FUNÇÕES E INEQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAUFORTIUM – Grupo Educacional Faculdade Fortium Docente: Jeferson de Arruda E-mail: [email protected] -1 e 2 são as raízes da equação x 2 − x − 2 = 0 . temos: 2 .Resolvendo uma equação do 2º grau Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.é sempre o coeficiente de x 2 b . Para x = −1 (−1) 2 − (−1) − 2 = 0 1+1− 2 = 0 0 = 0 (Verdadeira) Para x = 0 (0) 2 − (0) − 2 = 0 0+0−2= 0 − 2 = 0 ( Falsa) Para x = 1 (1) 2 − (1) − 2 = 0 1−1− 2 = 0 − 2 = 0 ( Falsa) Para x = 2 (2) 2 − (2) − 2 = 0 4−2−2 = 0 0 = 0 (Verdadeira) Assim.é sempre o coeficiente de x c . a . b = 4 e c = 7 a = −3. Assim.1. Raiz é o número real que. b = 0 e c = −1 3 a = −1. a ≠ 0 onde a. a ≠ 0 (forma normal ou reduzida da equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a. sabemos que 2 torna a equação verdadeira. quais são raízes da equação x 2 − x − 2 = 0 ? Solução Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras. Solução: Sendo 2 uma raiz da equação (2 p − 1) x 2 − 2 px − 2 = 0 . O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução.1 -EQUAÇÃO DO 2º GRAU Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x .é o coeficiente ou termo independente 8. transforma-a numa sentença verdadeira. 2 – Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2 p − 1) x 2 − 2 px − 2 = 0 . toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0 .1 . 2}.8. b. Exemplos: 2x 2 + 4x + 7 = 0 − 3x 2 + x − 2 = 0 − 4x 2 −1 = 0 3 − x2 + x = 0 5 2 2x = 0 é uma equação do 2º grau com é uma equação do 2º grau com é uma equação do 2º grau com é uma equação do 2º grau com é uma equação do 2º grau com a = 2. b. c ∈ R . 1. ao substituir a incógnita de uma equação. Exemplos: Dentre os elementos do conjuntos A= {-1. substituindo x por 2. e c de coeficientes. b = 0 e c = 0 Nas equações escritas da forma ax 2 + bx + c = 0 . b = e c = 0 5 a = 2. 0. b = 1 e c = −2 a = −4. 2 − 2 = 0 (2 p − 1). utilizaremos a fórmula (fórmula de Bhaskara): −b± Δ x= .assim.2 . 2 – Encontar as soluções reais. a ≠ 0 onde a.1.4 − 4 p − 2 = 0 8p − 4 − 4p − 2 = 0 4p −6 = 0 6 3 p= = 4 2 Logo. quais são raízes da equação x 2 − x − 2 = 0 ? Solução: Observe que. 4 Δ = b 2 − 4ac 3 .2 2 − 2 p.Fórmula de Bhaskara Para solucionar equações 2º grau utilizaremos a fórmula chamada de Fórmula de Bhaskara. a = 1. temos: 4 9 = 0. Para solucionar a equação ax 2 + bx + c = 0 .1. b = −3 e c = 9 .(2 p − 1). onde Δ = b 2 − 4ac 2a Nota: A letra grega Δ (delta) é utilizada para representar o radicando b 2 − 4ac denominado dicriminante da equação.1 1± 3 x= 2 1+ 3 4 x1 = = =2 2 2 1− 3 − 2 2 x2 = = = − = −1 2 2 2 x= Logo.(−2) Δ = 1+ 8 Δ = 9 (Δ > 0) −b± Δ 2a − (−1) ± 9 x= 2. da seguinte equação x 2 − 3x + Solução: Observe que. as raízes da equação x 2 − x − 2 = 0 são 2 e -1. 2 8.assim. b = −1 e c = −2 . b.Dentre os elementos do conjunto dos números reais. o valor de p é igual a 3 . a = 1. temos: Δ = b 2 − 4ac Δ = (−1) 2 − 4. c ∈ R . Exemplos: 1. a equação do 2º grau não tem nenhuma raiz real. temos três casos a considerar: 1º caso: Quando o discriminante for maior do que zero (Δ > 0 ) . temos: Δ = b 2 − 4ac Δ = (−1) 2 − 4. possível encontrar um valor de x que satisfaça x = 2a NOTA: Com base no discriminante (Δ ) . com a ≠ 0 .assim. b e c. a = 3. ou seja.1. da seguinte equação 3x 2 − x + 2 = 0 . a equação do 2º grau tem duas raízes reais e distintas. Solução: Observe que. dentro dos números reais não existe raiz quadrada de número negativo.1 3± 0 x= 2 3+ 0 3 x1 = = 2 2 3−0 3 x2 = = 2 2 x= 9 3 = 0 é . tais que.FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Definição: Uma função f : R → R chama-se função polinomial do 2º grau (ou quadrática) quando existem números reais a. associa f ( x) = ax 2 + bx + c . a raíz da equação x 2 − 3x + 3.3. 4 2 Logo.2 .(2) Δ = 1− 24 Δ = −23 (Δ < 0) Note que. a solução desta equação é única. em R. b = −1 e c = 2 . Δ = − 23 não existe. para cada x em R. assim.Encontre as raízes reais. 3º caso: Quando o discriminante for menor do que zero (Δ < 0) . 8.⎛9⎞ Δ = (−3) 2 − 4. Exemplos: As funções f : R → R definidas por: a) f ( x) = x 2 b) f ( x) = −4 x 2 4 . não é −b± Δ pois. 2º caso: Quando o discriminante for igual a zero (Δ = 0) . a equação do 2º grau tem somente uma raiz real.⎜ ⎟ ⎝4⎠ 36 Δ =9− 4 Δ = 9−9 Δ = 0 (Δ = 0) −b± Δ 2a − (−3) ± 0 x= 2. a concavidade do gráfico está voltada para cima. onde xv = − 2a 4a Como a = 1. Quando a < 0 a concavidade do gráfico estará voltado para baixo. Assim. logo. significa que o gráfico “toca” o eixo das abscissas em um único ponto (uma raiz). Δ b e yv = − . y v ) . 8. a concavidade e alguns pontos. veja: Considere f : R → R onde f ( x) = x 2 − 4 x + 5 .c) f ( x) = x 2 − 4 x + 3 d) f ( x) = x 2 + 2 x + 7 O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola.1 2 4. o vértice da parábola é o ponto V = ( xv . Δ = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4. 5 .1) xv = − e yv = − 2.2. significa que o gráfico “corta” o eixo das abscissas em dois pontos distintos (duas raízes).1 4 Sabemos que a função f tem concavidade voltada para cima.1 . b = −4 e c = 5 .5 = 16 − 40 = −4 . Obs: Quando o valor de a > 0 . (−4) 4 (−4) 4 = =2 = = 1 . Δ <0. Reescrevendo. temos y = x 2 − 4 x + 5 .Gráficos Para construção do gráfico de uma função quadrática (ou função polinomial do segundo grau). pois a = 1 ( a > 0 ). Δ = 0 . V = (2.1. devemos identificar o vértice do gráfico. Δ > 0 . significa que o gráfico não “encosta” no eixo das abscissas (nenhuma raiz real). x. podemos notar que esta função será uma função polinomial do segundo grau com concavidade voltada para baixo ( a = −1 < 0 ). y v ) . podemos encontrar o valor assumido por y para valores arbitrários de x.00. o valor de venda para o qual o lucro será máximo será o valor da primeira coordenada do vértice da função.00. devemos encontrar o vértice da função. a despesa semanal é D(x)=(125-x).2 .15 Pela observação (1) e (2). b = 140 e c = −1875 . L(x)=V(x)-D(x). 2) 125-x é o número de relógios vendidos em uma semana e também produzidos (não podemos vender o que não foi produzido). onde xv = − e 2a Δ y v = − . 3) R$15.00 é o custo para produzir cada relógio.025.2. y v ) = (70. 8. o valor obtido pela venda dos relógios é V(x)=(125-x). devemos encontrar as raízes reais da função.45 − 1875 = −2025 + 6300 − 1875 = 2400 . b) Observe que o lucro está expresso em função do preço de venda. e ainda que.Obs: Para representarmos com maior segurança. dentre eles.00 por unidade.00 for o preço de venda.15= 125 x − x 2 − 1875 + 15 x . Está estimado que se o peço de venda for x. de preferência.00 6 . ou seja.400. L(x)=(125-x). ou seja.00 c) Considerando o lucro em função de x(valor de venda). b Assim. ou ainda. a) Expresse o lucro semanal como uma função de x. assim. a) Note que: Pela observação (2) e (3). Com este valor de venda será obtido lucro de R$3. L( x) = − x 2 + 140 x − 1875 . o lucro será de R$2. qual será o lucro semanal? c) Qual o valor de venda para obter um lucro máximo? Solução: Observe que: 1) x é o preço de venda de cada unidade de relógio. a = −1. como função.3025) Logo. temos: 4a 2 Δ = b − 4ac = 140 2 − 4(−1)(−1875) = 19600 − 7500 = 12100 140 140 b ⎛ 140 ⎞ 140 xv = − = 70 =− =− = −⎜ − ⎟= 2a 2(−1) 2 −2 ⎝ 2 ⎠ 12100 12100 Δ ⎛ 12100 ⎞ 12100 = 3025 yv = − =− =− = −⎜ − ⎟= 4a 4(−1) 4 ⎠ 4 −4 ⎝ V = ( xv . temos que: L( x) = − x 2 + 140 x − 1875 L(45) = −452 + 140.Aplicação da função polinomial Um fabricante de relógios pode produzir um determinado relógio a um custo de R$15. assim. ou seja.x-(125-x). se o preço de venda é igual a R$45.x Logo. o valor de venda para se obter lucro máximo deve ser de R$70. o número de relógios vendidos por semana será de 125-x. sabendo que V = ( xv . já o lucro máximo será a segunda coordenada do vértice. os valores reais para os quais f ( x) = 0 . b) Se R$45. 400. ou ainda.400.000. Lucro obtido (em R$) Unidades vendidas (em centenas) Solução: Observe que x representa o número de canetas vendidas no mês e L(x) representa o lucro da empresa para o valor de x.onde x representa o número de canetas vendidas em centenas. (raízes x1 = 25 e x2 = 115 .000.00 devemos resolver a seguinte inequação: 1000 < L( x) < 2400 . Realizando alguns cálculos encontramos o valor x1 = 25 e x2 = 115 .8. devemos encontrar a raiz da equação 0 = − x 2 + 140 x − 2875 . Determine o número de canetas que devem ser vendidas para que o lucro esteja entre R$1. g ( x) = − x 2 + 140 x − 2875 e a seguir um e esboço do seu gráfico. ou ainda. 1000 < − x 2 + 140 x − 1875 < 2400 Para resolver uma inequação como esta.00 e R$2. a = −1 < 0 ) 7 . devemos resolvê-la em três etapas: 1º etapa:devemos encontrar os valores de x para os quais 1000 < − x 2 + 140 x − 1875 . 0 < − x 2 + 140 x − 2875 ( I ) 0 = − x 2 + 140 x − 2875 ( II ) A seguir. teremos: 0 < − x 2 + 140 x − 1875 − 1000 .00 e R$2.3 . Assim.INEQUAÇÕES Sabendo que o lucro mensal da empresa Belas Artes com a venda de canetas pode ser expresso por L( x) = − x 2 + 140x − 1875 . inicialmente devemos passar todos os elementos para um mesmo lado da igualdade e a seguir. Para tanto. tocar o símbolo de desigualdade (a saber “ ≤ ”) por um símbolo de igualdade. A seguir base na inequação (I) devemos criar uma função. se desejamos encontrar a quantidade de canetas (ou valores de 2 x) para os quais o lucro ( L ( x ) = − x + 140 x − 1875 ) deverá estar entre R$1. Assim.00. conforme a 1º etapa e a 2º etapa temos que os valores de x são todos os valores simultaneamente satisfazem 25 < x < 115 e x < 45 ou x > 95 .00 e R$ 2. (raízes x1 = 45 e x2 = 95 . ou seja g(x)>0. teremos: − x 2 + 140 x − 1875 − 2400 < 0 . ou ainda. Para tanto. Realizando alguns cálculos encontramos o valor x1 = 45 e x2 = 95 . o lucro da empresa estará entre R$1. Assim. Assim. − x 2 + 140 x − 4275 < 0 ( III ) − x 2 + 140 x − 4275 = 0 ( IV ) A seguir. g ( x) = − x 2 + 140 x − 4275 e a seguir um e esboço do seu gráfico. os valores que satisfazem a primeira etapa são x tais que x < 45 ou x > 95 . 3º etapa: Devemos encontrar os valores para x que satisfaçam simultaneamente as desigualdades 100 < − x 2 + 140 x − 1875 e − x 2 + 140 x − 1875 < 2400 . 2º etapa:devemos encontrar os valores de x para os quais − x 2 + 140 x − 1875 < 2400 . inicialmente devemos passar todos os elementos para um mesmo lado da igualdade e a seguir. tocar o símbolo de desigualdade (a saber “ ≤ ”) por um símbolo de igualdade.Assim.00 quando o número de canetas vendidas estiver entre 2500 e 4500 (25 e 45 centenas) ou quando o número de canetas vendidas estiver entre 4500 e 9500 (45 e 95 centenas). Logo. 8 . Logo. são os valores 25 < x < 45 e 95 < x < 115 .400. devemos encontrar a raiz da equação − x 2 + 140 x − 4275 = 0 . A seguir baseado na inequação (III) devemos criar uma função. os valores que satisfazem a primeira etapa são x tais que 25 < x < 115 . Logo. ou seja. os valores para os quais g(x)<0 são os valores de x tais que x < 55 ou x > 95 . a = −1 < 0 ) Assim. os valores para os quais 0<g(x).000. são os valores de x tais que x > 25 e x < 115 . onde g ( x) = − x 2 + 2 x − 1 c) f : R → R. após pesquisa de mercado e aprovação da empresa. onde f ( x) = − x 2 + 4 d) m : R → R. possui algumas fábricas. 9) Esboce o gráfico da função f : R → R onde f ( x) = 2 x 2 − x + 2 . na equação x 2 + 4 x + 2k = 0 de modo que a equação não tenha raízes reais. onde x é o número de unidades que foram vendidas durante o primeiro ano. aproximadamente. onde g ( x) = x 2 + 4 e) p : R → R. visando o crescimento da empresa. 3) Atribua valores a k.EXERCÍCIOS 1) Calcule as raízes (ou zeros) das equações abaixo: a) b) c) d) e) x2 − 5x − 6 = 0 5x2 − 6 x + 7 = 0 x 2 − 14 x + 49 = 0 x 2 − 7 x + 12 = 0 5 x 2 + 15 x = 0 f) 3x 2 − 12 = 0 g) 8 x 2 = 0 h) 5 x 2 − 10 x = 0 i) 4 x 2 − 64 = 0 j) 3x 2 + 20 x + 12 = 0 k) 3x 2 − 5 x + 6 = 0 l) x 2 + 5 x − 6 = 0 m) x 2 + x − 2 = 0 1 2 n) x 2 + . b) Esboce o gráfico que representa a função lucro (Obs: utilizar régua). 4) Atribua valores a k. na equação x 2 − 6 x + k = 0 de modo que a equação tenha raízes duas reais iguais. determine. na equação 3x 2 − 6 x − k = 0 de modo que a equação tenha raízes duas reais e distintas.000. Sabendo que durante o primeiro ano o custo fixo para iniciar a nova produção é de R$ 90. onde g ( x) = −3x 2 b) h : R → R.00 por unidade. o custo variável para produzir cada unidade é de R$ 15. onde g ( x) = 2 x 2 + 1 f) n : R → R. (Obs: utilizar régua) 10) Considerando que os anos indicados no gráfico abaixo correspondem ao tempo (zero indica a sua fundação) de funcionamento da empresa Belas Artes. onde g ( x) = − x 2 + 2 x + 3 7) Resolva as seguintes a) b) c) d) − 12 ≤ −3x 2 ≤ −3 4 ≤ −x 2 + 2x −1 ≤ 9 − 11 ≤ − x 2 + 5 ≤ 1 5 ≤ x 2 + 4 ≤ 13 x2 −1 ≤0 e) 2 x 2 − 3x x 3 f) − <2 x +1 x 8) A empresa Belas Artes. determine: a) o lucro em função de x. 6) Esboce o gráfico das seguintes funções: a) g : R → R. O gerente de uma das fábricas. resolve colocar um novo produto no mercado. quantos mil reais a empresa possuía em caixa (valores negativos são dívidas) no momento em que: 9 . 5) Escreva a equação do 2º grau que tem por raízes os números 6 e -2.00.x − = 0 15 15 2) Atribua valores a k.00 e que durante o primeiro ano o preço de venda é de R$65. Valor em caixa (em R$100. b) no momento em que completou seu primeiro e seu segundo ano de fundação. determine. b) no momento em que completou seu primeiro e seu quinto ano de fundação. c) no momento em que completou seu terceiro de fundação. 10 . Valor em caixa (em R$100.00) 11) Considerando que os anos indicados no gráfico abaixo correspondem ao tempo (zero indica a sua fundação) de funcionamento da empresa Belas Artes. c) no momento em que completou seu terceiro de fundação. Está estimado que. se o preço de venda for x.00 por unidade.a) iniciou suas atividades. quantos mil reais a empresa possuía em caixa(valores negativos são dívidas) no momento em que: a) iniciou suas atividades. aproximadamente.000. o número de relógios vendidos por semana será de 130-x.00) 12) Um fabricante de relógios pode produzir determinado tipo de relógio a um custo de R$30.000. ou vanglória.” (Filipenses 2:3e 4) 11 . a) Expresse o lucro diário como uma função de x. considerando cada um os outros superiores a si mesmo. Não tenha cada um em vista o que é propriamente seu.a) Expresse o lucro semanal como uma função de x. mas por humildade. 13) Um fabricante de brinquedos pode produzir um determinado brinquedo a um custo de R$10.00 for o preço de venda. Estima-se que. o número de brinquedos vendidos por dia será de 45-x. qual será o lucro diário? c) Qual será o valor de venda para se obter um lucro máximo? d) Esboce o gráfico do lucro em função de x. se o preço de venda for x.00 for o preço de venda. b) se R$30. b) se R$60. “Nada façais por partidarismo.00 por unidade. qual será o lucro semanal obtido? c) Qual o valor de venda para se obter um lucro máximo? d) Esboce o gráfico do lucro em função de x. senão também cada qual o que é dos outros. 2} ⎩3 5 ⎭ d) S = {3.− ⎬ c) S = {7} k) S = φ h) S = {0. x 2 − 4 x − 12 = 0 Exercício 6: a) b) c) d) Exercício 7: a) S = [−2.0} Exercício 2: S = {k ∈ R / k > −3} Exercício 3: S = {9} Exercício 4: S = {k ∈ R / k > 2} Exercício 5: 0 = ( x − 6)( x + 2) = x 2 + 2 x − 6 x − 12 = x 2 − 4 x − 12 .4] d) S = [−3.4} a) S = {− 1.1} 2⎫ ⎧ j) S = ⎨− 6.2] b) S = R c) S = [−4.−2] ∪ [2.GABARITO Exercício 1: f) S = {0. ou seja.4} e) S = {− 3.3] 12 .6} m) S = {− 2.−1] ∪ [1.− ⎬ b) S = φ g) S = {0} 3⎭ ⎧1 2 ⎫ ⎩ n) S = ⎨ .−6} 1 i) S = {− 4.1] ∪ [1.4} l) S = { . no final do segundo ano o caixa estava equilibrado(nem dívida.00 c) R$80. nem crédito).50 c) 13 .00 d) Exercício 13: a) L( x) = − x 2 + 55 x − 450 b)R$27. c) R$ 200.000.000.000 Exercício 9: b) Exercício 10: a) R$700. porém.000.000.00 Exercício 12: a) L( x) = − x 2 + 160 x − 3900 b) R$2.100.000.Exercício 8: a) L( x) = 50 x − 90.000.00 b) No final do primeiro ano a empresa tinha R$200.00 Exercício 11: c) Uma dívida de R$200.00 a) R$200.00 em caixa.00 b) R$200.