Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de GraduaçãoProf. Antenor Rodrigues Barbosa Jr. 7. Previsão de Enchentes 7. PREVISÃO DE ENCHENTES 7.1. GENERALIDADES O termo previsão de enchentes, neste curso, aplica-se ao cálculo de uma enchente de projeto por extrapolação dos dados históricos para as condições mais críticas. Como exemplo, considera-se certa seção fluviométrica de um rio para a qual se dispõe de 30 anos de dados de vazão. Assim, a maior vazão observada tem a probabilidade aproximada de ocorrer, ou ser superada, uma vez a cada 30 anos. Se o problema for o cálculo da vazão máxima provável de acontecer uma vez a cada 100 anos, estar-se-á tratando, basicamente, da extrapolação de dados históricos para a previsão da enchente de 100 anos. É interessante fazer a distinção dos conceitos de cheia (ou enchente) e inundação. A enchente caracteriza-se pela ocorrência da vazão relativamente grande do escoamento superficial, enquanto a inundação distingue-se pelo extravasamento do canal. Uma enchente pode ou não causar inundação. Obras de controle podem ser realizadas no rio para evitar a ocorrência da inundação. Por outro lado, a existência de alguma obstrução no escoamento natural do rio pode levar à inundação, mesmo não havendo grande aumento do escoamento superficial. Em suma, a enchente refere-se a uma ocorrência natural, cíclica, que normalmente não afeta diretamente os habitantes da região; já as inundações são decorrentes de alterações no uso do solo e podem provocar danos de grandes proporções. 7.2. CÁLCULO DA VAZÃO DE ENCHENTE O cálculo da enchente, utilizado no projeto de obras hidráulicas (bueiros, canais, vertedores etc.), é um procedimento necessário no dimensionamento de obras de controle e proteção contra inundações. A finalidade do cálculo da vazão de enchente pode ser: a) para definir a vazão máxima de projeto; b) para estabelecer, se possível, o hidrograma da cheia, isto é, para determinar a distribuição das vazões ao longo do tempo, desde o instante em que se tem o aumento da vazão determinado pelo escoamento superficial produzido por determinada chuva, até o fim da contribuição do escoamento superficial. No cálculo da vazão de enchente podem ser utilizados métodos baseados em dados de chuva, que fazem a transformação da chuva em vazão, como o método do hidrograma unitário1 e o método racional, vistos no capítulo anterior. Pode-se, ainda, quando se dispõe da série histórica de vazão, recorrer a modelos ou leis de probabilidade já consagrados, que permitem prever a enchente com base na descrição das frequências de ocorrência dos eventos extremos de vazão. A seleção da técnica mais apropriada para a determinação da enchente de projeto depende do tipo, quantidade e qualidade dos dados hidrológicos disponíveis. 1 O método do hidrograma unitário (método do HU) empregado no cálculo da vazão de enchente requer poucos dados e é facilmente adaptável às chuvas de diferentes durações e intensidades. Contudo, ele não permite a associação do período de retorno aos resultados obtidos. Mesmo quando o período de retorno da chuva é conhecido, a transformação efetuada pelo modelo geralmente afeta a distribuição de frequência do evento. 150 Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Jr. 7. Previsão de Enchentes Os métodos de transformação de chuva em vazão já foram estudados no capítulo anterior, que trata do escoamento superficial. Por isso, no presente capítulo tratar-se-á apenas do uso de leis de probabilidade na previsão da vazão de enchente. 7.3. PERÍODO DE RETORNO PARA O CÁLCULO DA ENCHENTE Conforme já visto, o período de retorno ou intervalo de recorrência de uma enchente é o tempo médio, em anos, em que a enchente é igualada ou superada pelo menos uma vez. Como forma de determinação do período de retorno para o cálculo da vazão de enchente pode ser utilizado um critério baseado na fixação do risco, ou um critério econômico ou, ainda, um critério baseado na experiência do projetista, este último sendo o mais comumente adotado no Brasil. i) Critério de Fixação do Risco Para a escolha do período de retorno da enchente de projeto pode-se recorrer ao procedimento de fixação do risco assumido para o caso de a obra vir a falhar dentro do seu tempo de vida útil. Isto porque a estrutura projetada para determinada vazão de pico correrá certo risco de falha dentro do seu período de vida útil: isso significa que a vazão de projeto poderá ser excedida dentro do período de vida útil da obra. A seleção do risco que se deseja correr depende da gravidade da falha para o funcionamento da estrutura ou obra, bem como dos recursos disponíveis para a sua construção, entre outros fatores. Para obter uma expressão para o período de retorno em função do risco, considere o evento de magnitude Qp2, com intervalo de recorrência Tr. Então a probabilidade de que este evento seja igualado ou superado em um ano qualquer pode ser expressa por PQ Q p 1 . Tr (1) Assim, em outras palavras, se determinada obra (vertedor de barragem, galeria de águas pluviais, bueiro, canal de sistema de drenagem, etc.) for construída para a vazão de cheia de projeto Qp, correspondente a um intervalo de recorrência de Tr anos, então, para cada ano de funcionamento do sistema, a probabilidade de ocorrer falha (vazão de projeto ser superada) é igual a 1/Tr. Considerando-se somente as possibilidades de que a falha ocorra ou não, a probabilidade de não ocorrência da falha num ano qualquer será, então, 1 1 Tr . Para n anos de vida útil da obra, ou para um tempo de construção de n anos, a probabilidade do sistema não falhar nenhuma vez neste período é a chamada segurança, S: S 1 1 Tr 1 1 Tr 1 1 Tr S 1 1 Tr . n (2) n vezes Consequentemente, numa série de n anos, o risco de falha será representado pela probabilidade R de que ao menos um evento iguale ou exceda o evento de intervalo de recorrência Tr. Ou seja, R 1 S R 1 1 1 Tr . n (3) Dessa maneira, pode-se escolher o período de retorno da cheia a ser utilizado no projeto da obra hidráulica, conhecendo-se o tempo de vida provável da estrutura, ou o tempo de duração da sua construção, e fixando-se o risco que se deseja correr de que a obra venha a falhar. A título de ilustração, na Tabela 7.1 apresentam-se os períodos de retorno para diferentes valores do risco 2 Qp é a vazão de pico ou de projeto. 151 Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Jr. 7. Previsão de Enchentes e da vida útil provável da estrutura, calculados com base na Eq. (3). Sugere-se ao estudante completar a tabela para os valores de Tr correspondentes ao risco assumido de 90%. Tabela 7.1 – Período de retorno estabelecido de acordo com o critério de fixação do risco Período de retorno, Tr (anos) Vida provável da estrutura, n (anos) Risco a ser assumido 1 10 20 50 100 1000 1% 100 995 1990 4975 9950 99500 5% 20 195 390 975 1950 19496 10% 10 95 190 475 950 9492 50% 2 15 29 73 145 1443 1,0 2,7 4,9 11 22 217 90% 99% EXEMPLO 7.1 Para uma usina hidrelétrica como a de Itaipu, para a vazão de projeto dos vertedores assumiu-se um risco de falha de 1%. Se a vida útil do sistema é estimada em 100 anos, qual o período de retorno da vazão de projeto? SOLUÇÃO A partir da Eq. (3) rearranjada, é possível expressar o período de retorno como uma função da vida útil n e do risco R. Este período de retorno, chamado período de retorno de projeto, é calculo como Tr 1 . 1 1 R 1n (4) Assim, com os dados do problema, Tr 1 1 1 0,01 1 100 Tr 9950 anos. O resultado desse problema confere com aquele apresentado na Tabela 7.1. EXEMPLO 7.2 Para a canalização de um córrego urbano adotou-se a vazão de projeto correspondente ao período de retorno Tr = 20 anos. Se a vida útil da obra é de 50 anos, qual o risco que se corre de a obra falhar? SOLUÇÃO Pela Eq. (3): 1 R 1 1 20 50 0,92 92% . 152 para o qual a probabilidade de ocorrência de um evento é independente do tempo e do histórico das ocorrências e não ocorrências. EXEMPLO 7. e para um nível de risco de falha aceitável.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof. A última expressão fornece. um período de retorno médio. Assim. em anos. então.000m3/s será igual a 1%. a “probabilidade de excedência” da vazão de 1. e sim que. Antenor Rodrigues Barbosa Jr. a probabilidade. então. e sim a probabilidade de ocorrência de um ou mais eventos de excedência em n anos. Representa.3 Um bueiro é projetado para um intervalo de recorrência de 50 anos. Ou seja. fx = probabilidade de ocorrência de k eventos (excedência) em n anos. por exemplo. isso corresponde a uma distribuição binomial de probabilidade: f x exatamente k eventos em n anos C nk P k 1 P n k em que: P = probabilidade de excedência de um evento num ano qualquer.000m3/s seja de 100 anos. Em termos da probabilidade de excedência. em n anos de vida útil da obra. portanto. Ou. C nk k!n k ! Em estudos hidrológicos.01. a probabilidade de excedência P e o período de retorno Tr (Tr=1/P) da cheia de projeto podem ser calculados a partir daquela expressão. para o tempo de vida útil do projeto. entre os n itens. n! . generalizar para a probabilidade de ocorrência de exatamente k eventos em n anos. Ou seja. n 0 f x 1 ou mais eventos em n anos 1 C 0n P 0 1 P . Para tal modelo. para um número extremamente grande de ocorrências. Qual a probabilidade de ocorrer exatamente uma cheia da magnitude igual à de projeto em 100 anos de vida útil da estrutura? 153 . Pode-se. interessa conhecer f x 1 ou mais eventos em n anos 1 f zero evento em n anos. ou não ocorrer com a probabilidade (1P) = (11/Tr). a probabilidade de ocorrer um único evento em 3 anos será: P·(1P)·(1P) + (1P)·P·(1P) + (1P)·(1P)·P que é igual a 3·P·(1P)2. portanto. 7. usualmente não é importante conhecer a probabilidade com que a cheia é excedida exatamente k vezes. Alternativamente. uma excedência da vazão de cheia a cada 100 anos. o risco de ocorrência R de uma cheia com vazão superior à de projeto (ou vazão superior à de recorrência Tr). R = fx100 (%). (3). um evento de dada magnitude poderá ocorrer com a probabilidade P=1/Tr. fx. n. Previsão de Enchentes Observação: Admitindo-se que o período de retorno de uma vazão de cheia de vazão Qp = 1. Este período de 100 anos é. Vazões de enchente seguem um modelo de Bernoulli. Importante compreender que ao se fixar uma cheia de 100 anos não significa que a vazão correspondente será excedida exatamente a cada 100 anos. ter-se-á. a probabilidade de que essa vazão seja excedida num ano qualquer será: P{QQp} = 1/Tr = 1/100 = 0. a qual será igual ao número de modos de se arranjar k valores de P. da obra ou estrutura falhar ao menos uma vez. em média. num tempo qualquer. que resulta em n f x pelo menos uma cheia em n anos 1 1 P . que é idêntica à Eq. 7.02 0. Previsão de Enchentes SOLUÇÃO f x exatamente k eventos em n anos C nk P k 1 P No caso: Tr = 50 anos. e d) o perigo de perda de vida.02 0. produziria neste ponto o período de retorno mais econômico. a ausência de seguros contra enchentes ou a dificuldade de obtenção de informações a esse respeito conduz à utilização de outros critérios para a fixação do período de retorno da vazão de cheia de projeto.27 27% . c) a facilidade de reparação e ampliação.02. A soma dessas duas parcelas geraria uma nova curva que. no mesmo gráfico. adotam-se os seguintes valores médios do período de retorno: Para o dimensionamento do extravasor de barragem de terra: Tr 1000 anos Para o dimensionamento do extravasor de barragem de concreto: Tr 500 anos Para galerias de águas pluviais: Tr 5 a 20 anos Para pequena barragem de concreto para fim de abastecimento: Tr 50 a 100 anos 154 . se lançariam os gastos anuais de amortização do capital aplicado na obra.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof. em caso de existência de seguro contra enchentes. n = 100 anos. 100 R = f x pelo menos uma cheia em n 100 anos 1 1 0. Assim. poder-se-ia construir uma curva que fizesse a representação dos custos anuais do seguro em função do período de retorno Tr e.87 87% .3 experimentar pelo menos uma cheia de projeto em seu tempo de vida útil? SOLUÇÃO O que se procura. 100! 1001 1 99 1 f x exatamente 1 evento em 100 anos C100 0. A depender do tipo de obra. passando por um ponto de mínimo. as principais variáveis consideradas para a fixação do período de retorno são: a) a vida útil da obra. iii) Critérios usualmente adotados no Brasil Em geral. P = probabilidade de excedência = 1/Tr = 1/50 = 0. Portanto. Por exemplo.27 1 P 1 P 1!100 1! f x 0. é exatamente o risco: 100 R = f x pelo menos uma cheia em n 100 anos 1 1 P Portanto. Antenor Rodrigues Barbosa Jr.4 Qual a probabilidade do bueiro do problema exemplo 7. ii) Critério Econômico de Fixação do Risco Pelo critério econômico. A Figura 7. k = 1.87 R = f x 0. agora. o período de retorno da vazão de projeto deveria ser aquele que conduzisse ao menor custo global. b) o tipo de estrutura.02 1 0. Baseado nestes parâmetros.1 procura ilustrar a aplicação do critério econômico. n k EXEMPLO 7. 3 Na análise de frequência das cheias. recorre-se ao uso de modelos de probabilidade. com uma expectativa de repetição.4. apoiando-se no estudo de uma série3 de dados observados. 3) transformação de potência da distribuição gama.1 – Obtenção do período de retorno pelo critério econômico. por exemplo. As funções matemáticas de distribuição de probabilidade mais utilizadas na análise de frequência das vazões de enchente são: 1) distribuição gama. à análise estatística com o propósito de utilizar os eventos de descargas observadas (série histórica de vazões) num dado período. Antenor Rodrigues Barbosa Jr. baseadas na razão.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof. mas não tem certeza de que estas cargas não serão excedidas. na determinação da magnitude das vazões de pico das cheias (que são as vazões críticas ou de projeto). ou distribuição de Kritskiy-Menkel. 2) transformação logarítmica da distribuição gama. e considera fatores de segurança nos dimensionamentos. deve estar consciente de que um erro acentuado de previsão das quantidades hidrológicas poderá causar efeitos destruidores indesejáveis. isto é. a partir de um enfoque estatístico que consiste em definir a relação entre as descargas máximas e as correspondentes frequências de ocorrência. Uma vez que o comportamento exato das vazões em anos futuros não pode ser absolutamente previsto. pois. a série anual é mais popular do que a série parcial. USO DE LEI DE PROBABILIDADE NA PREVISÃO DE ENCHENTES Todos os projetos de engenharia são planejados para o futuro. também conhecida como distribuição Pearson tipo III. Previsão de Enchentes Figura 7. também conhecida como distribuição logPearson tipo III. o engenheiro de recursos hídricos não estará absolutamente certo da vazão que afetará o projeto. Recorre-se. Para levar em conta as incertezas. 7. 155 . como meio de se efetuar a projeção para um período de tempo maior. ou seja. Na previsão de enchentes. 7. A suposição básica é que as cheias verificadas durante um determinado período possam ocorrer em um período futuro de características hidrológicas similares. não havendo certeza absoluta das exatas condições de trabalho da obra ou estrutura. Contudo. o projetista estabelece as cargas atuantes. Da mesma forma. que podem inviabilizar economicamente todo o projeto. procura-se introduzir leis de probabilidade de modo a estabelecer as prováveis variações para permitir que o plano seja completado com base em um risco calculado. lança mão de hipóteses. Na área estrutural. Em princípio. e tipo III. é dada por 1 x 2 f x exp 2 2 1 (06) onde e são. conhecida como distribuição Gumbel. (07) Cada distribuição terá um papel probabilidade específico. respectivamente. também conhecida como distribuição lognormal ou distribuição de Galton. de N x 4 x i 1 N i . Previsão de Enchentes 4) distribuições exponenciais. Por isso. algumas distribuições de probabilidade normalmente empregadas na análise de frequência das cheias e outros eventos extremos. conhecida como distribuição de Goodrich ou Weibull. Se uma variável aleatória x tem distribuição normal. 7. não existe nenhuma razão para considerar um dos modelos acima como superior aos demais. ou distribuição normal. respectivamente. embora não necessariamente o mais preciso. se num dado papel de probabilidade os dados ajustarem-se segundo uma linha reta. as estimativas da média e do desvio-padrão podem ser obtidas. Assim. da frequência (ou período de retorno) e do coeficiente de assimetria. 156 . Antenor Rodrigues Barbosa Jr.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof. 5) distribuição gaussiana (distribuição normal de probabilidade). consiste em lançar os pares de valores de frequência e vazão em papel de probabilidade4. duplo exponencial. 7. Para uma amostra da população. s = desvio-padrão. a média e o desvio-padrão da população. tipo II. então a distribuição de probabilidade correspondente será considerada adequada para a realização das previsões. a técnicas matemáticas de ajuste de curvas. também conhecidas como distribuições de valores extremos ou distribuições de Fisher-Tippett. x = valor médio da variável considerada. conhecida como distribuição de Fréchet. que são de três tipos: tipo I. O fator de frequência da equação de Chow depende do tipo de distribuição. Apresentam-se. a função densidade de probabilidade da variável aleatória x. f(x). Um procedimento simples e rápido. na seleção da distribuição mais apropriada a ser ajustada a uma determinada base empírica de dados recorre-se. 6) transformação logarítmica da distribuição normal. Ven Te Chow mostrou que a maioria das distribuições de probabilidade usadas em hidrologia pode ser posta na forma x Tr x K s (05) onde: xTr = magnitude da variável (vazão ou chuva) atingida ou superada pelo menos uma vez em Tr anos.4. normalmente. e K = fator de frequência. a seguir.1 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Um fenômeno completamente aleatório segue a distribuição de probabilidade de Gauss. os valores de K podem. Antenor Rodrigues Barbosa Jr. o fator de frequência de Chow corresponde à própria variável reduzida z. F(z) = P{Z<z} = z 1 exp z 2 dz 2 2 1 157 (14) .3. (10) com a Eq. F( x s ) = P{X < x s } = 0. exprime-se na forma: f z 1 exp z 2 .4. tem média zero e desvio-padrão igual a unidade. são mostrados nas Figuras 7. s (13) Para esta distribuição simétrica. Na Tabela 7. para a distribuição normal.5 A comparação da Eq. característica da distribuição normal. a função densidade de probabilidade escrita para a variável normalizada z. (08) Ao medir x. sendo suficiente. (09) Para a distribuição normal. no caso.2. lança-se mão de algumas propriedades da distribuição normal.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof. também chamada função densidade de probabilidade normalizada.8413. isto é: K x Tr x z. então. Em vez de plotar F(x) em escala aritmética. ser obtidos de tabelas de z construídas em função da frequência acumulada F(z). Nos manuais de estatística e probabilidade.2 e 7. conforme ilustrado na Figura 7. F( x s ) = P{X < x s } = 0. tendo a abscissa escala aritmética. Previsão de Enchentes 2 N 1 . chamada de variável reduzida z. (5) mostra que. considerar: F( x ) = P{x < x }= 0. 2 2 1 (11) E a função densidade de probabilidade acumulada correspondente escreve-se como Fz p zp f z dz P{z<zp}. os valores das frequências acumuladas da distribuição normal são fornecidos em tabelas construídas em termos de uma nova variável. Consequentemente. também chamada variável normalizada. N s x i 1 i x 7. a probabilidade de se encontrar um valor menor ou igual a um valor extremo xp é dada pela função densidade de probabilidade acumulada: Fx p Px x p xp f x dx . como a Tabela 7.1587. os gráficos representativos das expressões de f(x) e F(x). que se obtém da transformação: z xx . onde a escala de F(x) é tal que transforma a “curva em S”. s (10) Esta nova variável z. em função da variável x.5. Para o traçado desta reta. (12) As representações gráficas de f(z) e F(z) são conforme a Figura 7. pode-se utilizar o chamado papel aritmético de probabilidade.2. em uma reta. Antenor Rodrigues Barbosa Jr. Previsão de Enchentes Figura 7.3 – Distribuição normal – função densidade de probabilidade acumulada Figura 7.2 – Distribuição normal – função densidade de probabilidade Figura 7. 7.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof.4 – Distribuição normal – função densidade de probabilidade acumulada em papel de probabilidade 158 . que juntamente com a contribuição subterrânea dá a vazão do rio.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof. topografia. etc. vegetação. 5 Tais fatores foram vistos e analisados nos capítulos anteriores. por não serem tais vazões completamente aleatórias não seguem uma distribuição de Gauss. isto é a série anual dos eventos extremos constituídos pelas máximas vazões médias diárias de cada ano.4. obras no curso d’água. temperatura. Assim. tais como precipitação. solo. esses últimos aproximam-se relativamente bem da distribuição normal. 159 (16) . 7. Previsão de Enchentes Figura 7. estação do ano. as vazões máximas anuais. x representando a vazão Q). se ao invés das vazões forem considerados os logaritmos dos seus valores. Entretanto. não são iguais: as influências da precipitação e dos fatores geomorfológicos são mais determinantes. Em verdade. 7. Os pesos desses fatores na formação do escoamento superficial.2 A DISTRIBUIÇÃO LOG-NORMAL Os registros das vazões médias diárias durante um ano hidrológico mostram que estas não constituem um evento completamente aleatório. e fazendo-se y log x (15) ter-se-á f y 1 y y 2 exp 2 s y 2 1 sy onde y média dos logaritmos de x. as vazões dependem de um conjunto de fatores5. Antenor Rodrigues Barbosa Jr. Conforme exposto.5 – Representações gráficas das frequências relativas e acumuladas para a variável reduzida z da distribuição normal de probabilidade. precipitação antecedente. e s y desvio-padrão dos logaritmos de x. denotando por x à variável hidrológica (no caso. 8389 1.9901 0.0 3.9706 0.9994 0.9922 0.9974 0.9992 0.9997 0.8238 0.9744 0.7257 0.9306 0.7190 0.3 1.00 0.5700 0.9994 0.5478 0.4 0.02 0.5987 0.5040 0.5) = 1 – F(2.4 0.7967 0. z = –1.5910 0.8980 0.9995 0.9474 0.7852 0.9983 0.5714 0.9761 0.1 0.8078 0.8 1.7910 0.9920 0.6406 0.5 1.9370 0.03 0.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof.9846 0.9932 0.9996 0.9726 0.9864 0.9147 0.9976 0.2 1.9505 0.9989 0.9992 0.9979 0.9960 0.9986 0.9967 0.9955 0.9990 0.9940 0.9251 0.5000 0.8133 0.5279 0.9898 0.9049 0.5120 0.8461 0.9990 0.8051 0.6664 0.9978 0.5398 0.9974 0. F(–z) = 1 – F(z) o mesmo que P{Z < –z}= 1 – P{Z<z}.9826 0.7 0.9871 0.6 2.8830 0.6808 0.05 0.7 2.8749 0.5636 0.1 2.9975 0.9995 0.7357 0.8485 0.9991 0.9495 0.8869 0.9969 0.9671 0.9394 0.9418 0.0062.9934 0.9982 0.9838 0.9382 0.1587 1 – F(z) = 0.7088 0.2 0.9893 0.9292 0.9973 0.9996 0.7939 0.9484 0.9984 0.9875 0.6217 0.9177 0.9783 0.7 1.07 0.9861 0.9857 0.8413 da tabela.5239 0.9987 0.9959 0.01 0.8186 0.5948 0.6 1.7422 0.5 2.9693 0.9993 0.9850 0.9997 0.8413 = 0.9573 0.9957 0.9993 0.8577 0.9977 0.8 2.7019 0.9591 0.6628 0.5596 0.9913 0.8554 0.3 0.9564 0.6985 0.7389 0.9441 0.9788 0.9719 0.9535 0.0668 1 – F(z) = 0.9463 0.8643 0.9678 0.5) = 1 – 0.9 0.9985 0.1 3.7549 0.9925 0.9099 0.9834 0.9938 0.9616 0.9319 1.6141 06517 0.9641 0.9772 0.7704 0.9738 0. 2) Para valores de F(z) < 0.5832 0.7580 0.8790 0.6368 0.7324 0.9936 2.6331 0.9987 0.8599 0.9970 0.9582 0.9 0. ler o valor de z e afetar esse valor do sinal negativo.6554 0.9 0.9929 0.9279 0.8849 0.7454 0.9868 0.9948 0.9997 0.8907 0.8212 0.9878 0.9625 0.0 0.2 2.9996 0.9345 0.9554 0.9222 0.9821 0.9943 0.9332 0.0.9906 0.9996 0.9854 0.9995 0.7123 0.9949 0.9904 0.2 – Função de distribuição acumulada de probabilidade – Lei normal ou de Gauss ( = 0.2 3.9817 0.9968 0.9192 0.8729 0.8888 0.8413 0.8289 0.8944 0.5160 0.9649 0.9998 Observações: 1) Para valores negativos de z.5199 0.9945 0.9989 0.9131 0.7054 0.09 0.6844 0.9997 0.9713 0.9953 0. F(z) = 0.9842 0.9997 0.9996 0.9956 0.5319 0.9985 0.9015 0.8810 0.8 0.5793 0.9082 0.1 1.5557 0.9982 0.7157 0.9812 0.9756 0.9236 0.9525 0.9909 0.9994 0.9962 0.9599 0.9896 0.9995 0.7734 0.9207 0.5 0.8770 0.5871 0.9066 0.6026 0.9808 0. Exemplo: F(-1) = 1 – F(1) = 1 – 0.9778 0.3 2.9964 0.9993 0.9997 0.6293 0.8159 0.9918 0.6179 0.8438 0.9890 0.8708 0.7611 0.6480 0.7764 0.8962 0.6255 0.4 0.9803 0.9994 0.6915 0.9991 0.9981 0. utilizar o complemento aritmético para 1 dos valores de F(z) correspondentes ao valor positivo.9946 0.9941 0.9916 0.8106 0.9699 0.9357 0. Exemplo: F(z) = 0. calcular 1 – F(z).9633 0.5438 0.9988 0.9656 0.9931 0.7995 0.7224 0. 160 .0 2.9994 0.7673 0.08 0.5.9993 0.9989 0.7794 0.6591 0.5080 0.9972 0.6879 0.5753 0.6 0.6772 0.5517 0.3 3. Isto é.9965 0.5675 0. Antenor Rodrigues Barbosa Jr.9995 0.9887 0.9686 0.5359 0.9429 0.7486 0.9966 0.9992 0.9977 0.9938 = 0.9971 0.9881 0.9332 da tabela.9545 0.8264 0.9997 0.9961 0.8665 0.9767 2.8023 0. 7.8315 0.9884 0.9452 0.9608 0.8686 0.7291 0.1587 F(-2. z = –1.9997 0.7642 0.9986 3.9980 0.8340 0.8531 0.9997 0.9793 0.6064 0.04 0.4 0.8621 0.9951 0.9750 0.9979 0.9963 0.9406 0.6950 0.06 0.9927 0.6103 0. Previsão de Enchentes Tabela 7.9888 0.9990 0.9984 0.7823 0.9987 0.5.9996 0.9830 0.9162 0.6736 0.0 1.8997 0.9997 0.9265 0.9995 0.9115 0.6443 0.9032 0.8508 0.9981 0.9911 0.9732 0.9991 0.7517 0.8365 0.9798 0.7881 0. = 1) K=z 0.9952 0.9664 0.9515 0.9992 0.8925 0. 2. a variável procurada. ii) a escala das ordenadas (escala normal de probabilidade) é tal que transforma a “curva em S” em um reta.1 USO DO PAPEL LOGARÍTMICO DE PROBABILIDADE – POSIÇÃO DE PLOTAGEM Para facilitar o uso prático da distribuição log-normal. xTr (ou a vazão QTr). com base no modelo de Chow. dispensando o cálculo dos logaritmos da variável x (entra-se diretamente com os valores de vazão).classificar os dados da série de vazão em ordem crescente. Antenor Rodrigues Barbosa Jr.contar o número de observações (frequências absolutas) dentro de cada intervalo.4. agora em termos da também variável reduzida z yy . Quando a série de valores máximos anuais das descargas 6 é suficientemente grande (N > 30 anos de registros).calcular as frequências relativas (dividir o número de observações de cada intervalo pelo total de observações). 161 .2. F(y). exige que a Eq.2. (21) sendo K o fator de frequência de Chow determinado com o auxílio da Tabela 7. N y yi i 1 N N log x i i 1 (17) N e N sy y i 1 y 2 i (18) N 1 Para a variável y (transformada logarítmica de x). Previsão de Enchentes Isto é. a função distribuição acumulada de probabilidade. a previsão da enchente de período de retorno Tr. (22) 7.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof.definir a dimensão do intervalo de classe e agrupar os dados dentro dos intervalos. se obtém da transformação x Tr 10 y Tr . a sequência de procedimentos abaixo pode ser utilizada para as estimativas das frequências: 1o . utiliza-se o chamado papel logarítmico de probabilidade. 3o . 6 Série anual dos valores médios diários na seção de um curso d’água natural (estação fluviométrica). 4o . 7. no qual: i) a escala das abscissas é logarítmica. sy (20) Pela distribuição log-normal. Uma vez que y = log x. (5) seja reescrita na forma y Tr y K s y . 2o . se escreve como Fy PY y f y dy y (19) Os valores desta integral são fornecidos na Tabela 7. PX x m (24) No presente capítulo. N também é o número de dados ou observações). sendo N o número de anos da série (na série anual. que as frequências dos logaritmos das vazões seguem uma distribuição normal (ou que as frequências das vazões seguem uma distribuição log-normal). Com base nesses dados. Assim. Daí surge a possibilidade de previsão de enchentes pela extrapolação dos dados históricos baseandose no modelo log-normal de probabilidade. EXEMPLO 7.87%.traçar a reta representativa da distribuição log-normal de probabilidade. (22) e (25). probabilidade de excedência) pode ser calculada por F(x) = PX x m .calcular as frequências acumuladas. são classificados em ordem decrescente. 7 V. Tr 1 N 1 . a validade dos modelos normal e lognormal de probabilidade. em papel logarítmico de probabilidade. pede-se: a) testar visualmente. com boa segurança. empregando-se as Eqs. x 15.plotar as frequências (probabilidades) em ordenadas e as vazões em abscissas. como.13% x 84.3. ordem m=1 e o de menor magnitude ordem m=N. atribuindo-se um número de ordem a cada evento. isto é. ou de magnitude maior. necessariamente. ou a probabilidade de que um evento da mesma magnitude. 7. 6o . Previsão de Enchentes 5o . então Fx PX x 1 PX x 1 1 . A frequência do evento de ordem m. Se os valores plotados apresentarem boa aderência em relação à reta traçada poder-se-á dizer.87% 10 ys . e F( y s y ) = P{ y y s y }=84. venha a ocorrer num ano qualquer (no caso. F(y). conforme é fornecido nas duas primeiras colunas da Tabela 7. Convém destacar que a reta mencionada passa.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof. a análise de frequência poderia ser feita utilizando-se o método de Weibull7: os eventos.5 Considere a série anual das vazões máximas diárias referidas à seção de um curso d’água natural. Antenor Rodrigues Barbosa Jr. b) estimar as magnitudes das cheias de 100 anos e de 200 anos de recorrência. F( y s y ) = P{ y y s y }=15. foi definida a frequência F(x) como uma probabilidade de não excedência. então. as posições de plotagem podem ser prontamente obtidas no papel logarítmico de probabilidade. O evento de maior magnitude teria. 7o . em termos de sua magnitude. pelos pontos: F( y ) = P{ y y }=50% x 50% 10 y . por meio de construções gráficas. que são medidas das probabilidades de ocorrência de vazões menores (ou iguais) ao valor superior da classe. N 1 (23) Da definição de período de retorno. 162 . Alternativamente. Fx PX x. Tr (25) Para a distribuição log-normal. capítulo de “Precipitação”.13% 10 ys . antes de serem lançadas na coluna 4 da Tabela 7. neste gráfico. na Figura 7. neste caso.17 110.44122 Q84. o modelo log-normal de probabilidade é superior ao modelo gaussiano.34 84. 7. na faixa de valores extremos de vazão.87% Q Q s 194. Vê-se que. o modelo log-normal.4. (19).Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof.05394 113. 3 A Figura 7. (23). passa agora pelos pontos: y y 2.17 m /s e F=15. Conforme também ilustrado na Figura 7. numa inspeção visual comparativa das duas figuras conclui-se que. Nota-se. a distribuição normal definida pela Eq. Antenor Rodrigues Barbosa Jr. ainda.13% 10 2 . que contém os valores de F(x).84 m3/s e F=50% y y s y 2. Nestes gráficos.87% y y s y 2.22 m3/s e F=15.05394 Q15.7 encontram-se lançados os valores das vazões máximas anuais. como calculadas na Tabela 7. que para o caso de previsões por extrapolação dos dados históricos com base no modelo gaussiano seriam obtidos valores subestimados das vazões. são classificados em ordem decrescente.7.6 os valores de F encontram-se em escala de probabilidade e os valores de Q em escala aritmética (papel aritmético de probabilidade). A linha traçada representa. Previsão de Enchentes SOLUÇÃO a) Teste do modelo gaussiano de probabilidade e da distribuição log-normal Nas colunas 5 e 8 da Tabela 7.44122 276. (7).3.6 e 7. (17) e (18) e os resultados são introduzidos no final da Tabela 7. as frequências. Eq. que o modelo log-normal pode ser considerado como capaz de fornecer boas estimativas para as vazões de enchentes por extrapolação dos dados históricos.17 278. (8). Portanto.51m /s e F=84. apresenta uma boa aderência aos dados da série. representado pela linha reta que passa pelos pontos acima na Figura 7.13%.24758 Q 50% 10 2 .6 mostra que. isto é. A linha traçada. b) Estimativas das cheias de 100 e 200 anos de recorrência 8 F(x) = 1 F(x) 163 . na Figura 7. nas ordenadas. pela maior aderência dos pontos à reta. que são probabilidade de excedência (a classificação é feita em ordem decrescente) são calculadas e subtraídas da unidade. no eixo das abscissas.20 m3/s e F=84.34 84. m. ainda.3. em função das frequências acumuladas. enquanto os valores de Q são lançados em escala logarítmica (utiliza-se o papel logarítmico de probabilidade).8 As estatísticas média e desvio-padrão são calculadas pelas Eqs. Conclui-se. os dados de vazão e do logaritmo decimal da vazão. De forma semelhante. a reta passa pelos pontos característicos: Q Q 194. a aderência da linha aos pontos não é boa. F(Qp) = P{Q < Qp}.13%.3. Nos gráficos das Figuras 7. Pela Eq. para testar o modelo log-normal.24758 176. A ordem da classificação (ranking).87% 10 2 . respectivamente.34 m /s e F=50% 3 3 Q Q s 194.2.7 os valores de F encontramse em escala de probabilidade. as frequências F(x). é posta na coluna 3 da Tabela. (9). representam as probabilidades de não excedência. Para testar o modelo gaussiano. que representa o modelo normal de probabilidade para a função transformada logarítmica das vazões. este último definido como N N g N 1 N 2 x i 1 x 3 i s3 . K = 2.33.3. conforme Vilela & Mattos (1975). Antenor Rodrigues Barbosa Jr. Da Eq. Distribuição log-Normal: Como antes. 7. Da Eq.33 0. (5).19364 2. Q Tr 200 194. (21).3 DISTRIBUIÇÃO DE PEARSON TIPO III A função distribuição de probabilidade de Pearson tipo III constitui um caso especial da função gama. y Tr 100 2.47 m3/s.4. Distribuição log-Normal: Como antes.2476 2. b1. Para considerar a natureza assimétrica da distribuição de Pearson tipo III.575 84. para F=0. QTr 100 194. y Tr 200 2. F=11/Tr = 11/100 = 0. as extrapolações seriam confiáveis se realizadas empregando-se o modelo log-normal.99 z = K 2. far-se-ão as determinações das vazões com recorrência de 100 e 200 anos por ambos os modelos e segundo a equação de Chow (Eq. 164 . A forma matemática da função densidade de probabilidade desta distribuição é f x 1 x 1 x exp (26) sendo x a variável aleatória. 0 O uso da distribuição Person tipo III para a previsão de cheias pode ser feito segundo o método de Foster.3.995. Da Eq. (5) é função da frequência (ou período de retorno) e do coeficiente de assimetria. Para Tr = 200 anos. . b2. Para Tr = 100 anos. apenas a título de ilustração do uso do modelo gaussiano. Distribuição Normal: Da Tabela 7.34 2. Distribuição Normal: Da Tabela 7.575 0. (5).575. definida pela Eq. 7. para F=0.34 2. (27) com x representando a variável hidrológica.17 QTr 100 390.99.78 m3/s.69878 Q Tr 100 10 2 . K = 2. 5).19364 2. Contudo. (21). (5).46 m3/s. Previsão de Enchentes Da conclusão tirada no item (a) do presente problema. Da Eq.74622 Q Tr 100 10 2 . o fator de frequência da Eq. e parâmetros da distribuição e e x x 1dx .995 z = K 2.33 84.2476 2. ou ainda empregando-se a relação de Chow. F=11/Tr = 11/200 = 0.17 Q Tr 100 411.69878 499. N o número de dados da série e os demais elementos como anteriormente definidos.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof.33.08 m3/s.74622 557.575. 30 27986.23568 2.79 253.89 916944.84 210.54 39.01772 0.07017 6.00243 0.98 14349.57 240.24 81.50 179.67 77.71 305.75 839124.5621x10-4 9.2521x10-4 2.18 202.7535x10-2 3.95 94.29688 2..38070 2.5782x10-3 1916 1917 1918 1919 1920 253.7332x10-5 3 Q (m /s) (6) Q Q 2 (7) Q Q 3 (8) (9) y=log(Q) y y (10) 2 y y 3 (continua.19 174.79 99.10 179.15 460.80 270.99 2.57 66.15 75.00006 0.31 86.32 72.46 215.38 77.03427 1.89 2.54 89.00440 6.27 120.1451x10-2 1.30 45.00003 0.79 314.02 4043.51997 2.19 87.33260 2.31 126.65 438.11 447540.81 921.65 -3320.85 3508. Geological Survey Open File Report I 19.00723 0.8589x10-2 1901 1902 1903 1904 1905 176.65 47.45 59687.32278 2.46882 0.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof.22776 2.46039 2.55 -5860.40410 2.34610 2.13 120.46462 2.18 144.62 70.06 198.33 146.65 285.08 153.11 56.4186x10-7 2.16 60.40 210.00335 0.02 430.14 83.05647 0.49 288.65 129.48521 2.00565 0.04348 0.70 205.38070 2.4487x10-6 4.0224x10-2 9.7881x10-6 -2.27 206.53 59.29 253.62 -2954.99 325.45611 2.4896x10-7 -2.7031x10-2 1.5537x10-2 1.73 291.80 136.72 270.03 183.35 50.6593x10-4 4.10762 0.95 183.57 325.42 221.31332 2.47 8370.51248 0.88 555.2125x10-9 1936 1937 1938 1939 1940 210.21746 0.16 376.6737x10-7 -1.8410x10-4 2.89 90.80 168.8344x10-3 2.79 124.00005 0.00583 0.6902x10-4 1.4607x10-4 1921 1922 1923 1924 1925 185.66 285.65 97.86 2.00823 1.21 4283.12 -14776.24 41. Antenor Rodrigues Barbosa Jr.59 -25279.04529 0.4547x10-4 4.10 6 7 8 9 10 91.45 8922.4139x10-6 1931 1932 1933 1934 1935 61.49711 2.68 74.34 18706.48 280382.20 -655.13 138.71 1718991.22 228.83 36 37 38 39 40 51.16 644.62 7811.91 2.00004 1.32 15737.64 297.79 82.68 4966.31 205.0829x10-2 1906 1907 1908 1909 1910 205.57564 2.27 231.35813 2.04152 0.56 150.77 13096.70 221.3436x10-3 1911 1912 1913 1914 1915 88.0676x10-3 8.01356 4.61 2.56 169.9182x10-4 1926 1927 1928 1929 1930 126.08 211.13 305.64 21 22 23 24 25 71.3419x10-2 1.1414x10-2 5.5306x10-2 2.59 43.25525 2.00023 0.28 50125.03 2.93 10570.63363 2.69810-6 3.99 389.11 2.00039 0.0211x10-2 1.6373x10-3 9.05 52.51 62.00045 2.32 2109.16 4493.47298 2.01772 0.83 1 2 3 4 5 98.31214 2.27 240.71 179.90 999433.42 176.41462 2.27 68.32395 2.89 214.91 14582419.12 2253815.14 2.23 496.45 2.3 – Série anual das descargas máximas diárias (Fonte de dados: U.22 5850.30 53.80 757.43 81.32 144.91 12387.84 96899.36 -7679.1456x10-4 4.47 207801.15 294.24207 2.3509x10-3 1.76 55. Previsão de Enchentes Tabela 7.21 240.74 205.33828 0.05 11 12 13 14 15 85.4912x10-6 -7.15566 0.30 95.05080 0.67 2109.0849x10-4 7.74 179.1256x10-3 9.10 185.61 33142.84 86.96 711.62 14.89 40.65 430.00091 -1.22 1378790.36 690364.60 6033647.64212 2.00971 0.00417 0.02 319.00 222.4618x10-3 6.85 17190.08 79.45136 2.28 96899.31 1593.39 331.12 9996.59 93.9411x10-4 1.97 1274.04 -1419.33 2558485.14903 0.34443 2.00938 0.33 123.50486 2.24 438.03 75.10 41 42 43 44 45 44.07420 0.01082 0.24628 0.01222 0.41 54.22994 2.30548 2.87 221.60 861.06620 0.83 765837.31 -3130.79 231.78 1086725.45 314.02790 0.22 1974346.06 169.06226 0.) 165 .07 -11058.92 67.83 282.11 325.83 9438.30 259.36401 0.31391 0.49 319.84 179. 7.3590x10-3 1.86 63.51 18993.82 55611.75 20867.10 224.34 8896.5093x10-7 3.2: W75.6610x10-3 3.19 291.84 26 27 28 29 30 64.99 179.04895 1.02450 0.26869 0.00014 0.10 205.00432 0.00601 0.26269 2.56 16 17 18 19 20 78.95 164.50 1481.59 13114386.29 -16365..02 120.08 272.3590x10-3 2.25457 2.25387 2.78 82.83 206.61 172.91 1139.02 217.81 59.04711 0.00 48.S.67 1359.60 38481.43270 0.57 228.35 602.97 259.35160 2.11 96.1986x10-4 9.00031 0.99 117.6852x10-6 -5. 1971) (1) (2) ano 3 (3) (4) (5) Q(m /s) m F(Q) % 1896 1897 1898 1899 1900 96.32510 2.07 31 32 33 34 35 58. 16696 2.32 -1581529. Previsão de Enchentes Tabela 7.75 -865220.35 81.62 20.09097 0.61 -2363740.98963 1.61 71 72 73 4.56 120.42 13574.12 4913.78625 0.86 -125066.76 -177873.22 14.33 6491.99585 1.9812x10-2 -2.19364 g 0.27 18.81 4602. apoiando-se nas linhas retas representativas dos modelos de probabilidade.5%.56 1.52 153.89115 1.32 22.46 -1415071.18659 2.7440x10-2 -3.6 e 7.21 -928254.64 96.46 8.97 21.50 124.08 46 47 48 49 50 37.32 82.65 -67264.76 5.0118x10-4 -2.173 sy 2.09 5443.75 -63134.57 16.00372 0.64 -928254.77 5073.72 -1260373.33 144.5210x10-3 -1.83 61.8180x10-2 14186.61 -523000.2688x10-4 -3.73 28.06337 0.24 2500.92 -112740.14019 2.33 5443.09701 0.11115 -1.56 146.67 150.71 -83906.90891 1.21282 -9.79 6676.31 -985042. Antenor Rodrigues Barbosa Jr.8911x10-3 -4.98583 1.49 35.7164x10-2 -1.7933x10-2 1961 1962 1963 1964 1965 210.02474 0.07543 0.70 1.6055x10-3 -7.13 12827.8843x10-2 0.84 221.0216x10-2 -3.97 9350.12 -1192327.43 154.00488 0.08120 2.38 27.15936 2.6055x10-3 -4.16444 0.03669 -3.52 113.20 -1011410.41 94.03 25.08 12604.98583 0.63 164.00650 0.91418 0.69982 Q s 194.74 510128.17 -312202.08 29.81 9.55 -401602.03 1585.88 288.15936 2.96 1916.89 3162.07326 Estatísticas (5) (6) 3 Q (m /s) Q Q 2 (7) Q Q 3 (8) (9) y=log(Q) y y y (10) 2 2.00778 0.08221 2.40 93.16 294.35 2333.03839 0.12 1.200 y y 3 -0.24758 0.59 2252.03 10075.05 2.79 96.3 também poderiam ser obtidos graficamente.27 240.09426 0.96 94.8667x10-4 -6.56 113.89 2500.54 1653.3 – Série anual das descargas máximas diárias (continuação) (1) (2) ano 3 (3) (4) Q(m /s) m F(Q) % 1941 1942 1943 1944 1945 202.68 144.78 -904200.93611 1.94596 1.33 138.29 -106893.2384x10-3 -3.06654 0.27 217.05603 0.7058x10-2 1966 1967 1968 146.0285x10-3 1956 1957 1958 1959 1960 211.96 88.10209 2. 166 .99 56 57 58 59 60 24.0796x10-3 -3.84 36.5224x10-3 -4.10185 Observação: Os resultados encontrados no problema Exemplo 7.51 -344455.07 9900. bastaria obter os valores de vazão correspondentes às frequências de 99% e 99.92 123.01153 0.00343 0.02768 0.88 146.89 2.7464x10-4 1946 1947 1948 1949 1950 291.63 99.8667x10-4 -1.95 164.95 154.12704 -4.08 77.07322 0.4110x10-4 -5.10 126.64 282.17771 2.39 61 62 63 64 65 17.58 -1452837.64 2.2394x10-4 -5.53 17744.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof.66 174.77 198.76 -125066.84 120.56 5402.61 -401602.05165 1.5283x10-2 0.35 -361383.84 93. 7.30 86.339 84.16 112.49 168.7.06 215. Para isso.00691 -2.02117 0.78 32.92 11244.86 13.05 97.74 2.51 12.14 33.7933x10-2 -1.79 9515.68 9515.02768 0.00778 0. pelas Figuras 7.11 6.10 51 52 53 54 55 31.5951x10-2 -1.83 -397047.87 376.46 31110154.79 -545516.02351 -6.11469 -3.91 97.06851 -7.32 112.18898 2.745 gy -0.09029 2.11 120.25 11668.0715x10-2 -2.34 9079.11 172.02735 0.06851 0.70 331.15 430.72 66 67 68 69 70 10.97294 1.08120 2.97699 1.6040x10-3 1951 1952 1953 1954 1955 297.06 224.89 2. Previsão de Enchentes Freqüência acumulada.01 100 1000 vazão.999 99. Antenor Rodrigues Barbosa Jr. Q (m3/s) Figura 7. em papel aritmético de probabilidade.7 – Gráfico das frequências das cheias anuais (máximos valores de cada ano). Freqüência acumulada.6 – Gráfico das frequência das cheias anuais (máximos valores de cada ano).3. em papel logarítmico de probabilidade. 167 . F(Q) % 99. F(Q) % 99. para os dados da Tabela 7. Q (m3/s) Figura 7.5 95 70 40 10 1 0.01 0 100 200 300 400 500 vazão. para os dados da Tabela 7.3. 7.999 99.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof.5 95 70 40 10 1 0. 223 0.173 Q Tr 100 434. - para Tr = 100 anos e g = 0. Antenor Rodrigues Barbosa Jr.824 0. (5).7 K = 2.824 0.8 0.00 m3/s. determinar a magnitude das cheias de 100 e de 200 anos de recorrência. empregando a distribuição de probabilidade Pearson tipo III.223 0. A assimetria pode ser positiva ou negativa.8 K = 2.7 Da Eq.7 K = 3.312 3. são apresentados na Tabela 7.824.312 e g = 0. Previsão de Enchentes Valores do fator de frequência da distribuição Pearson tipo III de probabilidade.8.8 K = 3. EXEMPLO 7. (5) de Chow. 168 .3: Q 194. 3.173 m3/s e g 0.173 Q Tr 100 469. Q Tr 200 194. s 84.745 0.8 – Distribuições assimétricas de probabilidade: assimetria positiva para a média maior que a mediana. g = 0. Figura 7.7 Da Eq. para uso com a Eq.7 K = 2.745 .745.8 0.3.4: g = 0.891 2.891 e g = 0. g = 0.745 K=? K 2.339 3. SOLUÇÃO Das estatísticas produzidas na Tabela 7.339 2.339 m3/s. conforme se procura representar na Figura 7. - para Tr = 200 anos e g = 0. da Tabela 7.263 84.4.57 m3/s.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof. A distribuição Pearson tipo III é assimétrica e não admite valores negativos da variável hidrológica.745 0.7 K = 3. assimetria negativa para a média menor que a mediana. obtém-se K da Tabela 7.854 2.223. Q Tr 100 194.745 K=? K 3.6 Usando os dados da Tabela 7. (5).745.263.4 por interpolação: g = 0. 7.854 84. 955 -2.910 1.876 -0.799 -0.855 0.856 2.518 1.069 3.858 -1.499 0.765 0.472 -2.970 0.705 -3.5 -2.942 2.0 0.666 -0.652 4.211 2.011 -2.407 1.837 1.636 169 1.795 -0.995 0.501 1.1111 1.771 0.683 0.819 -0.0 2.326 -2.771 -0.087 3.195 -0.390 -0.681 -0.351 -0.745 -0.302 -1.783 4.333 -1.2 1.848 0.656 -3.037 -1.605 -3.910 3.888 0.800 0.808 0.907 0.758 -0.660 2.660 0.627 -0.270 1.853 -0.8 2.736 -0.041 -1.499 -3.006 -2.274 1.833 0.252 2.268 0.750 -1.714 -0.690 -0.318 1.444 4.817 -0.714 0.753 -3.666 0.317 1.846 -0.282 1.210 -0.836 -0.341 1.849 1.5 -0.6 2.351 0.166 1.339 -1.310 1.962 -1.615 2.643 -0.440 0.2500 2 F = probabilidade de 10 20 50 -0.747 -0.458 -1.256 2.718 4.745 0.667 4.852 -0.017 0 0.312 3.544 -2.340 -1.2 -1.147 -1.075 1.720 1.420 0.758 0.673 -1.819 -1.4 -1.248 2.745 3.830 -0.945 -0.576 2.853 0.340 1.714 0.889 -3.769 -0.328 1.460 -0.626 2.178 2.223 4.326 2.732 0.6 -0.240 -0.368 -0.680 1.945 0.012 -2.741 0.324 1.537 0.768 0.973 3.832 -0.424 1.341 -0.542 2.769 0.0 -0.818 1.1 -1.938 -1.217 1.9 0.116 0.066 -0.132 0.388 -3.844 -0.869 -0.553 -3.278 2.384 0.5 2.054 2.949 0.183 1.8 -0.140 1.606 1.769 0.168 -1.808 0.690 0.164 -0.894 -1.815 2.777 0.690 0.180 0.808 -0.788 0.909 4.705 3.817 0.0 -2.107 -1.256 -1.0 1.681 0.225 0.022 -3.869 0.4 1.706 2.705 -0.666 2.087 2.087 1.856 -0.318 -1.104 -2.882 -0.993 1.0526 1 5 -0.280 -1.294 2.448 1.460 0.018 0.3 -0.294 -1.643 0.544 2.328 -1.615 -2.844 -0.990 0.224 1.651 -0.317 -1.939 1.696 -0.867 -0.482 2.891 2.996 0.309 -1.949 2.609 -0.107 1.216 1.830 0.147 1.939 0.824 -0.636 -0.250 -1.093 -1.093 3.0 1.267 2.180 -0.763 2.210 -1.725 -0.769 0.301 1.4 -0.586 -1.087 -3.271 -3.667 -0.180 -0.9 1.852 0.341 0.800 -0.311 2.832 0.012 -2.271 3.003 Tr.856 0.043 2.420 -0.850 -0.384 -0.716 1.726 -1.351 1.825 0.747 0.970 -0.795 0.681 0. Previsão de Enchentes Tabela 7.749 1.733 -1.824 -2.272 2.6 0.3 1.087 -1.163 2.023 2.148 0.990 -1.518 -0.071 3.743 2.970 4.368 0.210 1.066 0.284 1.128 -1.949 -0.836 0.981 -1.197 -1.211 -3.324 1.7 2.3 -2.330 0.376 0.8 -1.5 1.195 -1.359 2.825 -0.037 0.400 2.645 -1.339 1.010 -2.435 1.9 2.905 0.056 -1.895 -0.7 -0.839 -1.1 0.250 1.099 0.711 0.740 0.449 1.319 0.914 -0.366 1.230 2.627 0.753 3.211 3. g 3.339 1. de assimetria.449 -1.823 0.440 -0.970 2.910 -1.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof.317 -1.178 -2.198 1.013 -2.3 2.994 -1.444 3.013 -4.856 0.923 0.407 2.1 1.6 -1.1 2.491 -1.518 0.310 -1.660 -0.574 0.050 0.972 -1.832 -0.294 0.083 -0.396 -0.149 3.7 1.066 2.245 1.324 -1.751 1.240 0.7 -1.946 -0.323 -1.282 -1.086 1.083 0.243 -1.379 1.041 1.223 3.842 -0.262 -1.889 3.755 -2.739 0.340 -1.479 0.891 -2.207 2.690 -0.307 0.339 -1.932 -3.472 2.479 -0.195 1.318 1.149 -3.857 -0.793 0.660 -1.166 -1.064 -1.857 0.790 -0.333 1.013 3.492 1.499 3.797 -1.739 -0.686 -2.585 2.240 1.333 1.231 -1.997 2.216 1.336 -1.6 1.651 0.832 0.581 1.018 1.828 3. 7.973 -4.2 0.4 -2.104 2.800 0.920 -0.9 -3.268 -0.588 -1.994 0.284 -1.880 -1.0 -1.664 1.951 -1.2 -0.838 0.584 4.401 3.360 -0.152 3.282 1.444 -3.752 0.967 1.844 0.274 -1.864 0.400 -2.383 -1.830 0.755 2.877 -1.333 -1.854 0.017 0.732 -0.700 -1.016 1.705 0.330 -3.714 0.069 1.330 3.294 1.372 4.824 2.592 -0.2 -2.643 1.675 -0.816 0.216 -1.319 -0.301 -1.733 1.007 -2.780 2.880 1.200 1.752 -0.3 0.275 2.9 -1.663 1.667 .000 1.258 1.048 3.009 -2.660 -0.282 -0.800 -3.857 0.7 -2.957 -3.179 2.980 0.945 1.307 -0.193 2.738 0.537 -0.518 -1.001 -2.702 0.555 -0.396 de Retorno (anos) 5 10 25 não excedência (%) 80 90 96 0.282 0.567 1.499 -0.4 2.984 -1.850 -0.675 0.900 0.855 -0.867 0.780 0.254 -0.116 -0.790 -0.323 1.8 0.128 1.777 -0.926 1.932 3.224 -1.108 2.225 -0.785 1.515 4.8 1.388 2.661 3.489 3.819 0.159 2.166 1.799 0.574 -0.231 1.023 0.383 1.390 0.533 -1.765 -0.847 4.957 2.666 50 100 200 98 99 99.524 -1.256 1.606 1.8 -2.398 4.238 1.665 -0.712 0.724 -0.848 -0.6 -2.769 -0.245 -1.881 2.107 2.816 -0.140 -1.292 1.798 0.616 -1.788 -0.201 2.780 -0.806 1.336 1.035 0.688 -0.834 1.845 -3.764 0.955 1.282 1.777 1.240 2.050 -0.330 -0.206 -1.132 -0.270 1.388 -1.842 0.3 -1.725 0.148 -0.636 3.114 3.5 3.324 1.302 1.819 -0.108 2.2 2.132 3.925 -1.588 1.686 2.711 -0.4 0.029 1.681 -0.689 0.258 -1.7 0.254 0.197 1.033 -0.848 2.164 0.1 -2. Período 1.337 -1.292 -1.845 3.261 2.959 0.180 1.854 -0.033 0.824 0.920 0.376 -0.262 2.905 -0.740 0.844 0.5 -1.329 1.850 0.200 -1.210 0.134 3.022 2.724 0.277 2.9 -2.146 2.1 -0.740 -0.762 -0.155 1.453 2.808 -0.528 1.609 0.0101 1.592 0.690 0.946 0.147 4.029 -2.337 1.097 1.553 3.711 -0.660 1.605 3.799 -0.238 -1.990 3.846 0.157 1.064 1.195 0.838 -0.895 0.774 -1.989 -1.912 2.549 1.666 4.360 0.670 2.799 0.719 -0.388 3.790 0.498 2.020 -1.051 4.4 – Valores do fator de frequência K para a distribuição de Pearson tipo III Coef.555 0.270 -1.488 1.051 -0.996 -2.890 1.800 3.099 -0.353 -1.423 -1.041 2.116 1.252 -2.340 1.855 0.294 -0.018 -1.719 0.131 -1.696 0.183 -1.880 1. Antenor Rodrigues Barbosa Jr.702 -0.341 -1.575 3.5 0.329 -1.309 1.869 0.219 2.044 0.806 -1.128 2.857 -0.086 -1.262 1.116 1.318 -1. iii) obter. ii) calcular a média y . por meio da Tabela 7.19364 2.66933 Q Tr 100 10 2 . Da Eq.01m3/s. y Tr 100 2.200 .24758 2.3: y 2. Antenor Rodrigues Barbosa Jr. deve-se proceder de acordo com a seguinte marcha de procedimentos de cálculo: i) construir a série para a variável transformada. determinar as magnitudes das cheias de 100 e 200 anos de recorrência com base na distribuição log-Pearson tipo III. SOLUÇÃO Das estatísticas produzidas conforme a Tabela 7. (21). o fator de frequência em função do coeficiente de assimetria gy e do período de retorno Tr. (21) de Chow e obter x Tr pela Eq. desvio-padrão sy (Eq. calcular as três estatísticas: média y (Eq. 17).178 0. Da Eq. para Tr = 200 anos e gy = 0. para Tr = 100 anos e gy = 0. EXEMPLO 7. determina-se a variável x Tr .3.4.66933 467.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof.4 DISTRIBUIÇÃO LOG-PEARSON TIPO III A função de distribuição de probabilidade log-Pearson tipo III é assim denominada porque a função de distribuição da Eq. 1 y f y 1 y exp (28) onde y = log(x) e as demais grandeza são como já definidas na seção 7. (21). agora definido como N gy N N 1 N 2 log x i 1 sy y 3 i . obtém-se K diretamente da Tabela 7.4. 7.200. Water Resources Council adotou. preliminarmente. o desvio-padrão sy e o coeficiente de assimetria gy para a série transformada. 18) e coeficiente de assimetria. 3 (29) Com as Eqs. Previsão de Enchentes 7.4 K = 2. s y 0. o U. iv) calcular y Tr por meio da Eq.178.4. em 1967. De forma resumida. 170 . Para obter a variável de magnitude x do evento de recorrência Tr com o emprego da equação de Chow para a distribuição log-Pearson tipo III9 deve-se.3.19364 e g y 0. (22): y Tr y K s y x Tr 10 yTr . da Tabela 4 K = 2. 9 Com o fim de estabelecer uma padronização de procedimentos.388. isto é. (26) é aplicada à transformada logarítmica da variável x.S. gy. y i log x i . a distribuição log-Pearson tipo III como o padrão para uso pelas agências federais americanas. (21) e (22).24758 .200. calculando a transformada logarítmica.7 Empregando os dados da Tabela 7. Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof.388 0. definindo-se a frequência F(x) pela probabilidade de não excedência. sugeriu que essa distribuição de valores extremos seria apropriada para a análise de frequência das cheias. cada vazão da série de valores extremos fosse a maior vazão de uma amostra de 365 possibilidades (maior vazão do ano). 0. tomando de vários conjuntos de muitas amostras o maior valor de cada conjunto. 0. y (32) EXEMPLO 7.85 m3/s. pelas equações (33) e (34).70999 512.7797 (33) Da Eq. em 1945.7797 s (31) Ou. y em função de Tr: y 1 y ln ln1 . Antenor Rodrigues Barbosa Jr. Fx PX x e e .70999 Q Tr 200 10 2 . 171 (35) . K 0. Apoiando-se no argumento de que não há limite físico para o valor da máxima vazão de enchente. Tr (34) Finalmente.24758 2.45 0.45 s . Gumbel.19364 2. tem-se 1 Tr 1 e e . Fisher e Tippett. Previsão de Enchentes y Tr 200 2. Gumbel sugeriu que a probabilidade de ocorrência da cheia de magnitude igual ou superior a um dado valor x (probabilidade de excedência) pode ser expressa por PX x 1 e e y (30) sendo e a base dos logaritmos neperianos e y uma variável reduzida. Exprime-se.45 . 5) com a Eq. obtém-se y 1 K 0. mostraram que a distribuição dos valores extremos é independente da distribuição original e se comporta como função limite. (31).5 DISTRIBUIÇÃO TIPO I DE FISHER-TIPPETT OU GUMBEL Em 1928. lembrando que PX x 1 Tr . isto é. SOLUÇÃO Comparando-se a equação de Chow (Eq. 4. 7. então. desde que a série fosse anual.7797 ln 1 ln 1 Tr . (30). definida pela expressão y 1 x x 0.8 Obter a expressão do fator de frequência de Chow em função do período de retorno para a distribuição de Gumbel. (31).34m3/s e s = 84. Com Q = 194. calcula-se inicialmente o valor de y da Eq. Da Eq. SOLUÇÃO a) Neste caso. 7. y 1 500 194.5771. Previsão de Enchentes EXEMPLO 7. isto é. estimar as magnitudes das cheias de 50 e 100 anos de recorrência. obtém-se K diretamente da Tabela 7.3.5 os valores de K para diferentes períodos de retorno e tamanhos de amostra. 0. (5).4044.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Jr. para a distribuição normal. para a distribuição Gumbel o período de retorno da vazão média é igual a 2. com base na distribuição Gumbel-Chow.33 anos.33 anos. busca-se determinar o período de retorno da média da série.3. Para esse último caso. apresentamse na Tabela 7. calcular os períodos de retorno das seguintes vazões de enchente: a) Q = Q = 194.339m3/s e s 84. Q 194.9 Com base nos dados da Tabela 7. (31) tem-se y que. Portanto.17 5. para Tr = 100 anos e N=73.45 84.17m3/s. Pela Eq. com N = ). se Q = Q y = 0. Isto é. tem-se Tr 1 1 e e y 1 1 e e 0 .34 0.10 Usando os dados da Tabela 7. calcula-se Tr Tr 1 1 e e 5 . N). 172 . K = K(Tr.235 . na forma da Eq. 10 Note que. como 1 Tr 1 e e . esta probabilidade seria de 50%. b) Para obter o Tr correspondente a Q = 500m3/s. Na última linha desta tabela incluem-se os valores de K para a amostra de tamanho infinito. (35). E. o período de retorno da média é de 2 anos. Para os casos reais de séries de tamanho finito (quando a distribuição é também conhecida como Gumbel-Chow).173m3/s.5771 2. EXEMPLO 7.235 188 anos. referida a uma amostra muito grande (dita Gumbel teórica. o fator de frequência deve considerar ainda o tamanho N da série.3. SOLUÇÃO Da Tabela 7. aplica-se apenas ao caso da distribuição Gumbel. existe uma probabilidade teórica de aproximadamente 43% de ocorrer uma vazão igual ou superior à média em um ano qualquer10. Isto é. Deve ser apontado que a expressão analítica do coeficiente K em função de Tr.34m3/s.7797 84.17 Finalmente. para a distribuição normal. b) Q = 500m3/s.5 K = 3. 9 é apresentado o papel de probabilidade de Gumbel. 7. 173 . ainda. Algumas outras fórmulas empíricas incluem.8167 84.5 K = 2. indicando que os picos de vazão variam inversamente com a raiz quadrada da área de drenagem. basicamente pela ausência de dados hidrométricos que permitissem o emprego de métodos mais precisos e elaborados.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof. Sugere-se ao aluno repetir o problema-exemplo 7. não mais se justifica o emprego das fórmulas empíricas. (36) não é.90 m3/s.5.8167.173 Q 480. a forma da bacia hidrográfica e a precipitação anual média. As fórmulas práticas são ainda hoje utilizadas na forma conhecida como modelos de regionalização e requerem uma boa e confiável base de dados para produzir um ajuste estatístico satisfatório. para o cálculo da enchente de projeto. O emprego de fórmulas do tipo da Eq.43 m3/s.10 utilizando a construção do gráfico de probabilidade. fatores que levam em conta.5 FÓRMULAS PRÁTICAS PARA A VAZÃO DE ENCHENTE DE PROJETO No passado. O papel de Gumbel apresenta uma escala linear (abscissa) para a variável sendo estudada (evento extremo. Ademais. Deve ficar claro que uma expressão tão simples como a Eq.339 2. (36) onde c e n são coeficientes empíricos. Pela Eq. na forma Q c An .4044 84. como aqueles discutidos no presente capítulo. por exemplo.339 3. (36) é frequentemente tomado como n= –0.4. as influências dos outros fatores recaem sobre o coeficiente c. (05). Uma das formas mais simples dessas equações empíricas exprime a vazão em função da área de drenagem da bacia hidrográfica. (36) ocorreu com mais intensidade no passado. O expoente n da Eq. fórmulas desse tipo não permitem a introdução da análise de probabilidade para a vazão calculada. Previsão de Enchentes Q 194. para Tr = 50 anos e N=73. 7. Antenor Rodrigues Barbosa Jr. em geral.5.173 Q 431. ainda hoje utilizadas. da Tabela 7. capaz de representar a complexidade dos fenômenos envolvidos na ocorrência de uma cheia. com o emprego do papel de probabilidade de Gumbel. são normalmente escritas em termos das características físicas e climáticas locais. Na Figura 7.1 USO DO PAPEL DE PROBABILIDADE DE GUMBEL As respostas ao problema-exemplo 7. em face da existência de uma quantidade relativamente abundante de dados e com a melhor compreensão dos fenômenos hidrológicos. os engenheiros sempre recorriam ao uso de equações empíricas da vazão. Estas equações. Por conveniência e para facilitar o lançamento dos dados em gráfico. Atualmente. Por essa formulação simples. 7. chuva ou vazão) e uma escalar linear para a variável reduzida de Gumbel. y (ordenada). escalas deformadas de Tr e F também são construídas (ordenadas). numa tentativa de reduzir a influência das variações no valor do coeficiente c. Q 194.10 também poderiam ser obtidas por meio da construção do gráfico de frequência. 9362 2.1548 -0.7484 1.3211 2.5016 3.8402 1.9243 2.0580 1.831 2.8476 0.152 2.8892 2.4961 5.1205 3.6632 3.5395 3.8937 3.5559 2.6181 3.1571 -0.5535 1.5353 1.8767 2.6835 1.1540 -.0368 3.8807 2.2017 3.478 50 51 52 53 54 -0.01543 -0.5874 2.4616 1.1567 0.265 20 21 22 23 24 -0.847 2.1550 0.5410 1.3208 3.6512 1.8106 3.0054 2.1535 -0.5603 1.5194 3.8728 3.576 45 46 47 48 49 -0.4594 1.2944 2.104 2.8154 0.1522 0.6954 3.4794 1.1554 -0.188 2.3371 2.7875 3.1496 -0.9447 0.8483 1.0338 1.8628 0.1568 -0.9031 2.9133 2.6665 1.5704 3.4807 3.5622 40 41 42 43 44 -0.5028 1.4023 3.1422 80 1.1490 -0.410 2.5881 3.3491 2.3695 2.8467 3.6534 3.8168 0.9352 0.5073 3.5470 1.1566 -0.4573 1.7240 99 4.1355 -0.302 2.1572 -0.1050 4. Tr.1529 -0.4663 1. em anos 15 20 25 50 75 Probabilidade de não excedência.0610 3.9961 2.4118 2.0485 3.9672 0.7894 3.2270 3.5754 1.721 4.8379 0.4699 2.7283 3.8742 0.1526 -0.563 3. Antenor Rodrigues Barbosa Jr.9789 2.1515 -0.0257 3.1664 4.3934 2.3162 2.8562 0.8631 6.4048 2.9265 3.4563 2.2699 2.5199 1.8094 1.9491 3.8988 0.842 30 31 32 33 34 -0.7113 3.6026 1.8664 0.6665 5.5169 2.5325 3.8182 0.8701 1.9187 3.6410 3.5163 2.3850 2.1501 0.3600 2 5 10 100 1000 10 11 12 13 14 50 -0.5 – Valores do fator de frequência K para a distribuição Gumbel-Chow tamanho da Amostra N Período de retorno.9049 0.0517 99.4856 3.2984 2.5354 3.8357 0.6035 2.33 95 96 98 98.3430 2.2379 4.4442 2.4920 1.1564 -0.126 2.1557 -0.9425 2.8594 0.3556 2.9561 2.4759 3.3227 4.1383 3.1562 -0.1393 -0.1408 -0.9806 90 1.4712 1.1570 -0.9301 2.4990 1. F (%) 93.0743 3.341 3.8983 2.463 3.117 2.9 15 16 17 18 19 -0.6316 2.6805 3.866 2.8931 1.67 2.4886 1.235 2. 7.5976 3.301 3.8141 1.086 2.4954 1.3115 2.3623 3.727 35 36 37 38 39 -0.1552 -0.5133 3.5259 5.1573 0.922 2.6076 5.6292 3.8849 2.1376 -0.8298 1.5248 1.8879 0.1040 3.7409 3.7466 6.8784 0.9265 1.023 2.8830 0.8932 3.4854 1.393 3.1556 -0.6247 1.8356 3.5299 1.8197 0.4908 3.1532 -0.2549 3.5153 1.4639 1.2832 2.1454 -0.3069 2.6132 1.1444 -0.2797 2.2905 2.1576 3.5676 1.8317 0.1559 0.0886 3.4824 1.9709 2.1470 0.3026 2.006 25 26 27 28 29 -0.4219 2.891 2.2860 3.8262 0.1518 -0.9187 0.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof.5068 1.4739 1.2731 2.1463 -0.6373 2.0134 0.7025 1.5784 2.3315 2.4565 3.1787 3.4326 2. Previsão de Enchentes Tabela 7.5790 3.1478 -0.8228 0.5929 1.8504 0.9633 2.9081 2.1506 -0.8425 0.4843 2.5467 3.5110 1.1561 -0.4687 1.8450 0.7766 1.3262 2.2868 2.8279 0.268 3.1434 -0.8337 0.1538 0.1510 -0.1484 -0.8532 1.963 2.9635 3.2763 2.9958 0.4999 2.0153 3.7663 3.5543 3.4712 (continua) 174 .8212 1.9873 3.241 3.0049 3.4766 1.3770 2.1545 -0.9553 0.6993 3.5838 2.8245 0.9115 0. 8038 0.7991 0.8122 2.2432 2.1597 -0.33 95 96 98 98.116 1.7899 0.135 3.8080 90 1.8116 0.4196 1.8397 3.1949 2.4044 3.7927 0. Tr.4494 1.4017 75 76 77 78 79 -0.8058 0.8028 1.4532 1.3845 3.1588 -0.3048 1.7886 0.3586 95 96 97 98 99 100 -0.1583 0.7769 2.7856 0.7913 0.7713 2. 7.8092 0.2479 2.7700 3.1642 0.4056 1.2610 2.4475 60 61 62 63 64 -0.3940 3.5927 2.4165 1. em anos 15 20 25 50 75 Probabilidade de não excedência.4040 1.2504 2.2246 2.2265 2.2387 2.7800 0.2026 2.7813 2.7740 2.8518 2.7791 1.2160 2.4552 1.7795 0.4219 3.3779 85 86 87 88 89 -0.8314 2.2284 2.4158 70 71 72 73 74 -0.4391 1.029 2.2053 2.8190 2.2344 2.359 .3965 3.2039 2.7862 0.9115 3.020 2.4458 1.3738 3.8039 3.1576 -0.7893 2.7920 0.125 3.1604 -0.1913 2.7828 2.8103 0.3569 3.1592 -0.1891 2.4185 1.1586 -0.1602 0.4461 3.4361 1.8690 3.1602 -0.4291 1.7804 0.9363 175 100 1000 99 3.7798 2.3868 3.7982 1.3678 90 91 92 93 94 -0.7877 2.1599 -0.752 2.7844 2.7783 3.4098 1.4188 3.2228 2.4048 1.8550 2 5 10 55 56 57 58 59 50 -0.013 2.155 3.7934 0.1591 0.4072 1.3519 3.4207 1.4407 1.038 2.7860 3.4116 1.200 3.219 2.4512 1.773 2.3717 3.3801 3.4424 1.2324 2.1602 -0.1599 0.4107 1.2409 2.4667 3.2067 2.4424 3.1590 -0. F (%) 93.4440 1.1595 -0.9 5.1601 -0.8368 2.4230 1.7851 0.1902 2.7874 1.1583 -0.7906 1.4099 3.998 2.8455 2.1589 -0.2193 2.1595 -0.7814 0.8486 2.8059 2.7927 2.1592 -0.7819 1.7868 0.3622 3.4089 1.1594 0.2529 2.4623 3.4218 1.8000 0.2128 2.7965 0.002 1.1961 2.6350 1.762 2.3698 3.1597 0.3487 5.4071 3.3892 80 81 82 83 84 -0.1999 2.7809 0.7834 0.1577 -0.1575 -0.8238 2.1372 4.2304 2.7840 0.818 2.4581 3.7910 2.7957 0.4033 1.1604 0.67 1.4305 1.8426 2.1973 2.4376 1.4025 1.1582 -0.4387 3.8583 2.1603 -0.4346 1.8167 2.4081 1.8069 0.1587 0.7942 1.2082 2.767 2.1869 3.4010 1.2669 2.4242 1.3659 3.8128 0.109 3.7982 2.7893 0.2583 2.780 2.048 2.1590 -0.8288 2.4064 1.8048 0.8080 2.1579 80 0.7197 1.2365 2.7950 0.4254 1.7726 2.2112 2.8018 0.7754 2.4135 1.261 -0.1587 -0.4332 1.4352 3.788 2.1593 -0.4175 1.0442 2.8214 2.183 3.2639 2.3535 3.4154 1.8020 2.1925 2.3823 3.059 2. Previsão de Enchentes Tabela 7.2211 2.4318 1.7945 3.2556 2.806 2.1598 -0.4317 65 66 67 68 69 -0.1603 -0.4251 3.4540 3.4125 1.2455 2.8263 3.7845 1.3604 3.1581 -0.7880 0.2097 2.1596 -0.2143 2.4018 1.8101 2.3503 3.1596 -0.4500 99.1593 -0.1986 2.2012 2.757 2.4278 1.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof.1585 -0.2176 2.4284 3.796 2.1937 2.5 – Valores do fator de frequência K para a distribuição Gumbel-Chow (continuação) tamanho da amostra N Período de retorno.071 2.8009 0.1584 -0.7963 2.3640 3.1601 -0.8144 3.169 3.8000 2.3991 3.3758 3.007 2.8662 2.1600 -0.8341 2.1580 -0.1880 2. Antenor Rodrigues Barbosa Jr.4128 3.1600 -0.1578 -0.145 3.3552 3.4145 1.3916 3.7824 0.8653 2.4266 1.8618 2.7974 0.7829 0.1598 -0. Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof. 7. Previsão de Enchentes Figura 7.9 – Papel de probabilidade de Gumbel para a distribuição de frequência de eventos extremos 176 . Antenor Rodrigues Barbosa Jr. McGraw-Hill Int. The Iowa State University Press. Drenagem Urbana.M. S. da UFRGS. Prentice-Hall do Brasil. Previsão de Enchentes BIBLIOGRAFIA CETESB. A. forecasting and other applications. Coleção ABRH de Recursos Hídricos – v. (1977). Secretariat of the World Meteorological Organization – Geneva – Switzerland. Drenagem Urbana: Manual de Projeto.M. 4. (1981).No168 – 4a ed. C. (1998). Ed. M. Water-Resources Engineering. (1987). TUCCI. 7. Guide to hydrological practices – Vol. R.T.T. LINSLEY. Porto Alegre.C.M. Ed.K.. WORLD METEOROLOGICAL ORGANIZATION.H. L. PORTO. 177 . Statistical Methods in Hydrology. II: Analysis. S. McGraw-Hill do Brasil. (1984). Guide to hydrological practices – Vol.E. Hidrologia e Recursos Hídricos. HAAN. A.No168 – 4a ed. WMO . C. 121 – Água. I: Data acquisition and processing.. Coleção ABRH de Recursos Hídricos. RIGHETTO. & BARROS. WORLD METEOROLOGICAL ORGANIZATION. J. HWANG. & FRANZINI. UFRGS/ABRH/EDUSP. Ed. VILLELA.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof. Ed. Hidrologia: Ciência e Aplicação. – Civil Engineering Series. – organizadores (1995).. (1993). (1983). Fundamentos de Sistemas de Engenharia Hidráulica.B. Convênio CETESB – ASCETESB. Antenor Rodrigues Barbosa Jr. Hidrologia Aplicada.M. R.E. (1975). C. Carlos: EESC/USP TUCCI. (organizador). Secretariat of the World Meteorological Organization – Geneva – Switzerland. N. & MATTOS. WMO . 1) Uma usina hidrelétrica tem vida útil de 50 anos.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof.0.5%. (Utilizar relação de Weibull para a posição de plotagem: dados da série anual em ordem decrescente): Ordem m Q(m3/s) Ordem m Q(m3/s) Ordem m Q(m3/s) Ordem m Q(m3/s) 1 2 3 4 5 6 7 261 239 210 196 190 189 189 8 9 10 11 12 13 14 182 180 179 176 172 170 169 15 16 17 18 19 20 21 167 163 158 153 151 151 150 22 23 24 25 26 27 28 150 140 137 126 120 111 104 7.8%. b) Discutir os resultados. b) 1000 anos?. se ele está disposto a aceitar somente 10% de risco de que a obra falhe nos próximos 5 anos? R: Tr = 48 anos. R: QTr=25 =166m3/s. c) 0.32 m /s. 3 média das cheias anuais (série anual): 198.2) Qual o período de retorno a considerar no projeto da hidrelétrica com vida útil de 50 anos.50. assumindo que os picos de vazão sigam as distribuições: a) Normal. 7.4) Uma ensecadeira deverá ser construída para proteger as atividades de construção de uma barragem durante os 5 anos de obra. d) Log-Pearson tipo III. 7. b) 22.3) Que período de retorno deve o engenheiro adotar no projeto de uma galeria de drenagem de uma rodovia.2. f) Gumbel-Chow. A cheia de período de recorrência de 2 anos foi estimada em 113m3/s e a de 10 anos em 150m3/s. 7. d) 320m3/s. c) em nenhum ano dos 5 anos de construção? R: a) 5. coeficiente de assimetria das cheias: 1.4%. 3 desvio-padrão das cheias anuais: 28. e) 287m3/s.7) As cheias anuais de um rio seguem uma distribuição Log-normal de probabilidade. c) Pearson tipo III. b) em um ano qualquer dos 5 anos de construção da barragem? . determinar a magnitude da cheia de 100 anos. b) 4. desvio-padrão dos logaritmos das cheias anuais: 0. 7. c) 10000 anos? R: a) 63%.5) O conjunto de dados abaixo foi obtido em um posto de medição de vazão.24 m /s. qual o risco que a estrutura venha a ser sobrepassada a) no primeiro ano?.6) Os dados de vazões máximas anuais da bacia do rio Jacupiranga. Log-Pearson III e Gumbel-Chow. 7. e) Gumbel (teórica). no período de 1940 a 1959 (inclusive). c) R: 284m3/s. Antenor Rodrigues Barbosa Jr. Qual o risco que se corre se o seu vertedor é projetado para uma cheia de tempo de recorrência igual a: a) vida útil da obra? . a) Estimar as cheias de 100 anos e de 1000 anos com base nas distribuições Log-normal. se se admite um risco de 10%? R: Tr = 475 anos. b) Log-normal. b) 271m3/s. média dos logaritmos (base 10) das cheias anuais: 1. R: a) 264m3/s. 178 . Previsão de Enchentes EXERCÍCIOS: PREVISÃO DE ENCHENTES 7.0%. f) 307m3/s 7. c) 77. coeficiente de assimetria dos logaritmos das cheias anuais: 0. lançando os dados em papel de probabilidade. Com base nestes dados.27. Determine a magnitude da cheia de 25 anos. Se a ensecadeira é projetada para resistir uma cheia de 20 anos.6%. correspondentes a 28 anos de observação são fornecidos na tabela abaixo. o valor médio de uma série histórica de eventos máximos com 35 anos de observações. 200 e 1000 anos.6m3/s. log-Pearson e Gumbel. data 01/02/1931 09/12/1932 17/12/1933 05/01/1934 21/12/1935 07/03/1936 19/12/1937 22/12/1938 24/01/1939 14/01/1940 29/09/1941 Q(m3/s) 314.0 289.0 75.0 139.0 250.7 data 11/03/1942 15/03/1943 07/03/1944 05/02/1945 28/01/1946 04/03/1947 16/03/1948 09/02/1949 24/02/1950 19/01/1951 26/02/1952 179 Q(m3/s) 96.33 anos. c) R=22.0 240. 7.0 205.0 237.0 102. e ii) o desvio-padrão da amostra é de 30 m3/s.10) Demonstre que o período de retorno da média.0 182.0 212.9 169.6 m3/s. 7.0 . é 2.0 116. log-Normal.0 165.0 95.0 163. pelo método de Gumbel-Chow.0 167.0 425. Antenor Rodrigues Barbosa Jr. 100.12) Considere os dados das vazões máximas observadas no rio Jaguari. levantado durante 40 anos.1 212. b) Q200=144.11) Determine. 7.0 123.0 93.10 utilizando a construção gráfica em papel de probabilidade de Gumbel.0 490. 7.0 data 29/03/1953 13/02/1954 17/01/1955 05/01/1956 21/01/1957 29/01/1958 23/03/1959 25/02/1960 23/12/1961 17/03/1962 31/12/1963 21/02/1964 Q(m3/s) 51.0 121. na distribuição de Gumbel. conforme tabela abaixo. R: Q 90.0 153. considerando as distribuição das vazões Normal.0 225.0 135.0 113.8) Repetir o Exemplo 7. em Posto Jaguariúna (área de drenagem da bacia igual a 2.220 km2).2%.0 109.Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduação Prof.0 302.4 244. a) Qual a probabilidade de ocorrer um evento de magnitude menor que 85 m3/s? b) Qual o valor de uma cheia com período de retorno de 200 anos? c) Qual a probabilidade de que ao menos uma cheia com período de retorno de 100 anos venha ocorrer durante os próximos 25 anos? R: a) P{Q<85}=87%. 7.0 206. Obter as enchentes com tempos de recorrência de 50.9) O registro das máximas vazões anuais em um rio. indica que tais eventos se distribuem segundo Gumbel e têm média e desvio-padrão respectivamente iguais a 60m3/s e 23m3/s. sabendo-se que: i) o evento de magnitude 180 m3/s tem período de retorno de 50 anos.0 171. Previsão de Enchentes 7.