 − 2kx + 1 = 0 . c) Ar x = −4.2) c) [2.0. −1) d) (− ∞. tal que a *b = a + b −1 : { } Justificando su respuesta.1) b) [1.4 ) e) [ 4. d) la operación tiene elemento inverso.3) d) [ 3. determine si: a) la operación es conmutativa. tenga SOLUCIÓN ÚNICA en el conjunto de los números reales. resuelva la ecuación asociada a cada predicado. la suma de los valores que debe tener k . se obtiene que pertenece al intervalo: a) [0.113) La expresión a) ∅ b) (− ∞. 116) Sea la ecuación lineal 5 − 1− x +5 2 = 2x .0) x4 − x2 x2 −1 c) ( −∞. tabule los conjuntos de verdad Ap x . Luego de comprobar sus € € € () ( )€ ( ) soluciones. al determinar su solución considerando como 3 conjunto referencial a los números reales. es igual a: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 Respuesta: e) Página 16 de 28 . ( ) mn !"a (m − x) + bx#$ = b (n − x) + ax q ( x ) : 5x + 6 = 1 32 x−3 r ( x) : −3= x +1 x + 3x + 2 a) p x : b) c) 2 () " 7% 5' () { Respuesta: b) Aq x = #−1. b) la operación es asociativa. c) la operación tiene elemento neutro. 2.−1) ∪ (−1. 7 { } d) 7 { } e) 8 {} Respuesta: d) Página 17 de 28 . entonces N ( Ap ( x )) es: b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Respuesta: b) () 122) Sea el conjunto referencial Re = ! y el predicado p u : 1− u + u = 1 . 7} b) {−7. es VERDAD que: a) b) c) d) e) () Ap (u ) = {1} N ( Ap (u )) = 1 N ( Ap (u )) = 2 N ( Ap (u )) = 3 Ap u = ∅ Respuesta: d) 123) Sean ∗ y # operaciones binarias sobre el conjunto S = Z . − 8.b ∈ S $%a ∗ b = 3a + 2b +1&' ∀a. + = . la suma de los elementos del conjunto de verdad Ap ( x ) es igual a: a) –2 b) 0 c) 2 d) 8 e) 12 Respuesta: a) 120) Sea Re = ! y p x : x 2 − m −1 x + m +1 = 0 . Entonces. 7} c) − 8. Si x1 y x2 son los elementos de Ap x () ( ) ( () ) 1 1 1 2 . definidas por: ∀a.119) Sea el conjunto referencial Re = ! y el predicado p ( x ) : −4x 2 − 8x = −32 . calcule 3 x1 x2 3 m+3 y se cumple que Respuesta: () 121) Sea Re = ! y p x : a) 0 1 2 x − x + 29 = 1 . es igual a: a) –3 b) 3 c) 4 d) 6 e) 9 Respuesta: b) 124) Sea el conjunto referencial Re = ! y los predicados: () q ( x) : p x : x 2 + x − 56 = 0 x 2 = 49 El conjunto A"# p x ∨ q x $% es igual a: () () a) { − 7.b ∈ S $%a #b = a 2 − ab + b2 &' El valor de n para el cual se cumple que: 4# n = 2 ∗ n . si se conoce que la raíz de mayor valor de la primera ecuación. Al comienzo del juego A tiene el doble de la cantidad de dinero que tiene B. de las cuales 40 horas fueron normales y el resto horas extras. un tercio del resto menos dos. Luego B le ganó 400 dólares a A. laborando en total 48 horas. con: a) $ 800 y $ 400 b) $ 500 y $ 250 c) $ 600 y $ 300 d) $ 900 y $ 450 e) $ 800 y $ 1600 Respuesta: a) Página 18 de 28 .50 b) $ 6. A y B. El valor de cada hora extra es 1.5 veces el valor de la hora normal. determine la cantidad de problemas que el estudiante resolvió bien. determine el conjunto de verdad Ap x : () q ( x) : a) p x : b) 9 7 2 − = 2x + 6 5x +15 3 x 2 −13 + x −13 = 0 () ! 33 $ % . entonces determine el producto de los tres números. y le promete 5 puntos por cada uno de los problemas que resuelva bien. Considere Re = ! . empiezan a jugar.50 Respuesta: c) 130) Si la suma de tres números pares consecutivos es 24. Entonces el valor de la hora normal es: a) $ 5. La primera vez que lo intentan. con la condición de que le quitaría 2 puntos por cada uno de los problemas que resuelva mal. Respuesta: 480 131) Un maestro le propone 100 problemas a un estudiante. Respuesta: 30 128) Un grupo de amigos deben repartirse un dinero. Entonces. En un segundo intento. Respuesta: 39 132) Dos jugadores. es también solución de la segunda ecuación. el segundo. Si ahora B tiene el doble de la cantidad de dinero de A. un cuarto del nuevo resto menos una y el cuarto niño. Determine el producto de las raíces de ambas ecuaciones. se reparten a $ 9 cada uno pero ahora les falta $ 3. Determine la cantidad de naranjas que le corresponden a cada uno. b) Aq x = {7} # 20 & Respuesta: a) Ap x = " () 127) Cuatro niños se reparten cierto número de naranjas de la siguiente manera: el primero recibe la mitad del total menos seis.50 c) $ 7. entonces. a) –20 b) –12 c) 12 d) 60 e) 72 Respuesta: d) () 126) Si Re = ! . la cantidad de dinero a repartirse es: a) $ 52 b) $ 60 c) $ 68 d) $ 76 e) $ 84 Respuesta: b) 129) Un trabajador recibió $ 390 como pago por el trabajo de una semana. A y B empezaron a jugar respectivamente. el tercero.50 e) $ 9.50 c) $ 8. las trece naranjas restantes. se reparten a $ 8 por persona y les sobra $ 4.125) Dada la primera ecuación: x 2 + 5x + 6 = 0 y la segunda ecuación: x 2 + 7x + k = 0 . para un fin de semana. Si al final el estudiante obtuvo 73 puntos. calcule el valor de 5X + 1. resulta los 7/8 del número invertido. 4 libros de $ 800. 138) Determine un número entero tal que sumado al numerador y al denominador de 3/8 se obtenga 6/5 como resultado. Al resultado. ¿Cuántos de cada uno puedo comprar con $ 6 200? Respuesta: 10 libros de $ 300. ¿verdad? ¿Qué formula usó? Respuesta: Sí. ¿Cuántos galones de cada tipo respectivamente deben mezclarse para obtener 200 galones de una mezcla que contenga el 18% de H 2 SO4 ? a) 60 y 140 b) 80 y 120 c) 100 y 100 d) 110 y 90 e) 30 y 170 Respuesta: a) 141) Un albañil puede construir una pared en 4 horas y otro albañil puede hacer el mismo trabajo en 3 horas. multiplicar por 2. la virreina a 800. lo que me significo $20400 más al mes. Respuesta: 26 135) La cifra de las decenas de un cierto número excede en 2 a la de las unidades. ¿Cuál era mi sueldo anterior y cuanto es mi sueldo actual? Respuesta: $ 255 000. 134) La suma entre un número entero X y su recíproco es 26/5. Respuesta: 60 años. Respuesta: –33 139) Una reina y una virreina dedican $ 7 600 cada una para socorrer. pero ésta da a cada necesitado $ 1. obtendrás mi edad actual". sumarle 10. entonces el tiempo en que tardarán en construir la pared es igual a: a) 12 7 horas b) 3 7 horas c) 7 horas d) 4 horas e) 3 horas 2 3 4 Respuesta: a) 142) Un ilusionista pide que una persona piense en un número. calcule la edad actual de Eduardo. sumar 46. 140) Un almacén de productos químicos tiene dos tipos de soluciones ácidas. restar el número que pensó. Una de ellas es 25% de H 2 SO4 y la otra contiene el 15% de H 2 SO4 . dividir por 2. La reina socorre a 150 necesitados más que la virreina. 133) Eduardo le dice a María: "Si al doble de mi edad le quitas el triple de la edad que tenía hace 40 años. Su resultado es 33. ¿Cuántos necesitados son ayudados por cada una de ellas? Respuesta: La reina a 950. Algunos cuestan $ 300 cada uno y otros $ 800 cada uno. a un cierto número de necesitados. ¿Cuál es el número? Respuesta: 42 136) Obtuve un 8 % de aumento se sueldo. $ 275 400 137) En una liquidación de libros quiero comprar 14 libros. ( ) 2 x +10 + 46 2 − x = 33 Página 19 de 28 . con la misma ayuda. Si ambos albañiles trabajan simultáneamente.50 más que la reina. Si se divide el número por las cifras de sus unidades. −1] c) [−3. El conjunto de x−4 ( ) es igual a: verdad Ap x a) $ ' (−∞. +∞ ) ( e) 2.+∞ . el conjunto de verdad Ap ( x ) es igual a: x −1 b) [ −3. b) Inecuación.+∞) %3 ( $16 ' −∞. d) # .−1 ∪ 1. es igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Respuesta: b) 146) Sea el conjunto referencial Re = ! y los predicados: p ( x ) : x − π ≥ 0 y π π < . e) ∅ % c) # .2. 2 ∪ &'4. 144) Resuelva las siguientes inecuaciones.9 Inecuaciones 143) Defina: a) Desigualdad. b) " . & " 3 % ! 16 $ & " 3% e) # 4. Respuesta: c) ( −∞.7 ) C ( ( ) ) . & & & " 4 4 % " 4 4 % "4 4 % #4 4 & q ( x) : x − Respuesta: a) 147) Sea el conjunto referencial Re = ! y el predicado p x : () 2x ≤ 8 .+∞)( ( $16 ' . considerando como conjunto referencial los números reales.+∞ ( ) Respuesta: c) Página 20 de 28 . a) 3|2 – x| – 15 ≥ 0 b) |x2 -‐ 9| ≥ 7 c) |x + 1| ≥ |1 – 2x| ( Respuesta: a) −3.−4#$ ∪ − 2.2#$ 145) La cantidad de números enteros que satisfacen la inecuación: 4x −1 ≤ 5 .+∞ () 148) Sea Re = ! y p x : a) ) ( x+ ) d) −3.+∞) %3 ( ) b) −∞.3) ∪ &% 163 .1) ∪ ( 2. −1] ∪ (1. c) !"0.4 ∪ & .3 ∪ & c) ( ) C ! 16 $ d) # 4. +∞ ) 5x + 3 ≥ 0 . b) −∞. entonces el conjunto de verdad A c p ( x ) ∪ Aq ( x ) es igual a: 2 4 ! π 3π $ ! π 3π $ ! π 3π $ ! π 3π $ a) # . −3] ∪ [3. −3] ∪ (−1. +∞) c) d) e) Respuesta: a) 150) Sea el conjunto referencial Re = ! y los predicados p ( x ) : x + 3 −1 ≥ 0 y q ( x ) : x − 2 < −1 . 4) e) [−4. luego los vende a un precio de $16. N " A p x ∧ q x $ es igual a: # % a) 0 b) 1 c) 2 x − 1 − 1 = 0 ( ( ) ( )) d) 3 e) 4 Respuesta: c) 153) Un artesano que fabrica y vende calzado tiene gastos fijos semanales de $600 entre salarios y operarios. Respuesta: b) Página 21 de 28 .1) ∪ (2. +∞) (−∞.1#$ ∪ (2. +∞ y los predicados: ) () p x : x 2 − 6x ≤ 0 () q x : Entonces. x −1 ( ( ) ( )) entonces A p x ∨ q x es igual a: a) !1. 0) (0.+∞) (−∞.+∞) (−∞. −2 ] Respuesta: b) 151) Sea el conjunto referencial Re = ! y los predicados p x : x 2 −1 ≤ 0 y q x : () () 1 < 1 . El costo en materiales por cada par de zapatos es de $8. +∞) b) (−∞.149) Sea el conjunto referencial Re = ! y el predicado p ( x ) : x −3 ≥ 0 . −2] ∪ (−1. c) Menos de 75 pares de zapatos. +∞) (−∞.1) ∪ [3. −4] b) (−4. e) Entre 50 y 100 pares de zapatos. −2 ) c) [−2.1#$ ∪ &'2. el conjunto de x 2 −1 verdad Ap ( x ) es igual a: a) (−∞.2# " $ b) (1. 4) d) (−2.1) ∪ [2.2) (−∞.+∞) c) d) e) Respuesta: d) 152) Sea el conjunto referencial Re = !"0 .1) ∪ (2. d) Menos de 100 pares de zapatos. b) Más de 75 pares de zapatos. alquiler de taller y consumo de energía eléctrica. entonces el conjunto A ( p ( x ) → q ( x )) es igual a: a) (−∞. ¿Cuántos pares de zapatos deben elaborarse y venderse semanalmente para obtener utilidad? a) Más de 50 pares de zapatos. −2] ∪ (−1. Página 22 de 28 . ( ) 158) Demuestre que: ∀n ∈ !. n 3n −1 2 (1) (2) + (2) (3) + (3) (4) +…+ (n) (n +1) = ( )( n n +1 n + 2 161) Demuestre que ∀n ∈ ! . b) Combinatoria. 155) Enuncie el teorema de inducción. 2 + 6 +10 +…+ 4n − 2 = 2n 2 .11 Técnicas de conteo 163) Defina: a) Factorial. se cumple la siguiente propiedad: 1 1 1 1 n p (n) : + + + … + = (1) (3) (3) (5) (5) (7) (2n −1) (2n +1) 2n +1 3 ) . c) Permutación. n n +1 2n +1 ( ) . 12 + 22 +…+ n 2 = ( )( 6 159) Demuestre que: ( ) ∀n ∈ !. n ( n2 + 2 ) es divisible por 3 2. n ( n +1) 2 2 + 4 + 6 +… + 2n = n ( n +1) 1+ 3 + 5 +… + (2n −1) = 2n 2 " n ( n +1) % 2 3 3 3 3 1 + 2 + 3 +… + n = $ ' # 2 & 0 1 2 n −1 n!−1 + + +… + = 1! 2! 3! n! n! a) 1+ 2 + 3 +… + n = b) c) € € € d) e) Respuesta: c) € 157) Demuestre que: € ∀n ∈ !. e) Principio aditivo. 162) Empleando inducción matemática. 2.10 Inducción matemática 154) Escriba los axiomas de Peano. ) . 1+ 4 + 7 +…+ 3n − 2 = 160) Demuestre que: ∀n ∈ !. demuestre: ∀ n∈ ! . f) Principio multiplicativo. 156) Una de las opciones presentadas a continuación NO es una propiedad válida para los números naturales. d) Combinación. es igual a: a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 Respuesta: b) 167) Tres amigos llegan a una ciudad en la que solamente hay 4 hoteles. es: a) 24 b) 144 c) 288 d) 1 728 e) 2 756 Respuesta: d) Página 23 de 28 . Si cada uno quiere hospedarse en un hotel diferente. Es vacío. Tiene dos elementos. entonces el número de equipos diferentes que puede seleccionar es: a) 6 500 b) 7 200 c) 8 400 d) 9 450 e) 10 000 Respuesta: d) 171) Un grupo de amigos decide viajar y realizar deportes playeros. Si el equipo se conforma con 6 jugadores titulares.164) Sean 𝑅𝑒 = ℕ y 𝑝 𝑛 : a) b) c) d) e) !!! ! !!! ! !!! = 56. finalmente. Si dispone de 3 arqueros y debe escoger 1. Tiene tres elementos. si deben sentarse juntos quienes tienen la misma nacionalidad. y practicar 5 deportes diferentes. En total podrían visitar 7 balnearios. de 4 delanteros y debe escoger 2. la cantidad de maneras en la que pueden lograrlo es: a) 3 b) 4 c) 12 d) 24 e) 48 Respuesta: d) 168) Se desean seleccionar 3 gallinas de un grupo de 5 blancas y 4 negras. La cantidad de maneras en que se pueden seleccionar 3 gallinas blancas es: a) 6 b) 10 c) 15 d) 20 e) 60 Respuesta: b) 169) Para un juego de indorfútbol se dispone de un total de 10 jugadores (entre titulares y suplentes). de 7 volantes y debe escoger 4. la cantidad de equipos titulares diferentes que se puede conformar es: a) 60 b) 120 c) 210 d) 5 040 e) 6 000 Respuesta: c) 170) El director de la selección nacional de fútbol debe conformar el equipo. 3 colombianos y 4 venezolanos. 2 ecuatorianos. y. Respecto a Ap(n) se puede afirmar que: Tiene un único elemento. Es igual a Re. de 6 defensores y debe escoger 4. Respuesta: a) 165) ¿Cuántos elementos hay que combinar de dos en dos para que el número de combinaciones sea 190? Respuesta: 20 166) La cantidad n de personas que deben combinarse en parejas para que el número de parejas sea 105. La cantidad de maneras diferentes en que podrían escoger 3 balnearios y realizar 2 deportes playeros es: a) 35 b) 45 c) 100 d) 340 e) 350 Respuesta: e) 172) La cantidad de formas diferentes que podrían sentarse en una misma fila de asientos. Se desea un grupo de 5 piezas por requerimiento de producción. pero como máximo deben haber 2 maestros en el grupo. es igual a: a) 35 b) 45 c) 100 d) 340 e) 350 Respuesta: e) 180) Un grupo de amigos decide viajar al Oriente y realizar deportes extremos. En total podrían visitar 6 sitios y practicar 4 deportes extremos. 3 derrotas y 2 empates es igual a: a) 7. La cantidad de formas en que se puede llevar a cabo esta elección es: a) 21 b) 42 c) 210 d) 1 260 e) 2 520 Respuesta: d) 177) En una zapatería se tienen 5 maestros y 8 operarios. Entonces el número de grupos diferentes que se pueden formar y que contengan las 3 piezas defectuosas es: ⎛ 20 ⎞ ⎟⎟ ⎝ 5 ⎠ a) ⎜⎜ ⎛ 20 ⎞ ⎟⎟ ⎝ 3 ⎠ b) ⎜⎜ ⎛17 ⎞ ⎟⎟ ⎝ 3 ⎠ c) ⎜⎜ ⎛17 ⎞ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ d) ⎜⎜ ⎛15 ⎞ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ e) ⎜⎜ Respuesta: d) 175) Un pintor tiene 5 latas que contienen pinturas de diferentes colores en cada una. La cantidad de grupos diferentes que se pueden conformar es igual a: a) 56 b) 350 c) 560 d) 910 e) 966 Respuesta: e) 178) Un equipo participa en 12 partidos de futbol en una temporada. El número de maneras en las que el equipo puede terminar la temporada con 7 victorias.970 Respuesta: a) 179) Un grupo de amigos deciden reunirse en un restaurante. éstos 2 últimos con igual jerarquía. y se quiere trabajar en grupos conformados por 5 personas. 1 vicepresidente.920 b) 12! c) 7! ⋅ 3! ⋅ 2! d) 792 e) 2. es igual a: a) 4 b) 15 c) 19 d) 60 e) 120 Respuesta: d) Página 24 de 28 . una persona ha olvidado su clave y lo único que recuerda es que los 3 últimos dígitos eran diferentes. Se encuentran indecisos entre 7 platos fuertes y 5 tipos de bebidas. 173) La clave de la tarjeta para retiro de dinero en el cajero automático de un banco está constituida por cuatro dígitos. Determine el número máximo de claves diferentes que deberían ser verificadas hasta dar con la correcta: a) 48 b) 56 c) 64 d) 72 e) 80 Respuesta: c) 174) Una caja de 20 piezas contiene 3 defectuosas. La cantidad de mezclas que puede realizar con ellas es: a) 13 b) 25 c) 26 d) 27 e) 125 Respuesta: c) 176) De un grupo de 7 personas se va a elegir 1 presidente. La cantidad de maneras diferentes en que podrían escoger 4 sitios y realizar 3 deportes extremos. el primer dígito era un 5 y los dos últimos dígitos sumaban 8. 1 secretario y 2 vocales. La cantidad de maneras diferentes en que podrían escoger 3 de estos platos fuertes y 2 de estas bebidas. ( ) 5 182) ¿Cuál es el desarrollo de a − b ? ( ) 5 183) Halle el término cuarto del desarrollo de x + 2 y 12 ! 1$ 184) Determine el término central de # x + & x% " 185) Averigüe qué valor debe darse a la variable x para que el tercer término del desarrollo de 5 "3 % $ − x ' sea igual a 90. x' a) n ∈ (0. Identifique la proposición VERDADERA. c) El cuarto término es el término €central del desarrollo del binomio. 6 es b) Falso Respuesta: a) 7 1 ⎞ 7 ⎛ 188) Si el coeficiente de x en el desarrollo del binomio ⎜ x + 2 ⎟ es igual a . el coeficiente del término central es igual a: # t& a) –252 b) –172 c) –126 d) 172 e) 252 Respuesta: a) 187) La SUMA de los exponentes de a y b para el segundo término en el desarrollo del binomio ( a + 23 b a) Verdadero 12 ) 35 . #x & 10 " 1 % 186) En el desarrollo del binomio: $ t 2 − ' .6) b) En el desarrollo del binomio existen 6 términos.2. es igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 9 Respuesta: c) ! 1 3 189) El término que no contiene x en el desarrollo del binomio # # 5 xyz − " a) 56 yz b) −56 yz c) 56 yz d) − 56 yz e) − 56 5 yz 8 $ x && es: % Respuesta: d) #x 190) Si el cuarto término de % $3 n − 3 2 & ( contiene x 2 . entonces el 3 ax ⎠ ⎝ valor de a . € € Página 25 de 28 .12 Teorema del binomio 181) Enuncie el teorema del binomio. 19. Respuesta: No es posible. …}. 2. Respuesta: –13 196) Sea la progresión aritmética 6. 659. 194) La suma de los n primeros términos de la progresión aritmética 9.13 Sucesiones 193) Defina: a) Sucesión. de ser posible. 665. 33.d) El desarrollo del binomio tiene dos términos centrales. 20. entonces n es: a) 10 b) 12 c) 11 d) 9 e) 17 Respuesta: b) 195) En la siguiente sucesión: 671.... determine cuál es el tercer número negativo. el coeficiente del término del binomio # a + & que contiene a % " a3.15. c) Progresión geométrica.12. entonces al desarrollar el binomio.280 Respuesta: a) 5 ! 2 b$ 192) Determine. el décimo término es igual a: a) 5 b) 3 c) –3 d) 4 e) –5 Respuesta: c) 198) De los siguientes términos de una progresión aritmética: {7. la cantidad de términos que están entre 200 y 500 es igual a: a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26 Respuesta: b) Página 26 de 28 . el coeficiente del € m & # término que tiene m−4 es igual a: a) –640 b) –320 c) 256 d) 640 e) 1. La cantidad de términos que están entre 200 { y 350 es igual a: a) 10 b) 11 } c) 12 d) 13 e) 14 Respuesta: c) 197) Si los primeros diez términos de una progresión aritmética suman 35 y el primer término es 10.32. e) n < 3 2 5 " 4 % 191) Si se tiene la expresión $ m − 2 ' .… . … . b) Progresión aritmética. es 306 . 075 205) Cierto examen tiene 100 preguntas. Cuando 30 de los pagos estaban cubiertos. El número de bloques que se necesitan para que la escalera tenga 28 escalones. Si el segundo pago es de $ 127 y el quinto pago es de $ 154. $ 14 el segundo. el individuo fallece dejando una tercera parte de la deuda sin pagar. Calcule el valor del primer pago. y de esta manera el costo de cada libro fue $3 más que el precio del libro anterior. Si la primera pregunta tiene un valor de 2 puntos y cada una de las siguientes vale 4 puntos más que la anterior. donde el precio por libro fue: $8 el primer libro. La suma total de los premios fue $5000. Respuesta: $4. $14 el tercer libro. $11 el segundo libro. Calcule el valor de la razón. Respuesta: 2 Página 27 de 28 .199) Los pagos mensuales del préstamo que Yolanda hizo al banco forman una progresión aritmética. Si hubo una disminución de $100 entre premios sucesivos. Respuesta: $138 203) Se desea construir una escalera con bloques de piedra tal como se muestra en la figura adjunta. $ 18 el tercero. entonces el premio de mayor valor fue: a) $ 1 000 b) $ 2 000 c) $ 2 800 d) $ 3 000 e) $ 1 200 Respuesta: e) 201) Si Luis compra regalos. entonces el décimo pago es: a) $ 170 b) $ 172 c) $ 194 d) $ 199 e) $ 208 Respuesta: d) 200) Laura ha sido la ganadora de 5 premios de dinero en efectivo. y el costo de cada regalo es $ 4 más que el anterior. calcule la cantidad de dinero que Carlos pagó por los 50 libros. entonces Luis pagó por los 50 regalos: a) $ 5 100 b) $ 5 200 c) $ 5 300 d) $ 5 400 e) $ 5 500 Respuesta: d) 202) Un hombre acuerda pagar una deuda de $3600 en 40 pagos semanales que forman una progresión aritmética. este examen tiene un valor de: a) 2000 puntos b) 2020 puntos c) 4000 puntos d) 20000 puntos e) 20200 puntos Respuesta: d) 206) La suma de los seis primeros términos de una progresión geométrica es igual a 9 veces la suma de los tres primeros términos. donde el primero le costó $ 10. es igual a: a) 130 b) 700 c) 784 d) 1624 e) 3248 Respuesta: d) 204) Si Carlos compró 50 libros. . Séptimo término: 5103 208) La suma de una progresión geométrica decreciente infinita tiene un valor aproximado de 2 . entonces el resultado de S es aproximadamente igual a: a) x x −1 b) 1 x +1 c) x 1− x d) x (1− x ) 2 e) 1− x 1+ x Respuesta: c) 1 1 1 1 1 + 4 − 6 + 8 − 10 ± .. Si 0 < x < 1 .207) La suma de los primeros siete términos de una progresión geométrica de razón 3 es 7651. Determine el primero y el séptimo término. . es aproximadamente igual a: 2 2 2 2 2 2 4 4 5 9 b) c) d) e) 3 5 4 8 210) El valor de la expresión: 1− a) 3 4 Respuesta: c) Página 28 de 28 .. entonces la razón de dicha progresión será: 2 1 2 2− 2 c) d) e) 2 2 2 2 .. Si su primer término es igual a a) − 2 2 b) − 1 2 Respuesta: c) 209) Considere la suma infinita: S = x + x 2 + x 3 + x 4 +. Respuesta: Primer término: 7.