UNIVERSIDAD DE CHILEFACULTAD DE ECONOMÍA Y NEGOCIOS Departamento de Control de Gestión y Sistemas de Información Guía #1 : Modelamiento Matemático para la Programación de Decisiones “La razón príncipal por la total falta de interés por optimizar antes de 1947, fue debido a la imposibilidad de hacer grandes cálculos computacionales” 1 Lo que hoy se conoce como Programación Lineal se inicia como una rama de la Optimización poco antes de 1950 como resultado de los trabajos realizados por George Dantzig, en la Fuerza Aérea de los EE.UU. durante la Segunda Guerra Mundial. Dantzig desarrolló métodos para organizar y planificar horarios de entrenamiento, abastecimientos logísticos y otras necesidades militares. Este tipo de problemas, que se encuentran de forma abundante en la ingeniería, se clasifican dentro de una gran clase de problemas en los que el objetivo es elegir entre varias, y potencialmente infinitas, alternativas posibles aquella que permita obtener el mejor beneficio posible. El cálculo de la mejor alternativa se conoce como Optimización Matemática y es una herramienta contemporánea que apoya eficazmente la Toma de Decisiones en los grandes sistemas de la ingeniería. En este curso nos concentramos específicamente en una rama particular de la Optimización Matemática, aquella que está definida por sistemas lineales. Previo a los trabajos realizados por Dantzig, existen algunas referencias sobre sistemas de desigualdades lineales desarrolladas por Fourier en 1823, Gauss en 1826, Pareto en 1906 y Valle Poussin en 1911, entre otras. Sin embargo los trabajos precursores de la Programación Lineal son aquellos de Leontief en 1936, sobre un modelo económico; de Kantorovich en 1939, relacionado con la asignación óptima de recursos escasos; y el de Hitchcok en 1941 sobre problemas de transporte. Gracias a los desarrollos de Dantzig, como veremos en la siguientes guías de este curso, se logra resolver numéricamente un tipo de problemas que debido a su tamaño y complejidad no habían sido abordados previamente. Figura 1: George Dantzig El objetivo de esta guía es definir algunos conceptos básicos y dar a conocer los conceptos iniciales, que aproximarán al lector a los fundamentos de la modelación matemática a través de sistemas lineales. Optimización Matemática Entendemos como Optimización al modelamiento conjunto de tres elementos: 1. un vector de variables de decisión x ∈ Rn, cuyo valor debe determinarse, R que deseamos llevar a un valor ideal a través de estas variables, y 3. un conjunto o región factible S ⊆ Rn que describe los posibles valores de las variables de desición. 2. un valor objetivo f (x) ∈ Un problema de optimización se escribe como m´ın f (x) (P) s.a x∈S o bien m´ax (Q) s.a f (x) x∈S En estos ejemplos las letras (P) ó (Q) denotan el nombre que recibe el problema y se leen “P corresponde a minimizar el valor f (x) sujeto a que x está en S” y “Q corresponde a maximizar el valor f (x) sujeto a que x está en S”. Las variables de decisión son mudas2 . 1 George 2 No B Dantzig, History of Mathematical Programming. dependen de la letra que se use para denotarlas, como en las integrales. 1 cuando S = φ 2. para problemas lineales podemos escribir ∀ C ∈ y ∀ k > 0 las siguientes relaciones ax f (x) m´ax kf (x) + C m´ ⇔ s. en esta oportunidad sólo nos preocuparemos de regiones descritas por sistemas lineales de la forma Ax ≤ b. Ser no acotado. existe una decisión posible cuyo valor es mejor que aquel número elegido. es decir ∀M ∈ R ∃x∈S tal que f (x) ≤ M (m´ın) ó f (x) ≥ M (m´ax) “Para cualquier número que elijamos.Existe amplia literatura respecto a la resolución de problemas de optimización dependiendo de las características de f y S. Función Lineal de Una función f : Rn a R Rn −→ R se dice lineal ssi f (x + λy) = f (x) + λf (y) ∀x. recordemos la siguiente definición. Una solución es un vector x∗ ∈ S que cumple ∀y ∈ S f (x∗ ) ≤ f (y) (m´ın) ó f (x∗ ) ≥ f (y) (m´ax) “el vector x∗ es solución si cualquier otra decisión posible es peor o igual que él” A x∗ le llamaremos óptimo y a f (x∗ ) le llamaremos valor óptimo. Tener una o infinitas soluciones. Ser infactible. Si elegimos otro mejor aún. Más adelante revisaremos en detalle estos conceptos. Como ya lo mencionamos. se dice que son iguales. llamaremos vector factible a cualquier vector x ∈ S. Dada una región factible S. A la rama de la matemática que estudia este tipo particular de problemas se le conoce como Programación Lineal. es posible definir relaciones con otros problemas similares.a 3 Este f (x) =− x∈S 1 k resultado se conoce como Teorema de Riesz. Está última alternativa indica que si ya conocemos al menos dos soluciones para un problema. DEFINICIÓN. y ∈ Rn ∀λ ∈ R OBSERVACIÓN: Siempre podremos asumir3 que f (x) = cT x para algún c ∈ Rn . En este curso. Un problema de optimización puede: 1. cuando no es posible elegir la mejor alternativa. Igualdad y Equivalencia de Problemas Cuando dos problemas tienen la misma solución. 2 × m´ın s.” 3.a −kf (x) x∈S . entonces debe tener infinitas soluciones. su solución x∗ y el valor de su solución f (x∗ ). Cuando tienen el mismo valor óptimo. el argumento se repite.a x∈S x∈S R ax m´ s. En relación a estos valores. En particular.a s. sólo nos preocuparemos de problemas en donde f es una función lineal y S se describe a través de un sistema de inecuaciones lineales. DEFINICIÓN. se dice que los problemas son equivalentes. En cuanto a la función objetivo. Un problema de optimización tiene dos valores relevantes. esta región representa todos los posibles valores que pueden tomar las variables de decisión. lo podemos notar vectorialmente como x1 o bien cT x c1 c2 x2 A partir de esto. sino que por condiciones propias a la naturaleza de los conceptos que se intentan describir. en nuestro ejemplo. naturalmente se tiene que x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0. las posibles estrategias factibles para el estudiante son todos los vectores que cumplen simultaneamente: R −1 x1 ≤ −2 1 x2 . digamos que x1 y x2 representan las horas del día que el estudiante decide ocupar en la actividad 1 y 2 respectivamente. 2 Formalmente escribimos S = {x ∈ R2/Ax ≤ b . Escritas en esta forma vectorial. podemos escribir el sistema de desigualdades lineales de forma matricial.1. A este tipo de restricciones se le conoce como naturaleza de las variables. 1 8 Si el beneficio que se obtiene al realizar una hora de la actividad 1 es c1 y una hora de la actividad 2 es c2 . que llamaremos restricciones. entonces x1 + x2 ≤ 8 representa dicha condición4 . como un problema de programación lineal. la región factible está dada por un conjunto de condiciones descritas por inecuaciones lineales de la forma αT x ≤ β con α ∈ n y β ∈ . En los problemas que veremos en este curso. Si además el estudiante debe usar 2 horas más en la actividad 1 que las destinadas a la actividad 2. OBSERVACIÓN: Comúnmente se suele trabajar con variables positivas. 1 x1 ≤8 1 x2 .a cT x Ax x ≤ ≥ b 0 4 Al acto de describir matemáticamente una condición de la realidad se le denomina modelar. Se considera como Programación Lineal a todos los problemas de la forma m´ax cT x s. Programación Lineal Consideremos la siguiente situación. acción que no tiene relación alguna con caminar sobre una pasarela. Esto. podríamos escribir el problema de encontrar una estrategia de actividades que maximice el beneficio total del estudiante. Un estudiante de FEN desea planificar el tiempo que usará en las dos actividades que debe realizar durante un día laboral. Si el día laboral dura 8 horas y las actividades no se pueden realizar de forma simultánea. x ≥ 0} con A = −1 1 1 −2 yb= . así que el problema genérico de Optimización Lineal puede considerarse como m´ ax s. R x1 ≥0 0 x2 1 .a Ax ≤ b con A ∈ Mm×n . 3 . entonces c1 x1 + c2 x2 representa el beneficio total que obtiene el estudiante al realizar x1 horas de la actividad 1 y x2 horas de la actividad 2. 0 x1 ≥0 1 x2 Las últimas dos restricciones restringen los valores de x1 y x2 no por condiciones del problema en particular. c ∈ Rn . x≥0 OBSERVACIÓN: Estamos notando al vector de variables como x = xx1 . entonces se debe cumplir que x1 ≥ x2 + 2. b ∈ Rm . esto queda: −1 1 1 x1 −2 ≤ 1 x2 8 . Para hacer la escritura más eficiente. EJEMPLO 1. A suele tener el nombre de matriz de coeficientes tecnológicos. Viña del Mar. xij definida para todo par i. El costo de transporte por unidad enviada entre la ciudad i ∈ {Santiago-fábrica. 12} 4 . Planificación de la Producción Una fábrica necesita planificar la producción mensual en el plazo de un año y para ello considera una demanda mensual estimada por dt con t ∈ {1.R Cuando la naturaleza de las variables sólo restringe el valor de las variables a un conjunto de . Variables de decisión: 1. 2. xt definida para todo t ∈ {1. . Los productos que estas fábricas producen deben ser enviados a tres destinos: Un punto de venta en Santiago. j posible Función Objetivo: el costo total.000. la cantidad producida en cada mes t. Se sabe que la demanda diaria de cada punto de venta es de 5. . Variables de decisión: la cantidad enviada desde la ciudad i al destino j. Valparaíso} está dado por la cantidad cij conocida. En la literatura. y a b. Problema de Transporte Consideremos una industria que tiene dos fábricas.000 unidades y que se exportan 8.000 unidades y Rancagua 6. A c se le llama vector de costos. vector de recursos. una en Santiago y otra en Rancagua.000. Si se desean planificar los envios de modo tal de minimizar el costo total de transporte es posible modelar un problema de optimización que respresente dicha situación. se les dice variables continuas. 12}. otro punto de venta en Viña del Mar y a Valparaíso para la exportación de los productos. Revisemos otros ejemplos. La fábrica tiene una bodega que actualmente tiene un stock de b0 unidades. . . . Si se desea planificar la producción de modo tal de minimizar el costo de total de la operación y manteniendo un stock final conocido ¯b12 es posible modelar un problema de optimización que resuelva esta situación. Rancagua} y el destino j ∈ {Santiago-venta. Además. 2. . . Los costos de producción por unidad en cada mes están dados por ct y el costo de almacenaje A es fijo durante todo el año. m´ın X cij xij ij Restricciones: Naturaleza de las Variables : xij ≥ 0 ∀i. j Oferta Santiago : xSf −Sv + xSf −V i + xSf −V a ≤ 12000 Oferta Rancagua : xR−Sv + xR−V i + xR−V a ≤ 6000 Demanda Santiago : xSf −Sv + xR−Sv = 5000 Demanda Viña del Mar : xSf −V i + xR−V i = 5000 Demanda Valparaíso : xSf −V a + xR−V a = 8000 EJEMPLO 2. . diariamente Santiago puede despachar 12. Problema de la Dieta Un criador de cerdos necesita definir la cantidad de alimento diaro para cada cerdo. m´ın 42m + 36c + 30a 5 .. 180[g] de proteínas y 150[g] de vitaminas. la cantidad almacenada en cada mes t. Si el granjero desea encontrar la receta más económica que cumpla con los requerimientos del SAG es posible modelar un problema de optimización que respresente esta situación. X X m´ın ct xt + Abt t t Restricciones: Naturaleza de las Variables : xt . bt ≥ 0 ∀t Operación t = 1 : b0 + x1 = d1 + b1 Operación t = 2 : b1 + x2 = d2 + b2 Operación t = 3 : b2 + x3 = d3 + b3 . con el fin de satisfacer los requerimientos nutricionales mínimos según la regulación del SAG. Alimentos maíz cebada alfalfa carbohidratos 90 20 40 Nutrientes proteínas 30 80 60 vitaminas 10 20 60 El precio del kilo de maíz. $36 y $30 respectivamente. . Operación t = 11 : b10 + x11 = d11 + b11 Operación t = 12 : Stock Final : b11 + x12 = d12 + b12 b12 = ¯b12 EJEMPLO 3. de cebada y de alfalfa es de $42. .2. 2. 12} Función Objetivo: el costo total. m. c. Variables de decisión: 1. 3. . la cantidad de maíz. dado por costo total de producción + costo total de almacenaje. . Además el SAG entrega a los criadores la siguiente carta de nutrientes (en [g]/[Kg]) con los posibles ingredientes para el alimento de los cerdos. 2. Un kilógramo de alimento debe contener como mínimo 200[g] de carbohidratos. la cantidad de alfalfa. Función Objetivo: el costo total. la cantidad de cebada. . a. bt definida para todo t ∈ {1. Problema del Granjero :::::Enunciado::::: 5 En inglés. N } Función Objetivo: la calidad de la mezcla. y quedan pendientes para un segundo curso de Optimización. Un problema genérico de Programación Entera puede escribirse como m´ax s. Problema de la Mochila :::::Enunciado::::: Variables de decisión: Volumen del gas i-ésimo. el número de vacas que se deben adquirir para satisfacer la producción de leche. entre las más populares esta el Algoritmo de Branch & Bounds y el procedimiento de planos cortantes de Gomory 6 . no basta con considerar que la naturaleza de las variables sea positiva. Integer Programming. Programación Entera Cuando es necesario tomar decisiones que son enteras. por motivos de tiempo. La rama de la Optimización que se encarga de estos modelos se conoce como Programación Lineal Entera5 . como por ejemplo el número de camiones que se deben enviar de un lugar a otro. Veamos algunos ejemplos. . 6 . . c. 6 Lamentablemente.Restricciones: Naturaleza de las Variables : m.a cT x Ax x x ≤ b ≥ 0 n ∈ Z Existen varias metodologías para resolver este tipo de poblemas. este curso no alcanza a abarcar estos métodos. . o el número de colegios que se deben construir para poder educar a toda la población. a ≥ 0 carbohidratos : 90m + 20c + 40a ≥ 200 proteínas : 30m + 80c + 60a ≥ 180 vitaminas : 10m + 20c + 60a ≥ 150 EJEMPLO 4. EJEMPLO 5. . es necesario pedir que la variable sea un número entero. m´ax X bi xi i Restricciones: Naturaleza de las Variables : xi ≥ 0 ∀i X ci xi ≤ C Volumen Máximo : i 2. xi definida para todo i ∈ {1. de construcción. EJEMPLO 6. nuestro uso de variables binarias. es la programación binaria.2. A estos modelos combinados se les conoce como Programación Mixta 7 . Problemas de Seguridad :::::Enunciado::::: 3. que lo hace desde Chaitén. Mixed Integer Programming 7 . La estructura general de problemas lineales con este tipo de variables es m´ax cT x s. y Queilen. La estructura general de problemas lineales con este tipo de variables es cT x m´ax s.1. Problema de Transporte con varios Camiones :::::Enunciado::::: 4. Veamos un par de ejemplos. de asignación. esto es. se utilizan en problemas de transporte. 1}. permitiendo una modelación mucho más flexible. por ejemplo Si o No. etc. Existen solo 3 empresas de transbordadores: Cruz del Sur y Transmar.a (P) Ax ≤ b x ∈ {0. el caso general es que tome valores en {0. 7 En inglés. de localización. Se desea enviar un producto desde Puerto Montt a Castro. 1}n En la ingeniería este tipo de variables tiene un gran número de aplicaciones. estará complementado con el uso de variables continuas. Problema de Localización :::::Enunciado::::: EJEMPLO 7.a (P) Ax + By ≤ b x ≥ 0 n y ∈ Z Veamos un par de ejemplos. de emparejamiento. Hay un convenio con cada una de estas empresas de transporte. Programación Mixta En este curso. Programación Binaria Un caso específico de la optimización con variables enteras. Problemas 1. cuando las decisiones sólo tienen dos opciones. EJEMPLO 8. de modo que solo se tarifa por el exceso de carga (según una capacidad preestablecida por cada empresa de transporte). Este tipo de decisiones se modela numéricamente con un parámetro que sólo toma dos valores. Problema de Inversión :::::Enunciado::::: EJEMPLO 9. que zarpan desde Pargua. Personas sin capacitación ni experiencia.3t + 0.6t Recuerde que solo se tarifa cuando se usa un servicio y cuando hay exceso de carga (según la siguiente tabla). 2.4t 0.8 2 0 Hacer un esquema (dibujo) de este problema y modelar el problema de maximizar el envío.3 Par-Chac 0. 2. 3. Personas con capacitación y experiencia. Las cantidades de unidades del producto que una persona produce al mes están dadas por la siguiente tabla: 8 . 3. por lo que se le ha encargado a usted la tarea de re-asignar el personal disponible. Clasificación de los productos. en la isla exiten 4 puertos: Ancud y Chacao.2 Pargua Chaiten 0. Hay dos limitaciones importantes a considerar: No se puede acumular el producto en ninguna ciudad. el personal disponible se clasifica en tres grupos: 1. Transporte Terrestre Ancud Chacao Quellón Puerto Montt Castro 0.Por otro lado. a los que se llega desde Chaitén. gracias a Roberto Cortez) En una cierta fábrica se ha detectado que la actual asignación de recursos humanos es ineficiente.1t 0. Empresa Cruz del Sur Transmar Queilen(Chaiten-Quellon) Queilen(Chaiten-Castro) Capacidad 3 2. y Quellón y Castro. En el proceso productivo hay tres tareas: 1.2t 0.1 0. Se detallan a continuación los costos (en millones) del envio de t toneladas del producto.2t + 0. todo lo que sale desde Puerto Montt debe llegar a Castro. Embalaje de los productos. Mantención y operación de máquinas. Solo tenemos 10 millones de pesos para realizar este proyecto. Personas con capacitación pero sin experiencia. a los cuales se puede llegar navegando desde Pargua.2 Chai-Quell Castro 0.9t (t − 1)2 0. es decir. (con solución. 2. Además.1t Transporte Marítimo Cruz del Sur Transmar Queilen Par-Anc 0.6 + 0. 2. Además usted dispone de 20 personas del grupo 1. es decir: 2. sabe que puede hacerlo de manera óptima respecto al gasto de combustible.000 j=1 La suma por tarea de las personas asignadas.000 No olvidemos imponer positividad de las variables: xij ≥ 0 ∀i. es decir: 3 X x1j ≤ 20 3 X . ponderada por la productividad del segmento respectivo. es decir: 2.000x23 + 700x33 3. j = 1.200x12 + 1. Como el fue alumno de Optimización. 50 del grupo 2 y 80 del grupo 3 y se le ha dado un presupuesto mensual de $75.000x11 1. ponderadas por su respectiva productividad.000 1.000x23 + 200x31 + 800x32 + 700x33 ≥ 40.000 ≥ 40.000 unidades al mes. a una del grupo 2 $700 y a una del grupo 3 $350 (al mes. debe ser mayor a 40. 3 La función a maximizar es la suma de las personas en cada grupo y en cada tarea.000 3 X x1j j=1 + 700 3 X x2j j=1 + 350 3 X x3j ≤ 75. por lo que decide considerar las densidades indicadas en la etiqueta de las cajas. El sabe que el gasto de combustible es directamente proporcional a la carga que tenga la camioneta.500x22 + 1.000. no debe sobrepasar el presupuesto disponible. es decir: 1.000. j=1 3 X x3j ≤ 80 j=1 La suma de todas las personas asignadas de todos los grupos.500x22 + 800x32 + 800x13 + 1.000x11 + 500x21 + 200x31 + 1. pero el comerciante no tienen ninguna balanza.B. en cada tarea la producción no puede ser inferior a 40. se necesita al menos 60 unidades entre los dos para la venta 9 . Al momento de cargar se da cuenta que la camioneta puede alcanzar su capacidad maxima de 100 m3 .000 (también medido en miles de pesos).200 800 grupo 2 500 1. j=1 x2j ≤ 50 . Solución: Las variables de decisión son los números de personas de cada grupo asignadas a cada tarea. (con solución) Un comerciante debe trasladar en su camioneta tres productos (A. que es la producción mínima para que no se detenga la cadena productiva. dinero medido en miles de pesos).C) desde la casa matriz de su negocio hacia una sucursal de venta pasa satisfacer necesidades minimas de stock. Por último. pues si no se detiene la cadena productiva.000 grupo 3 200 800 700 A una persona del grupo 1 se le pagan $1. Como los producto A y B son sustitutos. es decir: xij = número de personas del grupo i asignadas a la tarea j La suma de todas las personas asignadas de un mismo grupo no debe ser mayor que la cantidad de gente disponible de dicho grupo.tarea \ grupo tarea 1 tarea 2 tarea 3 grupo 1 2. ponderadas por su respectivo sueldo. Plantee el problema como uno de optimización en que se busca maximizar la producción.200x12 800x13 + 500x21 + 1.500 1.000 ≥ 40. 5. kg Densidades m 3 un Unidades por caja m 3 Factor Prod Organicos f. respectivamente.000 para invertirlos en distintos instrumentos bancarios. dado por 3x1 + 9x2 + 12x3 . Para cumplir con la norma del gobierno se debe cumplir que x2 + 4x3 = 20. Para evitar perdidas inesperadas. El ministerio de minería y energía desea realizar un estudio sobre la demanda eléctrica de la zona central del país. P2. Para respetar la capacidad de la camioneta se debe cumplir que x1 + x2 + x3 ≤ 100. llamadas en lo que sigue P1. Además el gobierno restringe viajes de productos orgánicos. causadas por los vaivenes del mercado. las cuales distribuyen directamente electricidad a las ciudades de Santiago. por lo que el factor total de productos de esa naturaleza debe ser de 20.o. mediante programación lineal. Solución: Puesto que lo que queremos es minimizar el consumo de bencina. este tiene por fin el satisfacer las demandas de ese sector al menor costo posible. Para esto. P3 y P4. El problema se escribe de la siguiente forma: min 3x1 + 9x2 + 12x3 s. se le pide invertir en renta fija al menos un 20 % del total invertido en renta variable. fondos mutuos y acciones. y este es directamente proporcional con el peso. Viña del Mar y Rancagua. m3 Producto A 3 2 0 Producto B 9 3 1 Producto C 12 4 4 Plantee el problema como uno de Optimización Lineal. el problema del comerciante es minimizar el peso total. mientras que las ofertas y demandas dadas se encuentras en millones de Kilowatts/hora (MkWh).a x1 + x2 + x3 (P) 2x1 + 3x2 x2 + 4x3 xi ≤ 100 ≥ 60 = 20 ≥ 0 i = 1. 3. 2. La información con que se cuenta se resume en la siguiente tabla: Planta P1 P2 P3 P4 Ciudades Oferta\Demanda 2 3 2 4 Santiago 5 2 1 2 4 Viña del Mar 3 1 3 3 Valparaíso 2 2 4 2 Rancagua 1 3 1 donde los valores indicados entre una planta y una ciudad dada corresponden a los costos por un millón de Kilowatts/hora transportados ($/MkWh). debe considerar las 4 plantas hidroeléctricas ya existentes. 4.en la sucursal. los cuales rentan un 4 % y 5 % anualmente. Modele el problema de maximizar las ganancias asociadas a la inversión descrita anteriormente. Se le asignado un monto de $10. Valparaíso. Para satisfacer las necesidades de la sucursal se debe tener que 2x1 + 3x2 ≥ 60. 10 . y el numero de unidades y el factor de elementos organicos que vienen en una caja de 1 m3 de cada producto. el cual renta un 3 %.p. Como posibles instrumentos consideramos 2 tipos de inversiones en renta variable. En la Tabla se indica la densidad de los productos.000. y 1 tipo de inversión en renta fija. Modele el problema anterior como un problema de transporte. 2 1 5 3 7. sin oferta ni demanda). por lo que para nuestros efectos se considera como un “nodo de paso” (i. Considere que el costo de llevar una silla de la bodega Bi al punto de venta Vj es cij . V2 . se le pide asignar la oferta (anual) Boliviana de 7 millones de metros cúbicos (Mm3 ) para satisfacer la demanda de Chile y Argentina. respectivamente. Suponga que es posible enviar sillas desde cualquier bodega a cualquier punto de venta.10) - Argentina (10. nuestro país le ha encargado realizar una propuesta para satisfacer nuestra demanda gasífera. cumpliendo con las restricciones).0. donde tiene almacenadas b1 .1. Finalmente. que pueden producir cuatro productos: 1. Por razones políticas. Plantee el problema como un problema de programación lineal.24 Prod. Suponga que por problemas con el sindicato de camioneros. Más precisamente.0. inferiores y superiores (Mm3 ).1. El tiempo total disponible por semana por máquina. Se desea programar la construcción a lo largo de dichos n meses de modo de minimizar los costos variables totales. Suponga que la producción es continua (i. V3 y V4 . pero si a través de Argentina o Perú.e. Agregue las restricciones correspondientes para incorporar esta situación al planteamiento del problema anterior. Cada producto debe pasar por alguna operación en cada uno de los tres tipos de máquina.5 1 4. Plantee este problema como un problema de programación lineal.2) Modele el problema anterior como un problema de flujo factible a costo mínimo. Asumiremos que el producto puede ser almacenado durante 11 . b2 y b3 sillas respectivamente. 1 1. v3 y v4 sillas respectivamente. debido a algunos problemas políticos que existen entre los países del cono sur. no se puede llevar más que dij sillas desde Bi hasta Vj . Se tienen además cuatro puntos de venta: V1 . Considere una fábrica con tres tipos de máquinas: A. B2 y B3 . 2.30 Prod. al menor costo posible. 3 y 4.5 1 1.4 1 3. no hay posibilidad de enviar gas directamente desde Bolivia a Chile. 7. donde se requieren v1 . Suponga además que el tiempo requerido para ajustar las máquinas al cambiar de producto es despreciable. 4 1 3. y La ganancia por la venta de una unidad de cada producto. y por el deficit que tendrá Argentina en lo años venideros. Máquina A B C Ganancia Prod.18 T disponible 2000 8000 5000 Se desea determinar la producción semanal de cada producto que maximiza las ganancias. asociados al transporte del gas entre los distintos países se entregan en la siguiente tabla: desde\hacia Bolivia Perú Argentina Perú (3.6. haciendo las suposiciones que crea necesarias. se puede producir una cantidad no necesariamente entera de productos) y que cada producto debe pasar primero por una máquina A.4.e. luego por una B y finalmente por una C. Suponga que el productor de un artículo en particular conoce o es capaz de estimar la demanda de su producto para los próximos n meses. y deduzca en que país está la fábrica.10) - Chile (6. el cuarto país implicado. B y C. El suministro de gas en Sudamérica es muy complejo. 3 2. Se desea satisfacer las demandas minimizando el costo de transporte.34 Prod. Una fábrica tiene tres bodegas: B1 . (minimizar el costo. La tabla siguiente muestra: Las horas requeridas en cada tipo de máquina por unidad de cada producto. que ascienden a 3 y 4 Mm3 . los costos ($/Mm3 ) y las cotas.5) (3. 8. produce lo justo para satisfacer su demanda interna. Por esto. 9. Perú.5 5. v2 .5 8.7) (2. En otros casos podría ser mejor sobreproducir en ciertos meses e ir almacenando. ciertas cantidades de producto se pueden producir y almacenar en producción normal durante meses de baja demanda. porque el costo de producción puede ser menor durante dichos meses. para minimizar el costo variable total. máquinas. al menos 22 % de proteínas y al menos 5 % de fibra cruda. La compañia dispone de 60 azafatas experimentadas al 1 de enero.35 0. 8. el 10 % de las azafatas experimentadas deja su trabajo por diversas razones. Plantee el problema como uno de programación lineal.). Por otro lado. por ejemplo. el número de unidades producidas en jornada extraordinaria en el mes i y vendidas en el mes j) 10. Se tiene además como datos ai . 9. el número de unidades producidas en jornada ordinaria en el mes i y vendidas en el mes j.09 0. La formación de una nueva azafata dura un mes. es decir. El programa lineal debe determinar la producción que minimize la suma de costos de producción y almacenamiento. Esta formación comprende 100 horas de vuelo en líneas de la compañia. para ser almacenados hasta que la demanda exceda la producción.016 0. La National Free Transportation Agency (NAFTA). la capacidad de producción en jornada ordinaria en el mes i.L.002 Proteínas 0 0. Los ingredientes son caliza. independientemente del número de horas que preste servicio. la sobreproducción puede ser provechosa. debe decidir un programa de formación y contratación de nuevas azafatas para los próximos seis meses. y el costo fi de almacenar una unidad durante el mes i. a0i . Escriba un modelo de P.000 en mayo y 12.000 en abril.000 en febrero. que cuesta US$400 a la compañia. la capacidad de sobreproducción en el mes i.125 0.5 Fibra 0 0. Cada mes. Estas 100 horas se pueden deducir de exigencias que las azafatas deben cumplir. 12 .000 en marzo.045 Soya 0. Las exigencias a respetar son expresadas en horas de vuelo de azafatas: 8. Cada azafata experimentada recibe un sueldo de US$800 por mes.5 % de calcio pero no más de 1. incluso con una demanda baja. Escriba un modelo de programación lineal para determinar una dieta que contenga al menos 0.estos n meses. el costo di de producir una unidad en el mes i en jornada extraordinaria.001 0. podría ser que si se programa la producción para satisfacer exactamente la demanda durante algunos meses. de ingrediente son: Ingrediente Caliza Maíz Soya Calcio 0.08 Existen dos escenarios posibles para los costos ($/Kg) Escenario A Escenario B Caliza 0. 9.02 0. en el caso más desfavorable.000 en enero.2 % del mismo. 10. para el siguiente problema.018 Maíz 0. y bj la cantidad de unidades requeridas en el mes j. una azafata aprendiz se convierte en azafata experimentada. se necesitaría mucha sobreproducción en ciertos meses de demanda especialmente alta. sirven para satisfacer las exigencias de horas de vuelo de azafatas de la compañia. Cada azafata experimentada puede entregar hasta 150 horas de vuelo por mes. En algunas circunstancias. Considere para estos efectos ci el costo de producir una unidad en el mes i en jornada normal. e yij . (HINT: Considere como variables xij . Al cabo de un mes de formación. 11. etc).126 Se debe minimizar el costo por Kg. El problema está en programar la producción de modo de balancear los costos de almacenaje contra los costos de sobreproducción (horas extra. tal vez por cambios de precios de la materia prima por temporadas u otras razones. Habrá un costo asociado a mantener una unidad de producción en inventario durante un mes. maíz y soya y los aportes (en Kg. y en otras debe ser evitada.046 0. por cada Kg.000 en junio. 12. disponiendo así de 2. por quintal de trigo y 0. Determine las superficies a destinar al cultivo de trigo y/o maíz y las cantidades de cerdos y/o pollos a producir. de manera de minimizar la distancia total recorrida. por medio de tres computadores intermedios (1). de trabajo de supervisión de parte del granjero. es de 60 quintales anuales de trigo y de 95 quintales de maíz. cuyos costos de transmisión unitarios y capacidades máximas están dadas por la tabla siguiente: 13 . Un granjero posee 100 hectáreas (ha. así como 40 hrs.15 hr. El granjero puede vender su trigo a $175 el quintal y su maíz a $95 el quintal. debe satisfacer la demanda de cuatro ciudades en un cierto día: Ciudad A B C D Autos demandados 2 3 5 7 La empresa tiene 3 garages donde guarda sus 18 autos: Garage 1 2 3 Autos disponibles 6 2 10 Las distancias entre los garages y las ciudades están dadas por la tabla: / Gar. Explicite los supuestos usados en la modelación.000. anuales. Una empresa de arriendo de autos. 14. Cada hora de obrero agrícola demanda 0. de manera de maximizar el beneficio. Ciu.000 al momento de la venta).70 hr. Dispone también de 2. Puede también criar cerdos y pollos. por ha. Un cerdo se vende a $4. El costo de las semillas y abono es de $20 por quintal de trigo y $12 por quintal de maíz.15 hr. aí como 25 hrs.L. Los vende cuando han alcanzado la edad de 12 meses. Escriba un modelo de P.000 hrs. de trabajo y 25 m2 de terreno. para el siguiente problema. más 0. El trabajo necesario es de 4 hrs.000 m2 de terreno para la crianza. El rendimiento por ha. A la compra. de trabajo y 15 m2 de terreno. Puede también contratar horas suplementarias de obreros agrícolas al costo de $150 la hora. Un ave se vende en términos de cerdo-equivalente (el número de pollos necesarios para obtener $4. 13.) que pueden ser utilizadas para el cultivo de trigo y maíz. Un cerdo-equivalente de pollos requiere 25 quintales de maíz o 10 quintales de trigo. El granjero dispone de 10. Un computador servidor (S) debe transferir 50 archivos a otro remoto (R). (2) y (3). puede ser destinada al cultivo de trigo o maíz. de trabajo anuales y puede poner a su familia a trabajar.000 hrs. por quintal de maíz. le costarían respectivemente $250 y $150. Un cerdo requiere 25 quintales de trigo o 20 quintales de maíz. A B C D 1 2 3 7 1 9 11 6 15 3 0 8 2 1 5 Encuentre una asignación de los automóviles a las diferentes ciudades. suplementarias. Cualquier fracción de las 100 ha. ¿Es factible? Agregue al problema un centro de demanda adicional para reparar el problema. y tres centros de demanda. etc (que naturalmente tienen coberturas y costos distintos). Para ello contratan los servicios de un profesor de optimización de cuyo nombre no me acuerdo ahora. ¿Qué puede representar ese centro de demanda? Entregue una estrategia factible.2) 5 10 (1. pero de marcadas tendencias azules quien le entrega el problema a unos de sus ayudantes con nombre de instrumento musical y obsesión con el número trece (un romántico viajero también). 16.1) 1 20 (S.3) 6 50 (1. zorrillos. P. hay que pagar ci por poner un policía en un nodo i y el número de policías está limitado por L? Nota: Lo de carabineros es una historia falsa para hacer más entretenido el cuento. con demandas conocidas de 10. Considere tres centros de oferta de un cierto producto. 15. Agradeciemientos a Hector Ramírez. (Notar la coincidencia).R) 8 +∞ (2. considerando que cada cuadra debe ser vigilada desde una esquina. ¿Cómo cambia el modelo si las esquinas tienen costo es decir. 25 y 25 unidades. Carabineros de Chile entonces se ve enfrentado al problema siguiente: Minimizar el número de policías a la salida del estadio. 20 y 15 respectivamente.3) 1 50 (2. No olvides que cuando desocupes esta guía puedes donarla en la Feria de Apuntes o reciclarla. . N ) en que los nodos son las esquinas y los arcos son las cuadras en cuestión. confiando ciegamente en la pericia de los alumnos lo incluye en una guía de ejercicios propuestos. con ofertas respectivas de 5. Roberto Cortez y Charango. 14 .D.Arco Costo Capacidad (S. los vecinos del estadio aterrorizados ante esta horda de delincuentes organizan un encuentro con Carabineros a quienes les plantean su problema: "Necesitamos seguridad para el día del encuentro". Dada esta situación de inminente peligro a su seguridad personal. Estos problemas son una recopilación de problemas de varios autores. Como es inevitable en este tipo de compromisos. Suponga usted que juegan Colo-Colo y el grandioso equipo mágico Universidad de Chile. que como todo el mundo sabe (Por lo menos quien escribe esto y su novia lo saben) son delincuentes y lumpen por excelencia (Los de Abajo en el fondo son niños buenos). cucas. Indicación: Considerar el barrio aledaño al estadio como un grafo (A. Suponga que la matriz de costos de transporte por unidad 6 2 (cij ) = 4 7 3 1 es: 1 2 2 Plantee el problema como un problema de transporte.3) 3 +∞ (1. aparecen en el estadio los tipicos garreros. Los enunciados han sido escritos textuales del original. Este problema se puede complicar más aún si consideramos que aparte de simples carabineros podemos contar con otro tipo de artefactos tales como guanacos. para preservar enunciados memorables.2) 2 10 (S.R) 4 40 Plantee este problema como uno de programación lineal.R) 5 10 (3. lo que no quiere decir que el problema ande alejado de la realidad. el cual a su vez. cl.uchile. Se reciben comentarios y sugerencias a través del correo rlopezi@fen. Los tildes aún no han sido corregidos en esta versión. 15 .7 Esta guía es parte de un apunte (actualmente en borrador) que reúne las principales materias del curso Investigación Operativa de la Facultad de Economía y Negocios de la Universidad de Chile.