Ejercicios para resolver: Establezca si cada una de las siguientes igualdades es válida o no. Reemplace cada proposición falsa por una que sea correcta. a. 3x + 4x = 1x Respuesta: a) Cierto. b. (3x)(4x) = 7x Respuesta: falso = 12x 2 c) 2(5 - 4y) = 10 - 4y Respuesta: falso = 10 – 8y d. -(x + y) = -x + y Respuesta: falso = -x - y e. 5x - (2 - 3x) = 2x - 2 Respuesta: falso = 8x - 2 f. 5 -2x = 3x Respuesta: falso = no se simplifica. g. -3(x - 2y) = -3x - 6y Respuesta: falso = -3x + 6y h. (-a)( -b)( -c) ÷ (-d) = - (abc ÷ d) Respuesta: falso = abc/d i. a ÷ (b ÷ c) = (ac) ÷ b Respuesta: cierto j. a - (b -c) = ( a + c) - b Respuesta: cierto. Ejercicios para resolver. Simplifique las expresiones siguientes: a) 5- (-3) = b) (-3)( -7)= c) -(2 -6)= d) (-5)( -3)( -2)= e) -2(-4 -2)= f) -(-x -3)= g) -2(-x -2)= h) -x (-y -6)= i) (-2) (-x) (x + 3)= j) (-3p)(2q)(q -p)= k) (-2x)( -3)( -y -4)= l)3x -1 -2(x-1)= m) -7 - (-3)= n) 8 ÷ (-2)= o) -(-4 - 3)= p) 3(1 - 4)= q) -4(3 - 6)= r) 3(x - 4)= -4(x - 6)= x(-y)( -z)= s) (-x)(-y)(2-3z)= Ejercicios para resolver. ( ) ( ) 8 3 15 4 2 5 3 6 10 7 14 15 25 24 2 3 5 14 3 6 15 12 25 15 7 20 7 2 3 5 3 8 4 15 1 2 1 3 1 4 1 5 7 2 3 15 3 | \ | . | | \ | . | = - - = | \ | . | | \ | . | = ÷ | \ | . | ÷ = | \ | . | ÷ | \ | . | = - | \ | . | ÷ = ÷ | \ | . | = | \ | . | ÷ | \ | . | = ÷ + = ÷ | \ | . | ÷ | \ | . | = x y y x y xy x xy x x x x y y Ejercicios para resolver. Simplifique las expresiones siguientes. No use paréntesis o exponentes negativos en la respuesta final. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 2 5 5 3 3 3 1 2 2 3 3 2 1 3 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 5 3 2 2 4 3 4 2 1 5 1 3 4 2 2 3 2 1 2 2 2 1 2 1 2 3 3 1 1 2 2 2 3 2 2 3 4 2 5 2 3 2 2 4 1 2 2 2 2 3 1 3 2 1 3 2 2 3 3 2 2 4 3 2 2 1 3 3 1 2 3 4 2 5 . 40 5 1 2 2 . 39 3 2 . 38 6 4 . 37 6 4 4 . 36 10 2 5 . 35 15 2 12 5 . 34 15 2 10 3 . 33 2 1 5 6 . 32 2 3 14 3 7 . 31 . 30 . 29 2 2 . 28 2 . 27 3 2 . 26 3 2 . 25 2 3 . 24 3 2 . 23 . 22 2 . 21 2 2 . 20 3 3 . 19 . 18 2 . 17 . 16 . 15 5 5 1 . 14 3 3 1 . 13 3 3 . 12 4 2 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7 3 . 6 . 5 4 2 . 4 2 2 . 3 3 . 2 2 . 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ | | . | \ | + ÷ | . | \ | + ÷ | | . | \ | ÷ ÷ ÷ ÷ | | . | \ | ÷ ÷ | | . | \ | ÷ + ÷ ÷ ÷ + ÷ | . | \ | ÷ ÷ | . | \ | ÷ | . | \ | + | . | \ | | . | \ | ÷ + ÷ + ÷ + ÷ + ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ | . | \ | ÷ ÷ | . | \ | ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ | . | \ | ÷ ÷ ÷ ÷ x x x x x x x y x xy y x x x x y x y x x y y x x x xy x y x x x x x x b a y x xy y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x y x x x bc a c ab y x xy b a ab xy y x xp pq x xyz z xy ab y x z y yz xy yz x x x x x Resuelva los siguientes ejercicios: Resultados: Ejercicios varios (investigue su resolución a la simplificación a la forma radical más simple: Ejercicios para resolver. (1-6) Utilice el método de la lista para describir los conjuntos siguientes. 1. El conjunto de todos los enteros menores que 5 y mayores que -2. 2. El conjunto de todos los naturales menores que 50 3. El conjunto de todos los primos menores que 20. 4. ¹ ´ ¦ + = 2 1 | h y y , h es un número natural 5. {x|x es un factor primo de 36} 1 6 3 2 9 2 3 16 4 18 2 5 3 9 2 5 8 4 4 3 4 3 2 3 3 . . . . . x x m n x y m n mn = = = = = 1 2 2 4 9 3 36 4 4 2 5 10 5 5 4 6 . . . . = = = = = R R R R R = = = = = 2 6 3 2 5 2 2 3 6. ¹ ´ ¦ ÷ = 1 1 | n p p , n es un número primo menor que 20 (7-12) Utilice el método de la regla para describir los conjuntos siguientes. 7. El conjunto de todos los números pares menores que 100. 8. El conjunto de todos los números primos menores que 30. 9. {1, 3, 5, 7, 9…., 19} 10. {…,-4,-2, 0, 2, 4, 6,…} 11. {3, 6, 9,…} 12. {1, , 4 1 , 3 1 , 2 1 …} 13. Establezca si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas. Si son falsas, explique por qué a. } 3 , 2 , 1 { 2e b. } 4 , 3 , 2 , 1 { 3 _ c. } 7 , 5 , 2 , 1 { 4e d. } , , { } , { c b a b a _ e. 0 = C f. C = } 0 { g. C e 0 h. } 0 { e C i. } 0 { _ C j. {1, 2, 3, 4} = {4, 2, 1, 3} k. ¹ ´ ¦ = ÷ ÷ 0 2 ) 2 ( | 2 x x x = { x|x -2 =0} l. If C entoncesA C ByB A _ _ _ , . m. If C entoncesA A ByB A = _ _ , . n. El conjunto de todos los rectángulos del plano de un subconjunto del conjunto de todos lo cuadrados del plano. o. El conjunto de todos los triángulos equiláteros es un subconjunto del conjunto de todos los triángulos. p. El intervalo abierto (a,b) es un subconjunto del intervalo cerrado [a, b]. q. } 5 1 { } 3 2 | { s s e s s y x x 14.- Si A es el conjunto de todos los cuadrados del plano, B el conjunto de todos los rectángulos del plano y C es el conjunto de todos los cuadriláteros del plano, entonces ¿Cuál de estos conjuntos es un subconjunto de otro (o de qué otros)? Ejercicios de desigualdades. Resuelva las desigualdades siguientes: 1. 5 + 3x < 11 2.- 2u – 11 s 5u + 6 3.- 3(2x – 1) > 4 + 5 (x – 1) 4.- ( ) 3 1 6 1 2 4 1 ÷ < ÷ ÷ x x x 5.- 3 – 2y > 7 6.- 5x + 7 > 31 – 3x 7.- 1 4 3 2 3 4 + ÷ > + x x 8.- ) 4 1 ( 2 ) 4 ( 5 1 2 3 x x ÷ ÷ > + 9.- 4 – 2x < x – 2 < 2x – 4 10. 2x – 3 < 1 + x <3x – 1 11.- 5X – 7 > 3X + 1 > 6X – 11. 12.- (Utilidades del fabricante) Un fabricante de aparatos de alta fidelidad puede vender todas las unidades producidas al precio de $150 cada una. Tiene costos fijos a la semana de $15,000 y costos por unidad de $100 en material y mano de obra. Determine el número de aparatos que deberá fabricar y vender cada semana con el propósito de obtener utilidades semanales de $1000. 13.- (Decisiones sobre contratación de maquiladores) Una empresa puede encomendar a un contratista que empaque cada unidad de su producto a un costo de $2.75. Por otra parte, la empresa puede empacar sus productos instalando una máquina empacadora. Su instalación incrementará los costos fijos de la empresa a $2000 al mes y los costos mismos de empaquetamiento $1.50 por unidad. ¿Cuántas unidades tendría que producir al mes para que la instalación empacadora fuera rentable? 14.- (Publicación de revistas) El costo de publicar cada ejemplar de la revista semanal Compra y Venda es de $0.35. Los ingresos del representante de ventas son de $0.30 por ejemplar y los ingresos de la publicidad corresponden al 20% de los ingresos obtenidos por ventas que exceden los 2000 ejemplares. ¿Cuántas copias deberá publicar y vender cada semana para obtener ingresos semanales de al menos $1000? 15.- (Publicación de revistas) El editor de una revista mensual tiene costos de publicaciones de 60.5 centavos por copia. El ingreso del representante de ventas es de 70 centavos por ejemplar, y los ingresos de la publicidad el 15% de los ingresos obtenidos de las ventas que sobrepasan los 20,000 ejemplares. ¿Cuántos ejemplares deberá publicar y vender al mes para asegurar utilidades que sobrepasen los $4000? EJERCICIOS DE DESIGUALDADES (1-19) Resuelva las desigualdades siguientes. 1.- (x - 2) (x - 5) < 0 2.- (x + 1) (x - 3) s 0 3.- (3x -1) (x + 2) > 0 4.- 9x > x 2 + 14 5.- x(x + 1) < 2 6.- x(x -2) > 3 7.- y(2y + 1) > 6 8.- 3y 2 > 4 - 11y 9.- (x + 2) (x - 3) > 2 - x 10.- (2x + 1) (x - 3) < 9 + (x + 1) (x - 4) 11.- x 2 > 4 12.- 9x 2 < 16 13.- x 2 + 3 > 0 14.- x 2 + 1 s 0 15.- x 2 + 4 < 4x 16.- x 2 + 2x +1 > 0 17.- x 2 + 9 > 6x 18.- x 2 + 13 < 6x 19.- x 2 + 7 > 4x 20. (Ingresos del fabricante) Al precio de p por unidad, x unidades de cierto artículo pueden venderse al mes en el mercado, con p = 600 - 5x. ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con objeto de obtener ingresos por lo menos de $18,000? 21. (Ingresos del fabricante) Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana al precio de p dólares por unidad, en donde p = 200 - x. ¿Qué número de unidades deberá venderse a la semana para obtener ingresos mínimos por $9900? 22. (Decisiones de producción) en el ejercicio 20, si cuesta (8000 + 75x) dólares producir x unidades, ¿cuántas unidades deberán producirse y venderse cada mes con objeto de obtener una utilidad de al menos $5 500? 23. (Decisiones sobre fijación de precios) En el ejercicio 21, si cuesta (2800 + 45x) dólares producir x unidades, ¿a qué precio p deberá venderse cada unidad para generar una utilidad semanal de por lo menos $3 200? 24. (ingresos del editor) Un editor puede vender 12 000 ejemplares de un libro al precio de $ 25 cada uno. Por cada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. ¿Qué precio mínimo deberá fijarse a cada ejemplar con objeto de lograr ingresos por lo menos de 300,000?