1Preparatório para o Exame de Suficiência do Conselho Federal de Contabilidade Disciplinas: Matemática Financeira e Estatística Professor: João Marcos Batista - Economista da Saneago com MBA em Finanças pela FIAA – RJ e Administração de Empresas pela FGV – RJ. - Mestrando em Planejamento e Desenvolvimento Territorial: PUC – GO - Professor Universitário - E-Mail:
[email protected] - Telefone: 62 9698 4476 Sumário 1 – Matemática Financeira ........................................................................................................... 3 1.1 – Juros Simples ................................................................................................................. 3 1.2 – Juros Compostos ............................................................................................................ 3 1.3 – Cálculo no regime de Juros Simples: ............................................................................. 3 1.4 – Cálculo no regime de Juros Compostos ......................................................................... 4 1.5 – Taxas: Proporcionais, Equivalentes, Nominal e Efetiva...................................................... 4 1.6 – Desconto na Matemática Financeira: Desconto Simples Comercial e Racional e Composto....................................................................................................................................... 6 1.7 – Séries de Pagamentos: Postecipadas e Antecipadas ........................................................... 8 1.8 – Correção monetária ........................................................................................................... 10 1.9 – Sistemas de Amortização de Empréstimos: SAC, Price e Sacre ........................................ 11 1.10 – Analise de Investimentos .................................................................................................. 13 2 – Estatística Aplicada............................................................................................................... 16 2.1 – Distribuição de Freqüência ......................................................................................... 16 2.2 – Classes .......................................................................................................................... 16 2 2.3 – Freqüência (fi).............................................................................................................. 16 2.4 – Tipos de Distribuição de Freqüência ........................................................................... 16 2.5 – Análise Gráfica ............................................................................................................ 18 2.6 – Estatística Descritiva ......................................................................................................... 19 2.61 – Medidas de Tendência Central: Média, Moda, Mediana, Quartis, Decis, Percentis ...... 19 2.7 – Medidas de Dispersão: Amplitude Total, Desvio-Médio, Variância, Desvio-Padrão e Coeficiente de Variação .............................................................................................................. 22 2.8 – Probabilidade ..................................................................................................................... 24 2.81 – Eventos envolvendo Probabilidade .................................................................................. 25 2.82 – Variável aleatória ............................................................................................................ 26 2.83 – Valor esperado ................................................................................................................. 26 2.84 – Distribuição Binomial ...................................................................................................... 27 2.9 – Correlação ......................................................................................................................... 27 2.10 – Erro Padrão ..................................................................................................................... 28 2.11 – Regressão ......................................................................................................................... 29 2.12 – Números Índices ............................................................................................................... 29 2.13 – Índices de Preço ao consumidor no Brasil ...................................................................... 30 2.14 – Teoria da Amostragem ..................................................................................................... 30 2.15 – Cálculo do Tamanho da Amostra – Pesquisa de Campo ................................................. 31 2.16 – Distribuição Normal ........................................................................................................ 32 2.17 – Intervalo de Confiança ..................................................................................................... 33 2.18 – Cálculos estatísticos na HP 12C ...................................................................................... 35 2.19 – Bibliografia ...................................................................................................................... 35 3 – Exercícios de Matemática Financeira– Revisão CRC .......................................................... 36 4 – Exercícios de Estatística – Revisão CRC .............................................................................. 43 3 1 – Matemática Financeira Utilização da Matemática nas operações financeiras do dia-a-dia. A Matemática Financeira trabalha com o pressuposto da capitalização, que ocorre da seguinte forma: 1.1 – J uros Simples A Incidência da taxa de Juros será somente sobre o Valor Principal. (Conhecido como método linear). 1.2 – J uros Compostos A Incidência da taxa de Juros ocorrerá sobre o Valor Principal + Juros (Período anterior). (Conhecido como método exponencial ou Juros sobre Juros) Para o Cálculo de Juros é necessário relembrar algumas variáveis que compõe o cálculo dos Juros: Capital (C), Taxa de Juros (i), Tempo (n), Montante (M). Diferença entre a capitalização Simples e a Capitalização Composta Capital Juros Montante Capital Juros Montante 1 100,00 10,00 110,00 100,00 10,00 110,00 2 110,00 10,00 120,00 110,00 11,00 121,00 3 120,00 10,00 130,00 121,00 12,10 133,10 Juros Simples Juros Compostos Período 1.3 – Cálculo no regime de J uros Simples: J = C x i x n M = C + J Fórmula de cálculo direto do Montante: M = C x (1 + i x n) Exemplo: Aplicação de R$ 500,00, com taxa de juros de 5% a.m. durante 3 meses. Qual o montante e o valor dos juros ao final de 3 meses, no regime simples de capitalização. Cálculo pela Fórmula Cálculo pela HP12C C = 500,00 Limpe a memória da HP12C: digite f, CLX 4 i = 5% a.m Digite 500, Enter, CHS, PV n = 3 Digite 60, i J = 500 x 0,05 x 3 = 75,00 Digite 90, n J = 75,00 Digite f, INT (Tecla i) e aguarde M = 500 + 75 J = 75,00, aperte a tecla + M = 575,00 M = 575,00 Obs: Na HP 12C para cálculo de Juros Simples deve-se sempre usar a taxa anual equivalente e tempo da operação deve ser o equivalente em dias. Ex: Taxa de Juros de 5% a.m. , equivale a 60% a.a (5% x 12) e 3 meses equivale a 90 dias (30 x 3). 1.4 – Cálculo no regime de J uros Compostos M = C x (1 + i) n J = M – C Exemplo: Aplicação de R$ 500,00, com taxa de juros de 5% a.m. durante 3 meses. Qual o montante e o valor dos juros ao final de 3 meses, no regime composto de capitalização. Cálculo pela fórmula Cálculo pela HP12C C = 500,00 Limpe a memória da HP12C: digite f, CLX i = 5% a.m Digite 500, Enter, CHS, PV n = 3 Digite 5, i M = 500 x (1 + 0,05)³ Digite 3, n M = 500 x (1,1576) Digite FV (aguarde) M = 578,81 M = 578,81 J = 578,81 – 500 J = 578,81 – 500 J = 78,81 J = 78,81 1.5 – Taxas: Proporcionais, Equivalentes, Nominal e Efetiva Taxa Proporcional: São taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples. Ex: 12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre; 1% ao mês é proporcional a 12% ao ano. 5 Taxa Equivalente: São taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos. Ex: 1% a.m equivale a 12,68% a.a. (1 + i) n – 1 = (1 + 0,01) 12 – 1 = 12,68% ou 0,1268 = (1 + i) 12 – 1 = 0,1268 + 1 (1 + i) 12 = 1,1268 12 √1,1268 – 1 = 1% a.m Obs: Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos. Taxa Nominal: É aquela em que a unidade de referência de tempo, não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Ex: 12% a.a. com capitalização mensal. Taxa Efetiva: É aquela em que a unidade de referência de tempo, coincide com as unidades de tempo dos períodos de capitalização. 1% a.m. com capitalização mensal. Ex: Qual o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado por 2 anos, com uma taxa de juros nominal de 24% a.a. com capitalização trimestral? O ano possui 4 trimestres, portanto i = 24 / 4 = 6% a.t., C = 5.000,00 n = 2 anos, que equivale a 8 trimestres (2 x 4) Cálculo pela fórmula Cálculo pela HP12C M = C x (1 + i) n Limpe a memória da HP12C: digite f, CLX M = 5.000 x (1 + 0,06) 8 Digite 5.000, Enter, CHS, PV M = 5.000 x 1,59385 Digite 6, i M = 7.969,24 Digite 8, n Digite FV (aguarde) M = 7.969,24 6 1.6 – Desconto na Matemática Financeira: Desconto Simples Comercial e Racional e Composto 1.61 – Desconto Simples: Segue a mesma lógica dos Juros Simples, subdivide-se em: 1.62 - Desconto Comercial: Conhecido como desconto bancário ou por fora. A Referência é o valor Nominal do Título. Fórmulas de Cálculo: Cálculo do Valor Atual ou Valor Presente do título: A = N x (1 – i x n). Sendo A o valor atual e N o valor nominal (valor de face) do Título. Cálculo direto do Desconto Comercial: D = N x i x n. 1.63 – Desconto Racional: Conhecido como desconto por dentro. A Referência é o Valor Atual do Título. Fórmula de Cálculo: A = N / 1 + i x n Em ambos os exemplos, para calcular o valor do desconto, depois de calculado o valor atual será: d = N – A Exemplo: Um Título de R$ 100,00 com vencimento para daqui a 2 meses, taxa de juros de 10% a.m. Qual o valor atual e do desconto. 7 Desconto Comercial Desconto Racional N = 100,00, i = 10% a.m, n = 2 N = 100,00, i = 10% a.m e n = 2 A = 100 x (1 – 0,1 x 2) = 80,00 A = 100 / (1 + 0,1 x 2) = 83,33 d = 100 – 80 = 20,00 d = 100 – 83,33 = 16,67 Obs: A resolução dos problemas de descontos simples são mais fáceis de resolverem por meio das fórmulas, uma vez que, na HP 12C será feito só o calculo do desconto racional simples, mas o conceito que aparece com mais freqüência no Exame é o de desconto simples, além do mais, na HP12C deve-se trabalhar com a taxa de juros negativa o que é outro complicador. 1.64 – Desconto Composto: Desconto seguindo a mesma lógica dos juros compostos. Fórmula de Cálculo: A = N / (1 + i) n d = N – A Exemplo: Uma duplicata que vencerá em três meses, no valor de R$ 1.500,00 com taxa de juros de 3% a.m. Qual o Valor Atual e do Desconto. Cálculo pela fórmula Cálculo na HP12C N = 1.500,00 Limpe a memória da HP12C: digite f, CLX i = 3% a.m. Digite 1.500, Enter, CHS, FV n = 3 Digite 3, i A = 1.500 / (1 + 0,03) 3 Digite 3, n A = 1.500 / (1,0927) Digite PV (aguarde) A = 1.372,71 A = 1.372,71 d = N – A Digite 1500, tecla – (aguarde) d = 1.500 – 1.372,71 d = - 127,29 d = 127,29 8 1.7 – Séries de Pagamentos: Postecipadas e Antecipadas Define-se série, renda, ou anuidade, a uma sucessão de pagamentos, exigíveis em épocas pré- determinadas, destinada a extinguir uma dívida ou constituir um capital. 1.71 – Séries Postecipadas (Ou Vencidas): São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são efetuados no fim de cada intervalo de tempo a que se referir a taxa de juros considerada, ou seja, um período após a efetuação do contrato. Ex: 0 + 15. 1.72 – Séries Antecipadas: São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são efetuados no início de cada intervalo de tempo a que se referir a taxa de juros considerada, ou seja, o pagamento da 1ª parcela se dá no momento do fechamento do contrato. Ex: 1+15. Exemplos de Séries Postecipadas Exemplo 1: Você deseja obter R$ 50.000,00 daqui a 60 meses, ao negociar com o seu banco você conseguiu uma aplicação que lhe rendesse 1,5% a.m. Quando você deverá depositar mensalmente, para atingir tal objetivo. Cálculo pela fórmula ( ) ( ¸ ( ¸ ÷ + × = 1 1 n i i FV PMT FV = 50.000 (Valor Futuro) i = 1,5% a.m n = 60 PMT = Valor do Pagamento Periódico (Prestação) PMT = 50.000 x (0,015 / (1 + 0,015) 60 – 1 PMT = 50.000 x (0,015 / 1,4432) PMT = 50.000 x (0,0104) PMT = 519,67 Cálculo pela HP 12C Limpe a memória da HP12C: digite f, CLX 9 Digite g, 8 (Desativar a função de pagamento antecipado) Digite 50.000, Enter, CHS, FV Digite 1,5, i Digite 60, n Digite PMT e aguarde PMT = 519,67 Exemplo 2: Financiamento de uma Geladeira no valor de R$ 1.500,00, com Taxa de Juros de 0,5% a.m, em 12 prestações. Qual o valor de cada prestação. Cálculo pela fórmula ( ) ( ) ( ¸ ( ¸ ÷ + + × × = 1 1 1 n n i i i PV PMT PV = 1.500 (Valor Presente) i = 0,5% a.m n = 12 PMT = Valor do Pagamento Periódico (Prestação) PMT = 1.500 x ((0,005 x (1 + 0,005) 12 ) / (1 + 0,005) 12 – 1)) PMT = 1.500 x (0,0861) PMT = 129,10 Cálculo pela HP 12C Limpe a memória da HP12C: digite f, CLX Digite g, 8 (Desativar a função de pagamento antecipado) Digite 1.500, Enter, CHS, PV Digite 0,5, i Digite 12, n Digite PMT e aguarde PMT = 129,10 10 Exemplo de Série Antecipada Exemplo: Você financiou um Veículo no valor R$ 30.000,00, sem entrada, para pagamento em 48 parcelas iguais com taxa de juros de 1,3% a.m. Qual o valor da prestação no regime antecipado. Cálculo pela fórmula ( ) ( ) ( ¸ ( ¸ ÷ + + × × + × = 1 1 1 ) 1 ( 1 n n i i i i PV PMT PV = 30.000,00 (Valor Presente) i = 1,3% a.m. n = 48 PMT = 30.000 x 1 / (1 + 0,013) x ((0,013 x (1 + 0,013) 48 ) / (1 + 0,013) 48 – 1 PMT = 30.000 x 0,0278 PMT = 833,24 Cálculo pela HP 12C Limpe a memória da HP12C: digite f, CLX Digite g, e o número 7 Digite 30.000, Enter, CHS, PV Digite 1,3, i Digite 48, n Digite PMT e aguarde PMT = 833,24 1.8 – Correção monetária É um ajuste feito periodicamente de certos valores tendo em base o valor da inflação de um período, objetivando compensar a perda de valor da moeda. Desta forma o objetivo é retirar 11 da taxa de juros de um investimento o efeito da inflação, ou seja, calcular a taxa real de retorno. Essa retirada é feita no formato composto através da seguinte fórmula: 1 + r = 1 + i / 1 + Taxa de inflação r = Taxa Real Exemplo: Uma determinada aplicação rendeu ao final do período 12,5% de juros, mas a inflação no mesmo período foi de 5,8%. Qual foi o ganho Real. Fórmula: 1 + r = 1 + i / 1 + Taxa de inflação i = 12,5% Taxa de inflação = 5,8% 1 + r = 1 + 0,125 / 1 + 0,058 r = 1,0633 – 1 r = 6,33% 1.9 – Sistemas de Amortização de Empréstimos: SAC, Price e Sacre Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos. Os sistemas mais comuns: SAC, Price e SACRE 1.91 – SAC - Sistema de Amortização Constante: Foi introduzido em 1971 pelo SFH. Neste sistema paga-se prestações periódicas, sendo que a prestação engloba Juros + Amortização do Empréstimo. Características: A Amortização é constante, os Juros são decrescentes e são cobrados sobre o saldo devedor e a Prestação é decrescente. Obs: Utilizado nas operações de financiamento imobiliário. 1º Passo: Calcular a Amortização = E / n = 100.000 / 4 = 25.000 2º Passo: Calcular o Saldo Devedor (Sd) = Sd – Amortização 3º Passo: Calcular os Juros sempre sobre o saldo devedor = i x Sd anterior 12 4º Passo: Calcular a Prestação = Amortização + Juros 1.92 – Sistema Price (Sistema Francês): As prestações são constantes, os juros são decrescentes e amortização é crescente. É utilizado no financiamento de Bens de Consumo. ( ) ( ) ( ¸ ( ¸ + × ÷ + × = n n i i i PMT PV 1 1 1 1º Passo: Cálculo das Prestações por meio da fórmula: 2º Passo: Calculo dos Juros sobre o Saldo Devedor 3º Passo: Cálculo da Amortização: Prestação – Juros 4º Passo: Atualizar o Saldo Devedor: Saldo Devedor – Amortização 1.93 – Sistema de Amortização Crescente (SACRE): Este sistema de amortização é utilizado SOMENTE pela Caixa Econômica Federal. A diferença básica entre este sistema e os outros é o de apresentar o valor da parcela de amortização superior, proporcionando uma redução mais rápida do saldo devedor, sendo assim, tanto as prestações, a amortização e os juros são decrescentes, mas em contrapartida a prestação inicial é maior. 1º Passo: Calcular a Prestação = saldo devedor x {( 1/n ) + ( taxa juros mês/100)} 2º Passo: Calcular o Saldo Devedor (Sd) = Sd – Amortização 3º Passo: Calcular os Juros sempre sobre o saldo devedor = i x Sd anterior Exemplo: Veja como fica um financiamento de 120 meses para um imóvel com financiamento de R$ 50.000,00, taxa de juros de 12% a.a. 13 1.10 – Analise de I nvestimentos Consiste na utilização de métodos de avaliação econômico-financeira, com o objetivo de se apurarem os resultados e a atratividade das aplicações de capital, sobretudo nos investimentos de longo prazo. Os Métodos Utilizados são os seguintes: Elaboração de um Fluxo de Caixa Taxa Mínima de Atratividade – TMA Valor Presente Liquido – VPL Payback Taxa Interna de Retorno – TIR Fluxo de Caixa: Elaboração de um Fluxo que mensure as efetivas entradas e saídas, ou seja, todos os custos, inclusive com investimento e receitas em regime de caixa. Taxa Mínima de Atratividade (TMA): É uma taxa de retorno que representa o mínimo que um investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento, também é chamada de Taxa de Expectativa, pois, reflete a expectativa de retorno do investidor. Payback: Consiste na determinação do tempo necessário, para que o investimento inicial seja recuperado, pelas entradas liquidas de caixa promovidas pelo investimento. Cálculo: I / FCL Valor Presente Liquido (VPL): É utilizado para calcular atratividade do investimento. Essa técnica busca informar se um investimento trará retorno positivo ou não, através de fluxos de caixa futuros, ou seja, se os fluxos de caixa futuros, de um determinado projeto superarão o 14 custo do investimento inicial no presente. Nesse método o Fluxo de Caixa Liquido é descontado por uma taxa, que é a Taxa Mínima de Atratividade. Taxa I nterna de Retorno – TI R: A TIR é uma taxa de desconto que iguala o valor presente dos fluxos de caixa futuros, ao investimento inicial. É a taxa que anula VPL. A TIR significa a taxa que o empreendimento traz implicitamente, ou seja, a taxa de retorno que o projeto pode proporcionar ao investidor, ao final do projeto. Exemplo: Investimento de R$ 6.000.000,00 na construção de um condomínio de casas para comercialização. Expectativa de Vendas: 70 Casas ano ao preço unitário de R$ 125.000,00, com uma TMA de 10%. O Custo Variável de Produção é de 60.000,00 por casa e os Custos Fixos previstos são de R$ 300.000,00 por ano. A duração do projeto é de 3 anos. Não haverá financiamento e a alíquota de IR é de 34%. Cálculos: VPL – Valor Presente Liquido Digite 6.000.000,00, Chs, g, CFo Digite 2.805.000, g, CFj Digite 2.805.000, g, CFj Digite 2.805.000, g, CFj Digite 10, i 15 Digite f, NPV (tecla PV) e aguarde VPL = 975.619,83 TI R =Pela HP 12C Digite 6.000.000,00, Chs, g, CFo Digite 2.805.000, g, CFj Digite 2.805.000, g, CFj Digite 2.805.000, g, CFj Digite f, IRR TIR = 19,03% Payback I / FCL Payback: 6.000.000 / 2.805.000 Payback: 2,14 anos (aproximadamente 2 anos, 1 mês e 20 dias) Conclusão: Portanto, os critérios de decisão para análise de investimento são os seguintes: TIR > TMA (Mostra que a taxa de retorno supera a expectativa de retorno do investidor) VPL Positivo (Os Fluxos de caixa líquidos gerados pelo empreendimento, banca, o investimento inicial, os gastos operacionais e financeiros, e atende a expectativa de retorno do investidor) Payback inferior ao tempo de término do Projeto (A recuperação do investimento ocorre antes do término do projeto). Obs: O exemplo acima atende aos critérios de viabilidade, portanto é viável do ponto de vista econômico-financeiro. 16 2 – Estatística Aplicada A Estatística é a ciência que trabalha com fatos numéricos, coletados sistematicamente, ordenados e estudados, sendo que, a organização dos dados é feita através de uma Distribuição de Freqüência. 2.1 – Distribuição de Freqüência É o agrupamento de um conjunto de dados, em geral esse agrupamento se dá em tabelas e gráficos. Uma distribuição de freqüência é composta de Classes e Freqüência. 2.2 – Classes São as variáveis agrupadas e organizadas na coluna de uma tabela, podendo essas variáveis ser agrupadas por atributos ou números. 2.3 – Freqüência (fi) É o número de observações correspondente a uma determinada classe. Sendo que podemos gerar Freqüências acumuladas (Fi), relativas individuais (fri) e acumuladas (Fri). Freqüência acumulada (Fi): É o total das freqüências de todos os valores inferiores de uma dada classe. Fi = f1 + f2 + ..... Freqüência Relativa (fri): Averiguar o peso de cada classe no total. fri = fi /∑ fi Freqüência acumulada relativa (Fri) de uma classe é a freqüência acumulada da classe, dividida pela freqüência total da distribuição. Fri = Fi / ∑ fi 2.4 – Tipos de Distribuição de Freqüência Atributos: Caracterizam-se as classes por algum atributo ou característica. Ex: Despesas da empresa n (Atributo: Despesa). 17 Despesas da Empresa XX Despesas (n) Despesas (fi) Despesas Acumuladas (Fi) fri Fri Despesas de Pessoal 195.385,34 195.385,34 43,10% 43,10% Despesas Operacionais 118.535,26 313.920,60 26,15% 69,25% Despesas Administrativas 77.450,86 391.371,46 17,08% 86,33% Despesas Comerciais 53.615,22 444.986,68 11,83% 98,16% Despesas Financeiras 8.356,12 453.342,80 1,84% 100,00% Total 453.342,80 100,00% Agrupamento Intervalar (Dados contínuos): As classes estão descritas por números, que estão agrupados em intervalos. Ex: Tempo de casa dos funcionários da Empresa XX. Valor Fixo (Dados discretos): As classes são números fixos. Ex: Auditoria em Notas Fiscais da Empresa XX. 18 2.5 – Análise Gráfica Visualização de Dados por meio de gráficos, sendo os mais comuns: Histograma (gráfico em barras): Representado por um retângulo, cuja base horizontal são as classes e seu intervalo, e a altura vertical representa a frequência. Ex: Evolução do faturamento no ano de 2010 da Empresa XX. Gráfico de setores (Pizza): Os valores de cada categoria estatística (classes) representada são proporcionais às respectivas freqüências. Ex: Representatividade de cada mês no faturamento semestral da Empresa XX no ano de 2010. Gráfico em Linhas: Mostra a evolução de uma variável qualquer, apresentando em que direção caminha os dados (tendência) Ex: Evolução do faturamento no ano de 2010 da Empresa XX. Evolução do Faturamento - Empresa XX - Ano de 2010 0,00 200,00 400,00 600,00 800,00 1.000,00 1.200,00 1.400,00 1.600,00 1.800,00 2.000,00 Jan Fev Mar Abr Mai Jun Mês F r e q u ê n c i a Proporção Mensal do Faturamento 16,01% 18,10% 13,33% 16,71% 17,01% 18,85% Jan Fev Mar Abr Mai Jun 19 2.6 – Estatística Descritiva Visa resumir, descrever os dados de uma variável quantitativa, através de medidas estatísticas. 2.61 – Medidas de Tendência Central: Média, Moda, Mediana, Quartis, Decis, Percentis São assim denominadas por indicarem um ponto em torno do qual se concentram os dados. Este ponto tende a ser o centro da distribuição dos dados, sendo as mais comuns: 2.62 – Média Aritmética: É a soma de todos os valores observados da variável dividida pelo número total de observações, portanto, a média de uma distribuição, é o centro de gravidade, representa o ponto de equilíbrio de um conjunto de dados. A seguir, algumas propriedades da média aritmética: 1. A média é um valor calculado facilmente e depende de todas as observações; 2. É única em um conjunto de dados e nem sempre tem existência real, ou seja, nem sempre é igual a um determinado valor observado; 3. A média é afetada por valores extremos observados, portanto, quando se observam no conjunto, dados discrepantes, significa que a média é uma medida não apropriada para representar os dados. 4. Por depender de todos os valores observados, qualquer modificação nos dados fará com que a média fique alterada. Isto quer dizer que somando-se, subtraindo-se, multiplicando-se Evolução do Faturamento - Empresa XX - Ano 2010 1.200,00 1.300,00 1.400,00 1.500,00 1.600,00 1.700,00 1.800,00 1.900,00 2.000,00 Jan Fev Mar Abr Mai Jun Mês F r e q u ê n c i a 20 ou dividindo-se uma constante a cada valor observado, a média ficará acrescida, diminuída, multiplicada ou dividida desse valor. 5. A soma da diferença de cada valor observado em relação à média é zero, ou seja, a soma dos desvios é zero. Fórmula de cálculo para dados univariáveis (As classes são atributos) ou numéricos (dados discretos ou contínuos), respectivamente: 2.63 – Média Geométrica: É definida, como a Raiz do número de classes, do produto de todas as freqüências. Muito utilizadas em aplicações financeiras que rendem juros sobre juros e em dados demográficos. Fórmula de cálculo: 2.64 – Moda: É o valor que apresenta a maior freqüência da variável entre os valores observados. Para o caso de valores individuais, a moda pode ser determinada imediatamente observando-se o rol, ou seja, o valor mais comum, mais freqüente, o que mais se repete. Por outro lado, em se tratando de uma distribuição de freqüência de valores agrupados em classes (Dados contínuos ou discretos), é necessário identificar a classe modal, ou seja, aquela que apresenta a maior freqüência. Fórmula de cálculo da Moda: (Dados contínuos ou discretos) 2.65 – Medidas Separatrizes: São medidas que dividem os dados em extratos, sendo as mais comuns: 2.651 – Mediana: É uma medida de localização do centro da distribuição dos dados. Após a ordenação dos elementos da amostra de dados, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à Li = limite inferior da classe modal, h = amplitude da classe modal, Fi = Freqüência absoluta da classe modal, Fi-1 = Freqüência absoluta da classe anterior a classe modal, Fi + 1 = Freqüência absoluta da classe superior a classe modal. 21 mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana. Para a determinação da mediana de um conjunto de n observações, utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra das n observações: - Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio (que se posiciona no meio dos dados); - Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios. Fórmula de cálculo da Mediana: (Dados contínuos ou discretos) 2.652 – Quartil: Os Quartis dividem o conjunto de dados em quatro partes iguais, seguindo a seguinte descrição: 2.653 – Decis: Os Decis dividem o conjunto de dados em dez partes iguais. Li = limite inferior da classe mediana, h = amplitude da classe mediana, Fi = Freqüência absoluta da classe mediana, Fai-1 = Freqüência absoluta da classe anterior a classe da mediana, p = n / 2 indica a posição central da série. 22 2.654 – Percentis: Os Percentis dividem o conjunto de dados em cem partes iguais. A seguir são apresentados alguns dos Percentis mais usados: 2.7 – Medidas de Dispersão: Amplitude Total, Desvio-Médio, Variância, Desvio- Padrão eCoeficiente de Variação As medidas de dispersão traduzem a variação de um conjunto dos dados em torno da média, ou seja, da maior ou menor variabilidade dos resultados obtidos. Permitem identificar até que ponto os resultados se concentram ou não ao redor da tendência central de um conjunto de observações. Dividem em: 2.71 – Amplitude Total: A amplitude total de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor valor observado. A amplitude total não leva em consideração os valores intermediários perdendo a informação de como os dados estão distribuídos e/ou concentrados. Fórmula de Cálculo: At = fimax – fimin At (Amplitude Total) fimax (Freqüência individual máxima) fimin (Freqüência individual mínima) 2.72 – Desvio-Médio: A diferença entre cada valor observado e a média é denominado desvio e é dado por (xi −μ) se o conjunto de dados é populacional, ou por (xi − x) se os dados são amostrais. Ao somar todos os desvios, ou seja, ao somar todas as diferenças de cada valor observado em relação à média, o resultado é igual a zero (propriedade 5 da média). Isto significa que esta medida não mede a variabilidade dos dados. Para resolver este problema, 23 pode-se desconsiderar o sinal da diferença, considerando a diferença em módulo. Fórmula para dados univariáveis ou numéricos, respectivamente: 2.73 – Variância: Enquanto não há nada conceitualmente errado em se considerar o desvio médio, segundo Pagano (2004), esta medida não tem certas propriedades importantes e não é muito utilizada. O mais comum é considerar o quadrado dos desvios em relação à média e então calcular a média. Fórmula para dados univariáveis ou numéricos, respectivamente: 2.74 – Desvio-Padrão: Entretanto, ao calcular a variância observa-se que o resultado será dado em unidades quadráticas, o que dificulta a sua interpretação. O problema é resolvido extraindo-se a raiz quadrada da variância, definindo-se, assim, o desvio padrão. O Desvio- Padrão é a medida mais utilizada para se verificar a dispersão, portanto, quanto maior o Desvio-Padrão, mais distantes os dados se posicionam em relação à média, assim a fórmula de cálculo será: S = √S² 2.75 – Coeficiente de Variação: O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa definida como a razão entre o desvio padrão e a média. A partir do coeficiente de variação pode-se avaliar a homogeneidade do conjunto de dados e, conseqüentemente, se a média é uma boa medida para representar estes dados. Uma desvantagem do coeficiente de variação é que ele deixa de ser útil quando a média está próxima de zero, pois poderá inflacionar o CV. Um coeficiente de variação superior a 50% sugere alta dispersão o que indica heterogeneidade dos dados, ou seja, quanto maior for este valor, menos representativa será a média. Neste caso, opta-se pela mediana ou moda, não existindo uma regra prática para a escolha de uma destas medidas e será calculado da seguinte forma: 24 2.76 – Exemplo das Estatísticas descritivas: Pesquisa de Preço em 6 estabelecimento, para verificar o preço do Extrato de Tomate: Estabelecimento Preço DM VAR A 2,20 0,09 0,01 B 2,20 0,09 0,01 C 2,28 0,01 0,00 D 2,31 0,02 0,00 E 2,36 0,07 0,01 F 2,38 0,09 0,01 0,37 0,03 Média = 2,20 + 2,20 + 2,28 + 2,31 + 2,36 + 2,38 / 6 = 2,29 Moda = 2,20 (Valor mais comum) Mediana = n / 2 e n / 2 + 1 = 6 / 2 = 3 e 6 / 2 + 1 = 4 (A mediana será a média das freqüências da 3ª e da 4ª classe) Mediana = 2,28 + 2,31 / 2 = 2,30 (50% dos dados se posicionam abaixo da mediana e 50% dos dados são maiores que a mediana) 1º Quartil: 0,25 x (n + 1) = 0,25 x (6 + 1) ≈ 2 (O 1º quartil está na 2ª classe) = 2,20 7º Decil: 0,7 x (n + 1) ≈ 5 (O 7º decil está na 5ª classe) = 2,36 Amplitude Total: At = fimax – fimin = 2,38 – 2,20 = 0,18 (Distância entre o maior e o menor valor) Desvio-Médio: 0,37 / 6 = 0,0617 Variância: 0,03 / 6 – 1 = 0,0059 2.8 – Probabilidade Conjunto de regras, por meio das quais, se calcula o número de causas favoráveis, ou contrárias, à produção de certo acontecimento. Determinada sapataria masculina utilizando as informações históricas sobre os últimos 900 clientes, identificou que: 90 homens compraram sapatos 38 e 252 homens compraram sapatos 42, desta forma, calcule: A) A Probabilidade de o próximo cliente comprar um sapato 38; B) A Probabilidade de o próximo cliente comprar um sapato 42; C) A Probabilidade de comprar um dos dois números, ou nenhum dos dois números. Desvio-Padrão = √0,0059 Desvio-Padrão = 0,07705 C.V. = 0,07705 / 2,29 C.V. = 3,37% Conclusão: Os dados apresentam baixa dispersão em relação à média, portanto, a média é uma boa referência. 25 Cálculo da Probabilidade: 2.81 – Eventos envolvendo Probabilidade I ndependentes: Dois eventos são independentes, quando o resultado de um evento não interfere no resultado do outro. A expressão que define a lei do produto para eventos independentes é a seguinte: P(A e B) = P(A) x P(B) Exemplo: Em uma família será estimada a probabilidade de nascer menino e ter olhos azuis, considerando que a probabilidade de nascer menino é de 1/2 e de ter olhos azuis é de 1/8. P(A e B) = 1/2 x 1/8 P(A e B) = 1/16 P(A e B) = 6,25% Mutuamente Exclusivos: A ocorrência de um evento elimina a possibilidade de ocorrência de outro evento. Fórmula de Cálculo: P(A ou B) = P(A) + P(B) Exemplo: Na mesma família qual a probabilidade de nascer um menino de olhos castanhos ou uma menina de olhos azuis, considerando que: a probabilidade de nascer menino de olhos castanhos é de 3/8 e menina de olhos azuis é de 1/8. P(A ou B) = 3/8 + 1/8 P(A ou B) = 4/8 26 P(A ou B) = 1/2 Dependentes – Probabilidade Condicional: Refere-se à probabilidade de ocorrência de um evento A sabendo que ocorreu um outro evento B e representa-se por P(A|B), lida "probabilidade condicional de A dado B" ou ainda "probabilidade de A dependente da condição B". Fórmula de Cálculo: Exemplo: Uma pesquisa realizada entre 1.000 consumidores, registrou que 650 deles trabalham com cartões de crédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalham com cartões de crédito da bandeira VISA e que 200 trabalham com cartões de crédito de ambas as bandeiras. Qual a probabilidade de ao escolhermos deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser também um dos consumidores que utilizam cartões de crédito da bandeira MasterCard? P(A ׀ B) = 200 / 550 P(A ׀ B) = 36,36% 2.82 – Variável aleatória Variável aleatória é um tipo de variável que pode assumir diferentes valores numéricos, definidos para cada evento de um espaço amostral. 2.83 – Valor esperado Também chamado de esperança matemática ou expectância, de uma variável aleatória é a soma das probabilidades de cada possibilidade da experiência, multiplicada pelo seu valor. Isto é, representa o valor médio "esperado" de uma experiência se ela for repetida muitas vezes. Se todos os eventos tiverem igual probabilidade o valor esperado é a média aritmética, caso haja probabilidades diferentes para cada evento, o valor esperado é uma média ponderada. Exemplo: João resolveu apostar R$ 50 no cara e coroa contra um amigo. Se der cara, ele ganha R$ 50, caso contrário, perde R$ 50. Qual o valor esperado por João nesse jogo? Se der cara: (Probabilidade de dar cara) x (valor do evento) ou 50% * R$ 50 = R$ 25 27 Se der coroa: (Probabilidade de dar coroa) x (valor do evento) ou 50% * - R$ 50 = - R$ 25 Logo, somando as probabilidades de cada evento, multiplicadas pelo seu valor, chegamos a: R$ 25 – R$ 25 = R$ 0 Apostar no cara e coroa tem valor esperado de zero. Isto é, no longo prazo, não tem vencedor, eles vão empatar. 2.84 – Distribuição Binomial É usada para encontrar a probabilidade de X números de ocorrências ou sucessos de um evento, P(X), em n tentativas do mesmo experimento quando (1) existirem somente 2 resultados mutuamente exclusivos, (2) as n tentativas são independentes, e (3) a probabilidade de ocorrência ou sucesso, p, permanece constante em cada tentativa. Fórmula de cálculo: Exemplo: Qual é a probabilidade de 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta? Levantamento de Dados: n = 5, X = 3, p = ½ P(3) = (5! / 3! (5 – 3)!) x (1/2)³ x (1/2) 5 – 3 P(3) = (120 / 12) x 0,03125 P(3) = 31,25% 2.9 – Correlação É o grau de relação entre duas variáveis. A correlação gera um número que é chamado de coeficiente de correlação que vai de – 1 a + 1. Quanto mais próximo de + 1 maior é o grau de relação entre as variáveis, ou seja, as variáveis caminham na mesma direção. Em outras palavras a associação entre as variáveis é diretamente proporcional. Ex: A elevação do lucro possui correlação positiva com a elevação do faturamento. 28 Quanto mais próximo de 0 mais baixa é a correlação, ou seja, o que ocorre com uma variável pouco interfere no comportamento da outra variável. Quanto mais próximo de – 1, existe uma relação inversa entre as variáveis, ou seja, quando o valor de uma variável se eleva o valor da outra se reduz, portanto a relação entre as variáveis é inversamente proporcional. Ex: Preço e Volume Vendido. O Coeficiente de correlação poderá ser calculado através, cruzando os valores históricos das variáveis que se deseja mensurar o grau de relação, essas variáveis são chamadas de X e Y. 2.10 – Erro Padrão O erro padrão é uma medida da precisão da média amostral calculada. O erro padrão obtém-se dividindo o desvio padrão pela raiz quadrada do tamanho da amostra, desta forma, quanto menor o erro padrão, melhor a precisão da média, o cálculo é feito da seguinte forma: S / √n S = Desvio-Padrão da amostra n = Número de observações Exemplo: Em uma pesquisa de preço de gasolina realizada em 64 postos, observou-se que o desvio-padrão do preço do litro fora de 0,4, e o preço médio foi de 2,87. Qual o erro padrão da pesquisa? Erro Padrão = 0,4 / √64 Erro Padrão = 0,05 Conclusão: Isso indica que o preço médio encontrado pode variar 0,05 para mais ou para menos, neste caso: 2,87 ± 0,05, portanto, oscila entre 2,82 e 2,92. 29 2.11 – Regressão É um método para se estimar a condicional (valor esperado) de uma variável y, dados os valores de algumas outras variáveis x. Desta forma y é uma variável dependente e as variáveis x são variáveis independentes. Em outras palavras é uma metodologia estatística que utiliza a relação entre duas ou mais variáveis quantitativas (ou qualitativas) de tal forma, que uma variável pode ser predita a partir da outra ou outras. Ex: Estimar o volume de vendas de um produto em função do Preço. A equação de Regressão é a seguinte: Em que: Yi - Variável explicada (dependente); é o valor que se quer prever; α - É uma constante, que será utilizada na previsão de Yi; β - É outra constante, que representa a variação na variável Yi, dada mudanças em Xi; Xi - Variável explicativa (independente) representa o fator explicativo na equação; - Variável que inclui todos os factores residuais mais os possíveis erros de medição. 2.12 – Números Índices São usados para indicar variações relativas em quantidades, preços e valores de um artigo (ou artigos) durante certo período de tempo ou entre diferentes lugares. Dividem-se em: Í ndices Simples: Um Número Índice simples avalia a variação relativa de um único item ou variável econômica entre dois períodos de tempo. Cálculo: Valor no período n / Valor no período base x 100 Ex: O Preço da Gasolina em Dez/2011 era de 2,79, já em Dez/12 era de 2,89, qual a variação? 2,89 / 2,79 x 100 = 103,58 Regra: Caso o resultado seja superior a 100, isso indica que houve variação positiva. Sendo que, o valor acima de 100, mostra o tamanho da variação percentual, no exemplo acima: 3,58% foi a variação no preço da gasolina no período. Í ndices Compostos: São usados para indicar uma variação relativa no preço, na quantidade, ou no valor de um grupo de itens. O cálculo: (Σ Pn x Qo / Σ Po x Qo) x 100 30 Pn = Preço no período atual Qo = Quantidade no período base Po = Preço no período base 2.13 – Í ndices de Preço ao consumidor no Brasil I PCA: Índice de preços ao consumidor ampliado, e é elaborado pelo IBGE e abrange uma cesta de bens e serviços consumidos por famílias com renda de 1 a 40 salários mínimos em 11 regiões metropolitanas (Rio de Janeiro, Porto Alegre, Belo Horizonte, Recife, São Paulo, Brasília, Belém, Fortaleza, Salvador, Curitiba e Goiânia). Este é considerado o Índice Oficial de Inflação do Governo. O Período de coleta é do dia 1 ao dia 30. I NPC: Índice Nacional de preços ao consumidor é elaborado pelo IBGE, e abrange uma cesta de bens e serviços consumidos por famílias com renda de 1 a 8 salários mínimos em 11 regiões metropolitanas (Rio de Janeiro, Porto Alegre, Belo Horizonte, Recife, São Paulo, Brasília, Belém, Fortaleza, Salvador, Curitiba e Goiânia). O Período de coleta é do dia 1 ao dia 30. 2.14 – Teoria da Amostragem Em Estatística as pesquisas são em geral feitas por amostras. População: É o conjunto de todos os elementos – unidades observacionais que constituem a Abrangência do estudo. Em geral quando se pesquisa os dados de uma população completa, esse processo tem o nome de Censo. Amostra: É um subconjunto da população, ou seja, uma parcela da população que será pesquisada. Exemplo: População de Padarias de Goiânia (todas as padarias de Goiânia), Amostra das Padarias de Goiânia (Parte da população de padarias de Goiânia). Métodos de definição de uma Amostra: Amostragem Simples: A escolha dos pesquisados é feita por Sorteio, sendo que, cada componente da população tem a mesma chance de ser incluído na amostra. 31 Amostragem Estratificada: Usada quando a população divide-se em subpopulações (estratos) razoavelmente homogêneos. A amostragem estratificada consiste em se especificar quantos itens da amostra serão retirados de cada estrato. Amostragem Sistemática: Divide-se o tamanho da população pelo tamanho desejado da amostra. Ex: Definir uma amostra de 5 pessoas, para participarem de uma pesquisa em uma população de 30 pessoas. 30 / 5 = 6. Isso significa que será dividida a amostra em 5 grupos de 6 pessoas cada e escolhe aleatoriamente 1 pessoa de cada grupo por sorteio. 2.15 – Cálculo do Tamanho da Amostra – Pesquisa de Campo O Primeiro passo é estabelecer o Erro Amostral Tolerável (Margem de Erro) Fórmula de Cálculo: n 0 = 1 / (Eo)² n 0 = Primeira aproximação da amostra n = N x n 0 / N + n 0 n = Tamanho da Amostra N = Tamanho da População Ex: Numa empresa com 1.000 funcionários, deseja-se estimar a percentagem dos favoráveis a certo treinamento. Qual deve ser o tamanho da amostra aleatória simples que garanta um erro amostral não superior a 5%? n 0 = 1 / (0,05)² n 0 = 400 n = 1.000 x 400 / 1000 + 400 n = 286 Conclusão: Será necessário pesquisar 286 funcionários para avaliar se determinado treinamento é efetivo ou não, sendo que, haverá uma margem de erro de 5% em relação à opinião dos funcionários participantes da pesquisa, em outras palavras, se 30% dos 32 funcionários entrevistados aprovarem o treinamento, isso significa dizer, que entre 25% e 35% dos funcionários dessa empresa, aprovaram o treinamento. 2.16 – Distribuição Normal É a mais familiar das distribuições de probabilidade e também uma das mais importantes em estatística. Esse nome parte do principio que todos os dados oscilam em torno de um valor normal, que é a média. Para tanto considera-se na curva normal que a média é o ponto zero, enquanto que o desvio-padrão são os pontos 1,2 e 3 (positivos e negativos). Para a Distribuição normal utiliza-se da Curva Normal com os seguintes pressupostos: 1 Desvio: 68,26% das observações se situam nesta faixa. 2 Desvios: 95,46% das observações se situam nesta faixa. 3 Desvios: 99,74% das observações se situam nesta faixa. Portanto os desvios na curva normal são as probabilidades de ocorrência de um evento, com base em sua média e desvio-padrão As estimativas são feitas através da Curva Normal: Sendo 0 o ponto onde se situa a Média dos Dados; Os Números diferentes de 0 é o Desvio-Padrão, ou seja, a dispersão em torno da média. Considerando a probabilidade de ocorrência, a área sob sua curva soma 100%. Isso quer dizer que a probabilidade de uma observação assumir um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área compreendida entre esses dois pontos. Uma distribuição que tende a normalidade significa que a média = mediana = moda. 33 Exemplo: Tal empresa vende em média 500 unidades ao mês de um produto com um desvio- padrão de 50. Considerando uma Distribuição Normal para o dado citado com média 0 e Desvio-Padrão 2, qual a probabilidade de Vendas para o próximo mês e qual a probabilidade de as vendas estarem fora do intervalo previsto. Vendas previstas entre 450 e 550. (Desvio de 50 em relação à média). Probabilidade de ocorrência: 95,46% (2 desvios em relação a média). 2.17 – I ntervalo de Confiança Estima uma faixa dentro da qual o valor médio de uma distribuição de dados se encontra, procurando atribuir certo grau de precisão a média. Ao calcular um intervalo de confiança especifica-se um nível de confiança aceitável. Em negócios o mais comum é trabalhar com 95% de confiança. Isso significa dizer com confiança, que 95% dos valores de uma distribuição, encontram-se dentro de um intervalo esperado. Vale ressaltar que quanto maior for o intervalo de confiança, maior será o tamanho da amostra de dados, uma vez que, com uma maior amostra mais precisa será a média. Com um intervalo de confiança de 95% remove-se da amostra os piores 2,5% de valores de cada extremidade dos dados, ou seja, os dados que se posicionam mais distantes da média. 34 Para o cálculo do intervalo de confiança utiliza-se a tabela z (Tabela de Distribuição Normal), onde: Para um intervalo de confiança de 95% utiliza-se 1,96 de desvio padrão. Para um intervalo de confiança de 99% utiliza-se 2,58 de desvio padrão. Para um intervalo de confiança de 99,8% utiliza-se 3,10 de desvio padrão. Determinação do Tamanho da Amostra considerando o intervalo de confiança: O tamanho da amostra depende de 3 fatores, conforme abaixo: O grau de confiança desejado (z); Quantidade de dispersão entre os valores individuais da população ( σ x ); Erro tolerável ou admitido (e). Definida as variáveis acima é possível definir o tamanho da amostra por meio da seguinte fórmula: n = Tamanho da amostra z = Intervalo de Confiança, retirado da tabela Z de distribuição normal σ x = Dispersão: Desvio Padrão de x e = Margem de Erro tolerável Exemplo: Qual o tamanho de amostra necessária de documentos tributários para serem auditados, sendo que, historicamente esse tipo de auditoria apresenta um resultado cujo desvio padrão é igual a 4, com 98% de intervalo de confiança e erro de 0,5? 98% = 2,33 (Tabela Z, isso equivale a 98% da Curva Normal) n = (2,33 x 4 / 0,5)² 35 n = 347,45 n = 348 Conclusão: Para atendimento do padrão definido deverão ser auditados 348 documentos tributários. 2.18 – Cálculos estatísticos na HP 12C Exemplo: Preço médio e Volume de Vendas Preço diário Vendas 10,00 1.540 10,25 1.533 10,15 1.547 10,32 1.542 10,28 1.551 Cálculo do preço médio diário – HP 12C: Tecle f REG, 10 ENTER ∑+, 10,25 ENTER ∑+, 10,15 ENTER ∑+, 10,32 ENTER ∑+, 10,28 ENTER ∑+, g, 0. = 10,20 Cálculo do Desvio-Padrão do preço diário – HP 12C: Tecle f REG, 10 ENTER ∑+, 10,25 ENTER ∑+, 10,15 ENTER ∑+, 10,32 ENTER ∑+, 10,28 ENTER ∑+, g, S = 0,1283 Cálculo do Coeficiente de Correlação entre o Preço diário e as Vendas: Tecle f REG, 10 ENTER 1.540 ∑+, 10,25 ENTER 1.533 ∑+, 10,15 ENTER 1.547 ∑+, 10,32 ENTER 1.542 ∑+, 10,28 ENTER 1.551 ∑+, 0 g 2, STO 0 x > < y = 0,1190 2.19 – Bibliografia CRESPO, Antonio Arnot. Matemática Financeira Fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 2010. STEVENSON, Willian J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Ed. Harbra, 1981. BUSSAB, W. O. e MORETTIN, P. A. Estatística Básica. São Paulo: Editora Saraiva, 2003. ASSAF NETO, Alexandre, Fabiano Guasti. Fundamento de Administração Financeira. São Paulo: Atlas, 2010. 36 3 – Exercícios de Matemática Financeira– Revisão CRC 1 – (CRC – 2011 - Bacharel) Um investidor fez uma aplicação financeira a juros compostos com capitalização mensal a uma taxa de juros nominal de 8,7% ao semestre. Ao fim de dois anos e meio, o aumento percentual de seu capital inicial foi de: a) 43,50%. b) 49,34%. c) 51,76%. d) 54,01%. 2 – (CRC – 2011 - Bacharel) Um gestor de empresa tem três cotações de preços de fornecedores diferentes, da mesma quantidade de uma determinada matéria-prima, nas seguintes condições de pagamento: Fornecedor A R$3.180,00 para pagamento à vista Fornecedor B R$3.200,00 para pagamento em 1 (um) mês Fornecedor C R$3.300,00 para pagamento em 2 meses Considerando as condições de pagamento e um custo de oportunidade de 1% (um) ao mês, é mais vantajoso adquirir a matéria-prima: a) do Fornecedor A. b) do Fornecedor B. c) dos Fornecedores A ou C. d) dos Fornecedores B ou C. 3 – (CRC – 2012 - Bacharel) Uma sociedade empresária obteve, em 1º.9.2011, um empréstimo de R$120.000,00, com juros simples de 12% a.a. Os juros serão pagos semestralmente. O valor registrado em despesa financeira até 31.12.2011 é de: a) R$4.800,00. b) R$4.872,48. c) R$7.200,00. d) R$7.382,42. 37 4 – (CRC – 2012 – Técnico) Uma empresa tomou um empréstimo, pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante nove meses. Ao final do período, calculou em R$270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. O valor do empréstimo foi de: a) R$405.000,00. b) R$429.812,58. c) R$456.159,32. d) R$500.000,00. 5 – (CRC – 2012 – Técnico) Um título sofre um desconto comercial, ou por fora, de R$19.620,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Considerando o mesmo valor nominal do título, a taxa de 3% ao mês e o prazo de três meses, e alterando-se a modalidade de desconto para racional ou por dentro, o desconto passará a ser de: a) R$16.200,00. b) R$18.000,00. c) R$18.493,73. d) R$19.620,00. 6 – (CRC – 2012 - Bacharel) Uma sociedade empresária possui na sua carteira de duplicatas a receber um total de R$800.000,00 vencíveis em 3 meses. A empresa resolve realizar uma operação de desconto em uma instituição financeira contratada, com uma taxa de desconto racional de 2% ao mês. Na data da operação, a sociedade deverá classificar no Passivo o valor do desconto racional ou desconto por dentro como Encargo Financeiro a Transcorrer. O valor do desconto é: a) R$45.283,02. b) R$46.142,14. c) R$753.857,86. d) R$754.716,98. 7 – (CRC – 2012 – Técnico) Uma sociedade empresária adquiriu um equipamento que será pago em uma única parcela de R$551.250,00 dois meses após a compra. A taxa de juros de mercado é de 5% ao mês, com capitalização mensal. 38 O valor presente da dívida, na data da aquisição, é de: a) R$499.284,11. b) R$500.000,00. c) R$501.136,36. d) R$525.000,00. 8 – (CRC – 2011 - Técnico) Uma empresa obteve, em 1º de março de 2010, um empréstimo de R$20.000,00 com juros compostos de 2% ao mês, o qual será pago de uma só vez após três meses. O valor da dívida e a despesa financeira registrada no mês de abril são, respectivamente: a) R$20.800,00 e R$400,00. b) R$20.808,00 e R$408,00. c) R$21.200,00 e R$400,00. d) R$21.224,16 e R$416,16. 9 – (CRC – 2011 – Técnico) Um capital de R$5.000,00 foi aplicado por cinco meses, rendendo durante o período juros de R$300,00. Em relação a essa operação, é CORRETO afirmar que a taxa de juros foi de: a) 6,0% a.a., considerando-se o método linear. b) 6,0% a.a., considerando-se o método exponencial. c) 14,4% a.a., considerando-se o método linear. d) 14,4% a.a., considerando-se o método exponencial. 10 – (CRC – 2011 - Técnico) Uma empresa obteve em 1º de julho em empréstimo de R$ 800.000,00 a ser pago integralmente após três meses, com incidência de juros compostos de 5% ao mês. Ao final do mês de agosto, a empresa apresentará o valor de despesa financeira acumulada referente a este empréstimo no valor de: a) R$ 0,00 b) R$ 80.000,00 c) R$ 82.000,00 d) R$ 126.100,00 39 11 – (CRC – 2011 – Bacharel) Um investidor efetuou uma aplicação financeira a juros nominais de 3% ao semestre, capitalizados mensalmente. O prazo da aplicação financeira era de 3 semestres. A taxa efetiva de juros para o prazo total da aplicação é de: a) 9,00% b) 9,13% c) 9,27% d) 9,39% 12 – (CRC – 2011 – Bacharel) Uma duplicata no valor de R$ 4.000,00 foi descontada em uma instituição financeira que cobra juros nominais de 24% a.a. Na data da operação, faltavam 3 meses para o vencimento da duplicata. O método utilizado pela instituição financeira para cálculo dos encargos da operação é conhecido como desconto bancário ou comercial, ou, ainda, desconto por fora. O Valor do desconto será de: a) R$ 226,41 b) R$ 240,00 c) R$ 3.760,00 d) R$ 3.773,59 13 – (CRC – 2012 – Bacharel) Uma sociedade empresária obteve em 1º.7.2011 um empréstimo de R$100.000,00, com vencimento em 30.6.2013. No momento da liberação do empréstimo, o banco cobrou uma taxa de abertura de crédito de R$1.000,00, liberando para o cliente o valor líquido de R$99.000,00. Os juros serão pagos juntamente com o principal da dívida no vencimento do contrato. O valor total a ser pago para a quitação da dívida, em 30.6.2013, incluindo juros e principal, é de R$119.970,00. A taxa efetiva de juros compostos da operação descrita é de: a) 9,449% a.a. b) 9,985% a.a. c) 10,5% a.a. d) 10,0% a.a. 40 14 – (CRC – 2012 – Bacharel) Uma empresa está analisando a melhor opção para aquisição de uma máquina. As seguintes opções estão sendo analisadas: Opção 1 Adquirir a máquina do Fornecedor A, à vista, por R$200.000,00. Para tanto, a empresa terá que obter um empréstimo de R$200.000,00 com juros compostos de 2% a.m. no Banco X, a ser pago em três parcelas de igual valor, vencendo a primeira parcela um mês após a data da liberação do empréstimo. Opção 2 Adquirir a máquina do Fornecedor B, em três parcelas mensais sucessivas de R$70.000,00, vencendo a primeira parcela um mês após a data da compra. Com base nos dados informados, é CORRETO afirmar que: a) É mais vantajosa a opção 1, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X é igual a R$69.350,93. b) É mais vantajosa a opção 1, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X é igual a R$68.000,00. c) É mais vantajosa a opção 2, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X é igual a R$70.747,20. d) É mais vantajosa a opção 2, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X é igual a R$70.666,67. 15 – (CRC – 2012 – Bacharel) Um investidor aplicou a quantia de R$150.000,00 em um título de renda fixa resgatável no final do prazo de 12 meses. A taxa de juros composta aplicada ao título é 4% ao mês. O valor de resgate do título no final do 12º mês é: a) R$ 222.000,00. b) R$ 240.154,83. c) R$ 294.230,77. d) R$ 306.000,00. 16 – (CRC – 2012 – Técnico) Uma sociedade efetuou uma aplicação em Certificado de Depósito Bancário no valor de R$10.000,00, com uma taxa de 1,5% a.m., com capitalização composta por um período de 12 meses. Ao fim do sexto mês, o valor atualizado da aplicação, desprezando-se os centavos, era de: a) R$11.956. 41 b) R$11.800. c) R$10.934. d) R$10.900. 17 – (CRC – 2012 – Técnico) Uma sociedade empresária fez uma aplicação no valor de R$200.000,00, por 12 meses, obtendo um montante ao final da aplicação de R$800.000,00. A taxa de juros simples mensal praticada durante a operação é de, aproximadamente: a) 10%. b) 25%. c) 33%. d) 42%. 18 – (CRC – 2012 – Técnico) Uma empresa está adquirindo um compressor para pintura em 12 parcelas iguais. O preço com pagamento a prazo do equipamento é de R$1.200,00. No momento da aquisição, o fornecedor informou que, havendo pagamento antecipado das parcelas, haveria desconto comercial ou por fora para cada mês antecipado, considerando uma taxa de juros simples de 2% a.m.. Ao efetuar o pagamento da sétima parcela, a empresa percebeu que havia sobra de caixa e que poderia antecipar o pagamento da última parcela. Assinale a opção que apresenta o valor a ser desembolsado no sétimo mês, referente ao pagamento da última parcela. a) R$88,00. b) R$90,00. c) R$100,00. d) R$112,00. 19 – (CRC – 2013 – Bacharel) Um Investidor adquiriu um título público por R$3.000,00. Na aquisição, arcou com custos de corretagem de R$100,00. Após seis meses, vendeu o título por R$4.000,00 e recolheu imediatamente os tributos incidentes sobre a operação, no valor de R$120,00. Durante o período em que esteve de posse do título, o investidor não recebeu quaisquer rendimentos adicionais. 42 Considerando os fluxos de caixa líquidos, no investimento e no resgate, o investidor obteve no período uma taxa de retorno líquida de aproximadamente: a) 25,16%. b) 29,33%. c) 33,33%. d) 33,79%. 20 – (CRC – 2013 – Técnico) Uma sociedade empresária efetuou uma aplicação, com juros simples, por um período de cinco anos e taxa de 18% ao ano, esperando resgatar no final do prazo o montante de R$200.000,00. O valor aplicado, desprezando os centavos, foi de: a) R$87.421,. b) R$91.222,. c) R$105.263,. d) R$108.108,. 21 – (CRC – 2013 – Técnico) Uma sociedade empresária adquiriu uma máquina para pagamento em uma única parcela de R$220.000,00, ao final de três meses. O preço à vista da máquina era de R$200.000,00. A taxa de juros compostos embutida pelo fornecedor, na operação de venda a prazo, foi de aproximadamente: a) 3,23% ao mês. b) 3,33% ao mês. c) 9,09% ao trimestre. d) 40,00% ao ano. 22 – (CRC – 2013 – Técnico) Uma sociedade empresária fez as seguintes aplicações: Valores aplicados Taxa de Juros R$10.000,00 2,0%a.m. R$12.000,00 2,5%a.m. R$11.000,00 3,0%a.m. R$9.000,00 2,5%a.m. R$8.000,00 3,5%a.m. 43 Considere que todas as aplicações foram feitas no primeiro dia do mesmo mês, e resgatadas no último dia deste mesmo mês. A taxa de juros que representa a rentabilidade da carteira de aplicações no mês foi de: a) 2,67%. b) 2,70%. c) 13,50%. d) 26,25%. 4 – Exercícios de Estatística – Revisão CRC 1 – (CRC – 2011 – Bacharel) Os preços em reais (R$) para uma amostra de equipamentos de som estão indicados na tabela abaixo: Com base na amostra, o valor CORRETO da mediana é igual a: a) R$440,00. b) R$470,00. c) R$512,00. d) R$627,00. 2 – (Analista do TCU) O Quadro abaixo representa a média mensal per capta das localidades A e B: Localidade Média Desvio-Padrão A 50 10 B 75 15 a) A Renda da Localidade A é mais homogênea que a da localidade B. b) O Coeficiente de Variação é 50/75. c) A Renda da Localidade B é mais homogênea que a da localidade A. d) Os coeficientes de variação de renda nas localidades A e B são iguais. 44 3 – (CRC 2011 – Bacharel) A quantidade diária de unidades vendidas do produto X em uma determinada indústria segue uma distribuição normal, com média de 1.000 unidades e desvio padrão de 200 unidades. O gráfico abaixo representa a distribuição normal padrão com média igual a 0 (zero) e desvio-padrão igual a 1 (um), cujas percentagens representam as probabilidades entre os valores de desvio-padrão. Com base nas informações fornecidas, é CORRETO afirmar que: a) a probabilidade de a quantidade vendida ficar abaixo de 800 unidades é de 34,13%. b) a probabilidade de a quantidade vendida ficar acima de 1.200 unidades é de 13,6%. c) a probabilidade de a quantidade vendida ficar entre 800 e 1.200 unidades é de 68,26%. d) a probabilidade de a quantidade vendida ficar entre 800 e 1.200 unidades é de 31,74%. 4 – Os preços do m² das últimas 5 obras realizadas por uma instituição pública foram respectivamente: 800, 810, 750, 780 e 810, desta forma, pode-se afirmar que a moda dos preços por m² obtida é: a) 780 b) 790 c) 810 d) 800 45 5 – (CRC – 2012 – Bacharel) De acordo com a NBC TG 25 – Provisões, Passivos Contingentes e Ativos Contingentes, quando a provisão a ser mensurada envolve uma grande população de itens, a obrigação pode ser estimada utilizando o método estatístico de estimativa denominado valor esperado. Uma sociedade empresária vende bens com uma garantia segundo a qual os clientes estão cobertos pelo custo da reparação de qualquer defeito de fabricação que se tornar evidente, dentro dos primeiros seis meses, após a compra. Se forem detectados em todos os produtos vendidos, a entidade irá incorrer em custos de reparação de R$1.000.000,00. Se forem detectados defeitos maiores em todos os produtos vendidos, a entidade irá incorrer em custos de reparação de R$4.000.000,00. A experiência passada da entidade e as expectativas futuras indicam que, para o próximo ano, 75% dos bens vendidos não terão defeito, 20% dos bens vendidos terão defeitos menores e 5% dos bens vendidos terão defeitos maiores. O valor da provisão a ser constituída utilizando o Método Estatístico de Estimativa pelo Valor Esperado é de: a) R$400.000,00. b) R$1.250.000,00. c) R$1.600.000,00. d) R$5.000.000,00. 6 – (CRC – 2011 – Bacharel) Um auditor irá examinar por amostragem um total de 1.000 contratos da empresa auditada. Considerando um nível de confiança desejado de 90%, o auditor chegou a conclusão de que será necessário examinar 278 contratos. Em relação ao tamanho da amostra calculada pelo auditor, assinale a opção INCORRETA. a) Caso o intervalo de confiança fosse alterado para 95%, a amostra necessária seria maior. b) Caso o intervalo de confiança fosse alterado para 95%, a amostra necessária seria menor. c) O desvio padrão conhecido ou estimado interfere no cálculo do tamanho da amostra. d) O erro máximo de estimação admitido interfere no cálculo do tamanho da amostra. 7 – (CRC – 2012 - Bacharel) De acordo com a NBC TA 530 – Amostragem em Auditoria, em relação à definição da amostra, tamanho e seleção dos itens para teste em Auditoria Independente, é INCORRETO afirmar que: 46 a) a amostragem de auditoria permite que o auditor obtenha e avalie a evidência de auditoria em relação a algumas características dos itens selecionados de modo a concluir, ou ajudar a concluir sobre a população da qual a amostra é retirada. b) ao definir uma amostra de auditoria, o auditor deve considerar a finalidade do procedimento de auditoria e as características da população da qual será retirada a amostra. c) o auditor deve selecionar itens para a amostragem, de forma que cada unidade de amostragem da população tenha a mesma chance de ser selecionada. d) o nível de risco de amostragem que o auditor está disposto a aceitar é afetado pelo tamanho da amostra exigido. Quanto maior o risco que o auditor está disposto a aceitar, maior deve ser o tamanho da amostra a ser efetuada. 8 – A média aritmética dos salários de todos os empregados de uma empresa é igual a R$ 2.000,00 com um coeficiente de variação igual a 10%. A partir de uma certa data é concedido um reajuste de 10% linearmente a todos os funcionários. Então, é correto afirmar que: a) o novo coeficiente de variação será de 15% b) o novo desvio padrão é igual a R$ 250,00. c) o novo desvio padrão supera o anterior em R$ 20,00. d) a nova média salarial será de 2.100,00 9 – Acerca dos conceitos de Correlação e Regressão avalie as assertivas abaixo: I – O Coeficiente de correlação entre o preço das ações da Petrobrás e o Índice Ibovespa é de 0,99, portanto, é correto dizer que não existe nenhum grau de correlação entre ambas. II – Não existindo correlação entre duas variáveis qualquer, isso significa, que ambas caminham na mesma direção. III – O método de Regressão é utilizado para previsão de variáveis, desta forma, os movimentos em uma variável dita dependente, poderão ser previstos por outra variável, dita independente. Responda: a) Somente a assertiva I é verdadeira b) As assertivas II e III são verdadeiras c) A assertiva II é verdadeira d) Somente a assertiva III é verdadeira 47 10 – Tal produto apresentou o seguinte faturamento ao longo dos últimos 6 meses: 125, 132, 104, 114, 117, 130. Desta forma é possível concluir que a variação % no faturamento do 6º mês, em relação ao 3º mês foi de: a) 15% b) 12% c) 22% d) 25% 11 – (CRC – 2013 - Bacharel) Uma determinada indústria produz três produtos. A produção total é 1.000 unidades por mês. O controle de qualidade da indústria registrou os seguintes números de peças defeituosas na produção: A probabilidade de encontrar uma peça defeituosa do produto B é de: a) 10%. b) 14%. c) 15%. d) 18%. 12 – (CRC – 2013 - Bacharel) Um investidor está considerando duas alternativas de investimento. Para cada alternativa de investimento, há três resultados possíveis. O Valor Presente Líquido – VPL dos resultados e a respectiva probabilidade de ocorrência, para cada alternativa de investimento, são: Considerando o Valor Esperado dos dois investimentos, é CORRETO afirmar que o melhor investimento é o: 48 a) Investimento A, cujo valor esperado é de R$152.000,00, superior ao valor esperado do Investimento B. b) Investimento A, cujo valor esperado é de R$456.000,00, superior ao valor esperado do Investimento B. c) Investimento B, cujo valor esperado é de R$176.000,00, superior ao valor esperado do Investimento A. d) Investimento B, cujo valor esperado é de R$200.000,00, superior ao valor esperado do Investimento A.