UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJOFACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL CURSO : Investigación de Operaciones CICLO: 2016-II PROFESOR: Ing. Omar Castillo Paredes EL PROBLEMA DE TRANSPORTE En este capítulo se presentan el modelo de transporte y sus variantes. En el sentido obvio, el modelo tiene que ver con la determinación de un plan de costo mínimo para transportar una mercancía desde varias fuentes (por ejemplo, fábricas) a varios destinos (por ejemplo, almacenes o bodegas). El modelo se puede extender de manera directa para abarcar situaciones prácticas de las áreas de control del inventario, programación del empleo, asignación de personal, flujo de efectivo, programación de niveles de reserva en presas y muchos otros. El modelo se puede modificar también para dar cabida a múltiples artículos. El modelo de transporte es básicamente un programa lineal que se puede resolver a través del método simplex regular. Sin embargo, su estructura especial hace posible el desarrollo de un procedimiento de solución, conocido como técnica de transporte, que es más eficiente en términos de cálculo. La técnica de transporte puede presentarse, y a menudo se hace, en forma elemental que parezca completamente separada del método simplex. No obstante, debemos destacar que la “nueva” técnica sigue esencialmente los pasos del Método Simplex. El modelo de transporte se puede extender para cubrir varias de las aplicaciones importantes, entre ellas el modelo de asignación y el modelo de transbordo. Pese a ello, el problema de transporte y sus extensiones son asimismo casos especiales de modelos de redes. Definición y Aplicación del Modelo de Transporte En esta sección presentamos la definición estándar del modelo de transporte. Después describiremos variantes del modelo que extienden su campo de aplicación a una clase más vasta de problemas reales. En sentido estricto, el modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Entre los datos del modelo se cuentan: 1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de la demanda en cada destino. 2. El costo de transporte unitario de la mercancía de cada fuente a cada destino. Como sólo hay una mercancía, un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino tal que se minimice el costo de transporte total. La suposición básica del modelo es que el costo de transporte en una ruta es directamente proporcional al número de unidades transportadas. La definición de “unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte. Por ejemplo, podemos hablar de una unidad de transporte como cada una de las vigas de acero que se necesitan para construir un puente. O bien podemos utilizar el equivalente a la carga de un camión de la mercancía como unidad de transporte. En cualquier caso, las unidades de oferta y demanda deben ser consistentes con nuestra definición de “unidad de transporte”. UCV-Ingeniería Industrial INVESTIGACION DE OPERACIONES La siguiente figura representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y n destinos. Una fuente o destino está representada por un nodo. El arco que une una fuente y un destino representa la ruta por la cual se transporta la mercancía. Fuentes Destinos c11 : x11 a1 1 1 b1 Unidades 2 2 Unidades de de Oferta a2 b2 Demanda am m n bn cmn : xmn La cantidad de la oferta en la fuente i es ai, y la demanda en el destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es cij. Si xij representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j, entonces, el modelo general de PL que representa el modelo de transporte es: m n Minimizar Z cij xij i 1 j 1 Sujeto a: n xij ai , i 1 , 2 , ... , m j 1 m xij b j , j 1 , 2 , ... , n i 1 xij 0 , i , j El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envíos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma análoga, el segundo conjunto requiere que la suma de los envíos a un destino satisfaga su demanda. m El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total ai debe ser cuando i 1 n menos igual a la demanda total bj . Cuando la oferta total es igual a la demanda total, j 1 la formulación resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado. Este difiere del modelo sólo en el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir: n xij ai , i 1 , 2 , ... , m j 1 m xij b j , j 1 , 2 , ... , n i 1 ING. OMAR CASTILLO PAREDES 2016-II UCV-Ingeniería Industrial INVESTIGACION DE OPERACIONES En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o mayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte siempre puede equilibrarse. El equilibrio, además de su utilidad en la representación a través de modelos de ciertas situaciones prácticas, es importante para el desarrollo del método de solución que explote completamente la estructura especial del modelo de transporte. Los dos ejemplos que siguen presentan la idea del equilibrio y también sus implicaciones prácticas. Modelo de Asignación Considere la situación de asignar m trabajos (o trabajadores) a n máquinas. Un trabajo i (=1, 2,…, m) cuando se asigna a la máquina j (=1, 2,…, n) incurre en un costo c ij. El objetivo es el de asignar los trabajos a las máquinas (un trabajo por máquina) al menor costo total. La situación se conoce como problema de asignación. La formulación de este problema puede considerarse como un caso especial del modelo de transporte. Aquí los trabajos representan “fuentes” y las máquinas representan “destinos”. La oferta disponible en cada fuente es 1; es decir, a i=1 para toda i. De manera análoga, la demanda requerida en cada destino es 1; esto es, b j=1 para toda j. El costo de “transportar” (asignar) el trabajo i a la máquina j es cij. Si un trabajo no puede asignarse a cierta máquina, el elemento cij correspondiente se toma igual a M, que es un costo muy elevado. La siguiente tabla representa en forma general el modelo de asignación: Máquina 1 2 … n 1 c11 c12 … c1n 1 2 c21 c22 … c2n 1 Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . m cm1 cm2 … cmn 1 1 1 … 1 Antes de que el modelo se pueda resolver a través de la técnica de transporte, es necesario balancear el problema sumando trabajos o máquinas ficticios, dependiendo de si m<n ó m>n. por lo tanto, se supondrá que m=n sin que se pierda la generalidad. El modelo de asignación se puede expresar matemáticamente de la manera siguiente: 0 , si el i ésimo trabajo no se asigna a la j ésima máquina xij 1 , si el i ésimo trabajo se asigna a la j ésima máquina Por lo tanto, el modelo está dado por: n n Minimizar Z cij xij i 1 j 1 Sujeto a: ING. OMAR CASTILLO PAREDES 2016-II UCV-Ingeniería Industrial INVESTIGACION DE OPERACIONES n xij 1 , i 1 , 2 , ... , n j 1 m xij 1 , j 1 , 2 , ... , n i 1 xij 0 ó bien 1 Ejemplo 1: La gerencia de Enigma S.A. quiere asignar a tres ejecutivos para que visiten e inspeccionen las tres plantas con que cuenta la empresa en provincias. Los costos de asignación (en soles) de cada ejecutivo a cada planta son mostrados en el siguiente cuadro: Planta Ejecutivo Tacna Huánuco Cusco Finanzas 24 10 21 Mercadeo 14 22 10 Operaciones 15 17 20 Encontrar la solución óptima de asignación de los ejecutivos a cada planta de Enigma S.A. de tal manera que se minimice el costo. Diagrama de Red: Al lado de cada círculo se indica 1 que es la única asignación del modelo y sobre las líneas se indican los respectivos costos de la asignación. Ejecutivos Clientes (nodos de origen) (nodos de destino) Costo de asignación 1 24 Tacna 1 1 Finanzas 1 10 21 14 2 22 Huánuco 1 1 Mercadeo 2 10 15 17 3 20 Cusco 1 1 Operaciones 3 Ofertas Asignaciones posibles Demandas (arcos) 1 si el ejecutivo i se asigna al cliente j Variables: X ij donde: i=1, 2, 3 y j=1, 2, 3 0 de no ser ese el caso Modelo: Min Z=24X11+10X12+21X13+14X21+22X22+10X23+15X31+17X32+20X33 Sujeto a: X11 + X12 + X13 = 1 (Asignación de ejecutivo de Finanzas) X21 + X22 + X23 = 1 (Asignación de ejecutivo de Mercadeo) X31 + X32 + X33 = 1 (Asignación de ejecutivo de Operaciones) ING. OMAR CASTILLO PAREDES 2016-II UCV-Ingeniería Industrial INVESTIGACION DE OPERACIONES X11 + X21 + X31 = 1 (Cliente 1) X12 + X22 + X32 = 1 (Cliente 2) X13 + X23 + X33 = 1 (Cliente 3) Xij =0,1 para i = 1, 2, 3 ; j = 1, 2, 3 Resolviendo el problema usando el programa LINDO tenemos: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 35.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.00 9.00 X12 1.00 0.00 X13 0.00 10.00 X21 0.00 0.00 X22 0.00 13.00 X23 1.00 0.00 X31 1.00 0.00 X32 0.00 7.00 X33 0.00 9.00 Los resultados se interpretan de la siguiente manera: Ejecutivo de Finanzas asignado a Huánuco (X12=1) Ejecutivo de Mercadeo asignado a Cusco (X23=1) Ejecutivo de Operaciones asignado a Tacna (X31=1) El costo total de asignar los ejecutivos a las diferentes plantas es de S/. 35. Diagrama de Red con la solución: 1 Tacna 1 1 Finanzas 1 1 2 Huánuco 1 1 Mercadeo 2 1 1 3 Cusco 1 1 Operaciones 3 Variantes del Modelo: Número de elementos que se van a asignar es mayor al número de destinos. Número de elementos que se van a asignar es menor al número de destinos. Hay un problema de maximización. ING. OMAR CASTILLO PAREDES 2016-II UCV-Ingeniería Industrial INVESTIGACION DE OPERACIONES Se dan asignaciones inaceptables. Un elemento puede ser asignado a más de un destino. Modelo de Trasbordo El problema de trasbordo es una extensión del modelo de transporte, al cual se agregan nodos intermedios denominados nodos de trasbordo. Características del Modelo: La oferta disponible es limitada. En cada destino, la demanda está especificada. El objetivo generalmente es minimizar costos de traslado de los bienes desde los orígenes hasta los destinos. Para mostrar el problema de trasbordo, desarrollemos el siguiente ejemplo: Enigma S.A. tiene plantas de producción en Lima y Tacna. Los productos fabricados en cualquiera de estas instalaciones pueden ser enviados a cualquiera de sus almacenes regionales en Ica y Arequipa. De los almacenes regionales, la empresa distribuye a detallistas al menudeo en Ayacucho, Huancayo, Cusco y Huánuco. En las siguientes tablas aparece el costo unitario de transporte de cada ruta de distribución. Almacén Cantidad Planta Ica Arequipa Ofrecida Lima 2 3 600 Tacna 3 1 400 Distribuidor al Detalle Almacén Ayacucho Huancayo Cusco Huánuco Ica 2 6 3 6 Arequipa 4 4 6 5 Cantidad 200 150 350 300 Demandada Se debe determinar cuántos productos deben ser trasladados por cada ruta propuesta de tal manera que se cumpla con la cantidad demandada por cada distribuidor al menor costo posible. Diagrama de Red: Como es un caso de transporte, el diagrama de red en el problema de trasbordo muestra las unidades a transportar. Los lugares de origen trasbordo y los de destinos están representados por círculos conectados con una línea que indica la ruta. Al lado de cada círculo de origen y destino se indica la cantidad de unidades ofrecidas y demandadas sobre las líneas se indican los respectivos costos de la transporte. La numeración de los nodos se hace de manera consecutiva dado que los nodos de trasbordo son tanto origen como destino de rutas. ING. OMAR CASTILLO PAREDES 2016-II UCV-Ingeniería Industrial INVESTIGACION DE OPERACIONES Plantas Almacenes Distribuidores al menudeo (nodos origen) (nodos tranbordo) (nodos destino) Costo unitario de transporte 5 200 Ayacucho 2 1 2 3 600 6 Lima Ica 3 3 6 6 150 Huancayo 3 7 4 350 Cusco 4 2 1 4 6 400 Tacna Arequipa 5 8 300 Huánuco Suministros Rutas de distribución Demanda (arcos) Variables: Xij: Número de unidades transportadas del suministro i al destino j Modelo: Min Z= 2X13+3X14+3X23+1X24+2X35+6X36+3X37+6X38+4X45+4X46 +6X47+5X48 Sujeto a: X13 + X14 = 600 (suministro de Lima) X23 + X24 = 400 (suministro de Tacna) - X13 - X23 + X35 + X36 + X37 + X38 = 0 (trasbordo en Ica) - X14 - X24 + X45 + X46 + X47 + X48 = 0 (trasbordo en Arequipa) X35 + X45 = 200 (demanda de Ayacucho) X36 + X46 = 150 (demanda de Huancayo) X37 + X47 = 350 (demanda de Cusco) X38 + X48 = 300 (demanda de Huánuco) Xij 0 para todos los i, j Resolviendo el problema usando el programa LINDO tenemos: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 5200.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X13 550.00 0.00 X14 50.00 0.00 X23 0.00 3.00 X24 400.00 0.00 X35 200.00 0.00 X36 0.00 1.00 ING. OMAR CASTILLO PAREDES 2016-II UCV-Ingeniería Industrial INVESTIGACION DE OPERACIONES X37 350.00 0.00 X38 0.00 0.00 X45 0.00 3.00 X46 150.00 0.00 X47 0.00 4.00 X48 300.00 0.00 Los valores de las variables representan la cantidad de productos que serán transportados siguiendo la respectiva ruta. X13: 550 unidades transportadas de Lima a Ica X14: 50 unidades transportadas de Lima a Arequipa X24: 400 unidades transportadas de Tacna a Arequipa X35: 200 unidades transportadas de Ica a Ayacucho X37: 350 unidades transportadas de Ica a Cusco X46: 150 unidades transportadas de Arequipa a Huancayo X48: 300 unidades transportadas de Arequipa a Huánuco El costo total de la operación es de S/. 5200 Diagrama de Red con la solución: 5 200 200 Ayacucho 1 550 3 600 Lima Ica 350 50 6 150 Huancayo 7 350 150 Cusco 2 400 4 400 Tacna Arequipa 300 8 300 Huánuco Variantes del Modelo: Oferta o suministro total es mayor a la demanda total. Oferta o suministro total es menor a la demanda total. Maximización de la función objetivo. Rutas directas a destinos finales. Rutas entre destinos finales. Rutas entre puntos de trasbordo. Rutas con capacidad limitada. Rutas no aceptables. OCP. SJL, Septiembre del 2016 ING. OMAR CASTILLO PAREDES 2016-II