INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD PROFESIONAL ZACATECO INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA ACADEMIADE COMPUTACIÓN ANÁLISIS NUMÉRICO PROFESOR: BERNAL MENDOZA JOSÉ ANTONIO 4CV1 Secante, Bairstow, Lyn y Horner ALUMNOS: AVALOS ATILANO MARTIN BUTRON GONZALEZ ADRIAN GARCÍA SANABRIA LUIS ENRIQUE HERRERA TOVAR CESAR IVAN VARELA LÓPEZ CARLOS JAVIER BOLETA: 2012300167 2012300278 2012300774 2011302178 2012302216 ZACATENCO, GUSTAVO A. MADERO, DISTRITO FEDERAL, MÉXICO, A MIERCOLES 26 DE FEBRERO DE 2013. ÍNDICE ÍNDICE ............................................................................................................................. 2 ÍNDICE DE FIGURAS ...................................................................................................... 3 ÍNDICE DE TABLAS ........................................................................................................ 3 RESUMEN ....................................................................................................................... 3 GLOSARIO DE TÉRMINOS ............................................................................................ 4 OBJETIVO GENERAL Y PARTICULARES .................................................................... 4 JUSTIFICACIÓN .............................................................................................................. 5 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 6 MARCO TEÓRICO .......................................................................................................... 7 SECANTE .......................................................................................................................... 7 BAIRSTOW........................................................................................................................ 8 LYN Y HORNER ................................................................................................................ 9 DESARROLLO DE LOS MÉTODOS ............................................................................. 10 SECANTE ........................................................................................................................ 10 BAIRSTOW...................................................................................................................... 11 LYN Y HORNER .............................................................................................................. 13 PROBLEMAS RESUELTOS MEDIANTE UN CONTEXTO REAL ................................ 16 Método de la secante ..................................................................................................... 16 Método de Bairstow ....................................................................................................... 18 LIN Y HORNER ............................................................................................................... 20 CONCLUSIONES .......................................................................................................... 22 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................. 23 Página 2 .......... claro que al final los complejos (x ± iy) serian ceros de p(x)... Al final... al momento de programar esto se puede facilitar ocupando la regla de Cramer....... quien lo describió en 1819................ es un algoritmo para evaluar de forma eficiente polinomios de una forma monomial........................ 16 ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1: Resultado al aplicar el método de la secante .........................ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1: Representación grafica del método de secante .................. e incluso antes por el matemático chino Ch'in Chiu-Shao en el siglo XIII......... 7 Figura 2:Representacion geométrica de las iteraciones al aplicar el método de secante ....... Todos y cada uno de los métodos numéricos tiene fundamental aplicación en las áreas de la ingeniería.......... 11 Tabla 2: Resultado Secante ............................................................................................................... 18 Tabla 3: Resultado Método de Bairstow ........................................ llamado así por William George Horner........................... es la herramienta principal de todo ingeniero........... Aunque el método toma el nombre de William George Horner.................... el método era ya conocido por Isaac Newton en 1669..................... 20 RESUMEN El método de Horner es práctico para encontrar las raíces de la ecuación f(x)=0 cuando f(x) es un polinomio en x............... sin importar que esta nos determine raíces imaginarias........... El método o algoritmo de Horner........... Página 3 ............................................................ El método de Bairstow........ 8 Figura 3: Primera iteración aplicando el método de la secante de la función f(x)=x^2-4 ...................... 10 Figura 4: Grafica Secante ....... al igual que el de Lin permite encontrar factores cuadráticos del polinomio: p(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an´ apoyándonos del método de Newton R y de la formula general para la raíz polinomio................................. intr. entender.1. prnl. Dicho de un jinete: Calzar el pie en el estribo. ya sea en sus cálculos o en su resolución. Dicho de un jinete: Quedar colgado de un estribo al caer del caballo. intr. analizar y llevar a la práctica (mayormente asociada a la ingeniería en comunicaciones y electrónica) los métodos de raíces investigados a continuación. Página 4 . Dicho de una cosa: Descansar en otra sólida y firme. Objetivos Particulares: Comprender y estudiar más a fondo cada uno de los métodos mencionados a continuación para conocer cuál es el método adecuado para resolver un problema especifico ya sea planteado en clase o en dado caso un tema cotidiano con el cual podamos comprobar y de ser posible mejorar tanto el resultado como los procedimientos del problema. Arg. 4. intr.GLOSARIO DE TÉRMINOS Estriba: (De estribo). Derivada: En matemáticas. 3. OBJETIVO GENERAL Y PARTICULARES Objetivo General: Conocer. la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. 2. Fundarse (‖ apoyarse). JUSTIFICACIÓN Estos métodos están justificados de una manera simple y sencilla. de modo que la resolución de problemas sea mayor. sino que. en un día. estos métodos permiten que nos acerquemos de una manera mucho más sencilla al error aproximado deseado (según las cifras significativas utilizadas) en un numero mucho menor de iteraciones y sin necesidad de hacer que una ecuación planteada (según sea el problema a resolver) se vuelva más complicada. basándose en esos métodos se pudieron crear unos métodos con un uso especifico. se busca que los problemas sean resueltos más rápido y con menos cálculos. facilitando y acelerando el proceso para el cual se utilice. ya sea conocer solo algún dato del problema o llevarlo a la práctica como en la creación de algún materia o el envasado y empaquetado de algún producto en especifico. ya que. quizás se logre la resolución de diez problemas o cuestionamientos. son más eficaces y. pero. cuando aplicamos alguno de los métodos investigados. logren una mayor ganancia tanto en dinero como en tiempo y esfuerzo. según la ecuación planteada o el problema en cuestión. Página 5 . No se requiere forzosamente de una derivada o de igualar la función a cero después de hacer mas de 3 despejes dejando una ecuación mucho más grande de la original. entregándonos datos certeros con el uso de formulas plateadas por el mismo método. Esta justificación está hecha de manera que quede claro que los métodos no mencionados no son menos certeros o que sean menos “populares”. basándonos en método de Newton logramos darle resolución a cinco problemas. Como un ejemplo digamos que. por eficaces me refiero a lo siguiente. por mucho. hacen de un modo u otro más rápido y por ende más ligero el trabajo que se realiza para llegar al resultado requerido. en lugar de la resolución de solo cinco problemas. los cuales hacen que en un negocio o en el oficio que se requieran utilizar. comparados con los métodos de bisección o quizás Newton – Raphson. El objetivo de este trabajo se basa en el estudio de diversas estrategias para el cálculo de las raíces enteras y racionales de dicha ecuación. En general. xm. Llamamos raíz o solución de una ecuación no lineal f(x)=0 a un valor α tal que f(α)=0. Aproximación numérica: Su objetivo en general. Página 6 . obtendremos xm+1=G(xk. Esta construcción se hará. los cuales están representados por medio de letras. diferenciales.) que solamente se verifica para unos determinados valores denominados incógnitas o variables.xk-m). etc. normalmente. consiste en construir una sucesión de valores que converja hacia la raíz buscada. …. trascendente.x0) y. … . Si existe se dice también que α es un cero de f. integrales. e incluso implícita. las raíces de una ecuación no lineal pueden ser calculadas de forma exacta. La función puede ser polinomio. A continuación se presentan algunos métodos de aproximación de raíces. Se denomina ecuación no lineal a una ecuación del tipo f(x)=0 en la cual f es una función real o de variable real.INTRODUCCIÓN Entendemos como ecuación una igualdad entre expresiones matemáticas (algebraicas. …. de manera iterativa partiendo de valores iniciales que supondremos suficientemente próximos a la raíz buscada: a partir de x0. de una manera más general los iterados xk+1=G(xk. se obtiene la expresión del método de la secante que proporciona el siguiente punto de iteración: Página 7 . De todas maneras en algunos casos es más útil emplear el método de la secante. Este método. Sin embargo. a diferencia del de bisección y regla falsa. y después el mismo método se va retroalimentando. lo cual puede llegar a resultar engorroso. Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton.MARCO TEÓRICO SECANTE El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto. la forma funcional de f(x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. y va chequeando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca. la pendiente de la recta) ( ) ( ) ( ) Esta variante se conoce con el nombre de método de la secante. Se procede independientemente de los signos de la función. casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio. Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente. Figura 1: Representación grafica del método de secante Una forma de evitar el cálculo de f’(x) consiste en considerar como aproximación a la derivada la recta que pasa por los valores de 2 iteraciones sucesivas (estima la tangente) es decir. El método de la secante es casi idéntico al de regla falsa salvo por un detalle: no se tiene en cuenta el signo de la función para estimar el siguiente punto. Una vez que se tienen todos esos datos se obtiene el punto B con la fórmula B=((Af(C))(C(f(A)))/(f(C)-f(A)). este método va trazando rectas secantes a la curva original.xn | sea menor que la precisión requerida. Se hace fn(x)=fn-2(x) 6. tal que el residuo de fn(x)/f2(x) sea igual a cero 3. A diferencia del resto de los métodos. para poder arrancar el método se necesitan dos valores iniciales. igual que con otros métodos es dar 2 puntos cualesquiera que sean sobre el eje de las x que se llaman A y C. Recalcula fn-2(x)=fn(x)/f2(x) 5. Figura 2:Representacion geométrica de Forma de hacerlo: las iteraciones al aplicar el método de definir secante algunos conceptos Como su nombre lo dice. un polinomio cuadrático ( ) ( ) El procedimiento general para el método de Bairstow es: 1. sino que se utiliza la simplificación de conceptos y como se simplifica la fórmula para seguir con el método.( ) ( ) ( ) La sucesión queda expresada en términos generales como: [ ( ) ( ) ] ( ) Primero hay que como: Xn Es el valor actual de X xn-1 Es el valor anterior de X xn+1 Es el valor siguiente de X A partir de ciertos valores x0 y x1 dados. Lo primero que se hace. una de xn y otra de f(xn) BAIRSTOW Dado un polinomio ( ) se encuentra dos factores. y como después del primer paso no depende de otras cantidades sino que solito va usando las que ya se obtuvieron. utilizando la formula general 4. El algoritmo deberá parar cuando |xn+1 . Aquí solo se usan 2 columnas. Dado ( ) y r0 y s0 2. Si no se termina Página 8 . Utilizando el método de newton raspón se calcula f2(x)=x2-r0x-s0 y fn-2(x). Si el grado del polinomio es mayor que tres se regresa al paso 2 7. Después se sustituyen esos puntos en la ecuación original para obtener f(A) y f(C). Obviamente. casi nunca falla porque se va acomodando y hará que encuentra la raíz. aquí no hay que acomodar en columnas cada uno de los datos. Se determina las raíces f2(x). entonces: O ( ) Se ha escrito b1(t) en lugar de b1 para hacer énfasis en que el valor de b1 (y de las demás b ) depende del valor t donde se evalúa f(x) y así ver el lado derecho de la ecuación 2. La estabilidad del método puede mejorarse en una raíz xk. respecto a otros. empezando con un valor inicial t0 cercano a la raíz t. Esta reducción contrasta con un orden bajo de convergencia y la inestabilidad propia del método de punto fijo. Este método no requiere el cálculo de las c como el de Birge-Vieta. Lin publico un procedimiento que se fundamenta en el resultado Y en que si t es una raíz de pnx=0. de modo que: ( ) Restando en ambos lados t0: ( ) O ( ) ( ) ( ) ( ) Y se obtiene el algoritmo de Lin.La principal diferencia entre este método. por lo que el trabajo por iteración se reduce a la mitad. es que permite calcular todas las raíces de un polinomio (reales e imaginarias) LYN Y HORNER En 1941. S. Para esto se incorpora el parámetro λ a la ecuación anterior de Lin y queda Donde : ( ) ( ) Página 9 .38 como una función de t . Lo que puede escribirse como: ( ) Y se le puede aplicar el método de punto fijo.N. si se conoce una buena aproximación a xk. con . en general es: DESARROLLO DE LOS MÉTODOS SECANTE Usar el método de la secante para calcular ( ) Comenzando con: Hasta que |Er|<=1% Aplicamos la primera iteración con la formula ( ) ( ) ( ) Se tendrá el valor x2= 2. y la formula modificada de Lin.0541 .2857. Si se calcula el error relativo con los valores x2 como valor real y x1 como valor aproximado se tendrá | | Ahora si se calcula en una segunda iteración ( ) ( ) ( ) Se tendría un valor para x3= 2. con un error relativo | | Figura 3: Primera iteración aplicando el método de la secante de la función f(x)=x^2-4 Ahora si se continúa realizando los cálculos iterativamente. se tendrán valores como los mostrados en la siguiente tabla. Página 10 . 2316 0.75 c2=-4.375 b1=-10.3558=-0.25 b2=0.52 0.875Δr+1.5 c3=10.873 c1=-16.1381.5x4+2.875x+1.18 Se termina el proceso iterativo con la encontrada de la raíz para x5=2.Tabla 1: Resultado al aplicar el método de la secante i 0 1 2 3 4 3 2.0000 0.0036 2.25 Use los valores iniciales de r=s=-1 e iterando a un nivel de es=1% Se utilizan las ecuaciones adecuadas para calcular: b5=1 b4=-.75x3-3.5 -16.375 Luego c5=1 c4=-5. Por lo tanto los valores iniciales pueden corregirse como: R=-1+0.875Δs=-11.0036 % 31.375 Las cuales pueden resolverse para Δr=0.375 Así.0000 BAIRSTOW Empiece el método de Bairstow para determinar las raíces del polinomio F5(x)=x5-3.1381 Y el error aproximado puede ser calculado así: | | | | Página 11 .2057 2.5 b0=11.75Δs=10.6442 S=-1+1.0541 3 2.2057 2.45 b3=6.3558 y Δs=1. las ecuaciones simultáneas para resolver Δr y Δs son -4.375Δr-4.7143 0.0036 2.28 2.0541 2.1381=0.2857 2.0505 0.0541 2.25 11. 6442+0.| | | | El siguiente cálculo es repetir usando los valores para r y s b5=1 b4=-4.7806 c1=4.7806 c2=-8.1331=0.1304 Y luego c5=1 c4=-4.063%) y s=0. el cual puede usarse para calcular Página 12 .5.5(|Ea. con el resultado después de cuatro iteraciones.3454Δs=-2.7874 Por lo tanto se debe resolver -8.1304 || | | | | El cálculo puede continuar.1381+0.7874Δr-8.5111 S=0.s|=0.5578 b2=-2. l cociente es la ecuación cúbica El método de Bairstow puede aplicarse a este polinomio usando resultados del paso anterior.7884 c3=8.5 y s=0.7806Δs=1. Cinco iteraciones dan un estimado de r=2 y s=-1.1331 y Δs=0. La formula general puede emplearse para evaluar las raíces como En este punto. el método converge a los valores r= -0.0276 b1=-18013 b0=2. como valores iniciales.3316=-2.1304 Para Δr=0.5 (|Ea.040%). r=-0. los cuales pueden usarse para estimar la raíz correcta como R=-0.3454Δ+8.8013 4.3316.s |=0.249.1442 b3=5. tales que se cumplan las ecuaciones 2. LYN Y HORNER MÉTODO DE LIN (FACTORES CUADRÁTICOS) Sea el polinomio fx=xn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0 (2.43.44) Donde Rx + S es el residuo lineal de la división.42 entre la expresión cuadrática x2+px+q (2.42) Si an no es uno. Al dividir la ecuación 2. que la divida exactamente) es necesario que el residuo lineal sea cero o simbólicamente que R (p.44 bk=ak+2-pbk+1-qbk+2 para k=n-3.q)=0 De donde nuestro objetivo será encontrar p y q. se igualan los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la ecuación 2. Para la ecuación 2. Conviene tener un método que permita calcular R y S sin verificar la división de la 2. Para obtenerlo.42(es decir.0 Con Página 13 . y R y S dependen de p y q.43 sea un factor cuadrático de la 2.√( ) ( ) En este punto el polinomio que puede ser directamente evaluado para determinar la quinte raíz 2.42.q)=0 y S(p.43) fx=xn+an-1xn1+…+a2x2+a1x+a0 = (x2+px+q) ( xn-2+bn-3xn-3+…+b1x+b0) + Rx + S (2.45.42 por la 2. fxpuede dividirse entre an para obtener la ecuación 2.….n-4. b1. el problema esta terminado.n-4. p1=a1.3.…. se estiman nuevos valores de p y q (pueden llamarse p1 y q2).q0b1b0 Y q1=a0b0 Para volver al paso 2.n+1 Lo anterior puede realizarse mediante una tabla de la siguiente manera Página 14 . En caso contrario.… . Si la relación entre Px y Qx esta dada por Px=x-x0Qx+bn+1 Se tiene que b1=a1 y bn+1=Px0 y bk=ak+bk-1x0 Para k=2.….0 Con bn-1=0 y bn2=1 para obtener aproximaciones de bn-3. si son cero o suficientemente cercanas a este.bn-1=0 y bn-2=1 El método de Lin consiste en: Paso 1: Proponer aproximaciones iniciales de los valores desconocidos p y q (puede llamarse p0 y q0) Paso2: Emplear las ecuaciones bk=ak+2-pbk+1-qbk+2 para k=n-3.bn-4. Paso 3: Calcular R y S. MÉTODO DE HORNER (DIVISIÓN SINTÉTICA) Supóngase dos polinomios Px y Qx de la forma Px=a1xn+a2xn-1+…+anx+an+1=i=1n+1aixn-i+1 Qx=b1xn-1+b2xn-2+…+bn-1x+bn=i=1nbixn-i Donde a1≠0.b0. Px=a1xn+a2xn-1+…+anx+an+1=i=1n+1aixn-i+1 Puede ser representado por el vector de sus coeficientes. a=a1 a2 … an an+1' De la misma manera Qx puede ser representado por el vector b=b1 b2 … bn' Dado que Px=x-x0Qx+bn+1 P'(x)=Qx+x-x0Q'x Por lo tanto P'(x0)=Qx0 Es decir.x0 a1 a2 a3 b1x0 b2x0 … an an+1… bn-1x0 bnx0 b1= b2= b3=a1 a2+b1x0 a3+b2x0 … bnbn+1… an+bn-1x0an+1+bnx0 El polinomio Px. Página 15 . que P'x0 puede evaluarse obteniendo el residuo de la división de Qx por x-x0 y evaluando Qx0. 612700.61270 ε≤1-0. Figura 4: Grafica Secante Los intervalos seleccionados con respecto a la grafica de la función son: x1=1. x0=0.PROBLEMAS RESUELTOS MEDIANTE UN CONTEXTO REAL Método de la secante Sea la función fx=e-x-x.Primera iteración: x2=1-f(1)1-0f1-f(0) x2=0. calcule la aproximación a la raíz de la función por el método de Secante.21% Página 16 .56214329 utilizando 5 cifras significativas. el error relativo seria ε≤1%.61270*100%=63. 1. con un valor real de 0. 56384 y x2=0.56717*100%=0.61270 y x1=1.56717-0.56384) x5=0.61270-f(0.56714 ε≤0.56717)0.Cuarta Iteración: Con los valores obtenidos se calcula la próxima x5 : x5=0.0053% Página 17 .Tercera iteración: Una vez obtenido un nuevo valor x3=0.61270)0.61270) x4=0.56384-0.66% 3.56717-f(0.56717 ε≤0.563840.567170.56384-0.56717f(0.61270 se obtiene el siguiente de la tercera iteración: x4=0.2. utilizando la formula correspondiente nuevamente: x3=0.56384)0.56384-f(0.61270-f(1) x3=0.Segunda iteración: Con el nuevo valor x2=0.61270f0.56717-0.56384 ≤0.56714*100%=0.56384*100%=8.61270-0.61270-1f0.56384-f(0.567140.58% 4.56384f0. 75.56384 0.25.7636812508572213 s1 = 2.56717 xk+1 1 0.4.66% 0.3.0 da como resultado f3(x) = x3 .58% 0.7636812508572213 =1.0053% Método de Bairstow Ejercicio1.125 Residuo = {30.16.12 5 43. Considere r0 = -1 y s0 = 2. Solución.3. La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -x + 2. Dado el polinomio f5(x) = x5 .21% 8.0 + 5.56717 0.56714 εr 62.75 ds 61.61270 0. -61.61270 0.0 + 2.25x . Iteración 1.125x2 .75 108.La siguiente tabla muestra los valores obtenidos después de las 4 iteraciones: Tabla 2: Resultado Secante k 0 1 2 3 4 xk 0 1 0.403374022767796 =7.5x2 + 9.87 5 De donde dr -30. determinar los valores de r y s que hacen el resido igual a cero.403374022767796 Página 18 .75x3 + 2.875x + 1.5x4 + 2.75} Aplicando el método de Newton tenemos -43.875 16.56384 0.75 r1 = -1. 75640698828836.776754563401905 Residuo = {51.7636812508572213 .4835870659929915 = 2.1.1. 28.7835989402771988x2 + 3.148405 27.4506807689726524 Página 19 dr ds -51.934267834965644 Iteración 3.7.403374022767796 .3.65471 -28.8349 7 65.934267834965644 .Iteración 2.091061199392814x 1. La división sintética con el polinomio f2(x)= x2 1.654716254544885.403374022767796 da como resultado f3(x) = x3 . 105.7164010597228012 .628006 14.469106187802152 = 3.6792 12 De donde r3 = 1. La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -1.75640 -105.68578 7.04728019113442016 = 1.3261878347051992 Residuo = {12.3.44182 13.934267834965644 da como resultado f3(x) = x3 .599731546665486 s3 = 3.0.7363187491427787x2 + 7.11666951305731528 = 1.68578319650365} Aplicando el método de Newton tenemos 27.5426 93 208.1881465309956} Aplicando el método de Newton tenemos 13.7164010597228012x .7636812508572213x .0.8349 7 Dr Ds -12.1.18814 .622896723753395x + 1.7164010597228012 s2 = 7.6280 0 De donde r2 = 1. 248 λ = -(-1)/2.2.53x2 + 2.53x 2 + 2.18666 2.65471 2.00000 Residuo 30.75 51.18814 8.x .0. f2.02705 7 1.93426 2.8=19.89958 0.2 Las raíces de f2(x) = x2 .450680 2.8/19.33354 5 1.0185555 1ª iteración R(2.760122 0.0. Use como valor inicial t0 = 2.00634 2.625 y f2(x) = x2 .25x .607688 0.15467 2.68578 28.25x . LIN Y HORNER MetododeLin Con la formula modificada de Lin.x .04313 0.2096.248 = 0.599731 4 1.11826 6 1.2.71640 3 1.8 Sol.02317 2.13930E-5 -61.271940 0.00277 1. podemos calcular el total de las raíces del polinomio original.00165 8 1. aproxime una raíz real de la ecuación fx= x4-3x3+2x-1=0.00153 2.625.522228 0. Página 20 . son x1 = 2 x2= -1 Si repetimos el ejemplo pero ahora considerando el polinomio f3(x) = x3 2.11302 2.403374 3.11185 0.76368 2 1.756406 12.En resumen Tabla 3: Resultado Método de Bairstow k r 0 -1 1 1.67534E-5 f3(x) = x3 .00000 La solución es: S 2 7. b1(2.8) = 0.75 105.432.8) = 0. f0=-1. 03808)/(0.7891 Al continuar las iteraciones se encuentra la raíz 2.2096)/0.37194) = 2. t2=t1-λR(t1)/b1(t1)=2.018555(0.8 – 0.791 2ª iteración R(2.37194.432 = 2.03808.018555(0.t1=t0-λR(t0)/b1(t0)=2. b1(2.791 – 0.791) = 0.791) = 0.78897 MétododeHorner Si Px=2x4-3x2+3x-4 y x0=-2 -220-3 -48 3-4-1014 2-4 5 -7 10 De donde Px=x+22x3-4x2+5x-7+10 y P-2=10 Página 21 . llegamos a la conclusión de que los métodos investigados anteriormente son de suma importancia para la realización de tablas iterativas (mejor conocidas como búsqueda de raíces) ya que basándonos en las formulas y claro. modificar o aplicar una ecuación y un método especifico para su resolución de manera eficaz y de ser posible mucho más sencilla que de algún otro modo. Página 22 . pero no sin antes haber comprendido completamente lo que dice el problema y ciertamente cual es la problemática. para asi.CONCLUSIONES Como equipo. después de algunas discusiones y explicaciones de parte de cada uno de los integrantes. dependiendo del problema que deseemos resolver (y por problema nos referimos al tipo de ecuación que debemos utilizar) podemos usar cualquiera de estos métodos. edu.php/1/documentos/metodos_numericos/Bairstow. 2. 4.es/~maleman/an/PDF/Apuntes%20AN%202005-06.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r68950.PDF http://www. 3.uscovirtual.pdf http://lema.pdf Página 23 .BIBLIOGRAFÍA 1.es/drae/?val=estriba http://serdis. http://www.ulpgc.dis.rae.itescam.com/file.
Report "1er Trabajo de Investigacion Documental Jose Antonio Bernal.docx"