EJERCICIOS DE VECTORESINTRODUCCIÓN 01: Coordenadas de un punto; Determine las coordenadas de los puntos que se muestran en cada uno de las siguientes figuras: FIGURA Nº 01 FIGURA Nº 04 +Z +Z A B A 4 D O C +Y 3 9 D C F E 2 G 6 D 6 O G +X +Y E FIGURA Nº 02 10 F +Z +X m 18 A m 46 o B +Y 30m FIGURA Nº 05 AB = 65m AO = 56m D 45m C +X +Z AC = 70m A FIGURA Nº 03 +Z C 3m B 5m 30º o +Y 60º 2m B A C 4m +X O +Y 6m +X Departamento de Ciencias j ..2 0.Escriba vectorialmente el vector +Z posición del punto A. ubicado en la empuñadura de la llave de caja. y el vector unitario de dicho vector posición. 1. k 05. +Z 60cm +Z 3m B C B 4m +Y A A cm +Y 30º 20 +X cm +X 50 02.75m +X A 0.0 B +Y A +X C Departamento de Ciencias ..3m 8m o 0..Observando la ménsula ABC..INTRODUCCIÓN 02: VECTOR – POSICIÓN 01..3m D 15mm 03.25m C B +Y A +Z 200mm 0. encuentre vector posición del punto B con el vector posición del punto C con respecto al punto A. con respecto al punto O.Halla vectorialmente el vector posición 30N del punto C con respecto al punto A.Anote el vector posición del punto D con respecto a C en función de i. o +Z 30º +Y 8m 0.En la siguiente estructura determine el 04.0 D +x 4m 0.24m 0. También el módulo respecto al punto A. escriba la fuerza F en forma vectorial cartesiano. 01. así como su dirección..- 4m B +Z F = 280 N 72cm 6m cm m 70 0c 2 61 F B 360cm O F +Y 12m o A +Y 600cm A +X Dato : +X F = 850 N Dato : 02. +Z Dato : 04.5m 1..- F = 175 N +Z A F 7. F = 450 N 2m F +Y A 1m 2m +X Departamento de Ciencias .5m +Y 3m B 2m +X +Z Dato : B 03.INTRODUCCIÓN 03: ESCRITURA DE UN VECTOR EN FORMA VECTORIAL – CARTESIANO Con los datos que se indican en cada una de las siguientes estructuras. b = 10cm y c = 5cm... j y k b. Los lados del paralelepípedo tienen por longitudes a = 3m.Sobre la partícula situada en A actúan las fuerzas que indicamos en la figura.Tres fuerzas concurrentes A. La relación entre la fuerza y longitud en el diagrama es A K=10N/cm.. F2 = 75N y F3 = 60N determine: (1) la magnitud de R (2) los ángulos entre R y los ejes A coordenados z P a y o b y o a a P a B x x → c F3 → → F2 F1 Departamento de Ciencias . Determine la resultante R de las tres 100N fuerzas → j y 4m y C x 3m 04.Determine la resultante de las dos fuerzas el punto 0 como se muestra en la figura. B y C actúan en 03. Escriba una expresión para cada una de las fuerzas en términos de los vectores 120N unitarios i. Determine los cosenos directores para cada una de las fuerzas 5m c. Si F1 = 50N.Encuentre la resultante de las dos fuerzas.. z → z x → 12m k i B C B 3m F2 F1 4m y 02. cada una de las cuales es de magnitud P x A F3 z 05. Determinar la fuerza que actúa o sobre la partícula.SUMA DE VECTORES EN EL ESPACIO 01. mostradas donde cada marca a los largo de los ejes de z coordenadas indica un incremento de 1 KN a..Sea R la resultante de las tres fuerzas mostradas en la figura. Determinar la expresión vectorial de la suma del siguiente conjunto de fuerzas. T2=400N y T3=350N 8 F1 +x A 6m 11.6) y b (1. 5m 10. El vector diferencia a − b y el vector C unitario que define su dirección y sentido. 6m Y. F2 30N... G G 2. Determine la magnitud de su Calcular: resultante G G 1..Encuentre la expresión vectorial de la 12. Las tres fuerzas mostradas tienen la misma 09. si F = 25N. También 0 4m dar la magnitud y los ángulos de dirección D que forman con los ejes de coordenadas X.Reemplace las tres fuerzas que actúan sobre F3 las retenidas por una sola fuerza equivalente 10 +y que actúe sobre el asta de bandera.. El valor suma a + b su módulo y z cósenos directores. T = siguiente figura.Calcular la expresión vectorial resultante de las fuerzas que se indican en la JG JG JJG de la suma JJG de las fuerzas F y T . Además F1 = 260 N.Considerando el cubo de lado “a”. G G 06..-2...4. halla la T suma vectorial DB + BF + FA 3 +z z D C 4m T1 3m T2 A B o 3m E F 2m +y y G x +x H 08. Z T B y +z T x T A F2 6 07. Use T1= o 200N.3) magnitud T. +Z = 50 N +z 4 → 3 F D 5m 3m → o → +y T F1 6 O +Y 12m B → F2 +x 10 A C +X Departamento de Ciencias .Dados los vectores a (2. +x 45m C JG JG halle el vector unitario del vector A + 2 B − C 18. B C +z A D 18m A 46m 7m E F +y B +y 4m H 30m 3m G +x D 15.Halle Ud.Con referencia a la torres se muestra. Además a = 52 N . OA = 56m JJJG AC = 70m → A +Z 4m A → +y B → 2m C → F1 B 20º o +Y 50º C +X Departamento de Ciencias . Sabiendo que la 14... b = 15 N +z → +z a → b 3 → 3 x b 4 o +y +y 4 → 12 a +X 4 → 17. si además a = b = c = 60 JG G G G G D = b − a . JJJG JJJG 3m Además AB = 65m .13...Calcular la expresión vectorial de la tensión es de 285N en el cable AB y de 426 resultante del sistema de fuerzas de la figura N en el cable AC.. determinar la expresión vectorial del vector diferencia muestran.Considerando la figura adjunta. la suma de los vectores que se 16. calcular la magnitud y +z dirección de la suma de las fuerzas ejercidas en A por los dos cables.. si la tensión en el cable AB es de 3900N y en el +z cable AC es de 5250N.Un grupo de alumnos de Ingeniería instalan +x C la siguiente estructura.En la figuraJGmostrada. determinar le módulo y la dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas en A por los cables AB y AC. 2) G y c = (2. 1) y F (2.Hallar un vector de modulo 10 unidades perpendiculares al plano determinado por los ángulos directores son α = 120º β = 45º . el punto (5. Hallar: 14. β = 64. mutuamente perpendiculares. hallar el valor de JG G JG G G G G G m y n.Si p = 4i + 3 j − 3k y q = 5 i + 6 j − 2 k Hallar la proyección de p /q y su módulo. . 11. B = (5. proyección B/A y ( e) a × b ⋅ c ) f) a × b × b × c ( ) ( ) su módulo... 5) JG G G G respectivamente.. ¿Cuál es el vector? y JG que G G esG perpendicular al vector 17. 10. 12. 5. 2) y C son las aristas de un paralelepípedo de 100 u3 hallar: a) El ángulo entre a y b b) Los G JG de volumen.Hallar el área del paralelogramo cuyos Glados G G G G JG G G G q = 5 i − 3 m j − 4 k y p es perpendicular a son los vectores: a = 5i + 12 j − 3k y G G G G G q .Hallar el área del triangulo cuyos vértices son los puntos D (3. G G G G JG JJG JJG JJG 08.COMPONENTES EN TRES DIMENSIONES: JG G G G 01.Las coordenadas del origen y del extremo de un A= 2i+ j−k vector son P1 (x1 . 03. 09.Si u1 = m i − m j + n k . -2). x. G G G G G G G G Calcular los valores de las proyecciones vectores: a = 2 i + j − k y b = i + 2 j + k ortogonales del vector sobre cada uno de los 05. vectores perpendiculares. son mi+6 j+n k son: β = 31º. 0)... z1) y P2 (10 . JJG G G G d2 = 7 i − 3 j + 5 k . 2). Departamento de Ciencias .El vector S = 5i − 4 j + k tiene como origen JG forma m con el eje (+Z). 0.Si a = 3 i − 8 j + k y b =i − j +k .Si R = x i + 6 x j − 10 k y JG G G G dos de sus ángulos directores son α= S = 2 x i − 5 j + 20 k .y2 .Si a = + ( m − 5 ) j + k .Si p = 2m i +5 j −3 k . hallar el valor px .. 0. G G G G G G ( a) a − b ⋅ c ) b) a ⋅ b c ( ) 4). El módulo del vector es 7 u y 06.Los vectores A = (2. 20..Hallar el área del paralelJJogramo G G GcuyasG diagonales son los vectores d1 = 3 i − j + k . b = 2i − 4 j + 10k JG G G G G G G G 02. -1. 3... además R es 31º. 2. b = (0.. Hallar el valor del escalar coordenadas de su origen y de su extremo.. 19. Si el vector A × B forma un ángulos directores del vector − a + b ángulo de 60º con el vector C.. 2.... Calcular el JG JG JG JG G ( ) c) a 2 a ⋅ b − b 2 b ⋅ a G (G G) G G G módulo de C .. JG JG G JG JG JG G JG G G G G G G ( c) a + b × c ) d) a × b × c ( ) 15. Hallar el vector y las perpendicular a S .6º.Hallar un vector unitario paralelo al plano XY ejes coordenados..Si P = px i + 2 j + k y Q = 2 i − 10 j + 5 k . 4). Determinar las coordenadas G G de su extremo. Hallar el ángulo que 13. 3. γ = 106. 0. E (2.Si: A = 2 i + 5 j − 4 k y B = −3 i + 6 j + 2 k G G G G G G G Hallar la proyección de A/B. u 2 = n i + m j + m k y Hallar el valor de m si a y b son u 3 = m i + n j − m k son vectores unitarios perpendiculares.Dado los vectores a = (2. -2..62º.Dos de los ángulos directores del vector 07.3).. Calcular los valores de m y n. 16. b = −6 i − m j + 5 k .m = 5 i − 7 j + 10 k . Hallar m.El módulo de un vector es 4cm y dos de sus 04. JG G G G JG G G G 18.. B) 213 45° 3 15 31 A) 9 C) 249 x B) 13 D) 149 37° 53° C) 15 11 E) 5 6 10 D) 14 E) 16 45° 3 2 09. 32 53° x D) 53° 05.Calcular la dirección de la resultante. determinar el módulo de la resultante.- 32 40 A) 50 y A) 30° 120 u B) 40 3 30° 53° B) 37° C) 30 16 3 53° D) 10 3 C) 45° E) N.. 14 A) 30° 35 8 06. 13 y E) 3 2 15 2 A) 273 03. E) 5 24 A) 4 2 20 B) 5 2 9 08. TAREA DESCOMPOSICION RECTANGULAR: En cada caso. E) 20 calcular la dirección del vector resultante..... 01...En el siguiente conjunto de vectores.. A) 4 5 40 B) 2 5 A) 1 15 20 37° 59 C) 29 B) 2 37° D) 19 30 2 45° C) 3 53° E) 5 D) 4 02.A.En el conjunto de vectores mostrados.En el siguiente sistema de vectores. 37° C) 2 2 determinar el módulo del vector D) 2 resultante. E) 60° 120 u A) 4 10 2 20 B) 6 C) 8 37° 45° D) 10 10.. 07. hallar la resultante. 04.Calcular el módulo de la resultante en: B) 0° 53° A) 10 6 2 60° B) 2 10 C) 45° 45° 24 C) 12 /3 D) 90° D) 13 x 6 8 3 60° E) 180 E) 2 14 16 Departamento de Ciencias . F 3 36 A) 6 A) 27 B) 8 B) 18 X 60° C) 10 C) 28 D) 12 60° D) 38 E) 15 E) 48 20 17.Determinar el valor y desarrollar E = 18.Calcular el módulo de la resultante.2 16 A) 14 9 P B) 17.Calcular “F”. se sabe que la resultante de En cada caso. F N). (En 15. y A) 15.Calcular el valor de “F”: 16..A.Calcular el valor de: E = P/5 + 3 12. se sabe que la resultante de los vectores es horizontal los vectores es vertical: 11.1) 60° C) 85 15 N 37° D) 10(2 3 +1) D) 12 5 32 x E) 5(2 3 .Calcular “F”.Determinar el valor de “P”.. y A) 5 3 + 5 A) 65 35 N B) 2(2 5 +1) 53° B) 2 17 C) 7(2 3 ...1) E) 18 7 8 53° 25 N Departamento de Ciencias . y y F A) 2 50 B) 4 a) 130 C) 9 P b) 110 37° 75° D) 7 38° c) 90 37° E) N.Calcular “F”.6 13..Calcular el valor de “P” en: 14. En cada caso.3 60° 53° C) 36 2 / 5 45° D) 10 3 / 5 D) 5. 2 30 2 ⎛Q⎞ ⎜ ⎟ A) 90 ⎜ 30 ⎟ Q ⎝ ⎠ B) 70 F 45° a) 8 C) 75 37° b) 20 2 45° D) 85 c) 30 2 E) 80 50 d) 60 2 60 e) 120 19... d) 120 16 15 e) 150 70 50 20..Calcular el valor de “X”..6 P E) 7 2 / 3 E) 16.8 B) 36 2 53° C) 13 .. .Dado el conjunto de vectores..Si la fuerza resultante del siguiente sistema módulo de la resultante. de vectores es nula.Si en el siguiente grupo de fuerzas. 29.A.. y A) 2 10 2 2 A) ArcTg (19/12) B) 2 2 C) 2 48° 50° B) ArcSen (4/19) D) 1 x C) ArcTg (12/19) E) 4 2 40° D) ArcSec (9/8) 10 E) N...A B) 53° 26.. hallar “α”. Hallar y “α” A) 8 10 60 u y B) 18 10 11° A) 45° C) 50 2 D C=20 10° x B) 37° D) 50 E) N. ⎛7 ⎞ E) arctg ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝4 ⎠ 28. vectores componentes el cual mide 31 ¿Cuál es la longitud del otro vector? A) ArcSen82° A) 7 B) 24 C) 34 D) 20 E) N.Determinar el módulo del vector A para que A) arcsen ⎜⎜ 3 ⎟⎟ a resultante forme + 37° con el semieje ⎝8 ⎠ positivo de las “x”.. mide 25 resultante es vertical.Si la resultante de vectores es nula.A.El vector resultante de dos vectores. Determinar el ángulo y hace un ángulo de 74° con uno de los “θ”.Calcular el valor de θ para que la resultante C) 60° se encuentren en el eje “x” D) 90° A) 10° E) 45° B) 11° 22. la 25.A. si: | X | = D) 50° 7 3 y |Y| = 8 E) 30° ⎛7 ⎞ 27. 60 u C) 53° α° A=160 D) 60° x E) 90° B=140 Departamento de Ciencias .. C = 7 ⎛7 ⎞ B) arctg ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎝8 ⎠ A) 5 C) 90° B) 10 ⎛5 ⎞ C) 15 D) arcsen ⎜⎜ 2 ⎟⎟ D) 20 ⎝3 ⎠ E) N. 24. hallar el 23..Calcular el módulo de la resultante.21. Además: B = 2 2 .Hallar el ángulo “θ” para que la resultante de C) 16° los vectores indicados sea nula.