UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIAEng. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES 1 - Bibliografia: Curso de Concreto Armado – Vol. 3 - Ed. Dunas, Rio Grande (2ª edição) - José Milton de Araújo Estruturas de Concreto Brasiliense Fusco. (Solicitações normais) - Péricles Cálculo e detalhamento de concreto armado Vol. 2 – Rpberto Chust Carvalho e Libânio Miranda Pinheiro F. Hormigón Armado - J. Montoya. Curso de Concreto Vol. II - José Carlos Sussekind. Dimensionamento de Concreto Armado à Flexão Composta - Pfeil. Cálculo de Concreto Armado Vol. II - Lauro Modesto dos Santos. 2 - Definição: Os pilares são elementos estruturais prismáticos de eixo, verticais cuja função é transmitir as cargas provenientes da superestrutura às fundações. 3 - Verificação da segurança em peças comprimidas: Nsd Nrd M flexão Md Zona de segurança S M N tração N compressão Td N Nd (Figura 1) onde: Nsd = Valor de cálculo da força normal de compressão atuante. Nrd = Valor de cálculo da força normal de compressão resistente. Devido à incerteza da localização do ponto de aplicação das cargas devemos, mesmo nas peças teoricamente submetidas à compressão simples, assumir uma excentricidade mínima dada por: emin= (0,015 + 0,03 . h) onde h é a altura total da seção transversal na direção considerada (em metros) Resultando num momento mínimo de primeira ordem dado por: Pg. 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES Mdmin = Nd (0,015 + 0,03 . h) Portanto a seção deve ser verificada à flexão-composta, ou seja: Nsd Nrd Msd Mrd 4 - Determinação do índice de esbeltez () dos pilares: 4.1 - Comprimento equivalente. Segundo a NBR 6118/2014 no item 15.6, o comprimento equivalente do pilar, suposto vinculado em ambas extremidades, é o menor dos valores representados na figura 2. h e o Onde: o é a distância livre entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar; h é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura; ( Figura 2) No caso de pilar engastado na base e livre no topo, 4.2 - Raio de giração. O raio de giração i é dado pela expressão abaixo; i I momentode inércia da seçãotransversal I onde : A A área da seçãotransversal Para seções retangulares i h 12 0,288675* h ; Pg. 2 é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado. e 2 . 3 n1=1+[0.3 . 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES Pare seções circulares i 4 0.UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng.25 * 4.4] . como por exemplo. Pilares robustos: λ ≤ λ1 Nesses pilares a norma dispensa a verificação dos esforços locais de 2ª ordem. O índice de esbeltez é definido pela relação: e i 5 . exceto aqueles com pouca compressão com força normal inferior a 0. devem-se multiplicar os esforços solicitantes finais de cálculo por um coeficiente adicional Pg. Pilares de esbeltez média: λ1 < λ ≤ 90 Nesse pilares é obrigatória a consideração dos esforços locais de 2ª ordem.10 * fcd * AC. • pilares robustos ou pouco esbeltos → λ • pilares de esbeltez média os pilares podem ser ≤ λ1 → λ1 < λ ≤ 90 • pilares esbeltos ou muito esbeltos → 90 < λ ≤ 140 • pilares excessivamente esbeltos ≤ 200 → 140 < λ A NBR 6118:2014 não admite pilares com índice de esbeltez λ superior a 200.Classificação quanto à esbeltez: De acordo com o classificados em: índice de esbeltez (λ). Pilares esbeltos ou muito esbeltos 90 < λ ≤ 140 Nesse pilares é obrigatória a consideração dos esforços locais de 2ª ordem e a consideração da fluência. na análise dos efeitos locais de 2ª ordem. os postes.01*( λ-140)/1. Pilares com λ superior a 140.Índice de esbeltez (). UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng. n = 1.Dimensões externas mínimas. quando existe continuidade das vigas e lajes que chegam nesse pilar.2. como por exemplo quando existe interrupição das vigas e lajes que chegam nesse pilar numa determinada direção. porém exige que as ações sejam majoradas por um coeficiente adicional.95 – 0.Pilares solicitados à compressão simples (pilar central). 6. como por exemplo. 4 . São pilares onde teoricamente só existe força de compressão.3 estabelece que a dimensão externa mínima do pilar seja 19cm. 7 . Pg. Pilares que são solicitados por uma força de compressão e dois momento agindo nos eixos principais de inércia. 6.3 .Classificação dos pilares quanto às solicitações iniciais: Figura 3 PILAR DE BORDA PILAR INTERNO OU CENTRAL PILAR DE CANTO 6.1 . Pilares que são solicitados por uma força de compressão e um momento agindo em um dos eixos principais de inércia.2 . Nesse mesmo item ela permite em casos especiais que a dimensão externa mínima b fique no intervalo 14cm ≤ b < 19cm.1 . 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES 6 . A norma NBR 6118:2014 no item 13.Disposições construtivas: 7. como por exemplo quando existe interrupição das vigas e lajes que chegam nesse pilar nas duas direções.Pilares solicitados à flexo-compressão oblíqua (pilar de canto).05 x b ou os valores tabelados abaixo.Pilares solicitados à flexo-compressão normal (pilar de bordo). ou seja: cnom cmin c Pg. redução de 5mm dos cobrimentos nominais prescritos na Tabela 02 acima. mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto.05 n 17 1.Cobrimento das armaduras. estabelecidos na Tabela 02 abaixo.25 O coeficiente n deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares.10 16 1. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES Menor dimensão da seção do pilar (b) 18 b (cm) 19 1.4. 7.15 15 1. para Δc = 10 mm.00 1. pode ser adotado o valor Δc = 5mm. Não é permitido pilar com área inferior a 360 cm². então. 5 . Cobrimento mínimo é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado.2 . quando de seu dimensionamento. Os cobrimentos são sempre referidos à superfície da armadura externa. o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal (cnom). b é a menor dimensão transversal do pilar.UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng. Permite-se. O cobrimento das armaduras é considerado no item 7. Para garantir o cobrimento mínimo (cmin). que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (Δc). Assim. O cobrimento nominal deve ser maior que o diâmetro da barra. Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução. Tabela 01 onde. o valor de Δc deve ser maior ou igual a 10mm. as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais.20 14 1. A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado não pode superar em 20% o cobrimento nominal. em geral à face externa do estribo. cnom cmin c Valores de cnom em pilares de concreto armado para Δc=10mm (NBR 6118:2014) Tabela 02 Nas obras correntes.7 da NBR 6118:2014. deve existir pelo menos uma barra em cada vértice.2.2.3 . a armadura longitudinal mínima deve ser: As . Ac f yd O valor máximo da área total de armadura longitudinal é dado por: As . medido no plano da seção transversal. As armaduras longitudinais resistem aos esforços de compressão e tração. considerando-se inclusive a sobreposição de armadura nas regiões de emenda. ou seja: 10 mm l b 8 No item 17.5. Ac A maior área de armadura longitudinal possível deve ser 8% da seção real.UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng. no item 18. estabelece que as armaduras longitudinais devem ser dispostas de forma a garantir a adequada resistência do elemento estrutural. A NBR 6118:2014. fora da região de emendas. Pg. em seções circulares.004.4. 6 . deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: Esses valores se aplicam também às regiões de emenda por traspasse. diminuem as deformações dos pilares. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES 7.15. A figura abaixo apresenta o número mínimo de barras para alguns tipos de seção.Armaduras longitudinais.máx 8%. Nd 0.1 da NBR 6118:2014).min 0.3 da NBR 6118/2014.3.4. Em seções poligonais. Seção retangular 4 barras Seção circular 6 barras Seção em “L” 7 barras Seção em “T” 8 barras Figura 5 O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais.2. O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10mm e nem superior a 1/8 da menor dimensão da seção transversal (item 18. no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro. Entretanto. basta que existam as barras longitudinais nos cantos. por grampos suplementares. para pilares com dimensões até 40 cm. A armadura transversal dos pilares. sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes (item 18. De acordo com a NBR 6118:2014. o diâmetro dos estribos em pilares deve ser superior a 5 mm ou a 1/4 do diâmetro da barra isolada ou Pg.4 Armaduras transversal.3 da NBR 6118:2014).UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng. deve ser colocada em toda a altura do pilar. ou seja: Para LEONHARDT & MÖNNIG (1978) esse espaçamento máximo não deve ser maior do que 30 cm. espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir passagem do vibrador. Os estribos devem ser fechados. ancorados com ganchos que se transpassam. Os estribos têm as seguintes funções: a) garantir o posicionamento e impedir a flambagem das barras longitudinais. sem exceder 40 cm. 7 . é constituída por estribos e. geralmente em torno das barras de canto. c) confinar o concreto e obter uma peça mais resistente ou dúctil. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES Figura 6 Quando estiver previsto no plano de execução da concretagem adensamento através de abertura lateral na face da fôrma.4. 7. b) garantir a costura das emendas de barras longitudinais. colocados em posições alternadas. quando for o caso. o o a O espaçamento máximo sl entre os eixos das barras deve ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão da seção no trecho considerado. nas suas extremidades. os estribos não são colocados nos trechos de intersecção dos pilares com as vigas que neles se apóiam. O espaçamento longitudinal entre estribos. medido na direção do eixo do pilar. 8 . 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES do diâmetro equivalente longitudinal. LEONHARDT & MÖNNIG (1978) recomendam que se disponham. nos edifícios. nos pilares em geral). e nos pré-moldados. Figura 7 FUSCO (1995) ainda comenta que. de modo geral. A NBR 6118:2014 deixa claro que é obrigatória a colocação de estribos nessas regiões. Isso decorre do fato de que a presença de estribos nesses trechos dificultar muito a montagem da armadura das vigas.UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng. deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores: Permite-se adotar o diâmetro dos estribos . desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação (fyk em MPa): Pg. 2 a 3 estribos com espaçamento igual a st/2 e st/4 (Figura 7). ou seja: do feixe que constitui a armadura Em pilares com momentos nas extremidades (portanto. é necessário prever uma distância maior entre a superfície do estribo e a face do pilar. (dois estribos poligonais) (um estribo poligonal e uma barra com ganchos) Figura 9 Pg. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES 7.4. 9 (barra com grampo envolvendo estribo principal) . o que deve ser indicado no projeto de modo bem destacado (Figura 18). Essa amarra garantirá contra a flambagem essa barra encostada e mais duas no máximo para cada lado. Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta.φt ou barras fora dele.2.φt não houver mais de duas barras.4) considera que os estribos poligonais garantem contra flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles abrangidas. A NBR 6118/2014 (item 18. situadas junto à superfície. ele deve atravessar a seção do pilar e os seus ganchos devem envolver a barra longitudinal. situadas no máximo à distância de 20. Se houver mais de uma barra longitudinal a ser protegida junto à extremidade do estribo suplementar.UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng.φt. seu gancho deve envolver um estribo principal em um ponto junto a uma das barras. terminada em ganchos. não contando a do canto (Figura abaixo). deve haver estribos suplementares ou grampos. Figura 8 Quando houver mais de duas barras no trecho de comprimento 20. No caso da utilização dessas amarras. devem ser tomadas precauções para evitá-la. para que o cobrimento seja respeitado. se nesse trecho de comprimento 20. não distantes dela mais de 20.φt do canto.1 Estribos suplementares Sempre que houver possibilidade de flambagem das barras da armadura. Ac ( f sd 0. para evitar os estribos suplementares. pois a ruptura do concretona compressãosimples é 2 o logo a condição para o dimensionamento é: N d 0. Acc Ac As e .h – As As = Área da seção transversal da armadura longitudinal comprimida Nd = Valor de cálculo da força normal Fcd = Valor da resistência de cálculo do concreto Fsd = Valor da resistência de cálculo do aço comprimido (para sd 2o oo Figura 10 Condição de segurança. f cd . A NBR 6118/2014 comenta ainda que. Se as seções das barras longitudinais se situarem em uma curva de concavidade voltada para fora do concreto.UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng. não há necessidade de estribos suplementares.85.85. As N d 0. f cd . f cd . 10 oo ) . As Então ficamos com N d 0. f cd ).85.h Acc = Área da seção de concreto comprimido Acc = b.85. Ac 0. Acc f sd . no caso de estribos curvilíneos cuja concavidade esteja voltada para o interior do concreto. 1) Pg. As f sd . As f sd s para sd 2 o oo mas. 8 Pré-dimensionamento de pilares a compressão simples Conhecendo-se os seguintes valores: Ac = Área da seção geométrica da peça Ac = b. f cd . f cd .As (eq. Ac As f sd . Uma alternativa seria concentrar as barras nos cantos. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES É oportuno comentar que a presença de estribos suplementares pode dificultar a concretagem.85.85. N d 0. cada barra longitudinal deve ser ancorada pelo gancho de um estribo reto ou pelo canto de um estribo poligonal. 85. h (item 17. id Nd Ac 2) Para calcular a seção geométrica do pilar temos. e N d . f cd . ) h onde. s é dado por: s nh 1 n v 1 O arranjo das armaduras adotado para detalhamento deve ser fiel aos valores de s e d´/ h pressupostos.5. id 0. f cd ( f sd 0.8.85. 11 .3) No entanto.eq 0. s (eq. s .85.85.85. a norma NBR 6118:2003 estabelece que a carga vertical dos pilares devem ser majoradas por um coeficiente para levar em consideração as excentricidades acima mencionadas para que possamos fazer o dimensionamento a compressão simples. Ac f sd 0.eq N sd (1 . devido a existência das excentricidades decorrentes das imperfeições geométricas e de 2ª ordem. Ac Ac definindo s As Ac como a taxa geométrica da armadura longitudinal. f cd ( f sd 0.85. Figura 11 Pg.1) 1 se s < 1 e a seção for retangular temos se 1 < s ≤ 6 e a seção for retangular temos s se s > 6 e a seção for retangular remos se a seção for circular temos 6 4 s considerando todas as barras iguais. 0.2.01. f cd ).85. Ac Definindo a tensão ideal de compressão no concreto por: Logo.UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES A N d 0. f cd ( f sd 0. f cd ). f cd (eq.39 0. obtem-se: N d 0. f cd ). sendo um dos valores abaixo: 1 d´ 0. Ac N d .85. s . medida na direção do eixo da viga for maior que a quarta parte da altura do pilar.1 (SILVA & PINHEIRO.1) em vigas contínuas. Pode ser utilizado o modelo clássico de viga contínua.Excentricidades iniciais no topo e na base do pilar 9. não pode ser considerado momento negativo de valor absoluto menor do que o de engastamento perfeito nesse apoio. 12 . momento fletor igual ao momento de engastamento perfeito multiplicado pelos coeficientes relacionados abaixo.2 M topo N e ei . A excentricidade inicial. simplesmente apoiada nos pilares. para o estudo das cargas verticais. 2002) Excentricidade inicial Em estruturas de edifícios de vários andares ocorre um monolitismo nas ligações entre vigas e pilares que compõem os pórticos de concreto armado. b) quando a viga for solidária com o pilar intermediário e a largura do apoio. Pg. nos apoios extremos.UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng. A partir das ações atuantes em cada tramo do pilar.base M base N Aproximações permitidas pela NBR 6118:2014 (item 14.6. Figura 12. oriunda das ligações dos pilares com as vigas neles interrompidas. ocorre em pilares de borda e de canto. observando-se a necessidade das seguintes correções adicionais: a) não podem ser considerados momentos positivos menores que os obtidos se houvesse engastamento perfeito nos apoios internos. c) quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga deve ser considerado.6. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES 9 EXCENTRICIDADES DE PRIMEIRA ORDEM As excentricidades de primeira ordem consideradas no projeto de pilares são comentadas a seguir. as excentricidades iniciais no topo e na base são obtidas pelas expressões (Figura abaixo): ei .topo 9. Pg.M eng .3 Excentricidade acidental Segundo a NBR 6118:2014 nos itens 11. sejam elas contraventadas ou não deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a figura abaixo: 1 n θ1min θ1max é é = = 1 100 l a 1 1 1 n 2 a altura total da estrutura (em metros).inf rp .3.sup no tramo inferior do pilar M p . 13 . sejam elas contraventadas ou não. a) Imperfeições globais Na análise global das estruturas reticuladas.1.1 estabelece que na análise global dessas estruturas.vig rp . 11.4.sup na viga M vig no tramo superior do pilar M p .sup rvig rp .sup .inf rvig rp .vig onde ri representa a rigidez do elemento “i” da ligação entre os tramos das barras envolvidas na ligação entre viga e pilar conforme a euqação abaixo: ri Ii li Figura 13 9.4. No item 11.4. o número de prumadas de pilares no pórtico plano.2.3. 1/300 para estruturas reticuladas e imperfeições locais.M eng .inf rp . 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES rp .UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng. devem ser consideradas as imperfeições do eixo dos elementos da estrutura descarregada.M eng . na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas.inf rp .3. deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais.inf rp .4. 1/200.3.sup rp .3.sup . 11. Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos: imperfeições globais e imperfeições locais.3.3.3.vig .inf rvig rp . considerar somente a ação do vento.UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng. Nota O desaprumo não precisa ser considerado para os Estados Limites de Serviço. admite-se considerar ambas as ações atuando na mesma direção e sentido como equivalentes a uma ação do vento.3. com desaprumo calculado com θa. considerar θa= θ1. deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilineidade do eixo do pilar conforme a figura abaixo. deve-se adotar θ1=1/200. b) Quando a ação do vento for inferior a 30% da ação do desaprumo.4. Para pilares isolados em balanço. portanto como carga variável. No caso do dimensionamento ou verificação de um lance de pilar. b) Imperfeições locais (item 11. considera-se somente o desaprumo respeitando a consideração de θ1min. sem necessidade da consideração de θ1min. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES Figura 14. c) Nos demais casos. Nessa combinação. deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar contraventado. Pg. 14 . A Consideração das ações de vento e desaprumo deve ser realizada de acordo com as seguintes possibilidades: a) Quando 30% da ação do vento for maior que a ação do desaprumo. sem a consideração do θ1min.3. definido acima. usualmente vigas e lajes.2 – NBR6118:2014) No caso de elementos que ligam pilares contraventados e pilares de contraventamento. artificialmente amplificada para cobrir a superposição. combina-se a ação do vento e desaprumo.Imperfeições geométricas globais (NBR 6118:2014) Para edifícios com predominância de lajes lisas ou cogumelo. A comparação pode ser feita com os momentos totais na base da construção e em cada direção e sentido da aplicação do vento. 15 .Imperfeições geométricas locais (NBR 6118:2014) Admite-se que. l 2 Para pilar em balanço. l 9. obrigatoriamente deve ser considerado o desaprumo.4 .UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES Figura 15.Resumo para obtenção dos esforços de 1ª e 2ª ordem nos pilares Pg. nos casos usuais de estruturas reticuladas. a consideração apenas da falta de retilineidade ao longo do lance do pilar seja suficiente. Assim. a excentricidade acidental ea pode ser obtida pela expressão: ea 1 . ou seja: ea 1 . de acordo com a figura abaixo. Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado o valor de momento total mínimo. 11 . Quando houver a necessidade de calcular os efeitos de 2ª ordem em alguma das direções do pilar. as reações das vigas apresentam excentricidades que são denominadas excentricidades de forma. o efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem dado por: M1d. não são consideradas no dimensionamento dos pilares. 16 . h) onde h é a altura total da seção transversal na direção considerada (em metros). obtém-se uma envoltória resistente que englobe a envoltória mínima de 1ª ordem. Quando os eixos baricêntricos das vigas não passam pelo centro de gravidade da seção transversal do pilar. de borda e de canto.3.015 + 0. A este momento devem ser acrescidos os momentos de 2a ordem. é comum em projetos a coincidência entre faces (internas ou externas) das vigas com as faces dos pilares que as apóiam. no dimensionamento adotado.UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng. pelas razões apresentadas a seguir. tomada a favor da segurança. conforme 15. a verificação do momento mínimo pode ser considerada atendida quando. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES 10 . as posições das vigas e dos pilares dependem fundamentalmente do projeto arquitetônico. com Pg.Excentricidade de forma Em edifícios. Neste caso. As excentricidades de forma.03 . Assim. A Figura 17 mostra as vigas VT01 e VT04 que se apóiam no pilar P01. a verificação do momento mínimo deve considerar ainda a envoltória mínima com 2ª ordem. A Figura 16 apresenta exemplos de excentricidades de forma em pilares intermediários. pode-se definir uma envoltória de 1ª ordem. em geral. Para pilares de seção retangular.Momento mínimo Segundo a NBR 6118:2014.2.min = Nd (0. os momentos introduzidos pela excentricidade de forma e os binários que os equilibram. Pg. capaz de absorver os esforços adicionais causados pela excentricidade de forma. tendem a se anular. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES excentricidades de forma efy e efx. o acréscimo de uma pequena excentricidade da reação da viga não afeta significativamente os resultados do dimensionamento. 17 . sendo muito grande o valor da força normal proveniente dos andares superiores. A rigor. distribuindo-se por toda a seção transversal do pilar em um plano P. Exemplos de excentricidades de forma em pilares A excentricidade de forma provoca. pelo Princípio de Saint-Venant. Já no nível da cobertura. No nível da fundação. apenas no nível da fundação e da cobertura as excentricidades de forma deveriam ser levadas em conta. um momento fletor MVT01 = RVT01. Entretanto. no nível de cada andar.efy que tende a ser equilibrado por um binário. propagam-se com um ângulo de 45o e logo se uniformizam. Figura 16. Observa-se que. atuam pares de forças em sentidos contrários com valores da mesma ordem de grandeza e que. os pilares são pouco solicitados e dispõem de armadura mínima. em geral. portanto. As tensões causadas pela reação da viga VT01. respectivamente. A Figura 17 também representa esquematicamente os eixos dos pilares em vários tramos sucessivos. mesmo nesses níveis elas costumam ser desprezadas.UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng. em cada piso. pode ser obtida de maneira aproximada pela expressão: N Sg M Sg N e N Sg ec ea .Eci . Eci = 5600 fck 1 2 (MPa).Excentricidade suplementar ou fluência A excentricidade suplementar leva em conta o efeito da fluência. de acordo com a NBR 6118:2003. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES Figura 17. O valor dessa excentricidade ec. ou seja. em que o índice c refere-se a “creep” (fluência.718 1 N Sg Ne MSg. 2. é a excentricidade acidental devida a imperfeições locais.I c ( força de flambagem de Euler ) l e2 são os esforços solicitantes devidos à combinação quase permanente. em inglês). ϕ é o coeficiente de fluência. O cálculo da excentricidade suplementar é obrigatório em pilares com índice de esbeltez λ > 90. Excentricidades de forma e binários correspondentes 12 . pois o tempo de duração de cada ação tem que ser levado em conta. o histórico de cada ação precisaria ser conhecido. A consideração da fluência é complexa. Pg.UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng. NSg ea 10. 18 . Segundo a NBR 6118:2014 (item 15. (1994) apresentam um estudo paramétrico de vários casos de pilares sujeitos a momentos fletores de 1ª e 2ª ordem. ao longo da altura b 1 c) Pilares em balanço Pg. vinculados nas duas extremidades. no cálculo de λ1. a) Pilares biapoiados sem forças transversais b 0. Em estruturas de nós fixos.0 é o momento fletor de 1ª ordem no extremo A do pilar (maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado). Corresponde ao valor da esbeltez a partir do qual os efeitos de 2ª ordem começam a provocar uma redução da capacidade resistente do pilar.e1 h) e b 35 1 90 sendo e1 a excentricidade de 1ª ordem. é o momento fletor de 1ª ordem no outro extremo B do pilar (toma-se para MB o sinal positivo se tracionar a mesma face que MA e negativo em caso contrário).ESBELTEZ LIMITE O conceito de esbeltez limite surgiu a partir de análises teóricas de pilares.40 MA sendo: 0. Na dúvida. Ic le 13 . forma do diagrama de momentos de 1ª ordem. na falta de um critério mais específico. que pode ser calculado pelas expressões: 1 (25 12. Os preponderantes são: excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h na extremidade do pilar onde ocorre o momento de maior valor absoluto vinculação dos extremos do pilar isolado. A NBR 6118:2003 não deixa claro como se adota este valor. os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez λ for menor que o valor limite λ1. Os resultados obtidos permitem a formulação de um método prático para a determinação da esbeltez limite. O coeficiente αb deve ser obtido conforme estabelecido a seguir. num de seus extremos. SOUZA et al. b) Pilares biapoiados com forças transversais significativas.40 MA MB MB 0. é o comprimento equivalente do pilar.5. pode-se admitir.2). considerando material elástico-linear. dificilmente um pilar de pórtico. pois o momento fletor total máximo provavelmente será apenas o de 1ª ordem. e1 igual ao menor valor da excentricidade de 1ª ordem. não muito esbelto. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES é o momento de inércia no estádio I. terá seu dimensionamento afetado pelos efeitos de 2ª ordem.60 0. é razoável considerar e1=0. 19 . Diversos fatores influenciam no valor da esbeltez limite. Para pilares usuais de edifícios.40 b 1. no trecho considerado.8.UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng. O método geral é aplicável a qualquer tipo de pilar.MÉTODOS DE CÁLCULO 14. denominada excentricidade de 2ª ordem. O método geral justifica sua utilização pela qualidade dos seus resultados. A determinação dos efeitos locais de 2ª ordem. Figura 18.80 0.1 . pois considera a não linearidade geométrica. inclusive nos casos em que as dimensões da peça.85 é o momento fletor de 1ª ordem no engaste. a armadura ou a força aplicada são variáveis ao longo do seu comprimento. de maneira bastante precisa.85 MA sendo : 1. provoca deformações que dão origem a uma nova excentricidade. pode ser feita pelo método geral ou por métodos aproximados. sujeito à força excêntrica de compressão Nd.20 MA MC MC 0. acrescentando-se ao momento de 1ª ordem M1d a parcela relativa à excentricidade suplementar ec. d) Pilares biapoiados ou em balanço com momentos fletores menores que o momento mínimo (ver item 10) b 1 14 .EXCENTRICIDADE DE SEGUNDA ORDEM A força normal atuante no pilar. Considere-se o pilar da Figura 18 engastado na base e livre no topo. 14. Pilar sujeito à compressão excêntrica Pg. em barras submetidas à flexo-compressão normal. sob as excentricidades de 1ª ordem (excentricidade inicial).UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng.0 b 0.1.1 Conceito do método geral O método consiste em estudar o comportamento da barra à medida que se dá o aumento do carregamento ou de sua excentricidade. é o momento fletor de 1ª ordem no meio do pilar em balanço. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES b 0. segundo a NBR 6118:2003. 20 . A consideração da fluência é obrigatória para índice de esbeltez λ > 90. que retratam com maior precisão o comportamento real da estrutura. deformação convencional de ruptura do concreto ou deformação plástica excessiva do aço. gera nas seções um momento incremental Nd. Tem-se. o pilar apresenta uma deformação que. 21 . Figura 19. com equilíbrio alcançado entre esforços internos e externos. respeitada a compatibilidade entre curvaturas.a). Deformada estável Pg. na seção crítica. de flecha “a”. Figura 20. uma forma fletida estável (Figura 19. como mostra a Figura 20. assim como as equações constitutivas dos materiais e sem haver. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES Sob a ação do carregamento.UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng. Configurações fletidas A estabilidade será atingida quando o pilar parar numa forma deformada estável. se as ações externas forem maiores que a capacidade resistente da barra. Caso contrário. deformações e posições da linha neutra. Se as ações externas (Nd e Md) forem menores que a capacidade resistente da barra.b). por sua vez.y. provocando novas deformações e novos momentos. o pilar perde estabilidade (Figura 19. essa interação continua até que seja atingido um estado de equilíbrio para todas as seções da barra. A verificação que se deve fazer é quanto à existência da forma fletida estável. portanto. tem-se: 1 1 ( y´´) xl / 2 a.a . cujas aproximações são relativas às não-linearidades física e geométrica. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES 14. já que o momento de 2a ordem pode ser obtido facilmente pela equação (2). a flecha máxima pode ser: a l2 1 . 10 r base 2 M 2. pode-se obter também o momento total. A NBR 6118:2003 permite a utilização de alguns métodos simplificados.2 Pilar padrão Como o método geral é extremamente trabalhoso. 10 r base 2 a em que 2 10 .base Pg. tendo em vista o número muito grande de operações matemáticas. logo M 2.sen . 22 (2) .x l l 2 ´´ Figura 21. Obtendo-se a flecha máxima. pilar padrão é um pilar em balanço com uma distribuição de curvaturas que provoque na sua extremidade livre uma flecha “a” dada por: l2 a 0.UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng.base N . l 1 N .x l (1) Assim. r l2 1 e . . r x l / 2 r Assim. tem-se: le 1 . 2 r xl / 2 Para o caso do pilar em balanço. como o do pilar padrão e o do pilar padrão melhorado. Por definição. e .1. base 10 r base Analisando-se a Figura 21 e adotando para a elástica a equação (1): y a. torna-se inviável a utilização deste método sem o auxílio do computador.sen . . cos . Elástica do pilar padrão Como: 2 1 d y 2 r dx Para a seção média. tem-se: y´ a.4.x l l y a. f cd h é a altura da seção na direção considerada.5) h N sd Ac .7. armadura simétrica e constante ao longo do comprimento. Assim. o momento total máximo no pilar é dado por: 2 l 1 M d .UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng. A não-linearidade física é levada em conta através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica. 23 (5) . A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada.tot b . A 2 1 120.3 Método da curvatura aproximada O método do pilar padrão com curvatura aproximada é permitido para pilares de seção constante e de armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo e λ ≤ 90.M 1d . A 10 r (3) 16. supondo-se que a deformada da barra seja senoidal. dado aproximadamente por: 32. que pode ser avaliada pela expressão: 1 0.005 0.N d Pg. e .M 1d . A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada.Tot . (4) κ é valor da rigidez adimensional. A M 1d .1 5. 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES ou seja a excentricidade de segunda ordem é dada por: 2 e2 le 1 . A não-linearidade física é levada em conta através de uma expressão aproximada da rigidez.1.005 r h.4 Método da rigidez κ aproximada O método do pilar padrão com rigidez κ aproximada é permitido para λ ≤ 90 nos pilares de seção retangular constante. 10 r 1/r é a curvatura na seção crítica. h. M d . supondo-se que a configuração deformada da barra seja senoidal. O momento total máximo no pilar é dado por: M d . 10 r 14. M 1d .( 0. ν é a força normal adimensional. A excentricidade de 2a ordem e2 é dada por: 2 e2 le 1 .tot b . A Nd . tot. quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de segunda ordem. Esses são os valores que se deseja obter.UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA Eng.Nd . xx M rd . com o mesmo valor de NRd.3.3.h.h. Em geral pode ser adotado α = 1.M 2 d . Usualmente.y são as componentes do momento resistente de cálculo em flexão oblíqua composta. com um esforço normal resistente de cálculo NRd igual à normal solicitante NSd.b . pode-se adotar α = 1. yy Onde: MRd.tot. MRd.tot 3840.Nd 2 .x. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS (ITEM 15.2 DA NBR6118:2014) Para pilares de seção retangular.b .sem a necessidade de se fazer iterações: 19200. MRd. Esses valores são calculados a partir do arranjo e da quantidade de armadura em estudo.N d 19200.8.M1d . segundo os dois eixos principais de inércia x e y. A ). No caso de seções retangulares. cujos momentos totais são calculados a partir dos momentos de 1ª ordem e de acordo com 15. A consideração desta envoltória Pg.xx. e para o cálculo de κ utiliza-se o valor de Md. a solução somente pode ser obtida por tentativas. 24 . x 1 M rd . 119 – Estruturas de Concreto Armado II Paulo Braga Atualização: 05/05/2015 II UNIDADE – PILARES Observa-se que o valor da rigidez adimensional κ é necessário para o cálculo de Md. Substituindo a equação (5) na (4) obtemos uma equação do 2º grau onde se determina o valor de M d. MRd.2.yy são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um dos referidos eixos em flexão composta normal. a favor da segurança. A 0 Equação (6) 17 CÁLCULO SIMPLIFICADO DE FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA Nas situações de flexão simples ou composta oblíqua. adotada a aproximação dada pela expressão de interação: pode ser M rd . a forma da seção.h.tot (3840.M1d . entre eles o valor da força normal.M d . y M rd . da seção bruta.tot. α 18 é um expoente cujo valor depende de vários fatores. poucas iterações são suficientes. o arranjo da armadura e de suas porcentagens. Assim.