Chapitre 2 La conduction thermique en régime permanentMPh 2008-2009 1 1-La chaleur Comment la définissez-vous ? C’est une forme transitoire d’énergie qui se propage, à la suite d’une différence de température, par exemple. Notée : Q Unité : le Joule J 2 2-Flux thermique ou puissance thermique : Φ Comment le définissez-vous ? C’est la quantité d’énergie thermique dQ échangée pendant la durée dt dΦ = dQ / d t Unités : en J/s ou encore en Watts Le flux thermique est orienté « du chaud vers le froid » cad selon les températures décroissantes ? « du froid vers le chaud» cad selon les températures croissantes ? 3 S’il y a une source de chaleur : La puissance produite s’accumule puissance produite = puissance évacuée simultanément 4 . La température est identique en tout point La température peut être différente d’un point à l’autre.3-Régime permanent / stationnaire Rayer la ou les propositions fausses : Chaque point a une température constante au cours du temps. Il existe 3 modèles de géométrie. 5 .4-Surface isotherme Représente le lieu géographique des points matériels ayant tous la même température. Le flux thermique s’écoule perpendiculairement aux surfaces isothermes. four. réfrigérateur. glacière.géométrie plane : le mur Applications : Murs. Représentez l’écoulement du flux thermique. • La surface des isothermes est identique pour toutes. etc… Textérieure de la maison 10 ° C Φ Mur Tintérieure de la maison 19° C Représentez les surfaces isothermes DANS le mur • Les isothermes sont des plans. Le flux s’écoule • perpendiculairement aux surfaces isothermes • Dans le sens des températures décroissantes 6 .5. thermos. Le flux s’écoule perpendiculairement aux surfaces isothermes : Φ s’écoule radialement. etc… Canalisation de longueur L Surface intérieure : T = cste = Ti Surface extérieure : T = cste = Te Représentez les surfaces isothermes Les isothermes sont des cylindres concentriques.6-Géométrie cylindrique : le tuyau Applications : transport de fluides chauds dans les canalisations. Leur surface est-elle constante lorsque r varie ? Leur surface varie avec r : Si = 2 π ri L Se = 2 π re L Φ Représentez l’écoulement du flux thermique. 7 . . Leur surface est-elle constante lorsque r varie ? Leur surface varie avec r : S = 4π r² Représentez l’écoulement du flux thermique. Le flux s’écoule perpendiculairement aux surfaces isothermes : Φ s’écoule radialement.7-Géométrie sphérique Φ 8 Applications : stockage Représentez les surfaces isothermes Les isothermes sont des sphères concentriques. Origine physique de la conduction thermique Les transferts thermiques par conduction nécessitent-ils un support matériel ou peuvent-ils avoir lieu dans le vide ? Est-ce que le support matériel subit un déplacement lors des transferts thermiques par conduction ? Oui Non 9 .8. 9-Equation de Fourier en régime permanent L’expérience en géométrie plane montre que le flux thermique : est proportionnel • à la surface S de l’isotherme • à la différence de température de part et d’autres d’une paroi (fonction gradiant) s’écoule • perpendiculairement aux isothermes (vecteur) • dans le sens des températures décroissantes (signe négatif) dépend de la nature du matériau • notion de conductivité thermique du matériau λ .λ S (grad T) 10 . unités W / m.K L’équation de Fourier généralise ceci dans les 3 modèles de géométrie : Φ = . Géométrie plane L’équation de Fourier s’écrit : Φ dT = −λS dx Surface isotherme S = cste Φ x1 T1 > x2 T2 x Φ ∫ dx = − λ S ∫ x1 x2 T2 T1 dT Φ = −λS T 2 − T1 x 2 − x1 11 Φ ( x 2 − x1 ) = − λ S (T2 − T1 ) Or T2 − T1 < 0 donc Φ > 0 . Autres modèles de géométrie L’équation de Fourier s’écrit : dT Φ = −λS dr S varie en fonction de r Cylindre : S = 2πrL Sphère : S = 4 π r² 12 . 10-Analogie électrique Loi de Fourier en géométrie plane On a vu Φ ( x 2 − x 1 ) = − λ S (T 2 − T 1 ) Electricité Potentiel électrique Thermique Température Kelvin Flux thermique Watt Si on note x2 -x1 = e (épaisseur de la paroi) (é On obtient : Φ e = λ S (T1 . Résistance électriqueRésistance thermique K / Watt conductivité électrique conductivité thermique σ λ Ω−1m−1 W / m.V2 = RI Analogie électrique Quelle est la grandeur qui « circule » ? Élec : I thermique : Φ T1 .K 13 Ohm .T2 = R Φ R = Résistance thermique du matériau Ré maté R = e / λ S en géométrie plane gé omé unités de la résistance thermique : unité ré K / W.T2 ) Volt Intensité électrique Ampère La loi d’Ohm s’écrit : U = V1 . ln r1) / λ 2π L R = (1/r1 –1/r2 ) / 4π λ r2 > r1 r2 > r1 14 .11-Résistances thermiques dans les 3 modèles de géométrie Elles sont toujours définies positives Plan Cylindre Sphère R=e/λS R = ( lnr2 . 12-Mur composite : association série T2 Ti>Te e1 λ1 vitre e2 λ 2 air T3 e3 λ3 volet Φ Te x Est-ce le même flux thermique qui traverse chaque matériau ? OUI Rthermique totale = R + R + R 1 2 3 R Schéma équivalent : totale = e1 λ1S + e3 e2 + λ2S λ3S (V1) Ti R1 (V2) T2 R2 (V3) T3 R3 (V4) Te (Ι) Φ 15 . 14-Association parallèle mur fenêtre Est-ce le même flux thermique qui traverse chaque matériau ? NON Schéma équivalent Tpièce Φmur + Φfenêtre Φmur Rmur Textérieur Φmur + Φfenêtre Rfenêtre Φfenêtre 1 Association parallèle R totale = 1 R mur + 1 R fenêtre 16 . W-1 Schéma électrique équivalent Φ Rcontact 17 .15-Les résistances de contact Contact imparfait entre les matériaux => variation brusque de température. T x évaluées expérimentalement ordre de grandeur : 10-3 m².K. Conduction thermique dans les solides A votre avis.16. qu’est-ce qui permet le transfert thermique par conduction au niveau microscopique ? déplacements des électrons libres λe vibrations des ions λv λ = λv+ λe en W.m-1.K-1 Facteurs d’influence Température Humidité Orientation des fibres (= direction privilégiée = anisotropie) 18 . K-1 Alliages métalliques Verres λe = 0 Matériaux réfractaires λe = 0 19 .Positionnez sur la flèche les Métaux purs Verres Alliages métalliques Matériaux réfractaires (briques.…) 0.m-1. céramiques.5 1 10 50 100 Métaux purs 500 λ en W. structure désorganisée λ de l’ordre de 1 à 0.K-1 La conductivité thermique diminue quand la température augmente : λ (T) 20 .1 W.Conductivité thermique des liquides Pas de réseau cristallin.17.m-1. 02 à 0.m-1. les phénomènes de convection y sont importants. 21 .18-Conductivité thermique des gaz Les gaz sont de très mauvais conducteurs thermiques.2 W.K-1 Facteurs d’influence : La température Par contre. λ de l’ordre de 0. d’où transferts thermiques importants par convection. 19.1 W.K-1 22 .m-1.Les isolants thermiques λ inférieur à 0. . réaction chimique. Unités : W..20-Equation de la chaleur ∆ T = − H λ ∆ : opérateur mathématique Laplacien H : quantité d’énergie produite pendant la durée dt • • • • • par unité de volume générée au point M par effet Joule.m-3 différent de Φ = énergie transférée pendant dt 23 . Le Laplacien ∆. donne pour un problème Type mur d dx 2 T 2 = − H λ cylindrique d 2T dr 2 + 1 r dT dr = − H λ − H sphérique d 2T dr 2 + 2 r dT dr = λ Si le milieu est inerte thermiquement cad sans production d’énergie H=0 24 . Hr² / 6λ .A / r + B A et B : 2 constantes à déterminer par les conditions aux limites si le cylindre (ou la sphère) est plein. r varie de 0 à rextérieur exté • Or ln0 n’est pas défini • donc A = 0 25 .H x² / 2λ + A x + B Cylindre T = .Hr² / 4λ + A ln r + B Sphère T = .21-Répartition des températures dans les 3 géométries Obtenues par l’équation de la chaleur Plan T = . selon la géométrie 26 . S est remplacée par son expression.22-Flux thermique dans les 3 modèles de géométrie Obtenu en utilisant l ’équation de Fourier Φ = -λ S (grad T) grad T cad : dT / dx ou dT / dr déterminé par les résultats précédents (paragraphe 21). Φ T1 T2 > T1 x 27 .Géométrie plane Equation de Fourier Φ = -λ S (grad T) et s’écrit en géométrie plane Φ = -λS dT/dx Equation de la chaleur en géométrie plane T = .H x² / 2λ + A x + B D’où Φ =… = HS x – A λ S Si H=0 (mur inerte thermiquement) Φ= -AλS Φ = constante le flux qui se propage à l’intérieur du solide est le même en tout point. Φ T1 T2 T3 x Flux négatif direction de l’écoulement thermique selon x décroissant Flux positif direction de l’écoulement thermique selon x croissant Où est la température la plus élevée ? En T2 (flux s’écoule dans le sens des températures décroissantes) 28 .Si H≠ 0 (type plancher chauffant) : Φ = HS x – A λ S Le flux thermique varie linéairement dans l’épaisseur du mur. A λ 2π L et S = 2πrL Sphère Φ = -λS dT/dr = SH r /3 – A λ S / r² Φ = H 4 π r 3 / 3 .Cylindre Φ = -λS dT/dr = SH r / 2 .A λ S / r Φ = H π L r² .A λ 4π et S = 4 π r² 29 . 30 .1 W.23.m-1.Que retenir de ce cours ? Analogie électrique : T1-T2 = RΦ Les unités de la résistance thermique : K / W Savoir reconnaître une association série de résistance thermique. Alors 1/Rtot = 1/R1 + 1/R2+ … L’ordre de grandeur de la conductivité thermique d’un isolant thermique : λ inférieur à 0. Alors Rtot = R1 + R2+ … Savoir reconnaître une association parallèle de résistance thermique.K-1 Savoir appliquer les relations donnant la répartition des températures et le flux thermique dans les 3 géométries.