1Absoluta

Geometría AbsolutaINTRODUCCIÓN Geometría es una palabra de origen griego que significa medir la tierra “Geo” Tierra y “metría” medir, podemos decir entonces que el objeto de esta ciencia es tratar las propiedades de las figuras geométricas empleadas para la medición de extensiones en el espacio. Precisando la definición decimos que: el objeto de la Geometría es el estudio del espacio. El concepto de espacio puede ser difícil de definir, pero nosotros tenemos una idea intuitiva del mismo. Trataremos de obtener un modelo matemático del espacio, para ello iremos introduciendo afirmaciones que en geometría se llaman axiomas (verdades intuitivas), hasta llegar a conocer sus propiedades El triángulo, el cuadrado, la circunferencia, son ejemplos de figuras geométricas Debemos tener siempre en cuenta que el espacio y toda figura geométrica está compuesta por puntos y que la unión de figuras geométricas es otra figura geométrica Método axiomático. El objeto propio de la geometría le fue dando a través del tiempo un fuerte impulso ya que el hombre necesitó estudiar las propiedades y medir las formas de los cuerpos y figuras de su entorno. Fue en Grecia donde la geometría se convirtió en una disciplina matemática con la introducción del método axiomático por Euclides. Euclides (300 a.C.) en su obra los elementos de geometría demuestra ya con rigor los hechos no evidentes e incluso los que se darían por obvios, utilizando principios propuestos por el a los que llamo postulados, definiciones, nociones comunes (axiomas) y proposiciones (teoremas). En su obra formada por 13 volúmenes Euclides define explícitamente los conceptos fundamentales punto y recta como; Un punto es aquello que no tiene partes. Una línea tiene longitud solamente. Es decir formula entonces propiedades sencillas que se deducen de la intuición para obtener a continuación utilizando solamente deducciones lógicas nuevas proposiciones. La matemática, como ciencia deductiva, es una creación griega, a pesar de los conocimientos anteriores que los griegos adquirieron de sus vecinos de Egipto, Caldea, Asiría y de la India. Ellos fueron los primeros que estudiaron la Matemática por el solo deseo de conocer, tal como lo hicieron con la Filosofía. Fue ese saber desinteresado el que investigó las condiciones para que la matemática fuera una ciencia deductiva, creando con ese objeto, entes abstractos desprovistos de todo contenido material y ligados por relaciones simples que el espíritu acepta sin vacilación. David Hilbert (1862-1943) publicó en 1899 (Fundamentos de Geometría) donde propone evitar las definiciones explicitas o primitivas en los sistemas axiomáticos modernos, postulando las propiedades de ciertas relaciones (paralelismo, perpendicularidad, incidencia, etc) algebrizando la geometría, tratando de hacerla lógicamente más simple y de abrir las puertas a nuevas geometrías. Hilbert comenzó su tratamiento considerando tres tipos de objetos indefinidos: puntos, rectas, y planos; y seis tipos de relaciones indefinidas: “estar en”, “estar sobre”, “estar entre”, “ser paralelo”, “ser continuo” y “ser congruente”. 1 Geometría Absoluta Habría que esperar hasta finales del siglo XIX para que en los trabajos de Pasch (Vorlesungen über nuere Geometrie, 1882), Peano (I principii di geometria, logicamente esposti, 1889) y Pieri (Della geometria elementare come sistema ipotetico deduttivo, 1899) se desarrollara una axiomatización de la geometría más acorde con la exigencia creciente del rigor matemático. No obstante, el sistema axiomático más difundido y aceptado es el que Hilbert publicó en el año 1899 en su obra "Fundamentos de la Geometría". El tratamiento axiomático de la Geometría en nuestra época necesita de tres objetos primitivos, que no necesitan ser definidos: punto, recta y plano. Y para expresar las relaciones tres palabras primitivas: pertenece, entre y congruente. Lo importante no era su significado sino el que las consecuencias de utilizar esas palabras tuviera un significado claro. Hilbert sustituyó los cinco axiomas (nociones comunes) y los cinco postulados de Euclides por un conjunto de veintiún axiomas (axiomas de Hilbert) que divide en cinco grupos: de Incidencia y existencia, de orden, de congruencia, de paralelismo, de continuidad. Además Hilbert establece para su sistema de axiomas de la geometría los siguientes requerimientos: completitud, consistencia, independencia, y simplicidad. El sistema formal es completo si cada proposición verdadera puede ser representada mediante un teorema. Es incompleto si alguna verdad no puede expresarse. en relación al conjunto de axiomas. Se dice que un conjunto de axiomas es consistente compatible) si a partir de él no puede deducirse simultáneamente una proposición (p) y su contraria (¬p). Es decir, no puede haber entre ellos o sus consecuencias, contradicción, esta condición es esencial. Ningún axioma ha de poder deducirse de los otros. Esta condición es sólo de elegancia, pues no afecta al desarrollo lógico. Resumiendo. La edificación racional de la Geometría se funda modernamente en las siguientes normas: 1.- Enunciar, sin definición, los conceptos primitivos. 2.- Admitir, sin demostración, ciertas propiedades que relacionan estos conceptos, enunciando los axiomas correspondientes. 3.- Deducir, lógicamente las restantes propiedades o teoremas. La rama de la matemática que se ocupa del estudio de los diversos sistemas de axiomas, así como de su compatibilidad e independencia, es de moderna creación y se llama AxiomáticaLa Geometría estudia en definitiva relaciones que ligan directa e indirectamente los elementos puntos, rectas y planos constitutivos de las figuras geométricas. Hilbert distinguió la complejidad de tales relaciones en cinco categorías primarias e independientes: 1ª.- Relaciones de enlace o incidencia; del tipo: “estar en”, “pasar por”, “unir”, “cortar” 2ª.- Relaciones de Ordenación; del tipo: “estar entre”, “separar”, “preceder”, “seguir” 3ª.- Relaciones de igualdad o congruencia; del tipo “es igual a”, “es congruente con” 4ª.- Relaciones de paralelismo, del tipo: “tienen la misma dirección” (se expresan según las geometrías) 2 Prof. Miguel Ángel De Carlo Geometría Absoluta 5ª.- Relaciones de continuidad; A cada una de estas categorías de relaciones corresponde un conjuntos de axiomas que las fundamenta, que iremos incluyendo a medida que los vayamos necesitando. I. Axiomas de enlace o incidencia II. Axiomas de ordenación III. Axiomas de congruencia o movimiento. IV. Axiomas de paralelismo. V. Axiomas de continuidad. Programa de Erlangen. Felix Klein Veremos las consideraciones hechas por Felix Klein al presentar en la Universidad de Erlangen en 1872 con respecto a las geometrías de donde podemos extraer: “Entre los trabajos efectuados desde hace 50 años en el dominio de la Geometría, la Geometría proyectiva ocupa el primer lugar. Si, al comienzo, ha podido parecer que las relaciones denominadas métricas no pueden resultarle accesibles porque no son proyectivas, se ha aprendido a concebirlas desde el punto de vista proyectivo. Las propiedades métricas se relacionan según un elemento fundamental el círculo del infinito.” Klein sigue afirmando que de las nociones necesarias para este desarrollo la más esencial es la de grupo de transformaciones del espacio. El conjunto de los desplazamientos (traslaciones y rotaciones alrededor de un punto ) nos ofrece el ejemplo mas sencillo de un grupo de transformaciones. Hay transformaciones del espacio que no alteran en absoluto las propiedades geométricas de las figuras, consideradas en su magnitud absoluta y el sentido (orden de sus vértices), llamadas congruencias. Las transformaciones por semejanza y las simetrías no alteran las propiedades intrínsecas de la figura, a estas transformaciones llamaremos grupo principal de transformaciones, así pues la propiedades geométricas no son alteradas por las transformaciones del grupo principal. La recíproca es igualmente verdadera Las propiedades geométricas se caracterizan por su invariancia relativamente a las transformaciones del grupo principal. Cada figura posee una individualidad propia que la hace reconocible como tal, estas singularidades son las propiamente geométricas que las transformaciones del grupo principal no alteran. En esta primera parte desarrollaremos la geometría desde la axiomática manteniendo los pasos de Hilbert e introduciendo los conceptos que se desarrollan a partir de el desarrollo de Klein hasta nuestros días 3 Geometría Absoluta Capítulo I GEOMETRÍA PLANA ABSOLUTA Punto y recta. Las figuras geométricas elementales son en el plano, el punto y la recta. No es posible definir estos conceptos, pero todos tenemos una idea intuitiva de los mismos. En el seno de la teoría de conjuntos, en la cual se baso Hilbert para definir la nueva axiomática de la geometría, debemos considerar al espacio como un conjunto E a cuyos elementos llamaremos puntos. Un punto es una posición en el espacio carente de toda extensión La imagen de un punto geométrico puede ser representada por un punto ortográfico. La recta y el plano se encuentran en el mismo nivel elemental que el concepto de punto. Es imposible definir la característica que diferencia los distintos tipos de líneas y los distintos tipos de superficies, pero todos intuitivamente sabemos distinguir las rectas de las líneas curvas y a los planos de las restantes curvas y superficies. Para nosotros entonces el plano será una superficie ilimitada, una hoja de papel sin bordes. Similarmente la recta no tendrá extremos. Concebiremos a las rectas y los planos como conjuntos de infinitos puntos, que no podemos definir. Para designar los puntos se emplean letras mayúsculas: A, B, C, D, . . Las rectas se designan con letras minúsculas: a, b, c, d, … Punto, recta y plano, son conceptos primitivos. Se aceptan sin definir La incidencia Diremos que una recta a o plano α pasa por un punto P, o que α incide en P, si P ∈ α o. P ∈ a en el caso de la recta. (El símbolo ∈ significa pertenece) En la figura están representados los puntos A, B, C y las rectas a, b, c. Todos incidentes en el plano α. Los puntos A, B, C están sobre las rectas, podemos decir que A y C pertenecen a la recta b y B y C pertenecen a la recta a. A ∈ b, B ∈ a, C ∈ a y C ∈ b. El punto C es el punto de intersección de las rectas 4 Prof. Miguel Ángel De Carlo Conceptos expresados con. Para cada par de puntos A y B existe una única recta que los contiene. estar entre. Axioma 7. Existen infinitos entes llamados puntos cuyo conjunto llamaremos espacio. B. punto. entonces tienen por lo menos otro punto B en común. Existen por lo menos cuatro puntos no coplanares. Axioma 2: Los puntos del espacio se consideran agrupados en ciertos conjuntos parciales de infinitos puntos llamados planos y los de cada plano en otros llamados rectas. 5 . Axioma 3. Todo plano contiene tres puntos no colineales. Axioma 5. plano. En la figura A ∉ a y B ∉ b Los Axiomas son verdades que se aceptan sin demostrar. existen puntos que pertenecen a la recta y puntos que no pertenecen a la recta. entonces todos los puntos de la recta pertenecen al plano.Geometría Absoluta Cualquiera que sea la recta. Axioma 4. Definen los conceptos geométricos fundamentales. que contiene a cada uno de los puntos A. plano. esta entre (puntos de una recta) y medida (para las longitudes de segmentos y amplitudes de ángulos) Finalmente los Términos indefinidos según Hilbert son: Punto. recta. congruencia (igualdad) Axiomas de incidencia. Conceptos: “estar en” “contener” “cortar” Axioma 1. recta. incide (pertenece). C. Si dos puntos de una recta están contenidos en un plano. y C. Axioma 6. pasa un único plano. Axioma 8. Si dos planos tienen un punto A en común. B.. Por tres puntos no colineales A. pertenece. axiomas. definiciones. las rectas no se pueden cortar en un segundo punto. junto con los axiomas. son coincidentes si son iguales. Como la hipótesis afirma que las rectas no son coincidentes y tampoco paralelas porque el enunciado aclara que las rectas se cortan. 5. o teoremas previos para justificar los pasos que nos lleven al resultado deseado. y si no tienen puntos comunes diremos que son paralelas 6 Prof. Entonces A y B serían una única recta ya que por A3.) Demostración: (Aquí se usa la lógica. para demostrar otros teoremas. Recuerden cada afirmación debe tener su razón) Afirmación: Por dos puntos pasa una única recta. secantes si su intersección es un punto. 1. Dos rectas de un mismo plano.Geometría Absoluta Teoremas. por dos puntos puede pasa una sola recta. Miguel Ángel De Carlo . 2. Razón o argumento de apoyo de la afirmación: Supongamos que a y b tienen un segundo punto de intersección.) Enunciado: Si dos rectas se cortan lo hacen en un punto y solo uno. En geometría se llama teorema a una proposición sujeta a demostración. Para la demostración de las proposiciones utilizamos la lógica del razonamiento deductivo El proceso del razonamiento deductivo aplicado en un teorema tiene los siguientes pasos.) Conclusión: (Afirmamos el resultado) Dos rectas si no son ni paralelas ni coincidentes se cortan en un solo punto.) Hipótesis: (Condiciones dadas) a y b rectas no coincidentes.) Tesis: (Que queremos demostrar) a∩b={P} 4. Una vez demostrado un teorema lo podemos usar. que veremos en el primer teorema que demostraremos: Teorema 1. 3. Hipótesis: α y β son planos no coincidentes. P.Geometría Absoluta Existe gran variedad de términos para expresar las ideas contendidas en axiomas y teoremas. Tesis: α ∩ β = {a} Demostración: Afirmación No son coincidentes Si son paralelos. no tienen puntos en común Si se cortan. que con P forman α Razón: Por Axioma 2 Punto exterior Por Axioma 4 Teorema 3. Razón Por Hipótesis Definición paralelismo Por Axioma 7 Por Axioma 3 Conclusión 7 . de la recta a. Enunciado: Dados dos planos distintos entonces o bien no tienen puntos comunes o bien su intersección es una recta. Demostración: Afirmación: 1) Tomamos dos puntos cualesquiera A. entonces tiene por los menos dos puntos en común. 2) A. “proyectar B desde A” son frases que equivalen a “determinar la recta AB” Teorema 2. Si dos planos se cortan determinan una recta. “unir A con B”. determinan tres puntos no colineales 3) Quedan determinados los puntos A y B. B. Hipótesis: recta a Punto P Tesis: α plano determinado por a y P. “Trazar la recta AB”. Por dos puntos pasa una única recta. B. Enunciado: Una recta y un punto exterior determinan un plano. y C son tres puntos distintos de una recta. “sigue”. “estar entre” Si tomamos dos puntos de una recta y establecemos que A está a la izquierda de B. podemos decir que los puntos de la recta r quedan ordenados. 1. ambas están en un mismo plano. Miguel Ángel De Carlo . es reflexiva. Axioma 9: Para cada de puntos distintos A y B. y B entonces esta entre el C y A. siempre existe por lo menos un punto C sobre la recta AB tal que ese punto C se encuentra entre A y B. B tiene asociado una relación ≤ (menor o igual). Axioma 11: Para todo par de puntos A y B. Axioma 13: Si A. B. Axioma 10: Si un punto B yace entre un punto A y un punto C entonces los puntos A. por el criterio de que un punto es menor cuando está más a la izquierda que otro. C son tres de puntos no colineales en el plano α y r es una recta contenida en el plano α que no pasa por ninguno de ellos.Geometría Absoluta Si dos o más rectas o puntos están en un mismo plano se dice que son coplanarios Ejercicios. La recta es un conjunto de puntos linealmente ordenado. Conceptos: “precede”.” 2. abierto y denso Axioma 12: De tres de puntos cualesquiera ubicados sobre una recta no existe más de uno que se encuentre entre los otros dos. la relación ≤ es una relación de orden total sobre la recta AB.Demostrar el teorema: “Si dos rectas se cortan.Demostrar que si A y B son dos puntos distintos en α. existe un tercer punto C que no esta en la recta AB Axiomas de orden. y todo par de puntos de la recta cumple que A ≤ B o bien B ≤ A. también corta en un punto al segmento CA. simétrica y transitiva.. o 8 Prof.Si los puntos A y B son punto distintos de α. (A precede a B o B precede a A). la recta AB se encuentra en α 3. Definición: Una geometría está ordenada si cada par de puntos A. B. Si la r corta en un punto al segmento AB... es decir. sobre los puntos de una recta. y de los que le siguen se llama semirrecta. el punto B es el origen de las semirrectas. los demás puntos. Una semirrecta queda individualizada por el origen O y un punto A que contiene. Los puntos A y C quedan en distintas semirrectas. El punto B separa a los puntos A y C. Los puntos A y C se hallan a distintos lados del B. El origen y los puntos que le preceden constituyen la semirrecta opuesta. al conjunto de los puntos comunes a A y B se llaman extremos.Geometría Absoluta corta en un punto al segmento BC y sólo se da uno de los casos. El punto B separa a la recta en dos semirrectas BA y BC . = distinguen al mismo segmento. y C incidentes en ella. a cada una de las cuales llamaremos semirrecta. el conjunto de uno de sus puntos. En una recta. El punto B se encuentra entre los puntos A y C. Dados dos puntos A y B llamaremos segmento de extremos A. se llama segmento las semirrectas AB y BA. Lo representaremos por Podemos decir que el conjunto formado por dos puntos de una recta y todos los situados entre ambos se llama segmento. B. B al conjunto de los puntos situados entre A y B. “origen”. Un punto O divide a una recta r en dos partes (clases de equivalencia). interiores. 9 . La recta r sobre la que están los puntos se denomina recta sostén. Propiedades de la posición de los puntos en la recta En la figura pueden verse la recta r y tres puntos A. Dados dos puntos A y B. O pertenece al AB . Semiplano Se llama semiplano al conjunto de los puntos de una recta r y de los de cada una de las regiones en que éste divide al plano. contienen a dicho origen. Los puntos A y B pertenecientes a un mismo semiplano determinan un segmento que no corta a la recta r. Primero B y luego C. digamos.. Los puntos de una semirrecta no están separados por el punto de división. y distintos del origen. Podemos resumir las propiedades fundamentales de la posición de los puntos en una recta y en el plano. Miguel Ángel De Carlo . 2. La recta r se denomina borde del semiplano. Deducimos por transitiva que los puntos están en este orden A. Supongamos que B y C están en la semirrecta opuesta a aquella en que está A. Digamos que A está en la semirrecta de los puntos que preceden al origen O.De tres puntos de una recta. Los puntos C y D de diferentes semiplanos cortan a la recta r en el punto P.A. con las tres propiedades siguientes: 1. Los puntos de diferentes semirrectas están separados por el punto de división. O no pertenece al BC .B. Semiplano de borde r que pasa por el punto A. Si los puntos pertenecen a una misma semirrecta el segmento no contienen al origen. O.Un punto situado en una recta la divide en dos semirrectas.. En cambio como O precede a C pero no sigue a B. B y C pertenecen a los puntos que siguen al origen y. La recta se llama borde o contorno y se dice que limita a cada uno de los semiplanos. que en ese orden. el otro semiplano será S r. Como O sigue a A y precede a B. Se puede indicar cada semiplano de la siguiente forma S r.Geometría Absoluta División de la recta El segmento que une dos puntos correspondientes a semirrectas opuestas. uno de ellos y solo uno. B y C. 10 Prof. esta entre los otros dos. que son llamados opuestos. B.. g) r ∈ α h) B ∈ S r. A i) C ∈ α j) DE ∈ α k) DE ⊂ α l) s ⊂ α 7. determine si las afirmaciones son verdaderas o falsas 11 . pero en este caso es una consecuencia del axioma 13 (Axioma de Pasch). Esta última propiedad puede darse como un axioma. cortará solamente al otro de los tres segmentos determinados. 6. 3...Trace una recta y tome cuatro puntos A.Por qué dos rectas diferentes no pueden tener dos puntos de intersección. Repaso y ejercicios..Considerando el siguiente gráfico. si dados tres puntos una recta corta al segmento determinado por dos de ellos. y D de modo que el punto C separe los puntos A y D y el punto D separe los puntos B y C.Toda recta divide al plano en dos semiplanos. el segmento no corta a la recta de separación..Dada la recta r determine a) AB ∪ CB e) AB ∪ BC .Por que todo punto del segmento pertenece a la semirrecta a) B ∈ r b) B ∈ α c) A ∈ s d) A ∈ DE e) r ⊂ α f) DE ⊂ α 8. Si los extremos del segmento pertenecen a diferentes semiplanos. Si los extremos de un segmento cualquiera pertenecen a un semiplano. C. Si nos fijamos detenidamente cortará a los segmentos que están en distinto semiplano con respecto a la recta. no cortando al tercer segmento..Cuales son las figuras geométricas elementales en el plano.Geometría Absoluta 3. el segmento corta a la recta de separación.¿Cómo se designan los puntos..¿Qué es Geometría? 2. 1... las rectas y los planos? 4. 5. . semirrectas. Si los puntos pertenecen a un mismo plano. complete las siguientes expresiones. Miguel Ángel De Carlo . así como los ángulos.¿Por qué todo punto del segmento AB pertenece a la semirrecta AB ? 10.Si S es un punto en el segmento RT . triángulos. semiplanos ya vistos. con respecto a los puntos B y C. a) RS + ST = ____ b) RT − ST = ____ c) RT − RS _____ Figura. segmentos. el punto D está en distinto semiplano según AE .. la figura se dice plana. Figura convexa. 12 Prof. Se llama figura a todo conjunto de puntos. Las rectas. Figura convexa Figura cóncava. Dados tres o más puntos no alineados.Geometría Absoluta b) AB I AB c) AB ∩ CA f) AC ∩ − AB ( ) c g) AC ∩ BC ( ) c d) AB − BC 9. polígonos que veremos constituyen ejemplos de figuras planas. se llama figura convexa a aquella formada por intersección de los semiplanos que determinan dos cualesquiera de sus puntos y contiene a los demás puntos. llamaremos ángulo convexo al ángulo de vér- tice O y lados OA y OB . Ángulos opuestos por el vértice Dos ángulos son opuestos por el vértice si tienen un vértice común y los lados de uno son semirrectas opuestas de los lados del otro ángulo. Sean r1 y r2 sus respectivas rectas sostén. por lo tanto miden lo mismo. Tomemos el ángulo convexo y su adyacente de la figura. Los lados están contenidos en los semiplanos que generan las rectas que contienen al otro lado. Si teniendo su origen en el vértice es exterior se llama rayo exterior. La semirrecta que tiene su origen en el vértice de un ángulo (convexo. El ángulo también se puede nombrar con la letra de su vértice O Dados tres puntos A. 13 . Llamamos ángulo de vértice O y lados a1 y a 2 a la intersección del semiplano de α respecto a r2 que contiene a a1 con el semiplano de α respecto a r1 que contiene a a 2 El ángulo formado contiene más puntos.a1) . B no colineales. vemos que sus lados no comunes son semirrectas opuestas por este motivo como definiremos mas adelante estas forman un ángulo llano. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes: En la figura de arriba tenemos marcados los ángulos opuestos por el vértice. Rayo. se llama interior al ángulo o rayo interior. aparte de sus lados. ˆ o una letra griega α. cóncavo o llano) y pertenece a él. Toda semirrecta con origen en el vértice que contenga un punto interior se llama rayo interior.a2) ∩ S(a2. como convexo y opuesto. Sea α el plano que las contiene. observamos que los dos tienen un mismo ángulo adyacente.Geometría Absoluta Ángulos y triángulos Definición: Sean a1 y a 2 dos semirrectas con origen común O y no contenidas en la misma recta. Ángulos adyacentes: Dos ángulos se llaman adyacentes si tienen un lado común y sus otros dos lados son semirrectas opuestas. deducimos entonces que la suma de dos ángulos adyacentes es igual a 2 rectos. = S(a1. O. es un conjunto convexo que se forma por intersección de dos conjuntos convexos. Observamos que a1 esta contenida en el semiplano en que r2 divide al plano α y a 2 esta contenida en uno de los semiplanos en que r1 divide a α. Es la semirrecta interior del ángulo que determina con los lados del mismo dos ángulos congruentes.. Carece de abertura. al ángulo. pertenece a él. Cuando dos rectas se cortan formando cuatro ángulos rectos se dice que las rectas son perpendiculares.. 2. En este caso el rayo se llama bisector. Un ángulo se denomina recto cuando es igual a su ángulo adyacente.. Un rayo interior biseca a un ángulo.. Miguel Ángel De Carlo .. pero el ángulo tiene puntos interiores. Se suele tomar la siguiente definición como válida. 1.Ángulo obtuso es un ángulo de medida mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano 6. la figura es convexa 14 Prof. (Bisector) Ángulo recto.Si los dos puntos extremos pertenecen a un lado.Si las semirrectas son opuestas. La abertura es un semiplano. el segmento pertenece al lado y.Si las semirrectas OA y OB son coincidentes.. 2.Si un extremo del segmento pertenece a un lado y el otro extremo pertenece al otro lado. El segmento cuyos extremos pertenecen a un ángulo convexo o llano.Ángulo diedro es el ángulo formado por la intersección de dos semiespacios. 4.Si las semirrectas OA y OB son coincidentes y el ángulo no tiene puntos interiores. Bisectriz de un ángulo. por consiguiente. Si todos los puntos de una figura generan segmentos contenidos en la figura... o ambos son interiores al ángulo. La abertura es todo el plano y se llama ángulo de un giro.Geometría Absoluta El ángulo puede ser considerado como el conjunto de sus lados y sus rayos interiores. Teorema 4. 3. se cumple por definición de ángulo que AB está en la intersección de los semiplanos generados por los lados del ángulo y por lo tanto pertenecen al ángulo. o es interior. Distinguiremos dos casos: 1. Casos especiales. Los lados formados por semiplanos se llaman caras y la frontera común arista. por lo tanto se llama ángulo nulo.Ángulo agudo es un ángulo cuya medidas es menor que la de un ángulo recto 5. cuando forma dos ángulos iguales con los lados del ángulo dado. se llama ángulo llano. y la recta que contiene al rayo bisectriz. CA se llaman lados del triángulo. b. llamaremos triángulo a la intersección (conjunto de puntos comunes) de los tres semiplanos limitados por las rectas AB. C) ∩ S(BC. B. se los puede llamar con letras minúsculas a. B) Dados tres puntos A. El segmento que une dos puntos respectivamente situados en lados distintos de un ángulo convexo corta todo rayo interior. existen. Por lo tanto el rayo Oc corta al AB en un punto interior. B. Para ello consideramos que el segmento AB es interior al ángulo (Teorema 4). en la recta dos sentidos que llamaremos opuestos. pudiendo considerar recta y planos como conjunto de puntos. por lo tanto. Demostración: Se prueba que los puntos mencionados A y B están en distintos semiplano con respecto a la recta del rayo interior. Esta generado por la intersección de tres semiplanos. B. B. Utilizando las relaciones de incidencia. . B. C. A. por axioma de la división del plano el rayo cortará al segmento. CA y que contienen respectivamente los puntos C. 15 . Triángulo Dados tres puntos no alineados A. El lado a será opuesto al vértice A el lado b opuesto al vértice B y c opuesto a C. un análisis intuitivo de las figuras planas no llevó considerar punto. BC. recta y planos como las figuras más simples. Los segmentos AB. C no alineados. preceder y seguir. BC .Geometría Absoluta Teorema 5. Concepto de sentido en el plano Los conceptos geométricos provienen originariamente de la intuición. de esta manera los extremos del segmento quedan en distintos semiplanos. Diremos que cada criterio de ordenación define un sentido en la recta. c y los puntos A. C a la intersección de los ángulos . C se llaman vértices. llamaremos triángulo de vértices A. Sabemos que la recta que contiene al rayo interior Oc deja a los lados del ángulo en distintos semiplanos. . Triángulo Se puede dar la definición de triangulo por intersección de semiplanos: S(AB . A) ∩ S(AC. Todo triángulo es una figura convexa. nuestra intuición nos dice que podemos dotar a una recta de dos sentidos diferentes de acuerdo al criterio A precede a B o B precede a A. Dados dos rayos de un haz a y b ó a precede a b ó b precede a a 2. y además. el punto A es el origen y el B extremo del vector.Geometría Absoluta Recta ordenada y vector. existen siempre rayos intermedios.. 16 Prof. Plano orientado. Si proyectamos los puntos de un segmento AB desde un punto C exterior a la recta que lo contiene. dados dos rayos. C). A un sentido del segmento corresponde un sentido en el haz proyectante y recíprocamente. La relación entre se conserva en la proyección. así como su carácter transitivo. La ordenación viene dada por la terna de puntos no alineados (A. Un sentido del plano estará dado desde el rayo a hacia el b que podemos fijar positivo o negativo. Para definir un sentido en la recta basta con dar dos de sus puntos A y B en un orden. particularmente los del segmento AB. en la figura se fijó positivo.Dado un rayo cualquiera del haz abierto. 3. existen siempre rayos precedentes y siguientes a él. obtendremos los ˆ B . Un ángulo se considerará orientado cuando se ha fijado un sentido en la ordenación de sus rayos. Un segmento orientado AB se llama también vector .Si a precede a b y b precede a c a precede a c. conviniendo en considerar su origen como primer elemento. el otro sentido desde b hacia a será negativo. Sentido AB es considerar: sentido en el cual A precede a B Definido el criterio de ordenación quedan ordenados linealmente todos los puntos de la recta . Miguel Ángel De Carlo . 1. Sentido en el haz de rectas. Todas las rectas de un plano que inciden en un punto se denomina haz de rectas. B. Por teorema del rayo interior. Cuando en un plano se ha fijado un sentido se dice que está orientado. Sentidos en la proyección. trazamos por ellos las rectas orientadas AB y AC. a rayos de un ángulo AC cada punto del interior del segmento corresponde un rayo interior al ángulo y recíprocamente. Tomando el punto de incidencia como origen podemos decir que un haz de rectas esta compuesto por infinitos rayos. Una semirrecta orientada se denomina rayo. las que nos dan los rayos a y b.. o una semirrecta.. Una recta en la que se a fijado un sentido se llama recta orientada . A’ y una semirrecta s de origen en A’. para designar sentidos. Si los segmentos no se cruzan entre ellos la poligonal se denomina simple La ordenación de los segmentos de una linea poligonal abierta o cerrada. Axioma 14: La congruencia es una relación de equivalencia. B. existe un único punto B’ en s tal que AB = A' B' Axioma 16: Sean A. Decimos que dos figuras son congruentes si la única diferencia es su posición en el espacio. Dos figuras son congruentes si una se puede superponer sobre la otra mediante un movimiento adecuado de la figura. es reflexiva. donde los intermedios tienen un extremo en común con el anterior y el siguiente. DE . Es decir colocando el reloj en el plano si el sentido es contrario a las agujas por convención se toma positivo (+) y en el sentido de las agujas negativo (-). Si el extremo A del primer segmento coincide con el extremo T del último la poligonal es cerrada . … . Dados varios segmentos AB . si se toma el extremo del segmento anterior como origen del siguiente. de un ángulo o una poligonal. 17 . El concepto de congruencia es aplicable a cualquier figura. esta ordenación determina un sentido en la poligonal. B’. C’ otros tres puntos en las mismas condiciones entonces si AB = A' B' y BC = B' C ' también AC = A' C ' . CD .Geometría Absoluta Línea poligonal. B. es decir. BC . En toda poligonal existen dos sentidos opuestos Para determinar un sentido o distinguir un sentido del otro es necesario referirnos a elementos ajenos a la geometría. determina un sentido a en cada uno de ellos. Axioma 15: Dados tres puntos A. Tambien se utiliza derecha o izquierda y arriba ó abajo. Axiomas de congruencia La congruencia es un concepto geométrico básico. sin estar alineados con ellos. al conjunto de todos los segmentos se lo denomina línea poligonal. decimos: “en el sentido de las agujas del reloj” para determinar el sentido de un haz. es decir. sean A’. C puntos colineales de tal forma que B está entre A y C. simétrica y transitiva. mediante un movimiento adecuado una se convertirá en la otra (por superposición). PR = AB y RQ = CD AB es posible por axioma 15. Axioma 18: Dos triángulos son congruentes si tienen congruentes dos lados correspondientes y el ángulo comprendido entre ellos. existirá un punto R tal que PR = a y por lo tanto deducimos que existirá un RQ = b = c. Del axioma 16 se desprende el teorema que definirá la suma de segmentos. Hipótesis. Además. entonces existe un único ángulo contenido en α. Miguel Ángel De Carlo . con un lado igual a . Queda demostrado Definición: Teniendo en cuenta el teorema 4 podemos escribir: PQ = AB + CD De este modo tenemos definida la suma entre de dos clases de segmentos cualesquiera. AB CD segmentos Tesis. tal que = . Esta suma es conmutativa y asociativa.Geometría Absoluta Axioma 17: Si es un ángulo y una semirrecta. Por el axioma 15 es posible construir un punto Q de modo que RQ = CD . Teorema 6. 18 Prof. Demostración. b y c . Tomamos el segmento PR = Ahora consideramos la semirrecta r con origen en R que no contiene a P. Del axioma 15 y el teorema anterior se desprenden los teoremas: Teorema 7. de donde deducimos que los segmentos b = c. los dos pertenecientes al plano α . Dados dos segmentos AB y CD existe un segmento PQ con la propiedad de que existe un punto R entre P y Q de modo que PR = AB y RQ = CD . Si PQ = AB + CD entonces existe un punto R entre P y Q tal que PR = RQ = CD AB y Teorema 8. Dados tres segmentos a. De este teorema se deduce que la suma de segmentos es simplificable. si a + b = a + c entonces b = c si a + b = a + c = PQ . cada ángulo es congruente a sí mismo. por cancelativa. entonces diremos que: AB < PQ Segmentos Consecutivos.Geometría Absoluta Definición. Dada la existencia de la suma PQ = AB + CD . (Un ángulo llano) α + β = 2rectos 19 . A. La suma de segmentos orientados (vectores). Ángulos consecutivos Dadas tres semirrectas de origen común a.b en ese orden los ángulos ac y cb son consecutivos y el ángulo ab es la suma de ellos. Los ángulos consecutivos tienen un lado y el vértice común y ningún otro punto Estos ángulos no son consecutivos Los ángulos ac y cb no tienen un vértice común. Dados tres puntos de una recta. será tratada más adelante. sino que es una suma orientada. Estos segmentos son consecutivos pero no están alineados por los tanto el segmento AD no es una suma propiamente dicha. B y C así ordenados los segmentos AB y BC se llaman consecutivos y el AC . En este caso O es el vértice del ac y P es el vértice del cb Para poder sumar los ángulos estos deben ser consecutivos Dos ángulos consecutivos son adyacentes si su suma es igual a dos rectos. su valor es menor que la del segmento alineado y su dirección y sentido va desde el punto A al D. Los segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común y ningún otro punto. c . En el caso de la figura de la derecha los segmentos no son consecutivos. Pues el punto de contacto no está en los extremos de los segmentos. suma de ellos. .Exprese 2 en minutos. En definitiva: se ve que. 5.Reste 10° 20’ 30’’ de 50° 40’. Como los vértices son extremos de los lados del triángulo y estos están contenidos en los lados de los ángulos se desprende que dos triángulos congruentes tienen respectivamente congruentes los lados y los ángulos. Congruencia.. 9. 3 o 7... 8.¿Todos los ángulos consecutivos son adyacentes? 2.Reste 20° 40’ de 34° 20’.Uno de los ángulos formados por dos rectas del plano al cortarse tiene un valor de 60°. Aplicando lo que antecede al caso de triángulos. 4.. introdujimos como primitivos los conceptos de congruencia de segmentos y congruencia de ángulos.¿Qué parte fraccionaria de grado representan 48’. ¿se cumple?.Son α y β ángulos adyacentes 11b.. y solo uno de la otra.. Repaso y Ejercicios: Responder dando siempre una afirmación (proposición) y una razón de esa afirmación 1. se ve que en esa correspondencia punto a punto.Son γ y β ángulos adyacentes 20 Prof.. Halle el valor de los demás ángulos.. 6. es evidente. 2º segmentos que tienen por extremos pares de puntos correspondientes son congruentes. Dos figuras se dicen congruentes cuando: 1º a todo punto de una puede hacerse corresponder un punto.La proposición inversa del punto anterior. 3º ángulos cuyos lados contienen segmentos correspondientes son congruentes. el rayo c pasa entre los lados a y b semirrectas opuestas que forman un ángulo llano.. a los vértices de uno le han de corresponder los vértices del otro. Miguel Ángel De Carlo ..Geometría Absoluta Sean α y β los ángulos adyacentes dados. es posible deducir la congruencia de figuras en general. postulando primeramente las relaciones elementales de congruencia de segmentos entre sí y de ángulos entre sí y por último la de segmentos con ángulos.. 3.Que valor tiene un ángulo adyacente que es dos veces mayor al otro. 10..Demuestre que si dos ángulos son congruentes sus ángulos adyacentes también los son.¿en cuánto excede 40° 20’ a 25° 40’ 11. La extensión a polígonos en general.En la figura de la derecha AB y CD se intersecan en O y ε = 90° 11a . Está formado por un lado del ángulo y la prolongación del otro. . Llamaremos ángulo exterior α de un triángulo a todo ángulo adyacente a uno interior. 12. 11f. . Los segmentos AB . 2. precisamente los lados del triángulo. Los ángulos del triángulo generalmente llevan el nombre del vértice. conjunto de los puntos del propio triángulo que no pertenece a las rectas bordes de los semiplanos que los forman.β.Geometría Absoluta 11c. S(AB . A) ∩ S(AC. Calcule: 12a.) 2α . 11g. El triángulo convexo es una figura que hemos definido como la intersección de tres ángulos modernamente se utiliza la definición por intersección de semiplanos. la intersección de los semiplanos cuyo borde esta formado por dos de esos puntos y contiene al punto restante. B) = El triángulo separa los puntos del plano en: 1. Dados tres puntos no alineados. 21 . 12b. Con a.Frontera o contorno. 12c. precisamente decimos. C los vértices del triángulo..Exteriores..) α + β . AC son los lados del triángulo y los puntos A. 11e.Nombre un par de ángulos suplementarios 11d. E1 triángulo es interior a cada uno de sus ángulos... 11i.Interiores.Cuales ángulos son agudos. C.. Clasificación de los triángulos 1. puntos pertenecientes al borde del triángulo.Sean α = 53° 10’ y B = 34° 15’. B. BC ..) 1 4 α+ β 2 5 Triángulos – Congruencia. C) ∩ S(BC. c denotaremos las medidas de los lados opuestos a los vértices A.Nombre un ángulo recto... es un triángulo. .Son α y β ángulos complementarios. b..Según sus lados.. 11h.Nombre los ángulos opuestos por el vértice.. B. 3. . respectivamente.Si α = 50° cuál es la medida de los demás ángulos. conjunto de los puntos del plano que no pertenecen a el.Son α y γ ángulos opuestos por el vértice.. Toda semirrecta de origen P o coincide con los lados PA. en el segundo. E1 rayo interior del ángulo corta al lado opuesto. Todo triángulo equilátero es isósceles 2. H) Triángulo a rayo interior T) D) ∩ a = {P} Afirmación: El rayo interior con vértice en A corta al lado opuesto BC del . PB o PC. a un punto cualquiera del contorno. Los rayos PB y PC están a ambos lados de AP. lados del triángulo ABC que apoyan sus extremos sobre aquellos: en el primer caso. 22 Prof. Teorema 9.Según sus ángulos interiores. BC o AC. • • • Un triángulo es acutángulo si y sólo si sus tres ángulos interiores son agudos. entonces cada uno de los tres ángulos tiene en común con sus vecinos solo un lado y llenan el plano. Un triángulo es isósceles si y sólo si tiene al menos dos lados congruentes. es interior al ángulo A y separa a los lados AB y AC. luego APB y APC tienen en común solo un lado. Lo mismo puede demostrarse para APB y BPC y para BPC y CPA.. Miguel Ángel De Carlo . la semirrecta corta a un vértice.Geometría Absoluta • • • Un triángulo es equilátero si y sólo si sus tres lados son congruentes. Un triángulo es escaleno si y sólo si no tiene lados congruentes. Un triángulo es rectángulo si y sólo si tiene un ángulo interior recto. Un triángulo es obtusángulo si y sólo si tiene un ángulo interior obtuso. Razón el segmento BC apoya sus extremos en los lados del ángulo A (Teorema del rayo Interior) Teorema 10 Toda semirrecta con origen P en el interior de un triángulo corta al contorno en un punto. o corta los segmentos AB. Si se considera el rayo AP. De acuerdo a la definición se requeriría la verificación de las seis relaciones que figuran en la misma. Sin embargo es suficiente que se cumplan algunas de las condiciones anteriores para asegurar la congruencia de los triángulos. pagina 15. los dos triángulos tienen. Los pares de ángulos y de lados congruentes de los triángulos de la definición anterior se llaman correspondientes u homólogos = AB = A' B ' son congruentes entonces: BC = B' C ' = ’ = ’ AC = A' C ' = ’ por ejemplo AB = A' B ' son lados homologos. 23 .Geometría Absoluta Criterios de congruencia de triángulos De la definición de congruencia de la página 17 se desprende la definición explícita a triángulos: Dos triángulos son congruentes si y sólo si los lados y los ángulos interiores de uno de ellos son respectivamente congruentes a los lados y a los ángulos interiores del otro. Supongamos que AC no es congruente con A' C ' . sus tres lados y sus tres ángulos congruentes. Por axioma 18. Primer Criterio (lal) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. entonces será AC < A' C ' o AC > A' C ' . H) = = T) ’ ’ y Triángulos AB = A' B ' = D) Bastara probar que los triángulos tienen además un segundo lados respectivamente congruente el AC = A' C ' por ejemplo. Segundo Criterio (ala) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes un lado y los dos ángulos adyacentes a dicho lado. reduciendo el caso al axioma 18 (Primer criterio). = ’ ángulos correspondientes Con frecuencia sucede que debemos probar que dos triángulos son congruentes.. Luego el punto C” es interior al AC es también interior al ángulo..q.Debemos admitir que AC = A' C ' .ABC y A'B'C' son congruentes.Existirá entonces en el interior de AC un punto C" tal que AC '' = A' C ' .. Por primer criterio. Miguel Ángel De Carlo .d. Siempre es posible dividir un segmento de tal forma que una parte de este sea congruente con el otro (axiomas de congruencia). AC '' = A' C ' por construcción y = ’ por hipótesis. La semirrecta que contiene al segmento BC ' ' es rayo interior del ángulo . 3. de esta forma tendríamos el teorema demostrado por el primer criterio (lal). respectivamente congruentes Podemos razonar de la misma forma si suponemos que AC < A'C'. luego se deduce que el ángulo ABC" < ABC. si al final de la demostración llegamos a un absurdo con respecto a lo planteado en la hipótesis. Digamos por ejemplo que AC > A' C ' . no es verdadera. lo mismo que BC ' ' . Dos triángulos son congruentes si tienen un lado y los ángulos adyacentes al lado. de esa forma los ángulos no contradicen la hipótesis. El método se llama Reducción al absurdo.Geometría Absoluta Este método de demostración consiste en suponer que la proposición AC = A' C ' . Tercer Criterio (lll) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes los tres lados.. diremos que la proposición AC = A' C ' es verdadera.Pero por Hipótesis los ángulos ABC y A'B'C' son congruentes queda por carácter transitivo de la desigualdad que ABC'<A'B'C' que se contradice con la Hipótesis. axioma 18 C. tienen dos lados congruentes AB = A' B ' por hipótesis..Pero AC tiene sus extremos en los lados del ángulo B.. 5. Luego tenemos que en los triángulos se cumple que AB = A' B ' por hipótesis AC = A' C ' por demostración = ’ por hipótesis Por primer criterio. 24 Prof. 2. 4. 1. Hipótesis) y AB = A' B ' AC = A' C ' Triángulos BC = B' C ' Tesis) y D) Bastara con demostrar que los dos triángulos tienen un ángulo igual. los rayos de ese punto determinan CM y C"M serán simultáneamente ambos interiores. Criterio del triángulo isósceles.Tesis. en el semiplano del lado AB que no contiene al triángulo un triángulo ’tal que : . el punto M será también interior. Si en un triángulo se cumple que los lados CA = CB entonces = Hipótesis. con respecto al AB. ⎩ ’ ABC" = ’= son congruentes Luego BC ' ' = B'C' .. = ”. y a su vez. y AC"M y BC"M por la otra. esto dos de ambos ángulos significa que y " serán respecto de los ángulos ACM y BCM. del ángulo Comparamos los triángulos ACM y BCM Podemos verificar que: 25 . por una parte. luego por carácter transitivo AC" = AC . pero como ”= '. = + y ”= + Si consideramos ahora los triángulos y vemos que ambos son isósceles pues AC" = A' C ' por construcción y A' C ' = AC por hipótesis. a sus respectivos ángulos. ⎧ AB = A' B' hipótesis ⎪ ˆ ' Construc.. ABC" = A' B' C ' ⎨ α = A ⎪ AC" = A' C ' Construc. Como por otra parte AB tiene sus extremos sobre los lay ” . será interior.= triángulo. lados CA = CB Demostración.Trazamos la bisectriz CM. iguales a la suma de ellos. Con esta igualdad y las de la hipótesis AC = A' C ' y BC = B' C ' se demuestra la igualdad de los triángulos (lal). Si son isósceles los respectivos pares de ángulos de la base son congruentes = . con respecto a ellos. ’’ = De esta forma tenemos que los triángulos Si trazamos CC" este cortara a la recta AB en un punto M que.Para ello consideramos. por transitiva = = y Por la propiedad uniforme de la suma '.Geometría Absoluta 1. Por la misma razón BC" = BC . Miguel Ángel De Carlo . En todo triángulo si dos de sus lados son congruentes entonces sus ángulos opuestos también lo son. Tercer criterio de congruencia de triángulos rectángulos Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes. De la afirmación anterior se desprende que un triángulo equilátero tiene sus tres ángulos iguales.Geometría Absoluta = ⎧ CA = CB Por hipótesis ⎪ Lado común ⎨ CM = CM ⎪α = β definición de bisectriz ⎩ = . Triángulos rectángulos. Primer criterio de congruencia de triángulos rectángulos Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen sus dos catetos respectivamente congruentes. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa en el dibujo a. Por primer criterio de congruencia de triángulos C. Este triángulo que se caracteriza por tener un ángulo recto.q. Segundo criterio de congruencia de triángulos rectángulos Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen un cateto y un ángulo adyacente a el respectivamente congruentes. Los otros dos lados catetos lados b y c. Para la congruencia de triángulos rectángulos podemos decir que es necesario verificar solamente dos relaciones de equivalencia ya que conocemos una relación entre ellos que es la de poseer un ángulo recto. Corresponde al primer caso de congruencia de triángulos (lal). 26 Prof. Corresponde al segundo criterio de congruencia de triángulos (ala).d que = por definición de triángulos congruentes. tiene para sus lados las siguientes denominaciones . Geometría Absoluta Demostraremos el criterio para el caso en que los triángulos tengan respectivamente congruentes un cateto y la hipotenusa. cuando la tesis de uno es la hipótesis del otro y viceversa. Luego las rectas no son ni paralelas no coincidentes. Dos teoremas son recíprocos. Si tienen dos puntos en común las rectas serían coincidentes. su recíproco no lo sea Teorema directo (proposición lógica h → t) Si dos triángulos son congruentes. En el caso de tener los dos catetos se demuestra por el primer criterio (lal) Hipótesis: y rectos en y | AC = A' C ' y CB = C ' B' Tesis: = Demostración: se coloca el junto al haciendo coincidir las hipotenusas. pero por axiomas 1 y 2 por dos puntos pasa una y solo una recta. es decir se cortan Puede suceder que siendo verdadero el teorema. Teorema recíproco: Si dos rectas tienen un punto en común entonces se cortan. Demostración: Si no tienen puntos en común son paralelas. El cuarto criterio de congruencia de triángulos será demostrados más adelante. Tomemos como ejemplo el teorema 1: Si dos rectas se cortan lo hacen en un punto y solo uno. Proposición Trazar AA' AC = A' C ' por hipótesis Razón por dos puntos se puede trazar una recta α=β γ=δ AB = A' B ' ángulos de la base de un triángulo isósceles complementos de α y β los ángulos de la base son iguales el triángulo es isósceles. entonces tienen sus ángulos correspondientes congruentes. 27 . Teorema recíproco. Por lo tanto al tener dos catetos congruentes se reduce al primer caso. de esa forma quedan formados dos triángulos isósceles. existe una semejanza en la forma pero no en el tamaño. La recíproca de una proposición no siempre es cierta. Miguel Ángel De Carlo . entonces son congruentes.Geometría Absoluta Recíproco (proposición lógica t →h ) Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes. sus ángulos no son respectivamente congruentes. Si analizamos las tablas de verdad de ambas proposiciones veremos que dos teoremas contrarrecíprocos son equivalentes p V V F F q V F V F p→q V F V V ~p F F V V ~q F V F V ~q → ~p V F V V La tabla muestra que son ambas verdaderas o ambas falsas. contra lo supuesto. (Proposición lógica ¬t → ¬h) Dos teoremas son contrarrecíprocos cuando cada uno de ellos es el contrario del recíproco. Debemos negar la hipótesis y la tesis e invertirlas. (Falso). (Falso) En la figura vemos que los dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes. Contrarrecíproco del anterior: Dos triángulos que no tienen sus ángulos respectivamente iguales no son congruentes. En efecto si lo fueran tendrían su ángulos respectivamente congruentes. Contrario del anterior: Si dos triángulos no son congruentes. Teorema contrarecíproco. 28 Prof. Teorema contrario. pero ellos nos son congruentes.(proposición lógica ¬h → ¬t ) Dos teoremas se llaman contrarios cuando la hipótesis y la tesis de uno son las negaciones respectivas de la hipótesis y la tesis del otro. El contrario de una proposición no siempre es cierto. por lo tanto son equivalentes. Dado RS = RQ . 3. su contrarrecíproca ~q → ~p también lo es Es muy frecuente en matemática demostrar un teorema probando el contrarrecíproco. ST = QT ... Este modo de demostración se llama demostración por reducción al absurdo Condiciones necesarias y suficientes De un modo general todo teorema donde “ si se verifica H se verifica T” puede enunciarse así: 1. Si entonces demostramos un teorema directo y recíproco podemos resumirlos en un solo enunciado diciendo. 2. nombre la hipotenusa y los catetos. Para demostrar una condición necesaria y suficiente hay que demostrar dos teoremas recíprocos entre sí o dos contrarios entre sí Repaso y Ejercicios: 1. Entonces = ˆP ˆ Q = BQ 4.La tesis es una condición necesaria para que se verifique la hipótesis.La hipótesis es condición suficiente para que se verifique la tesis.En la figura de la derecha..Geometría Absoluta Si una proposición p → q es verdadera.En el dibujo: PA = QB y AP Demostrar que = 29 .. a) ¿Cuál ángulo está comprendido entre los lados AC y BC ? b) ¿Entre cuáles dos lados está comprendido el ángulo A? c) Si el ángulo A es recto... La hipótesis es condición necesaria y suficiente para que se verifique la tesis. se cumple.Demuestre que el recíproco del criterio del triángulo isósceles “Si un triángulo tiene dos ángulos congruentes es isósceles”. 2. Miguel Ángel De Carlo .Geometría Absoluta Perpendicularidad Teorema 11. En efecto dos ángulos opuestos por el vértice son adyacentes de un mismo ángulo. Sean los ángulos iguales α = α1 Queremos demostrar que sus adyacentes β y β1 son iguales.OB = O' B' .OC = O' C ' Quedan los triángulos: ⎧ OA = O' A' ⎪ ⎨ α = α1 ⎪OB = O' B ' ⎩ por construcción por hipótesis por construcción y | Por 1er Criterio se deduce que AB = A' B ' y 2. Teorema 12 30 Prof. Determinamos sobre los lados respectivos los puntos A. Corolario.(Afirmación que se desprende de un teorema) Ángulos opuestos por el vértice son iguales. B y C y los A'. Ángulo recto. por lo tanto β = β1 C.Q. anterior ⎪ ⎨ AC = A' C ' por suma de segmentos ⎪ A ˆ' por demost.Tenemos ahora los triángulos COB = C’O’B congruentes por el tercer criterio. B' y C' de modo que: OA = O' A' 1. que si dos ángulos son iguales sus adyacentes también los son. Ángulos adyacentes de ángulos iguales.= . Un ángulo se llama recto cuando es igual a uno de sus adyacentes Observemos que por el corolario anterior que si un ángulo es igual a uno de sus adyacentes lo es también al otro..Por el mismo criterio se deduce que = ⎧ AB = A' B' por demost.D. anterior ⎩ ˆ=A Por lo tanto BC = B' C ' 3. son iguales. Trazamos el segmento AB y tomamos su punto medio P. Corolario Los ángulos llanos son iguales. Corolario El ángulo llano es la mitad del de un giro. y siendo el ángulo recto adyacente de otro recto.Geometría Absoluta Existen ángulos rectos y son congruentes. se deduce entonces que son rectos. 31 . ˆ B ángulo Hipótesis: AO Tesis: Existen dos ángulos α y β y son ángulos rectos Demostración: Tomamos un punto A sobre uno de los lados del ángulo y otro punto B sobre el otro lado de tal forma que siendo O el vértice del ángulo se cumpla que OA = OB . Son equimúltiplos de ángulos iguales. Nos quedan formados los triángulos gruentes (Tercer criterio) = . Ángulo llano El ángulo recto es la mitad de un llano. La existencia del ángulo recto generaliza el teorema al caso de los ángulos llanos y de un giro. Es obvio que todos los ángulos rectos son congruentes entre sí y que todo ángulo congruente con un ángulo recto es recto. Son equimúltiplos de ángulos iguales. El ángulo llano es un semiplano Corolario Los ángulos de un giro son iguales. congruentes por tener sus tres lados con- Por lo tanto α y β son adyacente e iguales. Siendo la suma de dos adyacentes igual a un llano. ⎪R ˆ ' Const. – Teorema de la existencia y unicidad. Miguel Ángel De Carlo . D) Elegimos un punto P sobre a. podemos decir que. T) AB única perpendicular a la recta a que pasa por el punto A. En la región opuesta al Semiplano aA trazamos el rayo s. Dada una recta a y un punto A pertenecientes a un mismo plano. ⎩ ˆ =R Son congruentes por 1er Criterio De lo que se deduce que AB es perpendicular a a ya que y son rectos. Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman ángulos rectos. unimos los puntos A y P. R tal que PA = PB . llamamos r al rayo PA. por el punto P. Por un punto no perteneciente a una recta. H) A punto exterior a la recta a. El punto de intersección se llama pie de una perpendicular en la otra. tal que. pasa una perpendicular a la recta y solo una. los ángulos ˆ = R ˆ ' . Teorema 13. Sobre s tomamos el punto B formados por los rayos r y s con la recta a sean iguales. Sobre ella determinamos el punto B' tal que AO' = BO' e indicando con s' el rayo formado por PB' quedarían los triángulos: = Lado común ⎧ PO' ⎪ Por construcción' ⎨AO' = B' O' ⎪AO' P = B' O' P' Por ángulos rectos ⎩ = y los lados PA = PB Por 1er Criterio De donde se deduce que los ángulos: Por lo tanto: = y PB = PB' Para que esto se cumpla la única posibilidad es que s’ no sea rayo interior del ángulo sino que coincida con s. Esta perpendicular es única porque toda otra recta perpendicular a a que pase por un punto distinto de O daría lo siguiente: Trazamos por A la “perpendicular” que corta a la recta a en O'. 32 Prof.Geometría Absoluta Rectas perpendiculares. Quedan entonces formados los triángulos = y que tienen: ⎧ OP Lado común ⎪ ⎨ AP = BP Const. Debemos tener en cuenta que en la construcción de las figuras. Corolario La mediatriz de un segmento existe y es única. (por construcción). y el compás se utiliza para trazar circunferencias de radio dado. se deduce que no puede existir otra perpendicular.Geometría Absoluta O sea que los puntos B y B' no son distintos . El problema no es la construcción de la figura solamente sino la explicación de la forma en que esta se realiza efectuando la demostración correspondiente. Mediatriz de un segmento. con el se pueden trazar segmentos determinados sobre una recta dada y a partir de un punto conocido. La recta a que pasa por los punto P y Q corta al AB en el punto M. Obtenemos P y Q los puntos de intersección de las circunferencias. Esta es la recta trazada por el punto A que forme con la recta un ángulo recto. Se deduce que los ángulos AP 33 . no se puede trazar segmentos con ella aunque esté graduada. Teorema 14. Sea AB el segmento dado debemos construir la recta perpendicular a el que pase por el punto medio del segmento. En un plano α existe una y solo una perpendicular a otra recta que pasa por un punto exterior a ella. se utilizan como instrumentos en la mayoría de los caso solamente la regla y el compás. Por un punto perteneciente a una recta pasa una perpendicular y solo una. que la regla puede ser utilizada solamente para trazar rectas. y son congruentes por tener los tres lados Los triángulos congruentes. ˆ M = BP ˆM . Construcciones geométricas En los problemas de construcción de figuras geométricas. Trazamos dos circunferencia radio AB por los puntos A y B. Por teorema 12. Corolario Llamase mediatriz de un segmento a la perpendicular a la recta sostén del segmento en el punto medio del segmento. 3er criterio. El problema está resuelto cuando el método de construcción de la figura satisface las propiedades pedidas. Trazamos una circunferencia cualquiera con centro en A. Se llama lugar geométrico a una figura formada por todos los puntos del plano que poseen una propiedad determinada. Prof. Unimos con una semirrecta el punto O con C’. ˆ por la mitad.Geometría Absoluta Entonces resulta que los triángulos = son congruentes por que tienen AP = PB el ˆ ˆ M . BA en los cuales los ángulos Lugar geométrico de los puntos del plano que equidista de los lados del ángulo. Bisectriz de un ángulo. Obtenemos el punto C’. resulta enlado PM común y los ángulos comprendidos APM = BP ˆ P = BM ˆP tonces que los lados AM = MB . y que los ángulos AM Se deduce de lo anterior que M es el punto medio del segmento AB y al ser los ángulos adyacentes e iguales la recta a es perpendicular al segmento AB . Lugar geométrico de puntos Se puede definir a la mediatriz como lugar geométrico de puntos. obteniendo el lado del ángulo congruente con el dado. Construir un ángulo igual a otro dado. La distancia entre un punto de la circunferencia y el centro es el radio de la circunferencia. Miguel Ángel De Carlo . Obtenemos el punto D por la intersección de las circunferencias. Para demostrarlo basta observar que los triángulo 34 y son congruentes. Por ejemplo la circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan (igual distancia). Trazamos circunferencias de igual radio tomando como centros los puntos A y C. Por primer criterio. Definición: Llamamos mediatriz de un segmento al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. Con centro en B’ trazamos la circunferencia de radio BC. Con centro en O trazamos la circunferencia de radio AB. Trazar el rayo interior de un ángulo de tal forma que los divida por la mitad. de un punto determinado del plano llamado centro. esto resulta de los El rayo AB divide al ángulo A y triángulos congruentes ˆ D = DA ˆ C son congruentes. Considerando el vértice A de un ángulo dado como centro de una circunferencia trazamos una circunferencia de radio cualquiera obteniendo los puntos B y C en la intersección de la circunferencia con los respectivos lados del ángulo. Obtenemos B’sobre la semirrecta dada. obtenemos los puntos de intersección B y C. Dada una semirrecta construir sobre ella un ángulo igual a otro dado. El triángulo tiene tres medianas. El triángulo tiene tres alturas pero no son todas interiores a el. que por sus características son todas interiores a el.Geometría Absoluta Ejercicios. En las figuras vemos alturas interiores como en los caso de BD y CE en el primer y segundo dibujo La altura BD es exterior en la segunda figura Bisectriz y mediatriz de un triángulo. 5. Altura de un triángulo. en el caso de ser exterior la altura va desde el vértice a la prolongación del lado opuesto. 2.Construya un triangulo congruente a otro aplicando el tercer criterios de congruencia de triángulos.. construir otro congruente a el aplicando el primer criterio de con- 3.Construya un segmento igual a ¼ del segmento dado. Cevianas Se denomina ceviana al segmento que une un vértice del triángulo con cualquier punto del lado opuesto. 1. Es el segmento perpendicular a un lado trazado desde el vértice opuesto La altura es también la distancia entre el vértice y el lado opuesto. Mediana del triángulo. 4.. (Según sus tres lados).Dado el triángulo gruencia.Trazar por un punto una perpendicular a una recta dada.. Mediatriz de un triángulo es la de uno de sus lados. Es la ceviana que va del vértice al punto medio del lado opuesto.. Bisectriz de un triángulo es la bisectriz de uno de sus ángulos interiores. 35 .Construya un ángulo igual a ¼ del ángulo dado.. está entre los otros dos. D. b y a+b respectivamente. pero no así Y.Geometría Absoluta EJERCICIOS Ejercicio 1. T. cuantas rectas pueden trazarse por ellos.Cuál es la intersección de Ejercicio 7. c) Dados cuatro puntos A. y . B y C son tres puntos de una recta tales que y . a) Cuál es la intersección de b) Cuál es la intersección de AE y el triángulo c) Cuál es la unión de ED y DC d) Cuál es la unión de BG y BE e) Cuál es la intersección de AB y EG 36 Prof. Cuál de los puntos R. S. siendo a>0 y a> b. Si A. d) Contestar la pregunta. B. Si se da un quinto punto que cumple las mismas condiciones. Ejercicio 4. Ejercicio 2. Indique qué punto está entre los otros dos.Haga un dibujo que muestre la posición relativa de los cuatro puntos nombrados en el ejercicio 3. Cuántas rectas pueden trazarse por ellos. tienen coordenadas a. C que no estén alineados. Ejercicio 5. de y . pero XZ no contiene ni a Y ni a V.Tres puntos de una recta R. Cuántas rectas pueden trazarse tomando los puntos de a pares. b) Dados tres puntos A. si se dan n puntos. cuál es la intersección de Ejercicio 6. Miguel Ángel De Carlo . YZ + ZV = YV. Si es opuesto de . T. S. V pertenece a XZ. C. tales que cada tres de ellos no están en una misma recta. de y y Ejercicio 8.a) Dados dos puntos diferentes cuántas rectas pueden trazarse por ellos. Y la de CD y + = .Copie el siguiente párrafo y escriba sobre cada par de letras el símbolo apropiado si lo hay: XZ contiene los puntos Y y V. B. si: b>0 b<0 b=0 Ejercicio 3. Geometría Absoluta Ejercicio 9. Ejercicio 10. Por qué? 37 . f) contiene a A y se intersecan en B y C solamente. o segmentos. a) B está entre A y C c) e) = y b) d) no se intersecan. contiene a B y contiene a C. C y D son puntos distintos tales que los siguientes enunciados son ciertos. en cuatro. en cinco. A pertenece a DB. DB contiene los puntos A y C. B. Dibuje una recta r que separe al plano en dos semiplanos. es opuesto de Ejercicio 12. Los puntos A. cuáles de Ejercicio 11. Si tres puntos son coplanares. y D se disponen en una recta de manera que AC > AB y BD < BC Haga un dibujo de los cuatro puntos colocados de la manera indicada. a) Dibujar dos segmentos AB y CD para los cuales la intersección de AB y CD es el conjunto vacío. colocando los símbolos apropiados: • • • AB + BC = AC . B. Cuál es la intersección de DK y r. en seis. entonces son coplanares. Si tres puntos están alineados. Copie el párrafo. entonces están alineados. pero la intersección de y es exactamente un punto. b) Dibujar dos segmentos PQ y RS para los cuales la intersección de PQ y RS es el conjunto vacío. Los pares de letras en el siguiente párrafo representan o bien números. pero C no. en siete regiones Ejercicio 14. pero Ejercicio 13 = . Elija dos puntos D y K. Ejercicio 16. Hay más de una forma posible. pero DB no contiene ni el punto A ni el punto C. de H1 y un punto F de H2. o rayos. o rectas. C. Indique si son ciertos estos enunciados. Llame a los semiplanos H1 y H2. Podrán tres rectas del plano separarlo en tres regiones. Si A. Ejercicio 15 Cuáles de las regiones marcadas con mayúsculas son conjuntos convexos. .Rayos opuestos e. d. En la figura dada AC y BD se intersecan en O.. Dibuje y demuestre que dados los rayos con + = 1 recto. a.-Cuáles ángulos son obtusos.Qué ángulos son agudos c.Podrían dos ángulos agudos ser suplementarios g.Geometría Absoluta Cuál es la intersección de KF y r..-Ángulos adyacentes a DOA Ejercicio 19.-Nombre pares de ángulos suplementarios e.Pares de ángulos adyacentes. f. y con el punto C en el interior de . b. En la figura dada a la derecha AB y CD se intersecan en X. Entonces . c. Conteste: a..Que par de ángulos son opuestos por el vértice b..-Ángulos consecutivos g.-Cuáles ángulos son agudos. . h.y perpendicular a Ejercicio 18..-Ángulos suplementarios de BOA f..Pares de ángulos suplementarios. Por que? Ejercicio 17.Dos ángulos pueden ser complementarios y adyacentes 38 Prof. Miguel Ángel De Carlo .Si dos ángulos son iguales y suplementarios que medida tendrá cada uno..-Nombre dos pares de ángulos opuestos por el vértice d. según que el ángulo interior C agudo o no. siendo F punto medio de AC . Teorema 15 El ángulo exterior de un triángulo es mayor que cada uno de los interiores no adyacentes. ˆ . Teorema 16 Un triángulo no puede tener más que un ángulo no agudo.d.. consideraríamos el ángulo exterior. que los ángulos son congruentes por primer criterio Por otra parte el punto D es interior al R pues: 1.. que no contiene al ABC. La demostración continúa como antes. es interior a el y es rayo interior.q. Luego D pertenece a los semiplanos que forman el R. Sabemos que un ángulo es mayor que cada una de las partes en que un rayo interior ˆD ˆ > EC lo divide.Geometría Absoluta Relaciones de Desigualdad en un Triángulo. no en la posición ya vista. 39 . por carácter transitivo de la desigualdad. adyacente al exterior β. es decir. teniendo en cuenta (2) queda R ˆ .Pertenece al semiplano respecto a AC que contiene al ABC ya que E es punto de uno de sus lados y A pertenece a la recta contorno 2.D pertenece al semiplano respecto de BC. ˆ>A Para demostrar que R sino en la de su opuesto por el vértice y trazamos la BF . ˆ>B ˆ Demostraremos que R 1) Construcción AFIRMACIÓN Sobre tomamos el punto medio E RAZÓN Existe y es único Por dos puntos pasa una y sólo un recta = Congruencia de segmentos Trazamos la recta Sobre tomamos D tal que Uniendo C con D formamos el triángulo ADC 2) Demostrar que = AFIRMACIÓN BE=EC AE=ED BEA=CED RAZÓN Por construcción Por construcción Opuestos por el vértice c. >. sea Se pueden presentar dos casos. según sea el tercer ángulo. rectángulo u obtusángulo. Corolario Un triángulo puede tener o los tres ángulos agudos o solamente dos. el único no agudo es B ˆ yB ˆ no agudo. C entonces menores que β y luego agudos. agudo y mayor.Geometría Absoluta ˆ es agudo. Teorema 17 Si en un triángulo dos lados son desiguales. si no fuesen agudos el triángulo tendría dos ángulos no agudos. luego: B 40 Prof. aunlos interiores no adyacentes A que menores que β. ˆ ˆ que el interior no adyacente A que luego será agudo. el mayor lado se opone al mayor ángulo. en los lados del B. cabe la duda que. ˆ. si solamente tiene dos. Miguel Ángel De Carlo . A ˆ interiores no adyacentes. Corolario El ángulo del triángulo que no es mayor que los otros dos. que tiene sus extremos Por otra parte. ˆ >C B los lados AC > AB >. ˆ lo sea: En ese caso su adyacente. Luego AD y. Triángulos según sus ángulos. Corolario En un triángulo isósceles los ángulos de la base son siempre agudos. son En el segundo caso. por teorema anterior. β es recto o agudo. el punto D tal que AD = AB . no son. Se forman dos triángulos: ˆ B = AB ˆ D (1) isósceles. En un triángulo isósceles los ángulos de la base son congruentes. β es obtuso. En el. el Supongamos que B ángulo exterior α será. también no agudos. este último ˆ pues D es interior al AC . es agudo. El triángulo que tiene los tres ángulos agudos se llama acutángulo. y respecto a En el primer caso si C ˆ yB ˆ . debemos demostrar que Como AC > AB . determinamos en AC . En resumen. el rayo BD es interior al B ˆ > AD ˆ B (2). siendo C éstos. AC El razonamiento sigue igual que antes. A" B = A' B' = AB . pues es ángulo exterior del ˆB > C Además AD ˆ. Hipótesis. los opuestos al par de lados AB y A' B ' . en el interior de A' C ' el punto A"' tal que A"'C' =.Geometría Absoluta ˆ (3). los ángulos de la base son congruentes: A Por otra parte.Entonces: = ⎧A" C = A' C' por construcción ⎪ por primer criterio: ⎨ BC = B' C' por hipótesis ⎪ C ˆ =C ˆ' por hipótesis ⎩ Luego A" B = A' B' = Se deduce por carácter transitivo que. A' C ' . Por lo tanto el triángulo AA”B es ˆ = AA ˆ " B (2) isósceles. 41 . por lo tanto. a (2). pues en (1) Si aplicamos el carácter transitivo a (1). ˆ >C Aplicando el carácter transitivo de la desigualdad. en el triángulo ˆ" B > C ˆ (3) puesto que es exterior. en ese orden. Por el teorema anterior C Para demostrar el teorema bastará probar que AC = A' C ' Supongamos que no lo sea: AC > A' C ' . el ángulo AA ˆ >C ˆ absurdo. Luego el teorema queda demostrado. En este caso determinamos en el interior de AC un punto A" de modo que A" C es igual a. Si partimos de la suposición que AC < A' C ' conviene determinar. (2) y (3) se deduce que A dijimos lo contrario. Demostración: ˆ>A ˆ (1) ya que este se opone al BC . (1) y (3) B Cuarto Criterio de Congruencia de Triángulos Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos. mayores que el par BC y B' C ' . Sean los triángulos y AB = A' B' lados congruentes BC = B' C ' lados congruentes ˆ =C ˆ ' ángulos congruentes. cada lado es menor que la suma de los otros dos el triángulo dado y BC el mayor de los lados. Por el teorema anterior BC < AB + AC Si se le resta a esa desigualdad la identidad AC = AC miembro a miembro. cada lado es mayor que la diferencia de los otros dos. es equiángulo y recíprocamente. Se demuestra deduciéndolo del teorema “el mayor de los lados se opone al mayor de los ángulos” Teorema 19. (1) isósceles será. por el Se deduce entonces que: β = B ˆ . 18 Dos lados de un triángulo están ligados por la misma relación de igualdad o desigualdad de los ángulos que se le oponen. opuesto al BC Vemos también que el ángulo β. se obtiene por resultado. nos queda que β > α. Si consideramos el Ahora consideramos el. En un triángulo. Corolario. carácter transitivo β > D Luego BC < AB + AC . Si un triángulo es equilátero. BC 42 − AC < AB El mismo razonamiento para los otros lados. ˆ . α = D cuyo lado CD resulta ser la suma de los lados AD y AC . En relación al triángulo ABC resultaría CD = AB + AC . ya que uno solo de los sumandos (el lado BC ) es ya mayor que el lado considerado AB o AC . BasSea tará demostrar el teorema para ese lado mayor pues para los otros dos la deducción de la tesis es inmediata. Miguel Ángel De Carlo . opuesto al CD es mayor que el D ˆ + α. Corolario En un triángulo.Geometría Absoluta Teorema recíproco. Como a mayor ángulo se opone mayor lado BC < CD . ˆ . Demostración: Sobre la prolongación del lado AC se determina D tal que AD = AB . Pero como por (1) α = D ˆ . Prof. Geometría Absoluta Teorema 20 Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes. Ejercicio 25 Demuestre que en un triángulo cada lado es menor que la mitad del perímetro. demuestre que el triángulo DEF es también equilátero. Dado un triángulo ABC y un punto P. En caso de igualdad el teorema es recíproco del postulado de congruencia de triángulos. Ejercicio 23 Dado el triángulo ABC y un punto P interior. en el lado BC demuestre que el perímetro del APB es menor que el perímetro del ABC 2. la hipotenusa es el doble del cateto menor. 43 . En caso de desigualdad es recíproco del teorema anterior 19. demuestre que la suma de sus distancias a los vértices es menor que el perímetro y mayor que el semiperímetro. Ejercicio 26 Demuestre que en un triángulo rectángulo. Ejercicio 27 Halle el ángulo que forma la bisectriz y la altura correspondiente a un vértice de un triángulo en función de los otros dos ángulos. Calcule en función de α el ángulo β que sumado a α es congruente al ángulo de la base. si un ángulo agudo es el doble del otro. EJERCICIOS Ejercicio 20 Demuestre que las bisectrices de ángulo adyacentes son perpendiculares. Ejercicio 21 Si dos segmentos se bisecan. Ídem si el punto P se encuentra en el interior del triángulo. Ejercicio 28 Demuestre que en un triángulo isósceles el ángulo α que forma con la base la altura a un lado es igual a la mitad del ángulo del vértice. Ejercicio 22 1. entonces los segmentos que unen los extremos de los segmentos dados son congruentes. Ejercicio 29 Demuestre que en un triángulo cualquiera las distancias de dos vértices a la recta mediana del tercero son congruentes. los ángulos comprendidos están en la misma relación de igualdad o desigualdad que liga a los terceros lados. Ejercicio 24 Dados el triángulo ABC equilátero y los puntos D. E y F tales que AD = FC = BE. . Una aplicación biyectiva σ de ℘∪ ℜ sobre si mismo tal que σ( ℘) = ℘ y σ( ℜ ) = ℜ se denomina colineación ortogonal si es compatible con las relaciones I y ⊥. si se verifica que: P I r ⇒ σ( ℘) I σ( ℜ ) y a ⊥ b ⇒ σ( a) ⊥ σ( b ). tales que a cada punto de la primera posición corresponde un solo punto de la segunda. por ejemplo para definir un triángulo decimos dados tres puntos no alineados . además no puede transformar un segmento o ángulo en una parte del mismo. ℜ el de las rectas.. El movimiento en el sentido físico necesita tiempo y supone una sucesión de posiciones. Todo movimiento conserva las relaciones de incidencia y ordenación de puntos. Una vez desarrollado el cuerpo de los axiomas podemos definir las siguientes relaciones entre conjuntos de puntos y conjuntos de rectas del plano como sigue: Sea ℘ el conjunto de los puntos. Miguel Ángel De Carlo . Se define ahora la relación I ⊆℘x ℜ (incide con) y la relación simétrica ⊥⊆ ℜ xℜ (perpendicular a). Definición 3. Los movimientos del plano son transformaciones puntuales biunívocas del mismo. es decir el elemento fundamental geométrico es el punto por lo tanto rectas. 44 Prof. el punto y por ende la recta. punto que llamaremos transformado u homólogo del primero. P I r se lee también: P está contenido en r ó r pasa por P. Al hablar de movimiento geométrico en un plano o (en el espacio) pensamos exclusivamente en la transformación que resulta entre los puntos del plano en sus posiciones iniciales y las posiciones finales.. y no comenzamos diciendo dadas tres rectas no puntuales. planos y espacios están formados por puntos y a partir de ellos se deducen los demás elementos. ni el tiempo ni las posiciones intermedias son tenidas en cuenta en la teoría geométrica del movimiento. con minúsculas las rectas. Definición 2. Es decir.Geometría Absoluta Movimiento y Congruencia Movimiento Estudiaremos los movimientos de figuras rígidas en el plano. Luego en todas las definiciones planas aparecerán como conceptos fundamentales geométricos. es decir. Definición 1. Designaremos con letras latinas mayúsculas los puntos. El plano métrico El espacio y el plano métrico son puntuales. definidos implícitamente por los axiomas en los que intervienen. (Propiedad transitiva) Toda figura es congruente consigo misma. Simetrías La simetría central de centro O Este movimiento transforma un punto A en otro A’. Luego si F es congruente con F’. Más adelante veremos que los movimientos del plano forman grupo. S(A) o S(A’) = A 45 . La transformación resultante de aplicar dos movimientos sucesivos es otro movimiento. Como debe existir la inversa. el movimiento resultante es la identidad. sabemos que el movimiento recíproco transforma entonces F’ en F. Si F es congruente con F’ y F’ lo es con F” entonces F es congruente con F”. verificándose que OA = OA' . F’ es congruente con F (Propiedad recíproca). A través de la composición de movimientos podemos decir que. S(A) = A’ S( ) =A’B’C’ Aplicado esta transformación dos veces consecutivas.Geometría Absoluta Definición 4. Los puntos denominados simétricos están alineados con el centro de simetría O y a distinto lado de el. mediante un movimiento. Concepto de grupo Cuando un conjunto de transformaciones es tal que contiene todas las transformaciones inversas se dice que estas transformaciones forman grupo. (Propiedad idéntica). Esta transformación se denomina involutiva. Congruencia Diremos que dos figuras F y F’ son congruentes cuando una de ellas F’ puede obtenerse transformando la otra F. en este como el caso de tres rectas paralelas. Este movimiento deja invariante una recta r cambiando los semiplanos α y α’. Las rectas que pasan por el centro de simetría se denominan dobles pues se transforman en sí mismas. r A’ Composición de simetrías axiales. Miguel Ángel De Carlo . S(A’) =A” podemos escribir ó S(A’) o S(A) = A” S(S(A)) = A” Los ejes de la composición de simetrías no tienen que ser necesariamente paralelos. Toda figura transformada por simetría central queda ordenada inversamente con la figura original. Es la simetría central respecto del punto medio. el nuevo eje de simetría es la mediatriz del segmento que une el punto A con A”’. En el dibujo vemos el ejemplo que se refiere a tres rectas que tienen un punto en común. pueden cortarse en un punto. En este movimiento todo punto A del eje de simetría (recta r) se trans. S(A) = A’ . La composición de tres simetrías respecto de tres rectas que tienen un punto o una perpendicular común es de nuevo una simetría respecto de una recta. Esta operación se denomina composición o producto de simetrías.A forma en sí mismo y el eje es mediatriz de los segmentos que determinan dos puntos simétricos cualesquiera. También podemos componer una simetría central con una simetría axial. Dados dos ejes paralelos r y r’ obtendremos un movimiento si aplicamos dos simetrías axiales. La simetría axial. no situados en el eje. Existe un solo movimiento directo del plano que invierte los extremos de un segmento dado. El nuevo eje de simetría es la recta s.Geometría Absoluta Un ángulo con centro en el origen de simetría se transforma en su opuesto por el vértice. 46 Prof. Para toda recta r existe una única simetría Sr. 47 . el punto M es punto medio de la base AA”’ y además es altura del triángulo. Para todo punto P existe una única simetría Sp. (rectas fijas) son r y la perpendicular a r. por lo tanto PM es mediatriz del segmento AA”’. Existen dos rectas distintas que poseen dos perpendiculares distintas comunes. De aquí deducimos que s es el nuevo eje de simetría Por ese motivo el eje s pasa también por el punto de intersección de las rectas P. La composición de simetrías respecto de dos rectas perpendiculares que pasan por un punto P se denomina simetría Sp.: Llamamos rectilátero a la figura formada por tales rectas. Triángulos y triláteros En lo sucesivo llamaremos triángulo a una figura formada por la intersección de los semiplanos originados por las rectas que unen a tres puntos no alineados. La negación ~R de R afirma que todo par de rectas distintas posee como máximo una perpendicular común. Obs. Clasificación de los planos métricos. y llamaremos trilátero a una figura compuesta de tres rectas que no forman haz.Geometría Absoluta El triángulo APA”’ es isósceles. respecto de P (simetría puntual). Aplicando las definiciones de unicidad de la perpendicularidad Las únicas rectas que se transforman en sí mismas mediante Sr. Geometría Absoluta Definición. E B Determine la figura simétrica del polígono ABCDE por simetría axial de eje r. Por medio del concepto de paralelismo se puede definir la translación como un movimiento particular. Si se verifica ~R se llama métrico-no euclídeo. la A D C r Ejercicio nº2. Así pues. si un cuadrilátero tiene tres ángulos rectos también el cuarto lo es. EJERCICIOS Ejercicio nº1. En un plano métrico-euclídeo si dos rectas tienen una perpendicular común tienen todas las perpendiculares comunes. Un plano métrico que verifica R se denomina métrico-euclídeo. Definición Dos rectas de un plano métrico-euclídeo que tienen perpendiculares comunes se denominan paralelas (en símbolos a // b). Determinar la figura simétrica respecto a la recta r: D C O r A B 48 Prof. Teorema. Miguel Ángel De Carlo . Realizar el ejercicio con distintos tipos de triángulos. Ejercicio nº 5. Dado el triángulo construir el simétrico respecto del circuncentro.Geometría Absoluta Ejercicio nº3. la figura simétrica de la semi-circunferencia de diámetro [EG] respecto a la recta (d). a) b) c) 3º) 4º) ¿Cuál es el área del triángulo EIH? Justifica la respuesta. 1º) Reproducir la figura siguiente: G 3cm E 4cm 30º F (d) 2º) Construir: el simétrico I del punto F respecto a la recta (d). Ejercicio nº 4. el simétrico H del punto G respecto a la recta (d). Aplique a la figura la composición de simetrías SE o SA Ejercicio nº 6. ¿Cuánto mide el ángulo EÎH? Justifica la respuesta. Aplique la composición de simetrías Sb o Sa 49 .