16 CALCULO DIFERENCIAL

1168VECTORES y GEOMETRIA ANALfTICA EN EL ESPACIO 48. Demuestre que las rectas z - 2 49. so. 51. l y x-2 y - 5 z - 5 son rectas oblicuas Y calcule la distancia en tre ellas. • Obtenga ecuaciones simétricas Y paramétri- cas recta que pasa por el origen Y es per- e p_en .'c.ular8 a cada una de las rectas del jerCICJO 4 . ecuaciones simétricas Y paramétr"- cas de la recta que 1 ( - 3 5 pasa por los dos puntos ' '2) y (-1, -3, 4). Muestre que las rectas : - 5 3 --=¡ =--;¡-- y - )' + 2 z - l - 6 --r==-::s son coincidentes. 52. Obtenga una ecuación del plano que ga la recia conten- 53. l(x - 3) == - ( 1' + 5) == Mz + 2) Y el punto (5, o, _ 4 ). Calcule el área de 1 · . 54. SS. 56. 57. l . . a secc10n transversal del e IPSOide x2 y2 z2 4 +g- + 25 = 1 en el plano z = 4. Calcule el área del paralelogramo dos de cuyos lados son las representaciones de posición de los vectores 2j - 3k Y 5i + 4k Eva!úe el volumen del paralelepípedo .que tiene v(értJcesen( 1,3,0),(2,- J,J),(- 2 2 - J) Y - 1 l 2) ' ' ' longitud de arco d 1 · e a curva X = 1 COS 1 Y== 1 sen 1 ==t de t == O a 1 = !h1r. 58. Una partícula se desplaza a In f,u va con fas ecuaciones paraou'lt x = ln(t 2 + f) y == 1 2 + 1 59. el vector velocidad, l'l racJOn Y la rapidez en 1 = o Una partícula se desplaza a lo 1 60. d 1 . 111 v.a e ejercicio 56. Determine r l 1 el. aceleración y 111 lA - fn .. DibUje una porción de fu 1" ,Fr. asJ como las representaciom' tores de velocidad y· aceleración 1'11 Obtenga el vector tangente unilullll vatura en cualquier punto de la ga la ecuación vectorial R(t) = e'i T e- 'j + 2tk 61. Determine el triedro móvil de la e 3sen2ti -4f' 3 lll lll 1 = ln. J - cos 2tk en el Plllllt 62. Obtenga un conjunto de coordenucf 1 cas para el conjunto que tiene l'lll das (- 3, JJ, Z). 63. D:termme un conjunto de coorcfcmuf' dncas, para el punto que tiene POI nadas e.sféricas (3. 1l, j-n). ' 64 · una ecuación, en de la gráfica de cada una de 1,, c1ones (a) x2 + y2 + 4 z2 = 4 . (b) 4 .l 9z2 = 36. ' x 65. una ecuación en coordcnauu' d.ncas de fa gráfica de cada una de "" ClOnes: (a) (x + y)2 + 1 = (b\ 25 . , = 100. 1 .\ 1 66. Si R, Q .Y W son tres funciones vectoliul yas dcnvaclas con respecto t . muestre que a exJsil'll D,(R(t) . Q(t) x W(t)] = D,R(t). Q(r) x W(t) + R(t) . D,Q(t) x R(t) · Q(t) x D, W(t) Determine la longitud de arco de l a curva R(t) = (2 - 3t)i + (4t _ J)j + 1 2k 67. Si A es cualq · . UI CI vector, demuestre que de t = O a 1 == A = (A . i)i + (A . j )j + (A . k)k En la Sección 16.1 se amplia el concepto de función a una función den variables, y en las dos secciones siguientes se extiende a las funciones de n variables, los conceptos de limite y continuidad. La mayor parte del estudio estará limitado a funciones con dos y tres variables; sin embargo, se establecen las definiciones para funciones con n variables y se describen las aplicaciones de éstas a funciones de dos y tres variables. También se indica que al aplicar dichas definiciones a una función de una variable, se obtiene la definición que ya se había dado. El est udio de la diferenciación de funciones de varias variables empieza en la sec- ción 16.4, donde se definen las derivadas parciales de este tipo de funciones. Des- pués, en la Sección 16.5, se discute la diferenciabilidad de esas funciones, así como sus diferenciales totales. En la Sección 16.6 se presenta la versión para varias variables de la regla de la cadena, y en la 16.7 se estudian las derivadas parciales de orden superior. Las aplicaciones de la diferenciación en este capítulo consisten en determi - nar intensidades de variación y calcular aproximaciones. El capítulo concluye con la sección suplementaria 16.8, dedicada a la demostración de un teorema que pro· porciona las condiciones suficientes para la diferenciabilidad de una función con do1 variables. 1169 w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1170 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE 16. 1 FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE Procederemos a generalizar el concepto de función a 011 1 riable independiente. Tales funciones son frecuentes en problemas pt lh 1 plo, el área superficial aproximada del cuerpo de una persona depcnd• y su peso. El volumen de un ci lindro circular recto depende del rad111 De acuerdo con las leyes de los gases ideales, el volumen ocupado p11t nado es directamente proporcional a su temperatura e pt su presión. El costo de un cierto producto puede depender del costo dl 1 el precio de los materiales y los gastos generales. Para aplicar el concepto de función a las funciones de cualquier 111111 bies, hay que considerar primero puntos en el espacio numérico n thn como un punto en .Jf 1 se representa por un número real x, un punJo 111 par ordenado (o díada ordenada) de números reales (x, y), y un pu11111 una tríada ordenada de números reales (x, y, z), un punto en el e'-Jl•'' h n-dimensional, ,qf/ 11 , se representa por una n-ada* ordenada por n nitnWIII denados, lo que usualmente se indica por P = (x 1 , x 2 , . •• , X 11 ). b u 1•111 11 = 1, entonces P = x; si n = 2, se tiene que P = (x, y); si n = 3, P = (x, y, z); si 11 = 6, entonces P = (X¡, x 2 , x 3 , x4, x 5 , x6). 16.1 . 1 DEFINICIÓN El conjunto de todos los n nítmeros reales-ordenados se llama espacio n-dimensional y se representa por.·#". Cada n-ada {x 1 , x 2 , ..• , x,) w punt o en el espacio numérico n-dimensional. 16.1.Z DEFI NI CIÓN Una función den vari ables es un conjunto de pa res ordenados de la w) en el cual dos pares ordenados diferentes no tienen el mismo primer Pes un punto en el espacio numérico n-dimensional y w es un número conjunto de todos los valores posibles de P se llama dominio de la f conjunto de lo posibles' atore!> de w recibe el nombre de contradominio (O to) de la furición. De esta definición, el dominio de una función den variables es el conjunto tll- tos en .1-e"y el contradominio es un conjunto de números reales o, equi valen! te , un conjunto de puntos en Jf 1 • Cuando n = 1, tenernos una función dt variable; de este modo, el dominio es un conjunto ele puntos en o, lo que mismo, un conjunto de números reales, y el comradorninio es un conjunto de ml *N. del ({. Resulta thil extender a conceptos la nomenclatura usual en campos: diada, l . . . , etc. El conjunto de 11 clcmcmos \ cría una n-ada o eneada. En para 61'. 1 se 1endr mónada (un elemento). F unciones de mas de una variable 16.1 1171 · 1 de la Definición .. 'ó 1 4 l es un caso especta . teal es . De aquí vemos que Y el dominio es un l it 1 2. Sin = 2, tenemos una unctOn e ·unto de pares ordenados de numeros . .7.1'2o equivalentemente, un conJ ¡\1• puntos en ."' ' ll'ttlc'> (x, y). . 1 Sea la función r de dos variables X y y el conJUnto • EJEMPLO ILUSTRATIVO d 1 forma (P, tales que lk todos los pares ordenados e a .. = j2s - .x: 2 - l . • . , 2 + 2 s 25}. Este es el conjunt? de. 1 1 dominio de fes el conJunto { - 25 y en la región in tenor '' " d plano xy de la circunferenfc.ta x- l+sey el conjunto ele puntos del doml- . f ncia En la ¡oura l''lr dicha ctrcun ere - . . "' reacia en . . . . de f en forma de una regton somb s· orlo tanto, el contradommlO 11 1 ' ) J ( z z) entonces O s z :5 • P [O 51 • Como z = 25 - x + y ' . les en el intervalo cerrado ' . . de todos los numeros rea de .fes el conJunto . . bl s x y y es el conjunto VO Z La funcion g de dos vana e • EJEMPLO !LUSTRATI d d la forma (P, z) tales que de todos los pares ordena os e - - (x2 + l - 25 t S " • 2 2 > 25} Este es el conjunto de pun o 1 . 1 dominio de g es el conjunto {(x, Y)lx .+ Y . · 2 + yl = 25. En la Figura . da a la Circunferencia x b da la región que CJrcun tos del dominio de gen forma de región som rea • 2 se muestra el conJunto de pun . :;iJ' 2 . . • • 16 1 2 en .?r • ·do con la Deftmcton · · • . . · · bies entonces, de acuet Si¡ es una func10n de n vana f (P w) donde P = (x, • X2, · · · ' /'es un conjunto de pares orden?dos de \al par;icular de w correspondien- . JI'" y w un numero rea · x ) En ')es un punto cn .?r ' . b lo j(P) o bien f(x,, Xz, . . . ' , . un punto P, se representa con el ;¡m el valor de la función particular, si n = 2 Y P = (x, y), 90 . em_ p = (x, y, ¡), designarnos el ¡alot .f(P) o bien .f(x, y) . n que sin = 1' p = x; ele aqUJ que, de la función por f(P) 0 bJen x, y, z · -5 5 X FIGURA 1 y . 5 . ,--.... ; ... , ' / \ 5 X -51 FIGURA Z o 1 \ , ... ______ ,; -5 w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1172 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE U NA VARIABLE sif.es una función de una variable p - patJblc con la notación para val , f( f) -_f(x). Por lo tanto, esta '" Una función f de n variables de una variable. e pue e defrnrr con la ecuación w- .. . ,x2, . .. ,x,) Las variables x x . . '' 2• · · · , x, se conocen com · b varwb/e dependiente. o vana les independientt'\ • EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Seafla función del Ejemplo Ilustrati\u f(x, y) == J2s _ x2 _ y2 Entonces /(3, - 4) == J2s _ 3 2 _ ( _ 4 ) 2 = J2s- 9 - 16 = O !(u, 3v) == J2s _ u2 _ ( 3 v)2 == J2s - u 2 _ 9u2 .f(- 2, t) = J2s _ (- 2 )2 _ 1 2 = J2s- 4 - r = 2.,/5 EJEMPLO 1 L f a unción g se define como g(x, y, z) = x3 _ 4yz2 Encontrar: ( ) (1 .. a O ' 3, - 2); (b) g(2a, - 4b, 3c); (e) g(x2 yz z2)· (d) ( Soluc10n ' ' , g y, z, -- '' (a) g(l, 3, - 2) = ¡J - 4(3)(- 2)2 == 1 - 48 = - 47 (b) g(2a, -4b, 3c) = (2a)3- 4( - 41>)( 1, = 8a 3 + 144bc 2 (e) g(x2, y2, z2) = (x2)3 - 4y2(z2)2 == x6- 4y2z4 16.1.3 DEFINICIÓN (d) g(y, z, - x) = y 3 - 4z(- x)2 = Y 3 - 4x 2 z Sif es una función de una sola variable .. ces la función compuesta f o l / g es una funciOn de dos variables . g es a unción de dos variables definida ' (f o g )(x, y) = f(g(x, y)) Y el dominio dejo g es el . g, tales que g(x y) está en todos los puntos (x, y) en el ' omtmo de f. EJEMPLO 2 Dado .f(t) - 1 d . - n t y g(x y) x2 Y etermmar el dominio de h. ' = + Y obtener h(x, Y) si h 16.1 Funciones de más de una variable 1173 u lución /r( '"·y) = (f o g)(x, y) = f(g(x, y)) = f(x 2 +y) = ln(x 2 +y) El dominio de g es el conjunto de todos los puntos en R 2 y el dominio dejes (0, 1 oo). Por lo tanto, el dominio de h es el conjunto {(x, y)lx 2 + y > 0}. La Definición 16.1.3 se puede aplicar a una función compuesta den variables co- lllo sigue. DEFINICIÓN Si/ es una función de una sola variable y g es una función den variables, entonces la función compuesta f o g es la función de n variables definida por y el dominio de f o g es el conj unto de todos los puntos (x 1 , x 2 , ••. , Xn) en el dominio de g tales que g(x¡, x 2 , ••• , xn) se halla en el dominio de f. ----.r-J EJEMPLO 3 Dadas F(x) = sen- 1 x y G(x, y, z) = J x 2 + y 2 + z 2 - 4 obtener < la función F o G y su dominio. Solución (F o G)(x, y, z) = F(G(x, y, z)} = F(Jx 2 + y 2 + z 2 - 4) =sim- 1 Jx 2 + y 2 + z 2 - 4 El dominio de G es el conjunto {(x, y, x)ix 2 + y 2 + z 2 - 4 0}, el dominio de Fes [-1, 1 ). Así, el dominio de F o G es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) en R 3 tales que O 5 x 2 + y 2 + z 2 - 4 5 1 o, en forma equivalente, 4 s x 2 + y 2 + z 2 5 5. Una función polinomial de dos variables x y y es una función /tal que f(x, y) es la suma de los términos de la forma cx"ym, donde e es un número real y n y m son enteros no negativos. El grado de la función polinomial está determinado por la suma más grande de los exponentes de x y y que aparezcan en cualquier término. • EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 (a) La función f definida por f(x, y) = xJ + 2x2y2- YJ es una función polinomial de grado 4, ya que el término de mayor grado es 2x 2 y 2 • (b) Si g(x, y)= 6x 3 y 2 - 5xy 3 + 7x 2 y- 2x 2 + y+ 4 g es una función polinomial de grado 5. • w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1174 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE . MAS DE UNA VARIABLE La gráfica de una funciónjd . (x, Y) en los cuales _e una sola ;anable consiste en el dos variables es un e . Y - /(x). Analogamente la gra· r·, 1 onJunro de punco en , tea , ,. 1111 16 -1.5 DEFINICIÓN Si fes una función de dos variabl todos los puntos (x, y, z) en entonces la gráfica de fes de f Y z == f(x, y). . pa, a los cuales (x, y) es un punto Por tanto 1 ·r· . , a gra Jea de una fuoc· , f de todos los puntos en el,:s"p d?s. variables es una l> llfHt 1 dadas por las tríadas cuyas <.'llnt da mm Jo efes un conjunto de puntos en el as e numeras reales(.\, 1' t d . en el dominio defle corresponde plan! o xy, Y ya que a cada,,., ICU ar al plano un va or único d . xy puede cortar la gráfica de . e z, Olllgunrt 11 1 f en mas de un punto • EJEMPLO ILUSTRATIVO S La f .. /correspondiente al conjunto de tod del Ejemplo Ilustrativo 1 t z == )25 - x2 - y2 os os pares ordenados de la forma (1•, Así la gráfica de fes el hem. . , Y su centro en el origen La gls en Y sobre el plano xy que tiene · ra 1ca de este hem 'sf . 1111 1 . ' eno se muestra en lo 1 EJEMPLO 4 Trazar la gráfica de la f .. Y) == x2 + y2 uncJOnfque renga los valores ele ltllt Solución L ·r· . a gra Jca de fes la su f' . grafica de la superficie en el plano ICte tiene la ecuación z = \ ' neamente con la ecuación de la su Y s.e.obtlene usando la ecuación z . 11 gen. Los trazos en los pla perfJcJe. Obtenemos x 2 + y 2 - O y x - o . nos xz Y Yz se deter · - • qu¡• 1 - , respectivamente, con la ec . . mman usando las ecuaciou z =, x2 Y z = 2 L . . uacJOn z = x 2 + 2 O ' Y . a secc!On transversal d 1· ... Y . btenemos las "" e a superltc¡e en un plano z = 1.. 1 2 FIGURA 3 16. 1 . Funciones de más de una variable 1175 X riCURA 4 ,d plano xy, es una circunferencia con centro en el eje z y radio .jk. Con esta infor- mación podemos trazar el croquis requerido que se muestra en la Figura 4. Otro método útil para representar geométricamente una función de dos variables es similar al de la representación de un relieve tridimensional por medio de una re- presentación bidimensional. Supongamos que la superficie z = j(x, y) es : ortada por el plano z = k, y la curva de intersección se proyecta sobre el plano xy. Esta l'urva proyectada corresponde a la ecuaciónf(x, y) = k y se llama contorno o curva de ni vel de la función f en k. Cada punto de la curva de ni vel corresponde al punto único en la superficie que está k unidades arriba cuando k es positiva, o k unidades abajo cuando es negativa. Considerando diferentes valores para la constante k, se obtiene un conjunto de curvas qe nivel llamado mapa de contornos (o plano de niveles). El conjunt o de todos los posibles valores de k es el cont radominio de la función .f. y cada curva de nivel f(x, y ) en el mapa de contornos consiste en los puntos (x, y) en el dominio de/, que tienen valores de función iguales a k . Por ejemplo, para la función f del ejemplo 4, las curvas de nivel son circunferencias con centros en el origen. En la Figura 5 se muestran curvas de nivel específicas para z = 1, 2, 3. 4, 5 y 6. Un mapa de contornos muestra la variación de z con respecto a x y y. En general, las curvas de nivel se trazan para intervalos constantes de valores de z, y los valore!. y FIGURA S w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1176 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE U NA VARIABLE de z cambian con más rapidez cuand sí que cuando están más separadas· eo las de nivel están mth t próximas entre sí, la superficie ' s decir, cuando las curvas de 111\ 1 r . . es escarpada y cuand , ICJe ttene declives suaves E ' . o estan muy apnrl · · · n una representación t ·r· regiOn, el estudio de la separac·, d 1 opogra Jea • d 1 . Jon e as curvas de nivel . e as pendientes del relieve A la t . proporciona llllll gráfico corresponde a una .cot ralayectona de una curva de nivel en '"' a o tura constante. EJEMPLO S Seafl f 'ó . a uncJ n para la quef(x 2 """" defy un mapa de contornos defmostra d 1 'Y - 8 -x - 2y. Tru'"' a 10, 8, 6, 4, 2, O, -2, -4, -6 Y -8. n o as curvas de nivel defcon Solución La · r· gra •ca de f se muestra en la F" - 2y · El croquis en el plano xy se b . 6. Esta es la x 2 = - 2(y- 4). Haciendo.y = z = O, lo cual du 111 Y YZ, que son, respectivamente la áb 1 2 enemos los trazos en lm La 'ó ' par o a x - - (7 B) 1 secc1 n transversal de la supe f' . d ·. - .., - Y a recta .21' b 1 , r ICie etermmada P l 1 o a con su vertice en la recta 2 - or e P ano z = k l'\ secciones transversales par: z += z 8- 6 8 en el plano yz Y que abre a lu figura. • ' 4 • 2 • -2, -4, - 6 y -8 se munr 7 Las curvas de nivel de f son las parábolas x2 se muestra el mapa de contornos de f. ¡ ilustrar el empleo de las curvas de nivel cualqUier punto de una placa metál' 1 ' que la temp( t Jea P ana esta dada por la función./, ' \ ' FIGURA 6 FIGURA 7 16.1 Funciones de más de una variable 1177 la temperatura es de t grados, entonces en el punto (x, y) se tiene que t = f(x, v). Así, las curvas que tienen ecuaciones de la forma f(x, y) = k, donde k es una son curvas en las cuales la temperatura es constante. Se trata de las curvas de nivel de f y reciben el nombre de isotermas. Por otra parte, si V volts es el potencial eléctrico en cualquier punto (x, y) del plano xy y V = f(x, y), entonces las curvas de nivel de f de denominan curvas equipotenciales, ya que el potencial eléctrico en punto de dicha curva es el mismo. Para una aplicación de las curvas de nivel en economía, consideremos la producti- vi dad (o producción) de una industria que depende de varios insumos, entre los cua· les están las máquinas que se emplean en la producción, el número de horas-trabajador disponibl.es, el monto de capital de trabajo, la cantidad del material empleado, así como el área de terreno disponible. Supongamos que la cantidad de insumos está dada por x y y, la cantidad producida, por z, y z = j (x, y). Dicha función se denomina función de producción y las curvas de nivel dej, que tienen ecuaciones de la forma j(x, y) k, donde k es .una constante, se denominan curvas de producción constante. EJEMPLO 6 Sea j la función de producción para la cual f(x, y)= 2xtl2yl l2 Trazar un mapa de contornos de f que muestre las curvas de producción constante en 8, 6, 4 y 2. Solución El mapa de contornos consta de las curvas que son intersecciones de la superficie. z = 2xtl2ytl2 con los planos z = k, donde k = 8, 6, 4, 2. Al sustituir z obtenemos 4 = x 112 y 112 o, lo que es lo mismo, xy = 16 y x>O y y > o o 5 10 15 FIGURA 8 (1) 8 en la ecuación (1) (2} w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1178 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE La curva del plano xy, representada por (2), es una rama de la hipérboln en el primer cuadrante. Con cada uno de los números 6, 4 y 2 ur.a rama de una hipérbola en el primer cuadrante. Se trata de las curvu• ción constante que se muestran en la Figura 8. La siguiente definición amplía la noción de gráfica de una función a una de n variables. 16. 1.6 DEFINICIÓN Sijes una función den variables, entonces la gráfica dejes el conj los puntos (x 1 , x 2 , ..• , x, w) enGfn+l para el cual (x 1 , x 2 , •.• , Xn) ea en el dominio de j y w = j(xh x 2 , ..• , Xn). En las funciones de tres variables se representa una situación análoga a h" de nivel de una función de dos variables. Si j es una función cuyo domi nio conjunto de puntos en Gf3, entonces, cuando k es un número en el contr de j, la gráfica de la ecuación j(x, y, z) es una superficie. Esta superficie so como superficie de nivel dejen k. Cualquier superficie en un espacio puede considerarse como una superficie de nivel de alguna función de tres VIII Por ejemplo, si la función g se define por medio de la ecuación g(x, y, z) y 2 - z, entonces la que se muestra an la Figura 4 es una superficiD ve! de {J en O. De manera similar, la superficie que corresponde a la x2 - y2 + 5 = O es la superficie de niveL de g en 5. Los programas de computadora pueden generar superficies que resultarlan difíciles o imposibles sin esta tecnología. Tales gráficas generadas por • • • • resultan muy útiles. Muchas de ellas muestran secciones transversales formadq planos x = k y y = k para valores de k a igual separación. En las Figuras Q se muestran las gráficas por computadora asociadas a funciones específica-. ilustrar las superficies tan diversas e intrincadas que se pueden obtener cnn método. z y FIGURA 9 z X z = cos x + cosy z z == lxyl X F unciones de mas de una variable 16. 1 FIGURA 11 y FIGURA 13 z z z == ex sen y 1179 w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1180 y '!GURA 15 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MA'S DE UN A VARIABLE z FIGURA 14 ( FIGURA 16 z X z = In (r + r) z 1 / ltt !'unción con dos variables x y y, el ujunlo de todos los pares ordenados de la 111111 (l>, z) tal que \ 1- y x+y - =- f(x,y) = -- \ - y x - y h 1111ine: (a) f( - 3, 4); (b) /(t, }); (e) f(x + 1 1' 1 ); (d) f(- x, y) - f(x, - y). (e) Tra- IIIHI gráfica que muestre, como una región •1 • l, el conj unto de puntos en el dominio 1 1' 1 lu función g de dos variables x y y, el eon- 111 111 11 de todos los pares ordenados de la for- 11111 (P,z) tal que Jx 2 - y =- g(x,y) = Jr - y • (a) g(3, 5); (b) g(-4, -9); (e) g(x· 1 2. 4x + 4); (d) gG, ::) . (e) Trace unu gráfica donde muestre, como una región ''" el conjunto de puntos en el dominio • f.: . ... la función g de tres variables, x, y y z, • • de todos los pares ordenados de 111 forma (P, w) tal que g(x, y, z) = J 4- x 2 - y 2 - z 2 1 k termine: (a) g(1, - 1, - 1); (b) g( -1, !. (e) g(tx, ty, tz); (d) [g(x, y, z)]- 2 - [y(x 1 2, y + 2, z)] 2 , (e) Trace una gráfica don- 'k muestre, como una región en el conjunto de puntos en el dominio de g. la función f de tres variables x, y y z, el de todos los pares ordenados de la (P, w) tal que 4 W= .,.,. xz + yz + zz - 9 4 f(x, y, z) = xz + yz + zz - 9 Oetermine: (a) f(1, 2, 3); (b) /(2, (e) (d) f(x + 2, 1, x - 2). X X X 16. 1 Funciones de más de una variable 1181 (e) Trace una gráfica donde muestre, como una superfici e en R3, el conjunto de puntos que no están en el dominio de f. En los ejercicios 5 a 20, determine el dominio de la función f y trace una gráfica donde muestre, como una región en R 2 , el conjunto de puntos que está en el dominio. 1 S. f(x, y) = 2 z 1 X +y - 4 6. f(x, y) = 4 2 2 -x - y 7. f(x, y) = J l - x 2 - y 2 8. f(x, y)= Jt6 - x 2 - 4y 2 9. f(x, y)= Jx 2 - . v 2 - 1 10. f(x, y) = Jx 2 - . 4y 2 + 16 11. f(x, y) = Jx 2 + y 2 - 1 12. f(x, y)= Jx 2 + 4y 2 - 16 1 13. f(x, y) = t==:===;;: J¡ _ x2 _ yz 1 14. f(x, J 16 - x 2 - 4y 2 x4 _ y4 15. f(x, y) = - 2 - - z X - y x - y 16. f(x, y) = -- x+y 17. f(x, y) = cos - ' (x - y) 18. f(x, y) = ln(x 2 + y) 19. f(x, y) = ln(xy - 1} 20. f(x, y)= sen- 1 (x + y) En los ejercicios 21 a 28, determine el dominio de f y describa la región en !JP3 correspondiente al conjunlo de púnlos en el dominio. x + y+z z 21. f(x, y, z) = 22. f(x, y, z) = - 2 -- x - y - z x -y 23. f(x, y, z) = J 16 - x 2 - 4y 2 - z 2 24. f(x, y, z) = J9 - x 2 - y 2 - z 2 25. f(x, y, z) = sen- 1 x + sen- 1 y+ sen- • z 26. f(x, y, z) = In x + In y + In z 27. f(x, y, z) = ln(4 - x 2 - y 2 ) + izl 28. f(x, y, z) = xz cos - 1 (y 2 - 1) w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1182 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE M . AS DE UNA VARIABLE ! En ejercicio_s 29 a 36 determine el dominio de y roce la gráfica de la función. 47. Dadasf(x, y ) = x _ y, g(t) Sl, determine (a) (g o f) (5, l ) 1 29. f(x, y)= J16 _ x2 _ y2 30. f(x, y) = 6 - 2x + 2y 31. f(x, y)= 16- x2 _ yz 32. f(x, y)=Jl00- 25x 2 -4y2 33. f(x, y) = x2 _ y2 34. f(x, y)= 144 - 9x 2 - I6y2 35. f(x, y) = 4x2 + 9yl 36. f(x, y)= Jx +y En los ejercicios 3 7 a 44 trace el mapa " nos def ' .ue cantor- mostrando las curvas de niveles en los nú meros dados. • 37. La del 29 en O, 1, 2, 3, Y 4. 38. La función del ejercicio 30 en lO 6 2 O -2 - 6, y -10. , , • • • 39. La función del ejercicio 31 en 16 12 7 O - 9, y -20. , ••• 40. La función del ejercicio 32 en O 2 4 6 8 y 10. • • , • , 41. La función del ejercicio 33 en 16 9 4 O -4 - 9 Y -16. o o o¡ ' o 42. La del ejercicio 36 en 10, 8, 6, 5 O 43. La funciÓn f para la cual f(x ) - .l y . r) en 8, 6, 4, 2 y o. • y - l (x 2 + 44· :a la cual/(x, y) = (x _ 3)/ (y 2)en 4, 2, J, z, .¡,o, - :i. -t. -1 , - 2, Y -4. En los ejercicios 45 Y 46 determine h /x ,¡ • h - f o g· obte " , ,. 'y, SI - ' nga auemas el dominio de h. 45. f(t) = sen- 1 t; g(x, y) = J1 _ xz _ y 2 46. f(t) = e'; g(x, y) = y In x x. g(9)); (e) f(g(x), IJ(y)); (d) g((h (e) (g o h)(f(x, y)). 48. Dadas f(x, y) = x f y2, g(x) Jx, determine 1_a) (h o f) (2 l) h(4)); (e) f(g(.Jx), h(x2)); (d) h((l (e) (11 o g)(f(x, y)). 11 49. El potencial eléctrico en un puutu xy es V volts y v = 4/'.f 9 lbUJe las curvas equipotencialc• 12, 8, 4, 1, t y l. 50. La de canela uene los valores de func·ó donde x Y Y dan las J n dos msumos. Dibuje un mapa de f donde se muestren las curvas dt Ción constantes en 16, 12, 8, 4 y 2 51. s.upongamos que el número de Cierto artículo producido es z Y z de x.es el número de el numero de horas-hombre función f definida por f(x y .... ),., _IJv6"1m• f . . ' - .\1' unciOn de producción D'b . · 1 uJe un cont?:nos dej que muestre las curVIlll duccJOn constante para z = 30 24 JK 52 1..a tem t ' • 1 . pera ura en un punto (x, y) de ca de metal plana es t grados Y t ;y2.0Trace las isotermas par; t = y . los ejercicios 53 Y 54, trace las sw,Prl'l"loJII mvel de f para los números dados. 53. f(x, y, z) = x2 + y2- 4z en 8 4 O -8. , . 1 54. f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 en 9 4 1 ' ' 1 16.2 LIMITES DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA V En gt' I Ja distancia entre dos puntos es el ARIABLI reales. Es decir, !x - al es la di t v.alor absoluto de la diferencia de do Cla entr.e dos puntos y) Y P. x s ancla. entre los puntos x Y a. En.9?2Ia gt'3Ja distancia entre los d o( o. Yo) está dada por ./(x- xo)z 4 (y - Y )2 os puntos P(x y ) P. o · J( 2 1 1 z Y o(Xo, Yo. zo) está dada por x Xo) + (y - YoV + (z - zo)z. Eng¡n definimos a ál n ogamente la distancia entre dos . puntos. 16.2 Límite de funciones de más de una variable 1183 DEFINICIÓN Si P(x 1 , x 2 , ... , x,) y A(a 1 , a 2 , ... , a,) son dos puntos enan, entonces la distancia entre P y A, designada por 1\P - A \1, está dada por \\P - A \1 = .J(x 1 - a 1 ) 2 + (x 2 - ..t ., ·: . + (x, - a,)'í El símbolo 1\P- A\\ representa un número no negativo y se denomina "distancia cnue P y A". Yi' 2 y la fórmula de la Definición 16.2.1 se convierte en, respectivamente, · \lx - al\ == lx - al \l(x, y) - (xo. Yo)\1 == J[x - Xo) 2 + (y - Yo) 2 1\(x, y, z) - (xo, Yo• zo)ll == J(x - Xo) 2 + (y - Yo) 2 + (z - zo) 2 DEFINICIÓN Si A es un punto en y r es un número positivo, entonces la bola abierta B(A; r) se define como el conjunto de todos los puntos P en.9t'"tales que \IP- Al\ < r. DEFINICIÓN Si A es un punto res un número positivo, entonces la bola cerrada B[A; r] se define como el conjunto de todos los puntos P que IIP- A\\ r. Para ilustrar estas definiciones, mostraremos qué significan ,9t' 2 y Pri- meramente, si a es un punto en {A1, entonces la bola abierta B(a; r) es el oonjunto de todos los puntos x tales que \x-a\ < r El conjunto de todos los puntos x que satisface esta desigualdad es el conjunto de todos los puntos en el intervalo abierto (a - r, a + r); por tanto, la bola abierta B(a; r) en g:e (véase la Figura 1) es simplemente un intervalo abierto con un punto medio en a, y puntos extremos en a- r y a + r. La bola cerrada B[a; r] en Yl!(Figura 2) es el intervalo cerrado [a- r, a + r]. Si (x 0 , y 0 ) es un punto entonces la bola abierta B((x 0 , y 0 ); r) es el conjunto de todos los puntos (x, y) en .91 2 tales que J(x - xo) 2 + (y - Yof < r a - r a+r bola abierta B(a; r) en g 2 FIGURA 1 a - r bola cerrada B[a; r] en .f!e2 FIGURA Z w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1184 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE bola abierta B((x 0 , Yo); r) en gp2 FIGURA 3 bola cerrada B ((x 0 , Yo) ; r 1 en g¡2 FIGURA 4 Así, la bola abierta 8((XQ, )· r) en gp2 (F . tos en la región interior 1 Ig.ura 3) entonces en lodcll Yo) y radio r. Una bola abierta en a Clrcunf:brencla que tiene como b 1 d veces recl e el nombre de d' o a cerra a, o disco cerrado B{(xo. Yo); r] en!JP2(Fi 4 ) los puntos en la bola abierta 8( x. . . gura , es el conJunln en (xo. Yo) Y radio r. ( o. Yo). r) Y en la Circunferencia que ticnr Si (xo, Yo. Zo) es un punto en §P3 entonces la bola b' conjunto de todos los puntos (x y' z) e 1 a lerta B((xo. Yo. lu) • ' n .:n ta que .J't",(x ;-=---: X:- o) \22-+:-7 (y---Y-o7"; )2-+- (z---z-o)-2 < r Por consiguiente, la bola abierta B(x. . 3 . los puntos de la · · · . . . 0 ' Yo, Zo). r) en YP (Figura 5), regwn mtenor hmltada por la esf Y u·n radio r. De manera similar la bola d era con su centro en (\eh siste en todos los puntos de la b'ola a f(xo, Yo. zo); r] ena'3(Figura (x 0 , y 0 , zo) y un radio r. B(xo. Yo. Zo) Y de la esfera con \U Con esto podemos ya definir el límité de una "uncio'n de . bl J' n vana es. FIGURA 5 FIGURA 6 16.Z.4 DEFINICIÓN en abierta 8 (A; r), a A es L y s · n onces, e hmate de 1 (P) cuando p_ e expresa como lím /(P) L P - A si para cualquier E > o · , ' no Importa cuan pequeña sea, existe una ó > O t si 0 < IIP- A/1 < ó emonces, !f(P) - Ll < E 16.2 Límite de funciones de más de una variable 1185 Si en la definkión anterior, fes función de una variable, A = a en R y P = x, ¡• utonces, la definición dice: si f se define en algún intervalo abierto centrado en a, r)(cepto posiblemente en a misma, lím f(x) = L 11i para cualquier E > O, no importa cuán pequeña sea, existe una o > O tal que si O < lx - al < ó entonces, lf(x) - Ll < e Con esto, la Definición (2.1.1) del límite de una función de una variable es un caso especial de la Definición 16. 2.4. Ahora enunciamos la definición del límite de una función de dos variables. Se trata de un caso especial de la Definición 16.2.4, donde A es el punto (x 0 , y 0 ) y P es el punto (x, y). DEFINICIÓN Sea j una función de dos variables definida en algún disco abierto 8((x 0 , y 0 ); r), excepto posiblemente en el punto (x 0 , y 0 ) mismo. Entonces, el límite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (x 0 , y 0 ) es L, se escribe como lím f(x, y) = L ( X. 1') - (.\0. Yo) si para cualquier E > O, no importa lo pequeña, existe una ó > O tal que si O < V (x - x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 < o entonces, lf(x, y) - Ll < e Expresado en palabras, la Definición 16.2.5 afirma que los valores de función/(x, y) se aproximan a un límite L cuando el punto (x, y) se aproxima al punto (x 0 , si el valor absoluto de la diferencia entrej(x, y) y L se puede hacer arbitrariamente pequeño tomando el punto (x, y) suficientemente cercano a (x 0 , y 0 ) pero no igual a (x 0 , y 0 ). En la definición no se dice nada acerca del valor de la función en el pun- to (x 0 , y 0 ); es decir, no es necesario que la función esté definida en (x 0 , y 0 ), para que exista el lím f(x, y) (x. )') - (x 0 • Yo) La interpretación geométrica de la Definición 16.2.5 se ilustra en la Figura 7. Se muestra la porción que está arriba del disco abierto B((x 0 , y 0 ); ó) de la superfick que tiene por ecuación z = f(x, y). Vemos quef(x, y) se encontrará en el eje z cnlrl· L-e y L + e siempre que el punto (x, y) en el plano .q esté en el disco nhk•rt o B((x 0 , y 0 ); ó). Otra forma de decir esto es quef(x, y) en el eje z se puede limit ru pu ra que esté entre L - e y L + € pero restringiendo a que el punto (x, y) en el p i tillO xy esté en el disco abierto 8((x 0 , y 0 ); ó). • EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Aplicamos la Definición 16.2.5 para dcmmtrHI quil (2X + = 11 w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1186 CALCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MAS DE UNA VARIABLE z X FIGURA 7 El primer requisito de la defi. . . , ab· OlCion es que 2x + 3 d b . Ierto que tenga su centro en el punt (1 3) Y e. e defmirse en alsurt 2x + 3y está definido en todo ' excep.to, en (1, l) tro en (1 ' 3) cumpljrá este requisito Ah Y) : cualquier disco abierto que tengu € > O existe una ó > O tal que . ora, debemos demostrar que para si O< J(x _ 1)2 + (y _ 3 )2 < 0 entonces De la desigualdad del triángulo tenemGs l2x + 3 y - 11 / = l2x - 2 + 3 y - 9/ $ 2/x - l/ + 3/y _ 3/ Ya que /(2x + 3y) - ll / < € /x - 11 $ J(x - 1)2 + (y - 3)2 se concluye que Y /Y - 3/ $ Jcx - 1 ) 2 + (y _ 3 )2 si O < J(x - 1)2 + (y - 3)2 < o entonces 2/x _ 1 / + 3 ¡ / Este :nunciado indica que una elección ade Y - 3 < 2<5 + 3cS Con esta tenemos el siguiente a cuada de ó es So = €, es decir rgumento: • v O < J(x - 1)2 + (y _ 3 )2 < 0 = /x - q < 0 Y IY - 31 < o 2lx - q + 3/y - 31 < so 16.2 Límite de funciones de más de una variable "' J2(x - 1) + 3(y - 3)1 < J2x + 3y - 111 < € 1187 liemos demostrado que para cualquier € > O elegimos o = y el enunciado (l) C\ verdadero. Esto demuestra que lím (2x + 3y) = 11 EJEMPLO 1 Demostrar que lím (3x 2 + y) = 5 (x,y)-(1, 2) aplicando la Definición 16.2.5. (x. y)-( 1. 3) Solución Como 3x 2 + y está definido en todo punto (x, y), cualquier disco abier- to que tenga su centro en (1 ,2) cumplirá el primer requisito de la Definición 16.2.5. Debemos demostrar ahora que para cualquier e > O existe una ó > O tal que si ·O < J(x - 1) 2 + (y - 2) 2 < ó entonces i(3x 2 + y) - 5i < € (2) De la desigualdad del triángulo, i3x 2 + y - 5i = j3x 2 - 3 + y - 2i $ 3ix 2 - l i + Jy - 2i Así pues, j3x 2 +y- 5i $ 3ix- Iiix +ti+ iY- 2i (3) Ya que lx - Ji $ J (x - 1) 2 + (y - 2) 2 Y jy - 2i $ J(x - W + (y - 2) 2 se concluye que si O< J (x- t? +(y - 2) 2 < {) entonces ix - ti <o y iY- 2i <o Obsérvese que en el lado derecho de (3}, además de las expresiones lx - 11 y IY - 21, tenemos la expresión lx + 11. Así, para demostrar (2) deseamos imponer una res- tricción sobre o que dará como resultado una desigualdad con la expresión lx + 11 incluida. Dicha restricción consiste en elegir el radio del disco abierto que pide la Definición 16.2.S como menor que o igual a l. Entonces O < J (x - 1) 2 + (y - 2? < o y l o $ l => ix- Ij < 1 => - J < x - 1<1 , => l < x+1<3 => ix + Ii < 3 w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1188 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE Ahora bien lx - lj < {; Y 1 jx + l j < 3 y jy- 2j < {; => 3lx- ljjx + Ij + IY - 21 < 3 · b · 3 +e) Como nuestro objetivo consiste en tener 3lx- JI lx + 11 + 1 - 21 buscar que lOo < € es decir o < ...L. E . . . Y cione b ' ' - JOE. sto SJgmfJca que hemos s so re u: u < 1 y 0 < ...LE Para q b . . o == , (1 ...l. ) - - •o . ue am as rest nccJOnes sean vállthu mm , 1 oE · Con esta o, tenemos el siguiente argumento: ' O < J(x - 1) 2 + (y _ 2)2 < 0 Y J: = ·" ( 1 ....L ) u mm , 10 E => lx - Jj < y lx - JI < 1 y 1 y - 2j < roE => lx- ll < Y lx + lj < 3 Y jy- 21 <ToE => 3lx - Ij jx + l l + jy- 21 < 3. loE . 3 +ToE => j3(x - l)(x + 1) +y _ 21 <E => l(3x 2 + y) - Sj < E Hemos demostrado que para cualquier € > O elegimos o == min 1 ToE do (2) es verdadero. Esto prueba que lím (3x2 + y) == ' 1 ) Y t'l (X, y) -(1 ,2) Los teoremas de límites de la s . , 2 2 d'f . . ) . ecciOn · Y sus demostraciones, con mlul J Jcacwnes, se aphcan a funcwnes de más de una v . bl . diente al teorema de límites 1 de la sec . , 2 2 ana e. Por eJemplo, cnr c;on . tenemos lím (mx + ny + d) = rna + nb + d (.,,y) - (a,b) Y la demostración es una ge r · · d . 1 l , . . nera JZaciOn e la del eJemplo ilustrativo 1 Utfll os eoremas de hmlte sm volver a citarl os Y sin demostraciones. . • EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 A r duetos tenemos P Icando los teoremas de límites de y 1' ( 3 2 X + 2x y - y2 + 2) = ( -2P + 2(-2)2(1) - (lY + 2 = l EJEMPLO 2 Obtener l . x4 _ y4 1m - 2 =----'-- (x • .vJ - IO.oJ X + y 2 Solución , x4- Y4 ( 2 2 2 hm 2--2 = lím x - y )(x + yz) ( x.y)-(0.0) X + y (x,y) ... (O,O) X2 + y2 = lím (x2 - v2) (X,J' )-(0,0) ' = 0 - 0 = 0 16.2 Limite de funciones de más de una variable 1189 Análogo al Teorema 2. 7.1 para funciones de una sola variable es el siguiente teorema que se refiere al límite de una función compuesta de dos variables. IJ TEOREMA Si g es una función de dos variables y lím g(x, y) = b, y f es una fun- (x, y) ción de una sola variable continua en b. entonces lím (f o g)(x, y} = j(b) (x, Y) - <xo.Yol <=> lím f(g(x, y)) = f ( lím g(x, y)) '-"· Y) - '-"o->'ol (x, J'l - '-"o.Yo> La demostración de este teorema es similar a la demostración del Teorema 2. 7.1 y se deja como ejercicio para el lector (véase el Ejercicio 31). EJEMPLO 3 Emplear el Teorema 16.2.6 para encontrar lím ln(.xy - l). (x,y) - (2,1) Solución Sea g una función tal que g (x, y) = xy - 1, y f la función tal que f(t) = ln t. lím (xy - 1) = 1 (x,y)-(2. 1) y como fes continua en 1, del Teorema 16.2.6 obtenemos lím ln(xy- l) = In ( lím (xy - 1)) (x.y)-(2.1) (x,y)-(2,1) = In 1 = 0 Ahora explicaremos el concepto de punto de acumu/aci6n, que se necesita para continuar el análisis de los límites de funciones de dos variables. j .2.7 DEFINICIÓN Se dice que un punto E! o es un punto de acumulación de un conjunto S de puntos si toda bola abierta B(P 0 ; r) contiene una infinidad de puntos de S. • EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Si S es el conjunto de todos los puntos enYí' 2 , en el lado positivo del eje x, el origen será un punto de acumulación de S porque no importa qué tan pequeño tomemos el valor de r, todo disco abierto que tenga su centro en el origen y radio r contendrá infinidad de puntos de S. Este es un ejemplo de un conjunto que tiene un punto de acumulación y este punto de acumulación no w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1190 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE y (m, n + l) (m- 1, n + 1) 1 (m + 1, 11 + 1) ....... -•-....... " ' ,' (m, n) y r< l \ "'>' ' ., ..... . (m - 1, n - 1) 1 (m + 1, n - 1) (m, n - 1) FIGURA 8 se encuentra en el conjunto. Cualquier punto de este conjunto también sera\ to de acumulación de S. • EJ EMPLO ILUSTRATIVO 4 Si S es el conjunto de todos los puntos en ralos cuales las coordenadas cartesianas son enteros positivos, entonces este to no tiene punto de acumulación. Esto se puede ver considerando el purllu donde m y n son enteros positivos. Entonces un disco abierto que tenga ftll en (m, n) y un radio menor que 1 ·n.o contendrá puntos de S diferentes de por consiguiente, la Definición 16.2.7 no se cumple (Figura 8). Ahora consideramos el iímite de una función de dos variables como un y) que tiende a un punto (x 0 , y 0 ), donde y) está restringido a un conjunto dt tos específico. 16.2.8 DEFINICIÓN Sea f una función definida en un conjunto de puntos S en 9i! 2 y sea (x 0 , punto de acumulación de S. Entonces el limite de/(x, y) cuando (x, y) se ma a (x 0 , y 0 ) en S es L, se escribe como Jím J(x, y) = L (X, y) - (XoJ'ol (P·en si para cualquier e > O, no importa qué tan pequeña sea, existe una ó > O si O < ll(x, y) - (x 0 , y 0 )11 < ó entonces V(x, y) - Ll < E y (x, y) está en S. En algunos casos, este límite se convierte en el límite de una función con una riable. Por ejemplo, considérese lím f(x, y). (x, y) - (0,0) Entonces, si S 1 es el conjunto de todos los puntos en el lado positivo del eje lím f(x, y) = lím J(x, O) (x,y) -(0,0) x - o + (f' en S,) 16.2 Límite de funciones de más de una variable 119 1 t en el lado negativo del eje y, Si Sz es el conjunto de todos los pun os lim j(x, y) = lím f(O, y) cx, y)-(0,0) y- o- (P en Sz) el eje X Si SJ es el conjunto de todos los puntos en ' lím J(x, y) = lím f(x, O) cx. y)-(O,O) .x- o (Pcn Sy 1 'b la y = x2, Si S4 es el conjunto de todos los puntos en a para o lím J(x, y) = lím f(x, X 2 ) (;r, y) -<0.0> x-o (Pcn SJ TEOREMA d. bierto Supóngase que la función f está defi.nida por todo(s los pu) u; tsco a (X Y ) excepto posiblemente en xo. Yo con centro en O• o • · lím f(x, Y) = L ex. y) -t.ro.>'o) • ( ) como . l . n·unto de puntos en gj!Z que tiene a xo, Yo Entonces, st S es cua qUier co J punto de acumulación, lím f(x, Y) (x, y) - (xo.Yol (Pcn S} existe Y siempre tiene el valor L. li /( Y) = L entonces la Definición 16.2.5, para oemostracton Ya que m x, ' (,<, y) - (xo, cualquier f > O existe una o > O tal que si O < ll(x, y) - (xo. Yo)ll < o entonces V(x, y) - Ll < f . , . . ( ) or el requerimiento de que (x, Y) Esto será Sl ademas de puntos que tenga a (xo. Yo) esté en un conJunto S, es cu. q l Definición \6.2.8, como un punto de acumulac!On. Asl, por a lím J(x, Y) = L (x, y) - (xo.Yo> y L :epende del conjunto S a través del cual (x, y) se aproxima a Yo). demuestra el teorema. Lo siguiente es una consecuencia inmediata del Teorema 16.2.9. 11 .2.10 TEOREMA . . d (x y) se aproxima a (XQ, Yo) a tra Si la función f tiene diferentes hmttes cuan o ;. n a (x Yo) como un punto vés de dos conjuntos diferentes de puntos que O• 1 , f(x y) no extste. de acumulación, entonces liD . ' rx. y) - (xo. Yo) w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1192 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE Demostración Sean S, Y S2 dos conjuntos diferentes de puntos en • a (xo, Yo) como un punto de acumulación, y sean lím f(x, y) = L 1 y 1 lím f(x, y) = L 2 (x,y) -(xo.yo) (x.y)-(xo,yo) (PenS 1 ) (1> en S¡) Ahora supongamos que . f(x, y) existe. Entonces, por el TC(JI \ '" {.\, Yl () 0 , v 0 ¡ L, debe ser igual aL pero por h' 't · L .... L · P . 2• tpo ests t .,... 2• Y ast tenemos una coutt or lo tanto IJm f(x, y) no existe. (.r. y) - <xo. JO) EJEMPLO 4 Dada f(x, y) = 2 xy 2 X +y encontrar lím f(x, y) si existe. (x. y) - (0,0) La función/se define para todos los puntos en §R2 excepto en (O t 9 muestra la gráfica ,de f generada por computadora. Sea s, el conj,; o os os puntos que están sobre el eje x Y S2 el conjunto de todos los punhll recta Y = x. Entonces lím f(x, y) = lím O) (x,y)-(0,0) x-o lím f(x, y) = lím f(x x) (x,y)-(0,0) x- O ' (Pen S 1 ) Ya qut: o = Jfm -y-- x-o X +O = lím O x- o =0 lím f(x, y) =1= lim f(x, y) (x,y)-(0,0) (X,y) - • (0.0) (P en S 1 ) (P en s 2 ¡ (Pen Sz> = lím t x-o =t del Teorema 16.2.1 O sabemos que lím f(x, y) no existe. (.r,y)-(0.0) EJEMPLO S Dada f(x, y) = X 2 Y x4 + y2 encontrar lím (x, y) - (0,0) f(x, y) si existe. z y FIGURA 9 y FIGURA 10 16.2 Limite de funciones de más de una variable 1193 Solución La función/se define para todos los puntos en !JP 2 , excepto en (0, 0). La 1 tgura 10 muestra la gráfica de f generada por computadora. Sea S 1 el conjunto de todos los puntos de las rectas que pasan por el origen, es decir, que pasa cualquier punto (,,y) en S 1 , y = mx. Sea S 2 el conjunto de todos los puntos de la parábola y = x 2 • Entonces lím f(x, y) = lím f(x, mx) lím f(x, y) = Jím f(x, x 2 ) (<,y) -(0,0) x-o (x.y)-(0.0) x -O ( /'en s,¡ (P en S¡) x4 = lím 4 4 x -O X + X mx = lím z 2 x-O X +m = 0 = lím! x-o =t Ya que lím f(x, y) =1= lím f(x, y) (x.y)-(0.0) (x,y)-(0.0) (P en S 2) (P en S 1) concluimos que lím f(x, y) no existe. (X, y) .., (0.0) EJEMPLO 6 Dada 3x 2 y f(x, y) = x2 -1 y2 obtener lím f(x, y) si existe. 1.<. ,, - (0,0) Solución La función/se define para todos los puntos en Sle 2 , excepto en (0, 0). Sea S 1 el conjunto de todos los puntos de las rectas que pasan por el origen, es decir, que para cualquier punto (x, y) en S 1 , y = mx. Sea S 2 el conjunto de todos los puntos de la parábola y = x 2 • Entonces . 3x 2 (mx) lím f(x, y) = hm 2 2 2 (x.y)-(0.0) x-o X + m X (Pen S 1 ) 3mx = lím--- 2 x - · 0 l +m = 0 . 3x 2 (x 2 ) lím j (x, y) = hm 2 2 2 (x,y)-(0,0) x-o X + (x ) (P en S 2 ) 3x 4 = lím 2 4 :c - 0 X +X 3x 2 = lím--- 2 .<-0 1 +X =0 _j w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1194 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE Aunque obtenemos el mismo límite de O, si (x, y) tiende a (0, O) a travl 1 ' junto de puntos en cualquier recta que pase por el origen, así como tam parábola y = x 2 , no podemos conclui r que lím f(x, y ) existe y,.,. (x, y}-(0, O) ejemplo 6). Sin embargo, intentaremos demostrar que lím f(x, y) (x, y)-(0, 0) quier disco abierto que tenga su centro en el origen cumplirá el primer n:qu Definición 16.2.5. Si podemos demostrar que para cualquier e > O exisll' tal que entonces habremos demostrado q ue lím f(x, y) (.<, y ) - · (0.0) 1 3xzy 1 = 3xziYI x2 + y2 xz + y2 J(xz + yz) J xz + yz x2 + y2 = 3J xz + Yz Así, una elección adecuada de o es 3ó = E, es decir, ó el O < J xz + y2 < {> 3(xz + yz)Jxz + Y2 = ---2 ? < 3{> X +y- = 3x21YI < € x2 + yz 3 1 3x 2 y 1 = x2 + yz < € o. Así, si ó = j€, el enunciado (4) se cumple. De aquí, hemos demostrado que lím f(x, y) = O. (>', .vi • (0.0) EJERCICIOS 16. 2 En los ejercicios 1 a 8, evalúe el límite dado me- diante el empleo de los teoremas de flmites. l. lím (3x 2 + xy- 2y 2 ) (x,y) - (2.3) 16.2 Límite de funciones de más de una variable 1195 3x- 2y '' '' x+ 4y + 2y t 1.·1) ex + e1 lhtt IIUII COS X + Sen Y sen 2 x + cos 2 Y 11111 2x 2y e +e x4- (y - 1)4 •. 1 x2 + (y - 1)2 (x- 1)4/3- (y - 1)4/3 11111 ( - 1)2/3 + (y - 1)2/3 1 ( 1, 11 X , ••l••rócios 9 a /6 establezca el límite deter- ,,,¡,1 1111 a 0 > o para cualquier E > O tal que Jllllrión 16.2.5 se cumpla. 11m (3x - 4y) = 1 1 . , 1.2) 11111 (5x- 3y)= -2 ,, •( 2.4) 11m (3x - 2y)= - 9 . , 1.3) 11m (5x + 4y) = - 6 11 •( 2. 1) 11m (x2 + y2) = 2 1 •(1.11 11m (2x 2 - Y 2 ) = - 1 ti •(2.3) 11m (x 2 + 2x - y) = 4 1 ,, •(2.4) 11m (x 2 + y 2 - 4x + 2y) = -4 ,, •(3. - t ) ¡,, 1 ,jercicios 17 a 22 demuestre que para lafun- ll J dada, lím f(x, y) no existe. (X, y) - (0,0) x2 _ y2 /(, ,y) = x2 + y2 x4y4 x2 18. f(x, y) = -;:--+ 2 X y x4 + 3x2y2 + 2xy3 ((..-,y) (x2+y2)2 x9y En los ejercicios 23 a 26, demuestre que lím (;r. y) •(0.0) j(x, y) existe. x2y + xy2 23. f(x, y) = x2 + y2 ,XY 25. f(x, y) = .j 2 2 X +y x 3 +l 24. f(x, y) == x2 + yl x 2 + 2xy 26. f(x, y) = ...¡x- +Y En los ejerciios 27 a 30, determine si el límite existe. x2y2 27. Lím -z--z (x,y)-(0.0) X + Y x2 +y 29. lím -z--2 (x,y)-(0,0) X + Y 31. Pruebe el Teorema 16.2.6. En los ejercicios 32 a 35, muestre la aplicación del Teorema 16.2.6 para obtener el límite. 32 lím ¿-y 33. lím tan- • (x. 1 ) - (ln 3,1n 2) (x,y)-l 2 • 2 > }2;X 34. \ím [5x +ti ] 35. lim 2 - (x,y)- (- 2, 3) (x,y)-( 4 • ) 36. (a) Proporcione una semejante a la 16. 2.5 del límite de una función de tres variables cuando un punto (x, y, z) tiende al punto (xo. Yo· Zo)· (b) una nición semejante a la Deftmcton 16.2.8 del limite de una función de tres variables cuando un punto (X, y, z) tiende a un (xo, YO• zo} en un conjunto de puntos espectftcos S en R3. . - 37. (a) Enuncie Y demuestre un teorema semeJan te al Teorema para una función f de tres variables. (b) Enuncie y demuestre un te<r. rema semejante al Teorema H).2.,10 para una función f de tres variables. EA los ejercicios 38 a 41, evalúe que se indica empleando los teoremas de f{mttes. 38. lím (4x2y - 3xyz2 + 7y2z3) (x,y.z) - ( - 2. 1.4) sec xy + sec yz w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1196 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE 41. lim (e"+ e+ e')2 (x.y.• ) - (0.0.0) e 2 " + e 2 ' + e 2 ' En los ejercicios 42 a 45 emplee fas definiciones y los teoremas de los ejercicios 36 y 37 para demostrar que fím f(x, y, z) no existe. (X, y) - (0.0.0) x 3 + yz 2 42. f(x, y, z) = 4 2 4 X +y + Z x2 + y2 - z2 1 43. f (x, y, z) = 2 2 2 X +y + Z 44 !( ) - x4 + yx3 + z2x2 • X, y, Z - X4 + y4 + z4 xlylzl 45. f (x, y, z) = 6 6 x +y + z 6 En los ejercicios 46 y 47, use fa dejlnil lt cicio 36(a) para demostrar qul' f(x, y, z) existe. y3 + xz2 46. f(x, y, z) = 2 2 2 X + y + Z 47 !( ) _ _ xf=y:;¡=+= xz::;::+===: y:::;::z • x,y, z - Jx2 + y2 + z2 48. Suponga que f y g son llt riables que satisfacen las .guientes: (i) f(t x, ty) = t"f(x, y); g(tx, ty) para alguna n y para toda t; (ii) g(l , 1) i:- O y g(l, O),¡:. O; (iii) g( l , 1) · f(l , O)'!' g(l, O)· f(l, 1) Muestre que lím f(x, y) no (x. y) - (O,O,O) g(x, y) 16.3 CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE l A continuación damos la definición de continuidad de una función de n v en un punto Obsérvese que la Definición 2.6.1 acerca de la conti una función de una variable en un número a es un caso especial de esta 16.3.1 DEFINICIÓN Supóngase que fes una función de n variables y A es un punto en se dice que fes continua en el punto A si y sólo si se cumplen las condiciones: (i) /(A) existe; (ii) lím f(P) existe; (iii) lím f(P) = f(A). P-A Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en el punto A, dice que fes discontinua en A. Si fes una función de dos variables, A es el punto (x 0 , y 0 ) , y P es un y), entonces la Definición 16.3.1 se transforma en la siguiente. 16.3.2 DEFINICIÓN Se dice que la fullción f de dos variables x y y es continua en el punto si Y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: 16.3 Continuidad de funciones de más de una variable (i) j(x 0 , y 0 ) existe; (ii) lím f(x, y) existe; <-•. yl - <·•o.rol (iii) lím f(x, y) = f(xo. Yo)· EJ EMPLO t Dada { 3x 2 y j (x, y) = + l si (x, y) # (0, O) si (x, y) == (0, O) 1197 determinar si fes continua en (0, 0). Solución verificaremos las tres condiciones de la Definición 16.3.2 en el punto (0, 0). (i) j(O, O) = O. Por lo tanto, la condición (i) se cumple. 3x 2 y (ii) lím f(x, y) = lím f(x, Y) 2 2 (x, y) - (0.0) (X. y) - (0.0) X + Y = Ü lo cual se demostró en el ejemplo 6, Sección 16.2. (iii) lím /(X, y) = /(0, 0). (X, y) - (0.0} Por lo tanto; concluimos que fes continua en (0, 0). EJEMPLO z Hagamos que la función f esté definida por { 2 xy 2 si (x, y) # (0, O) f(x , y) == x + y O si (x, y) = (0, O) Determinar si fes continua en (0, 0). Solución Verificando las condiciones de la Defmición 16.3.2, tenemos lo siguiente. (i) j(O O) = O y así se cumple la condición (i). . (ii) (x, y)* (0, 0),/(x, y) = xyl(x2 + y 2). En .el ejemplo 4, · u xyl (x2 + y2) no existe Por lo tanto, la cond1C1óll (11) v1mos que m · (x,y)-(0.0) no se cumple. Concluimos que f es discontinua en (0, 0). Si una función f de ·dos variables es en. el punto (Xth Yo) pero lim f(x, y) existe, entonces se dice que fu ene una diSContinuidad tllhnlnable (x. y) - <xo.ro> ' en (x 0 , Yo) ya que si f se redefine en (x0, y0) en tal forma que w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1198 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE f(xo, Yo)= lím f(x, y) (.X,.)I)- (.xo,.)lo) entonces la nueva función se vuelve continua en (x 0 , y 0 ). Si la disconti eliminable, se llama discontinuidad esencial. • EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 (a) Si g(x, y) = 3x2yf(x2 + y2), entoncc' continua en el origen, porque g(O, O) no está definida. No obstante, en el 6, Sección 16.2, demostramos que lím 3x 2 y!(x 2 + y 2 ) = O. Por lo (.x,y)-(0,0) discontinuidad es eliminable si g(O, O) se define como O. (Véase ol plo l.) (b) Sea h(x, y) = xyl(x 2 + y 2 ). Entonces hes discontinua en el origen h(O, O) no está definida. En el ejemplo 4, Sección 16.2, demostramos que xyl (x 2 + y 2 ) no existe. Por lo tanto, la discontinuidad es esencial. (Véase ol plo 2.) Los teoremas de continuidad para las funciones de una sola variable se aplicar a las funciones de dos variables. 16.3.3 TEOREMA Si f y g son dos funciones continuas en el punto (x 0 , y 0 ), entonces (i) f + g es continua en (x 0 , y 0 ); (ii) f - g es continua en (XQ, y 0 ); (iii) fg es continua en (x 0 , Yo); (iv) flg es continua en (x 0 , y 0 ), suponiendo que g(x 0 , y 0 ) :1= O. __ ..... La demostración de este teorema es análoga a la demostración del te teorema (2.6.2) para las funciones de una variable, y por ello se omite. 16.3.4 TEOREMA Una función polinomial de dos variables es continua en cualquier punto Demostración Cualquier función polinomial es la suma de los productos de 1311 ciones definidas por f(x, y) = x, g(x, y) = y y h(x, y) = e, donde e es un real. Puesto que j, g y h son continuas en cualquier punto de.Yt' 2 , el teorema se muestra con aplicaciones sucesivas del Teorema 16.3.3, partes (i) y (iii). 16.3.5 TEOREMA Una función racional de dos variables es continua en cualquier punto de su Demostración Una función racional es el cociente de dos funciones vv'""'"" ' ' • fy g, las cuales son continuas en todo punto • por el Teorema 16.3.4. Si 16.3 Continuidad de funciones de más de una variable 1199 1 ( Y ' :1= O· así, por el Teo- 1 . to en el dominio de f g, entonces g Xo, 01 • • Yo) es cua qmer pun rema 16.3.3(iv), f/g es continua en ese lugar. EJEMPLO 3 Sea¡ la función definida por { x 2 + l si x 2 + l l f(x, y) = o si x 2 + y 2 > l . . . . 'd d de f . Cuál es la región de contmmdad de f? Determmar la contmut a · t. 1 1 t de [ji2 Por lo tanto, a . . La función f está definida en todos os pun os . Solucton . f' .. ó 16 3 2 se cumple para todo punto (Xo, Yo)- condición (1) de la De lDICl n . . . 2 2 :1= 1 Consideremos los puntos (xo, Yo) Sl Xo + Yo . si x 0 2 + Yo 2 > 1, lím f(x, y) = lím 0 (.x,y) .... {.xo,Jio) (.x,y) .... (.xo.yo) = 0 si x 0 2 + Yo 2 < 1, lím f(x, y) = lím (x2 + /) (.x,y)-{.xo .yol (.x,y)- •(.xo,Jo) 2 2 = Xo +Yo = f(xo, Yo) ( Y ) para los cuales Xo 2 + Yo 2 * l. d ¡es continua en todos los puntos Xo, o al 2 + De este mo o, . . d d d f en los puntos (Xo. Yo) para los cu es Xo Para demostrar la contmm a e . . al a 1 2 == 1 determinamos si lím f(x, y) eXJste Y es ¡gu . Yo • t.r Y> - (.xo.Yol S 1 . ( ) tales que xz + y2 $ 1 Y 2 e con- Sean SI el conjunto de todos los puntos x. Y 2 2 > 1 Entonces junto de todos los puntos (x, y) para los que x + y . , 2 2) üm f(x, y) = . lím O lím f(x, y) = hm (x + y (.x y)-(xo.vo> (.x,y)-(.xo.vol ( J - (.xo Yo) (.x,y)- (.xo,Jo) '(P SV (P en SV "·rp en s,'¡ (P S¡) = Xo 2 + Yo 2 = 0 ::= l Ya que lím f(x, y) :p lím f(x, y) ( ) -(.xo yo) (.x,y) - (xo,Jio) x.y • tP s,> . ) no existe Por lo tanto, fes discontinua en todos conclUimos que hm f(x, Y <.r. ' > -{.xo.Yol • x 2 + 2 = 1. La región de continuidad de f cons; los puntos (xo, Yo) para los cuales o Yo to aquellos en la circunferencia x2 + Y ta de todos los puntos en el plano xy excep ::: 1. lt .3.6 DEFINICIÓN · ·es conti Se dice que la funció.n f de n variables es continua en una bola abierta, st nua en todo punto de ella. w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1200 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE Como una ilustración de la definición anterior, la función del ejemJ)lu \ nua en todo disco abierto que no contenga un punto de la circunferenda = l. El teorema siguiente afirma que una función compuesta de funciOnl', es continua. Es similar al Teorema 2. 7 .2. 16.3. 7 TEOREMA Supongamos que fes una función de una sola variable y g es una variables. Supongamos además que g es continua en (Xo. y 0 ) y fes g(x 0 , y 0 ). Entonces la función J o g es continua en (x 0 , • EJEMPLO ILUSTRATIVO Z Sea h(x, y) = In (xy - 1) Analizamos la ,continuidad de h. Si g es la función definida por g(x, y) g es continua en todos los puntos deYi? 2 • La función logaritmo natural en todo su dominio, que es el conjunto de todos los números positivos. ANI, la función definida por f(t) = In t, fes continua para toda t > O. Entoncc• ción h es la función compuesta f o g y, por el Teorema 16.3. 7, es continua en los puntos (x, y) de .qR 2 para los cuales xy - 1 > O. EJEMPLO 4 Determine todos los puntos en los que fes continua si 1 f(x,y) = Jx2 + y2- 25 Solución El dominio de fes el conjunto de todos los puntos (x, y) en gión exterior limitada por la ci rcunferencia x 2 + y 2 - 25 > O. La función/ cociente de las funciones g y h para las cuales g(x, y) = 1 h(x, y) = .Jx 2 + y 2 - 25 La función g es una función constante y por lo tanto, continua en todas partca Teorema 16.3. 7 se concluye que h es continua en todos los puntos cuales x2 + y 2 > 25. Por lo tanto, por el Teorema 16.3.3(iv), fes continua dos los puntos de su dominio. EJERCICIOS 16.3 En los Ejercicios 1 a 24 determine los puntos en los que la función es continua. x2 l. f(x, y) = -- 1 y - y 3. h(x, y) = sen - X 1 2. F(x, y) = -- x - y 4. f(x, y) = In xy 2 4x 2 y + 3y 2 5. f(x, y) = 2 x -y 5xy 2 + 2y 6. g(x, y) = 16 2 4 2 - x - y 7. g(x, y) = ln(25 - x 2 - y 2 ) 16.3 Cont inuidad de f unciones de más de una variable 1201 cos 1 (x +y) { si (x. y) '# (0, 0) 1 , 1') "" ,_¡x 2 +Y 0 si (x , y) = (0, 0) llll•'rencia: Vea el ejercicio 25, Sección 16.2) { : 2 Y 2 si (x, y) '# (0, O) q,, vi = x + Y o si (x, y) = (0, O) 1 w¡wrencia: Vea el ejercicio 5, Sección 16.2) { x + Y sí (x, y) '# (0, O) 11 ,, 1') = xo2 + l si (x, y) = (0, O) { x: + .V: si (x, y) i:- (0, O) fl \, )'} = X + y o si (x, y) = (0, O) { xy l l si (x, y) i:- (0, O) 11(\, .V) = jxj + Y o si (x, y) = (0, O) 3 l 3 ! si (x, y) i:- (0, O) 1 (\,V) = lx 1 + Y { x2yl o si (x, y) = (0, O) xy f(\ , V) = J 2 2 16 - X - Y y '''· 1') = r z 2 4 -.¡X - y - X /1,, y) = sec- •(xy) 2 2 l f(\,y)= ln(x2+y2 -9) - ln(l -x - y) 1 /(' · y) = sen- •(x + y)+ ln(xy) 1 11 '·y) = sen- ' (xy) { en(x + y) si x + y i:- O 1 /1 \, y) = X + y 1 si x + y= O { 2- )'2 si xi:-y /(X. y) = X - Y . X - y SI X = Y 1 11 /os ej ercicios 25 a 31, la función es disco.mi- 1/lt ¡•n el origen debido a que f(O, O) no extste. Determine si la discontinuidad f'S ('1/mlnallll• 0 esencial. Si es eliminable, redefino ){0, Cl) / /(11 11 1/111' la nueva f unción sea continua en (0, 0). xy 25. f(x, y) = x2 + xy + y2 X • 26. f(x, y) = x2 + y2 X 27. f(x, y) = (x +y) sen x2 + y2 3 2 x2yz _ ...!.,L_ 28. f (x, y) = x2 + y2 29. f (x, y) - x6 + y4 3 4 2 2y2 - 3xy - x - xy 30 f(x y) = 31. f (x,y) - 2 + yz . , J xz + l x 32. La función F está definida por { xz - 3/ si x 2 - 3yl 1 F(x, y) = 2 si xl _ 3y2 > 1 Muestre que la región de continuidadFconsta de todos los puntos en {11' 2, excepto los de la hipérbola x 2 - 3y 2 == 1. 33. La función G está definida por { x l + 4/ si x 2 + 4/ S S G(x, y) = 3 si x 2 + 4/ > 5 Muestre que la región de continuidad de O consta de todos los puntos excepto que se hallan en la elipse x 2 + 4y2 =. 5. 4 (a) Proporcione una definición de contmul 3 · dad en un punto para una función de tres VIl riables, semejante a la Definición 16.3.2. (hl Enuncie teoremas para funciones de VIl riables Y una función racional de tres VIl riables. En los ejercicios 35 a 38, emplee las dtfinldmu'' 1 de l e')'ercicio 34 para expll''llf la 1'1111 y os teorema tinuidad de la función dada. xz 35 . .f(x, y, z) = J"x2 + yz + z2 _ 1 4 z z- 9·JI 36. f(x, y, z) = ln(36 - x - Y • 2 2 + 2 { 3xyz 37 . .f(x, y, z) = + Y z si (x, y,:) i (ll 11 si (x. y,:) (tl, 11, { xz - Y 2 si (x, )'· . ) 1 (ll , ll 38. f (x, y, z) = xo2 + y2 + z2 si (x • .1'· •) (O, 11 w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1202 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE 16.4 DERIVADAS PARCIALES El análisis de la diferenciación de funciones reales de n variables se rcdu unidimensional considerándÓla como una función de una variable micl!trl más se mantienen constantes. Esto conduce al concepto de derivada parrtul ro definimos la derivada parcial de una función de dos variables.* 16.4. 1 DEFINICIÓN Sea f una función de dos variables x y y. La derivada parcial de a x es aquellá función, representada por D 1 f, tal que su valor, en to (x, y) en el dominio de / , está dado por D f( ) l . f(x + áx, y) - f(x, y) , x, y = tm áx si este límite existe. Análogamente, la derivada parcial de f con aquella función, representada por D¡[, tal que su valor, en .............. ..... ...., y) en el dominio de j, está dado por « ) 1 . f(x, y + .1y) - f(x, y) "lJ,x, y = tm .1y si este límite existe. El proceso para la obtención de una derivada parcial se conoce como di ción parcial. Dd se lee como "D sub l de f" y esto designa a la función que es la dcr parcial de f con respecto a la primera variable Dd(x) se lee como "D sub 1 do x y y", y esto representa el valor de función de la derivada parcial D 1 f en el (x, y). Otras notaciones para la función derivada parcial Dd son fx y a Otras notaciones para DJ(x, y) sonf 1 (x, y).fx(x, y) y <Jj(x, y)/ ax. An otras notaciones para D2fsonj 2 ,Jy y ajlay; y otras para D'lf(x, y) sonf2(x, y) y <Jj(x, y)I<Jy. Si z = f(x, y), podemos escribir <Jzl ax para DJ(x, y). Una vada parcial no se puede considerar como un cociente de az y ax porque ni de estos símbolos tiene un significado independiente. La notación dy!dxes el te de dos diferenciales cuando y es una función de la variable x, pero no existe 1 interpretación similar para <Jz/ <Jx** •N. del R. El autor utiliza la notación de Cauchy (con la letra D) para la derivada parcial em[ucnn1• un subíndice numérico (1 a 2) para indicar la variable (x o y) con respecto a la cual se deriva. se utili7.a en otros libros como subíndice más específico la propia letra: x o y. Así en vez de D 1 o U¡ escribe Dx o D 1 , y el contexto indica que se trata de derivadas parciales. Para distinguir mejor usarse en tal caso la letra D con subíndices x o y, o bien 1 o 2. •• N. del R. Esta simbología recibe el nombre de notación de Jucobi. La a se llama "de" de Jacob1 y utiliza en 'forma análoga a la "de" de Leibnitz, aunque no corresponde al concepto de diferencial. 16.4 ocrlvmh•• lhll( 11111', 120 3 EJEMPLO 1 Dada 2 f(x y)= 3x 2 - 2xy +Y D J(x, y) Y D¡[(x, y) aplicando la Definición 16.4. 1. Solución . f(x + Ax; y) - f(:x., y) D f(x, y) = lim Ax l ,u->0 . 2 2) ) 2 2( + Ax)y + l - (3x - 2xy + Y 3(x + Ax x ' = lim 11x 3 xz + 6x Ax + 3(Axf = lím 2xy 2y !1x + l - 3xz + 2.x:y A.x: 6x Ax + 3(Ax) 2 - 2y.Ax = Um Ax 6X-'0 = lím (6x + 3 Ax - 2y) ,u-o = 6x - 2y • f(x, y + Ay) - f(x, y) D f(x, y) = hm Ay 2 3xz 2x(y + Ay) +(y + Ay)z - (3xz - 2xy + y = liro Ay A,_,o 3x2 2xy 2x Ay + yz + 2y Ay + (Ay)z - 3xz + 2xy = lím Ay Ay- O - 2xAy + 2y Ay+ (Ay) 2 = lím Ay .11-o = lím ( - 2x + 2y +Ay) 6y- O = - 2x + 2y . 1 dominio de¡, entonces Si (Xo, Yo) es un punto particular en e f(Xo + .1X, Yo) - f{:xo, Yo) D f(xo Yo) == lim .1X 1 • b.X-o si este límite existe, Y f(xo, Yo + áy) - f(xo. Yo) D f(xo, Yo) == lím áy 2 Ay-O si este límite existe. 1 (1) para obtener l)¡}( \, TRAT IVO 1 Aplicamos \a fórmu a • EJEMPLO ILUS para la función f del ejemplo 1 · w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1204 CALCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UN A VARIABLE D, I(J, - 2) == lím f( 3 + .1x, - 2) - /(3, 2) Ax-o .1x 3(3 + .1x)l - 2(3 + .1x)( - 2) + ( - 2)2 - (27 + 12 .1x = lírn 27 + 18 .1x + 3(.1x)2 + 12 + 4 .1x + 4 43 .1x == lím (18 + 3 .1x + 4 ) Ax- o == 22 Las fórmulas alternativas de (1) Y (2) . para DJ(xo. Yo) Y D2f(xo, Yo) están D¡f(xo, Yo) = lím f(x, Yo) - fixo, Yo) ·"-·"o X- Xo si este límite existe, Y D2fixo, Yo) = lím f(x, Y) - f(xo, Yo) , ....,() si este límite existe. Y- Yo • EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 A ¡· para 1 f · · • P Icamos la fórmula (3) a unc1on f del ejemplo l . para encontrar D¡J(l, D d(3, - 2) == lím f(x, - 2) - /(3, - 2) • x-3 X- 3 == lím 3x2 + 4x + 4 - 43 x - 3 X- 3 == lím 3x2 + 4x - 39 x-3 X- 3 = lím (3x + 13)(x- 3) X- 3 = Iím (3x + 13) x-3 == 22 • EJEMPLO I LUSTRATIVO 3 DJ(x, Y)= 6x - 2y Por lo tanto ' Dtf(3, -2) = 18 + 4 = 22 En el ejemplo 1 demostramos que Este resultado concuerda con Jos de 1 . os EJemplos llustrativos 1 Y 2 16.4 Derivadas parciales 1 ZOS Al comparar la Definción 16.4.1 con la definición de una derivada ordinaria o co- mún (3 .1 .3), vemos que DJ(x, y) es la deri vada ordinaria de f si f se considera como una función de una variable x (es decir, si y se mantiene constante), y D-J(x, y) es la derivada ordinaria de f si f se considera como una función de una variable y (y x se mantiene constante). Así, los resultados del ejemplo 1 se pueden obtener más fácilmente aplicando los teoremas para la diferenciación común si y se considera constante el determinar DJ(x, y) y si x se considera constante al obtener DJ'(x, y ). El siguiente ejemplo ilustra esto. EJEMPLO 4 Dada f(x, y) = 3x 3 - 4x 2 y + 3xy 2 +sen xy 2 determinar fx(x, y) y fy(x, y) Soluci ón Considerando a f como una función de x y manteniendo y constante, tenemos Si consideramos a f como una función de y y x se mantiene constante, fy(x, y)= - 4x 2 + 6xy + 2xy cos xy 2 EJEMPLO 3 Dada { xyix 2 - y2) f(x, y) = O x2 + y2 si' (x, y) =f. (0, O) si (x, y) = (0, O) Muestre que (a) / 1 (0, y) = -y para toda y y (b) f2(x, O) = x para toda x. Solución (a) Si y * O, de (3) f (o ) _ 1 . f(x, y) - /(0, y) 1 ,y- Jm O x-+0 X- . y(x2 _ y2) = lím 2 2 x-O X +Y l =-2 y =-y Si y = O, de (3), /¡(O, O) = f(x, ; = 0) 0 - 0 = lím -- x-o X = lím O x-O = 0 w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com CALCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MAS DE UNA VARIABLE 1206 Puesto quejj(O, y) = _Y si Y:¡ 0 .{¡ - Y para toda y. Y ,(O, O) = O, podemos concluir qut· ¡ 1 (b) Si x :¡ = O, de (4), h(x, O) = lím f(x, Y) - /(x, O) .v-o y-o- xy(x 2 - y2) , x2 + y2 - O = hm ----=---- )1-o y == lím x(x2 - y2) r o x2 + y 2 x 3 = x 2 == x Si x = O, de (4), .f2(0, O) = lím /(O, Y) - /(0, O) )1-0 y - o ' 0 - 0 = IJm - .v-o y == lím O )1- 0 = O Comof(x O) _ . 2 • - X, SI X :1 0 y ¡ 2 (0, O) . = O, entonces fi(x, O) = x para toda Interpretaciones geométricas de . / vanables so_n análogas a las de la _parciales de una función do de dos vanables es una superf . . e una vanable. La gráfica de una constante (digamos Y - ) ICie que tiene la ecuación z ::;; /(x y) Si y e t . . • - Yo , entonces z - /( ) • · se man s a superficie en el plano Y - L - x, Yo es la ecuación de la g áf' ecuaciones - Yo· a curva· puede estar re r lcl presentada por Ju, Y = Yo Y z = f(x, y) pues la curva es la intersección d Entonces DJ(x. y, ) 1 ambas superficies. . ' o. o es a pendJente de 1 ecuacwnes (5) en el punto P. (x. a recta tangente a la curva dada Yo) representa la Yo)) en el plano Y = Yo· En forma ClOnes recta tangente a la curva que tiene las X = Xo y z = /(x, Y) en el punto Po en el plano X =: X. La r las curvas, así como las rectas J (a) Y (b) muestran porcionc,, (a) FIGURA 1 :1; Y (b) X 16.4 Derivadas parciales 1207 EJEMPLO 4 Obtener la pendiente de la recta tangente a la curva de interse:;ción de la superficie z = tJ24 - x 2 - 2y 2 con el plano y = 2 en el punto (2, 2, J)). Solución La pendiente requerida será el valor de :: 'en el punto (2, 2, J)). (}z - x ox = 2J 24 - x 2 - 2y 2 De tal manera que en (2, 2, )3), oz - 2 ax = 2Jfi 1 = - 2)3 Como toda derivada es una medida de intensidad de cambio, una derivada parcial se puede interpretar de la misma manera. Si fes una función de las dos variables x y y, la derivada parcial de/con respecto a x, en el punto P 0 (x 0 , y 0 ), da la razón de cambio instantánea, en P 0 , def(x, y) por unidad de cambio en x (x varía y y se mantiene fija en y 0 ). Análogamente, la derivada parcial de/ con respecto a y en Po nos da la razón de cambio instantánea, en P 0 , de f(x, y) por unidad de cambio en y. EJEMPLO S De acuerdo con la ley del gas ideal para un gas confinado, si P (en atmósferas, atm es la presión, V (litros, L) es el volumen y T (en °K) es la temperatura absoluta, se tiene la fórmula PV = kT donde k es una constante de proporcionalidad. Supóngase que el volumen de un gas en un cierto recipiente es 12 L, la temperatura es 290 K y k = 0.6. (a) Determinar la intensidad de variación instantánea de P por unidad de cambio de T si V se mantiene fija en 12. (b) Utilizar el resultado de la parte (a) para aproximar la variación de la presión si la temperatura se eleva 295 K. (e) Obtener la intensidad de variación instantánea de V por unidad de cambio de Psi Tse mantiene fija en 290 K. (d) Supo- ner que la temperatura se mantiene constante. Emplear el resultado de la parte (e) para determinar la variación aproximada del volumen que se necesita para producir el mismo cambio de presión que se obtuvo en la parte (b). Solución Sustituyendo V = 12, T = 290 y k = 0.6 en (6), se obtiene que P = 14.5. (a) Resolviendo (6) para determinar P cuando k = 0.6, se obtiene p = 0.6T V w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com / 1208 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE La intensidad de variación instantánea de P por unidad de cambio en '/' \l oP nece fija es iJT y así, oP o.6 ar= v oP Cuando T = 290 y V = 12, oT = 0.05, que es la respuesta deseada. (b) Del resultado de la parte {a), cuando T se incrementa en 5 (290 K • y V permanece fija, el aumento aproximado de Pes 5(0.05) = 0.25. Con cluimos que si la temperatura aumenta de 290 K a 295 K, el p de aproximadamente 0.25 atm. · (e) Despejando V en (6) cuando k = 0.6 se obtiene V = 0.6T p La intensidad instantá'nea de variación de V por unidad de cambio de P f .. av permanece tJ a, es oP y av 0.6T - = --- ap p2 Cuando T = 290 y P = 14.5, av 0.6(290) oP = - (14.W = - 0.83 que es la intensidad instantánea de variación de V por unidad de cambio de P do T = 290 y P = 14.5, mientras T permanece fij a en 290. (d) Si P aumenta en 0.25 y T se mantiene fija, entonces, de acuerdo con el do de la parte (e), el cambio de V debe ser aproximadamente (0.25) (-0.83) = Por consiguiente, el volumen debe disminuir en aproximadamente 0.21 L la presión aumente de 14.5 atm a 14.75 atm. Ahora le extenderá el concepto de derivada parcial a las funciones con n 16.4.2 DEFINICIÓN Sea P (x 1 , x 2 , ••• , X 11 ) un punto en .'7f", :y sea f una función de las n v x 1 , x 2 , •.• , X 11 • Entonces la derivada parcial de f con respecto a xk es función, representada por D¡J, tal que s u valor en cualquier punto P, del nio de /, está dado por D kf(X¡, Xz, ••. , X 11 ) 1 , j(x 1 , Xz , . •• , Xk- 1> Xk + !J.xk> Xk + t , • •• , Xn) - /(X¡, Xz , •• = tm si este límite existe. 16.4 Derivadas parciales 1209 . l . fes una función de las tres variables x, Y Y z. entonces las deriva- En parucu ar, st das parciales de f están dadas por J(x + tu, y, z) - f(x, y, z) D 1 .f(x, y, z) = lím flx Ax-0 , J(x, y+ fly, z)- f(x, y, z) Dzf(x, y, z) = hm fly Ay""'O . J(x, y, z + fl z) - J(x, y, z) D3f(x, y, z) = hm flz A:-0 si estos límites existen EJEMPLO 6 Dada f(x, y, z) = + yz1 + z3, verificar que xf:(x, y, z) + Yfz(X, y, z) + zf3(x, y, z) = 3f(x, y, z) Solución Manteniendo y y z constantes resulta J 1 (x, y, z) == 2xy Manteniendo x Y z constantes obtenemos f 2 (x, y, z) == x 2 + z 2 Con x y y constantes, J 3 (x, y, z) = 2yz + 3z 2 Por lo tanto, 2 2) xf (x, y, z) + yfz(x, :Y, z) + zf3(x, y, z) = x(2xy) + y(x2 + z ) + z(;yz + 1 = 2x2y + x2y + yz2 + 2yz + 3z o JERCICIOS 16.4 111 los ejercicios 1 a6, aplique fa Definición 1?.4.1 ,ttl/11 obtener cada una de las derivadas parctales. 1. ((x, y)= 6x + 3y- 7; DJ(x, Y) ¿, ((x, y) = 4x 2 - 3xy; Dtj(x, y) 1. {(x, y) = 3xy + 6x - y ; Dd(x, y) 1. ((x, y)== xr - 5y + 6; Dd(x, y) f(x, y)== Jxz + yz; fx(x, y) X+ 2y 1\, f(x, y) = -2- - ; f,(x, y) X -y == 3(x 2 y + yz 2 + z 3 ) == 3f(x, y, z) En los ejercicios 7 a JO aplique la /6.4.2 para determinar cada una de las dert vadas parciales. 7. J(x, y, z) == x2y- 3xy2 + ;yz; Dd(x, y, z) 8. f(x, y, z) = x2 + 4y2 + 9z : Dtf(x, y, z) 9. f(x, y, z, r, t) == xyr + yzt + yrt + zrt; J,(x, y, z, r, t) 2 2 10. J(r, s, t, u, v, w) = 3rzst + st v- 2tuv - tvw + 3uw 2 ; s, t, u, v, w) w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1210 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE 1 l. Da?af(x, y) = x 2 - 9y 2 . Evalúe D 1 (2, 1) (a) aphcando la fórmula (1); (b) aplicando la fór- mula (3); (e) aplicando la Definición 16.4.1 Y luego sustituyendo x y y por 2 y 1, respectivamente. 12. Para la función del ejercicio 11, determine D'J.f_(2, 1) (a) aplicando la fórmula (2); (b) aphcando la fórmula (4); (e) aplicando la De- finición 16.4.1 y luego sustituyendo x y y, por 2 y 1, respectivamente. En los ejercicios 13 a 24, obtenga las derivadas parciales indicadas manteniendo todas las variables constantes, excepto una, y aplicando los teoremas de diferenciación común. 13. f(x, y)= 4y 3 + Jx 2 + y 2 ; Dtf(x, y) 14. f(x, y) = x +y · D 2 f(x y) 1 2 2. . ' VY - x 15. f(O, </>) = sen 30 cos 2</>; f<P(O, </>) 16. f(r, O) = r 2 cos O - 2r tan O; fo(r, 0) x 2 az 17. z = e"fx In - · - Y, ay . or 18. r =e-o cos(O + ifJ); ao 19. u= (x2 + y2 + 1 2) - •12; 20. u= tan- 1 (xyzw); 0 11 .aw 21. f(x, y, z) = 4xyz + ln(2xyz); f 3 (x, y, z) 22. f(x, y, z) = 2z - ex' cosh 2z; h(x, y, z) 23. f(x, y, z) - • 3xy. r(x y z) z2 , Jy ' ' 24. f(r, O, l/J) = 4r 2 sen O+ Se' cos O sen </> - 2 cos l/J; / 2 (r, O,</>) 25. Si f(r, O) = r tan O - r 2 sen O, determine (a) J.(J2, in); (b) .fi3, n). 26. Si .f(x, y, z) = ex'' + In( y+ z), determine (a) /.(3, O, 17); (b) /2( !, O, 2); (e) 13(0, O. 1). En los ejercicios 27 y 28, oblenga fAx, y) y j,(x, y). 27. j(f, y) = J: In sen 1 dt 28. f(x, y)= J: e<os t dt r t 29. Dada u = sen - + In - , com¡u 1 1' 011 ou L-:::- + t· - =0. 0 1 01' 30. Dada w = x 2 y + y 2 z + z 2 x, cum ow ow 01\' + - + - = (x + y + z)J OX oy OZ 31. Dada f(x, y)= x2 + yl { XJ + y3 O 1 determine (a) / 1 (0, O); (b) f 2 (0, 0). 32. Dada .f(x, y) = SI (x, l') { x 2 - xy . O si (x, J'l determine (a) / 1 (0, y) si y :F O; (b) 1 33. Para la función del ejercicio 32 1 h(x, 0) si x :F O; (b) f2(0, 0). 34. Encuentre la pendiente de la rectu a la curva de intersección de In 36x 2 - 9y 2 + 4z 2 + 36 = O, cuu x = 1 en el punto (1, 10.. - 3). 1 esta pendiente como una derivadtl @ Obtenga la pendiente de la tangentr 1 va de intersección de la superficie • 2 ' Y con el plano y = 1 en el puntn ( Trace un croquis. Interprete esta como una derivada parcial. 36. Obtenga las ecuaciones de la rectu 1 a la curva de intersección de la s + Y 2 + z 2 = 9 con el plano y punto ( 1, 2, 2). \ 37. La temperatura en cualquier punto 1, una placa es de T grados y T = 54 4y 2 • Si la distancia se mide en ccnt obtenga la tasa de variación de la t ra con respecto a la d'istancia recor largo de la placa, en la dirección de positivos x y y, respectivamente, en (3, 1). 38. Use la ley del gas ideal para un gas mido (vea el ejemplo 5) para demobl av ar oP ar · oP · av = - 1 39. Si V dólares es el valor actual de una dad ordinaria de pagos iguales de S 1 1 nu durante t años a una tasa de interés de 11101 U/o anual, entonces ( 1 - (1 + i)-'] 1 - 100 . 1 1 11 ¡ Calcule la tasa de variación instantánea 1 h· 1' por unidad de cambio de i si 1 permane- 11 lija en 8. (b) Emplee el resultado de la parte lnl para determinar el cambio en 1 ¡ , alor actual si la tasa de interés camb•a de ,.,. " a 70Jo y el tiempo permanece fijo en 8 (e) Obtenga la tasa de variación instan- de V por unidad de cambio de 1 si i per- u111 nece fijo en 0.06. (d) Emplee el resultado 1 k la parte (e) para obtener el cambio \l ntado en el valor actual si el tiempo di sm•- 1111yc de 8 a 7 años y la tasa de interés permanece fija en un 6%. 1.\ uponga que x es el número de decenas de 1 uilcs de dólares del inventario de una tien- du; y es el número de empleados en ell a; P l' \ la utilidad semanal en dólares, Y ¡• = 3000 + 240y + 20y(x - 2y) - IO(x - 12) 2 16.5 Diferenciabilidad y la diferencia total 1Z11 41. donde 15 s x s 25 y 5 s y S 12. Actual- mente el inventario es de $180 000 Y hay 8 (a) Obtenga la tasa de variación instantánea de P por unidad de cambio de x si y permanece fija en 8. (b) Use clrc,uhudo de la parte (a) para calcular el IIJ)I o ximado en la utilidad semanal el lnvcniU r io cambia de $180 000 a $200 ()()() Y el número de empleados permanece l lju CJJ K (e) Obtenga la razón instantánea de 1' pm u ni dad de cambio de y si x permanece ltjn l'll 1 K (d) Use el resultado de la part e (e) fl lllll \ll' terminar el cambio aproximado en la utllldtul semanal si el número de empleados se menta de 8 a lO y el inventario pcrmonccr 1 i jo en $180 000. Si S m2 es el área superficial del CUC: It1il 11l' una persona, entonces una fórmuln qtu• 111• un valor aproximado de S es S= 2Wo.4Ho.1 donde W (en kg) es el peso y 1-1 (en ni) ''' IH estatura de la persona. Cuando W 711 V 11 as as = 1.80, determine oW Y off ' e interprete los resultados. tG.S DIFERENCIABILIDAD V LA DIFERENCIA TOTAL · · 1 d;r. c·abilidad de funciones de más de una variable por Jl\l'tllo ti Defm1remos a IJeren 1 . . p 11 • 11 1 ·11 una ecuación con el concepto del incremento de una func10n. ara egar a e' 1 1 1 nición primero debemos obtener una representación del incremento 11111 1 h•t de una sola variable que sea análoga a la que se en la Deflnt CtÓII , lt• ' de diferencíabílídad. En la Sección 3.1 estudiamos el mcremento • una sola variable Y recordemos de ahí mis mo que si fes una función dt lll " J de x, y y = f(x), entonces l . 6.y j'(x) = 1m - 6.--o 6.x donde t:.x y t.y son incrementos de x Y y, Y 6.y = f(x + 6.x) - f(x) 1 1 ño Y Av ..... o t.yl t:.x difiere def(x) en un número pCCJlll' l'o lfl Cuando t:.x espeque , depende de t:.x, el cual representaremos por f . De este modo, · E = lly - j'(x) llx sí llx =/= O w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1212 CÁLCULO DI FERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE donde t: es función de t:.x. De esta ecuación se obtiene óy = f'(x) 11x + E óx donde E es función de t:.x y E --.. O cuando t:.x --.. O. De lo anterior se concluye que si la función fes diferenciable en x 0 , el in' de f en x 0 , representado por tif(x 0 ), está dado por donde lim E = O t.x - 0 Para las funciones de dos o más variables empleamos una ecuación corresp< a ésta para definir la diferenciabilidad de una función. Y de la definición dctr r mos criterios para saber cuándo una función es diferenciable en un punto. 1 los detalles para una función de dos variables y comenzamos definiendo el i to de tal función. 16. 5.1 DEFINICIÓN Si fes una función de dos variables x y y, entonces el incremento de f en (xo, y 0 ), designado por A/(xo, y 0 ), está dado por Af(xo, Yo) = f(xo + t:.x, Yo + Ay) - f(xo, Yo) La Figura 1 ilustra esta definición para una función continua en un disco que contiene los puntos (x 0 , y 0 ) y (x 0 + t:.x, Yo + Ay). La figura muestra un11 de la superficie z = f(x, y) . Aj(x 0 , y 0 ) = QR, donde Q es el punto (Xo .¡ AJt + Ay, f(xo, Yo)) Y R es el punto (xo + t:.x, Yo + Ay, f(xo + t:.x, Yo + Ay)) <xo, Yo• 1 <xo, Yo)) --l-- A/(Xo, Yo) __ j,_ : ¡, Q <xo + Ax, Yo + Ay, ft.xo, Yo» 1 1 f< xo+ Ax, Yo+lly) ______ l x <xo, Yo 0) / FIGURA 1 • EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Para la función f definida por f(x, y) = 3x - xy 2 16.5 Diferenciabilidad y la di ferencia total 12 13 . t de f en cualquier punto (xo. Yo), como definimos el mcremen o /).f(x y ) = f(xo + {).x, Yo + 11y) - f(xo, Yo) 2) O• o = 3(xo + !1x) - (xo + {).x)(Yo + 11y)z - (3xo - XoYo 2 - 2 {).x - 2xoYo {). y - 2yo {).x óy = 3x0 + 3 11x - XoYo Yo _ Xo(f1y)2 _ 11x(óy)2 - 3x 0 + XoYo A A - (f1y) 2 - f1x(f1y)l 2 A _ 2x y {). y - 2y 0 uX u y Xo = 3 /).x - y 0 u X o o • DEFINICIÓN . bl y y el incremento de f en (Xo, Yo) lf putdt Si fes una función de dos vana es x, escribir como Ay "f<x Y = D¡j(xo, Yo) Ax + Dzf(xo. Yo) Ay + l, Ax + Ez o. o _ 0 - o cuando ( funciones de t:.x Y Ay tales que E¡ Y E2 donde E¡ Y E2 son d' que¡ es diferenciable en (xo, Yo>· Ay) _ (0, O), entonces se tce D f . . ·o·n· l 6 5 2para dcnHlNI1111 llll O 2 E pleamos la e IDlCl . • 1 • EJEMPLO lLUSTRATlV . m . ciable en todos los puntos en 1 ,, la función del ejemplo ilustrativo 1 es diferen( ,ql'2 podemos encout " " 11 11 bemos demostrar que para todos los puntos xo. Xo E¡ y una E 2 tales que r( ) /::.y- E /::. x + E2 Óy !1f(xo, Yo) - D J(xo, Yo) {). x- Dz. Xo, Yo - 1 Y __. o y E 2 -+ O cuando (t:.x, Ay) __. (O. O) E¡ . Ya que f(x, Y) = 3x- xyl, D f( Y ) = 3 - Yo2 y Dd(xo, Yo) = -2xoYo 1 Xo, o . . !( ) del ejemplo ilustrativo l , tcncmu" C n estos valores y el valor de A Xo, Yo o - - (11y)2 - 2Yo {).x A)' 1\ (/\ 1') ) - Dlf(xo, Yo) {). x - Dd (xo, Yo) {).y - Xo !1f(x.,, Yo . . d escribir en las lllllllli El lado derecho de la ecuación antenor se pue e [-2Yo {). y - (óy?] {).x + (- Xo {).y) ó y (-2Yo 11y) {).x + (- {).x {). y - Xo 11y) {).y [ _ (!1y)2] {).x + (- 2y 0 {).x - X o 11y) {).y O. {). x + [ - 2Yo {).x - {). x {). y - Xo 11y] óy . Por tanto, hay cuat ro posibles pares de valores para E¡ y E2· E, = - 2yo11y-(11y)2 y E2= - xo 11Y y E2 = - 11x {).y - Xo {).y E 1 = -2Yo ó y E¡= -(óy) 2 y y E2 = - 2Yo ÓX - Xo {). y E2 = - 2yo 11x - 11x {).y - Xo {).y w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1214 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MA-S DE UNA VARIABLE Para cada par vemos que, lím El = O 1' (&x.&y) - (0,0) Y Im E2 = O (d.x.d.y) - (0,0) 16.5.3 lJebemos notar que solamente es necesario obtener un par de valores parn' TEOREMA 1 Si una func·' fd Ion e dos variables es diferenciable en un punto, es Demostración Si f es diferenciable e bemos que n el punto (xo. Yo), de la Definición lfl f(xo + L\x, Yo + L\y) - f( ) d d Xo, Yo = DJ(xo. Yo) L\x + Dd(xo Yo) L\y +E A • on e e ..... o y ..... 0 • 1 o. 1 e2 cuando (Ax Ay) -+ (O O) p 1 ' • · or o tanto f(xo + L\x, Yo+ L\y) = f(xo, Yo)+ D.J(xo, Yo) L\x + D ji(x y )' A Al 2 O• O u y +E Á\ tomar el límite en ambo 1 d d . 1 , s a os e lo anterior, <;uando (Ax, Ay) -+ {O O) b hm f(x + L\x A ) ' o 1 <&x.&yJ- <o.o¡ 0 'Yo + u y = f(xo, Yo) Si· hacemos Xo + Ax = x Y ~ + A - . a "(x, y) -+ (x ~ )" 0 o Y - Y, ·entonces "(Ax, Ay) -.. (O O)" o. o . e este modo, de (1) tenemos ' Jím f(x y) - j( ) (x,y)-(x 0 .y 0 ¡ ' - Xo, Yo lo cual demuestra que fes continua en (;, u ) O• JO, . El Teorema 16.5.3 afirma que ara . ltdad implica continuidad s· ' bp una funcJón de dos variables la D• D. . m em argo la mera ex.ist . d 1 ' ~ Y 21 en un punto no im lica dit: ' . . . e n c J ~ e as derivadas gUiente ilustra esto. p erencJabihdad en dicho punto. El ejem EJEMPLO 1 Dada f(x, y) = { x2 X: y2 si (x, y) ;:/= (0, O) O si (x, y) = (O, O) demostrar que DJ(O O) Y D-"(O O) . • 1.1 ' , existen pero quef d'f, . Solución no es J erencJable en (0, D 1 /(0, O) = Jim f(x, O) - /(0, O) x- o x - O D2f(O, O) = Jím f(O, Y) - /(0, O) . o- o -= hm - = lím O = O x- o X x- o Y- O Y - 0 ' 0-0 = hm - = lím O = O Y- 0 Y y-O Por lo tanto, Dtf(O O) y D- "'(O O) . • 2.1 ' , eXIsten. 16.5 Diferenciabilidad y la diferencia total 1215 En el ejemplo 4 de la Sección 16.2, demostramos que para esta función lím (.<. y) - (0.0) f (x, y) no existe; por lo tanto f no es continua en (0,0). Como f no es continua en (0, 0), del Teorema 16.5.3 concluimos que tampoco es diferenciable en dicho punto. El siguiente teorema da condiciones que garantizan que una función es diferenciable en un punto. Éste es más fácil de aplicar que la definición 16.5.2. Su demostra- ción aparece en la Sección 16.8. ,4 TEOREMA Sea f una función de dos variables x y y. Supóngase que DJ y Dzf existen en un disco abierto B(P 0 ; r), donde P 0 es el punto (x 0 , y 0 ). Entonces, si DJ'y Dzfson continuas en P 0 , f es diferenciable en P 0 • EJEMPLO 2 Utilizar el Teorema 16.5.4 para demostrar que la función definida por f (x, y) = x 3 + 3xy - 5y 3 es diferenciable en todas partes. Solución CalcuJamos las derivadas parciales: Dtf(x, y) = 3x 2 + 3y Dd (x, y) =.3x - 15y 2 Ya que DJy Dzfson continuas en todas partes, del Teorema 16.5.4 se concluye que fes diferenciable en todas partes. El argumento dado para la función polinomial f en el ejemplo 2 puede aplicarse a cualquier función polinomial. Así, todas las funciones polinomiales son diferenciables en todas partes. Obsérvese que las condiciones del Teorema 16.5.4 son suficientes para demostrar que una función es diferenciable en un punto. Sin embargo, no son condiciones ne cesarias. Es decir, es posible que una función sea diferenciable en un punto aun si sus derivadas parciales no son continuas en dicho punto. Un ejemplo de tal función aparece en los ejercicios 42 a 45. Se dice que una función que cumple la hipótcsi11 del Teorema 16.5.4 es continuamente diferenciable en el punto P 0 . Así, la difei'CII ciabilidad continua en un punto es una condición sufioiente, pero no necesaria, ti diferenciabilidad en el punto. EJEMPLO 3 Dada ' si (x, y) # (0, O) si (x, y) = (0, O) emplear el Teorema 16.5.4 para demostrar que fes diferenciable en (0, 0). w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com ·,cA -.... LCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE "" Solución Para obtener D ¡ ·d O) S. ( ) 1 cons1 eramos dos casos. (x y) _ · 1 x, Y = (0, 0), tenemos ' ' - D 1 / (0, O) == Jím f (x, O) - / (0, O) x- o X - 0 . o- o == 11m - x-o X = 0 Si (x, Y) * (0, 0), f(x, y) = x 2y2/ (x2 + 2 P el teorema para la derivada ordinariayd). ara DJ'(x, Y) podcmu constante. un cociente Y considerar y comn DJ(x, y) = 2xy2(x 2 + y2) - 2x(x 2y2) (x2 + y2)2 2xy 4 (x2 + y2f Por lo tanto, la función D¡j está definida por { 2x y 4 D 1 f(x, y) = (x2 + y2)2 si (x, y) =1= (0, O) 0 si (xl y) -= (0, O) De la misma man b era, o tenemos la función D· r d f' 'd 1.1 e m1 a por { 2x 4 y D 2 /(x, y) = (x 2 + y2)2 si (x, y) =1= (0, O) O si (x, y) == (0, O) Tanto D,j como Dzf existen en todo disco abier gen. Falta demostrar que D f Y D·; . toque tenga su centro en el Como D ¡o _ 1 , 2J son contmuas en (0, 0). 1 ( ' O) - O, D¡j sera continua en (O O) · , , SI \; hm DJ(x, y ) = 0 (x .y) - (0,0) Por lo tanto, debemos demostrar que para cualquier > O . e ex1ste una 0 > o tol ./ si O < Jxz + y 2 < {J entonces 1 2x y4 1 (x2 + y2)2 <E 1 2xy 4 / - 2jxjy4 (x2 + y2)2 - (x2 + y z)z < 2 J x 2 + y 2(J x 2 + y 2)4 - (x2 + y2)2 = 2 Jxz + y2 16.5 Diferenciabilidad y la dl ferencl•l 1111 11 Así, una elección adecuada de o es 2ó = €, es decir, ó = Con '' tl'lll ll tl•h el siguiente argument o: = = O < J x 2 + y 2 < b y 1 {J =te 2 J x 2 + y 2 < 2(!E) 2 Jx2 + yz(Jxz + y2 )4 < E (x2 + y2)2 2!x!y4 < E (x2 + y2)2 1 2xy 4 1 (xz + y2)2 < E Por lo tanto hemos demostrado que la ecuación (2) se cumple. De aqul, /)¡/ CJM 11111 tinua en (0, 0). En la misma forma podemos probar que Dzf es continua en (0, 11) Del Teorema 16.5.4 se concluye que fes diferenciable en (0, 0). La ecuación de la Definición 16.5.2 es llf(xo, Yo) = DJ(xo, Yo) llx + Dd(xo, Yo) lly +e, llx + Ez Ó.Y La expresión que incluye los dos primeros términos del lado derecho de Cli lll 111' 111! ción se llama parte principal de ll/(x 0 , Yo) o diferencial total de f en (xc 11 Vu) t .S.S DEFINICIÓN Si fes una función de dos variables x y y, y fes di ferenciable en (x, y), onloll la diferencial total de fes la función df cuyos valores están dados .Por df(x, y, Ax, lly) = D 1 f(x, y ) Ax + Dzf(x, y) tly Nótese que df es una función de las cuatro variables x, y, Ax y tly. Si ., /( y), a veces escribimos dz en lugar de df(x, y, Ax, 6y), y entonces la ecuació11 Nl 1 be como 1 dz = D 1 f(x, y) Ax + Dzf(x, y) tly Si en particular f(x, y) = x, entonces z = x, DJ(x, y) = 1, y DJ'(x, y) 0 1 así la ecuación (4) nos da dz = Ax. Como z = x, para esta funció n t/1 Ax. En forma similar, si toma1nos f(x, y) = y, entonces z = y, D/(x. 11) 11 DJ'(x, y) = 1, y así la ecuación (4) nos da dz = tly. Como z = y, pOHI 111 ción tenemos dy = tly. Por tanto, definimos las diferenciales de las VUI '"' pendientes como dx = Ax y dx = 6y. Entonces, la ecuación (4) puede 1111 dz = D¡j(x , y) dx + Dd(x, y) dy y en el punto (x 0 , y 0 ), tenemos, dz = .D J(x 0 , y 0 ) dx + Dzf(xo, Yo) dy w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1218 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE En la ecuación (3), sea .6z = .6/(x 0 , y 0 ), dx = .6x, y dy = .6y. Entonec1o Az = D.f(x 0 , y 0 ) dx + Dd(x 0 , y 0 ) dy + E 1 .dx + E 2 dy Comparando esta ecuación con (6), vemos que, cuando dx (es decir, y decir, .6y) están cerca de cero, y como entonces € 1 y e 2 también están cercanu• ro, podemos concluir que dz es una aproximación de .6z. Antes de ilustrar · 1 'b' ) 1 'ó fJz [)z 1 d un ejemp o, esen tmos {5 con a notact n uz.a: y uZI¡¡ en ugar e /. y Dzf(x, y), respectivamente. x Y dz = oz dx + oz dy ax oy EJEMPLO 4 Una lata de metal (cerrada) en forma de cilindro circular reclu tener una altura interior de 6 plg, un radio interior de 2 plg y un espesor de O 1 Si el costo del metal que se va a usar es de 10 centavos (de dólar) por plg 3 , del nar por diferenciales el costo del metal en la de la lata. Solución La fórmula para determinar el volumen de un eiJjndro circular recto, el volumen es V (en plg3), el radio. es r (en plg) y la altura es h (en plg), El volumen exacto de metal del recipiente es la diferencia entre los volúmenes do cilindros circulares rectos para los cuales r" = 2.1, h = 6.2 y r = 2, h = ..e; vamente. El incremento .:1 V daría el volumen exacto de metal, pero como sólo mos un valor aproximado, se determina dV en lugar de .:1 V. Usando (7) av av dV =-dr + - dh ar oh = 2nrh dr + nr 2 dh Ya que r = 2, h = 6, dr = 0. 1 y dh dV = 2n(2)(6)(0.1) + n{2) 2 (0.2) = 3.2n 0.2, obtenemos Por lo tanto, .:1 V::::: 3.211', y así hay aproximadamente 3.211' plg 3 de metal en la Como el costo del metal es de 10 centavos por plg3 y 10 · 3.211' = 3211'::::: costo aproximado del metal que se va a emplear en la fabricación de la lata e• (dólar). Ahora ampliamos los conceptos de diferenciabilidad y diferencial total a una 'fión de n variables. 16.5.6 DEFINICIÓN Si fes una función de n variables xh x 2 , ••• , Xn, y Pes el punto (.X¡, 16.5 Diferenciabilidad y la dlfcrnntlll tul,,¡ Xn), entonces el incremento de 1 en P está dado por .6/(P) = f(x 1 + dx" Xz + dxz, .. . , Xn + dxn) - DEFINICIÓN Si fes una función den variables x 1 , x 2 , • •• , x,, y el incremento de/on ol vun to P se puede escribir como .6/(P) = D 1 f(P) .6x 1 + Dzf(P} .6x2 + .. · + D,f(P) ax, + E¡ dxt + E2 dx2 + .. • + t,Al.n donde Et -+ O, .- O, ... , En -+ O, cuando (Ax¡, .:1x 2 , ••• , ax,) .- (0, O, . .. , O) entonces se dice que fes diferenciable en P. Como hicimos con el Teorema 16.5.4, podemos demostrar que las . · a func 1 'ón ¡de n variables sea diferenciable en ttll JHIIII H 1 ftclentes para que un . - . ; · ¡) 1 1 • ue D ¡, Dz/, . .. , Dnf existan en una bola abterta B(P, r) Y que 1:!1 · J..' 1 .' q 1 ' • p Como en el caso de funciones de dos vanablcli, l tmdut - D ¡sean contmuas en · . · ¡ 11 1 Sin n f · de n variables diferenciabilidad unphca cont 1111 '111 ' mos que para unc10nes ' . D ¡ ·n 111 punto mbargo Ja existencia de las derivadas parctales Dtf, Dz/, · · · • ,. e 1 :o diferenciabilidad de la función en el punto. 5.8 DEFINICIÓN · · bl x y fes diferenciablt m P, Si¡ es una functón de las n vana es x" x2, . · · , n 1 d 'f e' al total de¡ es la función df cuyos valores están dadOI por entonces a 1 eren 1 df(P, Ax¡, ax 2 , .•. , Ax,.) = D,f(P) As¡ + Dzf(P) .6x2 + · · · + DJV'l u,. Haciendo w = j(x 2 , x 2 , ... , x,), definiendo dx1 = dx¡, dx2 = .6x2, • • • 1 "'" ow en lugar de D·'(P), podemos escribil lu t\' 1111 = .6xno y usando la notación , il u X¡ ción de la definición como é}w ow d dw = --dx 1 + -- X2 + ax, ax2 aw dx, ... + uX 11 IHl · . 1 0 10 cm 12 Clll Y 1! EJEMPLO s Las dimensiones de una caja rectangu ar s n , 1 con un osible error de 0.02 cm en su medición. Encontrar Clt tll axun . · el volumen de la caja se calcula a partir de las medtctones dadnN. 1 vnluut m . también el error aproximado en porcentaje. Solución Sea v el volumen de una caja cuyas dimensiones son x, y, t. l•nltlllll V = xyz w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1220 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE El valor exacto del error se obtendrá de Á V; sin embargo, usamos dV como ximación de Á V. De la ecuación (8), para tres variables independiente' 1 av av av dV =- dx +-dy+ - dz ox ay oz = yz dx + xz dy + xy dz De la información dada, IÁXI s 0.02, IÁYI s 0.02, y IÁzl s 0.02. Para error máximo en el volumen tomamos el error máximo de las medidas do dimensiones. Así, tomando dx = 0.02, dy = 0.02, dz = 0.02 y x == 10 11 z = 15 (medidas en centímetros), tenemos ' dV = (12)(15)(0.02) + (10)(15)(0.02) + (10)( 12)(0.02) =9 De esta manera, Á V :::::: 9, y por Jo tanto el máximo error posible en el volumen a partir de las mediciones dadas es aproximadamente 9 cmJ. El error relativo se encuentra dividiendo el error entre el valor real. De: error relativo, al calcular el volumen a partir de ras mediciones dadas, dV dV 9 .óV . v· Porque V= 1800' V:::::; 0.005. Por tanto, el error aproximado en es 0.50Jo. EJERCICIOS 16.5 l. Si f(x, y) = 3x 2 + 2xy - y 2 , evalúe: (a) 6/(1, 4), el incremento de/ en ( 1, 4); (b) 6/(1, 4) cuando 6.x = 0.03 y lly = -0.02; (e) df(l, 4, 6.x, lly), la diferencial total dej en (1, 4); (d) df( l ' 4, 0.03, - 0.02). 2. Si f(x, y) = 2x 2 + 5xy + 4y 2 , evalúe: (a) ll/(2, - 1), el incremento dejen (2, - 1); (b) ll/(2, - 1) cuando 6.x = -0.01 y lly = 0.02; (e) d/(2, - 1, ll.x, lly), la diferencial total de f en (2, - !); (d) d/(2, - 1, - 0.01, 0.02). 3. Si g(x, y) = xyex>', determine: (a) t:..g(2, -4), el incremento de g en (2, -4); (b) óg(2, - 4) cuando 6.x = - 0. 1 y lly = 0.2; (e) dg (2, - 4, 6.x, lly), la diferencial total de gen (2, -4); (d) dg(2, - 4, -0.1, 0.2). 4. Si h (x, y) = (x + y)l(x- y), determine: (a) llhj3. 0), el incremento de h en (3, O); (b) llh (3, O) cuando 6.x == 0.04 y lly = 0.03; (e) dh(3, O, 6.x, lly), la diferencial total de h en (3, O); (d) dh (3, O, 0.04, 0.03). S. Si F(x, y, z) = xy + In (yz), obtenga: (a) ll.F(4, 1, 5), el incremento de F en (4, 1, 5); (b) ll.F(4, 1, 5) cuando 6.x = 0.02, ó,v y llz = - 0.03; (e) dF(4, 1, 5, ll.\, la diferencial total de F en (4, 1, 5); 1' 5, 0.02, 0.04, -0.03). 6. Si G(x, y, z) = x2y + 2xyz - z3, (a) llG(- 3, O, 2), el incremento de (J O, 2); (b) llG(-3, O, 2) cuando ll.\ lly = 0.03, y llz = -0.01; (e) dG( 6.x, lly, llz), la diferencial total de(} O, 2); (d) dG(- 3, O, 2, 0.01", 0.03, ' En los ejercicios 7 a 14, determine la total dw. 7. w = 4x 3 - xy 2 + 3y - 7 8. w =y tan x 2 - 2x¡• 9. IV == x cos y- y JI. w = ln(x2 + y2 + zz) yl 13. IV == x tan - 1 : - ¡; , ''/t'l'cicios 15 a 18 demuestre que fes dije- • 11/1' <'11 todos los puntos de su dominio, ha- /u /u siguiente: (a) evalúe llf{xo. Yo) para la 111 Indicada; (b) obtenga un Et y un E2 de ma- tllr•la ecuación (3) sea válida; (e) muestre que ltt c 2 obtenidas en la paree (b) tienden am- rwo cuando {6.x, lly) - (0, 0). 16. f(x, y)= 2x 2 + 3y 1 xz lh. vl =- Y 18. f(x, y) = X { X + )1 - 2 si X = 1 O y = 1 llmla f(x, y) = 2 si x :f. 1 y y :f. 1 '"'IIIUCStre que D 1 /(1, 1) y Dzf(l, 1) existen lll' l ll ljUej no eS difcrenciab)c en (1, 1). { 3x2y2 -- si (x, y) :f. (0, O) 1 ludu f(x, y) = x 4 + y 4 O si (x, y) = (0, O) •lr ulliCStre que DJ(O, O) y Dzf(O, O) existe JII'IO f no es diferenciable en (0, 0). /111 •:iercicios 21 a 27, utilice el Teorema 16.5.4 lth•tiiOStrar que la función que se indica es di- '" luiJ/e en todos los puntos de su dominio. ti(\, y) = 2x4- 3x2y1 + x - zy -1 3x -4y f(\, V) = -2- 8 - X + y ({\, ¡•) = 3 In xy + 5 sen x X r/1 '. v) = y In x - - y 1 lt(\, v) = tan - 1 (x + y) + -- x -y /(\,.V) = e 2 x sen y+ e- 2 x cos y ' ¡¡,,v)= ye3x_xe- Jr e la función { 3 x 2 y si (x, y) :f. (0, 0) /(X, y) = X02 + y2 si (x, y) = (0, O) 1 ''a función es continua en (0, O) (vea el e wmplo 1, Sección 16.3). Demuestre que /Jtf(O, O) y D¡/(0, O) existen pero que DJy /! ll no son continuas en (0, 0). { xy(x2- y2) si (x. y) :f. (0, 0) 1 ),tda f(x, y) = 0 x 2 + y 2 si (x, y) = (0, O) 16.5 Diferenciabilidad y la diferencia total 1221 demuestre que/ es diferencial en (0, 0) usando el Teorema 16.5.4. En los ejercicios 30 a 32, demuestre que fes diferenciable en todos los puntos en R 3 haciendo lo siguiente: (a) Halle tlj(x 0 , y 0 , .zo); (b) obtenga tma t., t 2 y e 3 tales que la ecuación de la Definición 16.5. 7 sea válida; (e) muestre que la Ei> El· y t 3 ha- llada en (b) todas tienden a cero cuando (6.x, lly, llz) tiende a (0, O, 0). 30. f(x, y, z) = 3x + 2y - 4z 31. f(x, y, z) = xy- xz + z 2 32. f(x, y, z) = 2x 1 z - 3yz 2 33. Dada { xy:z 4 si (x, y, z) f= (0, O, O) f(x, y, z) = x 4 + y + z O si (x, y, z) = (0, O, O) (a) Muestre que DJ"(O, O, 0), Dzf(O, O, O) Y Dlf(O, O, O) existen; (b) emplee el hecho de que la diferenciabilidad implica continuidad para demostrar que f no es diferenciable en (0, o, 0). 34. Dada 2 2 1 si (x, y, z) :f. (0, O, O) { xyz 2 f(x, y, z) = x 0 + y + z si (x, y, z) = (0, O, O) muestre que fes diferenciable en (0, O, 0). 35. Un recipiente cerrado en forma de prisma rec- tangular debe tener una longitud interior de 8 m, una anchura interior de 5 m, una altura interior de 4 m y un espesor de 4 cm. Utilice diferencia.les par,a calcular aproximadamente la cantidad de material necesario para cons- truir el recipiente. 36. Emplee la diferencial total para calcular aproximadamente el error máximo en la determi- nación del área de un triángulo rectángulo a partir de las longitudes de sus catetos que mi- den 6 cm y 8 cm, respectivamente, con un posible error de 0.1 cm en cada medición. Obtenga también el porcentaje de error aproximado. 37. Calcule aproximadamente, empleando la diferencial total, el error máximo al calcular la longitud de la hipotenusa del triángulo rec- tángulo con las medidas del ejercicio 36. Cal- cule también el porcentaje de error aproximado. ¡. .. 1\mlliaTECA a._. ....... w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1ZZZ CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE 38. Si aplica la ley del gas ideal (vea el ejemplo 5, sección 16.4), para obtener P cuando Ty V están dadas, pero existe un error del 0.30Jo al medir T y un error del 0.8% al medir V, obtenga el máximo error porcentual aproximado en P. 39. La densidad relativas de un objeto está dada por la fórmula A S=--- A - W donde A es el número de libras del peso del objeto en el aire y W es el peso en libras del objeto en el agua. Si el peso de un objeto en el aire es de 20 lb, con un posible error de 0.01 lb, y su peso en el agua es de 12-lb con un posible error de 0.02 lb, calcule aproximadamente el máximo error posible calculando s a partir de estas mediciones. Determine tam- bién el máximo error relativo posible. 40. Se va a elaborar una caja sin tapa con un pe- dazo de madera de f plg de espesor. La longitud interior es 6 pie, el ancho interior 3 pie, y la profundidad interior 4 pie. Emplee la diferencial total para obtener la cantidad aproximada de madera que se empleará para hacer la caja. 41. Una empresa va a fabricar 10 000 cajl!S de madera cerradas cuyas dimensiones serán de 16.6 REGLA DE LA CADENA 3, 4 y 5 m. El costo de la madcru picará es de $1 (dólar) por metw Si las máquinas que se utilizan !)1111 madera tienen un error posible IIP cada una de las dimensiones, cal111l madamente, empleando la difell' el máximo error posible en el cákul to de la madera. En los ejercicios 42 a 45 moslramos ({/11 ción puede ser dijerenciable en un cuando no sea cominuamenle dijerem cho Por tanto, las condicione\ ma 16.5.4 son suficiemes pero no nect'\oll'• la dijerenciabilidad. La función j, en cios, está definida por 42. Obtenga 1:1/(0, 0). 43. Obtenga DJ(x, y) y Dlf(x, y). 45. Demuestre quejes diferenciable en 111 pleando la Definición 16.5.2 y r de los ejercicios 42 y 43. 45. Demuestre que DJ y Dv no son, en (0,0). Recuérdese que con la notación de Leibniz la regla de la cadena para una sola variable se expresa de la siguiente manera: Si y es una función de u y 11 1 •14 f · · d du · b' · f · ' d ,/¡ te, y u es uncron e x y d ex1ste tam ren, entonces y es unc10n e x; 1 y está dada por x 1 ' dy dy tlu dx. = du . áx Ahora consideramos la regla de la cadena para una función de dos de cada una de estas variables es rambi én una función de dos variables. / 16. 6. 1 TEOREMA Regla de la cadena Si u es una función diferenciable de x y y, definida por' u = f(x, y), y x = 16 .6 Regla de la cadena 1ZZ3 ax ax ay ay . t n entonces u es una función de r y s, y G( ) Y _ - y - ex1s e , y = r, S ' (Jr é)s' or EJS función de r Y s, Y ( au ={ou){ox) + {au){oY) ar \ox \ar \ay \ar au = {ou){ox). + as \ax \ as \oy \as Demostración ou La demostración para Demostraremos la regla de la cadena para or. au . '1 - es stmi ar. as b' a . t"dad !::ir entonces x cam ta en un Si s se mantiene fija Y r cambta una can ' , ' .d d A V Y Y cambia en una canudad /::iy. Ast, canu a ........ = F(r + M, s) - F(r, s) y = G(r + M, s) - G(r, s) (l) (2) Como¡ es diferenciable, ( 3 ) M(x, y)= DJ(x, y) + D2f(x, y) E¡ + E2 . · d · requtere . d (D.x Ay) ti ende a (0, 0). A emas, se donde E¡ y E2 uenden a cero ) =' (0, 0). Fijamos este requisito para que E¡ que E = O Y E2 = O cuando ( ........ , y . (D.x Ay) = (O 0). 1 f . s de D.x y 1::1y sean conttnuas en , ' y E 2 , que SOU unc10ne ' OU ou Daf(x y) por - Si en (3) sustituimos A/(X, y) por AU, DJ(x, y) por ax, y ' o y Y se divide en ambos lados entre Ar (Ar * 0), obtenemos Otl utl y + E - + E2 - -¡:; == ox M + oy M 1 M M el límite en ambos lados cuando Ar tiende a .cero obtenem?s OU OU 1' + ( \ím E ) \ím + ( lím E2) \ím (4) lím -=- lím A.+-a Jm A•-o 1 Ar-o Ar-O O Ar OX Ar - O ol Y Ar-O M- u a . . tant o x como y son funciones de r y s, u es un Ya que u es una funciOn de x y f" r cambia en una cantidad Ar, función de r y s. Como s se manttene IJa Y u(r + M, s) - u(r, s) lím - = lím tv- -0 Ar-O o u (5) = - or w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1224 CALCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MAS DE UNA VARIABLE Asimismo lím 6x = ox Ar-O 6r Or y lím 6y = oy Ar-O 6r Or ox ay Puesto que -· y - exist F G · · or ar en, Y son contmuas con respecto a la La existencia de las derivadas parciales de una funció continuidad con respecto a todas las variables v pero con funciones de una sola variable sí conti a uncJOn con repecto a cada variable por separado.) Por tanto, de (1 ), lím 6x = lím [F(r + Ar, s) _ F(r, s)] Ar-O Ar-O = F(r, s) - F(r, s) =0 y de (2), lím 6y = lím [G(r + 6r, s) _ G(r s)] Ar - o 4r-o ' = G(r, s) - G(r, s) =0 Por ello, cuando Ar tiendf! a cero, A.x Y Ay tienden a cero. y como E¡ Y E2 se man a cero cuando (A.x, Ay) tiende a (0, 0), podemos concluir que lím E1 =O y l lím Ez = 0 L\r -o ór-o Ahora bien, es posible que para ciertos valores de Ar A .. - A o e d · "' ' <.U - ... y = . omo limites en (11) son todavía cero. s au = (au) (ax) + (ou) (ay) éJr ax ar oy ar que es lo que se quería demostrar. EJEMPLO 1 Dada u = ln J x2 + yz x =re' ou ou obtener - y ar as · "'Solución ou X ou y ox -=-=--- ox x 2 + y 2 · ax - = re' os oy = x2 + y2 o y -=e-s Or - =es or o y -=-re -s os 16.6 Regla de la cadena 1225 Con la regla de la cadena se obtiene ()u = x (e•) + ? y (e-·t) ar x2 + y2 x- + y2 0U X ( s) y ( - s) - = 2 2 re + 2 2 - re OS X +y X +y ( r(xe' - ye- •) = Como se mencionó, los símbolos 8u/ 8r, o u/ os, 8 ulox, o u! o y no deben considerarse como cocientes. Los símbolos o u, ox, etc., no tienen significado por sí so- los. Para funciones de una variable, la regla de la cadena es fácil de recordar si pensamos en una derivada ordinaria como el cociente de dos diferencias, mas no existe una interpretación semejante para las derivadas parciales. Otro problema de notación surge cuando se considera a u como una función de x y y y luego como una función de r y s . Si u = f(x, y), x = F(r, s) y y = G(r, s), entonces u = f(F(r, s), G(r, s)). [Nótese que es incorrecto escribir u = f(r, s).] • EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 En el ejemplo 1, u= f(x, y) r-=---:- = In .Jx 2 + y 2 Así, u = f(F(r, s), G(r, s)) x = F(r, s) = re' =In J r 2 e 25 + r 2 e - 2 • Obsérvese que f(r, s) = In J r 2 + s 2 Es decir, f(r, s) '1' u. y= G(r, s) = re-• • Si hacemosj(F(r, s), G(r, s)) = h(r, s), entonces las ecuaciones del Teorema 16.6.1 se pueden escribir respectivamente como h 1 (r, s) = (x, y)F 1 (r, s) + / 2 (x, y)G 1 (r, s) h 2 (r, s) = / 1 (x, y)F i r, s) + fix, y)G 2 (1·, s) En el enunciado del Teorema 16.6.1, las variables independientes son r y s, y u es la variable dependiente. A las variables x y y las podemos llamar variables intermedias. Ahora aplicamos la regla de la cadena a n variables intermedias y a m variables independientes. 11 6.2 TEOREMA Regla general de la cadena Supóngase que u es una función diferenciable de las n vari ables x., x 2 , •.• , x,, y cada una de estas variables es a su vez una de las m variables y 1 , y 2 , w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1226 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE · · · , Ym· Supóngase además que cada una de las derivadas 1, 2, · · · , n, j = 1, 2, ... , m) existen. Entonces u es una · · · • Ytm Y La demostración es una ampliación de la del Teorema 16.6.1. d Observemos que en ~ ~ regla general de la cadena hay tantos términos en ol erecho de cada ecuac10n como variables intermedias. EJEMPLO 2 Dadas u = xy + xz + yz x ==· r y = r cos t z = r sen t ou ou obtener - y or ot. Solución De la regla de la cadena, : ~ = (!;)(!;) + ( ! ; ) ( ! ~ ) + ( ! ~ ) ( ! ; . ) =(y+ z)(l) + (x + z)(cos e)+ (x + y)(sen t) = Y + z + x cos t + z cos t + x sen c + y sen t = r cos l + rsen t + r cos t + (r sen t)(cos e)+ rsen t + (r cos t)(sent) = 2r(cos L + sen t) + r(2 sen t cos e) = 2r(cos t + sen t) + rsen 2t ~ ~ = (!;)(:) + ( ! ; ) ( ! ~ ) + (t)(:;) = (y + z)(O) + (x + z)( - r sen t) + (x + y)(r cos t) = (r + r sen t)( - r sen t) + (r + r cos t)(r cose) = - r 2 sént- r 2 sen 2 e+ r 2 cos t + r 2 cos2 t = r 2 (cos L - sen t) + r 2 (cos 2 t - sen 2 t) = r 2 (cos t - senl) + r 2 cos 2t 16.6 Regla de la cadena 1227 Ahora supongamos que u es una función diferenciable de las dos variables x y y, y que tanto x como y son funciones diferenciables de la variable t. Entonces u es una función de la variable t y así, en lugar de la derivada parcial de u con respecto a t , tenemos la derivada ordinaria de u con respecto a /, la cual está dada por du = (au)(dx) + (au)(dy) dt ax dt ay dt (8) A du indicada por la ecuación (8), la llamamos derivada total de u con respecto dt a t. Si u es una función diferenciable de las n variables xlt x 2 , ••• Xn y cada X; es una función diferenciable de la variable t, entonces u es una función de t y la derivada total de u con respecto a t está dada por du { ou )(dx 1 ) {o u )(dx 2 ) ( au )(dxn) dt = axl -¡¡¡ + OXz dt. + ... + OXn dt EJEMPLO 3 Dadas u = x 2 + 2xy + y 2 X= l OOS l y= t sent determinar du por dos métodos: (a) Usar la regla de la cadena; (b) expresar u en dt términos de t antes de diferenciar. Solución (a) Calculamos las derivadas: au ou - 0 = 2x + 2y -;- = 2x + 2y X uy dx - = cos 1 - 1 sen t di dy dt = sent + l cos t Así, de (8) tenemos du - = (2x + 2y)(cos t-e sent) + (2x + 2y)(sent + t cos t) di = 2(x + y)(cos t - t sent +sen 1 + t cos t) = 2(t cos t + t sen t)(cos t - r sen 1 +sen t + e éos e) = 2t( cos 2 r - e sen t cos t +sen t cos t + t cos 2 t +sen t cos t - t sen 2 L + sen 2 t + t sen t cos t) = 2r[l + 2 sen l cos t + t(cos 2 t - sen2 t)] = 2t( l + sen2t + t cos 2t) (b) u = (t cos 1) 2 + 2(r cos t)(t sen t) + (t sen t)l = t 2 cos 2 t + r 2 (2 sent cos t) + t 2 sen 2 t = t 2 + t 2 sen2t w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1228 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE Por lo tanto, du dt = 2t + 2t sen 2t + 2t 2 cos 2t EJEMPLO 4 Si fes una función diferenciable y a y b son constantes, que z = J(!bx 2 - satisface la ecuación diferencial parcial oz oz ay 2 - + bx- = O ax oy Solución Sea u = t bx 2 - t ay 3 • Queremos demostrar que z ecuación dada. Por la regla de la cadena obtenemos oz = (dz) (ou) ox du ox = = f'(u)(bx) = f'(u)( - ay 2 ) Por lo tanto oz oz ay 2 a + bx-::;- = ay 2 [f'(u)(bx)] + bx[f'(u)( -ay 2 )] x oy = O , que es lo que queríamos demostrar. EJEMPLO 5 Use la ley del gas ideal (véase el ejemplo S, sección 16.4) con 0.8, para determinar la intensidad de variación de la temperatura en el momc1111 que el volumen del gas es de 15 L y está a una presión a 12 atm, cuando el aumenta con una tasa de 0.1 L/min, y la presión disminuye a razón de 0.2 Solución Sea t minutos el tiempo transcurrido desde que el volumen del menzó a aumentar. A los t minutos, la temperatura Kelvin será T, la presión atmósferas y el volumen de V li tros. De acuerdo con la ley del gas ideal, PV = 0.8T T = 1.25 PV dP dV En el instante considerado, P = 12, V = 15, dt = -0.2 y Tt = 0.1. Con la la cadena, .; dT = oT dP + oT dV = 1. 2 SVdP + 1. 2 SP dV dt aP dt a v dt dt dt = l .2S( 1 S)( - 0.2) + 1.25( 12)(0.1) = - 2.2S 16.6 Regla de la cadena 1229 . de 2 2 s grados Kelvin por minuto en Por lo tanto, la temperatura aumenta a razon . el instante dado. RCICIOS 16.6 loll ejercicios 1 a 6, obtenga la derivada par- fiW se indica por dos métodos: (a) emplee la ' tle la cadena; (b} haga las sustituciones de , 1 , 11111 es de diferenciar. ou ou Xl - yl ; X = 3r - s; y = r + 2s; Or; OS ()u au 3x - 4y2; x = 5pq; Y = 3pz - 2q; op; oq 3x2 + x.y - 2y2 + 3x - y; x = 2r - 3s; ou ort 1' r + s; 01;; as 2 2. _ cosh r cos r y = senh r sen t; 11 - X + Y • X- ' ,," ou /,r: ot au ou 11 = e'l"; X= 2r COS t; y = 4r sent; Or ; ar ov av A 1' = nx2y; X = cos z sen t; y = Z 2 e'; az; Tt . . . 14 bt ga la derivada par- 1 11 tos eJerciCIOS 7 a • o en 1\ll ttfle se indica, empleando la regla de la cadena. ou ou 2 2 + 5 z. y - 3r - 2s; -; - 1 11 = X + X)lj X = r • - Of' OS 2 5 z. , = xy + xz + yz; x = rs; y = r - ' 2 . ou. ou ; = (r - s) ' or' os ou au 11 = sen-'(3x +y); X = rle'; y = senrs; or; OS ou ou 111. 11 :=sen(xy); X= 2ze' ; y:= ¡l e-=; Ol ; OZ ou au lt 11 = cosb 3r2s; y:= 6se'; or; OS X ll. , = xe-'; x = tan- ' (rst); y = ln(3rs + 5st); ilu ou au élr ; as ; aL tJ. 11 = x2 + yz + z2; x = r sen 4> cos O; Otl ou ou y = r sen 4> sen e; z == r cos fj>; or; a,p; a o r - · · ou. au }4. U = X 2 yz; X= - ; Y:= re'; z =re ' iJr OS S En los ejercicios 15 a /8, obtenga la derivada total dul dt por dos métodos: (a) use la regla de la cadena; (b) sustituya x y Y o x, y, y z antes de diferenciar. 15. u = ye" + xe"; x = cos t; y= sent 2 r - r 16. u = In xy + Y ; x =e; Y= e 17. u = J x2 + l + z2; x =tan t; y= cos t; z = sen t; O < t < !n 18. u = t + x = 3 sent; y= In t y-e En los ejercicios 19 a 22 obtenga la derivada total duldt empleando la regla de la cadena;. no exP_re- se u como una función de 1 antes de diferencwr. 19. + + Y z· x = t cos t· y= t sen t; z 20. u = xy xz ' ' 2 1. u = : : :; x = In t; y = 22. u = Jn(x2 + l + tz); x = t sen t; y = cos t . . . 23 a 26 suponga que la ecuat'lt111 En los ejerciCIOS ' l dada define z como una función de x y >'· l )t 1 ' rencie en forma implícita para obtener é> ti V.\ 1 az; ay. 23 • 3 x2 + y2 + z2 - 3xy + 4xz - 15 () 24. z = (xl + y2) sen xz 25. ye"': cos 3xz = S 26. ze"= + 2xe"= - 4e"' == 3 27. Si fes una función diferencioblc dr 111 ble u sea u = bx- ay Y 11111 f(bx cumple la ecuación u(cl: 11 \) · b(az!ay) = o, donde a Y b s <ln w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1230 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE 28. Si fes una función diferenciable de dos variables u y v, sea u = x-y y v = y- x; demuestre que z = f(x - y, y - x) cumple la ecuación ozlox + ozl oy = O. 29. En un instante dado, la longitud de un cate- to de un triángulo rectángulo es de 10 cm y crece a razón de 1 cm/min, y la longitud de su otro cateto es de 12 cm y decrece a razón de 2 cm/min. Calcule la razón de cambio de la medida del ángulo agudo opuesto al cate- to de 12 cm de longitud en el instante dado. 30. La altura de un cono circular recto crece a razón de 40 cm/ min y el radio disminuye a razón de 15 cm/min. Calcule la razón de cambio del volumen en el instante en que la altura es de 200 cm y el radio de 60 cm. 31. La altura de un cilindro recto disminuye ara- zón de 10 cm/min y el radio crece a razón de 4 cm/m in. Determine la razón de cambio del volumen en el instante en que la altura es de 50 cm y el radío de 16 cm. 32. En un tanque en forma de cilindro circular recto fluye agua a razón de m3/ min. El tanque se ensancha de manera que, aun cuando conserva su forma cilíndrica, su radio crece a razón de 0.2 cm/ min. ¿Con qué rapid_ez sube la superficie del agua cuando el radío tiene 2 m y el volumen de agua, dentro del tanque, es de 201r 33. Una cierta cantidad de un gas obedece la ley del gas ideal (véase el ejemplo 5, sección 16.4) con k = 1.2, y el gas está encerrado en un recipiente que se calienta a razón de 3 K/ mín. Obtenga la intensidad de variación del volumen en el instante en que la temperatura es de 300 K; la presión es de 6 atm y disminuye a razón de .0.1 atm/min. 34. Una pared vertical forma un ángulo de 5n: radianes con el suelo. Una escala de 20 m de longitud está recargada contra la pared y su parte superior resbala a razón de 3 m/s . ¿Cuán rápido varía el área mado por la escalera, la pared y ti do la escalera forma un ángulo dr con el suelo? 35. Suponga que fes una funció11 !11 de x y y y u = f(x, y). En tonel''• 1 v cos w y y = senh v sen w, CXIH y o u l o \11 en términos de ou!tl 1 36. Suponga que fes una función di de x, y y z y u = f(x, y, z). Entlll r sen <1> cosO, y = r sen <1> sen O, v </>,exprese ou/ ()r, au/ ()<f> y au ,,, minos de ()u/ax, ()u/ ay, y au ti 37. Si u = f(x, y) y v = g(x, y), cnl ecuaciones ou av ax =ay y av 011 se denominan ecuaciones Riemann. Demuestre que las ecuadt Cauchy-Riemann se cumplen si u y 2 ) y v = tan- 1 38. Suponga quefy g son funciones dllr1 bies de x y y, y u = f(x, y) y v 111 Demuestre que si las ecuaciones de t Riemann (ejercicio 37) se cumplen y r cos O y y = r sen O, entonces ou 1 OV ov 1 ou or =-;: ao y or = --;: ao 39. Si fes una función diferencial de x y = f(x,y),x =reos O, y y = r senO, que ou = ou cos 0 _ ou senO ox or ao r ou ou O ou cos O - = - sen +--- oy or ao ,. 16.7 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Si fes una función de dos variables, entonces, en general, D¡j y DJ también funciones de dos variables. Si las derivadas parciales de estas funciones existen, ben el nombre de segundas derivadas parciales de f t Por el contrario, D¡J y Dzf llaman primeras derivadas parciales de f. Hay cuatro segundas derivadas parci De rivadas parciales de orden superior 16.7 1231 . s· f una función de las dos variables x Y y, todas de una función de dos vanables. 1 es las notaciones ¡p¡ D 2 (DJ) Dtd ftz fxy oyox . . . . 1 de f que se obtiene primero diferenciando representan la segunda parcialmente el resultado con parcialmente f con res o parcial está definida por respecto a y. Esta segun a en . f 1 (X, y+ Óy)- f¡(X, y) f¡¡(x, y) = hm L'1y óy-0 si este lími te existe. Todas las notaciones az¡ (1) Dt(DJ) Dt1f fll fxx ox2 . 1 d f la cual se obtiene diferenciando par- representan la segunda derivada la definición cialmente dos veces con respecto a x. f 1 (x + ÓX, y) - f¡(X, y) .ft1 (i, y) == lím L'1x Ax-o f forma si este límite existe. Las otras dos segundas derivadas parciales se de menen (2) análoga, , fz(x + L'1x, y)- fz(x, y) f2t (x, y) == hmo L'1x Ax- (3) J2(X, Y + L'1y) - .f2(x, y) J 22 (x, y) == lím L'1y Ay-O (4) si estos límites existen. . 0 . arciales de orden superior son semeJantes. e Las definiciones de las P d rivada específica. Por ejemplo, nuevo tenemos varias notaciOnes para una e 0 3¡ fPJ r ----r D 112 / ftt2 .m· oyoxox oyox . . . 1 d f la cual se obtiene diferenc1ando todas representan la tercera denvada parcia e ' con respecto a y. Obsérvese pecto a x Y luego una vez . • parcialmente dos veces d de la diferenciación parcial es de tZ(I tliCI que en la notación con submdlces, el or en . . o3f el orden es de derecha a 1Zqlllerda. da a derecha; en la notación o y ax ax' EJEMPLO 1 Dada f(x, y)== ex sen y + In xy . Hallar: (a) D 11 f(x . y): (b) D 1 d(x, y); (e) ox al · w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1232 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE Solución D¡f(x, y) = e" sen (y) xy 1 = e" sen y+ - X • (b) D12j(x, y)= e" cos y a3¡ (e) Para evaluar -- d'f . ax ayz 1 erenc1amos parcialmente dos veces e 1n respCl 111 luego una vez con respecto a x. Esto nos da a¡ = e" cos 1 az¡ l ay y + -y -a 2 = - e" sen y - - y y2 . derivadas parciales de orden su erior d .. ftmcwnes análogas a las def' . . dp e una funcwn den variables m1c1ones e las de · d . una función de dOS variables S' j as parCialeS de Or den · 1 es una functón de · bl gundas derivadas parciales de f en n vana es, puede haber de tres variables, si todas las punt? particular. Es decir, para una ve de ellas: frl f f !: • !: !: fs parc1ales de segundo orden existen hay , 12• 13• 21> 22• 23• 31> fn y /33· , EJEMPLO 2 Dada f(x, y, z) =Sen(xy + 2z) Obtener Dmf(x, y, z). Solución DJ(x, y, z) = Y cos(xy + 2z) D13/(x, y, z) = - 2ysen(xy + 2z) DI32f(x, y, z) = - 2sen(xy + 2z) - 2xy cos(xy + 2z) EJEMPLO 3 Dada f(:x,, Y)= X 3 Y - y cosh xy / Obtener: (a) fx/x, y); (b) /y,.(x, y). Solución (a) f,.(x, y)= 3x2y- yzsenh xy fxy(x, y) = 3x 2 - 2ysenh xy _ xy2 cosh xy \ 16.7 Derivadas parciales de orden superior (b) f.,.(x, y)= x 3 - cosh xy - xysenh xy y)= 3x2 - ysenh xy - ysenh xy - xl cosh xy = 3x 2 - 2ysenh xy - xl cosh xy 1233 De los resultados anteriores observamos que para la función del ejemplo 3, las derivadas parciales "mixtas" f xy(x, y) y !yx(x, y), son iguales . Así pues, para esta función particular, cuando encontramos la segunda derivada parcial con respecto a x y luego con respecto a y, el orden de la diferenciación no importa. Esta condición se cumple para muchas funciones. Sin embargo, el siguiente. ejemplo muestra que esto no siempre es cierto. EJEMPLO 4 Sea f la función definida por !( ) (xy) • 2 2 si (x, y) ::f. (0, O) { x 2 - l X, y = X +y O si (x, y) = (0, 0) Obtener ! 12 (0, O) y fz1 (0, 0). Solución En el ejemplo 3, Sección 16.4, demostramos que para esta función f 1 (0, y) = -y para toda y y f2(x, O) = x para toda x De la fórmula (1), fu(O, O) = lím / 1(0, O+ by)- / 1 (0, O) A>•- 0 f:ly Pero de (5), / 1 (0, t.y) = -t.y y f 1(0, O) O, y así / 12 (0, O)= lím 0 = lím ( - l) Ay- O Y Ay-O = - 1 De la fórmula (3), ¡2,(0, O)= lím / 2(0 + l:lx,2 - fz(O, O) Ax-0 X De (6), / 2 (t.x, O) = t.x y fz(O, O) = O. Por lo tanto, l:lx - O ! 2 1 (0, O)= lím · A = lím 1 ruc-O uX Ax-0 = 1 (5) (6) w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1234 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁ S DE UNA VARIABLE Para la f · · unciOn del ejemplo 4 1 . no son iguales en (O, 0). En el T ' as denvadas parciales mixtas J¡ (x J') las cuate f ( eorema 16.7 .1 se da . 12 1 v de este • Yo) J,(xo. Yo) . La fundón del de con<ildl demuem po<que fu Y¡,. son discontinuas e no satosfaco loo e esto (vea el ejercicio 24). n (0, 0). Dejamos (1\11 16.7. 1 TEOREMA Supóngase quejes una función d . B((xo. Yo); r) y .. y j,. ta x y y definida en un que f ¡, · ·'.1 .n m ten estan def 'd ·'Y y .vx son continuas en 8 E mt as en 8. Además · • ntonces • f,¡.(xo. Yo) = (, .(x y ) ' '• · Y< lh O Demostración e · . onstderese un cuadrad su lado sea 21171 tal que O < o que tenga su centro en (xo, Yo) y lu del cuadl·ado Y en los Emonces, lodos los punl<" _1). Asi, los puntos (xo + h o están en el disco abicnn /1 en . Deftnamos como 1 Yo + ), (xo + hl Yo), Y (xo. Yo + Ir) D. = f(x + 1 . . o 1, Yo + h) - f(x + h ) - f e . o , Yo (xo. Yo + h) + f( • ) onstdérese la fu nción G d r· 'd Xo, Yo e 1111 a por G(x) = .f(x, Yo + h) - f(x: Yo) Entonces . G( x + /¡) - {( x + 1 1 - · · 1• Yo + 1) - f (x + 1 ) A' '·h St pues, (7) se puede escri bir como D. = G(xo + h) - G(x 0 ) De (8), G'(x) = f.(x, J'o + }¡) - /,(x, Yo) Ahora, como y + h) f 1 en el intervalo oq . y x\xl Yo) están definidas en B G' (x) . . ue tJene puntos extremo 1 extste st ,\ s en Xo Y Xo + h. Por tanto, e; FIGURA 1 16.7 Derivadas parcial es de orcll' ll '1\II H' I 1111 continua si x está en este intervalo cerrado. Por el teorema del valor medio (4\ . \, 1 ) existe un número c 1 entre x0 y x0 + h tal que G(x 0 + 11) - C(.x 0 ) == ltG'(c 1 ) Sustituyendo de esta ecuación en (9) se obtiene De esta ecuación y reemplazando x por c1 en (10) se obtiene == lt[fx(c ¡, Yo+ lt)- J,(C¡, Yo)] Ahora bien, si g es la función definida por g(y) :::: fx(C¡, y) podemos escribir (ll) como D. == 11(g(Yo + h) - g(Yo)J De (12), (1 \) ( 1 ' 1 ( 1 1) (HI g' (y) = j,y(C¡, y) Ya que / xy(c 1 , y) está definida en 8, g' (y) existe si y está en el inlet'Vtlln • que tiene sus puntos extremos en Yo y Yo + h; por tanto, g es continuu .,¡ 1' '11 11 cuentra en este intervalo cerrado. Por lo tanto, por el teorema del valor III CUIII l'li'"' un número d 1 entre Yo y Yo + h tal que g(Yo + 11) - g(Yo) == hg'(d 1 ) Susti tuycndo de esta ecuación en ( 13) resulta que A h' g' (d 1 ); po< to»l ll, 11' (1 1 se deduce que para algún punto (c 1 , d 1 ) én el disco abierto B. Definimos una función 1/1 l'"'"' (\ <J>(y) == f(.x o + !1 , y) - f (xo, y) y así <f>(y + h) == f(x 0 + h, y + h) - f(x 0 , y + h). Por lo tanto, (7) se Plll'tll' l 'l bir como = </>(Yo + h) - </>( Yo) De (16) obtenemos <f>'(y) = /¡,(x 0 + lt , y) - J,.(x0 , y) <f) existe si y está en el intervalo cerrado que tiene como puntos cxl fl' llll'" 1' 11 ) + h, ya que por hipótesis, cada término del segundo miembro de (1 8) c'l"h 111 Por lo tant o , <Pes continua en este intervalo cerrado. Así, con eltcort.: lllll th•l v medio, existe un número d 2 entre Yo y Yo + h tal que 1 </>(Yo + 11) - q)( Yo) == h</>' (d2) w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1236 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MA-S D E UNA VARIABLE De esta ecuación, {17) y (lB) se de?uce que A = h[/y(xo + h, d2) - /y(xo, d2)] Definimos la función X como x(x) = /y(x, d2) Y escribimos (19) como A = h[x(xo + h) - x(xo)] De (20) obtenemos x'(x) = !,.ix, d 2 ) Y por el teorema del valor medio conclui . , + h tal que mos que existe un numero c2 <.. ttrt x(xo + h) - x(xo) = hx'(c2) De esta ecuación, (21) y ( 22 ), A = h2.h,x(c2, dz) Con esta expresión para .1 Y {15) se obtiene h'2_fxy(c¡, d¡) = h2/yx(c2, d2l Y como h :1 O, podemos dividir entre h 2, lo cual nos da fxy(c., di)= hx(c2, d2) donde (e¡, d,) Y (c2, d2) están en B. Como e, Y c2 están cada una entre x donde O < Et < 1 y e _ o Y Xo + h, podemos escribir e, = x 1 d • 2 - xo + donde o < < 1 A - 1 ° Y 2 están entre Yo y Y,o + h pod . . E2 • na ogamente como d ' emos escnbJT d - h ' y 2 = Yo + donde O < < 1 Al . '· - Yo + ' donde O < f' 4 • sustitUir en (23) nos da fx,(xo + E 1 h, Yo + EJh) = hx(Xo + E2h, Yo + E4h) Puesto que f, y r . xy J yx son contmuas en B des , d , . de esta ecuación cuando h t" d ' pues e tomar hmncs en ambos Ien e a cero, obtenemos fxixo, Yo) = hx(x 0 , y 0 ) 5 Dada u = f(x, y), x = F(r, s = . - hx· demostrar, usando la regla de 1 d ) Y Y G(r, s), Y suponiendo QU<' a ca ena, que iJlu - = y)[F (r s)] 2 + 2' ( )F ( ) ur r • :lx)> X, y r r, S G,(r, s) + /yy(x, y)[ G,(r, s)]2 Solución De la regla de la cadena + fx(x, y)F,.(r, s) + j;,(x, y)G,.(r, s) ou ' ; or = fx(x, y)F,(r, s) + f,,(x, y)G,(r, s) 16.7 Derivadas parciales de orden superior 1237 Tomando de nuevo la derivada parcial con respecto a r. y usando la f'órmuln para la derivada de un producto y la regla de la cadena obtenemos = f!xx(x, y)F,(r, s) + fxy(x, y)G,(r, s)]F,(r, s) + y)F,.(r, s) ur + [J;.x(x, y)F,(r, s) + /y,(x, y)G,(r, s)]G,(r, s) + y)G,(t', Al multiplicar y combinar términos, y al emplear el hecho de quefxy(x, y) jH( • y), obtenemos = fxx(x, y)[F,(r, s)] 2 + 2fxy(x, y)F,(r, s)G,(r, s) + /yy(x, y)[G,(r, s)J2 or + fx(x, y)Frr(r, s) + j,(x, y)Grr(r, s) que lo que queríamos demostrar Como resultado del Teorema 16.7 .1 si la función f de dos variables tiene deriva· das parciales continuas en algún disco abierto, entonces el orden de la diferenciación parcial se puede cambiar sin alterar el resultado; es decir, D112f = D12J = D2u/ Dltnf = D1 212/ = D122J = D2112f = D212J = D2211f y así sucesivamente. En particular, suponiendo que todas las derivadas parciaiCH IICI III continuas en algún disco abierto, podemos demostrar que D 21 J = D 11 ,)' apllcuudu el Teorema 16.7 . 1 una y ótra vez. Haciendo esto tenemos D 21 J = D 1 (D 2 J) = D 1 (D 12 /) = D 1 [D 2 (DJ)] = D 2 [D 1 (DJ)] = D2(D 1 J) = D11zf tJERCICIOS 16.7 l•flos ejercicios 1 a 10, haga lo siguiente: (a) Ob- n¡¡u Duf(x, y); (b) evalúe D 2 2f(x, y); (e) mues- ,, que D 1 2f(x, y) = DZLf(x, y). xl y 1. ((x, y) =- - 2 y X l. f(x, y) = 2x 3 - 3x 2 y+ xy 2 1 /(x, y) = e 2 " sen y 1 {(x, y)= e- xjy X 11, f(x, y) = (x 2 + y 2 ) tan- 1 X - 1 3y 11. f (x, y) = sen 2 X 1. f(x, y) = 4xsenh y+ 3y cosh x H. f(x, y) = x cos y - ye-' 1), ((x, y) = ex cos y + Jan- 1 X • In y 1 H . .f(x, y) = 3x cosh y - y sen- 1 En los ejercicios 11 a 18, obtenga las derivotla\ 11111 ciales que se indican. q_ f(x, y) = 2x 3 y + 5x 2 y 2 - 3xy 2 ; (a) j , H( \ o l'), (b) f 2 tl(x, y) 12. G(x, y)= 3x 3 y 2 + 5x 2 y 3 + 2x; (a) 0 1 y,(\, \'), / (b) G yxy(X, y) l3. f(x, y, z) = ye-' + ze! + e=; (a) fx.(.\, y, ). (b) /,:(x, y, z) 14. g(x, y, z) =sen(xyz); (a) g 23 (x, y, z); (b) gn(x, y, z) 15. f(w, z) = w 2 cose'; (a) f 121 (w, z); (h) J 11 1 111 1 16. f(u, v) = In cos(u- v); (a)J.. •• (u, 11); {h) / 111 ,(11, 1 17. g(r, s, 1) = ln(r 2 + 4s 2 - 5t 2 ); (a) (1 1 tJ{I , 11 (b) g 122 (r, s, l) 18. f(x, y, z) = tan - 1 (3xyz); (a) f 1 1 1 (\, ¡•, r ) (b) f 123 (x, y, z) w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1238 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE VARIABLE En los ejercicios 19 a 22, muestre que u(x, Y) sa- ftsjace la ecuación iJ2u iJ2u 2 =O ox y que se conoce como ecuación de Laplace en R2. 19. u(x, y) = ln(x2 + y2) 2 0. u(x, Y) = e'' sen y + e1 cos x x x x2 + y2 22. u(:x-,y) = tan - 1 x2 _ y2 23. La ecuación de Laplace en R3 es 24. 0 2 u 8 2 u o 2 u ax2 + ()y2 + iJzl = o que u(x, y, z) = (..\-2 + z2)- 112 sati sface esta ecuación. Para la. función del ejemplo 4, muestre que es.dJscontinua en (0, O) y de ahí que la hi - potcsJs del teorema 16.7 .1 no se cumpla si. (xo, Yo) = (0, 0). En los ejercicios 25 a 27, determine Ji (O 0) h1(0, 0), si existen. 12 ' Y { 2xy 25. f(x, y) = + yz { xzy2 26. f(x, y) = ;4 + y4 27. f(x, y) = si (x, y) :¡:. (0, O) si (x, y) = (0, O) si (x, y) :¡:. (0, O) si (x, y) = (0, O) an - - y tan - J - si x :¡:. O Y y :¡:. O { x2t - ¡ Y 2 X X y 0 sea que x = O o bien y = o 28. Dado u = f(x, y), x = F(l), Y Y == C(l), Y suponiendo que ¡; _ ¡, de xy - yx• muestre, usando la regla de la cadena, que rf2u dt z = fx.,(x, y)[F'(t>JZ 29. Dado que u = / (x, y), x "' F(r, , 1 G(r, s) , Y suponiendo que/, - j ,.,. - tre, usando la regla de la c'adcna, • í} 2 u es = y)F,(r. s)F.(r, s) + /,y(x, Y)[ F,(r, s)G,(r, s) + F,(t, + f,.y(x, y)G,(r, s)G,,(r, s) + fx(.\, 1 + f,(x, y )G.,(r, s) 30. Dada u = eY cos \" _ 21 J d 2 2 • , . - , y = 1 ' ul d1 de tres maneras : (a) mero u en términos de t; (b) empleandll mula del ejercicio 28; (e) empleandu 1 de la cadena. 31. Dada u = 3xy - 4y2, x = 2 ser y b 2 2 • o ul or de tres maneras: (u) san do pnmero u en términos de r fht picando la fórmula del ejemplo 5; (e) u la regla de la cadena. 32 · u, x Y Y, como se indicaron en d CIO 31, obtenga a2ulosor de tres 11111 (a) expresando primero u en término, r; (b) la fórmula del ejercicio 111 empleando la regla de la cadena. 33. Dada u = 9x2 + 4y2, x = ,. cos 8 Y 1 8, determine o2u/ or2 de tres expresando primero u en términos de' (b) empleando la fórmula del ejemplo , usando la regla de la cadena. • 34. Para u, x Y y, como se dieron en el ejcr 33, determine o 2u; o O 2 de tres manera\ expresando primero u en términos de r (b) empleando la fórmula del ejemplo S usando la regla de la cadena. 35 · 11 • x Y y, c:omo indicaron en el <.:10 33. determine de tres 11 ras: (a) expresando primero u en términv ,. Y O; (b) empleando la fórmula uel cjcr¡· 29; (e) usando la regla de la cadena. 36. Suponga u = /(x, y) Y v = g(x, Y), y J_ Y g Y su pnmera Y segunda derivadas Cla.les son continuas. Demuestre que si u las ecuaciones de Cauchy-Riem el ejercicio 37 de los ejercicios 1 sat isfacen la ecuación de + 2fxp(x, y)F'(t)G'(t) + J;,,(x, y)[G'(t)JZ + fx(x, y)F"(t) + J;,(x, y)G"(t) (ejerCICIOS del J9 al 22). 37. La ecuación diferencial unidimensional de conducción de calor es ou = F a 2 u oc ox 2 16.8 Condiciones suficientes de diferenciabilidad (suplementaria) 1239 que si fes una función de x que sa- ll,lace la ecuación ,¡J¡ tl\z + ).Zj(x) = O y una función de t que satisface la ecua- .lúu dgl dl + k 2 >-. 2 g(f) = O, entonces si u = /( I)R(I), la ecuación diferencial parcial se tumple; k y >, son constantes. ! 11 diferencial parcial para una cuer- ,¡,1 que vibra es o 2 u 0 2 11 - =az ()¡ 2 ox2 1 k muestre que si fes una función de x que la ecuación d2jl dx2 + >,2j(x) = O y 11 e:' una función de t que cumple la ecuación d 2gldt 2 + a 2 'A 2 g(1) = O, entonces si u = f(x)g(t), la ecuación diferencial parcial se satisface y a y 'A son constantes. 39. Demuestre que si/y g son dos funciones ar· bitrari as de una variable real que tiene segundas deri vadas cominuas y u = j(x + al) + g(x - al), entonces u satisface la ecuación diferencial de la cuerda vibratoria dada en el ejercicio 38. (Sugerencia: Sea v = x + at y w = x- at; entonces u es una función de v y w, y v y w son a su vez funciones de x y t.) 40. Demuestre que si/es una función de dos variables y todas las derivadas parciales de f, hasta el cuarto orden, son continuas en algún disco abierto, entonces .8 CONDICIONES SUFICIENTES DE DIFERENCIABILIDAD (Suplementaria) La demostración del Teorema 16.5.4, que proporciona las condiciones suficientes para que una función de dos variables sea diferenciable en un pumo, se pospuso hasta esta sección. Primero se enuncia un teorema necesario para la demostración. Se trata del teorema del valor medio para una función de una sola vari able, aplicado a una función de dos 10.8.1 TEOREMA Sea f una función de dos variables <;lefinida para toda x en el intervalo cerrado [a, b] y para toda y en el intervalo cerrado [e, d]. (i) Si DJ(x, y 0 ) existe para alguna Yo en [e, d) y para toda x en [a, b]. entonces existe un número en el intervalo abierto (a, b) tal que f(b, Yo) - f(a, Yo) = (b - a) Yo) (1) (ii) Si D?.f(x 0 , y) existe para alguna x 0 en [a, b] ·y para toda y en [e, d], entonces existe un número en el intervalo abierto (e, d) tal que (2) Antes de demostrar este teorema, lo interpretamos geométricamente. Para la parte (i) veamos la Figura 1, que muestra la parte de la superficie z = f(x, y), arriba de la región rectangul ar en el plano xy, limitada por las rectas x = a, x = b, y = e y y = d. El plano y = Yo corta la superficie en la curva representada por las dos w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1240 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE / A(a,yo,f<a, yo» -- - ---,:- /(11, Yol- f(b, Yo) - -- __ -t_ X X FIGURA 1 FIGURA 2 ecuaciones y = Yo y z == f(x, y). La pendiente de la recta que pasa por los A (a, Yo. /(a, Yo)) Y B (b, Yo. f(b, Yo)) es , D ) = f(b, Yo) - f(a, Yo) 1 .... Yo b-a El teorema 16. 8. 1(i) afirma que hay un punto • y 0 )) sobre la curva los puntos A y B donde la recta tangente es paralela a la recta secante a A y B; es decir, existe algún número en (a, b) tal que y 0 ) = [f(b, f(a, y 0 )]1(b - a), y esto se ilustra en la figura, para la cual y 0 ) < O. La Figura 2 ilustra la parte (ii) del Teorema 16.8.1. El plano x = x 0 corta perficie z = f(x, y) en la curva representada por las dos ecuaciones x = x 0 y f(x, y). La pendiente de la recta que pasa por puntos e(x 0 , e, f (x 0 , e)) y d, f(x 0 , d)) es [f(x 0 , d)- f(x 0 , e)]l(d- e), y el Teorema 16.8. l{ii) afirma que algún punto (x 0 , f(x 0 , sobre la curva entre los puntos e y D, donde la tangente·es paralela a la recta secante a través de e y D; es decir, existe algún en (e, d) tal que D !( ) _ f(Y.o. d) - f(xo. e) 2 xo. '>2 - d - e Demostración del Teorema 16.8.1(i) Sea g la función de una variablex definida g(x) = f(x, Yo) Entonces g'(x) = D d(x, Yo) 1 6.8 Condiciones suficientes de diferenciattilidad (suplementaria) 1241 [ b] sabemos que g'(x) existe para toda x Como DJ(x, Yo) existe para x en a[ b] Así por el teorema del valor medio en [a, b] , Y por lo g es • en (a, b) tal que (4.3.2) para las denvadas or manas g(b) - g(a) g'{e¡)== b - a f(b, Yo) - f(a, Yo) -= D.f(e •• Yo)= b-a de lo cual obtenemos f( b y) _ f(a y 0 ) = (b- a)D.f(e •• Yo) . . . • o • (') de a como e)ercJ- • . , de la parte (ii) es análoga a la de la parte • Y se J • La demostrac10n cío para el lector (vea el ejercicio 17). . . (l) se puede escribir en la forma La ecuac10n f(xo + h, Yo) - f(xo, Yo)= hD.f(e •• Yo) . h h es positiva o negativa (vea el ejercicio 1). donde esta entre Xo Y Xo + Y (3) . . ( 2 ) se puede escribir en la forma La ecuac10n (4) f(xo, Yo + k) - f(xo. Yo) = kDzf(xo. e2) . . . . k y k es positiva o negativa (vea el e)erctcto 2). donde 6 esta entre Yo Y Yo + EJEMPLO 1 Dada 2xy f(x, y)= 3 + x obtenga la requerida por el Teorema 16.8. 1' si x está en [2, 5] Y Y = 4. Solución 6y D.f(x, y) == ( 3 + x)2 Por el Teorema 16.8.1(i) existe un número en el intervalo abierto (2, 5) tal que f(S, 4) - f(2, 4) ==(S- 2)D¡J(e¡, 4) 16 24 s - 5 == 3 . (3 + e ¡)2 9 72 -s= (3 + (3 + = 40 3 + = ±2Jlo w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1242 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE Pero como 2 < < 5, tomamos solamente signo + y obtenemos e,= 2JT0 - J EJEMPLO 2 Dada f(x, y) = 3xeY - 2ye" determinar la que pide el Teorema 16.8. 1 si y está en [0, 4) y x = 3. Solución Dlf(x, y) = 3xeY - 2e" Por el Teorema 1 6.8.1 (ii) existe un número 6 en el intervalo abierto (0, 4) tal /(3, 4) - !(3, O)= (4 - O)Dlf(3, e 2 ) (9e4 - 8e 3 ) - 9 = - 2e3) 9e 4 - 8e 3 - 9 == - 8e3 == 9e 4 - 9 == i(e 4 - 1) é 2 :::::: 13.40 ez:::::: In 13.40 e2:::::: 2.6o A continuación se vuelve a enunciar el Teorema 16.5 .4 con su demostración, 16.5.4 TEOREMA Sea f una función de dos variables x y x. Supóngase que DJ y Dlf existen en disco abierto B(P 0 ; r), donde P 0 es el pumo (x 0 , y 0 ). Entonces, si DJ y D2f continuas en P 0 , fes diferenciable en P 0 . Demostración Escójase el punto (x 0 + L\x, y 0 + dy), por tanto está en B(P 0 ; Entonces, !lf(xo, Yo) = f(xo + llx, Yo +Ay) - f(xo, Yo) AJ restar y sumar f(x0 + ÁX, y 0 ) al lado derecho de la ecuación anterior /lf(xo. Yo) = [f(xo + !lx, Yo + t. y) - f(xo + !lx, Yo)] + [f(xo + !lx, Yo) - f(xo, Yo)] Ya que D¡J y Dlf existen en B(P0 ; r) y (x 0 + Ax, y 0 + Ay) está en B(P 0 ; r), de (4) concluimos que f(xo + !lx, Yo + !ly) - f(xo + !lx, Yo) = (!ly)Dzf(xo + llx, e2) ctonde está entre Yo y Yo + Ay. Condiciones suficientes de diferenciabilidad (Suplementaria) 16.8 De (3) sabemos que 1243 . + !lx Y ) _ f(x 0 , y 0 ) = (!lx)D J(e t• Yo) f(x.o ·, o . L\x Sustituyendo de esta ecuación Y (6) en (5) ob- donde esta entre .xo Y Xo + · tenemos A/( y)= (ó.y)Dd(x 0 + !lx, + Yo) u x o, o , + Ay y 1J-¿/ es + Ay) está en B(Po; r), esta entre Yo Y Yo ' Como (x 0 + Ax, Yo (7) conti nua en p0, concluimos que (B) lím Dzf(xo + ó.x, = Dd(xo, Yo) (óx,óy) -(0. 0) . p y como esta entre Xo Y o , x + Ax y DJ es contmua en O• lím D.J(e t• Yo)= DJ(xo. Yo) (óx,ó¡•) - (0.0) . Si E¡= Yo) - D,f(xo, Yo) entonces, Cle (9), lím E¡ =O (óx.óy)-(0.0) y si ··• E2 = Dd(xo + ó.x, Dzf(xo, Yo) de la ecuación (8) sabemos que lím E 2 =O (óx.óy) - (0 . 0) • Sustituyen o . d de ( 10 y (12) en (7) se obtiene llf(xo, Yo) = lly[Dd(xo, Yo)+ E2] + llx[DJ(xo, Yo)+ E¡] (9) (lO) (1 1) (12) (13) - D f(x 'Yo) ó.x + Dd(xo, Yo) !ly +E¡ !lx + E2 6.y <=> !lf(xo, Yo)- 1 ° . r· · 'ó 16 52· por tan- . , (11) y (13) vemos que es váhda la De JmcJ n . . ' Con esta ecuac10n, ' to, ¡es diferenciable en (xo. Yo). 16.8 l. Muestre que la ecuación (1) pued.e escribirse en la forma de (3), donde este entre Xo Y xo + h. d e 2 Demuestre que la ecuación (2) pue e expr - . sarse en la forma de (4), donde h está entre Yo Y Yo + k. ¡ 11 ose)erct 1 ... ' 1 . ·c·0,., 3 a 8 aplique el Teorema 16.8./(i) ¡1111·a determinar J. f(x, y)= x 2 + 3xy _ y 2 ! x está Y = 4 4. f(x, y) = xJ _ yl ; x esta en [2, 6], Y - 3 4x . [O 4 ]. y - -6 S. j '(x y) = - - ; x esta en , , - ' x + y 6 f(x y) = 2 x - Y; x está en [ - 3, 3]; Y = 5 • ' 2y+ X ?. f(x y)= cos x +y; x está en [ - n, n]; Y = 4 S. f(x: y) = ln(x + y); x está en [0, 2]; Y = 1 w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1244 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE En los ejercicios 9 a 14, aplique el Teorema 16.8./(ii) para obtener h· 9. La función del ejercicio 3; y está en [-2,2); X= 0 10. La función del ejercicio4;yestá en [-3, - !); X= 7 ll. La función del ejercicio 5; y está en [- 2,2]; X= 4 12. La función del ejercicio 6; y está en [0,4); x = 2 13. f(x, y) = eY tan x; y está en {3, 5]; x = tn 14. f(x, y) = cos x + sen y; y está en [- in, in]; x = tn En los ejercicios 15 y 16, utilice el Teorrmtl para demostrar que fes diferenciablt• rtt { x3y3 15. f(x, y) = + y4 { x4 + y4 16. f(x. y) = + y2 si (x, y) # (0, 0) si (x, y) = (0, 0) si (x, y) # (0, 0) si (x, y) = (0, 0) 17. Demuestre el Teorema 16.8.1(ii). EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 16 En los ejercicios 1 a 4, determine el dominio de la función f y trace una gráfica donde muestre, como una región en R 2 , el conjunto de los puntos en el dominio. l. f(x, y)= Jx 2 + 4y 2 -16 6 2. f(x, y)= -r=== = ../36 - x 2 - y 2 3. f(x, y) = In( y - x 2 ) 4. f(x, y)= sen- 1 (5 - x 2 - y2) En los ejercicios 5 y 6, determine el dominio de f y describa la región en R3 que corresponde al conjunto de puntos en el dominio. X S. f(x, y, z) = IYI - lzl 6. f(x, y, z) = ln(x 2 + y 2 + z 2 - 4) En los ejercicios 7 y 8, determine el dominio de f y muestre un dibujo de la gráfica de f 7. f(x, y) = J36 - 4x 2 - 9y 2 8. f(x, y)= 16x 2 - y 2 9. La función de producción para un cierto ar- tículo es J, donde f(x, y) = 4x 112 y x y y ex- presan las cantidades de dos insumos. Trace de contornos de f que muestre las curvas de producción constante en 16, 8, 4 y 2. 10. La temperatura en un punto (x, y) de una za plana de metal es de t grados, y t + 2y. Dibuje las isotermas para 1 = O, 6 y 8. En los ejercicios 11 a 24, evalúe las derivadCI' ciales que se indican. 11. ·f(x, y) = 2x 2 y - 3xy 2 + 4x - 2y; (a) D 1 f(x, y); (b) Dzf(x, y); (e) D 1 J(x, y). (d) D 22 f(x, y); {e) D 1 zf(x, y); (f) D 2 J(x, 12. f(x, y) = (4x 2 - 2y) 3 ; (a) / 1 (x, y); (b) / 2 (),., (e) f ,t (x, y); (d) fn(x, y); (e) / 12 (x, y); (f) / 21 (x, y). x2- y 13. f(x, y) = - 3 - 2 - ; (a) fx(x, y); (b) J;,(x, y); . y (e) J.,(x, y); (d) J;,x(x, y). 14. f(r, s) = re 2 "; la) D,f(r, s); (b) D.f(r, s); (e) D,J(r, s); (d) D.,f(r, s). 15. g(s, t) = sen(st 2 ) + te•; (a) D,g(s, t); (b) D,g(,,, (e) D.,g(s, t); (d) D,.g(s, t). x3 16. h(x, y) = tan- 1 2 ; (a) D 1 h(x, y); (b) D 2 h(>., y (e) D 1 ,h(x, y); (d) D 22 h(x, y). X 17. f(x, y) = e•IY + In - ; (a) fx(x, y); (b) J;,(x, y); y (e) fx.(x, y); (d) j,y(x, y). 18. f(x, y) = lnJx 2 + y 2 ; (a) ¡;(x, y); (b) f t, (x,y); (e) fdx,y); (d)/ 121 (x, y). / 1\ Y z) = x 2 ;(a) Dtf(x, y,z); ' , xz + i + z Ejercicios de repaso 1245 2), el incremento de f en (0, 2); (b) t:.f(O, 2 ) cuando t:.x = -0.1 Y t:.y = 0.2; (e) dj(O, 2, t:.x, t:.y), Ja diferencial total dejen (0, 2); (d) lhl l> zf(x, y, z); (e) D3f(x, y, z). 11 ,, y, z) = Jxz + 3yz - z 2 ; (a) üx, y, z); thl (r(x , y, z); (e) f:(x, y, z). /( 11,11, w) = Jn(u2 + 4112- Sw2);(a)fuM'.,(u, 11, w); lhl r ... 11, w). . /ll . s, t) = ¡2e4rs•; (a) J,(r, s, 1); (b) j,,(r, s, t), dj(O, 2, -0. 1, 0.2). . 33. Si f(x, y, z) = 3xy2 - 5xz2- 2xydz. /deter(mt ne: (a) t:.j(- 1, 3, 2), el incremento e en - • 3 , 2 ); (b) t:.j(- 1, 3, 2) cuando t:.x == 0.02, t:.y = - O.OI, y t:.z == - 0.02; (e) dj(- 1, 3, 2, t:.x •. t:.y, t:.z) , la diferenciación de f en (-1 • 3, 2 ), (d) dj(- 1, 3, 2, 0.02, -0.01 , - 0.02). Dada j(x) = x2 + 1, g (x, y) = 2x/3y Y h (x) 34 ' = 1/x, determine: (a) (h 0 g) <- 3 , 4 ); 0 (b) g{f(3), h(!)); (e) g{f(x), Jt(y)); (d) f((h g) ¡1 1 {,,..(r, s, t). In 4rs . )· / (r, s, t) = (a) Dtf(l , S, t' lhl 1) 13 f(r, s, t); (e) D t3 tf(r, s, t). / (11 , v, w) = w cos 2v + 311 sen ll - 2ull tan w; (¡1) Dzf(u , v, w); (b) D ,f(u, v, w); Ir) D 13 1J(u, v, w). 2 2 2 2 z 'l IV = x2y _ ylx +y z- z y + Z X- X , 11t muestre que íhv ow ihv O + - + - = ax ay oz ...,, ., = (x2 + y2 + zz)- 1 12, demuestre que ,,zu 02 u 0211 o +-+ -= ,1x 2 oi OZ 2 •1 /liS ejerciciOS 27 y 28, determine é)u/ é>t y 11 ¡)s por dos métodos. ti 11 -= y ln(xz + l ), x = 2s + 31; y = 2 31 - 2s • 11 " é "+' cos(2y - x), x = 2s- - l • 1' sz + 212 3 jlj , Si u == 3x2y + 2xy- 3yz- 2z2, x = e rs, 1 , = r3s2, y z = In 4r, obtenga C>u! C>r por dos métodos: (a) emplee la regla de la ca.de- 11 a; (b) sustituya x, Y y z antes de diferenctar. 1 S . - e"' +, , - 3x + 3z x == sen O' y = 11 , 1 11 - y •· r os O, Y z = tan 8, obtenga la derivada total tlu! dO por dos métodos: (a) exprese u en lérminos de O antes de diferenciar; (b) u en términos de O antes de diferenCiar. ll Si u == xy + xl' x == 4 cos t, y y = 3 sen 1 calcule el valor de la derivada total du! dt c'n t = J n por dos métodos: (a) no u en tér:ninos de t antes de diferenciar; .(b) exprese u en términos de t antes de dtfe· renciar . . rro U. Si f(x, y) = x2 + yeX, determme: (a) t:.J \ ' (X, y)). En los ejercicios 35 a 37, evalúe el dado me- diante el uso de los teoremas de lfrmtes. ( x2 ) 35. lím In -- 1 (x.¡•)-(e.Ol Y + xy 2 + tr 36. lím (x,y)- (0.•/ 2) cos x + sen Y ( 3x) 37. Jím sen- 1 2 (x ,y) - ( 1, 3) Y En los ejercicios 38 a 40, obtenga el límite deter- minando una S > O para cualquier € > O tal que la Definición 16.2.5 sea válida. 38 . Jím (4x - Sy) = 21 (¡r,y) - (4, - 1) 39. lím (3X 2 - 4/) = - 4 (x.y) - (2. - 21 40 . Jím (xl - / + 2x - 4y) = 10 (x,y) • •(3.1) . . . 41 a 44 determine si el límite En los e¡erctctos • existe. x3y3 41. lím -rz (.q)-(0.0 ) X + Y x9y X 4 - l 42. lím -¡- 4 (x. 1 ) -(0.0l X + Y 2x3 + 4x 2 y 44. Hm ¡ 1 yl (.<.y) - (0. 0) ,'( • 43. Jím ( 6 2)2 (J<.y) - (0.0) X + Y En los ejercicios 45 a 49, determine todos los JJ/111 tos en los que fes continua. w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1246 CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE 1 1 46. f(x, y)= --+-- cos {nx cos fny 1 47. f(x, y) = cos2 }nx + cos 2 fny { x4 _ y4 . 48 !( ) - 4 - - 4 SI (X, y) :fi (0, 0) . x,y = x +y O si (x, y) = (0, O) (Sugerencia: Vea el ejercicio 42.) { x3y3 . 49. f(x, y) = xl + y2 SI (x, y) :fi (0, O) O si (x, y) = (0, O) (Sugerencia: Vea el ejercicio 41.) 50. Suponga que Ot es la medida en radianes de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo Y sen Ot está determinado por ale, donde a cm es la longitud del lado opuesto al ángulo Y e cm es la longit ud de la hipotenusa. Si se encuentra que la medida de a es 3.52 y la de e es 7.14, con un posible error de 0.01 en cada una de ellas, determine el error posible en el cálculo de sen Ot a partir de tales medidas. 51. Un pintor cobra $2 (dólares) por metro cua- drado por pintar las cuatro paredes y el techo de una habitación. Si las dimensiones del techo son 4 m por 5 m, la altura de la habita- ción es de 3 m y dichas medidas son correc- tas en 0.5 cm, calcule aproximadamente, empleando la diferencial total, el máximo error en el cálculo del costo del trabajo total a partir de estas medidas. 52. En un instante dado, la longitud de un lado de un rectángulo es de 6 cm y se incrementa a razón de 1 cm/ s; la longitud de otro de sus lados es de 10 cm y disminuye a razón de 2 cm/s. Calcule la tasa de variación del área del rectángulo en el instante señalado. 53. El radio de un ci lindro circular recto decrece a razón de 5 cm/min y la altura crece a ra- zón de 12 cm/ min. Determine la tasa de va- riación de su volumen en el momento en que el radio es de 20 cm y la altura es de 40 cm. 54. Obtenga la pendiente de la recta tangente a la curva de int ersección de la superficie 25x2 - 16y 2 + 9z 2 - 4 = O con el plano x = 4 en el punto (4, 9, 10). 55. Use la ley del gas ideal (vea el ejemplo 5, sec- ción 16.4) con k = 1.4, para determinar con qué intensidad varía la presión en el instante en que l<Hemperatura Kelvin es H men del gas es de 20 L, si la aumenta a razón de 0.5 K/ min, y .,1 lo hace a 0.3 L min. En los ejercicios 56 y 57, demuestre flll' ción fes diferenciable en todos los /)1111 dominio, mostrando que la Dejinicióil 1 válida 56. f(x, y) = 3xy 2 - 4x 2 + y2 2x +y 57. f(x, y) = -- 2 - y 58. Si s. producen f(x, y) unidades con , jadores y y máquinas, entonces DJI 1 denomina productividad marginal di' de obra y Dy!(x, y) recibe el nombn• d• ductividad '!larginal de máquinas. que f(x, y)== x 2 + 6xy + 3y 2 donde 5 x 30 y 4 y 12. (a) 1 mine el nümero de unidades que se p1 al día cuando la mano de obra en ese dht ta de 15 trabajadores y se emplean 8 nas. (b) Ut ilice la product ividad margl mano de obra para determinar el n aproximado de unidades adicionales q pueden producir en 1 día si la fuerza In se incrementa de 15 a 16 y el número quinas permanece fijo en 8. (e) Emplee fu ductividad margi nal de máquinas determinar el número aproximado de des adicionales que se pueden produci r día si el número de máquinas se · de 8 a 9 y el número de trabajadores nece fijo en 15. 59. Determine (a)f2(x, 0) si x * O y (b)f2(0, { 12x 2 y - 3y2 f(x, y) = x 2 + y si (x, y) :fi (0, 0) O si (x, y) = (0, ll) 60. Compruebe que u (x, y) = (senh x) (sen y) tisface la ecuación de Laplace en R2: 'il res una función diferenciable de la varia- 11 , sea u = x2 + y 2 y demuestre que z xy + f(x2 + y2) cumple la ecuación oz oz 2 2 ¡•- -x- =y -x ax ay l u ecuación de Laplace en coordenadas po- lnrcs, es o 2 u ou o 2 u ,. 2-+ r-+-=0 or 2 or o0 2 Compruebe que u(r, 0) = rn sen n(J, donde 11 es una constante, cumple esta ecuación. Verifique si u(x, y, z) = rlx+ 4 Y sen 5z satis- lace la ecuación de Laplace en R 3 : il 2 u o 2 u iJl u 0 -+-+- = t1x 2 oyl oz 2 Verifique si u(x, t) = A cos(kar) sen(kx), donde A y k son dos constantes arbitrarias, sa- lisface la ecuación diferencial parcial para una c.: uerda vibrante: ()2u 2 iJ2u -=a- ot 2 ox 1 <'o m pruebe que ll1l X ( -•'•' k'l'-'1• u(x, t) = senL e la ecuación diferencial parcial uni - dimensional para la conducción de calor au = k2 ot qx- Ejercicios de repaso 1247 64. Dada si (x, y) '# (0, 0) si (x, y) = (0, O) Demuestre que DJ(O, O) y D?)"((, 0) existen pero que f no es diferenciablc en (0, 0). (Su- gerencia: Vea el ejemplo 6, sección 1 6.2, Y el ejercicio 10 de los ejercicios 16. 3.) 67. Dada f(x, y, z) = si (x, y, z) :fi (0, O, O) si (x, y, z) = (0, O, O) demuestre que fes diferenciable en (0, O, 0) 68. Sea f la función definida por { e- :'x' y si x :fi O f(x, y)= e-2/x + i O si x = O Demuest re quejes discont inua en el origen. 69. Para la función del ejercicio 68, demuestre que DJ(O, O) y D?.f(O, O) existen. 70. Si fes una función diferenciable de x Y y, Y u = j(x, y), x = r cos 8, y y = r sen 8, demuest re que ( 011 )2 1 (au) 2 (au) 2 (ou) 2 or + ? oO = iJx + iJy w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com

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