Esfuerzo y Deformación– Carga Axial Contenido • • • • • • • • • • • • • • • Esfuerzo & Deformación: Carga Axial Deformación Normal Ensayos de Esfuerzo-Deformación Diagrama Esfuerzo-Deformación: Material Dúctil Diagrama Esfuerzo-Deformación: Material Frágil Ley de Hooke: Modulo de Elasticidad Comportamiento Elástico vs. Plástico Fatiga Deformación bajo Carga Axial Ejemplo 2.01 Problema modelo 2.1 Indeterminación estática Ejemplo 2.04 Esfuerzo Térmicos Relación de Poisson • Ley generalizada de Hooke • Dilatación: Módulo de compresibilidad • Deformación Cortante • Ejemplo 2.10 • Relación entre E, n, y G • Problema modelo 2.5 2-2 Introducción. Esfuerzo y Deformación: Carga Axial • En el capitulo 1 se estudiaron los esfuerzos que las cargas aplicadas a una estructura o máquina crean en varios elementos y conexiones, y si estos esfuerzos producían o no fallas en ellos. • Lo adecuado de una estructura o maquina puede depender tanto de las deformaciones en la estructura así como en los esfuerzos inducidos al someterla a carga. No siempre es posible determinar las fuerzas en los elementos de una estructura aplicando únicamente un análisis estático • Considerar las estructuras como deformables permite la determinación de fuerzas y reacciones en los miembros las cuales son estáticamente indeterminadas. • La determinación de la distribución de esfuerzos dentro de un elemento también requiere la consideración de deformaciones en el elemento. • En el capitulo 2 se estudian las deformaciones en un elemento estructural sometido a carga axial. En capítulos subsiguientes se tratara con cargas de torsión (momentos de torsión) y de flexión pura. 2-3 Deformación normal bajo carga axial P esfuerzo A L deformación normal 2P P 2A A L P A 2 2L L 2-4 . Ensayos de Esfuerzo-Deformación 2-5 . Diagrama Esfuerzo-Deformación: Materiales Dúctiles 2-6 . Diagrama Esfuerzo-Deformación: Materiales Frágiles 2-7 . tratamientos térmicos y procesos de manufactura mas no así la rigidez (Modulo of Elasticidad). 2-8 .Ley de Hooke: Modulo de Elasticidad • Por debajo del esfuerzo de fluencia E E Modulo de Young o Modulo de Elasticidad • La resistencia es afectada por las aleaciones. Comportamiento Elástico vs. • El máximo valor de esfuerzo para el cual esto ocurre es llamado limite elástico. el material se dice que se comportan plásticamente. Plástico • Si la deformación desaparece al quitar la carga. se dice que el material se comporta elásticamente. • Cuando la deformación no vuelve a cero al quitar la carga. 2-9 . Fatiga • Propiedades de fatiga se muestran en los diagramas de σ-n. • Un miembro puede fallar debido a fatiga en niveles de esfuerzo significativamente por debajo del límite de resistencia si es sometido a muchos ciclos de carga. el numero de ciclos aumenta hasta alcanzar el límite de fatiga.10 . 2 . • Cuando el esfuerzo se reduce por debajo del límite de fatiga. no ocurren fallas de fatiga para cualquier número de ciclos. • A medida que se reduce el esfuerzo máximo. PL i i i Ai Ei 2 . PL AE • Si la barra consta de varias secciones con diferentes cargas y propiedades de material.11 .Deformación bajo Carga Axial • De la Ley de Hooke: E E P AE • De la definición de deformación: L • Igualando y resolviendo para la deformación. 01 SOLUCIÓN: • Dividir la barra en componentes en los puntos de aplicación de la carga. 6 E 29 10 psi D 1. Determinar la deformación de la barra de acero mostrada bajo las cargas dadas. 2 .Ejemplo 2.07 in. • Aplicar un análisis de cuerpo libre de cada componente para determinar la fuerza interna • Evaluar el total de los alargamientos del componente. d 0.618 in.12 . L1 L2 12 in.9 103 in.SOLUCIÓN: • Dividir la barra en tres componentes: • Aplicar análisis de cuerpo libre a cada componente y determinar las fuerzas internas.9 0.9 103 in. P1 60 103 lb P2 15 103 lb P3 30 103 lb • Evaluar el alargamiento total.13 . Pi Li 1 P1L1 P2 L2 P3 L3 A E E A A A i i i 1 2 3 60 103 12 15 103 12 30 103 16 6 0.3 in 2 75. 2 . A1 A2 0.9 in 2 A3 0.3 29 10 1 75.9 0. L3 16 in. b) de D y c) de E. halle la las desviaciones en B y D.1 SOLUCIÓN : • Aplicar un análisis de cuerpo libre a la barra BDE para encontrar las fuerzas ejercidas por los eslabones AB y DC.Problema modelo 2. El eslabón CD es de acero (E = 200 GPa) y tiene una • Trabajar con la geometría para sección transversal de 600 mm2. transversal de 500 mm2. deflexión a) de B. Para la encontrar la deflexión de E dadas fuerza de 30 kN mostrada. 2 . El eslabón AB es de • Evaluar la deformación de los eslabones AB y DC o los aluminio (E = 70 GPa) y tiene una sección desplazamientos de B y D.14 . La barra rígida BDE se apoya por dos eslabones AB y CD. 4 m 60010-6 m2 200109 Pa FAB 60 kN compression 300 10 6 m MD 0 D 0.15 .Problema modelo 2.300 mm 2 .4 m FAB 0.1 SOLUCIÓN: Diagrama de cuerpo libre: Barra BDE Desplazamiento de B: B PL AE 60 103 N 0.3 m 50010-6 m2 70 109 Pa 514 10 6 m MB 0 0 30 kN 0.2 m FCD 90 kN tension B 0.2 m 90 103 N 0.514 mm Desplazamiento de D: D PL AE 0 30 kN 0.6 m FCD 0. Problema modelo 2.7 mm EE HE DD HD E 0.300 mm x x 73.7 mm 73.514 mm 200 mm x 0.300 mm 400 73.16 .928 mm E 1.1 Desplazamiento de E: BB BH DD HD 0.7 mm E 1.928 mm 2 . • Las deformaciones debido a cargas reales y reacciones redundantes se determinan por separado y luego son añadidas o superpuestas. • Una estructura será estáticamente indeterminada siempre que tenga más apoyos de los que son necesarios para mantener su equilibrio. deben producir deformaciones compatibles. • Las reacciones redundantes se reemplazan con cargas desconocidas que. L R 0 2 . junto con las otras cargas.Indeterminación estática • Las estructuras en las cuales las reacciones y fuerzas internas no pueden determinarse solo de la estática se dice que son estáticamente indeterminadas.17 . 2 . se requiere que su suma sea cero.18 . es decir. SOLUCIÓN: • Considere la reacción en B como redundante. libere la barra de ese apoyo y resuelva para el desplazamiento en B debido a las cargas aplicadas. • Imponga que los desplazamientos debido a las cargas y a la reacción redundante deben ser compatibles. • Resuelva para la reacción en A debido a las cargas aplicadas y a la reacción encontrada en B. • Resuelva para el desplazamiento en B debido a la reacción redundante en B.04 Determinar las reacciones en A y B para la barra de acero y la carga mostradas. asumiendo que ambos soportes estaban fijos antes de que se aplicarán las cargas.Ejemplo 2. Ejemplo 2. P1 P2 RB A1 400 10 6 m 2 L1 L2 0.150 m Pi Li 1.95 103 RB δR A E E i i i 2 .125109 L A E E i i i • Resuelva para el desplazamiento en B debido a la restricción redundante.04 SOLUCIÓN : • Resuelva para el desplazamiento en B debido a las cargas aplicadas con la restricción redundante liberada.300 m A2 250 10 6 m 2 Pi Li 1. P1 0 P2 P3 600 103 N A1 A2 400 10 6 m 2 P4 900 103 N A3 A4 250 10 6 m 2 L1 L2 L3 L4 0.19 . L R 0 1.Ejemplo 2.04 • Imponga que los desplazamientos debido a las cargas y a la reacción redundante sean compatibles.95 103 RB 0 E E RB 577 103 N 577 kN • Encuentre la reacción en A debido a las cargas y a la reacción en B Fy 0 RA 300 kN 600 kN 577 kN RA 323kN R A 323kN RB 577 kN 2 .20 .125109 1. T P 0 T L PL 0 AE T P 0 P AE T P E T A 2 . PL AE • La deformación térmica y la deformación del apoyo redundante deben ser compatibles.Esfuerzos Térmicos • Un cambio en temperatura resulta en un cambio en la longitud o en una deformación térmica. No hay ningún esfuerzo asociado con la deformación térmica a menos que la elongación sea restringida por los apoyos.21 . T T L P coeficiente de expansión térmica. • Trate el apoyo adicional como redundante y aplique el principio de superposición. Relación de Poisson • Para una barra delgada sometidos a carga axial: x x E y z 0 • La elongación en la dirección x es acompañada por una contracción en las otras direcciones. las relaciones que describen la deformación bajo carga axial en el eje x son: x x E y z n x E 2 .22 . Suponiendo que el material es isotrópico (propiedades independientes de la dirección). y z 0 • La relación de Poisson se define como y deformación lateral n z deformación axial x x • Combinando estas ecuaciones. 23 . Para esto se requiere cumplir las condiciones: 1) la deformación esta linealmente relacionado al esfuerzo aplicado 2) las deformaciones resultantes son pequeñas • Con estas restricciones se encuentra que: x n y n z x E y z n x E E y n z E n x n y E E E E z E 2 .Ley de Hooke generalizada • Para un elemento sometido a carga multi-axial. las componentes de la deformación normal resultante de los componentes de esfuerzo pueden determinarse de el principio de superposición. Dilatación: Módulo de compresibilidad • Respecto a un estado sin esfuerzo. la dilatación debe ser negativa. el cambio de volumen es e 1 1 x 1 y 1 z 1 1 x y z x y z 1 2n x y z E dilatación (cambio en volumen por unidad de volumen) • Para un elemento sometido a presión hidrostática uniforme. por lo tanto 0 n 12 . e p k 3 1 2n E p k E módulo de compresibilidad 3 1 2n • En elementos sujetos a presión uniforme. Para pequeñas deformaciones.25 . xy f xy • Un gráfico de tensión de corte vs deformación cortante es similar a los gráficos anteriores de tensión normal vs deformación normal salvo que los valores de resistencia son aproximadamente la mitad. 2 . xy G xy yz G yz zx G zx donde G es el módulo de rigidez o módulo de distorsión. La tensión cortante correspondiente se cuantifica en términos del cambio del ángulo entre los lados.Deformación Cortante • Un elemento cúbico sometido a una tensión de corte se deforma en un romboide. determinar a) la deformación cortante promedio en el material y b) la fuerza P ejercida sobre la placa.Ejemplo 2. La placa inferior está fija. • Utilice la definición de esfuerzo cortante para encontrar la fuerza P. • Aplique la ley de Hooke para esfuerzos y deformaciones cortantes para encontrar los esfuerzos cortantes correspondientes. mientras que la placa superior está sometida a una fuerza horizontal P.04 pulg bajo la acción de la fuerza.10 SOLUCIÓN: • Determine la deformación angular o deformación cortante promedio del bloque.26 . Un bloque rectangular de un material con módulo de rigidez G = 90 ksi es pegado a dos placas horizontales rígidas. 2 . Sabiendo que la placa superior se mueve 0. 0 kips 2 .020 rad • Aplique la ley de Hooke para esfuerzos y deformaciones cortantes para encontrar los esfuerzos cortantes correspondientes. xy tan xy 0. xy 0.04 in.27 .• Determine la deformación angular o deformación cortante promedio del bloque. 36 103 lb P 36. xy G xy 90 103 psi 0.020 rad 1800psi • Utilice la definición de esfuerzo cortante para encontrar la fuerza P. P xy A 1800psi 8 in.5 in.2. 2 in. E 1 n 2G 2 .28 . se deforma en un rombo. • Las componentes de deformación normal y cortante (de cizalladura) están relacionados. • Si el elemento cúbico está orientado como en la figura inferior. y G • Una barra delgada cargada axialmente se alargará en la dirección axial y contraerá en las direcciones transversales. n. • Un elemento cúbico inicialmente orientado como en la figura superior se deforma en un paralelepípedo rectangular. La carga axial produce deformaciones normales.Relación entre E. La carga axial también produce una deformación cortante. fuerzas que actúan en el plano de la placa causan tensiones normales x = 12 ksi y z = 20 ksi. Posteriormente. b) la longitud del diámetro CD.5 Un círculo de diámetro d = 9 pulg esta inscrito en una placa de aluminio sin esfuerzo de espesor t = 3/4 pulg. determine el cambio en: a) la longitud del diámetro AB.29 . c) el espesor de la placa. Para E = 10x106 psi y n = 1/3. 2 . y d) el volumen de la placa.Problema modelo 2. /in.8 103 in. C D 14.800103 in. t 0. 0.067 103 15 15 0.4 103 in. C D z d 1. x x n y n z E E E 1 12 ksi 0 20 ksi 3 10 106 psi 1 n x y n z E E E 1. 9 in.067103 in. B A 4. para encontrar los tres componentes de deformación normal. 0./in.600 103 in./in.067 103 in. B A x d 0.187in3 2 . y t yt 1.SOLUCIÓN: • Aplique la ley de Hooke generalizada • Evalúe las componentes de la deformación.067 103 in 3/in3 V eV 1. • Encuentre el cambio en el volumen e x y z 1.600103 in.75in.75in 3 V 0./in./in.533103 in.533 103 in. 9 in./in. z n x n y E z E E 1.30 .