II - DINÂMICA DE PARTÍCULAOBJETIVO: • Determinação da resistência que o meio fluido oferece ao deslocamento do sólido/partícula e vice-versa. • Determinação da velocidade de sedimentação da partícula isolada. • Conceito de Elutriação e Transporte de Particulas QUEDA DE UMA ESFERA LISA NO SEIO DE UM FLUIDO (Sem efeito de parede) As variáveis importantes são: • • • • • FD ⇒ (força resistiva): é a força de arraste por unidade de área projetada A V∞ (velocidade relativa da esfera): é a velocidade de queda da esfera ou velocidade com que o líquido se aproxima da esfera fixa. ρf µ Dp (diâmetro da esfera) FD Através da Análise Dimensional: ρ f .V∞2 ρ f .V∞.Dp = f 1 µ COEFICIENTE DE ARRASTE (CD): é usado para corpos imersos movimentando-se em um fluido, e é definido, de maneira similar à definição do coeficiente de atrito, por: FD CD = A 1 .ρ .V 2 2 f ∞ (1) Na queda de uma esfera em um fluido em regime permanente, a força FD é contrabalançada pela força gravitacional sobre a esfera menos a força de empuxo, então o Coeficiente de Arraste também pode ser calculado por: FD = (força gravitacional sobre a esfera) – (força empuxo) 4 4 FD = πR 3 ρ esfera g − πR 3 ρ .g (2) 3 3 a força resistiva (FD) para um escoamento em torno de uma esfera de raio R é dada por: 1 FD = π .R 2 ρ .V∞2 . f (3) 2 Então, combinando (2) e (3): 4 g.D p ρ esfera − ρ (4) f = CD = 3 V∞2 ρ Muitas experiências realizadas com partículas isométricas, isto é, partículas esféricas ou na forma de poliedros regulares (tetraedro, cubos, octaedros, icosaedro e dodecaedro), parecem indicar que o valor de CD depende apenas do número de Reynolds: e da esfericidade (φ). φ ) (5) . Então: Re = p µ D V∞ ρ f C D = f (Re. o somatório das forças agindo na partícula é nulo.π .DEFINIÇÃO DE VELOCIDADE TERMINAL (V∞): Considerando uma esfera que cai a partir do repouso num fluido infinito e é acelerada até que atinja uma velocidade constante. Quando a partícula/esfera atinge a velocidade terminal. ∑ Forças = 0 1 0 = Volume .( ρ s − ρ f ).µ FD FP (força peso) = mg = ρsólido.V∞2 2 .ρ s . a força resistiva é diferente e portanto deve-se usar o coeficiente de arraste (CD) no balanço de forças.ρ f .C D .g − .g ∑ Forças = 0 0 = força gravidade – força empuxo – força resistiva V∞ 1 1 0 = .π .V ∞ 6 6 V∞ = Força resistiva (FD) ⇒ 3.µ .g (6) Para baixos Re Regime Stokes Rep<0.Dp 3 .Dp 3 .5 Para todos regimes.( ρ s − ρ f ) − .g .Dp.g 18.V. A.V.µ .Dp.π .V∞ Dp 2 . Esta velocidade é denominada velocidade terminal. FE (força empuxo) = ρfluido.π .ρ f .g − 3. .65.Volume .C D 3 2 Para esferas: Volume 1 πD p 1 = . velocidade terminal de queda livre. log 10 . 0.( ρ s − ρ f ).φ p/ 0.62-2. Re n=3.φ p/ 0.8 ≤ φ ≤ 1 24 [ ] ( ) ( ) 1 Re = Re = ρ F .D p .8 24 Re = 1 n n k .843..6 ≤ φ ≤ 0. Re 2 n=1.15-2.88. Diâmetro de partícula etc.b = .Regime de Stokes (Rep<1): CD = 24 Re p (9) . .9 ≤ φ ≤ 1 k1 . Re 1 + n=2. C D .6 ≤ φ ≤ 0.9 24 n n n CD = + k 2 k1 .k 0.8 n=3.5 para 0. A.8 ≤ φ ≤ 1 C D 4 ( ρ s − ρ F ) µ .U 3 U = || u – v || b = intensidade do campo exterior Alternativamente na literatura pode ser encontrada as seguintes equações empiricas para cálculo de CD..φ n=1.g V∞ = ρ f .75.D p V∞ = ρ .Fluidodinâmica da Partícula Isométrica (Pettyjohn & Chistiamen. 1948) VARIÁVEL CORRELAÇÃO 1 A SER n y ( x) = y 0n ( x) + y ∞n ( x) n ESTIMADA 1 n=0.31 − 4.50.5 2 0.065 k 2 = 5. 3 µ2 2 φ k1 = 0. 1. Re 3 ρ F2 .9 para 0.D p C D .π . 2.φ p/ 0.C D 2 (7) 4 (ρ s − ρ f )g .3 para 0.70-1. Re = .Dp 3 e A = ⇒ 6 4 1 2 (8) ESTIMATIVA DE CD E DETERMINAÇÃO DE V∞: Tabela 1 .U µ n n n 2 24 k + 2 CD k C D 1 Re Re 3 4 ρ F ( ρ s − ρ F )b. 5 1 2 C D .6 ≤ φ ≤ 0. .D p V∞ = 2.g .D p V∞ = ρ 1 2 (13) 4. a partir da equação (8): ( ρ s − ρ )g .44 e.20 e. U = u f − V∞ Re ∞ = D p V∞ ρ f µf ε = 1 − Cv sendo Cv a fração volumétrica da fase sólida na suspensão. U = f (Re ∞ . V∞ sendo.D p2 (10) 18µ O diâmetro da partícula para o regime de Stokes pode ser dado por: D pSt 18µV∞ = g (ρ − ρ s f ) 1 2 (11) 2. ε ) Então. Região intermediária (1 < Rep < 500). Para números de Rep muito elevados (Rep > 2*105) CD = 0. Na região do Regime de Newton (500 < Rep < 2*105) CD = 0. 6 (12) 3. U o módulo da velocidade relativa fluido-partícula. CD = 18.5 Re 0p.58 * ρ 1 2 (14) INFLUÊNCIA DA CONCENTRAÇÃO DE SÓLIDOS NA DINÂMICA DE SUSPENSÕES Na literatura pode-se observar que o valor de V∞ é diminuído quanto maior é a concentração de sólidos. a partir da equação (8): 3( ρ s − ρ )g .V∞ = (ρ s − ρ f ). porosidade do leito Quando a concentração de sólidos é reduzida (<5% em volume). Segundo Massarani (2000). . esta concentração não exerce nenhum a influência na dinâmica das partículas.Para sedimentação: U= Para fluidização: U = v sed ε Qf (εA) sendo: Qf – vazão de fluido A – área da seção transversal ε . a influência da concentração das partículas em suspensões é apresentada na tabela abaixo. A massa específica do diamante é 3.5 g/cm3. A concentração do sistema é de 206g de sólidos/tonelada de suspensão. DSt ) sabendo-se que ρS = 1.8 e φC = 0. água) na velocidade de sedimentação? 6.Foram os seguintes os resultados obtidos na elutriação de 25g de um pó industrial com água a 30oC. .6g/cm3 e 1.3g/cm3 e que a viscosidade do líquido é de 18cp. 4.Uma mistura finamente dividida de galena e calcário na proporção de 1 para 4 em peso é sujeita à elutriação com corrente ascendente de água de 0.Calcular a velocidade de elutriação (água a 30oC ) para arrastar partículas esféricas de 30µm. numa vazão de 37 cm3/min: Determinar a distribuição granulométrica (DSt. 30µm de diâmetro.8 em elutriador operando com a velocidade ascendente de líquido 0. O líquido é água a 20oC e a massa específica da partícula é de 3.a .5 g/cm3 e ρC = 2. sendo a massa específica do sólido de 2.5 cm/s. A distribuição granulométrica dos dois materiais é a mesma: 20 30 40 50 60 70 80 100 Dp (µm) %peso <Dp 15 28 48 54 64 72 78 88 Calcular a porcentagem de galena no material arrastado e no produto de fundo.5 g/cm3 e a esfericidade das partículas 0.7. O fluido de arraste é a água a 20oC. Dados: massa específica das partículas ρG = 7.8 g/cm3. em glicerina. esfericidade φG = 0. 3.9cp.25cm/s.UEM/CTC/DEQ DISCIPLINA: Operações Unitárias I ASSUNTO: Exercícios sobre Dinâmica de partículas. 2.Determinar a velocidade de queda de uma partícula de diâmetro 75µm (diâmetro da esfera de igual volume que a partícula) e esfericidade 0.Qual o efeito da viscosidade do fluido (supor empregarmos um fluido menos viscoso. b . 1. viscosidade do fluido µ = 0.Determinar as velocidades de elutriação para separar pó de diamante nas faixas: 0-1µm. Sabe-se que a concentração de sólidos é de 300 g/l de suspensão. as massas específicas do sólido e do fluido são de respectivamente 2. ϕ<.7 g/cm3 . 5.Qual o efeito do diâmetro do recipiente sobre a velocidade de sedimentação? c.Determinar a velocidade de sedimentação de uma suspensão de partículas esféricas de vidro.8 g/cm3. 12µm e 2-3µm.7.