Guía de Aprendizaje Nº 4Geometría y triGonometría: Herramientas para resolver problemas Educación Matemática Segundo Nivel o Ciclo de Educación Media para Educación para Personas Jóvenes y Adultas DE_6016.indd 1 25-01-13 17:44 DE_6016.indd 2 25-01-13 17:44 Guía de Aprendizaje Nº 4 Geometría y triGonometría: Herramientas para resolver problemas Educación Matemática Segundo Nivel o Ciclo de Educación Media para Educación para Personas Jóvenes y Adultas 1 DE_6016.indd 1 25-01-13 17:44 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media - Guía Nº 4 iconografía información Atención tips página Web Actividad Actividad en el cuaderno evaluación 3 DE_6016.indd 3 25-01-13 17:44 ya sea de la modalidad regular o flexible.Educación Matemática . En esta guía se abordan contenidos de semejanza de figuras planas y trigonometría aplicados a la resolución de situaciones de la vida real. 4 . a la vez. Todo con la finalidad de fomentar la rigurosidad y precisión del uso de los conceptos matemáticos que se tratan. pretende ser una herramienta de apoyo a los estudiantes del último nivel de educación media. o en trabajos de grupos o individuales.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS E Presentación l material que la Coordinación Nacional de Educación de Adultos del Ministerio de Educación (Mineduc) pone a su disposición. por lo que le invitamos a trabajar de manera muy dedicada esta guía y a descubrir herramientas matemáticas que podrán ser parte de su vida. fomenta la explicación cuidadosa y ordenada de los conceptos matemáticos tratados. Las unidades enfatizan ejemplos resueltos y entregan otros que se solucionan con apoyo del profesor o profesora. En él se mantiene la propuesta didáctica de las guías anteriores. Es importante destacar que el proceso de aprendizaje de las matemáticas y otras ciencias es personal y pasa por la dedicación y trabajo de la persona que aprende. que desarrolla el trabajo desde lo más simple a lo más complejo y. pdf 1 07-11-13 10:25 Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media .p5.DE_6016 m4.Guía Nº 4 u n e t po c i h ( (opuesto) ) a s B a α A b (adyacente) C 5 . ● Teorema General de Thales. cuando se habla de semejanza. se asocia con proporcionalidad. Un mapa es una representación proporcional.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: PARA RESOLVER PROBLEMAS Educación Matemática . ● 6 . se asocia con un objeto o elemento que se parece a otro.GEOMETRÍA Y HERRAMIENTAS TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS Guía de trabajo Nº 1 Semejanza de figuras planas FOTO 1 En la vida cotidiana. pequeña.Educación Matemática . de la realidad. al igual que una fotografía. ● Semejanza de figuras planas. FOTO 2 FOTO 3 Contenidos Escalas numéricas. En matemática. el concepto de semejanza. Ampliación de una figura: Es una nueva figura igual a la original. se puede notar que las tres fotografías son iguales. Observe las fotografías de distintos tamaños y responda las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos cuadros mide cada lado de las fotagrafías 1. se dice que una está a escala de la otra. es decir. lo que desde el punto de vista de las matemáticas. poseen la misma figura y forma pero diferentes tamaños. pero con sus medidas disminuidas.Guía Nº 4 Al observar las fotografías. ACTIVIDAD TIPS En general cuando dos imágenes poseen la misma forma pero diferentes tamaños. 2 y 3? Foto 1: Foto 2: Foto 3. b) ¿Cuál es la relación entre el número de cuadros del ancho y del alto de las fotagrafías 1.p7. significa que son figuras semejantes. pero con sus medidas aumentadas. 2 y 3? Número de cuadros del ancho foto 1 y alto foto 1 Número de cuadros del ancho foto 2 y alto foto 2 Número de cuadros del ancho foto 3 y alto foto 3 ¿Qué diferencias observas entre los cuadros de las fotografías? c) ¿Cuál es la razón de ampliación de la fotografía 1? ¿Por qué? d) ¿Cuál es la razón de reducción de la fotografía 1? ¿Por qué? 7 . la fotografía 3.DE_6016 m4. Reducción de una figura: Es una nueva figura igual a la original.pdf 1 07-11-13 8:41 Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media . es la reducción de la fotografía 1 y la fotografía 2 es la ampliación de la fotografía 1. 8 DE_6016. obteniéndose la fotografía tres.5 y = =2 A'B' 12 2 A''B'' 3 Cuando dos figuras son semejantes.indd 8 25-01-13 17:45 . La fotografía 2 representa a la fotografía 1 en la escala de 2:1. resultó de dividir los cuadrados del largo y del ancho por dos. obteniéndose la fotografía dos. La reducción de la fotografia uno. a) La escala es: b) AB 6 = = 2. se habla de razón de semejanza. La fotografía 1 representa a la fotografía 2 A'B' 12:6 2 en escala de 1:2. C' D' FOTO 2 D'' C'' FOTO 3 A' B' Analizaremos lo que ocurre con la escala del largo de la fotografía: TIPS A'' B'' AB 6:6 1 AB 6 = :6 = = 0.5. En el caso tratado: AB 6:6 1 = = = 0. 2 y 3.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS ESCALA NUMÉRICA O RAZÓN DE SEMEJANZA D C FOTO 1 A B Observe que en las imágenes que se presentan a continuación: La ampliación de la fotografía uno. resultó de multiplicar los cuadrados del largo y del ancho por dos. 1 y 3.Educación Matemática . A''B'' 3 Actividad en el cuaderno Determine la razón de semejanza entre las fotografías 1 y 2. ¿Cómo obtuvo estas medidas? 3 m = 300 cm. ésta es rectangular y mide 6 metros de largo por 3 metros de ancho. b) Divida por 40 las dimensiones reales para establecer una escala: 600 : 40 = 15 300 : 40 = 7. 9 DE_6016. se considera como la fracción 40 . a escala 1:40. el tamaño del objeto en el plano se obtiene multiplicando sus medidas lineales de la realidad por esa fracción.Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media . en dos dimensiones y a determinada escala. 1 Nota: Si la razón de la escala 1 : 40. Este rectángulo es un plano de la bodega. un plano es una representación esquemática. Solución: a) Transforme las unidades a centímetros: 6 m = 600 cm.Guía Nº 4 Ejemplos: 1) Daniel quiere hacer un plano de la pieza que ocupan de bodega para distribuir mejor las herramientas y materiales.5 cm 40 40 40 40 c) Las dimensiones del objeto en el plano son proporcionales a sus dimensiones reales. una máquina. etc. Observe: 600 • 1 600 1 300 = = 15 cm y 300 • = = 7. la escala de 1:40 es la razón de proporcionalidad.indd 9 25-01-13 17:45 . una población. de un terreno. una construcción.5 cm de ancho.5 Luego dibuje un rectángulo de 15 cm de largo por 7. TIPS Según el diccionario de la RAE. indd 10 25-01-13 17:45 . r = 1 No hay ampliación ni reducción de la figura original. ¿Cuáles son las medidas de la ampliación? Solución: Se multiplica cada medida por 4: 8 • 4=32 cm y 5 • 4=20 cm TIPS Sea r la razón de proporcionalidad: r < 1 La escala representa una reducción de la figura original. r > 1 La escala representa una ampliación de la figura original.000 m = 100. las figuras son congruentes entre sí. con una escala de 4:1. La escala recibe el nombre de escala natural.000. es decir.000 x Aplicando la propiedad de las proporciones: x = 10 • 500.000. 10 DE_6016.Educación Matemática . la plaza de Lampa y la plaza Guarello de San Bernardo se encuentran a 10 cm.000 x = 5.000 cm = 50 Km Plaza Guarello TIPS 1 km = 1. ¿Cuál es la distancia real entre las dos plazas? Lampa Solución: Se establece la proporción: 10 1 = 500.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS 2) En un mapa a escala 1:500. se debe ampliar 4 veces.000 cm 3) La fotografía de la figura tiene un largo de 8 cm y su ancho de 5 cm. pdf 1 11-11-13 13:52 Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media . ¿Cuál es la escala de reducción? 3) El plano del departamento está hecho con una escala 1:100. ¿Cuáles son las medidas reales del departamento? 4) Dos tramos de la carretera 5 sur que están en reparación miden 7 km y 12 km respectivamente ¿Qué longitud deberían tener los tramos en un mapa a escala 1 :1. ¿Cuáles serán las nuevas medidas de la bodega en el plano? 2) Una fotocopiadora reduce en un 30% el tamaño original de un documento. ¿se puede estacionar a lo ancho de la bodega? c) Si el galpón se amplía 15 metros de ancho y 10 metros de largo. las medidas de la bodega de una maestranza son de 15 cm de largo y 10 cm de ancho.Guía Nº 4 Actividad en el cuaderno Resuelva cada situación: 1) En un plano a escala 1:300. a) ¿Cuáles son las medidas reales en metros de la bodega? b) Un camión con acoplado de 23 metros de largo al entrar al galpón.000? 5) El perímetro de un terreno rectangular de 8 hectáreas tiene una longitud de 2 km.DE_6016_11. ¿cuál es el área del terreno en un mapa a escala 1 :20.000 ? 11 DE_6016.indd 11 25-01-13 17:45 . entonces dos segmentos correspondientes cualquiera determinados por las paralelas sobre los lados del ángulo son proporcionales entre sí.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS teoremA fuNdAmeNtAl de semejANzA eNtre triáNGulos Este Teorema se conoce como: "teorema particular de thales" Establece las proporciones de los segmentos correspondientes en triángulos.indd 12 25-01-13 17:45 . como lo muestra la figura 1: D L1 L1 // L2 . Sus ángulos son congruentes y sus lados son proporcionales. Con procedimientos algebraicos y geométricos es posible determinar las siguientes proporciones: AB AC AB AC = y = DC EB AD AE AC AB BC = = AE AD ED tips Las proporciones determinadas en triángulos en los que un ángulo es cortado por una paralela a uno de los lados se pueden extender a paralelas cortadas por dos secantes. Sea: ABC y CB//DE tips C D A B E Los triángulos ABC y AED son semejantes y se escribe así: ∆ABC ~ ∆AED Esto quiere decir que un triángulo es la copia exacta del otro. pero de distinto tamaño. L3 y L4 secantes E Con procedimientos algebraicos y geométricos es posible obtener la siguiente proporción: C A L2 L3 B L4 BC AB AC = = DE CD CE 12 DE_6016.Educación Matemática . Si en un ángulo cualquiera sus lados son cortados por dos o más paralelas. el ancho del canal es de 6 metros aproximadamente. ¿ Cómo resolver este problema utilizando la semejanza de triángulos? d C e A b solución: Para poder determinar el ancho del canal. Desde el punto E caminar 4 pasos más en línea recta y determinamos el punto C. Por lo cual CD = 3 pasos. B y E se forma un triángulo rectángulo en B. El esquema geométrico de lo que dibujamos quedaría de esta manera: tips 3 C 4 E 8 A x B D Los triángulos ABE y DCE son semejantes y se escribe así: ∆ABE ~ ∆DCE 1) ABE ~= DCE miden 90° 2) AEB ~= DEC Opuestos por el vértice. podemos utilizar las proporciones que determinamos con el teorema fundamental de la semejanza: ● ● ● ● ● ● ● ● Fijamos un punto referencial A. 3) Las proporciones son: x 8 AB BE = = x = 6 pasos 3 4 CD CE Si cada paso es de aproximadamente 1 metro. En el punto B clavamos una estaca que será desde donde construiremos una figura que nos permita determinar el ancho del canal. Desde el punto C. caminar 3 pasos más en línea perpendicular al lado BC y determinamos el punto D.indd 13 25-01-13 17:45 . Por lo cual EC = 4 pasos. por lo cual BE = 8 pasos. AB es perpendicular a BE. al otro lado del canal. Desde el punto B caminamos 8 pasos en línea recta a la orilla del canal y determinamos el punto E. 13 DE_6016.Guía Nº 4 ejemplo de una aplicación: Se desea determinar el ancho de un canal para armar un puente y poder cruzarlo.Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media . Uniendo los puntos A. Se formó el triángulo rectángulo ECD. Educación Matemática . L3 y L4 secantes D A L1 B L1 E L2 DB AD AB = = EB CE CE C L3 L4 c) Tres o más rectas paralelas que son cortadas por dos o más rectas secantes cualesquiera: AD//BE//CF A L1 B L2 L3 D DE AB = EF BC E C F L4 L5 14 DE_6016.indd 14 25-01-13 17:45 .GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS teoremA GeNerAl de tHAles Si tres o más rectas paralelas intersectan a dos o más rectas cualesquiera. se puede resumir en el siguiente cuadro: a) En un triángulo cualquiera si tenemos una recta paralela a uno de los lados: C D L1 DE // AB E CE CD DE = = CB CA AB L2 A B b) Dos rectas paralelas que intersectan a dos rectas secantes que se intersectan entre las rectas: L1 // L2 . determinan sobre éstas segmentos proporcionales entre sí: Con procedimientos algebraicos y geométricos es posible determinar las siguientes proporciones: AB//CD//EF L1 F L2 E D L3 1) BC AD = CE DF 2) BC AD = BE AF 3) BE AF = CE DF C A B L4 L5 tips Lo que hemos tratado. Determine en cada caso la medida del segmento x.Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media .Guía Nº 4 ejemplos: Si L1 // L2 // L3.40 x= =4 2 x = 4 cm 15 DE_6016.indd 15 25-01-13 17:45 . L4 L1 L2 L5 2 cm solución: Aplicando el teorema de Thales: 6 cm 4 cm x 2 6 = 4 x L3 L4 L5 L1 2 cm L2 x 14 cm y L3 L4 L5 2 cm L1 4 cm a L2 L3 } 3 cm x 10 cm 12 cm 2x = 4 • 6 x= 24 = 12 2 solución: Aplicando el teorema de Thales: 2 3 = 14 y 2y = 14 • 3 y= 42 = 21 2 y = 21 cm Luego x = 3 + y = 3 + 21 = 24 x = 24 cm solución: Aplicando el teorema de Thales: 2 4 = 10 a 2a = 10 • 4 a= 40 = 20 2 a = 20 cm 4 2 = 40 + 2x =12 • 4 12 20 + x 12 • 4 . CB = x cm F C c) EF = 9 cm.Educación Matemática . z Si: x + y + z = 70 cm y x 8 L1 10 L2 L5 14 L3 L4 3) Determine el valor de x en cada caso para que L1 y L2 sean paralelas: L4 2x L4 L1 6 15 5x 3x L2 x L3 L1 9 3 L3 L2 16 DE_6016. CD = 8 cm. GH = 18 cm. AB = 25 cm. HG = x cm G D H z L6 2) Si L1 // L2 // L3 // L4 Calcule x. HG = 9 cm.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS Actividad en el cuaderno 1) En la figura AE // BF // CG // DH. DC = 14 cm. EF = x cm E B b) FG = 7 cm. y. DC = 24 cm. Determine x en cada caso: A a) AB = 4 cm.indd 16 25-01-13 17:45 . Guía Nº 4 evAluACióN Resuelva cada situación y marque con una X la alternativa correcta: 1) En un mapa (a escala) se tiene que 1 cm en él corresponde a 25 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 10.5 cm a) i y ii b) i y iii 9 cm c) i.8 cm.indd 17 25-01-13 17:45 . entonces la distancia real es: a) 100 km b) 135 km c) 270 km C d) 300 km E 20 2) En la figura AC // DE la medida de BC es: 2 10 a) 1 b) 2 B c) 3 D A d) 4 3) Observe estas tres fotografías e identifique cuales son semejantes: i) ii) 13 cm iii) 12 cm 8 cm 5 cm 7. ii y iii L1 // L2 L2 1 x 15 L2 iii) L1 // L2 x 10 L2 x 15 L3 8 2 L1 d) ii y iii 17 DE_6016.Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media . ii y iii d) ii y iii 4) ¿en cuál(es) de las siguientes figuras el valor de x es 12? i) ii) L1 // L2 // L3 8 10 L1 a) i y ii 8 L3 b) i y iii L1 c) i. GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS Guía de trabajo Nº 2 los primeros pasos en la trigonometría razones trigonométricas en el triángulo rectángulo Contenidos ● ● ● ● ● ● ● determinación de razones trigonométricas (seno. medidas de ángulos en sistema sexagesimal y en radianes. 18 DE_6016.indd 18 25-01-13 17:45 .Educación Matemática . coseno y tangente) en el triángulo rectángulo. funciones trigonométricas cuadrantes en el plano cartesiano. resolución de problemas que involucran el uso de la trigonometría como el cálculo de alturas y distancias inaccesibles. identidades pitagóricas. teorema de pitágoras. Conversión de unidades de medida de ángulos. Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media . la suma de sus ángulos interiores es 180°. como por ejemplo en la topografía. se aplica en diversas áreas. son ángulos agudos (su medida es mayor que 0º y menor que 90º) ● Recuerde que una razón es la comparación por cociente entre dos cantidades. se cumple el Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2 B β c b α A cateto a cateto sa tenu hipo γ C TIPS En un triángulo. ● En un triángulo rectángulo. La razón entre a y b se anota: a b o a:b 14 Por ejemplo: 3 o 14 : 3 En una razón escrita como fracción: El numerador. los ángulos que no son rectos. en la navegación y en la astronomía.indd 19 25-01-13 17:45 . En todo triángulo ABC. recibe el nombre de antecedente El denominador recibe el nombre de consecuente a b 19 DE_6016. ● Un triángulo rectángulo tiene unos de sus ángulo recto (mide 90º). el numerador se llama antecedente y el denominador se llama consecuente. rectángulo en C.Guía Nº 4 La trigonometría es una herramienta útil para calcular alturas y distancias inaccesibles o de difícil acceso. En una razón. csc α. Las razones trigonométricas asociadas a un ángulo α son 6. secante de α. tan α. Cada razón trigonométrica se relaciona con algunos de los ángulos agudos del triángulo rectángulo. sec α. se denominan: coseno de α. seno de α. tangente de α.indd 20 25-01-13 17:45 . Las definiciones son las siguientes: Coseno de α: El coseno del ángulo α se define como la razón entre el cateto adyacente al ángulo α y la hipotenusa: B cateto adyacente A α cos α = hipotenusa Seno de α: El seno del ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto al ángulo α y la hipotenusa cateto opuesto A α hipotenusa sen α = c α A b β sen α = a c a cos α = b c γ tan α = a b C Tangente de α : La tangente del ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto al ángulo α y el cateto adyacente a: α cateto opuesto A α cateto adyacente A α tan α = ACTIVIDAD Determine las razones trigonométricas: B cos α = β 25 α A sen α = 24 7 tan α = γ C 20 DE_6016.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO En un triángulo rectángulo. cot α. y se abrevian: cos α. respectivamente. cosecante de α y cotangente de α. se llaman razones trigonométricas a aquellas que se establecen entre las medidas de sus lados. sen α.Educación Matemática . sec α = TIPS Identidades trigonométricas inversas: 1 csc α = . csc α = B hipotenusa cateto opuesto A α β Cotangente α : La cotangente del ángulo α se define como la razón entre el cateto adyacente al ángulo α y el cateto opuesto a α .indd 21 25-01-13 17:45 .Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media .Guía Nº 4 Lea y observe atentamente la información y aplíquela: ACTIVIDAD Secante de α: La secante del ángulo α se define como la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo α. cateto adyacente A α cot α = cateto opuesto A α α A csc α = c b c a b a c a sec α = b γ cot α = C Determine las razones trigonométricas: ACTIVIDAD B sec α = β 25 α A csc α = 24 7 cot α = γ C 21 DE_6016. cos α 1 . sec α = sen α 1 cot α = tan α hipotenusa cateto adyacente A α Cosecante de α: La cosecante del ángulo α se define como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo α. 5 cm .13 cm y determine las razones trigonométricas del seno y la cosecante de los ángulos agudos. Seno: El seno del ángulo α es la razón entre el cateto opuesto al ángulo α y la hipotenusa: β cateto opuesto hipotenusa sen α = sen α = B c a c α A b Cosecante: La cosecante del ángulo α es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo α: hipotenusa cateto opuesto csc α = a csc α = γ c a C ¿Qué diferencias y que semejanzas observa entre la tan α y la cot α? Actividad en el cuaderno Dibuje un triángulo rectángulo cuyas medidas de los lados son: 12 cm .indd 22 25-01-13 17:45 .GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS trAbAjANdo CoN los áNGulos AGudos de uN triáNGulo reCtáNGulo Todo triángulo rectángulo posee dos ángulos agudos. el ángulo recto es: β α A B relación entre el seno y la cosecante del ángulo agudo α del triángulo rectángulo. γ en este caso los ángulos son: . 22 DE_6016. ACTIVIDAD Complete lo que falta en la oración: C Todo triángulo rectángulo posee un ángulo y dos ángulos y .Educación Matemática . 10 cm y determine las razones trigonométricas del seno y cosecante y de la tangente y cotangente de los ángulos agudos.Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media . Tangente: La tangente del ángulo α es la razón entre el cateto opuesto al ángulo α y el cateto adyacente: B β cateto opuesto cateto adyacente a tan α = b tan α = c α A b a Cotangente: La cotangente del ángulo α es la razón entre el cateto adyacente al ángulo α y el cateto opuesto a este: cateto adyacente cateto opuesto b cot α = a cot α = γ C ¿Qué diferencias y qué semejanzas observa entre la tan α y la cot α? Actividad en el cuaderno Dibuje un triángulo rectángulo cuyas medidas de los lados son: 6 cm .indd 23 25-01-13 17:45 .Guía Nº 4 Observe atentamente cada razón trigonométrica y complete lo pedido en cada caso: relación entre el coseno y la secante del ángulo agudo α del triángulo rectángulo. 23 DE_6016. Coseno: El coseno del ángulo α es la razón entre el cateto adyacente al ángulo α y la hipotenusa: B β cateto adyacente hipotenusa b cos α = c cos α = c α b hipotenusa cateto adyacente c sec α = b a sec α = γ A Secante: La secante del ángulo α es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo α: C ¿Qué diferencias y qué semejanzas observa entre el cos α y la sec α? relación entre la tangente y la cotangente del ángulo agudo α del triángulo rectángulo.8 cm . escriba las razones trigonométricas de: seno. tangente.indd 24 25-01-13 17:45 . coseno. IV y V tan α = csc α = sec α = ctg α = 24 DE_6016. III. secante y cotangente del ángulo α del triángulo i y compare sus resultados con sus compañeros: 13 A 8 a 12 i b α b β c 40 a β 41 c iii 9 b α β a b 4 A sen α = A 3 C α A α c 17 B C B ii a β C 5 15 C B iv c α B 12 5 c b v a C 15 9 β B A Actividad en el cuaderno cos α = Determine las razones trigonométricas de los triángulos II.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS ACTIVIDAD dados los triángulos rectángulos.Educación Matemática . cosecante. Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media .Guía Nº 4 ACTIVIDAD observe atentamente el triángulo y la información dada y complete más abajo lo pedido: B β c α A a b γ C sen β = b c cos β = a c tan β = b a responda lo pedido y determine las razones del ángulo β: a) seno: El seno del ángulo β se define como la razón entre: B sen β = β b) Coseno: El coseno del ángulo β: se define como la razón entre: cos β = α A 25 7 24 γ C c) tangente: La tangente del ángulo β se define como razón entre: tan β = 25 DE_6016.indd 25 25-01-13 17:45 . GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS ACTIVIDAD observe atentamente el triángulo y la información dada y complete más abajo lo pedido: B csc β = c b sec β = c a cot β = a b β c A α a b γ C responda lo pedido y determine las razones del ángulo β: a) Cosecante: La cosecante del ángulo β se define como la razón entre: B csc β = β b) secante: La secante del ángulo β: se define como la razón entre: sec β = α A 25 7 24 γ C c) Cotangente: La cotangente del ángulo β se define como razón entre: cot β = 26 DE_6016.Educación Matemática .indd 26 25-01-13 17:45 . coseno . cosecante. secante y cotangente del ángulo β del triángulo i y compare sus resultados con sus compañeros: 25 i a 24 16 a C B b α A b β c 7 60 a β 61 c 11 b α A sen β = β a 84 b α A α c 65 A 13 C iii ii β C B 63 C B iv c α B 144 85 c b v a C 145 17 β B A Actividad en el cuaderno cos β = Determine las razones trigonométricas de los triángulos II.indd 27 25-01-13 17:45 . tangente.Guía Nº 4 ACTIVIDAD dados los triángulos rectángulos. escriba las razones trigonométricas de: seno.Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media . III. IV y V tan β = csc β = sec β = ctg β = 27 DE_6016. ava ( 360 ) parte de la circunferencia. Si la medida de un ángulo es a grados.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS medidAs de áNGulos Describiremos sistemas para medir ángulos.indd 28 25-01-13 17:45 . y se considera positivo. Si el ángulo se mide en sentido horario. lo detonaremos. ángulo negativo (-) ángulo positivo (+) y y radio 360º o x o 360º x radio tips y Grados sexagimales: Un grado sexagesimal (1º) es la medida del ángulo del centro que subtiende un arco igual 1 a una trescientos sesenta . Usualmente se utilizan dos unidades de medida: los grados sexagesimales y los radianes. aº 1 360 o x 360º 28 DE_6016. La rotación en sentido antihorario y su medida toma valores positivos. su medida toma valores negativos.Educación Matemática . Desde la trigonometría: El ángulo es la amplitud de rotación de un segmento de recta llamado radio en torno a un punto llamado centro. El ángulo: α = 15. es un minuto y se anota 1’. Ejemplos: 10’: 10 minutos. Alfa segundos se anotan a’’. 25’: 25 minutos.indd 29 25-01-13 17:45 . por convención.125º La medida del ángulo alfa es: 15 grados con ciento veinticinco milésimas de grado. 43’’: 43 segundos. 29 DE_6016. cada uno de éstos mide.v a n u m a co t l e 1 vuelta 2 forma un ángulo pleta es equival y ent ea 36 0 º u Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media . se denota a’. la medida de cada nuevo ángulo. Si un ángulo mide a minutos. 54’’: 54 segundos ejemplo: se lee: El ángulo: α = 15º 30' 45" La medida del ángulo alfa es: 15 grados. Ejemplos: 10’’: 10 segundos. lo que se anota 1’’. por convención. 30 minutos y cuarenta y cinco segundos. un segundo. 58’: 58 minutos. • Si 1’ (un minuto) se divide en 60 ángulos iguales.Guía Nº 4 γ= extendido o llano que mide 180º 1 vuelta 4 forma un ángulo recto que mide 90º β= δ β γ α = 1º 0 x 3 vuelta 4 forma un ángulo que mide 270º 1 vuelta completa mide 360º δ= • Si 1º (un grado) se divide en 60 ángulos iguales. 200" medidA de áNGulos usANdo rAdiANes Otra unidad de medida de ángulos. es decir 360º 1 2p [rad]. un ángulo de 360º subtiende un arco de circunferencia completo de medida 2pr unidades. 4 25-01-13 17:45 . 2 A r 360º = 2π o r r B fig.54º ε = 315" θ = 7. fig.indd 30 r β o r A r o β Obsérvese que en el caso de la figura 4. 1 B r r r B β fig. un radián (1 rad . • Figura 3: el ángulo b mide 3 rad . escriba la forma en que usted los leería: medida del ángulo lectura de la medida α = 75º 30' 55" β = 115º 30' 45" γ = 15º 30" δ = 15. • Figura 2: el ángulo b mide 2 rad . muy difundida en trígonometría. es el radián. 3 r o r B=A fig.Educación Matemática . Esta equivalencia permite establecer que 180º 1 p [rad] r A • Figura 1: el ángulo b mide 1 rad . tips r 30 DE_6016. se obtiene 2p.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS ACTIVIDAD dados los ángulos con su respectiva medida.) es la medida de un ángulo del centro de circunferencia que subtiende un arco de longitud igual a la del radio. al dividir esta longitud por la medida r del radio. • Figura 4: el ángulo b = 360º mide 2p rad . Guía Nº 4 trANsformAr uNidAdes de medidAs de áNGulos La equivalencia 360º 1 2π [rad]. Para transformar ángulos sexagesimales a ángulos radianes y viceversa.Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media . permite establecer esta otra equivalencia aun más sencilla 180º 1 π [rad]. se puede usar la siguiente proporción: medida en radianes de α = medida de grados de α π [rad] 180º Observe atentamente el desarrollo de las transformaciones de grados a radianes y viceversa: a) Transformar 60° a [rad] : ( α=60º ) medida en radianes de α = 60º b) Transformar π 9 π [rad] 180º ( [rad] a grados: α= π 9 medida en radianes de α = [rad] ) Por lo tanto 60º = π π/9 medida en grados de α = π [rad] 180º π 60º π = 3 180º medida en grados de α = 9 • 180º π = 3 180º = 20º 9 Por lo tanto ACTIVIDAD π π 9 = 20º Complete la siguiente tabla de equivalencias entre ángulos sexagesimales y ángulos radianes: áNGulos seXAGesimAles áNGulos rAdiANes 30º π [rad] 2 60º π [rad] 4 31 Sin título-1 1 06-11-13 12:44 . indd 29-11-13 17:45 4:51 25-01-13 .Educación Y TRIGONOMETRÍA: PARA PROBLEMAS AMELBOR P REVMatemática LOSER -AGEOMETRÍA RAP SAT NEIMARREHERRAMIENTAS H :AÍRTEM ORESOLVER NOGIR T Y AÍRTEMOEG transforme ángulos medidos en sistema sexagesimal a radianes: :senaACTIVIDAD idar a lamislos eg axes ame ts is ne sodide m solugná sol e sistema semedida naiddel arángulo ne o lugnsexagesimal á led adidem medida del ángulo en lradianes amisegaxes amet α = 30º β = 45º γ = 60º δ = 210º ε = 270º θ = 315º ACTIVIDAD transforme ángulos :lamisega xes a metsilos sa senmedidos aidarennradianes e sodaisistema demsexagesimal: solugná sol emr sistema semedida naiddel arángulo ne o lugnsexagesimal á led adidem medida del ángulo en lradianes amisegaxes amet α= π γ= π β= π 8 5 4 [rad] [rad] [rad] δ= 3π [rad] 5 ε= 3π [rad] 4 η= 7π [rad] 6 θ= 7π [rad] 4 ϕ= 9π [rad] 4 32 Sin título-1 1 33 DE_6016. Guía Nº 4 trAbAjAr CoN lAs fuNCioNes triGoNométriCAs El Teorema de Pitágoras puede ser utilizado para determinar la medida de alguno de los lados de un triángulo rectángulo y luego conocer el valor de las funciones trigonométricas asociadas a los ángulos agudos.Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media . en un triángulo rectángulo.16 = 9 BC = √9 = 3 α 4 A B /±√ Al determinar las razones trigonométricas del ángulo agudo θ. es necesario conocer la medida de los catetos y de la hipotenusa. del triángulo rectángulo. c2 ejemplo 1: Determinar el valor de las seis funciones trigonométricas del ángulo α Para determinar la medida del cateto opuesto. se obtiene: sen α = 3 5 cos α = 4 5 tan α = 3 4 csc α = 5 3 sec α = 5 4 cot α = 4 3 33 . el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. b2 C a 2 + b 2 = c2 a2 a b c A B Para determinar el valor de todas las funciones trigonométricas del ángulo agudo α. tips El teorema de Pitágoras plantea geométricamente que. utilizamos el Teorema de Pitágoras: C 5 Cateto opuesto ( BC ) 42 + BC 2 = 52 16 + BC 2 = 25 BC 2 = 25 . Educación Matemática .indd 36 25-01-13 17:45 . se obtiene: sen θ = 12 13 ACTIVIDAD cos q = 5 13 tan θ = 12 5 csc θ = 13 12 sec θ = 13 5 cot θ = 5 12 identifica los ángulos agudos en la figura y escribe una expresión para determinar las razones trigonométricas de: seno.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS Ejemplo 2: Determinar el valor de las seis razones trigonométricas del ángulo q Para determinar la medida del cateto adyacente. coseno y tangente.144 = 25 /±√ =5 Al determinar las razones trigonométricas del ángulo agudo θ. β c h b α 34 DE_6016. utilizamos el Teorema de Pitágoras: C 13 12 θ A Cateto adyacente ( AB ) B 122 + AB2 144 + AB2 AB2 AB2 AB = 132 = 169 = 169 . C 10 Cateto opuesto ( BC ) α 8 A sen α = B cos α = tan α = sec α = cot α = Aplicar el Teorema de Pitágoras para determinar el valor del cateto adyacente.Guía Nº 4 ACTIVIDAD ejercicios y aplicaciones Encontrar los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo α y β señalado en cada triángulo. Hipotenusa ( AC ) α sen α = 12 cos α = sec β = cot β = 5 B tan α = csc α = sec α = cot α = 35 DE_6016. C b) csc α = 41 40 β A B Cateto adyacente ( AB ) sen β = cos β = c) A tan β = csc β = C Aplicar el Teorema de Pitágoras para determinar el valor de la hipotenusa.Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media .indd 37 25-01-13 17:45 . a) Aplicar el Teorema de Pitágoras para determinar el valor del cateto opuesto. Educación Matemática . determine el valor de cada función trigonométrica hasta con tres cifras decimales y luego redondee hasta las décimas: a) sen 45º = a) sec 60º = b) csc 45º = b) tan 90º = c) cos 60º = c) cot 0º = 36 DE_6016.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS tips y Ángulos complementarios son los que sumados dan 90° α + β = 90º α β o x Actividad en el cuaderno resuelva de acuerdo con las instrucciones de cada ítem: 1) Determine el valor del lado x de cada triángulo y luego los valores de las seis razones trigonométricas del ángulo θ.indd 38 25-01-13 17:45 . θ x 17 a θ x b θ 8 3 x x 24 4 7 x a θ a θ 2) Utilizando calculadora. estudiaremos los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos de medidas: 30° . calcule las siguientes razones trigonométricas: sen 45º = cos 45º = tan 45º = csc 45º = sec 45º = cot 45º = 37 DE_6016.pdf 1 11-11-13 15:32 Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media .indd 39 25-01-13 17:45 .DE_6016_37.Guía Nº 4 APLICANDO LO APRENDIDO Hemos estudiado las razones trigonométricas sobre triángulos rectángulos y la medición de ángulos agudos de cualquier medida. aplique el Teorema de Pitágoras para determinar la longitud de su hipotenusa: C 45º x= 45º A 3 3 B b) Con la medida determinada. 45° y 60° TIPS ACTIVIDAD Determine el valor de las funciones trigonométricas de 45° Siga cada una de las instrucciones y complete la información solicitada en cada paso: a) Dado un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 3 unidades. indd 40 25-01-13 . C 2 A 2 2 B 388 8 DE_6016. Altura de un triángulo: Cada uno de los segmentos de recta perpendiculares. C El punto de intersección de las tres alturas se denomina ortocentro.Educación Matemática . trazados desde un vértice del triángulo al lado opuesto de este. que miden 60º cada uno. Mida los ángulos con un transportador.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS ACTIVIDAD determinando el valor de las funciones trigonométricas de 60° Y EN: 2) Determinaremos las razones de las funciones trigonométricas de los ángulos de 60° y 30° tips triángulo equilátero: Polígono de tres lados de igual medida y tres ángulos agudos congruentes. 30º 30º 60º 60º A B a) Dado un triángulo equilátero cuyos lados miden 2 unidades cada uno: trazar las 3 alturas. ( Utilizar una escuadra para trazar las alturas ). los triángulos son semejantes. en general. la razón establecida entre dos lados de uno de ellos. tiene el mismo valor que la razón establecida entre los lados homólogos del otro.pdf 1 14-11-13 12:48 Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media .indd 41 25-01-13 17:45 . Por eso. sen θ . x La medida del ángulo x es: El valor de x 2 c es : 2 2 hc = ? c) Utilice el Teorema de Pitágoras para determinar el valor de la altura: hc = 60º 60º A d) Con las medidas determinadas calcule las siguientes funciones trigonométricas: B c = 2 c = 2 sen 60º = cos 60º = tan 60º = csc 60º = sec 60º = cot 60º = sen 30º = cos 30º = tan 30º = csc 30º = sec 30º = cot 30º = TIPS LLas razones trigonométricas de un ángulo dado son invariantes. cos θ y tan .DE_6016_39 m1. = = = c c' c c' b b' b b' a a' θ A θ c B A' c' B' 39 DE_6016. tienen siempre el mismo valor. es decir. tengan el mismo valor para ambos triángulos y. C' ΔABC ~ ΔA'B'C' C a a' b b' a a' = . no importa cuál sea el tamaño del triángulo rectángulo que contenga este ángulo.Guía Nº 4 C b) Complete cada frase considerando los datos y la incógnita en la figura. En la figura. sean invariantes. De ahí que. luego compare los resultados con sus compañeros y compañeras: 1) Utilizando la transformación de ángulos y los cálculos desarrollados en las actividades anteriores.Educación Matemática . complete la tabla: θ (radianes) θ (grados) cos θ sen θ tan θ sec θ csc θ cot θ π 6 45º π 3 2) Utilizando la transformación de ángulos y los cálculos desarrollados en las actividades anteriores.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS ACTIVIDAD resuelva cada situación y complete.indd 42 25-01-13 17:45 . complete la tabla: θ (radianes) θ (grados) sen θ cos θ tan θ sec θ csc θ cot θ π 2 3) Observe las secuencias numéricas que se forman y complete la tabla con los valores numéricos que faltan: ángulo α = 0º α = 30º sen α 1 √0 = 0 2 1 √1 2 cos α 1 √4 = 1 2 1 √3 2 tan α 0 función α = 45º α = 60º α = 90º 1 √ 2 1 √3 2 1 √ =1 2 1 √ 2 1 √ 2 1 √ =0 2 ∄ tips sen a tan a = cos a 40 DE_6016. en la ciudad de Temuco. el cateto opuesto a este ángulo.8 y = 1. En este caso.8 • tan 60º= 1. proyecta una sombra de 1.80 m 60º En el triángulo de la figura.Guía Nº 4 3) Dado el triángulo rectángulo en C. ¿cuál es la altura del kiosco? y 1.8 • √3 = 3. el ángulo de 60º.12 m La altura aproximada del kiosco es de: 41 DE_6016.8 m de largo. complete la tabla determinando el valor de la función trigonométrica: C 30º 2 √3 B cos 30º sen π 2 tan 30º 1 60º sec 60º A csc 30º cot 90º Resolvamos situaciones utilizando los triángulos rectángulos. de medida y. se deben relacionar los datos y la incógnita mediante la razón trigonométrica que corresponde. deben relacionarse mediante la tangente. y el cateto adyacente al mismo ángulo. Así: tan 60º = y 1.Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media . 1) El kiosco de diarios y varios del señor Aránguiz. Si el ángulo que se forma desde la punta de la sombra hasta el punto más alto del kiosco es de 60º.indd 43 25-01-13 17:45 . ubicado en la calle Manuel Montt con Caupolicán. de medida 1.8 m. medio kilómetro más lejos del cerro el ángulo de elevación es de 30°.58 = x 0.Educación Matemática .29 0. 42 DE_6016.5 km D El triángulo ABC es rectángulo isósceles.58) = x 0.5 km h=x E x A 45º B 30º 0. 0.5) tan 30º = x (x + 0.29 = x . está formado por la línea horizontal y la línea que une el punto de mira con el objeto observado por sobre la línea horizontal.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS 2) Un topógrafo utiliza un instrumento llamado teodolito para medir el ángulo de elevación entre la cima del cerro y el nivel del suelo.5) (0.58x El ángulo de elevación a.42x 0.5 • 0.42 =x x = 0. En un punto.7 km. ¿Cuál es la altura del cerro? h solución: la situación se puede modelar así: 30º 45º C x 0. el ángulo de elevación mide 45°.7 respuesta: por lo tanto la altura del cerro es de 0.0.29 = 0. En el triángulo ADC determinamos la tangente de 30º.58x + 0.indd 44 25-01-13 17:45 . que se escribe: tips tan 30º = AL VISU a q ÁNGULO DE ELEVACION HORIZONTAL VIS UAL ÁNGULO DE DEPRESIÓN x x + 0.5 (x + 0. porque: Luego el segmento AB = x. empezando desde un punto situado a ¾ pulgadas del borde del tablero. si el hilo del volantín forma un ángulo de 30° con el suelo y mide 8 metros.indd 45 25-01-13 17:46 .DE_6016_43. (Ver figura) 30º y 3 pulg /4 3 x 3) Una palmera proyecta una sombra de 18 metros de largo. Determinar las longitudes del corte diagonal y del lado restante. 2) Un carpintero corta el borde de un tablero de 3 pulgadas de largo. 43 DE_6016.Guía Nº 4 Actividad en el cuaderno Realice los siguientes ejercicios. con una inclinación de 30° de la vertical. estimar la altura del árbol calculando la altura a la que quedó atrapado el volantín. 1) Un volantín queda atrapado en las ramas más altas de un árbol. dibuje la situación. si el ángulo que se forma desde la punta de la sombra hasta el punto más alto de la palmera es de 60°. ¿cuál es la altura de la palmera? Sugerencia: antes de resolver el problema.pdf 1 11-11-13 16:27 Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media . 44 DE_6016. usando un esquema de triángulo rectángulo. ¿A qué altura se encuentra el letrero? 30º 45º 30 m 1. θ Altura base a) La medida de la altura.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS n se venDe tos n e Departam F U 0 9 9 e DesD Actividad en el cuaderno D 4) Una persona observa un letrero publicitario ubicado en la punta de un edificio con un ángulo de elevación de 30°.6 m A B C la d er a 5) Dado el dibujo de una mina a tajo abierto. dividida por el largo de la base. determine cuál de las siguientes operaciones permite calcular el sen q. Avanza 30 m y observa nuevamente el letrero.indd 46 25-01-13 17:46 . c) El largo de la base.Educación Matemática . dividido por el largo de la ladera. d) La medida de la altura. b) El largo de la ladera. dividida por el largo de la ladera. dividido por la medida de la altura. con un ángulo de elevación de 45° como se muestra en el siguiente dibujo. Guía Nº 4 IDENTIDADES PITAGÓRICAS El Teorema de Pitágoras.Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media . plantea: Dado el triángulo rectángulo: c 2 = a 2 + b 2 / al dividir por c 2 c2 a2 b2 = + c2 c2 c2 c a θ b 1 = sen2 θ + cos2 θ Porque de acuerdo a las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo: cos θ = ACTIVIDAD 1) b c sen θ = a c Complete las siguientes identidades trigonométricas. utilizando los datos del triángulo dado arriba: (cosen ) (sec ) = 2) (sen ) (csc ) = 3) (tan ) (cot ) = 4) sen cos = 5) cos sen = 6) sec csc = 7) csc sec = TIPS Otras identidades pitagóricas: 1 + tan 2 θ = sec 2 θ 1 + cot 2 θ = csc 2 θ ¿Cómo cree usted que se determinaron estas identidades? Discutirlo en grupos 45 . indd 51 25-01-13 17:46 . sen α = cos α = tan α = csc α = sec α = cot α = 46 DE_6016.Educación Matemática .GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS ACTIVIDAD resuelva lo indicado en cada caso: Encontrar los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo θ señalado en cada triángulo: C a) 13 Cateto opuesto α A 5 B Aplicar el Teorema de Pitágoras para determinar el valor del cateto opuesto. sen β = cos β = tan β = csc β = sec β = cot β = c) Hipotenusa A α 24 C 7 B Aplicar el Teorema de Pitágoras para determinar el valor de la hipotenusa. sen α = cos α = tan α = csc α = sec α = cot α = 47 DE_6016.indd 51 25-01-13 17:46 .Guía Nº 4 C b) 17 8 β A Cateto adyacente B Aplicar el Teorema de Pitágoras para determinar el valor del cateto adyacente.Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media . sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m y forman b•h ) entre ellos un ángulo de 70°.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS Observe y estudie detenidamente cada ejemplo de situaciones resueltas: 1) Un árbol proyecta una sombra de 60 m de largo. distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°.887 m2 . la expresión que nos sirva para determinar la altura del árbol es el Teorema de Pitágoras.3.2126 d = 3763. 612 = 602 + h2 h2 = 3.p48.600 h2 = 121 / ± √ h = 11 Por lo tanto la altura h del árbol es de 11 m.DE_6016 m4. aplicada a 70º: h = 80 • sen 70º sen 70º= h 80 80 m 70º B Por lo tanto el área aproximada es: A= 130 • 80 • sen 70º 2 ≈ 4. se utilizará la función seno. 2) Un dirigible que está volando a 800 m de altura.721 . Escriba una expresión que permita determinar la altura del árbol en ese momento.70 m d 3) Calcule el área de una parcela triangular.pdf 1 07-11-13 11:53 Educación Matemática . ( Sugerencia: el área de un triángulo es: A = 2 C Solución: h A 48 130 m D Para determinar la altura h. Solución: h 61 α 60 Como no sabemos la medida del ángulo α. ¿A qué distancia del pueblo se encuentra? Solución: tan 12º = 12º d= 800 m 800 d 800 800 = tan 12º 0. su copa se observa con un ángulo de 30°.Guía Nº 4 4) Juan observa la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 30°.7 m. Calcule la altura del árbol.p49.pdf 1 11-11-13 DE_6016 m4.pdf 16:39 1 07-11-13 12:02 Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media . h h √3 Solución: Se calcula la tangente de 30º: tan 30º = = 10 + x 10 + x 3 √3 (10 + x) = 3 • h √3 • 10 + √3 • x = 3h h Se calcula la tangente de 60º: tan 60º = 60º 30º h x 10 m x Se escribe un sistema de ecuaciones y se resuelve por reducción 10 √3 + x√3 = 3h x √3 = h 10 √3 + x √3 = 3h -x √3 = -h / • (-1) /+ 10 √3 = 2h h = 5 √3 h x h = x √3 √3 = Por lo tanto la altura aproximada del árbol es de 8. está formado por la línea horizontal y la línea que une el punto de mira con el objeto observado por debajo la línea horizontal 49 . √3 Por lo tanto la altura del árbol es 5.8m. 5) Calcule la altura de un árbol que a una distancia horizontal de 10 m.DE_6016_49. Solución: La altura y del árbol se determina utilizando y la tangente de 30º: tan 30º = 30º y 10 y = 10 • tan 30º y= 10 ≈ 5. 10 m TIPS AL VISU α θ ÁNGULO DE ELEVACION HORIZONTAL VIS UAL ÁNGULO DE DEPRESIÓN El ángulo de depreción α.8 m aproximadamente. luego avanza diez metros y ahora observa la misma copa del árbol con un ángulo de elevación de 60°. el motosierrista mira la parte superior del árbol con un ángulo de elevación de 30º. determine las incógnitas pedidas en cada caso: A α 60º a 4 ta α = 0. c = 8 e) α = 60º.8 m aproximadamente. b = 10 β b) β = 45º.indd 54 25-01-13 17:46 . 3) En cada caso. b = 35 c a c) c = 14. ubicándose aproximadamente a 51.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS evAluACióN Evaluación: resuelva lo pedido en cada caso: 1) Utilizando los valores de las razones trigonométricas seno. de acuerdo a los datos. La estatura del motosierrista es de 1.Educación Matemática . Con estos datos ayúdele a estimar la altura del canelo.5 x 30º b C B 3 x 30º 100 2) Un motosierrista debe talar un viejo canelo. determine los valores de las medidas de lados y ángulos restantes en el triángulo rectángulo de la figura: B a) α = 30º.5 metros del pie del árbol. Para dirigir su caída debe estimar su altura. para que no caiga con el viento y bloquee el camino o se desplome encima de las casas aledañas. coseno o tangente de la medida de los ángulos. c = 6 γ α A b C 50 DE_6016. Desde el punto de ubicación. b = 7 √2 d) α = 4√3. Determine el ángulo de la rampa con la horizontal.Guía Nº 4 4) Una persona observa el borde superior de la cornisa de un edificio con un ángulo de elevación de 30º. Apóyese en la figura colocando en ella los datos y la incógnita: Ángulo Distancia horizontal conocida 51 DE_6016.60 m del suelo.DE_6016_51 m1. Considerando que la vista del observador está a 1.indd 55 25-01-13 17:46 .pdf 1 14-11-13 12:49 Segundo Ciclo o Nivel de Educación Media . 10 5 θ 5 √3 Altura del edificio 6) Calcule la altura de un edificio que da una sombra de 15 m cuando los rayos del sol forman un ángulo de 30º con la horizontal. ¿cuál es la altura aproximada del edificio? 30º 60º x metros 25 metros 5) Un constructor debe construir una rampa de descarga de 10 m de largo que se levantará a una altura del suelo de 5 m. luego avanza aproximadamente 25 m en línea recta hacia la entrada del edificio y observa la cornis con un ángulo de elevación de 60º. Álgebra y trigonometría. 5) Swokowski. México: Editorial Cengage. (1996).) Nº 211 de 2009 que reemplaza el Decreto Nº 131 de 2003 sobre nivelación de estudios de adultos.cl/geometria/Trigonometria_Razones. D.html teorema de pitágoras: 1)http://www. J. Ciudad de México. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México: Editorial Thompson.educarchile.de/m14s/sincostan_s.educarchile.Base/Web/VerContenido.profesorenlinea.) Nº 257 de 2009 que deroga Decreto Supremo de Educación Nº 239 de 2004 sobre el marco curricular de la educación de adultos. 3) Peterson.GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA: HERRAMIENTAS PARA RESOLVER PROBLEMAS biblioGrAfíA 1) Decreto Supremo (Ed.htm 3)http://www.indd 56 25-01-13 17:46 .librosvivos.educarchile.Educación Matemática . México: Editorial Limusa-Wiley. (2002). sitios en internet trigonometría: 1) http://www. Ciudad de México. Teoría de la aritmética. 2) Decreto Supremo (Ed.net/smtc/homeTC. J y otros. y Dewar. John A. J.aspx?ID=138399 razones trigonométricas en el triángulo rectángulo: 1) http://www.cl/UserFiles/P0024/File/skoool/matematica%20y%20geometria/ funciones%20trigonometricas/index. 4) Zill. México: McGraw-Hill. MINEDUC.walter-fendt.html 52 DE_6016. E.asp?TemaClave=1173 2) http://www.cl/Portal. y cols.cl/UserFiles/P0024/File/skoool/Latin_America_Content/Latin_ AmericaContent/Junior%20Cycle%20level%201/maths/transcriptos/pythagoras_eg1/index. Introducción al cálculo. (2002). (2007). Ciudad de México.html 2) http://www. 6) Stewart. y Cole. indd 3 25-01-13 17:46 .DE_6016. indd 4 06-12-12 15:20 .4 DE_6012_m2c2_24-50.