UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUIMETODOS NUMERICOS APLICAICON DEL METODO DE GAUSS JORDAN EN LA INGENIERIA CIVIL ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS, MÉTODOS APROXIMADOS DE ANÁLISIS. 1 GENERALIDADES. Cuando una estructura tiene más reacciones externa o fuerzas internas que las que pueden determinarse con las ecuaciones de la estática, la estructura es estáticamente indeterminada o hiperestática o continua producirá fuerzas cortantes, momentos flexionantes y deflexiones en las otras partes de la estructura. En otras palabras, cargas aplicadas a una columna afectan a las vigas, a las losas, a otras columnas y viceversa. Hasta ahora este texto se ha dedicado por completo a las estructuras determinadas y el lector podría considerar, equivocadamente que tales estructuras son las más comunes en la práctica. La verdad es que es difícil encontrar una viga real simplemente apoyada; las conexiones atornilladas o soldadas entre vigas y columnas no son en realidad condiciones verdaderas de apoyo simple con momento nulo. 2 ESTRUCTURAS CONTINUAS En la medida en que se incrementan los claros de las estructuras simples, sus momentos flexionantes aumentan rápidamente. Si el peso de una estructura por unidad de longitud permanece constante, independientemente del claro, el momento por carga muerta variará en proporción con el cuadrado de la longitud del mismo ( ). Sin embargo, esta proporción no es correcta, debido a que el peso de las estructuras debe aumentar a medida que los claros son más grandes, con el fin de que sean lo suficientemente fuertes y resistan el incremento de los momentos flexionantes; por tanto, el momento por carga muerta crece más rápidamente que el cuadrado del claro. UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI METODOS NUMERICOS APLICAICON DEL METODO DE GAUSS JORDAN EN LA INGENIERIA CIVIL 3. VENTAJAS DE LAS ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS. Al comparar las estructuras hiperestáticas con las isostáticas, la primera consideración deberá corresponder al costo. Sin embargo, es imposible justificar económicamente la selección de uno u otro tipo de estructura sin ciertas reservas. Cada forma estructural presenta una situación diferente y, por tanto, deberán tenerse en cuenta todos los factores, ya sean de índole económica o de otro tipo. En general, las estructuras estáticamente tienen ciertas ventajas que se describen a continuación. Ahorro de materiales. Los menores momentos flexionantes desarrollados en las estructuras estáticamente indeterminadas permiten la utilización de elementos de menor escuadría, con un ahorro de material posiblemente del orden de 10 a 20 % del acero utilizado en puentes ferroviarios, permite sólo ahorros o economías de un 10 por ciento. Un elemento estructural de dimensiones dadas podrá soportar más carga si es parte de una estructura continua, que si estuviese simplemente apoyado. La continuidad permite el uso de elementos de menores dimensiones para las mismas cargas y claros, o bien, un mayor espaciamiento de los apoyos para elementos de iguales dimensiones. La posibilidad de utilizar menos columnas en edificios, o un menor número de pilares en el caso de puentes, puede ocasionar una reducción global de los costos. Mayores factores de seguridad. Las estructuras estáticamente indeterminadas tienen con frecuencia mayores factores de seguridad que las estáticamente determinadas. El estudiante aprenderá en los cursos sobre estructuras de acero y de concreto reforzado que cuando parte esas estructuras resultan sobrefatigadas, éstas tienen la capacidad de redistribuir parte de esos sobreesfuerzos a zonas menos fatigadas. Las estructuras estáticamente determinadas no tienen generalmente esta capacidad. Mayor rigidez y menores deflexiones. Las estructuras estáticamente indeterminadas son más rígidas que las estáticamente determinadas y sus deflexiones son menores. Gracias a su continuidad son más rígidas y tienen mayor estabilidad frente a todo tipo de cargas (horizontal, vertical, móvil, etc.). UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI METODOS NUMERICOS APLICAICON DEL METODO DE GAUSS JORDAN EN LA INGENIERIA CIVIL Estructuras más atractivas. Es difícil imaginar a las estructuras estáticamente determinadas con la belleza arquitectónica de muchos arcos y marcos rígidos hiperestáticos que se construyen hoy en día. Adaptabilidad al montaje en voladizo. El método de montaje en voladizo de puentes es de gran valor cuando las condiciones en el sitio de erección (tráfico naval o niveles muy profundos del agua) obstaculizan la erección de la obra falsa. Los puentes continuos estáticamente indeterminados y los de tipo en voladizo pueden eregirse convenientemente con el método de montaje en voladizo. 4 DESVENTAJAS DE LAS ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS. Un análisis comparativo de las estructuras estáticamente determinadas, respecto de las estáticamente indeterminadas, pone de relieve que estas últimas poseen ciertas desventajas que las hacen poco prácticas en muchas aplicaciones. Estas desventajas se explican detalladamente en los párrafos siguientes. Asentamiento de los apoyos. Las estructuras hiperestáticas no son convenientes en todos aquellos casos donde las condiciones de cimentación sean impropias, pues los asentamientos o ladeos que se presenten en los apoyos de la estructura por leves que parezcan, pueden causar cambios notables en los momentos flexionantes, fuerzas cortantes, esfuerzos totales y reacciones. En casos donde se realice la construcción de puentes con estructura hiperestática, a pesar de condiciones de cimentación deficientes, suele ser necesario modificar las reacciones debidas a carga muerta. Los puntos de apoyo se levantan o se bajan mecánicamente hasta un nivel en donde se presente la reacción calculada, después de lo cual los apoyos de la estructura se construyen hasta dicho nivel. UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI METODOS NUMERICOS APLICAICON DEL METODO DE GAUSS JORDAN EN LA INGENIERIA CIVIL Aparición de otros esfuerzos. El hundimiento de los apoyos no es la única condición que altera los esfuerzos que se producen en estructuras estáticamente indeterminadas. Los cambios en la posición relativa de los elementos estructurales causados por variación de temperatura, fabricación deficiente o deformaciones internas por acción de la carga, pueden causar cambios graves en las fuerzas en toda estructura. Dificultad de análisis y diseño. Las fuerzas en las estructuras estáticamente indeterminadas dependen no únicamente de sus dimensiones, sino también de sus propiedades elásticas (módulo de elasticidad, momentos de inercia, secciones transversales, etc.). Esta situación da lugar a una seria dificultad en cuanto a su diseño: no podrán determinarse las dimensiones si no que se conocen antes las fuerzas que actúan en ellos. El problema se resuelve suponiendo las dimensiones de sus elementos para dichas fuerzas y evaluando las fuerzas para las nuevas dimensiones supuestas y así sucesivamente, hasta lograr el diseño final. El cálculo mediante este procedimiento (método de aproximaciones sucesivas) es más tardado que el que se requiere para diseñar una estructura isostática similar, pero el costo adicional solo es una pequeña parte del costo total de la estructura. Tales diseños se llevan mejor a cabo por medio de una interacción con una computadora. Este tipo de interacción se usa ampliamente en la actualidad en la industria automotriz y aeronáutica. Inversión de las fuerzas. Generalmente en las estructuras hiperestáticas se produce un mayor número de inversiones de fuerzas que en las estructuras isostáticas. En ocasiones se requiere de más material de refuerzo en ciertas secciones de la estructura, para resistir los diferentes estados de esfuerzos. 5 ANALISIS APROXIMADO DE ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS. Las estructuras estáticamente indeterminadas pueden ser analizadas ya sea en forma “exacta” o bien de modo “aproximado”. En este capitulo se presentan métodos aproximados que exigen el empleo de hipótesis simplificadas. Tales procedimientos tienen muchas aplicaciones prácticas, como las siguientes: Para hacer un análisis “exacto” de una estructura complicada estáticamente indeterminada, es necesario que el proyectista competente “modele” la estructura, o sea, que haga ciertas hipótesis sobre su comportamiento. Por ejemplo, los nudos pueden suponerse simples o semirrígidos. Además pueden suponerse ciertas características del comportamiento del material así como de las condiciones de carga. La consecuencia de todas esas hipótesis es que todos los análisis son aproximados (o dicho de otra manera, aplicamos un método de análisis “exacto” a una estructura que en realidad no existe). UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI METODOS NUMERICOS APLICAICON DEL METODO DE GAUSS JORDAN EN LA INGENIERIA CIVIL Además, todos los métodos de análisis son aproximados en el sentido de que toda estructura se construye con ciertas tolerancias, ninguna estructura es perfecta ni su comportamiento puede determinarse con precisión. Se espera que los métodos aproximados descritos en este capitulo proporcionen al lector un conocimiento del conjunto o le permitan “sentir” un gran número de tipos de estructuras indeterminadas estáticamente antes de considerar las técnicas “exactas” de solución. No todos los tipos de estructuras estáticamente indeterminadas se considerarán en este capitulo. Sin embargo, se espera que con base en las ideas presentadas aquí, el estudiante sea capaz de hacer hipótesis razonables cuando encuentre otros tipos de estructuras indeterminadas. Existen muchos métodos diferentes para efectuar análisis aproximados. Se presentarán aquí algunos de los más comunes, especialmente los aplicables a marcos y a armaduras. 6 VIGAS CONTINUAS. Antes de comenzar un análisis “exacto” de una estructura es necesario estimar los tamaños de sus elementos. Los tamaños preliminares de las vigas pueden determinarse considerando sus momentos aproximados. Con frecuencia es práctico aislar una sección de un edificio y analizar esa parte de la estructura. Por ejemplo, uno o más claros de vigas pueden aislarse como cuerpo libre y hacer hipótesis sobre los momentos en esos claros. Para facilitar tal análisis, se muestran en la fig. 10.12 los diagramas de momentos flexionantes para diferentes vigas cargadas uniformemente. Al analizar esta figura resulta obvia que el tipo de apoyo tiene un efecto considerable en la magnitud de los momentos. Por ejemplo, la viga simple con cargas uniforme de la fig. 10.12 (a) tiene un momento máximo de , en tanto que la viga doblemente empotrada con carga uniforme tendrá uno de . Para una viga continua cargada uniformemente se podría estimar un momento máximo con un valor intermedio entre los dos anteriores, digamos , y utilizar este valor para el dimensionamiento preliminar de la viga. Un método muy común para analizar en forma aproximada estructuras de concreto reforzado continuas, estriba en emplear los coeficientes de momentos y fuerzas cortantes del Instituto Americano del Concretoe (ACI)(1). Estos coeficientes, que en la tabla 10.1, proporcionan los momentos y cortantes estimados máximos para edificios de proporciones normales. Los valores calculados de esta manera serán en general un poco mayores que los que de lograrían con un análisis exacto. Se considera que estos coeficientes son de máxima utilidad en marcos continuos que tengan más de tres o cuatro claros. UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI METODOS NUMERICOS APLICAICON DEL METODO DE GAUSS JORDAN EN LA INGENIERIA CIVIL Para determinar estos coeficientes, los valores de los momentos negativos se redujeron para tomar en cuenta los anchos comunes de apoyo y también la redistribución plástica de los momentos que ocurre antes del colapso. Por esta última razón se incrementaron un tanto los momentos positivos. Se observará que los coeficientes toman en cuenta el hecho de que en la construcción monolítica los soportes no son simples y que se presentan momentos en los apoyos extremos, sobre todo cuando tales apoyos están constituidos por vigas o columnas. En las expresiones para los momentos positivos, w es la carga de diseño en tanto que es el claro libre para calcular los momentos positivos y el promedio de claros adyacentes para calcular los momentos negativos. Estos valores de determinaron para miembros con claros aproximadamente iguales (el mayor de los dos claros adyacentes no excede al menor en más de 20%) y para casos en los que la relación de la carga viva uniforme de servicio con la carga muerta uniforme, también de servicio, no es mayor que tres. Estos coeficientes no son aplicables a elementos de concreto pre reforzado. Si estas condiciones limitantes no se cumplen deberá usarse un método más preciso de análisis. UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI METODOS NUMERICOS APLICAICON DEL METODO DE GAUSS JORDAN EN LA INGENIERIA CIVIL Para el diseño de una viga o de una losa continua, los coeficientes de momentos proporcionan dos conjuntos de diagramas de momento flexionante para cada claro de la estructura. Un diagrama resulta de colocar las cargas vivas de manera que produzcan un momento máximo positivo en el claro, en tanto que el otro resulta de colocar las cargas vivas de manera que produzcan un momento máximo negativo en los apoyos. Sin embargo, no es posible producir momentos máximos negativos en ambos extremos de un claro, simultáneamente. Se necesita una posición de las cargas vivas para producir un momento máximo negativo en un extremo del claro y otra posición para producir un momento máximo negativo en el otro extremo. Sin embargo, la suposición de que ambos ocurren al mismo tiempo se encuentra del lado de la seguridad, porque el diagrama resultante tendrá valores críticos mayores que los producidos al considerar por separado las condiciones de carga. Los coeficientes del ACI dan puntos máximos para una envolvente de momentos para cada claro de una estructura continua. En la fig. 10.13 se muestran envolventes típicas para una losa continua construida monolíticamente con sus apoyos externos que son en este caso trabes de fachada. UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI METODOS NUMERICOS APLICAICON DEL METODO DE GAUSS JORDAN EN LA INGENIERIA CIVIL En algunas ocasiones el proyectista aislará una parte de sus estructuras que no solo incluya las vigas sino también las columnas de los pisos superiores e inferiores, como se muestra en la fig. 10.14. Este procedimiento, llamado método del marco equivalente, es sólo aplicable a cargas de gravedad. Los tamaños de los elementos se estiman y se hace un análisis usando un método apropiado “exacto” tal como el de distribución de momentos de Cross que se describe en los capítulos 14 y 15. MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN: Para aplicar este método a cualquier tipo de estructura tenemos que hallar esas ecuaciones de relación fuerza-desplazamiento en función de cualquier tipo de desplazamiento que sufra un elemento dado, ya sea giro, alargamiento o desplazamiento relativo en los apoyos de tal manera que encontremos una relación general F=k* Δ donde k es la rigidez del elemento para cualquier desplazamiento. Adicionalmente se ha planteado que el método parte de escribir las ecuaciones de equilibrio en los nudos en la dirección de los grados de libertad libres. Estas ecuaciones implican que las fuerzas estén aplicadas en los nudos y no en las luces. Sería casi imposible decir que todas las estructuras que analicemos tendrán sus cargas aplicadas en los nudos, entonces la forma en que se analizan estas estructuras es considerar los elementos que la componen totalmente empotrados y encontrar los momentos de extremo producido por las cargas actuantes en la luz. Una vez planteados estos momentos se sueltan los grados de libertad que son libres y se determina la modificación de estos momentos de extremo por el hecho de producirse los movimientos de estos grados de libertad. El trabajo a realizar es por superposición, donde el momento total en un extremo es la suma de los efectos de rotación y de los momentos de empotramiento debidos a las cargas. UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI METODOS NUMERICOS APLICAICON DEL METODO DE GAUSS JORDAN EN LA INGENIERIA CIVIL APORTE DEL METODO DE GAUSS JORDAN Cuando una estructura tiene dos dos o mas tramos se dice que es indeterminada ya que posee multiples variables a calcular, aplicando principios e la estatica y asiendo uso del método de GAUSS JORDAN, se pueden resolver con mucha facilidad y asu vez con mucha presicion estas ecuaciones que aparecen al momento de calcular una estructura. EJEMPLO DEMOSTRATIVO DEL METODO DE GAUSS JORDAN APLICADO ALA INGENIERIA CIVIL EN LA SOLUCION DE CALCULO DE ESFUERZOS EN UNA VIGA INDETERMINADA (análisis estructural) UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI METODOS NUMERICOS APLICAICON DEL METODO DE GAUSS JORDAN EN LA INGENIERIA CIVIL UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI METODOS NUMERICOS APLICAICON DEL METODO DE GAUSS JORDAN EN LA INGENIERIA CIVIL UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI METODOS NUMERICOS APLICAICON DEL METODO DE GAUSS JORDAN EN LA INGENIERIA CIVIL EJEMPLO DEMOSTRATIVO DEL METODO DE GAUSS JORDAN APLICADO ALA INGENIERIA CIVIL (MATLAB) METODO GAUSS JORDAN: function x=gaussj(A,b) A=[A b]; n=size(A,1); for i=1:n A(i,:)=A(i,:)/A(i,i); for j=1:n if i~=j A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i); end end end x=A(:,n+1); end INTRODUCIENDO DATOS : >> gaussj([2/5 1/5 0; 1/5 9/10 1/4; 0 1/4 1/2],[-7.2; -21.87; 40]) ans = 1.0e+002 * RESULTADOS (comprobados) 0.103481481481481 -0.566962962962963 1.083481481481482 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI METODOS NUMERICOS APLICAICON DEL METODO DE GAUSS JORDAN EN LA INGENIERIA CIVIL CONCLUSIONES Cuando se tiene vigas de mas de dos tramos como en el caso de puentes para poder analizarlas estas estructuras existen diferentes métodos , con la ayuda del método de gauss jordan permite a los ingenieros desarrollar multiples sistemas de ecuaciones de manera presisa, además estos métodos en los últimos años han permitido evolucionar el análisis de estructuras con ayuda de un ordenador, permitiendo realizar análisis a estructuras en tres dimensiones, el caso mas conocido es el programa SAP 2000 y ETABS los cuales fueron desarrollados íntegramente de forma matricial. UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI METODOS NUMERICOS APLICAICON DEL METODO DE GAUSS JORDAN EN LA INGENIERIA CIVIL BIBLIOGRAFIA - ANALSIS ESTRUCTURAL, hibbeler - RESISTENCIA DE MATERIALES Ed. MIR - ANALISIS ESTRUCTURAL Jeffrey P. Laible - ANALISIS ESTRUCTURAL Harry H. West - Métodos numéricos aplicados a la ingeniería civil , CHOPRA - Métodos numéricos con matlab , NAKAMURA - www.metodosnumericosaplicadosalaingenieriacivil.com - www.aplicacionesdeingenienriaenmatlab.com - http://estructuras.eia.edu.co/estructurasII/metodo%20de%20la%20rigide z/pendiente%20deflexion/método_pendiente_deflexión.htm