2-RM 4to (1 raz matematico- 16)

CORPORACIÓN EDUCATIVAFormando líderes, con una auténtica educación integral School´s Primero Cuarto de Secundaria Razonamiento Matemático Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de Presentación Didáctico uno de los mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad. En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas: desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc. Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de uno de los Nuestra Institución School’s propone una perspectiva integral mayores problemas de nuestro país, laMentor educación, brindando una enseñanza de alta calidad. y moderna, ofreciendo una formación personalizada basada en principios Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo estudiantes, una formación y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros impulsando susprincipios capacidades parabuscando el éxito el endesarrollo la vida profesional. personalizada basada en y valores; integral de nuestros estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional. Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2014 se da Estambién por esta razón que nuestro trabajo para este año 2013 sede da Guías tambienDidácticas con el trabajo de con el esfuerzo de los docentes a través que los docentes a través de que permitirán un mejor nivel académico y lograr permitirán unGuías mejorDidácticas nivel académico y lograr alcanzar la práctica que lo que que el alumno(a) requiere, requiere, porque nuestra metameta es: que es: alcanzar es la práctica es lo que el alumno(a) porque nuestra “Formar líderes con una auténtica “Formar líderesintegral” con una auténtica educación educación integral” . ...................................... Análisis Combinatorio II ............................................................................ 54 Capítulo 8....................................................................... 117 Capítulo 16........................................................................................................................................... 109 Capítulo 15..... Conteo de Figuras ............ 9 Capítulo 2....................................... ... Relojes ............. Series Numéricas ........ 47 Capítulo 7........ Edades ............... Planteo de Ecuaciones .........................Capítulo 1...... 79 Capítulo 11.. Criptoaritmetica .. 101 Capítulo 14.... 86 Capítulo 12................ 62 Capítulo 9............................. 126 ............. Análisis Combinatorio I .......... 18 Capítulo 3...... Distribuciones y Analogías .............................. 39 Capítulo 6. ........................................................................................................................... ... Reducción a la Unidad ...... 25 Capítulo 4............. 71 Capítulo 10.......... .................. Fracciones ........... .................... Operaciones Matemáticas ....................... Métodos Operativos .. 32 Capítulo 5........ 93 Capítulo 13...... Probabilidades ........................ Situaciones Lógicas y Recreativas ......................................................... Tanto por Ciento ........................................................................................................... . problemas sobre relación de tiempos Ejemplo 1: Para resolver estos tipos de problemas se deben sacar conclusiones con solamente un criterio lógico. * Descubrir lo ameno que es jugar con las matemáticas. Matemático . I. ejercicios con cerillos. Hipatía Siendo el mañana de pasado mañana martes. problemas sobre calendarios. Se verán problemas sobre relación de tiempos. Siendo jueves el mañana de hoy. problemas sobre traslados. amigo lector. y a medida que los vayas resolviendo. mejorará notoriamente tu capacidad de razonamiento. el alumno estará en la capacidad de: * Utilizar sus habilidades creativas con sentido lógico al afrontar la resolución de nuevas situaciones problemáticas.4to Sec. ¿qué día será el anteayer del ayer de mañana? a) sábado b) lunes d) miércoles c) domingo e) jueves Resolución: ♦ Dato : +1 + 2 = +3 < > martes Piden : -2 -1 + 1 = -2 J V -2 -1 (Piden) S D L M 0 +1 +2 +3 (Dato) ∴ Rpta. pero relacionados con el pensamiento creativo.: e Formando líderes con una auténtica educación integral 9 . porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar”. Nociones Previas Los ejercicios tratados en este capítulo muestran situaciones. a veces familiares. sin hacer uso de conocimentos profundos de la matemática y la lógica.: d Ejemplo 2: “Defiende tu derecho a pensar. problemas sobre parentescos.Raz. Capítulo 1 Situaciones Lógicas y Recreativas OBJETIVOS: Al finalizar el presente capítulo. ¿qué día será el anteayer del mañana de pasado mañana? a) miércoles b) martes d) jueves c) sábado e) lunes Resolución: ♦ Jueves < > + 1 + 0 Jueves < > + 1 (Dato) ♦ Piden: -2 +1 + 2 = +1 < > jueves ∴ Rpta. problemas sobre certezas y problemas sobre orden de información. .1 . ¿Qué parentesco tiene el hermano de ese hombre con Camila? Piden: +2 . PROBLEMAS SOBRE PARENTESCO Resolución: Ejemplo 1: Dato: -2 + 5 <> domingo +3 <> domingo . (I) Camila ve en la vereda a un hombre y dice: “El único hermano de ese hombre es el padre de la suegra de mi esposo”.4to Sec. ¿qué puerta diría tu compañero que debo abrir para salir? +1 -2 pasado mañana <> martes +2 ⇒ -2 + 1 + 2 <> martes +1 <> martes Piden: Ayer del ayer de anteayer -1 -1 -2 = -1 .: c Ii. ∴ Rpta. Puede hacer una sola pregunta a uno de los guardias de las puertas. ¿Qué debe preguntar para salvarse?.3 + 2 + 1 = 1 ..2 = .: d Formando líderes con una auténtica educación integral . ¿qué día fue el ayer del ayer de anteayer? a) lunes b) martes c) jueves Resolución: 10 d) sábado e) viernes abuelo deduce que el hermano de ese hombre es el abuelo de Camila.: e ∴ Del gráfico se Ejemplo 4: Si el anteayer del mañana de pasado mañana es martes. ¿qué día será el pasado mañana de ayer de hace 3 días del pasado mañana de mañana? a) lunes b) martes c) jueves retroceder -4 -3 -2 -4 0 Dato +1 jueves viernes sábado domingo lunes martes d) sábado e) viernes Incógnita ∴ Rpta..Raz. Uno de ellos siempre miente y el otro dice la verdad.(II) ahora de (I) y (II): a) padre b) tío d) abuelo Dato +1 viernes +2 +3 sábado domingo c) tío abuelo e) suegro Resolución: Hagamos un gráfico: Incógnita ∴ Rpta. Dato: Reto Anteayer del mañana de Un reo tiene ante sí dos puertas: una lo conduce a la libertad y la otra a la silla eléctrica. Matemático ..1 .4 Ejemplo 3: Si el anteayer de dentro de 5 días es domingo. de tal manera que la suma de los lados sea 13. H (Horario) C (Horario) Ejemplo 4: Dado el siguiente arreglo de palitos de fósforo. se cambió de lugar una cifra y se obtuvo lo siguiente: 82 + 36 = 100. Resolución: ¿Cuántos debo sacar para que queden dos palitos? Resolución: 4 8 7 3 6 1 2 5 Ejemplo 5: Ejemplo 3: Dado el siguiente conjunto de poleas. uno en cada círculo. «B» y «C» ¿en qué sentido giran? B C ¿Cuántos palitos como mínimo debo mover para que el perrito vea a la derecha y continúe feliz? Resolución: A Resolución: a) Giros contrarios Formando líderes con una auténtica educación integral 11 .: a C H A H A A B A (Antihorario) B (Antihorario) Ejemplo 2: Ubica los números del 1 al 8. Matemático . ¿Cuál debió ser la expresión correcta? a) 100 Giros contrarios b) 120 c) 150 Giros iguales d) Giros iguales d) 170 e) 190 Entonces: H A H Resolución: 82 + 36 = 100 ∴ Rpta.Raz.4to Sec. si «A» gira en el sentido horario. b) c) Ejemplo 1: Debido a un error al escribirse una expresión. 4 23 + 2 = 10 4) Coloca los números del 1 al 6 (sin repetir) en los círculos correspondientes. mueve una cifra para que se verifique la igualdad: 1) Utilizando cuatro veces el número "4" forma todos los números del 0 al 10. para que la suma de los lados sea 10. Matemático . .Raz. ¿Cuántos trasvases como mínimo se debe hacer? Formando líderes con una auténtica educación integral . teniendo en cuenta que la suma de dos números consecutivos de cualquier fila debe dar el número superior. ÷) 0: 44 . x .4to Sec.44 1: 2: 4 + 4 4 4 3: 4+4+4 4 4: 5: 6: 7: 8: 4 + 4 + 4 .. Resolviendo en clase 3) En la siguiente expresión. 5) Completa los números que faltan en los casilleros. Usa (+ . 12 4 6) Se quiere medir exactamente 7 litros de kerosene pero solo se dispone de medidas de 3 y 5 litros. 20 12 3 9: 7 2 10: 2) Divide la siguiente figura en seis partes con sólo dos líneas rectas. sin repetirse. inclusive. 27 = 360 Formando líderes con una auténtica educación integral 13 . Matemático . 6. -. a) 101 . 6) Se tiene dos baldes de 7 y 4 litros de capacidad. 5. 4. sin repetirse.Raz. mueve una cifra para que se verifique la igualdad.102 = 1 b) 432 . a) 9 = 9 b) 11 = 5 3 c) 12 = 2) Divide la figura en cuatro partes exactamente iguales en forma y tamaño.4to Sec. = 18 = 18 =1 8 3) En cada caso. x. de tal manera que la suma de cada lado sea 18. 7 y 8 (sin repetir). 5) Coloca los números 3. teniendo en cuenta que la suma de dos números consecutivos de cualquier fila debe dar el número superior. Explica cómo se debe hacer para medir 1 litro de agua exactamente. respectivamente. ÷) obtén los números: 4) Completa los números que faltan en los casilleros. Para Reforzar 1) Con tres cifras "3" y utilizando las operaciones fundamentales (+. Obs.Raz. cambia de posición dos palitos. Matemático . para obtener cinco cuadrados iguales. Resolución: Resolución: Clave: 14 Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral . 2 Retira diez palitos.: No vale dejar cabos sueltos. B y C) y vayan al baño respectivo sin cruzarse con los otros dos caminos y sin salir de la vecindad.4to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 1 Para el profesor: 1 Para el alumno: En una vecindad las casas son demasiado pequeñas y por esa razón los baños están al frente. Dibuja tres caminos que partan de cada una de las casas (A. 1 Escribe la palabra "DOSIS" en los tres casilleros mostrados (un caracter por casilla). para obtener cinco cuadrados iguales. Casa B Casa A Baño C Resolución: Casa C Baño B Baño A Resolución: Clave: 2 Clave: En la siguiente figura. El pequeño Juanito da vueltas alrededor de la mesa y debe averiguar. Podría decir Ud. cuántos puntos en total han quedado ocultos. 3 Une los puntos con cuatro líneas rectas trazadas sin levantar el lápiz del papel ni pasar dos veces por una misma línea. 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 + El problema consiste en tachar nueve cifras. Clave: 4 Sobre una mesa hay 8 dados.Raz.4to Sec. corta el siguiente cuadro en siete partes. Matemático . uno encima del otro (ver figura). sin tocar los dados. eligiéndolas de manera que al sumar las columnas de las seis restantes se obtenga el número 1111.. de tal manera que en cada parte haya una flor. 3 Mediante tres líneas rectas. ¿cuál fue el valor hallado por Juanito? a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56 Resolución: Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 15 . Resolución: Resolución: Clave: 4 La siguiente columna de cinco filas contiene 15 cifras impares. I E II III F A B C D IV G H Resolución: Resolución: Clave: 16 Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral .Raz. Matemático . III y IV sea la misma. II. los números del 1 al 13.4to Sec. de tal manera que la suma de las filas I. ¿Cuál es el menor valor de «B + C»? a) 7 b) 9 c) 10 d) 11 e) 8 Clave: 6 Distribuye en las casillas del tridente. 5 Si tengo cinco trozos de cadenas conformados por tres eslabones cada uno. reemplaza las letras por números del 1 al 8 (sin repetir). ¿cuántos eslabones debo abrir y cerrar como mínimo para formar una sola cadena? 5 ¿Cuántas monedas como mínimo se debe mover para pasar de la posición I a la posición II? II I a) 1 b) 2 d) 4 a) 3 b) 4 d) 2 c) 3 e) 5 c) 5 e) 1 Resolución: Resolución: Clave: 6 En la figura. de tal forma que en níngún caso un número cualquiera sea vecino con su consecutivo. Matemático . ¿Cómo se debe realizar dicho corte? Resolución: Clave: Clave: NOTA Sello y Firma del Profesor Formando líderes con una auténtica educación integral 17 . 7 Ubica los números: 2. 7.4to Sec. 7 En los vértices del cubo adjunto. Halla el máximo valor que toma cada aspa. Clave: 8 Resolución: Se tiene una tabla de seis metros de largo por tres metros de ancho y se desea (dándole un sólo corte a dicha tabla luego uniendo las dos partes) obtener otra tabla que tenga 9m de largo por 2 m de ancho. a) 15 b) 17 c) 18 d) 14 e) 16 Resolución: Resolución: Clave: 8 Divide la figura en cuatro partes exactamente iguales en forma y tamaño. coloca los números del 0 al 7 (sin repetir) para que la suma de dos números de cada arista sea un número primo. 6. 5. de manera que en cada aspa del molino la suma sea la misma. 4. 8 y 9 en las casillas de la figura. sin repetir. 3.Raz. 2 Máximo entero Límite Lim Integral ∫ Derivada dy dx halla 3 * 54. Resolución: a * 2b3 = 3 * 54 Las reglas de operación se basan en las operaciones básicas ya conocidas. Matemático . Si a b = OPERADOR MATEMÁTICO Es un símbolo que representa a una operación matemática. Resolución: 3 2 = 33 + 2(2)2 8(2) + 3 = 35 19 .Raz.2ab + 5b Regla o ley de formación Operación Matemática 18 a = 3 ⇒ a = 9 2b3 = 54 b3 = 27 ⇒ b = 3 3 * 54 = 9+3 =6 2 Formando líderes con una auténtica educación integral . OPERACIÓN MATEMÁTICA OPERADOR MATEMÁTICO Adición + Sustracción - Multiplicación × División ÷ Valor Absoluto | | Sumatoria ∑ halla 3 a3 + 2b2 . Radicación Ejemplo 1: Ejemplo 2: Si a * 2b3 = a+b . mediante una serie de operaciones basadas en las operaciones básicas matemáticas. 8b+a 2. Ejemplo: Operador a * b = 2a2 .4to Sec. Nos da la identificación de una regla o definición. Capítulo 2 Operaciones Matemáticas Operación Matemática Es el proceso de transformación de una o más cantidades en otras nuevas. .Raz. 2 Si a * b = Si m ∆ n = m (n ∆ m)2. reemplazo 2 en 1 : m ∆ n = m [n(m ∆ n)2]2 x m ∆ n = mn2 (m ∆ n)4 Resolución: En x = 2x + 5 Despejando: m ∆ n = hacemos x = x 1 3 mn2 entonces : x = 2 x + 5 por otro lado: x = 8x + 7 Luego 16 ∆ 2 = 3 = 1 16 x 2 2 1 4 igualando: 2 x + 5 = 8x + 7 x = 4x + 1 Formando líderes con una auténtica educación integral 19 . x = 8x + 7. 2 Ejemplo 4: Si x = 2x + 5 y halla Debemos hallar la definición de "∆". calcula 16 ∆ 2. Ejemplo 3: Ejemplo 5: 2a + b .4to Sec.... halla (4 * 2) * (3 * 4) Resolución: (4 * 2) * (3 * 4) Resolución: (2(4)2+ 2) * (2(3)2+ 4) 5 * 5 En : m ∆ n = m (n ∆ m)2 .5 2 hacemos m = n y n = m obtenemos: n ∆ m = n (m ∆ n)2. Matemático . 1 2(5) + 5 = 7. .(a . halla (5 * 1) ∆ (2 * 1) 20 halla 6) Si 3 4 1/36 Rpta: _______ a * b = 2a + b.b)2.. "xy" sumandos Rpta: _______ 3) Se sabe que: a * b = 2a .b y m ∆ n = (m + 1) (n .. Rpta: _______ halla b = a+b a . halla x en: (x * 3) * (1 * 2) = 14 Rpta: _______ Rpta: _______ Formando líderes con una auténtica educación integral . 4) Si a b = ax + 3b 3 2 = 21.b – .4to Sec. 2n factores Rpta: _______ halla 5 + 6 Rpta: _______ 3) Si a # b = (a + b)2 . Resolviendo en clase 1) Si: a * b = 4a + 5b.1). 4) Si calcula 1 # 5. 3 5 halla x en: x 4 = 2 3 Rpta: _______ 5) Sabiendo que: 2) Sabiendo que m = 2m + 3. halla "x" en: 5 * x = x * ( 3 * 1) Rpta: _______ Rpta: _______ Para Reforzar 1) Si m # n = m2 + n2. calcula 2 * 3.Raz. a 5 x y = xy + xy + xy + .3b. halla (2 # 1) # 3 6) Sabiendo que: a * (b + 1) = 2a . calcula 2 n = (n)(n+1)(n)(n+1) . Matemático .. Rpta: _______ calcula 5 4 Rpta: _______ 5) Sabiendo que: 2) Si x = 5x + 1. si b > a.1 .4to Sec. si a > b a ∆ b = b2 .a .Raz. PROBLEMAS PARA CLASE N° 2 Para el profesor: Para el alumno: 1 Si a ∆ b = a2 . calcula: 1 5 ∆ ( 4 ∆ 17 ) a) 12 b) 14 d) 16 En el conjunto de los números enteros se define la operación * del siguiente modo: * a = 2a. 2 halla "x" en: (5 3) 1 3 = 11 ( 2 2 1 1 a) b) 2 3 1 d) 4 x) Clave: 2 Si se sabe que: m a ∆ b = 3 (a + b). si a es par Entonces el valor de * (*3) + *[(*5) + 5] es: a) 24 b) 36 d) 12 c) 24 e) 20 c) 48 e) -32 Resolución: Resolución: Clave: 2 Sabiendo que: a b = ab + 1 . si a es impar * a = a. Matemático . halla "x" en: 3 4 e) 2 3 c) m n= n ∆m y (6 2) ∆ 1 = 20 ∆ x a) 27 b) 8 d) 60 c) 12 e) 4 Resolución: Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 21 . ))) 10000 operadores c) -2 e) 10 Resolución: a) 1002 b) 10002 d) 102 c) 10001 e) 11 Resolución: Clave: 22 4 100 operadores a) 1 b) 3 d) 5 Clave: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral . Matemático ..2a .Raz. Si m * n = calcula: m2 + 6 ..))}] 4 ( 1 )( b ).4to Sec. 3 3 Si: a-b .. el valor de x es: a) -1 b) -7 d) 3 Si en el conjunto de los números naturales se define el operador ∆ por: calcula: E = (3 ∆ 1) ∆ (1 ∆ 2) a) 11 b) -10 d) 9 c) -3 e) 6 c) 13 e) 8 Resolución: Resolución: Clave: 2 Si a # b = a b + 35b 4a halla: 5# [5 # {5 # (5# (.b2 a∆ b= 0 3a . si b > a para a = b en la expresión 5 ∆ x = 2 ∆ [1 ∆ (-2 ∆ 3)] donde x ≠ 5. si a > b a∆b= 3b .2b . para a ≠ b a2 ... 2 E = 4 * (5 * (6 * (. + 3 . a) 2 b) 4 d) 8 Clave: 6 Si: a * b = 2 (b * a) .1 x = x (x + 2) . calcula c) 6 e) 10 Resolución: 1 * 10.1 y 5 a =a+5.2 ) 2 a) 64 b) 18 d) 81 Si: x = x2 .b .4to Sec. 5. 5 Si: calcula: ( 3 a = a2 . calcula: ( 3 + 2 ) 2 a) 64 b) 49 d) 36 c) 36 e) 9 Resolución: Resolución: Clave: 6 Si: a calcula 3 b= c) 81 e) 25 a)2 (b 4 .Raz. Matemático . a) 3 b) 8 d) 20 c) 4 e) 23 Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 23 . calcula 7 Si: "b" factores a(a -1)(a .4to Sec.2). Clave: 8 Si: a* = a) 1 b) -1 1 d) -2 2 c) 2 e) Resolución: a+2 a-1 .6 ..Raz... calcula ((2*)∆) 95 121 a) b) 5 6 105 d) 14 81 6 121 e) 16 c) Resolución: Clave: Clave: NOTA Sello y Firma del Profesor 24 Formando líderes con una auténtica educación integral . a ( b )= b(b-1)(b-2). 10 a) 31 b) 30 d) 28 calcula 8 10 ( 3) : ( 5 ) a) 15 c) 29 e) 26 b) 81 3 d) 4 Resolución: 1 2 2 e) 9 c) Resolución: Clave: 8 Si P calcula P(n) P(2) ( mn ) = P(m) . b2 .(3)(2)(1) .1)2 .. Matemático .P(n) . 7 Si: x = 3x + 6 y x + 1 = 3x .1 b∆ = y b c = (c . 3.Raz. 2 5 8 ( 7 ) 3 (26) 1 ( ) 4 Resolución: 1. en donde la solución se obtiene en forma vertical (columna) u horizontal (fila). representados en un gráfico. veremos diferentes tipos de ordenamientos. Capítulo 3 Distribuciones y Analogías En el presente capítulo.a Fila 82 + 4 = 68 Ejemplo 2: Distribuciones Gráficas Son arreglos de números. cuyo valor central va entre paréntesis. A veces intervienen letras. La regla de formación se obtiene en base al gráfico. Matemático .a Fila (1 + 3 + 5 + 6) (4) = 60 Formando líderes con una auténtica educación integral (el valor pedido) 25 .a Fila 52 + 1 = 26 Son arreglos en filas y columnas.a Fila (2 + 1 + 3 + 1) (2) = 14 3. Analogías: Ejemplo 1: El objetivo es encontrar una ley de formación. principalmente numéricos. (el valor pedido) 10102 (12) 201031 (14) 100356 ( ) 3 2 4 Resolución: 1.4to Sec.a Fila (1 + 1 + 2) (3) = 12 2. las cuales representarán un valor numérico.a Fila 22 + 3 = 7 Distribuciones 2. Analogías Son ordenamientos en general de tres columnas. con la particularidad de que ambos carecen de marca alguna.a columna ∴x=4 43 = x × 16 CÁNTAROS Tenemos dos cántaros de barro como los mostrados en la figura. Distribuciones: 2 5 8 3 2 3 1 40 Ejemplo 3: 5 7 x 1 11 17 25 2 3 1 5 3 x 3 3 Resolución: Resolución: 1.er gráfico: (1 + 2 + 3 + 3 + 3) (5) = 60 = x 8 × 3 + x = 25 ∴ x=1 Ejemplo 4: 2 3 4 2 3 2 9 1 4 3 x 16 Resolución: (De izquierda a derecha) En la 1.a columna 23 = 4 × 2 En la 2.er gráfico: (3 + 2 + 1) (3) = 18 2 × 3 + 5 = 11 2.4to Sec.Raz. Sólo sabemos que uno tiene once litros de capacidad y el otro siete. Matemático . Usando únicamente los dos cántaros y un río caudaloso.° gráfico: (1 + 1 + 3 + 5) (4) = 40 5 × 2 + 7 = 17 3.a columna 33 = 9 × 1 En la 3. esto es. ¿como conseguir exactamente seis litros de agua? ¿Cómo lo harías? Distribuciones Gráficas: Ejemplo 5: 1 18 3 26 2 Formando líderes con una auténtica educación integral . su contenido no se puede medir. Raz. Matemático .4to Sec. Resolviendo en clase 1) Hallar el valor que falta 2 5 8 4) Hallar el valor que falta 3 ( 7 ) 4 (14) 3 ( ) 3 10 Rpta: _______ 5 4 7 14 4 8 3 6 15 Rpta: _______ 6 5) Hallar el valor que falta 3) Hallar el valor que falta 5 8 X Rpta: _______ 2 20 20 7 (26) 1 (18) 2 ( ) 3 14 5 14 2) Hallar el valor que falta 8 2 4 5 Rpta: _______ (72) 3 (1600) 5 ( ) 8 X 5 2 6) Hallar el valor que falta 9 2 2 3 Rpta: _______ 7 3 4 4 6 5 29 19 X Rpta: _______ Para Reforzar 4) Hallar el valor que falta 1) Hallar el valor que falta 8 7 9 (30) 4 (40) 6 ( ) 7 12 Rpta: _______ 4 28 5 10 9 27 7 15 8 X 5 Rpta: _______ 2) Hallar el valor que falta 6 18 13 5) Hallar el valor que falta (53) 100 (22) 24 ( ) 113 Rpta: _______ 3 5 6 ( 7 ) 2 (22) 3 ( ) 7 Rpta: _______ 3) Hallar el valor que falta 14 13 6) Hallar el valor que falta X 2 3 5 2 2 6 4 2 3 1 9 3 Rpta: _______ Formando líderes con una auténtica educación integral 5 2 X 2 4 3 25 16 27 Rpta: _______ 27 . Raz.4to Sec. Matemático . PROBLEMAS PARA CLASE N° 3 Para el profesor: 1 Para el alumno: Hallar el valor q falta 5 4 3 8 7 8 17 4 4 9 12 7 X 8 5 a) 6 b) 3 d) 5 1 c) 7 e) 4 Hallar el valor q falta 48 56 26 20 12 23 13 X 82 a) 33 b) 35 d) 36 Resolución: c) 37 e) 32 Resolución: Clave: 2 Hallar el valor q falta 25 2 3 6 15 24 5 12 ? a) 21 b) 26 d) 27 Indica el número que falta en: 20 3 3 9 21 Clave: 5 1 36 8 a) 6 b) 10 d) 12 7 c) 25 e) 24 3 4 90 5 X 5 c) 8 e) 9 Resolución: Resolución: Clave: 28 Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral . 3 Hallar el valor q falta A B 3 C D E B F F L ? C E G a) R b) P d) S Hallar el valor q falta G E D L A c) Q e) T S B C E H D ? Resolución: A a) T b) S d) V J c) U e) W Resolución: Clave: Clave: 4 Hallar el valor q falta 4 Hallar el valor q falta 2 7 5 6 5 4 (9) 5 (50) 1 ( ) 25 a) 30 b) 40 d) 50 c) 60 e) 63 Resolución: (30) 9 (26) 8 ( ) 11 a) 32 b) 30 d) 24 c) 28 e) 25 Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 29 .4to Sec.Raz. Matemático . 4to Sec. Matemático . 5 Hallar el valor que falta 1 2 4 5 ( 1 ) 1 (72) 3 ( ) 2 a) 162 b) 240 d) 64 Hallar el valor que falta 5 10 25 ( 3 ) 4 ( 5 ) 5 ( ) 2 a) 6 b) 5 d) 3 c) 128 e) 256 Resolución: c) 9 e) 4 Resolución: Clave: 6 6 Indica el número que falta en: 1 0 2 3 1 5 4 4 11 1 3 9 2 X -2 Clave: 6 5 4 Hallar el valor que falta 9 8 5 2 12 11 13 X 4 c) 6 e) -4 Resolución: a) 15 b) 18 d) 19 6 7 c) 21 e) 17 Resolución: Clave: 30 4 3 15 a) -5 b) 4 d) 5 6 Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral .Raz. Raz. Matemático - 4to Sec. 7 Hallar el valor que falta 7 Hallar el valor que falta 5 6 4 2 1 3 6 4 3 8 7 X a) 3 b) 12 d) 5 c) 7 e) 4 3 4 5 4 7 x a) 9 b) 12 d) 11 Resolución: Resolución: Clave: 8 Hallar el valor que falta 4 (18) 3 16 (16) 2 289 ( ) 5 a) 375 b) 430 d) 515 c) 8 e) 10 Clave: 8 c) 425 e) 455 Resolución: Hallar el valor que falta 2 7 5 (14) 10 (28) 14 ( ) 30 a) 40 b) 32 d) 48 c) 20 e) 35 Resolución: Clave: Clave: NOTA Sello y Firma del Profesor Formando líderes con una auténtica educación integral 31 Raz. Matemático - 4to Sec. Capítulo 4 Criptoaritmética En el presente capítulo, analizaremos situaciones donde tendremos que averiguar valores escondidos (valores numéricos), los cuales están representados en forma literal o simbólica. CRIPTOARITMÉTICA es una palabra compuesta, que proviene de "Cripto", escondido, y "aritmio", numeral. Ejemplo 1: Halla A + B + C en: ABC + B35 = C81 Sean: abc : producto de tres valores abc : numeral de tres cifras aa(2b)c: numeral de cuatro cifras (a+1)(2b)(3a): numeral de tres cifras Resolución: A B C + B 3 5 C 8 1 C + 5 = 11 C=6 (en unidades) B + 3 + 1 = 8 B = 4 (en decenas) A + B = C A=2 (en centenas) ∴ A + B + C = 12 Propiedades Ejemplo 2: 1. Si a b c + m n r Halla A + B + C en: entonces x = 1 x y z p ABC2 × 7 = 32CBA Resolución: A B C 2 × 2. Si 7 3 2 C B A a b + c d p q m n q entonces b + d = 10 2 × 7 = 14 7C + 1 = 3B 7B + 3 = 4C A=4 C=5;B=6 ∴ A + B + C = 15 32 Formando líderes con una auténtica educación integral Raz. Matemático - 4to Sec. E + E = S 1 1 2 Ejemplo 3: Halla la suma de cifras del producto: 4 * * 4 * * * * 4 0 * * * 7 0 Resolución: U + U = O (letra "O") 3 3 6 Ejemplo 5: 7 3 5 × Q + Q = 12 6 6 7 * * × 4 2 Halla el cociente. 1 4 7 0 2 9 4 0 * * * * 2 4 3 0 8 7 0 4 8 * * * - - * * Respuesta : 18 2 4 - 8 Ejemplo 4: Resolución: Halla Q + U + E + S + O en QUE + QUE = ESOS Resolución: Q U E + Q U E E S O S Formando líderes con una auténtica educación integral 4 8 2 4 2 4 4 8 201 - - 2 4 2 4 - 8 Cociente : 201 33 Rpta: _______ Formando líderes con una auténtica educación integral . Rpta: _______ 2) Si halla "P + A + N + E". halla CALLE halla A + B.Raz. 5) Si A8GA + 5B1 = 5B95 . Rpta: _______ Rpta: _______ 6) Si: 3) Halla la suma de las cifras que reemplazan a los asteriscos (*).4to Sec. halla 2A + B.. 1CABLE×3 = CABLE1 .77232 .. Rpta: _______ Rpta: _______ Para Reforzar 1) Halla a + b + c en: 4) Si: abcde × 99 = . Resolviendo en clase 1) Halla 12A + BB1 . Rpta: _______ 5) Si AB8 + 2BA = 611 . * * * 4 * * * * * × 7 3 * 1 C C C A A B A A B + B 4 0 y además A ≠ 0 . halla A + B + C. 2abc × 3 = abc1 Rpta: _______ halla a + b + c + d + e.. Rpta: _______ Rpta: _______ 3) Halla la suma de cifras del producto: 7 * 6 * * * 1 * 1 34 * 2 * 8 * 6) Si: * × * * 0 Rpta: _______ A B B C + C C A 2 C 3 5 y además B ≠ 0 . Rpta: _______ 2) Si: A3BB × 8 = 4BA76 . halla "A + B". halla A + 2B + 3C. 4) Si: PENA × 99 = ..1403 . Matemático . si 7A3B × 6 = 4AB86. Raz. Matemático - 4to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 4 Para el profesor: Para el alumno: 1 Si 1 Si UU + NN + II = UNI , UNO + UNO = DOS halla U + N + I. halla U + N. a) 19 b) 18 d) 20 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) Más de una es correcta. c) 16 e) 15 Resolución: Resolución: Clave: 2 Halla la suma de cifras totales que faltan en: a) 40 b) 35 c) 18 d) 39 e) 17 * 5 * × * 6 * 7 * 8 * * * 9 1 * * 0 * Clave: 2 Si: Resolución: × 5 4 2 9 4 4 6 halla el segundo producto parcial. a) 5344 b) 1544 d) 1644 c) 1844 e) 1744 Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 35 Raz. Matemático - 4to Sec. 3 Si: 3 Si: MANI × S = 6635 MANI × A = 3981 MANI × M = 1327 halla MAS × MANI a) 123456 b) 179145 d) 169243 ROTA × A = 5041 ROTA × L = 15123 halla ALA × ROTA a) 930371 b) 330671 d) 770361 c) 133415 e) 123415 Resolución: Resolución: Clave: a 4 Si halla t + i + r + a tira = a , a) 10 b) 11 d) 14 c) 12 e) 15 Clave: * 4 Si halla P + E + Z PEZ = * , a) 20 b) 13 d) 16 c) 14 e) 17 Resolución: Resolución: Clave: 36 c) 660371 e) 550371 Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Raz. Matemático - 4to Sec. 5 Halla la suma de cifras del dividendo en: * * * * 3 * * 4 2 2 * 5 Si: A A B37 B 8 - 7 * 6 8 A B 5 * * - C A - 1 * C A - - * * * 2 a) 12 b) 14 d) 18 c) 16 e) 21 halla A + B - C. a) 9 b) 8 d) 3 Resolución: c) 6 e) 2 Resolución: Clave: 6 Si Clave: 6 A 8 5 2 36 3 6 B3A Halla la suma de cifras de la raíz. 5 * - B 2 5 B 0 8 - B 7 2 B A A - 2 8 * 5 c) 3 e) 6 ** * * * * - - a) 8 b) 13 d) 9 halla A × B. a) 10 b) 20 d) 4 * * 7 * - c) 10 e) 12 Resolución: Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 37 *** *** ..Raz. 7 7 Si: AMOR + ROMA = 12562 (O es cero) halla AA + RR + MM Si: a) 163 b) 251 d) 136 c) 178 e) 187 A M I G A + I M 1 M G I G 6 2 halla A + M + I + G + A.**** * * * 6 -.4to Sec. a) 30 b) 31 d) 33 c) 32 e) 29 Resolución: Resolución: Clave: Clave: NOTA Sello y Firma del Profesor 38 Formando líderes con una auténtica educación integral .. a) 26 b) 32 d) 28 Resolución: c) 24 e) 21 Resolución: Clave: 8 Si: ********* *** .. a) 54 b) 55 d) 53 Clave: c) 56 e) 52 Si: ******* *** .-- 8 973 ******* halla la suma de las cifras del dividendo. Matemático .**** 1*** -**** ***9 .8 ** **8** da como respuesta la suma de las cifras del dividendo.-** ** -*** * * * . 39 .a partida partida partida 12 48 24 +2 80 28 40 80 28 132 132 132 56 ∴ Tenían 72. 70 y 20 soles Resolución: Se emplea este método efectuando las operaciones. tendremos: x5 6 x6 Jugador Inicio ÷6 36 ( )2 +2 -2 Dato final 4 4 ∴ La cantidad inicial es 30 Formando líderes con una auténtica educación integral Carlos Einstein 72 40 Luis Total 132 1. a) 10 d) 30 b) 60.a 2.4to Sec. Capítulo 5 Métodos Operativos Operaciones inversas El propósito de este capítulo es mostrar artificios y métodos que abrevien planteamientos tediosos y saturados cálculos en la resolución de problemas.a 3. finalmente obtendrás 4. Matemático . 52 y 20 soles 30 ÷5 Efectuando operaciones inversas. Operaciones Directas x Dato Operaciones Inversas Ejemplo 2: Carlos. 56 y 28. ¿cuánto tenían inicialmente? a) 72. al resultado obtenido le extraes la raíz cuadrada y luego le quitas 2. 40 y 20 soles c) 40. 72 y 20 soles d) 60. El desafío es saber reconocer en qué casos se aplican y cuál es el procedimiento de solución. Operaciones Inversas Resultado Incógnita e) 42. 52 y 20 soles Ordenando la información: Jugador Inicio Carlos Ejemplo 1: Si a una cantidad la divides entre 5 y luego la multiplicas por 6. Si cada uno pierde una apuesta y al final terminan con S/. 40 y 20 soles.a partida partida partida ? 48 ? Einstein Luis Total 132 132 56 ? 28 132 132 c) 20 El total que aparece en esta línea no varía.a 3. Einstein y Luis se ponen a jugar con la condición que el que pierda duplique el dinero de los demás.Raz. empezando por el dato final. 48.a 2. empezando del final (dato) hasta el inicio (incógnita) e invirtiendo las operaciones dadas. ¿Cuál es la cantidad inicial? b) 15 e) 60 Resolución: Operaciones Directas Cantidad inicial 1. para finalmente multiplicar estas igualdades.) Si asumimos que todas las botellas son de 5 L. Regla Conjunta Ejemplo 1: En aquellos problemas donde se da una serie de equivalencias (igualdades) se aplicará el siguiente procedimiento: El procedimiento de solución consiste en verificar que el segundo miembro de cada igualdad sea de la misma especie que el primero de la siguiente y así sucesivamente.): 5-3=2 5 gallinas 8 patos 6 pavos x soles 4 <> <> <> <> 12 patos 18 pavos 60 soles 2 gallinas E. 40 En un bazar se vende cada camisa en S/. se habría gastado: 9 x S/. Si Rodolfo compró nueve prendas gastando S/. 20 y cada pantalón en S/.12 = 3 botellas más ∴ S/.º de elementos = E.4to Sec.: 15 . Error total (E.U.U. y 8 patos valen lo mismo que 18 pavos. 4. 25 más 4. Si se sabe que 6 pavos cuestan S/. Error total (E. ¿cuánto cuestan 2 gallinas? 2.T.111 = 24 Resolución: 3.): En cada camisa que cuesta S/. entonces hay 15 botellas de 5 L. (el menor) 4 Como disponemos de 27 botellas. ¿Cuántas botellas de 5 hay más que de 3 L? Resolución: 1. N. 20 se esta cometiendo un error de: 45 . 255 entonces hay un error de: 405 . tendríamos: 27 x 5L = 135 L Cinco gallinas cuestan tanto como 12 patos. 405 2.20 = S/. 45 cada una.): 135 . 108 Ejemplo 2: Ejemplo 2: En cierto sistema de medida se tienen las siguientes equivalencias: 5 codos = 6 palmos 2 palmos = 1 pie 3 pies = 5 brazos 4 brazos = "x" codos Halla el valor de "x". unas de 5 L y otras de 3 L.S.T. Error unitario (E. Falsa suposición (F. 45. El presente método se emplea en problemas donde hay un cierto número de elementos que presentan dos características diferentes y además se indica el total de estas características obtenidas a partir de los elementos.255 = S/. 60. 255. Falsa suposición (F. 150 más 3. 45 = S/. luego se procede de la siguiente manera: (5)(2)(3)(4) = (6)(1)(5)(x) 4=x ∴ 4 codos Falsa Suposición Resolución: 1. 2 5(8)(6)(x) <> 12(18)(60)(2) (x) <> 108 24 = 12 botellas de 3 L 2 Rpta.) Si las nueve prendas compradas costaron S/.Raz. Resolución: Observa que en las dos columnas están las mismas unidades.): Como el verdadero gasto fue de S/. Ejemplo 1: Se quiere embotellar 111 L de aceite en 27 botellas. ¿cuántas camisas compró? Número de Error total = camisas Error unitario = 150 =6 25 Formando líderes con una auténtica educación integral . Matemático . Error unitario (E.S.U.T. en un caso. ¿Cuántos galones tenía inicialmente el camión cisterna? 41 . pero si compro 2 libros me sobraría 18 soles. Ejemplo 1: a) 15 d) 13 b) 17 e) 14 c) 16 La incógnita del problema se origina por el cociente de la diferencia total y la diferencia unitaria. es decir se reuniría: 40 + 50 = S/. debido a que cada niño pagaba S/. 4. 20 → Falta: S/. el camión cisterna pierde por cada 10 km. Luego de 40 km se quedó vacío. Resolución: Ejemplo 1: Aplicando el método del rombo. el número de amigos es: 90 ÷ 5 = 18 amigos. 5 2 3 D.Raz. la mitad de su capacidad y 10 galones más. 16 3 c/libro Rpta. Si cada uno colabora con S/. 25 → Sobra: S/.20 = S/. obtenemos: Observa que si cada amigo colabora con:25 . 1550 Luego. 90 más. ¿Cuál es la diferencia entre niñas y niños? Un grupo de amigos decide hacer una colecta para comprar un equipo de sonido. ¿cuánto cuesta cada libro? S/.1550 5-4 Ahora calculamos el número de niños # de niños = 350 . se completaría los S/. 40 y si cada uno colabora con S/. ¿Cuántos billetes de 50 soles debo emplear? Se aplican en aquellos problemas donde se comparan cantidades. 5 más. 50 (billete) #de billetes = 28 x 100 . 50. 50. 40 Cada amigo: S/. obtenemos: Si compro 5 libros de Razonamiento Verbal me faltaría 30 soles.: a Ejemplo 2: Total Ejemplo 2: A una fiesta entran un total de 350 personas entre niños y niñas.4to Sec.200 = 150 Luego: Diferencia entre niñas y niños es 200 . 4 (niña) # de niñas = Una fuga peligrosa 350 x 5 . sobrante o ganancia y en el otro caso. 100 (billete) - x 28 billetes 2050 soles - Resolución: Caso 1 Caso 2 S/. Matemático . Reto S/. faltante o pérdida. -30 +18 48 (falta) (sobra) Costo = 48 = S/. 20. sobrarían S/.: d Formando líderes con una auténtica educación integral Debido a una fuga en una válvula. 40 que faltaba y todavía quedaría S/. 5 y cada niña S/.5 (niño) - x 350 personas - S/. 50 Resolución: Aplicando el método del rombo.T.U. una total y una unitaria. 1550.50 de 50 soles ∴ # de billetes de 50 soles = 15 D. Método del Rombo Diferencia total y unitaria Debo pagar 2050 soles con 28 billetes de 50 y 100 soles. ¿Cuántos eran los amigos? a) 200 d) 50 Resolución: b) 300 e) 350 c) 150 Cada amigo: S/.150 = 50 Rpta. Se originan 2 diferencias. S/. faltarían S/.2050 100 . 25. recaudándose S/. 40. 4) En un granja donde hay vacas y gallinas se contaron 45 cabezas y 150 patas. a lo obtenido le resto 2. Si por S/. 5 dan 2 borradores. 6 lapiceros equivalen a 14 lápices.4to Sec. 10 le sobrarían S/. obtienes 4". después le sumas 10 al resultado y por último lo divides entre 4. ¿cuántos soles equivalen a 5 euros? 6) Si Jorge le da a cada uno de sus sobrinos S/. para finalmente dividirlo por 3. 12 le faltaría S/. al resultado le quito 4 y lo divido por 3. pero si les entrego S/. 40. y 6 euros equivalen a 12 marcos. algunos de $ 10 y otros de $ 20. ¿cuántos lapiceros dan por S/. luego al resultado le extraes la raíz cuadrada. al resultado se le extrae la raíz cuadrada. 6 me sobrarían S/. y 5 lápices a 7 borradores. 49? 6) Si a cada uno de mis alumnos les entrego S/. ¿Cuántos sobrinos tiene Jorge? Rpta: _______ Rpta: _______ 42 Formando líderes con una auténtica educación integral . luego se le suma 30. obteniendo como resultado final 20.Raz. Halla el número inicial. 8. 8 dólares equivalen a 4 marcos. Resolviendo en clase 1) A un número se le multiplica por 2. 24. él respondió: "Si a mi edad le sumo 14. ¿cuántos billetes de 50 dólares he usado? Rpta: _______ Rpta: _______ 3) En una librería. ¿Cuántas gallinas hay en la granja? Rpta: _______ Rpta: _______ 2) Al preguntar a Abel por su edad. Halla el número inicial. me faltarían S/. 30. ¿Cuántos conejos hay en la hacienda? Para Reforzar Rpta: _______ 2) Se le pregunta la edad a Karina y ella responde: "Si a mi edad la multiplicas por 4. Si en total tiene $ 170. y al resto le saco raíz cuadrada para después multiplicarlo por 4. 4) En una hacienda donde hay conejos y patos se contaron 50 cabezas y 180 patas. Entonces su edad es: Rpta: _______ 5) Aldo tiene doce billetes. ¿Qué edad tiene Abel? 5) Si pagué una deuda de 1200 dólares con 36 billetes de 50 y 10 dólares. obtengo 22". ¿cuántos billetes tiene de cada tipo? Rpta: _______ Rpta: _______ 3) Sabiendo que 5 soles equivalen a 2 dólares. ¿Cuántos alumnos tengo? Rpta: _______ Rpta: _______ 1) A cierto número le hago las siguientes operaciones: lo elevo al cubo. finalmente se le divide entre 6 y se obtiene 2. Matemático . y a este producto sumarle 46. pero si les diera S/. el de 9 rompecabezas al de 2 pistolas. 12 sacos de olluco se cambia por 18 de yuca. Si después de tres días consecutivos le quedan aún dos hojas en blanco. Son ciertas: I. El primer día escribe más de 320 hojas. II. Matemático . ¿Cuántas pelotas equivalen al precio de 18 rompecabezas? a) 16 b) 18 d) 8 Resolución: Resolución: Clave: 2 Vanessa escribe cada día las 3/4 partes de las hojas en blanco de un cuaderno. y 15 sacos de camote por 6 de yuca. ¿Cuántos sacos de papa darán por 20 de olluco? a) 10 b) 20 d) 15 1 c) 30 e) 24 En una juguetería el precio de 4 muñecas equivalen al de 6 pelotas. y el de 15 pistolas al de 30 muñecas.4to Sec. a) Sólo I b) I y II d) II y III c) 12 e) 10 Clave: 2 c) Sólo II e) Todas Cada día Martha escribe en su cuaderno la tercera parte de las hojas en blanco que tiene más dos hojas. ¿cuántas hojas escribió? a) 17 b) 19 d) 25 c) 23 e) 21 Resolución: Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 43 . PROBLEMAS PARA CLASE N° 5 Para el profesor: 1 Para el alumno: En un pueblo de la sierra se realiza un trueque: 10 sacos de camote se cambia por 4 de papa. Escribió 420 hojas. Si al cabo de 3 días escribió todas las hojas. No es cierto que en el segundo día no escribe 80 hojas III.Raz. más 5 hojas. 82 e) Perdió S/. Si ahora López tiene 40 gallinas y Pérez 45.Raz. A y B. III. deciden jugar. Polo y Toño. 81 cada uno. ¿cuántos litros tenía B inicialmente? a) 40 b) 60 d) 80 d) Pérez. Se sabe que perdieron en el orden antes mencionado y al finalizar la cuarta partida cada uno quedó con $ 2. II. Coco. 163 Resolución: 4 Ricardo. Matemático . El primero en perder deberá aumentar $ 10 a cada uno de los demás. El cuarto deberá triplicar el dinero de los otros tres.40. De A pasan a B 20 litros.4to Sec. Si luego de 4 juegos cada uno perdió un juego en el orden mencionado y se retiran con S/. 20 3 Se tienen dos depósitos de vino. teniendo en cuenta las siguientes reglas: Son ciertas: I. El segundo en perder deberá duplicar el dinero de los demás. 81 b) Ganó S/. 3 De la granja López se pasaron a la granja Pérez tantas gallinas como el doble de las que había en esta granja. luego de B pasan a A la mitad de los litros que tiene B. Al día siguiente se regresaron de la granja Pérez a la de López tantas gallinas como el triple de las que quedaron la noche anterior. Si quedan A y B con 115 y 35 litros. ¿cuánto ganó o perdió el primero? a) Ganó S/. ¿Quién perdió más? a) Ricardo b) Toño d) Coco y Toño c) Coco e) Polo Resolución: Clave: 44 Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral . ¿quién ganó y cuántas? a) López. El tercero deberá aumentar $ 20 a cada uno de los demás. 82 c) Perdió S/. 20 b) López. respectivamente. 10 e) López. 10 c) 30 e) 50 Resolución: Resolución: Clave: 4 Clave: Cuatro amigos A. C y D juegan a los dados y acuerdan que aquél que pierda un juego triplicará el dinero de los otros tres. IV. 136 d) Perdió S/. 40 c) Pérez. B. Se vendieron entre adultos y niños.4to Sec. a) Sólo I b) Sólo II d) I y III 5 c) I y II e) Todas En una prueba un alumno gana 10 puntos por cada respuesta correcta y pierde 4 puntos por cada equivocación. Un alumno contestó las 50 preguntas del examen y obtuvo 640 puntos. 672 Clave: 6 Para entrar a una feria. Cierto día sólo se vendieron 63 pasajes para Huacho y Huaral. 668 e) S/. obtiene 500 puntos. Se equivocó en 50 preguntas. 15. Matemático . Entonces es cierto que: I. Si obtuvo 780 puntos. 174. III. Tuvo 12 errores. los adultos pagan S/. 742 b) S/. 10 en cierta empresa de transporte. pero los niños sólo pagan S/. Le descontaron 200 puntos. mientras que para Huacho cuestan S/. ¿Cuántas entradas de adultos se vendieron si resulta que en total se recaudaron S/. recaudándose S/. III. 712 c) I y II e) Sólo II c) S/. 728 d) S/. un total de 82 entradas. Si todos los pasajeros que iban a Huaral hubiesen ido a Huacho y viceversa. Tuvo 36 aciertos. Entonces son ciertas: I. ¿cuánto se habría recaudado? a) S/. 30. Acertó 80 más de las que no acertó. acertó en 90 problemas. a) Sólo I b) II y III d) I y III Resolución: Resolución: Clave: 6 Los pasajes de Lima a Huaral cuestan S/. 2 más.Raz. 5 En un examen por cada respuesta correcta se obtiene 20 puntos y por cada error se descuenta 10 puntos. II. Si después de contestar todas las preguntas que son 120. 2175? a) 19 b) 72 d) 11 c) 41 e) 63 Resolución: Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 45 . II. 75 e) S/. 15 c) S/.Raz. le sobra S/. Si compra 13 cuadernos. 60 b) S/. Si compran 5 mesas. 55 Resolución: 8 Un padre de familia dispone de cierta cantidad de dinero para comprar cuadernos a sus hijos. si los integrantes se sietan de 3 en 3 sobrarían 4 bancas y si se sientan de 2 en 2. Si se sientan 10 feligreses en cada banca. quedan 2 bancas libres y si se sientan 8 feligreses en cada banca. le sobra S/. 7 Un grupo de feligreses acude a una iglesia. 50. entonces quedarían 10 feligreses de pie. quedarían de pie 18 integrantes. 70 y si compra 15 cuadernos.4to Sec. 12 d) S/. ¿Cuánto cuesta cada cuaderno? a) S/. 180 d) S/. 400 y se compran 9 mesas. faltarían S/. ¿Cuántos son los integrantes? a) 30 b) 78 d) 75 c) 120 e) 130 Resolución: Resolución: Clave: 8 Clave: En un restaurante se desea cambiar de mesas. 14 e) S/. ¿Cuánto cuesta cada mesa? a) S/. 10 b) S/. Matemático . sobrarían S/. 90 c) 62 e) 68 c) S/. 140. ¿Cuántos feligreses son? a) 140 b) 150 d) 110 7 En un congreso. 16 Resolución: Clave: Clave: NOTA Sello y Firma del Profesor 46 Formando líderes con una auténtica educación integral . todos al comienzo hemos pensado lo mismo.4to Sec. 2) 3) El número de caballos excede en 9 al número de cerdos. Plantear una ecuación es transformar enunciados. respetando los signos de puntuación y analizando párrafo por párrafo. a Relacionar e interpretar matemáticamente hechos cotidianos. pero esto ocurrre cuando encontramos palabras que no sabemos cuál es su interpretación matemática. 3) 4) x es a n como 3 es a 7. Forma verbal planteo Forma matemática (palabras y frases) (constantes y variables) Forma Verbal Forma Simbólica 1) La edad de Einstein aumentada en 5. pero todo depende de ti. lo que para otros es imposible". Matemático . 4) 5) El número de mujeres de una reunión es la quinta parte de los presentes. ¡Claro! Hay veces en las cuales pensamos que estos problemas son difíciles. Quiere decir que debes leerlo pausadamente. Capítulo Planteo de Ecuaciones 6 OBJETIVOS: a Ejercitar la capacidad de comprensión de textos de diversa índole para su posterior simbolización. 1) 2) La suma de 3 números pares consecutivos es igual a 30. Para entender este tipo de situaciones debes tomarlo como si fuera un texto cualquiera. 5) Formando líderes con una auténtica educación integral 47 . ¡Vamos! No te sientas mal. Y recuerda que "los grandes hombres son los que hacen posible. de tu fuerza de voluntad. conjunto de oraciones o formas verbales o formas matemáticas o simbólicas.Raz. Informe: "El tercer día vimos seres extraños.9a = 9 b . El estudiante deberá actuar de acuerdo a los requerimientos de cada problema en particular. Matemático .b = a2 + b2 . reemplazando (II) en (I): 8a . da el número original.. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? Del dato (I) tenemos: 10a + b .Raz.. menos 9. b = 3 Lo que piden calcular es: (23)2 (2 + 3) = 2645 Reto Expedición: Planeta K Dirige: Mayor P. el número obtenido al permutar sus cifras. Sugerencias:  Lee detenidamente el texto del problema hasta comprender de qué se trata.  Ubica los datos y la pregunta.9 = ab . como nosotros..2a . Una frase u oración puede ser representada simbólicamente de una o varias maneras. Ejemplo 2: Un número positivo menos el doble de la suma de sus cifras es igual a la suma de los cuadrados de estas dos cifras. Además.N.  Relaciona los datos con las variables para plantear una o más ecuaciones que al resolver nos den la solución al problema. ¿Quién hace el informe? 48 Formando líderes con una auténtica educación integral . aunque tienen 20 dedos en total..=3 4 5 Resolviendo: x = 60 ∴ La escalera tiene 60 escalones..1 = a2 + a2 + 2a + 1 → 5a = 2a2 + 2 Resolviendo: En el primer caso se dieron 3 pasos más que en el segundo caso.2(a + b) = a2 + b2 ..4to Sec. a = 2. por lo tanto: x x . pero tienen una extremidad menos y un dedo más en cada extremidad..  Elige la(s) varible(s) con las cuales se va a trabajar.a .2b = a2 + b2 → 8a . Entonces el producto del cuadrado de dicho número por la suma de sus cifras es: Resolución: El número positivo: ab El doble de la suma de sus cifras: 2(a + b) La suma de los cuadrados de sus cifras: a2 + b2 Primera condición: ab . (I) Número obtenido al permutar sus cifras: ba Segunda condición: ba . (I) Resolución: Del dato (II) tenemos: 10b + a . (II) Ejemplo 1: Si subo una escalera de 4 en 4 escalones doy 3 pasos más que subiendo de 5 en 5 escalones.. lo que les da un aspecto espantoso".a = 1 . (II) 4 4 5 x x 5 "x" Escalones "x" Escalones # de = x pasos 4 # de = x pasos 5 Resolvemos.9 = 10a + b → 9b . Si su fortuna fue de $ 2200. ¿cuánto le tocó al tercero? Rpta: _______ 2) Si comprara 40 libros tendría entonces el quíntuple de lo que me quedaría si hubiera vendido tres.Raz. Matemático . Fernando compra un tercio del mismo rollo más 4 metros. ¿qué hora será dentro de 2 horas? Rpta: _______ 4) Juana reparte su fortuna a sus tres novios: al 1. de modo que los 3/5 del número de hombres es igual a 1/3 de las personas presentes.4to Sec.º $ 200 más que al 2. Resolviendo en clase 1) Si han transcurrido del día 5/7 de lo que falta transcurrir. ¿cuánto recorrió en el segundo salto? Para Reforzar Rpta: _______ Rpta: _______ 2) Si ganase S/. Rpta: _______ 3) Tres veces el número de alumnos del 5. ¿Cuántos libros tengo? 5) El recíproco de cierto número aumentado en la mitad del número original es igual a la mitad de 3.º le da el doble de lo que le dio al 2. Si el galgo recorrió un total de 38 m. disminuido en 20.º año amentado en 50 nos da el doble del número de alumnos aumentado en 80. es igual al triple de su lado aumentado en 30? 6) Federico compra la mitad de un rollo de alambre menos 12 metros. Si al cuádruple del intermedio le restamos el triple del mayor y a dicho resultado le agregamos el doble del menor resultaría igual a 100. ¿Cuál es el número de parejas presentes? Rpta: _______ Rpta: _______ Formando líderes con una auténtica educación integral 49 . 60 tendría el cuádruple de lo que me quedaría si perdiera S/. más 15 libros. ¿Cuántos alumnos son? 6) A una fiesta donde habían 40 hombres y 30 mujeres.º. llegaron cierto número de parejas. Calcula dicho número. 75. con lo cual recibe 8 metros menos que Federico. ¿Cuántos metros compró Federico? Rpta: _______ Rpta: _______ 1) Si han transcurrido del día 2 horas más de las que faltan transcurrir.º y al 3. ¿Cuánto tengo? Rpta: _______ 5) Se tienen tres números consecutivos. Halla el mayor de ellos. ¿qué hora es? 4) Un galgo da cuatro saltos recorriendo en cada salto 3 metros más que el salto anterior. Rpta: _______ Rpta: _______ 3) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado tal que el doble de su perímetro. PROBLEMAS PARA CLASE N° 6 Para el profesor: 1 Para el alumno: Para conocer el peso de un cachorro se hizo lo siguiente: I. Se pesó el cachorro con el papá = y. 1 a Patty. Se pesaron los dos padres juntos = z. ¿Cuánto pesan los dos animales juntos? a) 120 kg b) 130 kg d) 150 kg c) 140 kg e) 160 kg Resolución: 2 140 excede al doble de un número en tanto como el triple de dicho número excede a su tercera parte. 3 a Carmen y S/. El peso del cachorro es: x+y+z x-y-z b) 2 2 x+y-z d) 2 a) 1 x-y+z 2 x+y+z e) 3 Si María tiene S/. c) c) I y II e) N. 2 más que Carmen. 5 a Carmen y S/. Resolución: Resolución: Clave: 2 Una vaca pesa 100 kg más 2/3 del peso de un carnero. III. Halla los dos tercios de dicho número.D. Se pesó el cachorro con la mamá = x. ¿qué cambios se deben hacer para que las tres tengan la misma cantidad de dinero? I. a) 20 b) 30 d) 25 c) 15 e) 35 Resolución: Clave: 50 Clave: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral . a) Sólo I b) Sólo II d) F. II. María debe darle S/. II. y además el carnero pesa 20 kg más 1/12 del peso de la vaca.Raz. 5 más que Patty y ésta tiene S/.A. Matemático . 1 a Patty. María debe darle S/.4to Sec. ¿Cuál es el menor de los consecutivos? a) 34 b) 35 d) 37 3 Se tienen tres números enteros consecutivos. responde así: "Tengo el mismo número de hermanas y de hermanos". a) 5 y 3 b) 5 y 4 d) 3 y 5 c) 14 e) 16 Clave: 4 c) 4 y 3 e) N. Cuando se le pregunta a Mariquita cuántos hermanos tiene. Matemático . ¿Cuál es el menor de los consecutivos? a) 12 b) 13 d) 15 c) 36 e) 38 Resolución: Resolución: Clave: 4 Cuando se le pregunta a Paquito cuántos hermanos tiene. Si Paquito y Mariquita son hermanos. observamos que la suma de los primeros cocientes excede en 8 al tercer cociente que obtuvimos. entonces el número de bueyes más cabras es: a) 30 b) 40 d) 50 c) 50 e) N.4to Sec.A. responde así: "Tengo la mitad de hermanas que de hermanos. el número de ovejas más bueyes es 30. Si dividimos el menor entre 17. observamos que la suma de los dos primeros cocientes excede en 3 al tercer cociente que obtuvimos.Raz.A. y el mayor entre 8. o lo que es lo mismo tengo el doble de hermanos que de hermanas". el de vacas más cabras es 70 y el de vacas más ovejas es 40. diga cuántos hermanos hay en cada sexo. Si dividimos el menor entre 2. el intermedio entre 7 y el mayor entre 9. En un rebaño. el intermedio entre 5. 3 Se tienen tres números enteros consecutivos. el de bueyes más vacas es 50. Resolución: Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 51 . éste respondió: He gastado las 3/4 partes de lo que no gasté.4to Sec. 20 d) S/. 5 Aldo le dice a Beto: "Préstame 30 soles para tener ambos la misma cantidad". ¿Cuántos libros compró y cuánto pagó por cada uno? a) 40 y S/. 10 c) 30 y S/. cada libro le habría costado 2 soles menos. 20 Resolución: 6 Al preguntar un padre a su hijo cuánto había gastado de los 350 soles que le dio. Si hubiera comprado 1/4 más del número de libros que compró por el mismo dinero. a) 40 b) 30 d) 25 c) 120 soles e) 100 soles Resolución: Resolución: Clave: Clave: 6 Un hombre compró cierto número de libros por 400 soles. Halla la diferencia entre caballos y vacas. Beto le responde: "Mejor págame los 10 soles que me debes y así tendré 9 veces lo que te queda". 250 Resolución: Clave: 52 c) 10 e) 60 Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral . ¿Cuánto gastó? a) S/. 330 e) S/. Entre ambos tienen: a) 80 soles b) 140 soles d) 60 soles 5 Compré el cuádruple de caballos que de vacas. 200 b) S/. Si hubiera comprado 5 animales más de cada clase. 15 e) 40 y S/. tendría el triple del número de caballos que de vacas. Matemático .Raz. 15 d) 40 y S/. 150 c) S/. 10 b) 30 y S/. 136 b) S/. ¿Cuántas ovejas tenía al principio? a) 40 b) 48 d) 56 Resolución: Resolución: Clave: 8 Dos comerciantes importan 6 docenas de chompas. pero tanto en las sillas como en las mesas obtuvo lo mismo. 140 e) S/. 360 más que las sillas y recaudó S/. 150 Un carpintero vendió 3 sillas más que mesas. el número de las que tenía al principio queda aumentado en sus 3/8. Una vez la mercadería en la aduana.4to Sec. 130 c) S/. se obtiene la quinta parte del precio del televisor. ¿Cuánto cuesta cada chompa? a) S/. el primero. y 4 docenas. como tenían poco dinero. 9600 total? a) 8 b) 5 d) 12 c) 6 e) 13 Resolución: Resolución: Clave: Clave: NOTA Sello y Firma del Profesor Formando líderes con una auténtica educación integral 53 . ¿Cuántos muebles vendió si las mesas cuestan S/. 7 Un VHS cuesta 500 soles menos que un televisor. Si a la cuarta parte del precio del VHS se le aumenta 60 soles. el segundo. ¿Cuál es el precio del televisor? a) 1800 b) 3700 d) 1850 7 c) 1300 e) 800 Si mueren los 2/7 de mis ovejas y compro 37 ovejas más. el primero paga con cinco chompas más 114 soles y el segundo paga con 3 chompas más 126 soles.Raz. se enteraron que tenían que pagar impuestos. Matemático . 138 c) 36 e) 60 Clave: 8 d) S/. lo arrebató la helada tumba. Después de consolar su pena en cuatro años con esta ciencia del cálculo.. entre otros. niño tardío y desgraciado. pues si se interpreta inadecuadamente el tiempo mencionado. tenías. llegó al término de su vida". ¡Oh gran maravilla! y la tumba dice con arte la medida de su vida. Se da generalmente en años. dentro de 5 años.Raz. Tiempos: Es uno de los puntos más importantes. En este capítulo desarrollaremos los problemas donde intervienen las edades de uno o más sujetos. . se complicará la resolución del problema. tienes.. mi edad es.4to Sec. Consideraciones Generales 1) El tiempo transcurre igual para todos desde un mismo tiempo de referencia. la suma de nuestras edades es. . Dios hizo que fuera un niño una sexta parte de su vida.. tendremos. donde intervengan dos o más sujetos. Capítulo 7 Edades OBJETIVOS: a Utilizar las habilidades y capacidades para resolver los diferentes casos de ejercicios sobre edades. tú tienes. Le encendió el fuego nupcial después del séptimo y en el quinto año después de la boda le concedió un hijo. hace 20 años. las tablas de doble entrada para la resolución de ejercicios sobre edades. cuando tú tengas. - Futuro: Tendré. en camino de la medida de la vida de su padre. tiempos y edades. 54 hace 6 años dentro de 7 años Pasado Presente Futuro José 20 26 33 Cinthia 15 21 28 Formando líderes con una auténtica educación integral . DIOFANTO: (vivió alrededor del año 275) En una antología griega de problemas algebraicos en forma de Epigramas. Ejemplo 1: Sujetos: Son los protagonistas que generalmente son las personas y en algunos casos los animales.. pero puede darse en días o meses. tenemos. las mejillas tuvieron la primera barba. Añadiendo un doceavo. Matemático . cuando él tenía. Pero ¡ay!.. Edad: Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto. se recoge el siguiente Epitafio: - Presente: Tengo. OBSERVACIÓN: Epitafio: Inscripción puesta en una sepultura o escrita como si estuviera destinada a ello. a Hacer de manera adecuada. En este capítulo se debe tener en cuenta que en los problemas intervendrán: sujetos. a Aplicar métodos prácticos para el planteo y resolución de los ejercicios de manera sencilla y rápida. . "Esta tumba contiene a Diofanto.. los árboles. - Pasado: Tenía. "que tú tienes" Pasado Presente Yo Tú Pasado x 2x = 3y → x = 3 y ..edad que tú tenías cuando." Ejemplo 1 Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. 2y + x = 42.. así: . (I) Además uso el método del aspa: Resolución: Hacemos uso de un cuadro en el que se establezcan los tiempos y los sujetos.. Al leer el enunciado...." "Yo tengo el doble. ¿cuántos años tenía Ricardo? x Tú 18 Jorge Presente x ." como no se conoce. Seguimos: "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías.. Pasado Presente Yo Presente Yo x 2y Tú y x x + x = y + 2y Tú .. Ejemplo 2: hace 5 años . Seguimos hacia adelante: ".. ¿Cuántos años tengo si la suma de nuestras edades actuales es 42 años? Pasado Presente Yo x 2y Tú y x Dato: La suma de nuestras edades actuales es 42 años. Ahora sigo resolviendo el problema de atrás hacia adelante: "..yo tenía la edad que tú tienes" dentro de 8años Pasado Yo Pasado Presente Futuro Ricardo 13 12 Cuando Jorge nació. puedo observar (en medio de toda esa confusión de palabras) que está referido a la edad que TÚ tienes. Matemático . los problemas de edades se pueden tipificar en dos: Pasado • Tipo I Yo x Tú y Presente x Cuando interviene la edad de un solo sujeto... -y Hace "y" años "Edad que tú tenías." +x E Edad Actual Dentro de "x" años . uso otra variable.. 2) La diferencia de las edades de dos personas siempre permanece constante.(II) 2 Reemplazo (II) en (I) 2y + 3 4y+3y y = 42 → = 42 2 2 → 7y = 84 → y = 12 ∴ Si y = 12.4to Sec..... Según el número de sujetos cuyas edades intervienen.. → Fijo la incógnita de manera apropiada.Raz. entonces yo tengo: 2(12) = 24 años Formando líderes con una auténtica educación integral 55 . Año de nacimiento En 1965 edad: 19ab 2 (ab) años 3 Luego planteamos: 2 (ab)+ 19ab 3 2 1965 = 1900 + ab + 3 (ab) 5 65 = (ab) → ab = 39 3 1965 = * Otro tipo de problema. Entonces la edad de la persona es: Nota: Para resolver éste tipo de problemas debes tener presente que: 2 (39) = 26 años 3 La suma de cifras de su edad es: ∴2+6=8 1. se cumple: Año de Edad Año + = -1 nacimiento actual actual 56 Formando líderes con una auténtica educación integral . se le preguntó por su edad y contestó: "Tengo. se cumple: Año de Edad Año = + nacimiento actual actual 2. en años.36 = 9 años Resolución: Planteando los datos obtenemos: ∴ Cuando nació Sebastián. tenemos: Edad Lady (L) 5 → L = 5k = S = 4k Edad Sebastián (S) 4 Ejemplo 3 Reemplazamos de acuerdo a los datos: 4k + 5 = 5k . Lady tenía 9 años.4 → k = 9 L = 5(9) = 45 S = 4(9) = 36 A una persona. Cuando una persona aún no cumple años. respectivamente. Matemático .4to Sec. Cuando una persona ya cumplió años. en el año 1965. Ejemplo 2 Las edades actuales de Lady y Sebastián están en la relación de 5 a 4. las dos terceras partes del número que forman las dos últimas cifras del año de mi nacimiento". Eso quiere decir que Lady es mayor que Sebastián en: 45 .Raz. Halla la suma de las cifras de su edad en dicho año. ¿Cuántos años tenía Lady cuando nació Sebastián? Resolución: Ya que las edades son proporcionales a 5 y 4. La edad que tendrá Sebastián dentro de 5 años es igual a la edad que tenía Lady hace 4 años. ¿Qué edad tiene el hijo? Para Reforzar Rpta: _______ Rpta: _______ 2) La edad de Sara es el triple de la edad de ángel y dentro de 5 años ambas edades sumarán 46 años.4to Sec. ¿Qué edad tiene Flor? Rpta: _______ Rpta: _______ 3) Juan tiene 42 años y Pedro 18. Halla x. pero dentro de 8 años sólo será el doble". Maritza tendrá 29. ¿Cuál será la edad de César. cuando Andrea tenga 22 años? 4) Un padre le dice a su hijo: "Ahora tu edad es la quinta parte de la mía. dentro de 4 años la mayor tendrá el doble de la edad que tenía la menor hace 6 años. y dentro de 5 años tendré lo que tenía hace 9 años más la edad que tenía hace 5. pero hace 5 años era la novena parte". Entonces María Belén tiene actualmente: 5) José tiene 24 años. ¿Hace cuántos años la edad de Juan fue nueve veces la edad que tuvo Pedro en ese entonces? 6) La suma de las edades actuales de 2 profesoras es 47 años. ¿Cuál es la edad actual de Silvia si Maritza tiene ahora 20 años? 4) Un padre le dice a su hijo: "Hace 8 años mi edad era el cuádruplo de la edad que tú tenías.Raz. Andrea tendrá 14 años. ¿Cuál es la edad actual de B? Rpta: _______ Rpta: _______ Formando líderes con una auténtica educación integral 57 . ¿Qué edad tiene el padre? Rpta: _______ Rpta: _______ 2) La edad de William es el doble de la edad de María Belén y hace 12 años la suma de sus edades era 30 años. Resolviendo en clase 1) Cuando César tenga 19 años. Rpta: _______ Rpta: _______ 1) Cuando Silvia tenga 22 años. Halla la edad actual de la mayor. y su edad es el séxtuplo de la edad que tenía Flor cuando José tenía la tercera parte de la edad que tiene Flor. En la actualidad ángel tiene: 5) Pepe tiene 30 años y su edad es el triple de la edad que Pepa tenía cuando Pepe tenía la edad que Pepa tiene. 6) Hace 10 años la edad de A era el doble de la edad de B. Actualmente sus edades suman 56 años. ¿Cuántos años tiene Pepa? Rpta: _______ Rpta: _______ 3) Hace 7 años tenía x años. Matemático . ¿Cuál es su edad actual? a)20 años b) 21 años d) 24 años c) 18 años e) 16 años Resolución: Resolución: Clave: 58 Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral . ¿Qué edad tendrán los mellizos dentro de 3 años? a) 12 años b) 15 años d) 21 años c) 12 años e) 13 años Resolución: Resolución: Clave: 2 Clave: ¿Cuántos años tiene una persona. Matemático . cuando la nieta tenía 11 años la abuela decía tener 45 y la hija 30. PROBLEMAS PARA CLASE N° 7 Para el profesor: 1 Para el alumno: Juana tuvo una hija a los 20 años y una nieta 24 años después. hoy las edades de los tres suman 63 años. sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 5 años más la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años suman 11? a) 27 años b) 32 años d) 30 años c) 24 años e) 18 años c) 31 años e) 35 años 2 A Paco le preguntaron su edad y él responde: "Tomen 3 veces los años que tendré dentro de 3 años y réstenle 3 veces los años que tenía hace 3 años y resultará los años que tengo". ¿Cuál es la suma de los años que ocultan ambas? a) 11 años b) 14 años d) 15 años 1 La señora Angela tuvo a los 27 años 2 hijos mellizos.4to Sec.Raz. hallar la edad del padre dentro de 10 años. Matemático . a) 50 años b) 40 años d) 48 años c) 45 años e) 42 años Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 59 . Si actualmente sus edades suman 59 años. 3 En el año 1969. Aldo cumplió tantos años como lo indicaba la mitad del número formado por las 2 últimas cifras del año de us nacimento. Si dentro de 8 años el cociente será 5/2. ¿Cuál es la suma de cifras de su edad? a) 4 b) 8 d) 10 c) 24 años e) 25 años Resolución: Resolución: Clave: 4 Hace 12 años las edades de 2 hermanos estaban en la relación de 4 a 3.4to Sec. Halla su edad en esa fecha. a) 23 años b) 26 años d) 27 años 3 Una persona tiene en 1988 tantos años como el producto de las 2 últimas cifras del año de su nacimiento. ¿dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 8 a 7? a) 7 años b) 20 años d) 21 años c) 5 e) 6 Clave: 4 c) 8 años e) 9 años Resolución: Las edades de un padre y su hijo son tales que el cociente es 4.Raz. pero cuando tú tengas la edad que yo tengo.Raz. nuestras edades sumarán 108 años". 5 "Cuando tú tengas la edad que yo tengo. ¿Qué edad tengo? a) 18 años b) 28 años e) 30 años c) 21 años e) 24 años Resolución: Resolución: Clave: 60 Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral . a) 18 años b) 49 años d) 30 años c) 24 años e) 36 años c) 21 años e) 28 años 6 Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cando yo tenía la edad que tú tienes. Matemático . la suma de nuestras edades será 54. pero cuando transcurra el doble de aquel entonces al presente. Se escucha decir a uno de tres hermanos. El que comenta lo anterior.4to Sec. y cuando tú tengas la edad que yo tengo. ¿Qué edad tiene Richard? a) 16 años b) 40 años d) 32 años c) 23 años e) 22 años Resolución: Resolución: Clave: 6 Clave: Juan le dijo a Pedro: "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. la suma de nuestras edades será 63 años". cuyas edades actuales suman 63 años. Halla la suma de las edades actuales de ambos. tendrás lo que él tenía cuando yo tenía lo que tú tienes. ¿qué edad tiene?" a) 21 años b) 24 años d) 26 años 5 Richard le dice a Carito: "Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. y el tendrá lo que tú y yo tenemos. 4to Sec. sabiendo que es igual a la suma de las cifras del año de su nacimiento. Matemático . a) 16 años b) 20 años d) 21 años c) 12 años e) 18 años Resolución: Resolución: Clave: Clave: NOTA Sello y Firma del Profesor Formando líderes con una auténtica educación integral 61 . Si a cien veces la edad del primero se le suma 10 veces la edad del segundo y a este resultado se le suma la edad del tercero aumentado en 7. Halla las edades y da como respuesta la suma de ellas. y le restan la suma del año en que nací y el actual.Raz. se obtiene al final 950 años. La suma de las cifras de la edad de Vanesa es: a) 9 b) 6 d) 12 7 Determina la edad que cumplirá una persona en 1995. obtienen 12". Si hace un año mi primo mayor tenía el doble de la edad de mi primo menor. 7 Al preguntar la edad de Vanesa. ¿cuántos años tengo si lo mismo que me lleva en edad mi primo mayor yo le llevo al menor? a) 50 años b) 65 años d) 70 años Clave: 8 c) 55 años e) 60 años Las edades de 3 hermanos son menores que 10. a) 16 años b) 21 años d) 27 años c) 10 e) 11 c) 18 años e) 24 años Resolución: Resolución: Clave: 8 Las edades de mi primo mayor y el primo menor viene representadas por dos números que tienen las mismas cifras. pero en orden inverso. ella respondió: "Si al año en que cumplí los 15 años le suman el año en que cumplí los 26. ? Formando líderes con una auténtica educación integral . la hora de referencia será las 4 en punto. la hora de referencia será las 6 en punto.m. Capítulo 8 Relojes OBJETIVOS: a Brindar al estudiante las pautas teóricas para reconocer y resolver ejercicios sobre relojes. RELACIÓN DE LOS RECORRIDOS DEL HORARIO Y EL MINUTERO En una hora el minutero da una vuelta entera. las cuales hacen un total de 12 x 5 = 60 divisiones menores en toda la circunferencia que indican los minutos. es decir. tenemos las siguientes equivalencias: 60 divisiones<>60 minutos<>360º 1 división <> 1 minuto <> 6º 62 Las equivalencias anteriores indican lo siguiente: minutero horario 360º 6º 30º 1/2º Hora referencial: Dada una hora cualquiera.Raz.4to Sec. Por otro lado. cada una de las cuales está dividida en cinco divisiones menores. transcurre un minuto y ha barrido un ángulo de 6º. → A las 4h 20 min. se conoce que toda la circunferencia del reloj tiene 360º. 1 2 10 9 3 1 hora 1 min 4 8 7 6 5 Un reloj de manecillas tiene 12 divisiones mayores que indican las horas. Del análisis anterior. recorre 60 divisiones. a Aplicar a situaciones reales de la vida diaria referente a la medición del tiempo. a Dar a conocer a los estudiantes las diferentes técnicas usadas en la resolución de ejercicios referente a relojes. Matemático . Por ejemplo: → A las 6h 30 min. osea la doceava parte de lo que recorre el minutero. mientras que el horario recorre solamente 5 divisiones. divisiones de un reloj 11 12 → Si el minutero de un reloj recorre una división. ángulo formado por las manecillas del reloj a una hora determinada Ejemplo 1: ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 6:20 a. Ángulos determinados por las agujas de un reloj En este capítulo analizaremos problemas derivados de la relación que existe entre la hora que marca el reloj y el ángulo formado por las manecillas del reloj (minutero y horario). la hora referencial será la hora exacta anterior a dicha hora. .(II) 2 63 ...11 M . Hora referencial _________________________ 4 8 6 En 50 minutos.4to Sec.m. Análisis: 12 12 11 1 2 10 9 3 9 3 a 7 5 6 En 50 minutos. es: a) Cuando el horario adelanta al minutero: 11 12 2 10 9 4 7 6 5 1 a = 30H .(I) 2 2 10 3 8 12 11 1 a 9 3 4 8 7 6 b) Cuando el minutero adelanta al horario: 5 a= Hora referencial 7:50 Formando líderes con una auténtica educación integral 11 M -30H . el horario avanzó: x 20 = 10º 2 11 12 2 10 120º 9 8 6 9 3 10º 8 5 7 3 4 8 5 6 2 9 4 7 1 10 3 2 9 3 2 8 12 11 1 10 1 10 4 7 12 11 1 12 11 7 Minutero 6 5 Horario 4 6 5 Combinando ambos tenemos: Horario Minutero 11 Relación para hallar "a": 180º + 10º = 120º + a ⇒ a = 70º 12 1 10 2 9 11 12 10 8 7 6 7 2 6 5 3 a 10º 4 8 1 120º 9 3 4 ¿Cuál es la relación para determinar "a"? 5 _________________ a= _______ 6:20 Ejemplo 2: ¿Qué ángulo forman las manecillas del reloj a las 7h 50 min? Mediante el procedimiento anterior-mente descrito se puede demostrar que el ángulo formado por las manecillas del reloj a las H horas y M minutos. el horario avanzó: __________________________ 6:20 a..Raz. Matemático . el minutero avanzó: Análisis: En 20 minutos. el minutero avanzó: 6º x 20 = 120º 1º En 20 minutos. Matemático . ¿A qué hora entre las 7 y 8 p. H = ________________ 5 6 ¿Quién adelanta a quién? _____________________________ ¿Quién adelanta a quién? ______________________________ ¿Qué fórmula debería usar? I o II ⇒ M = _________________ Es decir que uso la: I 4 8 2 10 3 o 2. ¿A qué hora entre las 5 y las 6 las agujas son perpendiculares? II M = ________ H = __________ a = ________ = 11 12 1 2 10 b) 7h 20 min 9 11 12 7 2 9 6 5 3 a = _______________ . Hay otra solución.Raz. Ejemplos usando las fórmulas anteriores: Indica que ángulo forman las manecillas del reloj a las: 11 12 1 2 10 a) 3h 26 min 11 9 12 1 9 7 6 5 3 4 8 7 a = _______________ .4to Sec.m. las agujas están opuestas? 64 3 ¿Qué fórmula debería usar? I o II ⇒ M = _________________ Formando líderes con una auténtica educación integral . H = ________________ 4 8 7 5 6 ¿Quién adelanta a quién? _____________________________ ¿Quién adelanta a quién? ______________________________ ¿Qué fórmula debería usar? I o II ⇒ M = _________________ Es decir que uso la: o ¿Es la única solución? No. II M = ________ H = __________ a = ________ 4 8 1 10 I 3 11 = 12 1 2 10 9 posiciones particulares entre las manecillas → Superpuestas → a = __________ → Opuestas 4 8 7 6 5 a = _______________ . H = ________________ → a = __________ → Perpendiculares→ a =_________ ¿Quién adelanta a quién? _____________________________ Ejemplos: 1. Según el gráfico adjunto? 12 -Atraso +Adelanto Total Total Hora real = Hora adelantada .: c 65 . m .4to Sec.: d x= Adelantos y atrasos En aquellas situaciones donde se encuentran relojes malogrados debemos considerar: 6x3 min =18 min (Atraso total) 1 Hora ⇒ correcta = 8:17 + 18 = 8:35 (Real) Formando líderes con una auténtica educación integral Rpta. div 3 a a Tiempo 30 div. luego de sincronizarlo con la hora correcta marca las 8:17.Atraso atrasada real total 1 min 3 En 1 hora se atrasa En 6 horas se atrasará 3 minutos x Por regla de 3 simple directa: Rpta. ¿Cuál será la hora correcta? Del esquema: m +5 12 a) 8:25 1 1 m = 23 <>23 minutos 3 3 b) 8:42 c) 8:35 d) 9:12 e) 10:01 Resolución: Para el minutero Luego la hora será: 7h 23 Atraso 3 horas 1 día = 24 horas 4 8 a = 30 . 6 2 minutos x 24 .Raz. Matemático . 9 m 7 12 x= 5 5div.2 = 16 minutos 3 Ejemplo 3: Un reloj se atrasa 3 minutos cada hora y al cabo de 6 horas. ¿Cuánto se atrasará en 1 día? Resolución: Resolución: 12 Se resolverá el problema.m = Hora = Hora . empleando la "regla de tres". +ATRASO -ADELANTO TOTAL TOTAL Hora indicada por un reloj atrasado Ejemplo 1: Hora indicada por un reloj adelantado Hora Real ¿Qué hora es.adelanto 9 a a h 3 Hora real = Hora atrasada + atraso m Hora marcada 4 8 5 7 6 a) 7h 24 2/3 d) 7h 23 1/13 b) 7h 24 1/13 e) 7h 24 3/13 c) 7h 23 2/13 Hora = Hora + Adelanto adelantada real Ejemplo 2: Un reloj tiene un atraso de 2 minutos cada 3 horas. ? 6) Un reloj se adelanta 7 segundos cada 45 minutos. Matemático . ¿Cuánto se adelantará en 1 día? Rpta: _______ Rpta: _______ 66 Formando líderes con una auténtica educación integral .4to Sec. ¿cuántos minutos necesita para tener 1 hora de retraso? Rpta: _______ Rpta: _______ 1) ¿A qué hora entre las 9 y las 10 las agujas de un reloj determinan un ángulo de 75º? 4) Un reloj se atrasa 6 minutos cada 8 horas. Si ya tiene un atraso de 3 minutos. ¿Cuánto se atrasará en 14 horas? Rpta: _______ Rpta: _______ 2) ¿Cuánto mide el ángulo que determinan las agujas de un reloj a las 4h 40min? 5) ¿A qué hora entre la 1 y las 2 están opuestas las agujas del reloj? Rpta: _______ Rpta: _______ 3) ¿Cuánto mide el ángulo determinado por las agujas de un reloj a las 6:40 a.? 6) Un reloj se atrasa tres segundos por minuto.Raz.m.m. ¿cuál será su atraso en un día? Rpta: _______ Rpta: _______ 2) ¿Cuánto mide el ángulo que determina las agujas de un reloj a las 5h 10 min? 5) ¿A qué hora entre las 9 y 10 las agujas de un reloj están en línea recta? Para Reforzar Rpta: _______ Rpta: _______ 3) ¿Cuánto mide el ángulo determinado por las agujas de un reloj a las 10:40 p. las agujas de un reloj determinan un ángulo de 60º? 4) Un reloj se atrasa 18 segundos cada 2 horas. Resolviendo en clase 1) ¿A qué hora entre las 3 y las 4. ¿Qué hora marcará cuando en realidad sea las 10:24h si hace 5 horas que viene funcionando con este desperfecto? a) 11:24 b) 09:25 d) 09:24 c) 70º e) 80º Clave: 2 c) 10:28 e) 09:28 Resolución: Un reloj se adelanta 2 minutos cada media hora.4to Sec. Si hace 8 horas que viene funcionando así.Raz.? a) 100º b) 60º d) 110º Resolución: Resolución: Clave: 2 Un reloj se atrasa 3 minutos cada 15 minutos.m. Matemático . PROBLEMAS PARA CLASE N° 8 Para el profesor: 1 Para el alumno: Si son las 2h 36 min. ¿qué hora será en realidad cuando dicho reloj marque las 02:38 h? a) 02:16h b) 02:06h d) 02:10h c) 02:08h e) 02:18h Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 67 . ¿qué ángulo forman las agujas de un reloj? a) 138º b) 142º d) 146º 1 c) 117º e) 72º ¿Cuánto mide el ángulo determinado por las agujas de un reloj a las 10:40 p. 3 Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3h. un reloj empieza a atrasarse a razón de 6 minutos cada hora.4to Sec.m.Raz.m. c) 04:48 a. b) 04:52 a. Si dicho reloj se adelanta a razón de 40s cada hora.m.m. d) 03:36 a. ¿A qué hora empieza a adelantarse si a las 11h 15 min de la noche marca las 11h 27 min? a) 5:18 h b) 5:07 h d) 5:15 h 3 Suky golpeó su reloj a las 8:45h y a partir de ese momento se adelanta 8 minutos cada hora. del día siguiente? a) 03:50 a. ¿a qué hora empezó a adelantarse? a) 05:30 b) 05:48 d) 05:10 c) 11:34 h e) 11:48 h Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral .m. e) 03:46 a.m.m.. ¿Qué hora marcará cuando sean las 6:00 a. Resolución: Clave: 68 Clave: Siendo las 17:20 h un reloj marca 17:28. ¿Qué hora marcará dicho reloj a las 12:00 h? a) 12:26 h b) 12:18 h d) 12:24 h c) 5:17 h e) 5:31 h Resolución: Resolución: Clave: 4 c) 05:40 e) 05:20 Resolución: 4 Siendo las 06:00 a. Matemático . ¿a qué hora se superponen las agujas del reloj? a) 3h 1 4 min 11 c) 3h 4 1 min 11 9 e) 3h min 11 6 min 11 1 d) 3h min 11 b) 3h 2 Clave: 6 Luego de las 18:00 h.4to Sec. ¿qué hora marcan las agujas de tal reloj cuando la hora exacta es 3h 58 min? a) 3h 52 min c) 4h 52 min e) 4h 56 min b) 3h 02 min d) 4h 54 min 5 Hace 10 horas que el reloj del colegio se atrasa 3 minutos cada media hora. ¿cuál es la hora más cercana en la que las manecillas del reloj forman un ángulo recto? a) 18h 2 Resolución: 7 min 11 1 c) 18h 9 min 11 7 e) 18 h 9 min 11 4 min 11 9 d) 18h 5 min 11 b) 18h 1 Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 69 . ¿Cuál es la hora exacta si el reloj del colegio indica que son las 11h 28 min? a) 10h 28 min c) 11h 56 min e) 10h 15 min Resolución: b) 12 h 28 min d) 12h 56 min Resolución: Clave: 6 Entre las 15:00 y 16:00 h. Si este desperfecto ocurre ya hace 7 horas.Raz. Matemático . 5 Un reloj se adelanta 2 minutos cada 15 minutos. ¿qué hora es? a) 2:51 b) 2:52 e) 2:55 ¿Qué hora es según el gráfico? 12 11 1 10 2 2a a 9 d) 2:54 8 12 c) 2:53 Clave: 3 4 8 7 5 a) 3h 55 5/13 min b) 4h 45 4/13 min d) 3h 58 5/10 min e) 3h 35 5/13 min c) 3h 45 5/4 min 6 Resolución: 11 1 10 2 a 9 3 a 4 8 7 5 6 Resolución: Clave: Clave: NOTA Sello y Firma del Profesor 70 Formando líderes con una auténtica educación integral . Matemático .Raz. 7 ¿Qué hora será según el gráfico? a) 2h 24 min b) 2h 22 min c) 2h 23 min d) 2h 21 min 12 11 1 10 2 a 9 3 2a 4 8 e) 2h 22 1/2 min 7 ¿Qué hora será exactamente según el gráfico? a) 9h 20 min b) 9h 25 min 10 c) 9h 36 min 9 d) 9h 42 min 12 11 2 a 3 3a 4 8 e) 9h 18 min 5 7 5 7 1 6 6 Resolución: Resolución: Clave: 8 De acuerdo al gráfico.4to Sec. de dos números. 101 . Ejemplo: Según la noción dada. 6 9 4 3 Formando líderes con una auténtica educación integral 71 . Luego bajo las condiciones dadas en la noción. a. 3 .Raz. El cociente puede ser un número entero y si no lo es puede quedar indicado en la representación del número racional. Números fraccionarios Se denomina así a todos aquellos números racionales que no representan a números enteros. 72 . donde "b" es diferente de cero. acto que nace por necesidad. a Familiarizar al estudiante en el manejo adecuado. 11111 . El primero es el número entero "a" sobre la línea horizontal que recibe el nombre de numerador y el segundo número entero "b" ubicado bajo la línea. el cual se llama denominador. constantemente surgía el problema de repartir la presa capturada.. vía operaciones matemáticas de las fracciones y sus múltiples aplicaciones. -3 . 8 . De acuerdo a la definición si denotamos por "f" al número fraccionario. . haremos uso de "objetos reales". 7 . estamos haciendo uso.. Números racionales noción Al cociente de la división de dos números enteros "a" y "b". 12 . Matemático . debemos aclarar que esta consideración es sólo con fines prácticos. Capítulo 9 Fracciones OBJETIVOS: a Desarrollar la capacidad de abstracción. donde: a ≠ b. 2 . son números fraccionarios: 2 . indica cuáles de los siguientes números son fracciones y cuáles no lo son: 7 . b ∈Z) b Para representar a un número racional. Mientras más grande el denominador más pequeña la fracción". -3 e 6 3 5 13 3395 12 -5 . tendremos: a f= . ¡Cuidado!. entre una determinada cantidad de individuos dividir los productos agrícolas recogidos de forma mancomunada. como puede verse. aquí el surgimiento de las fracciones. 1.1010110. pues para dar la idea de fracción.. Se deriva del latín fractum que significa "roto" o "quebrado". "El ser humano es como una fracción: el numerador es lo que él realmente es y el denominador lo que él cree que es. 3 9 14 7 8 19 -4 Fracción Al número fraccionario que presente sus dos términos positivos vamos a denominarlo fracción. En el transcurso de la lucha por la supervivencia. 21 . etc. en el uso de fracciones. b ∈ Z b Por ejemplo. 4 . b≠0. podemos representar un número racional así: a o a/b b observación Cuando escribimos: a (con b ≠ 0.4to Sec. p e . 11 . a. Introducción La noción acerca de la fracción es muy antigua y su remoto origen se pierde en la bruma de los tiempos. se le denomina número racional. 4 .7 = 34 37 .abcd 99000 Formando líderes con una auténtica educación integral . donde: Todo: Número de partes en que se divide la unidad (total).... 2 .ab 99 ab . xy tiene 2 cifras 3 PARTES abxyz . cd N D Parte Todo Numerador Denominador es.. a) Expresión Decimal Exacta Fracción: Relación entre una parte de un total y el respectivo total (todo). e .... del...007 = Periódica Pura (La UNIDAD ha sido dividido en 5 partes de las cuales se considera 3) ab .4to Sec. cdexyxyxy.427 = 427 . "del"..Raz. p . 12 6 Si son fracciones: 8 . etc.0 = 999 999 + 3 1 4 + = =1 4 4 4 668 674 . 72 .19 = 319 100 • 0.32 = 32 100 • 3. cdexy tiene 3 cifras tiene 2 cifras abcdexy . Parte: Número de partes que se consideran. ab . 9 4 -3 e 3 En los problemas reconoceremos la "parte". Resolución: Observación No son fracciones: 7 . 11111 3395 6 3 5 13 fracción generatriz de una . cde 1000 tiene 3 cifras Ejemplos: • 0. -5 .• 1 <> TOTAL <> 5 PARTES IGUALES 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 Lo sombreado representa los tiene 2 cifras abcd 100 abcde ab .1010110.74 = c) Expresión Decimal Inexacta Periódica Mixta En general: Fracción = 7 1000 b) Expresión Decimal Inexacta Parte Todo 3 5 ab . porque va antecedido por la palabra "es" o sus sinónimos y el "todo" de la palabra "de".. . ab ..3 = 9 9 427 • 0. 11 .. xyxyxy.ab 999 ab . Matemático . . abxy . 1. de. son.6 = 99 99 • 6. xyz 1 4 1 4 Sombreado 3 4 No sombreado (blanco) 1 4 tiene 3 cifras Ejemplos: 1 4 1 4 Fracción = 72 • 3. A=B ∴ Rpta. Ejercicios: 1 a) ¿Cuánto le falta a 5 para ser igual a 2 ? 3 8 5 b) ¿En cuánto es excedido 3 por ? 3 7 Situación 2: Halla lo que le sobra a una fracción respecto a una cantidad. Ejemplo: Gana 2) 2 1 P= 8 = 4 Son aquellas situaciones que se presentan en los problemas razonados con FRACCIONES.4to Sec. = 2 8 pérdidas y ganancias sucesivas Pierde 2 1 = 6 3 ∴ Rpta.42 = • 4. = P Planteando P.: Es la tercera parte. Ejemplo: Halla los 5 de 48. 8 Resolución: 1) ¿Qué parte de 6 es 2? Formando líderes con una auténtica educación integral 5 x 48 = 30 8 73 .: Es la cuarta parte.6=2 • 0. 712 791 .237 = 990 990 P. situaciones básicas con fracciones Situación 1: Halla lo que le falta a una fracción respecto a una cantidad.791 = 2) ¿Qué parte de Queda x y y-x y Pierde Queda 1) 1 3 2 3-1 = 3 3 2) 2 7 5 7-2 = 7 7 Gana Tendrá x y y+x y Ejemplos: Tendrá 2 9 11 9+2 = 9 9 1 2 3 2+1 = 2 2 relación parte-todo ¿Qué parte de A es B? . Ejemplos: 1) 1 1 es ? 8 2 Planteando 1 1 P.1 4 = 5 15 3 Situación 3: Halla la fracción de una cantidad. Ejemplos: Planteando 4195 4237 .123 = 990 990 P= B P= A Ejemplos: ¿Cuánto le sobra a 3 1 respecto a ? 5 3 Resolución: 3 .79 = 900 900 1112 1123 . Matemático .11 = • 1.Raz. ¿qué parte de lo que me debian me han pagado? Rpta: ________ Rpta: ________ 74 Formando líderes con una auténtica educación integral . ¿qué parte de lo que me debían me han pagado? Rpta: ________ Rpta: ________ Para Reforzar 1) Efectua: 3 4) Efectua: 4 5 a) + 3 6 3- 25 5 b) 48 18 2 2- Rpta: ________ Rpta: ________ 2) Efectua: 5 3 12 x x a) 8 4 5 3 5 1 3 y Norma tiene S/. 17 5 15 ÷ b) 12 8 Rpta: ________ Rpta: ________ 3) Calcula el valor de: E= 6) 4 1 + 5 2 23 + 9 9 10 Me deben los 3/7 de S/. Si me paga 1/9 de S/. Resolviendo en clase 1) Efectua: 4) 2 3 + a) 5 4 b) Señala una fracción equivalente a: 4 3 7 11 1 1 31 22 1+ Rpta: ________ Rpta: ________ 2) Efectua: 3 10 x a) 5 9 b) 7 14 ÷ 9 3 5) ¿Cuánto le falta a 5 2 para ser igual a 3 Rpta: ________ 3) 8 1 13 ? Rpta: ________ Simplifica la expresión: 34 2 -1 +15:7. 252.4to Sec.5 49 49 5 . 4 4 ¿En cuánto excede lo que tiene César a lo que tiene Norma? 5) César tiene S/. Matemático . 8 . 252.11 49 196 : 6) 36 25 Si me deben los 3/5 de 500 dólares y me pagan los 2/3 de 300.Raz. c) 2/3 e) 1/3 Clave: 2 Al mezclarse 2 cucharadas de pisco con 8 de miel. A. Matemático . ¿qué parte de la mezcla es pisco? a) 1/5 b) 3/10 d) 1/4 c) 2/3 e) 3/2 Resolución: Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 75 . ¿Qué parte del gasto total. A.Raz. gastó en plátanos? a) 3/4 b) 2/5 d) 3/5 c) 15/7 e) N. PROBLEMAS PARA CLASE N° 9 Para el profesor: 1 Efectúa: Para el alumno: 3 4 3 2 1 + x ÷ 3 1 8 5 10 9 6 x2 ÷ 4 3 6 1 1 2 4 7 + + 15 6 5 3 9 12 a) 13 b) 10 d) 4/7 1 c) 3/5 e) N. Efectúa: 3 5 1 1 + 7 2 8 6 18 5 x + ÷ 5 7 7 2 5 1 3 1 + + 3 12 4 24 9 a) 16 b) 8 d) 3/8 Resolución: Resolución: Clave: 2 Lady compró manzanas. En manzanas gastó el doble que en naranjas y en plátanos el triple que en manzanas. naranjas y plátanos.4to Sec. 52 e) S/. tendría 20 demás". 20 b) S/. ¿Cuántos pavos tiene? a) 200 b) 198 d) 158 c) S/. 48 d) S/. 100 c) 210 e) 215 4 Un avicultor se le pregunta cuántos pavos tiene. ¿Cuántos pavos tiene? a) 20 b) 30 d) 50 c) 40 e) 70 Resolución: Resolución: Clave: 76 Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral . él contesta: "Si tuviera 1/5. 3 Si ganara 20 soles después de perder la sexta parte de lo que tengo. 2/3. 80. 1/7 y los 2/15 de los que tengo. me quedaría con S/. tendría 30 demás". ¿Cuánto tengo? a) S/. 4/3 y los 2/15 de los que tengo. 56 b) S/. 60. 45 3 c) S/.Raz. 60 e) S/. Matemático . 42 Si ganara 30 soles después de perder la sexta parte de lo que tengo. 80 Resolución: Resolución: Clave: 4 Clave: Un avicultor se le pregunta cuántos pavos tiene.4to Sec. él contesta: "Si tuviera 1/5. 40 d) S/. me quedaría con S/. ¿Cuánto tengo? a) S/. Raz. Si después de 4 rebotes consecutivos logra elevarse 32 cm. 200 d) S/. 5 Una pelotita cae de cierta altura y en cada rebote se eleva los 2/3 de la altura anterior. los 2/3 del resto y los 2/5 del nuevo resto. ¿Qué cantidad tenía antes de iniciar el juego? a) S/. ¿de qué altura cayó inicialmente? a) 100 cm b) 200 cm c) 300 cm d) 400 cm e) 1 000 cm Resolución: Clave: 6 Después de haber perdido sucesivamente los 3/4 de su dinero. un apostador pierde $2050 y de este modo queda debiendo $ 150. Matemático . 2 000 Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 77 . ¿de qué altura cayó inicialmente? a) 81 cm b) 62 cm c) 162 cm d) 324 cm e) 124 cm 5 Resolución: Una pelotita cae de cierta altura y en cada rebote se eleva los 2/5 de la altura anterior.60. 100 b) S/.4to Sec. 400 e) S/. los 2/5 del resto y los 2/3 del nuevo resto. Si después de 3 rebotes consecutivos logra elevarse 64 cm. 800 c) S/. ¿Qué cantidad tenía antes de iniciar el juego? a) $ 30 000 b) $ 38 000 d) $ 39 000 c) $ 32 000 e) $ 35 000 Resolución: Clave: 6 Después de haber perdido sucesivamente los 1/4 de su dinero. un apostador se queda con S/. Al quinto cliente le vendió los 12 últimos litros. ¿Cuánto recibió de comisión el vendedor? a) S/. Al cuarto cliente le vendió 1/6 de lo que aún le quedaba. Si luego de una jornada se vendió S/. 270 d) S/. 135 e) S/. IV. Al primer cliente le vendió 1/3 del total. ¿Cuántos litros de vino le vendió al segundo? a) 631 L b) 241 L d) 181 L 7 Un comerciante vende los 4/5 de una pieza de tela a un cliente y la sexta parte de lo que le queda a otro cliente sobrándole aún 20 m. ¿qué fracción del día dedica a esta última labor? a) 3/16 b) 5/16 c) 7/16 d) 9/16 e) 1/16 Resolución: Resolución: Clave: Clave: NOTA Sello y Firma del Profesor 78 Formando líderes con una auténtica educación integral . 7 Un comerciante tenía cierta cantidad de litros de vino: I. Matemático . V. Al segundo cliente le vendió 1/4 del resto. ¿Cuántos metros tenía inicialmente? a) 60 m b) 150 m d) 240 m c) 90 m e) 120 m Resolución: c) 121 L e) 61 L Resolución: Clave: 8 Clave: Un vendedor de enciclopedias recibe como comisión. Al tercer cliente le vendió 1/5 del nuevo resto. II. 1/16 del día lo dedica a comer y 1/4 del día lo dedica a dormir. 576 en libros de matemática. Si el resto del día lo dedica a cumplir con los trabajos del colegio. 315 c) S/. 400 en libros de geografía y S/. 235 b) S/.4to Sec. III.Raz. 3/16 del total de las ventas de libros de geografía y los 5/18 del total de las ventas de libros de matemáticas. 255 8 Fernando dedica 1/8 del día a jugar en la computadora. si nos dicen que: "Luis hace toda una obra en cinco días". es decir: Obra Tiempo Parte de obra realizada en cada unidad de tiempo * En 1 hora llenará la tercera parte. Capítulo 10 Reducción a la Unidad OBJETIVOS: a Emplear fracciones para resolver situaciones que realizan dos o más objetos. a Desarrollar la capacidad de abstracción. entonces debemos considerar que en un día hará 1/5 de la obra. grifos) o personas ya sea en "un día".4to Sec.. Estos tipos de problemas se caracterizan porque se tratará de homogenizar lo hecho por cada objeto (caños. el primero demoraría sólo 3 horas y el otro sólo lo llenaría en 6 horas. en el uso de fracciones. 2h 1 2 de la obra 3h 1 de la obra 3 4h 1 de la obra 4 Dos caños llenan un depósito. xh x partes 1 x En 1 hora: 1 hora 1 hora de la obra Formando líderes con una auténtica educación integral 1/3 1 hora 1 3 llena: 1 3 1 3 79 . ¿En cuánto tiempo llenarían todo el depósito si trabajan juntos? * El primero demora 3 horas. o personas en conjunto. . etc. Introducción * Un caño demora 3 horas en llenar un depósito.. Es el procedimiento mediante el cual se calcula la parte de la obra realizada en cada unidad de tiempo.Raz. Matemático . Por ejemplo. "un minuto". y el grifo B lo puede hacer en 2 horas. en "t" horas se consumió: t 3 Luego: (condición) (lo que quedó del primero) = 2(lo que quedó del segundo) 1- t t = 2 14 3 ∴ Rpta: t= 2.2 h o 1h 12 min.Raz. A es un grifo que puede llenar el recipiente en 3h y el desagüe B puede desalojar todo el líquido del recipiente en 4h. ¿En cuánto tiempo se llenará el recipiente si estando vacío se abren las dos válvulas? A 1/6 1/6 1h 1/6 1h 1h llena: 1/6 1 6 1/6 1/6 Si ambos llenan a la vez en 1 hora: B 1 3 1 primer caño 1 3 1 1/6 = 3 + 6 = 6 = 2 + Resolución: segundo caño 1 3 Entonces: Tiempo 1h X X= P = 3h Llenan 1/2 1 1x1 1 2 = 2 horas Si trabajan juntos lo llenarían en 2 horas. En 1 hora: 1h 1h 1h Ejemplo 2: Del gráfico.4to Sec. trabajando sólo 3 horas. Matemático . * El segundo demora 6 horas. en 1 hora se consume: 1 4 El segundo.: El recipiente será llenado en 1. el primero se consume en cuatro horas y el segundo en tres horas. en 1 hora se consume: 1 3 → El primero en "t" horas se consumió: t 4 → El segundo. ¿Cuántas horas después de haber encendido los cirios la altura del primero es el doble de la del segundo? El primero. 80 Dos cirios de igual altura se encienden simultáneamente. ¿en cuánto tiempo se llenará? Resolución: Resolución: A B A = 3h B = 2h A y B = xh 1 1 1 + = 3 2 x 2+3 3x2 = 1 x 3x2 2+3 = x ∴ Rpta. 4 horas Formando líderes con una auténtica educación integral . B = 4h - A y B = xh 1 4 = 1 x 4-3 3x4 = 1 x 3x4 4-3 = x 12 = x ∴ Rpta: El recipiente se llenará al cabo de 12 h Ejemplo 3: Ejemplo 1: Un recipiente puede ser llenado por el grifo A. Si se abren ambos grifos simultáneamente cuando el recipiente está vacío. 4to Sec. Si abrimos los dos caños a la vez estando el tanque vacío. ¿en qué tiempo pintará toda la casa? Rpta: ________ 3) Un obrero hace una obra en cuatro días. Matemático . uno de ellos lo puede llenar solo en 36 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque si la llave del desagüe empezará a funcionar una hora después de abierto el caño? Rpta: ________ 81 . otro en 30 horas y el otro en 20 horas. uno solo lo puede llenar en seis horas y el otro lo puede llenar en ocho horas. ¿en qué tiempo se llenará dicho tanque? Rpta: ________ 6) Un caño llena un estanque en cuatro horas. ¿En qué tiempo llenarán juntos los 2/3 de los 4/5 de los 15/32 del depósito? Rpta: ________ 3) Frank puede hacer un trabajo en 8 días y su hijo lo puede hacer en 12 días.Raz. Abriendo los tres caños a la vez. otro obrero demora ocho días. ¿En qué tiempo llenará ambos depósitos? Rpta: ________ 4) Un caño puede llenar un depósito en tres horas y otro lo puede hacer solo en cuatro horas. ¿en qué tiempo se llenará los 3/4 del depósito? Rpta: ________ 2) Si Gabriel pintó 1/3 de una casa en 1 día. ¿Cuánto demoran juntos en hacer dicha obra? (en días) Rpta: ________ Formando líderes con una auténtica educación integral 5) De los dos caños que fluyen a un tanque. ¿En qué tiempo llenará los dos caños el depósito? Rpta: ________ 4) De los tres caños que fluyen a un estanque. Si el depósito está vacío y abrimos los dos caños a la vez. ¿Qué tiempo demorará en llenar todo el depósito? Rpta: ________ 5) Un caño "A" llena un depósito en 24 h y un caño "B" demora 48 h. ¿Cuántos días le tomará hacer todo el trabajo juntos? Rpta: ________ 6) Un caño llena un depósito en 8h y un desagüe lo vacía en 12h. y el desagüe lo vacía en seis horas. ¿En qué tiempo se llenará el depósito si se abre el desagüe una hora después de abrir el caño? Rpta: ________ Para Reforzar 1) Un caño llena el depósito "A" en 6 min y el depósito "B" en 12 min. Resolviendo en clase 1) Un caño "A" llena un depósito en 6 min y un caño "B" llena el mismo depósito en 12 min. ¿en cuánto tiempo se llenarán las 2/3 del estanque? Rpta: ________ 2) En 1 min un caño llenó 1/24 de un depósito. Averigua lo que demoraría el tercero trabajando solo. ¿cuánto tiempo le tomaría? a) 16 días b) 64 días c) 32 días d) 40 días e) 48 días 1 Gloria es el doble de rápida que María. PROBLEMAS PARA CLASE N° 10 Para el profesor: 1 Para el alumno: Manuel es el triple de rápido que Juan y juntos realizan una obra en 12 días. Si el primero lo haría solo en 12 días y el segundo en 24 días. ¿En qué tiempo haría Gloria la obra si trabajase sola? a) 30 días b) 15 días d) 10 días Resolución: Resolución: Clave: 2 Clave: Tres obreros hacen un trabajo en cuatro días. Si la obra la hiciera solamente Manuel. a) 15 días b) 18 días c) 16 días d) 20 días e) 17 días Resolución: Clave: 82 c) 25 días e) 20 días Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral .Raz. Matemático . ¿cuánto demoraría el tercero? a) 6 días b) 4 días c) 5 días d) 7 días e) 8 días Resolución: 2 Tres obreros hacen un trabajo en 4 días. sabiendo que el primero lo haría solo en 9 días y el segundo en 12 días. y juntas hacen un trabajo en 10 días.4to Sec. Matemático . estando este vacío? a) 20 b) 25 d) 35 c) 4 días e) N. "B" y "C" juntos? a) 10 días b) 8 días d) 16 días 3 "A" y "B" pueden realizar cierto trabajo en 4 días. "B" y "C" pueden hacer la misma obra en 15 días. 3 "A" y "B" pueden hacer una obra en 20 días. "B" y "C" pueden en 6 días y "A" y "C" pueden efectuarlo en 8 días. ¿En cuánto tiempo llenaría "A" el estanque.4to Sec. ¿Qué tiempo utilizarán los tres juntos en realizar este trabajo? a) 3 días b) 3 1/2 días d) 3 9/13 días c) 5 días e) 14 días Resolución: Resolución: Clave: 4 Dos grifos "A" y "B" llenan juntos un estanque en 30 horas. ¿En cuántas horas llenaría la llave "A" el estanque. estando este vacío? a) 28 h b) 25 h d) 32 h c) 30 h e) 27 h Resolución: Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 83 . se tardarían en llenar el estanque 60 h. ¿En cuánto tiempo harán la obra "A". Si el grifo "B" fuese desagüe.Raz. "A" y "C" la pueden hacer en 12 días. Si el grifo "B" fuese de desagüe. A. c) 30 e) 40 Clave: 4 Dos grifos "A" y "B" llenan juntos un estanque en 20 h. se tardaría en vaciar el estanque 60 h. ¿Cuántos días se demoraría el ayudante en hacer toda la obra él solo? a) 10 días b) 50 días d) 60 días 5 c) 20 días e) 40 días Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 12 días.Raz. cuando acude Ana en su ayuda y culminan el trabajo juntas. 5 y 2 días. Betty empieza el trabajo y lo hace durante 12 horas. ¿En cuántos días puede hacer el ayudante toda la obra trabajando solo? a) 20 días b) 35 días d) 40 días Resolución: Resolución: Clave: 6 Clave: A. ¿Cuánto tiempo se necesitaría para hacer toda la obra? a) 2 días b) 2 3/4 días d) 3 días c) 25 días e) 30 días c) 2 1/4 días e) 2 1/2 días 6 Ana realiza un trabajo en 2 días y Betty hace el mismo trabajo en 3 días.4to Sec. El primer día trabaja A solo. el segundo día se le une B y el tercer día trabajan juntos los tres. respectivamente. ¿En qué tiempo terminaron las dos juntas la parte que faltaba de la obra? a) 1 d b) 1 1/4 d d) 1 1/5 d c) 1 1/2 d e) 1 1/3 d Resolución: Resolución: Clave: 84 Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral . B y C pueden hacer un trabajo en 10. Después de haber trabajado durante 6 días se retira el ayudante y el albañil termina lo que faltaba de la obra en 10 días. Matemático . Después de trabajar juntos durante 3 días se retira el ayudante terminando el albañil la parte que faltaba en 16 días. 5 Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 15 días. Determina qué tiempo tardará en desaguar el depósito si estando lleno se abren las 2 válvulas. Se abre el primer caño y luego de tres horas el segundo caño. La primera válvula desagua todo el volumen en 6 horas y la otra. el cual puede vaciar su parte en 30 horas. Matemático . ¿Cuánto tiempo después de haber abierto el segundo caño. ¿Al cabo de qué tiempo se llenará el tanque? a) 30 h b) 35 h d) 25 h c) 40 h e) 50 h Resolución: Clave: 8 Se tiene un tanque con tres llaves. Estando abierto el ducto B. se abre el grifo A. la primera llena el tanque con 4h. ¿En qué tiempo se debería llenar las 7/8 partes del tanque si se abren las 3 llaves al mismo tiempo estando vacío el tanque? a) 3 h b) 4 h d) 6 h c) 5 h e) 7 h Resolución: Clave: Clave: NOTA Sello y Firma del Profesor Formando líderes con una auténtica educación integral 85 . 7 Un caño puede llenar un tanque en 7 horas. Este tanque tiene un ducto de vaciado B colocado a media altura del tanque.4to Sec.Raz. en 8 horas. se llenaría el tanque? a) 1 h b) 1 1/2 h d) 1 1/4 h 7 Un depósito tiene dos válvulas de desagüe. a) 4 3/7 h b) 3 3/7 h d) 8 1/4 h c) 1 1/3 h e) 1 1/5 h c) 2 1/5 h e) 3 4/9 h Resolución: Resolución: Clave: 8 Un tanque puede ser llenado en 20 horas por un grifo A. situadas en el fondo. mientras que otro caño puede vaciar el mismo tanque en 8 horas. la segunda llena el mismo tanque en 6h y la tercera lo desagua en 8h. . Matemático .4to Sec. 20 = 1 20% = 100 5 50% = 50 = 1 100 2 10 = 1 10% = 10 100 25% = 25 1 100 = 4 100% = 100 x Resolución: 1 100 = =1 100 100 Observación 86 p xN 100 Ejemplo: Equivalencias Notables 100 = 1 100% = 100 p% de N = x = 100% x Toda cantidad representa el 100% de sí misma.Raz.. de las cuales se toma un número determinado de ellas. 1 100 20% M + 30% M = 50%M 40% N . Ejemplo: Dividiendo la unidad en 100 partes iguales.15%N = 25%N x + 10%x = 110%x x . Capítulo 11 Tanto por Ciento Es el procedimiento que consiste en dividir al todo en 100 partes. 1 100 100 ( ( Se lee n por ciento. tenemos: 2 partes = 2% = 2 x (81%)1/2 = 90% 1 1 1 100 100 100 .10%x = 90% (120%)2 = 144% 100 partes 1 1 1 100 100 100 Operaciones con porcentajes = Expresión general: p% de N = M 2 100 Reglas prácticas notación n%= n =n.: B x 100% A Ejemplo: ¿Qué porcentaje de 150 es 30? Rpta. 40% de 800 = 40 x 800 = 320 100 2 o también: x 800 = 320 5 II ¿Qué porcentaje de A es B ? Rpta. 32% 50 = 50% 32 El orden de los factores no altera el producto. I Halla el 40% de 800.: 30 x 100% = 20% 150 Formando líderes con una auténtica educación integral . x=56%x precio final descuenta el 20%. En una tienda ofrecen el descuento del 20% más el 30%. representa todo → de. será. Pv=Pc . lo constante puede ser eliminado puesto que no afectará el resultado final.x = 44%x 87 . La base de un rectángulo aumenta en 20% y la altura disminuye en 10%.100% = 8% Sólo se analiza todo aquello que pueda variar.Raz. 100% . Resolución: Resolución: 46% de 50 = 50% de 46 = 1 x 46 = 23 2 Como el 40% son hombres. ¿Cuál es el descuento único? Resolución: Pv : Precio de venta Pc : Precio de compra G : Ganancia P : Pérdida Pf : Precio fijado o precio de lista D : Descuento Formando líderes con una auténtica educación integral Sea x el precio inicial.80%. I.4to Sec. 70%.10% Resolución: 90% 120% 20% más→(100+20)% de 850 = 120%(850) = 100%+20% 120 x 850 = 1020 100 Afinal = 120%x90%=108% Variaciones porcentuales Luego: El área aumentó en: 108% . entonces el tanto por ciento de mujeres será: 100% . III A% de B = B% de A Ejemplo: 1.P III. queda 80% descuenta el 30%. Matemático . del.todo parte x100% → es. de los * ¿Qué parte de 60 es 3? 3 x 100% = 5% 60 ∴ Son 35 alumnos en el salón. ¿Cuántos alumnos hay en el salón? Halla el 46% de 50. regla práctica Aumentos y disminuciones: a%xb% = Aumento 10% Inicio 100% 110% 175% 350% Disminución 10% 35% 45% 75% Inicio 100% 90% 65% 55% 25% 75% 250% Aplicaciones del tanto por ciento en transacciones comerciales.40% = 60% Luego. ¿Qué porcentaje de variación tiene el área? Resolución: Inicialmente A% más = (100+A)% A% menos = (100-A)% IV Ainicial = 100% 100% 100% Ejemplo: Después de la variación Halla el 20% más de 850.56%. * ¿De qué número el 15% es 30? 15 x N =30 → N = 200 100 2. Pv=Pc+G II.D axb % 100 * Descuentos sucesivos 3. Pv=Pf . si "N" es el número total de alumnos podemos escribir: 60% N = 21 60 N = 21 → N = 35 100 Relación parte . queda 70% Descuento: x . En un salón de clases el 40% son hombres y las mujeres son 21. ¿Cuántas parejas deben llegar a la reunión para que el número de hombres sea el 60% de las mujeres? 6) Tres descuentos sucesivos del 50%. 2. 30 cada una. Halla el 10% del número.50 e) Se gana S/. ¿Qué cantidad se gana o se pierde? Rpta: ________ 2) Si el 40% del 50% de x es el 30% de y. 4) Dos blusas son vendidas en S/.Raz. ¿cuál es la variación del área? Rpta: ________ 3) En una compañía trabajan 160 personas donde el 25% son mujeres. 2. ¿a qué descuento único equivalen? Rpta: ________ Rpta: ________ 1) Si el 35% de un número equivale al 15% del 2 por 5 de 2100. en uno de los objetos se gana el 15 por 75 de su costo y en otro se pierde en 10 por 70 de su costo. halla el número. 70% y 20%. entonces se puede afirmar que: Para Reforzar Rpta: ________ 2) Si el 80% de M es igual al 40% de N.4to Sec. ¿qué porcentaje de (2x+7y) es (x+y)? Rpta: ________ 5) Un círculo disminuye en 36% su área.50 b) Se pierde S/. 1200 cada uno. 4 5) Si el lado de un triángulo equilátero aumenta 30%. ¿Cuántas mujeres deben contratarse para que el 40% del personal sea de mujeres? Rpta: ________ 6) Dos descuentos sucesivos del 10% y del 30% equivalen a un descuento único de: a) 39% b) 37% d) 33% 88 c) 35% e) 31% Formando líderes con una auténtica educación integral . ¿qué porcentaje de N es M? Rpta: ________ a) Se pierde S/. 4 c) No se pierde ni se gana d) Se gana S/. ¿En qué porcentaje habrá disminuido su radio? Rpta: ________ 3) En una reunión hay 100 personas de las cuales el 70% son mujeres. Resolviendo en clase 1) El 20% del 60% del doble de un número es igual al 45% del 30% de 4000. En la primera se gana 20% y en la segunda se pierde el 20%. Rpta: ________ 4) Se venden 2 objetos en S/. Matemático . A.6% d) 18. c) 12.5 e) 10 Resolución: Resolución: Clave: 2 Si "S" es el 150% de "T". El número es: a) 3 b) 30 d) 3000 1 El 50% de 40 es el n% de 160. a) 30 b) 25 d) 8 c) 300 e) N.4to Sec.123).Halla n.Raz. ¿qué tanto por ciento de "T" es (S+T)? a) 100% b) 150% d) 250% c) 200% e) 300% Resolución: Clave: 2 Si el 65% de N es igual a 106% de (N . PROBLEMAS PARA CLASE N° 11 Para el profesor: 1 Para el alumno: El 15% del 40% de los 5/8 de un número es equivalente al 25% del 0. ¿qué porcentaje de N representa 53? a) 12. Matemático .4% c) 15% e) 19% Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 89 .02% de 2250.9% b) 16. Matemático . ¿Qué tanto por ciento se hubiese ganado si se hubiese vendido en 12 soles? a) 26% b) 24% c) 28% d) 32% e) 30% Resolución: 4 Se compra un artículo y luego se vende ganando S/. 3 El largo de un rectángulo aumenta en 20% y el ancho disminuye en 20%. ¿Cuál es el precio de costo del artículo si lo vendió en S/. 10. 586 c) S/. 150. entonces el área del rectángulo varía en 160m2. 356 d) S/. 585 Resolución: Clave: 90 Clave: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral .Raz. 587 e) S/. ganando el 5% del precio de costo. ¿Cuál era el área inicial? 2 2 a) 200 m b) 4000 m d) 1600 m2 3 Si el precio de un artículo disminuye en 20%. 735? a) S/. 858 b) S/. ¿en cuánto debe aumentar el nuevo precio para volverlo al precio original? a) 20% b) 25% d) 15% 2 c) 400 m e) 2000 m2 c) 30% e) 28% Resolución: Resolución: Clave: 4 Se vende un objeto en S/.4to Sec. 7800 Resolución: Resolución: Clave: 6 Un artículo al venderse se rebaja en 10%.Raz. 4455. Matemático .4to Sec. 5050 Clave: 6 Luego de hacerle dos descuentos sucesivos de 20% y 10% un artículo cuesta S/. 150 c) S/. 175 e) S/. 4800 e) S/. pero se le vuelve a rebajar 10% pagando así S/. 8100 e) S/. 8000. 250 d) S/. luego se le recarga en 10%. 5500 c) S/. 200 5 Se quiere vender un artículo a S/. 300 b) S/. 280 c) S/. para que haciendo un descuento del 20% todavía se esté ganando el 25% del costo? a) S/. ¿Cuál era el precio inicial? a) S/. pero luego se le hacen aumentos sucesivos del 20% y 25% y a lo obtenido dos descuentos sucesivos del 25% y 20%. 160. 400 Resolución: Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 91 . 350 e) S/. ¿A cómo se vendió finalmente? a) S/. 288. 7200 d) S/. 5200 b) S/. 5000 d) S/. 320 d) S/. ¿Qué precio debe fijarse para su venta al público. 1300 c) S/. 300 b) S/. 9000 b) S/. ¿Cuál era su precio original? a) S/. 5 Se compró un artículo en S/. 6000 b) S/. 5300 Resolución: Resolución: Clave: 8 Clave: Si gasto el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría. entonces ambos recibirían lo mismo. entonces equivalen a un único descuento del: a) 21.5% d) 26.2% c) 22.4% e) 20. Matemático .8% Resolución: Clave: Clave: NOTA Sello y Firma del Profesor 92 Formando líderes con una auténtica educación integral .4to Sec. Si ha obtenido 85 triunfos de 100 peleas. perdería 156. 11250. 6500 d) S/. ¿Cuánto tengo? a) 3500 b) 2000 d) 1560 c) S/. y un aumento del 10%. 5500 e) S/. Si el mayor hubiese recibido 20% menos y el menor 30% menos. 7 Un boxeador decide retirarse cuando tenga un 90% de triunfos en su carrera.6% b) 23.Raz. ¿cuál es el número mínimo de peleas adicionales necesarias para que el boxeador pueda retirarse? a) 5 b) 25 d) 75 7 c) 50 e) 10 Un padre reparte entre sus dos hijos una propiedad de S/. ¿Cuánto recibió el hermano mayor? a) S/. 5250 c) 1500 e) 1800 Resolución: 8 Si se hacen dos descuentos sucesivos del 20% y 10%. de norte a sur.... Dominó el siglo XIX en matemáticas. t3 . tn.. y que si por simple pasatiempo contáramos los granos de trigo del montón a razón de 5 granos por segundo. para lo cual mandó llamar al inventor a su palacio. .. t2 .. al cabo de un tiempo los calculistas de palacio comunicaron al rey que tal pedido era imposible". contando día y noche sin parar. .+3+2+1 101x100 S= 2 Un ejemplo sobre series nos da la siguiente historia: "El rey de la India. El invento constaba de un tablero de 64 cuadrículas y 16 piezas. Para conseguir dicho volumen se afirma que la Tierra convertida.. El rey ordenó que se entregue lo pedido por Lahur Sessa. Serie Aritmética La serie aritmética es la adición indicada de los términos de una sucesión (progresión aritmética). El inventor de dicho juego ordenó que se le diese 1 grano por el primer casillero. a3. Capítulo 12 Series Numéricas Karl Friedrich Gauss (1777-1855): Llamado el Príncipe de las Matemáticas. Gauss inmediatamente escribió su resultado en la pizarra: 5050..+98+99+100 (+) S = 100+99+98+. . si la sucesión numérica es: t1. en reconocimiento al ingenioso invento realizado por Lahur Sessa decidió darle una recompensa.a1 +1 r cálculo de la suma de términos Formando líderes con una auténtica educación integral Sn= a1 + an n 2 93 . a2. Desde niño demostró una poderosa habilidad con los números. dedicaríamos a esta tarea 1170 millones de siglos. Definición Una serie es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica. y por cada casillero siguiente el doble de la cantidad anterior. hasta terminar con los 64 casilleros. A los 6 años su maestro de escuela. tardaría 450 siglos en producir semejante cantidad. la serie numérica será: t1 + t2 + t3 + .an a1 : primer término r : razón an : término enésimo cálculo del término enésimo o término general an = a1 + (n -1)r cálculo del número de términos n= a n . ordenó a todos que sumaran los números del 1 al 100.. + tn S=1+2+3+. en un sembrado con una cosecha por año. A los 3 años corrigió un error que su padre había hecho en el cálculo de los salarios de unos albañiles que trabajaban para él. que quería paz en la clase.4to Sec. Es decir. a1. entonces.. Matemático . y al resultado de dicha adición se le llama valor de la serie.Raz. . .. a2. + 20 Serie Geométrica La serie geométrica es la adición de los términos de una sucesión o progresión geométrica... Ejemplos: Suma: a) Z = 1 + 3 + 5 + . + 2n = n(n+1) a1......1) = n2 Donde n es el número de impares consecutivos.. + 57 Series Notables Suma de los «n» primeros números naturales consecutivos  1+2+3+. 94 Formando líderes con una auténtica educación integral .an r r a1 : primer término r : razón an : término enésimo Donde n es el número de pares consecutivos. . a3.. + (2n ... donde r ≠ 1 Suma de los «n» primeros números impares consecutivos  Ejemplo: a) Halla el valor de la siguiente serie: S = 2+4+8+16+ .4to Sec. .+n = n (n + 1) 2 Donde n es el número de sumandos. + 1024 1 + 3 + 5 + .. Ejemplos: Suma: cálculo del término enésimo o término general a) A = 2 + 4 + 6 + ..Raz.. Matemático . Suma de los «n» primeros números pares consecutivos  2 + 4 + 6 + . Ejemplo: Ejemplos: a) Calcula: C =1+4+7+10 + . + 30 an = a1 (rn-1) cálculo de la suma de términos Sn= a1 (rn -1) (r -1) ... + 43 Suma: a) R = 1 + 2 + 3 + . Raz. Pero dentro de cinco años..= + 20 21 21 21 Reto Un problema de adolescencia Carlos es cuatro años más joven que José.+ .3 1 1 1 1 * 3x4 = 12 = 3 .+n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3) 4 1 1 1 1 +.+ +. Matemático ... Suma de los cuadrados de los «n» primeros números naturales consecutivos 12+22+32+. Ejemplos: Suma: a) K=2+7+28+63+ ....+n2= n(n+1)(2n +1) 6 Ejemplo: Calcula: 1 1 1 1 +. Primera forma: Aplicando la fórmula conocida: Suma: a) M = 1 + 4 + 9 + . Segunda forma: Yo sé: Suma de los cubos de los «n» primeros números naturales consecutivos 13+23+33+..+ ... José tendrá dos veces la edad que tiene Carlos ahora.+999 A las fórmulas que ya conoces. + 900 1 1 1 1 20 +. ¿Qué edad tiene en este momento cada uno de ellos? Pista: Uno de ellos es un adolescente...+ + + = 1x2 2x3 3x4 20x21 21 ii.+ + + * n(n+1) 1x2 2x3 3x4 = 1 1 1 * 1x2 = 2 = 1 . * 1x2+2x3+3x4+. Resolución: Ejemplos: i.. le añadiremos algunas más y estarás listo para resolver ejercicios..4 Reemplazando se tiene: 1 1 1 1 1 1 1 . n n+1 Formando líderes con una auténtica educación integral 95 ...+n(n+1) = n(n+1)(n+2) 3 * 1x2x3+2x3x4+3x4x5+.2 1 1 1 1 * 2x3 = 6 = 2 .4to Sec.....+ + + 1x2 2x3 3x4 20x21 Donde n es el número de los sumandos.+n3= n(n+1) 2 2 Donde n es el número de los sumandos.. 2 2 3 3 4 4 1 1 20 1 =1. .+169 Rpta: ________ 2) Calcula: Rpta: ________ 5) S = 1+3+5+7+........D si: B = 2+4+6+8+.. 64. 3) Calcula: E=14+16+18+20+..+46 Calcula B .+2197 Rpta: ________ Formando líderes con una auténtica educación integral .+73 Calcula E = 2(R-P) si: P = 69+67+65+.. Matemático ..Raz.+100 S=32+42+52+..4to Sec.+4+3+2+1 Rpta: ________ Rpta: ________ 6) Halla la suma de los 20 primeros términos de la siguiente sucesión: 1.. . 27..+47 40 términos Rpta: ________ 3) Calcula: Rpta: ________ 96 Rpta: ________ 6) S=2+4+6+8+....+60 Rpta: ________ Rpta: ________ Para Reforzar 1) Calcula: 4) Calcula: S = 3+4+5+...+152 Rpta: ________ Rpta: ________ 2) Calcula: 5) S = 17+19+21+.....+7+5+3+1 R = 50+49+48+....+30 S=1+4+9+. Resolviendo en clase 1) Halla: 4) Calcula: T = 21+22+23+24+.+1 Calcula: S = 1+8+27+. 8..+80 D = 1+1+1+1+. 1 30 sumandos a) 1580 b) 1590 d) 1620 Calcula el valor de F. Matemático ..4to Sec.....+20x21 halla S.+37 a) 170 b) 180 d) 200 c) 1600 e) 1640 Resolución: Resolución: Clave: 2 Dado: S = 10x11+11x12+12x13+. PROBLEMAS PARA CLASE N° 12 Para el profesor: 1 Suma: Para el alumno: 25+27+29+..Raz. F = 1+5+9+.+19x38+20x40 a) 5720 b) 5730 d) 5750 c) 5740 e) 6720 Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 97 ... a) 5640 b) 5740 d) 5410 c) 190 e) 210 c) 2750 e) 5860 Resolución: Clave: 2 Halla el valor de P si: P = 1x2+2x4+3x6+4x8+. 1x2 2x3 3x4 P= (n-1) sumandos n-1 a) b) (n+1) n n+1 d) n Halla: a) 61/60 b) 60/61 d) 60/59 c) n e) 1 1 1 1 + +.+10x11x12x13 a) 46048 b) 43240 d) 36036 c) 45480 e) 48048 4 Halla: M = 1x2x3+2x3x4+3x4x5+. 3 Calcula: E= 3 1 1 1 + + +..4to Sec.Raz.....+ + 1x2 2x3 3x4 60x61 n n-1 c) 59/60 e) 62/61 Resolución: Resolución: Clave: 4 Resuelve: S= 1x2x3x4+2x3x4x5+.+15x16x17 a) 18360 b) 13860 d) 16830 c) 16380 e) 10683 Resolución: Resolución: Clave: 98 Clave: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral ... Matemático .. 9 9 9 2 9 9 2 2 9 9 2 2 2 9 9 c) 1256 e) 1343 6 Dado el siguiente arreglo. ¿Cuántas cajas compró en total si el penúltimo día se compraron 43 cajas? a) 623 b) 819 d) 430 c) 196 e) 234 c) 720 e) 580 Resolución: Resolución: Clave: 6 En el siguiente arreglo hay 30 filas. Matemático . Halla la suma total. a) 960 b) 1190 d) 1640 Clave: Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4 Fila 5 Fila 20 Resolución: Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 99 .. vende 4 y regala 2. a) 3421 b) 3434 c) 3424 d) 3224 e) 3422 1 2 4 3 2 9 4 2 2 16 5 2 2 2 25 . halla la suma total.. 5 Un comerciante negocia sus caramelos de la siguiente manera: vende 2 y regala 1.4to Sec. ¿cuántos caramelos tenía al principio? a) 156 b) 172 d) 212 5 Lolo compra el día de hoy 19 cajas de tomates y ordena que cada día que transcurra se compre una caja más que el día anterior.Raz. y así sucesivamente. vende 6 y regala 3. Si en total ha regalado 78 caramelos y no le ha quedado absolutamente nada. Matemático ..: use suma límite) a) 32 cm b) 16 cm d) 48 cm c) 64 cm e) 128 cm Clave: 8 Si: 1 1 1 infinitos y=1+ + + +. a) 2 8a 3 2 d) 16a 3 U= 1 2 3 4 + + + +. 2 4 8 sumandos halla y. a) 0 b) 1 d) 3 c) 2 e) 4 Resolución: Resolución: Clave: Clave: NOTA Sello y Firma del Profesor 100 Formando líderes con una auténtica educación integral . Calcula el espacio total recorrido por la masa hasta el momento de detenerse.... tomando como lado la mitad del lado del cuadrado anterior. 7 Calcula la suma de las áreas de los infinitos cuadrados así formados. En cada una de las oscilaciones siguientes la masa recorre 3/4 de lo recorrido en la oscilación anterior. ∞ 8 82 83 84 c) 8/50 e) 5/49 Resolución: O 2a Calcula: a) 7/49 b) 9/49 d) 8/49 2a b) 16a2 c) 4a2 7 2 e) 12a 5 Resolución: Clave: 8 La masa de un péndulo recorre 16 cm durante la primera oscilación.4to Sec. (Sug.Raz. Considera también al cuadrado mayor. ángulos = • Este método se emplea para determinar las fórmulas en ciertos casos particulares. para triángulos n-1 Dentro de estos casos tenemos: 3 2 1 101 . 23. 3 = 3 De 2 figuras : 12. triángulos = n n(n+1) 2 Formando líderes con una auténtica educación integral . i.. Matemático .. Nº. 3 x. para ángulos • Consiste en analizar casos particulares y luego generalizar para hallar el total. Capítulo 13 Conteo de Figuras conteo numérico Consiste en poner dígitos a las figuras que nos interesa contar e ir combinándolos en forma ordenada.4to Sec. 1 2 3 . 2..Raz. n-1 Ejemplo: n ¿Cuántos triángulos hay? Ejemplo: ¿Cuántos triángulos hay? 1 2 x 3 De 1 figura : 1. 2 Ii. 1x = 4 De 4 figuras : 123x = 1 Total : 8 1 3 4 5 Nº. n(n+1) 2 Nº. triángulos = 5(6) = 15 2 conteo por inducción • Se utiliza en casos donde la cantidad de figuras a contar parezca muy grande.. IV. sólo para ciertos casos particulares... Matemático . sectores = n(n+1) 2 Nº. para cuadriláteros n . 2 1 n=5 Iii.. n Ejemplo: 4(5) 2 = 10 ¿Cuántos cuadrados hay? 5 Nota 4 3 2 No existen fórmulas generales.... ángulos = 2 2 1 1 2 3 . para cuadrados Ejemplo: ¿Cuántos ángulos hay? Nº. m(m+1) 2 2 ¿Cuántos sectores circulares hay? Ejemplo: 4 ¿Cuántos cuadriláteros hay? 3 2 1 4x5 2 4 3 2 1 4x5 = 10 Nº. cuadrados = n(n+1)(2n+1) 6 . cuadriláteros= Ejemplo: 3 .4to Sec. cuadriláteros = 102 2 5x6 4x5 x = 150 2 2 Formando líderes con una auténtica educación integral . sectores = 2 3 4 5 5x6 2 En total: 10 . cuadrados = 4 3 5 5 x 6 x 11 = 55 6 V.... para SECTORES CIRCULARES Nº.. 2 = 20 sectores. n 3 4 3 Nº. n-2 n-1 n n(n+1) . m m(m+1) 2 2 1 2 3 2 n(n+1) 2 1 Nº. . Nº.Raz. veamos: VII.. n . para cubos Ejemplo: 1 .Raz..: d 103 . Matemático . n Halla el número total de semicírculos en la siguiente figura: . cubos = n(n+1) 2 2 a) 8 b) 12 d) 16 c) 14 e) 20 Ejemplo: Para n = 3 tenemos: Resolución: 2 ( = 36 cubos (3(4) 2 Este tipo de ejercicio también se resuelve por medio de fórmula.. para semicírculos 7 6 5 4 3 8 diámetro 2 1 8 1 2 3 4 5 6 7 Luego: Fórmula: Número de semicírculos=2(8)=16 Número de Número de = 2 diámetros semicírculos trazados Formando líderes con una auténtica educación integral Rpta..4to Sec.. VI.. 1 n Nº. 32 33 Rpta: ________ Formando líderes con una auténtica educación integral ... Rpta: ________ 5) Halla el total de ángulos menores de 180º. indica la cantidad de triángulos que existen como máximo. H 6) G Rpta: ________ Halla el total de triángulos en: Rpta: ________ Rpta: ________ Para Reforzar 1) ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura? 4) ¿Cuántos cuadriláteros como máximo hay en la siguiente figura? Rpta: ________ Rpta: ________ 2) ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? 5) ¿Cuántos triángulos como máximo se cuentan en la siguiente figura? Rpta: ________ 3) ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? Rpta: ________ 6) ¿Cuántos segmentos se cuentan en la siguiente figura? 1 Rpta: ________ 104 2 3 4 . A Rpta: ________ B 2) En la siguiente figura.Raz.4to Sec. C D E F Rpta: ________ 3) Determinar la cantidad de cuadrados que hay en la siguiente figura. Matemático . Resolviendo en clase 1) ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? 4) Halla el total de segmentos que se observan. Matemático . PROBLEMAS PARA CLASE N° 13 Para el profesor: Para el alumno: 1 ¿Cuántos cuadriláteros se pueden observar como máximo en esta figura? 1 ¿Cuántos triángulos se puede contar como máximo en la siguiente figura? a) 5 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 a) 165 b) 105 c) 60 d) 30 e) 90 Resolución: Resolución: Clave: 2 ¿Cuántos triángulos hay en la figura? a) 30 b) 36 c) 40 d) 44 e) 48 Resolución: Clave: 2 ¿Cuántos triángulos existen en total en la siguiente figura? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 105 .Raz.4to Sec. 3 Halla el número de octóganos en la figura mostrada.4to Sec. Matemático .Raz. a) 15 b) 18 c) 20 d) 21 e) 24 a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) 25 Resolución: Resolución: Clave: Clave: 4 Halla el número total de triángulos en la figura mostrada. 4 Halla el total de triángulos. 3 Halla el número total de hexágonos en la figura mostrada. a) 25 b) 38 c) 42 d) 40 e) 27 a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 Resolución: Resolución: Clave: 106 Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral . a) 80 b) 92 c) 82 d) 93 e) 94 a) 140 b) 142 c) 144 d) 150 e) 154 r r Resolución: Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 107 .4to Sec. 5 Halla cuántos triángulos tienen un asterisco. 5 ¿Cuántos triángulos tienen sólo un asterisco? a) 2 b) 6 c) 5 d) 7 e) N.Raz. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 * * Resolución: * * * Resolución: Clave: Clave: 6 ¿Cuántos sectores circulares existen en la figura mostrada? 6 Halle el número total de sectores circulares existentes en la figura. Matemático .A. . a) 21 b) 28 c) 30 d) 36 e) 37 Resolución: Resolución: Clave: Halla el número de triángulos. 1 2 3 17 18 19 Resolución: Clave: Clave: NOTA Sello y Firma del Profesor 108 Formando líderes con una auténtica educación integral .. 8 Clave: . ¿cuántos cuadrados se contarán en total? a) 403 b) 400 c) 350 d) 324 e) 460 1 2 a) 60 b) 63 c) 65 d) 67 e) 70 3 4 5 ...4to Sec.A.... a) 26 b) 29 c) 32 d) 33 e) N...Raz.. 8 Si la figura está formada por cuadraditos iguales. ....... 6 20 Resolución: ... 7 ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura? 7 Determina cuántos trapecios hay en la siguiente figura... Matemático ... Raz.. Por axioma de las matemáticas. se define que: 0! = 1.. Así: 7! = 7 x 6 x 5! 9! = 9 x 8 x 7x 6! (n-1)! = (n-1) x (n-2) x (n-3)! Formando líderes con una auténtica educación integral 109 . x n.4to Sec. hasta completar dicho número. Matemático . 14 * Solamente está definido el factorial para números enteros y positivos así por ejemplo: 8! = 8 Factorial Factorial de un número es el producto de los números enteros positivos y consecutivos comprendidos desde el número 1 hasta el número indicado inclusive. tales como el factorial de un número y los números combinatorios. (-6)!= -6 Factorial de (-6) (no existe) 6! 6 = 2 2 Un medio factorial de 6 (si existe) -5! = . Solamente existe factoriales para números enteros y positivos. n ∈ Z notación: n = n = n! Se lee "factorial de n o n factorial" descomposición canónica de un factorial 3! = 3 = 1x2x3 = 6 4! = 4 = 1x2x3x4 = 24 5! = 5 = 1x2x3x4x5 = 120 6! = 6 = 1x2x3x4x5x6 = 720 7! = 7 = 1x2x3x4x5x6x7 = 5 040 Nota Los factoriales mayores que 5 o igual que 5. El factorial de un número puede ser siempre descompuesto como el producto de factorial de otro número menor que él por todos los números consecutivos a este último. Capítulo Análisis Combinatorio I Para realizar el estudio del análisis combinatorio se hacen necesarias algunas herramientas. 1! = 1 III. + n! = 1 x 2 x 3 x . Es decir: si n = n! Donde: n: Entero y positivo Ejemplos: 2! = 2 = 1x2 = 2 Factorial de 8 (si existe) II.5 Menos factorial de 5 (si existe) 1 1 != 4 4 Factorial de 1/4 (no existe) propiedades de los factoriales I. siempre terminarán en cero. . .m! m! m !≠ n! n V.º de ceros=2 = Exponente del 5 De lo anterior. 110 Aplicando divisiones sucesivas: 78 5 3 15 - 5 3 N.m)! ≠ n! . deducimos que la cantidad de ceros depende directamente del exponente de 2 ó 5. donde a y b son diferentes de cero. .Raz. .º de ceros = x=140+28+5+1 N. . 00 Resolución: x cifras a!+a!(a+1)+a!(a+1)(a+2) a!+a!(a+1) = a! a a![1+(a+1)+(a+1) (a+2)] a! a![1+(a+1)] = a a[(a+2)+(a+1)(a+2)] = a![a+2] Factorizando: a(a+2)[1+(a+1)]= a![a+2] a(a+2) = a! ↓ ↓ 4 x 6 = 4! ∴a=4 Nota En el principio de adición.4to Sec. en forma más explícita podemos afirmar que la cantidad de ceros está dado por el menor exponente del factor 2 o del factor 5. o bien ocurre un caso o bien el otro caso. 1500=3 x 53 x 22. .º de ceros=2 = Exponente del 2 2200=11 x 52 x 23 . Ejemplos: Determina en cada caso en cuantos ceros termina cada factorial: 23!. . entonces N.28 5 3 5 5 . IV. . . Una regla práctica sería aplicar divisiones sucesivas. (x+3)! = 8! ⇒ x + 3 = 8 ∴ x = 5 Ejemplo 1: Halla la suma de cifras de (2x)! si (x+1)! = 24 Resolución: (x+1)! = 24 = 1 x 2 x 3 x 4 (x+1)! = 4! de lo cual se deduce: x+1 = 4 ∴x=3 Buscamos (2x)! = 6! = 720 Nos pide la suma de cifras: 7+2+0=9 aplicaciones de las factoriales Cantidad de ceros en que termina la factorial de n: (n ≥ 5) Para determinar la condición que nos permita determinar la cantidad de ceros finales de la factorial de n (n ≥ 5).º de ceros = 18 * 700! = .140 5 . Matemático . 00 . pero nunca pueden ocurrir simultáneamente. 00 x cifras Aplicando divisiones sucesivas: 700 5 . 00 .1 N. 00 x cifras Aplicando divisiones sucesivas: Ejemplo 2: 23 5 3 4 Calcula "a" en: a!+(a+1)!+(a+2)! a!+(a+1)! = a! a N. las siguientes operaciones no se cumplen: (n+m)! ≠ n!+m! (n .º de ceros = x = 4 * 78! = . . Si a! = b! ⇒ a = b. 78! y 700! * 23! = . En factoriales.º de ceros = x =15+3 N. 00 . analicemos algunos ejemplos. .º de ceros = 174 Formando líderes con una auténtica educación integral . entonces N. . 111 . ¿de cuántas maneras diferentes podrá combinar sus prendas? Resolución: B1 B2 Ejemplo 3: B3 De una ciudad "A" a otra ciudad "B" hay 4 caminos diferentes y de la ciudad "B" a la ciudad "C" hay 3 caminos diferentes. ¿cuántas maneras tenemos para decidir nuestro viaje? Q3 Q4 F3 Resolución: Punto de partida Q5 Punto de llegada 3 maneras de prestar 5 maneras de prestar Para el tren hay 3 maneras de llegar.º de maneras = 3 + 4 = 7 II. ∴ N. Principio de Multiplicación Si el suceso "A" se puede realizar de "m" maneras y el suceso "B" se puede realizar de "n" maneras. principios fundamentales Luego. el número de maneras de ir de "A" a "C" son: I.º de maneras = 3 x 5 = 15 Punto de partida Punto de llegada Para el microbus hay 4 maneras de llegar. Si hay 3 rutas para el tren y 4 para el ómnibus. Principio de Adición Si el suceso "A" puede realizarse de "m" maneras y el suceso "B" de "n" maneras. entonces el suceso "A" o el suceso "B" se puede realizar "(m+n)" maneras. Matemático . ∴ N.4to Sec. Ejemplo 5: Si se tiene 5 blusas de distintos colores y 7 pantalones de distintos colores. ¿cuántas maneras de calzar tiene en total? Ejemplo 4: Un alumno tiene 3 libros de física y una alumna tiene 5 libros de química.Raz. entonces los sucesos "A" y "B" se pueden realizar en forma conjunta de: m x n maneras siempre que se efectúe uno después del otro.º de maneras = 4 x 3 = 12 Ejemplo 1: Si se tiene 3 pares de zapatillas distintas y 5 pares de zapatos diferentes. ¿De cuántas maneras se podrá ir de "A" a "C"? Resolución: A B Hay 4 maneras de ir de A a B P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 ∴ N. ¿De cuántas maneras podría prestarse un libro? Resolución: Resolución: Q1 Zapatillas (A): A1+A2+A3 = 3 Zapatos (B): B1+B2+B3+B4+B5= 5 F1 Q2 ∴ N.º de maneras = 3 x 7= 21 C Hay 3 maneras de ir de B a C Formando líderes con una auténtica educación integral Nota Este principio se puede generalizar para más de dos sucesos.º de maneras: 3+5=8 Ejemplo 2: F2 Proyectamos un viaje y decidimos ir en tren o en microbús. ∴ N. Se dispone de 3 rutas a Lima y 5 rutas de Lima a Tumbes. (n-8)! = 1 15!+16!+17! E= 15! x 17 Rpta: ________ Rpta: ________ 5) Se desea hacer parejas (varón y mujer) con 8 varones y 5 mujeres.4to Sec. ¿De cuántas maneras se puede viajar? Rpta: ________ Formando líderes con una auténtica educación integral . Resolviendo en clase 1) Efectúa: E= 4) 9! x 3!+5! x 8! 29 x 8! Reduce: 11 x 32! x 24! K= 2! x 33! x 23! Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ 5) Katty desea ir a una fiesta para lo cual dispone de 3 blusas. A B Rpta: ________ 112 Rpta: ________ 6) Se desea viajar a Tumbes pasando por Lima. 2 faldas y 4 chompas (todas las prendas de diferente color). ¿De cuántas maneras distintas se puede vestir Katty considerando los 3 tipos de prenda? 2) Halla el valor de "n" en: n!(n!-1) 15 = n!-2 2 Rpta: ________ 3) En la figura. Matemático . de cuántas maneras se puede llegar de A hasta B sin regresar en ningún caso.Raz. ¿De cuántas maneras distintas se puede ir de la ciudad 1 a la ciudad 4? 1 2 3 4 6) Para ir de A a B hay 3 rutas diferentes y para ir de B a C hay 5 rutas diferentes. ¿Cuántas parejas se pueden formar? 2) Halla el valor de "x" en: (x-4)! = 120 Rpta: ________ 3) En la figura. cada línea representa un camino. ¿Cuántas rutas diferentes hay para ir de A a C pasando por B? Rpta: ________ Rpta: ________ Para Reforzar 1) Calcula: 4) Halla la suma de valores de "n". PROBLEMAS PARA CLASE N° 14 Para el profesor: 1 Dado que: 1 A Para el alumno: B C ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir y volver de "A" a "C" si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida? a) 11 b) 24 d) 144 c) 23 e) 132 Resolución: A la cumbre de una montaña conducen 7 caminos. a) 15 b) 13 d) 18 (x+2)(x+1)x! = (5x-58)! c) 16 e) 19 Resolución: Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 113 . con la condición de que el ascenso y el descenso tiene lugar por caminos diferentes es: a) 36 b) 42 d) 39 Resolución: Clave: 2 Si: (x+3)!+(x+1)!(x+2)(x+3)=240 calcula el valor de: (x+1)! E= x! a) 2 b) 3 d) 5 c) 40 e) 41 c) 4 e) 6 Clave: 2 Halla "x".4to Sec. Matemático . El número de maneras que puede trepar un hombre una montaña y descender de ella.Raz. 2 pantalones y 4 polos. 3 Simplifica: a) a+1 b) a d) a+2 (a-1)!+a!+(a+1)! A= (a-1)!+a! c) a-1 e) a-2 3 Reduce: a) 24 b) 25 d) 27 Resolución: (3!)! (2!)! (4!)! + + 120x6 2 23! Resolución: Clave: 4 c) 19 e) 17 Resolución: 4 De cuántas maneras se puede comprar cualquiera de los objetos señalados en la lista: 3 camisas.4to Sec.Raz. Matemático . ¿De cuántas formas se puede vestir? a) 60 b) 12 d) 23 c) 26 e) 28 Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral . 5 pantalones y 3 pares de zapatillas. a) 24 b) 10 d) 9 c) 11 e) 14 Resolución: Clave: 114 Clave: Juan quiere vestirse eligiendo una prenda de cada clase y dispone de: 4 polos. 4 y 6. ¿Cuál es el mayor número de combinaciones erradas que podría intentar? a) 18 b) 24 d) 56 a) 48 b) 21 d) 26 c) 60 e) 72 Resolución: c) 27 e) 35 Resolución: Clave: 6 Halla "n" en: a) 2 b) 3 d) 5 n!+6! 7 = E= n!(n!+1) 121 c) 4 e) 6 Resolución: Clave: 6 Determina "x" en la igualdad: x+1 ! = 720 2 a) 1439 b) 11 d) 1470 c) 9 e) 1 Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 115 .4to Sec.Raz. para que entren los cuyes. ¿De cuántas maneras diferentes pueden entrar los cuyes si a cada orificio sólo puede entrar un cuy? 5 Un ladrón quiere abrir una caja fuerte cuya clave consta de tres dígitos. 5 En un juego de cuyes intervienen 2 cuyes hay 4 cajones con 2 orificios cada uno. Solamente sabe que los dígitos posibles son 2. Matemático . + 99! 89! 97! 0! a) 5 050 b) 10 100 d) 10 000 c) 5 000 e) 5 500 Resolución: Clave: Clave: NOTA Sello y Firma del Profesor 116 Formando líderes con una auténtica educación integral .4to Sec. Matemático . 7 Si: (n+1)! = (n-2)![125-n]..Raz. calcula n +1 a) 10 b) 5 d) 7 c) 6 e) 9 7 Halla el valor de "m" si: (m+1)!(m-1)! = 36m+(m!)2 a) 2 b) 3 d) 5 Resolución: Resolución: Clave: 8 Clave: 8 Resuelve: 2 3 4 c) 4 e) 6 Reduce: 4+ 5+ 6 9 x 7 + 8 = 1024 a) 10/9 b) 9/10 d) 10/3 c) 3/10 e) 2 Resolución: 100! 99! 98! 1! + + +.. las que muestran en la figura. d} Resolución: 4 4! V2 = (4-2)! =12 maneras Ejemplo 2: ♦ El primer alumno puede ocupar cualquiera de las 7 aulas. Variaciones o Arreglos Variación es cada una de las ordenaciones que pueden formarse con varios elementos. existiendo para este alumno 6 posibilidades de tomarlo. existiendo 7 posibilidades de tomarlo. A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 El número de maneras de ordenar a "n" elementos de un conjunto. de modo que dos ordenaciones cualquiera del mismo número de elementos se diferencien por lo menos. ¿De cuántas maneras se les puede distribuir de modo que siempre ocupen aulas diferentes? Resolución: Sean las 7 aulas. tomadas de uno en uno.4to Sec. Capítulo 15 Análisis Combinatorio II Es parte de la matemática que estudia las diferentes maneras de seleccionar a los elementos de un conjunto. en un elemento o por el orden en que están colocados. ♦ El segundo alumno puede ocupar cualquiera de las 6 aulas que quedan por ocupar. c. 7 V3 Luego: 7! 7! = = =5x6x7= 210 (7-3)! 4! N. tomadas con varios elementos. existiendo 4 posibilidades de tomarlo. de dos en dos. tomados de "r" en "r" es: n n! Vr = (n-r)! 4 posibilidades 5 posibilidades 6 posibilidades 7 posibilidades Ejemplo 1: Indica de cuántas maneras se pueden ordenar a dos elementos del conjunto: {a. ♦ El cuarto alumno puede ocupar cualquiera de las 4 aulas restantes. ♦ El tercer alumno puede ocupar cualquiera de las 5 aulas restantes. b.º de maneras =7x6x5x4 = 840 Por fórmula: m m! Vn = (m-n)! Ejemplo 3: 5 5! 5! V2 = (5-2)! = 3! =4 x 5= 20 Ejemplo 4: Donde: m = 7 y n = 4 Luego: m m! m! m! Vm = (m-m)! = 0! = 1 = m! Formando líderes con una auténtica educación integral 7 7! 7! V4 = (7-4)! = 3! =4x5x6x7= 840 7 V4 = 840 maneras 117 . Matemático . de tres en tres. existiendo 5 posibilidades de tomarlo.Raz. Ejemplo 5: Cuatro alumnos llegan a matricularse a una academia que dispone de 7 aulas. 5) y (2. Por ejemplo: - Cuando cuatro elementos se ponen en línea para recibir un premio. cab Permutaciones. - Cuando intento formar un número de cifras con los dígitos "1". b.k)= a usk Laura Pedro n Pk 2 Miluska 3 Mil ra 1 Lau Se da cuando los elementos considerados son todos distintos y se arreglan u ordenan en línea recta. c permutaciones de 3 elementos Hay seis posibles soluciones. de modo que dos grupos cualesquiera contienen los mismos elementos y solamente difieren en el orden que están colocados.4to Sec. la característica principal es el orden de sus elementos. Diana y Cecilia desean tomarse una foto en una banca. son aquellas variaciones de tipo: m V n En donde: m = n Pedro.3)= 3! 3! = = 3! (3-3)! 0! 3 P 3 = 1 x2x3 = 6 permutaciones circulares A diferencia de las permutaciones lineales donde interesa los lugares que los objetos ocupan. n! = n! 0! Luego: Pc(n) = (n-1)! "n ∈Z+" Ejemplo 8: Ejemplo 6: Juan.0<k≤n (n-k)! = P(n.n) o uska ¿Qué pasa si k = n? 5 4 r Ped Mil n! . 4. 3. en este tipo de permutaciones lo que importa es la posición relativa de los objetos entre sí. ¿De cuántas maneras diferentes podrán hacerlo? ¿De cuántas maneras pueden sentarse 6 personas alrededor de una mesa redonda? Resolución: Resolución: Por fórmula: Juan Juan Diana Diana Cecilia Cecilia 118 Diana Cecilia Juan Cecilia Juan Diana Cecilia Diana Cecilia Juan Diana Juan Pn-1 = (n-1)! Donde: n = 6 Luego: P6-1 = (6-1)! = 5! = 120 Formando líderes con una auténtica educación integral . o o Ped r ra Lau usk a Mil usk a Mil ra n! (n-n)! 6 Lau o = r Ped n Miluska Laura Se tendría: P n = P = (n. "2" y "3" (sin repetir). En toda la permutación. bac. ¿De cuántas maneras diferentes podrán hacerlo? = n! Pn= n! Resolución: Aparentemente las soluciones posibles son (6). Permutaciones Se llama permutaciones a las variaciones en las que entran todos los elementos en sus diversas ordenaciones. 6) por lo cual sólo hay dos soluciones posibles. El número de permutaciones de "n" elementos tomados de "k" en "k" está representado por: Ped r permutaciones lineales ra ∴ Ejemplo 7: Lau m P n= V n Pedro pero de notar que algunas coinciden por rotación: (1. Laura y Miluska desean sentarse alrededor de una mesa circular con tres asientos. abc. cba. Matemático . ¿Como resolvería el problema usando la fórmula de permutación? 3 P 3 = P(3. bca. Sean los elementos: a.Raz. acb. Raz. IMIM. 5. IMMI..4to Sec. MIMI. n : Representa el número de elementos con lugares fijos. es decir. Entonces el número de permutaciones de "n" elementos de los cuales se repiten algunos. Lugar fijo Existen 3 posibilidades de tomar las cifras que quedan. Ejemplo 9: n P k1. MIIM. está dado por: Pm-n = (m-n)! Donde: m : Representa el número total de elementos. 5.k= 1 m = 4 elementos en total éstos son: 2.º total de elementos) m1 = 3 (el triángulo se repite tres veces) m2 = 2 (el círculo se repite dos veces) 119 .. 5. Matemático . 1. 8 y 3= 1 x 2 x 3 = 6 Por fórmula: Resolución: Pm-n = (m-n)! Por fórmula: Donde: n Pk. elementos de la clase "M" elementos de la clase "A" elemento de la clase "I" elemento de la clase "T" En total seis elementos n Existen 2 posibilidades de tomar las cifras que quedan. Supongamos que tenemos "n" elementos tales que hay "k1" elementos repetidos de una clase. deben tener como primera cifra (lugar fijo) el 8. km = n! k1! k2! k3! km! Ejemplo 10: ¿Cuántos números mayores de 8000 se podrán formar con las siguientes cifras: 2. Ocurre cuando los elementos a ordenar no son todos ellos distintos. el número de agrupaciones será el que se puede formar con los demás elementos.. k2. permutaciones con lugares fijos permutaciones con repetición Si se establece que determinados elementos han de ocupar lugares fijos. "k2" elementos repetidos de una segunda clase y así sucesivamente hasta "km" elementos repetidos de una enésima clase. Con las letras de la palabra MIMI puedo obtener los siguientes ordenamientos: MMII. Luego: Los números mayores de 8000 que puede tomar con: ⇒ P 2.. 8 y 3 n = 1 elemento fijo es el 8 2 n! k1! k2! Donde: Luego: P4-1 = P3 = 3! = 6 Formando líderes con una auténtica educación integral m = 6 (N. 2. 1 = 6! 6! = 2 x2 2!x2!x1!x1! = 180 Ejemplo 11: ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las siguientes figuras geométricas? 2. IIMM (seis ordenamientos). 8 y 3? ¿Cuántos ordenamientos diferentes se pueden realizar con todas las letras de la palabra MAMITA? Resolución: Resolución: Los números mayores de 8000. hay un elemento o más de uno que se están repitiendo una o más veces. 2 2 1 1 8 Existe 1 posibilidad de tomar la cifra que queda. El número de grupos diferentes con "k" elementos disntitos. 1. viene dado por: Resolución: Combinaciones n! n C k = k!(n-k)! .Raz. Matemático .a 4! 4! 4 C 2 = 2!x(4-2)! = 2!x2! = 6 El número de combinaciones de "m" elementos tomados de "n" en "n" es igual al número de combinaciones de "m" elementos tomados (m-n) en (m-n) Ejemplo 13: m Combinaciones Complementarias 2. Hugo y Diana son candidatos para integrar una comisión de dos personas. Luego: Diferencia entre Combinaciones y Variaciones 6 6! 4x5x6 = 3!x 2! 2! 6 4x5x6 = 60 2 P 3. los cuales se agrupan de "k" en "k". abd bcd Dos combinaciones son diferentes sólo si difieren por lo menos en un elemento. o también: 7! 5x6x7 7 = 35 C 4 = 3!x4! = 6 Notamos que: Ejemplo 12: 4! 4 C 3 = (4-3)! x 3! = 4 Eymi. calcula las variaciones y las combinaciones de los elementos de "A" tomados de 3 a la vez.a Resolución: 4! 4 C 3 = (4-3)!x3! = 4 120 m C n = C m-n ¿Cuántos grupos de tres letras se pueden determinar con las letras: "a". b. "c" y "d"? m-1 Cn m-1 m + C n-1 = C n Formando líderes con una auténtica educación integral . Ejemplo 14: Dado el conjunto A = {a. d}. c. 2 = P 3. n ≥ k ≥ 0 abc En una combinación no interesa el orden de sus elementos. Rocío. Combinaciones Consideremos "n" elementos distintos. 2 = Las combinaciones se diferencian por sus elementos y las variaciones por el orden de los mismos. ¿Cuántas posibles comisiones podrán conformarse? k=2 y 4! 4! 4 V 3 = (4-3)! = 1 = 24 Resolución: n = 4 acb adb adc bdc propiedades Es una combinación. Así por ejemplo: 5 4 3 5 C 3 = 1 x 2 x 3 = 10 Variaciones o también: 5! 4x5 5 C 3 = 2!x3! = 2 = 10 abc abd acd bcd 7 6 5 4 7 C 4 = 1 x 2 x 3 x 4 = 35 bac bad cad cbd bca bda cda cdb cab dab dac dbc cba dba dca dcb Si cambiamos el orden de los elementos se produce una variación distinta a la anterior. "b". pues no interesa el orden.4to Sec. Resolviendo en clase 1) ¿De cuántas maneras se pueden disponer cinco niños en una fila? 4) ¿De cuántas formas se pueden ordenar 6 amigos en una misma fila todos juntos? Rpta: ________ Rpta: ________ 2) Halla: 5) Con las cifras: 1. ¿De cuántas maneras una persona podrá llevarse tres de estos artículos? Rpta: ________ Rpta: ________ 1) ¿De cuántas formas se pueden ordenar a. azúcar. Matemático . ¿Cuántas melodías se pueden componer? 6) En una bodega se venden: fideos. 3. b y c en un mismo estante? 4) ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las vocales en una fila? Rpta: ________ Rpta: ________ Para Reforzar 5) ¿Cuántas señales se pueden hacer con cinco banderolas de colores diferentes. ¿cuántos números pares de cuatro cifras diferentes se puede formar? 12 V 3 -5! Rpta: ________ Rpta: ________ 3) Una melodía musical debe estar formada por cinco notas diferentes. ¿De cuántas maneras podrá invitar a las 5 amigas. pero su mamá le ha dicho que sólo invite a 5 de ellas. ¿Cuántas comidas diferentes puede hacer la persona? 6) Mónica tiene 9 amigas en la academia y quiere invitarlas a su casa para escuchar música. si de todas maneras debe invitar a Rosa que es su mejor amiga? Rpta: ________ Rpta: ________ Formando líderes con una auténtica educación integral 121 . 5. 7. arroz. usando tres de ellas en cada señal? 2) Halla "n" en: n C 2 = 28 Rpta: ________ Rpta: ________ 3) Un comensal se sirve en cada comida cuatro platos de los nueve que son de su agrado. y 9.Raz.4to Sec. 2. frijoles y lentejas. 3. PROBLEMAS PARA CLASE N° 15 Para el profesor: Para el alumno: 1 ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con: 1. sin importar su significado? a) 6! b) 7! d) 9! a) 120 b) 360 d) 320 c) 8! e) 10! Resolución: c) 480 e) 210 Resolución: Clave: 122 c) 600 e) 36 Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral .4to Sec. 5. 8 y 9? 1 ¿De cuántas maneras se pueden disponer los jugadores de fulbito en la cancha? a) 120 b) 60 d) 142 a) 120 b) 720 d) 12 c) 136 e) 63 Resolución: Resolución: Clave: 2 Clave: ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar que tengan o no significado con todas las letras de la palabra ESTUDIAR? 2 ¿Cuántas palabras de cuatro letras se pueden formar con las letras de la palabra MENTOR. Matemático .Raz. 4. Raz. Matemático - 4to Sec. 3 En un torneo pugilístico participan 7 boxeadores. Si pelean todos contra todos, ¿cuántas luchas se realizarán? 3 ¿De cuántas maneras se puede formar una comisión de 4 alumnos, de un salón que tiene 20 alumnos? a) 71 b) 5040 d) 42 a) 4548 b) 4845 d) 3610 c) 21 e) 6 Resolución: Resolución: Clave: 4 ENUNCIADO (1): Un marinero tiene siete banderolas del mismo tamaño, pero de colores diferentes; si las iza en un mástil una a continuación de otra: ¿Cuántas señales diferentes podrá hacer con tres de ellas? a) 35 b) 210 d) 6 c) 3616 e) 116280 c) 5040 e) 21 Clave: 4 Del Enunciado (1): Con cinco de ellas, siendo la primera siempre blanca y la última amarilla, ¿cuántas señales diferentes podrá hacer? a) 60 b) 10 d) 210 c) 120 e) 20 Resolución: Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 123 Raz. Matemático - 4to Sec. 5 ENUNCIADO (2): El capitán de un yate solicita tres marineros, pero se presentan siete: ¿De cuántas maneras diferentes podrá elegir tripulación? a) 35 b) 210 d) 21 c) 5040 e) 6 5 Del ENUNCIADO (2) ¿De cuántas maneras elegirán la tripulación si Sandro siempre debe pertenecer a ella? a) 6 b) 30 d) 18 c) 15 e) 20 Resolución: Resolución: Clave: Clave: 6 ¿De cuántas formas podemos distribuir 4 caramelos idénticos entre 3 niños? 6 ¿De cuántas formas se puede distribuir 7 canicas blancas idénticas en 4 recipientes diferentes? a) 24 b) 20 d) 4 a) 84 b) 72 d) 240 c) 10 e) 5 Resolución: Resolución: Clave: 124 c) 36 e) 120 Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Raz. Matemático - 4to Sec. 7 ¿Cuántas palabras diferentes puedes formar con las letras de la palabra ACCACCIA? 7 ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con todas las letras de la palabra JAPANAJA? a) 280 b) 560 d) 360 a) 8 b) 840 d) 12 c) 140 e) 720 Resolución: c) 120 e) 64 Resolución: Clave: 8 ¿De cuántas maneras diferentes, 2 peruanos, 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se sientan juntos? a) 864 b) 1728 d) 892 c) 688 e) 1700 Clave: 8 De ocho candidatos, se desea elegir a un presidente, un secretario y un tesorero. ¿Cuántas directivas diferentes se podrán formar? a) 336 b) 56 d) 6 c) 81 e) 24 Resolución: Resolución: Clave: Clave: NOTA Sello y Firma del Profesor Formando líderes con una auténtica educación integral 125 6} 1. 4.4to Sec. los distintos sucesos ocurren con igual frecuencia o todos los eventos son equiprobables. DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD (DEFINICIÓN CLÁSICA) "Cuando un experimento aleatorio es simétrico. Ejemplo : Número de casos favorables al evento A Ejemplo 1: Determina la probabilidad de que. El primero que se ocupó de esta cuestión analizando el juego de dados. debida a Laplace.1662) conjuntamente con Pierre de Fermat (francés). aficionado a las cuestiones matemáticas (1601 . etc. tiene un alcance de aplicaciones muy restringido. arribaron a conclusiones que dieron nacimiento al cálculo de probabilidades. al lanzar un dado. 3. si "A" es un evento de un espacio muestral (Ω). Blas Pascal (francés 1623 . Entonces el evento "A" será. es decir. 6} 126 Formando líderes con una auténtica educación integral . Resolución: * Experimento aleatorio (ε): Lanzamiento de un dado normal Ω = {1. Se llama evento a cualquier subconjunto del espacio muestral.1557). en los dados. Espacio Muestral (Ω) Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. la probabilidad de un suceso se obtiene dividiendo el número de casos favorables al suceso entre el número de casos posibles del experimento". 4. Ejemplos: Ejemplo : * Al lanzar un dado. A= {2. * Al lanzar un dado.. los naipes. entonces la probabilidad de ocurrencia de A se denota por P(A) y está dado por: * Lanzar un dado. Luego. el resultado sea un número impar. en un número muy grande de pruebas. 5.Raz. por lo tanto. fue TARTAGLIA (1500 . Matemático .1665). sólo es aplicable a los experimentos aleatorios dotados de simetría y. P(A)= * Extraer una bola de una caja. Capítulo 16 Probabilidades Surgió por los Juegos de Azar Evento El nacimiento de las probabilidades lo encontramos en el interés demostrado por los matemáticos en las probabilidades que tenían de ganar en sus juegos de azar. 2. Pero la forma que tiene actualmente el cálculo de probabilidades nació a mediados del siglo XVII. tal que: A: Resulta un número par. Número total de casos posibles (resultado posibles) en Ω = n(A) n(Ω) Esta definición. Experimento Aleatorio Es toda prueba o ensayo cuyo resultado no se puede predecir con seguridad antes de realizarlo. cuando el francés De Meré consultó sobre el problema de cómo debían repartirse las apuestas de una partida de dados que debió suspenderse. tenemos como favorables: 4 C3 = 4! =4 1! x 3! Por lo tanto. es la suma de esas probabilidades parciales.4to Sec. n(Ω) = 6 * Evento (A): El resultado es impar: A = {1. tendremos como casos posibles: 52 C3 = 52! 50x51x52 = 22100 = 49! x 3! 6 y como la baraja tiene cuatro ases de los cuales se extraen 3. luego la probabilidad es: 16 4 = 52 13 Ejemplo 4: De una baraja de 52 cartas se sacan tres naipes. la probabilidad "P3" de obtener 12 es: P 3= 1 36 Ahora. 6). 3. entonces: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Si P(A) = 0 ⇒ A = ∅ A es un evento imposible. Sea un 7 de espadas. En la baraja existen 4 ases. 6). Resolución: Como se van a extraer tres cartas de 52 en total. Las figuras negras son 13 espadas y 13 tréboles. como cada uno tiene cuatro cartas. Halla la probabilidad de que la carta extraída. la probabilidad de sacar un número no menor de 10. d. c. la probabilidad "P1" de sacar 10 es: P1 = 3 36 * Once pueden sacarse de 2 maneras: (5. c. Sea una figura negra. 5} n(A) = 3 a.Raz. a. doce "Q". Ejemplo 2: Halla la probabilidad de obtener 10. Representa su valor con una letra. 6}. Sea un "as". como mínimo. Determina la probabilidad de que todos sean ases. 4) Luego. Matemático . * Espacio muestral (Ω): Ω = {1. Si P(A) = 1 ⇒ A = Ω A es un evento seguro. (5. 6) Luego. Las cartas que presentan su valor con una letra son el once "J". b. que de alguna manera ya habiamos adelantado cuando hablamos del dado trucado y cuando extraíamos al azar bolitas de una urna. la probabilidad "p" de sacar tres ases en 3 extracciones de 52 cartas es: P= 4 1 = 22 100 5 525 Propiedades: Si A es un evento definido en Ω. Resolución: El número de casos posibles en que dos dados pueden caer es: 6 x 6 = 36 * Diez puede sacarse de 3 maneras: (4. (6. 4. 3. en total hay 16. (6. Formando líderes con una auténtica educación integral 127 . la probabilidad "P2" de obtener 11 es: 2 P2 = 36 * Doce puede sacarse de 1 manera: (6. entonces la probabilidad que la carta extraída sea negra es: 26 1 = 52 2 d. Luego: P = P1 + P2 + P3 3 2 1 6 1 ó P= + + = 36 36 36 36 6 Ejemplo 3: Se tiene una baraja de 52 cartas y de ella se extrae una al azar. En la baraja sólo existe un 7 de espadas. en una sola tirada con dos dados. trece "K" y el as "A". luego su 1 probabilidad P será: P = 52 b. 5). luego la probabilidad es  P(A)= Resolución: 4 1 = 52 13 n(A) 3 1 = <> n(Ω) 6 2 Demos ahora una definición. 5) Luego. 5. 2. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero en bajar sea un niño? Rpta: ________ Rpta: ________ 3) ¿Cuál es la probabilidad que salgan al menos 2 sellos? Rpta: ________ 128 6) Si se lanza 2 dados. halla la probabilidad de que la bola extraída no sea azul. Resolviendo en clase Enunciado (1): Si se lanza tres monedas al aire. ¿cuál es la probabilidad de que los números que salgan en sus caras. Dos resultados iguales y uno diferente. Rpta: ________ Rpta: ________ 3) 6) Se lanza un par de dados. Rpta: ________ Rpta: ________ ENUNCIADO (2): Miguel lanza tres monedas una por una sobre una mesa. 18 damas y 20 niños.4to Sec. 4) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado resulte 2 ó 3? Para Reforzar Rpta: ________ 1) ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 3 sellos? Rpta: ________ 2) ¿Cuál es la probabilidad de que salgan sólo 2 caras? 5) En un ómnibus viajan 15 varones. Si se extrae al azar una de ellas. indica cuál es la probabilidad de obtener como resultado: 1) 4) Una caja contiene 4 bolas rojas. sumen 10? 2) Dos caras y un sello. halla la probabilidad de que su suma sea par. Si los números que resultan son diferentes. ¿cuál es la probabilidad de obtener 7 puntos? Rpta: ________ Formando líderes con una auténtica educación integral . Matemático .Raz. Rpta: ________ 5) Si se lanza dos dados. Rpta: ________ Dos sellos. 3 azules y 2 verdes. Raz. PROBLEMAS PARA CLASE N° 16 Para el profesor: 1 Para el alumno: ENUNCIADO (3): Meche lanza un par de dados sobre una mesa uno por uno. Matemático . 1 Del ENUNCIADO (3) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 puntos? a) 2/9 b) 1/3 d) 5/36 Resolución: 7) ¿Cuál es la probabilidad de que su suma sea impar? a) 1/3 b) 2/3 d) 5/6 c) 1/6 e) 1/2 c) 1/2 e) 17/18 Resolución: Clave: Clave: 2 Del ENUNCIADO (3) ¿Cuál es la probabilidad de obtener suma de 7 u 11? 2 Del ENUNCIADO (3) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma menos que 6? a) 2/9 b) 1/3 d) 5/36 a) 3/5 b) 5/18 d) 5/6 c) 1/6 e) 1/2 Resolución: c) 1/3 e) 2/9 Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 129 .4to Sec. Rey y Reina. luego se saca otra carta. Si se saca una sin mirar. calcula la probabilidad de que sean As. Halla la probabilidad de que ambas cartas sean rojas. Matemático . a) 2/2197 d) 4/2197 e) 6/2197 b) 3/2197 c) 5/2197 Resolución: 4 Una urna contiene 7 bolas rojas y 3 bolas blancas. Se saca una carta y se devuelve a su lugar.4to Sec. a) 7/10 d) 3/40 e) 6/15 b) 6/9 c) 7/40 Resolución: Clave: 130 c) 6/13 e) 5/7 Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral . halla la probabilidad de que las dos primeras sean rojas y la tercera sea blanca. a) 49/100 b) 21/95 d) 3/100 c) 9/121 e) 21/100 3 Una caja contiene 12 cartas rojas. Si se sacan 3 bolas de la urna una tras otra. 6 blancas y 8 negras. ¿cuál es la probabilidad de que la carta sea roja? a) 12/20 b) 9/13 d) 3/13 Resolución: Resolución: Clave: Clave: 4 Si se sacan tres cartas al azar de una baraja de 52 cartas.Raz. 3 En una caja hay 6 cartas rojas y 16 negras. 5 a) 8/12 b) 14/77 d) 13/50 c) 14/33 e) 14/55 Resolución: Sin mirar se oprime una de las 27 letras de una máquina.Raz. ¿cuál es la probabilidad de obtener un número impar? a) 1/13 b) 4/13 b) 6/13 Clave: 6 Del ENUNCIADO (4): Si se extrae una carta. 5 Un lote de 12 focos de luz tiene 4 defectuosos.4to Sec. Halla la probabilidad de que sea una vocal. halla la probabilidad de que los tres estén buenos. Matemático . 12) Si extraemos una carta. Resolución: Clave: 6 ENUNCIADO (4): Se tiene una baraja de 52 A 6 cartas. Si se toman al azar tres focos del lote uno tras otro. ¿cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea una "J"? a) 5/26 b) 3/52 c) 1/13 d) 2/13 e) 3/13 Resolución: c) 2/13 e) 7/13 Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 131 . 1 5 a) b) 27 9 5 d) 27 c) 1 9 e) N.A. 7 Enunciado (6): Una caja contiene 3 bolas rojas. ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean blancas?(sin reposición) a) 3/17 b) 1/11 d) 2/15 7 a) 1/6 b) 91/6 d) 5/36 c) 1/3 e) 9/16 Resolución: Resolución: Clave: 8 Clave: Del ENUNCIADO (5) Extrae una bolilla y se devuelve a su lugar. 4 negras y 5 bolas blancas.Raz. Matemático . ¿cuál es la probabilidad de que sea verde o roja? Si extraemos al azar dos bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera vez se saque una bolilla blanca y la segunda vez se saque una bolilla verde? a) 12/256 b) 2/3 d) 1/3 c) 5/33 e) 2/16 8 Del ENUNCIADO (6) Si extraemos al azar tres bolas. Enunciado (5): Una urna contiene 12 bolillas rojas. 40) Si extraemos al azar una bolilla. 14 blancas y 6 verdes.4to Sec. luego se saca otra bolilla. ¿cuál es la probabilidad de que dos sean blancas y una negra? (sin reposición) a) 2/11 b) 2/17 d) 20/33 c) 2/15 e) 2/33 c) 1/4 e) 21/256 Resolución: Resolución: Clave: Clave: NOTA Sello y Firma del Profesor 132 Formando líderes con una auténtica educación integral . 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