SISTEMA CON N GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DERAYLEIGH RITZ Análisis Sismo Resistente INTRODUCCIÓN Cuando los sistemas son complejos, es muy difícil o imposible en la práctica encontrar soluciones para el problema de encontrar las respuestas del sistema a un conjunto (probablemente complejo) de excitaciones. Como un medio practico de resolución, Lord Rayleigh propuso inicialmente sustituir el problema inicial de 1 grados de libertad con uno de 1 grado de libertad. Posteriormente Ritz extendió el método para utilizar varios grados de libertad. Posteriormente (años ’60) se comenzó a explorar el método de los elementos finitos, que puede ser considerado como una aplicación particular del método de Rayleigh-Ritz. En términos muy básicos consiste en subdividir el sistema en un numero finito de elementos de geometría simple, y que tienen un comportamiento estructural bien conocido (barras, vigas, placas,..). En cada elemento se dispone de un set pequeño de funciones de forma que dependen de los valores en ciertos puntos del elemento (nodos). Al imponer condiciones de continuidad entre los elementos se llega a una solución que puede ser muy cercana al valor exacto. Facultad Ingeniería Civil La ecuación anterior puede ser convenientemente escrita como: Donde N(x) ordena las funciones de forma: Observación: Nótese que en el método de Rayleigh Ritz. el vector q corresponde solo a una ponderación para las funciones de forma N. Sin embargo en el método de elementos finitos el vector de desplazamientos corresponde efectivamente con los desplazamientos de ciertos grados de libertad. Facultad Ingeniería Civil .SISTEMA CON N GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ Análisis Sismo Resistente SISTEMAS CON ƞ GRADOS DE LIBERTAD MÉTODO DE RAYLEIGH – RITZ Este método expresa el desplazamiento de cualquier punto x como una combinación de funciones dependientes de x que son ponderadas por una amplitud dependiente del tiempo: Nótese que las negrillas indican cantidades vectoriales. SISTEMA CON N GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ Análisis Sismo Resistente Facultad Ingeniería Civil . SISTEMA CON N GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ Análisis Sismo Resistente Modos propios. frecuencias naturales y FRFs de una viga A fin de expresar la energía potencial se definen los siguientes vectores (en el caso más general): Y el operador de diferenciación espacial D (para el caso general): Lo que nos permite expresar fácilmente la deformación: La energía cinética puede ser expresada como: Facultad Ingeniería Civil . Observación: El uso de las matrices de masa no consistentes hace perder la garantía de que las frecuencias naturales encontradas son sobre estimadas. La energía se expresa en términos de: Facultad Ingeniería Civil . Por su lado.SISTEMA CON N GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ Análisis Sismo Resistente Usando: Donde la matriz de masa se define por: Observación: Una matriz de masa definida por (3) es llamada consistente utiliza las mismas aproximaciones usadas para definir a la matriz de rigidez. la energía potencial se expresa como: Donde la densidad de energía de deformación es: Y dado que para: Donde H es la matriz de Hooke. SISTEMA CON N GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ Análisis Sismo Resistente Donde la matriz de rigidez K se define por: El vector de carga g se calcula a partir de la energía potencial externa asociada a las fuerzas de cuerpo x y de superficie t: Con: Lo que nos permite escribir la ecuación del movimiento: Funciones de forma y desplazamientos axiales de la barra Facultad Ingeniería Civil . SISTEMA CON N GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ Análisis Sismo Resistente Barra Empotrada: Expresemos las deformaciones posibles como: Entonces: Y la matriz de rigidez Facultad Ingeniería Civil . SISTEMA CON N GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ Análisis Sismo Resistente Con lo que el problema homogéneo queda: PROBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA N°1: Para la estructura mostrada en la figura. se pide: Encontrar los valores propios Hallar los modos de vibración Solución: Ciclo 1: Facultad Ingeniería Civil . SISTEMA CON N GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ Análisis Sismo Resistente Para la aplicación del método de Rayleigh. supongamos que la deformación produce desplazamientos: X1(t) = 1 y X2(t) = 2 La máxima energía potencial es entonces: Y la máxima energía cinética es: Igualando la máxima energía potencial con la máxima energía cinética y despejando la frecuencia natural da: Facultad Ingeniería Civil . repitiendo un nuevo ciclo de cálculos. basada en este último valor de la frecuencia natural. resulta: Que después de igualar Vmax y Tmax.SISTEMA CON N GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ Análisis Sismo Resistente La frecuencia natural calculada como f=2. obtenemos: Este último valor calculado para la frecuencia natural f=2.782 cps es solamente una aproximación al valor exacto. para recalcular la máxima energía potencial y la máxima energía cinética. consideremos el modelo matemático del sistema estudiado: Las ecuaciones de equilibrio obtenidas igualando a cero la suma de las fuerzas en los diagramas de cuerpos libres del sistema.729 cps. puesto que la forma general de la deformación fue supuesta con el propósito de aplicar el método de Rayleigh. podría mejorarse con la aplicación de una nueva carga inicial en el sistema. dan: Y resolviendo: O en la razón: Ciclo 2: Introduciendo estos valores mejorados de los desplazamientos x1 y x2 en las ecuaciones (a) y (b). Ciclo 3: Facultad Ingeniería Civil . Para mejorar este valor calculado para la frecuencia natural. SISTEMA CON N GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ Análisis Sismo Resistente También: Y resolviendo: O en la razón: Energías cinética y potencial máximas: Frecuencia angular y natural: Ciclo 4: También: Y resolviendo: Facultad Ingeniería Civil . SISTEMA CON N GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ Análisis Sismo Resistente O en la razón: Energías cinética y potencial máximas: Frecuencia angular y natural: Ciclo 5: También: Y resolviendo: O en la razón: Energías cinética y potencial máximas: Frecuencia angular y natural: Facultad Ingeniería Civil . 63 57.729 17.078 2.054 2.782 17.133 rad/seg 17.680 2.614 65.057 2.69 59.534 62.133 0.00 2 1: 1.527 63.132 0.366 seg Facultad Ingeniería Civil .3667 5 1: 1.3667 Cuadro comparativo Método Rayleigh Método polinomio característico Frecuencia 17.3664 3 1: 1.64 57.888 80.727 17.63 57.133 0.3667 seg 0.3595 1 1: 2.727 17.SISTEMA CON N GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE RAYLEIGH RITZ Análisis Sismo Resistente La tabla muestra los resultados obtenidos en cinco ciclos.132 rad/seg Periodo 0.727 17. Ciclo Razón de Carga inercial deformación F1 F2 Frecuencia Frecuencia Periodo natural angular (seg) (cps) (rad/seg) 2.480 0.145 0.3667 4 1: 1. puesto que la forma general de la deformación fue supuesta con el propósito de aplicar el método de Rayleigh. supongamos que la deformación produce desplazamientos: X1(t) = 1 y X2(t) = 2 La máxima energía potencial es entonces: Y la máxima energía cinética es: Igualando la máxima energía potencial con la máxima energía cinética y despejando la frecuencia natural da: La frecuencia natural calculada como f=2.PROBLEMA N°2: Para el sistema de 2 niveles que se muestra en la figura. Para mejorar . determinar sus periodos y formas de modo de vibración (g = 980 cm/seg2) Solución: Ciclo 1: Para la aplicación del método de Rayleigh.868 cps es solamente una aproximación al valor exacto. este valor calculado para la frecuencia natural. resulta: Que después de igualar Vmax y Tmax. repitiendo un nuevo ciclo de cálculos. consideremos el modelo matemático del sistema estudiado: Las ecuaciones de equilibrio obtenidas igualando a cero la suma de las fuerzas en los diagramas de cuerpos libres del sistema. basada en este último valor de la frecuencia natural. podría mejorarse con la aplicación de una nueva carga inicial en el sistema. dan: Y resolviendo: O en la razón: Ciclo 2: Introduciendo estos valores mejorados de los desplazamientos x1 y x2 en las ecuaciones (a) y (b). para recalcular la máxima energía potencial y la máxima energía cinética.802 cps. Ciclo 3: También: . obtenemos: Este último valor calculado para la frecuencia natural f=2. Y resolviendo: O en la razón: Energías cinética y potencial máximas: Frecuencia angular y natural: Ciclo 4: También: . Y resolviendo: O en la razón: Energías cinética y potencial máximas: Frecuencia angular y natural: Ciclo 5: También: Y resolviendo: O en la razón: Energías cinética y potencial máximas: Frecuencia angular y natural: . 590 0.592 0.3571 4 1: 1.590 rad/seg 17.La tabla muestra los resultados obtenidos en cinco ciclos.995 2.590 0.60 60.150 rad/seg Periodo 0.633 59.3487 1 1: 2.802 17.019 0.61 60.612 78.00 2 1: 1.3571 5 1: 1.366 seg .3571 Cuadro comparativo Método Rayleigh Método polinomio característico Frecuencia 17.3571 seg 0.800 17.189 2.66 63.942 2.3569 3 1: 1.800 17. Ciclo Razón de Carga inercial deformación F1 F2 Frecuencia Frecuencia Periodo natural angular (seg) (cps) (rad/seg) 2.800 17.608 2.60 60.715 61.604 0.619 59.868 18.