Interés Compuesto2 2.1 DEFINICIÓN Es el proceso mediante el cual el interés generado por un capital, en una unidad de tiempo, se capitaliza; es decir, se adiciona al capital, el mismo que genera un nuevo interés en la siguiente unidad de tiempo y así sucesivamente durante el horizonte temporal. El interés compuesto es una sucesión de operaciones a interés simple, en la que el monto final de una de ellas constituye el principal de la siguiente. Al final del primer periodo de capitalización, el monto de una operación a interés compuesto coincide con el monto a interés simple; siempre y cuando sean iguales las tasas y los principales respectivos. 2.2 FÓRMULAS S=P+I S P1 i n I P[( 1 i ) n 1] Donde: P: Principal, capital, valor actual o stock inicial de efectivo. I : Interés, rédito, beneficio, utilidad, ganancia o renta. n: Tiempo, horizonte temporal, plazo o número de periodos. i : Tasa de interés compuesto o tasa efectiva de interés. S: Monto, capital final, valor futuro o stock final de efectivo. Observaciones Para el buen uso de las fórmulas, las unidades temporales del tiempo (n) deben expresarse de acuerdo a las unidades temporales de la tasa efectiva (i). Dado que la tasa de interés compuesto o tasa efectiva de interés, puede referirse a diferentes plazos; se designará con las siguientes siglas: Tasa Efectiva Anual Semestral Cuatrimestral Trimestral Bimestral Mensual Quincenal Diaria SIGLAS TEA TES TEC TET TEB TEM TEQ TED En la fórmula: S P1 i n el término 1 i es llamado Factor Simple de Capitalización Compuesto (FSC). Por lo tanto, la fórmula anterior puede representarse así: n S = P. FSC i; n Lic. Héctor Herrera Vega Página 6 El FSA es el valor presente compuesto que genera un capital de 1 unidad monetaria. FSA i. Es decir. ya que pasa a formar parte del capital para efecto de calcular los intereses de los periodos posteriores. El stock final de dinero crece a lo largo del tiempo en forma de progresión geométrica y está representado por una línea curva cóncava hacia arriba (exponencial). n y se lee: “El FSA a una tasa efectiva i de n periodos transforma una cantidad futura S en un valor presente P”. 2. ubicado temporalmente “n” periodos en el futuro y a una tasa periódica “i”. Es decir. S S2 S1 SIMBOLOGÍA: 1 100 S1 : Monto Simple S2 : Monto Compuesto Recta INTERPRETACIÓN S1 > S2 : Menor a un año S1 = S2 : En un año S1 < S2 : Mayor a un año 1 000 Exponencial 0 Lic. El horizonte temporal se aplica como un exponente. El FSC es el monto compuesto que genera un capital de 1 unidad monetaria durante “n” periodos a una tasa “i” por periodo. Héctor Herrera Vega 1 año n Página 7 . Al final de cada unidad de tiempo el interés periódico es constante y no genera nuevos intereses. el incremento generado en cada periodo siempre es la misma cantidad. el interés periódico se capitaliza. El horizonte temporal se aplica como un factor. En la fórmula: P S 1 i n el término (1 + i)-n es llamado Factor Simple de Actualización Compuesto (FSA).4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA Para un capital P= $. El stock final o monto crece a lo largo del tiempo en forma de progresión aritmética y está representado por una línea recta. Su función es traer al presente cualquier cantidad futura o llevar al pasado cualquier cantidad presente. Por lo tanto.3 DIFERENCIAS ENTRE EL INTERÉS SIMPLE Y EL INTERÉS COMPUESTO Interés Simple Interés Compuesto Al final de cada unidad de tiempo el interés periódico es variable (creciente) y genera nuevos intereses.Interés Compuesto y se lee: “El FSC a una tasa efectiva i de n periodos transforma una cantidad presente P en un valor futuro S ”. la fórmula anterior puede representarse así: P = S. 1000 y una tasa i = 10%. 2. Su función es llevar al futuro cualquier cantidad presente o traer al presente cualquier cantidad del pasado. ha generado un interés compuesto de S/. 1 000. ¡En el interés compuesto al capital o monto se le aplicará siempre la tasa efectiva! Lic. $. a una tasa efectiva mensual de 5%. en nuestro estudio del interés compuesto. cada bimestre.Interés Compuesto 2. 2 meses 6) Se ha suscrito un contrato de crédito por S/. ¿Cuánto recibirá Paúl suponiendo que el Banco paga una tasa a interés compuesto del 1. que se aplicaba periódicamente al capital o al monto. ¿A qué TEM se impuso? Rpta. las cuales antes de aplicarlos al capital o monto habrá que procesarlas y modificarlas para obtener las tasas efectivas. Héctor Herrera Vega Página 8 .51 2. 8 763. hemos trabajado con una tasa efectiva “i”. depositado en una cuenta de ahorros durante 8 quincenas.27 7) Calcule el monto de una cuenta de ahorros sujeta a una TEA de 12% que se mantuvo durante todo el horizonte temporal. en el interés compuesto algunas tasas serán aparentes (tasas nominales). 10 000 S/. origina un monto de $. podría ocurrir que nos diesen una tasa anual de 48% con la condición que los intereses deben capitalizarse cada mes. 80 000 para cancelarlo dentro de 120 días. en ese plazo se produjeron los siguientes movimientos: Fecha 02/04 10/04 16/04 20/04 30/04 Operación Depósito Depósito Retiro Depósito Cancelación Importe S/. durante 12 cuatrimestres. La operación se inició el 2 de abril y se canceló el 30 del mismo mes. a una tasa efectiva diaria de 2%. la tasa efectiva mensual se mantuvo vigente durante los primeros 46 días.16% 5) ¿Durante cuántos meses se debe imponer un capital de $ 100. para que se convierta en $ 328.420. para procesar de inmediato en las fórmulas que ya conocemos. 3 000 en una cuenta bancaria. cada trimestre o cada día. 95 051. Hallar el interés compuesto de este préstamo. S/. luego cambió a una TET de 12. 1 000 S/.10? Rpta. Rpta. TEM 9. solamente teníamos en cuenta que se trataba del interés compuesto y nos fijábamos en que el tiempo “n” debía aplicarse como un exponente expresado en las mismas unidades temporales de la tasa “i”. Debido a estas complicaciones.6 TASAS NOMINALES CON PERIODOS DE CAPITALIZACIÓN Hasta aquí. 1 000 3) Un negocio pide un préstamo de S/. ¿Cuál es el monto a cancelar al vencimiento del crédito? Rpta. 4 641 4) Un capital de S/. sin ninguna modificación o proceso previo.47 2) ¿Cuál será el capital que depositado a una TES del 3% durante un periodo de 2 años. $. su abuelo hizo un depósito inicial de $.5% durante 10 días y finalmente cambió a una TEQ de 2% durante los últimos 64 días.5% trimestral? Rpta.5 TASAS EFECTIVAS PROBLEMAS DE APLICACIÓN I 1) Cuando Paúl nació. 5 000 Rpta. Al vencimiento del plazo. S/. 1125. Pero no siempre nos darán listo el valor de la tasa efectiva “i”. S/. con la finalidad de que su nieto pueda solventar sus estudios universitarios al cumplir 18 años.51 ? Rpta. 10 000 a una TEA del 10%. 2 000 S/. 16 112. 1 300 durante 47 días impuesto a una TND de 0. las cantidades de $.405 4 meses P=$800 P=$800 Lic. considerando una tasa efectiva mensual del 5%. 8 000 a una TNA del 36% capitalizable mensualmente. 9 004.61 u.m 4) Una inversión efectuada en la bolsa de valores. entonces ¿cuál es el monto acumulado que se recibe al cancelar la cuenta? Rpta. Por ejemplo.1 ubicados al final del mes 1 y final del mes 3 son equivalentes.32 u.m y dos meses después se cancela la cuenta. dos capitales ubicados en diferentes momentos de un horizonte temporal son equivalentes. S/. produjo un interés de S/. Héctor Herrera Vega Página 9 . si a una fecha determinada (inclusive fuera del horizonte temporal) sus respectivos valores. 11 236.56 u. Si la TNS de 9% con capitalización bimestral estuvo vigente durante los cinco primeros meses y luego. Hallar el interés compuesto que se obtiene hasta el 14 de agosto. ¿Cuál fue el importe original de la inversión? Rpta.07 2) Un capital de 15 300 soles se depositó el 22 de mayo con una TNC del 9% capitalizable diariamente. 882 2 $.m 2.m ¿Durante cuántos días estuvo impuesto dicho capital? Rpta. S/.5% capitalizable mensualmente produce un monto de 25 299. S/. en una institución de crédito que remunera las inversiones con una TNA de 12% capitalizable trimestralmente? Rpta.7 ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTE A INTERÉS COMPUESTO En el interés compuesto. Rpta.Interés Compuesto PROBLEMAS DE APLICACIÓN II 1) Calcular el monto a pagar dentro de 4 meses por un préstamo bancario de S/. Rpta.1 3 S=$972. cambió a una TNT de 6% con capitalización mensual.m impuesto a una TNT de 4. A los cuatro meses se deposita un importe de 800 u.926.405 $.25% con capitalización bimestral. 926. 994. 24 días 6) Una cuenta de ahorros se abre con un depósito inicial de 2 000 u.53 3) ¿Cuánto debe invertirse hoy para acumular 15 000 u. 3024.15 5) Un capital de 25 000 u. en el último mes. 840 0 1 $.m dentro de 120 días. son iguales. tal como se demuestra a continuación: S=$972.840 y $.m. 14 420. calculados con una misma tasa de interés. Si el deudor paga $.972.Interés Compuesto Explicación: a) Equivalencia financiera descontando los flujos (Momento 0) Para $. 2 600 en 5 meses y cuatro meses más tarde S/. 16 152. 2 000 para pagar en 6 meses a una TEB de 10%. de tal manera que en el tercer mes cancela la deuda pagando “2N” soles.800 b) Equivalencia financiera capitalizando los flujos (Momento 4) Para $. S/. se aprobó un contrato para sustituir las deudas de la empresa: S/. 6 000 y S/.800 800 P $. 11 000 con vencimiento dentro de 2 y 9 meses.05 972. S/. 926. 800 al final del segundo mes. se tiene que: Si dos capitales son equivalentes en una determinada fecha focal.005 1 926. Rpta.1: 8401 0. PROBLEMAS DE APLICACIÓN III 1) Una persona debe $. también lo serán en cualquier otra fecha.03 4) José recibió un préstamo de S/. el deudor paga S/.405 S $.972. 1 528.11 0.882 1 926.1: 840 1 0. entonces ¿Cuál será la cantidad necesaria para cancelar la deuda en la fecha de vencimiento? Rpta.405 Para $.1 1 0. 840: 8401 0. respectivamente.405 3 1 c) Equivalencia financiera capitalizando uno y descontando el otro (Momento 2). 1 694 2) Una deuda de S/. 3 750 por el cual deberá pagar 20% de interés mensual. Rpta.1 1 0. Hallar la cantidad necesaria para cancelar la deuda en la fecha de vencimiento. durante medio semestre.48 3) En la negociación sostenida por la empresa UNISA con el sectorista de crédito del Banco de Fomento.5% capitalizable anualmente vence en un año. ¿Cuál será el importe del pago que deberá realizar UNISA en esa fecha? Rpta. 2 025 Lic.051 882 P $.882 Conclusión: Aplicando una misma tasa a interés compuesto. S/.405 S $. pero. no lo serán en cualquier otra fecha. 8 000 impuesta a una TNM de 0. 840: Para $.1: 926. 840: Para $. Si dos capitales no son equivalentes en una determinada fecha focal. el segundo mes José decide amortizar la deuda abonando “N” soles. Para $. 926.05 882 S $.053 800 P $.05 972. por un único pago con vencimiento a cinco meses a una tasa anual del 48% con capitalización mensual. Héctor Herrera Vega Página 10 . capitalizable mensualmente. 926. $. Calcular “N”. 4 200.