DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADVariable Aleatoria: Es el número real asignado a las salidas (cuantitativas o cualitativas) de un experimento y forman una colección de variables indexadas { X i } Se utilizan estas variables para calcular parámetros como la: salida esperada, media, varianza y desviación estándar. Tipos de variables aleatorias: Discretas (valores enteros) Continuas (valores enteros y fraccionarios) Ejemplos de variables aleatorias: Rango Tipo Inspeccionar 600 focos X i = focos buenos 0 a 600 Discreta Probar la duración de los X i = horas de encendido que dura el foco t > X i ≥ 0 Continua focos fabricados Checar avance de la X i = % de departamentos terminados 1 ≥ X i ≥ 0 Continua construcción de 200 departamentos Registrar el estado de 0 y 1 Discreta la máquina en producción Encuestar la opinión de 1 a 3 Discreta los estudiantes Distribución de Probabilidades: Dependiendo del tipo de variable aleatoria que se utilice, las distribuciones pueden ser: Discretas y Continuas Reglas para las Distribuciones de Probabilidad: 1. Las variables aleatorias X deben ser "mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas" 2. La probabilidad individual de cada variable está entre 0 y 1 3. La sumatoria de las probabilidades individuales es 1 Experimento Variable Aleatoria ¹ ´ ¦ = = = trabajando ta descompues X i 1 0 ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = = acuerdo neutral desacuerdo X i 3 2 1 1 ) ( 1 = ¿ = n i i X P 0 ) ( 1 > > i X P Objetivo: Conocer las características del comportamiento de las variables aleatorias (perfíl de la distribución de probabilidades). Para visualizar esta distribución es necesario conocer la Media y la Varianza (o la Desviación Estándar) Muestra Población Media: Varianza: Var(X) Desviación Estándar: Conociendo la varianza se puede calcular la "Desviación Estándar" Distribuciones de Probabilidades "Discretas": Para conocer la media y varianza de una distribución discreta, se utilizan: Valor Esperado (Media): Varianza: Desviación Estándar: Ejemplos 1. Un profesor pregunta a 100 estudiantes a través de un cuestionario, sobre su libro de estadísticas si "realmente ayudó al alumno a pasar el curso" Procesando las encuestas, se obtuvo la siguiente información: Salida Variable Respuestas Aleatoria Muy de acuerdo (MA) 5 10 De acuerdo (A) 4 20 Neutral (N) 3 30 Desacuerdo (D) 2 30 Muy en desacuerdo (MD) 1 10 ¿Cuál es la opinión de los estudiantes? 2 S S = X µ 2 o S o ) ( ) ( 1 i n i i X P X X E ¿ = = | | ¿ = ÷ = n i i i X P X E X X Var 1 2 ) ( ) ( ) ( | | ¿ = ÷ = n i i i X P X E X 1 2 ) ( ) ( o 2 S Solución: X i f i p i [X i - E(X)] 2 p i MA 5 10 0.10 0.441 A 4 20 0.20 0.242 N 3 30 0.30 0.003 D 2 30 0.30 0.243 MD 1 10 0.10 0.361 100 1.00 1.29 E(X) = 5(0.10) + 4(0.20) + 3(0.30) + 2(0.30) +1(0.10) E(X) = 2.9 La opinión de los estudiantes es que el libro del profesor "no sirvió" para pasar el curso. S 2 = 1.29 S = 1.14 2. Se quiere hacer la comparación de las ganancias potenciales entre dos productos nuevos que se van a diseñar. El departamento de comercialización considera que la ganancia del diseño "A" se puede predecir con mucha precisión en $3 millones pero la ganancia del diseño "B" tiene más incertidumbre para determinarse. Comercialización concluye que hay una probabilidad de 0.3 de que la ganancia del diseño "B" sea de $7 millones y 0.7 de que ganacia sea de sólo $2 millones. ¿Cuál de los dos diseños se debe elegir? Solución: Variable aleatoria: X = Ganancia del diseño "A" Diseño "A": Como no se tiene incertidumbre en la ganancia del diseño "A", la distribución de l a variable X se puede establecer como: E(X) = 3(1) = $3 millones V(X) = (3 - 3) 2 (1) = 0 Diseño "B": Y = Ganancia del diseño "B" E(Y) = 7(0.3) + 2(0.7) = $3.5 millones V(Y) = (7 - 3.5) 2 (0.3) + (2 - 3.5) 2 (0.7) = 5.25 millones de $ 2 ¿ = = n i i i X p X E 1 ) ( p i X i 0.1 0.2 0.3 5 4 3 2 1 Para facilitar la interpretación se obtiene la "desviación estándar" que tiene las mismas unidades que la variable aleatoria: σ = $2.29 millones Conclusión: para una persona que no quiere riesgo, va a decidirse por el diseño "A". Si se acepta el riesgo, se decide por el diseño "B". 3. El número de mensajes por hora enviados en una red de computadoras tiene la siguiente distribución de probabilidades (función de masa): Números de Distribución mensajes Probabilidad (X) f(X) 10 0.08 11 0.15 12 0.30 13 0.20 14 0.20 15 0.07 Calcule la media y la desviación estándar para el problema. Solución: (X) f(X) E(X) V(X) 10 0.08 0.80 0.50 11 0.15 1.65 0.34 12 0.30 3.60 0.08 13 0.20 2.60 0.05 14 0.20 2.80 0.45 15 0.07 1.05 0.44 12.50 1.85 E(X) = 12.5 mensajes/hora 12.5 S = 1.36 mensajes/hora 1.36 Tipos de "Distribuciones de Probabilidades Discretas": Uniforme Binomial Poisson Distribuciones de Probabilidades "Continuas": Las variables continuas tienen valores enteros o fraccionarios como por ejemplo: tiempo, peso, longitud, temperatura, etc. Las distribuciones de probabilidad continuas se caracterizan por: "Hay una f(X) que describe la distribución de probabilidades llamada función de densidad (función de masa o de probabilidades) que sirve para calcular cualquier probabilidad con el área bajo la curva" Tipos de "Distribuciones de Probabilidadades Continuas": Normal Exponencial DISTRIBUCIÓN UNIFORME "Una variable aleatoria X i es uniforme si cada uno de los n valores consecutivos de su rango tiene la misma probabilidad de ocurrir" Función de Probabilidad: Valor Esperado (Media): Desviación Estándar: Ejemplos 1. El primer dígito del número de serie de una pieza fabricada puede ser cualquiera de 0 a 9. Si se selecciona una pieza al azar de un lote grande y X es el primer dígito del número de serie, ¿cuál es la función de masa de probabilidad o la distribución de probabilidad? Solución Función de Probabilidad: f(x) = 0.1 para cada valor de su rango 2. Se tiene un conmutador con 48 líneas. Si se considera X como el número de líneas en uso en un tiempo dado, ¿cuál es el valor esperado y la desviación estándar? Solución líneas/unidad de "tiempo" líneas/unidad de "tiempo" Si todos los valores del rango de X se multiplican por una "constante" (sin cambiar ninguna de las probabilidades), entonces la media y la desviación estándar de X se multiplican por la constante. Para el caso del conmutador, si se define una nueva variable aleatoria como: Y = Proporción de las líneas en uso en un tiempo dado (48 horas) entonces: Y = X/48 E(y) = E(x)/48 = 24/48 = 0.5 σ = 14.14/48 = 0.295 2 ) ( a b x E + = = µ 12 1 ) 1 ( 2 ÷ + ÷ = a b o 24 2 0 48 ) ( = + = x E 14 . 14 12 1 ) 1 0 48 ( 2 = ÷ + ÷ = o a b P(x) f(x) x n x P x f 1 ) ( ) ( = = DISTRIBUCIÓN BINOMIAL "Cualquier experimento aleatorio de "n" ensayos repetidos que se ajuste a un tipo Bernoulli que tiene las siguientes características: Cada ensayo produce únicamente dos posibles resultados (éxito ó fracaso) Los resultados de los ensayos son independientes La probabilidad de éxito "p" en cada ensayo es constante ya que se considera que el proceso es estacionario o estable. Cada experimento es una serie de ensayos aleatorios repetidos donde la variable aleatoria X i es un conteo del número de ensayos que satisfacen el criterio especificado (probabilidad de éxito "p") Los términos de éxito (p) y fracaso (q) son meras "etiquetas" que no necesariamente están relacionados con los efectos positivos y negativos. Algunos ejemplos de experimentos aleatorios que se ajustan a una Distribución Binomial: Máquina herramienta desgastada que influye en la calidad de las piezas fabricadas. Lanzar una moneda una cierta cantidad de veces para ver sus resultados. Muestras de aire para analizar si contienen una molécula rara contaminante. La calidad de los bits trasmitidos en una canal de transmisión digital. Un examen de opción múltiple con 10 preguntas, cada una con cuatro opciones que contesta un alumno adivinando. Nacimientos de niños y niñas en un hospital. Pacientes con una cierta enfermedad donde se experimenta la mejoría del paciente por tomar un medicamento específico. La variable aleatoria X i (número de ensayos que cumplen con la probabilidad de éxito) tiene una Distribución Binomial con parámetros n y p : Función de Probabilidad: (Función de Masa) donde : X = Número de "éxitos" n = número de observaciones o ensayos p = probabilidad de "éxito" q = probabilidad de "fracaso" donde: p + q = 1 Algunas nomenclaturas para expresar el cálculo de la probabilidad (función de probabilidad) son: P(X /n,p) = P(X = x i ) = P(X) Valor Esperado (Media): Varianza: Desviación estándar: X n X X n q p C X P x f ÷ = = ) ( ) ( )! ( ! ! X n X n C X n ÷ = np X E = ) ( npq X V = ) ( npq = o Ejemplos 1. La probabilidad de que un prospecto de ventas, seleccionado al azar, haga una compra es de 0.20. Si un vendedor visita a 6 prospectos calcule: a. ¿La probabilidad de hacer 4 ventas? b. ¿La probabilidad de hacer 4 o más ventas? c. ¿La probabilidad de hacer menos de 4 ventas? d. Valor Esperado, la Varianza y la Desviación Estándar? Solución a. ¿La probabilidad de hacer 4 ventas? 0.01536 b. ¿La probabilidad de hacer 4 o más ventas? P(X ≥ 4) = P(4) + P(5) + P(6) P(4) = 0.0154 0.01536 P(5) = 0.0015 0.001536 P(6) = 0.0001 0.0001 0.0170 P(X ≥ 4) = 0.0170 Otra forma de solución: P(X ≥ 4) = 1- P(X ≤ 3) P(0) = 0.2621 P(1) = 0.3932 P(2) = 0.2458 P(3) = 0.0819 0.9830 P(X ≥ 4) = 1- 0.9830 = 0.0170 c. ¿La probabilidad de hacer menos de 4 ventas? P(X < 4) = P(X ≤ 3) = P(0) + P(1) +P(2) + P(3) P(X ≤ 3) = 0.9830 solucionado en inciso anterior d. Valor Esperado, la Varianza y la Desviación Estándar? E(X) = 6(0.20) = 1.2 prospectos que compran Var(X) = 6(0.20)(0.80) = 0.96 S = 0.98 prospectos que compran 2. Se lanzan 5 monedas al mismo tiempo a. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 4 sellos? b. ¿Menos de 3 sellos? c. ¿Más de 3 aguilas? d. Calcule la media, varianza y desviación estándar (respecto a sellos) 01536 . 0 ) 80 . 0 ( ) 20 . 0 ( ) 4 ( 2 4 4 6 = = C P Solución a. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 4 sellos? 0.1563 b. ¿Menos de 3 sellos? P(X < 3) = P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2) P(0) = 0.0313 P(1) = 0.1563 P(2) = 0.3125 0.5000 P(X ≤ 2) = 0.5 c. ¿Más de 3 aguilas? P(X > 3) = P(X ≥ 4) = P(4) + P(5) P(4) = 0.1563 P(5) = 0.0313 0.1875 P(X > 3) = 0.1875 d. Calcule la media, varianza y desviación estándar (respecto a sellos) E(X) = 5(0.5) = 2.5 sellos Var(X) = 5(0.5)(0.5) = 1.25 S = 1.1 sellos 3. Una empresa electrónica está experimentando un nuevo prototipo que requiere un alto nivel de calidad. Cada hora el supervisor de la línea de producción toma una muestra de 5 transistores. La probabilidad de que cualquier transistor sea defectuoso es de 0.15 a. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 3 o más defectuosos? b. Calcular la media y la desviación estándar. Solución a. ¿cuál es la probabilidad de encontrar 3 o más defectuosos? P(X ≥ 3) = P(3) + P(4) + P(5) P(3) = 0.02438 P(4) = 0.00215 P(5) = 0.00008 P(X ≥ 3) = 0.0266 b. Calcular la media y la desviación estándar. E(X) = 0.75 transistores V(X) = 0.6375 S = 0.7984 transistores 4. Un fabricante utiliza un proceso de producción que da el 20% de artículos defectuosos. Si se produce 5 unidades: 1563 . 0 ) 5 . 0 ( ) 5 . 0 ( ) 4 ( 4 4 5 = = C P a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas sea defectuosa?, ¿de que tres lo sean?, ¿de las cinco salgan defectuosas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho una unidad sea defectuosa? c. ¿De que dos o tres lo sean? d. ¿De que al menos tres sean defectuosas? Solución a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas sea defectuosa?, ¿de que tres lo sean?, ¿de las cinco salgan defectuosas? 0.3277 0.0512 0.0003 b. ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho una unidad sea defectuosa? P(X ≤ 1) = P(0) + P(1) P(0) = 0.3277 P(1) = 0.4096 0.7373 P(X ≤ 1) = 0.7373 c. ¿De que dos o tres lo sean? P(2 ó 3) = P(2) + P(3) P(2) = 0.2048 P(3) = 0.0512 0.2560 P(2 ó 3) = 0.2560 d. ¿De que al menos tres sean defectuosas? P(X ≥ 3) = P(3) + P(4) + P(5) P(3) = 0.0512 P(4) = 0.0064 P(5) = 0.0003 0.0579 P(X ≥ 3) = 0.0579 3277 . 0 ) 80 . 0 ( ) 20 . 0 ( ) 0 ( 5 0 0 5 = = C P 0512 . 0 ) 80 . 0 ( ) 20 . 0 ( ) 3 ( 2 3 3 5 = = C P 0003 . 0 ) 80 . 0 ( ) 20 . 0 ( 5 ) 5 ( 0 5 5 5 = = C P DISTRIBUCIÓN DE "POISSON" "Se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra un número de eventos en un cierto intervalo que puede ser de tiempo, longitud, superficie, volumen, etc." El proceso "Poisson" es similar a un proceso "Binomial", es decir, considera que: Los resulatados son independientes El proceso es estacionario haciendo que λ sea constante. Distribución de Probabilidad: (Función de masa) λ = Número promedio de eventos por unidad del intervalo e = 2.7183… X = Eventos de éxito Valor Esperado: Varianza: Desviación Estándar: Ejemplos 1. Un departamento que repara máquinas recibe en promedio 5 solicitudes de servicio por hora a. ¿Qué probabilidad se tiene de recibir exactamente 3 solicitudes en una hora seleccionada al azar? b. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de 3 servicios en una hora elegida en forma aleatoria? Solución a. ¿Qué probabilidad se tiene de recibir exactamente 3 solicitudes en una hora seleccionada al azar? solicitudes/hora solicitudes/hora 0.1404 b. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de 3 servicios en una hora elegida en forma aleatoria? P(X < 3) = P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2) P(0) = 0.00674 0.0067 P(1) = 0.03369 0.0337 P(2) = 0.08422 0.0842 0.1247 0.1247 P(X < 3) = 0.1247 ! ) ( ) ( X e X P X f X ì ì ÷ = = ì = ) (X E ì = ) (X Var ì o = 1404 . 0 ! 3 5 ) 3 ( 5 3 = = ÷ e P 5 = ì 3 = X 2. El número promedio de personas que realizan transacciones en el mostrador de "servicios especiales" es 5 por hora. Considere que las llegadas de esas personas son independientes e igualmente probables en el período, ¿cuál es la probabilidad de que más de 10 personas deseen realizar transacciones en el mostrador de servicios especiales en la siguiente hora? Solución P(X > 10) = P(11) + P(12) + P(13) + P(14) + P(15) + … 0.00824 P(12) = 0.00343 0.00343 P(13) = 0.00132 0.00132 P(14) = 0.00047 0.00047 P(15) = 0.00016 0.00016 0.01363 0.01363 P(X > 10) = 0.01363 3. En un cierto muelle, en promedio, llega un barco cada dos días, ¿cuál es la probabilidad de que lleguen 2 o más barcos en un día que se seleccione al azar? Solución un barco cada dos días barcos/día P(X ≥ 2) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + … 0.07582 P(3) = 0.01264 0.01264 P(4) = 0.00158 0.00158 P(5) = 0.00016 0.00016 0.0902 0.09019 P(X ≥ 2) = 0.09019 Otra forma: P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 1 - {P(0) + P(1)} P(0) = 0.6065 P(1) = 0.3033 0.9098 P(X ≥ 2) = 0.09019 0.0902 00824 . 0 ! 11 5 ) 11 ( 5 11 = = ÷ e P 5 . 0 = ì 07582 . 0 ! 2 5 . 0 ) 2 ( 5 . 0 2 = = ÷ e P DISTRIBUCIÓN "NORMAL" Se aplica a muchos fenómenos naturales, económicos y sociales donde la variable aleatoria X i tiene una frecuencia mínima en ambos extremos y va creciendo simétricamente desde ambos extremos hasta llegar a un valor central con la frecuencia máxima Es la más popular y poderosa de las distribuciones continuas. Función de Densidad: Se necesita conocer "μ" y "σ" para definir la función de densidad (función de probabilidad ó función de masa) Datos "No agrupados" Datos "Agrupados" Media: Varianza: Desviación Estándar: Si n ≥ 30, usar "n" Si n < 30, usar "Factor de Correcciòn n -1" La Distribución Normal es "simétrica (respecto a la media) y asintótica" por lo que la probabilidad de un evento será el área bajo la curva (área ≈ 1) Transformación de "Variables Reales" a "Variables Estandarizadas " (normalizadas ó tipificadas): Cuando se conoce que se tiene una "Distribución Normal", entonces se puede aplicar la 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( o µ t o ÷ ÷ = x e x f µ = ) (X E 2 ) ( o = X V f(X) X μ o µ ÷ = X Z Variable Real (X) μ = 0 σ = 1 Z Variable Estandarizada (σ) 3 2 1 0 -1 -2 -3 Distribucción Normal Estandarizada 2 2 2 1 Z e Y ÷ = t donde: n X n i i ¿ = = 1 µ ¿ ¿ = = = n i i n i i i f X f 1 1 µ ( ) 1 1 2 ÷ ÷ = ¿ = n X X S n i i ( ) 1 1 2 ÷ ÷ = ¿ = n X X f S n i i i siguiente "Regla Empírica": μ ± σ = 68% de los datos de la población μ ± 2σ = 95.4% μ ± 3σ = 99.7% Pueden existir una infinidad de curvas normales, cuyas diferentes posiciones y elongaciones dependerán exclusivamente de su media y su desviación estándar. Se pueden tener dos situaciones: 1. Cuando se tienen "μ" diferentes pero con la "σ" iguales. 2. Cuando se tienen "μ" iguales pero con la "σ" diferentes. Ejemplos: 1. Una empresa manufacturera ha recibido un pedido para la fabricación de un nuevo producto. La empresa estimó que este nuevo proyecto tiene una media de 23.3 semanas con una desviación estándar de 1.196 semanas. Si se considera que el tiempo de duración tiene una distribución normal, calcule la probabilidad de terminar el proyecto en: a. 25.6 semanas ó menos b. En 20 o menos semanas c. Entre 21 y 22.5 semanas d. Entre 21 y 25.6 semanas e. Entre 24 y 25.6 semanas f. 25.6 semanas ó más g. En 30 semanas ó menos h. En 30 semanas ó más i. 18 semanas ó menos j. Como máximo 23.3 semanas k. Calcular la duración del proyecto con un "nivel de confianza" del 95% l. Con un NC = 97%, ¿cuál es la duración esperada del proyecto? Solución 40 60 50 50 a. 25.6 semanas ó menos Área = 0.4726 0.9726 =DISTR.NORM.ESTAND(1.92) b. En 20 o menos semanas Área = 0.4971 c. Entre 21 y 22.5 semanas Área 1 = 0.4726 Área 2 = 0.2486 d. Entre 21 y 25.6 semanas Calculados en incisos anteriores: Z 1 = -1.92 Área = 0.4726 Z 2 = 1.92 Área = 0.4726 e. Entre 24 y 25.6 semanas Área = 0.2224 Z 2 = 1.92 Área = 0.4726 f. 25.6 semanas ó más Z = 1.92 Área = 0.4726 g. En 30 semanas ó menos Área 0 0.5 h. En 30 semanas ó más 92 . 1 196 . 1 3 . 23 6 . 25 = ÷ = Z 9726 . 0 4726 . 0 5 . 0 ) 6 . 25 ( = + = s X P 76 . 2 196 . 1 3 . 23 20 ÷ = ÷ = Z 0029 . 0 4971 . 0 5 . 0 ) 20 ( = ÷ = s X P 9452 . 0 4726 . 0 4726 . 0 ) 6 . 25 21 ( = ÷ = s s X P 92 . 1 196 . 1 3 . 23 21 1 ÷ = ÷ = Z 67 . 0 196 . 1 3 . 23 5 . 22 2 ÷ = ÷ = Z 2240 . 0 2486 . 0 4726 . 0 ) 5 . 22 21 ( = ÷ = s s X P 59 . 0 196 . 1 3 . 23 24 1 = ÷ = Z 2502 . 0 2224 . 0 4726 . 0 ) 6 . 25 24 ( = ÷ = s s X P 0274 . 0 4726 . 0 5 . 0 ) 6 . 25 ( = ÷ = > X P 6 . 5 196 . 1 3 . 23 30 = ÷ = Z 1 5 . 0 5 . 0 ) 30 ( = + = s X P Z = 5.6 Área = 0.5 i. 18 semanas ó menos Área = 0.5 j. Como máximo 23.3 semanas Área = 0 k. Calcular la duración del proyecto con un "nivel de confianza" del 95% Como el NC = 0.95, el área a buscar en la tabla es de: 0.95 - 0.5 = 0.45 Buscando el valor de Z más cercano, se tiene que: Área = 0.4495 Z = 1.64 Área = 0.4505 Z = 1.65 Como el área de 0.45 está exactamente a la mitad, se puede considerar Z = 1.645 X = 23.3 + 1.645(1.196) = 25.3 semanas ó menos 25.3 =DISTR.NORM.INV(0.95,23.3,1.196) l. Con un NC = 97%, ¿cuál es la duración esperada del proyecto? NC = 0.97 Área a buscar = 0.97 - 0.5 = 0.47 Z = 1.88 X = 23.3 + 1.88(1.196) = 25.5 semanas ó menos 25.5 2. El "cociente de inteligencia (IQ)" de la población tiene una media de 100 puntos y una desviación estándar de 15 puntos. Se conoce que la variable aleatoria IQ sigue una distribución normal. a. ¿Cuáles son los límites superior e inferior de cada intervalo respecto al IQ? b. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga un IQ menor a 130 puntos? Solución a. ¿Cuáles son los límites superior e inferior de cada intervalo respecto al IQ? El 68% de la población tiene un IQ entre 85 y 115 puntos y solo el 16% de la gente tiene un IQ mayor a 115 puntos ¹ ´ ¦ = = = ± = ± 85 115 15 100 LI LS o µ 3 2 1 0 -1 -2 -3 115 85 68% 16% 16% 0 5 . 0 5 . 0 ) 30 ( = ÷ = > X P 43 . 4 196 . 1 3 . 23 18 ÷ = ÷ = Z 0 5 . 0 5 . 0 ) 18 ( = ÷ = s X P 0 196 . 1 3 . 23 3 . 23 = ÷ = Z 5 . 0 ) 3 . 23 ( = s X P El 95.4% de la gente está con un IQ entre 70 y 130 puntos. El 99.7% de la población está con un IQ entre 55 y 145 puntos. b. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga un IQ menor a 130 puntos? =DISTR.NORM.ESTAND(2) P(X ≤ 130) = P(Z ≤ 2) = 0.977 0.9772 3. Una constructora hace departamentos de 2 y 3 recámaras. La media es de 100 días y la desviación estándar es de 20 días para hacer un departamento de 3 recámaras. a. La empresa ha firmado un contrato con una multa severa de no hacer un departamento de 3 recámas en 125 días, ¿cuál es la probabilidad de hacerlo en ese tiempo o menos? b. Si termina en 75 días o menos, recibe un bono de $50,000, ¿cuál es la probabilidad de recibir el bono? c. ¿Cuál es la probabilidad de hacerlo entre 110 y 125 días? Solución Área = 0.3944 (Tabla Parcial) P(X ≤ 125 días) = 0.5 + 0.3944 = 0.8944 0.8944 b. Si termina en 75 días o menos, recibe un bono de $50,000, ¿cuál es la probabilidad de recibir el bono? Área = 0.3944 (Tabla Parcial) P(X ≤75) = 0.5 - 0.3944 = 0.1056 0.1056 =DISTR.NORM.ESTAND(-1.25) ¹ ´ ¦ = = = ± = ± 70 130 ) 15 ( 2 100 2 LI LS o µ 3 2 1 0 -1 -2 -3 130 70 95.4% 2.3% 2.3% ¹ ´ ¦ = = = ± = ± 55 145 ) 15 ( 3 100 3 LI LS o µ 3 2 1 0 -1 -2 -3 145 55 99.7% 0.15% 0.15% 2 15 100 130 = ÷ = Z 125 días 0.3944 0.5 25 . 1 20 100 125 = ÷ = Z 75 días 25 . 1 20 100 75 ÷ = ÷ = Z c. ¿Cuál es la probabilidad de hacerlo entre 110 y 125 días? A 1 = 0.1915 A 2 = 0.3944 P(125 ≥ X ≥ 110) = 0.3944 - 0.1915 = 0.2029 =DISTR.NORM.ESTAND(0.5) =DISTR.NORM.ESTAND(1.25) 0.6915 0.8944 0.89435 P(125 ≥ X ≥ 110) = 0.8944 - 0.6915 = 0.2029 4. Un fabricante afirma que sus lámparas tienen una vida media de 68 meses con una desviación típica de 5. Considere que la duración de las lámparas sigue una distribución normal. En un lote de 10000 lámparas: a. ¿Qué porcentaje de lámparas superarán los 75 meses? b. ¿Cuántas lámparas se fundirán antes de los 60 meses? Solución a. ¿Qué porcentaje de lámparas superarán los 75 meses? A = 0.4192 P(X > 75) = 0.5 - 0.4192 = 0.0808 Utilizando Excel: 0.9192 P(X > 75) = 1 - 0.9192 = 0.0808 El 8.08% de las lámparas (808 lámparas) probablemente excederán los 75 meses de duración b. ¿Cuántas lámparas se fundirán antes de los 60 meses? P(X ≤ 60) = 0.0548 El 5.48% (548 lámparas) probablemente no llegarán a durar 60 meses 5. El consumo medio de electricidad en una ciudad es de 59 kwh, con una desviación estándar de 6 kwh. Se supone que este consumo se distribuye normalmente. a. ¿Cuántos kwh tendría que consumir bimestralmente para estar en el 5% de la población que más consume? b. Si consume 45 kwh, ¿qué porcentaje de la población consume menos de ésto? 110 125 días 5 . 0 20 100 110 1 = ÷ = Z 25 . 1 20 100 125 2 = ÷ = Z 4 . 1 5 68 75 = ÷ = Z 75 meses 60 meses 6 . 1 5 68 60 ÷ = ÷ = Z Solución a. ¿Cuántos kwh tendría que consumir bimestralmente para estar en el 5% de la población que más consume? Se busca en la tabla el valor de"Z" para un área de 0.4500: Z = 1.645 X = 59 + 1.645(6) = 68.87 kwh 68.86912 Se tendrá que consumir más de 67.87 kwh bimestralmente para estar en el 5% de la población que más consume. b. Si consume 45 kwh, ¿qué porcentaje de la población consume menos de ésto? A = 0.4901 P(X ≤ 45) = 0.5 - 0.4901 = 0.0099 Otra forma con Excel: P(X ≤ 45) = 0.0099 El 0.99% de la población consume menos de 45 kwh 6. Una empresa instala en una ciudad 20,000 lámparas para su iluminación. La duración de las lámparas siguen una distribución normal con media de 302 días y una desviación estándar de 40 días. a. ¿Cuántas lámparas es de esperar que se fundan entre 320 y 365 días? b. ¿Cuántas lámparas durarán más de 400 días? c. Con un nivel de confianza del 97%, calcule la duración de las lámparas? Solución a. ¿Cuántas lámparas es de esperar que se fundan entre 320 y 365 días? A 1 = 0.1736 A 2 = 0.44235 P(365 ≥ X ≥320) = 0.44235 - 0.1736 = 0.26875 Utilizando Excel: 0.9424 0.6736 P(365 ≥ X ≥320) = 0.26873 b. ¿Cuántas lámparas durarán más de 400 días? P(X > 400) = 0.5 - 0.4929 = 0.0071 Excel: P(X > 400) = 1 - 0.9929 = 0.0071 0.9929 kwh 0.95 0.05 6 59 645 . 1 ÷ = X 33 . 2 6 59 45 ÷ = ÷ = Z 45 kwh 45 . 0 40 302 320 1 = ÷ = Z 575 . 1 40 302 365 2 = ÷ = Z 320 365 días 400 días 45 . 2 40 302 400 = ÷ = Z P(X > 400) = 0.0071 c. Con un nivel de confianza del 97%, calcule la duración de las lámparas? Con NC = 0.97 se busca Área = 0.47 que da una Z = 1.88 X = 302 + 1.88(40) = 377.2 días ó menos Con Excel: X = 377.2 días ó menos =DISTR.NORM.INV(0.97,302,40) días 0.97 0.03 X o Z X X + = DISTRIBUCIÓN "EXPONENCIAL" Si se presentan eventos en el contexto de un proceso de "Poisson" (proceso estacionario y con una probabilidad igual de que el evento ocurra a lo largo del intervalo de tiempo "t" donde "t" es la variable aleatoria), entonces la distribución "Exponencial" se aplica en: 1. Intervalo de tiempo dentro del cual debe ocurrir el evento. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera solicitud de servicio llegue entre 5 y 10 minutos? 2. El tiempo que hay entre la ocurrencia de dos eventos sucesivos. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo sea más de 20 minutos entre la primera solicitud y la segunda? 3. Tiempo que transcurre hasta que se presenta el primer evento después de cualquier punto de tiempo elegido al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera solicitud llegue antes de 5 minutos? La variable aleatoria X i es la distancia entre los conteos sucesivos de una Distribución de Poisson forma una Distribución Exponencial si: Función de Densidad: Valor Esperado: i Varianza: Desviación Estándar: Por ejemplo, si X i es el número de imperfecciones en"x" milímetros de alambre. El número promedio de imperfecciones es "λ" por milímetro, entonces X i tiene una Distribución de Poisson con media "λx". Se supone que el alambre es más largo que el intervalo de x y que X i = 0 en el intervalo de x. Entonces: Probabilidad de que el primer evento "ocurra fuera del intervalo x " f(X) X ì µ 1 1 ) ( = = x E 2 2 1 1 ) ( ì µ = = x V ì µ o 1 1 = = X e X f ì ì ÷ = ) ( · < s X 0 X e x X P ì ÷ = > ) ( X X e o e x X P ì ì ì ÷ ÷ = = = ! ) ( ) 0 ( 0 donde: x = Intervalo (tiempo, longitud, etc.) X = Evento λ = Ocurrencias promedio Probabilidad de que el primer evento "ocurra dentro de intervalo de x " Probabilidad Acumulada Si se adecua el valor de λ al intervalo que se requiere, entonces λx se puede considerar como λ y las ecuaciones quedarán: Fuera del intervalo: Dentro del intervalo: Ejemplos 1. En un departamento de reparación de maquinaria se reciben 5 solicitudes de servicio por hora en promedio. Comenzando la observación en cualquier punto del tiempo a. ¿Cuál es la probabilidad de recibir la primera solicitud de servicio dentro de la siguiente media hora? b. Calcule la media y la desviación estándar Solución a. ¿Cuál es la probabilidad de recibir la primera solicitud de servicio dentro de la siguiente media hora? λ = 5 solicitudes/hora x = 30/60 = 0.5 horas λx = 5(0.5) = 2.5 solicitudes en media hora P(X ≤ 0.5) = 1 - e -2.5 = 1 - 0.08208 = 0.9179 =1-EXP(-2.5) =DISTR.EXP(1,2.5,VERDADERO) 0.9179 0.9179 Otra forma: Si el valor de λ se adecua al intervalo que se quiere en la pregunta, se tiene λ = 5(0.5) = 2.5 solicitudes en media hora P(X ≤ 0.5) = 1 - e -2.5 = 1 - 0.08208 = 0.9179 b. Calcule la media y la desviación estándar E(X) = 1/5 =0.2 horas/solicitud = 12 minutos/solicitud σ = 12 minutos/solicitud Otra forma: Considerando λ = 5(0.5) = 2.5 solicitudes en media hora E(x) = 1/2.5 = 0.4(30) = 12 minutos/solicitud σ = 12 minutos/solicitud 2. Considere el proceso de Poisson en el que llegan aviones a razón de 4 por hora. a. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de un cuarto de hora entre las llegadas? X e x X P X F ì ÷ ÷ = s = 1 ) ( ) ( ì ÷ = > e x X P ) ( ì ÷ ÷ = s e x X P 1 ) ( b. ¿Cuál es la probabilidad de tiempos menores a 6 minutos entre llegadas? c. ¿Cuál es la probabilidad para que haya tiempos de 6 a 15 minutos entre llegadas? Solución a. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de un cuarto de hora entre las llegadas? λ = 4 aviones/hora x = 1/4 = 0.25 horas es el intervalo promedio entre llegadas consecutivas λx = 4(0.25) = 1 llegada en 15 minutos Fuera del intervalo P(X > 0.25) = e -4(0.25) = e -1 = 0.3679 b. ¿Cuál es la probabilidad de tiempos menores a 6 minutos entre llegadas? x = 6 minutos = 0.1 horas λx = 4(0.1) = 0.4 llegadas en 6 minutos Dentro del intervalo P(X < 0.1) = 1 - e -4(0.1) = 1 - 0.67032 = 0.3297 c. ¿Cuál es la probabilidad para que haya tiempos de 6 a 15 minutos entre llegadas? Cuando se pregunta la ocurrencia del evento entre ciertos valores, se tiene que: P(0.1 < X < 0.25) = e -4(0.1) - e -4(0.25) = 0.67032 - 0.3679 = 0.3024 3. En una red de computadoras de una gran corporación, el acceso de usuarios al sistema puede modelarse como un proceso de Poisson con una media de 25 accesos por hora. a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya accesos en un intervalo de 6 minutos? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo hasta el siguiente acceso esté entre 2 y 3 minutos? c. Determine el intervalo de tiempo tal que la probabilidad de que no haya accesos en el intervalo sea de 0.90 d. Calcule el tiempo promedio y la desviación estándar hasta el siguiente acceso Solución a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya accesos en un intervalo de 6 minutos? λ = 25 accesos / hora x = 6/60 = 0.1 horas desde el principio del intervalo hasta el primer acceso λx = 25(0.1) = 2.5 accesos en 6 minutos Fuera del intervalo P(X > 0.1) = e -25(0.1) = 0.0821 b. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo hasta el siguiente acceso esté entre 2 y 3 minutos? x = 2/60 = 0.0333 horas λx = 25(0.0333) = 0.8333 accesos en 2 minutos x = 3/60 = 0.05 horas λx = 25(0.05) = 1.25 accesos en 3 minutos P(0.0333 < X < 0.05) = F(0.05) - F(0.0333) = {1 - e -25(0.05) } - {1 - e -25(0.0333) } P(0.0333 < X < 0.05) = 0.7135 - 0.5650 = 0.1485 c. Determine el intervalo de tiempo tal que la probabilidad de que no haya accesos en el intervalo sea de 0.90 P(X < x) = e -25x = 0.90 ln(e -25x ) = ln 0.90 -25x = -0.10536 x = 0.10536/25 = 0.00421 horas (60) = 0.25 minutos d. Calcule el tiempo promedio y la desviación estándar hasta el siguiente acceso E(X) = 1/λ = 1/25 = 0.04 horas (60) = 2.4 minutos o = 2.4 minutos La Distribución Exponencial "no tiene memoria" Esta propiedad de "falta de memoria" solo la tiene la Distribución Exponencial. Para una variable aleatoria exponencial X, la probababilida condicional queda: P(X < t 1 + t 2 / X > t 1 ) = P(X < t 2 ) La falta de memoria se puede ver en el propio desarrollo del proceso de Poisson. En el desarrollo se considero que se podía hacer la partición de un intervalo en intervalos más pequeños que fueran independientes. Estos subintervalos son simillares a los ensayos de Bernoulli independientes que comprenden un proceso Binomial por lo que se concluye que: "conocer resultados previos no afecta las probabilidades de los eventos en subintervalos futuros" Si se aplica para "estudios de confiabilidad" como modelo para el tiempo hasta la falla de un dispositivo, se considera que independientemente del tiempo que haya estado trabajando el dispositivo, la probaiblidad de falla en las 1000 horas siguientes es igual que la probabilidad de una falla en las primeras 1000 horas de operación Ejemplo Considere X como el tiempo entre la detección de una partícula rara en el contador Geiger y que sigue una distribución exponencial con λ = 1.4 minutos. a. ¿Cuál es la probabilidad de que se detecte una partícula en un lapso de 30 segundos después de activar el contador? b. Demuestre la "falta de memoria" calculando la probabilidad de detectar una partícula en un lapso de 3.5 minutos dado que ya han transcurrido 3 minutos sin haber detectado ninguna? Solución a. ¿Cuál es la probabilidad de que se detecte una partícula en un lapso de 30 segundos después de activar el contador? x = 30/60 = 0.5 minutos Como sigue una Distribución Exponencial y no Poisson se tiene que: λx =0.5(1/1.4) = 0.5/1.4 = 0.3571 Dentro del intervalo P(X < 0.5 minutos) = 1 - e -0.5/1.4 = 0.3003 0.3003 b. Demuestre la "falta de memoria" calculando la probabilidad de detectar una partícula en un lapso de 3.5 minutos dado que ya han transcurrido 3 minutos sin haber detectado ninguna? P(X < 3.5 / X > 3) = P(3 < X < 3.5) / P(X > 3) = P(X < 0.5) x = 3 x = 3.5 λx = 3(1/1.4) = 3/1.4 = 2.1429 λx = 3.5(1/1.4) = 3.5/1.4 = 2.5000 P(3 < X < 3.5) = F(3.5) - F(3) = {1- e -3.5/1.4 } - {1 - e -3/1.4 } = 0.9179 - 0.8827 = 0.0352 P(X > 3) = e -3/1.4 = 0.1173 P(X < 3.5 / X > 3) = 0.0352/0.1173 = 0.3003 Forma directa: P(X < 3.5 / X > 3) = P(X < 0.5) = 0.3003 Conclusión: Queda demostrada la "falta de memoria" y que: P(X < t 1 + t 2 / X > t 1 ) = P(X < t 2 ) Objetivo: Conocer las características del comportamiento de las variables aleatorias (perfíl de la distribución de probabilidades). Para visualizar esta distribución es necesario conocer la Media y la Varianza (o la Desviación Estándar) Muestra Media: Varianza: Var(X) Desviación Estándar: Población X S2 S S S2 2 Conociendo la varianza se puede calcular la "Desviación Estándar" Distribuciones de Probabilidades "Discretas": Para conocer la media y varianza de una distribución discreta, se utilizan: Valor Esperado (Media): E ( X ) X i P( X i ) i 1 n Varianza: Var ( X ) X i E ( X ) P( X i ) 2 i 1 n Desviación Estándar: X i 1 n i E ( X ) P ( X i ) 2 Ejemplos 1. Un profesor pregunta a 100 estudiantes a través de un cuestionario, sobre su libro de estadísticas si "realmente ayudó al alumno a pasar el curso" Procesando las encuestas, se obtuvo la siguiente información: Salida Muy de acuerdo (MA) De acuerdo (A) Neutral (N) Desacuerdo (D) Muy en desacuerdo (MD) Variable Aleatoria 5 4 3 2 1 Respuestas 10 20 30 30 10 ¿Cuál es la opinión de los estudiantes? 3) + (2 .361 1. ¿Cuál de los dos diseños se debe elegir? Solución: Variable aleatoria: X = Ganancia del diseño "A" Diseño "A": Como no se tiene incertidumbre en la ganancia del diseño "A".441 0. la distribución de l a variable X se puede establecer como: E(X) = 3(1) = $3 millones V(X) = (3 .5 millones V(Y) = (7 .00 [X i .9 La opinión de los estudiantes es que el libro del profesor "no sirvió" para pasar el curso. El departamento de comercialización considera que la ganancia del diseño "A" se puede predecir con mucha precisión en $3 millones pero la ganancia del diseño "B" tiene más incertidumbre para determinarse.29 5 4 3 2 1 Xi 5 4 3 2 1 E ( X ) pi X i i 1 n E(X) = 5(0.14 2.10 1.3) + 2(0.3.30) +1(0.20 0. Se quiere hacer la comparación de las ganancias potenciales entre dos productos nuevos que se van a diseñar.E(X)] 2 p i 0.30 0.7 de que ganacia sea de sólo $2 millones.3.3 de que la ganancia del diseño "B" sea de $7 millones y 0.3)2 (1) = 0 Diseño "B": Y = Ganancia del diseño "B" E(Y) = 7(0. Comercialización concluye que hay una probabilidad de 0.20) + 3(0.10) + 4(0.5)2(0.Solución: Xi MA A N D MD pi 0.242 0.25 millones de $2 .10) E(X) = 2.003 0.2 0. S2 = 1.5)2(0.30) + 2(0.29 S = 1.1 fi 10 20 30 30 10 100 pi 0.3 0.7) = $3.10 0.30 0.243 0.7) = 5. 08 0. longitud.05 0.08 11 0.30 0. Solución: (X) 10 11 12 13 14 15 f(X) 0.20 0.07 E(X) 0.60 2.29 millones Conclusión: para una persona que no quiere riesgo.07 Calcule la media y la desviación estándar para el problema.08 0.80 1. etc. va a decidirse por el diseño "A". Si se acepta el riesgo. temperatura.05 12. 3.85 12.20 15 0.30 13 0.Para facilitar la interpretación se obtiene la "desviación estándar" que tiene las mismas unidades que la variable aleatoria: σ = $2.5 mensajes/hora S = 1.50 V(X) 0.15 12 0. El número de mensajes por hora enviados en una red de computadoras tiene la siguiente distribución de probabilidades (función de masa): Números de Distribución mensajes Probabilidad (X) f(X) 10 0. peso. se decide por el diseño "B".50 0.60 2.36 mensajes/hora Tipos de "Distribuciones de Probabilidades Discretas": Uniforme Binomial Poisson Distribuciones de Probabilidades "Continuas": Las variables continuas tienen valores enteros o fraccionarios como por ejemplo: tiempo. Las distribuciones de probabilidad continuas se caracterizan por: "Hay una f(X) que describe la distribución de probabilidades llamada función de densidad (función de masa o de probabilidades) que sirve para calcular cualquier .44 1.45 0.5 1.80 1.36 E(X) = 12.65 3.20 14 0.20 0.34 0.15 0. probabilidad con el área bajo la curva" Tipos de "Distribuciones de Probabilidadades Continuas": Normal Exponencial . 14/48 = 0.1 para cada valor de su rango 2.295 .DISTRIBUCIÓN UNIFORME "Una variable aleatoria Xi es uniforme si cada uno de los n valores consecutivos de su rango tiene la misma probabilidad de ocurrir" P(x) f(x) Función de Probabilidad: f ( x) P( x) 1 n a b x Valor Esperado (Media): E ( x) ba 2 Desviación Estándar: (b a 1) 2 1 12 Ejemplos 1. Se tiene un conmutador con 48 líneas. ¿cuál es la función de masa de probabilidad o la distribución de probabilidad? Solución Función de Probabilidad: f(x) = 0.14 12 líneas/unidad de "tiempo" Si todos los valores del rango de X se multiplican por una "constante" (sin cambiar ninguna de las probabilidades). Si se considera X como el número de líneas en uso en un tiempo dado. Para el caso del conmutador. ¿cuál es el valor esperado y la desviación estándar? Solución E ( x) 48 0 24 2 líneas/unidad de "tiempo" (48 0 1) 2 1 14. si se define una nueva variable aleatoria como: Y = Proporción de las líneas en uso en un tiempo dado (48 horas) entonces: Y = X/48 E(y) = E(x)/48 = 24/48 = 0.5 σ = 14. entonces la media y la desviación estándar de X se multiplican por la constante. El primer dígito del número de serie de una pieza fabricada puede ser cualquiera de 0 a 9. Si se selecciona una pieza al azar de un lote grande y X es el primer dígito del número de serie. La variable aleatoria X i (número de ensayos que cumplen con la probabilidad de éxito) tiene una Distribución Binomial con parámetros n y p : Función de Probabilidad: (Función de Masa) f ( x) P( X ) n C X p X q n X donde : n CX n! X !(n X )! X = Número de "éxitos" n = número de observaciones o ensayos p = probabilidad de "éxito" q = probabilidad de "fracaso" donde: p+q=1 Algunas nomenclaturas para expresar el cálculo de la probabilidad (función de P(X /n.DISTRIBUCIÓN BINOMIAL "Cualquier experimento aleatorio de "n" ensayos repetidos que se ajuste a un tipo Bernoulli que tiene las siguientes características: Cada ensayo produce únicamente dos posibles resultados (éxito ó fracaso) Los resultados de los ensayos son independientes La probabilidad de éxito "p" en cada ensayo es constante ya que se considera que el proceso es estacionario o estable. Lanzar una moneda una cierta cantidad de veces para ver sus resultados. Nacimientos de niños y niñas en un hospital. La calidad de los bits trasmitidos en una canal de transmisión digital. Muestras de aire para analizar si contienen una molécula rara contaminante. cada una con cuatro opciones que contesta un alumno adivinando. Pacientes con una cierta enfermedad donde se experimenta la mejoría del paciente por tomar un medicamento específico. Un examen de opción múltiple con 10 preguntas. Cada experimento es una serie de ensayos aleatorios repetidos donde la variable aleatoria X i es un conteo del número de ensayos que satisfacen el criterio especificado (probabilidad de éxito "p") Los términos de éxito (p) y fracaso (q) son meras "etiquetas" que no necesariamente están relacionados con los efectos positivos y negativos.p) = P(X = x i ) = P(X) probabilidad) son: Valor Esperado (Media): Varianza: Desviación estándar: E ( X ) np V ( X ) npq npq . Algunos ejemplos de experimentos aleatorios que se ajustan a una Distribución Binomial: Máquina herramienta desgastada que influye en la calidad de las piezas fabricadas. 9830 P(0) = P(1) = P(2) = P(3) = 0.96 S = 0. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 4 sellos? b.20)(0.9830 P(X ≥ 4) = 1. ¿Menos de 3 sellos? c. la Varianza y la Desviación Estándar? Solución a. ¿La probabilidad de hacer menos de 4 ventas? P(X < 4) = P(X ≤ 3) = P(0) + P(1) +P(2) + P(3) P(X ≤ 3) = 0. seleccionado al azar. ¿La probabilidad de hacer 4 ventas? P ( 4) 6 C 4 (0.0001 solucionado en inciso anterior d.0001 0.80 ) 2 0.0154 P(5) = 0.2621 0.3932 0.01536 b.0819 0. Se lanzan 5 monedas al mismo tiempo a.P(X ≤ 3) 0. ¿La probabilidad de hacer 4 o más ventas? c.2458 0.0170 P(X ≥ 4) = 0.01536 0.20) = 1.2 prospectos que compran Var(X) = 6(0. ¿La probabilidad de hacer menos de 4 ventas? d.0015 P(6) = 0. ¿La probabilidad de hacer 4 o más ventas? P(X ≥ 4) = P(4) + P(5) + P(6) P(4) = 0. Calcule la media. ¿La probabilidad de hacer 4 ventas? b.9830 = 0. La probabilidad de que un prospecto de ventas.01536 0. la Varianza y la Desviación Estándar? E(X) = 6(0.Ejemplos 1.0170 c. Si un vendedor visita a 6 prospectos calcule: a.0. Valor Esperado.20.0170 Otra forma de solución: P(X ≥ 4) = 1. haga una compra es de 0. Valor Esperado.98 prospectos que compran 2.001536 0.80) = 0. varianza y desviación estándar (respecto a sellos) .20 ) 4 (0. ¿Más de 3 aguilas? d. 75 V(X) = 0.02438 0. Calcule la media.5) = 1.1875 d. E(X) = 0.3125 0. La probabilidad de que cualquier transistor sea defectuoso es de 0.Solución a.6375 S = 0.00215 0.1563 b. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 4 sellos? P (4) 5 C 4 (0.5) = 2.5 c. ¿cuál es la probabilidad de encontrar 3 o más defectuosos? P(X ≥ 3) = P(3) + P(4) + P(5) P(3) = P(4) = P(5) = P(X ≥ 3) = 0.1563 0. Solución a.5) 4 (0. Si se produce 5 unidades: .0266 b. Una empresa electrónica está experimentando un nuevo prototipo que requiere un alto nivel de calidad.1563 P(5) = 0.5000 P(X ≤ 2) = 0. Un fabricante utiliza un proceso de producción que da el 20% de artículos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 3 o más defectuosos? b.25 S = 1.0313 P(1) = 0. Calcular la media y la desviación estándar. ¿Menos de 3 sellos? P(X < 3) = P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2) P(0) = 0.1 sellos 3.5)(0.15 a.1563 P(2) = 0.7984 transistores transistores 4. Calcular la media y la desviación estándar. ¿Más de 3 aguilas? P(X > 3) = P(X ≥ 4) = P(4) + P(5) P(4) = 0.5 sellos Var(X) = 5(0.00008 0. varianza y desviación estándar (respecto a sellos) E(X) = 5(0.5) 0.0313 0. Cada hora el supervisor de la línea de producción toma una muestra de 5 transistores.1875 P(X > 3) = 0. 80 ) 0 0. ¿De que al menos tres sean defectuosas? Solución a. ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho una unidad sea defectuosa? P(X ≤ 1) = P(0) + P(1) P(0) = 0.80 ) 2 0.3277 P(1) = 0.2560 d.0512 P (5) 5 C 5 5 (0.2560 P(2 ó 3) = 0. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas sea defectuosa?. ¿de que tres lo sean?. ¿de que tres lo sean?.20 ) 0 (0.20 ) 5 (0.0064 P(5) = 0.80 ) 5 0.4096 0.0579 P(X ≥ 3) = 0.a.2048 P(3) = 0.0003 b.0003 0.7373 c. ¿De que al menos tres sean defectuosas? P(X ≥ 3) = P(3) + P(4) + P(5) P(3) = 0.0512 0. ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho una unidad sea defectuosa? c.0512 0.0579 .7373 P(X ≤ 1) = 0. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas sea defectuosa?.0003 0.20 ) 3 (0. ¿De que dos o tres lo sean? P(2 ó 3) = P(2) + P(3) P(2) = 0. ¿De que dos o tres lo sean? d. ¿de las cinco salgan defectuosas? P (0) 5 C 0 (0.3277 0.0512 P(4) = 0. ¿de las cinco salgan defectuosas? b.3277 P (3) 5 C 3 (0. 1247 P(X < 3) = 0. volumen.7183… X = Eventos de éxito Valor Esperado: Varianza: Desviación Estándar: X e E( X ) Var( X ) Ejemplos 1.0842 0. ¿Qué probabilidad se tiene de recibir exactamente 3 solicitudes en una hora seleccionada al azar? 5 solicitudes/hora X 3 solicitudes/hora 5 3 e 5 P(3) 0. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de 3 servicios en una hora elegida en forma aleatoria? Solución a.08422 0. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de 3 servicios en una hora elegida en forma aleatoria? P(X < 3) = P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2) P(0) = 0." El proceso "Poisson" es similar a un proceso "Binomial". Un departamento que repara máquinas recibe en promedio 5 solicitudes de servicio por hora a.0067 0. superficie.DISTRIBUCIÓN DE "POISSON" "Se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra un número de eventos en un cierto intervalo que puede ser de tiempo.1404 3! 0.00674 P(1) = 0. es decir. Distribución de Probabilidad: f ( X ) P( X ) X! (Función de masa) λ = Número promedio de eventos por unidad del intervalo e = 2.03369 P(2) = 0. etc.1404 b. longitud.1247 0. ¿Qué probabilidad se tiene de recibir exactamente 3 solicitudes en una hora seleccionada al azar? b.1247 . considera que: Los resulatados son independientes El proceso es estacionario haciendo que λ sea constante.0337 0. 01363 3.0902 0.00158 P(5) = 0.00047 0.6065 P(1) = 0.01264 P(4) = 0.2. en promedio.09019 P(X ≥ 2) = 0. Considere que las llegadas de esas personas son independientes e igualmente probables en el período.00047 0.0902 .09019 Otra forma: P(X ≥ 2) = 1 .01264 0.00132 0.00343 0. ¿cuál es la probabilidad de que lleguen 2 o más barcos en un día que se seleccione al azar? Solución un barco cada dos días P(X ≥ 2) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + … 0.52 e 0.00016 0.00016 0.00343 0.5 0.00016 0.01363 P(X > 10) = 0.00158 0.07582 2! P(3) = 0.00824 0.07582 0.5 barcos/día P(2) 0.3033 0.00132 0.9098 P(X ≥ 2) = 0.P(X ≤ 1) = 1 .{P(0) + P(1)} P(0) = 0. En un cierto muelle.00016 0.09019 0.01363 0. llega un barco cada dos días. ¿cuál es la probabilidad de que más de 10 personas deseen realizar transacciones en el mostrador de servicios especiales en la siguiente hora? Solución P(X > 10) = P(11) + P(12) + P(13) + P(14) + P(15) + … P (11) 511 e 5 0.00824 11! P(12) = P(13) = P(14) = P(15) = 0. El número promedio de personas que realizan transacciones en el mostrador de "servicios especiales" es 5 por hora. DISTRIBUCIÓN "NORMAL" Se aplica a muchos fenómenos naturales. f(X) Función de Densidad: 1 f ( x) e 2 ( x ) 2 2 2 X Se necesita conocer "μ" y "σ" para definir la función de densidad (función de probabilidad ó función de masa) Datos "No agrupados" Datos "Agrupados" Media: E( X ) V (X ) 2 Xi i 1 n f i 1 n i 1 n i Xi i n f n i 1 Varianza: Desviación Estándar: S X i 1 n i X 2 n 1 S f X i i X 2 Si n ≥ 30. usar "n" Si n < 30. usar "Factor de Correcciòn n -1" La Distribución Normal es "simétrica (respecto a la media) y asintótica" por lo que la probabilidad de un evento será el área bajo la curva (área ≈ 1) Transformación de "Variables Reales" a "Variables Estandarizadas " (normalizadas ó tipificadas): n 1 Distribucción Normal Estandarizada μ Variable Real (X) Y 1 2 e Z 2 2 donde: μ=0 σ=1 Z X -3 -2 -1 0 1 2 3 Z Variable Estandarizada (σ) Cuando se conoce que se tiene una "Distribución Normal". económicos y sociales donde la variable aleatoria X i tiene una frecuencia mínima en ambos extremos y va creciendo simétricamente desde ambos extremos hasta llegar a un valor central con la frecuencia máxima Es la más popular y poderosa de las distribuciones continuas. entonces se puede aplicar la . En 30 semanas ó menos h.6 semanas ó más g.196 semanas. calcule la probabilidad de terminar el proyecto en: a. La empresa estimó que este nuevo proyecto tiene una media de 23.siguiente "Regla Empírica": μ ± σ = 68% de los datos de la población μ ± 2σ = 95. Cuando se tienen "μ" diferentes pero con la "σ" iguales. Entre 21 y 22. 25. Con un NC = 97%. Cuando se tienen "μ" iguales pero con la "σ" diferentes. 25.6 semanas ó menos b. cuyas diferentes posiciones y elongaciones dependerán exclusivamente de su media y su desviación estándar. En 20 o menos semanas c.4% μ ± 3σ = 99. 40 50 60 2. Si se considera que el tiempo de duración tiene una distribución normal.3 semanas con una desviación estándar de 1. ¿cuál es la duración esperada del proyecto? Solución .7% Pueden existir una infinidad de curvas normales.6 semanas e.3 semanas k. Entre 21 y 25.6 semanas f. Como máximo 23. 18 semanas ó menos j. 50 Ejemplos: 1. Entre 24 y 25. Se pueden tener dos situaciones: 1. Calcular la duración del proyecto con un "nivel de confianza" del 95% l. Una empresa manufacturera ha recibido un pedido para la fabricación de un nuevo producto.5 semanas d. En 30 semanas ó más i. 6) 0.4726 P( X 25.4726 0.6 semanas ó menos Z 25.ESTAND(1.6) 0.2486 0. Entre 24 y 25.4726 1.196 Área = 0.4971 1. 25.6 23.2224 Área = 0.6 1.4726 0.5 1 h.3 1.92 Área = 0.9726 =DISTR.196 P(21 X 22. Entre 21 y 25. En 30 semanas ó más .92 1.2486 1.4726 0.92 Área 1 = 0.9726 0. 25.0029 Z c.4726 Z 2 = 1.6) 0.4726 P( X 25.92) b.92 P(24 X 25.3 1.4726 0.6) 0.3 2.NORM.76 Área = 0.2224 0.3 0.5) 0.6 semanas Calculados en incisos anteriores: Z 1 = -1.2240 d.4726 0.5 0.3 Z2 0.a.2502 f.5 semanas Z1 21 23.4726 P(21 X 25.92 Área = 0.67 Área 2 = 0.196 22.5 0.0274 g.4726 Z 2 = 1.9452 e.5 0.5 P( X 30) 0.196 P( X 20) 0.5 23.4726 0.196 Área 0 0.196 Área = 0.3 5.5 0.6 semanas Z1 24 23.92 Área = 0.6 semanas ó más Z = 1. En 20 o menos semanas 20 23.59 1.4971 0. En 30 semanas ó menos Z 30 23. Entre 21 y 22. Con un NC = 97%.0.95. Calcular la duración del proyecto con un "nivel de confianza" del 95% Como el NC = 0.5 semanas ó menos 25.3 =DISTR.5 P( X 30) 0.5 0.45 Buscando el valor de Z más cercano.196 Área = 0.0.45 está exactamente a la mitad.5 0.NORM.196) l. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga un IQ menor a 130 puntos? Solución a.Z = 5.4495 Z = 1.196) = 25.5 Z Área = 0 k. El "cociente de inteligencia (IQ)" de la población tiene una media de 100 puntos y una desviación estándar de 15 puntos.3 + 1.3) 0.88 X = 23. Se conoce que la variable aleatoria IQ sigue una distribución normal.3.47 Z = 1. se puede considerar Z = 1.95 .4505 Z = 1. 18 semanas ó menos Z 18 23. se tiene que: Área = 0.65 Como el área de 0.196) = 25.88(1.1. ¿cuál es la duración esperada del proyecto? NC = 0.43 1.97 .3 4.3 0 1.5 2.INV(0.97 Área a buscar = 0.3 semanas 23. ¿Cuáles son los límites superior e inferior de cada intervalo respecto al IQ? El 68% de la población tiene un IQ entre 85 y 115 puntos y solo el 16% de la gente tiene un IQ mayor a 115 puntos 100 15 LS 115 LI 85 16% -3 -2 -1 85 68% 0 1 115 16% 2 3 .5 P( X 18) 0. ¿Cuáles son los límites superior e inferior de cada intervalo respecto al IQ? b.3 23.5 = 0.3 semanas ó menos 25.5 0 i.645 X = 23.5 = 0.645(1.95. a. el área a buscar en la tabla es de: 0.64 Área = 0.3 + 1.6 Área = 0.196 P( X 23.23. Como máximo 23.5 0 j. El 95.ESTAND(2) 0. a.4% de la gente está con un IQ entre 70 y 130 puntos.8944 0. La media es de 100 días y la desviación estándar es de 20 días para hacer un departamento de 3 recámaras.3944 (Tabla Parcial) 75 días P(X ≤75) = 0. 3 100 3(15) LS 145 LI 55 0. ¿cuál es la probabilidad de recibir el bono? c.NORM.NORM. recibe un bono de $50. ¿Cuál es la probabilidad de hacerlo entre 110 y 125 días? Solución Z 125 100 1.977 =DISTR.5 + 0.25) . ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga un IQ menor a 130 puntos? Z 130 100 2 15 P(X ≤ 130) = P(Z ≤ 2) = 0.5 . ¿cuál es la probabilidad de recibir el bono? Z 75 100 1.25 20 Área = 0.3944 = 0. recibe un bono de $50.000.ESTAND(-1.7% 0.1056 =DISTR.3944 días 125 P(X ≤ 125 días) = 0. Si termina en 75 días o menos. ¿cuál es la probabilidad de hacerlo en ese tiempo o menos? b.5 0.0.1056 0. La empresa ha firmado un contrato con una multa severa de no hacer un departamento de 3 recámas en 125 días.7% de la población está con un IQ entre 55 y 145 puntos.15% 99.4% 0 1 2.8944 b.9772 3.3% -3 -2 -1 70 95.15% 55 -3 -2 -1 0 1 2 145 3 b.3944 (Tabla Parcial) 0.3% 2 3 130 El 99.25 20 Área = 0. Una constructora hace departamentos de 2 y 3 recámaras.3944 = 0. Si termina en 75 días o menos.000. 2 100 2(15) LS 130 LI 70 2. 25) 0.2029 =DISTR. con una desviación estándar de 6 kwh. Considere que la duración de las lámparas sigue una distribución normal. Se supone que este consumo se distribuye normalmente.1915 A2 = 0.8944 0.4 5 A = 0.ESTAND(0.c. ¿Qué porcentaje de lámparas superarán los 75 meses? b.0808 75 meses Utilizando Excel: 0.0.2029 4.9192 = 0.4192 = 0.48% (548 lámparas) probablemente no llegarán a durar 60 meses 5. ¿Cuántos kwh tendría que consumir bimestralmente para estar en el 5% de la población que más consume? b.3944 . Un fabricante afirma que sus lámparas tienen una vida media de 68 meses con una desviación típica de 5. En un lote de 10000 lámparas: a.6915 = 0.8944 .NORM.0. El consumo medio de electricidad en una ciudad es de 59 kwh.0548 60 meses El 5. ¿Cuál es la probabilidad de hacerlo entre 110 y 125 días? Z1 Z2 110 100 0.1915 = 0.25 20 A1 = 0.0. a.89435 P(125 ≥ X ≥ 110) = 0.0808 El 8.9192 P(X > 75) = 1 .0. ¿qué porcentaje de la población consume menos de ésto? . ¿Cuántas lámparas se fundirán antes de los 60 meses? Solución a.5 .5 20 125 100 1. Si consume 45 kwh.4192 P(X > 75) = 0.5) 0. ¿Cuántas lámparas se fundirán antes de los 60 meses? Z 60 68 1.08% de las lámparas (808 lámparas) probablemente excederán los 75 meses de duración b.6915 =DISTR.NORM.6 5 P(X ≤ 60) = 0.ESTAND(1.3944 110 125 días P(125 ≥ X ≥ 110) = 0. ¿Qué porcentaje de lámparas superarán los 75 meses? Z 75 68 1. 87 kwh 68.44235 .000 lámparas para su iluminación. Una empresa instala en una ciudad 20.0.6736 b.4929 = 0.26875 0.44235 320 365 días P(365 ≥ X ≥320) = 0. ¿qué porcentaje de la población consume menos de ésto? Z 45 59 2.9929 = 0. b.0099 El 0.45 40 365 302 1.1736 = 0.95 0.0. ¿Cuántas lámparas es de esperar que se fundan entre 320 y 365 días? Z1 Z2 320 302 0.5 . ¿Cuántas lámparas es de esperar que se fundan entre 320 y 365 días? b.99% de la población consume menos de 45 kwh 6.05 kwh 1. ¿Cuántos kwh tendría que consumir bimestralmente para estar en el 5% de la población que más consume? Se busca en la tabla el valor de"Z" para un área de 0.4901 = 0.0071 0.645(6) = 68.45 40 P(X > 400) = 1 . La duración de las lámparas siguen una distribución normal con media de 302 días y una desviación estándar de 40 días. a. Si consume 45 kwh.9929 días P(X > 400) = 0.0071 Excel: 400 . ¿Cuántas lámparas durarán más de 400 días? c.0099 45 kwh Otra forma con Excel: P(X ≤ 45) = 0.1736 A2 = 0. ¿Cuántas lámparas durarán más de 400 días? Z 400 302 2. calcule la duración de las lámparas? Solución a.4901 P(X ≤ 45) = 0.9424 0.Solución a.0.4500: Z = 1.87 kwh bimestralmente para estar en el 5% de la población que más consume.33 6 A = 0.645 0.86912 Se tendrá que consumir más de 67.5 .575 40 Utilizando Excel: P(365 ≥ X ≥320) = A1 = 0.645 X 59 6 X = 59 + 1. Con un nivel de confianza del 97%.0.26873 0. 88(40) = 377.47 que da una Z = 1. calcule la duración de las lámparas? Con NC = 0.03 días .302.NORM.0071 c.40) 0.P(X > 400) = 0.88 X X Z X = 302 + 1. Con un nivel de confianza del 97%.2 días ó menos Con Excel: X= 377.97 se busca Área = 0.97 X 0.2 días ó menos =DISTR.97.INV(0. . . El número promedio de imperfecciones es "λ" por milímetro.DISTRIBUCIÓN "EXPONENCIAL" Si se presentan eventos en el contexto de un proceso de "Poisson" (proceso estacionario y con una probabilidad igual de que el evento ocurra a lo largo del intervalo de tiempo "t" donde "t" es la variable aleatoria). ¿Cuál es la probabilidad de que la primera solicitud llegue antes de 5 minutos? La variable aleatoria Xi es la distancia entre los conteos sucesivos de una Distribución de Poisson forma una Distribución Exponencial si: f(X) Función de Densidad: f ( X ) e X Valor Esperado: 0 X E ( x) 1 X 1 1 i Varianza: V ( x) 1 1 2 2 Desviación Estándar: 1 Por ejemplo. entonces la distribución "Exponencial" se aplica en: 1. Tiempo que transcurre hasta que se presenta el primer evento después de cualquier punto de tiempo elegido al azar. Se supone que el alambre es más largo que el intervalo de x y que Xi = 0 en el intervalo de x. Entonces: Probabilidad de que el primer evento "ocurra fuera del intervalo x " ( x ) 0 e X P( X 0) e X o! P ( X x ) e X . Intervalo de tiempo dentro del cual debe ocurrir el evento. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera solicitud de servicio llegue entre 5 y 10 minutos? 2. si Xi es el número de imperfecciones en"x" milímetros de alambre. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo sea más de 20 minutos entre la primera solicitud y la segunda? 3. entonces Xi tiene una Distribución de Poisson con media "λx". El tiempo que hay entre la ocurrencia de dos eventos sucesivos. e -2.5 = 1 .5) = 1 .EXP(1. etc.5 horas λx = 5(0.5) = 2.5 solicitudes en media hora P(X ≤ 0. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de un cuarto de hora entre las llegadas? .donde: x = Intervalo (tiempo.9179 Otra forma: Si el valor de λ se adecua al intervalo que se quiere en la pregunta.5) 0.) X = Evento λ = Ocurrencias promedio Probabilidad de que el primer evento "ocurra dentro de intervalo de x " F ( X ) P ( X x ) 1 e X Probabilidad Acumulada Si se adecua el valor de λ al intervalo que se requiere.9179 b. Considere el proceso de Poisson en el que llegan aviones a razón de 4 por hora.5) = 2. Comenzando la observación en cualquier punto del tiempo a. entonces λx se puede considerar como λ y las ecuaciones quedarán: Fuera del intervalo: P ( X x) e Dentro del intervalo: P( X x) 1 e Ejemplos 1.08208 = 0.4(30) = 12 minutos/solicitud σ = 12 minutos/solicitud 2.5 = 0.5. En un departamento de reparación de maquinaria se reciben 5 solicitudes de servicio por hora en promedio.5 = 1 .5) = 2. longitud.08208 = 0.5 solicitudes en media hora E(x) = 1/2. Calcule la media y la desviación estándar Solución a.9179 =DISTR.2 horas/solicitud = 12 minutos/solicitud σ = 12 minutos/solicitud Otra forma: Considerando λ = 5(0.9179 -2. ¿Cuál es la probabilidad de recibir la primera solicitud de servicio dentro de la siguiente media hora? λ = 5 solicitudes/hora x = 30/60 = 0.5) = 1 . a.VERDADERO) 0.0.0. Calcule la media y la desviación estándar E(X) = 1/5 =0. ¿Cuál es la probabilidad de recibir la primera solicitud de servicio dentro de la siguiente media hora? b. se tiene λ = 5(0.5 solicitudes en media hora P(X ≤ 0.2.e =1-EXP(-2. 1) . ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo hasta el siguiente acceso esté entre 2 y 3 minutos? c. se tiene que: P(0.3679 b.1) = 0.4 llegadas en 6 minutos Dentro del intervalo P(X < 0. ¿Cuál es la probabilidad para que haya tiempos de 6 a 15 minutos entre llegadas? Solución a.3679 = 0.0333) = 0.25) = e-4(0.90 d.e-4(0.1) = 2. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya accesos en un intervalo de 6 minutos? λ = 25 accesos / hora x = 6/60 = 0. ¿Cuál es la probabilidad para que haya tiempos de 6 a 15 minutos entre llegadas? Cuando se pregunta la ocurrencia del evento entre ciertos valores. ¿Cuál es la probabilidad de tiempos menores a 6 minutos entre llegadas? x = 6 minutos = 0.b.67032 = 0.0.25 horas es el intervalo promedio entre llegadas consecutivas λx = 4(0.1 horas λx = 4(0.1 < X < 0.3297 c. Calcule el tiempo promedio y la desviación estándar hasta el siguiente acceso Solución a. el acceso de usuarios al sistema puede modelarse como un proceso de Poisson con una media de 25 accesos por hora.3024 3.e-4(0.1) = 1 .0.25) = e-4(0.1) = e-25(0. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo hasta el siguiente acceso esté entre 2 y 3 minutos? x = 2/60 = 0. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya accesos en un intervalo de 6 minutos? b.5 accesos en 6 minutos Fuera del intervalo P(X > 0.25) = 1 llegada en 15 minutos Fuera del intervalo P(X > 0.25) = 0. Determine el intervalo de tiempo tal que la probabilidad de que no haya accesos en el intervalo sea de 0. a.0821 b.1 horas desde el principio del intervalo hasta el primer acceso λx = 25(0.25) = e-1 = 0. ¿Cuál es la probabilidad de tiempos menores a 6 minutos entre llegadas? c.67032 . En una red de computadoras de una gran corporación. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de un cuarto de hora entre las llegadas? λ = 4 aviones/hora x = 1/4 = 0.8333 accesos en 2 minutos .1) = 0.0333 horas λx = 25(0.1) = 1 . 05) = 0. Determine el intervalo de tiempo tal que la probabilidad de que no haya accesos en el intervalo sea de 0. En el desarrollo se considero que se podía hacer la partición de un intervalo en intervalos más pequeños que fueran independientes.0.7135 .e-25(0.5650 = 0.0333)} P(0.5 minutos dado que ya han transcurrido 3 minutos sin haber detectado ninguna? Solución a.25 minutos d.90 -25x = -0.05) .00421 horas (60) = 0.10536 x = 0.{1 . Demuestre la "falta de memoria" calculando la probabilidad de detectar una partícula en un lapso de 3. Calcule el tiempo promedio y la desviación estándar hasta el siguiente acceso E(X) = 1/λ = 1/25 = 0.5 minutos . la probaiblidad de falla en las 1000 horas siguientes es igual que la probabilidad de una falla en las primeras 1000 horas de operación Ejemplo Considere X como el tiempo entre la detección de una partícula rara en el contador Geiger y que sigue una distribución exponencial con λ = 1. se considera que independientemente del tiempo que haya estado trabajando el dispositivo.05) = F(0.10536/25 = 0.0333 < X < 0. Estos subintervalos son simillares a los ensayos de Bernoulli independientes que comprenden un proceso Binomial por lo que se concluye que: "conocer resultados previos no afecta las probabilidades de los eventos en subintervalos futuros" Si se aplica para "estudios de confiabilidad" como modelo para el tiempo hasta la falla de un dispositivo.4 minutos.F(0.05) = 1.4 minutos La Distribución Exponencial "no tiene memoria" Esta propiedad de "falta de memoria" solo la tiene la Distribución Exponencial. la probababilida condicional P(X < t1 + t2 / X > t1) = P(X < t2) queda: La falta de memoria se puede ver en el propio desarrollo del proceso de Poisson.05 horas λx = 25(0.25 accesos en 3 minutos P(0.90 P(X < x) = e-25x = 0. a.e-25(0.90 ln(e-25x) = ln 0.1485 c. Para una variable aleatoria exponencial X.04 horas (60) = 2.0333 < X < 0. ¿Cuál es la probabilidad de que se detecte una partícula en un lapso de 30 segundos después de activar el contador? x = 30/60 = 0.0333) = {1 . ¿Cuál es la probabilidad de que se detecte una partícula en un lapso de 30 segundos después de activar el contador? b.4 minutos = 2.05)} .x = 3/60 = 0. 3571 -0.4) = 0.5/1.8827 = 0.9179 .5 / X > 3) = P(3 < X < 3.F(3) = {1.4 = 0.0352/0.5) / P(X > 3) = P(X < 0.5) = 0.4) = 3/1.e-3.0352 P(X > 3) = e-3/1.e 0.5/1.4 = 0.3003 b.Como sigue una Distribución Exponencial y no Poisson se tiene que: λx =0.4 = 2.5 λx = 3(1/1.3003 Conclusión: Queda demostrada la "falta de memoria" y que: P(X < t1 + t2 / X > t1) = P(X < t2) .{1 .5(1/1.5 minutos) = 1 .5) = F(3.5 minutos dado que ya han transcurrido 3 minutos sin haber detectado ninguna? P(X < 3.4) = 3.5/1.4} = 0.5 / X > 3) = P(X < 0.5 / X > 3) = 0.5(1/1.5000 P(3 < X < 3.1173 = 0.4 = 0.e-3/1.1429 λx = 3.1173 P(X < 3.0.5) x=3 x = 3.4} .5) .3003 Forma directa: P(X < 3.3003 Dentro del intervalo P(X < 0.5/1. Demuestre la "falta de memoria" calculando la probabilidad de detectar una partícula en un lapso de 3.4 = 2. .47. 9:/080320/. . 47.47.8 84. $0.7 .46:0806:07003.9:/080320/.:0..1472...! ^ 0 ! $%# ! ' # # 97.570:39. 809030 84.20/../08.47/080.47..O3089E3/./0.:..3907.. ! ^ 0 - . 8. 47. 84.9:/23:948. 84.9:/ 23:948. 3/4 84. .84.1472. 438/07.9:/ 97.47.9:/080320/. 23:948. 9:/ 23:948.84. 03970. :E08.7.O3 .8 - :E08.8 ././5.8 $4:.3.794/047..7.2E8/0:3.8 .23:948039700..:.84./.2E8/0:3.794/047.8 0.23:94803970 0.//09025482034708. :E08.:.902548/0.. :E08..-/. .03970.084/0!488430306:00.//06:0.-/.-/.6:0.//06:0.8 0.O3/054747.574-.9:/ 438/0700574./..4308.-/.574-./.574-.574-.4308. .47. 6:0...7..6:0..084854747.084803:33907.4708 8090306:0 ! 0 0 3:3../../03907.4 ! 0 0 - :E08./5.039403970.//06:0090254.084 $4:..4/0 23:948 - :E08.457420/4039700.8.780./47..084/0:8:././/06:034.425:9.//09025482034708..20/..-/..3.23:94803970 0. :E08. :E08...574-..4.8 23:948 47.../.748..:9.084/0!48843.4380..:009025457420/4. 88902. :E08.574-./.8/0:3.07948.08:0390 .O3 .. 47.70//0.574-.89.43:3.574-...4 ! 0 .47547.5:0/024/0....80323:948 03974/03907.0848.7.80803907..8 :.08480303907.574-. ..0323:948 :07.89./08.-/.08:0390./..084089F 0397023:948 ..O3089E3/.-/..7.-/.8 0.//06:034.480.902548/0.4/0902549.084803:33907. 090723003907../0 / .. ..-/.//06:034..8 0..23:948039700.424:3574..574-.O3 0.:7703./00..4/0 23:948 .3/480570:39../0 .-/. .47. /03907.54/03907.8/08/00573.4.4 ! 0 - :E08.08:0390.084 .-/.057207.08480323:948 :07...89..89.//06:0090254....084089F 0397023:948 ... 47.574-. 08480323:948 .8 . 47... //06:034.-/.4/0902549..08480303907.08480323:948 ! 0 < 0 < ! .../0 ! 0 3 0 3 .. 090723003907.6:0.. 47.8 .480. .574-... . 7.08:0390...:009025457420/4.O3089E3/.084 ../08.89..8 23:948 / . 47.. . 43.947..34903020247..7.O3 54303.//01. ! 9 9 . 47.9.43/..9030. !..:3.-0.-/.574-..8 23:948 9 23:948 .054303.897-:.O3 54303.897-:./020247.57450/.-. ..844.0. 89.7. .//06:080/090.O3 ..5.584/0 80:3/48/085:F8/0./090.:.438/0746:08054/J.9 ! 9 6:0/.33/0503/03908 89488:-3907./020247..089..48 1:9:748 $80.:06:0 ..O3/0:3.8 47.-/.70.090254..089:/48/0.574-.3/4./47 .79J. $4:.4033907.03:3.....//0:3.:.//01..9.//0/090.43 23:948 .439.48038./08/0480.-.438/07.8574-.574-.10.030. .5./897-:.4 80.-/./47 - 02:08970.584/0 80:3/48/085:F8/0.43.03:3.1.90:3.708.805:0/0. :E08.574-....88:0390808:.3/40/85489.-/.0703057454/08.1..89.03.9.4834.425703/03:3574.9.5.1.6:03/0503/039020390/0902546:0.79.:77/4 23:94883.:...-07/090./48570. /0:3/85489.03:3.O3054303.574-.42409025403970.79J.5.07708:9.//06:080/090..7.-/.:. 6:0.9.1..7744/0574.7.7.7.-/.8 47.439../020247.084342.. :E08.774480.7 :3.857207./46:0.:.4 .O3/0:33907..584/0 23:948/.084/0!48843 30 /08..38.482E8 506:0N486:01:07.8/04507.5./47 0076:08:0:3.42424/045.O3 0254 438/070..03.9.439.5.-/.5.70.48 /00734:3/0503/039086:0./433:3.431.574-.397.434..4884382.9.-/.79J.54746:080 ..79J./4 97.07./.9.03948038:-3907.90:3. 23:948 4248:0:3.O3 54303.897-:.34!488438090306:0 .. . . 584/0 23:948/.03:3.38.4 ! 23:948 0 - 02:08970.-/.:77/4 23:94883..574-. ! .1.5.-07/090..9.9.397./433:3.9./020247. 03974/03907.:.:.79J..//0/090.7 :3./46:0.3/4... ! . ! ! . . . . ! 0 . < 0 . < ! 0 . ! . . ! .9. 472./70. /.6:0 ! 9 9 .1.9./024897../020247. ! 43.:8O3 ":0/. 9 ! 9 .