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[email protected] 2 Prof. Milton Araújo
[email protected] 3 CONTEÚDO ABORDADO: 1. Proposições. Conectivos; 2. Operações lógicas sobre proposições; 3. Tautologia, contradição e contingência; 4. Implicação lógica e equivalência lógica; 5. Álgebra das proposições (propriedades); 6. Argumentos lógicos; 7. Sentenças abertas; 8. Operações lógicas sobre sentenças abertas; 9. Propoposições categóricas (quantificadores) 1. PROPOSIÇÕES 1.1 Conceito de Proposição: Proposição é qualquer tipo de frase ou sentença declarativa. Exemplos: a) Os pássaros voam. b) Os golfinhos são mamíferos. c) Os administradores são inteligentes. As proposições lógicas são identificadas por letras minúsculas p, q, r, s, etc. 1.2 Valores lógicos das proposições lógicas: Uma proposição lógica pode assumir valor lógico Verdadeiro (V) ou Falso (F). Exemplos: a) p : Os pássaros são mamíferos. v(p) = F (Lê-se: valor lógico de “p” é F - falso) b) q: Golfinhos comem sardinha. v(q) = V (Lê-se: valor lógico de “q” é V - verdadeiro) 1.3 Conectivos: Conectivos são palavras utilizadas para formar proposições compostas. Há cinco tipos de conectivos (que também podem ser considerados como operadores lógicos, conforme veremos no capítulo 2): 1. Conjuntivo “e”. Símbolo: “∧”: 2. Disjuntivo “ou”. Símbolo “∨” 3. Disjuntivo “ou-ou”. Símbolo “∨” 4. Condicional “se..., então...”. Símbolo: “→” 5. Bicondicional “se... e somente se...”. Símbolo “↔” 1.4 Tabela-verdade. Uma proposição composta é formada de duas ou mais proposições simples, associadas por meio de um conectivo. A fim de analisarmos os resultados lógicos das proposições, devemos recorrer à Tabela-Verdade, que consiste em se representar todos os possíveis resultados lógicos das proposições, com o objetivo de se chegar a uma conclusão. Número de linhas da tabela-verdade: Determina-se o número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta em função do número de proposições simples que formam essa proposição composta. Seja “n” o número de proposições simples que formam a proposição composta. Determina-se o número de linhas da tabela verdade por n 2 . Exemplos: a) Seja p uma proposição simples. Sua tabela-verdade (ao lado) terá 2 2 1 = linhas, pois a proposição simples somente poderá assumir valores lógicos V ou F. b) Para o caso de duas proposições simples p e q, o número de linhas da tabela-verdade é 4 2 2 = Etapas para o preenchimento da tabela-verdade: 1) Tomamos a coluna da primeira proposição da tabela e preenchemos metade das suas linhas com o valor lógico V, e, a outra metade, com o valor lógico F p V F Prof. Milton Araújo
[email protected] 4 2) Tomamos a segunda coluna preenchendo a primeira quarta parte com valores lógicos V, a segunda quarta parte com valores lógicos F, a terceira quarta parte com valores lógicos V e a última quarta parte com valores lógicos F. 3) Tomamos a coluna da terceira proposição e preenchemos, alternadamente, 1/8 com cada valor lógico (V e F), iniciando pelo valor lógico V. Exemplos: a) Sejam duas proposições simples p e q. Sabemos que sua tabela-verdade tem 4 linhas. Então, a primeira coluna da tabela-verdade (proposição p) será preenchida com dois valores lógicos iguais a V e dois valores lógicos iguais a F. Já para o caso da segunda coluna (proposição q) o preenchimento será V, F, V, F. b) Com as proposições p, q e r, a tabela verdade será preenchida, na coluna da proposição p, com 4 valores lógicos V e outros 4 valores lógicos F. A coluna q terá dois valores lógicos V, dois valores lógicos F e assim sucessivamente. Na última coluna (proposição r), o preenchimento será alternado com V e F, sempre iniciando com V. Exercício: 1) Monte a tabela-verdade no caso de haver 4 proposições simples: p, q, r e s. 2 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES. 2.1 Negação (Símbolo: “~”) A negação a uma proposição simples consiste em formar-se outra proposição cujo significado se oponha à primeira. Exemplo: Seja a proposição: p: Os pássaros são mamíferos. A negação da proposição acima será: a) Forma simbólica: ~p b) Frase: Os pássaros não são mamíferos; ou: É falso que os pássaros são mamíferos; ou ainda: Não é verdade que os pássaros são mamíferos. 2.2 Conectivo Conjuntivo “e” (Símbolo “∧”) Sejam as proposições simples: p: A lua gira em torno da Terra. q: A Terra gira em torno do sol. Formamos a proposição composta conjuntiva da seguinte maneira: a) Forma simbólica: p ∧ q. b) Frase: A lua gira em torno da Terra e a Terra gira em torno do sol. Segue-se que o símbolo “∧” realizou a conjunção entre as duas proposições simples, formando uma proposição composta. Nota: A proposição composta conjuntiva p ∧ q somente terá valor lógico verdadeiro no caso em que ambas as proposições simples (p e q) forem verdadeiras. No caso em que pelo menos uma das proposições simples for falsa, o resultado lógico da proposição composta também será falso. Vamos formar a Tabela-verdade para a proposição composta conjuntiva p ∧ q p q V V V F F V F F p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Prof. Milton Araújo
[email protected] 5 p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F Exercícios: 2) Julgue as proposições simples abaixo e também a proposição composta conjuntiva (p ∧ q) p: A Inglaterra é um país da Europa. q: O Uruguai é um país da América do Sul. p ∧ q: A Inglaterra é um país da Europa e o Uruguai é um país da América do Sul. Resposta: V 3) Julgue as proposições simples abaixo e também a proposição composta conjuntiva (p ∧ q) p: A Capital do Brasil é Brasília. q: A Capital da Argentina é Montevidéu. p ( q: A Capital do Brasil é Brasília e a Capital da Argentina é Montevidéu. Resposta: F 2.3 Conectivo Disjuntivo “ou” inclusivo (Símbolo: “∨”) Sejam as proposições:simples: p: Paris é a capital da França. q: O sistema solar tem 9 planetas. Formamos a proposição composta disjuntiva da seguinte maneira: Forma simbólica: p ∨ q. Frase: Paris é a capital da França ou o sistema solar tem 9 planetas. Segue-se que o símbolo “∨” realizou a disjunção entre as duas proposições simples, formando uma proposição composta. Exemplo: Vamos formar a Tabela-verdade para a proposição composta disjuntiva p ∨ q p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F Nota: A proposição composta disjuntiva p ∨ q terá valor lógico verdadeiro quando pelo menos uma das proposições simples for verdadeira. Exercício: 4) Julgue as proposições simples abaixo e também a proposição composta disjuntiva (p ∨ q) p: A Alemanha é um país da Europa. q: O Brasil é um país da América do Sul. p ∨ q: A Alemanha é um país da Europa ou o Brasil é um país da América do Sul. Resposta: V 2.4 Conectivo Disjuntivo “ou” exclusivo (Símbolo: “∨”) Sejam as proposições:simples: p: Pedro é trabalhador. q: Maria é atriz. Formamos a proposição composta disjuntiva da seguinte maneira: Forma simbólica: p ∨ q. Prof. Milton Araújo
[email protected] 6 Frase: Ou Pedro é trabalhador ou Maria é atriz. Vamos formar a Tabela-verdade para a proposição composta disjuntiva p ∨ q p q p ∨ q V V F V F V F V V F F F Nota: A proposição composta disjuntiva “ou exclusivo” p ∨ q terá valor lógico verdadeiro quando apenas uma (nunca ambas) das proposições simples for verdadeira. 2.5 Conectivo Condicional “se..., então...” (Símbolo: “→”) O conectivo condicional associa duas proposições simples dando, à primeira delas, o caráter de antecedente ou implicante, e, à segunda, o caráter de conseqüente ou implicada. Notas: 1. A proposição composta “se..., então...” (p → q) assumirá o valor lógico F (falso) somente quando seu antecedente for V (verdadeiro) e seu conseqüente for F (falso). Nos demais casos, a proposição composta será sempre verdadeira. 2. A proposição composta condicional p → q é equivalente a ~(p ∧ ~q). Exemplo: Vamos construir a tabela-verdade da proposição condicional p → q com o auxílio de sua equivalente: ~(p ∧ ~q). p q ~q p ∧ ~q ~(p ∧ ~q) p → q V V F F V V V F V V F F F V F F V V F F V F V V Observe que as duas últimas colunas da tabela-verdade acima têm o mesmo resultado lógico, evidenciando a equivalência 1 lógica: p → q ⇔ ~(p ∧ ~q) Exercícios: 5) Julgue as proposições simples, e, após, julgue a proposição composta condicional p → q p: 2 é um número irracional. q: O Brasil já ganhou cinco copas do mundo. Resposta: V 6) Julgue as proposições simples, e, após, julgue a proposição composta condicional p → q p: π é um número real. q: 3 + 4 = 5. Resposta: F 7) Analise cada uma das proposições simples abaixo, e, após, dê o resultado lógico das proposições compostas a seguir: p: 2 é um número irracional. q: O Brasil já ganhou cinco copas do mundo. r: 2 + 3 = 5 s: A Argentina é um país europeu. t: 8 + 5 – 3 > 10. 1 Equivalências lógicas serão tratadas no Capítulo 4. Prof. Milton Araújo
[email protected] 7 z: Jorge Amado escreveu “O Guarani”. a) s → (q → r) b) [(s → t) → q] → z c) p → (q → r) d) (s → t) → z Respostas: a) V b) F c) V d) F 2.5.1 Recíproca de uma Proposição Condicional Seja a proposição condicional p → q. sua recíproca será: q → p Obs.: A recíproca de uma proposição condicional nem sempre é verdadeira. Vide tabela-verdade da proposição condicional. Exemplo: Estabeleça a recíproca de: “Se patos podem voar, então golfinhos podem nadar.” Solução: “Se golfinhos podem nadar, então patos podem voar” 2.5.2 Contrária (ou Inversa) de uma Proposição Condicional Seja a proposição condicional p → q. sua contrária ou inversa será: ~p → ~q Obs.: A contrária ou inversa de uma proposição condicional nem sempre é verdadeira. Não confundir a contrária ou inversa com a negação. Exemplo: Estabeleça a contrária de: “Se Goiânia é a capital do Brasil, o Brasil é um país da Europa.” Solução: “Se Goiânia não é a capital do Brasil, o Brasil não é país da Europa.” 2.5.3 Contrapositiva de uma Proposição Condicional. Seja a proposição condicional p → q. sua contrapositiva será: ~q → ~p Exemplo: Estabeleça a contrapositiva de: “Se é feriado, os bancos estão fechados.” Solução: “Se os bancos não estão fechados, não é feriado.” Nota: Teorema Contra-recíproco: “A CONTRAPOSITIVA é equivalente à proposição condicional primitiva”, ou seja: p q q p ~ ~ → ⇔ → Exercícios: 8) Com base na proposição: “Se é carnaval, os sambistas dançam nas ruas.”, determine: a) a recíproca; b) a contrária; c) a contrapositiva. 9) Para a proposição: “Se eu estudar muito, passarei no Teste ANPAD”, determine: a) a recíproca; b) a contrária; c) a contrapositiva. 2.6 Conectivo Bicondicional “se, somente se” (Símbolo: “↔”) Realizando a conjunção (∧) de p → q com q → p resultará p ↔ q, ou seja: p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) Nota: A proposição composta “se, somente se” (p ↔ q) assumirá o valor lógico V (verdadeiro) somente quando as duas proposições simples que a compõem tiverem valores lógicos iguais (em outras palavras, ambas devem ser verdadeiras ou ambas devem ser falsas). Tabela-verdade: Prof. Milton Araújo
[email protected] 8 p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V Exercícios: 10) Julgar as proposições simples abaixo e também a proposição composta p ↔ q p: O leão é um mamífero. q: 0 1 log = a , com a > 0 e a ≠ 1. Resposta: V 11) Julgar as proposições simples abaixo e, após, julgar a proposição composta p ↔ q p: O jogo do bicho é uma contravenção penal. q: 3 8 log 4 = . Resposta: F 12) Julgar as proposições simples abaixo e, após, julgar a proposição composta p ↔ q p: Pelé jogou pelo Guarani F. C. q: A capital da Alemanha é Berlin. Resposta: F 13) Julgar as proposições simples abaixo e, após, julgar a proposição composta p ↔ q p: A capital da Alemanha é Bonn. q: 9 é um número primo. Resposta: V 14) Construa a tabela-verdade das proposições abaixo: a) p ∧ ~q b) ~p ∨ q c) (p ↔ q) → ~(~p ∨ q) d) (p ∧ ~q) ↔ (~p ∨ ~r) e) (~p ∨ q) → [(~p ∨ r) ↔ s ∧ ~q] 2.7 Tabela-Resumo Conjunção Disjunção inclusiva Disjunção exclusiva Bicondição Condição Recíproca Contrária ou inversa Contrapositiva p q ~p ~q p ∧q p ∨q p ∨q p ↔q p →q q →p ~p →~q ~q →~p V V F F V V F V V V V V V F F V F V V F F V V F F V V F F V V F V F F V F F V V F F F V V V V V 3 TAUTOLOGIA E CONTRADIÇÃO. 3.1 Definição de Tautologia. Tautologia é uma proposição composta que sempre terá resultado lógico verdadeiro, isto é, na tabela-verdade a última coluna somente terá valores lógicos verdadeiros (V) Exemplo: a proposição lógica ~(p ∨ q) ↔ ~p ∧ ~q é uma tautologia, pois: p q ~p ~q p ∨ q ~(p ∨ q) ~p ∧ ~q ~(p ∨ q) ↔ ~p ∧ ~q V V F F V F F V V F F V V F F V F V V F V F F V F F V V F V V V (Veremos mais adiante, em “Álgebra das Proposições”, uma forma de resolver este tipo de questão sem recorrer à Tabela-Verdade.) Prof. Milton Araújo
[email protected] 9 Exercício: 15) Provar que as proposições compostas abaixo são tautologias: a) p ∨ (p ∧ q) ↔ p b) p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) c) p ∨ ~(p ∧ q) 3.2 Definição de Contradição. Contradição é uma proposição composta que sempre terá resultado lógico falso (F), isto é, na tabela-verdade a última coluna somente terá valores lógicos falsos (F) Exemplo: a proposição composta (~p ∨ ~q) ↔ (p ∧ q), pois p q ~p ~q (~p ∨ ~q) p ∧ q (~p ∨ ~q) ↔ (p ∧ q) V V F F F V F V F F V V F F F V V F V F F F F V V V F F Observe que a última coluna somente apresenta valores lógicos F (falsos) Exercícios: 16) Nos itens a seguir, identificar as tautologias e as contradições: a) [p ∨ (p ∧ q)] ↔ p b) (~p ∨ ~q) ∨ (p → q) c) (~p ∨ ~q) ↔ (p ∧ q) Respostas: a) Tautologia b) Tautologia c) Contradição Obs.: O que não for tautologia, nem contradição, é contingência. 4 IMPLICAÇÃO LÓGICA E EQUIVALÊNCIA LÓGICA 4.1 Implicação Lógica. Símbolo: ⇒ Observação: Não confundir o símbolo de implicação lógica (⇒) com o símbolo da proposição composta “se…, então…” (→), pois, enquanto este último realiza uma operação lógica entre duas proposições, o primeiro estabelece apenas uma relação entre duas proposições. Uma proposição somente implicará outra se, na tabela verdade não houver VF nesta ordem Exemplo: Verificar se p ∧ q ⇒ p ∨ q Solução: tabela-verdade p q p ∧ q p ∨ q V V V V V F F V F V F V F F F F Observe que, nas duas colunas marcadas na tabela acima, não figuram V e F nesta ordem. Logo, a primeira proposição composta implica a segunda. 4.2 Equivalência Lógica. Observação: Não confundir o símbolo de equivalência lógica (⇔) com o símbolo da proposição composta “se, somente se” (↔), pois, enquanto este último realiza uma operação lógica entre duas proposições, o primeiro estabelece apenas uma relação entre duas proposições. Uma proposição somente será equivalente a outra se, na tabela verdade não houver VF nem FV nesta ordem. Exemplo: Prof. Milton Araújo
[email protected] 10 Verificar se a equivalência lógica p → q ⇔ ~p ∨ q é verdadeira. Solução: p q ~p p → q ~p ∨ q V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V Observe que, nas duas colunas destacadas, não aparecem VF nem FV (nesta ordem). Desse modo, as proposições são equivalentes. Exercícios: 17) Verificar se p ⇒ q, sendo: p: O triângulo eqüilátero tem três lados iguais. q: O trapézio é um quadrilátero. Resposta: Não houve a ocorrência de VF, logo: p ⇒ q 18) Determinar o valor lógico de: “594 ÷ 11= 54 ⇒ 91 é um número primo.” Resposta: Falsa (ocorreu VF, nesta ordem). 4.3 Quadro-Resumo Resultado Lógico será Verdadeiro se Implicação (símbolo: ⇒) Tabela-verdade não contiver VF Equivalência (símbolo: ⇔) Tabela-verdade não contiver VF, nem FV 5 ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES. Abordaremos apenas as principais propriedades das proposições lógicas. Estas são suficientes para a resolução rápida da maioria das questões de Raciocínio Lógico do Teste ANPAD, dispensando o candidato de recorrer à tabela-verdade para a solução de tais questões. 5.1 Propriedade Comutativa. a) p ∧ q ⇔ q ∧ p b) p ∨ q ⇔ q ∨ p c) p ∨ q ⇔ q ∨ p d) p ↔ q ⇔ q ↔ p Obs.: Não se aplica a propriedade comutativa à proposição condicional. 5.2 Propriedade Distributiva. a) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) b) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 5.3 Leis de De Morgan 2 . a) ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q b) ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q Obs.: em decorrência da equivalência lógica “p → q ⇔ ~(p ∧ ~q)”, segue-se que podemos obter a negação de “p → q” conforme indicado a seguir: ~(p → q) ⇔ p ∧ ~q 2 De Morgan, Augustus (1806 – 1871) foi professor na Universidade de Londres. Prof. Milton Araújo
[email protected] 11 Nota Importante: Observe que acima se tem a NEGAÇÃO de uma proposição condicional. Há duas formas de se estabelecer a NEGAÇÃO de uma proposição condicional: 1) Acrescenta-se “Não é verdade que” antes da proposição condicional, ou 2) Mantém-se a proposição p e nega-se a proposição q. Obs.: Nunca confundir a negação de uma proposição condicional com a sua contrária ou inversa! Exercícios: 19) Como você expressaria a proposição bicondicional p ↔ q usando os conectivos “∧”, “∨” e a negação “~”. Resposta: p ↔ q ⇔ (~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p) 20) Determinar a inversa da recíproca da contrapositiva de “p → q”. Resposta: p → q 21) Verificar se são logicamente equivalentes as proposições: “Quem ganha bem, não atrasa as contas.” e “Quem não ganha bem, atrasa as contas.” Solução: Sendo: p: ganha bem. ~p: não ganha bem. q: atrasa contas. ~q: não atrasa contas. p → ~q não é equivalente a ~p → q Lembre-se de que somente a contrapositiva é equivalente à proposição condicional primitiva (Teorema Contra-recíproco). 22) Verifique a veracidade de: p ∨ q ⇔ (p → q) → p Resposta: Falsa: 6 ARGUMENTO 6.1 Conceito de Argumento lógico dedutivo. Um argumento é formado por duas ou mais proposições, chamadas premissas (representadas por letras maiúsculas: P 1 , P 2 , …) e uma proposição final, chamada de conclusão (representada pela letra maiúscula C). A forma mais comum de representação de um argumento é colocar todas as premissas (uma por linha), e, logo abaixo, a sua conclusão, separada das premissas por um traço. Exemplo: Se 5 125 log 5 = , então Londres é a capital do Reino Unido. (P 1 ) Mas 5 125 log 5 ≠ (P2) Logo, Londres não é a capital do Reino Unido (C) 6.2 Validade de um Argumento. Para que um argumento seja válido é necessário que sua conclusão seja verdadeira sempre que suas premissas também forem verdadeiras. Em outras palavras, identificam-se, na tabela-verdade, todas as linhas que têm todas as premissas com valor lógico verdadeiro. Se, nessas linhas, a conclusão também for verdadeira, diz-se que o argumento é válido, caso contrário, o argumento é dito não-válido, ou sofisma ou falácia. Prof. Milton Araújo
[email protected] 12 Etapas para validar um argumento: Dado o argumento: Se 5 125 log 5 = , então Londres é a capital do Reino Unido. (P 1 ) Mas 5 125 log 5 ≠ (P2) Logo, Londres não é a capital do Reino Unido (C) 1º Passo – Escrever as proposições lógicas que compõem o argumento na linguagem simbólica: p: 5 125 log 5 = q: Londres é a capital do Reino Unido. 2º Passo – Escrever o argumento em linguagem simbólica: P 1 : p → q P 2 : ~p C: ~q 3º Passo – Montar a tabela-verdade, identificando as colunas das premissas e a coluna da conclusão: p q ~p ~q p → q V V F F V V F F V F F V V F V F F V V V P 2 C P 1 4º Passo – Destacar as linhas em que todas as premissas são verdadeiras (ver as linhas 3 e 4 na tabela acima) 5º Passo – Verificar se, nas linhas assinaladas no passo anterior, a coluna da conclusão contém somente valores lógicos verdadeiros (caso em que o argumento será válido). Caso haja, na coluna da conclusão, das linhas selecionadas no 4º passo, um único valor lógico falso, o argumento é dito não-válido, ou sofisma ou falácia. Obs.: Em aula, veremos um atalho para o método de validação visto acima. Não perca esta aula. Exemplo: 1) Seja o argumento: 4 é um número primo ou par. Mas 4 não é um número primo, logo 4 é par. Solução: 1º. Proposições em linguagem simbólica: p: 4 é primo q: 4 é par 2º. Argumento em linguagem simbólica: P 1 : p ∨ q P 2 : ~p C: q 3º Tabela-verdade: p q ~p p ∨ q V V F V V F F V F V V V F F V F C P 2 P 1 Prof. Milton Araújo
[email protected] 13 Observe, na tabela acima, o destaque dado à terceira linha. Nela, as duas premissas são verdadeiras e a conclusão também o é, indicando que temos um argumento válido. 6.3 Silogismo. Silogismo é todo argumento constituído por apenas duas premissas, seguidas de uma conclusão. 6.4 Silogismo Hipotético. O silogismo hipotético é constituído de duas premissas com proposições condicionais, seguidas de uma conclusão também dada sob a forma de proposição condicional. Em linguagem simbólica, temos: P 1 : p → q P 2 : q → r C: p → r Observe que o conseqüente da primeira premissa é igual ao antecedente da segunda premissa. A conclusão é formada pelo antecedente da primeira premissa com o conseqüente da segunda premissa. Exemplo: Questão 9 - Raciocínio Lógico – SET/02 - Se Felipe toca violão, ele canta. Se Felipe toca piano, então ele não canta. Logo a) Se Felipe não toca violão, então ele não toca piano. b) Se Felipe toca violão, então ele não toca piano. c) Se Felipe toca violão, então ele não canta. d) Se Felipe canta, então ele não toca violão. e) Se Felipe toca piano, então ele canta. Solução: Trata-se de um silogismo hipotético. Transformando as frases para a linguagem simbólica: p: toca violão q: canta r: toca piano Colocando o argumento em linguagem simbólica: P 1 : p → q P 2 : r → ~q C: ? Buscamos a conclusão do argumento acima. Como a premissa 2 não está na ordem correta, vamos estabelecer a contrapositiva da segunda premissa: P 1 : p → q P 2 : q → ~r C: p → ~r Em linguagem corrente: “Se Felipe toca violão, então ele não toca piano”. Resposta: letra b. 7 SENTENÇAS ABERTAS. De acordo com o conceito visto no Capítulo 1, somente podemos classificar de proposições as sentenças declarativas, cujos resultados lógicos podem ser V ou F (mas não ambos de uma só vez!). Uma sentença aberta é aquela em que um ou mais componentes são variáveis. Exemplo: x – 3 = 2 Somente com a resolução da sentença aberta em um dado conjunto (associando-se um valor desse conjunto a “x”) a sentença aberta tornar-se-á uma proposição que pode ser V ou F. Prof. Milton Araújo
[email protected] 14 Uma sentença aberta não é, necessariamente, uma equação ou uma inequação (de uma ou mais variáveis). Se, por exemplo, nos referirmos à razão entre x e y teremos aí uma sentença aberta que não é equação nem inequação. 7.1 Sentenças Abertas com uma Variável. Exemplo: x – 3 = 2 é uma sentença aberta com uma variável 7.2 Conjunto-Verdade. Conjunto-verdade de uma sentença aberta é aquele em que se enumera(m) o(s) valor(es) que verifica(m) uma sentença aberta dada em forma de equação ou inequação. Exemplo: x – 3 = 2 Solução: x = 2 + 3 ⇒ x = 5 V = {5} é o conjunto-verdade da sentença aberta (equação) acima. 7.3 Implicação Lógica entre Sentenças Abertas. Uma sentença aberta implica (⇒) outra sentença aberta quando o conjunto-verdade da primeira está contido no conjunto-verdade da segunda. Exemplo: Verificar a implicação: x – 3 = 2 ⇒ x 2 – 25 = 0 O conjunto-verdade da primeira é: V 1 = {5}. O conjunto-verdade da segunda é: V 2 = {-5, 5}. Como o conjunto-verdade da primeira está contido no conjunto-verdade da segunda (V 1 ⊂ V 2 ), logo, a implicação é verdadeira. 7.4 Equivalência Lógica entre Sentenças Abertas. Uma sentença aberta é equivalente (⇔) a outra sentença aberta quando os conjuntos-verdade de ambas forem rigorosamente iguais. Exemplo: Verificar a equivalência: x – 3 = 2 ⇔ 5x – 25 = 0 O conjunto-verdade da primeira é: V 1 = {5}. O conjunto-verdade da segunda é: V 2 = {5}. Como os conjuntos-verdade de ambas são iguais, logo, a equivalência é verdadeira. 8 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE SENTENÇAS ABERTAS. 8.1 Conjunção. Se, em um dado conjunto A tivermos duas sentenças abertas “p(x)” e “q(x)”, um determinado elemento x 0 do conjunto A satisfizer, simultaneamente, ambas sentenças abertas, então q(x) p(x) ∧ será verdadeira. Em outras palavras, podemos dizer que o conjunto-verdade de q(x) p(x) ∧ no conjunto A é a interseção dos conjuntos-verdade de “p(x)” e “q(x)”. Exemplo: 2 3 - x : q 0 25 : p 2 = = − x O conjunto verdade de p(x) é: {-5, 5} O conjunto verdade de q(x) é: {5} A interseção dos dois conjuntos-verdade acima é: {5} Então, o conjunto-verdade de q p ∧ é: {5} 8.2 Disjunção. Se, em um dado conjunto A tivermos duas sentenças abertas “p(x)” e “q(x)”, um determinado elemento x 0 do conjunto A satisfizer pelo menos uma das sentenças abertas, então q p ∨ será verdadeira. Prof. Milton Araújo
[email protected] 15 Em outras palavras, podemos dizer que o conjunto-verdade de q p ∨ no conjunto A é a união dos conjuntos-verdade de “p(x)” e “q(x)”. Exemplo: 2 3 - x : q 0 25 : p 2 = = − x Já determinamos os conjuntos-verdade de p(x) e q(x) A união dos dois conjuntos-verdade é: {-5, 5} Então, o conjunto-verdade de q p ∨ é: {-5, 5} 8.3 Negação: Afirmação Negação x = y x ≠ y x ≠ y x = y x ≥ y x < y x < y x ≥ y x ≤ y x > y x > y x ≤ y 9 PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS (QUANTIFICADORES). 9.1 Quantificador Universal Há dois tipos de quantificadores universais: a) TODO (afirmativo) b) NENHUM (negativo) 9.2 Quantificador Existencial Há dois tipos de quantificadores existenciais: a) ALGUM (afirmativo) b) ALGUM... NÃO É... (negativo) 9.3 Proposições Categóricas 3 : Usando-se quantificadores, as proposições categóricas apresentam-se das seguintes formas: a) Todo A é B (proposição categórica universal afirmativa) b) Nenhum A é B (proposição categórica universal negativa) c) Algum A é B (proposição categórica existencial afirmativa) d) Algum A não é B (proposição categórica existencial negativa) 9.4 Negação de Proposições Categóricas: a) A negação de “Todo” é: “Pelo menos um não é”; OU “Existe um que não é”. Exemplo: Determinar a negativa da sentença: “Todo político é desonesto.” Solução: “Pelo menos um político é honesto”; OU “Existe político que não é desonesto”; OU “Existe político que é honesto”. b) A negação de “Algum” OU “Existe um...” é: “Todo... não é...” OU “Nenhum” Exemplo: Determinar a negativa da sentença: 3 Proposições categóricas são formadas por quantificadores (Todo, Nenhum, Algum, Algum não é). Prof. Milton Araújo
[email protected] 16 “Existe ao menos um político honesto.” Solução: “Qualquer que seja o político ele é desonesto”; OU “Todo político é desonesto.” c) A negação de “Nenhum” é: “Algum” Exemplo: Determinar a negativa da sentença: “Nenhum político é honesto”. Solução: “Alguns políticos são honestos”. 9.5 Argumentos Categóricos Até aqui vimos os argumentos baseados em proposições lógicas (simples ou compostas) formadas com o uso dos conectivos (e, ou, se..., então..., se, somente, se). Um outro tipo de argumento é aquele no qual não constam os conectivos: são os argumentos categóricos, cujas premissas são proposições categóricas. OBS.: Para a solução de argumentos categóricos é mais apropriado utilizar diagramas lógicos. O método é expositivo e requer a sua presença na aula. Exemplos: a) Todo A é B Nenhum B é C Nenhum C é A b) Todos os mô são bô. Todos os rê são bô Alguns rê funcionam Alguns bô funcionam O primeiro exemplo é um silogismo categórico (duas premissas, seguidas da conclusão). O segundo exemplo é um argumento categórico (três ou mais premissas e a conclusão). Muito cuidado ao analisar a validade de argumentos categóricos. Exemplos 1. Terceiro Simulado – FEV/03 – Se é verdade que “Alguns escritores são poetas” e que “Nenhum político é poeta”, então, é verdade que a) nenhum político é escritor b) algum escritor é político c) algum político é escritor d) algum escritor não é político. e) nenhum escritor é político ou poeta. Resposta: letra d. 2. Segundo Simulado – FEV/03 – Todas as pessoas que viajam de carro e avião preferem avião. Algumas pessoas que viajam de avião não têm preferência por esse meio de transporte, logo a) Todas as pessoas que viajam de avião preferem esse meio de transporte b) Ninguém tem preferência por avião. c) Algumas pessoas que viajam de avião não viajam de carro. d) Quem viaja de carro prefere avião. e) Só quem viaja de carro e avião viaja de avião. Resposta: letra c. Prof. Milton Araújo
[email protected] 17 3. Raciocínio Lógico – SET/02 – São verdadeiras as seguintes afirmações: I. Todos os mô são bô. II. Todos os rê são bô. III. Alguns rê funcionam. Então, a sentença que é conseqüência lógica de I, II e III é a) Alguns bô que funcionam não são rê. b) Alguns bô funcionam e alguns bô que funcionam não são rê. c) Alguns bô funcionam e nenhum mô funciona. d) Alguns mô funcionam. e) Alguns bô funcionam. Resposta: letra e. 4. Raciocínio Lógico – FEV/02 – São verdadeiras as seguintes informações: I. Todos os calouros são humanos. II. Todos os estudantes são humanos. III. Alguns estudantes pensam. Assim, a sentença que é conseqüência lógica de I, II e III é a) “Alguns humanos pensam.” b) “Alguns humanos que pensam não são estudantes.” c) “Alguns humanos pensam e nenhum calouro pensa.” d) “Alguns humanos pensam e alguns humanos que pensam não são estudantes.” e) “Todos os calouros são estudantes e alguns humanos pensam.” Resposta: letra a. Exercícios: 23) (FEI-SP) Dadas as premissas: “Todos os corintianos são fanáticos.” e “Existem fanáticos inteligentes”, pode-se tirar a conclusão seguinte: a) Existem corintianos inteligentes. b) Todo corintiano é inteligente c) Nenhum corintiano é inteligente. d) Todo inteligente é corintiano. e) Não se pode tirar conclusão. Reposta: e 24) Verificar a validade dos silogismos abaixo: a) Todo professor é inteligente. Cláudio não é professor Logo, Cláudio não é inteligente. b) Alguns médicos são professores. Nenhum médico é infalível. Logo, nenhum professor é infalível. c) Nenhum europeu é brasileiro. Nenhum brasileiro é asiático. Logo, nenhum europeu é asiático. d) Todas as pessoas que estudam muito passam no Teste ANPAD. Quem passa no teste ANPAD é inteligente. Logo, toda pessoa que estuda muito é inteligente. Repostas: a) Falácia b) Falácia c) Falácia d) Válido Prof. Milton Araújo
[email protected] 18 SIMBOLOGIA: NOME (ordem alfabética) SÍMBOLO Aproximadamente igual a ≅ Conjunto vazio ∅ Contém ⊃ E ∧ É equivalente a ⇔ Está contido ⊂ Existe (ou algum ou alguns) ∃ Implica ⇒ Infinito ∞ Interseção ∩ Maior ou igual a ≥ Maior que > Menor ou igual a ≤ Menor que < Não contém ⊃ / Não está contido ⊄ Não existe ∃/ Não pertence a ∉ Ou ∨ Para todo (ou qualquer que seja) ∀ Pertence a ∈ Se, somente se ↔ Se..., então... → Somatório ∑ União ∪ REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS SÉRATES, Jonofon. Raciocínio lógico. 8. ed. volume I. Brasília: Jonofon, 1998. ________________. Raciocínio lógico. 8. ed. volume II. Brasília: Jonofon, 1998. POFFAL, Cristiana A., RENZ, Sandra Pacheco. Fundamentos de lógica matemática. 2. ed. Canoas: La Salle, 2002. Prof. Milton Araújo
[email protected] 19 INSTRUÇÕES: I. Revise os Capítulos 1 a 5 – Raciocínio Lógico – da apostila. Refaça os exemplos resolvidos em sala de aula, para reforçar conceitos. Em caso de dúvidas, solicite esclarecimentos antes de iniciar o exercício. II. Marque o tempo gasto por você para responder todas as questões. Trabalhe como se estivesse resolvendo um simulado. Não faça interrupções durante o exercício. Procure responder todas as questões em tempo contínuo. III. Assinale suas opções e confira com os gabaritos, que estão na apostila. O ideal é que você consiga acertar, no mínimo, 70% das questões. IV. Divida o tempo total gasto para resolver esta lista pelo número de questões e verifique como está sua média de tempo por questão. O tempo médio por questão é de dois minutos e quinze segundos. V Para facilitar o exercício, você poderá dividir a lista em módulos contendo 20 questões cada um. Assim, para cada módulo, o tempo de execução deverá ser de 45 minutos, com um mínimo de 14 questões respondidas corretamente. 1) RL/3 – FEV/07. Sejam as proposições : p “O cão é bravo” e : q “O gato é branco”. A linguagem simbólica equivalente à proposição “Não é verdade que o cão é bravo ou o gato não é branco” é a) q p ∧ ~ b) q p ~ ~ ∨ c) q p → d) q p ∨ ~ e) q p ~ ∨ 2) RL/12 – FEV/07. Considere a proposição “Não é verdade que, se Maria não é elegante, então ela é inteligente”. Uma proposição logicamente equivalente é a) “Maria é elegante ou é inteligente”. b) “Maria é elegante e não é inteligente”. c) “Maria não é elegante e é inteligente”. d) “Maria não é elegante e nem é inteligente”. e) “Maria não é elegante ou não é inteligente”. 3) RL/3 – SET/06. Considera as proposições a seguir: I. Josi é morena ou não é verdade que Josi é morena e Jorge é loiro. II. Ou o café não está quente ou o bolo não está delicioso se, e somente se, o café está quente e o bolo está delicioso. Pode-se afirmar que a) ambas as proposições são tautologias. b) ambas as proposições são contradições. c) a proposição I é uma contradição e a II é uma tautologia. d) a proposição I é uma tautologia e a II é uma contradição. e) ambas as proposições não são tautologias. 4) RL/11 – SET/06. Dada a proposição composta “Não é verdade que se João estiver de férias ele não vai trabalhar, então, ele está de férias e trabalhando”, pode-se afirmar que a) é uma contradição. b) é uma tautologia. c) não é tautologia e nem contradição. d) é equivalente a “se João está de férias então ele não trabalha”. e) é equivalente a “se João está de férias então ele trabalha”. 5) RL/13 – SET/06. Considere as seguintes sentenças: I. Paulo foi Ministro da Educação. II. ( ) 0 = π k sen , com { } 3 , 2 , 1 , 0 ∈ k . III. 12 5 = + x . Do ponto de vista da lógica, pode-se dizer que a) I, II e III são proposições. b) I e III são proposições. Prof. Milton Araújo
[email protected] 20 c) II não é uma proposição. e) I, II e III não são proposições. e) I e III não são proposições e II é uma proposição. 6) RL/15 – SET/06. Se P é a proposição “José fez a prova” e Q é a proposição “Pedro estudou”, então a proposição composta “Não é verdade que se José não fez a prova então Pedro estudou” pode ser escrita na linguagem simbólica como a) ( ) P Q∧ ~ ~ b) ( ) Q P ∧ ~ ~ c) ( ) Q P → ~ d) Q P → ~ e) Q P ~ ~ ∧ 7) RL/16 – SET/06. Sabendo que P e Q são proposições, o que NÃO se pode afirmar sobre a função valoração (v)? a) v(~P) = V se, e somente se, v(P) = F. b) v(P∧Q) = V se, e somente se, v(P) = v(Q) = V. c) v(P∨Q) = V se, e somente se, v(P) = V ou v(Q) = V. d) v(P→Q) = V se, e somente se, v(P) = F ou v(Q) = V e) v(P↔Q) = V se, e somente se, v(P) = v(Q) = V. 8) RL/3 – JUN/06. Considerando-se a proposição : p “Se Rui é bom poeta, então Jorge é atleta”, é CORRETO afirmar que a) a contrapositiva de p é “Se Rui não é bom poeta, então Jorge não é atleta”. b) a contrapositiva de p é “Se Jorge não é atleta, então Rui não é bom poeta”. c) a contrapositiva de p é “Se Jorge é atleta”, então Rui é bom poeta”. d) a recíproca de p é “Se Rui não é bom poeta, então Jorge não é atleta”. e) a recíproca de p é “Se Jorge não é atleta, então Rui não é bom poeta”. 9) RL/7 – JUN/06. A negação da proposição “Se João é jogador de basquete, então ele é bonito”, é: a) “Se João não é jogador de basquete, então ele não é bonito”. b) “Se João não é bonito, então ele não é jogador de basquete”. c) “João não é jogador de basquete ou ele é bonito”. d) “João é jogador de basquete ou ele não é bonito”. e) “João é jogador de basquete e ele não é bonito”. 10) RL/11 – JUN/06. Sejam as proposições: : p “Bruna foi ao cinema”. : q “Caio foi jogar tênis”. A proposição composta “Caio foi jogar tênis ou Bruna não foi ao cinema” pode ser escrita na linguagem simbólica como a) ( ) q p ~ ~ ~ ∧ b) ( ) q p ∨ ~ ~ c) ( ) q p ~ ~ ∨ d) ( ) q p ∧ ~ ~ e) ( ) q p ~ ~ ∧ 11) RL/13 – JUN/06. Seja a proposição “Se Davi pratica natação, então Nair joga vôlei”. Uma proposição equivalente pode ser dada por a) “Davi pratica natação e Nair joga vôlei”. b) “Davi não pratica natação ou Nair joga vôlei”. c) “Se Nair joga vôlei, então Davi pratica natação”. d) “Davi não pratica natação e Nair não joga vôlei”. e) “Se Davi não pratica natação, então Nair não joga vôlei”. 12) RL/5 – FEV/06. Uma proposição equivalente a “Se Tadeu é economista, então Renato não é estudioso” é a) “Se Renato é estudioso, então Tadeu não é economista”. b) “Se Renato é estudioso, então Tadeu é economista”. c) Se Tadeu não é economista, então Renato é estudioso”. d) “Tadeu é economista ou Renato é estudioso”. e) “Tadeu é economista ou Renato não é estudioso”. Prof. Milton Araújo
[email protected] 21 13) RL/6 – FEV/06. Considere { } 0 4 2 ; = + ℜ ∈ = x x A e as seguintes proposições: I. Se o Estado de Rio de Janeiro está na Região Sul, então { } 2 1 − = A . II. Se o Estado de Rio de Janeiro está na Região Sudeste, então { } 2 − = A . III. Se o Estado de Rio de Janeiro está na Região Sudeste, então { } 6 − = A . IV. Se o Estado de Rio de Janeiro está na Região Sul, então { } 2 − = A . A seqüência formada pelo valor verdade (V, se verdade; F, se falso) dessas proposições é, a) F V V V b) F V F F c) V V F V d) V F F F e) V V V V 14) RL/8 – FEV/06. A negação da proposição “Vera vai ao cinema ou à festa” é a) “Vera vai ao cinema ou não vai à festa”. b) “Vera não vai ao cinema ou não vai à festa”. c) “Vera vai ao cinema e à festa”. d) “Vera não vai ao cinema e vai à festa”. e) “Vera não vai ao cinema e não vai à festa”. 15) RL/18 – FEV/06. Considere as seguintes proposições: : p “Hoje é quarta-feira”. : q “Celso vai jogar boliche”. A proposição composta ( ) q p ∨ ~ ~ , em linguagem corrente, é expressa pela declaração: a) “Hoje é quarta-feira e Celso não vai jogar boliche”. b) “Hoje é quarta-feira ou Celso não vai jogar boliche”. c) “Hoje não é quarta-feira e Celso vai jogar boliche”. d) “Hoje não é quarta-feira e Celso não vai jogar boliche”. e) “Hoje não é quarta-feira ou Celso não vai jogar boliche”. 16) RL/9– SET/05. Dada a proposição “Não é verdade que, se a empresa não obtém lucro, então o gerente de vendas é demitido”. A negação dessa proposição pode ser descrita por a) “A empresa obteve lucro ou o gerente de vendas não é demitido”. b) “A empresa não obteve lucro ou o gerente de vendas não é demitido”. c) “A empresa não obteve lucro e o gerente de vendas é demitido”. d) “A empresa não obteve lucro ou o gerente de vendas é demitido”. e) “A empresa obteve lucro ou o gerente de vendas é demitido”. 17) RL/11– SET/05. A negação de “Carmelinda é magra e loira” pode ser descrita por a) “Carmelinda não é magra e não é loira”. b) “Carmelinda não é magra ou é loira”. c) “Carmelinda é magra e não é loira”. d) “Carmelinda não é magra ou não é loira”. e) “Carmelinda é magra ou não é loira”. 18) RL/17– SET/05. Sabe-se que “Se chegam visitas, o cachorro late”. Assim, é CORRETO afirmar que a) se não chegarem visitas, então o cachorro não latirá. b) o fato de chegarem visitas é condição necessária para o cachorro latir. c) o fato de chegarem visitas é condição suficiente para o cachorro latir. d) o cachorro só vai latir se chegarem visitas. e) se o cachorro latiu, então chegaram visitas. 19) RL/20– SET/05. A proposição composta “Maria vai ao cinema, ou não é verdade que Maria vai ao cinema e João vai ao médico” é a) uma tautologia. b) uma contingência. c) uma contradição. d) um silogismo. e) um paradoxo. Prof. Milton Araújo
[email protected] 22 20) RL/16– FEV/05. Giovanni, professor de Matemática, dá o seguinte aviso a seus alunos: “Darei aula no sábado se, e somente se chover”. Logo, pode-se corretamente concluir que a) se não choveu no sábado, Giovanni não deu aula. b) se choveu no sábado, Giovanni não deu aula. c) se Giovanni deu aula, não choveu no sábado. d) se choveu no sábado, é possível que Giovanni não tenha dado aula. e) se não choveu no sábado, Giovanni deu aula. 21) RL/5– SET/04. Sejam as proposições: : p Amir é estudioso. : q Amir é trabalhador. A alternativa abaixo que representa a proposição p q ~ ~ ∧ é a) Amir é trabalhador e estudioso. b) Amir não é trabalhador ou não é estudioso c) Amir não é trabalhador e é estudioso. d) Amir não é trabalhador ou é estudioso. e) Amir não é trabalhador e não é estudioso. 22) RL/7– SET/04. Baseando-se nas tabelas-verdade das proposições seguintes, a alternativa que representa um valor falso é a) se 2 + 2 = 4, então 2 é par b) se 2 + 2 = 3, então 2 é ímpar c) se 2 + 2 = 4, então 2 é ímpar d) se 2 + 2 = 2, então 2 divide 3 e) se 2 + 2 = 2, então 2 – 2 = 2 23) RL/2– JUN/04. A negação da proposição: “Pedro fala inglês e francês” é a) “Pedro fala inglês ou fala francês”. b) “Pedro não fala inglês e fala francês”. c) “Pedro não fala inglês ou fala francês”. d) “Pedro não fala inglês e não fala francês”. e) “Pedro não fala inglês ou não fala francês”. 24) RL/8– JUN/04. Dada a proposição: “Se Carla é solteira, então Maria é estudante”, uma proposição equivalente é a) “Carla é solteira e Maria é estudante”. b) “Se Maria é estudante, então Carla é solteira”. c) “Se Maria não estudante, então Carla não é solteira”. d) “Maria é estudante se, e somente se,Carla é solteira”. e) “Se Carla não é solteira, então Maria não é estudante”. 25) RL/19– FEV/04. Um vendedor fala para seu cliente: “quem tem dinheiro não compra fiado”. O cliente escuta e repete: “quem não tem dinheiro compra fiado”. Pode-se dizer que a) as duas afirmações são equivalentes. b) as duas afirmações não são equivalentes. c) as duas afirmações não são inversas. d) as duas afirmações são condicionais equivalentes. e) as duas afirmações não são condicionais. 26) RL/20– SET/03. Considere as seguintes proposições simples : p João vai ao clube. : q Hoje é domingo. A proposição composta ( ) q p ~ ~ ∧ , em linguagem corrente, é a) João vai ao clube ou hoje é domingo. b) João vai ao clube e hoje é domingo. c) João não vai ao clube e hoje não é domingo. d) João não vai ao clube e hoje é domingo. e) João não vai ao clube ou hoje é domingo. 27) RL/3– FEV/03. A NEGAÇÃO da sentença “Ana não voltou e foi ao cinema”. é a) “Ana voltou ou não foi ao cinema”. b) “Ana voltou e não foi ao cinema”. c) “Ana não voltou ou não foi ao cinema”. Prof. Milton Araújo
[email protected] 23 d) “Ana não voltou e não foi ao cinema”. e) “Ana não voltou e foi ao cinema”. 28) RL/7– FEV/03. Sejam as proposições p: João é inteligente e q: Paulo joga tênis. Então, ( ) q p ∨ ~ ~ , em linguagem corrente, é a) João é inteligente ou Paulo não joga tênis. b) João é inteligente e Paulo não joga tênis. c) João não é inteligente e Paulo não joga tênis. d) João não é inteligente ou Paulo joga tênis. e) João é inteligente ou Paulo joga tênis. 29) RL/13– FEV/03. A CONTRAPOSITIVA da proposição “Se os preços aumentam, então as vendas diminuem”. é a) “Se os preços diminuem, então as vendas aumentam”. b) “Os preços diminuem e as vendas aumentam”. c) “Se os preços aumentam, então as vendas aumentam”. d) “As vendas aumentam ou os preços diminuem”. e) “Se as vendas aumentam, então os preços diminuem”. 30) RL/6– SET/02. Se Rubens estudar, então passará no concurso. Deste modo, é correto afirmar que a) Se Rubens não passar no concurso, então não terá estudado. b) O estudo de Rubens é condição necessária para que ele passe no concurso. c) Se Rubens não estudar, não passará no concurso. d) Rubens passará no concurso só se estudar. e) Mesmo que Rubens estude, ele não passará no concurso. 31) RL/7– SET/02. Sejam as proposições p: Luísa é bancária. q: Luísa é fumante. Então, a proposição ~(q ∨ ~p), em linguagem corrente é a) “Luísa não é bancária e não é fumante”. b) “Luísa é bancária e não é fumante”. c) “Luísa é fumante, mas não é bancária”. d) “Luísa não é bancária ou é fumante”. e) “Luísa é bancária ou é fumante”. 32) RL/13– SET/02. A proposição p → ~q é equivalente a a) p ∨ q b) p ∧ ~q c) ~p → q d) ~q → p e) ~p ∨ ~q 33) RL/15– SET/02. Sejam p: 9 + 32 = 51 q: O comprimento de uma circunferência é dado por 2 l π = S , onde l é o raio da circunferência. Então, a proposição verdadeira é a) (p ∨ ~q) → q b) ~(p ∨ q) → q c) (p ∧ ~q) → q d) (~p ∨ ~q) → q e) ~(p ∧ q) → q 34) RL/21– SET/02. A proposição ~(p → ~r) → q ∧ r é falsa, se: a) p e q são verdadeira e r falsa. b) p, q e r são verdadeiras. c) p e q são falsas e r verdadeira. d) p, q e r são falsas. e) p e r são verdadeiras e q é falsa. 35) RL/1– JUN/02. A proposição p ∧ (~p ∨ q) é equivalente à proposição a) ~p ∨ q b) p ∧ q c) p ∨ q d) ~p ∧ q e) p ∧ ~q 36) RL/6– JUN/02. Considere as seguintes sentenças: I ~(p ∨ q) ↔ ~p ∧ ~q. Prof. Milton Araújo
[email protected] 24 II ~(p ∧ q) ↔ ~p ∧ ~q. III p ∨ (p ∧ q) ↔ p IV p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Dentre as quatro sentenças, as que representam tautologias são a) II, III e IV b) I, III e IV c) apenas I e IV d) apenas I e III e) apenas II e IV 37) RL/18– JUN/02. Considere as seguintes proposições simples: p: José é estudante. q: Maria é professora. A proposição composta ~(~p ∨ q), em linguagem corrente, é a) “José não é estudante ou Maria é professora.” b) “José é estudante ou Maria não é professora.” c) “José não é estudante ou Maria não é professora.” d) “José é estudante e Maria é professora.” e) “José é estudante e Maria não é professora.” 38) RL/22– JUN/02. Considere a sentença “Se é feriado, os bancos estão fechados.” A CONTRAPOSITIVA dessa sentença é a) “Se os bancos não estão fechados, não é feriado.” b) “Se os bancos estão fechados, não é feriado.” c) “Se não é feriado, os bancos estão fechados.” d) “Se os bancos estão fechados, é feriado.” e) “Se é feriado, os bancos estão fechados.” 39) RL/25– JUN/02. Considere as seguintes proposições simples: p: Pardais adoram frutas. q: Fazendeiros detestam pardais. A proposição composta ~(p ∧ ~q), em linguagem corrente, é a) “É falso que pardais adoram frutas e que fazendeiros detestam pardais” b) “Fazendeiros detestam pardais ou pardais não adoram frutas”. c) “É falso que pardais adoram frutas ou que fazendeiros detestam pardais”. d) “Fazendeiros detestam pardais e pardais adoram frutas”. e) “Fazendeiros detestam pardais ou pardais adoram frutas”. 40) RL/1– FEV/02. Considere as seguintes proposições simples: p: Golfinhos comem sardinha. q: Cristina não gosta de golfinhos. A proposição composta ~(p ∧ ~q), em linguagem corrente, é: a) É falso que os golfinhos comem sardinha e que Cristina não gosta de golfinhos. b) Cristina não gosta de golfinhos ou os golfinhos não comem sardinha. c) É falso que os golfinhos comem sardinha ou que Cristina gosta de golfinhos. d) Cristina gosta de golfinhos e os golfinhos comem sardinha. e) Cristina gosta de golfinhos ou os golfinhos comem sardinha. O Gabarito desta Lista está em arquivo separado. Você poderá se considerar bem preparado(a) nestes conteúdos se acertou, no mínimo, 28 questões desta lista e conseguiu resolvê-la num tempo inferior a 90 minutos. Divida as listas em módulos contendo vinte questões cada um. Assim, para cada módulo de 20 questões, você poderá avaliar o seu desempenho do seguinte modo: a) tempo ideal de resolução do módulo de 20 questões: 45 minutos; b) Número mínimo de acertos do módulo de 20 questões: 14. Prof. Milton Araújo
[email protected] 25 INSTRUÇÕES: I. Revise os Capítulos 6 a 9 – Raciocínio Lógico – da apostila. Refaça os exemplos resolvidos em sala de aula. Em caso de dúvidas, solicite esclarecimentos antes de iniciar o exercício. II. Marque o TEMPO gasto por você para responder todas as questões. Trabalhe como se estivesse resolvendo um simulado. Não faça interrupções durante o exercício. Procure responder todas as questões em tempo contínuo. III. Assinale suas opções e confira com os gabaritos, que estão na apostila. O ideal é que você consiga acertar, no mínimo, 70% das questões. IV. Divida o tempo total gasto para resolver esta lista pelo número de questões e verifique como está sua média de tempo por questão. O tempo médio ideal por questão é de dois minutos e quinze segundos. V Para facilitar o exercício, você poderá dividir a lista em módulos contendo 20 questões cada um. Assim, para cada módulo, o tempo de execução deverá ser de 45 minutos, com um mínimo de 14 questões respondidas corretamente. 1) RL/6 – FEV/07. Considere os seguintes conjuntos de premissas e conclusões: I. Algum avô é economista. Algum economista é avô. II. Nenhum arquiteto é cantor. Logo, nenhum cantor é arquiteto. III. Todo advogado é poeta. Logo, todo poeta é advogado. Qual(is) argumento(s) é(são) válido(s)? a) somente I b) somente II c) somente I e II d) somente II e III e) todos 2) RL/10 – FEV/07. Das proposições “Nenhuma fruta marrom é doce” e “Algum abacaxi é doce”, conclui-se que a) “Algum abacaxi não é marrom”. b) “Todo abacaxi é marrom”. c) “Nenhum abacaxi é marrom”. d) “Algum abacaxi é marrom”. e) “Todo abacaxi não é marrom”. 3) RL/17 – FEV/07. Considerem-se as seguintes proposições: • “Todas as pessoas ricas são cultas”. • "Nenhum pescador é culto”. • “Hugo é rico”. Uma conclusão que necessita de todas essa proposições como premissas é a) “Ricos são cultos”. b) “Hugo não é culto”. c) “Hugo não é pescador”. d) “Hugo é rico e pescador”. e) “Hugo é um pescador culto”. 4) RL/18 – FEV/07. Considerem-se as seguintes premissas: • “Todos os jogadores de futebol são bonitos”. • “Lucas é bonito”. • “Modelos fotográficos são bonitos”. Considerem-se, também, as seguintes conclusões: I. “Lucas não é jogador de futebol nem modelo fotográfico”. II. “Lucas é jogador de futebol e também modelo fotográfico”. III. “Lucas é bonito e jogador de futebol”. Considerando as premissas, a validade de cada argumento gerado pelas conclusões I, II e III é, respectivamente, a) válido, válido, válido. Prof. Milton Araújo
[email protected] 26 b) não-válido, válido, válido. c) válido, não-válido, não-válido. d) não-válido, válido, não-válido. e) não-válido, não-válido, não-válido 5) RL/1 – SET/06. “Sejam X e Y conjuntos não vazios. Se a afirmação ‘todo X é Y’ é ______, então a afirmação ‘nenhum X é Y’ é falsa e a afirmação ‘alguns X são Y’ é ______. Agora, se a negação de ‘todo X é Y’ é uma afirmação falsa, então a afirmação ‘alguns X são Y’ será ______”. Qual das seguintes alternativas completa de forma CORRETA, na ordem, as lacunas do texto acima? a) falsa, verdadeira; falsa. b) falsa; falsa; falsa. c) verdadeira; verdadeira; verdadeira. d) verdadeira; falsa; falsa. e) verdadeira; falsa; verdadeira. 6) RL/4 – SET/06. Considere o anúncio a seguir: “Todo governo democrata é para o povo e um governo que é para o povo é duradouro. Agora, nenhum governo é duradouro.” Pode-se afirmar que a) o Brasil nunca teve um governo duradouro. b) o Brasil nunca teve um governo trabalhista. c) o Brasil nunca teve governo. d) os governos não são democratas. e) existem governos que não são para o povo. 7) RL/8 – SET/06. O argumento que NÃO é válido é a) O céu é azul e a terra é amarela. Logo, a terra é amarela. b) Manuel é rico. Todos os homens ricos são divertidos. Logo, Manuel é divertido. c) O céu é azul ou a grama é verde. logo, a grama é verde. d) Dinheiro é tempo e tempo é dinheiro. Logo, dinheiro é tempo. e) O domingo é divertido e tudo é azul. Logo, tudo é azul. 8) RL/20 – SET/06. Considere as regras do cálculo proposicional e suas derivações, qual das proposições abaixo pode ser derivada das proposições: “ R E ~ → ” e “ A E ~ ~ → ”? a) R A∧ b) ( ) R A∧ ~ c) R A → d) A R → ~ e) ( ) R A → ~ 9) RL/5 – JUN/06. Considere os seguintes argumentos: I. Todas as aves são carnívoras. Existem peixes que são carnívoros. Logo, existem peixes que são aves. II. Todos os minerais são aves. Existem borboletas que são minerais. Logo, existem borboletas que são aves. III. O assassino é o chofer ou Lea é pretensiosa. Ora, Lea não é pretensiosa. Logo, o assassino é o chofer. A seqüência CORRETA quanto à validade dos argumentos I, II e III é, respectivamente, a) não-válido, válido, válido. b) não-válido, válido, não-válido. c) não-válido, não-válido, não-válido. d) válido, válido, não-válido. e) válido, válido, válido. 10) RL/17 – JUN/06. A negação da proposição “Nenhuma fruta não é doce” pode ser a) “Nenhuma fruta é doce”. b) “Todas as frutas são doces”. c) “Existem frutas que são doces”. d) “Todas as frutas não são doces”. e) “Existem frutas que não são doces”. Prof. Milton Araújo
[email protected] 27 11) RL/18 – JUN/06. Cinco amigos, André, Celso, Daniel, Hugo e Mário, prestam exame de seleção para a Aeronáutica. Sabe-se que, se André estudou, Celso foi aprovado; se Daniel foi aprovado, André estudou; se Hugo não estudou, Mário também não o fez; se Hugo estudou,Daniel foi aprovado. Como Mário estudou, a) Daniel não foi aprovado. b) Hugo não foi aprovado. c) Mário foi aprovado. d) André foi aprovado. e) Celso foi aprovado. 12) RL/19 – JUN/06. Seja a proposição : p “Todos os filósofos são calvos”. A proposição que NÃO é equivalente a p é a) “Os filósofos são calvos”. b) “Qualquer filósofo é calvo”. c) “Nenhum filósofo não é calvo”. d) “Se alguém é calvo, então ele é filósofo”. e) “Se alguém não é calvo, então não é filósofo”. 13) RL/11 – FEV/06. A negação da proposição “Todas as máquinas não são eficientes” é a) “Nenhuma máquina é eficiente”. b) “Todas as máquinas são eficientes”. c) “Existe máquina que é eficiente”. d) “Existe máquina que não é eficiente”. e) “Não é verdade que todas as máquinas são eficientes”. 14) RL/15 – FEV/06. Considere os seguintes argumentos: I. Se o leão é manso, então o coelho não é branco. Como o coelho é branco, o leão não é manso. II. O anel é de aço ou a bolinha é de ferro. O anel não é de aço – logo, a bolinha não é de ferro. III. Se Denise canta, então Flávio chora. Ora, Denise não canta, logo, Flávio não chora. A atribuição de validade aos argumentos I, II e III forma, respectivamente, a seguinte seqüência: a) válido, não-válido, não-válido. b) não-válido, não-válido, não-válido. c) válido, válido, não-válido. d) não-válido, não-válido, válido. e) válido, não-válido, válido. 15) RL/1 – SET/05. Considere os seguintes argumentos quanto a sua validade (legitimidade). I. Há, quando muito, um lógico incoerente. Aristóteles é um lógico incoerente. Flammarion não é Aristóteles. Portanto, Flammarion é um lógico coerente. II. Todo leão é feroz. Alguns leões não caçam. Portanto, alguns animais ferozes não caçam. III. Existem pessoas naquele bar. Todas as pessoas que estão no bar são homens. Portanto, todas as pessoas que freqüentam o bar são homens. A seqüência que corresponde à atribuição CORRETA de validade para os argumentos é a) válido, válido, válido b) inválido, inválido, inválido c) válido, inválido, válido d) válido, válido, inválido. e) inválido, válido, inválido 16) RL/7– SET/05. Sejam dadas as premissas “Alguns engenheiros são estudiosos” e “Todos os engenheiros são aprovados no teste”. Para que se tenha um argumento válido, pode-se concluir que a) “Todos os estudiosos são engenheiros”. b) “Todos os estudiosos são aprovados no teste”. c) “Alguns estudiosos são aprovados no teste”. Prof. Milton Araújo
[email protected] 28 d) “Todos os aprovados no teste são engenheiros”. e) “Todos os aprovados no teste são estudiosos”. 17) RL/11– SET/05. A negação de “Carmelinda é magra e loira” pode ser descrita por a) “Carmelinda não é magra e não é loira”. b) “Carmelinda não é magra ou é loira”. c) “Carmelinda é magra e não é loira”. d) “Carmelinda não é magra ou não é loira”. e) “Carmelinda é magra ou não é loira”. 18) RL/12– SET/05. Uma leitura da negação de “Todo quadrilátero que tem quatro ângulos congruentes tem quatro lados congruentes” pode ser a) “Ou o quadrilátero tem quatro ângulos congruentes ou tem quatro lados congruentes”. b) “Todo quadrilátero que tem quatro ângulos congruentes não tem quatro lados congruentes”. c) “Nem todo quadrilátero que tem quatro ângulos congruentes tem quatro lados congruentes”. d) “O quadrilátero não tem quatro ângulos congruentes e não tem quatro lados congruentes”. e) “Todo quadrilátero que não tem quatro ângulos congruentes não tem quatro lados congruentes”. 19) RL/13– SET/05. Considere as proposições abaixo I. Todo S é P. II. Nenhum S é P. III. Algum S é P. IV. Nenhum S não é P. Supondo que a proposição categórica “Algum S não é P” seja falsa, a seqüência formada pelo valor verdade (V, se verdade; F, se falso) das proposições apresentadas é, respectivamente, a) V V V V b) V F V F c) F V F F d) V F V V e) F F F F 20) RL/14– SET/05. João falou para seus alunos na aula de lógica formal: “Se o princípio da lógica for entendido, então a aula é proveitosa, todavia, a aula será proveitosa somente se vocês prestarem atenção”. Advertiu ainda sobre o fato de que a aula poderia ser proveitosa, mesmo que o princípio da lógica não fosse compreendido. Sabe-se que os alunos não prestaram atenção à aula. Logo, pode-se concluir que a) a aula foi proveitosa e o princípio da lógica foi entendido. b) a aula foi proveitosa ou o princípio da lógica foi entendido. c) a aula não foi proveitosa ou os alunos entenderam o princípio da lógica. d) a aula foi proveitosa e o princípio da lógica não foi entendido. e) a aula não foi proveitosa e os alunos não entenderam o princípio da lógica. 21) RL/16– SET/05. A proposição “É necessário que todos os administradores saibam lógica” é equivalente a a) “Nenhum administrador sabe lógica”. b) “Não é verdade que existe administrador que não sabe lógica”. c) “Não é verdade que todo administrador sabe lógica”. d) “Existe administrador que não sabe lógica”. e) “Todo administrador não sabe lógica”. 22) RL/18– SET/05. Considere as seguintes proposições. • “Quem sabe pintar não é insensível”. • “Mutantes não sabem escrever”. • “Quem não sabe escrever é insensível”. Uma conclusão possível pode ser escrita como a) “Os seres insensíveis não sabem escrever”. b) “Mutantes não sabem pintar”. c) “Seres que não sabem pintar são insensíveis”. d) “Seres que sabem escrever não são insensíveis”. d) “Seres que não sabem escrever são mutantes”. Prof. Milton Araújo
[email protected] 29 23) RL/2– JUN/05. Considere as seguintes proposições: p : “Todo soldado é forte”. q : “Alguns pedreiros não são fortes”. Supondo que p e q são verdadeiras, qual das seguintes alternativas está correta? a) “Os indivíduos que são pedreiros são fortes”. b) “Alguns soldados que são pedreiros não são fortes”. c) “Todos os soldados que são pedreiros são fortes”. d) “Nenhum soldado é pedreiro”. e) “Todo pedreiro é soldado”. 24) RL/6– JUN/05. Considere as seguintes proposições: : P “Maria não é administradora ou Vinícius é engenheiro”. : Q “Existem indivíduos que são administradores”. : R “Todos os professores são estudiosos”. : S “Se Sílvia é advogada, então ela tem curso superior”. : T “Márcio toma chá se, e somente se, está doente”. Com Base nas proposições acima, qual das seguintes alternativas está correta? a) A negação de P é: “Maria é administradora ou Vinícius não é engenheiro”. b) A negação de Q é: “Existem indivíduos que não são administradores”. c) A negação de R é: “Existem professores que são estudiosos”. d) A negação de S é: “Sílvia é advogada ou ela não tem curso superior”. e) A negação de T é: “Márcio toma chá e não está doente ou Márcio não toma chá e está doente”. 25) RL/9– JUN/05. Considerando que a proposição “Nenhum homem bom pratica o mal” é falsa, qual das seguintes alternativas apresenta uma proposição verdadeira? a) Todo homem bom pratica o mal. b) Todo homem bom não pratica o mal. c) Alguns homens bons não praticam o mal. d) Pelo menos um homem bom pratica o mal. e) Não há homem bom que pratique o mal. 26) RL/10– JUN/05. Considere as seguintes proposições condicionais: • Se Jorge é maior do que Jardel, então Tiago e Caio têm o mesmo tamanho. • Se Tiago e Caio têm o mesmo tamanho, então Pedro é maior do que Jardel. • Se Pedro é maior do que Jardel, então Jorge é maior do que Tiago. Sabendo-se que Jorge não é maior do que Tiago, qual das seguintes alternativas apresenta uma proposição verdadeira de acordo com as apresentadas acima? a) Jorge não é maior do que Tiago e Pedro é menor do que Jardel. b) Jorge é maior do que Jardel e Tiago e Caio têm o mesmo tamanho. c) Jorge não é maior do que Jardel e Tiago e Caio não têm o mesmo tamanho. d) Jorge é maior do que Jardel e Pedro é menor do que Jardel. e) Jorge e Pedro são menores do que Jardel. 27) RL/11– JUN/05. Se a laranja está azeda, então a manga não está doce. Ou a manga está doce ou André não gosta de manga. Ora, André gosta de manga. Logo, a) a laranja está azeda e a manga está doce. b) a laranja está azeda e a manga não está doce. c) a laranja não está azeda e a manga está doce. d) a laranja não está azeda e a manga não está doce. e) se a laranja não está azeda, então a manga está doce. 28) RL/3– FEV/05. Sabendo-se que todo A é B e que existe algum C que é A, pode-se afirmar que a) algum C não é B. b) existe pelo menos um C que é B. c) não existe nenhum C que é B. Prof. Milton Araújo
[email protected] 30 d) todo A é C. e) todo C é B 29) RL/7– FEV/05. O muro de uma escola foi pichado. Carlos, Giovanni e Mário são suspeitos. Sabe-se que o fato foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que (i) se Carlos é inocente, Giovanni é culpado; (ii) ou Mário é culpado ou Giovanni é culpado, mas não os dois; e (iii) Mário não é inocente. Logo, a) Giovanni e Mário são os culpados. b) somente Carlos é inocente. c) somente Giovanni é culpado. d) somente Mário é culpado. e) Carlos e Mário são os culpados. 30) RL/12– FEV/05. Se eu não saio de carro, o tempo fica ensolarado. Se eu saio de carro, Jonas, o gato, não sai de casa. Entretanto, Jonas saiu de casa. Logo, a) eu saí de carro e o tempo ficou ensolarado. b) eu saí de carro e o tempo não ficou ensolarado. c) eu não saí de carro e o tempo ficou ensolarado. d) eu não saí de carro e o tempo não ficou ensolarado. e) se Jonas saiu de casa, o tempo não ficou ensolarado. 31) RL/14– FEV/05. Sejam dados os enunciados: I Como aumentar as vendas? O poder aquisitivo dos brasileiros está diminuindo a cada ano. II João trabalha na empresa Y; portanto, ele e suas família têm planos de saúde. III Na cidade de São Pedro, a maioria das pessoas não sabe em quem votar. IV Os que criticam o aborto são hipócritas. Protestam contra quem faz o aborto, mas nada vêem de errado no fato de crianças morrerem de fome. V Você entende de administração? VI Não quero ir para casa pois o jogo ainda não acabou, e eu só saio do estádio quando ele acaba. Diante disso, pode-se afirmar que a) II, IV e VI são argumentos. b) I, II e VI são argumentos c) II, III e VI são argumentos d) II, IV e V são argumentos e) IV, V e VI são argumentos 32) RL/9– SET/04. Se “Alguns profissionais são administradores” e “Todos os administradores são pessoas competentes”, então, necessariamente, com as proposições apresentadas, pode-se inferir que a) “Algum profissional é uma pessoa competente”. b) “Toda pessoa competente é administradora”. c) “Todo administrador é profissional”. d) “Nenhuma pessoa competente é profissional”. e) “Nenhum profissional não é competente”. 33) RL/12– SET/04. Dadas as premissas 1 P e 2 P , e a conclusão Q, então o argumento válido é a) 1 P : “Se Matias estiver disposto, então ele ganhará o jogo”. 2 P : “Matias não estava disposto”. Q: “Matias não ganhou o jogo”. b) 1 P : “Se Matias estiver disposto, então ele ganhará o jogo”. 2 P : “Matias ganhou o jogo”. Q: “Matias estava disposto”. c) 1 P : “Se Matias estiver disposto, então ele ganhará o jogo”. 2 P : “Matias perdeu o jogo”. Prof. Milton Araújo
[email protected] 31 Q: “Matias não estava disposto”. d) 1 P : “Se Matias estiver disposto, então ele ganhará o jogo”. 2 P : “Matias perdeu o jogo”. Q: “Matias estava disposto”. e) 1 P : “Se Matias estiver disposto, então ele ganhará o jogo”. 2 P : “Matias estava disposto”. Q: “Matias ganhou o jogo”. 34) RL/18– FEV/04. Dadas as proposições: I Todos os homens são bons administradores. II Nenhum homem é bom administrador. III Todos os homens são maus administradores. IV Pelo menos um homem não é bom administrador. V Toda mulher é boa administradora. A(s) negação(ões) da proposição I é(são) a(s) proposição(ões) a) II b) III c) IV d) V e) II e IV 35) RL/3– JUN/04. Sejam , x , y , z t e u números reais. Se x é maior do que y , então z é maior do que t . Se z é maior do que t , então u é maior do que x . Ora, x é maior do que y . Logo, a) z é maior do que t e u é maior do que y . a) x é maior do que t e y é maior do que u . a) y é maior do que t e u é maior do que z . a) y é maior do que z e u é maior do que x . a) x é maior do que z e u é maior do que y . 36) RL/10– JUN/04. Todos os primogênitos da família Bragança têm olhos verdes. Eduardo tem olhos castanhos. Então, pode-se afirmar que a) Eduardo pertence à família Bragança. b) Eduardo não pertence à família Bragança. c) Eduardo pertence à família Bragança e é primogênito. d) Se Eduardo é primogênito, então pertence à família Bragança. e) Se Eduardo pertence à família Bragança, então não é primogênito. 37) RL/13– JUN/04. Toda criança é feliz. Algumas pessoas que usam óculos são infelizes. Logo, a) nenhuma criança usa óculos. b) as pessoas que não usam óculos são felizes. c) todas as crianças que usam óculos são felizes. d) todas as pessoas que usam óculos são infelizes. e) algumas crianças que usam óculos são infelizes. 38) RL/14– JUN/04. André mandou aprontar o seu carro para participar de uma corrida, mas não sabe se o mesmo ficará pronto. Seus amigos Júlio, Sérgio e Vítor têm opiniões diferentes sobre se o carro ficará ou não pronto até a hora da corrida. Se Júlio estiver certo, então Vítor estará enganado. Se Vítor estiver enganado, então Sérgio estará enganado. Se Sérgio estiver enganado, então o carro não ficará pronto. Nessa situação, ou o carro fica pronto ou André não participará da corrida. Ora, verificou-se que Júlio estava certo. Logo, a) o carro ficou pronto. b) André não participou da corrida. c) Sérgio e Vítor não estavam enganados. d) Vítor estava enganado, mas Sérgio não. e) Sérgio estava enganado, mas Vítor não. 39) RL/17– JUN/04. Se 2 = + y x , então 0 = x . Ora, x não é zero. Então, pode-se afirmar que Prof. Milton Araújo
[email protected] 32 a) 2 = y b) 0 = y c) x y − = 2 d) 2 ≠ + y x e) 0 ≠ y 40) RL/15– JUN/04. Numa vila afastada, chamada Vila 51, tem-se que “se um homem não é inteligente, então é bonito” e que “se é inteligente, então é preguiçoso”. Com base nessas afirmações, pode-se concluir que a) homens inteligentes não são bonitos. b) homens que não são bonitos não são inteligentes. c) homens bonitos são preguiçosos. d) homens que não são bonitos são preguiçosos. e) homens bonitos não são inteligentes. 41) RL/7– SET/03. Considerando verdadeiras as proposições “Se João cometeu um grave delito, então ele sonegou impostos.” e “João não sonegou impostos.”, pode-se concluir que a) “João sonegou impostos” b) “João cometeu um grave delito.” c) “João cometeu um grave delito e ele sonegou impostos.” d) “João não cometeu um grave delito.” e) “João cometeu um grave delito ou ele sonegou impostos.” 42) RL/9– SET/03. Considere a proposição “Paulo é elegante, ou Paulo é alto e moreno.” Como Paulo não é elegante, então, conclui-se que a) Paulo não é alto e não é moreno. b) Paulo não é alto ou não é moreno. c) Paulo é alto e moreno. d) Paulo é alto ou moreno. e) Paulo é alto e não é moreno. 43) RL/15– SET/03. Considere as proposições “Todos os cães são mamíferos” e “Alguns cães mordem”. Então, conclui-se que a) Todos os cães mordem b) Todos os mamíferos mordem c) Alguns mamíferos mordem d) Nenhum mamífero morde e) Nenhum cão morde. 44) RL/16– JUN/03. Considere as seguintes premissas I “Se não chover, Cláudia vai à praia.” II “Se chover, Fábia vai ao clube.” Como choveu o dia inteiro, então a) Cláudia não foi à praia e Fábia foi ao clube. b) Cláudia e Fábia não foram à praia. c) Cláudia e Fábia não foram ao clube. d) Cláudia foi à praia. e) Fábia foi ao clube. 45) RL/18– JUN/03. Considere a proposição “Pedro é estudioso e trabalhador, ou Pedro é bonito.” Como Pedro não é bonito, então a) Pedro é estudioso e trabalhador. b) Pedro é estudioso ou trabalhador. c) Pedro não é estudioso ou não é trabalhador. d) Pedro é estudioso e não é trabalhador. e) Pedro não é estudioso e não é trabalhador. 46) RL/1– FEV/03. A NEGAÇÃO da sentença “Todos os homens são honestos”. é a) “Nenhum homem é honesto”. b) “Todos os homens são desonestos”. c) “Algum homem é desonesto”. d) “Nenhum homem é desonesto”. e) “Alguns homens são honestos”. 47) RL/16– FEV/03. Considere as seguintes premissas: “Cláudia é bonita e inteligente, ou Cláudia é simpática”. Prof. Milton Araújo
[email protected] 33 “Cláudia não é simpática”. A partir dessas premissas, conclui-se que Cláudia a) “é bonita ou inteligente”. b) “é bonita e inteligente”. c) “é bonita e não é inteligente”. d) “não é bonita e não é inteligente”. e) “não é bonita e é inteligente”. 48) RL/3– SET/02. Todos os animais são seres vivos. Assim, a) O conjunto dos animais contém o conjunto dos seres vivos. b) O conjunto dos seres vivos contém o conjunto dos animais. c) Todos os seres vivos são animais. d) Alguns animais não são seres vivos. e) Nenhum animal é um ser vivo. 49) RL/5– SET/02. Todas as pessoas que comem banana e maçã preferem maçã. Algumas pessoas que comem maçã não a preferem. a) Todas as pessoas que comem maçã a preferem. b) Ninguém prefere maçã. c) Algumas pessoas que comem maçã não comem banana. d) Quem come banana prefere maçã. e) Só quem come banana e maçã come maçã. 50) RL/9– SET/02. Se Felipe toca violão, ele canta. Se Felipe toca piano, então ele não canta. Logo a) Se Felipe não toca violão, então ele não toca piano. b) Se Felipe toca violão, então ele não toca piano. c) Se Felipe toca violão, então ele não canta. d) Se Felipe canta, então ele não toca violão. e) Se Felipe toca piano, então ele canta. 51) RL/20– SET/02. São verdadeiras as seguintes afirmações: I. Todos os mô são bô. II. Todos os rê são bô. III. Alguns rê funcionam. Então, a sentença que é conseqüência lógica de I, II e III é a) Alguns bô que funcionam não são rê. b) Alguns bô funcionam e alguns bô que funcionam não são rê. c) Alguns bô funcionam e nenhum mô funciona. d) Alguns mô funcionam. e) Alguns bô funcionam. 52) RL/4– JUN/02. Considere os seguintes argumentos: I. Se 7 é menor que 4, então 7 não é primo. Mas 7 não é menor que 4, logo 7 é primo. II. Se Londres está na Dinamarca, então Paris não está na França. Mas Paris está na França, portanto Londres está na Dinamarca. III. Se 5 é um número primo, então 5 não divide 15. Mas 5 divide 15, logo 5 não é um número primo. A validade dos argumentos I, II, III forma, respectivamente, a seguinte seqüência: a) Válido, Válido, Válido b) Não-Válido, Não-Válido, Válido c) Válido, Não-Válido, Válido d) Válido, Válido, Não-Válido e) Não-Válido, Não-Válido, Não-Válido 53) RL/13– JUN/02. A negação da sentença “Nenhuma pessoa que chora muito fica desamparada” é a) “Todas as pessoas que choram muito ficam desamparadas”. b) “Todas as pessoas que choram muito não ficam desamparadas”. c) “Algumas pessoas que choram muito ficam desamparadas”. Prof. Milton Araújo
[email protected] 34 d) “Algumas pessoas que choram muito não ficam desamparadas”. e) “Nenhuma pessoa que chora muito fica desamparada” 54) RL/23– JUN/02. A negação da sentença “Todos os triângulos são eqüiláteros.” é a) “Todos os triângulos não são eqüiláteros.” b) “Existe triângulo que não é eqüilátero.” c) “Existe triângulo que é eqüilátero.” d) “Nenhum triângulo é eqüilátero.” e) “Todos os triângulos são isósceles.” 55) RL/2– FEV/02. A negação da sentença “Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola.” é a) “Todas as pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola.” b) “Todas as pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola.” c) “Algumas pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola.” d) “Algumas pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola.” e) “Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola.” 56) RL/8– FEV/02. A negação da proposição “Todos os homens são bons motoristas.” é a) “Todas as mulheres são boas motoristas”. b) “Algumas mulheres são boas motoristas”. c) “Nenhum homem é bom motorista”. d) “Todos os homens são maus motoristas”. e) “Ao menos um homem é mau motorista”. 57) RL/9– FEV/02. Considere as seguintes proposições: I Todo artista é simpático. II Todo político não é simpático. Pode-se afirmar que a) Alguns artistas são políticos. b) Algumas pessoas simpáticas são políticos. c) Nenhum artista é simpático. d) Nenhum artista é político. Nenhuma pessoa simpática é artista. 58) RL/14– FEV/02. São verdadeiras as seguintes informações: I Todos os calouros são humanos. II Todos os estudantes são humanos. III Alguns estudantes pensam. Assim, a sentença que é conseqüência lógica de I, II e III é a) “Alguns humanos pensam.” b) “Alguns humanos que pensam não são estudantes.” c) “Alguns humanos pensam e nenhum calouro pensa.” d) “Alguns humanos pensam e alguns humanos que pensam não são estudantes.” e) “Todos os calouros são estudantes e alguns humanos pensam.” 59) RL/23– FEV/02. Considere as seguintes sentenças: I A é vermelho se, somente se, B é verde. II B não é verde se, somente se, C é azul. Pode-se concluir que a) Se C é azul, então A não é vermelho. b) Se C é amarelo, então A não é vermelho. c) Se A não é vermelho, então C não é azul. d) Se C é azul, então B é amarelo. e) Se B é verde, então C é amarelo. 60) RL/25– FEV/02. Considere os argumentos abaixo: I Se 6 não é par, então 3 não é primo. Prof. Milton Araújo
[email protected] 35 Mas 6 é par. Logo 3 é primo. II Se faz frio, Margarete fica em casa. Margarete não ficou em casa. Logo, não fez frio. III Se você tem ar condicionado, então não passa calor. Quem mora em Foz do Iguaçu tem ar condicionado. Logo, se você mora em Foz do Iguaçu, não passa calor. O(s) argumento(s) dedutivo(s) é(são) a) I e II b) II e III c) somente I d) somente III e) I, II e III O Gabarito desta Lista está em arquivo separado. Você poderá se considerar bem preparado(a) nestes conteúdos se acertou, no mínimo, 42 questões desta lista e conseguiu resolvê-la num tempo inferior a 135 minutos. Divida as listas em módulos contendo vinte questões cada um. Assim, para cada módulo de 20 questões, você poderá avaliar o seu desempenho do seguinte modo: a) tempo ideal de resolução do módulo de 20 questões: 45 minutos; b) Número mínimo de acertos do módulo de 20 questões: 14. Prof. Milton Araújo
[email protected] 36 INSTRUÇÕES: Nota: Estas questões não possuem um “conteúdo” que lhes sirva de base para a resolução. São questões que visam apurar a habilidade do candidato de relacionar fatos, pessoas, coisas ou situações, e, utilizando-se apenas da capacidade cognitiva, propor soluções. I. Marque o TEMPO gasto por você para responder todas as questões. Trabalhe como se estivesse resolvendo um simulado. Não faça interrupções durante o exercício. Procure responder todas as questões em tempo contínuo. II. Assinale suas opções e confira com o gabarito. Não faça consultas prévias ao gabarito. O ideal é que você consiga acertar, no mínimo, 70% das questões. III. Divida o tempo total gasto para resolver esta lista pelo número de questões e verifique como está sua média de tempo por questão. O tempo médio por questão é de dois minutos e quinze segundos. 1) RL/1 – FEV/07. Uma urna contém bolinhas de gude de várias cores: oito amarelas, doze vermelhas, cinco brancas, treze azuis e sete verdes. A quantidade mínima de bolinhas de gude que precisamos retirar da urna para garantir que teremos três bolinhas de uma mesma cor é a) 11 b) 15 c) 21 d) 23 e) 28 2) RL/2 – FEV/07. Considere a seguinte seqüência de figuras: A figura que melhor completa a posição ocupada pelo símbolo ? é a) b) c) d) e) 3) RL/5 – FEV/07. Ao redor de uma mesa redonda estão quatro amigas, Karen, Pâmela, Rita e Yasmin, sentadas em posições diametralmente opostas. Cada uma delas tem uma nacionalidade diferente: uma é italiana, outra é francesa, outra é portuguesa e a outra é alemã, não necessariamente nessa ordem. Considerem-se, ainda, as informações: • “Sou alemã e a mais nova de todas”, diz Karen. • “Estou sentada à direita da Karen”, diz Pâmela. • “Rita está à minha direita”, diz a francesa. • “Eu não sou italiana e estou sentada em frente a Pâmela”, diz Yasmin. É CORRETO afirmar que a) Pâmela é francesa e Rita é italiana. b) Pâmela é italiana e Rita é portuguesa. c) Rita é francesa e Yasmin é portuguesa. d) Rita é portuguesa e Yasmin é francesa. e) Yasmin é portuguesa e Pâmela é italiana. 4) RL/7 – FEV/07. Considere a seqüência de quadros, em que cada quadro é dividido em nove casas numeradas, dispostas em linhas e colunas, da seguinte maneira: Prof. Milton Araújo
[email protected] 37 1 2 3 10 11 12 19 20 21 4 5 6 13 14 15 22 23 24 7 8 9 , 16 17 18 , 25 26 27 , ... A posição que o número 2006 ocupa no quadro é a) linha 1 e coluna 3 b) linha 2 e coluna 2 c) linha 2 e coluna 3 d) linha 3 e coluna 1 e) linha 3 e coluna 2 5) RL/8 – FEV/07. Se x e y são números inteiros, a operação Θ é definida por x Θ y = ( ) y x y − , na qual a multiplicação e a subtração são as usuais. Assim, o valor da expressão 2 Θ (3 Θ 4) é a) -28 b) -24 c) -3 d) 2 e) 8 6) RL/9 – FEV/07. Cinco amigos, Abel, Deise, Edgar, Fábio e Glória, foram lanchar e um deles resolveu sair sem pagar. O garçom percebeu o fato, correu atrás dos amigos que saíam do restaurante e chamou-os para prestarem esclarecimentos. Pressionados, informaram o seguinte: • “Não fui eu nem o Edgar”, disse Abel. • “Foi o Edgar ou a Deise”, disse Fábio. • “Foi a Glória”, disse Edgar. • “O Fábio está mentindo”, disse Glória. • “Foi a Glória ou o Abel”, disse Deise. Considerando que apenas um dos cinco amigos mentiu, pode-se concluir que quem resolveu sair sem pagar foi a) Abel b) Deise c) Edgar d) Fábio e) Glória 7) RL/11 – FEV/07. Edmundo percebeu que, na terça-feira, 27 de julho, iriam terminar as suas férias; verificou que o próximo feriado é o dia 7 de setembro e viu que esse dia cai a) numa segunda-feira b) numa terça-feira c) numa quarta-feira d) num sábado e) num domingo 8) RL/13 – FEV/07. Três amigos, Bernardo, Davi e Fausto, de sobrenome Pereira, Rocha e Silva, não necessariamente nessa ordem, foram assistir, cada um, a um filme diferente – ação, comédia e terror. Sabe-se que: • Bernardo não assistiu ao filme de terror nem ao de ação. • Pereira assistiu ao filme de ação. • O sobrenome de Davi é Silva. É CORRETO afirmar que a) Davi assistiu a uma comédia. b) Fausto assistiu a um filme de ação. c) Rocha assistiu a um filme de terror. d) o sobrenome de Fausto é Rocha. e) o sobrenome de Bernardo é Pereira. 9) RL/15 – FEV/07. A figura abaixo mostra uma engrenagem formada por três rodas dentadas iguais (de mesmo raio). Em duas das rodas, há bandeirinhas, e a roda de cima girou menos de uma volta e parou na posição indicada pela bandeirinha pontilhada. Nessas condições, qual das seguintes alternativas apresenta a posição aproximada da bandeirinha da outra roda? Prof. Milton Araújo
[email protected] 38 a) b) c) d) e) 10) RL/19 – FEV/07. As afirmativas a seguir correspondem a condições para a formação de um determinado número X de três dígitos. • 429 não tem nenhum dígito em comum com esse número. • 479 tem apenas um dígito em comum com esse número, mas ele não está em seu devido lugar. • 756 tem apenas um dígito em comum com esse número, e ele está em seu devido lugar. • 543 tem apenas um dígito em comum com esse número, mas ele não está em seu devido lugar. • 268 tem apenas um dígito em comum com esse número, e ele está em seu devido lugar. O número X de três dígitos que satisfaz essas condições é a) 837 b) 783 c) 738 d) 736 e) 657 11) RL/20 – FEV/07. Cada uma das três amigas Ana, Bia e Carla, gosta de apenas uma das seguintes frutas: maçã, banana e pêra, não necessariamente nessa ordem. Ana gosta de pêra, Bia não gosta de pêra e Carla não gosta de banana. Se apenas uma dessas três afirmações for verdadeira e se cada uma das três amigas gosta de uma fruta diferente, então as frutas de que Ana, Bia e Carla gostam são, respectivamente, a) banana, pêra e maçã. b) pêra, maçã e banana. c) maçã, banana e pêra. d) pêra, banana e maçã. e) banana, maçã e pêra. 12) RL/2 – SET/06. Sete pessoas comeram duas pizzas. Cada uma das pizzas estava dividida em dez pedaços iguais. Sabendo-se que cada uma das pessoas comeu ao menos um pedaço de pizza, que não sobraram pedaços, e ainda, que cada uma só comeu pedaços inteiros sem deixar restos, pode-se ter certeza de que a) uma delas comeu, no mínimo, três pedaços. b) alguém comeu quatro pedaços. c) uma delas comeu somente um pedaço. d) todas comeram dois pedaços. e) algumas comeram dois pedaços e as demais comeram três. 13) RL/5 – SET/06. Sejam os enunciados ditos por José I. A cor azul é a mais bonita. II. O enunciado III é verdadeiro. III. Dentre as cores primárias, uma é a mais bonita. IV. As cores amarela e vermelha são as mais bonitas. V. A cor verde não é a mais bonita. VI. Somente uma das afirmações que fiz anteriormente é falsa. Sabendo que o enunciado VI é verdadeiro, pode-se concluir que o valor verdade (V, se verdadeiro; F, se falso) dos enunciados I a V é, respectivamente, a) V, V, V, V, F. b) V, V, V, F, V c) V, V, F, V, V d) V, F, V, V, V e) F, V, V, V, V 14) RL/7 – SET/06. Descobriu-se uma espécie de bactéria imortal que, a partir do momento de sua hospedagem e/ou existência, começa seu ciclo reprodutivo infinito e ininterrupto. Sabe-se que dois exemplares dessa espécie de bactéria geram seis exemplares em apenas 5 segundos, totalizando assim oito exemplares em 5 segundos. Com esses dados, se tivéssemos agora dez exemplares da referida bactéria, quantos exemplares teríamos daqui a 10 segundos? a) 420 b) 160 c) 120 d) 50 e) 40 15) RL/9 – SET/06. Três amigos, Régis, Sílvio e Tiago, foram juntos a uma loja que vende camisetas, calças e bonés somente nas cores verde, vermelha e azul. Sabe-se que Prof. Milton Araújo
[email protected] 39 • Cada um deles comprou um boné, uma camiseta e uma calça; • Cada uma das peças compradas (bonés, ou camisetas, ou calças) tem cor diferente; • Todas as peças da mesma pessoa apresentam cores diferentes; • Régis não comprou o boné vermelho, nem a calça azul; • Sílvio comprou a camiseta azul; • Tiago comprou o boné verde. • Considerando as proposições acima, é CORRETO afirmar que a) a calça do Tiago é azul. b) a camiseta do Régis é vermelha. c) a calça do Sílvio é vermelha. d) a camiseta do Tiago é azul. e) o boné do Sílvio é azul. 16) RL/14 – SET/06. Foi usada para codificação a frase “O Brasil é um grande campo de flores”. Qual palavra está representada no código “0216031009150405”, se o código “2404030304200105” representa a palavra “farrapos”? a) Ternuras b) Carnudas c) Permutas d) Bermudas e) Carinhas 17) RL/17 – SET/06. Numa empresa, os funcionários Pedro, João, Antônio e Manoel trabalham como arquiteto, engenheiro, administrador e contador, não necessariamente nessa ordem. Além disto, sabe-se que • o tempo de empresa do administrador é o dobro do tempo de empresa do contador; • o tempo de empresa do arquiteto é o dobro do tempo de empresa do administrador; • o tempo de empresa do engenheiro é o dobro do tempo de empresa do arquiteto; • Manoel começou a trabalhar na empresa exatamente três anos antes de Antônio; • Pedro é mais antigo que qualquer pessoa que trabalha na empresa há mais tempo que João; • o tempo de empresa de Pedro não é o dobro do tempo de empresa de João. Considerando o tempo de serviço de todos os quatro como números inteiros, uma das conclusões possíveis é que a) Manoel é arquiteto, Antônio é contador, Pedro é engenheiro e João é administrador. b) Manoel é engenheiro, Antônio é contador, Pedro é arquiteto e João é administrador. c) Manoel é administrador, Antônio é contador, Pedro é engenheiro e João é arquiteto. d) Manoel é contador, Antônio é arquiteto, Pedro é administrador e João é engenheiro. e) Manoel é arquiteto, Antônio é engenheiro, Pedro é contador e João é administrador. 18) RL/18 – SET/06. Observe a seqüência 121 11 2 = , 321 . 12 111 2 = , 321 . 234 . 1 111 . 1 2 = . Qual o valor de 2 111 . 11 ? a) 121.131.141 b) 121.345.321 c) 123.444.321 d) 123.454.321 e) 123.451.234 19) RL/1 – JUN/06. Considere a seguinte seqüência da esquerda para a direita: Dentre as alternativas abaixo, o próximo elemento que obedece à regra de formação até então seguida é a) b) c) d) e) 20) RL/2 – JUN/06. Algumas pessoas de uma mesma família estão reunidas e entre elas existem as seguintes relações de parentesco: pai, mãe, filho, filha, irmão, irmã, primo, prima, sobrinho, sobrinha, tio e tia. Considerando-se que todos têm um antepassado em comum e que não há Prof. Milton Araújo
[email protected] 40 casamento consangüíneo entre eles, o número mínimo necessário de pessoas para a ocorrência de todas essas relações é a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 21) RL/4 – JUN/06. Em uma bombonière há 13 bombons, cada qual recheado com apenas um dos sabores: avelã, cereja, damasco ou morango. Sabe-se que existe pelo menos um bombom de cada recheio e que suas quantidades são diferentes. Os bombons recheados com avelã ou cereja somam 4 bombons, enquanto que os recheados com avelã ou morango totalizam 5. Considerando-se essas informações, uma das possíveis alternativas é que somente a) 2 bombons sejam de avelã. b) 2 bombons sejam de cereja. c) 3 bombons sejam de damasco. d) 4 bombons sejam de damasco. e) 4 bombons sejam de morango. 22) RL/6 – JUN/06. Paulo possui 5 pares de meias, todos de cores diferentes. Para garantir que pegou um par de mesma cor, ele precisa apanhar no mínimo a) 2 meias b) 5 meias c) 6 meias d) 9 meias e) 10 meias 23) RL/8 – JUN/06. As primas Branca, Celeste e Rosa foram almoçar na casa da avó e notaram que estavam com calçados das cores branca, celeste e rosa. Então, Branca disse: “as cores dos calçados combinam com nossos nomes, mas nenhuma está com o calçado da cor que combine com seu próprio nome”. “E daí?”, respondeu a jovem com o calçado rosa. Com essas informações, pode-se afirmar que a) Branca está com calçado rosa. b) Celeste está com calçado rosa. c) Rosa está com calçado celeste. d) Celeste está com calçado branco e Rosa está com calçado celeste. e) Branca está com calçado celeste e Celeste está com calçado branco. 24) RL/9 – JUN/06. Fábia, Júlia e Mariana saíram com os seus namorados para passear de moto. Em certo momento, elas trocaram entre si as motos e os acompanhantes. Cada uma está na moto de uma segunda e com o namorado de uma terceira. A pessoa que está na moto de Fábia está com o namorado de Júlia. Nessas condições, pode-se afirmar que a) Mariana está com o namorado de Fábia. b) Fábia está com o namorado de Júlia. c) Júlia está com o namorado de Fábia. d) Mariana está com a moto de Júlia. e) Júlia está com a moto de Fábia. 25) RL/10 – JUN/06. De 7 pacotes de biscoitos de mesmo tipo e aparentemente iguais, há 2 pacotes com o mesmo peso e que pesam menos que os demais, cujo peso é idêntico. Para aferir a diferença entre os pesos desses pacotes foi utilizada uma balança de dois pratos, sem pesos. Quantas pesagens, no mínimo, são necessárias para garantir quais são os pacotes mais leves? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 26) RL/12 – JUN/06. Antônio distribuiu 25 pirulitos inteiros para seus 7 filhos. Sabendo que cada filho recebeu pelo menos um pirulito, pode-se afirmar que a) pelo menos um filho recebeu exatamente 4 pirulitos. b) cinco filhos receberam exatamente 4 pirulitos cada um. c) todos os filhos receberam a mesma quantidade de pirulitos. d) pelo menos dois filhos receberam o mesmo número de pirulitos. e) quatro filhos receberam 4 pirulitos e outros receberam 3 pirulitos cada um. 27) RL/14 – JUN/06. Lauro, Moisés e Nelson – cujos sobrenomes são Ramos, Souza e Teixeira, mas não necessariamente nessa ordem – resolveram cada um, fazer uma obra diferente de reforma – fachada, jardim, piscina – em suas casas. Sabe-se que: • Souza não fez obra na fachada nem no jardim; Prof. Milton Araújo
[email protected] 41 • Lauro e Moisés são os vizinhos de Ramos; • Lauro fez obra na piscina e Teixeira não modificou o jardim. Então, pode-se afirmar que a) Lauro Ramos reformou o jardim. b) Moisés Souza reformou a piscina. c) Moisés Teixeira reformou a fachada. d) Nelson Souza reformou a piscina.. e) Nelson Teixeira reformou a fachada. 28) RL/20 – JUN/06. Em 8 horas, uma colônia que começou com 4 bactérias multiplica-se e preenche o espaço reservado para sua cultura. Se o número de indivíduos dessa espécie duplica a cada hora, começando-se com apenas uma bactéria, o mesmo espaço será preenchido em a) 10 horas b) 12 horas c) 16 horas d) 24 horas e) 32 horas 29) RL/1 – FEV/06. INSTRUÇÃO: As questões 1, 2 e 3 deverão ser respondidas tendo como base as afirmativas abaixo. I. Há um mês, cinco amigos, Aline, Juliana, Lia, Mário e Sílvio estão fazendo dieta para perder peso, e os pesos perdidos são dados em números inteiros. II. Aline perdeu 1 kg a mais que Mário. III. Mário perdeu 2 kg a mais que Juliana. IV. Juliana perdeu 1 kg a menos que Sílvio. V. Lia perdeu 2 kg a menos que Juliana. 1) Das alternativas abaixo, a que indica os nomes em ordem decrescente de perda de peso no período é a) Mário, Juliana, Aline, Lia, Sílvio. b) Aline, Mário, Juliana, Sílvio, Lia. c) Aline, Mário, Sílvio, Lia, Juliana. d) Sílvio, Lia, Mário, Juliana, Aline. e) Aline, Mário, Sílvio, Juliana, Lia. 30) RL/2 – FEV/06. Se Lia perdeu 7 kg, nesse intervalo, então Mário perdeu a) 8 kg b) 9 kg c) 10 kg d) 11 kg e) 12 kg 31) RL/3 – FEV/06. Considere as seguintes afirmações: I. A soma dos pesos que Aline e Lia perderam juntas é igual à soma dos pesos perdidos por Sílvio e Juliana juntos. II. A soma dos pesos que Mário e Sílvio perderam é um número ímpar. III. Lia perdeu 2 kg a menos que Sílvio. Assim, pode-se afirmar que é(são) VERDADEIRA(S) a) apenas a I b) apenas a II c) apenas a III d) apenas a I e II e) apenas a I e III 32) RL/7 – FEV/06. Fábio e Gerson estão numa embarcação que se dirige de uma ilha para a praia. Durante o trajeto, eles resolvem fazer uma parte do percurso nadando. Fábio deixa a embarcação na metade do tempo total gasto por ele e nada durante a outra metade, enquanto Gerson deixa a embarcação na metade da distância, nadando o restante do percurso. Eles nadam à mesma velocidade constante e esta é menor do que a velocidade constante da embarcação. Nessas condições, é CORRETO afirmar que a) Fábio e Gerson chegarão juntos à praia. b) Fábio chegará primeiro à praia. c) Gerson chegará primeiro à praia. d) Fábio ultrapassará Gerson em algum ponto do percurso a nado. e) não se pode concluir quem chegará primeiro à praia. Prof. Milton Araújo
[email protected] 42 33) RL/9 – FEV/06. Se x e y são inteiros com y x < , definimos y x ⊕ como sendo a soma dos inteiros entre x e y , incluindo x e y . Por exemplo, 34 10 9 8 7 10 7 = + + + = ⊕ . O valor numérico de 5 3 14 10 ⊕ ⊕ é a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 12 34) RL/14 – FEV/06. O arranjo parcialmente representado ao lado é composto por 26 hexágonos, e foi montado com canudos de comprimento igual ao lado do hexágono. Para montar esse arranjo são necessários, no mínimo, a) 96 canudos b) 101 canudos c) 113 canudos d) 123 canudos e) 136 canudos 35) RL/20 – FEV/06. As margaridas são mais baratas do que as rosas. André não tem dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de margaridas. Logo, a) André tem dinheiro suficiente para comprar meia dúzia de margaridas. b) André tem dinheiro suficiente para comprar meia dúzia de rosas. c) André não tem dinheiro suficiente para comprar meia dúzia de rosas. d) André não tem dinheiro suficiente para comprar uma dezena de margaridas. e) André não tem dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de rosas. 36) RL/2 – SET/05. Em uma empresa, trabalham Paulo, Sérgio e João, que são, não necessariamente nesta ordem, administrador, contador e advogado. A respeito deles, podem-se fazer as seguintes afirmações: • Paulo é administrador; • Sérgio não é administrador; • João não é advogado. Considerando-se que somente uma das afirmações acima é verdadeira, conclui-se que o contador e o administrador se chamam, respectivamente, a) Paulo e Sérgio b) Sérgio e João c) João e Sérgio d) Paulo e João e) João e Paulo. 37) RL/3 – SET/05. Os dados mostrados abaixo têm apenas duas faces com algo inscrito: a da frente e a de baixo. Todos os dados têm, numa dessas duas faces, uma “lua” ou um “coração”, mas um mesmo dado não pode ter inscritas essas duas figuras. O menor número de dados a serem virados para revelar se é verdadeira ou falsa a proposição “Se um dado tem um coração em uma das faces, então na outra há um raio” é a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 (Questão com erro de formulação! Não há alternativa que satisfaça o enunciado...) 38) RL/5 – SET/05. Sejam as faces X e Y de um cartão em branco. Escreve-se no lado X a afirmação “A proposição que está escrita no lado Y é verdadeira”,e, no lado Y, “A proposição que está escrita no lado X é falsa”. Chamando-se de p a proposição que está escrita no lado X e de q a que está escrita no lado Y, pode-se afirmar que a) a situação configura um paradoxo e p é verdadeira se, e somente se, p é falsa. b) a situação configura um paradoxo e p é verdadeira se, e somente se, q é verdadeira. c) a situação não configura um paradoxo; assim, p é verdadeira e q é falsa. d) a situação não configura um paradoxo; assim, p é verdadeira e q é falsa. Prof. Milton Araújo
[email protected] 43 e) ambas ( p e q ) são verdadeiras. 39) RL/6 – SET/05. Sejam Carla, Igor e Fábio, três colegas de uma turma da disciplina de MTM_LOG, a respeito dos quais podemos fazer as seguintes afirmações: • não é verdade que Carla é mais alta que Fábio; • não é verdade que Fábio é mais alto que Igor; • não é verdade que Igor e Carla são os mais inteligentes dessa turma de MTM_LOG; • é verdade que Carla e Fábio são estudiosos. Com base nessas afirmações, pode-se concluir que a) Carla e Fábio são os mais altos dessa turma de MTM_LOG. b) não é verdade que Carla e Fábio são os mais estudiosos dessa turma de MTM_LOG. c) Igor é o mais alto dessa turma de MTM_LOG. d) não é verdade que Igor é mais baixo que Carla e Fábio. e) Carla é mais estudiosa e mais inteligente que Igor. 40) RL/15 – SET/05. Quatro jogadores de futebol, a saber, o goleiro, o atacante, o meio de campo e o lateral, estão numa fila. Sabe-se que: I. o goleiro está após o jogador de meio de campo; II. o lateral está antes do atacante; III. o jogador que está imediatamente após o lateral, é mais alto do que o que está antes deste; IV. o atacante é o mais baixo de todos. Considerando a fila da esquerda para a direita, a seqüência que contém a posição CORRETA dos quatro jogadores é a) meio de campo, goleiro, lateral e atacante. b) lateral, meio de campo, atacante e goleiro. c) lateral, atacante, meio de campo e goleiro. d) meio de campo, lateral, goleiro e atacante. e) meio de campo, lateral, atacante e goleiro. 41) RL/19 – SET/05. Às 18h havia, no estacionamento da empresa Avadex, quatro carros distintos com quatro cores distintas. Sabe-se que eram um Corsa, um Ka, um Gol e um Uno nas cores branca, vermelha, verde e preta, mas não necessariamente nessa ordem. Os donos dos veículos estavam trabalhando na empresa. Considerem-se as afirmativas seguintes: • o advogado tem um carro branco; • o Ka é preto; • o carro do gerente não é verde; • o Corsa não é branco; • a secretária não tem um carro preto; • às 19h, há apenas dois carros no estacionamento – o Gol e o Corsa – e a secretária e o contador já foram embora. Com base nos dados anteriores e supondo que cada funcionário foi embora com seu próprio carro, uma das soluções combinatórias corretas para essas afirmativas é: a) O advogado tem um Gol, o carro do gerente é o Corsa e o Uno é vermelho. b) O gerente tem um Ka, a secretária tem um carro vermelho e o Uno é verde. c) A secretária tem um Uno, o advogado tem um Gol e o carro preto pertence ao gerente. d) O contador possui um Uno, o carro verde é do gerente e o vermelho é da secretária. e) O advogado tem um Gol, o carro preto é do contador e o Uno pertence à secretária. 42) RL/1 – JUN/05. Cinco pessoas, Flávio, Méricles, Armênio, Clodoaldo e Igor, utilizam um mesmo programa de computador, o qual facilita a comunicação online pela Internet, permitindo que mais de duas pessoas estejam conectadas em uma mesma conversação ao mesmo tempo e possibilitando que uma pessoa se conecte a outra eventualmente ou permaneça sempre conectado a ela. Essas pessoas têm hábitos rígidos, que são os seguintes: Prof. Milton Araújo
[email protected] 44 I. Méricles nunca se conecta a mais de duas pessoas ao mesmo tempo. II Flávio permanece sempre conectado a Igor e a Clodoaldo. III Quando Armênio se conecta, ele o faz somente a uma pessoa por vez. Nesse sistema de comunicação, para quaisquer duas pessoas, X e Y, se houver uma terceira pessoa conectada a ambos, então X e Y estão conectados. Considerando-se que as afirmações feitas anteriormente são as únicas a representarem restrições ao uso do referido programa, qual das seguintes alternativas apresenta uma situação possível de acontecer? a) Clodoaldo, Méricles e Flávio estão conectados entre si. b) Igor e Méricles estão conectados um ao outro. c) Igor e Armênio estão conectados um ao outro. d) Igor não está conectado a ninguém. e) Méricles está conectado a Armênio. 43) RL/3 – JUN/05. Considere a seguinte seqüência de pares de números (0, 2), (5, 3) e (12, 4). Dentre as alternativas abaixo, o próximo par que obedece à regra de formação até então seguida é a) (15, 5) b) (18, 5) c) (20, 5) d) (21, 5) e) (24, 5) 44) RL/7 – JUN/05. Se o dia 2 de fevereiro for uma segunda-feira, então, após 234 dias, será uma a) segunda-feira b) terça-feira c) quarta-feira d) quinta-feira e) sexta-feira 45) RL/12 – JUN/05. Sabe-se que a bandeira da Alemanha tem as cores preta, vermelha e amarela; a da Lituânia, amarela, verde e vermelha; e a da França, azul, branca e vermelha. Representando as cores da bandeira com as letras do alfabeto, não necessariamente na seqüência colocada, tem-se que a bandeira da Alemanha é BEF; a da Lituânia, ABE; e a da França, BCD. Então, a seqüência de letras que representa a bandeira do Brasil é a) ABCD b) ABDE c) ACDE d) ACDF e) BCDE 46) RL/14 – JUN/05. Sobre uma mesa estão três caixas – uma azul, uma vermelha e uma branca – e três objetos – um colar, um anel e uma pulseira. Cada um dos objetos está em uma caixa diferente. Sabe-se que a caixa azul está à direita da caixa vermelha, o colar está à esquerda da pulseira e a caixa vermelha está à direita do anel. Então, pode-se afirmar que a) o anel está na caixa branca. b) o colar está na caixa azul. c) a pulseira está na caixa vermelha. d) o anel está na caixa azul. e) o colar está na caixa branca. 47) RL/16 – JUN/05. Sobre três funcionários de uma empresa, Alceu, Beto e Carlos, sabe-se que cada um tem somente uma das seguintes qualidades: um é honesto, outro é pontual e o outro é competente – mas essa não é necessariamente a ordem de atribuição respectiva dessas qualidades. Sabe-se, ainda, que apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira: • Alceu é honesto. • Beto não é honesto. • Carlos não é pontual Qual das seguintes alternativas apresenta uma afirmação correta de acordo com as premissas apresentadas acima? a) Alceu é pontual, Beto é honesto e Carlos é competente. b) Alceu é pontual, Beto é competente e Carlos é honesto. c) Alceu é honesto, Beto é competente e Carlos é pontual. d) Alceu é competente, Beto é pontual e Carlos é honesto. e) Alceu é competente, Beto é honesto e Carlos é pontual. 48) RL/18 – JUN/05. João Paulo foi até a empresa X, que estava oferecendo uma vaga para emprego. O gerente disse-lhe que todo trabalho na empresa é realizado em duplas de funcionários e que para conseguir o emprego ele deveria acertar quais seriam as duplas. Além disso, deu-lhe as Prof. Milton Araújo
[email protected] 45 seguintes informações: (i) os constituintes das duplas seriam as pessoas cujos nomes consta da tabela a seguir: César Flávia Gerente Lúcia Luiz Recém-contratado (ii) nenhuma dupla poderia ser constituída de pessoas de uma mesma coluna ou de uma mesma linha na tabela; (iii) o gerente não trabalha em dupla com funcionários recém-contratados. Sabendo-se que João Paulo foi contratado, qual foi a resposta que ele deu ao gerente? a) “Lúcia trabalhará com Luiz; o gerente com Flávia e César comigo”. b) “Luiz trabalhará comigo; o gerente com Lúcia e César com Flávia”. c) “Luiz trabalhará comigo; o gerente com Flávia e César com Lúcia”. d) “Flávia trabalhará com Luiz; o gerente comigo e César com Lúcia”. e) “Flávia trabalhará com Luiz; o gerente com Lúcia e César comigo”. 49) RL/19 – JUN/05. Lúcia tem três tipos de calçados: uma bota, um sapato e uma sandália. Um dos calçados é branco, o outro é preto e o outro é vermelho. Sabe-se que I. ou a bota é preta ou o sapato é preto. II. ou a bota é branca ou a sandália é vermelha. III. ou a sandália é branca ou o sapato é branco. Então, as cores da bota, do sapato e da sandália são, respectivamente, a) branca, preta e vermelha b) branca, vermelha e preta c) vermelha, preta e branca d) preta, vermelha e branca e) preta, branca e vermelha 50) RL/20 – JUN/05. No momento de recreação em uma empresa, o chefe colocou o seguinte problema: Pedro, João José, Tião e César estavam na cozinha quando um deles quebrou uma das xícaras. A cozinheira chegou no momento em que eles juntavam os cacos e perguntou quem havia quebrado a xícara. Ela obteve as seguintes respostas: • “Foi José”, disse Pedro. • “Fui eu”, disse João. • “Fui eu”, disse José. • “Foi o João ou o José”, disse Tião. • “Foi o Tião”, disse César. Sabe-se que todos os cinco homens sabiam exatamente quem era o culpado, mas que somente um deles disse a verdade. Qual das seguintes alternativas apresenta o nome de quem quebrou a xícara? a) César b) João c) José d) Pedro e) Tião 51) RL/1 – FEV/05. Considerem-se verdadeiras as afirmações I, II e III sobre o resultado da aplicação de uma prova a uma turma de sete alunos: Carlos, Clarissa, Júlia, Paulo, Sérgio, Sílvia e Roberto. I Carlos e Sílvia, por estudarem sempre juntos, foram ambos aprovados ou ambos reprovados. II Se Júlia foi aprovada, então Sérgio e Paulo também o foram. III Foram aprovados exatamente cinco alunos. Com base nas afirmações acima, assinale a alternativa verdadeira a) Júlia, Roberto e Carlos foram aprovados. b) Se Clarissa e Sílvia foram aprovadas, Júlia não foi aprovada. c) Se Sílvia e Júlia foram aprovadas, Clarissa também o foi. d) Somente Paulo, Carlos, Sílvia, Roberto e Júlia foram aprovados. e) Somente Roberto e Carlos foram aprovados. 52) RL/5 – FEV/05. Considerando-se os sete dias da semana em ordem progressiva (domingo, segunda-feira, ... sábado), foi escrita a seguinte seqüência: 7, 12, 10, x , 11, 10, 6. assim, o valor de x é a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 Prof. Milton Araújo
[email protected] 46 53) RL/8 – FEV/05. Valdir e Márcio pertencem a um grupo de pessoas no qual há dois tipos de indivíduos: aqueles que somente mentem e aqueles que somente falam a verdade. Valdir e Márcio fazem as seguintes afirmações: • “Márcio é mentiroso”, disse Valdir. • “Valdir e eu somos do mesmo tipo de indivíduos” Disse Márcio. Logo, pode-se afirmar com certeza que a) Valdir fala a verdade e não se pode determinar se Márcio fala a verdade. b) Valdir e Márcio falam a verdade. c) Valdir mente e Márcio fala a verdade. d) Valdir fala a verdade e Márcio mente. e) Valdir e Márcio mentem. 54) RL/9 – FEV/05. Até a 5530º posição da seqüência A, Z, B, X, C, V, A, Z, B, X, C, V, A, Z, B, X, C, V, ... o número de vezes que a letra A ocorre é a) 930 b) 928 c) 923 d) 922 e) 921 55) RL/11 – FEV/05. Alcides, Bernardo, Cícero e Denis resolveram ir com suas esposas a uma reunião familiar. No local da reunião, sentaram-se igualmente espaçados ao redor de uma mesa redonda, obedecendo às seguintes regras: • marido e esposa não podem sentar-se um do lado do outro; • duas mulheres não podem sentar-se lado a lado; • do lado esquerdo de Cícero deve sentar-se a esposa de Bernardo; • Bernardo e Denis devem sentar-se um de frente para o outro. Assim, as pessoas que estão assentadas do lado direito de Cícero e do lado esquerdo de Denis são, respectivamente, a) a esposa de Alcides e a esposa de Cícero. b) a esposa de Denis e a esposa de Bernardo. c) a esposa de Alcides e a esposa de Denis. d) a esposa de Denis e a esposa de Cícero. e) a esposa de Alcides e a esposa de Bernardo. 56) RL/13 – FEV/05. Sabendo-se que há 12 quadrados unitários na figura abaixo, o número total de possíveis quadrados de quaisquer medidas existentes na figura é a) 13 b) 14 c) 15 d) 17 e) 18 57) RL/15 – FEV/05. Na empresa X, trabalham quatro técnicos, T1, T2, T3 e T4; dois contadores, C1 e C2; e três administradores, A1, A2 e A3. Todos residem na mesma cidade onde se localiza a empresa. Visando ampliar seus negócios, a empresa X pretende criar três filiais, F1, F2 e F3; as duas primeiras localizam-se no mesmo Estado que a matriz e a terceira localiza-se em outro. Além disso, a empresa X vai distribuir seus nove funcionários em três grupos de três, e cada grupo vai treinar os funcionários de uma filial. Porém existem algumas restrições que devem ser respeitadas para a formação dos grupos: (i) T1 e T4 devem ficar no mesmo grupo. (ii) A2 deve trabalhar com T4. (iii) Cada grupo deve ter, no mínimo, um técnico. (iv) T3 não pode ausentar-se do Estado em que reside. Uma alternativa possível para a distribuição dos funcionários da empresa X é a) F1 F2 F3 A1, T1 e A2 T2, C2 e C1 T3, A2 e T4 Prof. Milton Araújo
[email protected] 47 b) F1 F2 F3 A1, C2 e A3 T3, C1 e T2 A2, T1 e T4 c) F1 F2 F3 A1, T2 e C1 A3, T3 e C2 A2, T1 e T4 d) F1 F2 F3 A2, T1 e T4 A1, T2 e C1 A3, T3 e C2 e) F1 F2 F3 C2, T1 e A2 T3, A1 e T4 T2, C1 e A3 58) RL/17 – FEV/05. Quatro candidatos A, B, C e D, estavam fazendo as provas do Teste ANPAD. Sabe-se que C terminou a quinta prova imediatamente após B e que D foi o único a terminá-la entre A e C. Assim, a seqüência de candidatos, por ordem de término da quinta prova é a) A, B, C, D b) B, C, A, D c) B, A, D, C d) A, D, B, C e) B. C. D. A 59) RL/18 – FEV/05. Xavier, Yan e Zeca são gerentes de uma grande empresa, cada um ocupando uma das três gerências: de Compras, de Vendas e de Marketing. A carga horária de trabalho de cada um, mas não necessariamente nesta ordem, é de 6, 8 e 10 horas por dia. Sabe-se que: • A carga horária diária de Zeca é de 8 horas; • Xavier é gerente de Marketing; • Yan não é gerente de Compras nem tem uma carga diária de 6 horas. a) Xavier trabalha 10 horas por dia, Yan é gerente de Vendas e Zeca é gerente de Compras. b) Xavier trabalha 10 horas por dia. Yan trabalha 6 horas por dia e Zeca é gerente de Compras. c) Xavier trabalha 10 horas por dia, Yan trabalha 6 horas por dia e Zeca é gerente de Vendas. d) Xavier trabalha 6 horas por dia, Yan é gerente de Compras e Zeca é gerente de Vendas. e) Xavier trabalha 6 horas por dia, Yan é gerente de Vendas e Zeca é gerente de Compras 60) RL/19 – FEV/05. O setor X de uma determinada empresa tem cinco funcionários: Amábile, Sofia, Jorge, Alfredo e Bernardo. Sabe-se que: • Amábile e Sofia só faltam ao trabalho quando seus filhos estão doentes; • Quando está doente, Jorge falta ao trabalho; • Alfredo nunca falta ao trabalho quando está doente; e • Bernardo só falta ao trabalho quando está doente. Hoje, todos os cinco funcionários faltaram ao trabalho. Com base unicamente nas condições apresentadas acima, pode-se garantir que a) Jorge está doente e os filhos de Amábile e de Sofia também estão doentes. b) Alfredo não está doente e Bernardo está doente. c) todos estão doentes. d) Bernardo e Jorge estão doentes. e) Alfredo está doente e é possível que Jorge esteja doente. 61) RL/20 – FEV/05. Mateus tem 4 aquários e deseja colocar peixinhos neles de tal modo que (i) nenhum aquário deve ficar vazio e (ii) não deve haver dois aquários com o mesmo número de peixinhos. Para isso, o menor número de peixinhos de que necessita é a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 62) RL/1 – SET/04. Cinco amigas – Paula, Virgínia, Sílvia, Cristina e Gabriele – moram na mesma cidade e são muito apegadas umas às outras. Nenhuma delas sai sem a companhia de uma das outras quatro. No último sábado, houve falha de comunicação entre elas e não puderam sair todas juntas como de costume. Nesse sábado, os três seguintes fatos aconteceram: I Paula tentou falar com Sílvia, mas não conseguiu de forma alguma. II Paula e outra das cinco amigas foram ao cinema e assistiram a um filme romântico. Prof. Milton Araújo
[email protected] 48 III Virgínia foi viajar somente com Gabriele para outra cidade. Com base unicamente nessas informações, podemos concluir que, nesse sábado, a) Sílvia viajou junto com Gabriele. b) Sílvia saiu a passear sozinha. c) Paula assistiu a um filme com Virgínia. d) Cristina assistiu a um filme. e) Cristina foi assistir a um filme com Virgínia. 63) RL/2 – SET/04. Um ônibus sai do terminal A com 20 passageiros. Na primeira parada, sobem 5 passageiros; na próxima, sobem 6 passageiros e descem dois; na seguinte, descem 3 e sobem 2; na próxima, sobem 2 e descem 5; na última, antes do terminal B, descem 3 passageiros. O número de paradas que o ônibus fez entre os dois terminais e o número de passageiros que estavam no ônibus entre a terceira e quarta paradas, são, respectivamente, a) 6 e 34 b) 6 e 22 c) 5 e 28 d) 5 e 22 e) 4e 29 64) RL/3 – SET/04. Ao se escreverem os números de 1 a 50, o algarismo 3 é utilizado a) 5 vezes b) 10 vezes c) 12 vezes d) 15 vezes e) 16 vezes 65) RL/4 – SET/04. Aldo, Lucas e Osmar saíram para passear de bicicleta. Em um certo momento, eles trocaram as bicicletas e os bonés entre si. Isto é, cada um passeia agora com a bicicleta de um segundo e o boné de um terceiro. O que está com o boné de Osmar está com a bicicleta de Lucas. Então, a) Osmar está com o boné de Aldo. b) Lucas está com a bicicleta de Aldo. c) Aldo está com a bicicleta de Osmar. d) Osmar está com a bicicleta de Aldo. e) Lucas está com o boné de Osmar. 66) RL/6 – SET/04. Meu relógio atrasa 96 minutos a cada dia. Se ele mostra a hora correta às 2 horas da madrugada, então a hora certa quando o relógio mostra 4 horas da tarde do mesmo dia é a) 4h30min da tarde b) 5h da tarde c) 5h20min da tarde d) 5h55min da tarde e) 5h14min da tarde 67) RL/8 – SET/04. Em uma empresa de equipamentos eletrônicos, trabalham quatro funcionários – Paulo, Cláudio, Teresa e Vilmar – subalternos a um gerente. O gerente sabe que exatamente um deles ligou um aparelho em tomada de voltagem errada, danificando o mesmo. Colocados frente a frente em uma sala, o gerente perguntou a todos quem tinha feito a ligação. Paulo respondeu que havia sido o Cláudio ou o Vilmar. Cláudio declarou que tinha sido a Teresa. Teresa disse que não fez a ligação. Vilmar declarou que Teresa mentiu. Sabendo que apenas um dos quatro funcionários falou a verdade, podemos concluir que quem falou a verdade e quem fez a ligação em voltagem errada foram, respectivamente, a) Teresa e Cláudio b) Teresa e Paulo c) Teresa e Vilmar d) Cláudio e Teresa e) Paulo e Cláudio 68) RL/10 – SET/04. Os produtos arroz, farinha, fubá, sal e açúcar estão distribuídos em uma prateleira de um supermercado. Sabendo-se que I dois produtos separam a farinha do fubá; II o arroz está à esquerda da farinha; III o sal e o açúcar estão juntos; IV o açúcar está tão próximo do arroz como do fubá, Pode-se afirmar que a seqüência dos produtos da esquerda para a direita é a) açúcar, farinha, fubá, sal e arroz b) açúcar, farinha, sal arroz e fubá c) farinha, arroz, sal fubá e açúcar d) arroz, farinha, fubá, sal e açúcar e) arroz, farinha, açúcar, sal e fubá 69) RL/11 – SET/04. Em uma empresa, foram distribuídas 100 ações entre seus 15 funcionários. Considerando as sentenças: I cada funcionário recebeu, no mínimo, seis ações; II um dos funcionários recebeu, pelo menos, duas ações; III nenhum funcionário ficou sem ações; Prof. Milton Araújo
[email protected] 49 IV cinco funcionários receberam seis ações cada um e dez funcionários receberam sete ações cada um; V um funcionário recebeu metade das ações. Podemos afirmar que a) se I for verdadeira, então IV é falsa. b) se I for verdadeira, então II é falsa. c) se III for verdadeira, então IV é falsa. d) se III for verdadeira, então V é falsa. e) se IV for verdadeira, então V é falsa. 70) RL/13 – SET/04. Em um campeonato de futebol, nove clubes, a saber, H G F E D C B A , , , , , , , e I , encontram-se inscritos. o campeonato consiste na formação de três chaves de três clubes para a primeira rodada, seguindo para a semifinal três clubes, formando uma chave, e, para a final, dois clubes, de onde sai o campeão (obs.: cada time joga com todos os demais da sua respectiva chave). Sabe-se que F foi campeão e que jogou com D duas vezes, que E jogou com B e com H uma vez, que C jogou com I e os dois foram desclassificados já na primeira rodada e que D jogou com A. A formação das três chaves é a) DAG, FCI , e EBH b) DBH , FAG , e ECI c) EBH , ACI , e DGF d) GCI , EBH , e DAF e) FDG, ABH , e CEI 71) RL/14 – SET/04. Para uma espécie de inseto, o tempo de vida é contado em dias, devido ao seu curto período de existência. Nasce uma colônia por dia e essas colônias são numeradas na seqüência de cada nascimento. Sabendo-se que, quando a colônia número 2134 nasceu, a de número x tinha o dobro da idade da colônia de número 2125 e que a colônia de número x morreu quando a de número 2137 nasceu, conclui-se que o período de existência das colônias é de a) 17 dias b) 18 dias c) 19 dias d) 20 dias e) 21 dias 72) RL/15 – SET/04. Oito cartões quadrados idênticos são colocados sobre uma mesa um após o outro (eles podem ser sobrepostos) e o resultado assemelha-se à figura abaixo, onde cada cartão está identificado com uma letra O cartão que foi colocado primeiro é a) b b) c c) h d) f e) a 73) RL/18 – SET/04. Dois brasões foram escondidos em uma ou duas de quatro caixas opacas C B A , , e D. Cada caixa apresenta uma afirmação na tampa como no esquema abaixo. Sabe-se que apenas uma das quatro afirmações é verdadeira e que cada caixa pode conter até dois brasões, exceto a caixa D, na qual somente cabe um brasão. Caixa A: há exatamente um brasão nesta caixa. Caixa B: não há brasão nesta caixa. Caixa C: os dois brasões estão na caixa A. Caixa D: os dois brasões estão na caixa C. . A alternativa a seguir que melhor satisfaz as condições apresentadas é a) um brasão está na caixa B e o outro na caixa D. b) um brasão está na caixa D e o outro na caixa A. c) os dois brasões estão na caixa B . d) um brasão está na caixa A e o outro na caixa B . Prof. Milton Araújo
[email protected] 50 e) os dois brasões estão na caixa A. 74) RL/19 – SET/04. Três escritores – Cláudio, Jorge e Flávio – viajam em uma mesma cabine de trem. Eles escrevem livros de ares diferentes: ficção científica, história e filosofia, não necessariamente nessa ordem. Cada um deles esta lendo um livro escrito por um dos outros dois. Não há dois deles lendo livro do mesmo autor. Cláudio está lendo um livro sobre a história das civilizações nórdicas e está sentado em frente ao escritor de ficção científica. Flávio está sentado ao lado do autor de livros sobre filosofia e lê um livro de ficção científica. O que se pode garantir dessas afirmações é que a) Jorge está lendo um livro sobre filosofia. b) Flávio escreve sobre filosofia. c) Jorge escreve sobre filosofia. d) Cláudio escreve sobre ficção científica. e) Jorge escreveu um livro sobre história das civilizações nórdicas. 75) RL/20 – SET/04. Em um tabuleiro de 4 casas identificadas pelas letras C B A , , e D, como na figura a seguir, há inicialmente uma ficha em cada casa. Uma jogada consiste em escolher duas fichas em casas diferentes e mover uma delas uma casa à direita e a outra, uma casa à esquerda. Depois de duas jogadas, as quatro fichas estão distribuídas somente em duas casas. Determine, dentre as alternativas abaixo, quais podem ser essas casas e quantas fichas há em cada uma delas. Observe-se que uma jogada só é possível quando houver mais de uma casa com fichas. A B C D a) Casas A e C ou casas B e D com duas fichas em cada uma delas. b) Casas A e B ou casas C e D com duas fichas em cada uma delas c) Casa A (com três fichas) e B (com uma ficha) ou casas C (com uma ficha) e D (com três fichas). d) Casas A e D ou casas B e C com duas fichas em cada uma delas. e) Casa A (com três fichas) e D (com uma ficha) ou casas B (com uma ficha) e C (com três fichas). 76) RL/5 – JUN/04. Três casas B A, e C , foram pintadas, cada um, com uma das seguintes cores: verde, amarela ou branca, não necessariamente nesta ordem. Sabendo que somente uma das seguintes afirmações é verdadeira: A é verde B não é verde C não é amarela então, pode-se afirmar que a) A é amarela, B é branca e C é verde. b) A é amarela, B é verde e C é branca. c) A é branca, B é verde e C é amarela. d) A é branca, B é amarela e C é verde. e) A é verde, B é amarela e C é branca. 77) RL/6 – JUN/04. Uma faixa é formada por três linhas de quadradinhos. A primeira e a terceira linhas são formadas apenas por quadradinhos brancos e a segunda linha alterna quadradinhos brancos com quadradinhos pretos, começando e terminando com um quadradinho branco, conforme mostra a figura abaixo: Então, o número de quadradinhos brancos necessários para formar uma faixa contendo 45 quadradinhos pretos é a) 225 b) 228 c) 250 d) 270 e) 273 78) RL/12 – JUN/04. Juntando-se as três figuras: Prof. Milton Araújo
[email protected] 51 obtém-se a) b) c) d) e) 79) RL/3 – FEV/04. Acerca do parentesco de uma família, sabe-se que: Pedro é sobrinho de Carla e irmão de Paulo; Carla é irmã de Carlos e esposa de Antônio; Joana é prima de Pedro e filha de Antônio; Fátima é mãe de Paulo, tia de João e esposa de Carlos; João é irmão de Joana. Sabe-se, também, que os irmãos são filhos dos mesmos pais, logo pode-se afirmar que I. Fátima é irmã de Antônio e mãe de Pedro. II. Antônio é pai de João e Paulo é primo de Joana. III Carlos é tio de Joana e João é primo de Paulo. IV Fátima é tia de Joana e mãe de João. Então, pode-se dizer que a) apenas as afirmações I e II são corretas. b) apenas as afirmações II e III são corretas. c) apenas as afirmações III e IV são corretas. d) apenas as afirmações I, II e II são corretas. e) apenas as afirmações II, III e IV são corretas. 80) RL/4 – FEV/04. Analise a seguinte seqüência de palavras: primata, segmento, terminar, quadra, quilombo, sexualidade, sétuplo, ... Das alternativas abaixo, a palavra que mantém uma seqüência lógica é a) noventa b) homem c) sentimento d) gêmeo e) oitiva 81) RL/6 – FEV/04. Numa brincadeira de carnaval, um casal travestiu-se e foi para a folia. Após a brincadeira, fez as seguintes declarações: I Sou homem, disse a pessoa de sapatos pretos e peruca loura. II Sou mulher, disse a pessoa de sapatos brancos e peruca preta. Se pelo menos um deles está mentindo, pode-se afirmar que a) o homem é a pessoa de sapatos brancos e peruca preta e a mulher é a pessoa de sapatos pretos e peruca loura. b) o homem é a pessoa de sapatos pretos e peruca loura e a mulher é a pessoa de sapatos brancos e peruca preta. c) o homem é a pessoa de sapatos brancos e peruca loura e a mulher é a pessoa de sapatos pretos e peruca preta. d) o homem é a pessoa de sapatos pretos e peruca preta e a mulher é a pessoa de sapatos brancos e peruca loura. e) não é possível concluir uma resposta de forma lógica. 82) RL/7 – FEV/04. Utilizando-se apenas as operações de adição e de multiplicação, qual é o menor número de algarismos 2 (ou seja, pode-se utilizar os números 2 e 22) que se terá de utilizar para se obter o número 100? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 83) RL/10 – FEV/04. Seis carros, de marcas e cores diferentes, estão alinhados, lado a lado, para uma corrida. Eles estão ordenados da esquerda para a direita da primeira à sexta posição, respectivamente. Das seguintes informações. I O Lótus não tem carro algum à esquerda e está ao lado do carro vermelho. II O Brabham não tem carro à sua direita e está logo depois do carro preto. III O McLaren está entre os carros azul e preto. IV O carro azul está à direita da Ferrari. Prof. Milton Araújo
[email protected] 52 V O Renault está entre o carro cinza e a Ferrari. Pode-se concluir que a cor e a marca do carro que está na terceira posição é a) azul e Renault b) cinza e McLaren c) vermelha e Ferrari d) preta e Renault e) azul e McLaren 84) RL/11 – FEV/04. Dois adultos e três adolescentes encontram-se em uma praia e desejam ir a uma ilha; no entanto, somente dispõem de uma canoa com capacidade para 90 kg de carga. Sabendo-se que cada adulto pesa 90 kg e cada adolescente pesa 45 kg, deverá ser montado um esquema de transporte utilizando apenas a canoa disponível. O número mínimo de travessias a serem realizadas (cada deslocamento praia-ilha ou ilha-praia é considerado uma travessia) para que todos cheguem à ilha é de a) 4 b) 7 c) 10 d) 11 e) 12 85) RL/12 – FEV/04. Três colegas – João, Paulo e Pedro – estão em uma fila esperando para serem atendidos. João sempre fala a verdade, Paulo nem sempre e Pedro sempre mente. O que está na frente diz “João é quem está entre nós”. O que está no meio afirma “eu sou o Paulo”. Finalmente, o que está atrás informa “Pedro é quem está entre nós”. O primeiro, o segundo e o terceiro na fila são, respectivamente, a) João, Paulo e Pedro b) João, Pedro e Paulo c) Paulo, Pedro e João d) Paulo, João e Pedro e) Pedro, Paulo e João 86) RL/14 – FEV/04. Um casal possui cinco filhos: Lúcio, Ulisses, Ernani, Valéria e Alice. Sabe- se que Lúcio é mais novo que Ulisses e é mais velho que Alice. Ernani é mais novo que Ulisses, mais velho que Lúcio e também mais velho que Alice, sendo esta mais velha que Valéria. Os cinco irmãos, em ordem crescente de idade, são a) Lúcio, Valéria, Ulisses, Ernani e Alice b) Valéria, Alice, Ernani, Lúcio e Ulisses c) Alice, Valéria, Ernani, Lúcio e Ulisses d) Lúcio, Ulisses, Valéria, Alice e Ernani e) Valéria, Alice, Lúcio, Ernani e Ulisses 87) RL/3 – SET/03. As roupas de Lúcia, Ana e Marta para a festa do próximo fim de semana são, não necessariamente nessa ordem, um vestido, um conjunto com saia e um conjunto com calça. Uma das roupas é preta, a outra é azul e a outra é branca. A roupa preta e da Lúcia; a roupa da Marta é um conjunto com calça; a roupa da Ana não é azul e não é o vestido. As cores do vestido, do conjunto com saia e do conjunto cm calça são, respectivamente, a) preta, branca e azul b) branca, preta e azul c) branca, azul e preta d) preta, azul e branca e) azul, branca e preta 88) RL/5 – SET/03. Em uma corrida de automóveis, apenas cinco carros chegaram ao final, identificados da seguinte forma: carro azul, carro branco, carro laranja, carro preto e carro verde. Um torcedor do carro branco não viu a chegada, mas sabia que • o carro laranja não foi o quinto colocado; • o carro azul chegou à frente do carro laranja e depois do carro preto; • o carro verde chegou à frente do carro azul. Logo, o torcedor soube que o carro branco ficou em a) 1º b) 2º c) 3º d) 4º e) 5º 89) RL/3 – JUN/03. Em um carro foram usados quatro pneus mais o estepe, que rodaram igualmente a mesma quilometragem. Após o carro ter percorrido 10.000 km, cada pneu rodou a) 2000 km b) 4000 km c) 5000 km d) 8000 km e) 10.000 km 90) RL/5 – JUN/03. Se a é um número inteiro, define-se a operação ⊕ como 5 2 − = ⊕ a a . Então, o valor da expressão ( ) ⊕ ⊕ 2 é a) -7 b) -1 c) 0 d) 1 e) 7 Prof. Milton Araújo
[email protected] 53 91) RL/6 – JUN/03. Uma determinada espécie de alga se reproduz dividindo-se em duas a cada dia. Assim, no primeiro dia tem-se uma; no segundo, duas; no terceiro, quatro; no quarto, oito e assim sucessivamente. Se, iniciando-se com uma dessas algas e nenhuma delas morrer, são necessários 20 dias para preencher determinado volume, então, começando com duas dessas algas sem que nenhuma morra, o mesmo volume será preenchido em a) 8 dias b) 9 dias c) 10 dias d) 15 dias e) 19 dias 92) RL/7 – JUN/03. Para se garantir que em uma sala de aula haja pelo menos 6 pessoas que aniversariam no mesmo mês, é necessário que existam, no MÍNIMO, a) 18 pessoas b) 36 pessoas c) 61 pessoas d) 66 pessoas e) 72 pessoas 93) RL/8 – JUN/03. Os carros de André, Beto e Carlos são, não necessariamente nesta ordem, um Gol, um Palio e um Corsa. Um dos carros é prata, outro é branco e o outro é verde. O carro de André é branco; o carro de Beto é o Palio; o carro de Carlos não e verde e não é Gol. Então, as cores do Gol, do Palio e do Corsa são, respectivamente, a) branca, verde e prata b) prata, branca e verde c) prata, verde e branca d) verde, prata e branca e) verde, branca e prata 94) RL/9 – JUN/03. Uma fábrica de fósforos trabalha com as seguintes especificações: uma caixa contém 45 fósforos e um maço contém 10 caixas. Dividindo-se 12 maços, 10 caixas e 14 fósforos por 8, obtém-se m maços, c caixas e f fósforos. Então f c m + + é igual a a) 16 b) 20 c) 22 d) 28 e) 36 95) RL/9 – FEV/03. Se a e b são números inteiros, define-se a operação ⊗ como: a ⊗ b = a + b – 3. Assim, o valor da expressão (1 ⊗ 2) + (2 ⊗ 3) ⊗ 4 é a) –6 b) –3 c) 3 d) 6 e) 9 O Gabarito desta Lista está em arquivo separado. Você poderá se considerar bem preparado(a) nestes conteúdos se acertou, no mínimo, 66 questões desta lista e conseguiu resolvê-la num tempo inferior a 212 minutos. Divida as listas em módulos contendo vinte questões cada um. Assim, para cada módulo de 20 questões, você poderá avaliar o seu desempenho do seguinte modo: a) tempo ideal de resolução do módulo de 20 questões: 45 minutos; b) Número mínimo de acertos do módulo de 20 questões: 14. Prof. Milton Araújo
[email protected] 54 Prof. Milton Araújo
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[email protected] 56 Prof. Milton Araújo
[email protected] 57 CONTEÚDO ABORDADO: 1. Conjuntos; 2. Conjuntos numéricos; 3. Módulo; 4. Proporcionalidade; 5. Matemática financeira; 6. Análise combinatória; 7. Noções de probabilidade; 8. Funções; 9. Geometria analítica; 10. Equações (problemas); 11. Sequências numéricas e progressões; 12. Geometria plana e espacial; 13. Matrizes e determinantes; 14. Estatística 1. CONJUNTOS Conjunto é uma coleção de elementos. Denomina-se um conjunto por meio de letras maiúsculas A, B, C, ..., colocando-se os elementos entre chaves “{ }” Ex.: A = {1, 3, 4, 7, 9, 11, 13, 19} Quando os elementos forem letras, estas devem ser grafadas com letras minúsculas. Ex.: B = {a, b, f, h, k, x, z} 1.1 Subconjuntos de um conjunto: Dado o conjunto: C = {a, b, c}, tem-se os seguintes subconjuntos: { }; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a, b, c} Observações: (1) O conjunto vazio, representado como { } ou ∅ é subconjunto de qualquer conjunto. (2) O próprio conjunto dado é subconjunto de si mesmo. 1.2 Número de subconjuntos de um conjunto: O número de subconjuntos de um conjunto qualquer sempre será dado pela expressão n k 2 = onde “k” é o número de subconjuntos e n é o número de elementos do conjunto dado. Desse modo, para o conjunto “C” (n = 3 elementos) dado acima, temos: 8 2 2 3 = = = n k subconjuntos. 1.3 Relação entre elemento e conjunto: A relação entre elemento e conjunto é estabelecida SOMENTE através dos símbolos ∈ (pertence) e ∉ (não pertence). Ex.: Dado o conjunto C = {a, b, c}, tem-se: a ∈ C c ∈ C h ∉ C k ∉ C Obs.: Apenas os símbolos ∈ e ∉ devem ser usados para relacionar elemento e conjunto. 1.4 Relação entre conjunto e conjunto: Entre conjuntos, usam-se os símbolos ⊂ (está contido); ⊄ (não está contido); ⊃ (contém); ⊃ / (não contém) Ex.: Dado o conjunto C = {a, b, c}, tem-se: {a} ⊂ C {c} ⊂ C {a, b, k} ⊄ C C ⊃ {a, b} Obs.: (1) A “boca” dos símbolos dados acima sempre ficará aberta para o lado do maior conjunto. (2) Entre conjuntos, além dos símbolos ⊂ (está contido); ⊄ (não está contido); ⊃ (contém); ⊃ / (não contém), pode-se também usar o símbolo “=” (igual). Ex.: Dados A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3}, tem-se que A = B (os dois conjuntos são iguais) 1.5 OPERAÇÕES a) UNIÃO. Símbolo “∪” Consiste em reunir TODOS os elementos dos conjuntos envolvidos em um só conjunto. Prof. Milton Araújo
[email protected] 58 Ex.: Dados A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7, 8, 9}, tem-se: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Em diagrama de Euler-Venn: b) INTERSEÇÃO. Símbolo “∩” Tomam-se apenas os elementos COMUNS aos conjuntos envolvidos. Ex.: Dados A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7, 8, 9}, tem-se: A ∩ B = {5, 6} Em diagrama de Euler-Venn: c) DIFERENÇA. Símbolo “−” Tomam-se os elementos que pertencem EXCLUSIVAMENTE ao primeiro conjunto. Ex.: Dados A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7, 8, 9}, tem-se: A − B = {1, 2, 3, 4} Em diagrama de Euler-Venn: d) Complementar de um Conjunto. Símbolo A’ Tomam-se aqueles elementos que pertencem exclusivamente ao conjunto universo. Exemplo: Dados U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e A = {3, 4, 5, 8}, tem-se: A’= {1, 2, 6, 7, 9} Obs.: Só existe o complementar de um conjunto se este for subconjunto de outro conjunto, ou seja, A’ = U – A, quando A ⊂ U, onde “U” é o conjunto universo. Em diagrama de Euler-Venn: 2. CONJUNTOS NUMÉRICOS 2.1 Conjunto dos números Naturais: IN = { } 0,1,2,3,... Obs.: IN* o asterisco exclui o zero do conjunto: IN IN * { } = − 0 2.2 Conjunto dos números Inteiros: } ... 1,0,1,2,3, 2, 3, ..., { − − − = Ζ Prof. Milton Araújo
[email protected] 59 Observações: • Ζ * exclui o zero do conjunto: } 0 { * − Ζ = Ζ • } ... 3, + 2, + +1, , 0 { = Ζ + é o conjunto dos números inteiros não-negativos. • } 1,0 - 2, - 3, - ..., { = Ζ − é o conjunto dos números inteiros não-positivos. 2.3 Conjunto dos números Racionais: ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ∈ ∈ = * e / Ζ q Ζ p q p Q Obs.: Os números racionais podem ser representados sob a forma decimal ou dízimas periódicas. Exemplos: periódica) (dízima 666 0 3 2 exato) (decimal 375 0 8 3 ... , , = = 2.4 Conjunto dos números Irracionais: Os números irracionais são aqueles sob a forma de dízimas não-periódicas, tais como: 0 a com ≥ a , representados por decimais com uma infinidade de algarismos significativos após a vírgula, porém “não periódicos”. Exemplos: ... 414214 , 1 2 = ; ... 236068 , 2 5 e ... 732051 , 1 3 = = Além dos exemplos acima, incluem-se ainda o “pi”: π = 3,1415... (dízima não periódica), e = 2,71828... (dízima não periódica). Obs.: O n.º e é chamado de número de Euler e constitui a base do logaritmo “natural”. 2.5 Conjunto dos números Reais: O conjunto dos números Reais reúne todos os conjuntos acima citados, ou I Q R ∪ = Obs.: Os conjuntos Q e I são ditos disjuntos (isto é, não possuem interseção). Tópico Especial: MMC e MDC a) MMC (Mínimo Múltiplo Comum): Dado um conjunto de números, o menor múltiplo desse conjunto será dado por decomposição simultânea em fatores primos 4 . Exemplo: Encontrar o MMC do conjunto {4, 12; 28} Solução: 4 12 28 2 2 6 14 2 1 3 7 3 1 1 7 7 1 1 1 84 4 Números Primos são aqueles que possuem apenas dois divisores: a unidade (1) e ele próprio. Assim, o conjunto dos números primos é {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...} Prof. Milton Araújo
[email protected] 60 Exemplo: Questão 21 – Rac. Lógico – 3º Simulado ANPAD – FEV/03 - Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada 72 segundos e um carrinho azul dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois carrinhos partiram juntos, quantas voltas terá dado o mais lento até o momento em que ambos voltarão a estar lado a lado no ponto de partida? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 Solução: Uma questão de fácil solução. Precisamos encontrar o MMC entre 72 e 80. Obtemos este resultado pela decomposição dos números 72 e 80 em fatores primos. O resultado encontrado é: MMC (72, 80) = 5 3 2 2 4 × × = 720 Agora, só precisamos montar uma regrinha de três para o carrinho mais lento: Tempo volta(s) 80 s ÷÷÷÷ 1 720 s ÷÷÷÷ x 9 80 720 = = X voltas Resposta: letra d. b) MDC (Máximo Divisor Comum): Dado um conjunto de números, o maior divisor comum a todos eles poderá ser encontrado por decomposição simultânea, quando todos os números do conjunto tiverem divisores comuns. Exemplo: Vamos determinar o MDC para o mesmo conjunto dado no item acima. Solução: 4 12 28 2 2 6 14 2 1 3 7 4 Observe que, a partir da terceira linha, não há mais divisores comuns a todos os números remanescentes (1, 3 e 7), portanto, devemos encerrar a decomposição e multiplicar os fatores encontrados (no caso 4 2 2 = × ). c) Divisores de um número: Exemplo: Quantos divisores tem o número 600? Solução: Decompõe-se o número em seus fatores primos. Ao expoente de cada fator primo da decomposição adicionamos uma unidade, multiplicando, a seguir, os resultados. 2 3 5 3 2 600 × × = (3 + 1) . (1 + 1) . (2 + 1) = 24 divisores. d) Divisibilidade a) Todo número divisível por 2 é par; b) Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for divisível por 3. exemplo 234 (2 + 3 + 4 = 9, que é divisível por 3) c) Um número será divisível por 4 quando o número formado por seus dois últimos algarismos for divisível por 4. Exemplo: 4132 (32 é divisível por 4, logo 4132 também é). d) Para ser divisível por 5 o número deve terminar em 0 ou 5. Não abordaremos aqui os outros critérios de divisibilidade por julgá-los de pouca utilidade para o Teste ANPAD. 3. MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO: Define-se módulo como sendo um valor de x ∈ IR, indicado por ( x( através da relação. Prof. Milton Araújo
[email protected] 61 ¦ ¹ ¦ ´ ¦ < − = ≥ = 0 x se 0 x se x x x x Podemos representar o módulo de um número simplesmente como ( x( = ± x Obs.: Uma outra forma de se representar o módulo de um número é x x x ± = = 2 Exemplos: ( +2( = 2 ( -2( = 2 ( x( = ± x Exercícios: Encontrar o conjunto-verdade das equações abaixo: a) 2 12 2 = − x b) ( ) 2 12 2 2 = − x Solução: a) Pela definição de módulo, temos: ( ) ( ) ( ) ¹ ´ ¦ = − − = − + = − ± ⇒ = − 2 12 2 2 12 2 2 12 2 2 12 2 x x x x Resolvendo cada uma das equações resultantes, teremos: V = {5, 7} b) A solução é idêntica à anterior, uma vez que ( ) 12 2 12 2 2 − = − x x Faça a verificação das equações para os valores do conjunto-verdade! 4 PROPORCIONALIDADE 4.1 Razão Chama-se razão de a para b (com b ≠ 0) ao quociente obtido pela divisão de a por b. Escreve-se: b a ou a : b. O número a chama-se antecedente e o número b chama-se conseqüente. Exercício Resolvido: 1) Calcular a razão entre 0,0003 m e 0,006 m. Solução: Como as unidades já estão compatíveis... ⇒ 006 , 0 0003 , 0 (igualam-se as casas após a vírgula nos dois números e cortam-se as vírgulas, antes de se efetuar a divisão ou a simplificação da razão resultante!) ⇒ 05 , 0 20 1 60 3 0060 , 0 0003 , 0 = = ⇒ . Obs.: Uma razão não precisa ser necessariamente entre grandezas de mesma unidade, como nos dois exemplos acima. Exemplos: 1) velocidade média (razão entre distância percorrida e tempo gasto); 2) densidade (razão entre a massa de uma substância e seu respectivo volume); 3) Densidade demográfica (razão entre o número de habitantes e a área em quilômetros quadrados) 4.2 Proporção Chamamos de proporção a sentença definida pela igualdade entre duas razões. Prof. Milton Araújo
[email protected] 62 Exemplo: 5 10 3 6 = a) Termos de uma Proporção: Uma proporção pode ser escrita na forma: d c b a = ou : d a : b :: c . Lê-se: a está para b assim como c está para d. Os termos a e c são chamados antecedentes e os termos b e d são chamados conseqüentes. Além disto, a e d são também chamados de extremos e b e c são chamados meios. b) Propriedade Fundamental “Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.” Exemplo: 5 6 10 3 10 5 6 3 × = × ⇒ = . c) Propriedade da Soma dos Antecedentes e dos Conseqüentes Em uma proporção d c b a = qualquer, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu conseqüente: d c b a d b c a = = + + Obs.: Esta propriedade é utilizada na divisão proporcional, que será vista mais adiante. Exemplo: Calcular dois números cuja soma é 21, sabendo que o primeiro está para 3 assim como o segundo está para 4. Solução: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = + 4 3 21 y x y x . Aplicando-se a propriedade vista: 4 3 7 21 4 3 4 3 y x y x y x = = ⇒ = = + + ⇒ 4 3 3 y x = = (Obs.: o “3” encontrado na proporção ao lado é conhecido como constante de proporcionalidade). Podemos igualar agora cada razão à constante de proporcionalidade, calculando os valores de x e y: 9 3 3 = ⇒ = x x e 12 3 4 = ⇒ = y y . Também poderíamos ter calculado o valor de y através da equação: x + y = 21. Resposta: os números são 9 e 12. Obs.: Esta questão também se resolve facilmente por sistema de equações lineares com duas incógnitas! Questões Resolvidas 01) Simulado PRF/2000 (Unificado) - A idade de um pai está para a idade de seu filho assim como 3 está para 1. Qual é a idade de cada um, sabendo que a diferença entre elas é de 24 anos? a) 10 e 34 b) 12 e 36 c) 15 e 39 d) 6 e 30 e) 18 e 42 Solução: Seja x a idade do pai. Prof. Milton Araújo
[email protected] 63 Seja y a idade do filho. Do enunciado do problema podemos escrever as equações: 1 3 = y x (Daqui, isolamos o valor de x) ⇒ x = 3y (iremos substituir este valor na segunda equação) x - y = 24 3y - y = 24 ⇒ 2y = 24 ⇒ y = 12 (a idade do filho), e x = 36 (a idade do pai) Resposta: letra b. 02) TRT - 17ª REGIÃO/2000 (FCC) - Em uma empresa, o atendimento ao público é feito por 45 funcionários que se revezam, mantendo a relação de 3 homens para 2 mulheres. É correto afirmar que, nessa empresa, dão atendimento a) 18 homens. b) 16 mulheres. c) 25 homens d) 18 mulheres. e) 32 homens. Solução: Seja x o número de homens e y o número de mulheres. Pelo enunciado, podemos escrever: x + y = 45 e 2 3 = y x . Isolando-se o valor de x na segunda equação, teremos: 2 3y x = . Agora, substituiremos esse resultado na primeira equação → 45 2 3 = + y y ⇒ (tirando o MMC) ⇒ 3y + 2y = 90 ⇒ 5y = 90 ⇒ y = 18 mulheres e 27 2 18 . 3 = = x homens. Resposta: letra d. Testes Propostos 1) Num concurso público, concorreram 12.000 candidatos para 600 vagas. A razão entre o número de vagas e o número de candidatos foi de: a) 2000 1 b) 200 1 c) 20 1 d) 2 1 e) 1 2 2) Numa escola há 3200 estudantes, dos quais 1800 são moças. A razão entre o número de rapazes e moças é: a) 16 7 b) 8 7 c) 9 7 d) 7 9 e) 16 9 3) CARRIS/2000 (PMPA) - A razão entre o número de passagens escolares e o de passagens normais, em determinado percurso, é 4 3 . Sabendo-se que o número de passagens escolares é 27, conclui-se que o número de passagens normais é a) 36 b) 40 c) 45 d) 63 e) 65 4) Uma fração é tal que, se somarmos 5 unidades aos seus dois termos, ela se torna igual a 4 3 e, se subtrairmos 4 unidades de cada um de seus termos ela se torna igual a 5 3 . A soma dos termos dessa fração é igual a: a) 28 b) 32 c) 36 d) 42 e) 55 5) Num tanque de combustível há 6 litros de óleo e 24 litros de querosene. A razão entre o querosene e a mistura é: a) 0,72 b) 0,2 c) 0,6 d) 1,25 e) 0,8 6) A razão entre a quantia que um trabalhador gasta e a quantia que recebe como salário mensal é de 9 8 . O que resta, ele aplica em caderneta de poupança. Se, em um determinado mês, o salário Prof. Milton Araújo
[email protected] 64 desse trabalhador foi de R$ 2.700,00, então, a quantia (em R$) que deve aplicar na caderneta de poupança é: a) 270,00 b) 250,00 c) 320,00 d) 360,00 e) 300,00 7) Um garoto de 1 metro de altura projeta uma sombra de 50 cm. No mesmo instante, um edifício de 18 m de altura irá projetar uma sombra (em metros) de: a) 12 b) 8 c) 9 d) 6 e) 15 8) TFC/2001 (ESAF) Achar uma fração equivalente a 7/8 cuja soma dos termos é 120. a) 52/68 b) 54/66 c) 56/64 d) 58/62 e) 60/60 9) Numa amostra retirada de um lote de feijão constatou-se que 3/7 dele eram de feijão branco e o resto de feijão preto. Sabe-se que a diferença entre as quantidades de sacos de um de outro tipo de feijão é 120. Os sacos de feijão branco eram, em n.º de: a) 840 b) 360 c) 480 d) 240 e) 720 Gabarito: 1 - c 2 - c 3 - a 4 - b 5- e 6- e 7- c 8- c 9- b 4.3 Divisão Proporcional A divisão proporcional pode ser: a) Direta; b) Inversa, ou c) Mista (Direta-direta ou Inversa-inversa ou Direta-inversa ou Inversa-direta) a) Divisão Proporcional Direta: Exemplo: Dividir o número 600 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Solução: Sejam x, y e z as partes que compõem o número. Assim, podemos escrever: x + y + z = 600 e também a proporção: 5 3 2 z y x = = . Aplicamos aqui a propriedade da soma dos antecedentes e soma dos conseqüentes: 60 10 600 5 3 2 5 3 2 = = + + + + = = = z y x z y x (este resultado é também conhecido como constante de proporcionalidade). Agora, temos: 60 5 3 2 = = = z y x . Igualamos cada uma das razões que compõem a proporção à constante de proporcionalidade, calculando, assim, os valores de x, y e z: 300 60 5 180 60 3 120 60 2 = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = z z y y x x b) Divisão Proporcional Inversa: A divisão proporcional inversa pode ser facilmente transformada em uma divisão proporcional direta, reduzindo-se ao mesmo denominador os fatores e efetuando-se a operação como se fosse uma divisão proporcional direta, usando apenas os numeradores encontrados na redução dos fatores ao mesmo denominador. 4.4 Regras de Três a) Regra de Três Simples Trata-se de problemas com somente duas grandezas proporcionais. Em uma dessas duas grandezas, temos um elemento desconhecido. A regra de três pode ser direta ou inversa. b) Regra de Três Simples Direta: As grandezas variam no mesmo sentido, ou seja, quando uma delas aumenta, a outra também aumenta, e, quando uma delas diminui, a outra também irá diminuir. Prof. Milton Araújo
[email protected] 65 c) Regra de Três Simples Inversa: As grandezas variam em sentidos opostos, ou seja, quando uma delas aumenta, a outra diminui, e vice-versa. d) Regra de Três Composta: Uma regra de três composta pode ser vista como uma série de regras de três simples, formando uma proporção continuada. Exemplos: 1) Comprei 8 laranjas e paguei R$ 4,00. Quanto pagarei se comprar 10 laranjas iguais às primeiras? Solução: Laranjas $ 8 10 ÷÷÷÷ ÷÷÷÷ 4 x 5 8 40 8 10 . 4 = = = x . Resposta: pagarei R$ 5,00. 2) Um tecelão faz com certa quantidade de fio, 20 metros de pano, tendo 4 3 do metro de largura. Quantos metros teria feito com a mesma quantidade de fio, se o pano tivesse 2 1 metro de largura? Solução: As proporções são inversas. Quando a largura do pano aumenta, a quantidade de metros a ser confeccionada irá diminuir e vice-versa. A regra de três é, portanto, INVERSA. Largura Comprimento 4 3 2 1 ÷÷÷ ÷÷÷ 20 x 4 3 e 2 1 ⇒ (MMC = 4) ⇒ 4 3 e 4 2 . Eliminando os denominadores e voltando à regra de três: Largura Comprimento 3 2 ÷÷÷ ÷÷÷ 20 x m 30 2 20 3 = × = x Questões Resolvidas 01) TFC/1996 (ESAF) - Uma impressora laser realiza um serviço em 7 horas e meia, trabalhando na velocidade de 5.000 páginas por hora. Outra impressora, da mesma marca mas de modelo diferente, trabalhando na velocidade de 3.000 páginas por hora, executará o serviço em a) 10 horas e 20 min b) 11 horas e 20 min c) 11 horas e 50 min. d) 12 horas e 30 min e) 12 horas e 50 min. Solução: Velocidade e tempo são grandezas inversas! Tempo velocidade 7,5 x ÷÷÷÷ ÷÷÷÷ 5000 3000 Prof. Milton Araújo
[email protected] 66 h 5 , 12 3000 5000 . 5 , 7 = = x ou 12 h 30 min. CUIDADO ao converter fração de horas em minutos! Resposta: letra d. 02) TFC/1997 (ESAF) - Um serviço deve ser realizado por indivíduos com a mesma capacidade de trabalho e trabalhando independentemente um dos outros. Nessas condições, três indivíduos realizaram 40% do serviço em 30 horas de trabalho. A esta altura, se acrescentarmos dois novos indivíduos nas mesmas condições, em quantas horas o serviço estará terminado? a) 18 b) 24 c) 27 d) 100/13 e) 75 Solução: Trata-se de uma regra de três composta: indivíduos Horas % 3 ÷÷÷÷ 30 ÷÷÷÷ 40 5 ÷÷÷÷ X ÷÷÷÷ 60 inversa Direta 27 40 5 60 3 30 = × × × = x Resposta: letra c. 03) CEF/1998 (FCC) - Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12 horas. Outra pessoa, y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Solução: O candidato deve ficar muito atento a este tipo de questão, pois se trata de uma REGRA DE TRÊS INVERSA (quanto MAIS eficiente a pessoa, em MENOS tempo realizará a tarefa). É claro que, neste caso, o problema não apresenta alternativas com valores superiores a 12 horas, que induziriam os “desatentos” ao erro... Assim: Se x tiver uma eficiência de, digamos, 10 pontos, então y terá uma eficiência de 15 (50% A MAIS!) Montando-se a regra de três: eficiência tempo 10 ÷÷÷ 12 15 ÷÷÷ X De onde retiramos: 8 15 10 12 = × = x Resposta: letra e. Testes Propostos 01) Uma máquina produz 600 peças em 20 minutos. Quantas peças produzirá em 50 minutos? a) 675 b) 1500 c) 2000 d) 3000 e) 2500 02) Em 3 dias, 4 máquinas produzem 600 peças. Para produzir 900 peças em 2 dias, quantas máquinas serão necessárias? a) 15 b) 24 c) 6 d) 9 e) 12 03) Na construção de um muro de 24 metros de comprimento foram utilizados 3120 tijolos. Quantos tijolos serão necessários para construir um muro de 60 metros de comprimento? a) 7800 b) 5400 c) 3600 d) 7728 e) 5184 04) Se 8 tratores realizam um trabalho em 15 dias, 10 tratores realizariam o mesmo trabalho em: a) 12 dias b) 6 dias c) 16 dias d) 8 dias e) 18 dias Prof. Milton Araújo
[email protected] 67 05) Uma viagem de navio foi organizada para durar 36 dias, levando 50 pessoas. No dia do embarque, x novos passageiros chegaram e a viagem teve de ser feita em 20 dias. Calcule x. a) 90 b) 72 c) 22 d) 40 e) 12 06) Em um acampamento havia 400 pessoas, com provisões para 8 meses. 100 pessoas deixaram o acampamento. Para quantos meses a mais haverá mantimentos, se cada pessoa remanescente passar a consumir 2/3 de sua ração inicial? a) 16 b) 4 c) 10 d) 8 e) 2 07) Um gato e meio come um rato e meio em um minuto e meio. Em quanto tempo um gato come 2 ratos? a) 2 min b) 3 min c) 4 min d) 5 min e) 6 min 08) Trinta e dois homens constroem 50 metros de calçada em 28 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quanto tempo 48 homens construirão 90 metros de calçada, trabalhando 8 horas por dia? a) 29 dias, 3 h e 12 min b) 29 dias e 4 h c) 29 dias d) 29 dias, 9 h e 36 min e) 29 dias e 5 h 09) Doze homens colocam 300 m 2 de piso em 4 dias, trabalhando 5 horas por dia. Quantas horas por dia deveriam trabalhar 20 homens para colocar 400 m 2 do mesmo tipo de piso em 5 dias de trabalho? a) 3 h 20 min b) 3 h 2 min c) 3 h 12 min d) 5 h e) 2 h 8 min 10) Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6 horas por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8 horas por dia, a estrada concluir-se-á em: a) 72 dias b) 84 dias c) 128 dias d) 90 dias e) 60 dias Gabarito 1 – b 2 - d 3 - a 4 - a 5 - d 6 - d 7 - b 8 - a 9 – c 10 - a 4.5 Porcentagem a) Definição: Porcentagem é uma parte de um número dividido em cem partes iguais. Em outras palavras: para cada cem partes de um número, toma-se uma parte fixa. O número submetido ao cálculo da porcentagem chama-se “principal” (ou “capital” no caso de lidarmos com valores monetários). A porção fixa que será retirada de cada cem partes do principal é chamada de “taxa”. Representa-se porcentagem através do símbolo % (“por cento”), sempre colocado à direita do número que representa a taxa. Exemplo: 10% → lê-se: “dez por cento”. b) Cálculo de Porcentagem: Há várias formas de se resolver um problema de porcentagem: a) Pelo cálculo direto: Exemplo: calcular 15% de 120. Solução: Em matemática, a palavra “de” transforma-se em uma multiplicação. Lembre-se de que o “%” é um símbolo que indica que o número será dividido por cem. Nestas condições: 18 120 100 15 = × . Numa multiplicações com frações, efetue sempre as simplificações primeiro! Lembre-se também da regrinha: “multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador” Resposta: 18. b) Pela fórmula: 100 i C P × = , onde: “P” é a porcentagem; “C” é o principal ou capital, e “i” é a taxa. Exemplo: calcular 15% de 120. Solução: C = 120, i = 15%, P = ? Prof. Milton Araújo
[email protected] 68 Substituindo-se os dados na fórmula: 18 100 15 120 = × = P Resposta: 18. c) Por regra de três. Exemplo: calcular 15% de 120. O principal sempre será equivalente a 100%. Assim, montamos uma regra de três simples direta para o cálculo da porcentagem solicitada: 120 ÷÷÷ 100% x ÷÷÷ 15% 18 100 15 120 = × = x Resposta: 18. c) Fator Multiplicativo: Calcula DIRETAMENTE o valor final já acrescido ou descontado, a partir de um valor inicial conhecido. • Acréscimo: Multiplica-se o n.º (ou valor) dado por ( ) i + 1 , onde “i” é a taxa percentual de acréscimo (colocada em sua forma “unitária”). Exemplo: Encontrar o valor final de 150, após um acréscimo de 20%. Solução: ( ) 180 2 , 1 150 2 , 0 1 150 = × ⇒ + × . • Desconto: Multiplica-se o n.º (ou valor) dado por ( ) i − 1 , onde “i” é a taxa percentual de desconto (colocada em sua forma “unitária”). Exemplo: Encontrar o valor final de 150, após um desconto de 20%. Solução: ( ) 120 8 , 0 150 2 , 0 1 150 = × ⇒ − × . d) Acréscimos Sucessivos: Calculam-se acréscimos sucessivos, ou acréscimo com desconto sucessivo, ou, ainda, descontos sucessivos, SEMPRE usando um produto de fatores multiplicativos. Exemplos: • Dois acréscimos sucessivos de 20% sobre o mesmo valor. Equivale a multiplicar o valor sucessivamente por 1,2 e por 1,2, ou seja, multiplica-se o valor a ser acrescido por 1,44, o que resulta em um acréscimo final de 44% sobre o seu valor original. • Um acréscimo de 20% seguido de um desconto de 20% sobre o mesmo valor: Equivale a multiplicar o valor por 1,2 e por 0,8, ou seja, multiplicá-lo por 0,96, o que resulta em um prejuízo final de 4% sobre o seu valor original. • Dois descontos sucessivos de 20% sobre o mesmo valor. Equivale a multiplicar o valor sucessivamente por 0,8 e por 0,8, ou seja, multiplica-se o valor a ser descontado por 0,64, o que resulta em um desconto final de 36% sobre o seu valor original. e) Variação Percentual: Calcula diretamente a porcentagem de acréscimo (ou desconto) sofrida por um determinado número (ou valor). Fórmula: 100 % × | | . | \ | − = ∆ I I F V V V Prof. Milton Araújo
[email protected] 69 onde: ∆% é a “variação percentual”; V F é o “valor final”; V I é o “valor inicial” Exemplos: a) Qual é o percentual de acréscimo de uma mercadoria que passou de R$ 3,00 para R$ 3,60? Solução: % 20 100 3,00 3,00 - ,60 3 % + = × | . | \ | = ∆ . b) Qual é o percentual de desconto de uma mercadoria que passou de R$ 3,60 para R$ 2,16: Solução: % 40 100 3,60 3,60 - ,16 2 % − = × | . | \ | = ∆ Questões Resolvidas 1) TFC/1997 (ESAF) - Uma empresa, constituída em forma de sociedade anônima, possui o seu capital dividido em 350 milhões de ações. João, um acionista, possuí 0,3% do capital dessa empresa. Considerando que uma assembléia geral dos acionistas aprovou uma bonificação em ações, na qual para cada sete ações possuídas o acionista recebe uma ação bonificada, com quantas ações ao todo João ficará após receber as ações bonificadas? a) 120 000 b} 105 000 c) 900 000 d} 1 050 000 e) 1 200 000 Solução: João possui 0,3% de 350 milhões de ações, ou seja, 05 , 1 350 100 3 , 0 = × milhões de ações. Se cada 7 ações darão uma de bonificação, então João irá receber: 15 , 0 7 05 , 1 = milhões de novas ações. Desse modo, ele ficará com: (1,05 + 0,15 = 1,2) milhões de ações. Ora, 1,2 milhões é igual a 1,2 multiplicado por 1.000.000, ou seja, 1.200.000 ações. Resposta: letra e. 2) TFC/1997 (ESAF) A população de uma cidade era de 10.000 habitantes em 1970, tendo crescido 20% na primeira década seguinte e 12% acumulativamente na segunda década seguinte. Qual a população dessa cidade em 1990? a) 12.000 b) 13.120 c) 13.200 d) 13.440 e) 14.400 Solução: Temos uma questão que trata de “acréscimos sucessivos”. Podemos utilizar um método “Cuca Legal”, que diz o seguinte: “Para acréscimos sucessivos, somente podemos somar as porcentagens se incluirmos na soma o produto dessas porcentagens.” Então: % 4 , 34 % 4 , 2 % 32 100 12 100 20 % 12 % 20 = + = × + + . Encontramos, desta forma, o aumento acumulado da população da cidade nas duas décadas. Para encontrarmos o novo número de habitantes da cidade, basta multiplicar o n.º atual de habitantes por (1 + i), onde “i” é a taxa de acréscimo, isto é, 34,4%, porém, na sua forma UNITÁRIA (0,344). Assim: 10000 × 1,344 = 13440 Resposta: letra d. Testes Propostos 1) TFC/1998 (ESAF) - O jornal Correio Braziliense publicou, em 12/1/97, na reportagem “MEC ensaia mudanças em universidades”, um parágrafo assim redigido: Prof. Milton Araújo
[email protected] 70 (...) Esses (salários), no entanto, são engordados com vantagens típicas do serviço público federal – adicionais por tempo de serviço, função comissionada e gratificação de atividade executiva, por exemplo, que multiplica por 160% o salário-base de todos os servidores públicos federais. Sabendo que a gratificação de atividade executiva corresponde a um adicional de 160% sobre o salário-base do servidor público, a frase sublinhada no texto estaria correta se tivesse sido redigida do seguinte modo: a) que multiplica por 1,6 o salário-base de todos os servidores públicos federais. b) que multiplica por 2,6 o salário-base de cada servidor público federal. c) que multiplica por 160 o salário-base de cada servidor público federal. d) que acrescenta ao salário-base de todos os servidores públicos federais um valor superior ao dobro do salário-base. e) que torna o salário de cada servidor público federal superior ao triplo do salário-base. 2) PRF/1998 (NCE-UFRJ) - Uma pesquisa realizada na Grã-Bretanha mostrou que no primeiro semestre deste ano 295 doentes cardíacos precisaram de transplantes, mas só 131 conseguiram doadores. O percentual aproximado de doentes que não conseguiram o transplante é: a) 31% b) 36% c) 44% d) 56% e) 64% 3) TFC/1996 (ESAF) - Um microcomputador, com determinada configuração, é vendido nas lojas A e B. O preço na loja A é R$ 180,00 mais alto que na loja B. Se a loja A oferecer um desconto de 5%, os preços nas duas lojas serão iguais. Se X representa o preço do microcomputador na loja B, em reais, então X satisfaz à condição a) X < R$ 3.000,00 b) R$ 3.000,00 < X < R$ 3.500,00. c) R$ 3.500,00 < X < R$ 3.700,00 d) R$ 3.700,00 < X < R$ 3.900,00. e) X > R$ 3.900,00. 4) FUNDAÇÃO ZOOBOTÂNICA/2001 (FAURGS)- Do ano 1500 ao ano 1983, a cobertura florestal do solo que hoje corresponde ao Rio Grande do Sul decresceu em 87,4%. Estudos recentes, porém, mostram que essa cobertura florestal, nos últimos dezessete anos, cresceu 45%. Se, atualmente, essa área é de 23.000 km 2 , em 1500, era a) 23.000 × 0,126 × 1,45 km 2 b) 23.000 × 0,874 × 0,45 km 2 c) 23.000 : (0,874 : 1,45) km 2 d) (23.000 : 874) × 1,45 km 2 e) (23.000 : 0,126) : 1,45 km 2 5) ECT/2001 (CONSULTEC) - Para comprar camisas marcadas com um logotipo, foi feita uma pesquisa em três microempresas que confeccionam camisas com estampas. Chegou-se, então ao seguinte resultado Preço por unidade com desconto Desconto M 1 R$ 10,50 30% M 2 R$ 10,40 20% M 3 R$ 9,90 10% Considerando-se a pesquisa, pode-se concluir que a diferença entre o maior e o menor preço cobrado, sem desconto, por uma camisa foi igual a a) R$ 5,00 b) R$ 4,00 c) R$ 3,00 d) R$ 2,50 e) R$ 0,60 6) PMPA/2001 (PMPA) - O número de litros de água necessários para se reduzir 9 litros de loção de barba contendo 50% de álcool para uma loção contendo 30% de álcool é a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 7) PMPA/2001 (PMPA) - Quando se aumentam de 30% dois lados opostos de um quadrado e se diminuem em 30% os outros dois, a área do quadrado. a) aumenta 9% b) aumenta 15% c) não se altera d) diminui 15% e) diminui 9% 8) ECT/2001 (CONSULTEC) - O preço da fita adesiva sofreu dois aumentos consecutivos: 10 e 20%. Se, atualmente, a fita adesiva custa R$ 1,98, pode-se concluir que, antes dos aumentos, custava Prof. Milton Araújo
[email protected] 71 a) R$ 1,80 b) R$ 1,65 c) R$ 1,50 d) R$ 1,45 e) R$ 1,40 9) ECT/2001 (CONSULTEC) - Em uma estante, 5 2 dos livros são técnicos e o restante, de literatura. Dos livros de literatura, 4 3 são de Literatura brasileira. Com base nessa informação, pode-se concluir que o percentual de livros de literatura brasileira, na estante, é igual a a) 30% b) 40% c) 45% d) 55% e) 60% 10) TRT/2001 (FAURGS) - Somente 25% dos 60 funcionários de um Tribunal eram mulheres. Depois de transferido um certo número de funcionários do sexo masculino, as mulheres passaram a representar 30% do total de funcionários. O número de homens transferidos foi a) 5 b) 10 c) 15 d) 35 e) 45 GABARITO: 1 – b 2 - d 3 - b 4 - e 5 - b 6 - d 7 - e 8 - c 9 – c 10 - b 4.6 Problemas de Compra e Venda (Com lucro ou prejuízo) Nas transações comerciais de compra e venda de mercadorias, o cálculo do lucro ou prejuízo pode ser feito sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda. Resolvem-se os problemas por meio de regras de três simples diretas ou diretamente pelas fórmulas dadas a seguir. a) Lucro sobre a compra • O preço de compra equivale a 100% • Fórmula: L C V + = ; onde: “V” é o preço de venda; “C” é o preço de custo e “L” é o lucro. Exemplo: Por quanto deverá ser vendida uma mercadoria que custou R$ 80,00 para se obter um lucro de 20% sobre a compra? Solução: Em sala de aula. b) Lucro sobre a venda • O preço de venda equivale a 100% • Fórmula: L C V + = Exemplo: Por quanto devo vender um artigo que comprei por R$ 120,00 para obter um lucro de 25% sobre a venda? Solução: Em sala de aula c) Prejuízo sobre a compra • O preço de compra equivale a 100% • Fórmula: P C V − = ; onde: “V” é o preço de venda; “C” é o preço de custo e “P” é o prejuízo. Exemplo: Qual será o preço de venda de uma mercadoria que custou R$ 500,00, se a mesma foi vendida com um prejuízo de 20% sobre a compra? Solução: Em sala de aula. d) Prejuízo sobre a venda • O preço de venda equivale a 100% • Fórmula: P C V − = Exemplo: Prof. Milton Araújo
[email protected] 72 Por quanto devo vender um artigo que comprei por R$ 120,00 se o meu prejuízo foi de 25% sobre a venda? Solução: Em sala de aula Questão Resolvida: 01) PMPA/2001 (PMPA) - João vendeu dois terrenos por R$ 12.000,00 cada um. Um deles deu 20% de lucro em relação ao custo. O outro, 20% de prejuízo em relação ao custo. Na venda de ambos, João a) ganhou R$ 1.000,00 b) perdeu R$ 1.000,00 c) não perdeu nem ganhou. d) perdeu R$ 400,00 e) ganhou R$ 400,00. Solução: Em sala de aula .Resposta: letra b. TESTES PROPOSTOS 01) Uma mercadoria custou R$ 900,00 e o comerciante deseja negociá-la com um lucro de 40% sobre o preço de venda. Qual será o preço (em R$) de venda dessa mercadoria? a) 1500 b) 1260 c) 1300 d) 1200 e) 1000 02) Um computador custou R$ 1.200,00. Para negociá-lo com lucro de 40% sobre o preço de venda, o comerciante deverá vendê-lo por (em R$): a) 1680 b) 1800 c) 1860 d) 2000 e) 2200 03) João vendeu dois relógios por R$ 99,00 cada um. Na venda do primeiro, teve um lucro de 10%, e, na venda do segundo teve um prejuízo de 10%. Desse modo, na venda dos dois relógios, João: a) não ganhou nem perdeu b) lucrou R$ 2,00 c) teve prejuízo de R$ 9,00 d) lucrou R$ 11,00 e) teve prejuízo de R$ 2,00 04) Pedro comprou um conjunto de sofás com um desconto de 20% sobre o preço de venda. Sabendo-se que o valor pago foi de R$ 1.200,00, o preço de venda da mercadoria foi de (em R$): a) 1200 b) 1250 c) 1500 d) 1450 e) 1600 05) Um produto é vendido com um lucro bruto de 20%. Sobre o preço total da nota, 10% correspondem a despesas. O lucro líquido do comerciante é de: a) 8% b) 6,5% c) 6% d) 10% e) 9,2% 06) Qual o percentual sobre o custo corresponde um lucro de 75% sobre a venda? a) 120% b) 180% c) 250% d) 300% e) 400% 07) Um rádio é vendido por R$ 600,00, com um lucro de R$ 120,00. Qual é o percentual de lucro sobre o custo? a) 18% b) 25% c) 15% d) 20% e) 24% 08) Um comerciante compra um artigo por R$ 480,00 e o remarca para obter uma margem de lucro de 25% do preço de venda. O preço de venda (em R$) será: a) 520 b) 540 c) 600 d) 640 e) 720 09) A empresa “Vestibem” comprou o produto A pagando 10% de imposto sobre o preço de aquisição e 30% de despesa com transporte sobre o preço da mercadoria com imposto. Sabendo-se que na venda de A obteve um lucro de R$ 143,00 correspondente a 20% sobre o preço de aquisição mais despesas (imposto, transporte), o preço de aquisição da mercadoria foi de (em R$): a) 420 b) 450 c) 480 d) 500 e) 550 10) Na compra de qualquer periférico, uma loja concede um desconto de 10% sobre o preço da mercadoria. Se o cliente adquirir três ou mais periféricos, recebe um desconto adicional de 20% sobre o que iria pagar. Sem desconto, um HD custaria R$ 400,00, uma impressora R$ 900,00 e um monitor R$ 300,00. Pela aquisição desses 3 periféricos um cliente pagará (em R$): a) 1096 b) 1172 c) 1152 d) 1162 e) 1276 Gabarito 1 – a 2 - d 3 - e 4 - c 5 - a 6 – d 7 - b 8 - d 9 – d 10 - c Prof. Milton Araújo
[email protected] 73 5. MATEMÁTICA FINANCEIRA 5.1 Juros Simples a) Conceito Juro é o rendimento calculado sobre uma determinada importância, durante um determinado prazo e a uma certa taxa. Basicamente, há dois regimes de capitalização: a simples e a composta. O juro simples refere-se ao rendimento produzido sempre sobre o capital inicial. b) Formulário n i C J ⋅ ⋅ = onde: “J” é o juro simples; “C” é o capital aplicado; “i” é a taxa de juros e n é o prazo da operação. J C M + = onde: “M” é o montante; “C” é o capital aplicado e “J” é o juro produzido pelo capital (levando-se em conta a taxa de juros e o prazo da aplicação) Por meio de um “arranjo algébrico” das duas fórmulas anteriores, podemos também escrever, para o montante, a fórmula abaixo: ( ) n i C M ⋅ + ⋅ = 1 OBSERVAÇÕES: 1. A taxa (i) e o prazo (n) devem estar SEMPRE na mesma referência de tempo, isto é, se a taxa estiver “ao ano”, o prazo deve estar em “anos”, se a taxa estiver “ao mês”, o prazo deve estar em “meses”, se a taxa estiver “ao dia”, o prazo deve estar em dias, e assim por diante... 2. A taxa (i) deve estar na forma UNITÁRIA (ou “decimal”). 5.2 Juros Compostos Juros Compostos capitalizam-se (ou acumulam-se) no final de cada período, sempre com base no montante do período anterior. Exemplo: Para um capital de R$ 100,00 à taxa de 10% a.m., por um prazo de 4 meses, geramos o quadro comparativo abaixo: Montante Juros Simples Juros Compostos 0 100 100,00 1 110 110,00 2 120 121,00 3 130 133,10 4 140 146,41 a) Fórmulas: ( ) n i C M + ⋅ = 1 onde: “M” é o montante; “C” é o capital aplicado; “i” é a taxa de juros e n é o prazo da aplicação. C M J − = Prof. Milton Araújo
[email protected] 74 ( ) | | 1 1 − + ⋅ = n i C J onde: “J” é o juro (os demais elementos já foram identificados anteriormente). LEMBRETE! Continuam valendo as observações já feitas anteriormente... 1. Taxa e o prazo devem estar SEMPRE na mesma referência de tempo 2. A taxa deve estar na forma UNITÁRIA. O fator ( ) n i + 1 chama-se Fator de Capitalização. Estes valores encontram-se em tabelas financeiras. No Teste ANPAD, as taxas mais usadas são 10% e 20%. Uma pequena tabela para os valores mais usados foi incluída no capítulo referente a taxas. Recomendo ao leitor que se familiarize com os valores ali constantes. Obs.: Nos problemas que tratam de crescimento populacional, utilizamos a mesma fórmula de juro composto. b) Taxas Equivalentes Para o Teste ANPAD é conveniente o candidato memorizar os valores da tabela abaixo: 10% 20% 21 , 1 1 , 1 2 = 44 , 1 2 , 1 2 = 331 , 1 1 , 1 3 = 728 , 1 2 , 1 3 = 4641 , 1 1 , 1 4 = 07 , 2 2 , 1 4 = 61 , 1 1 , 1 5 = c) Taxa Real (ou deflacionamento) Taxa Real é aquela efetivamente paga em uma operação qualquer, após descontarmos a inflação. i ap r i i i + + = + 1 1 1 onde: r i é a taxa real; ap i é a taxa aparente e i i é a taxa de inflação. Questões Resolvidas 01) BB/1999 (CESPE-UnB) - O valor de um aluguel era de R$ 400,00 no dia 1º de julho de 1999 e foi reajustado para R$ 410,00 no dia 1º de agosto de 1999. Considerando que a inflação registrada no mês de julho foi de 1%, é correto afirmar que a taxa real de juros utilizada no reajuste do valor desse aluguel foi a) inferior a 1,5% b) igual a 1,5% c) superior a 1,5% e inferior a 2,0%. d) igual a 2,0% e) superior a 2,0% Solução: Calculamos a variação percentual no valor do aluguel por meio de uma regra de três simples: R$ % 400 ÷÷÷ 100 10 ÷÷÷ x % 5 , 2 400 100 10 = × = x . Você poderá encontrar esse mesmo resultado recorrendo à fórmula da variação percentual vista no item 4.4 – Porcentagem. Agora devemos "deflacionar” este valor, ou seja, procuramos aqui a taxa real": i ap r i i i + + = + 1 1 1 Prof. Milton Araújo
[email protected] 75 onde: i r = taxa real; i ap = taxa “aparente"; i i = taxa de inflação. Lembrando de colocar todas as taxas na forma "unitária" antes de substituirmos na fórmula acima, obteremos: 01485 , 1 01 , 1 025 , 1 01 , 0 1 025 , 0 1 1 = = + + = + r i ⇒ 1 01485 , 1 − = r i ⇒ i r = 1,485% Resposta: letra a. Testes Propostos 01) A aplicação de R$ 5.000 à taxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o montante de: a) R$ 10.358,00 b) R$ 10.368,00 c) R$ 10.378,00 d) R$ 10.388,00 e) R$ 10.398,00 02) Um investidor aplicou a quantia de R$ 20.000,00 à taxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital irá gerar após 3 meses? a) R$ 26.420,00 b) R$ 26.520,00 c) R$ 26.620,00 d) R$ 26.720,00 e) R$ 26.820,00 03) Um capital de US$ 2,000.00, aplicado à taxa de 5% a.m., em 1 ano produz um montante de: Dado: (1,05) 12 = 1,79586 a) US$ 3.291,72 b) US$ 3.391,72 c) US$ 3.491,72 d) US$ 3.591,72 e) US$ 3.691,72 04) A aplicação de um capital de Cz$ 10.000,00, no regime de juros compostos, pelo período de três meses, a uma taxa de 10% ao mês, resulta, no final do terceiro mês, num montante acumulado: a) de Cz$ 3.000,00 b) de Cz$ 13.000,00 c) inferior a Cz$ 13.000,00 d) superior a Cz$ 13.000,00 e) menor do que aquele obtido por juros simples 05) Um investidor aplicou a quantia de CR$ 100.000,00 à taxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital irá gerar após 4 meses? a) CR$ 140.410,00 b) CR$ 142.410,00 c) CR$ 144.410,00 d) CR$ 146.410,00 e) CR$ 148.410,00 Gabarito 1 - b 2 - c 3 - d 4 - d 5 – d 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA 6.1 Princípio Fundamental da Contagem Vamos ilustrar o modo de raciocinar a contagem com um exemplo básico. Exemplo: Um prédio tem duas entradas (a e b) e três elevadores (c, d e e). De quantas maneiras uma pessoa consegue entrar no prédio e acessar um dos andares? Solução: Por meio do diagrama abaixo (também chamado de “árvore das possibilidades”), pode-se compreender o raciocínio. A partir do diagrama, formamos todos os pares possíveis: (a, c); (a, d); (a, e); (b, c); (b, d); (b, e) Se o nosso objetivo for encontrar apenas o total de possibilidades, basta-nos raciocinar da seguinte maneira: Para cada entrada, tem-se 3 elevadores. Em matemática, a palavra “cada” significa “multiplicação”, ou seja: para cada entrada, existem 3 elevadores. Como o número de entradas é 2, então , tem-se: 2 × 3 = 6 possibilidades Desse modo, para descobrirmos o total de possibilidades, basta multiplicarmos o número de possibilidades de cada evento. Prof. Milton Araújo
[email protected] 76 Este exemplo ilustra um raciocínio que é conhecido como princípio fundamental da contagem: o número de possibilidades de ocorrer uma sucessão de eventos é dado pelo produto dos números de possibilidades de ocorrer cada um dos eventos. Outro exemplo: Quantos números naturais de dois algarismos diferentes podemos formar com 1, 2, 3 e 4 Solução: Os pares possíveis serão: 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43 Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos quatro algarismos e três possibilidades de combinação para cada um deles. Desse modo: 4 × 3 = 12 6.2 “Fatorial” de um número NATURAL: Só existe a operação fatorial para números naturais De forma geral, calcula-se o fatorial de um número natural do seguinte modo: ( ) ( ) ( ) 1 ... 3 2 1 ! ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = n n n n n onde ! n lê-se: “fatorial do número n ” Exemplo: 120 1 2 3 4 5 ! 5 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 6.3 Permutação Simples: Uma Permutação simples de n elementos de um conjunto dado é uma seqüência desses n elementos, de modo que cada mudança na ordem desses elementos determina uma permutação diferente. Fórmula: ! n P n = O símbolo “!” ao lado de um número significa “fatorial” deste e indica que se deve efetuar o produto de TODOS os números naturais consecutivos, desde 1 até n. Exemplo: 4! = 1 . 2 . 3 . 4 = 24 Por definição: 1! = 1 e 0! = 1 6.4 Arranjo Simples: Um Arranjo simples de p elementos, extraídos de um conjunto com n elementos (com p ≤ n), é qualquer subconjunto de p elementos, nos quais a MUDANÇA DE ORDEM determina arranjos diferentes. Fórmula: ( )! ! , p n n A p n − = Prof. Milton Araújo
[email protected] 77 Exemplo: Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com o conjunto {2, 3, 5, 7} Solução: há 4 elementos no conjunto dado, logo, n = 4. Queremos arranjá-los 2 a 2. Então, p = 2. Com a fórmula acima, teremos: ( ) 12 2 1 4 3 2 1 ! 2 ! 4 ! 2 4 ! 4 2 , 4 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = − = A Raciocinando pelo princípio fundamental da contagem: temos 4 algarismos. Para cada um escolhido, restam outros 3 para formarmos os arranjos. Assim: 4 × 3 = 12 6.5 Combinação: Uma Combinação simples de p elementos, extraídos de um conjunto com n elementos (com p ≤ n), é qualquer subconjunto de p elementos, nos quais a mudança de ordem de tais elementos determina a MESMA combinação. Fórmula: ( )! ! ! , p n p n C p n − ⋅ = Exemplo: Quantas comissões de três alunos podemos formar com cinco estudantes: A, B, C, D, E Solução: Aqui, a ordem dos p elementos em cada subconjunto irá determinar a mesma combinação, logo, trata-se de um problema de Combinação, no qual: n = 5 e p = 3 Usando diretamente a fórmula acima: ( ) 10 2 1 3 2 1 5 4 3 2 1 ! 2 ! 3 ! 5 ! 3 5 ! 3 ! 5 3 , 5 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = − ⋅ = C Questões Resolvidas 1) CEF/1998 (FCC/CESGRANRIO) - Desejando limpar uma prateleira, a arrumadeira retirou de lá uma coleção de livros numerados de 1 a 9. Depois, ela recolocou aleatoriamente os livros na prateleira. É claro que ela pode tê-los colocado na ordem normal, ou seja, 1, 2, 3 etc. No entanto, a chance de isso ocorrer é apenas uma em a) 16.660 b) 40.320 c) 362.880 d) 368.040 e) 406.036 Solução: Basta calcularmos a Permutação de 9: P 9 = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 = 362.880. Resposta: letra c. 2) IBGE/2000 (NCE-UFRJ) - A soma do número de anagramas que se pode fazer com as letras da palavra AMOR com o número de anagramas que se pode fazer com as letras da palavra PAZ é um número: a) divisível pelo mínimo múltiplo comum entre 2 e 15 b) ímpar c) múltiplo de 4 d) primo e) divisível por 9 Solução: Para encontrarmos o número de anagramas com as letras de uma palavra (sem repetições de letras), basta calcularmos a PERMUTAÇÃO do número de letras da palavra. Então: P 4 + P 3 = 4! + 3! = 4 × 3 × 2 × 1 + 3 × 2 × 1 = 30. Este número é divisível pelo MMC de 2 e 15 (que é 30). Resposta: letra a. 3) Simulado PRF/2000 (unificado) - Numa biblioteca, cada pessoa presente cumprimentou todas as outras, havendo, ao todo, 105 apertos de mão. Quantas pessoas havia na biblioteca? a) 21. b) 10 c) 15 d) 35 e) impossível calcular! Prof. Milton Araújo
[email protected] 78 Solução 1: Se tivermos x pessoas na biblioteca, cada uma das x pessoas apertará mão de outras “(x - 1)” pessoas. O destaque na palavra “cada” não foi por acaso: as palavras “CADA” e “DE” em matemática significam MULTIPLICAÇÃO. Desse modo, deveremos realizar o produto x.(x - 1). Entretanto, são necessárias DUAS pessoas para UM aperto de mão. O produto que realizamos está contando o DOBRO dos apertos de mão realizados. Disto tudo, então, irá resultar: 0 210 105 2 ) 1 .( 2 = − − ⇒ = − x x x x . As raízes são: 15 e -14. A resposta negativa obviamente não serve! Então o resultado é: 15 pessoas. Solução 2: Como segunda solução, basta pensarmos que, se a cada duas pessoas resulta um aperto de mão, deveremos COMBINÁ-LAS duas a duas para ter a solução do problema: 105 )! 2 ( ! 2 ! 2 , = − ⋅ = n n C n . Desenvolvendo o fatorial do numerador, teremos: 210 )! 2 ( )! 2 ( ) 1 ( = − − ⋅ − × n n n n . Simplificando, vem: n. (n - 1) = 210 (que resulta numa equação do segundo grau idêntica à da solução 1). Resposta: letra c. 4) TRF/2001 - 4ª região (FCC) - Considere todos os números de 3 algarismos distintos, escolhidos entre os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. Em quantos desses números a soma dos algarismos é ímpar? a) 8 b) 12 c) 16 d) 24 e) 48 Solução: Para que a soma dos algarismos de números com 3 algarismos resulte ÍMPAR é necessário que tomemos dois algarismos pares com um ímpar ou então 3 algarismos ímpares. Como temos 3 algarismos ímpares, então uma parte da solução é dada pela permutação de 3: P 3 = 6. Os demais números (com dois pares e um ímpar) são obtidos facilmente, pois há 3 algarismos ímpares, 3 posições para cada um. Além disto, para cada algarismo ímpar, haverá 2 algarismos pares para as duas posições restantes. Daí a multiplicação: 2 3 3 × × = 18. Somando este resultado com o anterior, teremos: 6 + 18 = 24. Resposta: letra d. 5) TFC/2001 (ESAF) - Em uma circunferência são escolhidos 12 pontos distintos. Ligam-se quatro quaisquer destes pontos, de modo a formar um quadrilátero. O número total de diferentes quadriláteros que podem ser formados é: a) 128 b) 495 c) 545 d) 1.485 e) 11.880 Solução: Basta encontrarmos a Combinação de 12, tomados 4 a 4... 495 1 2 3 4 9 10 11 12 4 , 12 = × × × × × × = C Resposta: letra b. Problemas Propostos: 1) Márcia tem quatro blusas, três calças e quatro pares de tênis. De quantas maneiras diferentes ela pode combinar as três peças? Resposta: 48 4 3 4 = × × 2) Irineu tem cinco camisas e três calças. De quantas maneiras diferentes ele pode combinar as duas peças? Resposta: 15 3 5 = × 3) Lendo-se o cardápio de um restaurante, verifica-se que há dois tipos de salada, dez pratos quentes, cinco bebidas e três tipos de sobremesa. Quantos pedidos diferentes é possível fazer, escolhendo um item de cada? Resposta: 300 3 5 10 2 = × × × 4) Tomando-se o conjunto {1, 2, 3, 4}, quantos números naturais de dois algarismos podem ser formados? Prof. Milton Araújo
[email protected] 79 Resposta: 12 3 4 = × 5) Olavo quer saber quantas placas de motocicletas podem ser formadas com 2 letras (entre 26) e três algarismos. Como ele deve proceder? Resposta: 676.000 6) Nas placas de automóveis são três letras (entre 26) e quatro algarismos. Quantas placas diferentes podem ser formadas? Resposta: 175.760.000 Testes Propostos 1) PMPA/1993 (PMPA) - Numa reunião do partido que elegeu o Prefeito de uma capital, estão presentes 12 professores e 18 médicos. Dentre estes profissionais deve ser escolhido e levado ao Prefeito o nome de um professor e o de um médico como sugestões para as funções de Secretário de Educação e de Secretário de Saúde, respectivamente. Nestas condições, o número de diferentes duplas (professor, médico) que podem ser submetidas à escolha do Prefeito, é igual a: a) 30 b) 60 c) 128 d) 216 e) 432 2) PMPA/2000 (PMPA) - Atualmente as placas dos veículos no Brasil possuem três letras e quatro algarismos. Vamos considerar um lote dessas placas onde as letras utilizadas são somente A, B e C, mas com todos os algarismos. O número de placas, diferentes, nesse lote é: a) 27.000 b) 90.000 c) 177.147 d) 270.000 e) 300.000 3) PMPA/2000 (PMPA) - Uma comissão composta por 3 pessoas será constituída a partir de um grupo de 7 agentes administrativos. Quantas comissões diferentes podem ser formadas? a) 21 b) 28 c) 35 d) 42 e) 49 4) TRENSURB/2001 (FAURGS) Há 5 linhas de trem servindo as cidades A e B e 4 linhas servindo as cidades B e C. não há linhas diretas entre A e C. uma pessoa deseja ir e voltar de A a C, sem passar mais de uma vez pela mesma estrada. O número de percursos distintos que ela poderá fazer é a) 16 b) 18 c) 40 d) 240 e) 400 5) TRT/2001 (FAURGS) - Oito processos distintos deverão ser distribuídos entre três juizes de modo que o primeiro juiz receba 4 processos, o segundo 2 e o terceiro também 2. O número de maneiras em que a distribuição poderá ser feita é a) 124 b) 250 c) 380 d) 400 e) 420 6) PMPA/2001 (PMPA) - Dos 100 aprovados num concurso, 50 irão para o departamento A, 40 para o departamento B e os restantes 10 para o C. o número de possibilidades para preencher os 100 cargos, sabendo-se que um aprovado não poderá vir a ocupar dois cargos diferentes, é. a) 40 50 50 100 C C × b) 10 10 40 50 50 100 C C C + + c) 10 100 40 100 50 100 A C A × × d) 10 100 40 100 50 100 A A A + + e) 40 50 50 100 A A × Gabarito: 1 – d 2 - d 3 - c 4 - d 5 - e 6 - a 7 NOÇÕES DE PROBABILIDADE. 7.1 Conceito Clássico de Probabilidade Seja S um espaço amostral e A um evento qualquer desse espaço amostral, com A ⊂ S (isto é, A é um subconjunto de S), então, a probabilidade de ocorrer o evento A é dada por: ) ( ) ( ) ( S n A n A P = , ou seja, “A probabilidade de que um evento qualquer “A” ocorra é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis ao evento e o número de casos possíveis” onde: n(A) é o número de elementos do conjunto A e n(S) é o número de elementos de S. Prof. Milton Araújo
[email protected] 80 A definição acima é conhecida como “definição clássica de probabilidade” e supõe que todos os elementos do espaço amostral sejam equiprováveis, ou seja: todos têm a mesma chance de ocorrer. A probabilidade de um evento qualquer “A” ocorrer estará sempre entre zero e um, ou seja: 1 ) ( 0 ≤ ≤ A P (entre 0 e 100%) Quando 0 ) ( = A P , temos um EVENTO IMPOSSÍVEL. Quando 1 ) ( = A P , temos um EVENTO CERTO. Exemplos: 1) Numa urna há 12 bolas brancas e 18 bolas pretas. Qual é a probabilidade de sortearmos uma bola preta? Solução: Tem-se 18 casos favoráveis ao evento “Bola Preta” em 12 + 18 (=30) casos possíveis. Então: % 60 6 , 0 5 3 30 18 ) ( = = = = A P 2) Um casal pretende ter três filhos. Qual é a probabilidade de serem duas meninas e um menino? Solução: O número de casos possíveis [n(S)] é: 2 . 2 . 2 = 8 (princípio fundamental da contagem!) O número de casos favoráveis ao evento será [n(A)] = 3. Com efeito, teremos: {(m, m, h); (m, h, m); (h, m, m)} (onde “h” significa “menino” e “m” significa “menina”) % 5 , 37 375 , 0 8 3 ) ( = = = A P 3) Num baralho 5 de 52 cartas, qual é a probabilidade de retirarmos uma carta de copas? Solução: São 13 casos favoráveis em 52 casos possíveis. Então: % 25 4 1 52 13 ) ( = = = A P 7.2 Evento Complementar É a probabilidade de um evento NÃO OCORRER, ou seja: ( ) ( ) A P A P − =1 7.3 Combinação de Eventos Na combinação de eventos “e” significa interseção (∩) e “ou” significa união (∪). Também devemos associar o evento união com “pelo menos”, isto é, a probabilidade de que ocorra pelo menos um dos eventos presentes em um conjunto de eventos é calculada através da fórmula da união, que será mostrada mais adiante. a) Eventos Independentes Sejam A e B dois eventos quaisquer em seu Espaço Amostral S, tais que: São aqueles em que a probabilidade de ocorrência de um não influencia na ocorrência do outro. Em outras palavras, φ = ∩B A (a interseção entre os eventos é um conjunto vazio!). 5 Um baralho comum tem 52 cartas no total. São 4 naipes (copas, ouros, paus e espadas). Cada naipe tem 13 cartas: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K. “J” é o valete; “Q” é a dama e “K” é o rei. Prof. Milton Araújo
[email protected] 81 Entretanto, a probabilidade de que os eventos ocorram simultaneamente (interseção) é dada pelo produto (Teorema do Produto) das probabilidades de cada evento ocorrer isoladamente. ( ) ( ) ( ) B P A P B A P ⋅ = ∩ Obs.: Nos eventos com retiradas sucessivas, considera-se cada retirada como um evento independente de qualquer outro. Ver questão b) Eventos Mutuamente Exclusivos Sejam A e B dois eventos quaisquer em seu Espaço Amostral S, tais que: φ = ∩B A (a interseção entre os eventos é um conjunto vazio!). A probabilidade de ocorrência de um impede (inviabiliza totalmente) a ocorrência do outro. Em outras palavras, inexiste a probabilidade de que dois eventos mutuamente exclusivos ocorram simultaneamente. ( ) 0 = ∩B A P c) Eventos Dependentes (Probabilidade Condicional) Sejam A e B dois eventos quaisquer em seu Espaço Amostral S, tais que: φ ≠ ∩B A . A probabilidade de que os dois eventos ocorram simultaneamente ( ) B A P ∩ depende da condição, isto é, busca-se a probabilidade de ocorrência de um evento, com a condição de que outro já tenha ocorrido. Tem-se, então, o conceito de Probabilidade Condicional: ( ) ( ) ) ( / B P B A P B A P ∩ = ou ( ) ( ) ) ( / A P B A P A B P ∩ = De onde vem: ( ) ( ) ) ( / B P B A P B A P ⋅ = ∩ ou ( ) ( ) ) ( / A P A B P B A P ⋅ = ∩ que também é conhecido como Teorema do Produto para eventos condicionais. Obs.: ( ) B A P / : Lê-se: “Probabilidade de ocorrer o evento A sabendo-se que o evento B já ocorreu”. d) Teorema de Bayes Em se tratando de Teste ANPAD, não vale à pena inserir aqui todo o complicado equacionamento matemático deste importante teorema da probabilidade. Entretanto, a forma de resolvê-lo será vista em aula, por meio de um artifício que simplificará (e muito!) o teorema... e) União (ou reunião) de Eventos Quando desejamos calcular a probabilidade de que, em um conjunto de eventos, qualquer um deles ocorra (ou mesmo ambos ocorram juntos!), lançamos mão da fórmula da união de eventos, que é dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) B A P B P A P B A P ∩ − + = ∪ Observações: a) se os eventos forem Mutuamente Exclusivos ( ) ( ) ( ) B P A P B A P + = ∪ , pois ( ) 0 = ∩B A P ; b) se os eventos forem Independentes ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B P A P B P A P B A P ⋅ − + = ∪ , pois ( ) ( ) ( ) B P A P B A P ⋅ = ∩ Também podemos calcular a probabilidade da reunião de eventos pela fórmula: ( ) ( ) B A P B A P ∩ − = ∪ 1 Prof. Milton Araújo
[email protected] 82 Questões Resolvidas: 1) CEEE/2000 (FAURGS) - Numa competição da qual participaram americanos e europeus, um grupo de atletas foi premiado com medalhas de ouro, prata ou bronze de acordo com a tabela abaixo OURO PRATA BRONZE AMERICANOS 10 13 22 EUROPEUS 08 14 23 Sabendo que cada atleta recebeu apenas uma medalha e escolhendo, ao acaso, um atleta desse grupo, a probabilidade de ele ser americano e ter recebido medalha de prata é a) 15% b) 20% c) 25% d) 30% e) 50% Solução: A probabilidade de o atleta ser americano (Evento A) e ter recebido medalha de prata (Evento S ) é: ( ) % 44 , 14 90 13 = = ∩S A P . A resposta está aproximada (trata-se de uma aproximação grosseira, realizada pela banca do concurso e que confundiu muitos candidatos) Resposta: letra a. 2) IBGE/2000 (NCE-UFRJ) - Um arquivo contém 24 fichas, numeradas de 1 a 24. Retira-se ao acaso uma ficha. A probabilidade de se tirar uma ficha com o número maior ou igual a 15 é aproximadamente igual a: a) 20,93% b) 37,50% c) 41;67% d) 43,48% e) 50% Solução: Temos 10 fichas com número maior ou igual a 15. Então a probabilidade pedida é: 24 10 =0,4167 ou 41,67%. Resposta: letra c. Testes Propostos: 1) TFC/2001 (ESAF) - Beraldo espera ansiosamente o convite de um de seus três amigos, Adalton, Cauan e Délius, para participar de um jogo de futebol. A probabilidade de que Adalton convide Beraldo para participar do jogo é de 25%, a de que Cauan o convide é de 40% e a de que Délius o faça é de 50%. Sabendo que os convites são feitos de forma totalmente independente entre si, a probabilidade de que Beraldo não seja convidado por nenhum dos três amigos para o jogo de futebol é: a) 12,5% b) 15,5% c) 22,5% d) 25,5% e) 30% 2) PMPA/2000 (PMPA) - Uma frota de 20 veículos de mesmo modelo e tipo, apresenta cinco deles com defeitos na surdina. Se escolhermos, aleatoriamente, um veículo dessa frota, qual é a probabilidade dele ter defeito na surdina? a) 40% b) 35% c) 32% d) 28% e) 25% 3) PMPA/2000 (PMPA) - Num fichário existem 12 nomes de mulher e 28 nomes de homem. Se retirarmos, ao acaso duas dessas fichas, com reposição, qual a probabilidade de ambas serem com nomes de mulher? a) 3% b) 5% c) 9% d) 15% e) 30% 4) TRENSURB/2001 (FAURGS) - Girando-se duas vezes um ponteiro em um painel circular dividido em 6 partes iguais, como mostrado na figura abaixo, em que sempre um dos números é apontado, a probabilidade de o produto dos dois números obtidos ser 6 é de a) 5/36 b) 10/36 c) 12/36 d) 13/36 e) 18/36 Prof. Milton Araújo
[email protected] 83 5) TRT/2001 (FAURGS) - Uma rifa, em que apenas um número será sorteado, contém todos os números de 1 a 100. Os funcionários de um cartório compraram todos os números múltiplos de 8 ou 10. A probabilidade de que um desses funcionários seja premiado no sorteio da rifa é de a) 12% b) 18% c) 20% d) 22% e) 30% 6) PMPA/2001 (PMPA) - As placas das motos em Porto Alegre são formadas por duas letras e três algarismos, podendo existir repetição de letra e de algarismo numa mesma placa. Sabendo-se que foram utilizadas apenas 10 letras do alfabeto, a probabilidade de sortear-se, ao acaso, uma moto de uma empresa de telentrega, que possui 100 motos emplacadas, é de a) 0,001% b) 0,01% c) 0,1% d) 1% e) 10% 7) FUND. ZOOBOTÂNICA/2001 (FAURGS) - A probabilidade de pelo menos um dos animais, de um casal de animais do zoológico, estar vivo em 10 anos é de 90%. Se a probabilidade de o macho estar vivo nesse tempo for de 60%, para a fêmea essa probabilidade será de a) 65% b) 75% c) 80% d) 85% e) 90% 8) Em uma sala de aula estão 4 meninas e 6 meninos. Duas crianças são sorteadas para constituírem uma dupla de ping-pong. A probabilidade de as duas crianças escolhidas serem do mesmo sexo é: a) 25 4 b) 25 9 c) 50 21 d) 15 7 e) 15 8 9) O medicamento A, usado para engorda de bovinos, é ineficaz em cerca de 20% dos casos. Quando se constata sua ineficácia, pode-se tentar o medicamento B, que é ineficaz em cerca de 10% dos casos. Nessas condições, é verdade que a) o medicamento B é duas vezes mais eficaz que o medicamento A. b) numa população de 20 000 bovinos, A é ineficaz para exatamente 4 000 indivíduos. c) numa população de 16 000 bovinos, B é eficaz em cerca de 12 800 indivíduos. d) a aplicação de A e depois de B, se o A não deu resultado, deve ser ineficaz para cerca de 2% dos indivíduos. e) numa população de 20 000 bovinos, A é eficaz para cerca de 18 000 indivíduos. 10) Oito casais participam de um jantar. São escolhidas aleatoriamente, duas pessoas para discursar. A probabilidade de que as pessoas escolhidas sejam marido e mulher, é: a) 1/4 b) 1/8 c) 3/8 d) 1/15 e) 1/6 11) Um baralho consiste em 100 cartões numerados de 1 a 100. Retiram-se 2 cartões ao acaso, sem reposição. A probabilidade de que a soma dos dois números dos cartões retirados seja igual a 100, é: a) 1/100 b) 1/2. c) 49/99 d) 49/4950 e) 5/99 12) Em uma gaveta, cinco pares diferentes de meia estão misturados. Retirando-se ao acaso duas meias, a probabilidade de que elas sejam do mesmo par é: a) 1/5 b) 1/10 c) 1/4 d) 1/9 e) 1/45 13) Uma parteira prevê, com 50% de chance de acerto, o sexo de cada criança que vai nascer. Num conjunto de três crianças, a probabilidade de acertar pelo menos duas previsões é de: a) 5% b) 12,5% c) 25% d) 45% e) 50% 14) Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres, três pessoas são escolhidas ao acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um homem e duas mulheres é de: a) 20% b) 30% c) 50% d) 60% e) 75% 15) O jogo da loto consiste em sortear 5 dezenas em 100 dezenas possíveis. Alguém querendo jogar nessa loteria, pode escolher de 5 até 10 dezenas. Se alguém que escolhe 5 dezenas tem probabilidade y de ganhar, então quem escolhe 7 dezenas tem que probabilidade de ganhar? a) 7.y b) 14.y c) 100.y d) 21.y e) 500.y Gabarito: 1 – c 2 – e 3 - c 4 - c 5 - c 6 - c 7 - b 8 - d 9 – d 10 - d 11 - d 12 - d 13 - e 14 - d 15 - d Prof. Milton Araújo
[email protected] 84 8. FUNÇÕES 8.1 Definição: f : A → B, “sentença”. Lê-se: “função ‘f’ definida como sendo uma aplicação do conjunto A no conjunto B, obedecendo a sentença seguinte”. Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação f de A × B recebe o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo x ∈ A existe um só y ∈ B tal que (x, y) ∈ f O conjunto “A” é chamado de conjunto de partida ou Domínio. O conjunto “B” é chamado de conjunto de chegada ou Contradomínio. 8.2 Domínio e Imagem Toda função f é uma relação binária de A × B, portanto f tem um domínio e uma imagem. Chama-se domínio de f o conjunto D dos elementos x ∈ A para os quais existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ f. pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedade, portanto, nas funções temos: domínio = conjunto de partida Chama-se imagem de f o conjunto Im dos elementos y ∈ B para os quais existe x ∈ A tais que (x, y) ∈ f, portanto: imagem é subconjunto do contradomínio 6 Exemplos: 1º) f(x) = 2x notando que 2x ∈ IR para todo x real, temos: D = IR 2º) f(x) = x 1 . notando que x 1 ∈ IR para todo x real DIFERENTE DE ZERO, temos: D = IR * 3º) f(x) = x . notando que x ∈ IR para todo x real NÃO NEGATIVO, temos: D = IR + 8.3 Classificação das Funções a) Função sobrejetora: Uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio. Em outras palavras, não pode haver elementos no contradomínio sem receber flechas. b) Função Injetora: É aquela na qual elementos distintos do domínio têm imagens distintas, isto é, dois elementos do domínio não podem ter a mesma imagem. Em outras palavras: não há elemento do contradomínio recebendo duas ou mais flechas. 6 Contradomínio é o conjunto de chegada. Prof. Milton Araújo
[email protected] 85 c) Função Bijetora: É aquela que é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, ou seja, cada elemento do contradomínio só recebe uma única flecha e não sobram elementos no contradomínio. 8.4 Função do 1º Grau (ou função “Afim”): É toda função f : IR → IR definida por uma equação do primeiro grau com duas variáveis: y = ax + b, onde a e b ∈ IR, com a ≠ 0. y também é grafado como “f(x)”, ou seja: y = f(x) onde: a – é o coeficiente angular, ou declividade ou inclinação; e b – é o coeficiente linear (ponto em que a reta corta o eixo y) Se a > 0 a reta terá inclinação positiva ou à direita. Esta função é crescente! Se a < 0 a reta terá inclinação negativa ou à esquerda. Esta função é decrescente! Exemplos: a) y = 3x - 1 (a = 3 e b = - 1) b) f(x) = -2x (a = -3 e b = 0). As funções do primeiro grau também podem ser classificadas em: a) Função Afim: É quando a ≠ 0 e b ≠ 0. Exemplo: y = 3x - 1 (a = 3 e b = - 1) b) Função Linear: É quando a ≠ 0 e b = 0. Exemplo: f(x) = -2x. A função linear sempre passa pela origem. Obs.: Comumente vê-se a função “Afim” ser erroneamente chamada de função “Linear”. Pela definição rigorosa de linearidade, tem-se que y sempre terá uma variação proporcional à variação de x, caso este que só acontece quando o valor de b é zero. Conclui-se, portanto, que a função Afim não segue a definição de linearidade! c) Função Identidade: Neste caso, a = 1 e b = 0. Exemplo: y = x. d) Função Constante: É quando a = 0 e b ≠ 0. Exemplo: y = 4. Prof. Milton Araújo
[email protected] 86 e) Valor da Função em um Ponto: Exemplos: a) Dada a função f(x) = 3x - 4, calcular f(4). Solução: f(4) = 3 . (4) - 4 = 8 Resposta: f(4) = 8. b) Se f(x - 1) = x + 3, calcule f(2). Solução: para que x - 1 seja igual a 2 é necessário que: x - 1 = 2 ⇒ x = 3. Então, devemos substituir o x por “3”: f(2) = 3 + 3 = 6. Resposta: f(2) = 6. f) Gráfico da Função do Primeiro Grau (reta): Toda função do primeiro grau é uma reta. Uma reta fica bem definida com a determinação de dois de seus pontos. Obs.: Em toda e qualquer função, o termo independente representa o ponto em que o seu gráfico corta o eixo y. No caso da reta, esse ponto será dado por b. Exemplo: Construir o gráfico de f(x) = x + 2. Solução: “atribuindo-se” dois valores para x e calculando-se os respectivos valores de y. (veja quadro abaixo) X f(x) = x + 2 (x, y) 0 f(0) = 0 + 2 = 2 (0, 2) 2 f(2) = 2 + 2 = 4 (2, 4) O ponto em que a reta “corta” o eixo x é chamado de “raiz” ou “zero” da função. Este ponto é obtido quando y = 0 na função dada. Tanto o domínio quanto a imagem de uma função do 1º grau é o conjunto dos nºs reais (IR). g) Determinação da função do 1º grau a partir do seu gráfico: Exemplo: Dado o gráfico abaixo, determinar a função: A partir de dois pontos conhecidos no gráfico podemos determinar a função. Por exemplo: os pontos (1, 1) e (2, 4) pertencem à função dada. Então, a partir da forma geral da Prof. Milton Araújo
[email protected] 87 função do primeiro grau: y = ax + b, substituímos as coordenadas de cada ponto, determinando duas equações: 1 = a . (1) + b ⇒ a + b = 1 (equação 1) 4 = a . (2) + b ⇒ 2a + b = 4 (equação 2) Temos, assim, um sistema com duas equações e duas incógnitas (a e b). Resolvendo o sistema, encontramos: a = 3 e b = -2. Tem-se, desse modo, a função que determinou o gráfico dado: y = 3x - 2 8.5 Função do 2º Grau (quadrática ou parábola): Função do 2º grau é toda função da forma y = ax 2 + bx + c, com a, b e c ∈ IR e a ≠ 0. Onde: • a é a concavidade (“boca”) da parábola. Se a > 0 a parábola tem “boca” voltada para cima: Se a < 0 a parábola tem “boca” voltada para baixo: • Se b > 0, a curva corta o eixo y “subindo”; • Se b < 0 curva corta o eixo y “descendo”. • c é o ponto no qual a curva corta o eixo y. Exemplos: a) y = x 2 + x - 12 b) y = - x 2 + 3.x c) y = x 2 - 9 d) y = 2.x 2 a) Zeros (ou Raízes) 7 : São os valores de x para os quais y = 0. Teremos, portanto, uma equação do segundo grau (ax 2 + bx + c = 0), cujas raízes são dadas pela fórmula de Bháskara: a c a b b x ⋅ ⋅ ⋅ − ± − = 2 4 2 A fórmula acima pode também ser escrita sob a forma: a b x ⋅ ∆ ± − = 2 , onde o “∆” é o “discriminante” e vale: c a b ⋅ ⋅ − = ∆ 4 2 Obs.: • Se ∆ > 0 → há duas raízes reais distintas; 7 Diz-se que uma função tem zeros e uma equação tem raízes. Em outras palavras, as raízes da equação são os zeros da função, quando fazemos f(x) = 0. Prof. Milton Araújo
[email protected] 88 • Se ∆ = 0 → há duas raízes reais iguais; • Se ∆ < 0 → não há raízes reais (ambas são “complexas”) b) Coordenadas do Vértice: Fórmulas: a b x v ⋅ − = 2 e a y v ⋅ ∆ − = 4 c) Representação Gráfica: O gráfico de uma função do segundo grau fica bem definido quando conhecemos seus “zeros” (ou raízes) e as coordenadas do seu vértice. Um dos pontos de qualquer função é conhecido pela simples observação de sua equação: o termo independente será o ponto em que a função irá “cortar” o eixo y. No caso da parábola, esse ponto é dado por c. Exemplo: Traçar o gráfico da função: f(x) = x 2 - 6.x + 5. Solução: “zeros” da função: ( ) ( ) 1 2 5 1 4 6 6 2 ⋅ ⋅ ⋅ − − ± − − = x . E as raízes são: x’ = 5 e x” = 1 As coordenadas do vértice são: a b x v ⋅ − = 2 ⇒ ( ) 3 1 2 6 = ⋅ − − = v x A abscissa do vértice é o ponto médio das raízes. e a y v ⋅ ∆ − = 4 ⇒ 4 1 4 16 − = ⋅ − = v y . O vértice é, portanto: V(3, -4). Além disso, sabemos que a função irá cortar o eixo y no ponto 5! 8.6 Função Exponencial Função exponencial é toda função f : IR → IR dada por f(x) = a x para a > 0 e a ≠ 1 e para todo x real. a) Função Exponencial Crescente Neste caso: a > 1. Exemplo: y = 2 x . Gráfico: -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5. -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 b) Função Exponencial Decrescente Neste caso: 0 < a < 1. Exemplo: x y | . | \ | = 2 1 . Gráfico: Prof. Milton Araújo
[email protected] 89 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5. -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 Tópico Especial: Equação Exponencial Na resolução de equações exponenciais, busca-se, em primeiro lugar, obter bases iguais (por meio de decomposições em fatores primos) para, posteriormente, igualar os expoentes e resolver a equação resultante. Obs.: Não sendo possível obter bases iguais, o leitor poderá encontrar a solução arbitrando, para a variável x , os valores 0 ou 1. Certamente, um desses valores será a raiz da equação. 8.8 Função Logarítmica A função logarítmica é a inversa da função exponencial, definida como f : IR → IR dada por f(x) = log a x para a > 0 e a ≠ 1 e para todo x > 0. a) Função Logarítmica Crescente Neste caso: a > 1. Exemplo: y = log 2 x. Gráfico: -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7. -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 b) Função Logarítmica Decrescente: Neste caso: 0 < a < 1. Exemplo: y = log 1/2 x. Gráfico: -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6. -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 Prof. Milton Araújo
[email protected] 90 Tópico Especial: Logaritmo a) Definição de logaritmo a b a log x x b = ⇔ = com a > 0, b > 0 e b ≠ 1 Na expressão a x b log = a é o logaritmando b é a base x é o logaritmo b) Decorrências da definição Sejam a > 0 e a ≠ 1, b > 0, c > 0 e m um número real qualquer, então: 0 1 log = a 1 a log a = m a m a = log b a b a = log e ainda: c b c b a a = ⇔ = log log c) Propriedades operatórias dos logaritmos 1) Logaritmo do Produto: B A B A b b b log log log + = ⋅ com A > 0, B > 0, b > 0 e b ≠ 1 2) Logaritmo do quociente: B A B A b b b log log log − = com A > 0, B > 0, b > 0 e b ≠ 1 3) Logaritmo da potência: A m A b m b log log ⋅ = com A > 0, b > 0 e b ≠ 1 e m ∈ IR 3.1) Caso particular: A n m A b n m b log log ⋅ = com A > 0, b > 0 e b ≠ 1 e m ∈ IR e n > 1 Obs.: ( ) n m n m A A = d) Mudança de base b x x c c b log log log = Tópico Especial: Equações Trigonométricas 1 2 2 = + x cos x sin x sec cos x sin 1 = x sec x cos 1 = x cos senx tgx = x sin x cos tgx gx cot = = 1 8.10 Funções Demanda e Oferta: As funções Demanda e Oferta geralmente são definidas como: + + ℜ → ℜ : f , ( ) b ax x f + = mas podem ser funções polinomiais de grau superior a “1”. Prof. Milton Araújo
[email protected] 91 O que diferencia a função Demanda da Função Oferta é o sinal do termo de maior grau: 9 Na função Oferta, o sinal do termo de maior grau é positivo,ou seja, na função acima definida, teremos 0 > a ; 9 Na função Demanda, o sinal do termo de maior grau é negativo,ou seja, na função acima definida, teremos 0 < a Gráfico: A quantidade também pode ser definida como x 8.11 Funções Custo, Receita (ou Faturamento) e Lucro: • Função Custo: Em geral definida como uma função do primeiro grau, na qual se tem uma parte fixa (ou custo fixo) somada a uma parte variável (ou custo variável, isto é, depende da quantidade produzida). ( ) f c c x p x C + = onde: ( ) x C é a função custo total; c p é o preço unitário de custo dos insumos; x representa a quantidade produzida e f c é o custo fixo. • Função Receita (ou Faturamento): É definida pelo produto do preço de venda pela quantidade vendida: ( ) x p x R V = onde: ( ) x R é a função receita total (ou faturamento); v p é o preço unitário de venda; x representa a quantidade vendida. • Função Lucro: É dada pela diferença entre o Faturamento e o Custo: ( ) ( ) ( ) x C x R x L − = 9. GEOMETRIA ANALÍTICA: A RETA 9.1 Equação Geral da Reta 0 = + + C By Ax com B ≠ 0 9.2 Equação Reduzida Isolando y na equação geral 0 = + + C By Ax , vem: B C x B A y − − = onde a B A = − , que é o coeficiente angular, ou declividade, ou inclinação da reta, e b B C = − , que é o coeficiente linear da reta. Prof. Milton Araújo
[email protected] 92 Assim, a equação reduzida da reta será: b ax y + = 9.3 Distância entre dois pontos: (Em sala de aula) 9.4 Intersecção entre retas Dadas duas retas r e s não-coincidentes e não-paralelas, encontra-se sua interseção através da solução de um sistema formado por suas respectivas equações. Exemplo: Dadas as retas r: 4 + = x y e s: x y − = 2 , determinar sua interseção. Solução: 1 e 3 2 4 2 4 − = = ⇒ ¹ ´ ¦ = + + = − ⇒ ¹ ´ ¦ − = + = x y x y x y x y x y Graficamente: 9.5 Posições relativas entre retas Retas na forma GERAL Retas na forma REDUZIDA 0 0 2 2 2 1 1 1 = + + = + + C y B x A : s C y B x A : r a) Condição de Paralelismo: 2 1 2 1 B B A A = b) Condição de Perpendicularismo: 2 1 2 1 B B A A ⋅ − = ⋅ 2 2 1 1 b x a y : s b x a y : r + = + = a) Condição de Paralelismo: 2 1 a a = b) Condição de Perpendicularismo: 1 2 1 − = ⋅ a a Em se tratando de questões ANPAD, concentre-se na coluna da esquerda do quadro acima, isto é, aquela em que as retas estão em sua forma geral! Exemplo: RQ/16 – FEV/02: O valor de λ para o qual a reta ( ) ( ) 1 2 1 2 1 = − + + y x λ λ seja paralela à reta 5 3 2 = + y x é igual a a) -0,5 b) -0,1 c) 0 d) 0,5 e) 2 Solução: Note que as retas dadas estão na forma GERAL, cuja condição de paralelismo é 2 1 2 1 B B A A = . ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 10 4 2 6 3 2 1 2 2 1 3 3 2 1 2 2 1 , − = ⇒ − = ⇒ − = + ⇒ − ⋅ = + ⋅ ⇒ − = + λ λ λ λ λ λ λ λ Resposta: letra b. Prof. Milton Araújo
[email protected] 93 10. EQUAÇÕES (PROBLEMAS) 1. Qual o número que somado com o seu dobro é 21? Resposta 7 2. A soma do quíntuplo de um número com o seu triplo é 16. Determine esse número. Resposta: 2 3. A terça parte de um número mais a sua metade é 5. Determine o número. Resposta: 6. 4. Determine dois números pares consecutivos cuja soma é 34 Resposta: 16 e 18 5. Determina dois números ímpares consecutivos cuja soma é 12. Resposta 5 e 7 6. Determine 3 números sabendo que o 2º é a terça parte do 1º, o 3º é a quarta parte do primeiro e que a soma do 1º com o 2º menos o 3º é 13. Resposta 12, 4 e 3. 7. Repartir R$ 450,00 entre 3 pessoas de modo que a 2ª receba, R$ 30,00 a mais que a 1º e a 3º receba R$ 15,00 a menos que a 1ª. Resposta: R$ 145,00, R$ 175,00 e R$ 130,00 8. Num clube 2/3 dos associados são mulheres. 3/5 das mulheres são casadas e 80% das casadas têm filhos, o número de associados do clube, sabendo que as mães casadas são em número de 360, é de? Resposta: 1.125 9. A idade atual de Carlos é a diferença entre a metade da idade que ele terá daqui a 20 anos e a terça parte da que teve 5 anos atrás. Qual a idade atual de Carlos? Resposta: 14 anos 10. Que horas são, se 4/11 do que resta do dia é igual ao tempo decorrido? Resposta: 6 horas e 24 minutos. Obs.: A partir do problema seguinte sugere-se o uso de duas variáveis para equacioná-los. Em outras palavras, o leitor deverá montar um sistema linear com duas equações e duas incógnitas! 11. A soma de dois números é 36 e a diferença é 12. Determine os dois números. Resposta: 24 e 12 12. Duas pessoas possuem juntas R$ 180,00 e uma delas possui R$ 40,00 a mais que a outra. Quanto possui cada pessoa? Resposta: R$ 110,00 e R$ 70,00 13. Lauro tem o triplo do dinheiro de Eunice. Quanto tem cada um, sabendo que se Lauro gastar R$ 50,00 e Eunice receber R$ 18,00, ambos ficarão com quantias iguais? Resposta: Lauro: R$ 102,00 Eunice: R$ 34,00 Prof. Milton Araújo
[email protected] 94 14. A soma dos termos de uma fração é 30. Somando 65 ao numerador a fração fica equivalente a 4. Qual é essa fração? Resposta: 11/19 15. Num quintal há galinhas e coelhos num total de 37 cabeças e 104 pés. Quantas galinhas e quantos coelhos há no quintal? Resposta: 22 galinhas e 15 coelhos. 16. Em uma amostra retirada de um lote de feijão constatou-se que 3/7 dele eram de feijão branco e o resto de feijão preto. Sabe-se que a diferença entre as quantidades de sacos de um e outro tipo de feijão é 120. Os sacos de feijão branco eram, portanto, em número de? Resposta: 360 17. Numa prova com 20 questões, o candidato ganha 5 pontos para cada acerto e perde 2 pontos para cada erro. Se um candidato obteve o total de 44 pontos, qual o seu número de acertos e erros? Resposta: 12 e 8 18. Uma pessoa ao fazer um cheque inverteu o algarismo das dezenas com o das centenas. Por isso, pagou a mais a importância de R$ 270,00. Sabe-se que os dois algarismos estão entre si como 1 está para 2. O algarismo, no cheque, que está na casa das dezenas é? Resposta: 3 11. SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS Uma seqüência numérica qualquer sempre tem uma certa lógica quantitativa (lei de formação). Não há um método próprio pelo qual este assunto possa ser “estruturado” ou fundamentado. O objetivo de se propor uma seqüência numérica é treinar o raciocínio do leitor para que este mostre toda a sua versatilidade na resolução de problemas variados. Resumidamente: para resolver um problema com sucessão numérica, você deverá descobrir a sua “lei de formação”, para que possa, posteriormente, encontrar o termo desconhecido. O estudo deste item será desenvolvido com base em exemplos práticos. Exemplo 1: Determine o valor de x na seqüência: 4, 9, 25, 49, 121, 169, x Solução: Observando-se, atentamente, a seqüência dada, percebe-se facilmente que TODOS os seus termos são quadrados perfeitos. Se extrairmos as raízes quadradas de cada termo, teremos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... que são NÚMEROS PRIMOS. Ora, o próximo número primo da sucessão é o 17, cujo quadrado é 289. Determinamos, assim, o valor de x: x = 289. Exemplo 2: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, x Solução: A seqüência acima é formada pelos números naturais que começam com a letra “D”. Desse modo, o próximo termo da seqüência é o 200. Exemplo 3: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, x Solução: Observe que cada termo da seqüência, a partir do terceiro, é formado pela SOMA dos dois antecedentes. Assim, o próximo termo será igual a 13 + 21 = 33. Exemplo 4: Prof. Milton Araújo
[email protected] 95 2, 2, 4, 8, 16, 32, 64, x Solução: Cada termo, a partir do terceiro, é formado pela soma de todos os antecedentes, logo x = 128. Outro raciocínio válido seria observar que, a partir do segundo termo da seqüência, temos uma Progressão Geométrica de razão 2. Assim, cada termo será igual ao dobro do seu antecedente. Exemplo 5: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, x Solução: Esta é muito simples! Todos os termos são quadrados perfeitos do conjunto dos números naturais. Então, x = 64. Exemplo 6: 0, 1, 2, 5, 26, x Solução: Cada termo, a partir do segundo é dado pelo quadrado do antecedente mais 1. Então, x = 262 + 1 = 677 Exemplo 7: (Questão do Concurso para a CEF/1998 – Banca: Fundação Carlos Chagas) Imagine os números inteiros de 1 a 6.000, escritos na disposição que se vê a seguir: 1ª coluna ↓ 1ª linha ÷÷→ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... ... ... ... ... ... Qual é o número escrito na 5ª coluna da 243ª linha? a) 961 b) 1059 c) 1451 d) 1457 e) 3151 Solução 1: Se observarmos a última coluna, identificaremos uma seqüência numérica com os múltiplos de 6. Logo, na 243ª linha, 6ª coluna, estará o número 243 × 6 = 1458. Então, na 5ª coluna da mesma linha teremos 1458 - 1 = 1457. Solução 2: A solução acima foi dada pela observação da última coluna, na qual estavam os múltiplos de 6. Desse modo, não precisamos lembrar da fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética. Entretanto, poder-se-ia encontrar a solução através da fórmula: ( ) r n a a n . 1 1 − + = . Com os dados retirados da 5ª coluna, temos: 1 a = 5; n = 243; r = 6. Substituindo-os na equação do Termo Geral: ( ) 1457 6 1 243 5 243 243 = ⇒ × − + = a a Resposta: letra d. Exemplo 8: (Questão do Concurso para a EPTC/2002 – Banca: FAURGS) Considere a disposição abaixo dos números inteiros positivos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • A partir das disposições, analise as afirmações a seguir vinculadas a ela: I - Em cada uma das linhas aparece um número quadrado perfeito. II- O número 150 aparece na 12ª linha. III - Na trigésima linha estão dispostos 59 números Prof. Milton Araújo
[email protected] 96 Quais são verdadeiros a) apenas o I b) apenas o II c) apenas o III d) apenas o I e III e) I, II, III Solução: VERDADEIRA. Observe os números à direita de cada linha! FALSA. O número de cada linha aparece elevado ao quadrado no final desta. Desse modo, a quinta linha termina em 25, a sexta linha termina em 36, a sétima termina em 49, a décima segunda termina em 144, logo, 150 está na linha seguinte, que é a décima terceira. VERDADEIRA. O número de termos por linha começa por 1 (topo da pirâmide) e vai crescendo 2 unidades a cada linha (PA). Assim, na trigésima linha ( 30 a ) teremos: ( ) ( ) 59 2 . 1 30 1 . 1 30 30 1 = ⇒ − + = ⇒ − + = a a r n a a n . Um raciocínio diferente seria o de que o número de termos de cada linha é duas vezes o número da linha menos 1. Então, na 30ª linha temos: (2 × 30 – 1) termos, ou seja: 59. Resposta: letra d. Exemplo 9: (Questão de Raciocínio Lógico – ANPAD/Fevereiro/2003) – O próximo número na seqüência 2, 5, 11, 23, ... é a) 35 b) 39 c) 41 d) 47 e) 49 Solução: (Em sala de aula) Numa seqüência qualquer, deve-se buscar sua lei de formação para se determinar um valor desconhecido. O segundo termo da seqüência é igual ao primeiro mais 3 unidades. O terceiro termo da seqüência é dado pelo segundo mais 6 unidades. O quarto termo da seqüência é dado pelo terceiro mais 12 unidades. Percebe-se que os fatores de acréscimo estão em progressão geométrica, iniciando-se em 3 e com razão igual a 2. Assim, o próximo fator de acréscimo será 24. Desse modo, o próximo número da seqüência será: 23 + 24 = 47 Resposta: letra d. Exercícios Propostos: Dadas as seqüências abaixo, determine os respectivos valores de x: 1) 3, 4, 6, 8, 9, 12, 12, x 2) 1, 1, 2, 4, 8, 16, x 3) 55, 10, 1, -0,8, -1,16, x 4) 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, x 5) 1, -2, 4, -8, 16, -32, x 6) 128, 32, 8, 2, x 7) 1, 5, 4, 19, 75, x 8) 8, 9, 17, 26, 43, x 9) 1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, x 10) 0, 1, 8, 27, 64, 125, x Respostas: 1) x = 16. Há duas seqüências intercaladas. Na verdade são duas Progressões Aritméticas intercaladas: a primeira inicia-se em 3 e tem razão igual a 3. A segunda inicia-se por 4 e tem razão igual a 4 2) x = 32. Cada termo, a partir do terceiro, é dado pela soma dos seus antecedentes. 3) x = -1,232. Cada termo é dado pelo sem antecessor dividido por 5 e subtraindo-se 1. 4) x = 50. A seqüência é formada pelos números naturais elevados ao quadrado e somados com 1. 5) x = 64. Cada termo é formado pelo anterior multiplicado por –2. Prof. Milton Araújo
[email protected] 97 6) x = 1/2. Cada termo é dado pelo anterior dividido por 4. 7) x = 1424. Cada termo, a partir do terceiro é dado pelo produto dos dois antecessores subtraído de 1 unidade. 8) x = 69. Cada termo, a partir do terceiro, é dado pela soma dos dois antecessores. 9) x = 18. A seqüência é formada pelos números primos subtraindo-se 1. 10) x = 216. Seqüência formada pelos números naturais ao cubo. 11.1. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS a) Conceito: Progressão Aritmética é uma sucessão (ou sequência) numérica na qual cada termo, a partir do segundo, e formado pelo termo anterior acrescido de uma constante, chamada razão. b) Notação: ( ) n a ,..., a , a , a 3 2 1 c) Fórmula do Termo Geral ( ) r n a a n ⋅ − + = 1 1 onde: n a é o “n-ésimo” termo; 1 a é o primeiro termo; n é o número de termos e r é a razão. d) Fórmula da Soma dos Termos ( ) 2 1 n a a S n n ⋅ + = Exemplo: RQ/24 – OUT/00 Uma gráfica cobra R$ 500,00 para imprimir 100 (cem) cartões de apresentação. Para cada centena adicional ela cobra R$ 25,00 a menos do que a precedente. Assim sendo, o custo para imprimir 1.200 cartões será: a) R$ 6.000,00 b) R$ 5.725,00 c) R$ 5.700,00 d) R$ 4.350,00 e) R$ 4.200,00 Solução: Temos uma P. A., na qual 500 1 = a , 12 = n , 25 − = r . Devemos calcular 12 S , ou seja, o custo das 12 centenas. ( ) ( ) 12 1 12 12 1 12 6 2 12 a a S a a S + ⋅ = ⇒ ⋅ + = Precisamos calcular antes o valor de 12 a : ( ) ( ) ( ) 225 25 1 12 500 1 12 1 = − ⋅ − + = ⋅ − + = a r n a a n Completando o cálculo da soma... ( ) 4350 225 500 6 12 12 = ⇒ + ⋅ = S S Resposta: letra d. 11.2. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS. a) Conceito: Progressão Geométrica é uma sucessão (ou sequência) numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é formado pelo termo anterior multiplicado por uma constante, chamada razão. b) Notação: ( ) n a ,..., a , a , a 3 2 1 c) Fórmula do Termo Geral 1 1 − ⋅ = n n q a a onde: n a é o “n-ésimo” termo; 1 a é o primeiro termo; n é o número de termos e q é a razão. d) Fórmulas da Soma dos Termos Prof. Milton Araújo
[email protected] 98 • P. G. Finita ( ) 1 1 1 − − ⋅ = q q a S n n • P. G. Infinita q a S − = ∞ 1 1 Neste caso, devemos ter 1 0 < < q OU 0 1 < < − q 12. GEOMETRIA PLANA 12.1 Quadriláteros: 1) Retângulo: a) Perímetro: ( ) b P + ⋅ = a 2 b) Área: b a A ⋅ = 2) Quadrado: a) Perímetro: a P ⋅ = 4 b) Área: 2 a A = 12.2 Triângulos: 1) Triângulo qualquer: a) Perímetro: c b P + + = a b) Área: 2 h . b = A 2) Triângulo Retângulo: a) Perímetro: c b P + + = a b) Área: 2 c . b = A 12.3 Circunferência e Círculo a) Perímetro (ou Comprimento) da circunferência: R C ⋅ ⋅ = π 2 b) Área do círculo: 2 .R A π = Prof. Milton Araújo
[email protected] 99 Questões Resolvidas 01) TTN/1997 (ESAF) - Um triângulo isósceles tem um perímetro de 32 cm e uma altura de 8 cm com relação à base (isto é, com relação ao lado diferente dos demais). A área do triângulo é a) 24 cm 2 b) 16 cm 2 c) 100 cm 2 d) 48 cm 2 e) 96 cm 2 Solução 1: Seja a o valor dos lados congruentes e b o valor do lado diferente dos demais. Então o perímetro será: 2a + b = 32, e a área do triângulo será dada por: 2 .h b A = , com h = 8. Então: A = 4b. Precisamos, então, encontrar uma maneira de calcular o valor de b. observe o triângulo abaixo (ele é dado por um dos lados iguais a a, pela metade do lado b e pela altura “h” e é retângulo): Aplicando Pitágoras a este triângulo: 2 2 2 2 a | . | \ | + = b h ⇒ 4 8 a 2 2 2 b + = ⇒ 4a 2 - b 2 = 256. Como: 2a + b = 32. Isolando-se o valor de a, teremos: 2 32 b a − = e substituindo na equação 4a 2 - b 2 = 256: 1024 256 64 256 64 1024 256 2 32 . 4 2 2 2 2 − = − ⇒ = − + − ⇒ = − | . | \ | − b b b b b b ⇒ -64b = -768 ⇒ 12 64 768 = − − = b . Agora já temos o valor de b. Basta substituí-lo na fórmula da área do triângulo: A = 48 12 4 = × cm 2 Solução 2: Uma outra solução (muito mais rápida) é observar que o triângulo da figura acima é PITAGÓRICO (6, 8, 10), ou seja: a = 10, b/2 = 6 (então b = 12) e h = 8 (“h” foi dado na questão). Observe que esses dados verificam a equação do perímetro: 2a + b = 32 ⇒ 32 12 10 2 = + × . Com isto, calculamos a área do triângulo: 2 .h b A = ⇒ 2 cm 48 2 8 12 = × = A Resposta: letra d. 02) PRF/1998 (NCE-UFRJ) - Um triângulo tem 0,675 m 2 de área e sua altura corresponde a 3/5 da base. A altura do triângulo, em decímetros, é igual a: a) 0,9 b) 1,5 c) 9,0 d) 15,0 e) 24,0 Solução: Fórmula da área de um triângulo: 2 h b A × = Dados: b h . 5 3 = e A = 0,675. Como queremos calcular a altura, iremos isolar b na primeira equação: 3 . 5 h b = . Então: 2 3 . 5 675 , 0 h h× = ⇒ 2 3 5 2 675 , 0 h = × ⇒ 2 3 5 35 , 1 h = ⇒ 5 3 35 , 1 2 × = h h 2 = 0,81 ⇒ 81 , 0 = h ⇒ h = 0,9 metros. Em decímetros, obtemos: 9 decímetros. Resposta: letra c. Testes Propostos 01) Dois quadrados são tais que a área de um deles é o dobro da área do outro. A diagonal do menor é 4. A diagonal do maior é a) 8 b) 6 c) 6. 3 d) 4. 3 e) 4. 2 Prof. Milton Araújo
[email protected] 100 02) TRT/1998 - 4ª REGIÃO (FCC) - Na figura ao lado, ABCD é um quadrado de área unitária. Os pontos E e F são os pontos médios de BC e CD, respectivamente. Qual é a área do triângulo AEF? a) 4 1 b) 3 1 c) 16 3 d) 8 3 e) 2 1 03) TRT/1998 - 4ª REGIÃO (FCC) - As medidas dos lados de um triângulo são números pares consecutivos, e a medida do menor lado é um terço da soma das medidas dos outros dois lados. O perímetro desse triângulo é a) 8 b) 10 c) 12 d) 20 e) 24 04) TFC/2001 (ESAF) - As rodas de um automóvel têm 40 cm de raio. Sabendo-se que cada roda deu 20.000 voltas, então a distância percorrida pelo automóvel, em quilômetros (Km), foi de: a) 16 Km b) 16.π Km c) 16 π 2 Km d) 1,6 . 103π Km e) 1,6 . 103π 2 Km 05) PMPA/1993 (PMPA) - Desejo pavimentar uma sala de 33 m 2 com lajotas de cerâmica de cm 30 cm 30 × . Para realizar este trabalho, preciso adquirir um número de lajotas, aproximadamente, igual a: a) 305 b) 319 c) 327 d) 348 e) 367 06) TRT/2001 (FAURGS) - A figura abaixo mostra um quadrado, inscrito num triângulo de 12 cm de base e 6 cm de altura. A área do quadrado, em cm 2 , é a) 8 b) 10 c) 16 d) 20 e) 36 07) PMPA/2001 (PMPA) - Quando se aumentam de 30% dois lados opostos de um quadrado e se diminuem em 30% os outros dois, a área do quadrado. a) aumenta 9% b) aumenta 15% c) não se altera d) diminui 15% e) diminui 9% Gabarito: 01 – e 02 – d 03 – e 04 - b 05 - e 06 – c 07 – e 12.4 Condição de existência de triângulos Três números positivos quaisquer somente poderão formar um triângulo se, e somente se, cada desses números, tomados separadamente, for menor que a soma dos outros dois. 12.5 Classificação dos triângulos: a) Quanto aos ângulos: a.1) Acutângulo: É aquele que possui três ângulos agudos (ângulo agudo é todo ângulo cuja medida é menor que 90º). a.2) Obtusângulo: E aquele que possui um ângulo obtuso (ângulo obtuso é todo ângulo cuja medida é maior que 90º). a.3) Retângulo: E aquele que possui um ângulo reto (ângulo reto é todo ângulo cuja medida é igual a 90º). Prof. Milton Araújo
[email protected] 101 b) Quanto aos lados: b.1) Eqüilátero: É aquele que possui três lados iguais. b.2) Isósceles: É aquele que possui dois lados iguais e um diferente. b.3) Escaleno: É aquele que possui 3 lados diferentes entre si. 12.6 Semelhança de Triângulos Teorema: “Se dois triângulos possuem dois ângulos internos de mesma medida, então eles são semelhantes.” Os ângulos de mesma medida são identificados com marcações iguais. Desse modo, na figura acima os ângulos A e G são iguais, assim como B e H e C e F. Então, os lados opostos aos ângulos de mesma medida são proporcionais: GH AB FH BC FG AC = = Teorema: A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º Teorema de Pitágoras: “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos” Tópico Especial: Triângulos Retângulos “Pitagóricos”: São os triângulos retângulos cujos catetos e hipotenusa são proporcionais à seqüência 3, 4 e 5, ou seja, um cateto igual a 3, outro cateto igual a 4 e hipotenusa igual a 5. Exemplo: O triângulo 6, 8, 10 é pitagórico, pois: 5 10 4 8 3 6 = = 13. MATRIZES E DETERMINANTES 13.1 Matrizes Introdução Uma matriz é uma coleção de elementos acomodados em linhas e colunas. Exemplo: coluna ª 3 coluna ª 2 coluna ª 1 linha ª 4 linha ª 3 linha ª 2 linha ª 1 0 1 1 5 3 0 3 2 4 2 0 1 ↑ ↑ ↑ ← ← ← ← ( ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − = A A matriz acima tem formato 3 4× , isto é: 4 linhas e 3 colunas. Prof. Milton Araújo
[email protected] 102 Notação Abreviada: ( ) n m ij a A × = , onde i e j representam, respectivamente, a linha i e a coluna j; m representa o número de linhas e n representa o número de colunas. Tipos de Matrizes a) Matriz linha: matriz com formato n × 1 . Exemplo: | | 2 3 0 1 − = L , cuja ordem é 4 1× b) Matriz coluna: matriz com formato 1 × m . Exemplo: ( ( ( ¸ ( ¸ − = 3 2 1 C , cuja ordem é 1 3× c) Matriz quadrada: matriz com formato n n× , isto é, aquela que tem um número igual de linhas e colunas. Exemplo: ( ( ( ¸ ( ¸ = 3 1 2 1 2 3 2 3 1 C , cuja ordem é 3 3× Obs.: Uma matriz quadrada tem duas diagonais: a principal e a secundária, conforme indicado na figura abaixo. d) Matriz diagonal: é uma matriz quadrada na qual todos os elementos, exceto os da diagonal principal, são nulos. Exemplo: ( ( ( ¸ ( ¸ = 3 0 0 0 2 0 0 0 1 D e) Matriz identidade: É uma matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos. Simboliza-se por I. Exemplo: ( ( ( ¸ ( ¸ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 I → matriz identidade de ordem 3 ou ( ¸ ( ¸ = 1 0 0 1 2 I → matriz identidade de ordem 2 f) Matriz transposta: Matriz que consiste na troca das linhas por colunas ou as colunas por linhas. Simboliza-se por A T Prof. Milton Araújo
[email protected] 103 Exemplo: ( ( ( ¸ ( ¸ = ⇒ ( ¸ ( ¸ = 1 0 0 3 2 1 1 0 2 0 3 1 T A A Obs.: A matriz A é de ordem 3 2× e sua transposta A T é de ordem 2 3× g) Matriz simétrica: É uma matriz quadrada, cuja transposta é igual à matriz primitiva. Exemplo: ( ( ( ¸ ( ¸ = 4 6 3 6 5 2 3 2 1 A h) Matriz oposta: é a matriz obtida pela troca de sinal de todos os seus elementos. Exemplo: ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − − = ⇒ ( ( ( ¸ ( ¸ − − − = 1 6 3 6 0 2 3 2 1 1 6 3 6 0 2 3 2 1 op A A Operações com Matrizes: a) Igualdade de matrizes: Duas matrizes, de mesma ordem n m× , serão iguais quando todos os elementos de mesma posição forem iguais. Exemplo: RQ/14 – JUN/00 Considere as matrizes ( ¸ ( ¸ = ( ( ¸ ( ¸ − = c a B log a A b 5 2 2 9 2 e 8 243 16 1 . Se A = B, então: a) a + b + c = -4 b) a + b = -1 c) a + c = 7 d) a + c = 1 e) a + b + c = 2 Solução: 1. b 2 16 1 = (equação exponencial) 2. 5 243 a = − ou 9 2 = a 3. c log = 8 2 (equação logarítmica) Para resolvermos a primeira equação, devemos obter bases iguais: 4 2 2 2 2 1 4 4 − = ⇒ = ⇒ = − b b b Observe que, para calcularmos o valor de a existem duas equações. Se resolvermos 9 2 = a , teremos 3 ± = a (o sinal de a fica indefinido!). Para sabermos o verdadeiro sinal de a devemos saber que, na equação 5 243 a = − , o sinal de a só pode ser negativo, pois o expoente é ímpar. Logo, 3 − = a . Na terceira equação, c log = 8 2 , temos: 3 2 3 2 2 3 2 = ⇒ = ⋅ ⇒ = c c log c log . Resposta: letra a. b) Adição/Subtração: Somente podemos somar (ou subtrair) matrizes de mesma ordem. Prof. Milton Araújo
[email protected] 104 Exemplo: Dadas as matrizes ( ( ( ¸ ( ¸ − − = ( ( ( ¸ ( ¸ − − − = 0 1 3 1 0 1 3 2 1 e 3 5 3 4 3 2 2 1 0 B A , calcule a matriz C = A + B. Solução: ( ( ( ¸ ( ¸ − − = ⇒ ( ( ( ¸ ( ¸ + − + − + + − − + + − + = 3 6 0 5 3 3 5 1 1 0 3 1 5 3 3 1 4 0 3 1 2 3 2 2 1 1 0 C C c) Multiplicação de um número real por matriz Seja ∈ k IR e uma matriz qualquer A de ordem n m× . O produto A k ⋅ é obtido pela multiplicação de cada elemento de A por k. Exemplo: Dada a matriz ( ¸ ( ¸ = 4 2 3 1 A , calcule A ⋅ 3 . Solução: ( ¸ ( ¸ = ⋅ ⇒ ( ¸ ( ¸ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ 12 6 9 3 3 4 3 2 3 3 3 1 3 3 A A d) Multiplicação de matrizes Obtém-se o produto de duas matrizes através da multiplicação dos elementos de cada linha da primeira matriz pelos elementos de cada coluna da segunda matriz. Antes de tudo, deve-se verificar se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz, caso contrário, não será possível realizar a operação. Para o melhor entendimento, acompanhe o exemplo a seguir. Obs.: Os cálculos a seguir são puramente ilustrativos, uma vez que a ANPAD não exige o cálculo de uma multiplicação inteira de duas matrizes, devido à extensão da operação! Exemplo: Dadas as matrizes 1 2 1 0 e 4 1 1 2 ( ¸ ( ¸ − = ( ¸ ( ¸ − = B A Dispositivo prático: Nos respectivos pontos de interseção entre as linhas da matriz A com as colunas da matriz B, teremos as seguintes operações: ( ) 2 2 1 0 2 21 12 11 11 − = × − + × = × + × b a b a ( ) ( ) 3 1 1 1 2 22 12 12 11 − = × − + − × = × + × b a b a 8 2 4 0 1 21 22 11 21 = × + × = × + × b a b a ( ) 3 1 4 1 1 22 22 12 21 = × + − × = × + × b a b a Temos, assim, a matriz ( ¸ ( ¸ − − = × = 3 8 3 2 B A C Prof. Milton Araújo
[email protected] 105 Obs.: O produto matricial não é comutativo, ou seja, A B B A × ≠ × e) Matriz inversa Somente matrizes quadradas podem admitir inversa. Dadas as características do Teste ANPAD e a extensão dos cálculos para a determinação da inversa de uma matriz, este tópico não será desenvolvido. Obs.: Somente se pode calcular a inversa de uma matriz se o seu determinante for diferente de zero. 13.2. Determinantes Determinante é um número que está associado a toda matriz quadrada. a) Determinante de 2ª ordem Exemplo: Calcular o determinante da matriz ( ¸ ( ¸ = d c b a W . Solução: ( ) c b d a W det × − × = Assim, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. b) Determinante de 3ª ordem Exemplo: Calcular o determinante da matriz ( ( ( ¸ ( ¸ = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A Regra de Sarrus: a) Repetem-se as duas primeiras colunas ao lado da terceira (acompanhe o exemplo) 32 31 22 21 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a b) Realizam-se os produtos dos elementos da diagonal principal e de suas paralelas, somando-se os resultados obtidos. Repete-se este procedimento com os elementos da diagonal secundária e suas paralelas: Diagonal principal: 33 22 11 a a a × × . Paralelas: 31 23 12 a a a × × e 32 21 13 a a a × × Soma: 33 22 11 a a a × × + 31 23 12 a a a × × + 32 21 13 a a a × × Diagonal secundária: 31 22 13 a a a × × . Paralelas: 32 23 11 a a a × × e 33 21 12 a a a × × Soma: 31 22 13 a a a × × + 32 23 11 a a a × × + 33 21 12 a a a × × c) Subtraem-se os resultados obtidos acima: 33 22 11 a a a × × + 31 23 12 a a a × × + 32 21 13 a a a × × - ( 31 22 13 a a a × × + 32 23 11 a a a × × + 33 21 12 a a a × × ) Exemplo: Calcular o determinante da matriz ( ( ( ¸ ( ¸ − = 2 3 2 3 1 1 0 2 1 A Solução: (em sala de aula) Prof. Milton Araújo
[email protected] 106 c) Propriedades • Quando todos os elementos de uma fila 8 de uma matriz quadrada forem nulos, o determinante dessa matriz será nulo. Exemplo: ( ( ( ¸ ( ¸ − = 0 3 2 0 1 1 0 2 1 A A terceira coluna é formada por zeros, logo ( ) 0 = A Det • Se duas filas paralelas de uma matriz forem iguais, seu determinante será nulo. Exemplo: ( ( ( ¸ ( ¸ − = 3 2 1 0 1 1 3 2 1 B A primeira e terceira linhas são iguais, logo ( ) 0 = B Det • Se duas filas paralelas de uma matriz forem proporcionais, seu determinante será nulo. Exemplo: ( ( ( ¸ ( ¸ − = 0 2 0 12 8 4 3 2 1 C A segunda linha é o quádruplo da primeira, logo ( ) 0 = C Det • Se houver combinações lineares entre filas de uma matriz, seu determinante é nulo. Exemplo: Questão 25 – Rac. Quantitativo – SET/2002. O determinante da matriz ( ( ( ¸ ( ¸ + + + t c c t b b t a a 3 1 3 1 3 1 é a) 9.abc b) t c) 0 d) abc e) 9t Resposta: letra c . • O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. Exemplo: ( ( ( ¸ ( ¸ − = 2 3 2 3 1 1 0 2 1 A e ( ( ( ¸ ( ¸ − = 2 3 0 3 1 2 2 1 1 T A O leitor poderá comprovar que ( ) ( ) 9 = = T A Det A Det • Multiplicando todos os elementos de uma fila de uma matriz por um número real, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. Exemplo: ( ( ( ¸ ( ¸ − = 2 3 2 3 1 1 0 2 1 A ( ) 9 = A Det . Vamos multiplicar a terceira coluna por -1: 8 “fila” = linha ou coluna. Prof. Milton Araújo
[email protected] 107 ( ( ( ¸ ( ¸ − − − = 2 3 2 3 1 1 0 2 1 A . O leitor poderá comprovar (regra de Sarrus) que, agora, ( ) 9 − = A Det . • Multiplicando-se uma matriz de ordem n por um número real k, seu determinante ficará multiplicado por n k Exemplo: Questão 2 – Rac. Lógico (3º SIMULADO)– FEV/2003. A matriz quadrada X, de terceira ordem, possui determinante igual a d. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3.Z tem determinante igual a a) d 3 b) 2 3d c) 3 3d d) d 9 e) d 27 Resposta: letra e. • O determinante de uma matriz muda de sinal quando duas filas paralelas são trocadas de posições. Exemplo: ( ( ( ¸ ( ¸ − = 0 2 0 0 3 1 3 2 1 A ( ) 6 − = A Det . Vamos trocar as duas primeiras linhas de lugar: ( ( ( ¸ ( ¸ − = 0 2 0 3 2 1 0 3 1 A Agora, ( ) 6 = A Det • Em uma matriz cujos elementos acima ou abaixo da diagonal principal forem todos nulos, seu determinante será dado pelo produto dos elementos dessa diagonal. Exemplo: ( ( ( ¸ ( ¸ − − = 2 3 2 0 1 1 0 0 1 A ( ) 2 2 1 1 − = − × × = A Det 14. ESTATÍSTICA 14.1 Introdução A estatística descritiva estuda os métodos científicos relacionados à coleta, organização, apresentação e análise de dados. A estatística inferencial busca conclusões válidas e predições razoáveis, bem como a tomada de decisões, baseadas nas análises oriundas da estatística descritiva. 14.2 Variáveis e Gráficos Em estatística há um gráfico (ou pictograma) apropriado para cada tipo de variável. Desse modo, é conveniente saber a classificação das variáveis. Tipos de Variáveis: a) Variáveis Qualitativas ou Categóricas: São aquelas que dizem respeito ao nome, atributo ou proveniência dos dados. Exemplo: cor dos cabelos, cor dos olhos, regiões de um território. Para este tipo de variável, o gráfico mais apropriado é o de setores circulares (ou pizza ou Prof. Milton Araújo
[email protected] 108 torta). Exemplo: Na tabela abaixo, vê-se as áreas dos continentes do mundo (em milhões de quilômetros quadrados). Tabela 1 Continente Área África 18,72 Ásia 23,04 Europa 9,44 América 26,08 Oceania 5,28 TOTAL 82,56 Fonte: ONU Áreas dos Continentes África 23% Ásia 28% Europa 11% América 32% Oceania 6% Outra maneira de se representar os dados da tabela 1 é por meio de barras: Áreas dos Continentes 0 5 10 15 20 25 30 África América C o n t i n e n t e s Áreas (milhões de km quadrados) b) Variáveis Quantitativas: São aquelas representadas por um valor numérico. Exemplos: altura, salário, n.º de empregados por setor em uma empresa, n.º de erros por página em um livro, etc. As variáveis quantitativas podem ser classificadas em discretas e contínuas. Variável Quantitativa Discreta: São aquelas que somente podem ser representadas por um n.º inteiro não-negativo. Uma forma “pedestre” de distinguir este tipo de variável das outras é pensar que ela só pode ser “contada nos dedos”. Exemplos: n.º de empregados por setor em uma empresa, n.º de erros por página em um livro, n.º de filhos por família, n.º de acidentes de trânsito por ano em uma estrada, etc. O gráfico mais apropriado para representar este tipo de variável é o gráfico de linhas verticais. Exemplo: cinco moedas foram lançadas 1000 vezes e, em cada lance, foi anotado o número de caras. Os nºs de lances nos quais foram obtidas 0, 1, 2, 3, 4 e 5 caras estão indicados na tabela abaixo: Prof. Milton Araújo
[email protected] 109 Tabela 2 N.º de caras N.º de lances (freqüência) 0 38 1 144 2 342 3 287 4 164 5 25 TOTAL 1000 Fonte: dados hipotéticos Observações: (1) Em alguns casos, as linhas verticais são substituídas por retângulos (ver representação a seguir). (2) Não confundir o gráfico de linhas verticais com o gráfico de barras nem com o histograma (que será visto mais adiante). Gráfico de colunas verticais 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 1 2 3 4 5 Nº de caras F r e q u ê n c i a s Variável Quantitativa Contínua: Quando se tem uma quantidade muito grande de dados brutos, costuma-se distribuí-los em classes ou categorias, determinando-se o n.º de indivíduos pertencentes a cada classe (freqüência da classe). O agrupamento em intervalos de classe são para aquelas variáveis que podem assumir qualquer valor dentro de cada uma das classes. Exemplos: altura, renda, peso, etc. Os tipos de gráficos mais apropriados para representar este tipo de variável são: histograma e polígono de freqüências. Um histograma é constituído de retângulos, cuja base é igual à amplitude da classe e a altura é igual à freqüência da respectiva classe. Prof. Milton Araújo
[email protected] 110 Um polígono é obtido ligando-se os pontos médios da extremidade superior de cada retângulo que forma o histograma. Exemplo: a tabela a seguir mostra a distribuição das alturas de 100 estudantes do sexo masculino da Universidade XYZ: Tabela 3 Alturas (cm) N.º de alunos (freqüência) 150 ,÷ 155 2 155 ,÷ 160 15 160 ,÷ 165 22 165 ,÷ 170 39 170 ,÷ 175 13 175 ,÷ 180 5 180 ,÷ 185 3 185 ,÷ 190 1 TOTAL 100 Fonte: dados hipotéticos Histograma de Freqüências Alturas dos Alunos da Universidade XYZ 0 20 40 60 Alturas f r e q u ê n c i a s 150 |--- 155 155 |--- 160 160 |--- 165 165 |--- 170 170 |--- 175 175 |--- 180 180 |--- 185 185 |--- 190 Polígono de Frequências 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Classes (ponto central) F r e q u ê n c i a s 0 10 20 30 40 50 14.3 Formas de Apresentação dos Dados Estatísticos Há três formas de apresentação de dados estatísticos: a) Dados não-agrupados: Série estatística na qual os dados brutos aparecem enumerados um a um, na forma de “rol”, sem qualquer preocupação com a ordem. Exemplo: {1, 3, 0, 2, 1, 4, 2, 0, 5, 1, 2, 0, 1} b) Dados agrupados por freqüências (ou distribuições de freqüências): c) Dados agrupados por pontos (ou pontuais): A forma de agrupamento é própria para variáveis quantitativas discretas. Exemplo: A tabela abaixo mostra uma distribuição de freqüências do número de filhos nas famílias de 200 alunos da Universidade XYZ: Tabela 4 n.º de filhos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 freqüência 10 41 28 50 22 24 8 7 4 4 2 fonte: dados hipotéticos d) Dados agrupados por intervalo de classe: Forma de agrupamento própria para variáveis quantitativas contínuas. Exemplo: a tabela a seguir mostra a distribuição das alturas de 100 estudantes do sexo masculino da Universidade XYZ: Prof. Milton Araújo
[email protected] 111 Tabela 5 Alturas (cm) N.º de alunos (freqüência) 150 ,÷ 155 2 155 ,÷ 160 15 160 ,÷ 165 22 165 ,÷ 170 39 170 ,÷ 175 13 175 ,÷ 180 5 180 ,÷ 185 3 185 ,÷ 190 1 TOTAL 100 Fonte: dados hipotéticos Observações: (1) Em toda distribuição ou série estatística, a Amplitude Total é dada pela diferença entre o maior e o menor valor da variável em estudo. (2) Para distribuições por intervalos de classe, h é dita Amplitude de Classe e consiste na diferença entre os extremos da classe. 14.4 Medidas Estatísticas As medidas estatísticas são classificadas em Medidas de Tendência Central (média, moda e mediana) e em Medidas de Variabilidade ou de Dispersão (desvios, desvio médio, variância, variância relativa, desvio padrão e coeficiente de variação. Além destas, há também as separatrizes (quartis, decis, percentis). Medidas de Tendência Central: As medidas de tendência central recebem esse nome porque tendem a se localizar mais para o centro da distribuição. a) Média: A média aritmética (simples ou ponderada) é a principal medida usada para representar um conjunto de dados (série). Dados não-agrupados: A média aritmética simples ou, simplesmente, “média” de um rol (ou conjunto de dados não-agrupados) é dada por: n x x i ∑ = onde: x é a média aritmética simples (lê-se “xis barra”); ∑ i x é a soma de todas as medidas do conjunto. O símbolo ∑ é chamado de “somatório”; n é o número total de elementos do conjunto dado. Exemplo: Calcular a média aritmética simples do conjunto abaixo: {1, 3, 1, 2, 1, 4, 2, 1, 5, 1, 2, 2, 1} Solução: n x x i ∑ = ⇒ 2 13 26 13 1 2 2 1 5 1 2 4 1 2 1 3 1 = = + + + + + + + + + + + + = x . Então, a média aritmética do conjunto dado é: 2 = x Dados agrupados por pontos: Para uma distribuição de freqüências “pontual”, a média é calculada por meio da fórmula: n x f x i i ∑ ⋅ = onde “fi” é a freqüência simples de cada variável. Prof. Milton Araújo
[email protected] 112 Para o cálculo da média no caso de dados agrupados, procedemos da seguinte maneira: a) multiplicamos cada ocorrência da variável por sua respectiva freqüência; b) somamos todos os produtos encontrados; c) dividimos a soma encontrada no passo anterior pelo número de elementos do conjunto. Exemplo: a tabela abaixo fornece o número de erros por página em um livro. Vamos calcular a média do conjunto: Tabela 6 N.º de erros N.º de pág. (freqüência) 0 3 1 10 2 20 3 10 4 5 5 2 TOTAL 50 Solução: Quando os dados são apresentados na forma de distribuição de freqüências, costuma-se inserir colunas na tabela dada e ir calculando os passos necessários para o cálculo das medidas solicitadas: N.º de caras N.º de lances (freqüência) i i x f ⋅ 0 3 0 1 10 10 2 20 40 3 10 30 4 5 20 5 2 10 TOTAL 50 110 Observações: (1) acrescentou-se uma coluna para o cálculo dos produtos das freqüências (fi) por sua respectiva variável (Xi). A soma dos valores constantes nesta coluna nos fornecerá diretamente o numerador da fórmula da média. (2) Em toda distribuição de freqüência, o n.º de elementos do conjunto também é dado pela soma de todas as freqüências simples, ou seja: ∑ = i f n . (3) A média assim calculada é também chamada de média ponderada, onde as freqüências são os respectivos pesos das variáveis. n x f x i i ∑ ⋅ = 2 , 2 50 110 = ⇒ = ⇒ x x O n.º médio de erros por página é 2 , 2 = x Propriedades da Média: Ao SOMARMOS ou SUBTRAIRMOS ou MULTIPLICARMOS ou DIVIDIRMOS cada variável da distribuição por uma constante qualquer “k”, a sua Média Aritmética ficará SOMADA ou SUBTRAÍDA, ou MULTIPLICADA ou DIVIDIDA por “k”. Obs.: A Moda e a Mediana (que serão vistas mais adiante) também têm essa propriedade! Exemplo: Seja o rol abaixo: Prof. Milton Araújo
[email protected] 113 {1, 3, 1, 2, 1, 4, 2, 1, 5, 1, 2, 2, 1} cuja média aritmética é: 2 = X (já calculada!) a) Agora, vamos somar uma unidade (k = 1) a cada uma das variáveis do conjunto: {2, 4, 2, 3, 2, 5, 3, 2, 6, 2, 3, 4, 2} Calculando-se a nova média: n x x i ∑ = ⇒ 3 13 39 13 2 4 3 2 6 2 3 5 2 3 2 4 2 = = + + + + + + + + + + + + = x Observe que a nova média ficou SOMADA de uma unidade. b) Multiplicando-se cada variável do conjunto por 2 e recalcular a média: {2, 6, 2, 4, 2, 8, 4, 2, 10, 2, 4, 4, 2} n x x i ∑ = ⇒ 4 13 52 13 2 4 4 2 10 2 4 8 2 4 2 6 2 = = + + + + + + + + + + + + = x , que é o dobro da média original, visto que, neste caso, 2 = k O leitor poderá comprovar as outras propriedades (subtração ou divisão por uma constante). Obs.: Ao acrescentarmos a um conjunto de dados novos valores, próximos aos valores do extremo inferior da distribuição, sua média aritmética diminui. Por outro lado, se acrescentarmos novos valores próximos ao extremo superior, sua média aritmética aumenta. Tópico Especial: Outros tipos de médias Média Geométrica A Média Geométrica é aplicada a valores que obedecem a uma lei geométrica (tipo “áreas” por exemplo). Obtém-se a Média Geométrica da distribuição através da raiz de índice n (onde n é o número de elementos da distribuição) do produto de todas as variáveis: n G n X X X X × × × = ... 2 1 Exemplo meramente ilustrativo: Encontrar a média geométrica do conjunto abaixo: {1, 2, 3, 4} Solução: 2134 , 2 24 4 3 2 1 4 4 ≅ ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = G G G X X X Obs.: (1) Em matemática financeira, a taxa equivalente é obtida através de uma média geométrica. (2) A Média Geométrica é aplicada a valores que obedecem a uma lei geométrica (exemplo: áreas e taxas médias). (3) A média geométrica não se aplica a valores nulos. Média Harmônica A Média Harmônica de um conjunto de dados (rol) é dada por: n H X X X n X 1 ... 1 1 2 1 + + + = Exemplo: Calcular a Média Harmônica do conjunto: {1, 2, 3, 4} Solução: 92 , 1 25 48 12 25 4 12 3 4 6 12 4 4 1 3 1 2 1 1 1 4 = ⇒ = ⇒ = ⇒ + + + = ⇒ + + + = H H H H H X X X X X O leitor poderá comprovar, facilmente, que a Média Aritmética do conjunto dado é 5 , 2 = X e verificar que: H G X X X ≥ ≥ Prof. Milton Araújo
[email protected] 114 Obs.: (1) A média harmônica é usada para valores que variam muito. (2) A média harmônica não se aplica a valores nulos. Exemplo de aplicação: velocidade média b) Moda A moda é aquele valor que ocorre com maior freqüência dentro de um conjunto de dados. Em outras palavras, é o valor mais comum. A moda pode ser inexistente: neste caso a distribuição é dita amodal. Havendo duas modas, a distribuição é dita bimodal. Para três ou mais modas, chamamos a distribuição de polimodal. c) Mediana A Mediana é, na verdade, uma separatriz, pois divide (separa) a distribuição exatamente no meio, com 50% das ocorrências da variável para cada lado. Em outras palavras: o elemento mediano encontra-se exatamente no meio da distribuição. Exemplo: Encontrar a Mediana do conjunto abaixo: 1) {1, 3, 0, 2, 1, 4, 2, 0, 5, 1, 2, 0, 1} Solução: {1, 3, 0, 2, 1, 4, 2, 0, 5, 1, 2, 0, 1} a) ORDENANDO os dados (ordem crescente): {0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5} b) POSIÇÃO da Mediana: 7 2 1 13 2 1 = + ⇒ + n . O elemento mediano é, portanto, o SÉTIMO, ou seja: Md = 1 Medidas de Variabilidade ou Dispersão: Há várias medidas de variabilidade (Amplitude Total, Desvios Simples, Desvio Médio, Variância, Variância Relativa, Desvio Padrão, Coeficiente de Variabilidade). a) Variância É dada pelo somatório dos quadrados dos desvios simples. 2 2 2 µ σ − ⋅ = ∑ n x f i i Propriedades da Variância: a) A Variância não se altera quando somamos ou subtraímos uma constante a todas as variáveis da distribuição. b) No caso de multiplicarmos ou dividirmos cada variável da distribuição por uma constante, a variância ficará multiplicada ou dividida pelo quadrado dessa constante. b) Desvio Padrão: Principal medida de variabilidade de uma distribuição, o Desvio Padrão, como o próprio nome já o diz “padroniza” todos os afastamentos em torno da média aritmética. Em outras palavras: o Desvio Padrão é uma média geométrica dos desvios em torno da média aritmética. Propriedades do Desvio Padrão: a) O Desvio Padrão não se altera quando somamos ou subtraímos uma constante a todas as variáveis da distribuição. Prof. Milton Araújo
[email protected] 115 b) No caso de multiplicarmos ou dividirmos cada variável da distribuição por uma constante, o Desvio Padrão ficará multiplicado ou dividido por esta constante. c) Coeficiente de Variação (ou Dispersão Relativa) O coeficiente de variação mede a variação percentual da distribuição em torno da média aritmética. Fórmula: média padrão desvio = CV Exemplo: ver RQ/01 – SET/2002. Obs.: Quanto maior for o coeficiente de variação, mais heterogênea é a distribuição. Por outro lado, quanto menor for o coeficiente de variação, mais homogênea é a distribuição, ou seja, os valores da distribuição estão mais próximos da sua média aritmética. Propriedades do Coeficiente de Variação a) O Coeficiente de Variação não se altera quando multiplicamos ou dividimos uma constante a cada valor da distribuição. b) O Coeficiente de Variação só se altera quando somamos ou subtraímos uma constante a cada valor da distribuição. Quadro Resumo: Adicionando-se ou subtraindo- se uma constante a cada valor da distribuição Multiplicando-se ou dividindo- se cada valor da distribuição por uma constante Média Aritmética Fica somada com a constante ou subtraída por esta Fica multiplicada ou dividida pela constante Variância Não se altera Fica multiplicada pelo quadrado da constante Desvio Padrão Não se altera Fica multiplicado pela constante. Coeficiente de Variação Altera-se Não se altera 14.5 Assimetria Assimetria é o grau de desvio, ou afastamento da simetria. Se a cauda da distribuição for mais longa à direita do seu valor máximo, diz que a distribuição tem assimetria positiva. Se o inverso ocorre, diz-se que ela é assimétrica negativa (ver os esquemas abaixo) Assimetria positiva ou Assimetria negativa ou à direita à esquerda Mo < Md < X Mo > Md > X onde: Mo = Moda; Md = Mediana e X = Média Aritmética Obs.: Quando Mo = Md = X , diz-se que a distribuição é perfeitamente simétrica. Exemplo: RQ/19 –JUN/01 Prof. Milton Araújo
[email protected] 116 Uma amostra de 20 operários de uma empresa apresentou os seguintes salários, em reais, recebidos durante certa semana, em ordem crescente: 140,00; 140,00; 140,00; 140,00; 140,00; 140,00; 140,00; 140,00; 155,00; 155,00; 165,00; 180,00; 180,00; 190,00; 200,00; 205,00; 220,00; 230,00; 235,00. Pode-se afirmar que essa distribuição de salários: a) é assimétrica para a esquerda. b) é simétrica. c) tem moda igual à mediana. d) tem média igual à mediana. e) é assimétrica para a direita. Solução: Observando-se os valores da distribuição, vê-se que sua moda está no extremo inferior. Assim, podemos afirmar que Mo < Md < X e a distribuição é assimétrica para a direita, ou, em outras palavras, a distribuição é positivamente assimétrica. Resposta: letra e. 14.6 Distribuição Normal Modelo de distribuição contínua de probabilidades, cuja média, no modelo padronizado, é igual a zero e o desvio padrão é igual a 1. A área sob a curva normal em um determinado intervalo fornece a probabilidade de ocorrência do evento nesse intervalo de valores. A padronização na curval normal ocorre por números de desvios padrões que um determinado valor se afastou da sua média aritmética. Distribuição Normal 14.7 Desigualdade de Tchebyshev Nas distribuições de freqüências com distribuição aproximadamente normal, 68% dos valores da distribuição fica no intervalo compreendido entre a média e um desvio padrão abaixo e outro acima da mesma: ( ) % 68 → ±σ X da distribuição está neste intervalo. Se tomarmos o intervalo com 2 desvios de afastamento para mais ou para menos, teremos, aproximadamente, 95% da distribuição inserida neste intervalo, ou seja: ( ) % 95 2 → ⋅ ± σ X da distribuição estará neste intervalo. Se tomarmos o intervalo com 3 desvios de afastamento para mais ou para menos, teremos, aproximadamente, 99% da distribuição inserida neste intervalo, ou seja: ( ) % X 99 3 → ⋅ ± σ da distribuição estará neste intervalo. Exemplo: Questão 13 – Rac. Quantitativo – SET/2001: As contas de energia elétrica de certo município brasileiro, nos meses de verão, estatisticamente seguem distribuição normal. Se a média das contas foi R$ 45,00 e o desvio-padrão R$ 15,00, então pode-se afirmar que a) aproximadamente 34% das contas estão entre R$ 30,00 e R$ 60,00. b) aproximadamente 68% das contas estão entre R$ 15,00 e R$ 75,00. c) aproximadamente 95% das contas estão entre R$ 15,00 e R$ 75,00. d) aproximadamente 5% das contas estão entre R$ 15,00 e R$ 75,00. Prof. Milton Araújo
[email protected] 117 e) aproximadamente 95% das contas estão entre R$ 30,00 e R$ 60,00. Resposta: letra c. Prof. Milton Araújo
[email protected] 118 INSTRUÇÕES: I. Revise os Capítulos 1 a 3 – Raciocínio Quantitativo – da apostila e refaça os exemplos resolvidos em sala de aula antes de iniciar este exercício. II. Marque o TEMPO gasto por você para responder todas as questões. Trabalhe como se estivesse resolvendo um simulado. Não faça interrupções durante o exercício. Procure responder todas as questões em tempo contínuo. III. Assinale suas opções e confira com os gabaritos ao final da apostila. Não faça consultas prévias ao gabarito.. O ideal é que você consiga acertar, no mínimo, 70% das questões. IV. Divida o tempo total gasto para resolver esta lista pelo número de questões e verifique como está sua média de tempo por questão. O tempo médio por questão é de dois minutos e quinze segundos. 1) RL/16 – FEV/07. Considere as seguintes informações sobre uma prova de concurso composta de dois problemas, X e Y: • 923 candidatos acertaram o problema X. • 581 erraram o problema Y. • 635 acertaram X e Y. O número de candidatos que erraram os problemas X e Y é a) 183 b) 293 c) 342 d) 635 e) 689 2) RL/15 – JUN/06. Numa sala de aula que conta com 48 alunos, 30 usam calças jeans e 13 usam tênis. Se 12 alunos não usam calças jeans nem tênis, o número de alunos que usam calças jeans e não usam tênis é a) 5 b) 17 c) 18 d) 23 e) 30 3) RL/4 – FEV/06. Num grupo de pessoas, detectou-se que 19 são fumantes, 37 tomam café e todos os fumantes tomam café. Oito pessoas não têm apetite porque fumam e outras duas porque só tomam café. O número de pessoas não-fumantes, consumidoras de café e que têm apetite é a) 8 b) 16 c) 18 d) 21 e) 37 4) RL/10 – FEV/05. Os estudantes praticantes de esportes da Escola Aprender (EA) foram classificados, segundo seus hábitos desportivos, em quatro grupos, identificados pelas letras P, F, V e N, respectivamente. Os que praticam pingue-pongue; os que praticam futebol; os que praticam vôlei; e os que praticam natação. Com essa classificação, obteve-se o seguinte diagrama: A partir do estudo deste diagrama, pode-se concluir que a) se a região preenchida por traços representa um conjunto vazio, então nenhum praticante de futebol é, também, praticante de vôlei. b) se a sentença “Todo estudante da EA que pratica futebol pratica também pingue-pongue” for verdadeira, então a região preenchida por quadrados do diagrama representa um conjunto vazio. c) se a região do diagrama preenchida por círculos representar um conjunto vazio, então todo estudante que pratica futebol e vôlei pratica, também, natação. d) se as regiões preenchidas por triângulos e por círculos representarem, ambas, conjuntos não- vazios, então é verdadeira a sentença “Todo estudante que pratica pingue-pongue pratica, também, vôlei ou natação”. Prof. Milton Araújo
[email protected] 119 e) se as regiões preenchidas por triângulos e por círculos representarem, ambas, conjuntos não- vazios, então algum estudante que pratica natação pratica também pingue-pongue. 5) RL/9 – JUN/04. Em uma festa, foram servidos dois tipos de bebidas alcoólicas: vinho e cerveja. Sabe-se que havia 55 pessoas, das quais 30 tomaram cerveja, 15 tomaram vinho e 20 tomaram apenas refrigerantes. Sabe-se que todos tomaram uma das três bebidas. Então, o número de pessoas que tomaram cerveja, mas não tomaram vinho é a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 6) RL/15 – JUN/04. Uma pesquisa entre 1.000 consumidores, sendo 400 homens e 600 mulheres, mostrou os seguintes resultados: • Do total de pessoas entrevistadas: 650 assinam o jornal A. 430 têm curso superior. 300 assinam o jornal A e têm curso superior. • Do total de mulheres entrevistadas: 300 assinam o jornal A. 270 têm curso superior. 150 assinam o jornal A e têm curso superior. Portanto, o número de homens entrevistados que não assinam o jornal A e não têm curso superior é a) 40 b) 80 c) 120 d) 180 e) 200 7) RL/20 – FEV/04. A Empresa DoenVax detectou que seus funcionários contraíram três tipos de doenças, D1, D2 e D3, durante o ano de 2003. Num levantamento realizado na empresa com todos os funcionários, constataram-se os seguintes resultados: Doenças D1 D2 D3 D1 e D2 D1 e D3 D2 e D3 D1, D2 e D3 Nenhuma das três Número de funcionários 95 70 200 30 40 25 5 125 A porcentagem aproximada de funcionários que contraiu pelo menos uma das três doenças é a) 33% b) 35% c) 40% d) 63% e) 68% 8) RL/4 – JUN/03. Se r é o raio de um círculo, então a sua área é dada por 2 r π . Se o raio de ambos os círculos da figura dada é 6 u. c. (unidades de comprimento) e a área da interseção dos dois círculos é π 26 u. a. (unidades de área), então a área da região hachurada é a) π 10 u. a. b) π 20 u. a. c) π 36 u. a. d) π 46 u. a. e) π 56 u. a. 9) RL/21 – FEV/03. Considere os conjuntos X e Y, e as afirmações a seguir: I Se X Y X = ∩ , então Y X ⊂ . II ∪ X ∅ = ∅. III Se X A ⊂ e Y A ⊂ , então Y X A ∩ ⊂ O valor lógico de cada afirmação forma, respectivamente, a seguinte seqüência a) V, V, V b) V, F, V c) V, F, F d) F, V, V e) F, F, V 10) RL/4 – SET/02. Dados dois conjuntos quaisquer, A e B, é correto afirmar que a) Se (A ∪ B) = B, então A ⊂ B. b) Se (A ∪ B) = A, então A ⊂ B. c) Se (A ∩ B) = ∅, então (A ∪ B) = ∅. d) Se (A ∩ B) = ∅, então A = ∅ ou B = ∅. Prof. Milton Araújo
[email protected] 120 e) Se (A ∩ B) = B, então A ⊂ B. 11) RL/22 – SET/02. Num grupo de brasileiros, 65% falam inglês, 50% falam italiano e 65% falam francês. Se cada elemento do grupo fala pelo menos dois idiomas, sendo um deles o português, e apenas 10% falam os quatro idiomas, então posso afirmar que a) exatamente 55% do grupo falam somente português e inglês. b) no máximo 40% do grupo falam somente português e italiano. c) no máximo 5% do grupo falam francês e italiano. d) exatamente 15% do grupo falam inglês, italiano e francês. e) no mínimo 55% do grupo falam português e francês. 12) RL/2 – JUN/02. Sendo o conjunto universo ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − = 4 , 2 - 5, , 0, , 2 1 π U { } 0 , , 2 - π = A ; ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − = 4 , 2 - , 2 1 5, B e ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − = 4 , 2 1 C ; considere as seguintes sentenças: I B A∩ possui elementos que são números racionais. II ( ) C B A ∩ ∪ possui só elementos que são números irracionais. III { } π , 0 = − B A . I. ( ) ( ) ) ` ¹ ¹ ´ ¦ − = ∩ ∩ ∩ 4 , 2 1 C B C A Então, a respectiva seqüência formada pelos valores verdades (V, se verdadeira; F, se falsa) dessas sentenças é a) F, F, F, F b) V, F, V, F c) F, F, V, V d) V, V, V, V e) F, F, V, F 13) RL/9 – JUN/02. Sejam os conjuntos definidos por: A = {pessoas que trabalham na empresa XX}; B = {pessoas que trabalham como diretor na empresa XX}; C = {pessoas que trabalham como secretária na empresa XX}; D = {pessoas que trabalham somente como faxineira na empresa XX}. Sabendo-se que: • Maria é faxineira e secretária da empresa XX; • Ricardo é diretor da empresa XX; • Paula é secretária da empresa XX. Analise as afirmativas abaixo: I Maria ∈ D. II Ricardo ⊂ A. III B ∩ A = B. IV {Maria, Paula} ⊂ C. V Maria ∈ C. VI Paula ∉ A. Sobre a veracidade das afirmativas acima, pode-se afirmar que a) todas são verdadeiras. b) somente a última é falsa c) II, IV e VI são falsas d) III, IV e V são verdadeiras e) todas são falsas 14) RL/17 – JUN/02. Dados os conjuntos A, B e C, representados pelo diagrama abaixo, e sabendo-se que A’ representa o complementar de A, B’ representa o complementar de B e C’ o complementar de C, Prof. Milton Araújo
[email protected] 121 Então a área hachurada representa o conjunto a) C B A − ∪ b) ( ) C A B ∩ ∪ c) ' A B ∩ d) ' ' ' C B A ∩ ∩ e) ( ) A C B − ∩ 15) RL/24 – JUN/02. O número máximo de conjuntos A que satisfazem a condição {1, 2} ⊂ A ⊂ {1, 2, 3, 4} é a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 16) RL/4 – FEV/02. Considere os conjuntos A e B, não vazios, e as seguintes proposições: I Se A ∩ B = A, então A ⊂ B. II A ∪ ∅ = ∅ III Se x ∈ A e x ∈ B, então x ∈ (A ∩ B). IV Se y ∈ (A ∪ B), então y ∈ A e y ∈ B. Pode-se afirmar que as proposições VERDADEIRAS são: a) I e II b) III e IV c) I e III d) I, II e IV e) II, III e IV 17) RL/16– FEV/02. Cem pessoas responderam um questionário formado por 3 perguntas. Cada pergunta devia ser respondida por sim ou não, sendo que apenas uma das respostas era correta. Sabendo que • 8 pessoas responderam corretamente todas as perguntas; • 9 pessoas responderam corretamente somente a primeira e a segunda; • 11 pessoas responderam corretamente somente a primeira e a terceira; • 6 pessoas responderam corretamente somente a segunda e a terceira; • 55 pessoas responderam corretamente pelo menos a primeira pergunta; • 32 pessoas responderam corretamente pelo menos a segunda pergunta; • 49 pessoas responderam corretamente pelo menos a terceira pergunta. Então o número de pessoas que não responderam corretamente a pergunta alguma é a) 0 b) 6 c) 8 d) 16 e) 26 18) RQ/11– SET/03. Segundo o último censo, no município A, 55% da população adulta é formada por mulheres; 80% dos homens adultos e 90% das mulheres adultas completaram, no máximo, a escola primária. A porcentagem da população adulta desse município que foi além da escola primária é a) 30% b) 22,5% c) 20% d) 14,5% e) 12,5% 19) RQ/4– FEV/03. O máximo divisor comum, o menor divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos números 4, 8 e 12 são, respectivamente, a) 2, 1 e 12 b) 4, 2 e 12 c) 4, 1 e 24 d) 12, 2 e 24 e) 12, 4 e 48 20) RQ/22– FEV/03. Ao corrigir uma prova com apenas duas questões, um professor constatou que dos seus 43 alunos, 28 acertaram a primeira questão, 13 acertaram todas as questões e ninguém acertou somente a segunda questão. Quantos alunos erraram todas as questões? a) 2 b) 8 c) 15 d) 28 e) 30 21) RQ/7– SET/02. Num clube de apenas 800 associados, é sabido que 200 deles jogam basquete, 300 jogam vôlei e 430 não jogam nem basquete nem vôlei. Quantos associados jogam basquete e vôlei? a) 65 b) 70 c) 130 d) 270 e) 300 22) RQ/9– SET/01. Considere as seguintes proposições: Prof. Milton Araújo
[email protected] 122 I Se dois conjuntos V e W são limitados, então a união desses conjuntos é limitada. II Se dois conjuntos V e W são limitados, então a interseção desses conjuntos é limitada. III Se dois conjuntos R e S são ilimitados, então a união desses conjuntos pode ser limitada. IV Se dois conjuntos R e S são ilimitados, então a interseção desses conjuntos é sempre ilimitada. A seqüência de valores verdades dessas proposições é, respectivamente: a) F, F, F, F b) F, F, V, V c) V, V, V, F d) V, V, F, V e) V, V, F, F. 23) RL/11– SET/01. Considere as seguintes proposições sobre conjuntos: I Seja A um subconjunto de B . Então a interseção de A com B é precisamente B . II Seja A um subconjunto de B . A união de A com B é precisamente B . III Seja A um subconjunto de B . Então o complemento de A, ' A é um subconjunto do complemento de B , ' B . IV Seja A um subconjunto de B . A união de A e de ( ) A B − é precisamente B . As proposições VERDADEIRAS são a) II e IV b) I e III c) III e IV d) I e IV e) II e III. 24) RL/12– SET/01. Seja A um subconjunto de B e seja B um subconjunto de C . Suponha que A a ∈ , B b∈ e C c ∈ , e, ainda, que A d ∉ , B e ∉ , C f ∉ . Considere as seguintes proposições: I C a ∈ IV A c ∉ II A b∈ V A e∉ III B d ∈ VI A f ∉ A(s) proposição(ões) sempre VERDADEIRA(S) é(são): a) I, II e V b) I, III e VI c) II, III e IV d) I, V e VI e) somente I. 25) RL/13– SET/01. Considere as seguintes sentenças: I Seja { } 6 2 ; = ℜ ∈ = x x A e seja 3 = b , então A b = . II Seja { } t s r M , , = , então M r ⊂ . III Seja { } 0 e 0 ; < > ℜ ∈ = x x x C , então 0 = C . IV O conjunto { } par é ; x x A ℜ ∈ = é finito. V Sejam W e V conjuntos tais que V W ⊂ , então V W = A seqüência formada pelos valores verdades dessas sentenças é, respectivamente, a) V, F, V, V, V b) V, V, F, F, F c) F, F, F, F, F d) F, F, V, V, F e) V, V, V, V, F O Gabarito desta Lista está em arquivo separado. Você poderá se considerar bem preparado(a) nestes conteúdos se acertou, no mínimo, 18 questões desta lista e conseguiu resolvê-la num tempo INFERIOR a 57 minutos. Divida as listas em módulos contendo vinte questões cada um. Assim, para cada módulo de 20 questões, você poderá avaliar o seu desempenho do seguinte modo: a) tempo ideal de resolução do módulo de 20 questões: 45 minutos; b) Número mínimo de acertos do módulo de 20 questões: 14. Prof. Milton Araújo
[email protected] 123 INSTRUÇÕES: I. Revise o Capítulo 4 – Raciocínio Quantitativo – da apostila e refaça os exemplos resolvidos em sala de aula antes de iniciar este exercício. II. Marque o TEMPO gasto por você para responder todas as questões. Trabalhe como se estivesse resolvendo um simulado. Não faça interrupções durante o exercício. Procure responder todas as questões em tempo contínuo. III. Assinale suas opções e confira com os gabaritos ao final da apostila. Não faça consultas prévias ao gabarito.. O ideal é que você consiga acertar, no mínimo, 70% das questões. IV. Divida o tempo total gasto para resolver esta lista pelo número de questões e verifique como está sua média de tempo por questão. O tempo médio por questão é de dois minutos e quinze segundos. 1) RL/13 – FEV/06. Duas jarras contêm, cada uma, o mesmo volume de uma mistura de água e álcool, nas proporções de 2:8 na primeira jarra e de 2:3 na segunda jarra. Juntando-se os conteúdos das duas jarras, obtém-se uma mistura de água e álcool cuja proporção entre água e álcool é a) 2:5 b) 3:7 c) 3:11 d) 4:11 e) 4:24 2) RL/19 – JUN/04. Deseja-se dividir dois rolos de fita medindo 72 m e 104 m, cada um. Se os pedaços de fita devem ser todos de mesmo comprimento e o maior possível, então a soma da quantidade de pedaços dos dois rolos é a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 36 3) RL/20 – JUN/04. Um quadrado é modificado para retângulo, mediante o aumento de 20% no seu comprimento e uma redução de 15% na sua largura. Então, a sua área a) permanece a mesma b) aumenta em 2% c) aumenta em 5%. d) reduz-se em 5% e) reduz-se em 8% 4) RL/9 – FEV/04. Analise as seguintes afirmações: I 25% de 50 é igual a 50% de 25. II Descontando-se 20% de um valor, tem-se que acrescentar 25% ao valor descontado para obter-se o valor original. III Ao acrescer 200% a um valor, o mesmo é triplicado. Sobre as afirmações anteriores, pode-se dizer que a) apenas I é correta b) apenas I e II são corretas c) apenas I e III são corretas d) apenas I e III são corretas e) I, II e III são corretas 5) RL/16 – FEV/04. Comprou-se um lote de arroz de três qualidades: o primeiro veio em sacas de 60kg; o segundo em sacas de 48 kg; e o terceiro, em sacas de 72 kg. Desejando embalá-los em sacas menores, de igual peso, sem misturar as qualidades e sem sofrer qualquer perda, então o maior peso possível para essas sacas é a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 6) RL/4 – SET/03. Um comerciante vendeu um produto por R$ 1.980,00, tendo um lucro de 10%. No dia seguinte, vendeu outro produto por R$ 1.980,00 e perdeu 10%. Com os dois negócios, ele teve um a) prejuízo de R$ 40,00 b) prejuízo de R$ 80,00 c) lucro de R$ 180,00 d) prejuízo de R$ 220,00 e) lucro de R$ 400,00 7) RL/20 – FEV/04. A Empresa DoenVax detectou que seus funcionários contraíram três tipos de doenças, D1, D2 e D3, durante o ano de 2003. Num levantamento realizado na empresa com todos os funcionários, constataram-se os seguintes resultados: Doenças D1 D2 D3 D1 e D2 D1 e D3 D2 e D3 D1, D2 e D3 Nenhuma das três Número de funcionários 95 70 200 30 40 25 5 125 A porcentagem aproximada de funcionários que contraiu pelo menos uma das três doenças é Prof. Milton Araújo
[email protected] 124 a) 33% b) 35% c) 40% d) 63% e) 68% 8) RL/12 – SET/03. Hoje A e B estão de folga do trabalho. Sabendo-se que A tem folga de 6 e 6 dias e B, de 4 em 4 dias e que a folga dos dois coincide a cada x dias, pode-se concluir que o valor de x é a) 4 b) 6 c) 10 d) 12 e) 18 9) RL/14 – SET/03. Laura quer decorar toda a parede retangular de dimensões 4,40 m por 2,75 m, dividindo-a em quadrados de tamanhos iguais. Então o menor número total desses quadrados que a parede poderá conter é a) 16 b) 30 c) 40 d) 55 e) 88 10) RL/18 – SET/03. Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por a) 125 1 b) 8 1 c) 12,5 d) 80 e) 125 11) RL/10 – JUN/03. Se o lado do quadrado é aumentado em 50%, então a área do quadrado é AUMENTADA em a) 100% b) 125% c) 175% d) 225% e) 250% 12) RL/13 – JUN/03. Em um grupo de 100 pessoas, 90% dos presentes são homens. O número de homens que devem ser retirados para que o percentual de homens dentre os indivíduos restantes seja reduzido para 80% é a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 13) RL/24 – FEV/03. Duas velas cilíndricas de mesma altura são acesas ao mesmo tempo. A primeira é consumida em 6 horas e a segunda, em 2 horas. Se cada vela queima a uma velocidade constante, então a altura da primeira vela é o triplo da altura da segunda após a) 1 hora b) 1 hora e 15 minutos c) 1 hora e 20 minutos d) 1 hora e 30 minutos e) 1 hora e 45 minutos 14) RL/25 – FEV/03. Os diâmetros de dois círculos têm 8 cm e 12 cm cada. A razão entre a área do maior e a área do menor é a) 2/3 b) 4/9 c) 4/3 d) 3/2 e) 9/4 15) RQ/13 – FEV/07. Em uma fábrica, três costureiras, em oito horas de trabalho, produzem 48 calças. Como aumentou a demanda pelos produtos dessa fábrica, foram contratadas mais três costureiras, que apresentaram o mesmo desempenho das funcionárias veteranas. Se o último pedido é de 120 calças, qual o tempo necessário de trabalho para que as seis costureiras produzam tal quantidade? a) 8 horas b) 10 horas c) 12 horas d) 16 horas e) 24 horas 16) RQ/7 – SET/06. Ronaldo deseja ladrilhar o chão de seu escritório de dimensões 5,2 m por 4 m, com n lajotas quadradas inteiras de lado z cm, onde z é número inteiro. Supondo que as lajotas serão colocadas sem espaço entre elas, o valor de z , para que o número n de lajotas seja mínimo, e o valor de n são, respectivamente, a) 40 e 130 b) 40 e 150 c) 30 e 160 d) 30 e 130 e) 20 e 180 17) RQ/3 – JUN/06. Num caminhão podem-se carregar 50 sacos de cimento ou 400 tijolos. Se forem colocados nele 42 sacos de cimento, ainda podem-se carregar nesse caminhão, no máximo, a) 54 tijolos b) 64 tijolos c) 68 tijolos d) 72 tijolos e) 82 tijolos 18) RQ/5 – JUN/06. Giovana gasta 3/8 do seu salário com o aluguel e R$ 42,00 com o transporte. Considerando-se que seu salário é de R$ 840,00, o percentual do salário gasto com esses dois itens é de a) 35,5% b) 37,5% c) 40,5% d) 42,5% e) 45,5% 19) RQ/12 – JUN/06. Na eleição do Diretório de Estudantes do Colégio Pardal, na qual 8% dos eleitores votaram em branco e 12% anularam seus votos, o vencedor obteve 63% do total da apuração. Se os votos em branco e nulos não são considerados válidos, o percentual de votos válidos que o vencedor recebeu é de, aproximadamente a) 50% b) 56% c) 63% d) 71% e) 79% Prof. Milton Araújo
[email protected] 125 20) RQ/15 – JUN/06. Para preparar um suco são usados, para cada 24 litros de água, 4 litros de suco concentrado. As razões entre o número de litros de suco concentrado e o número de litros de água,e entre o número de litros de suco concentrado e o número de litros do suco pronto são, respectivamente, a) 4/24 e 20/24 b) 1/3 e 1/4 c) 1/6 e 3/4 d) 1/6 e 1/7 e) 5/5 e 1/6 21) RQ/1 – FEV/06. Uma farmácia de manipulação produz mensalmente 10 frascos do xarope A, 20 do xarope B e 35 do xarope C. Todos os frascos têm capacidade de 100 ml. Os três xaropes são fabricados utilizando-se, em sua composição, 40% de água destilada e as substâncias X, Y, Z e W. A tabela abaixo mostra as percentagens das quatro substâncias que são utilizadas na fabricação dos três xaropes. X Y Z W Xarope A 10% 20% 0% 30% Xarope B 15% 20% 5% 20% Xarope C 20% 20% 10% 10% Sabendo-se que essas quatro substâncias são utilizadas por essa farmácia apenas na fabricação desses três xaropes, as quantidades mínimas que se devem comprar mensalmente são a) 1.100 ml de X, 1.300 ml de Y, 450 ml de Z e 1.050 ml de W. b) 2.925 ml de X, 3.900 ml de Y, 975 ml de Z e 3.900 ml de W. c) 3.900 ml de X, 3.900 ml de Y, 975 ml de Z e 2.925 ml de W. d) 2.550 ml de X, 3.100 ml de Y, 1.005 ml de Z e 3.100 ml de W. e) 1.200 ml de X, 1.400 ml de Y, 550 ml de Z e 1.500 ml de W. 22) RQ/6 – FEV/06. Considere-se que 3 impressoras idênticas, trabalhando durante 10 horas por dia, levam 5 dias para fazer determinado trabalho. Numa situação de emergência, em que esse mesmo trabalho precisa ser realizado em apenas 4 dias, a jornada de trabalho diário dessas impressoras deve ter a duração de a) 8 h b) 10 h 30 min c) 12 h d) 12 h 30 min e) 14 h 23) RQ/5 – JUN/05. Seja um triângulo de área A. Aumentando-se a medida da altura deste triângulo em 30% e diminuindo-se a sua base em 25%, a área do novo triângulo a) aumenta em 2,5% b) aumenta em 5% c) diminui em 2,5% d) diminuiu em 5% e) diminui em 10% 24) RQ/6 – JUN/05. Cinco máquinas iguais funcionando em uma fábrica durante o mesmo tempo produzem 5000 peças em 72 horas. Sabendo que uma máquina quebrou, o tempo que as quatro máquinas levarão para fazer o mesmo serviço é a) 57 horas e 36 minutos b) 90 horas c) 95 horas e 36 minutos d) 100 horas e) 105 horas e 25 minutos 25) RQ/16 – JUN/05. Em certo país existe uma lei que estabelece que cada empresa é obrigada a ter em seu quadro de funcionários 20% de mulheres. Uma empresa que tem cinco mulheres em seu quadro, em função de uma crise econômica, necessitou reduzir os gastos com funcionários, demitindo três mulheres. Logo, em virtude da lei, conclui-se que a empresa demitiu a) 3 homens b) 6 homens c) 12 homens d) 15 homens e) 17 homens 26) RQ/6 – FEV/05. Um comerciante, para acabar com seu estoque, resolveu dar um desconto de 10% sobre o preço p de um certo produto; diante da falta de compradores para o mesmo, fez um segundo abatimento de 10% sobre o novo valor; ainda não conseguindo alcançar seu objetivo, reduziu em 10% o último valor. Desta forma, depois de aplicar os três descontos, observou que havia reduzido % x o preço inicial do produto. O valor de x é, aproximadamente, a) 32 b) 30 c) 29 d) 27 e) 26 27) RQ/10 – FEV/05. O preço de uma caneta que custava R$ 12,50 foi reajustado para R$ 14,00, o que corresponde a um acréscimo de a) 10% b) 12% c) 15% d) 16% e) 17% Prof. Milton Araújo
[email protected] 126 28) RQ/2 – SET/04. No Colégio X , 90% dos estudantes da classe Aobtiveram aprovação, sendo que 40% desses são do sexo feminino. Então, a porcentagem dos aprovados que são do sexo feminino da classe A é a) 36% b) 40% c) 45% d) 50% e) 54% 29) RQ/5 – SET/04. Uma escada de 25 m está apoiada na parede vertical de um edifício de tal modo que o pé da escada está a 7 m da base do prédio. Se a escada escorregar 4 m na parede vertical, então o pé da escada escorregará a) 3 m b) 4 m c) 8 m d) 10 m e) 15 m 30) RQ/9 – SET/04. Uma estaca de 1 m projeta uma sombra de 24 cm no mesmo instante em que um prédio projeta uma sombra de 6 m. Se cada andar deste prédio tem 3 m de altura, então o número de andares do prédio é a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9 31) RQ/13 – SET/04. Manoel vende seus produtos com um lucro de 50% sobre o preço de venda. Então, seu lucro sobre o custo é de a) 10% b) 25% c) 33% d) 100% e) 150% 32) RQ/19 – SET/04. Em uma competição esportiva, participaram rapazes e moças. Sabe-se que 34% dos participantes são moças e 1650 são rapazes. Então, o total de participantes dessa competição é a) 2171 b) 2475 c) 2500 d) 2946 e) 4853 33) RQ/1 – JUN/04. As rodas traseiras de um trator têm um perímetro de 2,40 m e as dianteiras têm um perímetro de 1,60 m. Se a roda menor der 60 voltas, então o número de voltas que a roda maior dará será a) 30 b) 90 c) 60 d) 55 e) 40 34) RQ/3 – JUN/04. Num clube, 3 2 dos associados (dependentes ou não) são mulheres. Sabe-se que 5 2 das mulheres são casadas e que 60% das casadas têm filhos. Se 540 dos associados são mães casadas, então o número total de associados do clube é a) 2.875 b) 3.250 c) 3.375 d) 4.325 e) 4.875 35) RQ/5 – JUN/04. Num mapa, cuja escala é 1/9.000.000, a estrada São Paulo – São Luís tem 33 cm. A distância real, em km, é a) 2.727 b) 2.870 c) 2.970 d) 3.027 e) 3.270 36) RQ/7 – JUN/04. Um navio, com uma guarnição de 300 homens, necessita de 120.000 litros de água para efetuar uma viagem de 21 dias. Se aumentar a guarnição em 50 homens e a água em 40.000 litros, então a duração máxima da viagem poderá ser de a) 42 dias b) 36 dias c) 30 dias d) 28 dias e) 24 dias 37) RQ/12 – JUN/04. João havia gasto 5 3 do tanque de combustível e precisou colocar 36 litros para completá-lo. Antes de enchê-lo, no tanque havia a) 16 litros de combustível b) 24 litros de combustível c) 5 3 do tanque de combustível d) 3 5 do tanque de combustível e) 3 2 do tanque de combustível 38) RQ/13 – JUN/04. Um terreno foi vendido por R$ 27.500,00, com lucro de 10%. Em seguida, foi revendido por R$ 33.000,00. O lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de a) 20% b) 22% c) 26% d) 30% e) 32% 39) RQ/16 – JUN/04. Um pai deseja dividir entre seus três filhos, Andréa, Bruno e Carla, a quantia de R$ 186,00 em partes inversamente proporcionais às faltas escolares que tiveram durante o ano. Andréa faltou 2 vezes, Bruno faltou 3 vezes e Carla faltou 5 vezes. Então, a quantia que Bruno deve receber é Prof. Milton Araújo
[email protected] 127 a) R$ 36,00 b) R$ 55,80 c) R$ 58,80 d) R$ 60,00 e) R$ 62,00 40) RQ/2 – FEV/04. Uma casa é avaliada em R$ 24.000,00. Este valor é 60% do valor de venda. Se a cada R$ 1.000,00 do valor de venda deve ser pago um imposto de R$ 3,00, então o valor do imposto dessa casa é a) R$ 72,00 b) R$ 90,00 c) R$ 120,00 d) R$ 360,00 e) R$ 720,00 41) RQ/10 – FEV/04. O desempenho de um caminhão sem carga é de 6 km por litro de diesel. Carregado, cai para 70% deste valor. A quantidade de diesel, em litros, gasto por este caminhão carregado para percorrer 630 km é a) 73,5 b) 85,5 c) 105 d) 135,5 e) 150 42) RQ/11 – FEV/04. Suponha que todos os 45 homens de uma obra tenham a mesma capacidade de trabalho e que para pavimentar um trecho de uma estrada eles gastam 5 horas. Utilizando 36 desses homens, o mesmo trabalho seria feito em a) 4h b) 4h45min c) 6h d) 6h10min e) 6h15min 43) RQ/15 – FEV/04. Patrícia recebe um salário de R$ 800,00 por mês. No mês de dezembro ela fez outros trabalhos e recebeu R$ 400,00 a mais. Supondo que, com exceção de dezembro, em todos os demais meses ela recebeu a mesma quantia, ou seja, apenas o salário. Então, a porcentagem que representa o ganho do mês de dezembro em relação ao ano, é a) 9% b) 10% c) 11% d) 12% e) 13% 44) RQ/18 – FEV/04. Sabe-se que a quantia que o Sr. João investiu em poupança é o dobro da quantia investida em ações. Se a poupança rendeu 7,5% do seu valor e as ações renderam 10% do seu valor, e se o total dos rendimentos nesse período foi de R$ 7.500,00, então a quantia que o Sr. João investiu em poupança é a) R$ 25.000,00 b) R$ 30.000,00 c) R$ 50.000,00 d) R$ 60.000,00 e) R$ 75.000,00 45) RQ/19 – FEV/04. A porcentagem dos números inteiros de 1 a 50 que têm quadrados que terminam com o dígito 1 é a)1% b) 5% c) 10% d) 15% e) 20% 46) RQ/1 – SET/03. Uma compra de R$ 125,50, realizada em um supermercado, foi paga com um cheque de R$ 134,50, para 40 dias. A taxa cobrada neste período foi de, aproximadamente, a) 6,09% b) 7,17% c) 8% d) 9% e) 10,79% 47) RQ/11 – SET/03. Segundo o último censo, no município A, 55% da população adulta é formada por mulheres; 80% dos homens adultos e 90% das mulheres adultas completaram, no máximo, a escola primária. A porcentagem da população adulta desse município que foi além da escola primária é a) 30% b) 22,5% c) 20% d) 14,5% e) 12,5% 48) RQ/13 – SET/03. Um determinado produto de preço p está na promoção “leve 5 e pague 3”. O desconto que essa promoção oferece sobre o preço do produto p é de a) 20% b) 25% c) 30% d) 35% e) 40% 49) RQ/14 – SET/03. A razão entre o número de homens e o de mulheres em uma academia é 4 3 . Um possível número total de pessoas nessa academia é a) 34 b) 39 c) 46 d) 48 e) 49 50) RQ/18 – SET/03. Um comerciante faz uma promoção e vende um produto com 10% de desconto. Mesmo com esse desconto, a margem de lucro é igual a 20% do custo do produto. Se cada unidade do produto custa R$ 800,00, o seu preço x , antes da promoção, é tal que a) x < R$ 1056,00 b) R$ 1056,00 < x < R$ 1068,00 c) R$ 1068,00 < x < R$ 1174,00 d) R$ 1174,00 < x < R$ 1282,00 e) x > R$ 1282,00 51) RQ/9 – JUN/03. Um lucro de 30% sobre o preço de venda de uma mercadoria corresponde a um acréscimo sobre o preço de custo de, aproximadamente, Prof. Milton Araújo
[email protected] 128 a) 15% b) 30% c) 35,72% d) 42,86% e) 60% 52) RQ/13 – JUN/03. Um filme tem duração de 4 horas. Sabendo-se que o que resta para terminar o filme é 3 1 do que já passou, então o tempo gasto até o momento é a) 33 min b) 1h c) 1h20min d) 1h30min e) 3h 53) RQ/14– JUN/03. Uma determinada fruta quando fresca contém 70% de água e quando seca contém apenas 20% de água. Para produzir 30 kg da fruta seca, a quantidade necessária, em kg, da fruta fresca é a) 180 b) 150 c) 80 d) 70 e) 45 54) RQ/15 – JUN/03. Uma costureira fazendo x camisas por dia consegue entregar uma encomenda em 5 dias. Caso ela fizesse mais 4 camisas por dia, nas mesmas condições, a encomenda seria entregue em 3 dias. O valor de x está compreendido entre a) 3 e 7 b) 8 e 13 c) 14 e 17 d) 18 e 22 e) 23 e 28 55) RQ/20 – JUN/03. Uma loja comprou uma mercadoria à vista com 20% de desconto sobre o preço de tabela e teve uma despesa de R$ 50,00 na compra. Vendeu essa mercadoria por R$ 540,00, obtendo assim um lucro de 20% sobre o total desembolsado. Pode-se afirmar que o preço da tabela era a) R$ 400,00 b) R$ 460,00 c) R$ 480,00 d) R$ 500,00 e) R$ 520,00 56) RQ/1 – FEV/03. Em uma fábrica de automóveis, em 20 dias, com seus funcionários trabalhando 8 horas por dia, são montados 400 veículos de um mesmo modelo. Nessa mesma montadora, com os mesmos funcionários trabalhando 10 horas por dia, quantos dias serão necessários para montar 500 veículos do mesmo modelo que os anteriores? a) 10 b) 12 c) 16 d) 20 e) 25 57) RQ/2 – FEV/03. Se o raio de um círculo inscrito num triângulo eqüilátero for reduzido à metade, ele ficará inscrito num segundo triângulo eqüilátero cuja área, em relação ao primeiro triângulo, ficará multiplicada por a) 8 1 b) 4 1 c) 2 1 d) 1 e) 2 58) RQ/3 – FEV/03. Um lucro de 15% sobre o preço de venda representa, aproximadamente, que porcentagem sobre o preço de custo: a) 10,15% b) 13,05% c) 15,15% d) 17,65% e) 19,45% 59) RQ/9 – FEV/03. Foram usados 25 kg de fios para tecer 280 m de tecidos com 0,90 m de largura. Quantos quilogramas serão necessários para produzir 144 m deste tecido com 1,4 m de largura? a) 14 kg b) 16 kg c) 20 kg d) 24 kg e) 25 kg 60) RQ/24 – FEV/03. Um granjeiro tem ração suficiente para alimentar 36 porcos durante 56 dias. Se ele precisar alimentar mais 6 porcos do mesmo tipo, quantos dias a ração deverá durar? a) 32 b) 36 c) 38 d) 44 e) 48 61) RL/16 – SET/02. Se o lado de um quadrado é aumentado em 100%, sua área fica aumentada em a) 150% b) 200% c) 250% d) 300% e) 400% 62) RL/17 – SET/02. Em uma certa fonte de água, uma garrafa de 2,5 litros é envazada em 50 segundos. O tempo necessário para encher um garrafão de 7 litros, nessa mesma fonte, é de a) 1 min 30 s b) 1 min 40 s c) 1 min 50 s d) 2 min 10 s e) 2 min 20 s 63) RL/15– JUN/02. As indústrias Asdrax e Lidrax são as únicas fornecedoras de matéria-prima para a indústria Sudrax, que compra toda a produção das mesmas. A Sudrax utiliza essa matéria- prima integralmente na fabricação de seu único produto. A Asdrax representa 70% desse fornecimento, mas houve problemas com as suas máquinas, o que provocou uma queda de 20% na Prof. Milton Araújo
[email protected] 129 produção. Por outro lado, a Lidrax adquiriu maquinário novo e ampliou seu parque, aumentando em 65% sua produção. Que efeito terão esses fatos sobre a produção da Sudrax, caso ela continue comprando exclusivamente da Asdrax e da Lidrax? a) poderá aumentar em 5,5% sua produção. b) poderá aumentar em 9,5% sua produção. c) poderá aumentar em 12,5% sua produção. d) poderá aumentar em 16,5% sua produção. e) poderá aumentar em 25,5% sua produção. 64) RL/16– JUN/02. A demanda por certo tipo de cereal numa determinada região é representada pela aquisição do produto por um único conjunto de silos. A demanda da próxima semana é de 250 toneladas de cereal. Existem três fornecedores A, B e C que fazem chegar ao conjunto, respectivamente, 1 caminhão de 6 toneladas a cada 8 horas, 1 caminhão de 10 toneladas a cada 6 horas e 1 caminhão de 3 toneladas a cada 4 horas. Considerando que, a zero hora de domingo, chegam os primeiros três caminhões, um de cada fornecedor, em que dia e hora a demanda do conjunto de silos pelo cereal estará satisfeita e de que fornecedor foi a entrega que a satisfez? a) Quarta-feira, às 6 horas, pelo caminhão da empresa B. b) Quarta-feira, às 4 horas, pelo caminhão da empresa C. c) Quarta-feira, às 8 horas, pelo caminhão da empresa A. d) Terça-feira, às 4 horas, pelo caminhão da empresa C. e) Terça-feira, às 21 horas, pelo caminhão da empresa A. 65) RQ/3– SET/02. Nos últimos oito anos, os valores dos impostos de uma empresa sofreram três reajustes de 30% cada um. Isto totaliza um aumento sobre os impostos de 8 anos atrás de, aproximadamente, a) 30% b) 40% c) 90% d) 120% e) 300% 66) RQ/14– SET/02. Se m homens fazem um trabalho em d dias, então m + n homens farão o mesmo trabalho, nas mesmas condições, em a) n m md + dias b) n m dn − dias c) n m d + dias d) ) ( n d − dias e) ) ( n d + dias 67) RQ/18– SET/02. Dividindo uma fita de 198 cm em partes proporcionais a 2, 3 e 4, o tamanho da parte maior medirá a) 22 cm b) 44 cm c) 56 cm d) 88 cm e) 90 cm 68) RQ/21– SET/02. A faz uma peça em 9 dias de trabalho. B é 50% mais eficiente que A. Então, o número de dias que B deverá demorar para fazer a mesma peça é a) 3 b) 4 c) 2 9 d) 6 e) 2 7 69) RQ/22– SET/02. Se a base de um retângulo é aumentada em 10% e sua área não se altera, então a sua altura é diminuída em, aproximadamente. a) 8% b) 9% c) 10% d) 11% e) 12% 70) RQ/5– JUN/02. Com 100 kg de trigo, são produzidos 75 kg de farinha e, com 25 kg de farinha, são feitos 30 kg de pão. Quanto de trigo é necessário para fazer 450 kg de pão? a) 175 kg b) 200 kg c) 350 kg d) 450 kg e) 500 kg 71) RQ/16– JUN/02. Do salário que Paulo recebe, 30% vão para poupança, 20% para o aluguel e 35% para a alimentação, restando-lhe apenas R$ 225,00; então o salário de Paulo é a) R$ 1.000,00 b) R$ 1.250,00 c) R$ 1.500,00 d) R$ 2.250,00 e) R$ 2.500,00 72) RQ/16– JUN/02. Do salário que Paulo recebe, 30% vão para poupança, 20% para o aluguel e 35% para a alimentação, restando-lhe apenas R$ 225,00; então o salário de Paulo é a) R$ 1.000,00 b) R$ 1.250,00 c) R$ 1.500,00 d) R$ 2.250,00 e) R$ 2.500,00 Prof. Milton Araújo
[email protected] 130 73) RQ/23– JUN/02. A soma de três números é igual a 30. o primeiro está para o segundo assim como 2 está para 3, e, subtraindo o segundo do primeiro, obtém-se o número 5. o maior desses números é a) 15 b) 20 c) 22 d) 25 e) 55 74) RQ/25– JUN/02. Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6 horas por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8 horas por dia, a estrada será concluída em a) 64 dias b) 72 dias c) 84 dias d) 92 dias e) 98 dias 75) RQ/19– FEV/02. Uma prestação cujo valor nominal é de R$ 900,00 foi paga com atraso no valor de R$ 1.143,00. então a taxa percentual do acréscimo é a) 12% b) 22% c) 27% d) 73% e) 78% 76) RQ/25– FEV/02. Um terreno de 3000 2 m de área foi dividido em 3 partes A, B e C tais que 2 3 5 C B A = = Então a área das partes é a) 2 2 2 m 1400 ; m 1000 ; m 600 = = = C B A b) 2 2 2 m 1200 ; m 1200 ; m 600 = = = C B A c) 2 2 2 m 1500 ; m 750 ; m 750 = = = C B A d) 2 2 2 m 600 ; m 900 ; m 1500 = = = C B A e) 2 2 2 m 800 ; m 1200 ; m 1000 = = = C B A O Gabarito desta Lista está em arquivo separado. Você poderá se considerar bem preparado(a) nestes conteúdos se acertou, no mínimo, 54 questões desta lista e conseguiu resolvê-la num tempo inferior a 163 minutos. Divida as listas em módulos contendo vinte questões cada um. Assim, para cada módulo de 20 questões, você poderá avaliar o seu desempenho do seguinte modo: a) Tempo ideal de resolução do módulo de 20 questões: 45 minutos; b) Número mínimo de acertos do módulo de 20 questões: 14. Prof. Milton Araújo
[email protected] 131 INSTRUÇÕES: I. Revise os Capítulos 5 a 7 – Raciocínio Quantitativo – da apostila e refaça os exemplos resolvidos em sala de aula antes de iniciar este exercício. II. Marque o tempo gasto por você para responder todas as questões. Trabalhe como se estivesse resolvendo um simulado. Não faça interrupções durante o exercício. Procure responder todas as questões em tempo contínuo. III. Assinale suas opções e confira com os gabaritos ao final da apostila. Não faça consultas prévias ao gabarito. O ideal é que você consiga acertar, no mínimo, 70% das questões. IV. Divida o tempo total gasto para resolver esta lista pelo número de questões e verifique como está sua média de tempo por questão. O tempo médio por questão é de dois minutos e quinze segundos. 1) RL/4 – SET/06. A figura ao lado mostra o mapa imaginário de uma cidade constituída por cinco bairros. Deseja-se colorir cada bairro com uma das cores vermelha, azul ou amarela, de maneira que, dois bairros vizinhos não possuam a mesma cor. O número de maneiras diferentes segundo as quais o mapa pode ser pintado é a) 6 b) 12 c) 24 d) 48 e) 120 2) RL/11 – SET/03. Durante a sua programação, uma emissora de rádio toca diariamente sempre as mesmas oito músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as prováveis seqüências dessas músicas serão necessários aproximadamente a) 100 dias b) 1 ano c) 10 anos d) 1 século e) 10 séculos 3) RL/17 – SET/03. Onze clubes disputaram o campeonato. Cada clube jogou com cada um dos outros duas partidas, uma em cada turno do campeonato. No final, dois clubes ficaram empatados e, por isso, houve um jogo para o desempate. O número total de jogos disputados foi a) 112 b) 111 c) 110 d) 56 e) 55 4) RL/15 – JUN/03. Em uma ilha falam-se apenas quatro idiomas. Cada habitante fala exatamente dois idiomas e, para cada conjunto de dois idiomas há um único habitante que fala esses dois idiomas. Então, o número de habitantes da ilha é igual a a) 6 b) 8 c) 12 d) 16 e) 24 5) RQ/3 – FEV/07. Um grupo de sete pessoas é formado por dois irmãos, dois casais e um padre. Esse grupo deseja tirar uma foto, obedecendo às seguintes regras: • todos os membros do grupo devem se posicionar lado a lado (perfilados); • o padre deve se posicionar em um extremo, no lado direito ou no lado esquerdo; • cada casal deve permanecer junto. Considerando essas regras, quantas fotos distintas podem ser tiradas pelo grupo, ,ou seja, quantas combinações de posicionamento dos membros do grupo podem ser geradas para tirar diferentes fotos? a) 84 b) 92 c) 96 d) 192 e) 5040 6) RQ/6 – FEV/07. O número de anagramas que podem ser feitos com a palavra ADMINISTRADOR, de modo que as consoantes sejam mantidas em suas respectivas posições, é a) 120 b) 56 c) 30 d) 20 e) 10 7) RQ/7 – FEV/07. Em uma empresa trabalham 1.000 pessoas, todas com curso superior. Nenhuma dessas pessoas tem mais do que dois cursos superiores, e • 200 são apenas engenheiros, • 250 são contadores, • 230 são advogados, • 100 são apenas bacharéis em computação, • 300 são administradores, • 50 são administradores e contadores, Prof. Milton Araújo
[email protected] 132 • 60 são advogados e administradores, • 30 são contadores e advogados, e • 60 têm outras profissões. A probabilidade de, numa escolha aleatória, a pessoa escolhida ser somente administrador é de a) 0,3 b) 0,25 c) 0,24 d) 0,20 e) 0,19 8) RQ/9 – FEV/07. Um baralho tem quatro naipes, sendo que cada naipe tem 12 cartas. A probabilidade de se retirar, sem reposição, três cartas do mesmo naipe desse baralho e a) 4324 55 b) 1081 55 c) 48 3 d) 24 3 e) 12 3 9) RQ/10 – FEV/07. Hoje, o agiota Furtado concedeu um empréstimo de R$ 500,00 ao Sr. Inocêncio e adotou o sistema de juros compostos a uma taxa de 10% a.m. Sabendo-se que o Sr. Inocêncio paga R$ 200,00 a cada mês (desde o primeiro mês), e que esse valor é abatido do montante da dívida, pode-se afirmar que, após três meses, a) o Sr. Inocêncio ainda deve R$ 3,50 ao agiota. b) o Sr. Inocêncio ainda deve R$ 42,30 ao agiota. c) o Sr. Inocêncio ainda deve R$ 38,00 ao agiota. d) o agiota deve R$ 35,00 ao Sr. Inocêncio. e) a dívida está liquidada. 10) RQ/14 – FEV/07. Em uma lanchonete, são gastos R$ 6,00 para se comprar três pastéis, dois copos de refrigerante e uma porção de batatas fritas. Sabe-se que a mesma quantia de dinheiro é gasta para se comprar dois pastéis, um copo de refrigerante e três porções de batatas fritas. Logo, pode-se concluir que a) um pastel mais um copo de refrigerante custam o mesmo que duas porções de batatas fritas. b) um pastel, um copo de refrigerante e uma porção de batatas fritas custam R$ 4,00. c) um pastel, um copo de refrigerante e uma porção de batatas fritas custam R$ 6,00. d) um pastel custa R$ 2,00 e um copo de refrigerante custa R$ 1,50. e) todos custam menos de R$ 1,00. 11) RQ/2 – SET/06. Numa cidade, a passagem de uma linha de ônibus custa R$ 1,50. Sabe-se que os cobradores possuem apenas quatro espécies de moedas, a saber, R$ 0,50; R$ 0,25; R$ 0,10 e R$ 0,05. Suponha que todas as possibilidades de troco, utilizando combinações dos valores de moedas citados, têm a mesma probabilidade. Qual a probabilidade de Afrânio, que usou essa linha de ônibus, ter o seu troco com três espécies de moedas, sabendo-se que ele entregou ao cobrador R$ 2,00? a) 1/11 b) 2/11 c) 4/11 d) 5/11 e) 6/11 12) RQ/3 – SET/06. Numa empresa, foram contratados seis novos funcionários, sendo dois advogados, dois contadores e dois engenheiros. Pretende-se distribuir esses profissionais nos seus gabinetes. Sabe-se que • as salas estão dispostas segundo o desenho abaixo; • cada uma das seis pessoas citadas ocupa uma sala; • os advogados ocupam as salas 1 e 4, os contadores ocupam as salas 2 e 5, e os engenheiros ocupam as salas 3 e 6. Sala 1 Sala 2 Sala 3 corredor Sala 4 Sala 5 Sala 6 Baseando-se nas informações dadas, é CORRETO afirmar que os seis funcionários podem ser distribuídos nas salas descritas acima de Prof. Milton Araújo
[email protected] 133 a) 90 maneiras distintas. b) 36 maneiras distintas. c) 20 maneiras distintas. d) 8 maneiras distintas. e) 6 maneiras distintas. 13) RQ/8 – SET/06. Joana fez uma aplicação num banco e a resgatou após seis meses. O juro aparente recebido, durante esse período, foi de 15%. Se a taxa de inflação no período foi de 8%, então a taxa de juro real recebido foi de, aproximadamente, a) 7,5% positivo b) 7% positivo c) 6,5% positivo d) 6% negativo e) 7% negativo 14) RQ/10 – SET/06. Usando o valor 0,48 para 3 log (onde log denota o logaritmo decimal), a que taxa anual de juros compostos devo aplicar certo capital hoje para que, daqui a seis anos, eu tenha o triplo desse capital? a) 1 10 48 , 0 − b) 1 10 144 , 0 − c) 1 10 008 , 0 − d) 1 10 03 , 0 − e) 1 10 08 , 0 − 15) RQ/14 – SET/06. Marcus deve pagar a Paulo, daqui a dois meses, o valor nominal de R$ 10.500,00. Marcus, porém, fez uma proposta a Paulo de pagar R$ 10.100,00 hoje para quitar a sua dívida. Sabendo-se que a taxa de juros corrente de mercado é de 2% ao mês, a troca é a) vantajosa para Paulo, pois ganhará em torno de R$ 8,00. b) vantajosa para Paulo, pois ganhará em torno de R$ 20,00. c) vantajosa para Marcus, pois economizará R$ 10,00. d) desvantajosa para Paulo, pois perderá em torno de R$ 8,00. e) desvantajosa para Paulo, pois perderá em torno de R$ 20,00. 16) RQ/8 – JUN/06. Utilizando-se o teclado do computador, deseja-se atribuir códigos para algumas funções. Para isso, deverão ser usadas no mínimo duas das três teclas SHIFT, CTRL e ALT, pressionadas simultaneamente, seguidas de dois algarismos distintos de 0 a 9. A quantidade de códigos diferentes que pode ser obtida por esse processo é de a) 216 b) 270 c) 288 d) 360 e) 400 17) RQ/13 – JUN/06. Para proteger um arquivo que continha um documento confidencial, Alberto criou uma senha com uma seqüência de 4 algarismos distintos, na qual o último algarismo é o dobro do primeiro. Para abrir o arquivo, o número máximo de tentativas diferentes é igual a a) 90 b) 112 c) 168 d) 224 e) 280 18) RQ/2 – FEV/06. Um administrador de um fundo de ações dispõe de ações de 12 empresas distintas para venda, dentre as quais encontram-se as empresas A, B e C. Ele deseja formar carteiras utilizando 8 dessas empresas de modo que as duas regras abaixo sejam satisfeitas. • A empresa A compõe a carteira se, e somente se, a empresa B também a compõe. • A empresa C compõe a carteira se, e somente se, a empresa A não a compõe Assim, o número de carteiras distintas que ele pode formar pode ser escrito como: a) 241920 7 , 9 6 , 9 = + A A b) 129 8 , 10 6 , 9 = + C C c) 120 7 , 9 6 , 9 = + C C d) 423360 8 , 9 6 , 9 = + A A e) 369 5 , 9 8 , 12 = + C C 19) RQ/5 – FEV/06. Há 10 funcionários em uma empresa, todos com curso superior completo. Desses, 4 são formados em administração, 2 em economia, 3 em contabilidade e 1 em engenharia. Selecionando-se ao acaso 4 desses funcionários, a probabilidade de cada um ser de uma área diferente é de, aproximadamente, a) 1% b) 3% c) 6% d) 8% e) 11% 20) RQ/9 – FEV/06. O valor aplicado em um fundo de renda fixa é alterado a cada mês com acréscimo de 5% em relação ao mês anterior. Se não são feitos resgates, a seqüência dos valores mensais aplicados nesse fundo é uma progressão a) geométrica de razão 0,5 b) geométrica de razão 0,005 c) geométrica de razão 1,05 d) aritmética de razão 5 e) aritmética de razão 0,05 21) RQ/12 – FEV/06. Pedro fez uma aplicação de R$ 10000,00 em um determinado banco e obteve, após 2 anos, segundo o banco, R$ 4400,00 de juros. Se a inflação foi de 10% a.a., a taxa anual de juros real ganha foi de, aproximadamente, Prof. Milton Araújo
[email protected] 134 a) 20% b) 15% c) 12% d) 10% e) 9% 22) RQ/18 – FEV/06. Analise as seguintes afirmações: I. É mais provável obter o número 4 ou 5 no lançamento de um dado do que obter dois números iguais no lançamento simultâneo de dois dados. II. Se certo produto é vendido por R$ 100,00 pela loja A e por R$ 130,00 pela loja B, pode-se dizer que, na loja B, o preço desse produto está 30% acima do praticado pela loja A, e que, nesta, o preço é 30% menor do que o praticado pela loja B. III. Obter 9 acertos em 15 tentativas é um desempenho inferior a obter 10 acertos em 16 tentativas, porém superior a obter 8 acertos em 14 tentativas. Está(ao) CORRETA(S) a) apenas I. b) apenas II c) apenas I e II d) apenas I e III e) apenas II e III 23) RQ/20 – FEV/06. Manoel fez um financiamento do R$ 20000,00 no banco Bradex, pelo prazo de 6 meses, e recebeu o valor líquido de R$ 18000,00. Se a taxa de juros que o banco cobra é de 15% a.a., há também taxa administrativa? a) Sim, o banco cobra uma taxa administrativa de 1,0%. b) Sim, o banco cobra uma taxa administrativa de 1,5%. c) Sim, o banco cobra uma taxa administrativa de 2,0%. d) Sim, o banco cobra uma taxa administrativa de 2,5%. e) Não o banco não cobra taxa administrativa. 24) RQ/3 – SET/05. Uma certa linha de ônibus parte da cidade A e vai até a cidade E , parando nas cidades B , C e D, onde podem descer ou embarcar passageiros. Em cada bilhete de passagem, apresentam-se impressos os nomes das cidades de origem e de chegada. No sentido do percurso acima, quantos tipos de bilhetes de passagens são necessários para permitir a viagem entre duas cidades quaisquer? a) 5 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20 25) RQ/12 – SET/05. O Sr. Gumercindo deve ao Banco Z 3.000 u.m. com vencimento em 2 anos e 4.500 u.m. com vencimento em 4 anos. Ele pretende saldar suas dívidas por meio de um único pagamento a ser realizado no final de 3 anos. Se a taxa de juros compostos for de 10% a.a., o valor que mais se aproxima desse pagamento único será de a) 7.900 u.m. b) 7.700 u.m. c) 7.600 u.m. d) 7.500 u.m. e) 7.400 u.m. 26) RQ/4 – JUN/05. Existem sete funcionários aptos a executar quatro tarefas distintas em uma empresa. Qualquer um deles está habilitado para realizar qualquer dessas tarefas. Assim, o gerente da empresa pode escolher quaisquer quatro dentre os sete funcionários e atribuir a cada um deles uma das quatro atividades. O número de possibilidades distintas para essa atribuição é a) 840 b) 625 c) 365 d) 35 e) 24 27) RQ/18 – JUN/05. Uma livraria coloca uma coleção de livros de Matemática Financeira à venda em dez pagamentos mensais postecipados, sendo as seis primeiras parcelas de R$ 100,00 e o restante em pagamentos de R$ 50,00. Sabendo que % ,i n a é o fator de valor presente de séries uniformes e que a taxa de juros é de 5% ao mês, uma forma de calcular o valor à vista ( ) P da coleção será a) ( ) 6 % 5 , 4 % 5 , 6 05 , 0 1 50 100 + ⋅ + ⋅ = a a P b) ( ) % 5 , 4 6 % 5 , 6 50 05 , 0 1 100 a a P ⋅ + + ⋅ = c) ( ) ( ) 4 % 5 , 4 6 % 5 , 6 05 , 0 1 50 05 , 0 1 100 + ⋅ + + ⋅ = a a P d) ( ) 10 % 5 , 4 % 5 , 6 05 , 0 1 50 100 + ⋅ + ⋅ = a a P e) ( ) ( ) 10 % 5 , 4 6 % 5 , 6 05 , 0 1 50 05 , 0 1 100 + ⋅ + + ⋅ = a a P Prof. Milton Araújo
[email protected] 135 28) RQ/19 – JUN/05. Uma loja vende um computador por R$ 2.500,00 à vista. A prazo, o preço sobe para R$ 2.700,00, sendo R$ 1.500,00 de entrada e o restante após um mês. Logo, a taxa de juros cobrada ao mês é de a) 8% b) 20% c) 25% d) 50% e) 66% 29) RQ/4 – FEV/05. Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 2, 3, 5, 6, 7 e 9? a) 130 b) 180 c) 240 d) 360 e) 180 30) RQ/7 – FEV/05. Certa aplicação rende 13% a cada ano. Considerando-se que o saldo era y em 01 de janeiro de 2001 e que não houve retiradas desde então, o saldo em 31 de dezembro de 2003 era igual a a) y y 4 13 + b) ( ) y y 4 13 , 1 + c) ( ) y y 3 13 , 1 + d) ( ) y 4 13 , 1 e) ( ) y 3 13 , 1 31) RQ/9 – FEV/05. Com as frutas abacaxi, acerola, banana, laranja, maçã e mamão, Teresa deseja preparar um suco usando três frutas distintas. A probabilidade de o suco conter laranja é de. a) 0,4 b) 0,5 c) 0,6 d) 0,7 e) 0,8 32) RQ/4 – SET/04. Sobre uma circunferência, marcam-se 9 pontos distintos. Então, a quantidade de triângulos com vértice nesses pontos marcados é a) 36 b) 63 c) 84 d) 168 e) 504 33) RQ/7 – SET/04. O Conselho Desportivo de uma escola é composto por 2 professores e 3 alunos. Candidataram-se para constituir esse Conselho 5 professores e 12 alunos. Então, o número de maneiras diferentes que este Conselho pode ser composto é a) 360 b) 1100 c) 2200 d) 3260 e) 6188 34) RQ/11 – SET/04. Uma máquina produziu 40 peças, das quais 3 eram defeituosas. Ao pegar duas peças ao acaso, a probabilidade de que pelo menos uma delas seja defeituosa é a) 130 19 b) 130 111 c) 400 67 d) 400 333 e) 40 3 35) RQ/17 – SET/04. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, a quantidade de números de 3 algarismos distintos que se podem formar é a) 120 b) 180 c) 210 d) 216 e) 343 36) RQ/17 – JUN/04. Em 20% das vezes, Paula chega atrasada ao encontro. Por sua ver, Carlos chega atrasado 25% das vezes. Sabendo que os atrasos da Paula e do Carlos são independentes entre si, então a probabilidade de, em um dia qualquer, ocorrerem ambos os atrasos é a) 0,045 b) 0,05 c) 0,25 d) 0,45 e) 0,5 37) RQ/18 – FEV/04. Sabe-se que a quantia que o Sr. João investiu em poupança é o dobro da quantia investida em ações. Se a poupança rendeu 7,5% do seu valor e as ações renderam 10% do seu valor, e se o total dos rendimentos nesse período foi de R$ 7.500,00, então a quantia que o Sr. João investiu em poupança é a) R$ 25.000,00 b) R$ 30.000,00 c) R$ 50.000,00 d) R$ 60.000,00 e) R$ 75.000,00 38) RQ/6– SET/03. Entre os 20 melhores funcionários de uma empresa, serão sorteados 4 prêmios iguais. Dentre os funcionários estão Antônio e Matias. Se cada funcionário pode receber apenas um prêmio, a probabilidade de que Antônio ou Matias façam parte dos premiados é a) 19 1 b) 19 3 c) 19 7 d) 19 12 e) 19 15 39) RQ/8– SET/03. Vinte e uma equipes disputam o Campeonato Paulista de Futebol. Quantas são as possibilidades de classificação nos dois primeiros lugares (campeão e vice-campeão)? a) 210 b) 220 c) 420 d) 441 e) 460 40) RQ/6– JUN/03. O número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 8 deputados e 3 senadores, de maneira que em cada comissão tenha pelo menos 2 senadores é a) 2 , 8 3 , 8 2 , 3 C C C + ⋅ b) 2 , 8 3 , 8 2 , 3 C C C + + c) 2 , 8 3 , 8 2 , 3 A C C ⋅ + Prof. Milton Araújo
[email protected] 136 d) 2 , 8 3 , 8 2 , 3 A A A + ⋅ e) 2 , 8 3 , 8 2 , 3 A C C + ⋅ 41) RQ/10– JUN/03. Em uma cesta com 10 frutas, 3 estão estragadas. Escolhendo 2 frutas quaisquer, a probabilidade de ambas estarem boas é a) 5 1 b) 15 7 c) 10 2 d) 10 3 e) 9 7 42) RQ/17– FEV/03. Se a cada ano o valor V de um carro diminui em 30% em relação ao seu valor do ano anterior, um carro no início do nono ano valerá a) ( ) V , 8 3 0 b) ( ) V , 9 3 0 c) ( ) V , 7 7 0 d) ( ) V , 8 7 0 e) ( ) V , 9 7 0 43) RQ/18– FEV/03. Um baralho comum é constituído de cartas com números, de 2 a 10, e cartas com letras, A (ás), J (valete), Q (dama) e K (rei). Temos um conjunto dessas cartas para cada um dos quatro naipes: copas, ouros, espadas e paus, totalizando 52 cartas. Retirando-se ao acaso uma carta desse baralho, qual é a probabilidade de ela ser um valete ou um ouros? a) 26 1 b) 13 4 c) 13 3 d) 26 3 e) 26 9 O Gabarito desta Lista está em arquivo separado. Você poderá se considerar bem preparado(a) nestes conteúdos se acertou, no mínimo, 30 questões desta lista e conseguiu resolvê-la num tempo inferior a 68 minutos. Divida as listas em módulos contendo vinte questões cada um. Assim, para cada módulo de 20 questões, você poderá avaliar o seu desempenho do seguinte modo: a) tempo ideal de resolução do módulo de 20 questões: 45 minutos; b) Número mínimo de acertos do módulo de 20 questões: 14. Prof. Milton Araújo
[email protected] 137 INSTRUÇÕES: I. Revise os Capítulos 8 a 11 – Raciocínio Quantitativo – da apostila e refaça os exemplos resolvidos em sala de aula antes de iniciar este exercício. II. Marque o tempo gasto por você para responder todas as questões. Trabalhe como se estivesse resolvendo um simulado. Não faça interrupções durante o exercício. Procure responder todas as questões em tempo contínuo. III. Assinale suas opções e confira com os gabaritos ao final da apostila. Não faça consultas prévias ao gabarito. O ideal é que você consiga acertar, no mínimo, 70% das questões. IV. Divida o tempo total gasto para resolver esta lista pelo número de questões e verifique como está sua média de tempo por questão. O tempo médio por questão é de dois minutos e quinze segundos. 1) RL/4 – FEV/07. Tio Fabiano vai dividir barras de chocolate para três sobrinhos: Rui, Sílvio e Tomé. Rui, por ser o mais velho, recebeu a metade das barras mais meia barra. Do que restou, Sílvio recebeu a metade mais meia barra e para Tomé, que é o mais novo, sobrou uma barra. Assim, a quantidade de barras que Sílvio recebeu foi a) 1,5 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 3,5 2) RL/20 – JUN/06. Em 8 horas, uma colônia que começou com 4 bactérias multiplica-se e preenche o espaço reservado para sua cultura. Se o número de indivíduos dessa espécie duplica a cada hora, começando-se com apenas uma bactéria, o mesmo espaço será preenchido em a) 10 horas b) 12 horas c) 16 horas d) 24 horas e) 32 horas 3) RL/10 – FEV/06. Sabe-se que Nei tem um filho a menos que seu irmão Paulo; este, por sua vez, tem um filho a menos que Raul. Se Raul tem o dobro de filhos que Nei, então os três irmãos, Nei, Paulo e Raul, têm, em conjunto, a) 6 filhos b) 7 filhos c) 8 filhos d) 9 filhos e) 10 filhos 4) RL/4 – JUN/05. Paulo é professor de Matemática e adora propor aos seus alunos desafios matemáticos. Um dia, ele propôs o seguinte desafio: “Joãozinho tem um saco de balas. Ele deu a metade das balas e mais uma bala para Pedro. Em seguida, deu para Ari a metade do que restou e mais uma bala. Restou-lhe ainda uma bala. Quantas balas havia no saco?” Um dos alunos, rapidamente, deu a seguinte resposta: “A metade do número de alunos desta turma menos um”. O número de alunos naquela turma era a) 30 b) 28 c) 23 d) 22 e) 20 5) RL/17 – JUN/05. Duas irmãs receberam uma herança em moedas de ouro. A irmã mais velha recebeu um terço da herança mais meia moeda. A irmã mais nova recebeu cinco moedas e meia. Logo, a mais velha recebeu a) 3 moedas b) 3 moedas e meia c) 5 moedas d) 5 moedas e meia e) 9 moedas 6) RL/2 – FEV/05. Três irmãs possuem idades, em anos completos, de tal modo que a primogênita é 4 anos mais velha que a caçula e esta é 2 anos mais nova que a irmã do meio. Sabe-se que a soma das idades das três irmãs é igual a um número de dois algarismos iguais. Também é conhecido que a soma das idades das duas irmãs mais velhas resulta em um número cujo algarismo das unidades é igual ao algarismo do resultado da soma das três idades e cujo algarismo das dezenas é igual ao algarismo das unidades menos 2. portanto, pode-se concluir que a soma das idades das três irmãs é igual a a) 44 anos b) 55 anos c) 66 anos d) 77 anos e) 88 anos 7) RL/4 – FEV/05. Hoje, Jorge tem o triplo da idade de seu filho Manoel. Daqui a 5 anos, Manoel terá 20 anos. Qual será a idade de Jorge quando seu filho Manoel completar 20 anos? a) 50 anos b) 45 anos c) 40 anos d) 35 anos e) 25 anos 8) RL/1 – JUN/04. Observe a seqüência de triângulos eqüiláteros. Prof. Milton Araújo
[email protected] 138 Os números associados a cada um desses triângulos são chamados de números triangulares. Desse modo, podemos dizer que o sétimo termo dessa seqüência é a) 15 b) 21 c) 28 d) 32 e) 36 9) RL/4 – JUN/04.Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80 cm, com velocidade constante de 1 m/s. Em 2 minutos, ela dará a) 90 passos b) 120 passos c) 150 passos d) 180 passos e) 240 passos 10) RL/7 – JUN/04.O sexto termo da seqüência ; 49 64 ; 36 25 ; 9 16 ; 4 1 ... é a) 100 81 b) 81 100 c) 121 100 d) 144 121 e) 121 144 11) RL/9 – JUN/04. Em uma festa, foram servidos dois tipos de bebidas alcoólicas: vinho e cerveja. Sabe-se que havia 55 pessoas, das quais 30 tomaram cerveja, 15 tomaram vinho e 20 tomaram apenas refrigerantes. Sabe-se que todos tomaram uma das três bebidas. Então, o número de pessoas que tomaram cerveja, mas não tomaram vinho é a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 12) RL/2 – FEV/04. A lacuna da seqüência 1, 2, 9, ___, 625, 7776 é completada por a) 10 b) 11 c) 64 d) 81 e) 256 13) RL/13 – FEV/04. Mário foi ao shopping comprar cinco presentes. Sabe-se que ele comprou os presentes em lojas diferentes e que, em cada loja, gastou metade do que ainda possuía. No final da tarde, após as compras, ele fez um lanche que custou R$ 5,00 e ainda lhe restou R$ 15,00. Logo, Mário possuía, inicialmente, a) R$ 266,00 b) R$ 320,00 c) R$ 640,00 d) R$ 676,00 e) R$ 740,00 14) RL/6 – SET/03. Um caixa eletrônico trabalha apenas com notas de R$ 50,00 e R$ 100,00. Se uma pessoa tirou doze notas, num total de R$ 800,00, então a quantidade de notas de R$ 100,00 é a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 15) RL/2 – JUN/03. O peso de Ana é o dobro do peso de Bia. Bia pesa 70% do peso de Cléo. Deise pesa 60% do peso de Eli. Eli pesa 150% do peso de Ana. Quem pesa MENOS é a) Ana b) Bia c) Cléo d) Deise e) Eli 16) RL/6 – JUN/03. Uma determinada espécie de alga se reproduz dividindo-se em duas a cada dia. Assim, no primeiro dia tem-se uma; no segundo, duas; no terceiro, quatro; no quarto, oito e assim sucessivamente. Se, iniciando-se com uma dessas algas e nenhuma delas morrer, são necessários 20 dias para preencher determinado volume, então, começando com duas dessas algas sem que nenhuma morra, o mesmo volume será preenchido em a) 8 dias b) 9 dias c) 10 dias d) 15 dias e) 19 dias 17) RL/11 – JUN/03. Um copo completamente cheio de água “pesa” 275 gramas. Mas se metade da água for jogada fora, seu “peso” cairá para 165 gramas. Então, o “peso” deste copo é a) 32,5 gramas b) 42,5 gramas c) 55 gramas d) 75 gramas e) 110 gramas 18) RL/12 – JUN/03. Os números naturais não-nulos são dispostos de acordo com a tabela abaixo: Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4 1 2 3 6 5 4 7 8 9 12 11 10 13 14 Prof. Milton Araújo
[email protected] 139 Baseando-se na disposição apresentada na tabela, os números 2003 e 2006 ocuparão, respectivamente, as colunas a) 4 e 1 b) 1 e 4 c) 3 e 2 d) 2 e 3 e) 1 e 3 19) RL/19 – JUN/03. O próximo número da seqüência ,... 2 7 , 2 3 , 2 1 , 2 5 − − é a) 2 9 b) 2 10 c) 2 11 d) 2 12 e) 2 13 20) RL/17 – FEV/03. No conjunto dos números naturais positivos, o produto das soluções da inequação 2 4 2 ≤ − x é a) 0 b) 6 c) 7 d) 12 e) 24 21) RL/19 – FEV/03. A equação 8 8 8 8 8 − + = − + x x x , x ≠ 8 a) possui uma única raiz real. b) possui exatamente duas raízes reais. c) possui infinitas raízes reais. d) não possui raiz real. e) possui uma raiz imaginária. 22) RL/20 – FEV/03. Se subtrair quatro unidades de um certo número, obtém-se o triplo de sua raiz quadrada. Então, o valor desse número é a) 4 b) 8 c) 16 d) 19 e) 24 23) RQ/4 – FEV/07. O custo fixo mensal para produzir até 1.000 unidades de um determinado produto é de R$ 300,00, e o custo variável para produzir cada unidade do mesmo produto é de R$ 2,00. O custo fixo mensal existirá independentemente da quantidade .produzida no mês, desde que não ultrapasse o limite de 1.000 unidades. O custo variável unitário, por sua vez, existirá apenas para cada unidade produzida, desde que o limite de 1.000 unidades também não seja ultrapassado. Sabendo-se que cada unidade do referido produto é vendida por R$ 3,00, o número mínimo de unidades que devem ser produzidas e vendidas para que todos os custos sejam pagos é de a) 700 peças b) 600 peças c) 500 peças d) 400 peças e) 300 peças 24) RQ/8 – FEV/07. Os pontos nos quais a função ( ) 12 4 2 − − = x x x f toca o eixo x e o vértice desta parábola formam um triângulo. A área do triângulo formado, em unidades de área (u. a.) é a) 128 u. a. b) 64 u. a. c) 32 u. a. d) 16 u. a. e) 8 u. a. 25) RQ/11 – FEV/07. Analise a veracidade das seguintes proposições. I. O valor de | . | \ | 2 7 cos π é 1. II. A imagem da função senx y 2 = é o intervalo [-2, 2]. III. O gráfico das funções x y ln = e x e y = são simétricos em relação à reta y x = . Sobre a veracidade dessas proposições, pode-se afirmar que são verdadeiras as afirmações a) II, apenas b) III, apenas c) I e III, apenas d) II e III, apenas e) I, II e III 26) RQ/14 – FEV/07. Em uma lanchonete, são gastos R$ 6,00 para se comprar três pastéis, dois copos de refrigerante e uma porção de batatas fritas. Sabe-se que a mesma quantia de dinheiro é gasta para se comprar dois pastéis, um copo de refrigerante e três porções de batatas fritas. Logo, pode-se concluir que a) um pastel mais um copo de refrigerante custam o mesmo que duas porções de batatas fritas. b) um pastel, um copo de refrigerante e uma porção de batatas fritas custam R$ 4,00. c) um pastel, um copo de refrigerante e uma porção de batatas fritas custam R$ 6,00. d) um pastel custa R$ 2,00 e um copo de refrigerante custa R$ 1,50. e) todos custam menos de R$ 1,00. Prof. Milton Araújo
[email protected] 140 27) RQ/17 – FEV/07. Uma caixa d’água tem um escoamento constante de 200 litros de água por hora. Sabe-se que quando o nível da caixa atinge 100 litros, um reabastecimento – com vazão constante de 205 litros de água por hora – é acionado automaticamente até que a caixa atinja seu nível máximo. Se a capacidade total da caixa é de 600 litros e o reabastecimento foi acionado nesse momento, ele será acionado novamente daqui a a) 2 horas e 30 minutos b) 2 horas e 24 minutos c) 4 dias e 4 horas. d) 4 dias, 6 horas e 30 minutos e) 4 dias, 6 horas e 50 minutos 28) RQ/18 – FEV/07. Dada a seqüência de números 1, 20, 6, 15, 11, 10, ..., o décimo primeiro e o décimo segundo termos (dessa seqüência) são, respectivamente, a) 60 e 30 b) 31 e -10 c) 26 e -5 d) 16 e 5 e) 21 e 0 29) RQ/1 – SET/06. Um comerciante compra uma caixa com barras de chocolate por R$ 100,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar 10 barras e aumentar o preço da dezena em R$ 5,00. Então, o número original de barras de chocolate na caixa era a) 31 b) 37 c) 40 d) 50 e) 51 30) RQ/5 – SET/06. Roberval plantou 165 mudas de árvores frutíferas em canteiros, de modo que, no segundo canteiro, plantou o dobro de mudas do primeiro; no terceiro, plantou tantas mudas quantas nos dois anteriores juntos; no quarto canteiro, plantou um número de mudas igual à soma do primeiro canteiro com o canteiro anterior, no quinto canteiro, plantou um número de mudas igual à soma do primeiro canteiro com o canteiro anterior e assim por diante, até plantar todas as mudas. Sabendo-se que ele usou o maior número de canteiros possível e o número de canteiros é menor que 12, em quantos canteiros ele plantou as mudas? a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7 31) RQ/11 – SET/06. A empresa ABC adquiriu uma máquina por R$ 15.000,00 que, seis anos após a data da compra, tinha um valor estimado de R$ 12.000,00. Admitindo que a depreciação seja linear, é CORRETO afirmar que a) o valor estimado da máquina será nulo em 30 anos após a data da compra. b) a depreciação total estimada, 10 anos após a data da compra é de R$ 4.500,00. c) uma equação que representa essa depreciação é x d 600 = , onde d representa o valor da depreciação total estimada em x anos após a data da compra. d) uma equação que representa o valor y estimado da máquina, x anos após a data da compra, é 15000 500 + = x y . e) uma equação que representa o valor y estimado da máquina, x anos após a data da compra, é x y − = 30 . 32) RQ/12 – SET/06. O economista italiano Vilfrido Pareto, grande estudioso sobre distribuição de renda, propôs um modelo matemático para distribuição de renda conhecido como Lei de Pareto. O modelo simplificado é dado pela seguinte função: α x A y = onde y é o número de pessoas cujas rendas são superiores ou iguais a x ; x é a renda de um indivíduo da população considerada; A é uma constante que depende da população em questão; e α é o parâmetro que caracteriza a distribuição de renda. Se numa certa população a distribuição de renda é dada por 3 15 10 80 x y ⋅ = onde a renda é dada em reais, é CORRETO concluir que 10.000 pessoas ganham rendas superiores ou iguais a a) R$ 80.000,00 b) R$ 60.000,00 c) R$ 20.000,00 d) R$ 8.000,00 e) R$ 2.000,00 Prof. Milton Araújo
[email protected] 141 33) RQ/15 – SET/06. Sobre os gráficos das funções f : IR → IR, definida por ( ) x x f = e g : IR → IR, definida por ( ) 2 3 2 + − = x x x g , é CORRETO afirmar que se interceptam em a) um único ponto de abscissa positiva. b) um único ponto de abscissa negativa. c) dois pontos distintos com abscissas de sinais contrários. d) dois pontos distintos com abscissas de mesmo sinal. e) mais de dois pontos. 34) RQ/17 – SET/06. Uma empresa para produzir um determinado produto, pode utilizar dois processos distintos. Para o processo A tem-se um custo fixo de R$ 100,00 mais R$ 5,00 por unidade produzida. Já para o processo B tem-se um custo fixo de R$ 60,00 mais R$ 6,00 por unidade produzida. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a) os custos são menores utilizando-se o processo A. b) os custos são menores utilizando-se o processo B. c) para produzir 40 unidades do produto, o custo é menor pelo processo A. d) para produzir até 40 unidades do produto, o custo é menor pelo processo A. e) para produzir até 40 unidades do produto, o custo é menor pelo processo B. 35) RQ/19 – SET/06. O lucro na venda de x unidades mensais de certo produto é descrito por uma função de 2º grau representada pela figura a seguir. O lucro máximo, em reais, é a) R$ 63.000,00 b) R$ 62.500,00 c) R$ 62.000,00 d) R$ 62,50 e) R$ 62,00 36) RQ/20 – SET/06. Seja Q1 um quadrado de lado 2 cm, cujos vértices são A, B, C e D, e cujos lados são AB , BC , CD e DA. Consideremos os pontos médios 1 A , 1 B , 1 C e 1 D dos respectivos lados citados de Q1 e construímos um novo quadrilátero Q2, cujos lados são 1 1 B A , 1 1 C B , 1 1 D C e 1 1 A D . Consideremos os pontos médios 2 A , 2 B , 2 C e 2 D dos respectivos lados ditados de Q2 e construímos um novo quadrilátero Q3, cujos lados são 2 2 B A , 2 2 C B , 2 2 D C e 2 2 A D . Seguiremos esse procedimento até construir o quadrilátero Q5. Assim, a soma das áreas Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5 é a) 4 31 2 cm b) | | . | \ | + 2 2 3 7 2 cm c) 64 341 2 cm d) 2 20 2 cm e) 40 2 cm 37) RQ/1 – JUN/06. Sejam A = {3, 4, 5} e f uma função de A em A definida por ( ) 5 3 = f , ( ) 3 4 = f e ( ) 4 5 = f . O conjunto-solução de ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 4 f f f f − é a) -2 b) -1 c) 0 d) 2 e) 4 38) RQ/3 – JUN/06. Num caminhão podem-se carregar 50 sacos de cimento ou 400 tijolos. Se forem colocados nele 42 sacos de cimento, ainda podem-se carregar nesse caminhão, no máximo, a) 54 tijolos b) 64 tijolos c) 68 tijolos d) 72 tijolos e) 82 tijolos Prof. Milton Araújo
[email protected] 142 39) RQ/4– JUN/06. Vitor comentou com seu tio Carlos que tinha uma economia de x reais, e este lhe propôs uma brincadeira: cada vez que Vitor executasse uma tarefa, seu tio duplicaria o dinheiro que Vitor tem, mas com a condição de que, após isso, o sobrinho lhe desse 8 reais. nessas condições, é CORRETO afirmar que as economias de Vitor a) aumentarão se ele tiver 10 reais. b) diminuirão se ele tiver 10 reais. c) não se alterarão se ele tiver 10 reais. d) aumentarão independente do valor de x . e) diminuirão independente do valor de x . 40) RQ/5 – JUN/06. Giovana gasta 3/8 do seu salário com o aluguel e R$ 42,00 com o transporte. Considerando-se que seu salário é de R$ 840,00, o percentual do salário gasto com esses dois itens é de a) 35,5% b) 37,5% c) 40,5% d) 42,5% e) 45,5% 41). RQ/6 – JUN/06. A quantidade de números inteiros que satisfazem a inequação 16 6 2 < − x x é a) 5 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 42) RQ/7 – JUN/06. Dulce faz uma dieta e precisa pesar todos os alimentos que consome, mas sua balança só é confiável para cargas com mais de 300g. Considerando-se que ela precisa saber o peso de uma maçã, de uma pêra e de um caqui e que as frutas do mesmo tipo têm o mesmo peso, ela adotou o seguinte procedimento: colocou na balança uma maçã e uma pêra e registrou 330g; uma maçã e um caqui e registrou 390g; uma pêra e um caqui e registrou 360g. Então,o peso de uma maçã e duas pêras é de a) 540g b) 525g c) 510g d) 495g e) 480g 43) RQ/9 – JUN/06. Joaquim foi abastecer o reservatório de água cujo nível estava na marca de 1/6 e observou que, quando foram colocados 21 litros, o nível de água subiu para a marca de 3/4. A capacidade do reservatório é de a) 27 litros b) 28 litros c) 36 litros d) 63 litros e) 84 litros 44) RQ/10 – JUN/06. Se ( ) ( ) ( ) 371 52 3 ... 8 3 4 3 3 = + + + + + + + x x x x , o valor de x − 3 pode ser a) 1/27 b) 1/4 c) 1/2 d) 2 e) 27 45) RQ/14 – JUN/06. Considere a equação 48 5 5 2 = − + x x . O valor de 2 5 + x é a) 23 b) 25 c) 50 d) 75 e) 125 46) RQ/16 – JUN/06. Ester comprou um livro pela Internet, e o valor pago, incluindo as despesas de envio, foi de R$ 63,28. Sabendo-se que a despesa do envio representa 12% do valor do livro, pode-se afirmar que o valor da despesas do envio foi a) maior que R$ 6,50 e menor que R$ 6,90. b) maior que R$ 6,20 e menor que R$ 6,50. c) maior que R$ 6,90 e menor que R$ 7,10. d) maior que R$ 7,10. e) menor que R$ 6,20. 47) RQ/18 – JUN/06. Renato comprou um lote de laranjas e num dia vendeu uma certa quantidade delas a R$ 0,30 o quilo, obtendo um lucro de R$ 9,00. Em outro dia, vendeu a mesma quantidade das laranjas desse lote a R$ 0,50 o quilo, obtendo um lucro de R$ 21,00. Considerando-se essas informações, qual o preço de cada quilo de laranjas do lote originalmente comprado por Renato? a) R$ 0,11 b) R$ 0,12 c) R$ 0,15 d) R$ 0,18 e) R$ 0,20 48) RQ/20 – JUN/06. O lucro obtido com a venda de uma unidade de calças é ( ) 15 − x u.m., em que x u.m. é o preço de venda e 15 u.m, o preço de custo. A quantidade vendida depende do preço de venda e é igual a ( ) x − 85 . Nessas condições, o lucro máximo obtido com a venda das calças é de a) 1000 u.m. b) 1025 u.m. c) 1125 u.m. d) 1200 u.m. e) 1225 u.m. Prof. Milton Araújo
[email protected] 143 49) RQ/20 – JUN/06. Uma fábrica produz certo tipo de cadeira ao custo de R$ 30,00 cada. Se a fábrica vender ( ) q 4 242 − cadeiras por mês, onde q é o preço em reais de cada cadeira, o valor de q para que a fábrica tenha lucro máximo é a) R$ 15,25 b) R$ 18,00 c) R$ 33,25 d) R$ 40,50 e) R$ 45,25 50) RQ/8 – FEV/06. Marcelo comprou de um feirante tomates, abóboras e cebolas, cujos preços respectivos por quilograma eram de R$ 2,50, R$ 0,50 e R$ 0,80. O feirante tinha uma balança de equilíbrio e havia perdido os pesos menores, impossibilitando que se realizasse a pesagem individual. Assim, ele fez a pesagem, da seguinte forma: • Tomates, abóboras e cebolas pesaram, juntos, 10 kg; • Abóboras e cebolas pesaram, juntos, 7 kg; • Abóboras e tomates pesaram, juntos, 8 kg. Quanto Marcelo pagou ao feirante pelos tomates, abóboras e cebolas? a) R$ 9,00 b) R$ 9,60 c) R$ 9,90 d) R$ 10,30 e) R$ 11,60 51) RQ/11 – FEV/06. As fábricas Alfa e Beta produzem videocassetes. Os lucros dessas empresas são dados, respectivamente, por ( ) 2 200 100000 12000 x x x L − − = α e ( ) 20000 1000 + = x x L β , onde x representa a quantidade vendida mensalmente e 60 0 ≤ ≤ x . O lucro de Alfa supera o de Beta quando a quantidade vendida no mês a) é superior a 15. b) é inferior a 40. c) é superior a 10 e inferior a 50. d) é superior a 15 e inferior a 40. e) é inferior a 10 e superior a 50. 52) RQ/15 – FEV/06. Ontem, Paulo comprou, numa loja de conveniência, 2 litros de leite, 5 pães e 3 doces por R$ 5,00. hoje, ele comprou, na mesma loja, os mesmos produtos, porém, em quantidades diferentes: 1 litro de leite, 3 pães e 2 doces por R$ 3,10. Se, amanhã, ele comprar 1 litro de leite, 2 pães e 1 doce, quanto pagará, supondo-se que não houve alteração de preços nesses três dias? a) R$ 1,00 b) R$ 1,50 c) R$ 1,90 d) R$ 2,10 e) R$ 2,70 53) RQ/17 – FEV/06. Se y x a a log log = , com a > 1 e 0 , > y x , então y x = . Qual das alternativas abaixo avalia e justifica corretamente essa afirmação? a) Falsa, pois a função logaritmo não é injetora. b) Falsa, pois a função logaritmo não é contínua. c) Verdadeira, pois a função logaritmo é contínua. d) Verdadeira, pois a função logaritmo (com base maior que 1) é constante. e) Verdadeira, pois a função logaritmo (com base maior que 1) é estritamente crescente. 54) RQ/5 – SET/05. Um pai repartiu seu capital em partes iguais entre seus três filhos. Hoje, a parte do primeiro está aumentada de 2/3 em relação ao que recebeu, a do segundo, diminuída de 3/5, e a do último está igual. Sabendo-se que o primeiro tem 190.000 u.m. a mais que o segundo, as fortunas atuais do primeiro, do segundo e do terceiro filho são, respectivamente, a) 500.000 u.m., 310.000 u.m. e 300.000 u.m. b) 310.000 u.m., 120.000 u.m. e 300.000 u.m. c) 290.000 u.m., 100.000 u.m. e 150.000 u.m. d) 250.000 u.m., 60.000 u.m. e 150.000 u.m. e) 250.000 u.m., 100.000 u.m. e 120.000 u.m. 55) RQ/6 – SET/05. A fazenda Gaves cria gado e frango. Se, em dado momento, há, no total, 135 cabeças e 352 pernas de animais em criação, o número de frangos é a) 41 b) 46 c) 54 d) 94 e) 108 56) RQ/7 – SET/05. Num restaurante, podem ser atendidas 204 pessoas simultaneamente. Para que se sentem no máximo seis pessoas em cada mesa, o número de mesas devem ser, pelo menos, Prof. Milton Araújo
[email protected] 144 a) 25 b) 27 c) 34 d) 36 e) 40 57) RQ/8– SET/05. A inequação ( )( ) 0 2 1 ≥ − − x x é satisfeita se a) 1 ≤ x ou 2 ≥ x b) 2 1 ≤ ≤ x c) 2 ≤ x d) 2 ≥ x e) 1 ≥ x 58) RQ/9 – SET/05. Numa festa, havia 50 pessoas que dançavam. A primeira mulher dançou com 3 homens; a segunda, com 4; a terceira, com 5 e assim sucessivamente, até que a última mulher dançou com todos os homens. Assim, dançaram no baile a) 23 homens e 27 mulheres b) 25 homens e 25 mulheres c) 26 homens e 24 mulheres d) 28 homens e 22 mulheres e) 30 homens e 20 mulheres 59) RQ/1 – SET/05. Num certo país, o imposto de renda é cobrado da seguinte forma: os que têm rendimento até 1500 u. m. (unidades monetárias) são isentos; aos que possuem renda entre 1500 u. m. e 6000 u. m., cobra-se um imposto de 10%; acima de 6000 u. m., o imposto é de 20%. Qual dos seguintes gráficos melhor representa a situação acima descrita? a) b) c) d) e) 60) RQ/13 – SET/05. No gráfico abaixo, têm-se a oferta de fundos de investimentos e a procura de fundos de investimentos, para as quais 0 i é a taxa pura de juros e 0 M é o montante de capital. Sobre esse gráfico, é correto afirmar que Prof. Milton Araújo
[email protected] 145 a) 0 M corresponde ao retorno máximo esperado de um investimento. b) 0 M corresponde ao retorno mínimo esperado de um investimento. c) a taxa 0 i é uma taxa de juros pura porque inclui o fator de risco, o qual está associado às operações de mercado. d) admitindo-se a hipótese de mercado perfeito, qualquer valor pode ser obtido ou aplicado a uma taxa maior que 0 i . e) a taxa 0 i corresponde à situação de equilíbrio, segundo a qual o montante de capital procurado é 0 M . 61) RQ/16 – SET/05. A empresa Vax fabrica um determinado produto. Se o lucro da produção de x unidades é dado por ( ) ( )( ) 67 3 6 − − − = x x x L , quantas unidades a fábrica deveria produzir para obter o lucro máximo? a) 213 b) 85 c) 35 d) 32 e) 18 62) RQ/19 – SET/05. Considerando-se que uma tonelada ( ) t de areia custa 15 u.m. e que uma tonelada de brita custa 150 u.m., qual dos gráficos abaixo melhor representa as quantidades de areia e de brita que podem ser compradas com 900 u.m.? a) b) c) d) Prof. Milton Araújo
[email protected] 146 e) 63) RQ/20 – SET/05. Sendo { } 3 1 ≤ < − ℜ ∈ = x x A , { } 5 2 ≤ < ℜ ∈ = x x B e { } 1 − ≤ ℜ ∈ = x x C , podemos afirmar que a) C B A = − b) { } 5 1 ≤ ≤ − ℜ ∈ = ∪ ∪ x x C B A c) ( ) { } 1 − = − ∪ C B A d) ( ) B B C A = − ∩ e) = ∩ ∩ C B A ∅ 64) RQ/7 – JUN/05. Uma firma produz, mensalmente, uma quantidade x do produto Belex e pode vender toda a produção mensal a um preço de R$ 20,00 a unidade. Se x unidades de Belex são produzidas mensalmente, o custo total, em reais é dado pela função: ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≤ < + ≤ < + ≤ ≤ + = 150 0 10 , 220 2 100 0 5 , 115 2 50 0 , 10 2 x x x x x x x C Para que a empresa tenha um lucro mensal de R$ 1000,00, a quantidade de unidades do produto Belex que deve ser produzida e vendida mensalmente é, aproximadamente, a) 46 b) 56 c) 62 d) 75 e) 80 65) RQ/10 – JUN/05. Certa empresa oferece a seus funcionários, mensalmente, vales-refeição nos valores de R$ 15,00 e R$ 25,00. Um funcionário recebeu 80 vales, correspondentes a um total de R$ 1.700,00. Sabe-se que ele recebeu vales dos dois valores. Logo, pode-se concluir que o funcionário recebeu a) 30 vales de R$ 25,00 b) 50 vales de R$ 15,00 c) 50 vales de R$ 25,00 d) 60 vales de R$ 15,00 e) 60 vales de R$ 25,00 66) RQ/20 – JUN/05. Sendo f a função real definida por ( ) 1 + = x x f , o valor de ( ) ( ) | | 2 2 f f é a) 100 b) 64 c) 25 d) 16 e) 9 67) RQ/1 – FEV/05. O valor da expressão ab b a − − 1 3 2 para 3 1 = a e 2 1 = b é a) 5 6 − b) -1 c) 0 d) 1 e) 5 6 68) RQ/8 – FEV/05. Se a fração q p é equivalente a 7 8 e a soma de seus termos é 90, q p − vale a) 1 b) 4 c) 6 d) 8 e) 15 69) RQ/15 – FEV/05. O lucro de uma empresa é dado pela expressão ( ) ( )( ) x x x L − − = 4 20 200 , em que x é a quantidade de produtos vendidos. Diante disso, pode-se afirmar que a) o lucro é máximo para x igual a 24. b) o lucro é positivo para x maior que 12. c) o lucro é negativo para x menos que 14. d) o lucro é positivo para x entre 4 e 20. e) o lucro é positivo para qualquer valor de x . 70) RQ/16 – FEV/05. Uma bactéria de determinada espécie divide-se em duas a cada 2 horas. Prof. Milton Araújo
[email protected] 147 Decorridas 10 horas, quantas bactérias terão sido originadas a partir de uma única bactéria? a) 10 b) 12 c) 20 d) 32 e) 48 71) RQ/17 – FEV/05. Sabe-se que dois sistemas são equivalentes se toda solução de um for também solução do outro. Para que os sistemas ¹ ´ ¦ + = − = − 2 4 : 1 a by x a y ax S e ¹ ´ ¦ = − = − 0 3 0 2 : 2 y x S sejam equivalentes, o valor de b a + é a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 72) RQ/18 – FEV/05. O valor numérico de ( ) ( ) ( ) p n n n n − + + − + − + ... 2 1 para 9 = n e 4 = p é a) 13 b) 30 c) 35 d) 36 e) 39 73) RQ/19 – FEV/05. As funções de oferta e de demanda de um produto são dadas pelas expressões oferta: x p 5 , 0 20 + = e demanda: x p 3 125 − = em que x é a quantidade e p é o preço do produto. Então, a quantidade que equilibra a demanda e a oferta é igual a a) 30 b) 35 c) 42 d) 50 e) 56 74) RQ/1 – SET/04. Seja x um número real. Se os números 3 20x e 2 15x são dois números inteiros consecutivos, então o valor de x pode ser a) 6 5 b) 10 12 c) 12 18 d) 10 18 e) 5 12 75) RQ/10 – SET/04. A solução da equação 81 1 3 6 5 = + x conjunto dos números reais é a) 2 3 b) 3 2 c) 6 1 − d) 3 2 − e) 2 3 − 76) RQ/12 – SET/04. Maria e Paula ganharam comissões sobre vendas, sendo que Paula recebeu R$ 75,00 a mais que Maria. Se a razão das comissões recebidas por Maria e Paula está na razão de 4 para 9, então Paula recebeu a) R$ 90,00 b) R$ 135,00 c) R$ 180,00 d) R$ 225,00 e) R$ 375,00 77) RQ/15 – SET/04. Sejam x a quantidade e p o preço, em reais, de um produto. Se a equação de demanda for 50 2 2 + + − = p p x e a equação de oferta for 30 4 2 − − = p p x , então o preço de equilíbrio é a) R$ 5,00 b) R$ 8,00 c) R$ 10,00 d) R$ 13,33 e) R$ 40,00 78) RQ/16 – SET/04. Em uma prova de 20 questões, cada resposta certa vale 5 pontos e cada resposta errada vale -2 pontos. André respondeu a todas as questões, obtendo 51 pontos. Então, o número de questões que André acertou foi a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15 79) RQ/18 – SET/04. José deixou R$ 636,00 para dividir entre Ana, Bia e Carla. Se a parte de Ana é um terço da de Bia e se a de Carla é o dobro das partes de Ana e Bia juntas, então Bia recebeu a) R$ 81,00 b) R$ 109,00 c) R$ 141,00 d) R$ 159,00 e) R$ 243,00 80) RQ/20 – SET/04. O número que somado aos seus 5 4 resultando 36 é a) um número ímpar b) múltiplo de 6 c) múltiplo de 8 d) múltiplo de 9 e) múltiplo de 10 81) RQ/2 – JUN/04. As medidas dos ângulos internos de triângulo estão em progressão aritmética de razão 18º. A medida do menor ângulo deste triângulo é a) 18º b) 42º c) 52º d) 60º e) 78º Prof. Milton Araújo
[email protected] 148 82) RQ/4 – JUN/04. Compraram-se refrigerante a R$ 1,40 o litro e chope a R$ 3,80 o litro. O número de litros de refrigerante ultrapassa o de chope em 10. A soma paga pelo chope foi de R$ 70,00 a mais do que a paga pelo refrigerante. Então, a quantidade de litros de chope comprada foi a) 35 b) 40 c) 42 d) 51 e) 60 83) RQ/6 – JUN/04. Seja f a função definida por ( ) x x f 2 = . Então, ( ) ( ) a f a f − +1 é igual a a) 1 b) 2 c) 2 2 d) a 2 e) a 2 2 84) RQ/12 – JUN/04. João havia gasto 5 3 do tanque de combustível e precisou colocar 36 litros para completá-lo. Antes de enchê-lo, no tanque havia a) 16 litros de combustível b) 24 litros de combustível c) 5 3 do tanque de combustível d) 3 5 do tanque de combustível e) 3 2 do tanque de combustível 85) RQ/14 – JUN/04. O salário de Renata é igual a 5 3 do salário de Marta. No entanto, se Renata tivesse um acréscimo de R$ 500,00 em seu salário, passaria a ter um salário igual ao de Marta. A soma dos salários de Renata e Marta é a) R$ 750,00 b) R$ 1.000,00 c) R$ 1.250,00 d) R$ 2.000,00 e) R$ 2.100,00 86) RQ/17 – JUN/04. Em 20% das vezes, Paula chega atrasada ao encontro. Por sua ver, Carlos chega atrasado 25% das vezes. Sabendo que os atrasos da Paula e do Carlos são independentes entre si, então a probabilidade de, em um dia qualquer, ocorrerem ambos os atrasos é a) 0,045 b) 0,05 c) 0,25 d) 0,45 e) 0,5 87) RQ/19 – JUN/04. Para que a raiz da equação 0 = + b ax seja negativa, é suficiente que a) a seja positivo b) b seja positivo c) b seja negativo d) a e b sejam positivos e) a seja positivo e b seja negativo 88) RQ/1 – FEV/04. Em uma transportadora, o preço de envio de uma mercadoria é R$ 1,20 o kg para os primeiros 20 kg e R$ 0,80 o kg para a quantidade que exceder 20 kg. Para enviar uma mercadoria que pesa 24,5 kg, o preço será a) R$ 24,50 b) R$ 26,00 c) R$ 27,60 d) R$ 28,00 e) R$ 29,40 89) RQ/2 – FEV/04. Uma casa é avaliada em R$ 24.000,00. Este valor é 60% do valor de venda. Se a cada R$ 1.000,00 do valor de venda deve ser pago um imposto de R$ 3,00, então o valor do imposto dessa casa é a) R$ 72,00 b) R$ 90,00 c) R$ 120,00 d) R$ 360,00 e) R$ 720,00 90) RQ/5 – FEV/04. O custo para imprimir cada panfleto é de x u. m. (unidades monetárias) para as primeiras 300 cópias. Par cada cópia excedente o custo passa a ser | . | \ | − 10 y x u. m. Então, o custo para imprimir 2000 panfletos é de a) ( ) y x 170 2000 − u.m. b) ( ) y x 30 2000 − u.m. c) ( ) y x 170 1700 − u.m. d) x 2000 u.m. e) y 2000 u.m. 91) RQ/14 – FEV/04. Se o produto de dois números é 6 e um dos números é 3 2 , então a soma dos dois números é a) 3 14 b) 3 16 c) 3 18 d) 3 20 e) 3 29 92) RQ/15 – FEV/04. Patrícia recebe um salário de R$ 800,00 por mês. No mês de dezembro ela fez outros trabalhos e recebeu R$ 400,00 a mais. Supondo que, com exceção de dezembro, em todos os demais meses ela recebeu a mesma quantia, ou seja, apenas o salário. Então, a porcentagem que representa o ganho do mês de dezembro em relação ao ano, é a) 9% b) 10% c) 11% d) 12% e) 13% Prof. Milton Araújo
[email protected] 149 93) RQ/4 – SET/03. O custo total, em reais, de uma empresa é expresso pela função 25 3 2 + + = x x C T , 0 ≥ x . O nível atual de produção é de duas unidades, ou seja, 2 = x . Se essa empresa aumentar a produção em uma unidade, então o custo médio aproximado de cada unidade a) aumentará em R$ 8,00 b) aumentará em R$ 5,15 c) aumentará em R$ 4,00 d) diminuirá em R$ 2,23 e) diminuirá em R$ 3,17 94) RQ/9 – SET/03. Uma loja compra camisetas a R$ 8,00 a unidade, revendendo-as por R$ 20,00 e, a esse preço, vende 100 camisetas por mês. Para estimular a venda, a loja planeja reduzir o preço de venda. Estima-se que, para cada redução de R$ 1,00 no preço, a loja venderá 25 camisetas a mais por mês. A função que expressa o lucro L em função do número de reduções x no preço é a) 1200 200 25 2 + + − = x x L b) x x L 25 125 2 − − = c) 5 300 25 2 + − − = x x L d) 300 25 + − = x L e) 1200 125 + − = x L 95) RQ/10 – SET/03. O sistema ¹ ´ ¦ − = − − = + 10 6 3 3 2 y x y x , representa duas retas no plano. Então, pode-se concluir que a) as retas são reversas. b) as retas são paralelas distintas. c) as retas são paralelas coincidentes. d) as retas são concorrentes e perpendiculares. e) as retas são concorrentes e não perpendiculares. 96) RQ/12 – SET/03. A soma de um número real positivo x com o seu quadrado é igual a 42. pode-se afirmar que esse número a) é maior que 10 b) está entre 2 e 4 c) está entre 5 e 8 d) é menor que 2 e) é menor que zero 97) RQ/15 – SET/03. A igualdade x x x 6 5 5 1 = + − é verdadeira apenas para a) 0 = x b) 1 = x e 1 − = x c) 0 = x e 1 = x d) 1 = x e) 0 = x e 1 − = x 98) RQ/17 – SET/03. Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Então, o número total de filhos e filhas do casal é. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 99) RQ/20 – SET/03. Se forem tirados 3 2 do conteúdo de um recipiente cheio de água e recolocados 30 litros de água, o conteúdo passa a ocupar a metade do volume inicial. A capacidade do recipiente é a) 40 litros b) 75 litros c) 120 litros d) 145 litros e) 180 litros 100) RQ/4 – JUN/03. Uma empresa produz um determinado produto com um custo fixo de R$ 2400,00 e com um custo variável médio de R$ 40,00 por unidade. O produto é vendido por R$ 70,00 a unidade. A função que expressa o lucro L em função da quantidade q produzida para 0 ≥ q é a) 80 2 − = q L b) 2400 30 2 − = q L c) 2470 40 − = q L d) q L 2440 70 − = e) 2400 30 − = q L 101) RQ/5 – JUN/03. A reta 0 4 3 5 = + − y x é perpendicular a a) 4 5 3 = − y x b) 1 10 6 = + y x c) 0 3 5 = + y x d) 3 3 5 = − y x e) 1 6 10 − = + y x 102) RQ/11 – JUN/03. Se b b b = ⋅ log , pode-se afirmar que b é igual a a) 0 b) 1 c) e d) 10 e) 100e Prof. Milton Araújo
[email protected] 150 103) RQ/16 – JUN/03. Pode-se afirmar que x x x 8 7 7 1 = + − é verdadeira a) somente para 1 = x e 1 − = x b) somente para 0 = x e 1 − = x c) somente para 2 1 = x d) somente para 2 1 − = x e) somente para 1 = x 104) RQ/17 – JUN/03. Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$ 200,00 e a vende pelo mesmo preço, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$ 100,00. Então, o número original de garrafas de vinho na caixa é a) 12 b) 24 c) 30 d) 36 e) 42 105) RQ/19 – JUN/03. Tem-se que 2 1 − ≤ + h h se, e somente se, a) 0 < h b) 1 − ≤ h c) 1 − ≥ h d) 0 > h e) 0 ≤ h 106) RQ/20 – JUN/03. Uma loja comprou uma mercadoria à vista com 20% de desconto sobre o preço de tabela e teve uma despesa de R$ 50,00 na compra. Vendeu essa mercadoria por R$ 540,00, obtendo assim um lucro de 20% sobre o total desembolsado. Pode-se afirmar que o preço da tabela era a) R$ 400,00 b) R$ 460,00 c) R$ 480,00 d) R$ 500,00 e) R$ 520,00 107) RQ/5 – FEV/03. Uma folha de alumínio tem 0,01 de espessura. Forma-se uma pilha dessas folhas colocando-se duas na primeira vez, o que já havia na pilha na segunda vez, e assim sucessivamente. Repetindo-se a operação 30 vezes, a altura da pilha final é a) 30 2 01 0 ⋅ , b) 32 2 01 0 ⋅ , c) ( ) 29 2 30 01 0 + ⋅ , d) ( ) 2 2 01 0 32 − ⋅ , e) ( ) 2 2 01 0 30 + ⋅ , 108) RQ/6 – FEV/03. Suponha que o custo total de produção de um determinado produto é dado por 150 7 + = x C T , 0 ≥ x , em que x representa a quantidade produzida. Sabendo que o produto é vendido por R$ 32,00 a unidade, o menor valor de x tal que o lucro seja positivo é maior que a) 2 b) 6 c) 8 d) 12 e) 16 109) RQ/10 – FEV/03. Se x x x ) x ( p 2 3 2 3 + − = , então os valores de x ∈ ℜ para que 0 > ) x ( p são a) (0, 2) b) (1, 2) c) (-∞, 1) ∪ (2, +∞) d) (0, 1) ∪ (2, +∞) e) (-∞, 0) ∪ (1, 2) 110) RQ/11 – FEV/03. As retas r: 0 20 4 5 = − − y x e s: 2 5 4 5 − = x y são a) paralelas coincidentes b) paralelas distintas c) reversas d) perpendiculares e) concorrentes 111) RQ/12 – FEV/03. A solução do sistema representado pelo gráfico abaixo é Prof. Milton Araújo
[email protected] 151 a) (1, 4) b) (-2, 4) c) (1, -2) d) (4, 0) e) (1, 3) 112) RQ/13 – FEV/03. Uma praga de lavoura tem seu crescimento populacional P diretamente proporcional ao tamanho de sua população x quando não tem predadores. Sendo k constante de proporcionalidade positiva, o crescimento populacional desta praga em função de sua população é a) k P = b) kx P = c) 2 x k P = d) x P = e) kP x = 113) RQ/14 – FEV/03. Em uma cidade o preço da passagem de ônibus urbano é R$ 1,10. A expressão do número de passagens, x, que se pode comprar com R$ 80,00 é a) 10 1 80 , x + = b) 10 1 80 , x − = c) x , + > 10 1 80 d) 0 80 10 1 > − x , e) 0 80 10 1 < − x , 114) RQ/16 – FEV/03. Rosana comprou um saco de balas e vai distribuí-las igualmente entre seus sobrinhos. Ao fazer a distribuição, percebeu que se der 15 balas para cada sobrinho faltarão 25 balas e que se der 12 balas para cada um sobrarão 11 balas. A quantidade total máxima de balas que Rosana pode distribuir igualmente, entre os sobrinhos é a) 12 b) 23 c) 144 d) 155 e) 180 115) RQ/19 – FEV/03. Numa fábrica de vassouras, o lucro diário é dado pela fórmula 1040 8 − = x ) x ( L , sendo L o lucro e x a quantidade de vassouras vendidas. A menor quantidade de vassouras vendidas por dia que garante lucro para a fábrica é a) 113 b) 120 c) 131 d) 149 e) 151 116) RQ/21 – FEV/03. Alguns estudantes (x) vão alugar juntos uma casa cujo aluguel é de R$ 650,00, dividindo-o igualmente entre si, um dos estudantes não tem como pagar sua parte, e os outros concordaram em pagar a parte dele. Sendo assim a expressão que fornece a parte do aluguel, y, de cada estudante é a) 1 650 − = x y b) 650 1 + = x y c) 1 650 + = x y d) 1 650 − + = x x y e) x y 2 650 = 117) RQ/25 – FEV/03. Seja ac b 4 2 − = ∆ o discriminante de 0 2 = + + c bx ax a ≠ 0. Se o discriminante de 0 2 2 = + + c bx ax a ≠ 0, é zero, então é CORRETO afirmar que a, b e c a) formam uma progressão geométrica. b) formam uma progressão aritmética. c) são distintos. d) são números negativos. e) apenas b é negativo e a e c são positivos. O Gabarito desta Lista está em arquivo separado. Você poderá se considerar bem preparado(a) nestes conteúdos se acertou, no mínimo, questões desta lista e conseguiu resolvê-la num tempo inferior a minutos. Divida as listas em módulos contendo vinte questões cada um. Assim, para cada módulo de 20 questões, você poderá avaliar o seu desempenho do seguinte modo: a) Tempo ideal de resolução do módulo de 20 questões: 45 minutos; b) Número de acertos do módulo de 20 questões: 14. Prof. Milton Araújo
[email protected] 152 INSTRUÇÕES: I. Revise os Capítulos 12 a 14 – Raciocínio Quantitativo – da apostila e refaça os exemplos resolvidos em sala de aula antes de iniciar este exercício. II. Marque o tempo gasto por você para responder todas as questões. Trabalhe como se estivesse resolvendo um simulado. Não faça interrupções durante o exercício. Procure responder todas as questões em tempo contínuo. III. Assinale suas opções e confira com os gabaritos ao final da apostila. Não faça consultas prévias ao gabarito. O ideal é que você consiga acertar, no mínimo, 70% das questões. IV. Divida o tempo total gasto para resolver esta lista pelo número de questões e verifique como está sua média de tempo por questão. O tempo médio por questão é de dois minutos e quinze segundos. 1) RQ/2 – FEV/07. A matriz X , composta por números reais, de ordem 3 × 3, é igual a ( ( ( ¸ ( ¸ − − 2 1 1 2 1 2 1 2 a a . Para quais valores de a não se pode determinar a inversa dessa matriz X ? a) 2 = a e 1 = a b) 1 − = a e 2 − = a c) 0 = a e 1 − = a d) 1 − = a e 2 = a e) 2 = a e 1 − = a 2) RQ/12 – FEV/07. Foi realizado um levantamento em relação ao peso de 10 estudantes universitários do curso de administração. Obteve-se o seguinte resultado (em kg): 61, 66, 66, 67, 71, 72, 72, 72, 77, 78. Assim, a mediana e a média aritmética desse conjunto são, respectivamente, a) 71,5 e 70,2 b) 71,5 e 71,5 c) 71 e 70,2 d) 70,2 e 71,5 e) 72 e 70,2 3) RQ/16 – FEV/07. Alberto mora em um terreno quadrado de 40 metros de frente. Sua casa fica bem no centro do terreno, cercada por um gramado. Ele dispõe de uma máquina de cortar grama que possui um cabo elétrico original com 12 metros de comprimento. A máquina é ligada na única esquina da casa que apresenta tomada externa. A residência, por sua vez, tem uma base quadrada de 8 metros de lado, como está exposto neste desenho: Sabendo-se que cada 2 m de grama cortada pesa 100 gramas, quantos quilogramas são obtidos após o uso dessa máquina para cortar toda a grama possível utilizando apenas seu cabo elétrico original? (utilize 3 = π ) a) 34,8 kg b) 43,2 kg c) 64 kg d) 348 kg e) 432 kg 4) RQ/20 – FEV/07. O mapa abaixo representa três quadras da cidade Imaginópolis, onde as ruas A, B, C e D são paralelas entre si, assim como as ruas E e F. Essas ruas delimitam quadras de mesma dimensão. Prof. Milton Araújo
[email protected] 153 Supondo-se que as unidades nos eixos horizontal e vertical estão em metros, que os vértices da quadra Q1 são os pontos (40, 10), (82, 20), (40, 60) e (82, 70) e que cada 2 m está avaliado em R$ 25,00,então o preço cobrado pelas três quadras é a) R$ 52.500,00 b) R$ 87.500,00 c) R$ 157.500,00 d) R$ 175.500,00 e) R$ 262.500,00 5) RQ/4 – SET/06. Adalberto tem um terreno na forma de um triângulo cujos catetos medem 30 = a m e 40 = b m, e a hipotenusa mede 50 = c m. Se Adalberto deseja construir, nesse terreno, uma casa cuja base é um retângulo de área máxima, as dimensões da base da casa sobre os lados a e b são, respectivamente, a) 3 m e 36 m b) 12 m e 24 m c) 15 m e 20 m d) 20 m e 15 m e) 20 m e 20 m 6) RQ/9 – SET/06. Uma empresa que trabalha com a revenda de notebooks tem lojas nas seguintes cidades: Porto Alegre (POA), São Paulo (SPA) e Belo Horizonte (BHZ). Uma marca particular de notebook está disponível nos modelos A, B e C. Além disso, cada modelo tem uma bolsa correspondente que, geralmente, é vendida junto com o notebook. Os preços de venda (em reais) do notebook e da bolsa são dados pela matriz X, onde a primeira linha indica os preços dos notebooks nos três modelos e a segunda linha, o preço das bolsas. ( ¸ ( ¸ = 150 120 100 8000 5000 4000 X C B A O número de conjuntos (notebook e bolsa) disponíveis em cada loja é dado pela matriz Y. POA SPA BHZ C B A Y ( ( ( ¸ ( ¸ = 4 6 2 8 10 6 10 15 8 Se João Paulo foi à loja de Porto Alegre e comprou todos os conjuntos do modelo A e todos do modelo C, então ele gastou. a) R$ 48.000,00 b) R$ 49.100,00 c) R$ 62.000,00 d) R$ 63.520,00 e) R$ 64.150,00 7) RQ/13 – SET/06. De todos os funcionários de uma empresa, 30% solicitaram férias no mês de janeiro. Essas empresa tem duas filiais, localizadas em Maceió e Cuiabá, e a matriz está localizada em São Paulo (capital). 50% dos funcionários trabalham na matriz e 30% dos funcionários trabalham na filial de Cuiabá. Tem-se a informação de que 20% dos empregados da matriz e 30% Prof. Milton Araújo
[email protected] 154 dos funcionários da filial de Maceió solicitam férias em janeiro. A porcentagem de funcionários da filial de Cuiabá que solicitaram férias em janeiro é de, aproximadamente, a) 50% b) 47% c) 37% d) 25% e) 14% 8) RQ/16 – SET/06. Considere a figura abaixo que mostra dois copos. Um deles, com formato de um cilindro reto, está completamente cheio de água. O outro, com formato de um cone reto, apoiado num tronco de cone, está totalmente vazio. As dimensões de ambos os copos estão descritas nesta figura. Sabe-se que o plano no qual eles estão apoiados é horizontal, que a borda do copo cônico é paralela a este plano e que os volumes de um cilindro e de um cone de raio r e altura h são dados respectivamente por h r V 2 π = e h r V 2 3 1 π = Assim, se despejarmos todo o conteúdo do copo cilíndrico no copo cônico, a distância da superfície da água ao vértice deste copo será a) 3 3 3 4 cm b) 3 4 cm c) 3 4 5 , 3 cm d) 4 cm e) 3 4 4 cm 9) RQ/17 – JUN/06. Se a área do círculo de centro em O e raio x é de aproximadamente 114 2 cm , a medida do ângulo AÔE é 120º e a área do retângulo ABCD é 48 2 cm , então a área da figura sombreada é de, aproximadamente, a) 50 2 cm b) 54 2 cm c) 62 2 cm d) 76 2 cm e) -88 2 cm 10) RQ/10 – FEV/06. Sabendo-se que as ruas 1 e 2 abaixo são paralelas, qual a menor distância entre elas? Prof. Milton Araújo
[email protected] 155 a) 2 150 m b) 300 m c) 3 100 m d) 150 m e) 100 m 11) RQ/4 – FEV/06. Os dados da tabela abaixo se referem às idades dos funcionários de uma empresa Classe Freqüência 18 ,÷ 22 1 22 ,÷ 26 2 26 ,÷ 30 5 30 ,÷ 34 10 34 ,÷ 38 22 38 ,÷ 42 20 42 ,÷ 46 10 46 ,÷ 50 5 75 = ∑ i i f A idade média das pessoas que trabalham na empresa e a porcentagem de funcionários que têm idade igual ou superior a 38 são, respectivamente, a) 35,4 e 40% b) 35,4 e 62,5% c) 37,3 e 45% d) 37,3 e 46,66% e) 42,3 e 46,66% 12) RQ/13 – FEV/06. O esboço da planta de uma casa, apresentada abaixo, tem escala 1:100, ou seja, cada medida de 1 cm representa uma medida real de 100 cm. Sabendo-se que a área real da casa é 150 2 m , qual é a área real da sala? a) 80 2 m b) 72 2 m c) 52 2 m d) 48 2 m e) 5 2 m 13) RQ/14 – FEV/06. Os elementos ij d de uma matriz n n D × representam as distâncias (em quilômetros) entre as cidades i e j , e os elementos ij c de uma matriz n n C × representam o custo por quilômetro do transporte da cidade i para a cidade j (sendo que o custo de transporte da cidade i para a cidade j é diferente do custo de transporte da cidade j para a cidade i ). Se C D A ⋅ = , 11 a representa a) a soma dos custos de transporte das cidades 2, 3, ..., n para a cidade 1. b) a soma dos custos de transporte das cidades 2, 3, ..., n para a cidade 2. c) o custo de transporte da cidade 1 para a cidade 2. d) a soma das distâncias entre as cidades 2, 3, ..., n e a cidade 1. e) a soma das distâncias entre as cidades 2, 3, ..., n e a cidade 2. 14) RQ/16 – FEV/06. O perímetro do hexágono regular inscrito numa circunferência de raio unitário é Prof. Milton Araújo
[email protected] 156 a) | . | \ | 6 12 π sen b) | . | \ | 6 6 π sen c) | . | \ | 6 cos 12 π d) | . | \ | 6 cos 6 π e) | . | \ | 6 6 π tg 15) RQ/19 – FEV/06. A média de idade de 20 funcionários de uma empresa é 30. Sabendo-se que, nessa empresa, não há funcionários com menos de 18 anos de idade nem com mais de 75, pode-se afirmar que a) necessariamente, dez desses funcionários têm mais de 20 anos. b) quatro desses funcionários podem ter 20 anos, quatro podem ter 35, dez podem ter 30 e os demais podem ter 40 anos. c) dois desses funcionários podem ter 20 anos, quatro podem ter 25, dez podem ter 35, e os demais podem ter 40 anos. d) obrigatoriamente, cada funcionário tem mais de 25 anos. e) dez desses funcionários podem ter 45 anos. 16) RQ/2 – SET/05. Uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de um pedaço de papelão cujas dimensões são 12 por 20 centímetros. Devem-se cortar quadrados de lados x de cada canto e depois dobrar, conforme mostra a figural o volume da caixa, em função do valor de x , é a) ( )( ) x x x − − 12 10 2 b) ( )( ) x x x − − 6 10 2 c) ( )( ) x x x − − 6 10 4 d) ( )( ) x x x − − 12 2 20 e) ( )( ) x x x 2 12 20 − − 17) RQ/14 – SET/05. Considere-se a seguinte seqüência de valores, à qual falta apenas um número: 5, 7, 10, 12, 15, 20, 27. Sabendo-se que a média aritmética do conjunto é 13, qual é o número que está faltando? a) 8 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20 18) RQ/15 – SET/05. A empresa Rinox produz recipientes cilíndricos com 1 m de raio externo e 3 m de altura, os quais são vendidos sem pintura. Um cliente fez um pedido de 100 recipientes, cujas laterais externas deveriam ser pintadas de amarelo. Diante disso, a fábrica teve de contratar uma empresa de pinturas. Sabe-se que essa empresa cobra 10 u.m. por metro quadrado de pintura, incluindo a tinta. Qual, dentre os valores apresentados a seguir, melhor aproxima o custo para a Rinox da pintura desses recipientes? a) 3.000 u.m. b) 6.000 u.m. c) 9.000 u.m. d) 18.000 u.m. e) 30.000 u.m. 19) RQ/17 – SET/05. Sabendo-se que a seqüência de números 2, 7, 8, 10, 10, 15, 20 não está completa e tem como única moda o número 8, conclui-se que essa seqüência a) necessita de, pelo menos, mais um número 8. b) necessita de, pelo menos, mais dois números 8. c) necessita de, pelo menos, mais três números 8. d) necessita de, pelo menos, mais quatro números 8. e) necessita de, pelo menos, mais cinco números 8. Prof. Milton Araújo
[email protected] 157 20) RQ/1 – JUN/05. Durante quatro anos consecutivos, o proprietário de uma fazenda comprou um tipo de inseticida. No primeiro ano, o custo foi de R$ 16,00 por galão; no segundo, de R$ 18,00; no terceiro, de R$ 20,00; e no quarto, de R$ 25,00. Sabe-se que no período considerado o gasto anual com inseticida foi constante, de R$ 3.600,00. O custo médio aproximado dos inseticidas para o período de quatro anos foi de a) R$ 26,00 b) R$ 25,33 c) R$ 24,15 d) R$ 19,22 e) R$ 16,30 21) RQ/2 – JUN/05. Analise as seguintes afirmações: I. A mediana de um conjunto de números, ordenados em ordem de grandeza, é a média aritmética destes números. II. A moda de um conjunto de números é o valor que ocorre com maior freqüência. III. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. IV. A variância é a raiz quadrada do desvio padrão. Estão CORRETAS a) I e II b) I e III c) II e IV d) II e III e) I, II r III 22) RQ/3 – JUN/05. ABCD é um retângulo e E, F e G são os pontos médios dos lados do retângulo aos quais pertencem. Se a área do retângulo ABCD mede 48 2 cm , a área do triângulo sombreado mede a) 20 2 cm b) 18 2 cm c) 15 2 cm d) 13 2 cm e) 12 2 cm 23) RQ/9 – JUN/05. Em uma prova de 20 questões realizada por 100 pessoas, 40% obtiveram média aritmética de 15 acertos. Qual foi a média aritmética de acertos das outras pessoas se a média total foi de 9 acertos? a) 8,5 b) 7,5 c) 6,0 d) 5,5 e) 5,0 24) RQ/15 – JUN/05. Se um triângulo retângulo tem lados ( ) 1 − x , x e ( ) 1 + x e se os mesmos são medidos em centímetros, então a hipotenusa mede a_ 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm 25) RQ/17 – JUN/05. Em uma escola foi feita a seguinte pergunta para seis estudantes: “Quantos alunos você acha que estão cursando a terceira série do nível médio nesta escola?” As estimativas dos alunos foram: 297, 305, 311, 315, 318 e 320. Nenhuma delas representava a quantidade correta. o menor desvio, em relação à quantidade correta, foi 3 e o maior desvio foi 12. Qual é a quantidade correta? a) 323 b) 320 c) 318 d) 309 e) 308 26) RQ/2 – FEV/05. Sabe-se que o volume V de um cilindro reto é dado pela expressão h r V 2 π = , em que r é o raio da base e h é a altura do cilindro. Duplicando-se o raio da base e triplicando-se a altura do cilindro, seu volume será multiplicado por a) 5 b) 9 c) 12 d) 18 e) 36 27) RQ/3 – FEV/05. Seja ( ) ij a A = uma matriz real quadrada de ordem 2, definida por ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > ≤ − = + j i j i i a j i ij se 2 se 1 2 . A matriz A é a) | | . | \ | 3 8 0 0 b) | | . | \ | 16 8 1 0 c) | | . | \ | − 3 6 1 0 d) | | . | \ | 8 8 0 0 e) | | . | \ | − 8 6 1 0 Prof. Milton Araújo
[email protected] 158 28) RQ/5 – FEV/05. César, Fábio, Ivo e Rui, todos funcionários de uma mesma empresa, têm 2, 4, 9 e 15 anos de tempo de casa, respectivamente. Para cada ano de casa, César e Fábio receberam de gratificação, cada um, R$ 90,00; Ivo, R$ 120,00 e Rui, R$ 180,00. A gratificação média recebida por ano de casa por esses funcionários é de a) R$ 120,00 b) R$ 129,90 c) R$ 135,00 d) R$ 144,00 e) R$ 148,80 29) RQ/12 – FEV/05. Sabe-se que a área de um círculo de raio r é dada por 2 r π . Na figura apresentada abaixo, tem-se um círculo inscrito e outro circunscrito a um quadrado de área igual a 16 unidades de área. A área da região sombreada, nas mesmas unidades, é igual a a) π b) π 2 c) π 4 d) π 12 e) π 16 30) RQ/13 – FEV/05. Num dado instante, a sombra de um menino mede 36 cm, enquanto a sombra de um poste a seu lado mede 1,20 m. Passadas algumas horas, observou-se que o comprimento da sombra do poste havia diminuído de 30 cm; nesse instante, a sombra do menino mede a) 9 cm b) 12 cm c) 15 cm d) 24 cm e) 27 cm 31) RQ/20 – FEV/05. As idades de 20 pessoas que participaram de um campeonato de truco são: 21, 27, 28, 29, 30, 33, 35, 35, 35, 36, 36, 37, 39, 39, 40, 41, 42, 43, 48 e 49. O gráfico que melhor representa a distribuição das idades em classes é a) b) c) d) e) 32) RQ/3 – SET/04. Sejam as matrizes | | . | \ | − = 2 10 1 3 0 x A e | | . | \ | − − = 2 2 2 5 0 y x y B . Se B A = ,o valor de y x + é igual a a) 1 b) 8 c) 16 d) -2 e) -8 33) RQ/5 – SET/04. Uma escada de 25 m está apoiada na parede vertical de um edifício de tal modo que o pé da escada está a 7 m da base do prédio. Se a escada escorregar 4 m na parede vertical, então o pé da escada escorregará a) 3 m b) 4 m c) 8 m d) 10 m e) 15 m Prof. Milton Araújo
[email protected] 159 34) RQ/6 – SET/04. Se a área das faces de um paralelepípedo retângulo medem 6 2 cm , 8 2 cm e 12 2 cm , então a medida do volume deste sólido é a) 18 3 cm b) 24 3 cm c) 72 3 cm d) 96 3 cm e) 576 3 cm 35) RQ/9 – SET/04. Uma estaca de 1 m projeta uma sombra de 24 cm no mesmo instante em que um prédio projeta uma sombra de 6 m. Se cada andar deste prédio tem 3 m de altura, então o número de andares do prédio é a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9 36) RQ/9 – JUN/04. Na classe A, de 40 alunos, a média de matemática era 6,0. Cinco dos alunos passaram para a classe B, que tinha apenas 25 alunos e cuja média de matemática era 5,0. Sabendo que os alunos transferidos tinham as seguintes notas: 7,0, 8,0, 7,0, 7,0 e 8,0, então a nova média de matemática da classe B é a) 5,4 b) 5,5 c) 5,8 d) 6,0 e) 6,2 37) RQ/15 – JUN/04. Quatro círculos de raio unitário, cujos centros são vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente, como na figura. Sabendo que a área do círculo é dada por 2 r π , então, a área da parte hachurada é a) ( ) π − 4 unidades de área b) ( ) 1 − π unidades de área c) ( ) π 2 4 − unidades de área d) ( ) 4 4 − π unidades de área e) ( ) 4 − π unidades de área 38) RQ/20 – JUN/04. Uma pequena indústria de confecções produz por semana 200 camisetas brancas, ao custo unitário de R$ 12,00; 180 camisetas estampadas, ao custo unitário de R$ 15,00; e 120 camisetas personalizadas, ao custo unitário de R$ 16,00. Então, o custo médio de uma camiseta é a) R$ 13,53 b) R$ 14,04 c) R$ 14,33 d) R$ 14,44 e) R$ 15,00 39) RQ/4 – FEV/04. Seja ABCD um trapézio, onde AD é paralelo a BC e AB é perpendicular a BC. Se AB mede 4 cm, BC mede 8 cm e AD mede 6 cm, então o lado DC mede a) 3 cm b) 5 2 cm c) 7 2 cm d) 10 2 cm e) 8 cm 40) RQ/8 – FEV/04. A maior distância entre dois pontos situados na superfície do cilindro reto de altura 4 cm e raio 4cm é a) 4 cm b) 8 cm c) 2 4 cm d) 3 4 cm e) 5 4 cm 41) RQ/12 – FEV/04. Um balconista recebe comissão diária sobre as vendas. Na semana em que ele trabalhou cinco dias, recebeu de comissão R$ 22,40, R$ 28,50, R$ 38,30, R$ 35,80, R$ 43,00, em cada dia. Então, a média da comissão diária recebida nessa semana foi de a) R$ 32,00 b) R$ 33,60 c) R$ 35,80 d) R$ 36,00 e) R$ 38,00 42) RQ/13 – FEV/04. Na figura abaixo, em cada vértice têm-se segmentos de retas perpendiculares. A medida dos segmentos AB, BC, DE, EF, GH, HI e IJ é x e a medida dos segmentos CD e FG é y . Se 6 = y cm, então o segmento AJ mede a) 9 cm b) 10 cm c) 12 cm d) 15 cm e) 18 cm INSTRUÇÃO: Para as questões 16 e 17, considere o seguinte enunciado Prof. Milton Araújo
[email protected] 160 O exame final em Estatística aplicado a 54 alunos da Faculdade X, cuja média de aprovação é 6,0, teve a seguinte distribuição de freqüência Classes freqüência absoluta 1,5 ,÷ 3,0 3 3,0 ,÷ 4,5 4 4,5 ,÷ 6,0 6 6,0 ,÷ 7,5 23 7,5 ,÷ 9,0 12 9,0 ,÷ 10,0 6 Total 54 O símbolo a ,÷ b significa que inclui a e exclui b. 43) RQ/16 – FEV/04. O número de alunos aprovados é a) 13 b) 23 c) 29 d) 41 e) 47 44) RQ/17 – FEV/04. O percentual aproximado de alunos reprovados é a) 13 b) 24 c) 42 d) 67 e) 76 45) RQ/20 – FEV/04. Sendo os conjuntos de números I [2, 4, 7] II [5, 5, 8] III [3, 6, 7] Aquele(s) que pode(m) ser usado(s) como os comprimentos dos lados de um triângulo é(são)? a) apenas I b) apenas II e III c) apenas III d) apenas I e III e) I, II e III 46) RQ/3 – SET/03. A soma dos elementos da diagonal principal da matriz ( ) 3 3× = ij a A , na qual j i a ij 3 2 − = , é igual a a) -6 b) -4 c) -2 d) 4 e) 6 47) RQ/5 – SET/03. Sabe-se que o volume da esfera e do cilindro circular reto são dados por 3 3 4 r V π = e h r V 2 π = , respectivamente, onde r é o raio e h a altura. Se o volume de uma esfera inscrita em um cilindro é π 3 32 = V 3 cm , então o volume desse cilindro é a) π 3 2 3 cm b) π 3 4 3 cm c) π 2 3 cm d) π 8 3 cm e) π 16 3 cm 48) RQ/7 – SET/03. Cronometrando o tempo para várias provas de uma gincana, encontram-se Equipe 1: 30 provas Tempo médio: 40 segundos Variância: 400 segundos ao quadrado Equipe 2: Tempo de cada prova (segundos) 20 40 50 Número de provas 5 10 10 Pode-se afirmar que as equipes a) têm o mesmo tempo médio e o desvio-padrão iguais. b) têm o mesmo tempo médio e o desvio-padrão da equipe 1 é maior do que o da equipe 2. c) têm o mesmo tempo médio e o desvio-padrão da equipe 2 é maior do que o da equipe 1. d) têm tempo médio diferentes e o desvio-padrão da equipe 1 é maior do que o da equipe 2. e) têm tempo médio diferentes e o desvio-padrão da equipe 2 é maior do que o da equipe 1. 49) RQ/16 – SET/03. Oito pessoas fizeram uma prova com 20 itens. As primeiras 4 pessoas tiveram média aritmética de 12 acertos. Para que a prova tivesse uma média final de 14 acertos, a média das outras 4 pessoas foi Prof. Milton Araújo
[email protected] 161 a) 12 b) 13 c) 14 d) 16 e) 18 50) RQ/2 – JUN/03. Em uma determinada comunidade a razão do número de mulheres para o de homens é de 8 para 5. a idade média das mulheres é 28 e a idade média dos homens é 32. Então, a idade média aproximada dessa comunidade é a) 27,8 b) 28,9 c) 29,5 d) 30,1 e) 31,4 51) RQ/3 – JUN/03. O determinante da matriz ( ( ( ¸ ( ¸ − = 18 0 4 3 7 1 6 1 4 A é um número múltiplo de a) 0 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8 52) RQ/8 – JUN/03. A altura relativa ao lado desigual de um triângulo isósceles é 3 cm. Se a área desse triângulo é 12 2 cm e o perímetro é 18 cm, então os lados desse triângulo, em cm, são a) 8, 8, 2 b) 7, 7, 4 c) 6, 6, 6 d) 5, 5, 8 e) 4, 4, 10 53) RQ/12 – JUN/03. A expressão que indica o valor da hipotenusa no triângulo retângulo abaixo é a) 3 2 2 + = x y b) 5 2 2 + = x y c) 5 6 2 2 + + = x x y d) 3 6 2 2 + − = x x y e) 5 2 2 2 + + = x x y 54) RQ/7 – FEV/03. A distribuição dos salários de uma empresa é dada pela tabela abaixo Salário em R$ Número de funcionários 200,00 25 800,00 10 1.500,00 10 4.000,00 4 6.000,00 1 Total 50 Se forem contratados dois novos funcionários com salários de R$ 200,00 cada a) a média salarial da empresa aumentará. b) a média salarial da empresa diminuirá. c) a média salarial da empresa ficará a mesma. d) a moda dos salários da empresa ficará R$ 1.500,00. e) a mediana dos salários da empresa ficará R$ 1.500,00. 55) RQ/8 – FEV/03. Em uma certa indústria, 5% dos homens e 2% das mulheres têm menos de 25 anos. Por outro lado, 60% dos funcionários são homens. Se um funcionário é selecionado aleatoriamente e tem menos de 25 anos, a probabilidade de ser mulher é a) 53 8 b) 19 4 c) 19 5 d) 15 4 e) 19 15 56) RQ/20 – FEV/03. Se considerarmos a matriz real ( ) 3 2× = ij a M determinada por ¦ ¹ ¦ ´ ¦ < × = = + = > − = j i j i a j i j i a j i j i a ij ij ij se se se Então, Prof. Milton Araújo
[email protected] 162 a) ( ¸ ( ¸ −1 0 1 5 2 0 b) ( ¸ ( ¸ − − − 1 4 2 2 1 2 c) ( ¸ ( ¸ −1 4 1 3 2 0 d) ( ¸ ( ¸ −1 0 1 5 2 2 e) ( ¸ ( ¸ 6 4 1 3 2 2 O Gabarito desta Lista está em arquivo separado. Você poderá se considerar bem preparado(a) nestes conteúdos se acertou, no mínimo, 39 questões desta lista e conseguiu resolvê-la num tempo inferior a 88 minutos. Divida as listas em módulos contendo vinte questões cada um. Assim, para cada módulo de 20 questões, você poderá avaliar o seu desempenho do seguinte modo: a) tempo ideal de resolução do módulo de 20 questões: 45 minutos; b) Número mínimo de acertos do módulo de 20 questões: 14. Prof. Milton Araújo
[email protected] 163 1) Quatro habitantes de certa comunidade estão numa fila; dois deles, que sempre mentem, usam peruca, e os outros dois, que não usam peruca, sempre dizem a verdade. Manuel pergunta ao primeiro da fila se ele usa peruca, mas recebe uma resposta que não consegue entender. O segundo da fila, questionado sobre a resposta do primeiro, responde: “Ele disse que não usa peruca”. Contudo, o terceiro da fila afirma que o primeiro realmente usa peruca. No que diz respeito ao uso de peruca, uma das possíveis disposições em que as pessoas se encontram na fila, do primeiro ao último, é a) não usa, usa, não usa, usa. b) não usa, usa, usa, não usa. c) não usa, não usa, usa, usa. d) usa, usa, não usa, não usa. e) usa, não usa, usa, não usa. 2) Sejam a , b e c três algarismos distintos. A soma dos números ab e ba produz um número de três algarismos, cac . É correto afirmar que o valor de c a b + − é a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 3) Lúcio é tio de Norma ou Raquel é mãe de Sílvia. Se Valdir é neto de Taís, Jacó é sobrinho de José. Se Raquel é mãe de Sílvia, Jacó não é sobrinho de José. Ora, Valdir é neto de Taís; logo, a) Lúcio é tio de Norma e Raquel não é mãe de Sílvia. b) Lúcio não é tio de Norma e Raquel é mãe de Sílvia. c) Jacó não é sobrinho de José e Lúcio é tio de Norma. d) Valdir é neto de Taís e Jacó não é sobrinho de José. e) Raquel é mãe de Sílvia ou Jacó não é sobrinho de José. 4) Uma caixa contém 60 moedas que parecem idênticas. Existe entre elas apenas uma moeda defeituosa, que pesa mais que as outras. Dispondo-se de uma balança que tem dois pratos, o número mínimo de pesagens que devem ser feitas para se descobrir a moeda defeituosa é a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 5) Carlos e Dagoberto disputam um jogo no qual se atribuem aos participantes três pontos por vitória e se retira um ponto por derrota. Considerando-se que, ao final, Dagoberto ganhou exatamente quatro partidas, Carlos ficou com 21 pontos e cada jogador havia começado com dez pontos, é CORRETO afirmar que o número de partidas que disputaram é a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 6) Jorge dispõe de 120 estacas para levantar uma cerca reta. Sabe-se que quatro estacas igualmente espaçadas cercam 12 metros; usando-se todas as estacas igualmente espaçadas, é possível levantar uma cerca de aproximadamente a) 480 m b) 476 m c) 472 m d) 400 m e) 360 m 7) Cinco amigas são provenientes de cinco Estados diferentes. Ana é dançarina, como a carioca, e é mais baixa do que a paulista e mais alta do que Célia. A carioca, a mineira e Deise gostam de pizza. A mineira, a baiana e Ana são corintianas. A baiana costuma viajar com Deise e Ester. A mineira é mais alta do que Ester e mais baixa do que Karen; esta, por sua vez, é mais baixa do que a gaúcha. Logo, a) Célia é paulista, a baiana é mais alta do que a carioca e Ana é mais alta do que a baiana. b) Karen é baiana, a gaúcha é mais alta do que a paulista e Célia é mais alta do que a carioca. c) Ester é paulista, a gaúcha é mais alta do que a baiana e Deise é mais alta do que a mineira. d) Ana é gaúcha, a paulista é mais alta do que a carioca e Karen é mais alta do que a paulista. e) Deise é paulista, a baiana é mais alta do que a carioca e a mineira é mais baixa do que Ana. 8) Várias bolinhas estão dispostas da seguinte maneira em uma canaleta circular: • 53 bolinhas brancas têm outra bolinha branca a sua direita; • 90 bolinhas brancas têm uma bolinha preta a sua direita; • 6 5 das bolinhas pretas têm uma bolinha branca a sua direita. Prof. Milton Araújo
[email protected] 164 O número mínimo de bolinhas na canaleta que satisfaz as três condições acima é a) 143 b) 233 c) 248 d) 251 e) 252 9) A negação da proposição condicional “Se amanhã for domingo, Felipe vai jogar futebol hoje” é a) “Amanhã é domingo e Felipe não vai jogar futebol hoje”. b) “Amanhã não é domingo ou Felipe vai jogar futebol hoje”. c) “Amanhã não é domingo e Felipe não vai jogar futebol hoje”. d) “Se amanhã não for domingo, Felipe vai jogar futebol hoje”. e) “Se amanhã for domingo, Felipe não vai jogar futebol hoje”. 10) O próximo número da seqüência 1, 2, 3, 7, 46 é a) 2110 b) 2109 c) 2108 d) 2107 e) 2106 11) Em um grupo de rapazes, todos os mineiros são engenheiros, mas nenhum engenheiro é pobre. Todos os rapazes altos são gênios, e alguns gênios são pobres. Se nenhum gênio é engenheiro, a) nenhum rapaz alto é mineiro. b) pelo menos um rapaz alto é pobre. c) pelo menos um rapaz mineiro é pobre. d) todos os rapazes gênios são mineiros. e) todos os rapazes gênios são altos. 12) Marisa recebeu menos de 100 livros para distribuir entre seus alunos. Se distribuir esses livros aos alunos do segundo ano, cada um receberá três livros, e sobrará um; se distribuir aos do terceiro ano, cada um receberá quatro, e sobrarão dois; e, se distribuir aos do quarto ano, cada um receberá cinco, e sobrarão três. Assim, em relação à quantidade de livros recebidos por Marisa, pode-se afirmar que é expressa por um número a) ímpar. b) primo. c) múltiplo de 4. d) formado por algarismos cuja soma é 6. e) formado por algarismos cujo produto é 40. 13) Uma indústria fez uma campanha pela qual se propõe a trocar 8 latas de óleo vazias por uma lata cheia. Se uma pessoa possui 164 dessas latas vazias, o número total de latas cheias de óleo que ela pode obter, após todas as trocas possíveis, é a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 14) Se eu corro, então não caminho; se eu caminho, então não corro. Pode-se afirmar que a) se eu corro, então caminho. b) se eu caminho, então caminho. c) se eu não corro, então não caminho. d) se eu não caminho, então não corro. e) se eu não corro, então caminho. 15) Marta, Norma e Olívia foram a uma festa usando vestidos preto, branco e vermelho, mas não necessariamente nessa ordem. A anfitriã da festa, que não as conhecia pessoalmente, quis saber quem eram elas. A que vestia preto disse: “Marta está de branco”; a que estava de branco disse: “Eu sou Norma”, e a de vermelho disse: “Olívia está de branco”. Sabendo que Marta sempre dizia a verdade, que Norma às vexes mentia e que Olívia sempre mentia, a anfitriã descobriu a identidade de cada uma delas. As cores dos vestidos de Marta, Norma e Olívia eram, respectivamente, a) branca, preta e vermelha. b) branca, vermelha e preta. c) preta, vermelha e branca. d) vermelha, branca e preta. e) vermelha, preta e branca. Prof. Milton Araújo
[email protected] 165 16) De uma garrafa cheia de licor, Ulisses tomou 4 1 e completou o volume com água. Em seguida, Nelson tomou 4 1 da mistura deixada por Ulisses e completou novamente o volume com água. Dessa forma, resultaram na garrafa a) 16 partes de licor e 9 de água. b) 10 partes de licor e 8 de água. c) 9 partes de licor e 7 de água. d) 8 partes de licor e 6 de água. e) 7 partes de licor e 5 de água. 17) Ione, Joana, Paula, Leila e Mara resolveram medir suas estaturas e constararam que: I. Ione é mais alta que Joana e mais baixa que Paula; II. Ione é mais alta que Leila e Leila é mais alta que Joana se, e somente se, Joana for mais baixa que Paula; e III. Mara e Leila não têm a mesma estatura se, e somente se, Ione e Joana tiverem a mesma estatura. Então, pode-se afirmar que a) Ione e Joana têm a mesma estatura e Paula é mais alta que Joana. b) Joana e mais alta que Paula, mas é menor que Ione e menor que Mara. c) Leila e Mara têm a mesma estatura e são mais baixas que Ione e Joana. d) Ione é mais baixa que Paula, mais alta que Leila e mais baixa que Mara. e) Mara é mais alta que Joana, mais baixa que Paula e tem a mesma estatura de Leila. 18) Sejam x e y valores que completam de forma lógica as figuras abaixo. 7 6 9 28 24 36 21 18 27 35 30 x 42 y 54 Um dos possíveis valores para a soma ( ) y x + é a) 77 b) 79 c) 81 d) 86 e) 92 19) Sejam as proposições: p : Todos os mineiros são simpáticos. q : Alguns paulistas são altos. A proposição composta ( ) q p ∧ ~ ~ é expressa, na linguagem corrente, por a) “Existem mineiros que não são simpáticos e alguns paulistas são altos”. b) “Existem mineiros que não são simpáticos ou alguns paulistas são altos”. c) “Todos os mineiros não são simpáticos ou todos os paulistas não são altos”. d) “Todos os mineiros são simpáticos ou todos os paulistas não são altos”. e) “Todos os mineiros são simpáticos e todos os paulistas não são altos”. 20) Sejam as seqüências I, II e III.: I. II. Prof. Milton Araújo
[email protected] 166 III. ? A figura que melhor completa a última seqüência é, a) b) c) d) e) Prof. Milton Araújo
[email protected] 167 1) Considere a seqüência 2 , 4 , 3 , A , 4 , 8 , 5 ... 3 9 4 B 5 15 6 O valor de B A+ 2 é igual a a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 2) Considere os argumentos abaixo. I. Alguns animais são amarelos e algumas coisas amarelas são comestíveis. Logo, alguns animais amarelos são comestíveis. II. Todas as cobras têm duas asas. Todos os seres de duas asas têm pernas. Logo, todas as cobras têm pernas. III. Todos os poetas são pobres e alguns pobres são honestos. Logo, alguns poetas são honestos. Indicando-se os argumentos válidos por V e as falácias por F,.os argumentos I, II e III são, respectivamente, a) F V F b) F F V c) F F F d) V F V e) V V V 3) Em uma caixa há 100 fichas coloridas, das quais se contam 30 brancas, 28 pretas, 20 verdes, 12 amarelas, 6 vermelhas e 4 azuis. O número mínimo de fichas que devem ser retiradas da caixa para que se tenham pelo menos 18 fichas da mesma cor é a) 40 b) 52 c) 73 d) 74 e) 78 4) Assinale a alternativa que apresenta uma contradição. a) Algum vendedor de livros é paulista e algum vendedor de livros não é paulista. b) Nenhum vendedor de livros é paulista e algum vendedor de livros não é paulista. c) Todo paulista é vendedor de livros e algum vendedor de livros não é paulista. d) Todo vendedor de livros é paulista e algum paulista não é vendedor de livros. e) Todo vendedor de livros não é paulista e algum paulista é vendedor de livros. 5) Um pedreiro está construindo um muro, de modo tal que, a partir do segundo dia, a superfície concluída a cada dia é o dobro da levantada no anterior. Dessa forma, o profissional leva 10 dias para realizar a tarefa. Se, em vez de apenas um pedreiro, trabalhassem dois com o mesmo desempenho do primeiro, o tempo necessário para realizar a mesma tarefa seria de a) 5dias b) 6 dias c) 7 dias d) 8 dias e) 9 dias 6) Quatro casais reuniram-se para jogar tênis de campo simples (um contra um). Como há apenas um campo disponível, combinaram que: • Nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas e • Marido e esposa não se enfrentam. Na primeira partida, Ivone jogou contra Fábio. Na segunda, o marido de Rosa jogou contra Mara. Na terceira, o marido de Mara jogou contra a esposa de Fábio. Na quarta, Diogo jogou contra Ivone. Por fim, na quinta, a esposa de Caio jogou contra Fábio. Dadas essas condições, o marido de Vera e a esposa de Edgar são, respectivamente, a) Fábio e Ivone. b) Fábio e Mara. c) Diogo e Mara. d) Caio e Rosa. e) Caio e Ivone. 7) Quando não vejo Abelardo, não malho ou estudo Matemática. Quando não chove e malho, não vejo Abelardo, quando estou triste, não malho e estudo Matemática. Quando não estou triste e estou estudando Matemática, não malho. Hoje malho, portanto, hoje, a) não vejo Abelardo, estou estudando Matemática, não estou triste e não chove. b) não vejo Abelardo, estou estudando matemática, estou triste e chove. c) vejo Abelardo, estou estudando Matemática, não estou triste e chove. d) vejo Abelardo, não estou estudando Matemática, estou triste e chove. Prof. Milton Araújo
[email protected] 168 e) vejo Abelardo, não estou estudando Matemática, não estou triste e chove. 8) Uma empresa produz três produtos, P1 P2 e P3, cujas demandas são diferentes. Sabe-se que: I. P1 tem alta demanda, II. P2 não tem alta demanda e III. P3 não tem baixa demanda. Considerando-se que apenas uma das assertivas acima é verdadeira, pode-se afirmar que as demandas de P1, P2 e P3 são, respectivamente, a) alta, média e baixa. b) baixa, alta e média. c) baixa, média e alta. d) média, alta e baixa. e) média e baixa e alta. 9) Em um programa de auditório, o participante recebe inicialmente R$ 256,00 e com essa quantia deve fazer sete apostas consecutivas. Em cada aposta, o participante perde ou ganha a metade da quantia que possui no momento. Se ele ganhou quatro e perdeu três dessas apostas, pode-se afirmar que, ao final do programa, o participante. a) terminou com R$108,00. b) não ganhou nem perdeu dinheiro. c) saiu com R$ 94,00 a menos do que tinha no início. d) dobrou a quantia que recebeu no início do programa. e) ganha ou perde dinheiro, dependendo da ordem em que ocorreram ganhos e perdas. 10) A brigada militar de uma cidade foi chamada para desarmar uma bomba em um estacionamento comercial. Na ocasião, o circuito do artefato foi mapeado pela equipe anti- bombas, que produziu o esquema ao lado. Sabe-se que: I. o símbolo representa o operador lógico “e”, que tem duas entradas e uma saída; II. o símbolo representa o operador lógico “ou”, que tem duas entradas e uma saída; e III. quando a bomba foi encontrada, as posições das chaves A, B, C e D eram, respectivamente, F, F, V e V (V, verdadeiro; F, falso),e que ela estava armada. Para detonar a bomba, uma possível combinação lógica das chaves A, B, C e D compreende as posições respectivas a) F, F, F e F b) F, V, F e F c) F, V, V e F d) V, V, F e V e) V, V, V e F 11) Nem tudo o que começa chega ao fim, mas tudo o que chega ao fim tem de começar. Logo, a) nada começa. b) tudo chega a seu fim. c) se algo começa, então chega ao fim. d) não é verdade que tudo o que começa chega ao fim. e) não é verdade que tudo o que começa não chega ao fim. 12) Cléber, Flora, Isa e Léo estão atrasados e devem ir do prédio A até o prédio B no menor intervalo de tempo possível. Como está chovendo, é necessário usar o único guarda-chuva disponível, que comporta até duas pessoas. Cléber demora oito minutos para fazer esse trajeto, Prof. Milton Araújo
[email protected] 169 Flora demora seis minutos, Isa demora dois e Léo, um minuto.o trajeto em menor tempo possível é feito em a) 14 minutos b) 15 minutos c) 16 minutos d) 17 minutos e) 18 minutos 13) Mateus percorre uma trilha que liga, em linha reta, três pontos de referência, Figueira, Palmeira e Ipê, nessa ordem. Em Figueira, ele vê duas placas com as indicações “Palmeira a 500 m” e “Ipê a 700 m”. Em Palmeira, encontra as indicações “Figueira a 400 m” e “Ipê a 600 m”. Ao chegar a Ipê, encontra as placas “Figueira a 700 m” e “Palmeira a 300 m”.Ainda em Ipê, cruzou com uma pessoa que lhe informou que, em um dos pontos de referência, todas as placas têm indicações erradas;em outro, todas as placas têm indicações corretas; e no terceiro, uma das placas têm indicação correta e a outra não – mas não necessariamente nessa ordem para os três pontos. Mateus pode concluir que as verdadeiras distâncias, em metros, entre Figueira e Palmeira e entre Palmeira e Ipê são, respectivamente, a) 400 e 300 b) 400 e 600 c) 500 e 200 d) 500 e 300 e) 500 e 600 14) Observe a seqüência de figuras abaixo ? Afigura que melhor completa a seqüência é a) b) c) d) e) 15) Laura é surfista ou Mário é paisagista. Se Nair é decoradora, Oscar não é bailarino. Se Oscar não é bailarino, Mário não é paisagista. Ora, Laura não é surfista e Suzi não é desenhista;pode-se, então, concluir corretamente que a) Laura não é surfista e Mário não é paisagista. b) Laura não é surfista e Nair é decoradora. c) Mário é paisagista e Oscar é bailarino. d) Nair não é decoradora e Oscar não é bailarino. e) Nair é decoradora e Suzi não é desenhista. 16) Em uma pesquisa sobre conhecimentos básicos de Matemática, fez-se a seguinte pergunta: “Que elementos estão no conjunto A e que elementos estão no conjunto B?” As respostas obtidas foram as seguintes: I. 1, 2 e 3 estão em A. II. 2 e 3 estão em B. III. b a , e c estão em A. IV. e d , e f estão em B. V. b e c estão só em A. VI. e e f estão só em B. VIII. 2, 3 e 4 estão em A e B. Considerando-se essas informações e sabendo-se que apenas a resposta apresentada na posição VII Prof. Milton Araújo
[email protected] 170 estava errada, uma das opções para a composição dos conjuntos A e B é a) { } g c b a A , , , , 3 , 2 , 1 = e { } f e d B , , , 4 , 3 = b) { } b a A , , 4 , 3 , 2 , 1 = e { } f e d c B , , , , 4 , 3 , 2 = c) { } c b a A , , , 4 , 3 , 2 , 1 = e { } f e d B , , , 4 , 3 , 2 = d) { } d c b a A , , , , 3 , 2 , 1 = e { } f e d B , , , 4 , 3 , 2 , 1 = e) { } e c b a A , , , , 4 , 3 , 2 , 1 = e { } f e d c B , , , , 4 , 3 , 2 , 1 = 17) Dado que a proposição P é verdadeira, Q é falsa e R é verdadeira, pode-se afirmar que as proposições compostas ( ) R Q P ∧ → , ( ) R P Q ∧ → e ( ) Q P R ∨ → têm como valores-verdade (V, se verdadeiro; F se falso), respectivamente, a) F V V b) F V F c) V V F d) V F V e) V V V 18) Se uma avaliação é periódica, é também atuante, mas se ela é atuante, é eficaz. Em determinada empresa, a avaliação não-eficaz é não-periódica. Assim, pode-se concluir que, a) se a avaliação é atuante, ela não é eficaz. b) se a avaliação é eficaz, ela é periódica. c) se a avaliação é periódica, ela é eficaz. d) se a avaliação é periódica, ela não é eficaz. e) se a avaliação não é atuante, ela é periódica. 19) No segundo andar de um prédio de determinada universidade, o número de cada sala é formado por dois algarismos distintos, usando-se para tanto apenas os dígitos de 3 a 9. sabe-se que as salas pares ficam do lado direito do corredor de acesso e as ímpares, do lado esquerdo. Assim, pode-se afirmar que, no segundo andar desse prédio, a) há 21 salas. b) há mais salas ímpares do que pares. c) há mais salas pares do que ímpares. d) o número de salas do lado direito do corredor é 12. e) o número de salas do lado esquerdo do corredor é 12. 20) Se abc W = , então mnp W ≠ . Se mnp W ≠ , então ijk W = . Por outro lado, abc W = ou 10 = W . Se 10 = W , então 0 = + Z W . Ora, 0 ≠ + Z W , logo, a) 0 ≠ W b) ijk W = c) abc W ≠ d) mnp W = e) 0 = + Z W Prof. Milton Araújo
[email protected] 171 1) O próximo número da seqüência 11,33, 97, 2715 é a) 5430 b) 7116 c) 7251 d) 8131 e) 9230 2) Em uma festa estão expostas 4 jarras com cores distintas (verde, vermelho, roxo e laranja), contendo, cada uma, um tipo de suco natural, a saber: de couve, melancia, uva e laranja, mas não necessariamente nessa ordem. Sabe-se que: I. a cor da jarra nunca é igual à cor do suco que ela contém; II. a jarra laranja está à direita de três tipos de suco, e nela não contém nem o suco de uva e nem o de melancia; III. a jarra vermelha está à direita da jarra roxa; IV. o suco de uva está à direita do suco de laranja; V. a jarra verde está à esquerda do suco de uva; e VI. o suco de melancia está à esquerda da jarra verde. Levando em conta tais informações, pode-se afirmar que a) a jarra roxa está disposta entre duas jarras. b) a jarra verde contém suco de laranja. c) há duas jarras entre a jarra laranja e a jarra verde. d) o suco de couve está na jarra vermelha. e) o suco de laranja está na jarra roxa. 3) Uma turma é constituída apenas por alunos que têm seus nomes iniciados pelas letras L, M, P, S e T. O professor organizou a turma em cinco filas paralelas. Em cada uma dessas filas, todos os alunos têm nomes iniciados pela mesma letra. As filas seguem o seguinte esquema: I. Os alunos cujos nomes começam pela letra P não estão ao lado dos alunos cujos nomes começam pela letra L, nem ao lado dos alunos cujos nomes começam pela letra S. II. Os alunos cujos nomes começam pela letra M estão ao lado dos alunos cujos nomes começam pela letra P. Se começarmos as filas com a letra M, então os alunos cujos nomes começam com a letra T estarão na a) primeira fila b) segunda fila c) terceira fila d) quarta fila e) quinta fila 4) Um menino passeia em volta de seis quarteirões perto de sua casa, cuja frente está representada pelo ponto P, conforme apresentado na figura ao lado. O seu passeio consiste em fazer o maior percurso possível, saindo da frente de sua casa e retornando a ela, respeitando as seguintes condições: I. O menino pode passar várias vezes pelos cruzamentos das ruas, mas não pode passar mais de uma vez pelo mesmo lado do quarteirão. II. Os seis quarteirões são quadrados, com 100 metros de comprimento em cada lado. Desprezando as larguras das ruas, o maior percurso (em metros) que o menino pode fazer é a) 1000 b) 1200 c) 1400 d) 1600 e) 1700 5) Considerando que as fórmulas bem formuladas (fbf’s) X, Y e Z representam, respectivamente, uma tautologia (que tem valores verdade somente verdadeiros), um contingente funcional veritativo (que tem valores verdade tanto verdadeiros como falsos) e uma contradição (que tem valores verdade apenas falsos), então, pode-se afirmar que a a) fbf ( ) ( ) ( ) Z Y X Z X → → ∧ → é uma tautologia. b) fbf ( ) ( ) ( ) ( ) Y X Z X X Z ∨ ↔ → ∧ ∨ ~ ~ é uma tautologia. c) fbf ( ) ( ) X Y Z Y ∧ ∨ ∨ ~ é uma contradição. d) fbf ( ) ( ) X Y Z X → ↔ ∨ é um contingente funcional veritativo. e) fbf ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z Y X X Z Y X ↔ ∧ ∧ → → → ~ ~ ~ é um contingente funcional veritativo. 6) Assinale a alternativa que expõe um argumento cuja estrutura é válida. a) Ricardo foi à festa, somente se Renata foi à festa. Renata foi à festa. Portanto, Ricardo foi à Prof. Milton Araújo
[email protected] 172 festa. b) Ricardo foi à festa, somente se Renata foi à festa. Sabe-se também que Rogério foi à festa, somente se Renata foi à festa. Entretanto, Renata não foi à festa. Logo, Ricardo não foi à festa assim como Rogério. c) Ricardo não foi à festa se, e somente se, Renata foi à festa. Renata foi à festa se, e somente se, Rogério não foi à festa. Sabe-se que Rogério foi à festa. Consequentemente, Ricardo não foi à festa. d) Se Ricardo foi à festa, então Renata não foi à festa ou Rogério foi à festa. Ricardo não foi à festa. Logo, Renata foi à festa ou Rogério não foi à festa. e) Se Ricardo foi à festa, então Renata foi à festa. Renata não foi à festa ou Rogério foi à festa. Rogério não foi à festa. Portanto, Ricardo foi à festa. 7) Considere que um dodecágono regular, cuja apresentação está na figura ao lado, sofre as seguintes transformações: 1º passo: girar a figura em sentido horário 90°. 2° passo: refletir em relação ao eixo horizontal. 3° passo: girar 60° em sentido horário. 4° passo: refletir em relação ao eixo vertical. 5° passo: refletir em relação ao eixo horizontal. Então, após essas cinco transformações, a figura obtida será: a) b) c) d) e) 8) Alberto, Bernardo, Carlos e Diego moram em um mesmo prédio de quatro andares. Cada um deles mora em um andar distinto dos demais, sendo que o primeiro andar corresponde ao térreo. Sabe-se que: I. Alberto não reside nem no primeiro, nem no quarto andar; II. para ir do andar onde reside Carlos, para o andar em que reside Diego, é preciso deslocar-se mais de um andar; III. Bernardo é uma pessoa supersticiosa, por isso não reside em um andar ímpar; IV. para ir do andar onde reside Bernardo, para o andar em que reside Alberto, é preciso deslocar- se mais de um andar;e V. Carlos não reside no primeiro andar. Considerando que todas as afirmações acima são verdadeiras, assinale a alternativa INCORRETA. a) Se Bernardo estava em sua casa e foi à de Diego, então ele se deslocou menos de três andares. b) Para Diego ir de sua residência à casa de Alberto, basta que se desloque apenas um andar. c) Para Carlos ir de sua residência à casa de Alberto, basta que ele se desloque apenas um andar. d) Para Bernardo ir de sua residência à casa de Diego, terá que se deslocar mais que um andar. e) Bernardo mora em algum andar superior ao de Carlos. 9) Em uma determinada cidade há duas regras que são obedecidas rigorosamente. 1ª regra: Toda mulher sai com algum homem. 2ª regra: Nenhum homem sai com todas as mulheres. Assim, pode-se concluir que na cidade a) existem, no mínimo, dois homens e duas mulheres. b) existem, no mínimo, duas mulheres e um homem. c) há, no mínimo, dois homens e uma mulher. d) o número de homens é igual ao número de mulheres. e) todo homem sai com alguma mulher. Prof. Milton Araújo
[email protected] 173 10) Em um país, há três fazendas: Alfa, Beta e Gama. Sabe-se que nessas fazendas criam-se somente animais, e também que, I. se reunirmos os animais das três fazendas, teremos porcos, galinhas, cães, gatos, bois, ovelhas, cavalos, chinchilas e coelhos. II. os animais comuns às fazendas Alfa e Beta são somente cães e bois; III. os animais comuns às fazendas Beta e Gama são somente cães e cavalos; IV. os animais comuns às fazendas Alfa e Gama são somente cães e ovelhas; V. se reunirmos os animais presentes nas fazendas Alfa e Gama, então ficaremos com galinhas, cães, gatos, bois, ovelhas, cavalos, chinchilas e coelhos;e VI. se reunirmos os animais presentes nas fazendas Alfa e Beta, então teremos porcos, cães, gatos, bois, ovelhas, cavalos e galinhas. Logo, pode-se afirmar que a) a fazenda Alfa abriga apenas bois, cães e ovelhas. b) a fazenda Beta abriga apenas bois, cães e cavalos. c) A fazenda Beta abriga bois, cães, porcos e cavalos. d) as outras fazendas juntas abrigam um menor número de espécies de animais que a fazenda Alfa. e) bois e galinhas vivem apenas na fazenda Alfa. 11) Em uma papelaria são vendidas duas variedades de cadernos, com os seguintes preços: R$ 11,00 e R$ 7,00. Se uma pessoa for a essa papelaria dispondo de R$ 657,00, os números máximo e mínimo, respectivamente, de cadernos que ela poderá comprar de modo que não sobre dinheiro, serão a) 91 e 63 b) 89 e 65 c) 87 e 67 d) 85 e 69 e) 83 e 71 12) Os números 2329, 1781, 1507, 1096, 959, 17, 13, 11, 8 e 7 são agrupados de dois em dois de modo que o quociente entre eles seja sempre o mesmo (e resto zero). Qual é o par do número 11? a) 2329 b) 1781 c) 1507 d) 1096 e) 959 13) Considere a seguinte proposição: P: Homens praticam o mal, e mulheres praticam o bem. Logo, pode-se afirmar que a negação de P é a) Homens não praticam o mal, e mulheres não praticam o bem. b) Se homens não praticam o mal, então mulheres não praticam o bem. c) Se homens praticam o bem, então mulheres praticam o mal. d) Se homens praticam o mal, então mulheres praticam o bem. e) Se homens praticam o mal, então mulheres não praticam o bem. 14) Dentre as alternativas expostas abaixo, assinale aquela que apresenta uma forma INVÁLIDA de argumento. a) Nenhum paulista é cearense. Mas, alguns administradores são paulistas. Portanto, alguns administradores não são cearenses. b) Toda pessoa com menos de três meses de idade é analfabeta. Nenhum administrador é analfabeto. Logo, nenhum administrador tem menos de três meses de idade. c) Todo aquele que é graduado, concluiu o ensino superior. Todo administrador é graduado.Logo, todo administrador concluiu o ensino superior. d) Todo administrador foi alfabetizado. Nenhum alienado é administrador. Logo, existe alguém que é alienado e alfabetizado. e) Todo pós-doutor fala inglês fluentemente. Alguns administradores são pós-doutores.Assim, alguns administradores falam inglês fluentemente. 15) Considere as formas de argumentos expostas abaixo. I. ( ) ( ) R Q P R Q P → → → → ~ II. ( ) R P P R Q Q P ∨ → ∨ ↔ ~ , III. ( ) ( ) R Q P R Q P → → → → ~ Qual(is)das formas de argumentos é(são) INVÁLIDADA(S)? Prof. Milton Araújo
[email protected] 174 a) Apenas II b) apenas III c) apenas I e II d) apenas I e III e) apenas II e III 16) Considere as seguintes proposições, onde x e y são elementos do conjunto dos números naturais sem o zero ( * Ν ). I. Todo número primo pode ser escrito da forma y x + , onde x e y são números primos. II. Existe pelo menos um número x , tal que 2 < x . III. Qualquer número y é maior ou igual a 1. Sobre as proposições acima, podemos dizer que é (são) verdadeira(s) apenas a) I b) II c) I e II d) I e III e) II e III 17 Durante uma guerra foi desenvolvido o seguinte código: I. se fossem emitidos, via mensagem SMS (Short Message Service), os algarismos 1, 2 e 3, mas não necessariamente nessa ordem, os alvos seriam navios, aviões e helicópteros; II. se fossem emitidos, via mensagem SMS, os algarismos1, 5 e 6, mas não necessariamente nessa ordem, os alvos seriam aviões, caminhões e jeeps; e III. se fossem emitidos, via mensagem SMS, os algarismos1, 2 e 4, mas não necessariamente nessa ordem, os alvos seriam tanques de guerra, helicópteros e aviões. Se os alvos almejados, segundo o código, são constituídos por aviões, jeeps, helicópteros e caminhões, os algarismos emitidos devem ser a) 1, 2, 3 e 4 b) 1, 2, 4 e6 c) 1, 2, 5 e 6 d) 2, 3, 4 e 6 e) 3, 4, 5 e 6 18. Considere as seguintes proposições I. Toda mulher é formosa. II. Algumas mulheres são belas. III. Nenhuma mulher é feia. IV. Algumas mulheres não são atraentes. Assinale a alternativa que apresenta uma proposição que NÃO equivale a alguma das quatro proposições acima. a) Não existe alguma mulher que não seja formosa. b) Não existem mulheres feias. c) Nem todas as mulheres não são belas. d) Nem todas as mulheres são atraentes. e) Nem toda mulher é feia. 19) Em uma pesquisa, foram entrevistadas várias pessoas sobre suas preferências em relação a três tipos de revistas semanais, A, B e C. Os resultados obtidos foram: I. 300 pessoas lêem a revista A. II. 320 pessoas lêem a revista B. III. 350 pessoas lêem a revista C. IV. 550 pessoas lêem a revista B ou C. V. 560 pessoas lêem a revista A ou C. VI.50 pessoas lêem as três revistas. Quantas pessoas lêem a revista A ou B e também a revista C? a) 160 b) 185 c) 210 d) 235 e) 260 20) Em uma garagem há três carros, um Palio, um Corsa e um Uno. Cada carro apresenta uma única coloração, distinta dos demais, podendo ser verde, amarelo ou vermelho, mas não necessariamente nessa ordem. Sabe-se também que: I. se o Palio não é verde, então o Corsa é verde; II. Se o Palio não é vermelho, então o Uno é amarelo; e III. se o Uno não é vermelho, então o Corsa é vermelho. Logo, pode-se afirmar que as cores dos carros Palio, Corsa e Uno são, respectivamente, a) amarelo, verde e vermelho. b) amarelo, vermelho e verde. c) verde, amarelo e vermelho. Prof. Milton Araújo
[email protected] 175 d) verde, vermelho e amarelo. e) vermelho, verde e amarelo. Prof. Milton Araújo
[email protected] 176 1) Em uma determinada maternidade estavam num mesmo quarto cinco mães: Marta, Juliana, Vanessa, Giovana e Rosa, e suas filhas: Betina, Clara, Renata, Judite e Lúcia, não necessariamente nessa ordem. Os enfermeiros do hospital afirmaram o seguinte: I. Se Betina é filha de Marta, então Clara não é filha de Juliana. II. Clara é filha de Juliana, ou Renata é filha de Vanessa. III. Se Judite não é filha de Giovana, então Betina é filha de Marta. IV. Nem Renata é filha de Vanessa nem Lúcia é filha de Rosa. Com base nessas afirmações, pode-se concluir que a) Renata é filha de Vanessa, ou Betina é filha de Marta. b) se Clara é filha de Juliana, Betina é filha de Marta. c) Judite é filha de Giovana, e Clara é filha de Juliana. e) Judite é filha de Giovana, e Betina é filha de Marta. 2) Quatro colegas – Juca, Josi, Rosângela e Valter – brincavam em casa quando um deles esbarrou num vaso de flores, que caiu e se quebrou. Quando Maria, a dona da casa, chegou, perguntou o que havia acontecido, e cada um contou sua história. O mordomo, que acompanhou o episódio, falou que: “Se Rosângela disse a verdade, então Josi e Valter mentiram. Por outro lado, se Valter mentiu, Juca falou a verdade. Mas se Juca falou a verdade, então foi o Bidu que derrubou o vaso”. Dona Maria tinha certeza de que o cachorro Bidu estava trancado no porão no momento do acidente, logo a) Valter mentiu, ou Juca disse a verdade. b) Rosângela e Josi disseram a verdade. c) Valter e Juca mentiram. d) Valter e Josi mentiram. e) Rosângela e Juca mentiram. 3) Se o governo aumenta a taxa de juros, então as exportações aumentam. Embora o que se sabe é que as exportações aumentaram, o que podemos concluir é que a) a taxa de juros aumentou. b) a taxa de juros diminuiu. c) as exportações aumentaram. d) as exportações diminuíram. e) as exportações aumentaram, e a taxa de juros também. 4) Seja a seqüência de pares de números inteiros: (3, 4), (2, 5), (4, 3), (1, 6). Pode-se concluir que o próximo par de números inteiros será a) (6, 1) b) (5, 2) c) (3, 3) d) (2, 5) e) (1, 6) 5) Nas frases I, II e III, por meio de uma codificação há a informação “governo de um”. I. É o conjunto de instituições que atendem e apóiam a educação superior e são mantidas pelo governo federal. II. Será encaminhado também um manual com informações e orientações para o trabalho com dicionários em sala de aula. III. Cada qual contribui de uma forma diferente para o processo de letramento e de alfabetização de um aluno. Analise as frases IV, V e VI, observando o mesmo critério de codificação. IV. É o conjunto formado pelas instituições federais de educação superior e pelas instituições privadas. V. As escolas públicas de ensino fundamental estão recebendo dois acervos diferentes de dicionários de língua portuguesa, que são excelentes. VI. A União regula o funcionamento das instituições privadas garantindo desta forma a qualidade da educação evitando falhas adversas. Logo, pode-se afirmar que nas frases IV, V e VI há a informação a) “conjunto escolas adversas”. b) “formado diferentes instituições”. Prof. Milton Araújo
[email protected] 177 c) “instituições públicas privadas”. d) “instituições são falhas”. e) “pelas escolas privadas”. 6) Se os valores lógicos das proposições compostas ( ) R Q P ∧ → e ( ) P Q R → ∨ são verdadeiros, então os valores lógicos (V se verdadeiro; F se falso) das proposições P , Q e R são, respectivamente, a) F F F b) V F F c) V F V d) V V F e) V V V 7) Sejam as proposições: I. Se Carlos trair a esposa, Larissa ficará magoada. II. Se Larissa ficar magoada, Pedro não irá ao jogo. III. Se Pedro não for ao jogo, o ingresso não será vendido. IV. Ora, o ingresso foi vendido. Portanto, pode-se afirmar que a) Carlos traiu a esposa, e Pedro não foi ao jogo. b) Carlos traiu a esposa, e Pedro foi ao jogo. c) Carlos não traiu a esposa, e Pedro foi ao jogo. d) Pedro foi ao jogo, e Larissa ficou magoada. e) Pedro não foi ao jogo, e Larissa não ficou magoada. 8) Considere o tabuleiro de xadrez ao lado onde cada posição é identificada por um par ordenado ( ) b a, , sendo que a primeira coordenada (nesse caso “ a ” corresponde ao número da linha, e a segunda coordenada (nesse caso “b ”) corresponde ao número da coluna. Cada posição assume a cor branca ou preta. Baseado nessas informações e considerando uma posição cujas coordenadas correspondem a ( ) y x, , assinale a alternativa CORRETA. 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 a) x é par e y é par se, e somente se, a posição é branca. b) Se a cor da posição é branca, então y x = . c) x é ímpar e y é par se, e somente se, a posição é preta. d) Se a posição é branca, então x é ímpar e y é ímpar. e) x é par e y é ímpar somente se a cor da posição é preta. 9) Em uma casa existem três cestos com roupas (A, B e C) e três cestos vazios (D, E e F). Sabe-se que I. os cestos A e B têm em comum somente toalhas; II. os cestos A e C têm em comum somente saias; III. os cestos B e C têm em comum somente calças; IV. se fossem unidos os conteúdos dos cestos A, B e C e colocados no cesto D, este cesto ficaria com as seguintes variedades de roupas: blusas, calças, jaquetas, meias, saias, toalhas, vestidos e xales; V. se fossem unidos os conteúdos dos cestos A e C e colocados no cesto E, este cesto ficaria com as seguintes variedades de roupas: calças, jaquetas, meias, saias, toalhas, vestidos e xales; e VI. se fossem unidos os conteúdos dos cestos A e B e colocados no cesto F, este cesto ficaria com as seguintes variedades de roupas: blusas, calças, saias, toalhas, vestidos e xales. Com base nos dados acima, pode-se concluir que o conteúdo do cesto A é formado por a) saias, toalhas, vestidos e xales. b) jaquetas, saias, toalhas e vestidos. c) calças, jaquetas, saias e toalhas. d) blusas, saias, toalhas e xales. e) blusas, meias, saias e toalhas. Prof. Milton Araújo
[email protected] 178 10) Carlos, José, Pedro e Manoel disputaram uma corrida. Sabe-se que: I. Pedro chegou entre José e Carlos. II Não é o caso que José chegou numa posição de número par. III. Manoel foi o primeiro ou o último; se foi o último, chegou logo após Carlos, e se foi o primeiro, chegou logo à frente de Carlos. Com base nessas informações, pode-se concluir que a ordem de chegada, do primeiro para o último, foi a) Carlos, José, Pedro e Manoel. b) Carlos, Pedro, José e Manoel. c) Manoel, Carlos, Pedro e José. d) Manoel, José, Pedro e Carlos. e) José, Pedro, Carlos e Manoel. 11) Assinale a alternativa que apresenta uma forma de argumento válida. a) Mateus é administrador somente se ele é bem sucedido, ou Mateus está empregado. Portanto, se Mateus é administrador, então Mateus está empregado ou é bem sucedido. b) Mateus não é administrador ou não é bem sucedido. Portanto, não é o caso que Mateus é administrador ou bem sucedido. c) Se Mateus é administrador, então Mateus está empregado. Mateus está empregado. Portanto, Mateus é administrador. d) Se Mateus é administrador, então Mateus está empregado devido ao fato de ser ele vem sucedido. Portanto, se Mateus é administrador, então Mateus está empregado. e) Se Mateus não é administrador, então Mateus não é bem sucedido. Portanto, não é o caso que Mateus é administrador e bem sucedido. 12) Seja a proposição “A prova está fácil se, e somente se, todos os alunos foram aprovados”. Uma proposição equivalente pode ser dada por a) “A prova não está fácil se, e somente se, todos os alunos foram reprovados”. b) “A prova está fácil ou não é verdade que todos os alunos foram aprovados; e a prova não está fácil ou todos os alunos foram aprovados”. c) “A prova não está fácil se, e somente se, nenhum aluno foi aprovado”. d) “Ou a prova está fácil e todos os alunos foram aprovados, ou a prova não está fácil e alguns alunos foram reprovados”. e) “Ou a prova está fácil e todos os alunos foram aprovados, ou a prova não está fácil e todos os alunos foram reprovados”. 13) Sejam as proposições: I. Para ser aprovado na prova, é suficiente estudar. II. Para ser aprovado na prova, é necessário estudar. A respeito da suficiência e necessidade nessas proposições, pode-se reescrevê-las, respectivamente, da seguinte forma: a) Se estudar, então será aprovado, e estudar garante a aprovação. b) Se estudar, então não será aprovado; e estudar não garante a aprovação. c) Se estudar, então será aprovado; e estudar não garante a aprovação. d) Se estudar, então não será aprovado; e estudar garante a aprovação. e) Se estudar, então será aprovado; e não estudar garante a aprovação. 14) Um supermercado comercializa 4 produtos distintos com prazos de validades diferentes. Sabe- se que I. o iogurte tem 1 mês de validade a mais que a manteiga; II. o leite tem 2 meses a menos de validade que a compota de pêssego; e III. a compota de pêssego tem 3 meses de validade a mais que o iogurte. A ordem dos produtos, de acordo com a expiração do prazo de validade é a) manteiga, leite, iogurte e comporta de pêssego. b) manteiga, iogurte, leite e comporta de pêssego. Prof. Milton Araújo
[email protected] 179 c) leite, iogurte, manteiga e comporta de pêssego. d) iogurte, manteiga, comporta de pêssego, e leite. e) compota de pêssego, leite, iogurte e manteiga. 15) Um número é escrito com dois algarismos. A soma desses algarismos é 11. Subtraindo 9 unidades desse número, obtém-se outro número com os mesmos algarismos em ordem invertida. Os algarismos que compõem esses dois números a) são 5 e 6 b) são 4 e 7 c) são 3 e 8 d) são 2 e 9 e) não existem 16) Numa determinada região chove ou faz sol. Se chove, há enchente; porém se faz sol, há seca. Assim, uma conclusão possível é a de que nessa região a) há seca. b) há enchente. c) há tempos de seca e de enchente. d) há tempos de seca ou de enchente. e) há apenas enchente. 17) Todo ladrão é desonesto. Alguns desonestos são punidos. Portanto, pode-se afirmar que a) alguns punidos são desonestos. b) nenhum ladrão é desonesto. c) nenhum punido é ladrão. d) todo ladrão é punido. e) todo punido é ladrão. 18) Manoela vai comprar um computador ou um carro; porém disse ao seu noivo que não é verdade que, se comprar um computador, retirará o dinheiro da poupança. Assim, pode-se afirmar que a) Manoela vai comprar o carro. b) Manoela vai comprar o computador. c) Manoela retirou o dinheiro da poupança. d) Manoela não vai comprar o carro nem o computador. e) Manoela retirou o dinheiro da poupança e vai comprar o computador. 19) A negação da proposição “Todo homem taxista dirige bem”. é a) “Existem mulheres taxistas que dirigem bem”. b) “Existe um homem taxista que dirige bem”. c) “Existe pelo menos um homem taxista que dirige bem”. d) “Existe pelo menos um homem taxista que não dirige bem”. e) “Todas as mulheres taxistas dirigem bem”. 20) Qual das seguintes alternativas apresenta uma sentença verdadeira? a) x ∀ ( ) ( ) ( ) x x sen cos < b) x ∀ ( ) ( ) ( ) π = − x x sen cos c) x ∀ ( ) ( ) ( ) 1 cos = − x x sen d) x ∀ ( ) ( ) ( ) 0 cos 2 < ⋅ → < < x x sen x π π e) x ∀ ( ) ( ) ( ) π < → < x x x sen cos Prof. Milton Araújo
[email protected] 180 1) Considere as seguintes sentenças: I. Os gatos são pretos e os cachorros são brancos. II. Se todos os gatos são brancos, não há gatos na varanda. III. Não é verdade que os cachorros são pretos e que há gatos na varanda. Admitindo-se que todas essas sentenças sejam verdadeiras, é CORRETO afirmar que: a) Os gatos são pretos ou os cachorros são brancos. b) Não há gatos na varanda. c) Todos os gatos estão na varanda. d) Os cachorros são pretos. e) Os gatos são brancos. 2) Sejam as seguintes proposições : I. ( ) ( ) ( ) R P Q P P → ∨ → ↔ II. ( ) ( ) ( ) Q R P Q P ∧ ∨ ↔ →~ III. ( ) ( ) ( ) ( ) R Q P R Q P → → → → ∧ Admitindo-se que os valores lógicos das proposições P, Q e R são respectivamente, F, F e V (V, se verdadeiro; F, se falso), os valores lógicos das proposições compostas I, II e III são, respectivamente: a) F, F, F b) F, F, V c) F, V, F d) V, V, V e) V, F, V 3) Uma ilha muito distante era habitada por dois povos rivais que estavam em guerra: o povo condicional e o povo incondicional. Ambos tinham as mesmas palavras em seu vocabulário, mas estruturas oracionais distintas. O povo condicional conhecia proposições, a negação de proposições, proposições condicionais e proposições bicondicionais, mas desconhecia a conjunção e a disjunção entre proposições. O povo incondicional conhecia proposições, a negação de proposições, a disjunção e a conjunção entre proposições. Qual das seguintes alternativas ilustra, entre parênteses, a tradução CORRETA da língua condicional para a língua incondicional? a) Se o povo condicional ganhar a batalha, não deixará o povo incondicional habitar a ilha. (O povo condicional ganha a batalha e o povo incondicional não habitará a ilha) b) Se o povo condicional não ganhar a batalha, o povo incondicional monopolizará a ilha. (O povo condicional não ganha a batalha ou o povo incondicional monopolizará a ilha.) c) Se o povo condicional perder a batalha, o povo incondicional ganhará a batalha. (O povo condicional perde a batalha ou o povo incondicional perderá a batalha). d) Não é o caso que, se o povo condicional não ganhar a batalha, ele deixará a ilha. (O povo condicional não ganha a batalha e não deixará a ilha.) e) O povo incondicional ganhará a batalha se, e somente se, ele monopolizar a ilha. (O povo incondicional ganha a batalha e monopoliza a ilha.) 4) Analise as seguintes proposições: I. Q P → é F, ou seja ( ) F Q P V = → II. Q R ~ ∨ é V, ou seja ( ) V Q R V = ∨ ~ III. ( ) P R Q ∧ ↔ é F, ou seja ( ) ( ) F P R Q V = ∧ ↔ Os valores lógicos (V , se verdadeiro; F, se falso) de P, Q e de R são, respectivamente: a) V, V, V b) V, V, F c) V, F, V d) V, F, F e) F, V, V 5) Beatriz, Carmem e Diana são esposas de Eduardo, Felipe e Gabriel, mas não necessariamente nessa ordem. Sabe-se que: I. Eduardo é marido da mulher mais jovem; II. Beatriz é mais velha que a esposa de Felipe; III. As três mulheres citadas têm idades distintas; IV. Não há bigamia entre esses casais. Logo, pode-se afirmar com certeza que: a) Beatriz é a esposa de Gabriel. b) A idade de Beatriz é menor que a de Carmem. Prof. Milton Araújo
[email protected] 181 c) Diana é esposa de Felipe. d) Gabriel é marido de Carmem. e) Eduardo é marido de Beatriz. 6) Em determinado campeonato de futebol, analisam-se as condições de alguns resultados: I. Se a Portuguesa venceu, nem o Estrela nem o Navegantes foram para a próxima fase. II. Se o Navegantes não foi para a próxima fase, o Ipiranga venceu. III. Se o Ipiranga venceu, o Serrinha foi rebaixado. Sabe-se que o Serrinha não foi rebaixado; portanto: a) a Portuguesa não venceu e o Navegantes não foi para a próxima fase. b) O Estrela e o Navegantes não foram para a próxima fase. c) O Navegantes não foi para a próxima fase e o Ipiranga não venceu. d) A Portuguesa e o Ipiranga não venceram. e) O Navegantes não foi para a próxima fase ou o Ipiranga venceu. 7) Se Alfredo ama Rebeca, ele vai se casar com ela e não vai comprar uma casa. Caso ele se case, não comprará a casa. Mas, de fato, ele comprou uma casa. Logo, pode-se dizer que: a) Alfredo vai se casa com Rebeca. b) Alfredo não comprar a casa. c) Alfredo vai se casar com Rebeca e vai comprar uma casa. d) Alfredo ama Rebeca. e) Alfredo não ama Rebeca. 8) O que caracteriza uma tautologia e uma contradição é o fato de: a) Ambas apresentarem, em suas tabelas-verdade, somente valores-verdade verdadeiros. b) Ambas apresentarem, em suas tabelas-verdade, somente valores-verdade falsos. c) Apresentarem, em suas tabelas-verdade, apenas valores-verdade verdadeiros e apenas valores- verdade falsos, respectivamente. d) Apresentarem, em suas tabelas-verdade, apenas valores-verdade falsos e apenas valores-verdade verdadeiros, respectivamente. e) Ambas apresentarem, em suas tabelas-verdades, valores-verdades intercalados entre falso e verdadeiro. 9) Sejam as proposições: : P Faz frio. : Q Chove. : R Faz sol. A proposição composta ( ) ( ) R P Q P ~ ~ ~ ∧ → ∧ , na linguagem corrente, é: a) Faz frio e chove, mas faz não faz frio e faz sol. b) Faz frio e não chove, mas faz frio e não faz sol. c) Faz frio e não chove, desde que faça frio e não faça sol. d) Se faz frio e não chove, então não faz frio e não faz sol. e) Se faz frio e não chove, não é verdade que faz frio e faz sol. 10) “Hoje é quarta-feira ou hoje é quinta-feira, e hoje é quarta-feira ou hoje é dia de feira no supermercado”. Dito de outra forma, é: a) “se hoje é quarta-feira, hoje é dia de feira no supermercado”. b) “se hoje é dia de feira no supermercado, hoje é quarta-feira e não é quinta-feira”. c) “se hoje não é quarta-feira, hoje é quinta-feira e é dia de feira no supermercado”. d) “hoje não é quarta-feira e não é quinta-feira”. e) “se hoje é quinta-feira, hoje não é dia de feira no supermercado”. 11) Considere a tabela abaixo, na qual j i ij B C A + = com { } 3 , 2 , 1 , ∈ j i . Prof. Milton Araújo
[email protected] 182 + 1 B 2 B 3 B 1 C 11 A 12 A 13 A 2 C 21 A 22 A 23 A 3 C 31 A 32 A 33 A Se 7 3 = C , 5 1 = B , 3 2 = B , 7 21 = A , 10 32 = A , 3 13 − = A E 5 33 = A ; então, a) 1 C = 2 b) 11 A = 4 c) 12 A = 5 d) 22 A = 1 e) 23 A = -1 12) Considere a proposição composta ( ) ( ) Q P Q P ∧ ∨ ∨ ~ ~ . Uma forma alternativa (ou simplificada) de expressar a mesma proposição é a) Q P ∧ b) Q P ~ ∧ c) Q P ∧ ~ d) Q P ~ ~ ∧ e) P ~ 13) Roberto viajou para Moscou no inverno. Durante o tempo em que esteve lá, houve 6 tardes e 3 manhãs sem neve; nevou 5 vezes, mas nunca durante a manhã e à tarde de um mesmo dia. Então, Roberto permaneceu em Moscou por a) 5 dias b) 6 dias c) 7 dias d) 8 dias e) 9 dias 14) Assinale a alternativa que apresenta uma estrutura de argumento não-válida. a) Não é verdade que, se Ricardo foi à festa, Renata foi à festa. Portanto, se Ricardo não foi à festa, Renata não foi à festa. b) Ricardo não foi à festa e Renata não foi à festa. Consequentemente, ambos não foram à festa. c) Não é o caso que Ricardo foi à festa ou Renata foi à festa. Logo, Ricardo não foi à festa ou Renata não foi à festa. d) Se Ricardo não foi à festa, Renata não foi à festa. Portanto, não é verdade que, se Ricardo foi à festa, Renata foi à festa. e) Não é o caso que, se Ricardo não foi à festa, Renata foi à festa. Assim, Renata não foi à festa. 15) Karen, Luiza, Mara Nestor e Olga foram a um parque de diversões onde havia as seguintes opções: montanha russa, carrossel e trem-fantasma. Sabe-se que I. todos andaram em um dos brinquedos citados II. Mara foi a única que brincou sozinha III. Olga e Nestor fizeram escolhas distintas IV. Luiza não brincou com Olga V. Karen não andou no trem-fantasma VI. Olga não andou no carrossel VII. Mara não andou no trem-fantasma Logo, é CORRETO afirmar que: a) Mara andou na montanha russa. b) Luiza e Karen andaram no carrossel. c) Nestor e Luiza andaram na montanha russa. d) Karen e Nestor andaram no trem-fantasma. e) Nestor e Luiza andaram no trem-fantasma. 16) Sabe-se que, I. com 2 triângulos eqüiláteros de lado 1, forma-se um losango de lado 1 II. com 8 triângulos eqüiláteros de lado 1, forma-se um losango de lado 2 III. com 18 triângulos eqüiláteros de lado 1, forma-se um losango de lado 3 IV. com 32 triângulos eqüiláteros de lado 1, forma-se um losango de lado 4 Logo, com 338 triângulos de lado 1, forma-se um losango de lado a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 17) Considere as seguintes premissas: I. Nenhum estudante é ignorante. II. Todo administrador é estudante. Prof. Milton Araújo
[email protected] 183 Uma conclusão possível, decorrente dessas premissas, é a de que a) nenhum administrador é ignorante. b) algum administrador é ignorante. c) todo administrador é ignorante. d) algum estudante é ignorante. e) todo estudante é administrador. 18) Seis estudantes vão viajar de ônibus para visitar certa empresa. Foram reservadas as poltronas 7 e 8, 11 e 12, 15 e 16. essas poltronas são seqüenciais e ficam do mesmo lado do corredor, como mostra a figura. Antes de os estudantes entrarem no ônibus, foram designados os números das poltronas que cada um ocuparia, levando-se em consideração as seguintes informações: • Jorge e Pedro são irmãos e é melhor que não fiquem em poltronas consecutivas nem adjacentes. • Marcus e Bia pretendem ler, juntos um livro durante a viagem; portanto, devem sentar-se em poltronas consecutivas. • Aline e Gabi são amigas, mas não estão uma ao lado da outra, pois as duas gostam de sentar-se no corredor • Bia não está sentada atrás de Aline. Assim, pode-se afirmar que um dos arranjos possíveis é: a) Marcus e Bia na frente, Aline e Pedro no meio e Gabi e Jorge atrás. b) Aline e Pedro na frente, Marcus e Bia no meio e Gabi e Jorge atrás. c) Aline e Pedro na frente, Gabi e Jorge no meio e Marcus e Bia atrás. d) Jorge e Pedro na frente, Marcus e Bia no meio, Gabi e Aline atrás. e) Aline e Gabi na frente, Marcus e Bia no meio e Pedro e Jorge atrás. 19) Em um planeta longínquo, a moeda é o dinheiru, simbolizada por Ж$. Sabe-se que, nesse planeta, existe a seguinte tabela promocional de preços para alguns animais: 2 rinomachos por Ж$ 10,00; 3 rinofêmeas por Ж$ 9,00 e 6 rinobebês por Ж$ 2,00. se Estevaldo gastou Ж$ 100,00 nessa promoção, qual o número máximo de rinomachos que ele comprou, considerando-se que gastou todo seu montante, levou ao menos um animal de cada tipo e comprou 100 animais? a) 4 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 20) Manoel recebeu as seguintes instruções para sua viagem: I. Siga à esquerda e retorne se, e somente se, seu destino for Albuquerque. II. Se seu destino for Albuquerque, siga à direita. III. Siga à esquerda. IV. Retorne ou siga para a colônia de férias. Sabe-se que Manoel obedeceu a todas as instruções. Logo a) seu destino era Albuquerque. b) seu destino não era Albuquerque e ele seguiu para a colônia de férias. c) chegou a Albuquerque, seguindo à esquerda. d) seguiu sempre em frente e à direita. e) retornou. Prof. Milton Araújo
[email protected] 184 1) Abigail confecciona caixas de presentes no formato de um cilindro circular reto de 8 cm de altura. Bruno lhe encomendou uma caixa que tivesse os mesmos volume e formato, mas cujo diâmetro fosse igual à metade do diâmetro da base da caixa original. Então, Abigail deve confeccionar uma caixa cuja altura seja igual a) à metade da original. b) ao dobro da original. c) ao triplo da original. d) ao quádruplo da original. e) a um quarto da original. 2) Em uma sala de aula que tem 40 alunos, 25 gostam de Matemática, 28 são mulheres ou gostam de Matemática, e 17 homens gostam de Matemática. Conclui-se que a) 29 desses alunos são homens. b) 23 desses alunos são mulheres. c) apenas 10 homens não gostam de Matemática. d) apenas 5 mulheres não gostam de Matemática. e) apenas 4 mulheres gostam de matemática. 3) Quando se escrevem, em ordem crescente, os números naturais de cinco algarismos distintos formados por 1, 3, 5, 7 e 9,a posição do número 57319 é a) 62ª b) 63ª c) 64ª d) 65ª e) 66ª 4) Em uma urna há nove fichas, cada uma das quais traz um numeral de 1 a 9, todos distintos uns dos outros. Retira-se uma ficha, e o número nela escrito é anotado; em seguida, sem haver reposição da ficha anterior, retira-se outra, cujo número também é anotado. A probabilidade de que a média dos números observados seja igual a 4 é de a) 12 7 b) 12 1 c) 8 1 d) 24 1 e) 9 1 5) Se 5 = y x e 2 1 = w z , o valor de yw xz yw xz 2 4 2 − + é a) -6 b) -4 c) 0 d) 2 e) 18 6) A quantidade de números inteiros que satisfazem a inequação 1 4 1 3 < − + x x é a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 7) O aquário de Davi tem a forma de um paralelepípedo retângulo de 40 cm de comprimento, 20 cm de largura e 30 cm de altura, e o nível da água que contém atinge 6 5 de sua altura. Desprezando a espessura das paredes do aquário, Davi quer colocar 3 kg de enfeites confeccionados em material de densidade 1,2 3 / cm g . Nessas condições, pode-se afirmar que a) a água do aquário transbordará. b) o aquário ficará cheio até a borda. c) o nível da água ficará entre 26 e 27 cm. d) o nível da água ficará entre 27 e 28 cm. e) o nível da água ficará entre 28 e 29 cm. 8) A equação logarítmica ( ) 1 30 11 log 2 2 = + − x x admite duas raízes. A soma dos quadrados das raízes é a) 61 b) 63 c) 65 d) 73 e) 121 9) As dimensões do retângulo BCDE são de 3 cm e 5 cm. Os pontos A, F e G são pontos médios dos lados a que pertencem. A área do quadrilátero AFGD é Prof. Milton Araújo
[email protected] 185 a) 10 2 cm b) 8,75 2 cm c) 7,5 2 cm d) 7,0 2 cm e) 3,75 2 cm 10) Afonso, Bruna, Célia, Danilo e Eduardo são irmãos cujos nomes formam uma seqüência segundo a ordem em que nasceram, sendo Afonso o mais velho. O fato curioso é que as idades dos três homens formam uma progressão geométrica e as dos cinco irmãos formam uma progressão aritmética.se a soma de todas as idades for igual a 100, a soma das idades dos três homens é a) 36 b) 44 c) 52 d) 68 e) 72 11) Mário resolveu presentear os netos Osvaldo e Rui com uma quantia total de R$ 240,00, que seria disputada em cinco lançamentos de um dado comum: levaria o prêmio aquele que acertasse três ou mais lançamentos. Osvaldo escolhei par; e Rui, ímpar. Entretanto, por descuido deles, o cachorro da família engoliu o dado após os dois primeiros lançamentos, nos quais ocorreu ímpar. Como não havia outro dado para que a disputa prosseguisse, Mário decidiu repartir o prêmio de maneira justa, utilizando, para tanto, o critério probabilístico. Então, a) cada neto recebeu R$ 120,00. b) Rui recebeu R$ 240,00. c) Rui recebeu R$ 150,00 e Osvaldo recebeu R$ 90,00. d) Rui recebeu R$ 180,00 e Osvaldo recebeu R$ 60,00. e) Rui recebeu R$ 210,00 e Osvaldo recebeu R$ 30,00. 12) O preço de custo de um doce é R$ 0,40 por unidade. O fabricante calcula que, se vender cada doce por x reais, os consumidores comprarão ( ) x − 8 doces por dia. O preço unitário de venda que maximiza o lucro e o lucro máximo são, respectivamente, a) R$ 3,20 e R$ 7,84. b) R$ 3,60 e R$ 10,24. c) R$ 4,00 e R$ 12,96. d) R$ 4,20 e R$ 14,44. e) R$ 4,40 e R$ 16,00. 13) Analise as afirmativas abaixo. I. Nas promoções do tipo “leve 4 e pague 3”, ou seja, levando-se um conjunto de 4 unidades, paga-se o preço de 3, o desconto sobre cada conjunto vendido é de 25%. II. ( ) % 1000 % 10 3 = . III. % 2 % 10 % 20 = Está(ao) CORRETA(S) a) apenas a afirmativa I. b) apenas as afirmativas I e II. c) apenas as afirmativas I e III. d) apenas as afirmativas II e III. e) as afirmativas I, II e II. 14) Uma construtora tem como oferecer a seus clientes a possibilidade de pagar um imóvel em três parcelas iguais, correspondentes a uma entrada e duas parcelas anuais sem acréscimo. Se a taxa de juros for de 10% a.a., o desconto aproximado sobre o preço à vista que a construtora pode conceder aos clientes é de a) 26% b) 20% c) 16,5% d) 8,6% e) 2,6% 15) Os pontos A(2, 2), B(0, 4) e C(6, 6) são vértices de um paralelogramo ABCD (no sentido horário). Logo, o ponto D é a) (8, 4) b) (6, 10) c) (4, 6) d) (3, 5) e) (2, 10) Prof. Milton Araújo
[email protected] 186 16) Se ( ) | | . | \ | + = − 7 4 1 2 log 3 1 3 x y A e sua transposta | | . | \ | = 7 2 4 3 t A , então y x − 2 vale a) -39 b) -14 c) 0 d) 14 e) 16 17) Uma fábrica de calçados quer fixar o preço de uma sandália para o próximo verão. Por experiência, o gerente financeiro da empresa sabe que o número x de sandálias vendidas está relacionado com seu preço p , dado em reais pela função x p 006 , 0 54 − = . Para obter a receita máxima, o gerente financeiro deverá fixar o preço da sandália em a) R$ 27,00 b) R$ 28,00 c) R$ 30,00 d) R$ 32,00 e) R$ 33,00 18) Em um levantamento feito na sala de aula de Lucélia, que tem K alunos, constatou-se que n crianças possuem computador. Se, em uma amostra, essa razão se mantiver e cinco alunos tiverem computador, a quantidade de alunos que não têm computador é a) | . | \ | − n K 1 5 b) n K 5 c) | . | \ | − K n 1 5 d) | . | \ | −1 5 n K e) | . | \ | −1 5 K n 19) Multiplicando-se a matriz | | . | \ | − − = 5 4 5 3 b a A por sua transposta, obtém-se uma matriz identidade. Se o determinante da matriz A é negativo, então o valor de b a + é a) 5 7 b) 5 1 c) 10 1 d) 5 1 − e) 10 1 − 20) Uma herança de R$ 118800,00 foi dividida entre Cássio, Diogo e Estela em partes proporcionais a 2, 4 e 5, respectivamente.a maior diferença entre as quantias recebidas por eles foi a) R$ 1800,00 b) R$ 5400,00 c) R$ 10800,00 d) R$ 21600,00 e) R$ 32400,00 Prof. Milton Araújo
[email protected] 187 1) Dona Maricota foi à feira e comprou feijão a R$ 3,00 o quilo. Em outra banca, o feijão estava em promoção, sendo vendido a R$ 2,00 o quilo. Ao fazer as contas, ela concluiu que, pelo preço pago na primeira banca, poderia ter adquirido 5 quilos a mais se tivesse comprado o feijão ao preço promocional. Nessas condições, o valor pago na comprado feijão foi a) R$ 10,00 b) R$ 15,00 c) R$ 20,00 d) R$ 24,00 e) R$ 30,00 2) Durante uma viagem para visitar amigos, Dinorá observou oscilações em seu peso, devidas à adoção de hábitos alimentares diferentes. Primeiramente, ao visitar Cibele, que é vegetariana, Dinorá perdeu 20% de seu peso original. A seguir, ficou por alguns dias na casa de Erasmo, dono de um restaurante italiano, onde ganhou 25% sobre seu novo peso. Em seguida, visitou Helena, dona de uma renomada confeitaria, e acabou ganhando 25% sobre o peso que tinha ao deixar a casa de Erasmo. Finalmente, visitou Juarez, que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento, e, assim, acabou perdendo 20% sobre o peso que tinha ao chegar nessa casa. Após essas visitas, o peso final de Dinorá com relação ao peso imediatamente anterior ao início das visitas, ficou a) 8% maior b) 10% maior c) 12% maior d) 10% menor e) exatamente igual 3) O determinante da matriz ( ¸ ( ¸ x y y x , na qual a a e e x − + = 2 e a a e e y − − = 2 , é igual a a) a e 2 b) 0 c) 1 d) -1 e) a e − − 2 4) Ulisses separou uma quantia para fazer aplicações financeiras em dois bancos. No primeiro, ele aplicou 40% dessa quantia a juros simples e à taxa de 2,5% ao mês, pois poderia resgatar o dinheiro a qualquer momento; no segundo banco, aplicou o restante da quantia a juros simples e à taxa de 34% ao ano, com carência de um ano. O prazo de ambas as aplicações é de um ano e meio. Sabendo-se que Ulisses não precisou fazer resgate durante esse período e que obteve R$ 14.580,00 de juros no total, podemos afirmar que a quantia investida na primeira aplicação a) é menor que R$ 10.500. b) está entre R$ 10.500,00 e R$ 11.500,00. c) está entre R$ 11.500,00 e R$ 12.500,00. d) está entre R$ 12.500,00 e R$ 13.500,00. e) é superior a R$ 13.500,00. 5) Se 6 3 3 = + −x x , o valor de x x − + 9 9 é a) 18 b) 24 c) 30 d) 34 e) 36 6) Na figura ao lado, o triângulo ADB é reto emD, o ângulo D B A ˆ mede 30º, o lado AD mede 3 cm e o segmento CD mede 3 cm; a área do triângulo ABC , em 2 cm , é a) 2 3 b) 3 2 3 c) 3 2 9 d) 3 6 e) 3 3 7) Em uma caixa, há 49 bolinhas de gude brancas e 49 azuis. Ludovico tirou duas bolinhas da caixa sem olhar. Se p é a probabilidade de as duas bolinhas serem de cores diferentes, e q , a probabilidade de serem da mesma cor, a diferença entre p e q é a) 49 1 b) 97 1 c) 98 1 d) 194 1 e) 196 1 8) Os números m, p e 12 formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. Os números 12, m e p , formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Pode-se afirmar que um possível valor Prof. Milton Araújo
[email protected] 188 para a soma p m+ é a) -11 b) -9 c) -3 d) 3 e) 9 9) De um conjunto de n balas coloridas, das quais algumas são verdes e as demais amarelas, observou-se que 24 das 30 primeiras eram amarelas. Em seguida, observou-se que 6 de cada 9 contadas eram amarelas. Se no total 70% ou mais das balas contadas eram amarelas, o valor máximo de n é a) 30 b) 35 c) 40 d) 84 e) 120 10) Em uma confecção, cada corte de seda permite fazer apenas dois vestidos; cada corte de brim, apenas três calças; cada corte de cambraia, apenas cinco blusas; e cada corte de malha, apenas seis bermudas. As roupas confeccionadas foram organizadas em pacotes, de forma que cada um deles contivesse apenas uma peça de cada tipo de roupa. Sabendo-se que foram utilizados 72 cortes de tecido no total, então o número máximo de pacotes organizados foi a) 15 b) 30 c) 45 d) 60 e) 90 11) Alessandra gasta 30minutos para percorrer o trajeto entre sua casa e a escola, caminhando sempre a velocidade constante,e chega exatamente na hora em que toca o sinal. Em um dia que teria um exame importante, ela saiu de casa 12 minutos antes do que o horário de costume. Ao passar em frente à Confeitaria do Jô, Alessandra observou que, se voltasse para casa e imediatamente retomasse o caminho para a escola, sempre à mesma velocidade, chegaria 15minutos após o toque do sinal. Se a distância entre a casa de Alessandra e a confeitaria é de 810 metros, a distância da confeitaria à escola é de a) 900 m b) 990 m c) 1.460 m d) 1.620 m e) 1.800 m 12) Sara está preparando os pacotes de lembrancinhas do aniversário de sua filha e providenciou vários brinquedinhos. Ao colocar a mesma quantidade de brinquedos em cada pacote, observou que, se puser 16 brinquedos em cada um, sobrarão 80 brinquedos do total disponível, e que, se colocar 20, faltarão 96. O número de pacotes e o número máximo de brinquedos que podem ser colocados em cada pacote são, respectivamente, a) 44 e 17 b) 44 e 18 c) 43 e 18 d) 42 e 17 e) 42 e 18 13) Em uma festa, 25 pessoas discutiam sobre dois filmes: Matrix e Mad Max. Cada pessoa havia assistido, pelo menos, a um dos filmes. Matrix foi assistido por cinco pessoas a mais que Mad Max, enquanto 24% das pessoas assistiram aos dois filmes. Então, o número de pessoas que assistiram a Matrix e o número de pessoas que assistira a Mad Max são, respectivamente, a) 14 e 9 b) 15 e 10 c) 16 e 11 d) 18 e 13 e) 19 e 14 14) O raio da base de um cilindro circular reto foi aumentado em 30% e a altura foi diminuída em 30%. Portanto, em relação ao original, o volume do novo cilindro a) será 18,3% maior b) será 30% maior c) será 1% menor d) será 36,3% menor e) não será maior nem menor 15) Uma família é composta por oito pessoa, das quais duas são crianças que têm menos de dez anos e as demais são maiores de idade que possuem carteira de habilitação. Tal família possui um automóvel que comporta dois passageiros no banco da frente e três no banco de trás. Sabendo-se que crianças não podem ocupar o banco da frente, o número de maneiras distintas pelas quais essa família pode acomodar-se no automóvel é a) 56 b) 120 c) 3.600 d) 4.032 e) 6.720 16) Xavier pensou em um número positivo, elevou esse número ao quadrado, subtraiu do resultado o número original, dividiu o que restou pelo mesmo número inicial e chegou a um resultado de 15. o número em que pensou inicialmente foi a) 25 b) 24 c) 18 d) 16 e) 14 17) Em uma grande indústria, há uma esteira rolante cuja parte visível tem 216 metros de Prof. Milton Araújo
[email protected] 189 comprimento. Enquanto a esteira estava em movimento, Aurora tomou-a no início, caminhou à razão de 0,6 metros por segundo e observou que levou um minuto para chegar ao outro extremo. Se colocarmos uma caixa no início dessa esteira, ela chegará ao outro extremo após a) 1min12s b) 1min22s c) 1min36s d) 2min24s e) 3min 18) Ana foi a um atacadista que, para calcular o preço unitário, em reais, de um produto, usa a fórmula 10 84 + = n p , na qual n é o número de unidades adquiridas. O preço unitário na compra de 14 unidades desse produto e o número máximo de unidades que poderá adquirir com R$ 780,00 são, respectivamente, a) R$ 16,00 e 59 b) R$ 16,00 e 69 c) R$ 16,00 e 70 d) R$ 17,00 e 69 e) R$ 17,00 e 70 19) Dois cubos têm faces pintadas em vermelho ou azul. O primeiro cubo tem quatro faces vermelhas e duas faces azuis. Quando os dois cubos são lançados, a probabilidade de suas faces voltadas para cima serem da mesma cor é de 9 5 ; O número de faces vermelhas do segundo cubo é a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 20) A média aritmética das idades de um grupo de pessoas é de 20 anos. Nesse grupo, a média aritmética das idades das mulheres é de 18 anos e a dos homens é de 24 anos. Pode-se, então, afirmar que no grupo a) os homens têm seis anos a mais que as mulheres. b) os homens têm quatro anos a mais que as mulheres. c) o número de mulheres é igual ao número de homens. d) o número de homens é o dobro do número de mulheres. e) o número de mulheres é o dobro do número de homens. Prof. Milton Araújo
[email protected] 190 1) Para que a matriz | | | . | \ | − = 2 0 0 4 4 3 2 1 k A tenha inversa, é necessário que a) 8 = k b) 8 − = k c) 8 ≠ k d) 8 − ≠ k e) 8 ≠ k e 8 − ≠ k 2) Um título de valor nominal de R$ 5.300,00 foi descontado à taxa de 18% a.a. Se o resgate do título foi executado quatro meses antes do vencimento, o desconto racional foi de a) R$ 300,00 b) R$ 350,00 c) R$ 400,00 d) R$ 450,00 e) R$ 500,00 3) Godofredo, que deseja adquirir um carro cujo preço de fábrica é p , recebeu duas propostas de concessionárias distintas. A concessionária A propões um desconto de 10% sobre o preço de fábrica subtraído de R$ 2.000,00. Já a concessionária B ofereceu um desconto de 10% sobre o preço de fábrica, seguido de uma redução de R$ 2.000,00 sobre o preço resultante. Pode-se concluir, então, que a) a diferença entre o preço da concessionária A e o da concessionária B é de R$ 2.500,00. b) a diferença entre o preço da concessionária A e o da concessionária B é de R$ 2.200,00. c) a diferença entre o preço da concessionária B e o da concessionária A é de R$ 2.400,00. d) a diferença entre o preço da concessionária B e o da concessionária A é de R$ 2.300,00. e) os preços das concessionárias A e B são iguais. 4) Uma empresa construiu uma quadra esportiva para os seus funcionários, em formato retangular, com área igual a 540 2 m . Para construí-la, gastou R$10,00 por metro linear para cercar a quadra, e R$ 20,00 por metro quadrado para a construção do piso. Sabendo-se que a empresa investiu R$11.760,00 em materiais para a construção da quadra, qual das seguintes alternativas apresenta a equação que deve ser resolvida para se obter uma das dimensões da quadra? (Considere y como sendo uma dessas dimensões) a) 0 540 48 2 = − + y y b) 0 540 48 2 = + − y y c) 0 480 54 2 = + − y y d) 0 480 54 2 = + − − y y e) 0 540 96 2 = + + − y y 5) O produto de dois números ímpares consecutivos é 1023. Um desses números pode ser a)43 b) 33 c) 25 d) 15 e) 11 6) Para que um aluno resolvesse certo problema de economia, teria que solucionar a inequação 1 1 2 − < − x x x . Abaixo segue a resolução desenvolvida pelo aluno. 1 1 2 − < − x x x (1) x x x − < − 2 2 1 (2) 0 1 2 2 < − + − x x x (3) 0 1 < − x (4) 1 < x (5) Sobre a resolução da inequação desenvolvida pelo aluno, é CORRETO afirmar que a) a resolução está correta. b) houve um erro na passagem de (1) para (2). c) houve um erro na passagem de (2) para (3). d) houve um erro na passagem de (3) para (4). e) houve um erro na passagem de (4) para (5). 7) O número de anagramas que podem ser formados com a palavra CASACO é a) 60 b) 120 c) 180 d) 360 e) 720 Prof. Milton Araújo
[email protected] 191 8) O valor da revenda de certa máquina decresce com o tempo de uso. Considerando a variável t como anos de uso, o decréscimo no valor da revenda da máquina será dado por ( ) ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≥ − ≤ ≤ − − 6 se 2 500 5 1 se 5 220 5 t t t t , calculado para cada ano de uso, cumulativamente. Se a máquina for comprada, hoje, por R$12.000,00, o seu valor de revenda daqui a 5anos será a) R$ 3.420,00 b) R$ 2.760,00 c) R$ 2.320,00 d) o mesmo que daqui a 6 anos e) o mesmo que daqui a 4 anos 9) Um funcionário de uma empresa trabalha de segunda a sábado, das 07h30min às 12h00min.Trabalha também no turno da tarde, de segunda a sexta-feira, das 14h00min às 18h00min. Ele recebe R$ 5,00 por hora, até 40 horas semanais de trabalho. Pelas demais horas de trabalho semanais, recebe R$10,00 por hora. Assim, considerando que um mês tenha quatro semanas, o rendimento mensal bruto desse funcionário é a) R$800,00 b) R$ 900,00 d) R$ 980,00 d) R$1.080,00 e) R$ 1.190,00 10) Na tabela abaixo é apresentada a distribuição dos salários de uma pequena empresa. Salário (R$) Freqüência 500 10 800 5 1.000 6 2.500 2 Total de funcionários 23 O número de funcionários dessa empresa que recebem salários de valor inferior ao salário médio é a) 2 b) 8 c) 13 d) 15 e) 21 11) Rejane digitou um número em sua calculadora, multiplicou-o por 2,2, somou 5,2 ao resultado e depois dividiu o que obtivera por 2,5. Após essas operações, o visor da calculadora expôs o número 10. supondo que a calculadora está funcionando corretamente, o número digitado foi a) exatamente 9. b) exatamente 7. c) aproximadamente 10. d) aproximadamente 3. e) um número entre 4 e 6. 12) Na figura abaixo, o triângulo BCD é eqüilátero, portanto a soma das medidas dos ângulos C A E ˆ e D F E ˆ é a) 30º b) 45º c) 60º d) 70º e) 90º 13) Nos últimos 5anos uma empresa fez três reajustes, de 20% cada um, nos preços de seus produtos. Isso totalizou um aumento sobre os preços dos produtos de a) aproximadamente 69% Prof. Milton Araújo
[email protected] 192 b) aproximadamente 65%. c) aproximadamente 62%. d) exatamente 72,8% e) exatamente 60% 14) Para cavar um poço de 52 metros cúbicos, Mário receberá R$ 0,50 para cada um dos primeiros cinco metros cúbicos cavados, além de R$ 1,00 para cada um dos 5 metros cúbicos seguintes cavados, e assim por diante, duplicando sempre o valor por metro cúbico a cada cinco metros cúbicos cavados. Assim, para cavar o 52º metro cúbico, Mário receberá a) R$ 64,00 b) R$ 256,00 c) R$512,00 d) R$ 1.024,00 e) R$ 2.048,00 15) A função ( ) x x x x f + = , 0 ≠ x é equivalente a a) ( ) x x f 2 = , 0 > x b) ( ) 2 = x f , 0 < x c) ( ) 0 = x f , 0 > x d) ( ) ¹ ´ ¦ < > = 0 x 1, - 0 x , 2x x f e) ( ) ¹ ´ ¦ < > = 0 x 0, 0 x , 2 x f 16) No cadastro de uma determinada loja estão registrados 200 clientes, sendo que: I. 70 são homens; II. 100 são mulheres que já compraram alguma mercadoria nessa loja; e III. 15 são homens que não compraram nenhuma mercadoria nessa loja. Um nome cadastrado nessa loja foi retirado ao acaso. Sabendo que o nome retirado foi de um homem, a probabilidade de ele já ter comprado alguma mercadoria nessa loja éde a) 14 11 b) 40 11 c) 13 10 d) 14 3 e) 2 1 17) Uma sorveteria que vende sorvetes por quilo, negocia 100 kg por dia, a R$ 12,00 por quilo. Uma pesquisa de opinião mostrou que, para cada real de aumento no preço do quilo, a sorveteria perderia 10 clientes, com um consumo médio diário de 500g cada. O valor do quilo de sorvete que a sorveteria deve estabelecer para que tenha a maior receita diária possível é a) R$ 4,00 b) R$ 12,00 c) R$ 14,00 d) R$ 16,00 e) R$ 18,00 18) Alfa e Beta são locadoras de automóveis. A locadora Alfa cobra R$2,00 por quilômetro rodado além de uma taxa fixa de R$100,00. A locadora Beta, cobra R$ 3.00 por quilômetro rodado mais uma taxa fixa de R$50,00. Podemos então afirmar que a) será mais vantajoso alugarmos o automóvel na locadora Alfa quando quisermos rodar menos que 30 km. b) será mais vantajoso alugarmos o automóvel na locadora Beta quando quisermos rodar menos que 50 km. c) será mais vantajoso alugarmos o automóvel na locadora Beta quando quisermos rodar mais que 50 km. d) será mais vantajoso alugarmos o automóvel na locadora Beta quando quisermos rodar entre 10 e 60 km. e) para rodarmos entre 30 e 70km, as duas locadoras oferecem o mesmo preço. 19) Considere os gráficos abaixo Prof. Milton Araújo
[email protected] 193 Podemos afirmar que a) os gráficos I e II são representações aproximadas de funções logarítmicas. b) os gráficos I e III são representações aproximadas de funções trigonométricas. c) os gráficos II e III são representações aproximadas de funções polinomiais. d) os gráficos II e IV são representações aproximadas de funções lineares. e) os gráficos III e IV são representações aproximadas de funções exponenciais. 20) O número de bactérias, em um meio de cultura, cresce aproximadamente, segundo a função ( ) ( ) t t n 20 2000 = , sendo t o número de dias após o início do experimento. Considerando-se que 3 , 0 2 log = , o tempo em que o número de bactérias irá duplicar será, aproximadamente, de a) 6h b) 10h c) 16h d) 27h e) 43h Prof. Milton Araújo
[email protected] 194 1) Marcus, José e Roberto constituíram uma empresa. Marcus contribuiu com R$ 60.000,00 e Roberto, com R$ 40.000,00. Considerando-se que, a distribuição dos lucros foi proporcional ao investimento, e Roberto recebeu R$ 5.000,00 a mais que José e R$ 5.000,00 a menos que Marcus, então se pode concluir que José contribuiu com a) R$ 5.000,00 b) R$ 15.000,00 c) R$ 20.000,00 d) R$ 25.000,00 e) R$ 30.000,00 2) No jogo de bisca é utilizado o baralho espanhol, composto de 40 cartas no total, classificadas em quatro naipes e numeradas de 1 a 12 (excluindo o 8 e o 9). Os quatro naipes são: ouros, espadas, copas e bastões. As cartas 1 e 7 são chamadas de bisca . Duas cartas são extraídas ao acaso e sem reposição. A probabilidade de ambas serem biscas é de a) 25 1 b) 25 4 c) 195 5 d) 195 6 e) 195 7 3) Um cilindro reto é eqüilátero quando a sua altura é igual ao diâmetro da base. Se um plano α cortar perpendicularmente a base de um cilindro reto eqüilátero de raio 3 cm, passando pelo centro deste, pode-se afirmar que a área da figura plana formada é de a) 9π 2 cm b) 18 2 cm c) 24 2 cm d) 36 2 cm e) 36π 2 cm 4) A empresa Delta investe mensalmente determinado valor fixo em ações. A probabilidade de essa empresa tomar a decisão correta três vezes ou menos é de 58%; a probabilidade de ela tomar a decisão correta três vezes ou mais é de 71%. A probabilidade de a empresa Delta tomar a decisão correta exatamente três vezes é de a) 13% b) 15% c) 29% d) 58% e) 71% 5) Considere as seguintes sentenças I. ( ) ( ) 15 4 2 5 3 2 − = − II. 25 5 2 = − III. 3 3 5 2 8 4 = Está(ao) CORRETA(S) a) apenas a sentença I. b) apenas as sentenças I e II. c) apenas as sentenças I e III. d) apenas as sentenças II e III. e) as sentenças I, II e III. 6) Pode-se dizer que as raízes da equação 1 7 84 26 2 2 = + − x x são números a) inteiros negativos. b) inteiros e consecutivos. c) irracionais. e) múltiplos de 2. e) primos. 7) Uma indústria fabrica dois objetos de forma circular: A e B. O objeto A tem raio A r = 5 cm, e o raio do objeto B, B r = 40 cm. Por algum motivo, foi determinado que os objetos A e B deveriam ser produzidos aumentando-se em 1 cm o perímetro de cada um deles. Em relação aos novos raios dos objetos do tipo A e do tipo B, pode-se afirmar que a) ambos foram aumentados em um mesmo valor. b) dobrou o raio do objeto B. c) o raio do objeto B ficou o dobro do raio do objeto A. d) são, respectivamente, 11π cm e 81π cm. e) são, respectivamente, 6 cm e 41 cm. 8) Uma escola do bairro Ribeirão tinha 15 professores. O professor Carlos Henrique se aposentou e foi substituído por um professor de 25 anos. Levando em conta tais dados, a média das idades dos professores diminuiu 3 anos. Então, pode-se afirmar que o professor Carlos Henrique tem Prof. Milton Araújo
[email protected] 195 a) 67 anos b) 68 anos c) 69 anos d) 70 anos e) 71 anos 9) Em uma fábrica, o funcionário Pedro pode produzir determinada encomenda em cinco horas. Se o funcionário João ajudá-lo, a encomenda ficará pronta em duas horas. No entanto, se João produzi-la sozinho levará o tempo de a) 2h30mim b) 3h c) 3h20min d) 3h30mim e) 4h 10) Na cidade de Imaginópolis, o preço da passagem de ônibus interurbano é de R$ 2,00. Sabe-se que os estudantes têm direito a pagar 50% do valor da passagem e que gastam mensalmente 50 passagens. Se o valor da passagem sofrer um reajuste de 10%, pode-se afirmar que o gasto de um estudante, referente à compra de passagens para um bimestre, será de a) R$ 50,00 b) R$ 55,00 c) R$ 75,00 d) R$ 110,00 e) R$ 220,00 11) Considere a figura ao lado, formada por cubos congruentes. Sabendo que a aresta de cada cubo mede 2 cm, pode-se afirmar que a soma de todas as diagonais dos cubos que compõem a figura é a) 3 9 b) 2 18 c) 3 18 d) 2 36 e) 3 72 12) Os índios da tribo Eximaru possuem a sua própria língua, formada por 18 consoantes e 4 vogais. Para cada palavra ter sentido, precisa começar e terminar com vogal. Considerando-se que nenhuma consoante ou vogal é repetida, quantas palavras distintas de 5 letras podem ser formadas? a) 40.320 b) 58.752 c) 69.768 d) 78.336 e) 82.080 13) O dominó é um jogo formado por 28 peças, conforme as figuras abaixo. Nas figuras acima, aparecem todas as combinações possíveis da quantidade de bolinhas que variam de 0 a 6, dois a dois, inclusive com repetição. Sabendo-se que a soma das bolinhas de todas as peças, cujos dois lados possuem o mesmo número de bolinhas, é igual ao volume de um paralelepípedo e que as arestas desse paralelepípedo são representadas por números naturais, pode- se afirmar que a) o maior lado pode ser 6. b) o maior lado pode ser 14. c) o menor lado pode ser 3. d) o menor lado pode ser 4. e) o menor lado pode ser 7. 14) Em uma pesquisa realizada no zoológico municipal da cidade Alazoala, a pergunta dirigida às crianças foi: “Que animal você veio ver no zoológico?” Os dados foram coletados e posteriormente organizados, segundo a tabela abaixo: Animal Número de respostas favoráveis Macaco 65 Girafa 38 Zebra 26 Macaco e girafa 15 Macaco e zebra 9 Girafa e zebra 11 Macaco, girafa e zebra 6 Com base nesses dados, analise as afirmativas abaixo. Prof. Milton Araújo
[email protected] 196 I. 47 crianças responderam que foram prestigiar apenas o macaco. II. Se o número total de crianças entrevistadas foi 100, apenas 2 responderam que não foram prestigiar nenhum dos animais. III. 67 crianças responderam que foram prestigiar somente um dos três animais. Assim, pode-se concluir que é(são) verdadeira(s) a) apenas a afirmativa I. b) apenas a afirmativa II. c) apenas a afirmativa III. d) apenas as afirmativas I e III. e) as afirmativas I, II e III. 15) Na festa de encerramento das Olimpíadas Universitárias de 2007 os atletas serão dispostos em 60 filas, de modo a formas a figura de um triângulo, tal que na primeira fila haja apenas um atleta, na segunda, dois atletas, na terceira, três atletas e assim sucessivamente. Considerando-se que todos estejam presentes nessa festividade, o número de atletas que participarão dessas Olimpíadas é. a) 1.770 b) 1.800 c) 1.830 d) 1.860 e) 1.900 16) Jorge comprou uma casa e efetuará o pagamento em 9 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação será de R$ 800,00, e cada uma das seguintes será sempre o dobro da anterior. Então, o valor que ele pagará pela casa será de a) R$ 408.800,00 b) R$ 204.400,00 c) R$ 80.800,00 d) R$ 7.272,00 e) R$ 6.300,00 17) Um técnico tem que escalar um time formado por cinco jogadores. Sabendo-se que as escolhas devem ser feitas dentre um grupo de 9 atletas, e que todos podem jogar em todas as posições, o número de escalações diferentes que podem ser formadas com esse grupo é a) 120 b) 126 c) 512 d) 3.024 e) 15.120 18) Uma empresa precisa fazer um empréstimo e tem duas opções. A primeira opção é oferecida pelo banco A, cuja taxa de juros cobrada é de 40% a.a., com a capitalização anual. A segunda opção é a do banco B, que cobra uma taxa de juros de 36% a.a., porém com capitalização semestral. Com base nesses dados, pode-se afirmar que a) as duas opções são equivalentes. b) a melhor opção é a oferecida pelo banco A, com taxa efetiva de 40% a.a. c) a melhor opção é a oferecida pelo banco A, com taxa efetiva de 42% a.a. d) a melhor opção é a oferecida pelo banco B, com taxa efetiva de 36,2% a.a. e) a melhor opção é a oferecida pelo banco B, com taxa efetiva de 39,24% a.a 19) Um aglomerado possui 10.000 habitantes, dos quais atualmente 50 estão com a doença X (não controlada). Admita que a função ( ) t M t n 2 ⋅ = forneça o número aproximado de pessoas atingidas pela epidemia desta doença X, onde t é o número de meses decorridos a partir do momento em que M pessoas são acometidas por tal doença. Supondo que não houve aumento nem redução populacional e que nada foi feito para debelar o mal, é provável, então, que toda a população esteja com a doença X a partir de a) 4 meses b) 5 meses c) 6 meses d) 7 meses e) 8 meses 20) Uma loja vende um artigo de duas formas distintas: à vista por R$ 52,00, ou uma entrada de R$ 20,00 e mais dois pagamentos mensais de R$ 20,00. A taxa de juros que a loja cobra ao mês sobre o saldo a receber a) está entre 15% a.m. e 18% a.m. b) está entre 10% a.m. e 15% a.m. c) está entre 5% a.m. e 10% a.m. d) é maior que 18% a.m. e) é menor que 5% a.m. Prof. Milton Araújo
[email protected] 197 1) Um fazendeiro contratou uma empresa para a construção de uma estrada de 5 km de extensão. Como o terreno em que seria construída a estrada não era regular e o grau de dificuldade da construção da mesma era crescente, os pagamentos deveriam ser realizados nas seguintes condições: R$ 1.000,00 pelos primeiros 500 m, R$ 2.000,00 pelos 500 m seguintes, e assim por diante, aumentando-se sempre de R$ 1.000,00 o valor do serviço a cada 500 m. Considerando-se esses dados, o valor total que a empresa recebeu foi de a) R$ 10.000,00 b) R$ 11.000,00 c) R$ 40.000,00 d) R$ 55.000,00 e) R$ 110.000,00 2) A diferença entre o comprimento x e a largura y de um paralelepípedo reto é de 3 cm, enquanto a diferença entre a altura z e o comprimento x é de 5 cm. Sabendo-se que 4 e -3 são raízes do polinômio ( ) 36 15 2 2 3 − − + = x x x x p , e que o volume do paralelepípedo é menor que 36 3 cm e diferente de zero, uma das soluções corretas para o problema prevê que a) o comprimento x deve ser maior que 3 cm e menor que 5 cm. b) o comprimento x deve ser maior que 3 cm e menor que 4 cm. c) o comprimento x deve ser maior que zero e menor que 3 cm. d) o comprimento x deve ser maior que zero e menor que 4 cm. e) o comprimento x deve ser maior que 4 cm e menor que 6 cm. 3) Godofredo possui um cofre que tem 4 rodas na fechadura da porta, sendo que cada uma delas tem 9 números que vão de 1 a 9. ele esqueceu o segredo, mas sabe que os quatro números são distintos, que os números da primeira e da última rodas são ímpares, e que o da segunda e da terceira são pares e um é múltiplo do outro. Como não gosta do número 4, ele também sabe que o 4 não faz parte do segredo do cofre. Assim, o número máximo de tentativas que Godofredo deverá fazer para abrir seu cofre é a) 80 b) 100 c) 120 d) 150 e) 180 4) Em uma confeitaria, 4 doceiras trabalham 6 horas por dia de maneira a produzirem 120 doces diariamente. Essa confeitaria recebeu uma encomenda de 2.000 doces e, para cumprir o prazo estipulado, contratou mais 6 doceiras que, juntamente com as demais, passaram a trabalhar 8 horas diárias, exclusivamente para atender essa encomenda. Supondo-se que as novas doceiras trabalhem no mesmo ritmo das demais, o prazo de entrega da encomenda é de a) 3 dias b) 4 dias c) 5 dias d) 6 dias e) 7 dias 5) Uma indústria fabrica três modelos diferentes de sofás: Berlin, Paris e Veneza. Abaixo, a Tabela 1 mostra o número de almofadas e de “pufs” que acompanham cada modelo, e a Tabela 2 mostra a produção que a fábrica planeja alcançar para os meses de janeiro e fevereiro. Modelo Mês Componentes Berlin Paris Veneza Modelo janeiro fevereiro Almofadas 4 6 8 Berlin 500 600 “Pufs” 2 3 4 Paris 200 300 Veneza 300 250 As quantidades de almofadas e de “pufs” que deverão ser produzidos nesses dois meses são, respectivamente. a) 5.600 e 5.900 b) 5.600 e 2.800 c) 6.200 e 3.100 d) 11.800 e 2.800 e) 11.800 e 5.900 6) Em um supermercado, um cartaz anuncia a seguinte promoção: Capa de filé – R$ 4,00 (o quilo) Na compra igual ou acima de 5 kg e abaixo de 10 kg, 10% de desconto sobre o valor total. Na compra igual a ou acima de 10 kg, 15% de desconto sobre o valor total A partir das informações constantes nesse cartaz, pode-se afirmar que a função v que melhor representa o valor a ser pago por x quilos de capa de filé é a) ( ) x x v 4 = Prof. Milton Araújo
[email protected] 198 b) ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≥ < ≤ < < = 10 , 6 , 0 10 5 , 4 , 0 5 0 , 4 x x x x x x x v c) ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≥ < ≤ < < = 10 , 4 , 3 10 5 , 6 , 3 5 0 , 4 x x x x x x x v d) ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≥ − < ≤ − < < = 10 , 15 4 10 5 , 10 4 5 0 , 4 x x x x x x x v e) ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≥ − < ≤ − < < = 10 , 15 , 0 4 10 5 , 0 , 1 4 5 0 , 4 x x x x x x x x x v 7) Um médico receitou a um paciente 10.000 gotas de um medicamento injetável (tipo soro). O frasco que contém o medicamento tem a forma de um cilindro circular reto de diâmetro igual a 4 cm e altura igual a 8 cm. O líquido no frasco, porém, fica na marca de 1 cm abaixo da borda do cilindro, conforme mostra a figura. Admitindo-se que uma gota é uma esfera de raio 0,2 cm e utilizando-se π = 3, pode-se afirmar que a) será necessário adquirir 4 frascos de soro. b) será necessário adquirir 3 frascos de soro. c) em cada frasco cabem 3.500 gotas de soro. d) em cada frasco cabem 3.300 gotas de soro. e) o volume do frasco é de 168 3 cm . 8) Em uma empresa foi realizada uma pesquisa com 1.000 funcionários sobre o número de filhos de cada um deles. Os dados obtidos foram organizados na tabela abaixo. Número de filhos ( x ) 0 1 2 3 4 5 Total Freqüência relativa (%) 10 35 28 20 5,5 1,5 100% Baseando-se nessa tabela, pode-se afirmar que a) existe uma tendência de os funcionários terem, aproximadamente, 3 filhos. b) existe uma tendência de os funcionários terem, aproximadamente, 2 filhos. c) existe uma tendência de os funcionários terem, aproximadamente, 1 filho. d) 10% dos funcionários têm 4 ou 5 filhos. e) 45% dos funcionários têm 2 ou 3 filhos. 9) Ainda a partir dos dados da tabela da questão 28, a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso ter menos de três filhos é de a) 0,93 b) 0,73 c) 0,63 d) 0,27 e) 0,07 10) Sabendo-se que π ≤ ≤ x 0 , a solução da inequação 1 2 1 ≤ < senx é a) 3 0 π < ≤ x b) 3 0 π ≤ < x c) 4 3 4 π π < < x d) 6 5 6 π π < < x e) 6 5 6 π π ≤ < x 11) Em uma empresa, 30% dos funcionários cursaram apenas o Ensino Fundamental, 45% cursaram apenas o Ensino Fundamental e Médio e o restante, além do Ensino Fundamental e Médio, têm nível superior. Entre os que cursaram apenas o Ensino Fundamental, 20% trabalham no setor A; entre os que cursaram apenas o Ensino Médio além do Fundamental, 10% trabalham Prof. Milton Araújo
[email protected] 199 no mesmo setor A; e entre os que têm nível superior além do Ensino Fundamental e Médio, 3% trabalham nesse setor A. Um funcionário desse setor pediu demissão; a probabilidade aproximada de ele ter nível superior é de a) 0,15 b) 0,13 c) 0,10 d) 0,09 e) 0,07 12) Gumercindo foi ao banco resgatar um título, após 6 meses de aplicação, e recebeu R$ 39.200. No momento do resgate, foi informado de que esse montante incluía R$ 4.200,00 referentes aos juros do período. Assim, a taxa de juros anual é de a) 12,44% b) 14,40% c) 25,44% d) 30,12% e) 35,44% 13) Uma escola foi construída num lote retangular de 1.750 2 m de área. A parte térrea da escola é também retangular e possui 600 2 m de área, com perímetro de 140 m. Os possíveis valores do comprimento e da largura do lote, considerando-se as indicações apresentadas na figura ao lado, são, respectivamente. a) 100m e 17,5 m b) 87,5 m e 20 m c) 70 m e 25 m d) 60 m e 10 m e) 50 m e 35 m. 14) Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A(4, 2), B(-3, -1) e C(-5, 0). Sobre o perímetro P do triângulo ABC, pode-se afirmar que a) é 15 b) é menor que 15 c) é maior que 21 d) pertence ao intervalo [18, 21] e) pertence ao intervalo [15, 18] 15) O total de anagramas da palavra ANPAD é exatamente igual à medida, em graus, do ângulo de um triângulo compreendido entre dois lados congruentes que medem 5 cm cada. Pode-se afirmar que a) o triângulo é eqüilátero e tem o perímetro de 15 cm. b) o triângulo é eqüilátero e tem o perímetro de 16 cm. c) o triângulo é eqüilátero e tem o perímetro de 20 cm. d) o triângulo é isósceles e os ângulos da base medem 30º cada. e) o triângulo é isósceles e os ângulos da base medem 70º cada. 16) Em relação aos intervalos de números reais | | 5 , 2 − = A e | | +∞ = , 3 B , analise as afirmações abaixo quanto a sua veracidade I. | | 5 , 3 = ∩B A II. { } A ⊂ − 4 , 1 III. A ∈ −5 IV. B ∈ 3 V. | | +∞ − = ∪ , 2 B A Logo, a) somente as afirmações I e II são verdadeiras. b) somente as afirmações II e IV são verdadeiras. c) somente as afirmações IV e V são verdadeiras. d) somente as afirmações I e III são falsas. e) somente as afirmações III e V são falsas. 17) A empresa XYZ tem três opções de pagamento na compra de um equipamento novo: • À vista, com 5% de desconto; • Em duas prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a compra; e • Em três prestações mensais iguais, sem desconto, das quais a primeira vence no ato da compra. Prof. Milton Araújo
[email protected] 200 Se o custo financeiro para a empresa é de 3% ao mês, a melhor e a pior entre as opções de pagamento da compra são, respectivamente. a) a primeira e a segunda opções. b) a primeira e a terceira opções. c) a segunda e a primeira opções. d) a segunda e a terceira opções. e) a terceira e a primeira opções. 18) Considerando x e y números reais positivos e a e b números reais, qual das seguintes alternativas está INCORRETA? a) ( ) a a a y x xy = v) ( ) b a b a x x × = c) 0 0 y x = d) b a b a x x x − = − e) a a a y x y x = | | . | \ | 19) Seja um cone reto com a área da base igual a π 16 2 cm . Sabe-se que a altura do cone é 5 cm menor que o diâmetro da base; logo, sendo Al a área lateral e V o volume do cone, pode-se afirmar que a) π 40 = Al 2 cm e π 48 = V 3 cm b) π 40 = Al 2 cm e π 16 = V 3 cm c) π 24 = Al 2 cm e π 48 = V 3 cm d) π 20 = Al 2 cm e π 32 = V 3 cm e) π 20 = Al 2 cm e π 16 = V 3 cm 20) Em um retângulo, traçaram-se paralelas a seus lados de modo a formar outros retângulos, conforme a figura abaixo: Com relação aos retângulos sombreados, 1 R e 2 R , pode-se afirmar que a) suas áreas são iguais. b) a área de 2 R é igual a duas vezes a área de 1 R . c) a área de 1 R é igual a duas vezes a área de 2 R . d) 1 R tem área maior que o dobro da área de 2 R . e) 2 R tem área maior que o dobro da área de 1 R . Prof. Milton Araújo
[email protected] 201 GABARITO RACIOCÍNIO LÓGICO – SETEMBRO/2008: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C D A B C B E D A B A E D B E C E C D A GABARITO RACIOCÍNIO LÓGICO – JUNHO/2008: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D E E A E B C E D B C A C D A C B B GABARITO RACIOCÍNIO LÓGICO – FEVEREIRO/2008: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D B C B B B D A A C A C E D E E C E A D GABARITO RACIOCÍNIO LÓGICO – SETEMBRO/2007: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C E C B D E C E A E A B C B A D A B D D GABARITO RACIOCÍNIO LÓGICO – JUNHO/2007: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A E D C A D E C D C B E C D E B A B A B GABARITO RACIOCÍNIO QUANTITATIVO – SETEMBRO/2008: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A B B E B E C C C E D A D A C A D B E GABARITO RACIOCÍNIO QUANTITATIVO – JUNHO/2008: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 E E C C D E B C E D B A D A C D A B B E GABARITO RACIOCÍNIO QUANTITATIVO – FEVEREIRO/2008: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A B B B B C E D D A C D C E A D B E A GABARITO RACIOCÍNIO QUANTITATIVO – SETEMBRO/2007: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C E D C C B A D C D E E B A C A D E E A GABARITO RACIOCÍNIO QUANTITATIVO – JUNHO/2007: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D B A C E C A B B D E C C D A D B D E A Os GABARITOS das listas de exercícios estão no CD-ROM Prof. Milton Araújo
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