FÍSICA IIONDAS MECÁNICAS Propagación de vibraciones. Tipos de Ondas mecánicas Se llama onda mecánica a la que se propaga en medios materiales. Un ejemplo arquetípico de onda mecánica es el sonido, que no se transmite en el vacío. Esta cualidad es importante si se compara con las ondas electromagnéticas (como la luz), que se propagan tanto en medios materiales como en el vacío. Movimiento ondulatorio Los movimientos oscilatorios que se desplazan en un medio reciben el nombre de ondas o movimientos ondulatorios. Estos fenómenos, muy comunes en la naturaleza, se presentan en dos formas principales: Las ondas mecánicas, que necesitan un medio material sobre el que propagarse (como el sonido o la transmisión de una onda sobre la superficie de un estanque). Las ondas electromagnéticas, que, como la luz, se transmiten en el vacío. En el estudio clásico de las ondas se aplican varios principios de simplificación: Se supone que el medio de propagación es homogéneo, es decir, que todas las partículas oscilan de forma similar bajo la acción de fuerzas internas. Se considera que la frecuencia de todas las partículas del medio sometidas a la oscilación es la misma. La velocidad de propagación se supone constante, no dependiente de la frecuencia y tampoco de la dirección de propagación. Ondas longitudinales Un movimiento ondulatorio se denomina onda longitudinal cuando las partículas del medio sometidas a la oscilación vibran en la misma dirección en la que se propaga la onda. Esta forma de movimiento ondulatorio es característica de la propagación de las ondas de sonido en el aire, en los líquidos no viscosos y en los gases en general, por lo que también reciben el nombre de ondas sonoras. Prof. Ing. Douglas Taylor Mora, M.E.E. Fíísica II 1 Las ondas longitudinales son aquellas en que la propagación y la vibración de las partículas tienen el mismo sentido. Ondas transversales En el tipo de movimiento ondulatorio denominado onda transversal, las partículas del medio vibran en dirección perpendicular a la de propagación de la onda. Un ejemplo de onda transversal es el movimiento que se produce al lanzar una piedra sobre el agua de un estanque en reposo. Las ondas transversales tienen lugar, sobre todo, en sólidos y líquidos viscosos, aunque en estos materiales también es posible la propagación de ondas longitudinales. Prof. Ing. Douglas Taylor Mora, M.E.E. Fíísica II 2 Ondas gravitacionales Las ondas gravitacionales son perturbaciones que alteran la geometría misma del espacio-tiempo y aunque es común representarlas viajando en el vacío, técnicamente no podemos afirmar que se desplacen por ningún espacio sino que en sí mismas son alteraciones del espacio-tiempo. • ondas unidimensionales: las ondas unidimensionales son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio, como las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una dirección única, sus frentes de onda son planos y paralelos. • Ondas bidimensionales o superficiales: son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan también ondas superficiales. Un ejemplo son las ondas que se producen en la superficie de un lago cuando se deja caer una piedra sobre él. • Ondas tridimensionales o esféricas: son ondas que se propagan en tres direcciones. Las ondas tridimensionales se conocen también como ondas esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones. El sonido es una onda tridimensional. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras (mecánicas) y las ondas electromagnéticas. • Ondas periódicas: la perturbación local que las origina se produce en ciclos repetitivos por ejemplo una onda senoidal. • Ondas no periódicas: la perturbación que las origina se da aisladamente o, en el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen características diferentes. Las ondas aisladas se denominan también pulsos. Caracteristicas de las ondas. Todo movimiento ondulatorio, al transmitirse presenta las siguientes características: La posición más alta con respecto a la posición de equilibrio se llama cresta. El ciclo es una oscilación, o viaje completo de ida y vuelta. La posición más baja con respecto a la posición de equilibrio se llama valle. El máximo alejamiento de cada partícula con respecto a la posición de equilibrio se llama amplitud de onda. El periodo es el tiempo transcurrido entre la emisión de dos ondas consecutivas. Al número de ondas emitidas en cada segundo se le denomina frecuencia. La distancia que hay entre cresta y cresta, o valle y valle, se llama longitud de onda. Prof. Ing. Douglas Taylor Mora, M.E.E. Fíísica II 3 Nodo es el punto donde la onda cruza la línea de equilibrio. Elongación es la distancia que hay, en forma perpendicular, entre un punto de la onda y la línea de equilibrio. El movimiento ondulatorio se define como una perturbación que se propaga capaz de transportar energía sin la necesidad de transportar materia. Esta propagación de energía en las ondas se pone claramente de manifiesto en distintos fenómenos de la naturaleza, a veces de manera dramática, como el caso de las ondas sísmicas que generan los terremotos. Otras veces, en cambio, constituye la base de la vida en la Tierra, como es el caso de la energía propagada por la luz procedente del Sol. Potencia La potencia P de una onda es la energía E que transmite por unidad de tiempo t, y su valor es proporcional al cuadrado de la amplitud A y al cuadrado de la frecuencia f: P=Et=cte⋅f2⋅A2 La unidad de medida de la potencia en el Sistema Internacional (S.I.) es el vatio ( W), de la energía el julio (J), del tiempo el segundo (s), de la de la frecuencia el hertzio ( Hz) y la de la amplitud el metro (m). Intensidad Una magnitud muy relevante para el estudio energético del movimiento ondulatorio de las ondas que se propagan en el espacio es su intensidad. Definimos la intensidad de una onda como la cantidad de energía que se propaga por unidad de tiempo a través de una unidad de superficie colocada perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. También se puede definir como la potencia por unidad de superficie. Su valor, que también es proporcional al cuadrado de la frecuencia y al cuadrado del a amplitud, viene dado por: I=ES⋅t=PS=cte⋅f2⋅A2 Donde: I: es la intensidad de la onda. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el J·s-1·m-2 o el W·m-2 E: Es la energía de la onda, determinada por la energía de su foco. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el julio (J) S: Superficie total considerada. Es la superficie a lo largo de la cual se reparte la energía de la onda. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro al cuadrado (m2) Prof. Ing. Douglas Taylor Mora, M.E.E. Fíísica II 4 t: Es el tiempo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el segundo (s) P: Es la potencia de la onda, determinada por la potencia de su foco. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el watio (W) En el caso de ondas esféricas hemos visto que la amplitud decrece a medida que nos alejamos del foco emisor, por lo que igualmente la intensidad de la onda disminuye a medida que nos alejamos del foco. A esta amortiguación de la onda debida al reparto de energía entre frente de ondas cada vez mayores se le denomina formalmente atenuación y es responsable, por ejemplo, de que si pegas tu oreja al altavoz de tu móvil puedas oír claramente la conversación que serías incapaz de oír, digamos, a 2 metros de este. Ondas estacionarias en una cuerda Cuando dos ondas que se propagan en sentidos opuestos interfieren, se produce una situación muy curiosa: la onda resultante tiene una amplitud que varía de punto a punto, pero cada uno de los puntos oscila con MAS, y en fase con los demás, dando lugar a lo que se conoce como ondas estacionarias. Las ondas estacionarias pueden observarse en una cuerda sujeta por ambos extremos en la que se produce una vibración. La onda que viaja hacia la derecha se encuentra con la que se refleja en el extremo fijo y se produce la interferencia de ambas. La cuerda que se ve en el vídeo se hace vibrar mediante un dispositivo muy corriente en los laboratorios escolares (frecuencia = 50 Hz). No todas las ondas son posibles, ya que aquellas que no tengan un nodo en los extremos están prohibidas. Existe, por tanto, una restricción física (condición de contorno): la longitud de la cuerda tiene que ser un múltiplo entero de una semilongitud de onda: La velocidad a la que la onda se propaga por la cuerda depende de la densidad lineal de ésta (μ) y de su tensión (T): Combinando ambas expresiones obtenemos una tercera que nos da la tensión que debe tener la cuerda para que se formen las ondas permitidas: Prof. Ing. Douglas Taylor Mora, M.E.E. Fíísica II 5 Así: NOTA No hay acuerdo en la denominación de los distintos modos de vibración de una cuerda. La mayoría de los textos optan por denominar al primer modo de vibración (n=1) con el nombre de modo fundamental o primer armónico. El segundo modo de vibración (n=2) sería entonces el segundo armónico. Para n =3 aparecería el tercer armónico... etc. No obstante, en otros textos se encuentra que al primer modo de vibración (n=1) se le da el nombre de modo fundamental. Al segundo modo de vibración (n=2) se le denomina ahora primer armónico. Para n=3 tendríamos el segundo armónico... etc. Una onda estacionaria se forma cuando la onda que se propaga hacia la derecha en una cuerda sujeta por ambos extremos, interfiere con la onda reflejada en el extremo opuesto y que viaja en sentido contrario. La ecuación de la onda resultante es: Como puede observarse, las dos variables, x y t, están "separadas" resultando una amplitud variable a lo largo de la cuerda, pero fija en cada punto: Por tanto, la forma de la onda no varía y no hay transmisión de energía de una partícula a la siguiente. Además, es necesario imponer una restricción matemática (condiciones de contorno) y es que la amplitud sea nula en los extremos (x = 0 y x = L, siendo L la longitud de la cuerda). Esta condición se cumple si: Cuando n = 1 la condición para que se forme la onda es que la longitud de la cuerda sea igual a una semilongitud de onda. Aparece entonces el llamado el primer modo de vibración o modo fundamental. NOTA Prof. Ing. Douglas Taylor Mora, M.E.E. Fíísica II 6 No hay acuerdo en la denominación de los distintos modos de vibración de una cuerda. La mayoría de los textos optan por denominar al primer modo de vibración (n=1) con el nombre de modo fundamental o primer armónico. El segundo modo de vibración (n=2) sería entonces el segundo armónico. Para n =3 aparecería el tercer armónico... etc. No obstante, en otros textos se encuentra que al primer modo de vibración (n=1) se le da el nombre de modo fundamental. Al segundo modo de vibración (n=2) se le denomina ahora primer armónico. Para n=3 tendríamos el segundo armónico... etc. Debido a esta ambigüedad en este trabajo se habla simplemente de modos de vibración. Dando a n los valores 2, 3, 4... se pueden obtener otros modos de vibración (también llamados llamados sobretonos). El segundo modo de vibración se obtiene con n =2, el tercero con n=3... etc. Se puede comprobar que el valor de la amplitud para todos ellos obedece a la ecuación: Por ejemplo, en el punto situado a la mitad de la cuerda (x = L/2), la amplitud es nula para el primer modo ya que se cumple que la mitad de la longitud de la cuerda es igual a una semilongitud de onda: PRÁCTICA Prof. Ing. Douglas Taylor Mora, M.E.E. Fíísica II 7 1. La siguiente gráfica representa el perfil de una onda transversal que se propaga a razón de 200 m/s para un instante dado. a) ¿Cuál es su longitud de ondas? b) ¿Qué valor tiene la amplitud? c) ¿Cuál es el valor de su frecuencia? 2. Se pone a oscilar el extremo de una cuerda con una frecuencia de 2 Hz y una amplitud de 3 cm. Si la perturbación se propaga a una velocidad de 0,5 m/s, escribe la ecuación que representa el movimiento por la cuerda. 3. El período de un movimiento ondulatorio que se propaga por el eje de abscisas es de 3×10-3 s. La distancia entre dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase es π/2 vale 30 cm. Calcular: a) La longitud de onda. b) La velocidad de propagación. 4. La función de onda correspondiente a una onda armónica en una cuerda es Y(x, t) = 0,001 sen(3,14t+62,8x), escrita en el SI. a) ¿En qué sentido se mueve la onda? b) ¿Cuál es su velocidad? c) ¿Cuál es la longitud de onda, frecuencia y periodo? d) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de un segmento cualquiera de la cuerda? e) ¿Cuál es la ecuación de la velocidad y aceleración de una particula de la cuerda que se encuentre en el punto x = – 3 cm? 5. Escribir una función que interprete la propagación de una onda que se mueve hacia la derecha a lo largo de una cuerda con velocidad de 10 ms -1, frecuencia de 60 hertz y amplitud 0,2 m. 6. La ecuación de una onda transversal que se propaga en una cuerda viene dada por y(x, t) =10 sen(2πt – πx/0,10), escrita en el SI. Hallar: a) La velocidad de propagación de la onda. b) La velocidad y aceleración máxima de las partículas de la cuerda. 7. Una onda sinusoidal transversal que se propaga de derecha a izquierda tiene una longitud de onda de 20 m, una amplitud de 4 m y una velocidad de propagación de 200 ms-1 Hallar: Prof. Ing. Douglas Taylor Mora, M.E.E. Fíísica II 8 a) La ecuación de la onda. b) La velocidad transversal máxima de un punto alcanzado por la vibración. c) Aceleración transversal máxima de un punto del medio. 8. Una onda longitudinal se propaga a lo largo de un resorte horizontal en el sentido negativo del eje de las x, siendo 20 cm la distancia entre dos puntos que están en fase. El foco emisor, fijo al resorte, vibra con una frecuencia de 25 Hz y una amplitud de 3 cm (se supone que no hay amortiguamiento). Encontrar: a) La velocidad con que se propaga la onda. b) La ecuación de onda sabiendo que el foco emisor se encuentra en el origen de coordenadas y que en t = 0, y(x, t) = 0. c) La velocidad y aceleración máximas de una partícula cualquiera del resorte. 9. Dos movimientos ondulatorios coherentes de frecuencia 640 hertz, se propagan por un medio con la velocidad de 30 ms -1. Hallar la diferencia de fase con que interfieren en un punto que dista de los orígenes de aquellos respectivamente 25,2 y 27,3 m. 10. La ecuación de una onda transversal en una cuerda es y = 1,75 sen π (250 t + 0,400 x) estando las distancias medidas en cm y el tiempo en segundos. Encontrar a) la amplitud, longitud de onda, la frecuencia, período y velocidad de propagación b) la elongación de la cuerda para t=0,0020 s y 0,0040 s c) está la onda viajando en la dirección positiva o negativa del eje x. R/ 11. Una cuerda vibra de acuerdo con la ecuación y = 5 senπx/3 sen 40πt (x en m y t en s). a) Hallar la amplitud y velocidad de fase de las ondas cuya superposición puede dar lugar a dicha vibración. b) Distancia entre nodos. c) Velocidad de una partícula de la cuerda situada en x = 1,5 m cuando t = 9/8 s. 12. Dos movimientos ondulatorios coherentes de frecuencia 640 hertz, se propagan por un medio con la velocidad de 30 ms -1. Hallar la diferencia de fase con que interfieren en un punto que dista de los orígenes de aquéllos respectivamente 25,2 y 27,3 m. 13. Dos ondas que se propagan en una cuerda en la misma dirección tienen una frecuencia de 100 hertz, longitud de onda de 0,01 m y amplitud de 2 cm. ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante si las ondas originales están desfasadas en π/3? Prof. Ing. Douglas Taylor Mora, M.E.E. Fíísica II 9 14. Una cuerda con ambos extremos fijos vibra con su modo fundamental. Las ondas tienen una velocidad de 32 m/s y una frecuencia de 20 Hz. la amplitud de la onda estacionaria en su antinodo es 1,20 cm. Calcular la amplitud del movimiento de los puntos de la cuerda a distancias de a) 80 cm b) 40 cm y c) 20 cm del extremo izquierdo de la cuerda. 15. La expresión de una onda armónica que se propaga por una cuerda es: Ψ(x,t)=1.25sin(0.25π+500πt) Ψ en cm, x en m, t en segundos. a) ¿Cuál es la dirección y sentido de la propagación? b) Calcula: la amplitud, longitud de onda, frecuencia, frecuencia angular, número de onda, periodo y la velocidad de propagación de la onda. c) Calcula la velocidad y la aceleración máximas de un punto x de la cuerda 16. Una barra de aluminio Y=7 1010 N/m2, densidad ρ=2.7 g/cm3 y sección 5 cm2, transmite un movimiento ondulatorio armónico producido por una fuente de 100 Hz de frecuencia y 20 W de potencia. Calcular: a) La velocidad de propagación y la longitud de onda. b) La ecuación de la onda armónica. 17. Una cuerda de 75 cm de longitud y de 20 g/m de densidad lineal está sujeta por uno de sus extremos y por el otro está unida a una fuente vibrante de 80 Hz. Sabiendo que a esa frecuencia le corresponde el tercer armónico. Calcular: a) la velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda b) la tensión de la misma. 18. La ecuación Ψ = 0.1sin(3x + 2t) m, describe una onda armónica de amplitud Ψ0= que se propaga a lo largo del eje X hacia la.... , con velocidad v =... , su longitud de onda es λ =..., y su frecuencia es f =... Una partícula del medio situada en x = π/3 describe un movimiento.... de amplitud.... y frecuencia angular ω=... . La expresión de su velocidad es... Prof. Ing. Douglas Taylor Mora, M.E.E. Fíísica II 10 Prof. Ing. Douglas Taylor Mora, M.E.E. Fíísica II 11