MODELAGEM E CONTROLE DE QUADRIRROTORESPedro Henrique de Rodrigues Quemel e Assis Santana ∗ , Geovany Ara´ ujo Borges ∗ ∗ Grupo de Rob´ otica, Automa¸c˜ ao e Vis˜ ao Computacional (GRAV) Departamento de Engenharia El´etrica, Universidade de Bras´ılia Bras´ılia, DF, Brasil Emails:
[email protected],
[email protected] Abstract— This work concerns the mathematical modeling of quadrotors with cascaded control architectures for stabilization. The dynamical model presented is used to show, through simulations, the viability of three different linear and nonlinear control techniques. Keywords— Quadrotor, modeling, cascaded control. Resumo— Este trabalho trata da modelagem matem´ atica de quadrirrotores que fazem uso de arquiteturas de controle em cascata para estabiliza¸ c˜ ao de seus graus de liberdade. O modelo dinˆ amico apresentado ´e utilizado para comprovar, por meio de simula¸ c˜ oes, a viabilidade de aplica¸ c˜ ao de trˆes diferentes t´ecnicas de controle linear e n˜ ao-linear ao sistema. Palavras-chave— Quadrirrotor, modelagem, controle em cascata. 1 Introdu¸ c˜ao Quadrirrotores s˜ao uma classe de helic´ optero cuja propuls˜ao ´e feita por meio de quatro h´elices dis- postas, geralmente, como na Figura 1. De acordo com Leishman (2000), quadrirrotores estiveram entre os primeiros ve´ıculos HTA (do inglˆes, He- avier Than Air) com capacidade de decolagem e pouso verticais de sucesso. Entretanto, o de- sempenho ruim dos primeiros prot´otipos e a di- ficuldade para estabiliz´ a-los manualmente limita- ram seu desenvolvimento como ve´ıculos a´ereos de transporte. Atualmente, quadrirrotores desper- tam interesse na forma de ve´ıculos a´ereos minia- tura n˜ ao-tripulados com sistemas eletrˆ onicos em- barcados para estabiliz´ a-los. Suas aplica¸ c˜ oes est˜ ao muitas vezes voltadas `as ´areas de vigilˆancia, inspe- ¸ c˜ ao, filmagem, fotografia e divers˜ao, entre outras. Segundo Bouabdallah (2007), seu tamanho redu- zido e boa manobrabilidade permitem que estas aeronaves sejam usadas tanto em ambientes inter- nos quanto externos. A dinˆamica de quadrirrotores ´e marcada pela subatua¸ c˜ ao (seis graus de liberdade e apenas qua- tro atuadores), pelo grande acoplamento entre os modos e por n˜ ao-linearidades desconhecidas (Das et al. (2008)). Trabalhos como Sanca et al. (2008) e Amir and Abbass (2008) dedicam-se `a deter- mina¸ c˜ ao de modelos matem´aticos abrangentes e ´ uteis aos problemas de simula¸ c˜ ao e controle. Ou- tros, al´em da modelagem matem´atica, apresen- tam tamb´em t´ecnicas de controle para quadrirro- tores. Entre essas t´ecnicas, podemos citar o con- trole backstepping de Bouabdallah and Siegwart (2005) e Madani and Benallegue (2007); a com- para¸ c˜ ao entre controle PID e LQ de Bouabdallah et al. (2004); e a t´ecnica de controle robusto Fuzzy de Coza and Macnab (2006). O presente trabalho trata da modelagem e Figura 1: Sistemas de coordenadas para modela- mento do quadrirrotor (Adaptado de Madani and Benallegue (2006)). controle de quadrirrotores cujos sistemas de es- tabiliza¸ c˜ ao seguem a arquitetura em cascata mos- trada na Figura 2. Nesta, uma malha externa de controle para estabiliza¸ c˜ ao da aeronave trans- mite referˆencias de velocidade a malhas internas de controle de rota¸ c˜ ao das h´elices. Este tipo de arquitetura torna o sistema de estabiliza¸ c˜ ao me- nos sens´ıvel `a dinˆamica do sistema de propuls˜ao, desde que a malha interna convirja mais rapida- mente que a externa. Al´em disso, trˆes t´ecnicas de estabiliza¸ c˜ ao, lineares e n˜ ao-lineares, presentes na literatura s˜ao descritas e aplicadas para estabili- za¸ c˜ ao do modelo. Este trabalho est´ a organizado da seguinte ma- neira. A Se¸ c˜ ao 2 descreve as hip´oteses assumidas e as etapas de determina¸ c˜ ao do modelo dinˆamico de um helic´ optero quadrirrotor, cujas equa¸ c˜ oes foram utilizadas na constru¸ c˜ ao de um simulador. Estra- t´egias de controle linear e n˜ ao-linear para estabili- za¸ c˜ ao deste tipo de aeronave s˜ao apresentadas na Se¸ c˜ ao 3. A Se¸ c˜ ao 4 apresenta os resultados das simula¸ c˜ oes. Por fim, s˜ao feitas as conclus˜oes do Figura 2: Arquitetura do sistema de controle. trabalho na Se¸ c˜ ao 5. 2 Modelagem matem´atica Para a modelagem matem´atica de um quadrirro- tor, considere os sistemas de coordenadas mostra- dos na Figura 1. O sistema de coordenadas B (SC B ), fixo no corpo, rotaciona e translada em rela¸ c˜ ao ao sistema de coordenadas E (SC E ), fixo na Terra. As diferen¸ cas angulares e lineares entre esses dois sistemas definem o vetor ζ = x y z φ θ ψ T de postura do quadrirrotor, em que x, y, z s˜ao transla¸ c˜ oes nas dire¸ c˜ oes X, Y e Z de SC E ; φ ´e o ˆangulo de rolagem (roll ); θ ´e o ˆangulo de arfagem (pitch); e ψ ´e o ˆangulo de guinada (yaw). O desenvolvimento das equa¸ c˜ oes diferenciais leva em conta as seguintes hip´oteses sobre o sis- tema: (1) a estrutura do quadrirrotor e as h´eli- ces s˜ao r´ıgidas; (2) o centro de gravidade (CM) e a origem do sistema de coordenadas SC B coinci- dem; (3) a estrutura ´e sim´etrica; (4) os atuadores s˜ao idˆenticos; (5) o arrasto e o empuxo aerodinˆa- micos s˜ao proporcionais ao quadrado das veloci- dades de rota¸ c˜ ao dos motores (Bouabdallah and Siegwart (2005)). Dado que a transla¸ c˜ ao entre os sistemas de coordenadas SC B e SC E n˜ ao in- fluencia a determina¸ c˜ ao das equa¸ c˜ oes dinˆamicas, assume-se, para fins de modelagem e sem perda de generalidade, que as origens desses sistemas coin- cidem no restante desta Se¸ c˜ ao. 2.1 Equacionamento do movimento de transla- ¸c˜ ao A atua¸ c˜ ao simultˆ anea dos quatro propulsores do quadrirrotor gera um empuxo vertical U, direcio- nado para cima no sistema de coordenadas SC B , dado por U = b(Ω 2 1 + Ω 2 2 + Ω 2 3 + Ω 2 4 ), (1) em que Ω i refere-se `a velocidade angular do i- ´esimo motor e b ´e o coeficiente de empuxo das h´elices. Para ˆangulos de inclina¸ c˜ ao φ, θ e ψ, a matriz R = 2 4 C ψ C θ C ψ S θ S φ − S ψ C φ C ψ S θ C φ + S ψ S φ S ψ C θ S ψ S θ S φ + C ψ C φ S ψ S θ C φ − S φ C ψ −S θ C θ S φ C θ C φ 3 5 (2) projeta os vetores de SC B em SC E . Os termos C α e S α s˜ao, respectivamente, cos(α) e sin(α). A pro- je¸ c˜ ao de (1) nas dire¸ c˜ oes de SC E por meio de (2), juntamente com a aplica¸ c˜ ao da 2 a Lei de Newton, resulta nas equa¸ c˜ oes diferenciais d 2 x dt 2 = (C ψ S θ C φ + S ψ S φ ) U m , (3) d 2 y dt 2 = (S ψ S θ C φ − S φ C ψ ) U m , (4) d 2 z dt 2 = −g + (C θ C φ ) U m , (5) em que m ´e a massa total da estrutura e g ´e a acelera¸ c˜ ao da gravidade local. 2.2 Equacionamento do movimento de rota¸ c˜ ao A complexidade da dinˆamica angular do quadrir- rotor levou `a escolha do formalismo de Euler- Lagrange para determina¸ c˜ ao das equa¸ c˜ oes diferen- ciais para os ˆangulos de rota¸ c˜ ao. O conceito de Lagrangiano ´e dado por L = E − V d dt ∂L ∂ρi − ∂L ∂ρi = γ i , (6) em que E ´e energia cin´etica total, V ´e a energia potencial total, ρ i ´e a i-´esima coordenada genera- lizada (grau de liberdade) e γ i ´e a for¸ ca resultante n˜ ao-conservativa capaz de realizar trabalho na di- re¸ c˜ ao de ρ i . Seja p B = [x B y B z B ] T um ponto qualquer do quadrirrotor com coordenadas medidas em SC B . A posi¸ c˜ ao de p B em SC E ´e p E = R.p B = p Ex p Ey p Ez ¸ ¸ . O ponto p E tem energia cin´etica K pE = 1 2 dp E dt 2 dm, (7) em que v ´e a norma Euclidiana de v e dm ´e o diferencial de massa associado a p E . Integrando (7) ao longo de toda a estrutura C do quadrirrotor e lembrando da hip´otese de simetria, chega-se `a express˜ao E = 1 2 Ixx „ dφ dt − dψ dt sin(θ) « 2 (8) + 1 2 Iyy „ dθ dt cos(φ) + dψ dt sin(φ) cos(θ) « 2 + 1 2 Izz „ dθ dt sin(φ) − dψ dt cos(φ) cos(θ) « 2 para a energia cin´etica total. A energia potencial total ´e obtida por meio de procedimento semelhante. Levando em conta a hip´otese de que a acelera¸ c˜ ao gravitacional g ´e a mesma para todo ponto do quadrirrotor, a energia potencial do ponto p E ´e dada por V pE = g.p Ez .dm. (9) Integrando (9) ao longo de C, chega-se `a express˜ao V = g Z C (−S θ x B + C θ S φ y B + C φ C θ z B )dm = Z C x B dm(−gS θ ) + Z C y B dm(gC θ S φ ) + Z C z B dm(gC φ C θ ) (10) para a energia potencial total do quadrirrotor. As integrais em (10) correspondem `as coorde- nadas x CM , y CM e z CM do centro de massa do quadrirrotor em rela¸ c˜ ao ao SC B . Dada a hip´otese de que o centro de gravidade do quadrirrotor e a origem de SC B coincidem, temos V = 0, podendo- se eliminar esse termo dos c´ alculos subseq¨ uentes. Voltando ao Lagrangiano (6), ´e claro que os graus de liberdade ρ i s˜ao os ˆangulos φ, θ e ψ e as for¸ cas n˜ ao-conservativas γ i associadas s˜ao os tor- ques em torno dos eixos x (τ x ), y (τ y ) e z (τ z ), respectivamente. Esses torques, cujas origens es- t˜ ao no desbalanceio de empuxos entre os quatro motores, s˜ao dados por τ x = bL(Ω 2 4 − Ω 2 2 ), (11) τ y = bL(Ω 2 3 − Ω 2 1 ), (12) τ z = d(Ω 2 1 − Ω 2 2 + Ω 2 3 − Ω 2 4 ), (13) em que b ´e o mesmo de (1), L ´e a meia enverga- dura do quadrirrotor e d ´e coeficiente de arrasto da estrutura. A substitui¸ c˜ ao de (8), (11), (12) e (13) em (6) resulta nas equa¸ c˜ oes diferenciais para a dinˆa- mica angular do quadrirrotor, cujo resultado final ´e extenso e pode ser encontrado em Santana and Braga (2008) 1 . Por representarem um modelo di- nˆ amico mais completo, estas equa¸ c˜ oes diferenciais foram utilizadas na constru¸ c˜ ao do simulador. Supondo ˆangulos de inclina¸ c˜ ao φ, θ e ψ pe- quenos, as aproxima¸ c˜ oes sin(α) ≈ 0, cos(α) ≈ 1, ω x ≈ dφ dt , ω y ≈ dθ dt , ωz ≈ dψ dt , (14) 1 Se necess´ ario, entre em contato com o primeiro autor. s˜ao v´alidas, resultando no modelo simplificado d 2 φ dt 2 = Iyy − Izz Ixx dψ dt dθ dt + τx Ixx , (15) d 2 θ dt 2 = Izz − Ixx Iyy dψ dt dφ dt + τy Iyy , (16) d 2 ψ dt 2 = Ixx − Iyy Izz dθ dt dφ dt + τz Izz (17) para a dinˆamica angular do quadrirrotor. 2.3 Transforma¸c˜ ao das entradas do sistema Embora o modelo matem´atico apresentado nas Se- ¸ c˜ oes 2.1 e 2.2 apresente as for¸ cas τ x , τ y , τ z e U como entradas do sistema, a arquitetura de con- trole da Figura 2 necessita que o controlador de estabiliza¸ c˜ ao atue sobre os controladores de mais baixo n´ıvel por meio da mudan¸ ca das referˆencias de velocidade de rota¸ c˜ ao dos motores. Notando-se que as equa¸ c˜ oes (1), (11), (12) e (13) formam um sistema n˜ ao-linear de quatro equa¸ c˜ oes a quatro in- c´ ognitas, sua solu¸ c˜ ao Ω1 = 1 2 r − −bLτz + 2dτy − dLU bLd > 0, (18) Ω2 = 1 2 r − bLτz − dLU + 2dτx bLd > 0, (19) Ω3 = 1 2 r bLτz + 2dτy + dLU bLd > 0, (20) Ω4 = 1 2 r − bLτz − dLU − 2dτx bLd > 0, (21) determina as velocidades de rota¸ c˜ ao que devem ser impressas aos motores das h´elices de forma a aplicar sobre o quadrirrotor os torques e o empuxo vertical necess´arios. 3 Controle Diferentes estrat´egias foram utilizadas na malha de controle de estabiliza¸ c˜ ao da Figura 2 durante as simula¸ c˜ oes realizadas com o modelo descrito na Se¸ c˜ ao 2. Primeiramente, as Se¸ c˜ oes 3.1 e 3.2 apresentam estrat´egias de controle linear aborda- das em Santana and Braga (2008) e Bouabdallah et al. (2004). Em seguida, a Se¸ c˜ ao 3.3 descreve um controlador n˜ ao-linear backstepping baseado nos projetos de Bouabdallah and Siegwart (2005) e Madani and Benallegue (2006). 3.1 Controle PID Esta estrat´egia de controle PID utiliza controla- dores independentes para os graus de liberdade φ, θ, ψ e z do quadrirrotor, procurando mantˆe-lo em vˆoo planado a uma altitude definida. Considera- se vˆoo planado a situa¸ c˜ ao em que o quadrirrotor encontra-se est´ atico com φ = θ = ψ = 0. Sejam as equa¸ c˜ oes de um controlador PID dis- creto ui(k) = ui(k − 1) + K id Te(k), u(k) = K pd e(k) + ui(k) + K dd T (e(k) − e(k − 1)), (22) em que u(k) ´e o sinal de controle; u i (k) ´e a compo- nente integral do controlador; K pd , K id , K dd s˜ao, respectivamente, os ganhos proporcional, integral e derivativo; e(k) ´e o sinal de erro; T ´e o per´ıodo de amostragem; e k ´e o n´ umero da amostra. Sendo u j (k), j ∈ {φ, θ, ψ, z}, o sinal de controle para o j-´esimo grau de liberdade, as equa¸ c˜ oes de controle s˜ao dadas por τ x (k) τ y (k) τ z (k) U(k) ¸ ¸ ¸ ¸ = u φ (k) u θ (k) u ψ (k) u z (k) + mg ¸ ¸ ¸ ¸ . (23) Os valores dos torques e do empuxo vertical em (23) s˜ao convertidos por (18)-(21) em veloci- dades de rota¸ c˜ ao para os motores. 3.2 Controle por lineariza¸c˜ ao de modelo Assim como na Se¸ c˜ ao 3.1, o controlador desta Se- ¸ c˜ ao visa `a manuten¸ c˜ ao do quadrirrotor em situ- a¸ c˜ ao de vˆoo planado a uma altitude definida. A dedu¸ c˜ ao das equa¸ c˜ oes de controle considera o mo- delo de transla¸ c˜ ao (3)-(5) e o modelo angular sim- plificado (15)-(17). Sejam o vetor de estados ξ = φ θ ψ z ˙ φ ˙ θ ˙ ψ ˙ z T (24) e o vetor de entradas de atua¸ c˜ ao u = τ x τ y τ z U T . O sistema dinˆamico definido pelas vari´aveis de (24) pode ser escrito na forma de espa¸ co de es- tados como ˙ ξ = f(ξ, u) = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 ˙ φ ˙ θ ˙ ψ ˙ z Iyy − Izz Ixx ˙ ψ ˙ θ + τx Ixx Izz − Ixx Iyy ˙ ψ ˙ φ + τy Iyy Ixx − Iyy Izz ˙ θ ˙ φ + τz Izz −g + cos(θ) cos(φ)U m 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 . (25) Considerando ¯ ξ = [0 0 0 h ref 0 0 0 0] T o vetor de referˆencia de estado e ¯ u = [0 0 0 mg] a referˆencia para a entrada de controle, em que h ref ´e a al- titude desejada do quadrirrotor, a lineariza¸ c˜ ao de (25) em torno do ponto ( ¯ ξ, ¯ u) resulta em ˙ ξ = ¯ ˙ ξ + δ ˙ ξ ≈ f( ¯ ξ, ¯ u) + ∂f ∂ξ (ξ − ¯ ξ) + ∂f ∂u (u − ¯ u). Logo, δ ˙ ξ = ∂f ∂ξ ˛ ˛ ˛ ˛ ξ = ¯ ξ u = ¯ u δξ + ∂f ∂u ˛ ˛ ˛ ˛ ξ = ¯ ξ u = ¯ u δu. (26) Notando que (26) est´ a na forma de espa¸ co de estados linear, a lei de controle pode ser escrita como δξ = ξ − ¯ ξ, δu = −Kδξ, u = ¯ u + δu. (27) A matriz de realimenta¸ c˜ ao K determina a aloca- ¸ c˜ ao dos oito p´ olos do sistema e pode ser determi- nada computacionalmente por meio da conhecida f´ormula de Ackermann. 3.3 Controle n˜ ao-linear backstepping Sendo X = [φ ˙ φ θ ˙ θ ψ ˙ ψ z ˙ z x ˙ x y ˙ y] T = [x 1 x 2 . . . x 12 ] T o vetor de estados do sistema e F = [τ x τ y τ z U] T o vetor de entradas, o modelo dinˆamico (3)-(5) e (15)-(17) do quadrirrotor pode ser escrito na forma de espa¸ co de estados como ˙ X = f(X, F) = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 x2 x4x6a1 + b1 τx L x4 x2x6a2 + b2 τy L x6 x4x2a3 + b3 τz L x8 −g + (cos(x1) cos(x3)) 1 m U x10 ux 1 m U x12 uy 1 m U 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 , (28) em que a 1 = Iyy −Izz Ixx , a 2 = Izz −Ixx Iyy , a 3 = Ixx −Iyy Izz , b 1 = L Ixx , b 2 = L Iyy , b 3 = L Izz , ux = (cos(x 1 ) sin(x 3 ) cos(x 5 ) + sin(x 1 ) sin(x 5 )), (29) uy = (cos(x 1 ) sin(x 3 ) sin(x 5 ) −sin(x 1 ) cos(x 5 )). (30) Para as Se¸ c˜ oes 3.3.1 e 3.3.2, considere o vetor de parˆ ametros do controlador α = [α 1 α 2 . . . α 12 ] T , α i > 0, i ∈ {1, 2, . . . , 12}, o vetor de referˆencias X d = [x 1d x 2d . . . x 12d ] T , em que x id , i ∈ {1, 2, . . . , 12}, ´e a referˆencia para a i-´esima vari´avel de estado e as mudan¸ cas de va- ri´ avel z 2k = x 2k − ˙ x (2k−1)d − α (2k−1) z (2k−1) , z 2k−1 = x (2k−1)d − x 2k−1 , k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Diferentemente dos controladores das Se¸ c˜ oes 3.1 e 3.2, o controlador backstepping aqui apresentado procura levar todos os estados de X para valores desejados X d . Figura 3: Estabiliza¸ c˜ ao do quadrirrotor por con- trole PID. 3.3.1 Controle de atitude e altitude A t´ecnica de controle backstepping aplicada `as componentes angulares do sistema (28) resulta nas equa¸ c˜ oes de controle τx = L b 1 (z 1 −a 1 x 4 x 6 −α 1 (z 2 + α 1 z 1 ) −α 2 z 2 ), (31) τy = L b 2 (z 3 −a 2 x 2 x 6 −α 3 (z 4 + α 3 z 3 ) −α 4 z 4 ), (32) τz = L b 3 (z 5 −a 3 x 2 x 4 −α 5 (z 6 + α 5 z 5 ) −α 6 z 6 ). (33) De maneira semelhante, chega-se `a express˜ao para o empuxo vertical do quadrirrotor U = m (z 7 + g − α 7 (z 8 + α 7 z 7 ) − α 8 z 8 ) cos(x 1 ) cos(x 3 ) (34) 3.3.2 Controle de movimenta¸ c˜ao no plano XY Como pode ser visto em (28), as componentes translacionais x, y e z tˆem dinˆamica dependente da atitude corrente do quadrirrotor. Entretanto, isso n˜ ao se verifica para as componentes angula- res φ, θ e ψ, cujas dinˆamicas independem da po- si¸ c˜ ao espacial do quadrirrotor. Mesmo sendo um sistema subatuado, esse desacoplamento permite que os ˆangulos de rolagem (φ) e arfagem (θ) se- jam escolhidos em (29) e (30) de tal forma que o empuxo vertical U promova o movimento neces- s´ario nas dire¸ c˜ oes x e y. Para que haja garantia de estabilidade, as condi¸ c˜ oes ux = m U (z 9 −α 9 (z 10 + α 9 z 9 ) −α 10 z 10 ), (35) uy = m U (z 11 −α 11 (z 12 + α 11 z 11 ) −α 12 z 12 ),(36) devem ser satisfeitas. O ˆangulo de guinada (ψ) pode ser escolhido livremente. 4 Resultados das simula¸ c˜ oes Os controladores da Se¸ c˜ ao 3 foram aplicados, sob a arquitetura da Figura 2, ao modelo matem´atico de quadrirrotor descrito na Se¸ c˜ ao 2 e sua viabilidade Tabela 1: Parˆametros do modelo do quadrirrotor. S´ımbolo Descri¸ c˜ ao Valor m massa total 1, 5 kg g gravidade local 9, 81 m s 2 Ixx in´ercia do eixo x 0, 033 kg.m 2 Iyy in´ercia do eixo y 0, 033 kg.m 2 Izz in´ercia do eixo z 0, 066 kg.m 2 L meia envergadura 0, 5 m b coeficiente de empuxo 2, 64.10 −4 N.s 2 d coeficiente de arrasto 7, 5.10 −7 N.m.s 2 Figura 4: Estabiliza¸ c˜ ao do quadrirrotor pela t´ec- nica de lineariza¸ c˜ ao de modelo. comprovada pelos resultados das simula¸ c˜ oes. A Tabela 1 cont´em os parˆ ametros do modelo f´ısico de quadrirrotor utilizados em todas as simula¸ c˜ oes. As Figuras 3 e 4 mostram os resultados das simula¸ c˜ oes para os controladores lineares das Se- ¸ c˜ oes 3.1 e 3.2, respectivamente. Nestas, apenas os graus de liberdade angulares e a altitude do qua- drirrotor foram controlados. Como j´a foi dito na Se¸ c˜ ao 3, o objetivo desses controladores era man- ter o quadrirrotor em vˆoo pairado a uma altitude de referˆencia, n˜ ao havendo controle sobre as trans- la¸ c˜ oes ao longo dos eixos x e y. Como pode ser visto, tanto a t´ecnica PID quanto a lineariza¸ c˜ ao de modelo puderam levar o modelo de quadrirro- tor `a situa¸ c˜ ao de vˆoo pairado ap´os um transit´ orio de estabiliza¸ c˜ ao. O controlador backstepping, por sua vez, foi utilizado para a condu¸ c˜ ao de todos os graus de liberdade do modelo a valores de referˆen- cia desejados, cujos transit´ orios de estabiliza¸ c˜ ao est˜ ao apresentados na Figura 5. 5 Conclus˜oes Este trabalho abordou a modelagem matem´atica de quadrirrotores com arquiteturas de controle em cascata para sua estabiliza¸ c˜ ao. A viabilidade de aplica¸ c˜ ao de trˆes diferentes t´ecnicas de controle para este tipo de sistema foi mostrada por meio de simula¸ c˜ oes realizadas a partir do modelo dinˆa- Figura 5: Estabiliza¸ c˜ ao do quadrirrotor por con- trole backstepping. mico descrito. Os pr´oximos passos deste trabalho seguem na dire¸ c˜ ao de implementa¸ c˜ ao dos resulta- dos aqui apresentados em um plataforma experi- mental que est´ a sendo atualmente aperfei¸ coada. O objetivo final ´e o desenvolvimento de um pro- t´ otipo de quadrirrotor capaz de estabilizar-se em vˆoo sem a necessidade de assistˆencia humana. Agradecimentos Os autores agradecem ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient´ıfico e Tecnol´ogico (CNPq) pelo apoio parcial `as atividades de pesquisa. Referˆencias Amir, M. and Abbass, V. (2008). Modeling of quadrotor helicopter dynamics, International Conference on Smart Manufacturing Appli- cation, 2008. ICSMA 2008. pp. 100–105. Bouabdallah, S. (2007). Design and control of quadrotors with application to autonomous flying, PhD thesis, ´ Echole Polytechnique F´e- d´erale de Lausanne. Bouabdallah, S., Noth, A. and Siegwart, R. (2004). PID vs LQ Control Techniques Ap- plied to an Indoor Micro Quadrotor, Procee- dings of 2004 1EEE/RSJ International Con- ference On Intelligent Robots and Systems pp. 2451–2456. Bouabdallah, S. and Siegwart, R. (2005). Backs- tepping and sliding-mode techniques applied to an indoor micro quadrotor, Proceedings of the 2005 IEEE International Conference on Robotics and Automation, pp. 2247–2252. Coza, C. and Macnab, C. (2006). A new ro- bust adaptive-fuzzy control method applied to quadrotor helicopter stabilization, Annual meeting of the North American Fuzzy Infor- mation Processing Society, 2006. NAFIPS 2006. pp. 454–458. Das, A., Subbarao, K. and Lewis, F. (2008). Dynamic inversion of quadrotor with zero- dynamics stabilization, IEEE International Conference on Control Applications, 2008. CCA 2008. pp. 1189–1194. Leishman, J. (2000). Principles of Helicopter Ae- rodynamics, Cambridge University Press. Madani, T. and Benallegue, A. (2006). Con- trol of a quadrotor mini-helicopter via full state backstepping technique, 45th IEEE Conference on Decision and Control, 2006 pp. 1515–1520. Madani, T. and Benallegue, A. (2007). Sliding Mode Observer and Backstepping Control for a Quadrotor Unmanned Aerial Vehicles, American Control Conference, 2007. ACC ’07 pp. 5887–5892. Sanca, A. S., Alsina, P. J. and Cerqueira, J. a. d. J. F. (2008). Dynamic modelling of a qua- drotor aerial vehicle with nonlinear inputs, IEEE Latin American Robotic Symposium, 2008. LARS ’08. pp. 143–148. Santana, P. and Braga, M. (2008). Concep- ¸c˜ ao de um ve´ıculo a´ereo n˜ ao-tripulado do tipo quadrirrotor, Trabalho de Gra- dua¸ c˜ ao, Universidade de Bras´ılia. Dis- pon´ıvel em http://www.lara.unb.br/ ~phsantana/data/files/other/Santana_ Braga_Conception_Quadrotor.pdf. e . 1 2 3 4 (1) em que v ´ a norma Euclidiana de v e dm ´ o e e diferencial de massa associado a pE . O sistema de coordenadas B (SCB ). fixo no corpo.1 Equacionamento do movimento de translac˜ ¸ao − ∂L ∂ρi = γi .Para ˆngulos de inclina¸ao φ. m U = (Sψ Sθ Cφ − Sφ Cψ ) . c˜ c˜ juntamente com a aplica¸ao da 2a Lei de Newton. pEz O ponto pE tem energia cin´tica e KpE = 1 2 dpE dt 2 dm. m U = −g + (Cθ Cφ ) . c˜ 2 Modelagem matem´tica a d2 x dt2 d2 y dt2 d2 z dt2 = (Cψ Sθ Cφ + Sψ Sφ ) U . Dado que a transla¸ao entre c˜ os sistemas de coordenadas SCB e SCE n˜o ina fluencia a determina¸ao das equa¸oes dinˆmicas. fixo c˜ na Terra. A posi¸ao de pB em SCE ´ c˜ e pEx pE = R. a c˜ O conceito de Lagrangiano ´ dado por e L =E−V d dt ∂L ∂ρi a de postura do quadrirrotor. c˜ Seja pB = [xB yB zB ]T um ponto qualquer do quadrirrotor com coordenadas medidas em SCB . e a O desenvolvimento das equa¸oes diferenciais c˜ leva em conta as seguintes hip´teses sobre o siso tema: (1) a estrutura do quadrirrotor e as h´lie ces s˜o r´ a ıgidas. Os termos Cα e Sα s˜o. dado por U = b(Ω2 + Ω2 + Ω2 + Ω2 ). θ ´ o ˆngulo de arfagem e a (pitch). respectivamente. (7) A atua¸ao simultˆnea dos quatro propulsores do c˜ a quadrirrotor gera um empuxo vertical U . (3) a estrutura ´ sim´trica. (2) o centro de gravidade (CM ) e a origem do sistema de coordenadas SCB coincidem. c˜ resulta nas equa¸oes diferenciais c˜ Figura 2: Arquitetura do sistema de controle. chega-se ` o a express˜o a E = «2 dφ dψ − sin(θ) (8) dt dt „ «2 dθ 1 dψ + Iyy cos(φ) + sin(φ) cos(θ) 2 dt dt „ «2 1 dθ dψ + Izz sin(φ) − cos(φ) cos(θ) 2 dt dt 1 Ixx 2 „ em que Ωi refere-se ` velocidade angular do ia ´simo motor e b ´ o coeficiente de empuxo das e e h´lices. a matriz a c˜ 2 Cψ Cθ R = 4 Sψ C θ −Sθ C ψ Sθ Sφ − Sψ C φ Sψ Sθ Sφ + C ψ C φ C θ Sφ 3 C ψ Sθ C φ + Sψ Sφ Sψ Sθ C φ − Sφ C ψ 5 Cθ Cφ (2) projeta os vetores de SCB em SCE . φ ´ o c˜ c˜ e a ˆngulo de rolagem (roll ). cos(α) e sin(α). ρi ´ a i-´sima coordenada generae e lizada (grau de liberdade) e γi ´ a for¸a resultante e c n˜o-conservativa capaz de realizar trabalho na dia re¸ao de ρi . Y e Z de SCE . (5) o arrasto e o empuxo aerodinˆa e a micos s˜o proporcionais ao quadrado das velocia dades de rota¸ao dos motores (Bouabdallah and c˜ Siegwart (2005)). c˜ 2. As diferen¸as angulares e lineares entre c esses dois sistemas definem o vetor ζ= x y z φ θ ψ T em que m ´ a massa total da estrutura e g ´ a e e acelera¸ao da gravidade local. em que x. (4) os atuadores e e s˜o idˆnticos. e ψ ´ o ˆngulo de guinada (yaw ).pB = pEy . rotaciona e translada em rela¸ao ao sistema de coordenadas E (SCE ). z s˜o transla¸oes nas dire¸oes X. (6) em que E ´ energia cin´tica total. c˜ c˜ a assume-se. V ´ a energia e e e potencial total. θ e ψ. y. que as origens desses sistemas coincidem no restante desta Se¸ao. considere os sistemas de coordenadas mostrados na Figura 1. m (3) (4) (5) Para a modelagem matem´tica de um quadrirroa tor. trabalho na Se¸ao 5. A proa je¸ao de (1) nas dire¸oes de SCE por meio de (2). para fins de modelagem e sem perda de generalidade.2 Equacionamento do movimento de rota¸ao c˜ A complexidade da dinˆmica angular do quadrira rotor levou ` escolha do formalismo de Eulera Lagrange para determina¸ao das equa¸oes diferenc˜ c˜ ciais para os ˆngulos de rota¸ao. direcionado para cima no sistema de coordenadas SCB . c˜ 2. Integrando (7) ao longo de toda a estrutura C do quadrirrotor e lembrando da hip´tese de simetria. (2004).2 apresente as for¸as τx . 3. c˜ Supondo ˆngulos de inclina¸ao φ. cos(α) ≈ 1.dm. L ´ a meia envergae e dura do quadrirrotor e d ´ coeficiente de arrasto e da estrutura. Esses torques. chega-se ` express˜o V = g Z C Z C 2. (12) e (13) formam um c˜ sistema n˜o-linear de quatro equa¸oes a quatro ina c˜ c´gnitas. resultando no modelo simplificado a a d2 φ dt2 d2 θ dt2 d2 ψ dt2 = = = Iyy − Izz dψ dθ τx . a u Voltando ao Lagrangiano (6). τy . y (τy ) e z (τz ).1 e 3. (18) bLd bLτz − dLU + 2dτx > 0. (9) s˜o v´lidas. θ e ψ pea c˜ quenos. podendose eliminar esse termo dos c´lculos subseq¨ entes.3 descreve c˜ um controlador n˜o-linear backstepping baseado a nos projetos de Bouabdallah and Siegwart (2005) e Madani and Benallegue (2006). as aproxima¸oes c˜ sin(α) ≈ 0. yCM e zCM do centro de massa do quadrirrotor em rela¸ao ao SCB . a energia potencial do ponto pE ´ dada por e VpE = g.para a energia cin´tica total. procurando mantˆ-lo em e vˆo planado a uma altitude definida. a Sejam as equa¸oes de um controlador PID disc˜ creto . Em seguida. Por representarem um modelo dinˆmico mais completo. sua solu¸ao o c˜ Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 = = = = 1 2 1 2 1 2 1 2 r r r r − − −bLτz + 2dτy − dLU > 0. Considerao se vˆo planado a situa¸ao em que o quadrirrotor o c˜ encontra-se est´tico com φ = θ = ψ = 0. ψ e z do quadrirrotor. (11). bLd − bLτz − dLU − 2dτx > 0. e A energia potencial total ´ obtida por meio e de procedimento semelhante. dt ωy ≈ dθ . a a a Integrando (9) ao longo de C.pEz . θ. respectivamente. A substitui¸ao de (8). 1 2 3 4 (11) (12) (13) Embora o modelo matem´tico apresentado nas Sea coes 2. As integrais em (10) correspondem `s coordea nadas xCM . a Se¸ao 3. ´ claro que os e graus de liberdade ρi s˜o os ˆngulos φ. (11).1 Controle PID (14) 1 Se necess´rio. temos V = 0. Levando em conta a hip´tese de que a acelera¸ao gravitacional g ´ a o c˜ e mesma para todo ponto do quadrirrotor. bLd determina as velocidades de rota¸ao que devem c˜ ser impressas aos motores das h´lices de forma a e aplicar sobre o quadrirrotor os torques e o empuxo vertical necess´rios. entre em contato com o primeiro autor. a Esta estrat´gia de controle PID utiliza controlae dores independentes para os graus de liberdade φ. estas equa¸oes diferenciais a c˜ foram utilizadas na constru¸ao do simulador. θ e ψ e as a a for¸as n˜o-conservativas γi associadas s˜o os torc a a ques em torno dos eixos x (τx ). Notando-se c˜ que as equa¸oes (1). τz e U ¸˜ c como entradas do sistema. s˜o dados por a τx τy τz = bL(Ω2 − Ω2 ).1 e 2. + Ixx dt dt Ixx Izz − Ixx dψ dφ τy . + Iyy dt dt Iyy Ixx − Iyy dθ dφ τz + Izz dt dt Izz (15) (16) (17) para a dinˆmica angular do quadrirrotor. cujo resultado final ´ extenso e pode ser encontrado em Santana and e Braga (2008) 1 . as Se¸oes 3. a arquitetura de controle da Figura 2 necessita que o controlador de estabiliza¸ao atue sobre os controladores de mais c˜ baixo n´ por meio da mudan¸a das referˆncias ıvel c e de velocidade de rota¸ao dos motores. 3 1 = d(Ω2 − Ω2 + Ω2 − Ω2 ). a 3 Controle em que b ´ o mesmo de (1). 4 2 = bL(Ω2 − Ω2 ). dt ωz ≈ dψ . dt Diferentes estrat´gias foram utilizadas na malha e de controle de estabiliza¸ao da Figura 2 durante c˜ as simula¸oes realizadas com o modelo descrito c˜ na Se¸ao 2.2 c˜ c˜ apresentam estrat´gias de controle linear abordae das em Santana and Braga (2008) e Bouabdallah et al. bLd (19) (20) (21) bLτz + 2dτy + dLU > 0. Dada a hip´tese c˜ o de que o centro de gravidade do quadrirrotor e a origem de SCB coincidem.3 (−Sθ xB + Cθ Sφ yB + Cφ Cθ zB )dm Z C Transforma¸ao das entradas do sistema c˜ = xB dm(−gSθ ) + Z C yB dm(gCθ Sφ ) (10) + zB dm(gCφ Cθ ) para a energia potencial total do quadrirrotor. cujas origens est˜o no desbalanceio de empuxos entre os quatro a motores. ωx ≈ dφ . (12) e (13) em c˜ (6) resulta nas equa¸oes diferenciais para a dinˆc˜ a mica angular do quadrirrotor. Primeiramente. 4. a lei de controle pode ser escrita como ¯ δξ = ξ − ξ. e k ´ o n´ mero da amostra. em que xid . x12 ]T o vetor de estados do sistema e F = [τx τy τz U ]T o vetor de entradas. 2. Ixx Iyy Izz L L L b1 = . o sinal de controle para o j-´simo grau de liberdade. o controlador desta Sec˜ cao visa ` manuten¸ao do quadrirrotor em situ¸˜ a c˜ a¸ao de vˆo planado a uma altitude definida. Sejam o vetor de estados ξ= φ θ ψ z ˙ ˙ φ θ ˙ ψ z ˙ T (24) e o vetor de entradas de atua¸ao c˜ u = τx τy τz U T . .2. . considere o vetor de c˜ parˆmetros do controlador a (25) α = [α1 α2 . . (29) uy = (cos(x1 ) sin(x3 ) sin(x5 ) − sin(x1 ) cos(x5 )). . . integral e derivativo. ψ. .2 Controle por lineariza¸ao de modelo c˜ em que u(k) ´ o sinal de controle. A matriz de realimenta¸ao K determina a alocac˜ cao dos oito p´los do sistema e pode ser determi¸˜ o nada computacionalmente por meio da conhecida f´rmula de Ackermann. u(k) = Kpd e(k) + ui (k) + Kdd (e(k) − e(k − 1)). o controlador backstepping aqui apresentado procura levar todos os estados de X para valores desejados Xd . a respectivamente. A c˜ o dedu¸ao das equa¸oes de controle considera o moc˜ c˜ delo de transla¸ao (3)-(5) e o modelo angular simc˜ plificado (15)-(17). α12 ]T . ¯ ∂ξ ∂u Diferentemente dos controladores das Se¸oes 3. Kpd . Ixx Iyy Izz ux = (cos(x1 ) sin(x3 ) cos(x5 ) + sin(x1 ) sin(x5 )). (23) τz (k) uψ (k) uz (k) + mg U (k) Notando que (26) est´ na forma de espa¸o de a c estados linear. 12}. αi > 0. os ganhos proporcional. em que O sistema dinˆmico definido pelas vari´veis de a a (24) pode ser escrito na forma de espa¸o de esc tados como 2 ˙ φ ˙ 6 θ 6 6 ˙ ψ 6 6 z ˙ 6 6 Iyy − Izz 6 ˙˙ ψ θ + Iτx ˙ ξ = f (ξ. as equa¸oes de controle e c˜ s˜o dadas por a τx (k) uφ (k) τy (k) uθ (k) = . o modelo dinˆmico (3)-(5) a e (15)-(17) do quadrirrotor pode ser escrito na forma de espa¸o de estados como c 3 x2 τx 7 6 x 4 x 6 a 1 + b1 L 7 6 7 6 x4 7 6 τy 7 6 x 2 x 6 a 2 + b2 L 7 6 7 6 x6 7 6 τz 7 6 x 4 x 2 a 3 + b3 L 7 . .3 Controle n˜o-linear backstepping a Sendo ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ X = [φ φ θ θ ψ ψ z z x x y y]T = [x1 x2 .3. θ. a lineariza¸ao de c˜ ¯¯ (25) em torno do ponto (ξ. i ∈ {1. j ∈ {φ. . T (22) ˙ δξ = ˛ ˛ ∂f ˛ ∂f ˛ ˛ ˛ δξ + ¯ ¯ δu. u) resulta em ∂f ∂f ˙ ¯ ˙ ˙ ¯¯ ¯ ξ = ξ + δ ξ ≈ f (ξ. u) = 6 xx Ixx 6 6 Izz − Ixx ˙ ˙ τy ψ φ + Iyy 6 6 Iyy 6 I −I yy ˙ ˙ 6 xx θφ + Iτz 4 zz Izz cos(φ)U −g + cos(θ) m 3 a1 = Izz − Ixx Ixx − Iyy Iyy − Izz .3. . (27) ¯ u = u + δu. b3 = . δu = −Kδξ. F ) = 6 7 6 x8 7 6 6−g + (cos(x1 ) cos(x3 )) 1 U 7 6 m 7 7 6 x10 7 6 1 7 6 ux m U 7 6 5 4 x12 2 1 uy m U Assim como na Se¸ao 3. ¯ Considerando ξ = [0 0 0 href 0 0 0 0]T o vetor de referˆncia de estado e u = [0 0 0 mg] a referˆncia e ¯ e para a entrada de controle. i ∈ {1. u) + (ξ − ξ) + (u − u). a2 = . o vetor de referˆncias e Xd = [x1d x2d . . 3. o 3. .1 c˜ e 3. 7 7 7 7 7 7 5 Para as Se¸oes 3. ∂ξ ˛ ξ = ξ ∂u ˛ ξ = ξ u=u ¯ u=u ¯ (26) Os valores dos torques e do empuxo vertical em (23) s˜o convertidos por (18)-(21) em velocia dades de rota¸ao para os motores. 2. Kdd s˜o. ´ a referˆncia para e e a i-´sima vari´vel de estado e as mudan¸as de vae a c ri´vel a z2k = x2k − x(2k−1)d − α(2k−1) z(2k−1) . k ∈ {1. . a3 = . z}. . x12d ]T . .1 e 3.1. ui (k) = ui (k − 1) + Kid T e(k). . (30) 7 7 7 7 7 7 7 7 7. em que href ´ a ale titude desejada do quadrirrotor. e(k) ´ o sinal de erro. (28) ˙ X = f (X. 5. Sendo e u uj (k). b2 = . 12}.2. ˙ z2k−1 = x(2k−1)d − x2k−1 . T ´ o per´ e e ıodo de amostragem. Kid . ui (k) ´ a compoe e nente integral do controlador.Logo. 6}. 2. c˜ 3. respectivamente. Para que haja garantia a c˜ de estabilidade. 033 kg. Entretanto. (31) b1 L (z3 − a2 x2 x6 − α3 (z4 + α3 z3 ) − α4 z4 ).m. (32) τy = b2 L (z5 − a3 x2 x4 − α5 (z6 + α5 z5 ) − α6 z6 ). chega-se ` express˜o para a a o empuxo vertical do quadrirrotor U =m 3. Nestas.3.m2 0. a 5 Conclus˜es o De maneira semelhante. a S´ ımbolo m g Ixx Iyy Izz L b d Descri¸ao c˜ massa total gravidade local in´rcia do eixo x e in´rcia do eixo y e in´rcia do eixo z e meia envergadura coeficiente de empuxo coeficiente de arrasto Valor 1.10−4 N. A viabilidade de c˜ aplica¸ao de trˆs diferentes t´cnicas de controle c˜ e e para este tipo de sistema foi mostrada por meio de simula¸oes realizadas a partir do modelo dinˆc˜ a . cujas dinˆmicas independem da poa si¸ao espacial do quadrirrotor. as condi¸oes c˜ m (z9 − α9 (z10 + α9 z9 ) − α10 z10 ).s2 Figura 3: Estabiliza¸ao do quadrirrotor por conc˜ trole PID.m2 0.1 Controle de atitude e altitude A t´cnica de controle backstepping aplicada `s e a componentes angulares do sistema (28) resulta nas equa¸oes de controle c˜ L (z1 − a1 x4 x6 − α1 (z2 + α1 z1 ) − α2 z2 ). foi utilizado para a condu¸ao de todos os c˜ graus de liberdade do modelo a valores de referˆne cia desejados. as componentes translacionais x. Como pode ser c˜ visto. ao modelo matem´tico de a quadrirrotor descrito na Se¸ao 2 e sua viabilidade c˜ Este trabalho abordou a modelagem matem´tica a de quadrirrotores com arquiteturas de controle em cascata para sua estabiliza¸ao. por c˜ sua vez. 033 kg. o objetivo desses controladores era manc˜ ter o quadrirrotor em vˆo pairado a uma altitude o de referˆncia.3. esse desacoplamento permite que os ˆngulos de rolagem (φ) e arfagem (θ) sea jam escolhidos em (29) e (30) de tal forma que o empuxo vertical U promova o movimento necess´rio nas dire¸oes x e y. 64. (35) U m (z11 − α11 (z12 + α11 z11 ) − α12 z12 ). 066 kg. n˜o havendo controle sobre as transe a la¸oes ao longo dos eixos x e y.(36) uy = U ux = devem ser satisfeitas. c˜ comprovada pelos resultados das simula¸oes. A c˜ Tabela 1 cont´m os parˆmetros do modelo f´ e a ısico de quadrirrotor utilizados em todas as simula¸oes. O ˆngulo de guinada (ψ) a pode ser escolhido livremente. 81 s2 0. apenas os ¸˜ graus de liberdade angulares e a altitude do quadrirrotor foram controlados. sob a c˜ arquitetura da Figura 2. c˜ As Figuras 3 e 4 mostram os resultados das simula¸oes para os controladores lineares das Sec˜ coes 3. 3. 4 Resultados das simula¸oes c˜ Os controladores da Se¸ao 3 foram aplicados.1 e 3. 5 kg m 9. Como j´ foi dito na a Se¸ao 3.s2 7. θ e ψ.2. isso n˜o se verifica para as componentes angulaa res φ. cujos transit´rios de estabiliza¸ao o c˜ est˜o apresentados na Figura 5. tanto a t´cnica PID quanto a lineariza¸ao e c˜ de modelo puderam levar o modelo de quadrirrotor ` situa¸ao de vˆo pairado ap´s um transit´rio a c˜ o o o de estabiliza¸ao. y e z tˆm dinˆmica dependente e a da atitude corrente do quadrirrotor. 5 m 2. 5.10−7 N.Tabela 1: Parˆmetros do modelo do quadrirrotor. Mesmo sendo um c˜ sistema subatuado. (33) τz = b3 τx = Figura 4: Estabiliza¸ao do quadrirrotor pela t´cc˜ e nica de lineariza¸ao de modelo.2 (z7 + g − α7 (z8 + α7 z7 ) − α8 z8 ) cos(x1 ) cos(x3 ) (34) Controle de movimenta¸˜o no plano ca XY Como pode ser visto em (28). O controlador backstepping.m2 0. 2008. and Braga. 2007. (2004). P. 454–458. 2008.. e Bouabdallah. Das. 5887–5892. V. (2006). and Benallegue. Backstepping and sliding-mode techniques applied to an indoor micro quadrotor. Trabalho de Gradua¸ao. 2451–2456. A. Alsina. and Abbass.Bouabdallah. S. (2008). Sliding Mode Observer and Backstepping Control for a Quadrotor Unmanned Aerial Vehicles. (2006). Leishman. American Control Conference. 1189–1194. International Conference on Smart Manufacturing Application. Santana. Cambridge University Press. LARS ’08.lara. ACC ’07 pp.. K. 2006 pp.. F. (2007). Madani. (2000). M. C. a Referˆncias e Amir. ICSMA 2008. Modeling of quadrotor helicopter dynamics. (2005). Subbarao. Principles of Helicopter Aerodynamics. Echole Polytechnique F´e d´rale de Lausanne. 45th IEEE Conference on Decision and Control. A. R. o e Agradecimentos Os autores agradecem ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient´ ıfico e Tecnol´gico (CNPq) o pelo apoio parcial `s atividades de pesquisa. pp. a. Concepc˜ ¸ao de um ve´culo a´reo n˜o-tripulado ı e a do tipo quadrirrotor. and Benallegue. and Siegwart. pp. Noth. A. P. d. pp. J.pdf. pp. Proceedings of 2004 1EEE/RSJ International Conference On Intelligent Robots and Systems pp. A. mico descrito. and Siegwart. (2008). NAFIPS 2006. T. 100–105. A new robust adaptive-fuzzy control method applied to quadrotor helicopter stabilization. M. Dispon´ ıvel em http://www. S. IEEE Latin American Robotic Symposium. C. Dynamic inversion of quadrotor with zerodynamics stabilization. S. (2007). Os pr´ximos passos deste trabalho o seguem na dire¸ao de implementa¸ao dos resultac˜ c˜ dos aqui apresentados em um plataforma experimental que est´ sendo atualmente aperfei¸oada. PhD thesis. 1515–1520. a c O objetivo final ´ o desenvolvimento de um proe t´tipo de quadrirrotor capaz de estabilizar-se em o vˆo sem a necessidade de assistˆncia humana. Design and control of quadrotors with application to autonomous ´ flying. Figura 5: Estabiliza¸ao do quadrirrotor por conc˜ trole backstepping. pp. Control of a quadrotor mini-helicopter via full state backstepping technique. T. and Lewis. Proceedings of the 2005 IEEE International Conference on Robotics and Automation. Annual meeting of the North American Fuzzy Information Processing Society. (2008). S.br/ ~phsantana/data/files/other/Santana_ Braga_Conception_Quadrotor. (2008).unb. 2006. . IEEE International Conference on Control Applications. Madani. and Cerqueira. J. J. Coza. Universidade de Bras´ c˜ ılia. CCA 2008. Dynamic modelling of a quadrotor aerial vehicle with nonlinear inputs. R. F. J. and Macnab. PID vs LQ Control Techniques Applied to an Indoor Micro Quadrotor. Sanca. 2247–2252. 2008. Bouabdallah. A. 143–148.