PROF.GILBERTO SANTOS JR PROBABILIDADE 1 . INTRODUÇÃO Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos muitas vezes e sob condições idênticas, não se pode determinar o seu resultado com precisão antes de ocorrê-lo. Por exemplo, no lançamento de uma moeda perfeita, o resultado é imprevisível; não se pode determiná-lo antes de ser realizado. Não sabemos se sairá exatamente “cara” ou “coroa”. Aos fenômenos desse tipo é dado o nome de fenômenos aleatórios. São exemplos de fenômenos aleatórios: Lançamento de um dado; Número de peças defeituosas fabricadas por uma máquina; Resultado de um jogo de roleta; O resultado de uma extração da MegaSena; Número de chamadas telefônicas que serão efetuadas numa cidade, no dia das mães. Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório é que buscamos os resultados prováveis, as chances, as probabilidades de um determinado resultado ocorrer. A teoria das probabilidades é um ramo da Matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômeno aleatórios. E. E. E. F. M. MIN. ALCIDES CARNEIRO Turma: Aluno: 2) No lançamento de um dado, defina: a) o espaço amostral ; b) o evento A: ocorrência de número par; c) o evento B: ocorrência de número ímpar; d) o evento C: ocorrência de número menor que 4; e) o evento D: ocorrência de múltiplo de 3; f) o evento E: ocorrência de número menor que 1; g) o evento F: ocorrência de número maior que zero e menor que 7. 3) No lançamento de um tetraedro (pirâmide de quatro faces triangulares congruentes), cujas faces estão numeradas de 1 a 4, defina: a) o espaço amostral ; b) o evento A: ocorrência de número par; c) o evento B: ocorrência do número 3; d) o evento C: ocorrência de número menor que 4. (Observação: Considera-se que “saiu o número 4” se a face numerada pelo 4 esta apoiada na mesa, após o lançamento.) 3 2 . CONCEITOS INICIAIS 2.1 Espaço Amostral É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um fenômeno aleatório. É simbolizado pela letra grega ômega . 2.2 Evento É qualquer subconjunto de um espaço amostral. É simbolizado por uma letra maiúscula do nosso alfabeto. 4) Numa Exemplo: No lançamento de um dado e registro dos resultados. Determine: a) O espaço amostral ; b) O evento A: ”ocorreria de número ímpar” Resolução: O espaço amostral de um dado são todas as possibilidades de resultados ao lançarmos um dado, logo = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; Evento A: “ocorrência de número ímpar” do espaço amostral do dado, logo A = {1, 3, 5}. caixa há fichas numeradas de 1 a 10. Defina: a) o espaço amostral do experimento ”retirar fichas ao acaso da caixa”; b) o evento A: ocorrência de número ímpar; c) o evento B: ocorrência de número primo; d) o evento C: ocorrência de número maior que 4. e) o evento D: ocorrência de número múltiplo de 4. f) o evento E: ocorrência de número não múltiplo de 4. g) o evento F: ocorrência de número com dois algarismos. i) o evento G: ocorrência de número com três algarismos. 5) No EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) No lançamento de uma moeda, determine: a) o espaço amostral ; b) o evento A: “sair cara”. lançamento simultâneo de duas moedas distinguíveis, defina: a) o espaço amostral ; b) o evento A: ocorrência de exatamente uma cara; c) o evento B: ocorrência de coroa em ambas; d) o evento C: ocorrência de pelo menos uma cara. Dobre-os igualmente. em pedaços iguais de papel os números de 1 a 10. b) o evento A: retirar bola vermelha. b) o evento A: ocorrência de cara e número par. de um baralho de 52 cartas”. usando uma tabela ou um diagrama da árvore. b) evento A: ”sair o mesmo número em ambos os dados”. após um grande número de jogadas. c) o evento B: ocorrência de coroa e número múltiplo de 3. d) o evento C: ocorrência de coroa e número ímpar. determine: a) o espaço amostral em uma tabela. 2 100 temos que. c) o evento B: ”sair mais do que uma cara”. b) o evento A: todas as crianças são meninos. Comentário: Isso não significa que. CÁLCULO DE PROBABILIDADE A probabilidade de ocorrer um evento A. 2 n() 1 50 Como = = 50%. se jogarmos duas vezes a moeda. Determine: a) todos os arranjos possíveis de meninos e meninas. segue. do experimento ”retirar uma bola ao acaso“. c) o evento B: nenhuma criança é menino. p(A) = = . é um número que mede essa chance e é dado por: p(A) = nº de elementos de A nº de elementos de Ω ou = n(A) n(Ω) p(A) = nº de resultados favoráveis nº de total de resultados possíveis 7) Um casal planeja ter dois filhos. usando M para filho do sexo masculino e F para filho do sexo feminino. ou 50%. k} n( ) = 2 Evento A: ocorrência de cara A = {C} n(A) = 1. determine: a) o espaço amostral. c) evento B: ”sair soma 7”. d) o evento C: ocorrência de número 2. d) evento C: ”sair soma maior que 10”. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 12) No lançamento de um dado perfeito. g) evento F: ”sair soma maior que 1 e menor que 13”. 1 n(A) Portanto. 9) Do experimento “retirar uma carta. b) o evento A: ”sair 3 caras”. numa das jogadas sairá “cara” e. 2 . c) o evento B: retirar bola azul. sairá “coroa”.2 6) No lançamento simultâneo de uma moeda e um dado. determine: a) o espaço amostral . e) evento D: ”sair soma menor que 5”. numa tabela ou diagrama da árvore. na outra. Qu al é a probabilidade de que o número retirado seja: a) par? b) divisível por 3? c) um número primo? d) maior que 8? e) menor que 10? f) um número entre 5 e 10? g) múltiplo de 4? . ao acaso. f) evento E: ”sair soma maior que 12”. em aproximadamente 50% (metade) delas sairá “cara”. Qual é a probabilidade de sair cara? Resolução: Usando C para cara e K para coroa. b) o evento A: ocorrência de ás. a probabilidade de sair cara é 1 2 8) No lançamento simultâneo de dois dados. Exemplo: Consideremos o experimento aleatório do lançamento de uma moeda perfeita. d) o evento C: todas as crianças são do mesmo sexo. d) o evento C: ”sair exatamente 2 coroas”. dado perfeito. determine: a) o espaço amostral do experimento. utilizando uma tabela. indicada por p(A). Defina: a) o espaço amostral . qual é a probabilidade de que o resultado seja: a) um número par? b) um número primo? c) o número 3? d) um número menor que 3? e) um número menor que 1? f) um número menor que 7? 14) Escreva 11) No lançamento simultâneo de 3 moedas distinguíveis (ou no lançamento de uma moeda três vezes). Significa sim que. de modo que qualquer um deles tenha a mesma “chance” de ser retirado de uma caixa. qual é a probabilidade de sair número maior do que 4? 13) No lançamento de um 10) Uma urna contém uma bola vermelha e três azuis. no lançamento de uma moeda. Espaço amostral: = {C. c) o evento B: ocorrência de ás de ouros. qual é a probabilidade de que: a) em ambas ocorra ”cara”? b) em uma ocorra ”cara” e na outra “coroa”? c) não ocorra nenhuma “cara”? d) ocorra exatamente uma “coroa”? 25) No lançamento simultâneo de 18) Nove válvulas perfeitas estão misturadas com uma válvula defeituosa. Uma pessoa é escolhida ao acaso e convidada a sair da sala. a) Qual a probabilidade de o número do táxi ser 85? b) Qual a probabilidade de o número do táxi ser maior que 122? d) uma carta com naipe vermelho? e) um “três” vermelho? 24) No 16) Qual 17) Em é a probabilidade de sair um “dois”. V3. até que a válvula defeituosa seja encontrada. salada mista e sorvete? 23) Qual é a probabilidade de.3 15) Em certa cidade. filé de carne ou de frango. filé de peixe. qual é a probabilidade de que: a) a soma seja 7? b) a soma seja par? c) a soma seja um número primo? d) a soma seja maior que 1 e menor que 8? e) ambos os números sejam pares? f) ambos os números sejam iguais? g) o primeiro número seja múltiplo do segundo? 26) Um 19) Oito válvulas perfeitas estão misturadas com duas válvulas defeituosas. ao retirar. obter: a) uma carta de copas? b) um ás? c) um ás de copas? . sabendo-se que a primeira retirada foi defeituosa. maionese. Elas são testadas. 6 com algum defeito pequeno e 6 com defeitos graves. Uma pessoa é escolhida ao acaso. até que a válvula defeituosa seja encontrada. Qual é a probabilidade de. uma a uma. ao retirar. 40 pessoas estão usando crachás numerados de 1 a 40. cardápio é composto dos itens a segrupo II maionese salada mista grupo III saladas de frutas sorvete pudim 20) Seis casais estão numa festa. sorvete ou pudim? e) como refeição. Qual é a probabilidade de que: a) todas as crianças sejam meninas? b) todas as crianças sejam do mesmo sexo? c) uma criança seja menino e a outra menina? 27) Um guir. V4}.) a) uma bola vermelha? b) uma bola branca? 22) Um lote é formado de 12 calças perfeitas. Qual é a probabilidade de que a pessoa escolhe: a) um filé de peixe? b) uma maionese? c) como refeição. qual será a probabilidade de que a calça: a) não tenha defeitos? b) não tenha defeitos graves? c) tenha defeitos? A pessoa escolhe um item de cada grupo para compor sua refeição. retirar: (Observação: para indicar o evento “sair bola vermelha” use índices assim A = {V1. maionese e pudim? d) como refeição. assistindo a uma palestra. Qual é a probabilidade de que: a) a primeira válvula testada seja a defeituosa? b) a segunda seja defeituosa. V2. Se escolhermos uma calça ao acaso. Uma pessoa toma um táxi dessa frota ao acaso. Qual é a probabilidade de que esse número seja: a) menor que 10? b) múltiplo de 10? lançamento simultâneo de duas moedas perfeitas e distinguíveis. uma a uma. Elas são testadas. Qual é a probabilidade de ser mulher? grupo I filé de carne filé de frango filé de peixe 21) Numa caixa há 6 bolas brancas e 4 bolas vermelhas. ao retirar. os táxis de uma frota são numerados de 1 a 200. filé de frango. Qual é a probabilidade de que a primeira válvula testada seja a defeituosa? dois dados perfeito e distinguíveis. uma carta de um baralho de 52 cartas? uma sala. ao acaso. ao acaso. uma carta de um baralho de 52 cartas. Faça um diagrama de árvore para mostrar todas as possibilidades de compor uma refeição com itens dos 3 grupos. casal planeja ter exatamente 2 crianças. (Fonte:www. Setenta deles responderam que freqüentavam um curso de microcomputadores. no Programa Salto para o Futuro.com. obtendo os seguintes resultados: 40 alunos escolheram Cidadania 25 alunos escolheram Meio Ambiente 10 alunos escolheram ambos os temas 5 alunos não escolheram nenhum dos dois temas. ob- . Qual é a probabilidade de um desses estudantes selecionados ao acaso: a) estar freqüentando somente o curso de microcomputadores? b) não estar frequentando nenhum desses cursos? 3. a) Qual é a probabilidade de. Observe que A B = e A B = . segue a expressão. utilize: a) somente ônibus? b) somente carro? EXERCÍCIOS PROPOSTOS 34) No lançamento de um dado perfeito. 14 de carro e moto e 18 de ônibus e moto.htm) EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 32)(UEPA-2009) Utilizando o Texto 2. 22 gostam de esporte e leitura. ao apontar ao acaso. sobre lixo doméstico. a probabilidade dele ter escolhido apenas Meio Ambiente como tema é: (a) 1 2 (b) 1 3 (c) 1 4 (d) 1 5 (e) 1 6 30) Numa enquete foram entrevistados 100 estudantes. ao acaso. esporte e leitura. 9 gostam somente de esporte. 28 responderam carro e 30 responderam moto. um desses jovens ele não gostar de nenhuma dessas atividades? O Professor Francisco de Assis realizou uma pesquisa em uma de suas turmas de 2ª série do Ensino Médio para saber a preferência dos alunos a respeito do tema a ser escolhido para a feira da cultura da escola. 16 gostam de música. e 5 jovens gostam somente de leitura. mas não moto? d) nenhum dos três veículos? e) apenas um desses veículos? A Série Arte e Matemática na escola. PROBLEMAS DE PROBABILIDADE QUE ENVOLVE CONJUNTOS 29) Num grupo de 75 jovens. Sendo A notação para “complementar do evento A”. PROBABILIDADE COMPLEMENTARES DE EVENTOS Seja. interação e discussão sobre as múltiplas relações matemáticas existentes nas diversas linguagens. Ao selecionar. que será apresentada pela TV ESCOLA. qual é probabilidade de não sair soma 5? EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 36)(UEPA-2011) Em uma pesquisa envolvendo 120 cidades. microcomputadores e inglês. de um desses artistas. apresentou aos alunos dois temas: Cidadania e Meio Ambiente. Desta forma. p(A) + p( A ) = 1 ou p( A ) = 1 – p(A) 31) Numa enquete foram entrevistadas 80 pessoas sobre os meios de transporte que utilizavam para ir ao trabalho e/ou à escola. 6} e o evento B “sair número ímpar” B = {1. selecionada ao acaso. 5}. qual é a probabilidade de não sair o 6? 35) No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis. um programa. 30 gostam de música e leitura. Assim. é constituída por cinco programas que pretendem oferecer um espaço de reflexão. ao acaso. 6 gostam somente de música. Doze utilizavam-se de ônibus e carro. no lançamento de um dado.4 EXERCÍCIO DE VESTIBULARES 28)(UEPA-2009) Texto 2 c) carro e ônibus. 4. 28 responderam que freqüentavam um curso de inglês e 10 responderam que frequentavam ambos. 6 deles gostaram da segunda obra e 4 deles gostaram da primeira e da segunda obra. ao apontar. 24 gostam de música e esporte. 10 deles gostaram da primeira obra.tvebrasil. eles gostam de música? b) Qual é a probabilidade de. um desses jovens. ônibus e moto. gostar só da segunda obra é: 1 1 1 1 1 (a) (b) (c) (d) (e) 2 3 5 4 6 33)(PRISE-2004) 3 . a probabilidade de que este esteja com defeito é: (a) 50% (b) 40% (c) 30% (d) 20% (e) 10% Um grupo de 12 artistas analisou duas obras de artes. selecionando um aluno da sala. supõe-se que dois programas que serão apresentados pela TV ESCOLA estão com defeito. Cinco utilizavam-se dos três: carro. o evento A “sair número par” A = {2. A e B são chamados eventos complementares. Qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas. 3. A probabilidade.br/SALTO/boletins200 2/ame/ameimp. Quarenta e dois responderam ônibus. aleatoriamente. 18 (b) 0. 38)(UEPA-2012) Leia o texto XVIII para responder a próxima questão. Nessas condições. afirma-se que a probabilidade de um projeto escolhido aleatoriamente.22 4 . Qual a probabilidade de se retirar uma bola cujo número seja: a) par? b) primo? c) par e primo? d) par ou primo? e) nem par nem primo? f) par mas não primo? .20 (d) 0. fortemente voltada para exportação de manufaturados com maior valor agregado. Acesso em 9 de setembro de 2011. é de: (a) 0. (p. estadual. é: 3 4 5 6 7 (b) (c) (d) (e) 10 10 10 10 10 37)(UEPA-2010) A economia do estado de Santa Catarina esteve. e) não sair par nem múltiplo de 3. utilize a expressão. Nº 2 . algumas organizações não-governamentais de apoio às mulheres e crianças vítimas de maus tratos apresentam números assustadores da violência doméstica. ou seja.ª e 3.com. ANO II de 2002. (Fonte: http://jus.Texto adaptado. 82% se referem a lesões corporais dolosas. Qualquer uma delas tem a mesma chance de ser retiradas. A probabilidade de uma cidade pesquisada ser escolhida ao acaso e nela não ser desenvolvida ação de reciclagem.19 (c) 0.ª Delegacia de Defesa da Mulher de São Paulo. conhecendo p(A) e p(B) querendo encontrar p(A B). A figura abaixo apresenta alguns dados que ilustram a busca para financiamento de pesquisas de um desses editais promovidos pela Funcitec.21 (e) 0.Texto Adaptado) A probabilidade de ser escolhido aleatoriamente um desses inquéritos policiais e de ele não se referir a lesões corporais dolosas. d) sair número par ou múltiplo de 3. apesar de não haver estatísticas oficiais. federal e privada. p(A B) = p(A) + p(B) – P(A B) Fonte: NEXUS. Isso exigiu. No Brasil. dentre o total dos projetos apresentados. c) sair número par e múltiplo de 3. determine as probabilidades dos eventos: a) sair número par. Ciência & Tecnologia. PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS Conhecendo as probabilidades de dois eventos quaisquer A e B e procuramos a probabilidade de ocorrer o evento A B. qual é probabilidade de se obter soma par ou soma múltipla de 3? lançamento de um dado perfeito. Texto XVIII 41) Numa urna existem bolas numeradas de 1 a 17. na época.servou-se que em 36 dessas cidades são desenvolvidas ações de reciclagem. A tarefa da Funcitec é financiar Ciência & Tecnologia por meio da abertura frequente de editais abertos e com referências competitivas claras. em 2002. Dos 850 inquéritos policiais instaurados na 1.br/revista/texto/7753/a-violenciadomestica-comoviolacao-dos-direitos-humanos. b) sair número múltiplo de 3. (a) 5 Os números alarmantes relativos à violência doméstica levaram a Organização Mundial de Saúde (OMS) a reconhecer a gravidade que o fenômeno representa para a saúde pública e recomendar a necessidade de efetivação de campanhas nacionais de alerta e prevenção. Estima-se que. maior empenho de pesquisadores de diversas áreas das esferas municipal.40). não ser da região sul é de: (a) 233/433 (b) 301/433 (c) 403/433 (d) 517/433 (e) 530/433 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 39) No 40) No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis. f) não sair par ou não sair múltiplo de 3. a cada 4 (quatro) minutos uma mulher seja vítima de violência doméstica. O resultado do lançamento é par. é correto afirmar que a probabilidade de o número sorteado ser: 1 (a) 222 é 12 . já que a primeira criança que nasceu é homem? EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 6 . tendo ocorrido B. p(A/B) = p (A B) p(B) EXERCÍCIOS PROPOSTOS 46) Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas. Segue a expressão. foi feita uma pesquisa com 1. Dentre os pesquisados: 200 agradeciam pela recuperação da saúde.O resultado do lançamento é estritamente maior do que 4. II . B = {a bola retirada possui um múltiplo de 5}. a probabilidade do evento A B é: (a) 13 20 (b) 4 5 (c) 7 10 (d) 3 5 (e) 11 20 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 49) São 45)(PRISE-2002) Durante a romaria do Círio realizados dois lançamentos sucessíveis de um dado perfeito. Considere os eventos: A = {a bola retirada possui um múltiplo de 2}. p(A B) = p(A) . Qual é a probabilidade de que a família tenha 3 homens. nos dois casos. o número 5? de Nossa Senhora de Nazaré. qual é a probabilidade de se obter soma 8 ou números iguais nas faces superiores? 6 dados perfeitos são lançados. III . Qual é a probabilidade de se obter ”cara” ou um 6? família planejou ter 3 crianças. Qual é a probabilidade de sair soma 8. 51) Consideramos uma cria de cachorros com 3 filhotes. a probabilidade de se escolher ao acaso uma das pessoas pesquisadas e esta estar agradecendo pela recuperação da saúde é: 2 (a) 15 2 (b) 5 50)(FUVEST-SP) Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito (todas as seis fases têm probabilidades iguais). a segunda com as bolinhas de números 0 e 2 e a terceira com as bolinhas de números 1.g) primo mas não par? 42) No lançamento de dois dados perfeitos. a) I e II são eventos independentes? b) II e III são eventos independentes? Justifique suas respostas. aprovação no vestibular e emprego. Para tanto. sendo que ocorreu o 3 no primeiro dado? 47) Dois 48) Uma 43) Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Desta forma. Nessas condições. 200 só pela recuperação da saúde. se a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de ter ou não ter ocorrido o outro. Após cada sorteio. em Belém. PROBABILIDADE CONDICIONAL Denotamos por A/B o “evento A condicionado ao fato de que o evento B já ocorreu” e por p(A/B) a probabilidade condicional de ocorrer A. Com relação a esse experimento considere os seguintes eventos: I . 550 pela recuperação da saúde e aprovação no vestibular.500 romeiros sobre as promessas que os levaram a acompanhar a procissão na corda. formando um número de três algarismos que correspondeu a uma das senhas distribuídas entre as famílias. Qual é a probabilidade de ocorrer. Seja o experimento: retirada de uma bola. EVENTOS INDEPENDENTES Dois eventos A e B são eventos independentes. p(B) 44)(Fuvest-SP) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. aprovação no vestibular e pelo emprego. 4. as bolinhas foram devolvidas às respectivas urnas e o processo repetido até a total distribuição das terras. 450 pela recuperação da saúde e pelo emprego. Os eventos A e B são independentes? Por quê? EXERCÍCIO DE VESTIBULARES 52) (UEPA-2008) 11 (c) 30 2 (d) 3 11 (e) 15 5 . a distribuição de terras ocorreu por meio de sorteios. As promessas foram: recuperação da saúde. Sejam os eventos A: “obtenção de pelo menos dois machos” e B: “obtenção de pelo menos de um de cada sexo”. O sorteio ocorreu retirando-se ordenadamente uma bolinha de cada urna. qual é a probabilidade de sair um “ás vermelho” sabendo que ela é de “copas”? No programa de assentamento de famílias promovido pelo Governo Federal. utilizaram três urnas: a primeira com as bolinhas de números 2. 5 e 7. 130 só pela aprovação no vestibular e 170 só pelo emprego. 2 e 8.O resultado é múltiplo de 3. Então. 400 pela aprovação no vestibular e pelo emprego. 94% dos estudantes do Ensino Médio estão matriculados em escolas públicas. consultando apenas quatro alunos escolhidos aleatoriamente. a probabilidade de vitória de cada uma das equipes seja igual a 1/3 e a probabilidade de o jogo terminar empatado seja também de 1/3. interessado em verificar se existe aplicação de probabilidades iguais no futebol. uma escola de Belém resolveu organizar uma festa e nela distribuir CD’s de diversos ritmos musicais para os homenageados do dia. estes foram colocados lado a lado e numerados de 1 a 4. um estudante investigou a opção de votos de seus colegas de classe e verificou que. dos quais 10 são homens. então. o editor concluiu que num modelo de probabilidades iguais à probabilidade de que se termine com uma equipe com 6 pontos. nas quatro cores do código do QUADRO III. então a probabilidade de o estudante do Ensino Médio estar matriculado em escola pública e ser negro é de (A) 23. a equipe do São Paulo obteve 3 pontos. é: 58)(PSS-2006) No Estado do Pará.5% (E) 70. das quais cada aluno deveria escolher exatamente 4 questões para serem resolvidas. Para organizar a entrega dos presentes. resolveu dar ’’uma colher de chá’’ para seus alunos. Em cada partida. seria. a probabilidade de o instituto acertar o resultado da eleição na sala. cada uma das duas equipes recebe 1 ponto. outra com 3 pontos e a terceira com 0 (zero) ponto é de (A) 2/9 (B) 3/8 (C) 5/27 (D) 9/15 (E) 1/3 54)(PRISE-2006) O professor de matemática Magno. de acordo com o exigido. (A) 27% (B) 40% (C) 50% (D) 78% (E) 92% 55)(PRISE-2007) Após a pintura dos quatros recipientes de coleta de resíduos sólidos. e a equipe da Ponte Preta 0 (zero) ponto nos confrontos entre si. sendo que as mulheres ficaram com as fichas de 1 a 5. então a probabilidade de que a pessoa sorteada tenha sido um homem é de: 1 2 3 1 1 (a) (b) (c) (d) (e) 2 3 3 4 4 7 siderou um modelo em que três equipes joguem entre si. de acordo com a figura abaixo. Considerando todas as possibilidades de escolha das 4 questões. dos trinta investigados. destas. Sabe-se que a ficha sorteada foi menor que 11.5% (B) 45. a equipe vencedora ganha 3 pontos e a equipe perdedora nenhum ponto. cada um de uma só cor. 53)(PRISE-2005) Para comemorar o dia dos professores. numeradas de 1 a 12. Se a probabilidade de esses estudantes serem negros (pretos + pardos) é de 75%. Em caso de a partida terminar empatada. a seguinte consideração: se um instituto de pesquisa fizesse uma sondagem. Fez-se. deveriam ser 2 de questões de numeração ímpar e 2 de questões de numeração par. de.5% (C) 55. Tentando entender essa questão. 15 votaram no candidato A e 15 votaram no candidato B. verificou-se que a equipe do Santos obteve 6 pontos. a probabilidade de se ter uma sequência de cores. Analisando os confrontos entre as três equipes mais bem colocadas ao final do primeiro turno do Campeonato Brasileiro de 2004. por meio dessa amostra. O corpo docente da escola é composto por 15 professores. conforme a tabela: Santos Ponte Preta São Paulo 2x1 0x4 2x0 São Paulo Santos Ponte Preta Após efetuar corretamente os cálculos probabilísticos.5% (D) 67. ao realizar sua prova de 4ª avaliação. em qualquer das partidas. con- Alguns estudantes estavam se preparando para realizar o PSS da UFPA e resolveram inventar um jogo de dados a fim de . Desta forma. aproximadamente. Para entrega dos prêmios. procedeu-se a um sorteio no qual foi retirada uma ficha para entrega do 1° CD. foram distribuídas fichas com numeração de 1 a 15. principalmente quando dois candidatos se encontram empatados tecnicamente.5% (a) 36% (b) 33% (c) 25% (d) 20% (e) 18% 59)(PSS-2007) 56)(PSS-2005) Um editor de Futebol em Revista. O professor propôs uma prova que continha 12 questões. e em que. obrigatoriamente. a probabilidade de se escolher apenas questões com numeração menor que 7 é: (a) 57)(PSS-2005) 1 3 (b) 1 10 (c) 1 15 (d) 1 25 (e) 1 33 As últimas eleições têm surpreendido os institutos de pesquisa.1 (b) 528 é 6 1 (c) 222 é 6 1 (d) 528 é 12 (e) 528 ou 222 é a mesma. A probabilidade de que os dois retirados sejam da mesma marca é: (A) 1/6 (B) 5/33 (C) 19/66 (D) 7/22 (E) 3/11 Os cursos ofertados pela UEPA no PROSEL e PRISE..8 testar os seus conhecimentos em Teoria das Probabilidades.br/ Link! Dê uma olhada. após 10 movimentos. Por exemplo. Bosco. lateral acima ou lateral abaixo. com as respectivas vagas. ao acaso. lateral direita. O jogo possuía as seguintes regras: I. constam na tabela abaixo: CURSOS OFERTADOS Licenciatura em Letras Licenciatura em Matemática PROSEL 20 20 PRISE 20 20 Supondo que todas as vagas serão preenchidas.. O jogador faz o primeiro lançamento do dado. 4 refrigerantes da marca B e 5 refrigerantes da marca C. que será composta por três deles. Newton.” Gostou da Apostila? Você a encontra no Blog: 63)(PSS-2009) Quatro pássaros pousam em uma rede de distribuição elétrica que tem quatro fios paralelos. A probabilidade de que no jogo da MegaSena haja um par de números consecutivos sorteados é: (A) 54!/60! (B) 53!/59! (C) 1-(56!55!)/(49!60!) (D) 1-(54!53!)/(48!60!) (E) 1-(55!54!)/(49!60!) 62)(PSS-2009) Um tabuleiro quadrado tem nove casas. o jogador vence. retiram-se dois refrigerantes sem observar a marca. Uma peça sobre o tabuleiro pode mover-se para as casas lateral esquerda. Deixe a sua opinião. 51 e 60. Se sair um número maior do que 3. 27. sugestão. 20 e 21. Dalva. um aluno do Curso de Licenciatura em Matemática ou um aluno aprovado no PRISE é de: (a) 25% (b) 50% (c) 60% (d) 75% (e) 100% 61)(PSS-2008) No Concurso da Mega-Sena são sorteados 6 números de 01 a 60. o jogador deve lançar o dado pela segunda e última vez. Se sair o número 5 o jogo termina e o jogador vence. Caso contrário perde. no município de IGARAPÉ-AÇU. Mônica e Socorro vão se reunir para estruturarem a feira da cultura da escola em que trabalham. resolveram criar uma comissão organizadora do evento. A probabilidade de o jogador vencer esse jogo é: 9 3 10 (A) (C) (E) 5 13 13 (B) (B) 1/256 (D) 1/4 64)(PRISE-2004) Os Professores Adolfo Henrique.blogs pot. É importante para o nosso trabalho. A probabilidade de que em cada fio pouse apenas um pássaro é: (A) 3/32 (C) 1/24 (E) 3/4 http://professorgilbertosantos.” “A perseverança alimenta a esperança. II. 20. A probabilidade de que. Um grande abraço! . Renato Russo “Você constrói a sua vitória. Se na primeira jogada não sair o número 5. se não for obstruída em um ou dois destes movimentos estando sobre a borda do tabuleiro. houve um par de números consecutivos. ou seja. a peça esteja de volta ao centro é: (A) 2/3 (B) 1/2 (C) 1/3 (D) 1/4 (E) 1/6 Nunca deixe que lhe digam: Que não vale a pena Acreditar no sonho que se tem Ou que seus planos Nunca vão dar certo Ou que você nunca Vai ser alguém. Patrícia. a probabilidade de esta comissão ser formada apenas por mulheres é: (a) (b) 1 7 1 21 1 (d) 28 (c) (e) 1 35 7 12 (D) 4 7 1 14 65) (PROSEL-2004) 60)(PSS-2008) De um refrigerador que tem em seu interior 3 refrigerantes da marca A. 21. Considere que a peça inicialmente está no centro do tabuleiro e é movida aleatoriamente na superfície deste. a probabilidade de sortearmos.com. Para tanto. Verificando todas as possibilidades. o concurso 924 teve como números sorteados 02.
Report "2-Apostila de Probabilidade (8 páginas, 65 questões)"