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CAPÍTULO1 TEORÍA DE CONJUNTOS CAPACIDADES: É M = { x / x es una vocal } Þ n( M ) = ... Al finalizar el capítulo estarás en la capacidad de: ® P = {12;22;32;.........;172 } Þ n( P ) = ... - Distinguir y aplicar las nociones de conjunto, elementos, pertenencia e inclusión. ® Q = {b,a,b,a } Þ n( Q ) = ... - Analizar las relaciones entre las diferentes clases de conjuntos. 6. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO - Realizar operaciones conjuntistas - Resolver todo tipo de problemas con conjuntos gráfica Determinar un conjunto es especificar o señalar, en o simbólicamente. forma precisa, quienes son los elementos que lo conforman. 1. IDEA DE CONJUNTO * Por extensión o en forma tabular: Es cuando se señala a cada uno de los elementos de un conjunto, enumerándolos o indicándolos en forma sobreentendida. Ejemplo: M = {2; 6; 12; 20; 30; 42; 56; 72; 90} N = {1; 3; 5; 7; .....; 999} El término conjunto no tiene definición matemática, por P = {0; 1; 2; 3; .....} lo que entenderemos por conjunto a la REUNIÓN, AGRUPACIÓN, COLECCIÓN, CLASE O FAMILIA de * Por comprensión o en forma constructiva: Es objetos reales o abstractos que comparten una misma cuando se mencionan una o más características característica, por lo que reciben el nombre de comunes y exclusivas a los elementos del conjunto. ELEMENTOS. Así tenemos: M = {x 2 / x Î ¥ ; 2 < x < 10 } Ejemplos: M = {2; 4; 6; 8} Forma del elemento Condición de la variable Característica de la variable N = {los alumnos del ciclo intensivo 2008} Ejemplos: 2. NOTACIÓN: Generalmente: A = { x x +1 / x Î ¬ Ù 1< x < 7} • Todos los conjuntos se representan con letras x B = { x2 / Î ¥ Ù 1 < x < 10 } mayúsculas para identificarlos más fácilmente. 2 • Los elementos de un conjunto van entre llaves o x+3 signos de colección, separados por comas o puntos C={ / x Î ¥ Ù 1< x < 6} y comas. 2 • El orden de los elementos no tiene importancia x+3 D={ Î ¥ / 1< x < 6} alguna. 2 5 Ejemplos: E = {( 2 x + 1) Î ¥ / x < } 2 A = {1; 3; 5}= {3, 5; 1} B = {c; e; p; r; e; u; n; c; p} 2 2x +1 F = { x / x Î ¥ /1< < 2} 4 3. DIAGRAMA DE VENN - EULER Son representaciones de los conjuntos mediante 7. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas. A A. INCLUSIÓN: B Ejemplos: Se dice que un conjunto "A" está incluido en "B" si 1 2 todos los elementos de "A" son también elementos 3 5 4 6 de "B". Se denota: AÌB Se lee: "A está incluido en B" 4. RELACIÓN DE PERTENENCIA A B "A está contenido en B" La relación de pertenencia es exclusiva y se da "A es subconjunto de B" solamente entre elemento y conjunto. Si un objeto es elemento de un conjunto se dice que pertenece (Î) a B. IGUALDAD: este conjunto, en caso contrario se dirá que no Se dice que dos conjuntos son iguales cuando pertenece (Ï) a dicho conjunto. poseen los mismos elementos. Se denota: A=B. Ejemplo: A =BÛ A ÌBÙBÌA Dado el conjunto A = { f ;5;7;11} , se observa que: Dos conjuntos son comparables, cuando por lo menos uno de ellos está incluido en el otro. Es decir: 5 A fÎA 7ÎA 11Î A AÌBÚ BÌ A 6ÏA 2ÏA 15 Ï A nÏA C. DISJUNTOS: 4. NÚMERO CARDINAL Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos en común. El número cardinal de un conjunto A, nos indica la A B cantidad de elementos diferentes que posee, y se denota por n(A). Ejemplos: Þ A y B son disjuntos 8. CLASES DE CONJUNTOS Resolución A ={2; 3; 0} A. FINITO: I. {2} A (V) Un conjunto es finito, si tiene una cantidad limitada de elementos diferentes, es decir el proceso de II. 2 Î A (V) contar sus elementos tiene fin en el tiempo. III. 3 Î A (V) B. INFINITO: IV. {Æ} Ì A (F ) Un conjunto es infinito, si tiene una cantidad ilimitada de elementos diferentes, es decir el proceso de contar sus elementos no tiene fin en el 2. Sea: A = {f; {f}; a; {a;b};b} tiempo. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. 9. CONJUNTOS ESPECIALES I. { } f; a A II. {a} P(A) A. CONJUNTO VACÍO O NULO Es aquel conjunto que no tiene elementos. Se III. {a; b} P( A) denota por Ø ó { }. IV. {{f}{; a}{ ; b}; b} P( A) IMPORTANTE: El conjunto vacío (Ø) es subcon- junto de todo conjunto. a) VFVF b) VVFF c) VVVF Ejemplo: M = { x Î © / 3 < x < 4 } d) FFFV e) FVVF M=Ø={ } B. CONJUNTO UNITARIO O SINGLETÓN: Resolución Es aquel conjunto que tiene un sólo elemento. Su A = {ø; {ø}; a; {a; b}, b} cardinal es 1. I. {ø; a} A (V) Ejemplo: II. {a} ј P(A) (V) P = {x Î © / 5 < x < 7} P = {6} \ n(P)=1 III. {a; b} ј P(A) (V) IV. {{ø}; {a}; {b}; b} P(A) (F) C. CONJUNTO UNIVERSAL: Es un conjunto referencial que se toma para el 3. Dado el conjunto: estudio de otros conjuntos incluidos en él. No existe un conjunto universal absoluto y se denota { A = 3x Î Z / x 2 < 36 } generalmente con la letra "U". Calcula el cardinal del conjunto “A” Ejemplo: A B a) 18 b) 7 c) 5 2 3 4 d) 34 e) 35 5 1 0 U Resolución A = {3x Є Z/ x2 < 36} D. CONJUNTO DE CONJUNTOS O FAMILIA DE – 36 < x < 36 CONJUNTOS: Es aquel conjunto cuyos elementos son todos – 6.3 < x.3 < 6.3 conjuntos. – 18 < 3x < 18 Ejemplo: A = {{ 2 }; { 3 }; { 4;5 }; { 6 }; f } - 17; -16; -15; …; -1; 0; 1; … ; 15; 16; 17 A = {-17; -16; -15; … ; -1; 0; 1;…; 15; 16; 17} E. CONJUNTO POTENCIA: El conjunto potencia de un conjunto "A" es la familia \ n (A) = 35 de subconjuntos de A y se denota como P(A). P( A ) = { x / x Ì A } 4. Halla el número de elementos del conjunto A, sabiendo que: el número de sus subconjuntos Recuerda: ternarios, excede en 14 a su número de subconjuntos n( A ) a) # subconjuntos de A = n[P( A )] = 2 binarios. b) Se denomina subconjunto propio de "A" a todo subconjunto de "A" diferente de "A" a) 4 b) 5 c) 6 c) # subconjuntos propios de A=2n(A) –1 d) 7 e) 8 Resolución n(A) = x n(A) C3 - C 2 = 14 \ x = n(A) = 7 PROBLEMAS DE APLICACIÓN 5. Halla el valor de verdad de las siguientes 1. Indicar ¿cuántas expresiones son verdaderas, proposiciones: si: A = { 2 ; 3 ; 0 } y las proposiciones son: I. Si el n(A)=4 y n(B)=5 entonces el numero I. {2} Ì A máximo de elementos de C= P(A)U P(B) es 48. II. 2ÎA II. { } Si A = n2 - 1 /n Î Z; 4 £ n2 £ 9 entonces la n(A) III. 3ÎA es 2. IV. {Æ} Ì A III. Si A £ B = f , entonces A = f Ù B = f . a)1 b)2 c)3 a) VFF b) FFF c) FVF d)4 e)5 d) VVF e) VVV Resolución 3. Dado: I. n(A) = 4 A = {1 : 2;{}{ 3 ; 4;5}} n(B) = 5 Determina la relación falsa: C = P(A) U P(B) Þ n [P(A)] = 24 = 16 a) 1 A b) {} 3 A 32 n [P(B)] = 25 = 48 c) {4,5} A d) 2 A Pero: e) {{}{ 3 ; 4;5}} A Rpta. c C = {...; ø} >442443 {...; ø} 1442443 16 32 4. Determina el cardinal de A, sabiendo que: 48 – 1 = 47 (F) n[P (B )] = 4 * n[P ( A)] II. 2 A = {n – 1/n Є Z; 4 Ä n Ä 9} 2 1 n[P(C )]= * n[P( A)] 2 Än Ä3 2 ±2; ±3 n ( A) * n (C ) 6 = A = {3; 8} n( B) 5 n (A) = 2 (V) III. A ? B = ø A=ø B=ø (F) a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 10 PROBLEMAS PROPUESTOS 5. Determina el número de subconjuntos binarios (que tienen 12 elementos) del conjunto: 1. Dado el conjunto unitario A = {( x 2 - 1) Î Z / 0 < x £ 3 yx Z} A = {a + b : a + 2b - 3;12} 2 2 a) 1 b) 2 c) 3 Calcula: a + b d) 4 e) 5 a) 80 b) 74 c) 104 d) 90 e) -39 6. Se tiene 3 conjuntos A, B y C tales que: CÇA=C 2. Dado los conjuntos: n ( A¢ Ç B ¢) = 90 A = {a 2 + b 2 + c 2 ; d + e} n(C ¢) = 150 B = {c 2 + 1; d - e + 4;5} n[( A È B ) - C ]= 6 * n (C ) Si: A = B ; A es unitario, c>a>b y son negativos. Halla: a+b+c+d(e) Calcula: n ( ) a) 9 b) 6 c) 8 a) 140 b) 150 c) 160 d) 7 e) 10 d) 170 e) 180 CAPÍTULO 2 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS A. UNIÓN (AÈB) = {x/x ÎA Ú xÎB} PROPIEDADES: U U U AÇÆ = Æ AÇU = A A B B A A B C. DIFERENCIA (A - B) = {x/x ÎA Ù xÏB} U U U A B A B A B AÈB: BÈA = 123 AÈB = B PROPIEDADES: A - B: A- B = A- B = 123 AÈÆ = A AÈU = U A B. INTERSECCIÓN (AÇB) = {x/x ÎA Ù xÎB} PROPIEDADES: U U U A-A= Æ A- Æ =A Æ -A= Æ A B B A A B - D. COMPLEMENTO A’ = AC = A = {x/x Ï A} A AÇB: AÇB = 123 AÇB = Æ A’ A PROPIEDADES: A=7 B=8 (A’)’ = A A È A’ = U U’ = f A Ç A’ = Æ 3 4 4 f’ = U OBSERVACIÓN: \n[ P( A U B ) ] = 2 11 = 2048 Para dos conjuntos A y B A’ È B’ = (A Ç B)’ 2. En una reunión donde hay 100 personas se sabe que A’ Ç B’ = (A È B)’ 40 no tienen hijos, 60 son hombres, 10 mujeres están casadas, 25 personas casadas tienen hijos, hay 5 E. DIFERENCIA SIMÉTRICA: madres solteras. Halla ¿Cuántos hombres son padres solteros? A D B = (A - B) È (B - A) A D B = (A È B) - (B Ç A) (Excepto si A y B son disjuntos) a) 7 b) 10 c) 15 d) 20 e) 30 U U U A B B Resolución A A B x CASADOS 5 H = 60 25 11 A D B: B D A= AD B =AÈ B ~ H = 40 A D B = n(A)+n(B) PROPIEDADES: 25 AD Æ =A V = 60 M = 60 AD A= Æ 100 A D A = A’ x + 25 + 5 = 60 \ x = 30 DIAGRAMA DE VENN - EULER Son regiones planas limitadas por figuras geométricas 3. Karina realiza un viaje mensual durante todo el año a cerradas, que se utilizan para representar gráficamente a Ica o Tacna. Si 8 viajes fueron a Ica y 11 viajes a los conjuntos. El rectángulo representa generalmente al Tacna, ¿Cuántos meses visitó a los dos lugares? conjunto universal. U B a) 4 b) 6 c) 7 A d) 8 e) 5 C Resolución U = 12 ICA TACNA = 7 =7 DIAGRAMA DE CARROLL Se utiliza generalmente para conjuntos disjuntos. y 11 – y 8–y A B C 8 – y + y + 11 – y = 12 y=7 D Donde: A y B disjuntos 4. En una cierta población de 2180 personas y de los C y D disjuntos cuales se conoce lo siguiente: 20 consumen sólo el producto A; 40 consumen sólo el producto B; 60 consumen sólo el producto C. DIAGRAMA LINEAL El número de personas que consumen sólo A y B es la Para U mitad del número de personas que consumen los tres conjuntos productos. El número de personas que sólo consumen comparables: A B y C es igual que el número de personas que B B consumen A. ¿Cuántos consumen solamente B y C? D a) 1020 b) 1040 c) 1060 d) 1100 e) 1080 PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1 Sean los conjuntos A y B, tal que: Resolución U = 2180 n éëP(A) ùû = 128 ; n éëP(B) ùû = 256 x n éëP(A Ç B) ùû = 16. Calcule: n éëP(A È B) ùû 20 40 2x a) 2048 b) 512 c) 1024 80 – 3x y d) 4096 e) 64 60 Resolución 2n(A) = 27 2n(B) = 28 å PARTES = UNIVERSO y + 40 + y + 60 = 2180 n(A) = 7 n(B) = 8 2y = 2080 n[P(A £ B)] = 16 y = 1040 n(A £ B) = 4 PROBLEMAS PROPUESTOS UNCP, se obtuvieron los siguientes datos: 1. ¿Cuántas de la siguientes afirmaciones son falsas, 30 mujeres no estudian Sistemas según el gráfico adjunto? 25 hombres estudian Química 30 hombres estudian Electrónica o Sistemas I. n(A ___D B) = 4 II.n[P(B)] = 16 III. AÈB = {1; 5; 6; 10} IV.n(AÇB) = n(BÇC) ¿Cuántos hombres como máximo estudian V. A-C=f VI.A D B = AÈC Administración? a) 1 b) 2 c) 3 a) 10 b) 15 c) 20 d) 4 e) 0 d) 25 e) 30 2. Sean A, B y C tres conjuntos contenidos en un universo 5. Una familia está compuesta de un abuelo, dos padres, finito de 60 elementos o si (B - C)È(C - B) tiene 40 tres hijos, dos hermanos y 2 nietos. elementos, el conjunto A - (B È C) tiene 10 elementos, ¿Cuántos integrantes tiene esta familia? la intersección de los tres conjuntos tiene 5 elementos, a) 4 b) 6 c) 7 el conjunto BÇCÇA’ es vacío. ¿Cuántos elementos d) 8 e) 10 tiene A’ÇB’ÇC’? 6. Dado el conjunto: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 A = { {1} ; ø ; {ø} ; {2 ; 3} } 3. Dado el conjunto U y los subconjuntos A, B y C, se Indica cuántas de las siguientes proposiciones son tienen los siguientes datos: verdaderas: n(U) = 44 n(BÇC) = 12 I. øÎA IV. {2;3}ÎP(A) n(A) = 21 n(AÇBÇC C) = 3 II. øËA V. {ø ; {ø}} ÌP(A) n(B) = 17 n(AÇBÇC) = 5 III. {ø}ÎA n(AÇC) = 14 n(A CÇB CÇC C) = 6 Hallar: n(C) &` % 7. Dado el conjunto N = {( ) Î © /2<n<13} a) 18 b) 21 c) 27 3 d) 29 e) 32 Halla la suma de sus elementos. 4. En una encuesta realizada a 100 estudiantes de 8. Dado el conjunto: M = { x+1/( x -1) Î © ;x<50} Química, Administración, Electrónica y Sistemas de la Halla: n(M) CAPÍTULO 3 NUMERACIÓN I CAPACIDADES: numeral ocupa un orden determinado, el cual se * Representar una cantidad de unidades simples en indica de derecha a izquierda. determinado sistema posicional de numeración. ...6º 5º 4º 3º 2º 1º ORDEN * Descomponer polinómicamente cualquier numeral de ...4 5 3 2 6 1 un determinado sistema posicional de numeración. * Realizar cambios de base B. DE LA BASE: Todo sistema posicional de * Aplicar las propiedades del conteo de numerales y numeración tiene una base que es un número cifras y del método combinatorio. entero mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades suficientes y necesarias de 1. NUMERACIÓN un orden cualquiera para formar una unidad de Es parte de la aritmética que estudia la formación, orden inmediato superior, así tenemos: lectura y escritura de los números. NÚMERO: Es un ente matemático que nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza. Nos da una idea de cantidad. NUMERAL: b(10)=24 b(7)=33 7 b(5)=44 5 Es la representación simbólica de los números. Así Þ 24 = 337 = 445 tenemos: 4; II; veinte; .... CIFRAS (DÍGITO): CONCLUSIONES: Son los símbolos que convencionalmente se utilizan en la formación de los numerales. Estos son: 0;1; 2; 3; · Toda cifra que forma parte de un numeral es un .... número entero menor que la base: SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN: Es el conjunto de reglas, principios y convenios que nos b( n ) : 0;1;2;3;...;( n - 1) RBBBBBBBBBBS \ CIFRA < BASE permiten la correcta formación, lectura y escritura de cifras significativas los numerales. · A mayor numeral aparente le corresponde menor base: 2. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES: + Si: mnp x = abcd y ® x > y A. DEL ORDEN: Toda cifra que forma parte de un + C. VALOR DE LAS CIFRAS: Toda cifra que forma 2 5 3 parte de un numeral posee dos valores: 6 12 102 (+) 2 17 105 a) VALOR ABSOLUTO (VA): Es la cantidad de x unidades simples que representa. b) VALOR RELATIVO (VR): Es lo que representa \2536 = 105 de acuerdo al orden que ocupa: Así: b ( x ) ¾¾® b (10 ) ¾¾® b ( y ) 56356 Recuerda: 3425®b(7) x, y ¹ 10 VA : 5 VA : 6 4 VR : 5.10 VR : 6 VA : 6 VA : 5 a. 3 4 2 b. 97 7 VR : 6.103 VR : 5.10 5 15 95 27 13 7 3. REPRESENTACIÓN LITERAL DE LOS NÚMEROS 3 19 97 6 6 1 Cuando no se conocen las cifras de un numeral, éstas \ 3425 = 1667 se representan mediante letras, teniendo en cuenta lo siguiente: 6. PROPIEDADES · Toda expresión entre paréntesis representa una A. NUMERAL DE CIFRAS MÁXIMAS: cifra. · La primera cifra de un numeral debe ser diferente de 9 = 10 - 1 = 10/ - 1 78 = 8 - 1 = 8/ - 1 cero. 99 = 100 - 1 = 102 - 1 778 = 64 - 1 = 8 2 - 1 · Letras diferentes no necesariamente indican cifras diferentes, salvo que lo indiquen. 999 = 1000 - 1 = 103 - 1 7778 = 512 - 1 = 8 3 - 1 Así tenemos: ( n 1)( n 1)( n 1)...( n 1) n nx 1 - ab {10;11;12;13;...;99 } " x " cifras - mn4 Î {104 ;114 ;124 ;134 ;204 ;214 ;...;334 } B. BASES SUCESIVAS: - a( 2b )( c + 1)8 123 = 5 + 2 134 = 6 + 3 - ( x - 1)( x - 1)( x - 1)x (número máximo) 1212 = 5+2+2 1313 = 6+3+3 5 6 - aba; mnnmx ; 53235;... (números capicúas) 1212 = 5+2+2+2 1313 = 6+3+3+3 125 136 4. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NUMERAL: 1a1a Es la suma de los valores relativos de las cifras que 1a O = x + a1+4a4 +2 4 a +4...44a = x + n.a +3 “n” veces 1a x " n" veces forman un numeral. 5342 = 5.103 + 3.102 + 4.10 + 2 CASOS ESPECIALES DE CAMBIOS DE BASE 45679 = 4.93 + 5.92 + 6.91 + 7 A. De base “K” a base “kn” (n΢+) abc x = ax 2 + bx + c “n” cf de la base k<> 1 cf de la base kn mn7 = m.7 + n • Exprese: 12212013 en el sistema nonario aaa5 = a.52 + a.5 + a = 31a 1 22 12 013 1 2x3+2 1x3+2 0x3+1 También por bloques: 1 8 5 1 6436 = 64.102 + 36 Como: 9 = 32 1 cif b(32) = 2cif b(3) 25347 = 257 .72 + 347 \ 12212013 = 18519 abcdx = ab x x 2 + cdx n B. De base “K ” a base “K”; (n΢+) abababn = abn .n4 + abn .n2 + abn 1 cf de la base “kn ” < > n cifras de la base k. 5. CAMBIOS DE BASE: • Exprese 7658 en el sistema binario. A. DE BASE 10 8 = 23 A BASE 536 ® b ( 7 ) 1 cf b(8) <> 3 cf b(2) DIFERENTE A 10 536 7 (por divisiones sucesivas) Þ 7 6 5 46 76 7 8 4 6 10 7 7 2 6 2 5 2 1 3 2 0 3 2 1 2 2 \ 536 = 1364 7 3 1 1 1 1 1 0 1 B. DE BASE DIFERENTE A 10 A BASE 10 111 110 1012 2536 É b(10) Rpta. 7658 = 1111101012 Descomposición 2 polinómica: 2536 = 2.6 + 5.6 + 3 2536 = 72 + 30 + 3 2536 = 105 Método de RUFFINI PROBLEMAS RESUELTOS Resolución: c 1. Exprese N en base 13 y dé como respuesta la suma de (3a - 2)(b + a)( )(a2 )(12) 3 sus cifras, si: N = 18 ´ 135 + 15 ´ 134 + 14 ´ 132 + 48 1 0 0 4 1 1 Resolución: 7 2 2 Se observa que N tiene la siguiente forma ? ? N = (18)(15)0(14)0(48)(13) 3 x 12 x 12 = 432 Mas dicho numeral estaría mal escrito puesto que sus cifras son mayores que la base; tendremos entonces Los valores de las variables son tales que pueden que corregir dicho numeral. formar una cifra en dicha base. Si una variable aparece en 2 ó más cifras, solo será considerada en una de ellas teniendo en cuenta las N = (118)(15)01 (14)03 (48)(13) restricciones de las demás. N = 1(19)21139(13) Recuerde que se tabulan los valores que adopta cada N = 1621139(13) cifra, no los valores de la variable. Luego la suma de Cifras de N=23 PROBLEMAS PROPUESTOS 2. Exprese R en base 9, si R = 2 ´ 34 + 5 ´ 35 + 6 ´ 34 + 5 ´ 33 + 7 ´ 32 + 20 1. Halla un número que al ser convertido a los sistemas de Dé el producto de sus cifras. numeración de base siete y nueve, se escribe con las Resolución mismas dos cifras aunque en orden inverso. a) 29 b) 30 c) 31 R = 2 ´ (32 )2 + 5 ´ (32 )2 + 6 ´ (32 )2 + 5 ´ 3(3)2 + 7 ´ (3)2 + 20 d) 32 e) 33 R = 2 ´ 92 + 5 ´ 92 + 6x92 + 5 ´ 9 + 7 ´ 9 + 20 R == 23 ´ 92 + 22 ´ 91 + 20 2. Determina la base del sistema de numeración en el que: Luego se puede expresar como (23)(22)(20). a(2 a)(4 a) se escribe con 3 cifras iguales. Ahora tendremos que corregir dicho numeral. a) 3 b) 4 c) 5 (23)(22)2 (20)(9) d) 6 e) 7 (23)2 (24)2(9) 3. El número 1231 se escribe en otra base con 3 cifras, 2(25)62(9) luego la cantidad de bases que puede escribirse dicho 2762(9) número con igual cantidad de cifras es: Producto de cifras = 2x 7 x 6 x 2 = 168 a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 3. Si los numerales están correctamente escritos: 4. Si: 146412004 lo expresamos en el sistema de 1a0 (4); 2bc a; bb c numeración de base 2005. La suma de sus cifras es: Calcule a Ì c ´ b a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Resolución 5. Convertir a base 6 el número N = 10! E indicar la suma 1a0 (4); 2bc a; bb c de sus cifras. a < 4c < ab < c 8 De ahí ordenando 10! = 2 .34.52.7 a) 13 b) 14 c) 15 0 / b£ < c{< a{< 4 (b, c, a son enteros) 1 2 3 d) 16 e) 17 Luego α x c x b =1 x 2 x 3 = 6 6. Halla el término del lugar b a de la siguiente progresión aritmética: a8 b ; a9 3 ; b 0 4 ; b a5 ;… 4. ¿Cuántos numerales de 3 cifras impares existen en base a) 402 b) 302 c) 204 5? d) 502 e) 602 Resolución: 7. La cantidad de números de 3 cifras, tal que la suma de Formando numerales de tres cifras impares tendremos. sus cifras es impar, es: 111(5) ; 113(5) ; 131(5) ; 133(5) ; a) 42 b) 43 c) 44 311(5) ; 313(5) ; 331(5) ; 333(5) d) 45 e) 46 De forma práctica: 8. Calcula la cantidad de números de cuatro cifras que abc tienen por lo menos una cifra impar. 111 a) 8000 b) 8500 c) 9000 333 d) 9500 e) 7500 2x2x2 = 8 9. ¿Cuántos tipos de imprenta se utiliza en la enumeración de un libro de 380 páginas si se realiza en el sistema 5. ¿Cuántos numerales de la forma octal. c a) 1050 b) 1060 c) 1070 (3a - 2)(b + a)( )(a2 )(12) existen? d) 1080 e) 1090 3 CAPÍTULO 4 NUMERACIÓN II 1. C O N T E O D E N U M E R A L E S C O N C I E R TA de cifras utilizadas se tiene en cuenta lo siguiente: CARACTERÍSTICA. A. # cf Páginas # cf utilizadas ¿Cuántos numerales existen de la forma abc? 1 1-9 9 1=9 Se observa que tanto a como b y c toman valores independientes pero respetando los principios de 2 10 - 99 90 2 = 180 numeración: 3 100 - 999 900 3 = 2700 a: 1; 2; 3; ... ; 9 Þ 9 valores b: 0; 1; 2; 3; ... ; 9 Þ 10 valores c: 0; 1; 2; 3; ...; 9 Þ 10 valores B. También se puede utilizar la formula: # cf = k * N+1 ) 111 ... 11 >A ?A@ Como cada evento es independiente el uno del otro, el i ad total de eventos se encontrará aplicando el principio de la multiplicación. Donde: k: Nº cifras de la última página N: Nº de páginas Total: #(abc) = 9.10.10 = 900 #cf: Nº cifras totales utilizadas REGLA abc PAGINACIÓN EN OTRA BASE PRÁCTICA 100 211 a) Se cuentan los EJEMPLO: 322 valores ¿Cuántos tipos de imprenta se utiliza en la b) Se multiplican los enumeración de un libro de 380 páginas, si se realiza 999 valores en el sistema de base 8? #(abc) = 9.10.10 = 900 RESOLUCIÓN El proceso es similar a como se realiza en el sistema b decimal, pero considere que todos los números y ope- • ¿Cuántos numerales existen de la forma a(2 )(b)(c-2)(c) ? raciones a efectuar se realizan en el sistema indicado. Resolución: a b b (c-2)c 380 = 574( 8 ) 2 1 0 2 C1É 574 = ( 574( 8 ) + 1) ´ 3 - 111( 8 ) 2 2 3 (8) 3 4 4 4 6 5 = ( 575( 8 ) ) ´ 3 - 111( 8 ) . 8 6 . 7 = 2167( 8 ) - 111( 8 ) . 8 9 9 = 2056( 8 ) 9 5 8 = 360 * Para el total de tipos, basta con expresarlo en base 10: Total: # a( b 2 )(b)(c-2)(c) = 360 2056( 8 ) = 1070 \ Utiliza 1070 tipos de imprenta. 2. PROGRESIÓN ARITMÉTICA: PROBLEMAS RESUELTOS t1; t2; t3; t4; ... t n; t1 : término inicial tn : término n–ésimo 1. Si xyxy (n) = 1450 , calcula x + y + n. r r r r : razón Resolución: n : Número de términos xyxy (n) = xy (n) xn2 + xy (n) = (n2 + 1)xy (n) a) t2 – t1 = r ñ t - t1 ö÷ h = çç n ÷ +1 (n2 + 1)xy (n) = 29 ´ 5 ´ 5 ´ 2 b) t3 – t2 = r çè r ÷ø c) t4 – t3 = r Debemos formar un cuadrado aumentado en uno. tn = t1 + r(n–1) (n2 + 1)xy (n) = 50 ´ 29 (n2 + 1) = 50 ® n = 7 Observación: 4; 7; 10; 13; ... ; 61 xy (n) = 29 = 41(7) 3 3 3 I) t1 = 4 x = 4; y = 1 II) tn = 61 \ x + yn = 12 III) r = 3 61 / 4 2. Si mnpmnp (7) = 815qr, calcula m+n+p+q+r Þ h= +1 h = 20 3 Resolución: Þ t10 = 4+3(9) Þ t10 = 31 Descomponiendo por bloques el numeral de base 7 mnp (7)73 + mnp (7) = 815qr 344mnp (7) = 815qr 3. PAGINACIÓN Se observa que 81500 Ä 815qr £ 81599 Para enumerar las páginas de un libro y contar el total De ahí: 81500 £ 344 ´ mnp (7) £ 81599 10. Si aaa...a >AA?AA@(2) = 1net (7) j cifras 236, 9 £ mnp (7) £ 237, 2 Calcula: j+a+n+e+t Luego mnp (7) en base 10 es entero. Entonces: Resolución: mnp (7) = 237 = 456(7) Como 0 < a < 2 --> a=1 j m=4 111...1 >AA?AA@(2) = 2 - 1 = 1net 237 l_7 j cifras n=5 6 33l_7 p=6 2 j = 1net + 1; observa que 5 4 29 = 512 210 = 1024 815qr = 344 ´ 237 = 81528 q = 2; r = 8 211 = 2048 \ m + n + p + q + r = 25 Luego j = 10 ® 210 = 1024 = 1net + 1 1net = 1023 j = 10; a = 1; n = 0; t = 3 3. Si mmm = 2160(m) , halle el valor de mn + 1m + m1 \ j + a + n + e + t = 16 Resolución: Descomponiendo polinomicamente a ambos lados PROBLEMAS PROPUESTOS 3 2 100m + 10m + m = 2m + m + 6m 111m = 2m3 + m2 + 6m 1. Corregir la escritura de los siguientes numerales: 105m = 2m3 + m2 5697 ; 8098; 3( -2)097 ; (n + 2)0(3n - 1)n (n>2) Eliminando m tenemos: 105m = 2m2 + m 2. Si los numerales están bien escritos: 105m = m(2m + 1) 110a ;aa1b ;c25; 21bc . Calcula: a.b.c 5 ´ 7 ´ 3 = m(2m + 1); m > 6 por ser base 5 ´ 7 ´ 3 = m(2m + 1) 3. Dado el numeral capicúa: Luego m = 7 (2b + 1)(5b - 6a)c(7a - 11)(4a - 1)9 \ mm + 1m + m1 = 77 + 17 + 71 = 165 Calcula el máximo valor de: a + b + c 4. Si a0aa0a (x) = 3315, calcula a + x 4. Si abcd = 37ab + 62cd . Calcula: a + b + c + d Resolución: 5. Si: ababm = 407 . Calcule: a + b + n Descomponiendo por bloques. a0aa0a (x) = 3315 6. Expresar (a + 2)(a - 3)(3 - a)6 en el sistema 3 a0a (x)(x + 1) = 3 ´ ´13 ´ 17; x < 10 octanario. a0a (x)(x 3 + 1) = 51 ´ 65 7. Calcula a+b si se cumple que: aabac 5 = 223c 7 (x 3 + 1) = 65 ® x = 4 a0a (x) = 51 = 303(4) ® a = 3 8. Si: aba8 = 1106n . Calcule: a+b+n \a + x = 7 CAPÍTULO 5 CUATRO OPERACIONES CAPACIDADES: Ejemplo: 23 ; 30 ; 37 ; 44 ; 51 ; ......; 142 - Realizar las operaciones básicas en base 10 y en bases “n”. +7 +7 +7 - Aplicar las propiedades de la adición y sustracción en Primer razón (r) último la solución de situaciones cotidianas. término (a1 ) término (a n) - Deducir y aplicar las propiedades de la multiplicación y división en la solución de problemas de nuestro Número de términos (n) entorno. último - primero n= +1 razón DEFINICIONES a - a1 n= n +1 1. ADICIÓN r S%+ S 2 + S3 + ..... + Sn = S 14444244443 > A ?A @ Suma de términos Sumando Suma total o resultado PROGRESIÓN ARITMÉTICA æ Primero + último ö # de S=ç ÷ x términos Se dice que varios números están en progresión è 2 ø aritmética, si la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera, dan siempre una misma a + an S= 1 xn cantidad constante, denominada razón aritmética. 2 Ejemplo: Halla S= 15+21+27+33+....+93 B. División Inexacta (r>0) Resolución: a) Por defecto b) Por exceso 93 - 15 æ 93 + 15 ö D d D d a. n = +1 b. S=ç ÷ × 14 6 è 2 ø rd q re q + 1 78 108 n= +1 S= × 14 Þ D = dq + rd D = d(q + 1) - re 6 2 n = 14 S = 54 × 14 112 Ejemplos: 9 112 9 S = 756 4 12 5 13 2. SUMAS NOTABLES n(n + 1) Propiedades de la División Inexacta 1º. S = 1+2+3+4+ .... +n ® S= 2 1º rd + re = d 2º. S = 2+4+6+8+ .... +(2n) ® S = n(n + 1) rmín =1 2º 0 < residuo < dÞ r =d - 1 S = n2 máx 3º. S = 1+3+5+7+ .... +(2n–1) ® 3º 4º. S = 12+22+32+ .... + n2 ® S = n(n + 1)(2n + 1) a) Sea: D d Dxn dxn 6 r q rxn q 5º. S = 13+23+33+ .... +n3 ® 2 é n(n + 1) ù S=ê ë 2 úû b) Sea: D d D¸n d¸ n 3. RESTA O SUSTRACCIÓN r q r ¸n q Es una operación que consiste en averiguar en cuanto excede una cantidad a otra. Sus términos son PROBLEMAS PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS minuendo, sustraendo y diferencia. \M-S=D 1. Si E es el menor número que al ser multiplicado por 7, M ® Minuendo; S ® Sustraendo; D ® Diferencia resulta un número formado por cifras 3. Halla la suma de Observación: Comprobación de la resta: cifras de dicho número. M=S+D Resolución: TEOREMAS: 333...333 Þ n=9 E x 7 = 333… E= 1º. ___ M+S+D=2M ___ ____ m+p = 9 7 2º. ____ abc - cba = mnp; ____ a>c ____ Como E es el menor número. 3°. abcd - dcba = mnpq ; a>d Luego se tendrá: E = 47619. Si: b¹c Si: b=c 2. Se tiene que: abb1 + a1b2 + ccc + cccc = 191dc Þ m+n+p+q=18 n =p=9 m+q = 9 Halla: a + b – d. Resolución: 4. COMPLEMENTO ARITMÉTICO (C.A.) 4º 3º 2º 1º a b b 1 El complemento aritmético de un número es lo que le a 1 b 2 falta a un número para llegar a formar una unidad de c c c orden inmediato superior que la cifra de mayor orden. c c c c 1 9 1 d c Ejemplo: Método práctico 1º ord.: 1+2+c+c = c ˆ 3+c = 0 ˆ c = 7 2º ord.: 2b+14+1 = d (lleva 2) CA (46) =100 - 46 CA (46) =(9-4)(10-6) 3º ord.: b+1+14+2 = 1 ˆ b = 4 CA(238) = 1000 - 238 CA (238) =(9-2)(9-3)(10-8) 4º ord.: 2a+7+2 = 19; a = 5 Luego se tendrá: a + b – d = 5 + 4 – 3 = 6 CA (25645) =100000-25645 CA (25645) = (9-2)(9-5)(9-6)(9-4)(10-5) 3. En una división el dividendo es 720 y el residuo por CA(abcde)=105-abcde CA(abcde)=(9-a)(9-b)(9-c)(9-d)(10-e) defecto es 23. ¿Cuántas unidades como mínimo se le debe sumar al 5. MULTIPLICACIÓN dividendo para que el residuo sea lo máximo posible? Resolución: Concepto : P = Mxm 720 ?d 720 = d.q + 23 Nota: 23 q 697 = d.q Factores : M: Multiplicando abc + 41x17= d.q xy Como: d > 23; se toma: d = 41 m: Multiplicador 123 P: Producto ....... Þ y·abc productos Resto máximo: d – 1 = 41 - 1 parciales Donde: P = M + M + M + .... + M .......... Þ x·abc Se tendrá: 144424443 720 + x ?41 23 + x = 40 .......... Þ Producto total "m"veces 23 + x 17 x = 17 6. DIVISIÓN 4. Al dividir: C.A.(ab) por ab ; se obtiene de residuo 5 . Luego, la suma de todos los valores posibles de ab, es N. Esquema: D d D : Dividendo Halla N. r q d : Divisor Resolución: q : Cociente r : Residuo C.A.( ab ) ab ab – 5 TIPOS DE DIVISIÓN: q C.A.( ab ) = ab . q + ab – 5 A. División Exacta (r=0) 100 – ab = ab . q + ab – 5 D d Þ D = dq 105 = ab .(q + 2) 0 q Sólo: ab ? 15;21;35 N = 15+21+35 ˆ N = 71 CAPÍTULO 6 DIVISIBILIDAD Al finalizar el capítulo estarás en la capacidad de: 3. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA - Aplicar correctamente los caracteres de la divisibilidad. DIVISIBILIDAD - Aplicar correctamente los principios de la divisibilidad en la resolución de problemas concretos. I. Para operaciones realizadas con múltiplos de un mismo módulo. DEFINICIÓN Es una parte de la aritmética que estudia las a. Adición condiciones que debe reunir un numeral para ser o o o o o divisible entre otros y las consecuencias que se n + n + n + ..... + n = n derivan de este hecho. o o o o o Ejemplo: 11 + 11 + 11 +..... + 11 = 11 1. DIVISIBILIDAD EXACTA o Se dice que un entero es divisible entre otro entero 11 + 121 = 11 positivo llamado módulo, si al dividirlos, el cociente es entero y el residuo es cero. b. Sustracción Es decir: Dados n-n = n A B <> A = BK o o o 0 K Ejemplo: 5 -5 =5 A es divisible A es múltiplo o entre B de B 25 - 15 = 5 B es divisor B es submúltiplo de A de A c. Multiplicación Su notación: o o € n´ K = n ; (K Î Z) Ejemplo: 4 =5 o o € Ejemplo: 12  5 = 12 &, = + Luego: A es divisible entre B A es múltiplo de B. Todo d. Potenciación divisor de un número es un factor del número. La terminología "múltiplo" o "divisible" se usa (no )K o = n ; (KÎ Z+) indistintamente. o o € Ejemplo: 15 0 3 Þ 157 = 3 € 4 = 5 . 4 = 5 . A = BK € o o o 5 se deno min a módulo (B Î ¢ ) + n n n2 Ejemplo: æo öæ o öæ o ö o o o € çç n + r1 ÷÷çç n + r2 ÷÷çç n + r3 ÷÷ n + r1 ´ r2 ´ r3 &%= +. ( ) = ) . - ) + = % è øè øè ø "El cero es múltiplo de cualquier entero positivo, excepto de sí mismo”. II. Todo número es divisible necesariamente entre cada divisor que tiene. 2. DIVISIBILIDAD INEXACTA a o o o Cuando hay residuo, puede ser: Ejemplo: 6 :1;2;3 y 6  6 = 1; 6 = 2; 6 = 3 y 6 = 6 >A ?A@ divisores Por defecto Por exceso A B A B III. Todo número que es divisible por varios rd q re q+1 módulos, entonces el número es múltiplo del MCM de dichos módulos. A=Bq+rd A=B(q+1) re o a N B = rd + re o b Ejemplos: Ejemplo: Defecto Exceso € A=& 63 10 3 10 7 o o o 47 9 2 9 7 N = 3 Þ N = mcm 2,3,5 = 30 ( ) o 101 12 5 12 7 N=5 COROLARIO: CRITERIOS DE LA DIVISIBILIDAD o a±r o Un criterio de divisibilidad es una relación que deben N N mcm a , b ± r cumplir las cifras de un determinado numeral para que o sea divisible por otro, si no lo es, nos permitirá hallar el b ±r residuo en forma directa. Estudiaremos los criterios de divisibilidad más usuales y aplicables en el sistema decimal. IV. Principio de Arquímedes n n 1. CRITERIOS POR 2 Y 5 (n΢+) Ejemplos: € o o F[- ) × S = %+ Þ Ua_ a ) ¹ %+. ^gWYa - S = %+ Sea: N = abcde o € o N = abcd ´ 10 £ +e F[- ( × U = * Þ &U = ' . ^gWYa - U = ' 25 V. Para un cierto número expresado en cierta base: € o o Luego: N = 2 + e Þ N = 2 ® e = 0; 2; 4; 6; 8 { } n+e o o o 2 N = 5 + e Þ N = 5 ® e = 0; 5 { } a bc d e n = ( n ) + de n o 3 Ejemplos: ( n ) + cde n o o · 4728 = 2; ya que termina en 8 = 2 Ejemplo: o o o 3+ 1 o · 65205 = 5; ya que termina en 5 = 5 3 ab1013 = 3 + 1013 o ìo € ï S cgW+= &+% · abc 37 í 2 +1; 4 3 + b1013 o o ïî 5 + 2; ya que 7 =5 + 2 VI. Divisibilidad Aplicada al Binomio de Newton k æo ö o k + 1. çç n + r ÷÷ = n + r ; k Î Z 2. CRITERIOS POR 4 Y 25 è ø k ìo k Sea: N = abcde æo ö n + r ; (k es par ) 2. çç n - r ÷÷ = ïí o N = abcd ´ 100 + de è ø ïn - r k ; (k es impar ) î Ejemplo: € o o ) 5 6 Luego: A = 4 + de Þ N = 4 « de = 4 € ö o 5 æo ö o 5 æo ö o 6 ç7+ 3÷ = 7+ 3 ; ç5 - 2÷ = 5 - 2 ; ç5 - 2÷ = 5 + 2 o o ç è ÷ ø ç è ÷ ø ç è ÷ ø N = 25 + de Þ N = 5 « de = 00; 25; 50; 75 { } o o GAUSSIANO (g) Ejemplos: · 39828 = 4; ya que 28 = 4 Es el periodo que se repite al determinar los restos o o potenciales de un número elevado a sus potencias · 97950 = 25; ya que 50 = 25 sucesivas respecto a un módulo (divisor) dado. ìo € ï S cgW* ) = ( +% · mnp65 í 4 +1; o Ejemplo o ïî 25 +15; ya que 65 = 25 +15 Calcule el gausiano al hallar los restos potenciales de 2 respecto al módulo 5. o À a 4 3. CRITERIOS POR 8 Y 125 20 = 5 + 1 ï 2 = 5 +1 o ï o 25 = 5 + 2 Sea: N = abcde 21 = 5 + 2 ïï o ýg = 4 o N = ab ´ 1000 + cde 6 2 = 5 + 4 ïï 2 2 =5 +4 Luego: o ï u g € o o 23 = 5 + 3 ïþ g g A = 8 + cde Þ N = 8 « cde = 8 o o g g N = 125 + cde Þ N = 125 « cde = 000; 125; × × × ;875 { } APLICACIÓN 2103 o o Halla el resto de dividir 32 entre 5. Ejemplos: · 243248 = 8; ya que 248 = 8 2103 10515 o o RESOLUCIÓN Þ 32 = 2 · 350375 = 125; ya que 375 = 125 ìo € 10515 4 (24)2628 . 23 ï & S cgW%' =, + & · xyz130 í 8 + ; o o 25 2628 o ïî125 + 5; ya que 130 =125 + 5 11 (24)2628 . (5 + 3) 35 3 o o o (5 + 1)(5 + 3) = 5 + 3 Rpta: 3 4. DIVISIBILIDAD POR 3 Y 9 Luego: € o A = + - &S - ' T - U+ &V + ' W+ X= + Sea: N = abcde o o 4 3 2 Þ N = 7 « -2a - 3b - c + 2d + 3e + f = 7 N = a ´ 10 + b ´ 10 + c ´ 10 + d ´ 10 + c ¯ ¯ ¯ ¯ Ejemplos: º º º º 3+ 1 3+ 1 3+ 1 3+ 1 o € º º º º · +343 = 7 : ya que - 7 + 6 + 12 + 3 = 7 9+ 1 9+ 1 9+ 1 9+ 1 o o · 415415 = 7 : ya que - 8 - 3 - 5 + 8 + 3 + 5 = 7 Luego: o o € o o · 24131 = 7 + 1 : ya que - 6 - 4 + 2 + 9 + 1 = 7 + 1 A = ' + S + T + U+ V + WÞ A = ' « S + T + U+ V + W= ' o o o N = 9+ a + b + c + d + e Þ N = 9 « a + b + c + d + e = 9 7. CRITERIO POR 13 Sea: Ejemplos: o o · 2313 = 3; ya que 2 + 3 + 1 + 3 = 3 N = abcdef o o ) 4 3 3 0 N = a ´ 10 + b ´ 10 + c ´ 10 + d ´ 10 + c ´ 10 + f + 10 · 45981 = 9; ya que 4 + 5 + 9 + 8 + 1 = 9 ìo € ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ï +4 +3 -1 -4 -3 +1 · 72314311 í 3 +%; S cgW^Seg_ SVWU[XdSe We #' o+%$ > A A A A A A A A A ?A A A A A A A A A @ o ïî 9 + 4 ; ya que la suma de cifras es ( 9 + 4 ) R.P. de 10 con respecto al módulo 13 € o OBSERVACIÓN: Luego: A = %' + ( S + ' T - U- ( V - ' W+ X= %' € o o o [) Ø 345 = 3 iii) · abc = 3 + r Þ N = 13 « 4a + 3b - c - 4d - 3e + f = 13 Al alterar el orden de las o o cifras de un numeral, si · 453 = 3 · cab = 3 + r o o ] aplicamos los criterios ii) · 724 = 9 + 4 iv ) · mnp = 9 por 3 ó 9, el resultado Ejemplos: final no varía. o € o o · 472 = 9 + 4 · pmn = 9 · %3169 = 13 : ya que 3 - 3 - 4 - 18 + 9 = 13 o o · 462462 = 13 : ya que 16 + 18 - 2 - 16 - 18 + 2 = 13 o o 5. CRITERIO POR 11 · 213214 = 13 + 1 : ya que 8 + 3 - 3 - 8 - 3 + 4 = 13 + 1 Sea: N = abcdef N = a ´ 10) + b ´ 104 + c ´ 103 + d ´ 103 + c ´ 10 + f 8. CRITERIO POR 33 Y 99 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ € o o o o Sea: N = ab 4 cd 4ef 4 11- 1 11+ 1 11- 1 11+ 1 11- 1 1 1 1 ®E C VW% Ua` dWebWUfa S^_ • Vg^a ' ' • al módulo 99. € € o Luego: A = %%- S + T - U+ V - W+ X Luego: A = ' ' « ST + UV + WX= ' ' o o o o Þ N = 11 « - a + b - c + d - e + f = 11 N = 99 « ab + cd + ef = 99 Ejemplos: Ejemplos: € o € o · %1143 = 11 : ya que 1 - 1 + 1 - 4 + 3 = 11 · ) 775 = 33 : ya que 57 + 75 = 33 o o o o · 245568 = 11+ 4 : ya que - 2 + 4 - 5 + 5 - 6 + 8 = 11+ 4 · 421352 = 99 + 8 : ya que 42 + 13 + 52 = 99 + 8 o o · 451451 = 11 : ya que - 4 + 5 - 1 + 4 - 5 + 1 = 11 o o · 37291 = 11+ 10 : ya que 3 - 7 + 2 - 9 + 1 = 11- 10 9. CRITERIO POR (n - 1) EN BASE n o € o ü · 2442 = 11 ï Todo numeral capicúa con una o abcdef #` $ = (n - 1) « a + b + c + d + e + f = (n - 1) o ý · abccba = 11ïþ cantidad par de cifras siempre es 11. Ejemplos: o € OBSERVACIÓN: · 2314 =5 : ya que 2 + 3 + 1 + 4 = 5 € o #* $ Si en un numeral o o i) ( * +) = 11 iii) · abcd = 11+ r cambiamos el orden o o · 13212 = 7 + 2 : ya que 1 + 3 + 2 + 1 + 2 = 7 + 2 que ocupan las cifras (8) · 7546 = 11 o ii) · 463 = 11+ 1 iv ) · mnp = 11 · cdab = 11+ r o ] de lugar par y/o impar al aplicar el criterio por 11 el resultado final no o o varía. 10. CRITERIO POR (n + 1) EN BASE n · 364 = 11+ 1 · pnm = 11 € o abcdef #` $ = (n + 1) « - a + b - c + d - e + f = (n + 1) 6. CRITERIO POR 7 Ejemplos: Sea: € o N = abcdef • 2453 =7 : ya que - 2 + 4 - 5 + 3 = 7 #* $ N = a ´ 10) + b ´ 104 + c ´ 103 + d ´ 102 + c ´ 10 + f ´ 100 o o ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ • 529786 = 13 - 7 : ya que - 5 + 2 - 9 + 7 - 8 + 6 = 13 - 7 (12) -2 -3 -1 2 3 1 > A A A A A A A A A ?A A A A A A A A A@ R.P. de 10 con respecto al módulo 7 PROBLEMAS RESUELTOS iv) De iii) los valores de n son: n=6; 7; 19; 20; 32; 33; … 1. Halla la suma de cifras de un número de cuatro cifras tal 0 que si permutamos sus dos últimas cifras se transforma Como se desea el segundo y tercer término 13+ 11 en un múltiplo de siete y si agregamos una unidad a su n=7: t7 = 14 + 7 2 = 63 última cifra se transforma en un múltiplo de nueve. n=19: t19 = 14 + 192 = 375 RESOLUCIÓN \t7 + t19 = 438 Rpta. * Sea el capicúa: N = abba de modo que: 221 0 0 3. Si: aaa = 8+ 1 . Calcula el residuo de dividir a3 entre ¡) abab = 7 al permutar sus dos últimas cifras 9. 0 ab.102 + ab = 7 0 RESOLUCIÓN 101ab = 7 0 221 0 ab = 7 i) Como aaa = 8+ 1 es impar a es impar ¡¡) También: 0 0 ii) Se sabe que (impar ) 2 = 8+ 1 abb(a + 1) = 9 0 (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 Þ a + b + b + a +1 = 9 (2k + 1) 2 = 4k (k + 1) + 1 0 0 >A ?A@ 0 2(a + b) = 9- 1 = 9+ 8 2 0 0 0 luego a + b = 9+ 4 Þ (2k + 1) 2 = 4(2) + 1 = 8+ 1 0 iii) Si : a + b = 4 : 40;31;22,13 \ (impar )2 = 8+ 1 > A ?A @ 0 ninguno es 7 iii) En el problema: 0 220 0 Si : a + b = 13 : sólo 49 = 7 P = aaa .aaa = 8+ 1 luego a = 4 y b = 9 2 110 0 (aaa ) = (impar 2 )110 = 8+ 1 \ N = 4994 0 0 \ (8+ 1).aaa = 8+ 1 Suma de cifras=26 0 resulta : aaa = 8+ 1 0 111a = 8+ 1 2. En la siguiente sucesión 15; 18; 23; 30;…., calcula la 0 suma de cifras del resultado de sumar el segundo y a = 8+ 7 0 tercer término 13+ 11 . iv) Sólo a = 7 RESOLUCIÓN piden : a3 = 343 0 i) Los términos de la sucesión son de la forma: 343 = 9 + 1 15= 14+1= 14+ 12 Residuo: 1 Rpta. 18= 14+4= 14+ 22 23= 14+9= 14+ 32 4. Indica cuántos valores puede tomar aba si tn = 14 + n 2 0 489 aba = 11+ 4 . 0 ii) tn = 13+ 11 0 RESOLUCIÓN 13+ 11 = 14 + n 2 0 i) Se observa: 13 = 3 + n 2 + 39 - 39 0 0 489 = 11+ 5 13 = n 2 - 36 0 0 4892 = 11+ 3 13 = ( n + 6)( n - 6) 0 4893 = 11+ 4 0 0 iii) Si: n+6= 13 4894 = 11+ 9 n= 7; 20; 33, … 0 0 4895 = 11+ 1 Si: n-6= 13 0 0 n= 6; 19, 32; … 4895 = 11+ 1 ii) Para el problema: Hallando la cantidad de números en cada caso: 0 0 0 o 489 aba = 11+ 4 = 4895+ 3 \ aba = 5+ 3 12 = 900 = 75 a puede ser 3 u 8 12 o pero b = 0,1, > A 2,3,...9 ?A @ 5 = 900 = 180 10 valores 5 o iii) Los números de la forma aba tienen 60 = 900 = 15 a : 2 valores 60 b : 10 valores Rpta: 60 2.10=20 valores. Rpta. 0 508 5. Si abab88 = 17 + 9 , calcula la suma de valores de ab 8. Calcula el residuo al dividir: A = (1333) entre 11. RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN o 1333 = 11 + 2 0 i) abab88 = 17 + 9 o 508 o 508 0 (11 + 2) 11 + 2 4 2 Þ ab.10 £ + ab. 10 { + 88 { = 17+ 9 5 101 3 17 + 4 0 17 +15 0 17 + 3 (2 ) .2 0 ii) 4>ab + 15@ A ?A ab + 3 = 17 + 9 o 101 o 0 (11- 1) . (11 + 8) 19 ab =17 + 2 ab o o 0 (11- 1) . (11 + 8) 2ab + 3 = 17 + 9 0 o o 2/ ab = 17 + 6/ 11- 8 = 11 + 3 0 Þ ab = 17+ 3 Rpta: 3 iii) Los valores de ab son:20,37,54;71;88 å ab = 270 Rpta. PROBLEMAS PROPUESTOS 6. Calcula la suma de todos los números positivos de 2 cifras, tal que al dividir entre 8 se obtienen residuos 1. ¿Por cuánto será divisible siempre: máximos. M = (3a)(3b)(3c )(3a)(3b)(3c ) RESOLUCIÓN Sea: 2. Si se cumple que: n > 1; E = n5 - n. o Luego, E es siempre divisible por cuánto? N = ab = 8 + 7 ab = 8k + 7 3. ¿Cuál es el residuo de la división de: 81701+ 5 entre 3? 10 £ ab < 100 4. Halle el menor número entero que al ser dividido 10 £ 8k + 7 < 100 entre: 13, 14, 15 y 21, dé el mismo residuo por exceso. 3 £ k < 93 5. Halla el mayor número de 5 cifras, tal que si se le 8 8 divide entre 13 no da residuo; pero si se le divide entre k: 1; 2; 3; 4; ...; 11 14, 15 y 16; dé como residuo: 8, 9 y 10 respectivamente. 0,3 £ k < 11,6 ____ ( ab = 8 1 + 2 + 3 + ... + 11 + 7 ) 6. Halla el número: P = xyyx si es múltiplo de 7 y que la suma de sus cifras es 22. ab = 15; 23; ... ; 95 _____ 7. Halle los números de la forma P = ab1ba que son S = (15 + 95 )11 múltiplos de 44. Dé como respuesta el residuo de: N¸5 ab 2 _ ° S = 55 ´ 11 8. Halle: M = 7 + r ab Si: M = 321321 . . . . . . . . . . . . 144424443 Rpta: S = 605 29 cifras € o o 9. Se sabe que: Sb = 5 ; ba = 9 ; abc = 8 7. Calcula ¿cuántos números positivos de 3 cifras son Halle: E = 2c2 + c múltiplos de 4 y 6 pero no de 5? 10. Halle el número de 3 cifras que sea igual a 5 veces el RESOLUCIÓN producto de sus cifras. Dé como respuesta el producto mcm (4; 6) = 12 de sus cifras. o o Graficando 12 5 11. En una reunión la sexta parte de los varones son solteros y la octava parte de los varones casados 60 15 165 tienen hijos, los 2/7 de las mujeres son solteras. Si hay 217 personas, calcula la razón aritmética entre o el número de varones y mujeres. 60 CAPÍTULO 6 DIVISIBILIDAD I Al finalizar el capítulo estarás en la capacidad de: 3. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA - Aplicar correctamente los caracteres de la divisibilidad. DIVISIBILIDAD - Aplicar correctamente los principios de la divisibilidad en la resolución de problemas concretos. I. Para operaciones realizadas con múltiplos de un mismo módulo. DEFINICIÓN Es una parte de la aritmética que estudia las a. Adición condiciones que debe reunir un numeral para ser o o o o o divisible entre otros y las consecuencias que se n + n + n + ..... + n = n derivan de este hecho. o o o o o Ejemplo: 11 + 11 + 11 +..... + 11 = 11 1. DIVISIBILIDAD EXACTA o Se dice que un entero es divisible entre otro entero 11 + 121 = 11 positivo llamado módulo, si al dividirlos, el cociente es entero y el residuo es cero. b. Sustracción Es decir: Dados n-n = n A B <> A = BK o o o 0 K Ejemplo: 5 -5 =5 A es divisible A es múltiplo o entre B de B 25 - 15 = 5 B es divisor B es submúltiplo de A de A c. Multiplicación Su notación: o o € n´ K = n ; (K Î Z) Ejemplo: 4 =5 o o € Ejemplo: 12  5 = 12 &, = + Luego: A es divisible entre B A es múltiplo de B. Todo d. Potenciación divisor de un número es un factor del número. La terminología "múltiplo" o "divisible" se usa (no )K o = n ; (KÎ Z+) indistintamente. o o € Ejemplo: 15 0 3 Þ 157 = 3 € 4 = 5 . 4 = 5 . A = BK € o o o 5 se deno min a módulo (B Î ¢ ) + n n n2 Ejemplo: æo öæ o öæ o ö o o o € çç n + r1 ÷÷çç n + r2 ÷÷çç n + r3 ÷÷ n + r1 ´ r2 ´ r3 &%= +. ( ) = ) . - ) + = % è øè øè ø "El cero es múltiplo de cualquier entero positivo, excepto de sí mismo”. II. Todo número es divisible necesariamente entre cada divisor que tiene. 2. DIVISIBILIDAD INEXACTA a o o o Cuando hay residuo, puede ser: Ejemplo: 6 :1;2;3 y 6  6 = 1; 6 = 2; 6 = 3 y 6 = 6 >A ?A@ divisores Por defecto Por exceso A B A B III. Todo número que es divisible por varios rd q re q+1 módulos, entonces el número es múltiplo del MCM de dichos módulos. A=Bq+rd A=B(q+1) re o a N B = rd + re o b Ejemplos: Ejemplo: Defecto Exceso € A=& 63 10 3 10 7 o o o 47 9 2 9 7 N = 3 Þ N = mcm 2,3,5 = 30 ( ) o 101 12 5 12 7 N=5 COROLARIO: PROBLEMAS RESUELTOS o a±r o 1. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 13? N N mcm a , b ± r € o SOLUCION Sea: STU 0 %' 0 %' ] b ±r Además: 100 Ä13k < 1000 7,69 Ä k < 76, 84 IV. Principio de Arquímedes K = 8; 9; 10; 11; ...;76 Total de valores: Ejemplos: 76 – 7 = 69 valores. Rpta. € o o F[- ) × S = %+ Þ Ua_ a ) ¹ %+. ^gWYa - S = %+ S( S € o € o 2. Si: a4a = 5+1 F[- ( × U = * Þ &U = ' . ^gWYa - U = ' ¿Cuántos valores puede tomar “a”? SOLUCION V. Para un cierto número expresado en cierta base: € o a = ) +% a = 5k n+e Cuando: o 2 K=0 a=1 a bc d e n = ( n ) + de n o K=1 a=5 3 ( n ) + cde n \ ”a” puede tomar 2 valores Rpta. Ejemplo: o 3. ¿Cuántos números de cinco cifras que terminan en 28 3+ o 1 € son: % + 12? ab1013 = 33 + 1013 o SOLUCION 4 3 + b1013 Descomponiendo adecuadamente tenemos: € o VI. Divisibilidad Aplicada al Binomio de Newton % STU &, 0 % %& % STU %* 0% o k æo ö o k + Þ 5.abc =19 + 60 Þ 19.k + 12 =abc 1. çç n + r ÷÷ = n + r ; k Î Z è ø 100 £ abc <1000 k ìo k 88 £ 19k < 988 æo ö n + r ; (k es par ) 2. çç n - r ÷÷ = ïí 5,16.. £ k<52,47.. o è ø ïn - r k ; (k es impar ) î K: 6; 7; 8; ...; 52 Ejemplo: Total de valores: 52 - 5 = 47 números. Rpta.º ) 5 6 € ö o 5 æo ö o 5 æo ö o 6 ç7+ 3÷ = 7+ 3 ; ç5 - 2÷ = 5 - 2 ; ç5 - 2÷ = 5 + 2 2 2 ç ÷ ç ÷ ç ÷ 4. abc - cba siempre será divisible por: è ø è ø è ø SOLUCION 2 2 abc - cba = ( abc + cba )( abc - cba ) GAUSSIANO (g) Descomponiendo polinómicamente: Es el periodo que se repite al determinar los restos 99a – 99c potenciales de un número elevado a sus potencias 2 2 sucesivas respecto a un módulo (divisor) dado. abc - cba = 99(a-c) \ es múltiplo de: 3; 9 ó 11 Ejemplo Calcule el gausiano al hallar los restos potenciales de 2 5. Halla el resto de dividir 2200 entre 7. respecto al módulo 5. SOLUCION o À a 4 € 20 = 5 + 1 ï 2 = 5 +1 ( 2' )66 .22 = ( 7 + 1)66 .4 o ï o 21 = 5 + 2 ïï 25 = 5 + 2 € ýg = 4 Luego: 2& = 7 + 4 Rpta. o o 6 2 = 5 + 4 ïï 2 2 =5 +4 o ï u g PROBLEMAS PROPUESTOS 23 = 5 + 3 ïþ g g g g 1. Halla la suma de cifras de un número de cuatro cifras tal que si permutamos sus dos últimas cifras se transforma APLICACIÓN en un múltiplo de siete y si agregamos una unidad a su 2103 última cifra se transforma en un múltiplo de nueve. Halla el resto de dividir 32 entre 5. 2. En la siguiente sucesión 15; 18; 23; 30;…., calcula la 2103 10515 suma de cifras del resultado de sumar el segundo y RESOLUCIÓN Þ 32 = 2 0 tercer término 13+ 11 . 10515 4 (24)2628 . 23 221 0 3. Si: aaa = 8+ 1 . Calcula el residuo de dividir a3 entre 25 2628 o 9. 11 (24)2628 . (5 + 3) 35 4. Indica cuántos valores puede tomar aba si 0 3 o o o 489 aba = 11+ 4 . (5 + 1)(5 + 3) = 5 + 3 Rpta: 3 CAPÍTULO 7 DIVISIBILIDAD II CRITERIOS DE LA DIVISIBILIDAD 4. DIVISIBILIDAD POR 3 Y 9 Un criterio de divisibilidad es una relación que deben cumplir las cifras de un determinado numeral para que Sea: N = abcde sea divisible por otro, si no lo es, nos permitirá hallar el 4 3 2 N = a ´ 10 + b ´ 10 + c ´ 10 + d ´ 10 + c residuo en forma directa. Estudiaremos los criterios de ¯ ¯ ¯ ¯ divisibilidad más usuales y aplicables en el sistema º º º º decimal. 3+ 1 3+ 1 3+ 1 3+ 1 º º º º n n 9+ 1 9+ 1 9+ 1 9+ 1 1. CRITERIOS POR 2 Y 5 (n΢+) Luego: € o o Sea: N = abcde A = ' + S + T + U+ V + WÞ A = ' « S + T + U+ V + W= ' o o o N = abcd ´ 10 £ +e N = 9+ a + b + c + d + e Þ N = 9 « a + b + c + d + e = 9 25 € o Ejemplos: Luego: N = 2 + e Þ N = 2 ® e = 0; 2; 4; 6; 8 { } o o · 2313 = 3; ya que 2 + 3 + 1 + 3 = 3 o o o o N = 5 + e Þ N = 5 ® e = 0; 5 { } · 45981 = 9; ya que 4 + 5 + 9 + 8 + 1 = 9 ìo € ï Ejemplos: · 72314311 í 3 +%; S cgW^Seg_ SVWU[XdSe We #' o+%$ o o o ïî 9 + 4 ; ya que la suma de cifras es ( 9 + 4 ) · 4728 = 2; ya que termina en 8 = 2 o o · 65205 = 5; ya que termina en 5 = 5 OBSERVACIÓN: ìo € € o ï S cgW+= &+% [) Ø 345 = 3 iii) · abc = 3 + r · abc 37 í 2 +1; o o o Al alterar el orden de las o cifras de un numeral, si ïî 5 + 2; ya que 7 =5 + 2 · 453 = 3 · cab = 3 + r o o ] aplicamos los criterios por 3 ó 9, el resultado ii) · 724 = 9 + 4 iv ) · mnp = 9 final no varía. o o · 472 = 9 + 4 · pmn = 9 2. CRITERIOS POR 4 Y 25 Sea: N = abcde N = abcd ´ 100 + de 5. CRITERIO POR 11 Sea: N = abcdef € o o Luego: A = 4 + de Þ N = 4 « de = 4 N = a ´ 10) + b ´ 104 + c ´ 103 + d ´ 103 + c ´ 10 + f ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ o o € o o o o N = 25 + de Þ N = 5 « de = 00; 25; 50; 75 { } 11- 1 11+ 1 11- 1 11+ 1 11- 1 € o o Luego: A = %%- S + T - U+ V - W+ X Ejemplos: · 39828 = 4; ya que 28 = 4 o o o o Þ N = 11 « - a + b - c + d - e + f = 11 · 97950 = 25; ya que 50 = 25 ìo € ï S cgW* ) = ( +% · mnp65 í 4 +1; o Ejemplos: o € o ïî 25 +15; ya que 65 = 25 +15 · %1143 = 11 : ya que 1 - 1 + 1 - 4 + 3 = 11 o o · 245568 = 11+ 4 : ya que - 2 + 4 - 5 + 5 - 6 + 8 = 11+ 4 o o 3. CRITERIOS POR 8 Y 125 · 451451 = 11 : ya que - 4 + 5 - 1 + 4 - 5 + 1 = 11 o o Sea: N = abcde · 37291 = 11+ 10 : ya que 3 - 7 + 2 - 9 + 1 = 11- 10 N = ab ´ 1000 + cde o ü · 2442 = 11 ï Todo numeral capicúa con una o Luego: o ý € o o · abccba = 11ïþ cantidad par de cifras siempre es 11. A = 8 + cde Þ N = 8 « cde = 8 o o N = 125 + cde Þ N = 125 « cde = 000; 125; × × × ;875 { } OBSERVACIÓN: € o Si en un numeral o o i) ( * +) = 11 iii) · abcd = 11+ r cambiamos el orden Ejemplos: · 243248 = 8; ya que 248 = 8 o o que ocupan las cifras · 350375 = 125; ya que 375 = 125 o o · 7546 = 11 o ii) · 463 = 11+ 1 iv ) · mnp = 11 · cdab = 11+ r o ] de lugar par y/o impar al aplicar el criterio por 11 el resultado final no o o varía. ìo € · 364 = 11+ 1 · pnm = 11 ï & S cgW%' =, + & · xyz130 í 8 + ; o o ïî125 + 5; ya que 130 =125 + 5 6. CRITERIO POR 7 Ejemplos: € o Sea: • 2453 =7 : ya que - 2 + 4 - 5 + 3 = 7 #* $ N = abcdef o o ) 4 3 2 0 • 529786 = 13 - 7 : ya que - 5 + 2 - 9 + 7 - 8 + 6 = 13 - 7 N = a ´ 10 + b ´ 10 + c ´ 10 + d ´ 10 + c ´ 10 + f ´ 10 (12) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ -2 -3 -1 2 3 1 PROBLEMAS RESUELTOS > A A A A A A A A A ?A A A A A A A A A@ R.P. € € € € de 10 con respecto al módulo o7 Luego: 1. Sabiendo que: STU = %%; UTS = , ; SUT = A = + - &S - ' T - U+ &V + ' W+ X= + Calcula el valor de : o o Þ N = 7 « -2a - 3b - c + 2d + 3e + f = 7 a+b+c SOLUCION € € Ejemplos: Nótese que si: STU = %%, luego también: UTS = %% y o € € · +343 = 7 : ya que - 7 + 6 + 12 + 3 = 7 o o además: UTS = , por lo tanto: · 415415 = 7 : ya que - 8 - 3 - 5 + 8 + 3 + 5 = 7 cba = MCM(8;9;11) = 792 o o · 24131 = 7 + 1 : ya que - 6 - 4 + 2 + 9 + 1 = 7 + 1 Luego: a + b + c = 18 Rpta. 2. Si el numeral: 6a74b14 es divisible por 9 y 11; halla el 7. CRITERIO POR 13 valor de (a + b) SOLUCION Sea: Por teoría: Se cumple que el número es: N = abcdef € * + S+ + ( T + %( = Þ a=3 yb=2 N = a ´ 10) + b ´ 104 + c ´ 103 + d ´ 103 + c ´ 10 + f + 100 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ \a+b=5 Rpta. +4 +3 -1 -4 -3 +1 € > A A A A A A A A A ?A A A A A A A A A @ 3. Calcula: a + b + c, sabiendo que: ' S, TU = %%&) R.P. de 10 con respecto al módulo 13 SOLUCION € o € Luego: A = %' + ( S + ' T - U- ( V - ' W+ X= %' Divisibilidad por 125: , TU = %&) Þ b = 7 y c = 7 o o Divisibilidad por 9: Þ N = 13 « 4a + 3b - c - 4d - 3e + f = 13 € ' S, TU = , luego: a = 4 \ a + b + c = 16 Rpta Ejemplos: € o · %3169 = 13 : ya que 3 - 3 - 4 - 18 + 9 = 13 4. La cantidad de números de la forma 4n0n1n que son o o · 462462 = 13 : ya que 16 + 18 - 2 - 16 - 18 + 2 = 13 divisibles por 13 son: o o SOLUCION · 213214 = 13 + 1 : ya que 8 + 3 - 3 - 8 - 3 + 4 = 13 + 1 Descomponiendo polinómicamente observamos que € obtenemos: 400010 14243 + 10101n 123 = 13 8. CRITERIO POR 33 Y 99 o o %3 13 Sea: N = ab Luego, “n” puede ser cualquier cifra de la base diez. 4 cd 4ef 4 1 1 1 É E C VW% Ua` dWebWUfa S^_ • Vg^a ' ' • al módulo 99. \ ”n” toma 10 valores. Rpta. € o Luego: A = ' ' « ST + UV + WX= ' ' 5. Halla el resto de dividir: 321321....... > AA ? A A@ entre 7. o o & U[XdSe N = 99 « ab + cd + ef = 99 SOLUCION Podemos observar que hay 8 grupos de derecha a Ejemplos: izquierda de la forma: 32132132132132132.... o € £ { { {  + - + · ) 775 = 33 : ya que 57 + 75 = 33 o o La suma de (+) y (-) multiplicado por los factores 1,3 y 2 · 421352 = 99 + 8 : ya que 42 + 13 + 52 = 99 + 8 € € deben ser + , luego: (2 + 9 + 2 ) – ( 2 + 9) = + + 2 Rpta. 2 9. CRITERIO POR (n - 1) EN BASE n € o PROBLEMAS PROPUESTOS abcdef #` $ = (n - 1) « a + b + c + d + e + f = (n - 1) 0 1. Si abab 88 = 17 + 9 , calcula la suma de valores de ab Ejemplos: o € 2. Calcula la suma de todos los números positivos de 2 cifras, · 2314 =5 : ya que 2 + 3 + 1 + 4 = 5 tal que al dividir entre 8 se obtienen residuos máximos. #* $ 508 o o 3. Calcula el residuo al dividir: A = (1333) entre 11. · 13212 = 7 + 2 : ya que 1 + 3 + 2 + 1 + 2 = 7 + 2 4. Halla el número de 3 cifras que sea igual a 5 veces el (8) producto de sus cifras. Dé como respuesta el producto de sus cifras. 5. En una reunión la sexta parte de los varones son solteros y 10. CRITERIO POR (n + 1) EN BASE n la octava parte de los varones casados tienen hijos, los 2/7 € o de las mujeres son solteras. abcdef #` $ = (n + 1) « - a + b - c + d - e + f = (n + 1) Si hay 217 personas, calcula la razón aritmética entre el número de varones y mujeres. CAPÍTULO 8 NÚMEROS PRIMOS Al finalizar el capítulo estarás en la capacidad de: APLICACIÓN: - Reconocer los números primos y compuestos. 1. Calcula el residuo al dividir el producto de los 2000 - Deducir y aplicar las propiedades de los números primeros números primos entre 140. __ primos. 2. Calcula la suma de los valores que asume b, si , 2b y - Descomponer canónicamente un número y realizar el 42 son PESI. estudio de sus divisores aplicados a problemas concretos. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA NÚMEROS PRIMOS Todo número entero positivo mayor que la unidad se puede expresar como la multiplicación indicada de sus OBSERVACIÓN: Se da básicamente sobre los números divisores primos elevados cada uno de ellos a exponentes enteros positivos. enteros positivos, esta representación es única y se le denomina: DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA. Números - La unidad simples - N. Primos 3 EJEMPLO: 120 = 21 4´234 ´35 Descomposición canónica Z+ Entonces, los factores primos de 120 son 2, 3, 5. Números compuestos En general: NÚMEROS SIMPLES a b q Son aquellos números que tienen a lo más 2 divisores. N=a ´ b 43 142 ´c Donde: + Descomposición a, b, c son primos absolutos. a) La unidad es el único ¢ que tiene un sólo divisor. canónica b) Primos absolutos Estudio de los divisores de un Número Llamados también números primos, son aquellos que poseen solamente dos divisores: la unidad y el mismo. Si: a b q EJEMPLO: N=a ´ b 43 142 ´c Descomposición 2; 3; 5; 7; 11; ... canónica Además, se llamará divisor propio de un número a 1. Cantidad de Divisores (CDN) todo divisor de dicho número diferente del mismo número. CD (N ) = a + 1 b + 1 q + 1 NÚMEROS COMPUESTOS 2. Suma de Divisores (SDN) Son aquellos números que tienen más de 2 divisores. æ a a+1 - 1 öæ bb+1 - 1 öæ c q+1 - 1 ö SD ( N ) = ç ÷ç ÷ç ÷ EJEMPLO: ç a - 1 ÷ç b - 1 ÷ç c - 1 ÷ è øè øè ø 4; 6; 8; 9; 10; ... Además, todo número compuesto tiene por lo menos 3. Suma de las Inversas de los Divisores (SIDN) un divisor primo. SDN SIDN = N NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI) Llamados también primos relativos o coprimos y son 4. Producto de Divisores (PDN) aquellos que poseen como único divisor común a la CD N unidad. PD N = N EJEMPLO: NÚMERO DIVISORES APLICACIÓN: 8 1, 2, 4, 8 a+1 15 1, 3, 5, 15 1. Al multiplicar a 2 x7 por 28 su cantidad de divisores aumenta en 15. Observamos que el único divisor común entre los dos Halle a. números es el 1. 2. Determine la cantidad de triángulos rectángulos de Entonces 8 y 15 son PESI. 2 área igual a 180 u con sus catetos de valores enteros, con por lo menos uno de ellos de longitud impar. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS PRIMOS a b 3. Si: N=A x B ... (D.C.) ; CDN = 6; SDN = 93, halle N. I. El conjunto de los números primos es infinito y no existe fórmula alguna para determinar todos los números primos. COMPLEMENTOS II. Todos los números primos son impares, a excepción del 2. 1. CDN= D simples + D compuestos III. Los únicos números consecutivos que son primos son 2. CDN= D primos + D compuestos + 1 el 2 y el 3. D simples = D primos + 1 IV. Todo número primo mayor que 2 es de la forma: 3. Indicador de un número (fórmula de Euler) Si: N = (aa ´ bb ´ cg) ߀ ö æ o ö ç ( + %÷ • ç ( - %÷ ç ÷ ç ÷ Æ (N) = Æ(aa´bb´cg) = aa-1(a-1)´bb-1(b-1)´cg-1(c-1) è ø è ø Æ (N) = Indicador de un número o fórmula de Euler. PROBLEMAS RESUELTOS 4 Si el producto de divisores de N es 2210 .3315 ¿Cuántos divisores cuadrados perfectos tiene N. 1. Si el número 741n tiene aba divisores. Calcula la suma RESOLUCIÓN de divisores de ( a + b )( b ) . Pd = NCd N = 26 .39 2 RESOLUCIÓN 2210 .3315 = NCd N = ( 23 .3 4 )2 .31 741n = 3n .13n .19n Cd 2 = 4 ´ 5 ( 26 .39 )35 = NCd k Cd = ( n + 1)3 = aba Cd = 20 ( 26 .39 )70 = NCd k2 3 ( 6 + 1) = 343 Þ n = 6 b 5. Si N = a7 .( a + 1)3 .52 a .7b .11c (D.C) y además \ ( a + b )( ) = 72 = 23 .32 2 b 2 4 7 .11 .3 tiene 41 divisores compuestos y ab = ....c 7 . æ 2 - 1 ö æ 33 - 1 ö 4 Sd = ç ÷ç ÷ = 195 Rpta. Determina cuantos divisores impares PESI con 539 tiene ç 1 ÷ç 2 ÷ N. è øè ø RESOLUCIÓN N = a7 .( a + 1)3 .52 a .7b .11c 2. Si N = a1c ( c - 5 )1 tiene 24 divisores de los cuales N = 27 .33 .5 4 .72 .111 o cuatro son simples y 5 c - 3 a = 7 , siendo 1a uno de 539 = 72 .111 los divisores primos de N. Determina ( a - c ) . CdIMPAR . PESI = ( 3 + 1)( 4 + 1) = 20 RESOLUCIÓN N = a1c ( c - 5 )1 Þ Cd = 24 = 2.4.3 = (1 + 1)( 3 + 1)( 2 + 1) PROBLEMAS PROPUESTOS N = 71.33 .132 = 31941 a=3 1. Si a,b y c son primos absolutos y además c =9 a + b + c = 80 y b - a = 39 . Calcula a.b - c . a + c = 12 2. El numeral abcabc tiene 45 divisores. Determina: 5 a+b+c . 3. Si se sabe que 195m Ì21n tiene 2690 divisores 3. El número N = 2n+m .3n +m - 2 .52 n-m tiene 572 compuestos, halle la cantidad de divisores 195m Ì21n divisores. Determina la cantidad de divisores que que sean primos relativos con1925. terminan en 5. RESOLUCIÓN 4. Determina la suma de divisores impares del menor 195m ´ 21n = 3m +n .5m .7n .13m número que tiene 20 divisores compuestos y 4 Cdtotal = Cdp + Cdc + 1 divisores simples, sabiendo que la suma de estos últimos es 21. ( m + n + 1)( m + 1)2 .( n + 1) = 2695 = 5 ´ 72 ´ 11 5. ¿Cuántos polígonos regulares de lados enteros en n=4 metros existen cuyo perímetro sea 60 m? m=6 6. Si el número N = 10a ´ 9b ; tiene 171 divisores compuestos. Determina el valor de: a + b. 1956 ´ 214 = 310 .56 .7 4 .136 7. Halla el residuo de dividir el cuadrado del producto 1925 = 52 .7.11 de los 200 primeros números primos entre 8. CdPESI = (10 + 1)( 6 + 1) = 77 CAPÍTULO 9 MCD - MCM MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) dividen simultáneamente a abc y mnp ? Dado un grupo de números, su MCD cumple 2 condiciones: MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) I. Es un divisor común de ellos. II. Es el mayor posible. Dado un grupo de números, su MCM cumple 2 condiciones: EJEMPLO: I. Es el múltiplo positivo común de ellos. Dado los números 6; 12 y 18 II. Es el menor posible. 6: 1 , 2 , 3 , 6 EJEMPLO: 12: 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 Dado los números 4; 3 y 6 18: 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 18 4: 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40..... Divisores 3: 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 , 33 , 36..... Divisores comunes {1; 2; 3; 6 } 6: 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 , 54 , 60..... 6 es el mayor divisor común \ MCD(6; 12; 18) = 6 Múltiplos Múltiplos comunes {12; 24; 36; ... } APLICACIÓN El menor de estos múltiplos comunes es 12. 1. Si MCD(abc, mnp) = 126, ¿cuántos números impares \ MCM(4; 3; 6) = 12 APLICACIÓN APLICACIÓN: 1. Un hacendado dispone de un terreno rectangular, 1. Si el MCM de MCD(ab y mn) = 90 calcule el máximo cuyas dimensiones son de 1720 y 2912 metros. valor de a + b. Desea separarlo en parcelas cuadradas, cuyos lados midan una cantidad entera de metros. ¿Cuántas MÉTODOS PARA CALCULAR EL MCD Y MCM parcelas como mínimo podrá obtener, sin que le sobre terreno? A) Por Descomposición Simultánea n n El MCD: Se extrae de los números todo los factores 2. Si A = 45 x 60 y B = 60 x 45 comunes hasta obtener números P.E.S.I., el producto MCM(A, B) = 12 MCD(A , B), calcule n. de los factores extraídos es el MCD de dichos 3. Al calcular el MCD de 2 números por el algoritmo de números. Euclides, se obtuvieron como cocientes sucesivos 1; El MCM: Se extraen de los números, todo los factores 2; 1; 3 y 2. Determine la diferencia de los números si comunes y no comunes, hasta obtener la unidad en suman 177. cada uno. El producto de los factores extraídos es el MCM de dichos números. PROPIEDADES: 1. El MCD de un conjunto de número P.E.S.I. es igual a EJEMPLO: uno. Calcule el MCD y MCM de los números 2100; 3500 y EJEMPLO 1 MCD(8; 12; 15) = 1 2800. Dado que 8; 12 y 15 son números P.E.S.I. EJEMPLO 2 MCD(30; 31) = 1 MCD 2100 3500 2800 100 MCD(30; 31) = 30 x 31 21 35 28 7 3 5 4 Para dos números A y B PESI. Se cumple que: Números PESI MCD(A; B) = 1 ( Þ MCD 2100; 3500; 2800 = 700 ) MCM(A; B) = A x B 2. Para dos números, donde A es múltiplo de B. MCM 2100 3500 2800 700 3 5 4 3 EJEMPLO 1: 1 5 4 5 MCD(48; 12) = 12 MCM(48; 12) = 48 1 1 4 4 EJEMPLO 2: 1 1 1 MCD(1001; 91) = 91 MCM(1001; 91) = 1001 o ( Þ MCM 2100; 3500; 2800 = 42000 ) A = B = B×K B) Por su Descomposición Canónica Entonces A los números se les descomponen canónicamente MCD(A; B) = B luego: MCM(A; B) = A * El MCD de dichos números es el producto de todo sus divisores primos comunes elevados cada uno a 3. Para dos números A y B su menor exponente. * El MCM de dichos números es el producto de todo En general para dos números A y B sus divisores primos comunes y no comunes A=d x p elevados cada uno a su mayor exponente. Si MCD(A; B) = d PESI B=d x q EJEMPLO: m=A x q Dados los números: Si MCM(A; B) = m PESI ' ( ) m=B x p A = 2 ´3 ´5 4 6 2 Entonces: I. m= d p q B = 2 ´3 ´7 II. A B = d m 2 C=3 7 ´ 11 > A´?A@ D.C. 4. Sea el MCD (A, B, C) = d 2 ( ) Þ MCD A , B, C = 3 MCD (nA, nB, nC) = nd Þ MCM (A , B, C )= 24 ´ 36 ´ 55 ´ 72 ´ 11 æA B Cö d MCD ç , , ÷ = èn n nø n C) Por Divisiones Sucesivas Sea el MCM (A, B, C) = m (Algoritmos de Ecuclides) para calcular el MCD de dos MCM (nA, nB, nC) = nm números. En una división inexacta, donde: D=dq+r æA B Cö m MCDç , , ÷ = Se cumple: MCD(D, d) = MCD(d, r) èn n nø n EJEMPLO: Calcule el MCD de 69 y 48 APLICACIÓN Utilizando el algoritmo de Euclides: 1. Si se cumple que: MCD(n(n + 1) ; nn) = n2 - 8 Cocientes 1 2 3 2 Calcular : MCM(n(n + 1) ; nn) Divisores 69 48 21 6 3 Residuos 21 6 3 0 2. Si: MCD((a + 1)b8b(a + 1) ; 45) = 45 Calcule b máximo \MCD(69; 48) = 3 Donde: 3. Si: MCM( 2A ; 10B) = 4800 y MCD(3 A ; 15B) = 36 1; 2; 3 y 2 son los cocientes sucesivos. 21; 6 y 3 son los residuos sucesivos Hallar: A x B. PROBLEMAS RESUELTOS A ÌB= MCD ´ MCM 121X . 35X = X . a 3n 2n 1. Si: MCM(42A; 6B) = 8064 MCD(63A; 9B) =72 4235 . X = a 3n 2n Calcule la cantidad de divisores múltiplos de 4 de A ´ B. 4235 . (15) = 63525 RESOLUCIÓN A =121. (15) Fórmula A=1815 MCM( 7 A ; B ) = 1344 Suma de cifras = 15 Rpta. MCD( 7 A ; B ) = 8 5. El MCD de un numeral formado por 180 nueves; otro ( 7 A ).B = 1344 ´ 8 formado por 200 unos y otro de 300 tres, es otro A ´ B = 29 .31 numeral formado por cifras que suman: Cdo = ( 7 + 1)(1 + 1) = 16 4 RESOLUCIÓN é 1 1 ù 2. Si: MCD( 75 d;P 0P 2 ) = abc Calcule a + b + c Si ë ( ) ( MCD ê10%80 - 1; 10200 - 1 ; 10300 - 1 ú = X 9 3 ) û a+c =b é MCD ê9 10 ë ( 180 - 1 ; 10)( 200 )( - 1 ;3 10300 ) - 1 ùú = 9 X û RESOLUCIÓN 1020 - 1 = 9 X o 999...........99 > A A ?A A@ = 9 X MCD( 75 d;P 0P 2 ) = 11 Þ d = 9 Ù P = 1 20 cifras MCD(759; 1012)= 253= abc X = 111..........11 14 4244 3 a + b + c = 10 20 cifras 3. Determine el menor numero que es el MCM de 27 Suma de cifras = 20 Rpta. números enteros y diferentes que no sean múltiplos de de 3 y tengan raíz cuadrada exacta. De cómo respuesta la suma de cifras de dicho numero. PROBLEMAS PROPUESTOS RESOLUCIÓN 1. Si MCD( abc ;mnp ) = 126 . ¿Cuántos números impares MCD( 27 números diferentes ) = 22 .52 .72 dividen simultáneamente a abc y mnp ? = 4900 2. ¿Cuántas parejas de números cuya suma es 630, tienen Suma de cifras = 13 como MCD a 42? 3. Si MCM( ab;mn ) = 42 ¿Cuántos números de tres 4. Al calcular el MCD de dos números por el algoritmo de cifras que terminan en 8 son simultáneamente EUCLIDES se obtuvieron por cocientes sucesivos 3;2;5 y múltiplos de ab y mn ? 3. Halle el mayor de los enteros si su MCM es a 3n 2n . Dé la suma de las cifras del resultado. 4. Si: MCM( a 5;b 8 ) = 90 . Calcule el máximo valor de a+b . RESOLUCIÓN 5. Un hacendado dispone de un terreno rectangular, cuyas 3 2 5 3 dimensiones son de 1720 y 2912 metros . Desea separarlo en parcelas cuadradas cuyos lados midan una A=121X B=35X 16X 3X X cantidad entera de metros. ¿Cuántas parcelas como mínimo podrá obtener sin que le sobre terreno? 16X 3X X 0 NÚMEROS DECIMALES, CAPÍTULO 10 POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN Al finalizar el capítulo estarás en la capacidad de: Genera tres cifras TABLA DE NUEVES - Identificar e interpretar a los números decimales. en el período 9=3 2 - Obtener los números avales, interpretarlos y porque el 37 está aplicarlos. contenido en un 99 = 32 ´ 11 - Expresar una fracción decimal como si fuera numeral de tres quebrado (generatriz de los decimales). cifras 9. 999 = 33 ´ 37 - Discriminar un número racional e irracional. 9999 = 32 ´ 11 ´ 101 99999 = 32 ´ 41 ´ 271 NÚMEROS DECIMALES 999999 = 33 ´ 7 ´11 ´ 13 ´ 37 A. DECIMALES EXACTOS - Si el número tiene una cantidad limitada de cifras decimales. 0,36 ; 2 ; 375 ; - Conversión de decimal inexacto periódico puro a fracción generatriz se divide las cifras del periodo - Origen: una fracción irreductible da origen a un entre tantos nueves como cifras tenga el periodo. decimal exacto cuando al ser descompuesto su 15 5 0,15 = = denominador presenta factores 2; factores 5 ó 99 33 ambos. 651(7) 330 165 0,651(7) = = = 777(7) 342 171 - Número de cifras decimales: Está determinado por el mayor exponente de "2" ó "5" que tenga el denominador de la fracción irreductible. b. Periódicos Mixtos: Cuando consta de una parte entera, luego de la coma 7 = 7 (3 cifras decimales) decimal presenta una cifra llamada parte no periódica 125 5 3 seguido aparece el periodo. 9 = 9 0,32464646 = 0,3246 (4 cifras decimales) 80 5 × 2 4 1,59494... = 1,594 - Conversión de decimal exacto a fracción - Origen: una fracción irreductible dará origen a un generatriz: para ello se escribe el número decimal, decimal inexacto periódico mixto cuando al ser como denominador se escribe la unidad seguida de descompuesto su denominador esten presentes el tantas cifras ceros como cifras decimales presenta factor 2, factor 5 y cuando menos un factor diferente. el número. 7 7 = = 0,159090 ... = 0,1590 0,36 = 36 = 9 44 2 2 ×11 100 25 19 19 32 = = 0,12837837 ... = 0,12837 (5 ) 148 2 2 × 37 0,32 = = 17 (5 ) 100 25 La cantidad de cifras no periódicas está dado por el (5 ) mayor exponente del factor 2 ó 5 y el número de cifras del periodo esta dado por la regla del número de cifras B. DECIMALES INEXACTOS de los decimales periódicos puros. Presentan una cantidad de cifras decimales 95 95 = = 0,64189 ilimitadas. 148 2 2 × 37 a. Periódicos Puros: - Conversión de un D.I. periódico mixto a su fracción Son aquellos que presentan una cantidad o un grupo generatriz: Se escribe todo el número de la parte del de cifras que se repite indefinidamente llamado numerador, luego se resta la parte entera y la no período. periódica y como denominador tantas cifras 9 como 5 cifras tiene el periodo y tantos ceros a la derecha '''' 0 ' como cifras tenga la parte no periódica. 2,246246... = 2,246 3246 - 32 1607 3,24646 = 3,246 = = 990 495 - Origen: una fracción irreductible originará un 326 (8) - 3 decimal periódico puro cuando al ser 0,32626 ....(8) = 0,326 (8) = descompuesto el denominador no presenta 770 (8 ) factores 2 ni 5. 10 0 0,9090... = 0,90 PROBLEMAS RESUELTOS 11 ¼ 38 = 1, 407407... = 1, 407 1. Calcular a+b+c en 27 29 = 0,bca ab - El número de cifras del periodo esta dado por la RESOLUCIÓN: cantidad de cifras del menor número formado por cifras 9 que contenga exactamente al denominador 29 de la fracción generatriz. = 0,bca ab genera 3 cifras 8 0 0,216 periódicas, está contenido en 999: 27 ó 37 37 pero: la fracción es propia 5. ¿Cuántos cuadrados perfectos hay entre 4900 y 10 Ï 000 que sumándoles la unidad terminan en cero? ï RESOLUCIÓN: 29 ï < 1ý entonces : 29 < ab ab ï K & + 1 = ...0 ® K 2 = ...9 £ 0,bca ïþ ìK = ...3 si K 2 = ...9 í îK = ...7 Sólo ab = 37 , reemplazando: Además : 29 = 0,783 4900 < K 2 < 10000 37 70 < K < 100 Se identifica: b=7, c=8, a=3 Donde K = 73; 83; 93; 77; 87; 97 \ a+b+c = 3+7+8=18 > A A A A ?A A A A@ existen 6 números 2. ¿Cuántas fracciones irreductibles de denominador 420 existen? RESOLUCIÓN: PROBLEMAS PROPUESTOS Se busca las fracciones N propias: N<4204 ab 57 f= irreductibles: N y 420 son PESI 1. Halla a*b, si la fracción es equivalente a . 420 ba 152 Entonces la cantidad de números menores a 420 y 2. Halla “a”si se cumple: PESI con él, esta dado por f(420) (indicador de un 1 1 1 1 número o función de euler) + + + ... = 1 + a a & a3 1 > A AA ?A A A@ 2+ 420 = 22 ´ 3 ´ 5 ´ 7 Términos infinitos 1 1+ f (420 ) = 21 (2 - 1)´ 30 (3 - 1)´ 50 (5 - 1)´ 70 (7 - 1) 5 Donde “a” es numero racional. = 2 ´ 2 ´ 4 ´ 6 = 96 \ hay 96 fracciones 3. Halla a+b+c+d ab ____ Si: = 0,dac 3. Si el número mcd4 es un cubo perfecto. ac Halle m ´ c + d RESOLUCIÓN: 4. Si la fracción ( a - 2 )( a - 1) . mcd 4 = (... x )3 ( a + 1)( a + 1) es un cubo perfecto _____ 3 Genera el numero pentaval 0,mns. sólo (... x ) = ...4 Halla: a+m+n Entonces : n+2 5. Halla m*n, si se cumple: = 0,( n + 1)( n + 2 ) 3 14 = 2744 = mcd 4 nm 243 = 13824; no! Se obtiene :m = 2; c = 7; d = 4 6. Hallar el menor número racional mayor que 5/12 tal Se desea hallar : que al sumar “p” veces (p΢+) el denominador al m ´ c + d = 2 ´ 7 + 4 = 18 numerador y “p” veces el numerador al denominador se obtiene el racional 2. 4. En qué sistema de numeración se cumple que: 7. El periodo de una fracción de denominador 11 es de 2 3114n es el cuadrado de 45n cifras que se diferencian en 5 unidades. Hallar la suma de los términos de dicha fracción, si es la mayor RESOLUCIÓN: posible. 45n& = 3114n 8. Determina la cantidad de fracciones irreductibles con denominador 48 que hay entre 1/3 y 5/8. ® ...5 1 424´ ...5 3 = ...4n € 9. Halla el valor de “b” si se cumple que: 25 =....4n =n + 4 o a + b = 0,(a + 1)(a + b) üï luego : 21 = n 11 9 ý n > 5; n = 7 ó 21ç 5 n es divisor de 21ïþ 10. Determina a + b si: º = %( ST  TS 2 n = 7 : (457 ) = 332 = 1089 11. El cuádruplo del cubo de una fracción más su triple 2 equivale a 7 veces su cuadrado. Halle la suma de sus 457 = 31147 términos. \ Sistema heptal CAPÍTULO 11 ESTADÍSTICA Hoy en día la Estadística no solo es una ciencia básica naturalmente a un número, son cualidades que sino que es una tecnología clave para el momento presenta la población. científico actual las ideas estadísticas básicas deben NOMINALES: Si sus valores no se pueden ordenar. formar una parte imprescindible del equipo mental de la Ejemplo: Sexo, grupo sanguíneo, etc. persona y el método estadístico un instrumento esencial ORDINALES: Si sus valores se pueden ordenar. para el científico. Ejemplo: Intensidad del dolor, grado de instrucción nivel social, mejoría a un tratamiento. CONSUMO DEL CAFÉ 600 B. CUANTITATIVAS. Si sus valores son numéricos. 500 DISCRETA: Si toma valores enteros; resulta del 400 procedimiento de conteo. 300 Ejemplo: número de hijos, número de niños, etc. CONTINUA: Si entre dos valores, son posibles 200 infinitos valores intermedios; resulta del procedimiento 100 de medición. 0 Ejemplo: talla, peso, presión intraocular, etc. Caf é nat ur al Caf é enl at ado Caf é en bol s a 2. CLASIFICACIÓN Cuando la cantidad de datos recepcionados sea muy DEFINICIÓN grande es conveniente condensarlos en grupos La estadística es la ciencia que nos proporciona denominados “CLASES” pero evitando perder técnicas y procedimientos para la recolección, demasiados detalles, se elaboran tablas de distribución de organización, clasificación y presentación de los datos frecuencias a partir de los siguientes elementos: referentes a un fenómeno que representa variabilidad o incertidumbre para su estudio metódico, con el objeto de TAMAÑO(n) : Es la cantidad de datos recogidos. tomar una decisión adecuada. RANGO (R) : Es la diferencia que existe entre la observación máxima y observación mínima. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA NÚMERO DE CLASES (K). Es aquella disciplina que se encarga de la Es la cantidad de grupos e intervalos y depende del recopilación, clasificación, presentación y descripción de criterio del estadístico. unidades de información denominados DATOS para una adecuada toma de decisiones. CRITERIOS: i) Para variables cuantitativas continuas. k=5, si n Ä25 y k= n si n>25 1. RECOPILACIÓN Regla de Sturgess; k = 1 + 3,32 log(n) Consiste en la recolección de datos mediante encuestas, entrevistas, mediciones, etc. Por razones de ii) Para variables cuantitativas discretas. tiempo/costo cuando la “población” que se desea estudiar K=R+1 es demasiado numerosa se escoge un subconjunto representativo de ella denominado “Muestra” FÓRMULA DE STURGES: POBLACIÓN Y MUESTRA k = 1+3,3log(n) POBLACIÓN (P): ANCHO DE CLASE (Wi) Es un conjunto formado por TODOS los individuos, Es la longitud de una clase: [a, bñ objeto u observaciones que poseen al menos una Donde: a = límite inferior Luego: característica en común. b = límite superior W=b–a MUESTRA (M). MARCA DE CLASE (xi) Es una parte o subconjunto representativo de la población, se debe elegir al azar. x = a+b i 2 P DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Consideramos una muestra de tamaño “n” y la variable estadística x que toma k valores diferentes: x1; x2; x3, …, xk A. FRECUENCIA ABSOLUTA (fi) Es el número de veces que aparece repetido el valor xi. Se cumple: k å fi = n 0 £ fi £ n; fi Î Z i=1 M B. FRECUENCIA RELATIVA (hi) VARIABLE ESTADÍSTICA Es la razón que existe entre la frecuencia absoluta y el Es una característica de la población o muestra y tamaño de la muestra. puede tomar diferentes valores. Se clasifican en: f k A. CUALITATIVAS. hi= i ; å hi = 1 Si sus valores (modalidades) no se pueden asociar n i =k C. FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA (Xi) REPRESENTACIÓN GRÁFICA HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS Fi = f + f + f + ... + f 1 2 3 i fi También: 8 Fi = f +f i-1 i POLÍGONO DE FRECUENCIA D. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA (Hi) 4 3 Hi = h + h + h + ... + h 2 1 2 3 i También: Hi = h +h Ii i-1 i 50 60 70 80 90 100 HISTOGRAMA NOTA OJIVA DE FRECUENCIA ACUMULADA Las frecuencias relativas también se pueden fi expresar en forma porcentual (%). 20 18 3. PRESENTACIÓN 15 En esta etapa se elabora la tabla de distribución de 11 frecuencias. A. TABLA DE FRECUENCIAS DE UNA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA 3 Ii Ejemplo. 50 60 70 80 90 100 Número de hijos de 20 familias de un distrito de Huancayo. 4 2 1 2 2 C. PARA VARIABLES CUALITATIVAS 4 1 2 1 4 7 4 1 0 4 PROCEDENCIA fi hi (%) 6 8 2 7 4 HUANCAYO 12 24 TAMBO 18 36 Número Número CHILCA 5 10 de Hijos de familias Fi hi Hi (Xi) (fi) OTROS 15 30 0 1 1 0,05 0,05 REPRESENTACIÓN GRÁFICA 1 3 4 0,15 0,20 2 5 9 0,25 0,45 4 6 15 0,30 0,75 DIAGRAMA CIRCULAR 6 1 16 0,05 0,80 7 3 19 0,15 0,95 OTROS 8 1 20 0,05 1,00 CHILCA aº n = 20 1,00 bº REPRESENTACIÓN GRÁFICA cº HUANCAYO Diagrama de dº Bastones o f i ó hi EL TAMBO Diagramas de 6 frecuencias. 5 aº+bº+cº+dº = 360º = 100% 4 3 xº = Número de Grados = fi x 360 n 2 1 DIAGRAMA DE BARRAS Xi 1 2 4 6 7 8 fi DESCRIPCIÓN B. TABLA DE FRECUENCIAS PARA VARIABLE Esta debe ser CUANTITATIVA CONTINUA 18 detallada y Ejemplo: 15 objetiva, utiliza Peso de 20 personas en Kg. entre otros los 62,5 70,4 65 50 62,75 siguientes 90,5 87 60,45 83 69,8 12 elementos que 56,75 69,2 74,8 75,6 63,4 se entiende 55,28 64,8 78,2 96,2 88 5 como medidas Así en el ejemplo agrupándolo en intervalos de ancho de tendencia de clase constante igual a 10 obtendremos central. Huancayo El Tambo Chilca Otros Ii Ii xi fi Fi hi Hi [50, 60ñ 55 3 3 0,15 0,15 MEDIA (MA; X) [60, 70ñ 65 8 11 0,40 0,55 [70, 80ñ 75 4 15 0,20 0,75 Es el promedio de “n” valores para “n” datos no agrupados. [80, 90ñ 85 3 18 0,15 0,90 [90, 100ñ 95 2 20 0,10 1,00 x + x + x + ... + x 1 2 3 n x= n =20 1,00 n Ejemplo: Ejemplo: La media aritmética de los datos 4, 7, 5, 4, y 10 Dado la siguiente tabla de distribución frecuencia halle la mediana. x = 4 + 7 + 5 + 4 + 10 = 6 Ii fi Fi 5 [10, 20ñ 10 10 Para datos agrupados. K [20, 30ñ 12 22 å xi .fi Clase mediana [30, 40ñ 8 30 x23 ,x24 ,x25 ,x26 ,...,x30 i=1 x= [40, 50ñ 20 50 n Ejemplo: n= 50 Dado la siguiente tabla de distribución de frecuencia halle la media. xn / 2 + xn / 2+1 x25 + x26 Þ ne = = 2 2 Ii xi fi xi.fi é 25 - 22 ù Luego: Me =30+10 ê [10, 30ñ 20 20 400 ë 8 úû [30, 50ñ 40 10 400 \ Me =33,75 [50, 70ñ 60 50 3000 [70, 90ñ 80 20 1600 n=100 5400 MODA (Mo) Luego: x å xi f i Es el dato o datos que aparece(n) con mayor frecuencia en el total de datos. x= i=1 = 5400 Þ x = 54 n 100 Para datos no agrupados: Si hubiese más de dos datos cuyas frecuencias sean MEDIANA (Me) máximas similares, la distribución es unimodal, bimodal, multimodal, … etc. Divide a un conjunto de datos exactamente en dos partes iguales. Para “n” datos no agrupados x1 , x2 , x3 , ...., xn (ordenados en forma creciente o decreciente) MODAL No siempre existe Amodal x( n+1/ 2 ) , si "n" es impar Ejemplo: Me = x1/2 + x( x +1/ 2 ) Dado los siguientes datos, Halle la moda. , si "n" es par 02 09 13 04 12 12 04 07 2 04 13 15 07 09 Ejemplo: Halle la mediana dado los siguientes datos: Observamos que hay tres veces 04 Þ Mo = 04 1, 2, 1, 3, 2, 1, 7, 6, 3 Ordenamos: (n=9) Para datos agrupados: 1 1 1 2 2 3 3 6 7 impar ß d1 ö x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 Mo = Lo + Wo ç ÷ çd +d ÷ Donde: è 1 2 ø Luego: Me = x(9+1/2) = x5 = 2 Lo : límite inferior de la clase modal Wo : ancho de la clase modal. Ejemplo: d1 : diferencia de la frecuencia modal y la premodal Halle la mediana dado los siguientes datos: d2 : diferencia de la frecuencia modal y la postmodal 4, 12, 12, 8, 7, 4, 13, 15, 7, 8 Ordenamos: (n=10) NOTA 4 4 7 7 8 8 12 12 13 15 par La moda pertenece a la clase modal, la cual x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 es aquella que tiene la mayor frecuencia absoluta. Luego: x + x10 +1/ 2 x5 + x6 8 + 8 Ejemplo: Me = 10 / 2 = = =8 En la siguiente tabla de frecuencias. Halle la Moda. 2 2 2 Luego : Para datos agrupados ß d1 ö é n / 2 - Fi-1 ù Mo = Lo + Wo ç ÷ Me = Lm + Wm ê ú çd +d ÷ è 1 2 ø fi ëê ûú ìïd1 = 9 - 8 = 1üï Donde: Lm = límite inferior de la clase mediana Ii fi í ý d = 9 - 5 = 4ï Wm = ancho de la clase mediana. [20, 30ñ 8 îï 2 þ Fi-1 = Frecuencia absoluta acumulada que precede a Clase æ ö modal [30, 40ñ 9 Mo = 30 + 10 ç 1 ÷ la clase mediana. è 1+ 4 ø fi = Frecuencia absoluta de la clase mediana. [40, 50ñ 5 [50, 60ñ 3 \ Mo = 32 NOTA Se define la clase mediana como la primera MEDIDAS DE DISPERSIÓN clase cuya frecuencia absoluta acumulada iguala o exceda a la mitad del total de datos. Miden el grado de variabilidad o dispersión de los datos respecto a un promedio. Estudiaremos a: 4(50 - 34) 1. VARIANZA (s2; S2) iii) Cálculo de la mediana: x = 12 + m 40 * Para datos no agrupados: x = 13,6 Rpta. m 2 2 å( x - x ) åx 2 Donde: s2 = = -x n n 03. Las inversiones en miles de dólares de un grupo de x _ : Dato empresarios se muestra en la siguiente tabla. x : Media aritmética ¿Cuántos invirtieron entre 20 y 30 mil dólares?. n : Total de datos Inversiones Frecuencia Ejemplo: 0 ; 9 21 Del siguiente conjunto de datos: 10; 12; 9; 10; 8; 9; 12. 9 ; 18 19 Halla la varianza. 18 ; 27 9 10 + 12 + 9 + 10 + 8 + 9 + 12 2 27 ; 36 6 x= = 10 ® x = 100 36 ; 45 5 7 a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 x 10 12 9 10 8 9 12 Resolución: x2 100 144 81 100 64 81 144 9 6 644447444486444447444448 2 2 714 2 7 1´2 2´2 å x = 714 \ s = - 100 = 2 7 18 20 27 30 36 x 1. DESVIACIÓN ESTANDAR (s; S) \ Entre 20 y 30 hay = 9 datos. Rpta. Es la raíz cuadrada de la varianza. 04. En una muestra de 400 personas acerca de las s = S2 preferencias de una marca de bebidas por sus colores negro (N), rojo(R) y anaranjado(A) se obtuvo el siguiente diagrama circular: EJERCICIOS RESUELTOS La cantidad de personas A R 01. Para el siguiente conjunto de datos clasificados. que prefieren el Intervalo fi color anaranjado es: 54º [20 ; 30ñ 5 a) 100 b) 120 102º [30 ; 40ñ 9 c) 140 d) 160 [40 ; 50ñ 12 º e) 226,6 [50 ; 60ñ 8 N Resolución: Calcula la media aritmética. i) SA + SR { + SN{ = 360º SA = 204º a) 39,40 b) 41,01 c) 41,76 d) 41,98 e) 52,0 54º 102º ì f = 34K fA fR fN ïï A Resolución: ii) = = í f = 9K 204 54 102 ï R i) Ancho de clase W = 10. TOTAL ïî fN = 17K Intervalo xi fi xi.fi DE [20 ; 30ñ 25 5 125 PERSONAL: fA + fR + fN = 400 [30 ; 40ñ 35 9 315 34K + 9K + 17K = 400 [40 ; 50ñ 45 12 540 60 K = 400 [50 ; 60ñ 55 8 440 K = __ 20 3 å x × f = 1420 i i __ 20 º å xi fi = 1420 = 41,76 Rpta. iii) fA = 34K = 34( ) = 226,6 3 Rpta. ii) x = å fi 34 05. En el siguiente cuadro se muestra la distribución de los sueldos que perciben mensualmente 100 obreros. 02. En el siguiente histograma de una muestra de 100 Calcula la media aritmética. datos. fi IntervalofiFi Se puede concluir a [ ñ 40 que la mediana es: a) 280 26 [250 ; ñ25 a) 16,8 b) 285 c) 290 [ ñ 83 b) 17,1 18 [ ñ 92 c) 17,3 d) 295 16 e) 300 [ ;450ñ d) 13,6 e) 18,1 Resolución: 4 8 12 16 20 Resolución: i) f1 = F1 = 40 ii) F2 = f1 + f2 i) f1 + f2 + f3 + f4 = 100 F2 = 40 + 25 Þ F2 = 65 16+18 +a+26 = 100 iii) f3 = F3 - F2 = 83 - 65 = 18 a = 40 f4 = F4 - F3 = 92 - 83 = 9 ii) Se forma la tabla: f5 = F5 - F4 = 100 - 92 = 8 iv) Lim Inf2 + 4W = Lim Sup5 å xi × fi = 28500 Ii fi Fi 250 + 4W = 450 4 ; 8 16 16 W = 50 8 ; 12 18 34 12 ; 16 40 74 Clase mediana Þ x= å xi f i = 28500 16 ; 20 26 100 n 100 Þ x = 285 Rpta. CAPÍTULO 12 RAZONES Y PROPORCIONES CAPACIDADES: a–b=b–c b = media diferencial de a y c § Distinguir una razón aritmética de una geométrica c = tercia diferencial de a y b § Clasificar los diferentes tipos de proporción. Ejemplo: 12 – 7 = 7 – 2 1. RAZÓN: “7” es la media diferencial y “2” es la tercia Se llama razón a la comparación de dos cantidades. diferencial Esta comparación se puede hacer de dos maneras. b) Discreta: A. Razón Aritmética (R.A.) Cuando todos los términos son diferentes entre si: Es la comparación entre dos cantidades por medio de una diferencia. a–b=c–d a–b=r d: cuarta diferencial de a, b y c a : antecedente Ejemplo: b : consecuente 14 – 10 = 9 – 5 r : valor de la razón aritmética “5” es la cuarta diferencial de 14, 10 y 9. B. Razón Geométrica (R.G.) B. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Es la comparación entre dos cantidades por medio de un cociente. Si: a = k y c = k; Entonces: a=c a =k b d b d b Donde: b, c : términos medios a : antecedente a, d : términos extremos b : consecuente k : valor de la razón geométrica CLASES: a) Continua: Ejemplo: Cuando los términos medios son iguales Queremos comparar el tamaño de las velas que se muestran a continuación. a=b Þ 2 b =a.c; b= a.c b c b: media proporcional de a y c c: tercia proporcional de a y b 18 cm. 9=6 6 cm. Ejemplo: 6 4 “6” es la media proporcional y “4” es la tercia (A) (B) proporcional Podemos establecer que el tamaño de la vela (A) b) Discreta: excede al tamaño de (B) en: 18 – 6 = 12; ésta es la Cuando todos los términos son diferentes entre razón aritmética si. a=c b d También podemos afirmar que el tamaño de la vela (A) es: 18 d: cuarta proporcional de a, b y c = 3 (Esta es la razón geométrica) 6 Tres veces el tamaño de (B) Ejemplo: 15 = 3 20 4 Observación: “4” es la cuarta proporcional de 15, 20 y 3 - Se lee (A) es más grande que (B) en 12 centímetros. C. PROPORCIÓN ARMÓNICA: - Se lee: “El tamaño de (A) es el triple que el tamaño Es la equivalencia de dos razones armónicas. de (B). - También: “El tamaño de (A) es al de (B) como 3 a 1 1 - 1 = 1 - 1 ó a - b = ab a b c d c - d cd 2. PROPORCIÓN Dados cuatro números diferentes de cero, en un cierto Donde: a y d = términos extremos orden, formarán una proporción, si la razón de los dos b y c = términos medios primeros es igual a la razón de los dos últimos. Esta CLASES: proporción puede ser: Aritmética, geométrica ó a) Proporción armónica discreta: Armónica. Términos medios diferentes 1-1= 1-1 A. PROPORCIÓN ARITMÉTICA Medios a b c d a–b=c–d Donde: d: es la cuarta armónica de a; b y c Extremos b) Proporción armónica continua: Si: a – b = r y c – d = r entonces: Términos medios iguales CLASES: a) Continua 1-1= 1-1 Cuando los términos medios son iguales a b b c Donde: EJERCICIOS RESUELTOS b: es la media armónica de a y c c: es la tercera armónica de a y b 01. En una fiesta, la cantidad de hombres que bailan es a la de mujeres que no bailan como 2 a 1. Si el triple de la 3. PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES diferencia de los hombres que bailan con los hombres a = c =k que no bailan es igual a los hombres que no bailan. Si Dada la proporción: todas las mujeres hubiesen bailado se quedarían 10 b d hombres sin bailar. ¿Cuántas mujeres hay en total?. Entonces: a + b = c + d = k +1 a) 50 b) 60 c) 65 d) 70 e) 86 1. b d Resolución: a - b = c - d = k -1 H M 2. 2K 2K bailan b d a K no bailan a + b = c + d = k +1 [$ ' #&> - S$= S 3. a - b c - d k -1 6K - 3a = a üï 3 ýa = K 6K = 4a ïþ 2 OBSERVA ii) Total Hombres : Que cada alteración de la proporción original, nos da un valor diferente para su valor común (k). 2K + 3 K = 7 K 2 2 Total Mujeres : SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS 2K + K = 3K EQUIVALENTES: iii) Si todas las mujeres bailan, 10 hombres no bailan Se denomina así al conjunto de más de dos razones que tienen el mismo valor. Total Hombres - Total Mujeres = 10 > 442443 1442443 Ejemplo: 1 = 2 = 3 = 4 = 0,5 7K 2 4 6 8 - 3K = 10 2 En general definimos la serie: K = 20 a1 a2 a3 an \ Total Mujeres : 3(20) = 60 Rpta. = = = ... = =k b1 b2 b3 bn 2 Donde: 02. Si: a = c = e = k2 y bde = R (R > 0) a1; a2; a3; …; an = antecedente b d f 2 K b1; b2; b3; …; bn = consecuente Halla: acf k = constante de proporcionalidad. a) 1 b) R/K c) K/R d) K e) R PROPIEDADES: Resolución: a b 1 + + a b 2 + + . . . . . . + + a b n = k i) a = c = e = K2 1 2 n a . a . . . . . a b £ d f 1 2 n n = k b 1 . b 2 . . . . . b n cf 0 de Þ ef = 1 de NOTA ii) Razón : a = K 2 b “n” es número de razones que forman la serie. æ öæ ö Se obtiene : ç a ÷ç cf ÷ = K2 PROPIEDAD: è b øè de ø Dada la proporción geométrica. acf = K2 Þ acf = K a = c ; Se cumple a Òb = c ± d a = c bde bde b d b d a±b c ±d 2 a . c 2 2 iii) Pero : b.d.e = R a Òb = a = c =a =c K2 b±d b d b . d b2 d2 m m m m a +c =a =c a+b = c +d iv ) Al reemplazar : m m m m a-b c -d b +d b d acf acf = K = Ejemplo: 2 R /K 2 R/K En una proporción geométrica continua la suma de los cuatro términos de la proporción es igual a 121 veces acf = R .K = R Rpta. K el antecedente de la primera razón. Si su media proporcional es 40 ¿Cuál es su tercera proporcional? 03. Cuándo Rosa nació Greta tenía n años y dentro de n a = 40 = k a . c = 40 = 1600 2 años sus edades serán como 5 es a 4. ¿Cuál era dicha 40 c razón hace 2n años?. a) 4 b) 7 c) 2 d) 6 e) 9 1 2 1 5 7 Resolución: iii) a  c = 74 (dato) 2 i) Nació Rosa cK + c = 74 Pasado Hoy Futuro 2 c(K + 1) = 2(6 + 1)) 2 \ c = 2; k = 6 Rosa 0 a a+n Greta n a+n a+2n Þ 72 = 12 = 6 (valor de la razón) Rpta. 12 2 Donde: a+n = 4 a + 2n 5 05. Si: a 0 b = c = d 5a + 5n = 4a + 8n b c d e a = 3n (ab  bc + cd + de)2 Entonces, la razón: ii) Edades Actuales: 2 2 2 2 b +c +d +e Es igual a: 123 Greta: 4n Rosa: 3n a) abc b) a2 + b2 + c2 + d2 c) b2 + c2 + d2 d) b2 + c2 + d2 + e2 iii) Hace “2n” años. e) ab + bc + cd 4n - 2n = 2n = 2 Rpta. 3n - 2n n 1 Resolución: Sea: a 0 b = c = d = K 04. El producto de los términos diferentes de una b c d e proporción geométrica continua es 1728. Calcula la ab bc razón de la proporción sabiendo que la suma de los i) = = cd = de = K términos extremos es 74. b2 c 2 d2 e2 ab + bc + cd + de = K . . . (1) a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 b2 + c2 + d2 + e2 2 2 2 2 Resolución: ii) a = b = c = d = K ab bc cd de ¿ ïa = cK2 a2 + b2 + c2 + d2 = K . . . (2) i) a = b = K í b c ab + bc + cd + de îïb = cK De (1) = (2) Þ abc = 1728 (dato) ab + bc + cd + de = a2 + b2 + c2 + d2 b2 + c2 + d2 + e2 ab + bc + cd + de ii) (cK2 )(cK ).c = 1728 2 (cK )3 = 123 #ab + bc + cd + de ) = a2 + b2 + c2 + d2 Rpta. 2 2 2 2 cK = 12 b +c +d +e CAPÍTULO 13 PROMEDIOS Y MEZCLA PROMEDIOS Ejemplo: 1. DEFINICIÓN Halla la MG de 1; 3; 9; 27 y 81 Se llama promedio a un valor comprendido entre un valor máximo y un valor mínimo de un grupo de números. MG = 5 1 x 3 x 9 x 27 x 81 máx. Como son 5 números Sea A = {1; 2; 3; … ; 15} X=2 5 1+ 2 + 3 + 4 mín. MG = 3 Un promedio (X) puede ser: 1<X<15 es decir X=7 MG = 5 310 = 32 MG = 9 X=14 2. PROMEDIO ARITMÉTICO (MA) Suma de datos Q1 + Q2 + Q3 + ... + Qn 4. PROMEDIO ARMÓNICO (MH) MA = MA = Cantidad de datos n MH = Cantidad de datos Ejemplo: Halle la MA de 11; 17; 15; 19 y 8 suma de las inversas de los datos Como C A A son A D 5Anúmeros A AE 11 + 17 + 15 + 19 + 8 Ejemplo: MA = 5 Halle la MH de: 2; 4; 6 y 12 MA = 70 = 14 MA = 14 5 Porque se trata de 4 números MH = 4 3. PROMEDIO GEOMÉTRICO (MG) 1+ 1+ 1+ 1 2 4 6 12 Sean los números: a1 ; a2 ; a3 ; ...; an MH = 4 = 4 x 12 = 4 MH = 4 MG = n a1 x a2 x a3 x ... an 12 12 12 Sean los números a y b Resolución: i) 2; 6; 12; . . . ; 90 MA = a + b MG = a x b ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1x2 2x3 3x4 9x10 MH = 2a ×b Þ Números de términos = 9 a+b Ejemplo: ii) Suma de inversas = Si Sean los números; 4 y 16 Si = 1 + 1 + 1 + × × × + 1 2 6 12 90 MA = 4 + 16 = 10 Pero : Si = 1 - + - + - 1 + × × × + 1 - 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 9 10 MG = 4 × 16 = 8 9 \ Si = 10 MH = 2 × 4 × 16 = 6, 4 20 iii) MH = 1 = 10 \ å cf = 1 Rpta. 9 PROPIEDADES: 10 Para varios datos MA MG ³ MH 3. Si MA×MG×MH = 512 y uno de los promedios es 10. Halla la MA de los promedios. §Si todos los datos son iguales: a) 8 b) 8,1 c) 8,2 d) 8,13 e) 8,20 MA = MG = MH §Si todos los datos no son iguales: Resolución: MA > MG > MH i) Para dos números: Sólo para dos datos a y b MA´MH = MG2 2 ii) MA´MG´MH = 512 MG = MA . MH (a - b)2 = 4(MA + MG)(MA - MG) MG2´MG = 512 MG3 = 83 A esta expresión se le conoce como: Fórmula que da el MG = 8 error que se somete al tomar la MA por la MG iii) Como: MH < MG < MA Þ Sólo: MA = 10 iv) \ 10´MH´8 = 512 5. PROMEDIO PONDERADO (X) 8 + 10 + 6, 4 MH = 6,4 Þ = 8,13 Rpta. 3 Suma de productos X= Suma de pesos REGLA DE MEZCLA Sean los números: a1 ; a2 ; a3 ; ... ; an CAPACIDADES: Y sus respectivos pesos: P1 ; P2 ; P3 ; ... ; Pn - Determinar el precio medio, grado medio ó ley media de una mezcla. a1 P1 + a2 × P2 + a3 × P3 + × × × + an × Pn - Calcular las cantidades convenientes de las X= sustancias para obtener la mezcla deseada. P1 + P2 + P3 + × × × + Pn 1. DEFINICIÓN EJERCICIOS RESUELTOS Se denomina, mezcla a la unión de 2 o más ingredientes, pero que conservan su propia 1. Encontrar el mayor de los números, cuya media naturaleza. aritmética es 26,5 y su media geométrica es 22,5. La regla la mezcla consiste en: a) 31 b) 26,5 c) 40,5 d) 42,8 e) 51,6 - Calcular el precio de una mezcla conociendo las cantidades y precios respectivos de las sustancias Resolución: que la componen. - Determinar en qué proporción hay que mezclar i) Para los números a y b se cumple: varias sustancias para que resulte un precio medio (a - b)2 = 4(Ma + Mg)(Ma - Mg) dado. ii) (a - b)2 = 4(26,5 + 22,5)(26,5 - 22,5) PRIMER CASO: (a - b)2 = 4x49x4 PRECIO a - b = 28 SUSTANCIA CANTIDAD COSTO UNITARIO iii) Pero: a_+ __b = 26,5 (Dato) A C1 P1 C1 . P1 2 B C2 P2 C2 . P2 Þ a + b = 53 Como: a - b = 28 C C3 P3 C3 . P3 a = 40,5 Rpta. b = 12,5 Son conocidos 2. Halla la media armónica de 2; 6; 12; ... ; 90. Dar la suma El precio medio quedará determinado por el cociente de sus cifras. del gasto total entre la cantidad total de la mezcla. C1 P1 + C2 × P2 + C3 × P3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Pm = C1 + C2 + C3 Ejemplo: Ejemplo: Es un barril cuya capacidad es 200 litros se mezclan 35 ¿Cuál es la pureza de una mezcla alcohólica que lt. De vino de S/. 18 el litro; 30 lt..; de S/. 15. el litro y 45 contiene 5 lt. de alcohol puro y 15 lt. de agua? litros de S/. 20 el litro ¿Cuál será el precio por cada litro Volumen de alcohol puro = 5 lt. de la mezcla? Volumen total = 20 lt. SUSTANCIA CANTIDAD PRECIO COSTO Nº de grados = 5 x100 = 25º UNITARIO 20 A 35 18 630 Pureza: 25º ó 25% B 30 15 450 Observación: Para hallar el grado medio en la mezcla C 45 20 900 de varios tipos de alcohol. V1; V2, V3; …; Vn. Cuyos Mezcla 110 Pm 1980 grados de alcohol respectivamente son: g1; g2, g3; …; gn Al mezclarse estos volúmenes se obtendrá un alcohol cuyo grado medio “gm” estará dado por: Pm = 1980 Pm = S/.18 110 v g + v2 g2 + × × × + vn gn gm = 1 1 v1 + v2 + × × × + vn SEGUNDO CASO: Ejemplo: Los precios de los ingredientes de una mezcla son S/. Problema Inverso 50; S/. 80 y S/. 120 respectivamente; del último se Calculo de la proporción. tiene 40 kg. ¿Cuántos kg. tendrá la mezcla si el primer PRECIO ingrediente y el segundo intervienen como 7 es a 2? SUSTANCIA CANTIDAD COSTO UNITARIO Además el precio medio es S/. 60. A CA PA CA . PB Solución: B CB PB CA . PB 60 = 50 7k + 80 × 2k + 120 × 40 9k × 40 Mezcla: 51 k + 480 = 54 k + 240 k = 80 (CA + CB ). Pm = CA . PA + CB . PB Þ CA + CB + CC = 760 Son datos: La cantidad total de sustancia (CA+CB) los precios EJERCICIOS RESUELTOS unitarios y el precio medio. 4. Se mezclan 45 litros de vino de 8 soles con vinos de 5 CA . Pm +CB . Pm = CA . PA +CB . PB soles y 7 soles el litro, resultando una mezcla de 6 soles el litro. SI por cada 7 litros del segundo hay 5 CA PB - Pm litros del tercero. Halla la cantidad total de la mezcla en = CB Pm - PA litros. a) 540 b) 585 c) 630 Donde: PA < Pm < PB d) 685 e) 785 Ejemplo: Resolución: Se requiere obtener 60 kg. de café de S/. 15 el kg. Mezclando cantidades, convenientes de café de S/. 18 S/. 8 S/. 5 S/. 7 S/. 6 de S/. 13 el kg. ¿Qué cantidad se debe usar de cada i) + + Þ uno? 45 L 7K L 5K L (45 + 12K) L CA PB - Pm = CB Pm - PA CA ii) 45(8) + 7K(5) + 5K(7) = 18 - 15 = 3K Þ 3K + 2K = 60 6= CB 15 - 13 2K 45 + 12K Þ K = 45 K = 12 CA =3(12)=36 CB =1(12)=24 iii) 7(45) = 315 Esta relación entre cantidades y precios se pueden 5(45) = 225 aplicar de una manera práctica con la denominada “regla de aspa”. \Cantidad Total = 45 + 315 + 225 = 585 Rpta. Cantidad P. Unitario Pm Difer. Relación x 13 3 3 15 5. Se mezclan tres tipos de cocoa de precios por Kg: y 18 2 2 S/. 2; S/. 5; y S/. 8 y en cantidades inversamente proporcionales a sus respectivos precios. Halla el Luego: x = 3 ; precio de la mezcla por Kg. x + y = 60 y 2 Resolución: a) 3,21 b) 2,63 c) 1,19 x = 36; y = 24 d) 3,63 e) 2,74 2. MEZCLAS ALCOHÓLICAS Resolución: S/. 2 S/. 5 S/. 8 Pm La pureza de alcohol se mide en grados, también en porcentajes: i) + + Þ a b c a+b+c Vol. Alcoh” l Puro Nº de Grados = x100 Vol. Total ii) Como cantidad I.P. precio ´a = 20K Resolución: 8 L/min 6 L/min ¸ 40 Þ a = b = c = k ïb = 8K Þ a´2 = b´5 = c´8 í i) 20 8 5 ïc = 5K 58º “x” L “y” L 74º î 2(20K ) + 5(8K ) + 8(5K ) 960 iii) Þ Pm = 33K 62º Pm = 40 + 40 + 40 = 120 = S / . 3,63 Rpta. 33 33 y 62 - 58 4 1 Þ = = = x 74 - 62 12 3 6. Dos mezclas alcohólicas de 58º y 74º están contenidas ii) 3y = x pero: x + y = 960 en dos recipientes con grifos que vierten a razón de 8 Þ 4y = 960 L/min y 6 L/min respectivamente, con la finalidad de \ y = 240 preparar 960 litros de otra mezcla alcohólica de 62º. x = 720 ¿Al cabo de cuánto tiempo (minutos) se deberá cerrar 720 litros cada grifo para obtener la mezcla deseada, iii) t x = = 90 min considerando que ambos se han abierto 8 L / min simultáneamente? 240 litros ty = = 40 min 6 L / min a) 90 y 40 b) 80 y 50 c) 60 y 30 d) 75 y 45 e) 90 y 30 \90 y 40 Rpta. CAPÍTULO 14 MAGNITUDES - REPARTOS 1. MAGNITUDES PROPORCIONALES B. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P.) Se entiende por “magnitud” como aquella propiedad Dos magnitudes son inversamente proporcionales física que se puede medir o cuantificar, las cuales se si el aumentar los valores de una de ellas, los encuentran relacionadas entre sí directa o valores correspondientes de la otra, disminuye en la inversamente proporcional. misma proporción o visceversa. A. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. (D.P) NOTACIÓN Si A I.P. B (VALOR A) x (VALOR B) = K Dos magnitudes son D.P. si al aumentar o disminuir los valores de una de ellas el valor de la otra aumenta o disminuye en la misma proporción respectivamente. Magnitud Valores Si A D.P. B VALOR A Velocidad (m/s) 16 8 4 2 NOTACIÓN =K VALOR B Tiempo (h) 1 2 4 8 Magnitud Valores Donde: Número de Libros(unidades) 2 4 6 8 VELOCIDAD x TIEMPO Costo (Soles) 10 20 30 40 =16 x 1 = 8 x 2 = 4 x 4 = 2 x 8 = 16 = Cte. Donde: NÂlibros 2 En conclusión, para que dos magnitudes sean = = 4 = 6 = 8 = 1 ® Cte cos to 10 20 30 40 5 inversamente proporcionales es condición necesaria y suficiente que el producto de cada par En conclusión, para que dos magnitudes sean de sus valores correspondientes, sean iguales. directamente proporcionales es condición necesaria y suficiente, que los cocientes de cada GRÁFICO: parte de sus valores correspondientes sean B iguales. Rama de hipérbola 8 equilátera GRÁFICO: B 40 A AxB=K =K 4 30 B 2 20 1 10 2 4 8 16 A 2 4 6 8 A Por ser una Por ser una recta relación inversa: f (k ).x = k ® f (k ) = k f(x) x que pasa por el origen: f ( x ) = y = mx ® m = x 2. REPARTO PROPORCIONAL C. REGLA DE COMPAÑÍA. Estudia la forma de repartir una cantidad en forma Consiste en repartir entre varios socios las directamente o inversamente proporcional a ciertos ganancias o pérdidas obtenidas en sus negocios, valores llamados índices de proporcionalidad. después de un tiempo determinado. Se tiene: GANANCIA =K A. Reparto Simple GANANCIA CAPITAL x TIEMPO B. Reparto Compuesto C. Regla de Compañía PÉRDIDAS PERDIDAS =K CAPITAL x TIEMPO A. REPARTO SIMPLE Ejemplo: En este caso el reparto puede ser directo o inverso. Dos socios desean repartirse una ganancia de S/. 1 a) REPARTO SIMPLE DIRECTO 220 000. El primero aporto un capital de S/. 360 000 Consiste en repartir una cantidad en forma y estuvo 4 meses en el negocio. El segundo aportó proporcional a un grupo de índices de propor- S/. 200 000 y permaneció 5 meses en el negocio cionalidad. ¿Cuánto debe corresponderle a cada uno? Ejemplo: Repartir S/. 750 en forma proporcional a 6, 7 y 12 Solución: EJERCICIOS RESUELTOS Partes D.P. A 6K 1. Si A; B; C y D son magnitudes proporcionales y: 750 B 7K A 3 DP B (C y D cons tan tes) C 12 K 25 K = 750 A IP C (B y D cons tan tes) K = 30 D DP 3 A (B y C cons tan tes) Þ A = 180 Þ B = 210 Þ C = 360 Además cuando A = 8; B = 27; C = 16; D = 2. Determina el valor de A cuando B = 216; C = 64 y D = 1 PROPIEDAD Si a todos los índices de proporcionalidad se a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 les multiplica o divide por un mismo número entonces el reparto no se altera Resolución: b) REPARTO SIMPLE INVERSO i) En función a la magnitud A: Para repartir una cantidad en forma inversa, A DP 3B suficiente repartir D.P. a la inversa de un grupo A C de índices de proporcionalidad. A IP C =K Si: A I.P. B Entonces A D.P. 1/B 3 B D3 Ejemplo: A DP D3 Repartir S/. 594 en forma I.P. a 2, 3, 6 y 10 Solución: ii) Reemplazando: Part. I.P. D.P. MCM(2,3,6,10)=30 8 16 A 64 = M 2 1/2 . 30 = 15 K 3 27 23 3 216 13 N 3 1/3 . 30 = 10 K 594 \A =1 Rpta. P 6 1/6 . 30 = 5 K Q 10 1/10 . 30 = 3 K 33 K= 594 2. Los ángulos que forman los rayos de un círculo son K = 18 proporcionales a los números enteros del 1 al 29. M = 15 . 18 = 270 ¿Cuál es el mayor de dichos ángulos en grados N = 10 . 18 = 180 sexagesimales?. P = 5 . 18 = 90 Q = 3 . 18 = 54 a) 24/29 b) 24 c) 360/29 d) 36 e) 10 B. REPARTO COMPUESTO: Resolución: En este caso se trata de repartir una cantidad en forma D.P. a ciertos números y a la vez en forma I.P. i) La suma de ángulos es 360º. a otros. Generalmente se procede de la siguiente manera: A1 A2 A3 A4 A29 ii) = = = = ××× = =K - Se convierte la relación I.P. a D.P. (invirtiendo los 1 2 3 4 29 índices) iii) Por serie de razones: - Se multiplican los índices de las dos relaciones D.P. A1 + A2 + A3 + × × × + A29 360 = K \ K = 24 = - Se efectúa un reparto simple directo con los 1 + 2 + 3 + × × × + 29 29 ´ 30 29 nuevos índices. 2 Ejemplo. A29 iv) El mayor: = 24 Repartir S/. 648 en forma D.P. a 4 y 6 e I.P. a 3 y 29 29 9. Þ A29 = 24 Rpta. Part. D.P. I.P. D.P. 648 A 4 3 1/3 . 9 = 3 4 x 3 = 12 K 3. En una tripulación hay x hombres que tienen 80 días B 6 9 1/9 . 9 = 1 6 x 1 = 6 K de alimentación con 3 raciones diarias para cada uno. 18 K = 648 Al cabo de 30 días se les obliga al 50% de los hombres D.P. K = 36 a trabajar y eso significa 1 ración más a cada hombre. Þ A = 12 x 36 = 432 ¿Para cuántos días menos alcanzarán los víveres?. Þ B = 6 x 36 = 216 a) 150/7 b) 250/7 c) 20 d) 200/7 e) 30 Resolución: Resolución: i) Sea V el total de alimentos que pueden consumir en 80 i) Recuerda: #obreros´#días = K días. En 30 días consumirán: 3V/8 35 obr. 27 días ii) 6 días Falta: 21 días ii) Recuerda: hombres ÌdÕ as ´ raci” n diaria =K víveres + “x” obr. 144424443 15 días terminan ßx ö × t × 3 æ x ö × t × 4 ç ÷ ç ÷ iii) A partir del 7º día: iii) x × 80 × 3 è2ø è2ø 35.21 = (35 + x).15 = = V a b >A ?A@ x = 14 Rpta. ^S _ [fSV que trabaja 5. Un padre al morir deja juna herencia a sus 3 hijos para ßx ö × t × 3 + æ x ö × t × 4 que dispongan de ella en forma directamente ç ÷ iv) x × 80 × 3 è 2 ø ç ÷ proporcional a sus edades que son 6; 9 y 12 años; pero è2ø = deciden no hacerlo hasta que todos sean mayores de V > A A A ?A a + b A A@ edad. ¿Qué porcentaje de lo que le correspondía al ^a cgWXS^fS consumir morir el papá perdió uno de ellos? Pero : a + b = V - 3 V = 5 V a) 12% b) 16% c) 14,29% d) 11,2% e) 25% 8 8 ßx ö × t × 7 Resolución: ç ÷ v) x × 80 × 3 = è 2 ø Þ t = 300 V 5V 7 i) índices partes ii)Para que sean mayores 8 de ´ edad: ´ ï 6 É 2 Þ 2K Finalmente: ï ï6 + 12 = 18 ® 6K ' Herencia í 9 É 3 Þ 3K ï 9K í9 + 12 = 21 ® 7K ' ï La cantidad de días menos = 50 - 300 = 50 Rpta. ï 12 ® 4 Þ 4K î Re cibe : 4 9 ï ï12 + 12 = 24 ® 8K ' Re cibe : 8 7 7 î 21 \ H = 9K \ 9K = 21K ' 4. Una cuadrilla de 35 obreros puede terminar una obra en 27 días. Al cabo de 6 días de trabajo, se les junta iii) El tercero pierde al ÞK' = 3K 7 cierto número de obreros de otro grupo, de modo que hacerse el nuevo reparto. 8 3 K ´ 100 en 15 días terminan lo que falta. ¿Cuántos obreros \ Pierde : x% = 7 eran del segundo grupo? 4K x% = 85,71% a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 Disminuye: 100% - 85,71% = 14,29% Rpta. CAPÍTULO 10 INTERÉS Todas las organizaciones, empresas, grupos o anual, mensual, trimestral, etc. personas necesitan en algún momento obtener fondos TIEMPO (t): años, meses, días para financiarse, éstos fondos comúnmente son muy difíciles de conseguir y cuando se logran alcanzar, las 3. INTERÉS SIMPLE: entidades o personas que realizan éstos préstamos El interés simple es una función directa entre el capital cobran una retribución por el tiempo que el dinero está en inicial la tasa de interés y el tiempo. Se representa por manos de sus deudores. la siguiente fórmula: C x i x t 1. DEFINICIÓN. I= .....(1) <> I = C x i x t ......(2) K El interés (I) es todo aquel Donde: beneficio, ganancia, K= 100 Û t = años rentabilidad o provecho que K = 1 200 Û t = meses se paga por utilizar dinero K = 36 000 Û t = días prestado por terceros. NOTAS: 1. Año comercial: 1 Mes <> 30 días 2. CÁLCULO DE INTERESES. 1 Año <> 360 días La manifestación del valor del dinero en el tiempo se 2. De ecuación (1), la tasa de interés siempre debe ser conoce con el término “INTERÉS”, que es el anual, en caso de no serlo expresar en su incremento entre la suma original de dinero prestado y equivalente: la suma final debido a la suma original poseído (o - 3% bimestral < > 18% anual invertida) y la suma final acumulado. Se hace - 4% cuatrimestral < > 12% anual referencia a la inversión original o al monto del préstamo como el “PRINCIPAL”. Si una persona MONTO (M): M=C+I invirtió dinero en algún momento en el pasado, el interés será: 4. INTERÉS COMPUESTO: El interés compuesto significa un interés sobre el INTERÉS = MONTO TOTAL ACTUAL – PRINCIPAL ORIGINAL interés, es decir, refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo también sobre el interés. ELEMENTOS: El interés compuesto se expresa como: CAPITAL(C): Llamado también principal; soles; dólares. n M = C(1 + r) TASA DE INTERÉS (i): Llamado también rédito; Donde: COMPARACIÓN DE CÁLCULOS DE INTERÉS M = monto final SIMPLE Y COMPUESTO PARA LOS EJEMPLO 1 y 2 r = tasa de interés en el periodo capitalizable 1157,63 n = número de periodos capitalizables. C = Capital 1 150 1102,50 CANTIDAD AL CANTIDAD AL PERIODO PRINCIPIO DEL PERIODO + INTERÉS DEL = FINAL DEL PERIODO 1 100 TOTAL A PAGAR (S/.) DE INTERÉS PERIODO DE INTERÉS 1 050 1 050 1 C rC C(1+ r) 2 C(1+ r) rC(1+ r) C(1+ r)2 INTERÉS POR AÑO (S/.) 3 C(1+ r)2 rC(1+ r) C(1+ r)3 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. SC SC SC 55,13 C(1+ r)n-1 rC(1+ r)n-1 C(1+ r)n 52,50 n 50 50 50 50 Ejemplos: 1. Si Frank obtiene S/. 1000 en préstamo de su hermano mayor durante 3 años a un interés simple SC SC SC del 5% anual ¿Cuánto dinero pagará él al final de los 3 años? 1 2 3 FINAL DEL AÑO S = INTERÉS SIMPLE C = INTERÉS COMPUESTO Tabule los Resultados: Datos: C = S/. 1 000 3. Se divide un capital en tres partes. La primera se t = 3 años impuso al 20%, la segunda al 40% y la tercera al i = 5% anual 30% produciendo en un año igual renta. Halla la M=? diferencia del primer y segundo capital, si la C x i x t 1000 . 5 . 3 inversión total fue S/. 1 560 i) I = = = 150 K 100 Resolución: ii) M = C + I i) I1 = I2 = I3 ( t = 1 año) M = 1 000 + 150 \ M = 1 150 C1 × 20 × 1 C2 × 40 × 1 C3 30 × 1 = = Tabla: 100 100 100 FINAL CANTIDAD SUMA A SUMA C1 C2 C3 DEL OBTENIDA EN INTERÉS PAGAR PAGADA Þ = = =K AÑO PRÉSTAMO (S/.) (S/.) (S/.) (S/.) 6 3 4 0 S/. 1 000 C1 + C2 + C3 = K = 1560 1 – 50 1 050 0 6+3+4 13 2 – 50 1 100 0 Luego: 3 – 50 1 150 1 150 1560 C - C2 = 1 13 3 2. Si Frank obtiene, de su hermana, un préstamo \ C1-C2 = 360 S/. 1 000 al 5% de interés anual compuesto en lugar Respuesta. 360 del interés simple, como en el ejemplo anterior, calcule la suma total a pagar después de 3 años, 4. Halla el monto final de una suma de S/. 36 000 con tabula los resultados y compara los resultados de un interés del 20% capitalizable trimestralmente este ejemplo y del anterior. durante 2 años. Datos: Resolución: C = S/. 1 000; n = 3; P = 5%; M = ? M=? C = 36 000 i) M = C(1+ r)n M = 1 000 (1 + 5/100)3 ß ö i = 20% ç año ÷ = 5% Trimestral M = S/. 1 157,625 anual è 4Trim. ø FINAL CANTIDAD SUMA A SUMA n=2 DEL OBTENIDA EN INTERÉS PAGAR PAGADA AÑO PRÉSTAMO (S/.) (S/.) (S/.) (S/.) Luego: 0 S/. 1 000 M = C (1+ r)n 1 – 50,00 1050,00 0 M = 36 000 (1 + 0,05)2 M = 51 710,94 2 – 52,50 1102,50 0 3 – 55,13 1157,63 1157,63 I = M-C I = 1 157,63 - 1 000 I = s/. 157,63 EJERCICIOS RESUELTOS 5. Una señora solicita un préstamo de 2000 soles a una institución financiera; cada mes debe amortizar 100 1. Jaime pone el capital que posee en un banco, si dentro soles de capital prestado, pagando un interés al inicio de 6 meses se retira, recibirá S/. 1575, pero si se retira de cada mes del 1% sobre el capital amortizado. dentro de 16 meses recibirá S/. 125 más. Halla la tasa Determina el interés total (en soles). de imposición. Resolución: Resolución: 100(1 + 2 + 3 + ... + 20)12 I1=75 I2=125 Interéstotal = = 210 1200 6 meses 10 meses Respuesta. 210 C=1500 1575 6. En cierto banco los intereses de los ahorros se Interés meses pagan de la siguiente manera 4% anual por los S/. 125 10 1500 Ì6 ´ r 3000; 4,5% anual por lo que exceda hasta S/.5000; I1 6 75 = Þ r = 10% 1200 5% anual por lo que exceda hasta S/.8000; y 5,5% I1 = 75 por lo que exceda a 8000. Respuesta. 10% Si en uno gano 437 soles de interés. ¿Qué cantidad 2. El interés ganado por un capital en “a” meses se deposita? (en soles) representa el 10% del monto producido y el interés ganado por dicho capital en “b” meses representa el RESOLUCIÓN 2000.1.(4,5) X.1.(5,5) 25% de su monto generado. Hallar a/b. I= 3000.1.4 + + 3000.1.5 + =437 100 100 100 100 Resolución: 55x 120+90+150+ = 437 ® x = 1400 10 25 460 1000 I= (C + I) I= (C + I) a Capital = 8000 + 1400 = 9400 100 100 = 3.r 1 1 b 400 I= I= C r 9 3 Respuesta. 9400 c.a.r 1 c.b.r 1 = C = C 1200 9 1200 3 a 1 7. Jaime pone el capital que posee en un banco, si = 460 400 b 3 dentro de 6 meses se retira recibirá S/. 1575, pero si a= b= 3.r r se retira dentro de 16 meses recibirá S/. 125 más. Respuesta. 1/3 Halla la tasa de imposición. 3. A Ricardo se le presenta 2 opciones en donde RESOLUCIÓN depositar su dinero, la primera paga el 40% Interés meses I1 = 75 capitalizable trimestralmente y la segunda paga el 38%. Se da cuenta que en 6 meses una produciría S/. 125 10 75 = 1500.6. r 1200 40 más que la otra. ¿Cuánto producirá su dinero, si lo I1 6 r =10% deposita a la mejor opción durante 9 meses (monto)? Resolución: 2 Respuesta. 10% ß 10 ö 21 Interés compuesto = ç 1 + ÷ .C - C = C è 100 ø 100 8. Raúl impone su dinero al 20% de interés simple durante 5 años. Determina su monto final. Sabiendo C.6.38 19 que si se hubiese impuesto su capital inicial al 20% Interés simple = = C 1200 100 anual de interés compuesto, el interés recibido en el tercer año hubiese sido 288 soles. 21C 19C \ - = 40 ® c = 2000 100 100 RESOLUCIÓN 3 20 1 1 ß36 ö 10 ö r= = Þ ç C = 288 ® C = 1000 æ Þ IC = ç 1 + ÷ .2000 - 2000 = 662 100 5 5 è 25 ÷ø è 100 ø Monto = Capital + Intereses Monto = 2000 + 662 1000.5.20 M = 1000 + ® M = 2000 Monto = 2662 100 Respuesta. 2662 Respuesta. 2000 4. En cierto banco los intereses de los ahorros se pagan de la siguiente manera: 4% anual por los primeros 9. Hace 3 años Aurora depositó cierta suma de dinero 3000 soles; 4,5% anual por lo que excede hasta 5000 soles, 5% anual por lo que excede hasta 8000 soles y al 10% semestral capitalizable anualmente, con el 5,5% por lo que exceda a 8000. Si en uno ganó 437 dinero acumulado, hoy a comprado una casa que soles de interés. ¿Qué cantidad se deposita? (en soles) planea vender en S/. 32400 con una ganancia del 20% sobre el precio de venta. ¿ cual fue su capital Resolución: inicial? 3000.1.4 + 2000.1.4,5 + 3000.1.5 + x.1.(5,5) = 437 RESOLUCIÓN 100 100 100 100 3 3 æ 20 ö æ6ö M = ç1 + ÷ .C = Pc Þ M = ç 5 ÷ .C = 25920 120 + 90 + 150 + 55 x = 437 è 100 ø è ø 1000 x = 1400 Pv = Pc + g C = 8000 + 1400 = 9400 80 (32400 ) = Pc ® Pc = 25920 Respuesta. 9400 100 Respuesta. 25920