Facultad de Ingeniería Matemática II1 REGLA DE LA CADENA Y DERIVADA IMPLICITA INTRODUCCIÓN La regla de la cadena representa la que es probablemente la más útil de todas las herramientas de derivación. Es un recurso que se utiliza con frecuencia al manejar el cálculo diferencial. Cuando la usamos al derivar una función complicada, es necesario reconocer que la función dada se puede escribir como la composición de dos funciones más simples. En muchas de las variables económicas, es tan importante el nivel que muestra la variable como el ritmo al que se mueve. Por ejemplo, el Producto Bruto Interno es más conocido por su ritmo de crecimiento que por su nivel, y lo mismo le ocurre al índice de precios al consumidor, que pocos saben en qué nivel está, pero muchos saben cuánto cambió en el último mes. Así, el ritmo de cambio llega a ser más importante que el nivel de las variables. Este ritmo de crecimiento, o tasa de crecimiento, no es más que la derivada de la función respecto al tiempo. DEFINICIÓN – REGLA DE LA CADENA Si , entonces En forma equivalente, si se escribe donde , entonces: Guía de Teoría y Práctica Matemática II Semana Nº 1 Facultad de Ingeniería Matemática II 2 Entonces en nuestra tabla si ) (x u u = esta se convierte en: EJERCICIOS PROPUESTOS – REGLA DE LA CADENA Aplicando la regla de la Cadena y lo aprendido hasta ahora, discute la resolución de los Nivel 01 1. 5 ) 3 4 ( + = x y 2- 1 2 ) 3 4 ( 2 ÷ + = x x y 3- 5 2 ) 1 2 ( ) 3 ( 5 ÷ + = x x y 4- 5 3 2 3 + ÷ = x e y 5- ) 7 2 ( ln 2 x x y ÷ = 6- | . | \ | + ÷ = 5 3 6 ln x x y 8- x e e y x x ÷ ÷ = 9- 2 2 1 1 x x x x y + + + ÷ = 10- ) 1 ln( 1 ln + + + = x x y 11- ) 2 1 ( 2 3 2 + ÷ = + x x e y x Nivel 02 1- 2 2 2 a x e x y ÷ = 2- ) ( 2 2 x a x Ln y + + = 3- ) 2 1 ( 2 3 2 + ÷ = + x x e y x 4- x Lnx x y + = 5- ) 1 ( 2 x x x Ln y ÷ + = 6- ) cos ( senx e x e Ln y x x ÷ + = 7- x x x x y ÷ + + ÷ ÷ + = 1 1 1 1 8- ) 2 cos 2 2 3 ( 3 x x sen e y x ÷ = 9- ) 1 2 1 2 ( ÷ + + = senx senx Ln y 10- ) 1 9 3 ( 4 2 + + = x x Ln y a) b) b) c) d) e) f) g) h) i) Facultad de Ingeniería Matemática II 3 Nivel 03 1- 2 1 . 1 x x arctg x y + + = 2- x x arctg x x x x Ln y + ÷ + ÷ + + ÷ ÷ + = 1 1 2 ) 1 1 1 1 ( 3- ) 1 ( 2 1 1 . 2 2 2 2 x x x x e Ln e e arcsen e y ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ = 4- ) 2 ( . ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 2 2 2 2 x x x x x arctg y ÷ + ÷ + = 5- ) cos ( senx e x e Ln y x x ÷ + = 6- ) 1 9 3 ( 4 2 + + = x x Ln y 7- ) ( 2 2 2 a x arctg a x a x y + ÷ = 8- senx arctg senx senx Ln y 2 ) 1 1 ( + ÷ + = 9- ) ( 2 2 2 2 2 2 2 a x x Ln a a x x y ÷ + ÷ ÷ = 10- ) ( 2 2 2 2 x a x x a x Ln y ÷ + + + = 11- x arcsen x x x y 2 ) 1 8 ( 4 1 2 2 2 ÷ + ÷ = 12- ) cos 1 cos 1 ( x x arctg y + ÷ = 13- ) 1 2 1 2 ( ÷ + + = senx senx Ln y 14- x x x x y ÷ + + ÷ ÷ + = 1 1 1 1 DEFINICIÓN – DERIVADA IMPLICITA Hasta ahora nuestras ecuaciones en dos variables se expresaban generalmente en la forma explícita ) ( x f y= . Esto es, una de las dos variables estaba dada explícitamente en términos de la otra. Por ejemplo: 3 2 + = x y 4 2 3 2 + + = t t s Pero no siempre están dadas en forma explícita como 2 = xy , pero si nos pidieran hallar dx dy en esta ecuación seria sencillo pues se puede despejar fácilmente la variable y. Esto es: x y 2 = y tendríamos que 2 2 x dx dy ÷ = Pero este método solo funciona si y es fácil de despejar, no en general. Por ejemplo ¿cómo hallaríamos dx dy para la ecuación. 1 5 3 2 = + + xy xy y x donde no es fácil despejar y? En este caso utilizaremos la derivación implícita. Para entender como hallar dx dy implícitamente, debemos observar que la derivación se efectúa respecto de x. ello quiere decir que cuando derivemos términos que contienen solo a x, podemos derivar como de costumbre. Pero cuando derivamos términos que contiene y hemos de aplicar regla de cadena porque estamos suponiendo que y esta definida implícitamente como una función de x. Facultad de Ingeniería Matemática II 4 Para esto daremos las siguientes recomendaciones a seguir. Ejemplos. 1- Dada la ecuación: xy y x y x + = + 2 2 3 2 Solución Derivando a ambos miembros tenemos: y x y y y x y x y x xy ' + = ' + + ' + 3 2 2 2 2 3 2 Agrupando adecuadamente y' tenemos: 2 2 3 2 3 2 ) 2 ( y x xy y y x y x x ÷ ÷ = ' ÷ + Despejando y' se tiene: x y x x y x xy y y ÷ + ÷ ÷ = ' 3 2 2 2 2 3 2 2- Dada la ecuación: | | . | \ | = y x arctg xy Hallar dx dy Solución Derivando implícitamente respecto de x. ( ) 2 2 2 2 2 2 ' · ' · 1 1 ' y xy y y x y y xy y y x xy y ÷ + = ÷ | | . | \ | + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ' 1 ' ' y x y y y x x xy y y y x x y y x ÷ ÷ = + + ÷ = + + + 1- Derivar ambos miembros de la ecuación respecto de x 2- Coleccionar todos los términos que contengan a la izquierda de la ecuación y todos los demás a la derecha. 3- Factorizar en el lado izquierdo. 4- Despejar dividiendo ambos lados de la ecuación por el factor de la izquierda que no contienen Facultad de Ingeniería Matemática II 5 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 ' y x x y x y y + + ÷ ÷ = 3- Hallar la derivada ) ( ' x f de la función x x x f ln ) ( = Solución En x x x f ln ) ( = Usando derivación logarítmica: (Aplicamos logaritmo a ambos miembros) ( ) ( ) 2 ln ·ln ln ln x x x y = = Derivando implícitamente ( ) ( ) ( ) | . | \ | = = x x x y x x y y x 1 ln 2 ' 1 · ln 2 ' 1 ln Es decir: ( ) ( ) x x x f x ln 2 ) ( ' ln = 4- Dada la ecuación x y e y ÷ + ln Hallar dx dy Solución x y e y ÷ + ln Derivando implícitamente respecto de x: ( ) x y x y x y x y e e e e y y x x xy y y y x x y x y y y ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = | | . | \ | ÷ = ÷ + = | . | \ | ÷ ÷ + 2 2 2 2 ' 0 ' ' 0 ' ' 1 = | | . | \ | ÷ ÷ = ÷ ÷ x y x y e e y x x y y 2 ' | | . | \ | ÷ ÷ ÷ x y x y x y x y e e 2 REGLA PRÁCTICA Una forma práctica de hallar dx dy de la ecuación 0 ) , ( = y x F es aplicando la siguiente fórmula. Facultad de Ingeniería Matemática II 6 Apliquemos este criterio a nuestro primer ejemplo. hallemos y' en xy y x y x + = + 2 2 3 2 primero igualemos a cero la ecuación. 0 2 2 3 2 = ÷ ÷ + xy y x y x y tenemos que: y y x xy y x F x ÷ + = 2 2 3 2 ) , ( x y x x y x F y ÷ + = 2 3 2 2 ) , ( Reemplazando en nuestra fórmula tenemos que: x y x x y y x xy y x F y x F dx dy y x ÷ + ÷ + ÷ = ÷ = 2 3 2 2 2 2 3 2 ) , ( ) , ( EJERCICIOS PROPUESTOS – DERIVADA IMPLICITA Nivel 01 1- y x e y + = 2- 2 2 4 4 y x y x = + 3- a e y x = + 4- 3 2 3 4 y x yx + = 5- 0 3 3 3 = ÷ + y x a y x 6- x e y y x = + + 7- 4 x y + = 8- 2 5 2 3 1 x y x y ye + = + 9- 1 1 1 x y + = 10- ( ) ( ) 3 3 1 ln 2 xy x + = 11- 2 sen( ) cos x y y x + = 12- ( ) ( ) 3 27 x y x y + = ÷ 13- Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto especificado a) ( ) ( ) 2 3 2 , 1;1 y x x = ÷ b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 25 , 3;1 x y x y + = ÷ c) 2 2 3 4 3 6, (1,1) x xy y x + + + ÷ = d) 4 4 4 6 , (1, 2) y x xy = + e) 3 3 6 , (3, 3) x y xy + = f) 2 2 1 1, ( 1;1) 1 xy x y ÷ = ÷ + Facultad de Ingeniería Matemática II 7 g) ) 1 ; 1 ( , 2 ) ( 3 3 xy y x = + h) 2 2 5 , (4;3) 12 x y xy + = Nivel 02 1- y x x y = 2- senx x y= 3- y sen arc x sen arc y x ÷ = ÷ 4- 2 2 2 a y xy a x = + ÷ 5- 19 ln 2 = + + y x y y x 6- 1 = + + y xy x 7- 3 = ÷ ÷ + y x y x e e 8- 10 2 2 = + + y x x y 9- 1 = + + y xy x 10- ) ( y x arxtg xy= PROBLEMAS DE APLICACIÒN Modelos Económicos : ) ( x C Costo total : ) ( ) ( x x C x Q = Costo promedio ) ( ) ( ) ( x C x I x U ÷ = : Utilidad, ganancia o beneficio ) ( ' x C : Costo marginal ) ( ' x I : Ingreso marginal ) ( ' x Q : Costo promedio marginal Analiza la siguiente lista de problemas aplicativos que se presenta a continuación e I nterpreta los resultados 1. El ingreso generado por la venta de x mesas está dado por 2 ( ) 20 500 x R x x = ÷ , para 0 7, 000 x s s . Calcula e interpreta el ingreso marginal cuando x = 1,000 unidades. 2. El costo de producir x artículos es 2 ( ) 1, 000 0.24 C x x = + , para 0 30, 000 x s s . a) Encuentra el costo marginal C‘(x). b) Encuentra e interpreta C’(100). 3. Suponga que la demanda de un cierto artículo está dada por 2 ( ) 2 4 6 x p p p = ÷ + + , donde p representa el precio del artículo en dólares. a) Calcula la razón de cambio de la demanda con respecto al precio. b) Calcula e interpreta la razón de cambio de la demanda cuando el precio es $10. 4. La ganancia (en miles de dólares) del gasto de x mil dólares en publicidad está dada por 2 ( ) 1, 000 32 2 P x x x = + ÷ . Calcula la ganancia marginal para los siguientes gastos. En cada caso decide si la empresa debe incrementar los gastos en publicidad. a) $8,000 dólares b) $6,000 dólares c) $ 12,000 dólares d) $20,000 dólares 5. La figura de la derecha reporta el total en miles de suscriptores en México de la televisión restringida. Suponga que las funciones cambian suavemente. Facultad de Ingeniería Matemática II 8 a. ¿Cuáles medios han mantenido una tendencia positiva en la razón de cambio en el nivel de suscriptores de 1997 a 2004? b. ¿Cuál medio presentó una tendencia negativa en la razón de cambio en el nivel de suscriptores y en qué periodo? c. ¿Cuál es el medio que presenta un mayor crecimiento en el mercado de junio de 2003 a junio de 2004? Fuente: Dirección General de Tarifas e Integración Estadística, Cofetel, publicada en Público, 12 de octubre de 2004. 6. La ecuación de la demanda de cierto producto está dada por: 325 4 p x = ÷ , si 0 70 x s s en donde x es el número de unidades demandadas y p es el precio por unidad. Evalúa e interpreta el ingreso marginal cuando se venden 25 unidades. 7. Trabajadores en aislantes que estuvieron expuestos al asbesto y se contrataron antes de 1960, experimentaron una probabilidad creciente de adquirir cáncer de pulmón. Si un grupo de trabajadores en aislantes tienen un total acumulado de 100,000 años de experiencia de trabajo con su primer fecha de empleo hace t años, entonces el número de casos de cáncer de pulmón dentro del grupo puede modelarse mediante la función: 3/ 2 ( ) 0.00437 N t t = . *Wajker A., Observation and lnference: An Introduction to the Method of Epidemiology, Epidemiology Resources Inc., 1991. Encuentra e interpreta la razón de cambio del número de trabajadores con cáncer de pulmón en el grupo cuando la primera fecha de empleo es: a) hace 5 años; b) hace 10 años. 8. El costo total de producir a mano x veletas es 2 3 ( ) 100 8 4 C x x x x = + ÷ + . Calcula e interpreta el costo marginal para los siguientes valores de x: a) x = 0 b) x = 4 c) x = 6 d) x = 8 9. El costo (en miles de dólares) de fabricar x botes de vela está dado por 2/ 3 ( ) 600 42 C x x+ x = + , si 0 100 x s s a) Encuentra la función de costo marginal b) ¿Cuál es el costo marginal en x = 40? 10. A menudo, las ventas de un producto nuevo crecen rápidamente al principio y luego se nivelan con el tiempo. Éste es el caso de las ventas representadas por la función 100 ( ) 100 S t t = ÷ , donde t representa el tiempo en años. Encuentra e interpreta la razón de cambio de las ventas para los siguientes valores de t: a) t = 1 año b) t = 10 años 11. El ingreso por la venta de x carteras está dado por 3 ( ) 201 2 R x x x = + para 4 80 x s s . El Facultad de Ingeniería Matemática II 9 costo de fabricar x carteras está dado por 2 ( ) 0.1 5 40 C x x x = + + . a) Encuentra la función de ganancia. b) ¿Cuál es la ganancia al vender 10 carteras?, ¿20 carteras?, ¿50 carteras? c) Encuentra la función de ganancia marginal. d) ¿Cuál es la ganancia marginal al vender 10 carteras?, ¿20 carteras?, ¿50 carteras? e) ¿Cuál es la relación entre las respuestas en los incisos b) y d)? 12. Un analista encontró que los costos e ingresos por el producto de una compañía están dados por: ( ) 2 C x x = y 2 ( ) 6 1, 000 x R x x = ÷ para 10 4, 000 x s s . a) Encuentra la función de costo marginal. b) Encuentra la función de ingreso marginal. c) Al usar el hecho de que la ganancia es la diferencia entre ingreso y costo, encuentra la función ganancia marginal. 13. La función de ingreso para la venta de un producto es 200 ( ) 2 x R x = x+ , donde x es el número de unidades vendidas y R es el ingreso en miles de pesos. Encuentra e interpreta el ingreso marginal para x = 8.. 14. Los ingresos totales en taquilla a nivel mundial de cierta película se aproxima con la función 2 2 120 ( ) 4 x T x x = + donde T(x) se mide en millones de dólares y x son los años posteriores al lanzamiento de la película. ¿Cuán rápido cambian los ingresos totales en uno, tres y cinco años después del lanzamiento de la película? 15. La función de costo para un producto es 720 ( ) 120 1 x C x = x+ x+ , donde x es el número de unidades producidas y C es el costo en miles de pesos. Encuentra e interpreta el costo marginal para x = 35. 16. Se estima que dentro de t años, la población de cierta comunidad será 7200 ( ) 45000 2 1 P t t = ÷ + . Evalúa e interpreta la razón de cambio de la población a: a) t años b) un año c) dos años d) tres años e) veinte años 17. Una empresa construye un complejo habitacional en una comunidad. Los planeadores estiman que la población (en miles de habitantes) dentro de t años estará dada por 2 2 25 125 200 ( ) 5 40 t t P t t t + + = + + . a) Calcula la razón de cambio de la población respecto al tiempo. b) ¿Cuál será la población a los 10 años? c) ¿A qué razón estará aumentando la población cuando t = 10? 18. La ecuación de la demanda para un producto está dada por 3 / 800 8 x p e ÷ = . Encuentra la razón de cambio del precio p con respecto a la cantidad x, cuando x = 400 unidades. 19. Suponga que 0.02 ( ) 100 x P x e ÷ = representa el porcentaje de autos fabricados por cierta compañía que continúan sin defectos después de x meses de uso. a) Calcula el porcentaje de autos sin defectos después de 1 mes, 10 meses y 100 meses. b) Calcula e interpreta (10) P' y (100) P' . 20. Encontrar la rapidez de variación del volumen de un cubo con respecto a la longitud de un lado. 21. Se vierte agua en un estanque cilíndrico de 2 metros de radio basal y 4 metros de altura a razón de 50 litros por minuto. ¿Con que rapidez asciende el nivel del agua?