Introducción y recordatorio del m.c.m. y del M.C.D 20 Problemas Resueltos 1. Introducción En esta página resolveremos 20 problemas mediante el cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m.) o el máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números. La dificultad de estos problemas consiste en la elección del m.c.m. o del M.C.D. Luego el esquema de resolución será: El m.c.m. se calcula multiplicando los factores «comunes y no Escoger entre m.c.m. y M.C.D. comunes al mayor exponente»: Descomponer los números del problema como producto de potencias de números primos. Calcular el m.c.m. o el M.C.D. Recordamos que... El m.c.m. se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente» y el M.C.D. se calcula multiplicando los factores «comunes al menor exponente». Para más información, visiten las siguientes páginas: Por tanto, volverán a encontrarse dentro de 380 días. Solución Descomposición de números Cálculo del mínimo común múltiplo Cálculo del máximo común divisor Problema 2 2. Problemas Resueltos David tiene 24 dulces para repartir y Fernando tiene 18. Si desean regalar los dulces a sus respectivos familiares de modo que todos tengan la misma cantidad y que sea la mayor posible, ¿cuántos dulces repartirán a cada persona? ¿a cuántos Problema 1 familiares regalará dulces cada uno de ellos? Alan y Pedro comen en la misma taquería, pero Alan asiste cada 20 días y Pedro cada 38. ¿Cuándo volverán a encontrarse? Solución El número de dulces que tienen que dar a cada persona debe Solución dividir a las cantidades de dulces (porque es una partición en partes iguales). Es decir, debe ser un divisor común de 24 y Si mañana empezamos a contar los días, entonces: de 18. Alan asiste el día 20, el día 40, el día 60... Estos días Además, como la cantidad debe ser máxima, debe ser el mayor son los múltiplos de 20. divisor común. Y Pedro asiste el día 38, el día 76, el día 114... que son los múltiplos de 38. Descomponemos los números: Ambos coinciden cuando asisten el mismo día, es decir, cuando asisten un día que es múltiplo de 20 y de 38. Además, el primer día que coinciden es el mínimo de los múltiplos comunes. Por tanto, debemos calcular el mínimo común múltiplo. Descomponemos los números para escribirlos como producto de potencias de números primos: se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente»: El M. Factorizamos los números: Además. un camión de helados pasa cada 8 días y dulces. se calcula multiplicando los factores «comunes al menor exponente»: Por tanto. Para poder cortar ambas cuerdas en trozos iguales. cada familiar recibirá 6 dulces.D. Problema 4 Como David tiene 24 dulces y dará 6 a cada familiar.C.C. Y como Fernando tiene 18 En un vecindario. de las longitudes. de 8 y 14. repartirá entre 3 personas (18/6 = 3). Se sabe que 15 días Solución atrás ambos vehículos pasaron en el mismo día. debemos calcular el M. Es decir. Pero como el primer día que coincidieron fue hace 15 días. Luego ni Raúl ni Oscar tienen razón. la longitud de los trozos debe dividir la longitud de ambas cuerdas. Por tanto. ¿Cuántos trozos de cuerda obtendrá? Solución Solución Primero calculamos cada cuánto coinciden los vehículos sin tener en cuenta la última vez que coincidieron. Para ello. Descomponemos los números: El m. los repartirá entre 4 personas (24/6 = 4). Solución Por tanto.El M. esta longitud debe ser la máxima. Solución Problema 5 . se calcula multiplicando los factores «comunes al menor exponente»: Por tanto. ¿Quién está en lo cierto? Andrés tiene una cuerda de 120 metros y otra de 96 metros.m. Desea cortarlas de modo que todos los trozos sean iguales pero lo más largos posible.m. De la cuerda de 120 metros obtendrá 120/24 = 5 trozos y de la cuerda de 96 metros obtendrá 96/24 = 4 trozos. debe ser un divisor de 120 y de 96. debemos calcular el m.c. Problema 3 Raúl cree que dentro de un mes los vehículos volverán a encontrarse y Oscar cree esto ocurrirá dentro de dos semanas.D. todos los trozos de cuerda deben medir 24 metros.C.D. los vehículos coinciden cada 56 días.c. un food truck pasa cada dos semanas. el próximo encuentro será dentro de 56-15 = 41 días. m. pero el segundos.m. Luego Carlos ganará porque sus autos coincidirán en la meta antes que los de Simón. 6 y 16. pero como son números primos. Después. un guitarrista. se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente»: El m. Para ello. Solución Solución Problema 7 Primero calculamos. cuándo coinciden los dos autos. ¿en cuántos tiempos sus periodos volverán a iniciar al mismo tiempo? El m. en cada pista. los autos de Carlos coincidirán en la meta cada 252 Carlos también tiene su pista de carreras con dos autos. primero da una vuelta completa en 36 segundos y el segundo en 42 segundos. 12.En una banda compuesta por un baterista. 24 litros de pintura verde y 16 litros de pintura blanca. Máximo quiere pintar una casa pequeña. de los tiempos. Si todos empiezan al mismo tiempo. Pero quiere comprar botes de pintura Calculamos el m.c. los tiempos volverán a iniciar cada 48 tiempos.c. Según sus cálculos. el baterista toca en lapsos de 8 tiempos. propone a Simón que el ganador sea quien tenga en su pista sus dos autos situados en la meta al mismo tiempo. el bajista en 6 tiempos y el saxofonista en 16 tiempos.m. se calcula multiplicando los factores «comunes y no Solución comunes al mayor exponente»: Debemos calcular el m. calculamos el m. de los tiempos de los autos de Simón: que tengan la misma cantidad de litros y que el número de botes . necesitará 12 litros de pintura roja. en la pista de Simón los autos coincidirán en la meta cada 527 segundos.c.m. Por tanto. El primer auto le da una vuelta completa a la pista en 31 segundos y el segundo lo hace en 17 segundos. Primero descomponemos los números. Aunque tenemos cuatro números en vez de dos. se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente»: Por tanto. ¿Quién ganará? Nota: los tiempos de Simón son mejores que los de Carlos. escribiremos directamente la factorización en producto de potencias de primos: Por tanto. Ahora repetimos el proceso para los autos de Carlos: El m.c. es un número mayor.m. los pasos a seguir son los mismos.c.m. un bajista y un saxofonista. Solución Problema 6 Simón tiene una pista de carreras con dos autos. el guitarrista en 12 tiempos. no tienen factores comunes y su m.m.c. comparamos los tiempos para saber cuál es menor. Como Carlos siempre pierde cuando juegan.c. de 8. pero como son números pequeños. D. 24 y 16. Aunque tenemos tres números en lugar de Factorizamos los números: dos. para una fiesta de cumpleaños. ¿A cuántas personas pueden invitar? Botes de pintura verde: Solución Como Daniel y Matías deben dar el mismo número de caramelos a cada persona. 24 y 16.D.C.D. Quieren repartirlos entre todos Botes de pintura roja: los invitados de modo que cada uno da el mismo número de caramelos a cada persona.sea el menor posible. de 12. cada bote debe tener una capacidad de 4 litros.m. como la Botes de pintura blanca: cantidad debe ser máxima. Factorizamos los números: El m. Factorizamos los números: Solución .c. ¿de cuántos litros debe ser cada bote y Problema 8 cuántos botes de cada color debe comprar Máximo? Un sitio turístico en el Caribe ofrece tres diferentes cruceros: uno tarda 6 días en ir y regresar a su punto de inicio. Pero como la última vez que coincidieron fue hace 39 días. Problema 9 Para calcular cuántos botes de cada color necesita Máximo.C. verde y blanca para que vuelvan a partir el mismo día todos los cruceros? deben ser 12. sabemos los tres cruceros parten a la vez que cada 120 días. dicho número debe ser divisor de sus respectivas cantidades de caramelos.m. tenemos que calcular el M. Como todos los botes deben tener la misma capacidad. se calcula multiplicando los factores «comunes al menor exponente»: Por tanto. se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente»: El M. pero que todos los invitados tengan el mismo número de caramelos y sea máximo. cada bote debe tener capacidad máxima. como quiere tener la mínima cantidad Solución de botes. el segundo Solución tarda 8 días y el tercero tarda 10 días. respectivamente. ¿cuántos días faltan Las sumas de los litros de los botes de color rojo.C. la próxima coincidencia será dentro de Solución Por tanto. Calcular el número máximo de invitados que deben asistir para que ninguno se quede sin caramelos.c. para saber cada cuántos días los cruceros coinciden. dicha capacidad debe dividir a 12. tenemos que calcular el M. 24 y 16. Además. Si los tres cruceros partieron al mismo tiempo hace 39 días. Por tanto. Calculamos el m. el procedimiento es el mismo. sólo tenemos que dividir entre 4: Daniel y Matías compraron 40 y 32 caramelos. respectivamente. Además. ya podemos saber que el más veloz es Problema 10 Juan y el menos veloz es Paul. Como queremos saber la al parque en 4 minutos con 20 segundos. Para saber segundos. Luego su tiempo es de David tarda 9 minutos y 20 segundos en dar 4 vueltas. Juan le da una vuelta al parque en 2 minutos. ¿Cuánto tardarían en encontrarse todos en el punto de partida? Solución Como los tiempos están en minutos y en segundos. Juan tarda 2 minutos en dar una vuelta. se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente»: Paul tarda 7 minutos y 30 segundos en dar tres vueltas. lo primero que haremos es escribirlos en segundos. calculamos el mínimo de los múltiplos.m.: Luego su tiempo es de Solución Con lo que tenemos. contestar: Descomponemos los números: a. el tiempo en el que los cuatro se encuentran en la salida vueltas en 9 minutos con 20 segundos y Andrea le da 2 vueltas es un múltiplo común de los tiempos. Luego debemos calcular el m. ¿Quién es el más y el menos veloz? b. es decir. Luego su tiempo es de El M. David y Andrea van a correr a un parque todos los Cada uno de los atletas se encuentra en la salida cuando ha días.: Si todos parten al mismo tiempo y del mismo lugar. Este tiempo en segundos es . Paul le da 3 pasado el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. debemos sumar las cantidades de caramelos y dividirlas entre el M. Juan. primera vez que esto ocurre. el número de caramelos por persona es 8.D.C. En segundos.m. su tiempo es de El m. Paul. David le da 4 tanto. Por vueltas al parque en 7 minutos con 30 segundos.c. a cuántas personas pueden invitar. En Por tanto.D. se calcula multiplicando los factores «comunes al menor exponente»: Andrea tarda 4 minutos y 20 segundos en dar 2 vueltas.C.c. menor exponente»: Solución Problema 13 .C. se sucursales: una en el norte. ¿Cuántas botellas de leche debe Además.D. ¿Cuántos peces debe haber por contenedor y cuántos Solución contenedores se necesitan para cada especie? Para saber el número máximo de botellas de leche que debe llevar cada camioneta. debemos calcular el M. se calcula multiplicando los factores «comunes al Luego cada camioneta debe transportar 60 botellas de leche. Solución Solución Problema 11 Problema 12 Un acuario pequeño se quedó en bancarrota. Por tanto.D. de las cantidades de peces. el número de peces que hay en cada contenedor debe dividir al número total de peces de cada especie. debemos calcular el M. venderán 48 peces payaso.C. Sabemos que la sucursal del norte produce 300 botellas de leche diarios. Se quieren transportar estas botellas de leche en camionetas Para la venta. en cada contenedor sólo puede haber peces de una transportar cada camioneta? única especie. pero que sea el mayor tamaño y que alberguen la mayor cantidad de animales posible. por lo que otros Una empresa pequeña que vende leche cuenta con tres acuarios van a comprar los peces que tienen. se calcula multiplicando los factores «comunes al menor exponente»: El M. Además. 60 peces globo. dividimos la cantidad de animales de cada especie Escribimos los segundos en minutos: entre la capacidad de los contenedores: Es probable que dejen de correr antes de que lleguen a encontrarse en la meta porque difícilmente estarán 910 minutos seguidos corriendo. Para saber cuántos contenedores para cada especie se necesitan. número de botellas posible. 36 tiburones bebés. Descomponemos los números: El M. la del sur produce 240 y la del este produce 360.C. Solución Descomponemos los números: Como en cada contenedor sólo puede haber una especie. una en el sur y una en el este.D. 24 pulpos y 72 peces león. se desea que los contenedores sean del mismo que lleven el mismo número de botellas.D.C. En total. debe ser máximo. 240 bajos para la tienda B. Si sabe que la última vez cada tienda: que Venus. 400 saxofones para la tienda C y 160 teclados para la tienda D. Si Jaime decide utilizar camiones cargados con la misma cantidad de instrumentos. de 84. exigió que le enviaran las memorias en cajas iguales.m. el número de unidades por caja debe dividir a las cantidades totales de memorias de cada color.C. para saber cada cuánto tiempo los planetas se encuentran en dicho punto: . Solución Problema 15 Para saber cuántas cajas hay de cada color.D. ¿cuántas memorias habrá en cada caja y cuántas cajas de cada color habrá? Solución Como las cajas contienen memorias del mismo color. 196 y 252: la próxima vez será dentro de Para saber los años.Una tienda compra memorias USB de diferentes colores al por mayor.D. del número de instrumentos que requiere Sol en 225 días y Marte en 687 días. Si se cumplen las exigencias de la tienda. Para guardar la mercancía de forma organizada.: Jaime tiene una compañía que fabrica instrumentos musicales y tiene que suplir un pedido de 320 guitarras para la tienda A.c.D. dentro de más de cinco mil años. ¿cuántos camiones debe enviar a cada tienda? Solución Problema 14 Solución Un estudiante de Astronomía sabe que Venus le da la vuelta al Calculamos el M.C. Calculamos el M. Como la última vez que se alinearon fue hace 1 805 645 días. dividimos entre 365: Es decir. ¿en cuánto tiempo se volverán a alinear los 3 planetas en el mismo punto? Solución Primero calculamos el m.C. sin mezclar los colores y conteniendo el mayor número posible de memorias. dividimos el número de memorias de cada color entre el M. pero que sea la máxima posible para optimizar el tiempo. Para Navidad hizo un pedido extraordinario de 84 memorias rojas. Tierra y Marte se alinearon fue hace 1805645 días. 196 azules y 252 verdes. cada camión debe transportar 80 instrumentos.D. Esta empresa cuenta con cinco modelos de celulares: A1. el M. es Por tanto. esta situación ocurre 720/168 ≈4 veces al mes. cada 168 horas todas las tomas se inician simultáneamente. cada 14 1000. debemos multiplicarlas por horas. ¿cuántos lotes de cada modelo debe haber? Solución Solución Problema 16 Debemos calcular el M. 30·24 = 720 horas y.D.C. ¿cuántas veces al mes empezarán todas las tomas a regar al mismo tiempo? Al descomponer las cantidades. por tanto. la segunda lo hará cada 8 horas y la tercera. Como un mes tiene 30 días. dividimos el número de instrumentos entre 80: El pedido se realiza en lotes con la misma cantidad de celulares y separados por modelo. A3. debemos tener en cuenta las potencias anteriores (sumar 3 al exponente de 2 y sumar 3 al de 5). La primera toma se abrirá cada 6 Como las cantidades son millares. Solución Descomponemos los números: Debemos calcular el mínimo común múltiplo: Luego el M. Si se desea que la cantidad de lotes sea la mínima posible. tiene un total de . Es decir. A4 y A5. El pedido se especifica en la siguiente tabla: Por tanto. Marcos quiere instalar en su jardín tres diferentes tomas de agua automáticas para regar.D.C. Para saber cuántos camiones requiere cada tienda. Si la primera vez que inicia el contador es al mediodía. es Por tanto. A2.C. por horas. Nota: el dato de que el contador se inicia a mediodía no es significante. Solución Problema 17 Una empresa mexicana que fabrica celulares debe enviar un pedido de un millón de celulares a Europa. en este período el reinicio sólo coincide 1 vez. Para calcular los lotes totales de cada modelo dividimos los millares entre 5: Treinta años son 365·30 = 10 950 días. Una empresa internacional de dispositivos tecnológicos posee Solución sucursales en España. Una aerolínea que parte de Alemania lleva pasajeros a todo el mundo. Cuántos aviones volarán en total. Cuántos pasajeros habrá por avión. Cuántos aviones volarán a cada país.Cada lote constará de 5 mil celulares.D. los ingenieros consiguen que durante 30 años sólo haya un Problema 18 día en el que la empresa no disponga de computadoras y se colapse. Cuando el sistema operativo de una de las sucursales se reinicia. los ingenieros de la empresa siguientes resultados: establecen que los sistemas deben reiniciarse cada cierto tiempo según indica la siguiente tabla: Calcular cuántas veces los tres sistemas se reinician en el mismo día durante un período de 30 años. Argentina y México.m de los tiempos: c. todas sus Problema 19 computadoras dejan de funcionar durante un tiempo y sus tareas deben llevarse a cabo por las otras dos sucursales. Por tanto.C. Se desea el mayor número de personas por avión y que todos los aviones tengan la misma capacidad. para saber cuántas personas habrá por avión: Descomponemos los números: . Solución Así. b. Su sistema de compra de boletos proporcionó los Para evitar males mayores.c. Calcular: Solución a. Calculamos el m. Solución Debemos obtener el M. Solución En total. los cuadrados deben ser de 8cm de lado. es Por tanto. es decir. Necesita dibujar una cuadrícula de modo que: a. la Para saber los aviones destinados a cada país. Luego la cuadrícula debe estar formada por un total de 7·13 = 91 cuadrados. tenemos que calcular el M.Luego el M. volarán 51 aviones.C. Calcular el número total de cuadrados que debe tener la cuadrícula. Si 56cm es la altura de la hoja y 104cm es el ancho. La cuadrícula está formada por cuadrados iguales (todos los lados iguales). En cada avión deben viajar 150 pasajeros. c. b.C. El tamaño de los cuadrados debe ser máximo. Solución Problema 20 Pablo está trazando los planos de un proyecto de mecánica sobre una hoja de dimensiones 56cm x 104cm.D. de 56 y 104: . debe ser un número divisor de 56 y 104. La longitud en centímetros de los lados del cuadrado debe ser un número natural. Solución Para que la longitud de los lados de los cuadrados sea exacta (sin decimales). sin decimales.D. dividimos el cuadrícula debe tener 56/8 = 7 cuadrados de altura y 104/8 = 13 número de pasajeros entre 150: cuadrados de ancho. Como además los cuadrados deben ser lo más grandes posible.