Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C.Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP 1) Una empresa fabricante de productos electrónicos manufactura tres tipos de productos: Transistores; Micromódulos y Circuitos Ensamblados. Posee cuatro zonas o áreas de fabricación: a) Producción de Transistores b) Ensamblaje de Circuitos c) Control de Calidad de Transistores y Micromódulos y, d) Ensamblaje y Prueba de los Circuitos Ensamblados. Producir un transistor requiere: 0.1 horas de capacidad del área de producción de transistores; 0.5 horas de capacidad del área de control de calidad de transistores y 0.70 soles de costos directos. Producir un micromódulo requiere: 0.4 horas de capacidad del área ensamblaje de circuitos, 0.5 horas de capacidad del área de control de calidad, 3 transistores y 0.50 de costos directos. Producir un circuito ensamblado requiere 0.1 horas de capacidad del área ensamblaje de circuitos, 0.5 horas del área de ensamblaje y prueba de circuitos ensamblados, un transistor, tres micromódulos y S/. 2.00 de costos directos. Cualquiera de los tres productos se vende suelto en cantidades ilimitadas a precios de S/.2.00, S/.8.00 y S/.25.00 cada uno respectivamente (transistores, micromódulos y c. ensamblados). Si existe 200 horas de trabajo disponible en cada una de las cuatro áreas de producción en el próximo mes, que productos y en que cantidad deben producirse para alcanzar la utilidad máxima. Solución Se debe tener presente que la producción de un Micromódulo se requiere 3 Transistores además del tiempo de paso por las diversas áreas que le compete, así mismo la producción de un Circuito ensamblado requiere de tres Micromódulos y un Transistor además del tiempo de paso en las áreas que le concierne; lo cual nos indica que para la elaboración de cada tipo de producto se debe considerar los productos que ellos necesitan como si fueran especialmente hechos para ellos esto implica el calculo total del tiempo total en cada área de fabricación así como también el calculo total del costo directo lo cual se resume en la tabla No1: Pág 1 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP Tabla No1: Cálculo de horas utilizadas de las diferentes áreas para los tres productos PRODUCTO ÁREAS Circuito TIEMPO Transistor Micromódulo Ensamblado DISPONIBLE Producción de 3 x 0.1 = 0.3 hrs 1 x 0.1 = 0.1 hrs Transistores 3 x 0.3 = 0.9 hrs 200 hrs 0.1 hrs 1.0 hrs Ensamblaje de 0.4 hrs 3 x 0.4 = 1.2 hrs Circuitos +0.1 hrs 200 hrs 1.3 hrs Control de 3 x 0.5 = 1.5 hrs 3 x 2.0 = 6.0 hrs Calidad de +0.5 hrs +0.5 hrs Transistores y 0.5 hrs 2.0 hrs 6.5 hrs 200 hrs Micromódulos Ensamblaje y Prueba de los Circuitos 0.5 hrs 200 hrs Ensamblados 3 x 0.70 = 2.10 1 x 0.70 = 0.70 +0.50 3 x 2.60 = 7.80 Costos Directos +2.00 S/. 0.70 S/. 2.60 S/. 10.50 Precio de Venta S/. 2.00 S/. 8.00 S/. 25.00 Definición de las variables de decisión: X1: Es el número total de Transistores producidos X2: Es el número total de Micromódulos producidos X3: Es el número total de Circuitos Ensamblados producidos La función objetivo se define entonces como la maximización de la utilidad la cual esta representada por la siguiente Función lineal: Max U = (2.00 – 0.70)X1 + (8.00-2.60)X2 + (25.00-10.50)X3 o Max U = 1.3X1 + 5.4X2 + 14.5X3 Las restricciones se obtienen en forma directa del cuadro y representan el tiempo utilizado en cada área de fabricación en consecuencia se tienen 4 restricciones como sigue: 0.1X1 + 0.3X2 + 1.0X3 <= 200 0.4X2 + 1.3X3 <= 200 0.5X1 + 2.0X2 + 6.5X3 <= 200 + 0.5X3 <= 200 X1,X2,X3 >= 0 Pág 2 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP 2) Tengo ahora 100 dólares. Durante los próximos tres años, hay las siguientes inversiones: Inversión A. Cada dólar invertido ahora produce 0.10 de dólar dentro de un año y 1.30 dólares dentro de tres años. Inversión B. Cada dólar invertido ahora produce 0.20 de dólar dentro de un año y 1.10 dólares dentro de tres años. Inversión C. Cada dólar invertido dentro de un año producirá 1.50 dólares dentro de tres años. Cada año se puede colocar el dinero no invertido en fondos del mercado de dinero, lo que produce 6% de interés anual. Se puede colocar a lo más 50 dólares en cada una de las inversiones A, B y C. Formule un PL para maximizar el efectivo en caja, dentro de tres años Solución Una Imagen Vale más que mil Palabras 0.1X1A+0.2X1B 1.3X1A+1.1X1B+1.5X2C 100 +1.06Fond1 1.06Fond2 +1.06Fond3 1 2 3 4 X1A X1B Fond1 X2C Fond2 Fond3 Al inicio del 1er año se tiene $100 que se invierten del siguiente modo: X1A dólares al inicio del 1er año en el Proyecto de Inversión A, X1B dólares al inicio del 1er año en el Proyecto de Inversión B, Fond1 dólares al inicio del 1er año en Fondos del mercado de dinero 0 dólares en el proyecto de Inversión C dado que este proyecto no es factible invertir sino hasta dentro de un año es decir al inicio del año 2. La primera restricción es: X1A + X1B + Fond1 = 100 Pág 3 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP Al inicio del segundo año se cuenta con el dinero producido en el primer año por las inversiones efectuadas y mostradas anteriormente, a saber : 0.1X1A+0.2X1B+1.06Fond1. Este dinero se invierte del siguiente modo: X2C dólares al inicio del 2do año en el Proyecto de Inversión C Fond2 dólares al inicio del 2do año en Fondos del mercado de dinero La segunda restricción es: X2C + Fond2 = 0.1X1A + 0.2X1B + 1.06Fond1 Al inicio del 3er año solo se cuenta con: 1.06Fond2 dólares, producto de la inversión de Fond2 dólares en el año anterior. La tercera restricción es: Fond3 = 1.06Fond2 Al final de los tres años se cuenta con: 1.3X1A+1.1X1B+1.5X2C+1.06Fond3 lo cual hay que maximizar, en consecuencia la función objetivo es: FO Max U = 1.3X1A + 1.1X1B + 1.5X2C + 1.06Fond3 Sin embargo por las condiciones del problema se tiene tres restricciones más que dependen de la capacidad de inversión en los proyectos como se puede observar: X1A <= 50, X1B <= 50 y X2C <= 50 Resumiendo el modelo matemático de Pl es: Max U = 1.3X1A + 1.1X1B + 1.5X2C + 1.06Fond3 sa X1A + X1B + Fond1 = 100 X2C + Fond2 = 0.1X1A + 0.2X1B + 1.06Fond1 Fond3 = 1.06Fond2 X1A <= 50 X1B <= 50 X2C <= 50 Xij>=0 Fond1,Fond2,Fond3>=0 Rpta: X1A=50 X1B=9.3023 X2C=50, Fond1=40.6977 y Max U=150.2325 Pág 4 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP 3) Una fábrica de papel recibió tres pedidos de rollos de papel con los anchos y longitudes indicadas en la tabla siguiente: Pedido Nº Ancho (pies) Longitud (pies) 1 5 10000 2 7 30000 3 9 20000 Los rollos se producen en la fábrica con dos anchos estándar, 10 y 20 pies, los cuales hay que recortar a los tamaños especificados por los pedidos. No existe límite sobre la longitud de los rollos estándar ya que para propósitos prácticos los rollos de longitud limitada pueden unirse para proporcionar las longitudes requeridas. Formule el problema como uno de programación lineal que permita determinar el esquema de producción (modelos de corte) que minimice la pérdida por ajuste y satisfaga la demanda dada. Solución Primero se deben identificar los diferentes tipos de corte que se pueden hacer con cada tipo de papel determinando en cada caso los desperdicios esto se resume en la tabla que sigue: Anchura i = 1 (10´) i = 2 (20´) Requisitos X11 X12 X13 X21 X22 X23 X24 X25 X26 5´ 2 0 0 4 2 2 1 0 0 10000 7´ 0 1 0 0 1 0 2 1 0 30000 9´ 0 0 1 0 0 1 0 1 2 20000 Pérdida 0 3 1 0 3 1 1 4 2 Sean S1, S2 y S3 las longitudes producidas en exceso de los rollos con anchos de 5´, 7´ y 9´, respectivamente. Entonces el modelo queda definido como: Min Z = 3X12 + X13 + 3X22 + X23 + X24 + 4X25 + 2X26 + 5S1 + 7S2 + 9S3 s.a 2X11 + 4X21 + 2X22 + 2X23 + X24 - S1 = 10000 X12 + X22 + 2X24 + X25 -S2 = 30000 X13 + X23 + X25 + 2X26 -S3 = 20000 Xij 0, Si 0 Para toda i y todas las j Pág 5 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP 4) Se hace un pedido a una papelería de 800 rollos de papel corrugado de 30 pulgadas de ancho, 500 rollos de 45 pulgadas de ancho y 1000 rollos de 56 pulgadas de ancho. Si la papelería tiene solamente rollos de 108 pulgadas de ancho, como deben cortarse los rollos para surtir el pedido con el mínimo desperdicio de papel. Solución Tipos de corte posibles en papel de 108” Ancho X1 X2 X3 X4 X5 Requisitos 30” 2 0 1 0 3 800 45” 1 1 0 2 0 500 56” 0 1 1 0 0 1000 Perdida 3 7 22 18 18 El modelo matemático de Pl es: Min Dt = 3X1 + 7X2 + 22X3 + 18X4 + 18X5 sa 2X1 + X3+ + 3X5 = 800 X1 + X2 + + 2X4 = 500 X2 + X3 = 1000 X1, X2, X3 >= 0 4) Un fabricante pude producir normalmente 450 unidades del producto X en un mes. Pero con arreglos especiales, a un costo de $1.50 por cada unidad adicional; la capacidad puede incrementarse a 600 unidades al mes. Las demandas para los siguientes cuatro meses son de 200, 800, 600 y 400 unidades, respectivamente. La compañía almacena y distribuye su producto a partir de su almacén que está a cierta distancia. El transporte de la fábrica al almacén presenta un problema debido a que el fabricante tiene solo un camión adecuado que puede entregar hasta 300 unidades con un costo de $2por unidad. Un vehículo idéntico está disponible para alquiler durante cualquier porción del mes. Sin embargo, los costos son $2.50 por unidad cuando se utiliza este camión alquilado. El inventario cuesta $1.00 por unidad al mes, y el inventario disponible al inicio del mes 1 es de 100 unidades. Plantéese este problema como un problema de transporte para minimizar el costo y encuentre la solución Solución al final de esta separata Pág 6 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP 5) Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para Hamburguesas con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda S/ 10.00 el kilo; la carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y cuesta S/. 8.00 el kilo. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada kilo de carne de Hamburguesa, si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25%. Solución Contenido porcentual por kilo de carne % de carne % de grasa costo por kilo Carne de res 80 20 S/. 10 Carne de cerdo 68 32 S/. 8 Se definen las variables de decisión como: Xr: la fracción de kilo de carne de res Xc: la fracción de kilo de carne de cerdo La Función Objetivo será Minimizar el costo de preparación o sea: Min Cp = 10Xr + 8Xc Con respecto a las restricciones en este problema existe preocupación por la cantidad de grasa la cual no debe ser superior al 25% del peso total, la cual se representa por la siguiente restricción: 0.20Xr + 0.32Xc <= 0.25 x 1 La siguiente restricción está referida a la cantidad que debe prepararse o sea 1 kilogramo de carne de Hamburguesa y está representada por: Xr + Xc = 1 En Resumen el modelo de Pl es: Min Cp = 10Xr + 8Xc s.a 0.20Xr + 0.32Xc <= 0.25 Xr + Xc = 1 Xr,Xc >= 0 Pág 7 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP 6) Cierta corporación tiene 3 plantas sucursales con capacidad de producción en exceso. Las tres plantas tienen los elementos necesarios como para producir determinado producto y el gerente ha decidido usar parte de la capacidad de producción en exceso para tal fin. Este producto puede hacerse en 3 tamaños: grande, mediano y pequeño que dan como resultado una utilidad unitaria neta de $140, $120 y $100 respectivamente. Las plantas 1, 2 y 3 tienen la capacidad de mano de obra y equipo en exceso como para producir 750, 900 y 450 unidades por día de este producto, respectivamente sin importar el tamaño o la combinación de tamaños que se aplique. Sin embargo, el espacio de almacenamiento disponible para productos en proceso, también impone una limitación sobre las tasas de producción. Las plantas 1, 2 y 3 tienen 13000, 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio de almacenamiento disponible para productos en proceso, para un día de producción de este artículo. Cada unidad de los tamaños grande mediano y pequeño producida por día requiere de 20, 15 y 12 pies cuadrados respectivamente. Los pronósticos de ventas indican que pueden venderse al día 900, 1200 y 750 unidades de los tamaños grande mediano y pequeño. Con el fin de mantener una carga uniforme de trabajo entre las plantas y conservar cierta flexibilidad, el gerente ha decidido que la producción adicional asignada a cada planta debe usar el mismo porcentaje de la capacidad de la mano de obra y equipo en exceso. Formule un problema de PL, para que le ayude al Gerente a determinar cuanto debe producirse de cada uno de los tamaños en cada una de las plantas para maximizar la utilidad. Solución La información del problema planteado se resume en el siguiente cuadro: Plantas Utilidad Tamaños neta por Demanda M2/und Pro 1 2 3 unidad Grande (g) Xg1 Xg2 Xg3 140 900 20 duc Mediano (m) Xm1 Xm2 Xm3 120 1200 15 tos Pequeño (p) Xp1 Xp2 Xp3 100 750 12 Capac. De Producc./día 750 900 450 Capac. De Almac (m2/día) 13000 12000 5000 Definición de las variables de decisión: Xij: Número de unidades del producto de tamaño i que se produce en la planta j, donde i=g,m,p y j=1,2,3 Pág 8 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP La F.O: Max U = 140(Xg1 + Xg2 +Xg3) + 120(Xm1 + Xm2 + Xm3) + 100(Xp1 + Xp2 +Xp3) s.a Restricción de Capacidad de producción en Planta No 1: Xg1 + Xm1 + Xp1 <= 750 Restricción de Capacidad de producción en Planta No 2: Xg1 + Xm1 + Xp1 <= 900 Restricción de Capacidad de producción en Planta No 3: Xg1 + Xm1 + Xp1 <= 450 Restricción de pronósticos de Ventas de tamaño Grande: Xg1 + Xg2 + Xg3 <= 900 Restricción de pronósticos de Ventas de tamaño Mediano: Xm1+ Xm2 + Xm3<= 1200 Restricción de pronósticos de Ventas de tamaño Pequeño: Xp1 + Xp2 + Xp3 <= 750 Restricción de capacidad de Almacenamiento en Planta 1: 20Xg1 + 15Xm1 + 12Xp1 <=13000 Restricción de capacidad de Almacenamiento en Planta 2: 20Xg2 + 15Xm2 + 12Xp2 <=12000 Restricción de capacidad de Almacenamiento en Planta 3: 20Xg3 + 15Xm3 + 12Xp3 <=5000 Restricción de Carga Uniforme: Xg1 + Xm1 + Xp1 = Xg2 + Xm2 + Xp2 = Xg3 + Xm3 + Xp3 750 900 450 Restricciones de no negatividad Xij >= 0 7) Combustibles S.A, transforma petróleo en queroseno y en aceite combustible. Cuesta 40 dólares comprar 1000 barriles de petróleo, que se destilan después y producen 500 barriles de queroseno y 500 barriles de aceite combustible. Se puede vender directamente lo que se obtiene de la destilación, o se puede pasar por un reactor catalítico. El queroseno obtenido después de la destilación y sin más procesos, se puede vender a 60 dólares los 1000 barriles. El aceite combustible obtenido después de la destilación y sin más procesos, se puede vender a 40 dólares los 1000 barriles. Tarda una hora procesar 1000 barriles de queroseno en el reactor catalítico, y se pueden vender estos 1000 barriles a 130 dólares. El proceso 1000 barriles de aceite combustible en el reactor catalítico tarda 45 minutos, y se pueden vender estos 1000 barriles a 90 dólares. Se pueden comprar diariamente a lo más 20000 barriles de petróleo, y se disponen de 8 horas de desintegración catalítica. Formule un PL para maximizar las ganancias de Combustibles S.A. Xqv Solución Xqp Reactor Xp Destilado Catalítico Xap Xav Pág 9 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP Definición de variables: Xp: Miles de barriles de Petróleo que se compran Xqv: Miles de barriles de queroseno que se venden después de la destilación Xav: Miles de barriles de aceite combustible que se venden después de la destilación Xqp: Miles de barriles de queroseno que entran al proceso del reactor catalítico Xap: Miles de barriles de aceite que entran al proceso del reactor catalítico Definición de la F.O Combustibles SA. En la preparación de sus productos incurre en costos por la compra de crudo y obtiene ingresos por la venta de sus productos en consecuencia el beneficio o Ganancia por cada mil barriles tiene que maximizarse de la siguiente manera: Max G = Ingresos – costos = (60Xqv + 40Xav + 130Xqp + 90Xap) – 40Xp Las restricciones: R1 que representan cantidades iguales de producción: Xqv + Xqp = Xav + Xap R2 que representan que lo que se produce es igual a lo que se compra: Xqv + Xqp + Xav + Xap =Xp R3 que representan horas disponibles en el reactor catalítico: Xqp + 0.75Xap <= 8 R4 que representan la disponibilidad de Crudo por día: Xp <= 20 R5 que representan que todas la variables son no negativas: Xqv, Xqp, Xav, Xap,Xp >= 0 8) Una fábrica de acero produce tres tipos de cable cada uno se hace con un tipo diferente de aleación. El proceso es mostrado en el esquema de la figura Nº1. El problema consiste en determinar las cantidades de cada una de las aleaciones a producir, dentro de las limitaciones de ventas y capacidad de máquinas, como para lograr la máxima utilidad. Aleación 1 A C Aleación 2 B Aleación 3 Figura Nº1 Pág 10 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP Datos sobre cantidad y utilidad: Departamento Nº de máquinas Nº de hrs. Disponibles Tiempo per por máquina y por semana dido. % A 4 21 5 B 1 20 10 C 1 12 0 Aleación Operación Tasa de operación Potencial de venta Utilidad por Tn. 1 A 28 hr/Tn 1200 Tn/mes S/. 25 C (1º) 50 pies/min B 20 pies/min C (2º) 25 pies/min 2 A 35 hr/Tn 250 Tn/mes S/. 35 B 20 pies/min C 25 pies/min 3 B 16 pies/min 1500 Tn/mes S/. 40 C 20 pies/min Para todas las aleaciones el cable tiene el mismo peso 4Tn. por cada 400 pies. Formular el problema como un modelo de P.L Solución Se definen las variables de decisión como: X1: Las Toneladas de aleación 1 que se produce en el mes X2: Las Toneladas de aleación 2 que se produce en el mes X3: Las Toneladas de aleación 3 que se produce en el mes La Función Objetivo: Max U = 25X1 + 35X2 + 40X3 Pág 11 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP Es necesario determinar el tiempo disponible para cada departamento de acuerdo a lo siguiente: No de horas/mes = (No de máquinas) x (hrs disponibles/semana x máquina) x (No de semanas por mes) x (tiempo útil) Dpto A: 4 x 21 x 4 x (1-0.05) = 319.2 hrs/mes disponibles Dpto B: 1 x 20 x 4 x (1-0.10) = 72.0 hrs/mes “ Dpto C: 1 x 12 x 4 x (1-0.00) = 48.0 hrs/mes “ Restricciones de horas utilizadas Las restricciones vienen dadas por la cantidad de horas utilizadas de cada departamento en la producción de las tres aleaciones, así tenemos: Restricción de horas utilizadas en en el Dpto A: Del gráfico se observa que solo la aleación 1 y aleación 2 requieren de este departamento, en consecuencia la restricción es directa: 28X1 + 35X2 <= 319.2 Restricción de horas utilizadas en en el Dpto B: Del gráfico se observa que las tres aleaciones producidas requieren de este departamento, la restricción en este caso no es directa y tiene que calcularse la cantidad de horas utilizadas como sigue: Horas utilizadas por aleación1: 20 pies/minuto x 60 minutos/hora x 4 Tn/400 pies = 12 Tn/hora 1/12 horas/Tn Horas utilizadas por aleación2: 20 pies/minuto x 60 minutos/hora x 4 Tn/400 pies = 12 Tn/hora 1/12 horas/Tn Horas utilizadas por aleación3: 16 pies/minuto x 60 minutos/hora x 4 Tn/400 pies = 9.6 Tn/hora 5/48 horas/Tn Por tanto la restricción es: X1/12 + X2/12 + 5X3/12 <= 72 Restricción de horas utilizadas en en el Dpto C: Del gráfico se observa que las tres aleaciones producidas requieren de este departamento, sin embargo la aleación 1 tiene 2 pasadas; la restricción se calcula para la cantidad de horas utilizadas como sigue: Horas utilizadas por aleación1: (50+25) pies/min x 60 min/hora x 4 Tn/400 pies = 45 Tn/hora 1/45 horas/Tn Horas utilizadas por aleación2: 25 pies/min x 60 min/hora x 4 Tn/400 pies = 15 Tn/hora 1/15 horas/Tn Horas utilizadas por aleación3: 20 pies/min x 60 min/hora x 4 Tn/400 pies = 12 Tn/hora 1/12 horas/Tn Por tanto la restricción es: X1/45 + X2/15 + X3/12 <= 48 Pág 12 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP Restricciones de potencial de ventas X1<=1200, X2<= 250, X3<= 1500 Resumiendo el Modelo matemático resulta: Max U = 25X1 + 35X2 + 40X3 sa 28X1 + 35X2 <= 319.2 X1/12 + X2/12 + 5X3/12 <= 72 X1/45 + X2/15 + X3/12 <= 48 X1 <= 1200 X2 <= 250 X3 <= 1500 9) Todo el acero producido por Aceros Arequipa tiene que cumplir con las siguientes especificaciones: 3.2 a 3.5% de carbono; 1.8 a 2.5% de silicio; 0.9 a 1.2% de níquel; resistencia a la tracción de por lo menos 45000 lb/pulg2. Aceros Arequipa produce el acero mezclando dos aleaciones. El costo y las propiedades de cada aleación se dan en la tabla siguiente. Supóngase que se puede determinar la resistencia a la tracción de una mezcla promediando las resistencias de las aleaciones que se mezclan. Por ejemplo, una mezcla de una tonelada que se compone de 40% de la aleación_1y 60% de la aleación_2, tiene una resistencia a la tracción de 0.4(42000)+0.6(50000). Utilice la programación lineal para determinar cómo minimizar los costos de producción de una tonelada de acero. Aleación 1 Aleación 2 Costo por Tn (US$) 190 200 % de Silicio 2% 2.5% % de Níquel 1% 1.5% % de carbono 3% 4% Resistencia a la Tensión 42 000 lbs/pulg2 50 000 lbs/pulg2 Pág 13 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP Solución Definición de variables de decisión: X1: Cantidad de toneladas de aleación 1 a utilizar X2: Cantidad de toneladas de aleación 2 a utilizar La Función Objetivo: minimiza el costo de producción de una tonelada de acero: Min Cp = 190X1 + 200X2 sa R1: representa los requerimientos máximos de Carbono 0.03X1 + 0.04X2 <= 0.035 R2: representa los requerimientos mínimos de Carbono 0.03X1 + 0.04X2 >= 0.032 R3: representa los requerimientos máximos de Silicio: 0.02X1 + 0.025X2 <= 0.025 R4: representa los requerimientos mínimos de Silicio: 0.02X1 + 0.025X2 >= 0.018 R5: representa los requerimientos máximos de Niquel: 0.01X1 + 0.015X2 <= 0.012 R6: representa los requerimientos mínimos de Niquel: 0.01X1 + 0.015X2 >= 0.009 R7: representa la resistencia a la Tracción: 2000X1 + 50000X2 >= 45000 R8: representa la restricción de cantidad a producir: X1 + X2 = 1 X1, X2 >= 0 10) Conteste Verdadero (V) ó Falso (F), según corresponda: a) (F) Las condiciones de no negatividad significan que todas las variables de decisión deben ser positivas. b) (V) En el contexto de la formulación de modelos, las limitaciones de las decisiones permisibles se llaman restricciones. c) (F) Un modelo es un buen sustituto del juicio y la experiencia del ejecutivo. d) (F) Supóngase que tanto x1 como x2 son variables binarias donde xi = 1 tiene la interpretación de construir una planta en la localidad i. La condición «se puede construir una planta en la localidad 2 sólo si también se construye una planta en la localidad 1» es capturada mediante la restricción x1 2 11) Un fabricante tiene cuatro artículos A, B C y D que deben ser producidos este mes. Cada artículo puede ser manejado en cualquiera de los tres talleres. El tiempo requerido para cada artículo en cada taller, el costo por hora en cada uno de ellos y el número de Pág 14 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP horas disponibles este mes se dan en la tabla que sigue. También es permisible repartir cada artículo entre los talleres en cualquier proporción. Por ejemplo se puede hacer un cuarto del artículo A en 8 horas del taller 1 y un tercio del artículo C en 19 horas en el taller 3. El fabricante desea determinar cuantas horas de cada artículo deben manejarse en cada taller para minimizar el costo de terminar los cuatro artículos. Identifique las variables de decisión y formule un modelo de programación lineal para este problema. TA ARTÍCULO COSTO POR HORA DE TIEMPO DE TALLER LLER A B C D TIEMPO DEL TALLER DISPONIBLE (horas) 1 32 151 72 118 89 160 2 39 147 61 126 81 160 3 46 155 57 121 84 160 Ai = horas de trabajo del artículo A manejadas en el taller i Bi = horas de trabajo del artículo B manejadas en el taller i Ci = horas de trabajo del artículo C manejadas en el taller i Di = horas de trabajo del artículo D manejadas en el taller i Min Z = 89( A1 + B1 + C1 + D1) + 81(A2 + B2 + C2 + D2) + 84(A3 + B3 + C3 + D3) s.a A1 + B1 + C1 + D1 160 A2 + B2 + C2 + D2 160 A3 + B3 + C3 + D3 160 A1 + A2 + A3 = 1 32 39 46 B1 + B2 + B3 = 1 151 147 155 C1 + C2 + C3 = 1 72 61 57 D1 + D2 + D3 = 1 118 126 121 Ai, Bi, Ci, Di 0 para toda i Pág 15 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP 12) Marque la respuesta correcta y justifique su respuesta En el modelo de programación lineal que se ilustra: Max Z = 5X1 + 3X2 s.a X1 + X2 <= 6 X1 >= 3 X2 >= 3 2X1 + 3X2 >= 3 X1,X2 >= 0 a) El espacio de soluciones contiene cuatro puntos b) El espacio de soluciones contiene dos puntos c) El espacio de soluciones contiene solo un punto* d) El espacio de soluciones no contiene ningún punto e) El espacio de soluciones contiene infinitos puntos 13) Conteste verdadero (V) o falso (F), que corresponda y marque la respuesta correcta y justifique su respuesta en cada caso. a) Un modelo es un buen sustituto del juicio y la experiencia del ejecutivo. b) El análisis de sensibilidad obtiene información adicional sobre las variaciones en la solución óptima debidas a ciertos cambios en los coeficientes y en la formulación del problema c) Las condiciones de no negatividad significan que todas las variables de decisión deben ser positivas. a) VVF b)FFV c)FVV d)FFF e)FVF* 14) Marque la respuesta correcta y justifique su respuesta: Un modelo de P.L que tiene múltiples soluciones, es: a) Un problema degenerado b) Por que la función objetivo es paralela a una de las restricciones obligatorias* c) Un problema mal formulado d) Un modelo que tiene restricciones redundantes e) Tanto b) como d) Pág 16 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP 15) Marque la respuesta correcta y justifique su respuesta: El rasgo distintivo de un programa lineal (en oposición a modelos de programación matemática más generales) es que a) se producen valores óptimos para las variables de decisión b) el problema tiene una función objetivo y restricciones c) convierten la expresión verbal en modelos formales d) todas las funciones del problema son lineales* e) la función objetivo se optimiza dentro del conjunto de decisiones permisibles 16) Marque la respuesta correcta: Una de las restricciones de un modelo de P.L indica: X1 - X2 <= 1, si las variables de decisión son X1, X2>=0 a) Una de las variables de decisión es igual a cero b) Las variables son binarias c) X1 siempre es mayor que X2 excepto cuando son iguales d) X2 siempre es mayor que X1 excepto cuando son iguales e) Las variables son enteras. 17) Una compañía de zapatos predice las siguientes demandas para los próximos seis meses: mes1, 200; mes2, 260; mes3, 240; mes4, 340; mes5, 190, mes6, 150. La producción de un par de zapatos, con tiempo regular (TR), cuesta 7 dólares y con tiempo extra (TE) 11 dólares. En cada mes la producción regular se limita a 200 pares de zapatos, y la producción de tiempo extra se limita a 100 pares de zapatos. Cuesta 1 dólar el mes, mantener un par de zapatos en el inventario. Plantee un problema de transporte balanceado para minimizar el costo total para satisfacer, a tiempo, las demandas de los siguientes seis meses. Solución Se debe plantear el modelo de transporte en primera instancia para conocer mes a mes y durante 6 meses cuales son los niveles de producción en tiempo normal y en tiempo extra. La restricción es que no se permiten satisfacer pedidos atrasados. En consecuencia se tiene que determinar para cada mes de producción el costo de producción más inventario si existe producción en exceso para los siguientes meses. Esto se resume en la tabla siguiente: Pág 17 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP Cálculo de costo de producción más inventario mes a mes Demanda de zapatos durante los seis meses Mes1 Mes2 Mes3 Mes4 Mes5 Mes6 Niveles TR1 7 7+1 7+2 7+3 7+4 7+5 200 De TE1 11 11+1 11+2 11+3 11+4 11+5 100 Producción TR2 7 7+1 7+2 7+3 7+4 200 En TE2 11 11+1 11+2 11+3 11+4 100 Los TR3 7 7+1 7+2 7+3 200 Seis TE3 11 11+1 11+2 11+3 100 Meses TR4 7 7+1 7+2 200 En TE4 11 11+1 11+2 100 Tiempo TR5 7 7+1 200 Normal TE5 11 11+1 100 Y tiempo TR6 7 200 Extra TE6 11 100 200 260 240 340 190 150 Como se puede observar la capacidad de producción entre producción normal y extra son 300 pares de zapatos mensuales lo que hacen un total de 1800 de capacidad durante los seis meses, mientras que la demanda en ese mismo período haciende a 1380 lo que significa un exceso de producción de 420 pares de zapatos los cuales para balancear el sistema se tiene que crear un centro de consumo ficticio. Resumiendo se tiene la nueva tabla de transporte balanceada: Mes1 Mes2 Mes3 Mes4 Mes5 Mes6 MesF Niveles TR1 7 8 9 10 11 12 0 200 De TE1 11 12 13 14 15 16 0 100 Producción TR2 7 8 9 10 11 0 200 En TE2 11 12 13 14 15 0 100 Los TR3 7 8 9 10 0 200 Seis TE3 11 12 13 14 0 100 Meses TR4 7 8 9 0 200 En TE4 11 12 13 0 100 Tiempo TR5 7 8 0 200 Normal TE5 11 12 0 100 Y tiempo TR6 7 0 200 Extra TE6 11 0 100 200 260 240 340 190 150 420 Pág 18 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Una firma industrial elabora dos productos, en los cuales entran cuatro componentes en cada uno. Hay una determinada disponibilidad de cada componente y un beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de cada artículo que debe fabricarse, con el fin de maximizar los beneficios. El siguiente cuadro resume los coeficientes de transformación o sea la cantidad de cada componente que entra en cada producto. Producto P1 P2 Disponibilidad Componente (Kg) A 1 3 15000 B 2 1 10000 C 2 2 12000 D 1 1 10000 Beneficios s/. unidad 4 3 2. La compañía XYZ produce tornillos y clavos. La materia prima para los tornillos cuesta S/. 2 por unidad, mientras que la materia prima para cada clavo cuesta S/. 2.50. Un clavo requiere dos horas de mano de obra en el departamento nº 1 y tres horas en el departamento nº 2, mientras que un tornillo requiere cuatro horas en el departamento nº 1 y dos horas en el departamento nº 2 . El jornal por hora en ambos departamentos es de S/. 2. Si ambos productos se venden a S/.18 y el número de horas de mano de obra disponibles por semana en los departamentos es de 160 y 180 respectivamente, expresar el problema propuesto como un programa lineal, tal que maximice las utilidades. 3. A un joven administrador de empresas se le pidió que entretuviese a un visitante de su empresa durante 90 minutos. El pensó que sería una excelente idea que el huésped se emborrache. Se le dio al administrador S/. 50. el joven sabia que al visitante le gustaba mezclar sus tragos, pero que siempre bebía menos de 8 vasos de cerveza, 10 ginebras, 12 whiskys y 24 martinis. El tiempo que empleaba para beber era 15’ por cada vaso de cerveza, 6`por vaso de ginebra, 7`y 4`por cada vaso de whisky y martíni. Los precios de las bebidas eran: el vaso de cerveza s/. 1, el vaso de ginebra s/. 2, el vaso de whisky s/.2, el vaso de martín s/.4. El administrador pensaba que el objetivo era maximizar el consumo alcohólico durante 90`que tenía para entretener a su huésped. Logró que un amigo químico le diese el contenido alcohólico de las bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades alcohólicas por un vaso de 17, 15, 16 y 7 el vaso. El visitante siempre bebía un mínimo de 2 whiskys. ¿Cómo resolvió el administrador el problema? 4. Un fabricante desea determinar cuantas mesas, sillas, escritorios o libreros debe fabricar para que la madera de que dispone sea óptimamente aprovechada ( es decir, rinda el mayor beneficio posible). Cualquiera de los muebles precisa de dos calidades de madera, cedro y caoba. El dispone de 1500 pies de cedro y 1000 pies de caoba. El capital de que dispone le permite contratar hasta 800 horas de trabajo (horas hombre). En su programa de ventas de acuerdo a los pedidos pasados, él Pág 19 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP necesita mínimo 40 mesas, 130 sillas, 30 escritorios y un máximo de 10 libreros. Cada mesa, silla, escritorio y librero necesitan 5, 1, 9 y 10 pies respectivamente de cedro y 2, 3, 4 y 1 de caoba. Cada mesa requiere de 3 horas hombre para ser fabricada y da una utilidad de 5 soles; cada silla requiere 2 horas hombre, y da 2 soles; cada escritorio precisa 5 horas –hombre y da 7 soles; cada librero necesita 10 horas hombre y proporciona una utilidad de 4 soles. El problema es escribir una formulación completa de programación lineal en términos de maximizar la utilidad. 5. Una compañía manufacturera Fabrica dos productos 1 y 2 y es suficientemente afortunada como para vender todo lo que puede producir actualmente. Cada producto requiere un tiempo de manufacturación en los 3 departamentos y la disponibilidad de una cantidad fija de horas hombre por semana en cada departamento, tal como se muestra en el cuadro siguiente: Tiempo de manufacturación /horas Producto Dpto. 1 Dpto. 2 Dpto. 3 1 2 1 4 2 2 2 2 H-H 160 120 280 disponibles/semana El problema consiste en decidir que cantidad de cada producto debe manufacturarse con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados de producción, sabiendo que la ganancia por cada unidad de producto 1 es S/. 1.00 y del producto 2 es S/. 1.50 6. Dos fábricas de papel producen 3 tipos diferentes de papel de bajo grado, medio grado y alto grado. Se tienen contrato de venta para proveer: 16 toneladas de bajo grado, 5 ton. De medio grado y 20 ton. De alto grado. Los costos de operación son de S/. 1000 por día para la primera fábrica y S/. 2000 para la segunda. La fábrica nº 1 produce 8 ton. De bajo grado, 1 ton de medio grado y 2 ton. De alto grado en un día de operación. La fábrica nº 2 produce 2 ton,. De bajo grado, 1 ton. De grado medio y 7 ton. De alto grado por día. ¿Cuántos días debe trabajar cada fábrica a fin de cumplir con el mencionada contrato de venta en la forma más económica? 7. PCC tiene un contrato para recibir 60000 libras de tomates maduros a 0.07 $/lb. De las cuales producirá jugo de tomates y puré de tomate enlatado. Los productos enlatadois se empacan en cajas de 24 latas cada una. Una lata de jugo requiere 1 lb. De tomates frescos en tanto que una de puré requiere solo 1/3 lb. La participación de la compañía en el mercado está limitada a 2000 cajas de jugo y 6000 cajas de puré. Los precios al mayoreo por caja de jugo y de puré son $ 1.8 y $ 0.9, respectivamente. Genere un programa de producción para esta compañía. 8. una compañía elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo requiere dos veces más tiempo de mano de obra que un producto del segundo tipo. Si todos los sombreros son exclusivamente del segundo tipo, la compañía puede Pág 20 de 21 Problemas Seleccionados por Ing. Miguel Jiménez C. Para el curso IO - PL Docente Adscrito al Dpto. Acad. De Investigación de Operaciones FII-UNP producir un total de 500 unidades al día. El mercado limita las ventas diarias del primer y segundo tipo a 150 y 200 unidades. Supóngase que la ganancia que s obtiene por producto es $ 8 para el tipo 1 y $ 5 para el tipo 2. Determine el número de sombreros de cada tipo que deben elaborarse para maximizar las ganancias. Pág 21 de 21