Capítulo 3.- CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO OBJETIVOS Clasificar los diferentes tipos de movimiento plano de un cuerpo.Investigar el movimiento de traslación de un cuerpo rígido y mostrar cómo se realiza el movimiento a través de un eje fijo. Estudiar el movimiento plano usando un análisis de movimiento absoluto. Proporcionar un análisis de movimiento relativo de velocidad y aceleración usando un marco de transferencia de rotación INTRODUCCIÓN La cinemática de cuerpos rígidos estudia las relaciones existentes entre el tiempo, posición, velocidad, y aceleración de las diferentes partículas que forman un cuerpo rígido. Los varios tipos de movimientos de los cuerpos rígidos pueden ser puestos en cinco categorías: traslación, rotación alrededor de un eje fijo, movimiento plano general, movimiento alrededor de un punto fijo y movimiento general. 3.1 TIPOS DE MOVIMIENTOS DE UN CUERPO RÍGIDO 3.1.1 TRASLACIÓN La traslación ocurre cuando todas las partículas que forman el cuerpo rígido se mueven a lo largo de trayectorias paralelas. Es decir cuando un segmento recto entre dos puntos dentro del cuerpo mantiene la misma dirección durante el movimiento. Traslación rectilínea: Cuando las trayectorias del movimiento de 2 partículas cualquiera del cuerpo forman líneas rectas equidistantes. Traslación curvilínea: Cuando las trayectorias del movimiento de 2 partículas cualquiera del cuerpo forman líneas curvas equidistantes. Figura 3.1 Traslación rectilínea Figura 3.2 Traslación curvilínea. 3.1.2 ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO En este movimiento las partículas del cuerpo se mueven en planos paralelos a través de círculos centrados sobre el mismo eje fijo. Si el eje interseca al cuerpo rígido, las partículas localizadas sobre el eje tienen velocidad cero, y aceleración cero. Figura 3.3 Rotación alrededor de un eje fijo No confundir entre traslación curvilínea y rotación. Traslación curvilínea Rotación 3.1.3. MOVIMIENTO PLANO GENERAL Cualquier movimiento en el plano que no esté destinado a ser cualquiera de los dos tipos de movimientos, ya sea traslación o rotación es determinado como movimiento plano general. el desplazamiento de varillas guiadas. Rodadura Deslizamiento de varillas Movimientos en mecanismos 3.4 MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES En el análisis tridimensional generalmente ocurren dos tipos de movimientos.1. movimientos de eslabones en mecanismos. La traslación ocurre dentro de un plano d referencia y la rotación sobre un eje perpendicular a dicho plano de referencia.En muchos casos el movimiento plano general se da cuando un cuerpo experimenta una combinación de traslación y rotación. . Movimiento alrededor de un punto fijo ocurre cuando el cuerpo rígido rota alrededor de un punto fijo. etc. Por ejemplo el movimiento de rodadura. Movimiento de traslación Considerando los puntos A y B sobre el cuerpo rígido mostrado. se cumple la siguiente relación entre las posiciones respecto a un sistema de coordenadas fijo: . éste es determinado como movimiento en el plano. 3.2 TRASLACIÓN Cuando un cuerpo rígido está en traslación. la velocidad y aceleración cambian en dirección y en magnitud. todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad y la misma aceleración en cualquier instante dado.Figura Movimiento con punto fijo Cuando el movimiento de un cuerpo rígido no cae dentro de otras categorías. En el caso de traslación curvilínea. o un acontecimiento plano. la derivada de Por lo tanto: En el caso de traslación rectilínea todas las partículas del cuerpo se mueven a lo largo de líneas rectas paralelas y su velocidad y aceleración se mantienen en la misma aceleración durante el tiempo completo.3 ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO La relación entre velocidad. . La presentación general proporciona un entorno fundamental para entender la presentación plana. 3.Como el vector mantiene una dirección y magnitud constante durante la traslación ya que A y B permanecen en el mismo cuerpo rígido. posición y aceleración para la rotación en un eje fijo puede ser demostrada en términos tridimensionales. la magnitud de la velocidad v es: La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria que forma la partícula en el movimiento de rotación.3. . El vector velocidad angular w tiene la dirección k en el eje z positivo cuando gire en sentido anti horario.1 Rotación de una placa representativa La rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo puede definirse mediante el movimiento de una placa representativa en un plano de referencia perpendicular al eje de rotación.3. Por definición la velocidad de cualquier punto de la placa. y el eje de giro es el eje z perpendicular al plano xy. está dada por el producto vectorial: Puesto que r y k son perpendiculares. El plano xy es el plano de referencia. Es decir a 90° de la dirección del radio en el sentido de movimiento. De igual manera el vector velocidad angular α tiene la dirección k en el eje z positivo cuando gire en sentido anti horario. la magnitud de la aceleración tangencial es: La aceleración centrípeta o normal se define como el producto de: El módulo de la aceleración normal es: La dirección de la aceleración normal es siempre hacia el centro de rotación. Por definición la aceleración tangencial de cualquier punto de la placa. es decir opuesta a la dirección radial. El vector aceleración total del movimiento de rotación es: . está dada por el producto vectorial: Puesto que r y k son perpendiculares. velocidad.2 ECUACIONES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO Como un cuerpo rígido rota alrededor de algunos ejes fijos. La coordenada angular puede ser expresada como una función del tiempo t..3. Integrando resulta: .3.en caso de rotación uniforme la aceleración angular es cero. la coordenada angular cambia con el tiempo. La relación entre la coordenada angular. aceleración y tiempo son: Dos casos particulares de rotación en un eje fijo son frecuentemente encontrados: Rotación Uniforme. solo una de las ecuaciones es aplicable. Por lo tanto. . tres ecuaciones pueden ser derivadas para dicho movimiento: Recuerde que estas ecuaciones son solo aplicables cuando la aceleración angular es constante.Rotación Uniformemente Acelerada. . Por lo tanto. Para otras situaciones se tiene que integrar de las anteriores.en este caso la aceleración angular es constante. . velocidad y aceleración.Para el caso de cuerpos rígidos en tres dimensiones se deberá tomar en cuenta un análisis vectorial de las variables posición. c) la aceleración del punto D sobre el aro de la polea en el tiempo t=0. b) la velocidad y la posición de la carga B después de 3s. y su aceleración es de 9 in/s2 hacia la derecha.La aceleración angular de un eje (flecha) se define mediante la relación α=-0. determinar la velocidad y aceleración de la esquina C. Determine: a) el número de revoluciones ejecutadas por la polea en 3s. La varilla doblada ABCDE gira alrededor de una línea que une los puntos A y E con una velocidad angular constante de 9 rad/s. determine: a) el número de revoluciones que el eje ejecutará antes de detenerse b) el tiempo requerido para que el eje se detenga c) el tiempo necesario para que la velocidad angular del eje se reduzca hasta el 1% de su valor inicial. .25ω. La carga A tiene una aceleración constante de 300 mm/s2 y una velocidad inicial de 240 mm/s. Si se sabe que la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj según se observa desde E. Una polea y dos cargas se conectan mediante cuerdas inextensibles como se muestra en la figura. Determine: a) la velocidad angular y la aceleración angular de la polea guía b) la aceleración total de los componentes de máquina en B. donde α se expresa en rad/s2 y ω en rad/s. En el instante que se muestra. Una serie de pequeños componentes de máquina se mueven por medio de una banda transportadora que pasa sobre una polea guía de 6 in de radio. Si se sabe que en t=0 la velocidad angular del eje es 20 rad/s. la velocidad del punto A es 15 in/s hacia la izquierda. ambas dirigidas hacia arriba. .3. El movimiento general en el plano es la suma de la traslación pura y la rotación en un eje fijo.4 MOVIMIENTO PLANO GENERAL El movimiento plano general es un movimiento que puede ser modelado como una combinación de dos tipos de movimientos. 4. Para el movimiento de varillas: Suponiendo que se conoce la velocidad velocidad angular de la varilla.1 Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano Según el análisis gráfico del movimiento plano que se presenta. la longitud se propone encontrar la velocidad y el ángulo . se puede deducir que: Donde r es la distancia de A a B. .3. y la Se escoge al punto A como punto de referencia y se expresa que el movimiento dado es equivalente a la traslación con A y una rotación simultanea alrededor de A. se tiene: El mismo resultado se consigue utilizando B como punto de referencia. con lo que se puede completar el diagrama de velocidades del sistema.Tomemos en cuenta que se desconoce la dirección de pero se conoce la dirección de . de un cuerpo rígido en movimiento plano es independiente . Al despejar las magnitudes de y utilizando el triángulo de velocidades. de manera que: Nota: La velocidad angular del punto de referencia. Mecanismo con cremallera inferior fija Movimiento plano Movimiento de mecanismo biela .manivela Movimiento de rotación Movimiento plano . 3. o debe asumirse. Subsecuentemente se consideran sólo problemas en el plano. Para este ejemplo. Determinar los tipos de movimiento involucrados en el problema.4. En estos instantes la geometría juega un papel importante determinando la respuesta correcta. El sistema de barras fijas mostrado está libre para girar. 2. Para este ejemplo las velocidades absolutas a los puntos A y D son de cero. La barra BC tiene movimiento plano general. cada barra puede tener una velocidad angular única.2 PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCIÓN Los problemas generalmente se encuentran considerando las velocidades absolutas y relativas que se requieren de ambas en el modelo. barras AB y DC realizan rotación en un eje fijo. pueden determinarse sólo dos incógnitas para un problema dado. La velocidad angular de las barras es explícitamente conocida de la declaración del problema. Durante el movimiento existen cambios de posición del pasador B y C. Ya que las barras AB y DC realizan rotación sobre un eje fijo. un diagrama es esencial para observar la dirección de las velocidades en puntos discretos. o cuerpos conectados. Si se asume una dirección incorrecta. las velocidades absolutas en los puntos B y C se pueden encontrar. Identificar las incógnitas. Indicar velocidades conocidas en el diagrama. Sus . la respuesta resultará negativa 4. así como en la orientación de la barra BC. y resolver para una o más incógnitas. 1. y a cualquier momento dado. Al modelar el sistema definido por la declaración del problema. Durante el movimiento. Un aspecto importante de tales problemas es reconocer que generalmente las soluciones requeridas para un momento específico durante el movimiento del cuerpo.3. . Pueden usarse dos posibles modelos. Los dos rendirán los mismos resultados. 5. Cualquier modelo puede usarse.magnitudes y direcciones dependen de las longitudes de las barras AB y DC. No más de dos incógnitas pueden determinarse. En cualquier modelo. así como las velocidades angulares. El modelo para la barra BC puede ahora ser usada para establecer las relaciones entre las velocidades absolutas en los puntos B y C y la velocidad relativa entre los dos puntos. el ángulo θ y la longitud de BC son conocidos. En el instante mostrado cuando . Determine: a) la velocidad angular del elemento BDH b) la velocidad del punto H . la barra AB tiene aceleración angular nula y una velocidad angular constante de 20 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. determine: a) la velocidad angular de la varilla AB b) la velocidad del collarín B El brazo ACB gira alrededor del punto C con una velocidad angular de 40 rad/s en sentido contrario a las manecillas del reloj.El collarín A se mueve hacia arriba con una velocidad constante de 1. determine: a) la velocidad angular del disco A b) la velocidad angular del disco B En la posición mostrada. Si los dos discos ruedan sin deslizarse en las superficies de contacto. dos discos de fricción A y B se montan sobre el brazo ACB como se muestra en la figura.2 m/s. Por medio de pasadores insertados en sus centros. y la velocidad angular definen por Suponiendo que se conocen y . La traslación se caracteriza por la velocidad del punto de referencia A. . y la rotación sobre un eje fijo que pasa por A.5 CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN EN EL MOVIMIENTO PLANO Considerando el movimiento plano general de una placa. El movimiento plano general de una placa puede sustituirse como una combinación de la traslación definida por el movimiento de un punto arbitrario A. Por lo tanto la placa placa gire con la velocidad angular perpendicular a la velocidad a una distancia parece girar alrededor del centro instantáneo C en ese instante considerado. y la rotación se caracteriza por la velocidad angular del cuerpo rígido que es independiente del punto de referencia que se escoja. Por lo tanto la velocidad completo todas las demás velocidades de la placa.3. estas velocidades podrían obtenerse dejando que la alrededor de un punto C ubicado sobre la desde A. Determinación del centro instantáneo de rotación: a) Conociendo las direcciones de las velocidades absolutas de dos partículas A y B. sobre el cual la velocidad de las diferentes partículas de la placa es la misma como que si la placa girara alrededor de dicho eje.. el centro instantáneo de rotación C se obtiene dibujando perpendiculares a las velocidades y a través de los puntos A y B respectivamente. .Eje perpendicular al plano sobre el punto C.Eje de rotación instantáneo. siendo estas diferentes. El punto de intersección de estas rectas perpendiculares determina el centro instantáneo de rotación C. el centro instantáneo de rotación puede encontrarse intersecando la línea AB con la línea que une los extremos de los vectores y .Nota: Si las velocidades y fueran paralelas. el centro instantáneo de rotación C estaría sería cero. Todos los puntos de la placa tendrían la misma velocidad resultando un movimiento de traslación pura. . NOTA: La velocidad en el punto C es cero. Debido a esto. el punto C a veces se lo llama el centro instantáneo de velocidad cero. y éstas son perpendiculares a la línea AB. Aplicando la teoría de centro instantáneo de rotación se puede analizar la siguiente varilla conociendo la . Nota: Si las velocidades a una distancia infinita y y fueran iguales. b) Si se conocen las magnitudes las velocidades y de los puntos A y B. el centro instantáneo de rotación C sería cero. Todos los puntos de la placa tendrían la estaría a una distancia infinita y misma velocidad resultando un movimiento de traslación pura. Mecanismo con cremallera inferior fija En este método de cálculo solo intervienen las velocidades absolutas de los puntos de interés. . determine: a) La velocidad angular de la varilla BD b) La velocidad del punto medio de la varilla BD . la velocidad angular de la varilla AB es de 15 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj.Movimiento de mecanismo biela – manivela Consulta: ¿Qué es la centroda corporal y la centroda espacial? Si se sabe que en el instante mostrado. Un tambor de 3 in de radio se une de manera rígida aun tambor de 5 in de radio en la forma que se indica. determine: a) la velocidad angular de los tambores b) la velocidad del centro de los tambores c) la longitud de la cuerda en rollada o desenrollada por segundo. Si la velocidad del collarín B es de 400 mm/s hacia arriba. Si se sabe que el extremo E de la cuerda se hala hacia la izquierda con una velocidad de 6 in/s. El brazo ABD se une mediante pasadores a un collarín en B y a la manivela DE. Uno de los tambores rueda sin deslizarse sobre la otra superficie mostrada y una cuerda se enrolla alrededor del otro tambor. determinar: a) La velocidad angular del brazo ABD b) La velocidad del punto A . determine: a) La velocidad angular de cada varilla b) La velocidad del punto A . Si el punto D se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 40 in/s .Dos varillas AB y DE están conectadas como se indica en la figura. 3. se determina la aceleración y la de la varilla. se expresa que el movimiento dado es equivalente a una traslación con A y a una rotación alrededor de A.6 ACELERACIÓN ABSOLUTA Y RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANO Vectorialmente: Escalarmente: Conociendo la velocidad aceleración angular y la aceleración . Al elegir a A como punto de referencia. La aceleración absoluta de B debe ser igual a la suma: . Dirigida hacia A Perpendicular a AB Si se conoce que se dirige hacia la derecha y hacia la derecha: Si se conoce que se dirige hacia la izquierda y hacia la izquierda: . 1 Análisis del movimiento plano en términos de un parámetro .3.6. . Para el mecanismo biela – manivela se tiene la velocidad angular constante de AB de 20000 rpm y se pide calcular la aceleración angular de la biela y la aceleración del pistón. . Si en el instante que se muestra el eslabón AB tiene una aceleración angular nula y una velocidad angular de 3 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. Determine: a) La aceleración del punto D b) La aceleración del punto E .La barra BDE está unida a dos eslabones AB y CD. Si se sabe que en el instante mostrado la barra AB tiene una velocidad angular constante de 6 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj.El tambor de 150 mm de radio rueda sin deslizarse sobre una banda que se mueve hacia la izquierda con una velocidad constante de 300 mm/s. En el instante en que la velocidad y la aceleración del centro D del tambor son como se muestra.B y C del tambor. determine: a) La aceleración del punto D b) La aceleración angular del elemento BDE c) La aceleración del punto E . determine las aceleraciones de los puntos A.