14 Vectores en El Plano

El análisis de vectores que se estudia en este capítulo y el 15 es un enfoque: que sirve como introducción tanto desde el punto de vista del álgebra Ji del análisis vectorial clásico. En la Sección 14.1 se define el vector en el un par ordenado de números reales y, en dicha sección, así como en la 14.2, nen las operaciones vectoriales aplicando operaciones algebraicas a sus reales. En la Sección 14.3 se introduce un nuevo tipo de función, cuyo un conjunto de números reales y con un contradominio que es un conjunto di res. Estas funciones reciben el nombre de funciones vectoriales. La gráfica función con valor vectorial es una curva, que también puede representarse ciones para métricas. Éstas expresan las coordenadas x, y de puntos de una curva como funciones de una tercera variable t, que suele representar al tiempo. I:H de las funciones con valor vectorial, que se describe en la Sección 14.3, se el cálculo de las funciones con valor vectorial definidas por las correspo ..... ,., ... , .. ciones paramétricas. El resto de las secciones de este capítulo está dedicado a las aplicaciones les en geometría, física e ingeniería. Las aplicaciones geométricas incluyen gitud de arco, los vectores tangente Y. normal a curvas y la curvatura. aplicaciones a la física y la ingeniería, usaremos vectores para calcular el estudiar el movimiento sobre una curva. 996 14.1 Vectores en 997 VECTORES EN EL PLANO 1 "aplicaciones matemáticas suelen relacionarse con cantidades que poseen magni- 11111 y dirección. Un ejemplo de este tipo de cantidad es la velocidad. Por ejemplo, ¡,,velocidad de un avión tiene magnitud (la rapidez del movimiento) y dirección (lo qut· determina el curso del avión). Otros ejemplos de esta clase de cantidades son flir•rza, desplazamiento y aceleración. En física e ingeniería suele llamarse vector a 1111 rectilíneo dirigido, y las cantidades que tienen tanto magnitud como dirección se denominan cantidades vectoriales. En contraste, una cantidad que tiene mugnitud pero no dirección se llama cantidad escalar. Algunos ejemplos de cantida- d•·' escalares son longitud, área, volumen y rapidez. Al estudio de los vectores se 11 llama análisis vectorial. H estudio del análisis vectorial se puede hacer en forma geométrica o analítica. 1 el estudio es geométrico, primero definimos un segmento rectilíneo dirigido como ,¡que va desde un punto Q y lo representamos por PQ. El punto P se llama punto lull'ial, y el punto Q, punto terminal . Luego se dice que dos segmentos dirigidos PQ v NS son iguales si tienen la misma longitud y la misma dirección, y escribimos PQ R S (Figura 1). El segmento dirigido PQ es el vector de P a Q. Un vector se repre- • por una sola letra impresa en tipo negro, como A. En libros se usa IIIHI letra en tipo cursivo con una flecha arriba, por ejemplo A. También puede ser t l't:Omendable usar la notación A. para diferenciar el símbolo de un vector del de un uumero real. Continuando con el estudio geométrico del análisis vectorial, que si el dirigido PQ es el vector A, y PQ = RS, el segmento dirigido RS también ,., el vector A. Entonces se considera que un vector permanece sin cambio si se mue- VI' naralelo a sí mismo. Con esta interpretación de vector, podemos suponer conven- tlonalmente que todo vector tiene su punto inicial en algún punto de referencia fijo. 1 omando este punto como el origen de un sistema rectangular de coordenadas carte- un vector se puede definir analíticamente en términos de números reales. Tal permite estudiar¿ análisis vectorial desde un punto de vista puramente IIHitemauco. En este libro usamos el es udio analítico; sin embargo, la interpretación geométri- a se utiliza para fines ilustrativos. Designamos un vector en el plano por una pareja mdenada o par ordenado de números reales y empleamos la notación ( x, y) en lu- Klll de (x, y) para evitar confusión en la notación de un vector con la notación de 1111 punto; V 2 es el conjunto de todos los pares ordenados. w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 998 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS 14.1 . 1 DEFINICIÓN Un vector en el planQ es un par ordenado de númer•os reales(x, y). Los x y y se llaman componentes del vector (x, y). Existe una correspondencia uno a uno entre Jos vectores (x, y) en el plano Y h11 (x, y ) en el plano. Sea el vector A el par ordenado de números reales 11 Si A es el punto (a 1 , a 2 ), entonces el vector A se puede representar geomét rl por el segmento di rigido OA. Tal segmento se denomina representación del A. Cualquier segmento dirigido que sea igual a OA, también es una del vector A. La representación particular de un vector, que tenga su punllt en el origen, se denomina representación posicional o de posición. • EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 El vector (2, 3)tiene como representación ción el segmento rectilíneo dirigido que va del origen al punto (2, 3). La ción del vector (2, 3), cuyo punto inicial es (h, k), tiene como punto terminal ol (h + 2, k + 3); véase la Figura 2. El vector (0, O) se denomina vector cero, y lo representamos por O; O= ( 0, O) Cualquier punto es una representación del vector cero. 14. 1.2 DEFINICIÓN La magnitud de un vector corresponde a la longitud de cualquiera de sentaciones, y la dirección de un vector distinto de cero es la dirección quiera de sus _representaciones. La magnitud ctél vector A se representa por IIAII 14 .1 .3 TEOREMA y (h + 2, k + 3) (h, k) FIGURA 2 14.1 Vectores en el plano 999 Demostración Por la Definición 14.1.2, IIAII es la longitud de cualquiera de las Icr resentaciones de A; entonces IIAI I será la longitud de la representación de posi- de A, que es la distancia del origen hasta el punto (al> a 2 ). Así, de la fórmula pura la distancia entre dos puntos tenemos IJAJJ = )(a, - 0) 2 + (a2- O? = Ja, 2 +a/ Debemos notar que IIAII es un número no negativo y no un vector. Del Teorema 14.1.3, IOI = o. • EJEMPLO ILUSTRAVIVO 2 Si A =< - 3, S), entonces II AII = .J(- 3? + sJ' =ffi EJEMPLO 1 Sea ( -4,5) el vector A y (6, -2) el punto P. (a) Trazar la representa- ción de posición de A y también la representación específica de A que tiene a P como punto inicial. (b) Determinar la magnitud de A. Solución (a) Sea A el punto (-4, 5). La Figura 3 muestra OA, que es la representación de posi- ción del vector A. Sea PQ la representación específica del vector A que tiene a P como punto inicial. Si Q = (x, y), entonces X - 6 = -4 x=2 .)1+2= 5 y=3 Por lo tanto Q (2,3) y PQ aparece en la Figura 3. (b) Del Teorema 14.1.3, tenemos IIAII = J( - 4)2 + 52 =J41 El ángulo director de cualquier vector distinto de cero es el ángulo O que se mide desde el lado positivo del eje x en sentido contrario al del reloj hasta la representa- w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1000 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMt:.TRICAS y y y FIGURA 4 FIGURA S FIGURA 6 ción de posición del vector. Si x se mide en radianes, O :5 8 < 21r. Si A entonces tan 8 = 02 a¡ si a 1 #O Si a 1 = O y a 2 > O, entonces 8 = !n:; si a 1 = O y a 2 < O, entonces O = !n. ras 4 a 6 muestran el ángulo director para los vectores específicos con sus representaciones de posición. EJEMPLO 2 Calcular la medida en radianes del ángulo director, indicando tido, de cada uno de los siguientes vectqres (a) (- 1, 1 ); (b) ( 0, - 5) ; (e) < 1 Solución La representación posicional de cada uno de los vectores en (a), se muestra en las figuras 7, 8 y 9, respectivamente. (a) 8 = -1, y tn: < 8 < 8 = in:. (b) tan 8 no existe y a 2 < O; de este modo, 8 = fn:. (e) tan O = -2, y 8 < 2?r; por tanto f) = tan- l (- 2) + 2?r; es decir, e 5. 176. Obsérvese que si A = (a 1 , a 2 ) y O es el ángulo director de A, entonces a, = II AII cos 8 y -1 o FIGURA 7 y (0,-S) .; FIGURA 8 FIGURA 9 ) y (Xz, Yz) FIGURA 11 14.1 Vectores en el plano 1001 (x 3 + n ,,y3 + az) (xz + n, ,yz ( ) x.,y., A (XJ, YJ) Véase la Figura 10, donde el punto (ah a 2 ) está en el primer cuadrante. Si el vector A = ( a. 1 , a 2 ), entonces la representación de, A, cuyo punto inicial es (:<, y), tiene como punto final (x + a 1 , y + a 2 ). De este modo, un vector se puede como una traslación sobre sí mismo en el plano. La Figura 11 ilustra cin- representaciones de A = ( a 1 , a 2 ). En cada caso, A traslada el punto (x;, Y;) al punto (x; +a¡, Y;+ Gz). EJ EMPLO 3 Supóngase que Pes el punto (-1 ,8) y Q es el punto (3,2). Determinar el vector A que tiene a PQ como representación. Trazar PQ y la posición de repre- sentación de A. Solución La Figura 12 muestra el segmento rectilíneo dirigido PQ. Sea A = ( a 1 , a 2 ) . Como PQ es una representación del vector A, el vector A traslada el punto P !1 • .. .. w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com o 1002 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS (- 1, 8) al punto Q(3, 2). Pero el vector (a 1 , a 2 ) traslada el punto (- 1, H) ( -1 + a,, 8 + a 2 ) . De este modo -l+a1 = 3 8 + a 2 = 2 a, = 4 Por lo tanto, A = < 4, -6) . La Figura 12 muestra también la representación dl· La siguiente definición proporciona el método para sumar dos vectort•w 14. 1.4 DEFINICIÓN y La suma de dos vectores A = (a 1 , a 2 ) y 8 se define por • EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Si A = (3, - 1) y B = (-4,5) , entoncc\ A + B = (3 + ( - 4), - 1 + 5) = ( - 1, 4) La interpretación geométrica de la suma de dos vectores se muestra en lu 13. Sean A= ( a" a 2 ) y 8 = ( h,, h 2 ) , y Pel punto (x, y). Entonces A tr.t punto P al punto (x + a1 , y + a 2 ) = Q. El vector B traslada el punto Q 111 ((x + al) + b 1 , (y + a2) + b2) o, lo que es igual (x + (a 1 + b¡), y + (a 2 1 R. Además, A + 8 = < a1 + b 1 , a 2 + b 2 ) . Por lo tanto, el vector A -t H da el punto P al punto (x + (a 1 + b 1 ), y + (a 2 + b 2 )) = R. De este modn, Figura 13, PQ es una representación del vector A, QR es una representadón tor 8 y PR es una representación del vector A + B. Las representaciones de tores A y B son los lados adyacentes de un paralelogramo, y la represenluc vector A + 8 es una diagonal del paralelogramo. Así, la regla para la adi\ vectores recibe a veces el nombre de ley del paralelogramo. (x + (a 1 + b1) , y+ (n 2 + R P(x, y) FIGURA 13 , .• ntidad vectorial; su magnitud se expresa en unidndr'l dt 1111 1/U La_ fuet za e_s una ca nde a la dirección de la fuerza. En física se dl.'lllllt'lll 1'11 y el angulo d1rector correspo , , it 1 • que dos fuerzas aplicadas a un objeto ubicado en un cierto punto pueden SUii l '' "c.: por una fuerza equivalente que es su resultante. EJEMPLO 4 Dos fuerzas de magnitudes 200 Y 250 (en N) forman un_ án- ulo deln la una con la otra Y se aplican a un objeto en el mismo punto. Determmar la de la fuerza resultante y (b) el ángulo que forma con la fuerza de 200 N. Solución Consúltese la Figura 14, donde los ejes se eligen de manera la · · ición de la fuerza de 200 N se extienda en el lado pos1t1vo e eJ \Cntacwn de pos f A -(200 O) El vector 8 representa la fuerza \ . El vector A esta uerza Y - ' . de 250 N. De las fór/las (2), si 8 = (b ,, b2) , entonces 1J 1 = 250 cos !n b2 = 250scn !n = 125 ::::;; 216.5 Así, 8 = (125,216.5) . La fuerza resultante es A + B, Y A + B = ( 200, 0) + ( 125,216.5) = (325, 216.5) (a) II A + Bll = J(32W + (216.W ::::;; 390.5 (b) Si 8 es el ángulo que el vector A 216.5 tan O= 325 tiiiURA 14 tan O :::::: 0.6662 o::::;; 0.5877 + 8 forma con A, entonces w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1004 VECTORES EN El PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS 14.1.5 DEFINICIÓN Si A = ( a 1 • a 2 ) , entonces el vector ( -a 1 , -a 2 ) se define como el negat.ivo representado por -A. Si el segmento rectilíneo dirigido PQ es una representación del vector A, el segmento dirigido QP es una representación de -A. Cualquier segmento que sea paralelo a PQ, tenga la misma longitud de PQ, y sentido contrario al también es una representación de - A (véase la Figura 15). Ahora definimo. tracción de dos vectores. 14. 1.6 DEFINICIÓN La diferencia de los dos vectores A y B, representada por A - B, es el se obtiene al sumar A al negativo de B; es decir, A -:- B = A + (-B) De modo que, si A = (a 1 , <1 2 ) y B = (b 1 , b 2 ), entonces - B = < -b,, y así • EJEMPLO I LUSTRATIVO 4 Si A = ( 4, - 2) y 8 = ( 6, -3) , entonces A- B = ( 4, -2)- ( 6, - 3) = ( 4, -2) + (- 6, 3) = < -2, 1) Para interpretar geométricamente la diferencia o resta de dos vectores, la representación de los vectores A y 8 con el mismo punto inicial. Entonces, mento rectilíneo dirigido desde el punto final de la representación de B al punto de la representación de A, es una representación del vector A - B. Esto o la ley del paralelogramo B + (A- B) = A (véase la Figura 16). El siguiente ejemplo está basado en la diferencia de dos vectores y se refi navegación aérea. La velocidad al aire (o relativa) de un avión es su velocidad pecto al aire en que navega, y su velocidad a tierra (o real) es la considerada con toa la superficie del suelo. Como en la atmósfera existe viento, la velocidad del FIGURA 15 FIGURA 16 14.1 Vectores en el plano 1005 'tHl respecto a la superficie es la resultante del vector que representa la velocidad tlt• viento y el vector que representa la velocidad al aire del avión. En la navegación 111arina o aérea se llama curso de un barco o avión al ángulo medido en el sentido del reloj, desde el norte hasta la dirección (según el sistema de referencia) en la que \C desplaza la nave. Tal ángulo se considera positivo en el sentido de las manecillas del reloj. EJEMPLO S Un avión vuela con una velocidad al aire de 300 mi/h. Suponiendo que exista un viento que sopla hacia el este a 50 mi/h, ¿cuál debe ser el enfilamiento (o curso relativo) del avión para que su curso sea de 30°? ¿Cuál será la velocidad u tierra de la aeronave cuando se desplaza con dicho curso?* Solución Véase 1 ~ Figura 17, que muestra las representaciones de posición de los vectores A y B, asycomo la representación de A - B. El vector A corresponde a la velocidad del avión respecto a tierra con un curso de 30°. La dirección de A es 60°. 1:1 vector B representa la velocidad de viento. Puesto que B tiene una magnitud de 'i O y un ángulo director de 0°, B = ( 50, 0) . El vector A - B representa la velocidad al aire del avión; por tanto, II A- Bl l = 300. Sea 8ta dirección de A - B. De acuerdo l!On la Figura 17, se obtiene el triángulo que se muestra en la Figura 18. Aplicando el teorema de los senos a este triángulo se obtiene. · 1111/IIA 17 sen <f; sen 60° sen <f; = 0.1433 50 = 300 <P = 8.30 sen <P = 50 sen 60' 300 50 FIGURA 18 1 1 ~ 1 lt. De manera que el ángulo desde el norte de la velocidad al aire es el enfilarniento (en inglés, lreading), 1 tlu¡¡ulo desde el norte de la velocidad a tierra es el curso. El "ángulo desde el norte en sentido del reloj" se · uulua acimut (o azimut). w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1006 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICA.S Por consiguiente, () = 60° + 8.3° = 68.3° Aplicando nuevamente la ley de los senos al triángulo de la Figura 18, _ _!!_ IIA_.!.!..II_ = _3_oo_ sen (180°- O) sen60° IIAII = 300 sen li 1.7° sen 60° II AII = 322 El enfilamiento del avión debe ser 90° - 8, que es 21 .7°, y cuando el avión este curso, su velocidad a tierra será de 322 mi/ h. Supóngase que Pes el punto (a 1 , a 2 ) y Q es el punto (b 1 , b0. tación V(PQ) para el vector que tiene al segmento rectilíneo dirigido PQ comu sentación. Véase la Figura 19, la cual muestra representaciones de los vectore11 V(OP), y V(OP). Obsérvese que V(PQ) = V(OQ) - V(OP) V(PQ) = (b 1 , b 2 ) - (a 1 , a 2 ) V(PQ) = (b 1 - a¡, b 2 - a 2 ) • EJEMPLO ILUSTRATIVO S Si Pes el punto (-6,7) y Q es el punto (2,9), V(PQ) = (2 - ( - 6), 9 - 7) = (8, 2) Otra operación con vectores es la multiplicación por escalar. A • •UI define la multipli cación de un vector por un escalar (un número real). Q(b,, h,) FIGURA 19 14.1 Vectores en ol ¡.>lnrw 1007 1 '/ DEFINICIÓN Si e es un escalar y A es el vector ( a 1 , a 2 ), entonces el producto de e por A, repre- sentado por cA, es un vector que está dado por cA = c(a 1 , a 2 ) • EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 Si A = ( 4, -5) entonces 3A = 3(4, -5) = ( 12, - 15) • En el ejercicio 45 se pide mostrar que si A es cualquier vector y e es un escalar, O(A) = O y ) (O) = O La magnitud del vector cA se calcula como sigue: llcAII = J (ca 1 ) 2 + (ca 2 ) 2 = Jc2(at 2 + a2 2) =JC2Jat2+az2 = lciiiAII Por lo tanto, la magnitud de cA es el valor absoluto de e por la magni tud de A. En las Figuras 20 y 21 se muestra la interpretación geométrica del vector cA. Si e > O, entonces cA es un vector cuya representación tiene una longitud e veces la magnitud de.A y la misma dirección que A; un ejemplo de esto se muestra en la Figu- ra 20, donde e = 3. Si e < O, entonces cA es un vector cuya representación tiene una longitud que es lcl veces la magnitud de A y con dirección opuesta a la de A. Esto se muestra en la Figura 21, donde e = -t. El teorema siguiente proporciona leyes que se cumplen en las operaciones de la adición vectorial y la multiplicación por un escalar de cualesquiera vectores en V2. 1.8 TEOREMA Si A, 8 y e son vectores cualesquiera en V 2 , y e y d son escalares cualesquiera, entonces la suma vectorial y la multiplicación por un escalar cumplen las siguien- tes propiedades: (i) A + B = B + A (ley conmutativa) (ii) A + (B + C) = (A + B) + e (ley asociativa) (iii) Exjste un vector O en V 2 para el cual A + O = A (existencia de la identidad aditiva) (iv) Existe un vector - A en V 2 tal que A + (-A) = O (existencia del negativo) (v) (cd)A = c(dA) (ley asociativa) (vi) c(A + B) = cA + cB (ley distributiva) (vii) (e + d)A = cA + dA (ley distributiva) (viii) 1(A) = A (existencia de la identidad multiplicativa escalar). w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com FIGURA 20 FIGURA 21 Demost raci ón Damos las demostraciones de (i) y (vi) y dejamos las dcmll• ejercicios (véanse los ejercicios 46 a 50). En la demostración de (i) usamos Ju mutativa para números reales y para la demostración de (vi) se aplica la ley tiva para números reales. Sea A = ( a 1 , a 2 ) y B = ( b 1 , b 2 ) . Demostración de (i) A + B =(a¡, a. 2 ) + (b 1 , b 2 ) = ( a 1 + b 1 ,a 2 + b 2 ) = ( b 1 + 0 1 , b 2 + az ) = (b 1 , b 2 ) + (a 1 ,a 2 ) = B+ A Demostración de (vi) c(A + B) = c((a 1 , a 2 ) + ( b¡, b 2 )) = c((a 1 + b 1 , a 2 + b 2 )) = (e( a 1 + b 1 ), c(a 2 + b 2 ) ) = (ca 1 + cb 1 , ca 2 + cb 2 ) = (ca 1 ,ca 2 ) + (cb 1 ,cb 2 ) = c( a 1 , a 2 ) + c(b¡, b 2 ) =cA+ cB El Teorema 14.1.8 es muy importante porque cualquier ley algebraica para la• raciones de adición vectorial y multiplicación por escalar de vectores en v 2 11c deducir de las ocho propiedades enunciadas en el teorema. Estas leyes son a las leyes aritméticas de los números reales. Además, en álgebra lineal, un vectorial real se define como un conjunto de vectores junto con un conjunto meros reales (escalares) y las dos operaciones de adición vectorial y multip por un escalar, los cuales cumplen las ocho propiedades del Teorema 14.1.11 14.1.9 DEFINICIÓN Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos, llamados vectores, y conjunto de números reales (llamados escalares), con dos operaciones adición vectorial y multiplicaci6n por escalar, tales que para cada par de vec A y B en V, y para todo escalar e, un vector A + By un vector cA están defi n de forma que las propiedades (i)- (viii) del Teorema 14.1.8 se cumplen. De la Definición 14.1.9 y el Teorema 14.1.8 sabemos que es un·espacio rial real. - Ahora tomamos un vector arbitrario en V 2 y lo escribimos en una forma (a 1 ,a 2 ) = ( a 1 .0) + (O,a 2 ) ( a 1 , a 2 ) = a 1 ( 1, O)+ a 2 ( 0, 1) 14. 1 Vectores en el plano 1009 < umo la magnitud de los dos vectores ( 1, O) y ( 0, l ) es la unidad, se les denomina vl·ctores unitarios. Introducimos la siguiente notación para estos dos vectores: i = ( 1, 0) j = ( 0. 1 > l lsando estas notaciones, de (3) se obtiene que (4) l•n la Figura 22 se muestra la representación de posición de estos vectores. La ecua- l' tón (4) expresa que cualquier vector en V 2 puede expresarse como una combina- l' tÓn lineal de Jos vectores i y j . Debido a esto, así como al hecho de que i y j son tndependientes (sus de posi.ción no colin:ales), se di.ce los vectores i y j forman base para el espaciO vectonal V2• Vease en el eJerCICIO 44 un ejemplo de una base que consta de vectores que no son unitarios. El número de elementos en una base de un espacio vectorial se denomina dimensión del espacio vectorial. Por lo tanto, V 2 es un espacio vectorial bidimensional. • EJEMPLO ILUSTRATIVO 7 ( 3, - 4 > = 3i - 4j De (4) tenemos • Sean A el vector (a¡, Gz ) y 8 el ángulo director de A. Véase la Figura 23, donde el punto (a 1 , a 2 ) está en el segundo cuadrante y .se muestra la representación de po- sición de A. Ya que A = a 1 i + azj, a 1 = IIAII cos 8, y a2 = II AII sen 8, podemos escribir A = 11 A 11 cos 8 i + 11 A 11 sen O j A = 11 A 11 ( cos O i + sen O j) (5) La ecuación (5) expresa el vector A en términos de su magnitud, el coseno y el seno de su ángulo director, y los vectores unitarios i y j. EJEMPLO 6 Expresar el vector ( -5, -2) en la forma de la ecuación (S). 1 rltiURA 22 y FIGURA 23 w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1010 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS y e-s, -2) FIGURA 24 Solución Veamos la Figura 24, que muestra la representación de posición dt'l < - 5, - 2). 11< -5, -2>11 = J( - 5) 2 + ( - 2)2 =J29 Así, de (5) tenemos < - 5, -2) = J29(- 5 i - _2_ j) J29 J29 14.1.10 TEOREMA 5 coso=- - J29 2 sen O=- . J29 Si el vector no cero A = a,i + entonces el vector unitario U que tiene lu ma dirección que A está dado por IIAII IIAIIJ Demostración 1 U = N (a 1i + a 2 j) 1 II AII (A) Por lo tanto,. U es igual a un escalar positivo por el vector A, y así la di de U es la m1sma que la dirección de A. Además, uuu = j( y + ( 11: 2 11 r Ja..2+a?2 =-nAll - II AII -w = 1 14. 1 Vectores en el plano 1011 Por lo tanto, U es el vector unitario que tiene la misma dirección que A y el teorema queda demostrado. • 7 Dados A = (3, 1) y B = (-2, 4), hallar el vector unitario que tenga lu misma dirección que A - B. Solución A - B = (3i + j) - ( - 2i + 4j ) =Si - 3j l·, ntonces IIA- Bll = j 52 + (-3)2 = J34 ) Por el Teorema 14. 1.10 eVvector unitario deseado se expresa como U =_2_ ¡ _ _ 3_ j J34 J34 IICICIOS 14.1 f'/l'rdcios 1 a 4, (a) trace la representación '111'/tin del vector A dado y también la repre- "'" l'specíjica que pasa por el punto P da- ,IIJ l>etermine la magnitud de A. l,4); P = (2,1) < 2, 5); p = ( - 3, 4) P = ( - 2, -e) r 1t, O); P = (2, 6) ., l'ft•rdcios 5 y 6, calcule la medida exacta .. 1/mw.l) del ángulo director del vector que se 1 1 11 la parte (e) éalcu/e también la medida 1/11111tla en radianes redondeando a centési- 1 1 ) ; (b) < - 3, O) ; (e) (5, 2) " l. 1); (b)(O, 4): (e)< - 3, 2) r't1•rcicios 7 a JO, obtenga el vector A que 11 Nj como representación. Trace PQ y la or'/I(UCÍÓn de posición de A. ( \, 7); Q = (5, 4) (\ 4).;Q =(3, 7) ( 5, - 3); Q = (0, 3) 1 J2, 0); Q = (0, 0) En los ejercicios 11 a 14, obtenga el punto S de manera que PQ y RS sean cada uno representa- ciones del mismo vector. 11. P = (2, 5); Q = ( 1, 6); R = (-3, 2) 12. P =(-2,0); Q = (- 3, - 4); R =(4,2) 13. P = (0, 3); Q = (5, - 2); R = (7, 0) 14. P = (-1,4); Q = (2, -3); R = (- 5, - 2) En los ejercicios 15 y 16, obtenga la suma de los pares de vectores e ilustre el resultado geométri- camente. 15. (a) (2, 4) , < - 3, 5) ; (b) <- 3, 0), ( 4, -5) 16. (a) ( 0, 3), < -2, 3); (b) (2, 3), ( - Ji, - 1) En los ejercicios 17 y 18, reste el segundo vector del primero e ilustre geométricamente el resultado. 17. (a) < - 3, - 4), ( 6, O) ; (b)( l , e),< - 3, 2e) 18. (a) ( 0, 5), (2, 8); (b) (3, 7), ( 3, 7) En/os ejercicios 19 y 20, obtenga el vector o esca- lar que se indica si A =(2, 4), 8 = ( 4, - 3), y C =(- 3, 2). 19. (a) A 1- 8; (b) IIC- 811: (e) II7A - Bll 20. (a) A - 8; (b) IICII; (e) II2A + 3BII w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1012 VECTORES EN EL PLANO y ECUACIONES PARAMÉTRICAS En los ejercicios 21 a 24, obtenga el vector o esca- lar dado si A = 2i + 3j ami B = 4i _ j. 21. (a) SA; (b) - 68; (e) A + B; (d) IIA + 81) 2 2. (a) - 2A; (b) 38; (e) A - 8; (d) /lA _ Bl) 23. (a) IJAI) + I)BI); (b) SA - 68; (e) liSA - 6811· , 24 · (a) IIAIJ - IJDII; (b) 38 - 2A; (e) IJ3B - 2AIJ; (d) IJ38II-II2AII En los ejercicios 25 y 26, A = - 4i + 2j, B = _ i + 3j, y e= si - j. 25. Obtenga (a) SA _ 28 _ 2 C Y (b) liSA - 28 - 2Cj/. 26. Obtenga (a) 38 _ 2A _ C y (b) IJ38 - 2A - Cjl En los ejercicios 27 y 28, A ""' 8i + Sj y B = 3i - j. 27. vector unitario que tenga la mis- ma d!recc1ón que A + B. 28. vector unjtario que tenga la mis- ma dirección que A - B. En los ejercicios 29 a 32, exprese el vector dado en la forma Oí + sen 8j), donde res la mag- nitud Y 8 es el angulo director. Obtenga también un vector unitario que tenga la misma dirección. 29. (a) 3i - 4j: (b) 2i + 2j 30. (a) 8i + 6j; (b) 2 Jsi + 4 j 3 1. (a) - 4i + 4J1j: (b) -16i 32. (a) 3i - 3j; (b) 2j 33. Si A :::: - 2i + j , B = 3i - 2j , y C = Si - 4j obtenga los escalares h y k tales que e =· hA + kB. 34. A = Si - 2j, y B = - 4i f- 3j , y C = - 6i + 8J , obtenga los escalares h Y k tales que B = hC- kA. 35. 36. A = ¡ - 2j, Y B = -2i + 4j, y C = 7i - SJ, muestre que C no puede escribirse en la forma hA + kB, donde h Y k son escalares. Dos ru.erzas con magnüudes de 340 Y 475 (en N) .forr'nan un de 34.6" entre sí Y se aphc_an a un ObJeto en el mismo punto. De- terrnme (a) la magnitud de la fuerza resultante Y (b) el ángulo que forma con ht 475 N, redondeando a décima' d 37. Dos fuerzas con magnitudes 60 \' forman un ángulo de 30o entre , 1 can a un objeto en el mismo Plllltu ne (a) la magnitud de la fuerzu • (b) el ángulo que forma con lo 1 lb redondeando a grados. 38. Una fuerza de 22 N de magnitud 24 N de magnitud se aplican a un el mismo punto Y forman un án¡¡u una con la otra. Si la fuerza una magnitud de 46 N, determlnr 1 deando a grados. 39. Una fuerza de 112 lb de magnitud Y 84 lb se aplican a un objeto en el mi to Y la (uerza resultante tiene unu de 162 lb. Determine, redondeando• de grado, el ángulo formado sultante con la de 112 lb. 40. avión tiene una velocidad al llllf mi/ h. Para que el curso real del avh\fl Cia el norte, su enfilamiento debe.' el viento sopla del oeste, {a) ¿cuál ca mtud de su veloci dad? (b) ¿Cuál CN 111 dad a tierra del avión? 41. En un avión con una velocidad al uht mi/ h, el piloto desea volar hacía el pon.iendo que prevalezca un viento hac¡a el este, (a) ¿cuál debe ser el enf to del avión? (b) ¿Cuál será la velocltlod rra del avión cuando viaja con dicho 42. Una embarcación se desplaza a 15 / respecto al agua. En un río cuya cor 1 d.e 3 nudos hacia el oeste, el bote fdamiento hacia el sur. ¿Cuál es la del bote con respecto a tierra Y cuál \U real? 43. Un nadador que se desplaza a 1.5 Ull al agua, sale de la ribera Mil no, enf1la hacia el norte nadando·pcr larmente a él. Sí la corriente fluvial c 1 el este a 0.8 mi/h, (a) ¿en qué dh se estará desplazando el nadador? (bl será l.a velocidad real (o a tierra) del (e) S1 la anchura del río es de 1 mi . distancia del punto frontero corricn;c llegará a la ribera norte? 44. Supóngase que el nadador del ejercicill sea atravesar directamente el río y 1 ropucsto. (a) ¿En qué dirección debe na- , r (h) ¿Cuál será la velocidad real del na- ' hu l'uando va en la dirección de (a)? ·rllll'\lrc que si A es cualquier vector y e uulquier escalar, entonces ú\A) = O y c(O) 11 Ir llll •c,lre el Teorema 14.1.8(ii). 1 llllll'\1 re el Teorema 14.1.8(iii) y (viii). Ir 111\ll'' lre el Teorema 14.1.8(iv). • JIIIIC\Ire el Teorema 14.1.8(v). 11. ut ucstre el Teorema 14.1 .8(vii). 1 • ulm A = ( 2, -5); B = (3, 1) ; C = ( -4,2), 1 1 11h1cnga A + (8 + C) e ilústrelo geomé- t• •IIIICflte. (b) Obtenga (A + B) + e e iJús- . ' "lo ¡tcométricamente. 1lkc que dos vectores son independientes 1 v si sus representaciones de posición 1 11111 colineales. Además, se dice que dos •lor rcs A y B forman una base para el es- 1 tln vectorial V 2 si y sólo si cualquier vec- •· 11 en V 2 se puede expresar como una unhinación lineal de A y B. Demuestre que 11 teorema se cumple para los vectores ', n y ( 3, -1) haciendo lo siguiente: (a) Ve- rlllquc que los vectores sean independientes, llllt\t rando que sus representaciones de posi - luu 11 0 son colineales; (b) verifique que los ' rwres forman una base mostrando que •1111k1uier vector a 1 i + a¿j se pueda escribir , • + 5j) + d(3i- j), donde e y d son 1 l'nlares. (Sugerencia: Determine e y den tér- utluos de a 1 y a 2 .) PRODUCTO ESCALAR 14.2 Producto escalar 1013 53. Consulte los dos primeros enunciados del ejercicio 52. Se puede demostrar un teorema que afirma que dos vectores forman una ba- se para el espacio vectorial V 2 sólo si son in- dependientes. Pruebe que este teorema se cumple para los vectores( 3, -2) y( -6, 4) ha- ciendo lo siguiente: (a) Verifique que los vec- tores sean dependientes (o sea, no independiemes) demostrando que sus repre- sentaciones de posición no son colineales; (b) verifique que los vectores no formen una ba- se, tomando un vector determinado y mos- trando que no puede expresarse como c(3i - 2j) + d( -6i + 4j), donde e y d son escalares. 54. Se dice que un conjunto de vectores V¡, V 2 , V 3 , ... , V n es linealmente dependiente si y sólo si hay escalares k¡, k 2 , k 3 , ... , km no todos cero, tal que _k 1 V 1 + k 2 V 2 + k 3 V 3 + ... + k. V • = O Demuestre que si V 1 = 3i - 2j, V2 = i + 4j , y V3 = 2i + 5j, entonces V¡, V2, y V3 son linealmente dependientes. SS. Sea PQ una representación del vector A, QR una representación del vector By RS del vec- tor C. Demuestre que si PQ, QR, y RS son los lados de un triángulo, entonces A + B + e = o. 56. Compruebe analíticamente la desigualdad del triángulo para los vectores 11 A + B 11 IIAII + II BII . En la Sección 14. 1 definimos la adición y sustracción de vectores y la multiplicación de un vector por un escalar. Definiremos ahora la operación de multiplicación de dos vectores, que da origen a un producto escalar. DEFINICIÓN Si A =(a,, a 2 ) y B = ( h 1 , b 2 ) son dos vectores en V 2 , entonces el producto esca- lar de A y B, representado por A · B, está dado por A · B ( a 1 • a 2 ) • ( /1 1 • b 2 ) = atb, + a2b2 w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1014 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS El producto escalar de dos vectores es un número real (o escaJ(ll) \ 11 Algunas veces se llama también producto .de punto o producto lnt • EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Si A = (2, - 3) y B = (- 4), r111 A· B = ( 2, - 3) · ( - t 4) = (2)( - {) + (- 3)(4) = - 13 Los siguientes productos escalares son muy útiles y fáciles de COilll''' el ejercicio 5) . i·i = 1 j. j = 1 i. j =o El teorema siguiente afirma que la multiplicación escalar es conmuwr Í\ 1 butiva con respecto a la adición de vectores. 14.2.2 TEOREMA Si A, B y e son vectores cualesquiera en V 2 , entonces (i) A · B = B · A (ley conmutativa) (ii) A · (B + C) = A · B + A · e (ley distributiva) Las demostraciones de (i) y (ii) se dejan al lector como ejercicios (véansc h•- cios 6 y 7). Como A · B es un escalar, la expresión (A • B) · e no tiene sentido. Por no consideramos la asociatividad de la multiplicación escalar. Algunas otras leyes de la multiplicación escalar están dadas en el teoremas 14.2.3 TEOREMA Si A y B son vectores cualesquiera en V 2 y e es cualquier escalar Pnrnnr·- (i) c(A · B) = (cA) · B (ii) O · A = O (iii) A . A= IIAII 2 Las demostraciones se dejan como ejercicio aJ lector (véanse los ejercicios 8 n 1 Consideraremos ahora el significado del ángulo entre dos vectores, lo que ce a otra expresión para el producto escalar de dos vectores. 14.2.4 DEFINICIÓN Sean A y B dos vectores diferentes de cero tales que A no sea un múltiplo de B. Si OP es la representación posicional de A y OQ es la representación posición de B, entonces el ángulo entre los vectores A y B está definido ángulo de medida positiva entre OP y OQ interior al triángulo de vérti ces O, 14 .2 Producto escalar 1015 . > O elángulo entre dos vecto- . lar entonces SI e . t J = cB, donde e es un : . . O 1 ángulo entre los vectores ttcne O Como medida en radianes, SI e < , e Irene ""·' medida en radianes 7r. d s vectores sirve también para el ángulo entre o d'd 1'1 shnbolo que se usa den?tar 1 De la Definición 14.2.4, si O! es la me 1 a tar la medida de dicho angu o. O < > 7r La Figura l muestra .. prcscn d v ctores entonces - O! - • '' lll dianes del ángulo entre os ed A es un múltiplo escalar de B. 1 entre dos vectores cuan o tEOREMA A y B diferentes de . d 1 ángulo entre dos vectores Sr es la medida en rad¡anes e lfO, entonces A · 8 = 1\AIIIIBI\ cosa . b . Sea OP la representación de po- . + a j y B = b 11 + 2l · · 1 tre los Demostración _?ea A = ( 1¡ 1 _2, • ción de B. Entonces el angu o en '6 de A Y OQ la representaclOn de post . , l POQ (Figura 2); pes el punto n 1 el origen del tnangu 0 d d 11 do OP vect ores A Y Bes el ángu o en . . lo POQ IIAII es la longitu e a ( b b ) En el tnangu • s (11,. llz) Y Q el punto z. Así de la ley de cosenos obtenemo v IUI es la longitud del lado OQ. , 1\A\1 2 + \\B\\ 2 cos ('). = 21\A\11\B\1 . 2 2 2 a 2) + (b, 2 + b/) - ((a¡ - b¡) + (a2- hz) ] = (lit + 2 2\\A\1\\B\1 2a 1 b 1 + 2azbz =---mAl\ \l B\\ De aquí, 1 IGURA 1 cos ('). := A· B 1\AI\ \\B\1 A . B = 1\ AI\ 1\ B\1 cos a y o FIGURA 2 • w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1016 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS El 14.2.5 afirma que el producto escalar de dos vectores C\ ol de las magmtudes de los vectores y el coseno de la medida en radianc\ formado entre ellos. • ILUSTRATIVO 2 Si A = 3i - 2j y B = 2i + j, y Ot es lu 1 rad1anes del ángulo entre A y B, entonces, del Teorema 14.2.5 A·B cos 17. = IIA/1 /IBif - (3)(2) + ( - 2)(1) - J9+ 4J4+T 6 - 2 JI3J5 4 =}65 En la Sección ·14.1. que si dos vectores diferentes de cero, , 1111 plos escalares SI, t1.enen la misma dirección o dirección opuesta. Ten torrees, la definiCIÓn que sigue. 14.2.6 DEFINICIÓN Se dice que dos vectores son paralelos si y·sólo si uno de ellos es un múlt lar del otro. • EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Los vectores ( 3. - 4) y porque ( 3, - 4) = 4(i, - 1) . Si A es cualquier vector, O = OA; así pues, por la Definición 14.2.6 COil l que el vector cero es paralelo a cualquier vector . . Se ejercicio demostrar que dos vectores diferentes de cero son pn SI Y. solo s1 la medida en radianes del ángulo entre ellos, es o 0 11' (ejercicio Y B son vectores distintos de cero, entonces del Teorema 14.2.5 podcr 11111 ciUJr que cos a = O si y sólo si A • 8 = O Como O Ot 11', de este enunciado se concluye que a = si y sólo si A · B = O Tenemos entonces la siguiente definición. 14.2. 7 DEFINICIÓN Se dice que dos vectores A y B son ortogonales (o perpendiculares) si y A· B = O. . 14.2 Producto escalar • EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 Los vectores ( - 4, 5) y ( 10, 8) son ortogonales pt>rque < - 4, 5) . < 10, 8) = ( - 4)(10) + (5)(8) = 0 • Si A es cualquier vector, O· A = O, y, por lo tanto, de la Definición 14.2.7 sabe- ll tus que el vector cero es ortogonal a cualquier vector. &JEMPLO 1 Dados A = 3i + 2j y B = 2i + kj , donde k es un escalar, obtener (n) un valor de k tal que A y B sean ortogonales; (b) un valor de k tal que A Y B paralelos. Solución (a) Por la Definición 14.2.7, A y B son ortogonales si y sólo· si A · B = O; es decir, (3)(2) + 2(k) = o k = - 3 (h) De la Definición 14.2.6 A y B son paralelos si y sólo si existe algún escalar e tal que(3, 2) = c( 2, k);es decir, 3 = 2c y 2 = ck Al resolver simultáneamente ambas ecuaciones obtenemos k = j. Al considerar la proyección escalar de un vector sobre otro, se una ínter- PI etación geométrica del producto escalar. Véase la Figura 3, donde OP Y OQ son las representaciones de posición de los vectores A y B, respectivamente. El punto es el pie de la perpendicular de Q al segmento OP. La proyección escalar de B ,obre A es la magnitud del vector que tiene a OR como su representación de DEFINICIÓN Si A y B son vectores distintos de cero, la proyección escalar de B sobre A se defi- ne como IIBII cosa, donde Ot es el ángulo entre A y B. 1' w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1018 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS Obsérvese que la proyección escalar puede ser positiva o negativa, del signo de cos ex. Del Teorema 14.2.5, A · B = IIAII<II BII cos ce) Así, el producto escalar de A y Bes la magnitud de A multiplicada por In escalar de B sobre A. Véase la Figura 4(a) y (b). Como la multiplicach'n conmutativa, A · B es también la magnitud de B multiplicada por la PlliV lar de A sobre B. Si B = b 1 i + b 2 j , entonces i·B = b 1 y j·B = b 2 De aquí, el producto escalar de i y B da la componente de B en la di producto escalar de j y B da la componente deBen la dirección de j . Puru este resultado, sea U cualquier vector unitario. Entonces de (1), si ex es cll\ UyB, u . B = IIUIIIIBII cos (X = IIBII cos (X Por lo tanto U • Bes la proyección escalar de B sobre U, la cual recl ho de componente del vector B en la dirección de U. En términos más gene ponente de un vector B en la dirección un vector A es la proyecci<'n B sobre un vector unitario en la dirección de A. El siguiente teorema puede servir para calcular la proyección escalar dt sobre otro. 14.2.9 TEOREMA La proyección escalar del vector B sobre el vector A es A·B IIAII Demostración De la Definición 14.2.8, la proyección escalar de B 11 B 11 cos ex donde ex es el ángulo entre A y B. Del Teorema 14.2.5, tencmnt A·B IIAIIIIBII cosa = A· B IIBII cosa = ljAf BB IBI! cosa >O FIGURA 4 (.1) ,SI cosa< O (b) 14.2 Producto escalar 1019 1 de nuevo la Figura 3. Si e es el vector que tiene a OR como representa- 1• 111 de: posición, entonces a e se le llama proyección vectorial de B. sobre A. Para deter- ••111111 C, multiplicarnos 11 B 11 cos ex por el vector unitario que tiene la misma dirección A. De este modo, obtenemos (del Teorema 14.2.5) 1 • • resultado se expresa como teorema. 'rEO REMA 1 11 proyección vectorial del .vector B sobre A es ( A· B) W'A 1 IEMPLO 2 Dados los vectores A = - Si + j B = 4i + 2j 1 klcrminar: (a) la proyección escalar de B sobre A; (b) la proyección vectorial de 11 A. (e) Mostrar en una figura las representaciones de posición de A, B y la pwyccción vectorial de B sobre A. olución Primero calculamos A · B y IIAII. A . B = <-5, 1 > . < 4, 2) II AII = ---,5,.,.-;;f,.--- +-l-,:;: 2 = - 20 + 2 = J26 = - 18 (11) Del Teorema 14.2.9, la proyección escalar de B sobre A es A · B 18 w=-J26 (h) Del Teorema 14.2. 10, la proyección vectorial de B sobre A es + = -n<- s, + J) =-Hi -ni (l' ) La Figura 5 muestra las representaciones de posición de A, B y e, donde e es la proyección vectorial de B sobre A. w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1020 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS y y L¿: 7 P(7,1) j 1 ) X e FI GURA S o¡ FIGURA 6 En la Sección 6.6. se expresó que si una fuerza constante Fhace desphllatf to una distancia d a lo largo de una línea recta, y la fuerza actúa en la dlt movimiento, entonces, si W es el trabajo realizado por la fuerza, se ticnr Fd. Supongamos, si n embargo, que la fuerza constante no está dirigidn a de la línea de movimiento. En este caso, los físicos definen el trabajo rcH el producto de la componente de la fuerza a lo largo de la línea de mo el desplazamiento. Si el objeto se desplaza del punto A al punto B, el tiene / l ~ o m o representación se denomina vector desplazamiento y se por V(AB). Así, si la magnitud de una fuerza vectorial constante F se r newtons y la distancia de A a B se expresa en metros, y a es la medida en del ángulo entre los vectores F y V(AB), entonces, si W, newton-metro¡, (u es el trabajo realizado por la fuerza F que desplaza un objeto de A a JI w = (iiFII cos o:)II V(A 8)11 = IIFIIIIV(A B)ll cos 0: = F · V(AB) EJEMPLO 3 Supongamos que una fuerza F tiene una magnitud de 6 lh la medida en radianes del ángulo que da su dirección. Obtener el trabajo por F al mover un objeto a lo largo de una recta desde el origen al punto donde la distancia se mide en pies. Sol ución La Figura 6 muestra las representaciones de posición de F y W es el trabajo realizado, entonces W = F · V(OP) = (6cosbt,6sen !n> · ( 7, 1) = (3jj, 3) . (7, 1) = 21jj + 3 ~ 39.37 Por lo tanto, el trabajo realizado vale 39.37 libras-pie (lb-pie). Los vectores tienen representaciones geométricas independientes del sistema denadas que se emplee. Debido a esto, se puede usar el análisis vectorial para trar ciertos teoremas de geometría plana. Esto se ilustra con el ejemplo EJEMPLO 4 Demostrar, con análisis vectorial, que las alturas de un tri cortan en un punto. 14.2 Producto escalar 1021 B ulución Sea ABC un triángulo con alturas AP y BQ que se cortan en un punto ' Dibujemos una recta a través de C y S que corte a ABen un punto R. Deseamos ill•lllostrar que RC es perpendicular a AB (Figura 7). Sean AB, BC, AC, AS, BS, CS representaciones de vectores. Sea V(AB) el vector que tiene como representación al segmento rectilíneo dirigido AB. De manera simi- lnt, sean V(BC), V(AC), V(AS), V(BS) y V(CS) los vectores que tienen como repre- '"'ntacíón el segmento rectilíneo dirigido que está en paréntesis. Ya que AP es una altura del triángulo, V(AS) · V(BC) = O (2) rambién, como BQ es una altura del triángulo, V(BS) · V(AC) =O (3) Para demostrar que RC es perpendicular a AB, mostramos que V(CS) · V(AB) = V(CS) · [V{AC) + V(CB)] = V(CS) · V(AC) + V(CS) · V(CB) = [V(CB) + V(BS)] · V(AC) + (V(CA) + V(AS)] · V(CB) = V(CB) · V(AC) + V(BS) · V(AC) + V( CA) · V(CB) + V(AS) · V(CB) Al sustituir V(CA) por -V(AC) y usando (2) y (3), obtenemos V(CS) · V(AB) = V(CB) · V(AC) +O+ ( - V(AC)] · V(CB) + O = 0 Por lo tanto, las alturas AP, BQ y RC se cortan en un punto. ,JI 1:jercicios 1 a 4 obtenga A . B. - l. 2); 8 = < - 4, 3) 2, A = ({, -i); 8 = (t 1) 3. A = 2i - j ; B = i + 3j w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1022 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS 4. A = - 2i; B = - i + j (a) la proyección escalar de H 5. Demuestre que i · i = 1; j · j = 1; i · j = O. la proyección vectorial de H 6. Demuestre el Teorema 14.2.2(i). 27. Halle la componente del vel.lltl 7. Pruebe el Teorema 14.2.2(ii). en la dirección del vector H 8. Pruebe el Teorema 14.2.3(i). 28. Para los vectores A y 8 del 9. Demuestre el Teorema l4.2.3(ii). tenga la componente del veclur 1 10. Demuestre el Teorema 14.2.3(iii). ción del vector A. 29. Un vector F representa una f110111 En los ejercicios JI a 14, si ex es la medida en ra- nitud es de 8 lb y !n es la dianes del ángulo entre A y B, obtenga cos ex. nes del ángulo que le da su du el trabajo realizado por la fuella 11. A =(4,3); B =( l, -l) objeto (a) a lo largo del 12. A = ( - 2, - 3); B = (3, 2) hasta el punto (6, O) y (b) u tu 13. A = 5i- 12j; B = 4i + 3j y, desde el origen hasta el pun11 14. A = 2i + 4j; B = - 5j distancia se mide en pies. Determine un valor de k tal que la medida en 30. Un vector F representa una fut-1111 radianes del ángulo entre los vectores del nitud es de 10 N y in es la ejemplo 1 de esta sección sea V.?r. nes del ángulo de su direccl(m 16. Dados A = ki - 2j y B = ki + 6j, donde trabajo efectuado por la fuuu11 111 k es un escalar, obtenga un valor de k tal que objeto a lo largo del eje y dt•••l A y B sean ortogonales. (0, -2) hasta el punto (0, 5). 1 11 17. Dados A = 5i - kj y B = ki + 6j, donde mide en metros. k es un escalar, obtenga (a) un valor de k tal 31. Un vector F representa una furrtt que A y B sean ortogonales; (b) k tal que A una magnitud de 9 lb y sn In y B sean paralelos. radianes del ángulo de su dire11 18. Obtenga un valor de k tal que los vectores da- el trabajo efectuado por la furr 111 dos en el ejercicio 16 tengan direcciones un objeto desde el punto de or opuestas. punto (-4, -2). La distancia 19. Dados A = 5i + 12j; B = i + kj, donde k 32. Dos fuerzas representadas por lu' es un escalar, obtenga un valor de k tal que y F 2 actúan sobre una partículu y la medida en radianes del ángulo entre A y se desplace a lo largo de una llnc11 B sea tn. de el punto (2, 5) hasta el purtlu 20. Obtenga dos vectores unitarios que tengan F, = 3i - j y F 2 = -4i + 5j, una representación cuyo punto inicial sea de las fuerzas se miden en newru (2, 4) y que sea tangente ahl a la parábola y = tancia en metros. Calcule el t x2. do por la acción conjunta de anthlll 21. Obtenga dos vectores unitarios que tengan 33. Si A B son vectores, demuestre una representación cuyo punto inicial sea (2, (A + B) ·(A + 8) = A · A + 21\ 4) y que sea normal en dicho punto a la pa- rábola y = x 2 34. Demuestre, por análisis vectorinl, 22. Si A = 2i - 7j, encuentre los vectores unita- dianas del triángulo se cortan tl ll ríos que sean ortogonales a A. 35. Demuestre, por análisis vectoriul, 23. Si A es el vector a 1 i + a 2 j, halle los vectores mento rectilíneo que une los pu unitarios que sean ortogonales a A. de dos lados de un triángulo es 24. Si A = 5i - 9cj y B = 7i - 4cj, demuestre cer lado y su longitud es la mitad que no hay un valor real de e tal que A y B tud del tercer lado. sean ortogonales. 36. Pruebe, por análisis vectorial, qut 25. Si A = -Si + 4j y B = 7i - 6j, encuentre to rectilíneo que une los puntos la proyección vectorial de A sobre B. lados no paralelos de un trapecio 01 26. Para los vectores del ejercicio 25, obtenga: a los lados paralelos, y su longlrud 14.3 Funciones con valor vectorial y ecuaciones para métricas 1023 lu \lima de las longitudes de los lados ,,, Ir e que dos vectores diferentes de ce- •llllllalclos si y sólo si la medida en ra- 38. Si A y B son vectores, demuestre que IIA · Bll IIAIIII BII, donde la desigualdad, se cumple si y sólo si existe un escalar e tal que A = cB. •11"1 ángulo entre ellos es O o 1r. UNCIONES CON VALOR VECTORIAL V ECUACIONES PARAMÉTRICAS que una partícula se desplaza de modo que las coordenadas (x, y) de su pmición en cualquier instante están dadas por las ecuaciones x = f(t) y y = g(t). 1 utonces, para todo número 1 en el dominio común de f y g existe un vector f(t)i 1 s:(t)j, y los puntos extremos de las representaciones de posición de estos vectores •k,criban la curva C que recorre la partícula. Esto lleva a considerar una función IIIYO dominio es un conjunto de números reales y cuyo contradominio es un conjun- ln de vectores. A dicha función se la denominajunción con valor vectorial (o simple- llll'nle función vectorial). I)EFINICIÓN 1.\canfy g dos funciones con valor real de una variable real t. Entonces, para todo uümero t, en el dominio común a f y g, existe un vector R definido por R(t) = f(t)i + g(t)j y R se llama función vectorial o función con valor vectorial. • EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Sea R la función vectorial definida por R(t) = .¡¡:::2¡ + (t- 3) - 1 j S1 f(t) = .¡¡:::2 y g (t) = (t - 3)- 1 , el dominio de R es el conjunto de valores de 1 para los cuales f(t) y g (t) están definidas. Ya que f(t) se define para t 2: 2 y g (t) define para todos los números reales excepto 3, el dominio de R es {tlt 2, L :f. 3L • La ecuación R(t) = f(t)i + g (t)j es una ecuación vectorial y define a la curva C. 1 a misma curva e también está definida por X = f(t) y y= g(t) (1) que reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de C. La variable tes un paránll' lro. La curva C se llama también gráfica; ·esto es, se trata del conjunto de todos puntos (x, y) que satisfacen a (1) o bien, la gráfica de la función vectorial R. w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1024 FIGURA 1 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS Una ecuación vectorial de una curva, así como sus ecuaciones para111il a la curva una dirección en cada punto. Esto es, si pensamos que la curvn por una partíc¡.¡la, podemos considerar el sentido positivo, a lo largo tlt como el sentido en el cual se mueve la partícula cuando el parámetro r :,t• En un caso como éste, t se puede tomar como la medida del tiempo, y d se llama vector de posición. Algunas veces R(t) se denomina radio Si se elimina el parámetro del par de ecuaciones (1), obtenemos un11 x y y, que recibe el nombre de ecuación cartesiana de C. Puede suceder llll nación de los parámetros nos dé una ecuación cartesiana cuya gráfica puntos que la gráfica definida por la ecuación vectorial o las cas. Esta situación ocurre en el Ejemplo 2 . . EJEMPLO 1 Dada la ecuación vectorial R(r) = 2 cos ti + 2 sen tj . (11) gráfica de esta ecuación y (b) obtener una ecuación cartesiana de la Solución (a) El dominio de R es el conjunto de todos los números reales. Podrlumu1 valores dexy y para valores particulares de t. Encontramos la magnitud tor de posición. Para toda t , IIR(t)ll = J4COSi t + 4sen 2 t = 2J cos 2 t + sen 2 t = 2 Por lo tanto, el punto final de la representación de posición de cada encuentra a dos unidades del origen. Haciendo que t tome todos los intervalo cerrado [0, 21r], obtenemos una circunferencia cuyo centro está en ti y tiene un radio 2. Esta es toda la gráfica, ya que cualquier valor de 1 dar4 en esta circunferencia. Su gráfica se muestra en la Figura l. Las ecuacionc• tricas de la gráfica son x = 2 cos 1 y y = 2 sen 1 (b) La ecuación cartesiana de la gráfica se puede encontrar eliminando t dt ecuaciones paramétricas, elevando al cuadrado ambos miembros de e ción, y sumando, lo que da x2 + y2 = 4 y 2 P(2 cos 1, 2 sin 1) 14.3 Funciones con valor vectorial y ecuaciones paramétricas 1 :J EMPLO 2 Dadas las ecuaciones para métricas x = cosh t y y senh t 1025 l••> rrazar la gráfica definida por estas ecuaciones y (b) obtener una ecuación carte- siana de la gráfica. olución (11) A1 elevar al cuadrado ambos miembros de las ecuaciones dadas y restar tenemos x 2 - 2 = cosh 2 1 - senh 2 1 De la identidad cosh2 t- senh 2 1 = 1, esta ecuación se transforma en x2- y2 = 1 Ésta es una ecuación de una hipérbola equilátera. Sin embargo, obsérvese que para t (cualquier número real), cosh t nunca es menor que l . Así, la curva de.fini- da por las ecuaciones paramétricas dadas consta únicamente de los puntos srtua- dos en la rama derecha de la hipérbola. La gráfica de esta curva se presenta en la Figura 2. La curva "punteada" de la figura es la rama izquierda de la hipérbo- la equilátera. (h) La ecuación cartesiana es Como se afirmó previamente, si eliminamos t de las ecuaciones paramétricas ( l ) obtenemos una ecuación cartesiana. La ecuación cartesiana define implícita o explí- dtamente a y com9 una o más funciones de x. Es decir, si x = f(t) = ? (t), ccs y = h (x). Si h es una función diferenciable de x y fes una func10n d¡ferenc!able de t , de la regla de la cadena concluimos que dy dy dx dt = dx . dL y w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1026 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRI CAS Si dx/dt i= O, podemos dividir ambos lados de la ecuación anterior entre: ti tenemos dy dy dt dx = -- dx dt La ecuación (2) nos permite hallar la derivada de y con respecto a x di de las ecuaciones paramétricas. Como d 2 y- d (dy) entonces d 2 y = d(y') dx 2 - dx dx ' dx 2 dx · d(y') d 2 y dt dx 2 =-¡y dx EJEMPLO 3 Dadas las ecuaciones paramétricas x = 3t 2 y y = dy d 2 y . . . dx y dx 2 sm ehmmar t. dy dx Solución Ya que dt = 12t 2 y Tt = 6t, tenemos, de (2), dy = 12t 2 =2t dx 6t Ya que y' = 21, d(y' )l dt = 2. De este modo, de (3), d(y') d 2 y dt clx 2 dx dt 2 = 6t EJEMPLO 4 (a) Trazar la gráfica de la curva definida por las tricas del ejemplo 3 y (b) obtener una ecuación cartesiana de la gráfica l'll Solución Las ecuaciones paramétricas son X = 3t 2 y (a) Se observa que x es no negativa. Así, la gráfica se limita al primero y drantes. 14.3 Funciones con valor vectorial y ecuaciones paramul i lt tltl 1027 1 _____;¡, X .\ TABLA 1 X y o o o t }. 4 } 1 3 4 2 12 32 J - } 4 - 1 3 - 4 - 2 12 -32 La Tabla 1 muestra valores de x y y para ciertos valores de t. Ya que c/y = 2t, cuando t = O, ddy = O. De aquí, en el punto (0,0), la recta tangente es dx x horizontal . Con este hecho y los puntos que se obtuvieron con la Tabla 1, obte- nemos la gráfica que se muestra en la Figura 3. (b) De las dos ecuaciones paramétricas, obtenemos x 3 = 27t 6 y y 2 = 16t6. Al resol- ver cada una de estas ecuaciones para determi nar t 6 y eliminar t 6 tenemos x 3 / - o bien, 16x 3 = 27y 2 (4) 27- 16 que es la ecuación cartesiana que buscamos. • EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Si en la ecuación (4) diferenciamos implícitamente tenemos dy 48x 2 = 54y - dx dy 8x 2 dx =9y' Sustituyendo x y y en términos de t, a partir de las ecuaciones paramétricas dadas, obtenemos dy 8(3t2)2 dx = 9(4t 3 ) = 2t Lo cual coincide con el valor de :Y que obtuvimos en el ejemplo 3. • x dy dx Se concluye de (2) que si en un punto en particular, T = O y dt =F O, entonces d¡• = O, y la gráfica del par de ecuaciones paramétricas ti:rfe una recta tangente hori- tf x w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1028 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS O t l 1 Ad · · dx dy z n a en e punto. emas, SI en un punto determinado, - = O y ' 11 . dx no extste en el punto y la gráfica puede tener una recta Estas rectas tangentes pueden ser útiles cuando se trace la gráfica de hu paramétricas. EJEMPLO 5 Dadas las ecuaciones paramétricas X = 4 - t 2 y y = 1 2 + 4t Obtener las rectas tangentes hori zontal y vertical de la gráfica de este pa1 tlr nes Y trazar la gráfica respectiva. Sol ución dx -= - 2t di dly = 2L + 4 lf dy 2t + 4 Por lo tanto, - = -- ; es decir dx - 2r ' dy t + 2 dy Cuando t =- 2, dx = O, x = O, y y = -4. Así, la gráfica tiene una recta tan¡u 111 zontal en el punto (0, -4). La Tabla 2 muestra valores de x y de y para ciertm de t. Con los puntos que se obtienen con estos valores y conociendo las n·d gentes horizontal y vertical, tenemos la: gráfica que se muestra en la Figu1• Mostraremos ahora el uso de ecuaciones paramétricas para definir la cu1 vn ta un movimiento físico. La curva que consideraremos es la cicloide, tJII descn ta por un punto de una circunferencia, a medida que ésta rueda sobre y y TABLA Z X - 4 - 12 -3 -2 - 1 -5 o 3 4 3 o FI GURA 4 o FIGURA S o 1 2 3 - 5 14.3 Funciones con valor vectorial y ecuaciones paramétricas 1029 11 Supóngase que la circunferencia tiene un radio a. Sea la recta fija de rodnmicnto 1 ¡• ¡e x, con el origen en uno de los puntos en los que el punto P entra en 1111 el eje x. Véase la Figura 5, que muestra la circunferencia después de habc1 1 ml u tlu un ángulo de t radianes. De acuerdo con la Figura 5, V(OT) + V(T A) + V( A P) = V(OP) - II V(OT)II = longitud del arco PT = at. Como la dirección de V(OT) está a lo. largo 1h'l eje x positivo, \'(OT) = at i (6) Además, IIV(T A)ll = a - a cos t. Y como la dirección de V(T A} es la misma que In dirección de j , V( TA) = a( l - cos t)j (7) IIV(AP)II = a sen t, y la dirección de V(AP) es la misma que la dirección de 1; de este modo, V(AP) = - a sen ti Sustituyendo de esta ecuación, (6) y (7) en (5), se obtiene at i + a( l - cos 1)j - a sen ti= V(OP) <=> V(OP) = a(1 - sen t)i + a(l - cos t)j Esta es la ecuación vectorial de la cicloide. En consecuencia, las ecuaciones JJII III métricas de la cicloide son x = a(t - sen t) y y = a(l - cos t) (H) donde tes cualquier número real. En la Figura 6 se muestra una porción de la cicloldl En la Sección 11.1 se enunció y demostró el teorema de Cauchy del val or lll l'l il ll ( 11.1.3), y se indicó que la interpretación geométrica se estudiaría en esta sccd1'111 , ya que se requieren ecuaciones paramétricas. Recuérdese que el teorema enunciu q111 si f y g son dos funciones tales que (i) f y g son continuas en [a, b], (ii) f Y N w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1030 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRI CAS y 11 J f(b) - f(a) .'_> ___ j_l -. IE-_J._-g(b)- g(n)___J X FIGURA 7 diferenciables en (a,b), y (iii) para todos los valores de x en (a, b), g{'(x) ; ces, existe un número z en el intervalo abierto (a, b), tal que f(b) - f(a) f'(z) =-- g(b) - g(a) g'(z) La Figura 7 muestra una curva que tiene las ecuaciones paramétricas x "" f(t), donde a :5 t :5 b. La pendiente de la curva de la figura, en un punlu lar, está dada por dy f'(t) dx = g'(t) y la penctiente del segmento rectilíneo a través de los puntos A(g(a),f(a)) y /1( está dada por f(b) - f(a) g(b) - g(a) El teorema de Cauchy del valor medio afirma que las pendientes son igu nos en un valor de t entre a y b. Para la curva que se muestra en la Figura cuatro valores de t que satisfacen la conclusión del teorema t Y f = Z4. EJERCICIOS 14. 3 En los ejercicios 1 a 6, determine el dominio de la junci6n vectorial R. l. R(t) = ( 1/ t)i + 2. R(t) = (1 2 + 3)i + (1 - l)j 3. R(t)- (sen 1 t)i + (cos - 1 r)j 4. R(t) = ln(t + l)i + (tan - 1 t)j 5. R{t) = jíqi + Jt 2 + 2t - 8j 6. R(t) = ¡;-::4i + J4 - tj En los ejercicios 7 a 12, calcule dy sin eliminar el parámetro. dx 7. X = 3t, y= 2t 2 14.3 Funciones con valor vectorial y ecuaciones por•ll11illllt,! 1031 1 ',V== 1 + L tln t 1 + cos t 13 a / 9, trace la gráfica de la ecua- <11111 indicada y obtenga una ecuación car- 1 lu wáfica. 1 (t + l )j 2)i + (t 2 + 4)j 1 wsh ti+ Ssenh tj ·1 4 ' i +-j t t •l'l' ti + tan tj: ten ( -!n, in) los ti + cos rj; 1 en [0, tn] •1 cos ti + 3 sen tj; t en (0, 2n] 1 llllltll una ecuación de la recta tangente a mv11 x = 1 + 3 sen t, y = 2- S cos t, '' •l punto donde t "" f;¡¡ . lillt' llf!.U una ecuación de la recta tangente a 111 va x = 2 sen t, y = S cos t , en el punto '"'"' t = }n. ll(t•rricios 22 a 24, obtenga las ecuaciones ·. , /111 tangentes horizontales calculando los ,¡,.,para los cuales dyl dt = O, y obtenga 1111'1 de las rectas tangentes verticales deter- los valores de t para los que dxl dt = O. /IIII'C' la gráfica del par de ecuaciones para- " se indica. 1 1, y= 1 2 - t lt 1 4t,y = l - 4t 2 lnt 3at 2 1 l'I.' Uaciones paramétricas para la trocoi- lo -011 111- bsen t y y = a - b cos t 1 hiiiiUCstre que esta curva no posee una recta ' u¡¿rnte vertical si a > b > O. l ln proyect il se desplaza de manera que las ,,udcnadas de su posición, en cualquier 1h1111po t, están dadas por las ecuaciones x = 60t y y = 80/ - 16t 2 • Dibuj e la trnyc.:cl\ltlu del proyecti l. 27. Obtenga dyl dx, d 2 yldx 1 , y d 3 y/dx 3 en el punto de la cicloide que tenga las ecuaciones (8) para las cuales y tiene su mayor valor cuando x se encuentra en el intervalo cerrado (0, 2?ra] . 28. Demuestre que la pendiente de la recta tan- gente en t = t 1 a la cicloide que tienen las ecuaciones (8) es cot V2 t 1 • Deduzca luego que la recta tangente es vertical cuando 1 = 2mr, donde n es cualquier entero. 29. Una hipocicloide es la curva trazada por un punto P sobre una circunferencia de radio b que rueda dentro de una circunferencia fija de radio a; a > b. Si el origen está en el cen- tro de dicha circunferencia, A(a, O) es uno de los puntos en los que el punto P toca la cir- cunferencia fija, 8 es el punto móvil de tan- gencia de ambas circunferencias, y el parámetro tes el número de radianes del án- gulo AOB, demuestre que las ecuaciones pa- ramétricas de la hipocicloide son a- b x = (a - b) cos t + b cos - b- t y a - b y = (a- b) sen t - b sen--t b 30. Si a = 4b en el ejercicio 29, tenemos una hi- pocicloide de cuatro cúspides. Demuestre que las ecuaciones paramétricas de esta curva son x == a cos 3 t y y = a sen 3 t. 31. Emplee las ecuaciones paramétricas del ejer- cicio 30 para obtener una ecuación cartesiana de la hipocicloide de cuatro cúspides y trace la gráfica de la ecuación resultante. 32. Las ecuaciones paramétricas para la trdr:triz son t x = L-a tanh - (1 y l y= a sech - a Trace la curva para a = 4. 33. Demuestre que el parámetro t, en las ecua- ciones paramétricas de una tractriz (véase el ej ercicio 32), es la intersección x de la recta tangente. 34. Demuestre que la tractriz del ejercicio 32 es una curva tal que la longitud del segmento de w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1032 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS toda recta tangente, desde el punto de tan- gencia hasta el de intersección con el eje x, es constante e igual a a. eje x y un arco de la cicloidr 111 ecuaciones (11).• 36. Obtenga el centroide de la re11h\tt cio 35. 35. Calcule el área de la región limitada por el 14.4 CÁLCULO DE LAS FUNCIONES CON VALOR VECTORIAL Las definiciones de límites, continuidad, derivadas e integrales definid1111 nes vectoriales implican a las definiciones correspondientes de real (o simplemente funciones reales). 14.4. 1 DEFINICIÓN Sea R una función vectorial cuyos valores están dados p or R(t) = j (f)i t g(t)j Entonces, el límite de R(t) cuando t se aproxima a t 1 está definida lím R(t) = [ lím j(t) ] i + [ lím g(t)]j t-t, t-t, t-t, si límf(t) y lím g(t) ambos existen. ,_,1 t-1. • EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Si R(t) lím R(c) = (lím cos t)i + ( tí m 2e1j 1-0 r-o r-o = i + 2j 14.4 .2 DEFI NICIÓN cos ti + 2e'j , entonces La función vectorial Res continua en ! 1 si y sólo si se cumplen las nes siguientes: (i) R(/ 1 ) existe; (ii) lím R{t) existe; ,-,, (i ii) lím R(t) = R(t 1 ) . ¡-¡, De las Definiciones 14.4.1 y 14.4.2 concluimos que la función vectorial da por R(/) = f(t)i + g (t)j, es continua en / 1 si y sólo si f y g son co En la siguiente definición, la expresión R(t + ót) - R(t) ót 14.4 Cálculo de las funciones con valor vectorial 1033 ,, emplea para indicar la división de un vector entre un escalar. Por esta expresión 1111cndemos 1 ót [R(c + M) - R(t)] DEFINICIÓN St R es una función vectorial, entonces la derivada de R es otra función vectorial, tt•presentada por R' y definida por R'(t) = lím R(t + /H) - R(t) at-o ,¡ este límite existe. Algunas veces la notación D 1 R(t) se emplea en vez de R'(t). El teorema siguiente se deduce de la Definición 14.4.3 y de la definición de la deri- Vllda de una función real. TEOREMA Si R es una función vectorial definida por R(t) = f(t) i + g(t) j entonces R'(t) = f'(t) i + g'(t)j sif'(t) y g'(t) existen. Demostración De la Definición 14.4.3 R '( ) , R(t + ót) - R{t) t = hm __:_ _ _ :....___;,..;, tu- o At = lím [f(t + ót)i + g(t + ót)j] - [f(t)i + g(t)j] 6t-O Ót , [f(t + ót) - .f(t)] . 1 • [g(t + M) - g(t.)] . = hm 1 t 1m J 6r - o At 6t-O Ót = f'(t)i + g'(t)j • La dirección de R' {!) es a lo largo de la recta tangente en el punto f (1), g (t) a la gráfi- ca de R(t) que tiene a (1) como ecuación vectorial. Es decir, la dirección de R' (t) está dada por () (O 5 () < 27r), donde tan O= g'(t)/f'(t); entonces dy dt tan e=- dx dt dy = - dx w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1034 y VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS La interpretación geométrica de la Definición 14.4.3 se obtiene al representaciones de los vectores R(t), R (t + M), y R'(t). Consulte la curva e es descrita por el punto final de la representación de posición de t toma todos los valores en el dominio de R. Sea OP la representaci6n de 11 de R(t) Y OQ la representación de posición de R(t + D.t). Entonces R(t 1 es un para el cual PQ es una representación. Si al vector R(t t multiplicamos el escalar 11 D.t, obtenemos un vector que tiene la m c.tón Y cuya magrutud es 1/ID.tl por la magnitud de R(t + M) - R(t). ( ttende a cero, el vector [R(/ + D.t) - R(t))/ D.t se aproxima a un vector que de sus representaciones tangente a la curva e en el punto P. • EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Si R(t) = (2 + sen t)i + cos tj, R'(t) = cos t.i - sen tj Las derivadas de orden superior de las funciones vectoriales se definen t•n con de orden superior de las funciones reales. Así, si R es una vector!al defmtda por R(t) = f(t)i + g (t)j, la segunda derivada de R, mo R (t), está dada por R"(t) = D, [R'(t)] También podemos usar la notación D?R(t) en lugar de R"(t). Si apl Teorema 14.4.4 a R'(t) obtenemos R"(t) = f"(t)i + g"(t)j sif"(t) y g"(t) existen. • EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Si R(t) == (In /)i + G)j, entonces R'() J • 1 . 1 2 t = -L 1 - -t 2 J y R"(t) = -- 2 i + _ j L t 3 R'(t) 14.4 Ctllculo de las funciones con va101 Vl'tlWIIII t038 dice que una función vectorial Res diferenciable en un intervalo si R'(t) existe u.l todos los valores de t en el intervalo. l os teoremas siguientes ofrecen fórmulas de diferenciación para las funciones 1111 lnlcs. Las demostraciones se basan en el Teorema 14.4.4 y los teoremas de dtfe- l•lll iación de funciones reales. I'EOREMA 1 R y Q son funciones vectoriales diferenciables en un intervalo, entonces R + O es diferenciable en el intervalo, Y D 1 [R(t) + Q(t)] = D,R(t) + D,Q(t) l .a demostración de este teorema se deja como ejercicio para el lector (ejercicio 25). I:JEMPLO 1 Si R(t) == t1i + (1- I)j y Q(t} ·== sen ti + cos tj, verificar el Teore- 11111 14.4.6. "olución D,[R(t) + Q(t)] = D,([t 2 i + (t - l)j] +[sentí+ cos tj]) = D,[(t 2 + sen t)i + (t - 1 + cos t)j] = (2t + cos t)i + (1 - sen t)j D,R(t) + D,Q(t) = D,[t 2 i + (t - l)j] + D,(senti + cos tj) = (2ti + j) + (cos ti - sen ti) = (2t + cos t)i + (1 - sent)j Por tanto. D,[R(t) + Q(t)] = D,R(t) + D,Q(t). TEOREMA ' e;¡ R y Q son funciones vectoriales diferenciables en un intervalo, entonces R • Q es diferenciable en el intervalo Y D 1 {R(/) + Q(t)] = [D,R(t)] · Q(t) + R(t) · [D,Q(t)) Oemostración Sea R(t) == f 1 (L)í + g.(t)j Y Q(t) = !2(t)i + g2(t)). Entonces, por el Teorema 14.4.4, D,R(t) = f 1 '(t)í + g 1 '(t)j y D,Q(t) = + g2'(t)j R(t) · Q(t) = [! 1 (r)] [f 2 (t)] + [g 1 (t)] [gz(t)] w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1036 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS Así que D,[R(t) · Q(t)] = [J¡'(t)]l/2(1)] + + [g¡'(t)][g2(t)] + [g¡(t)][g/ (lll = {[f¡'(t)][f2(r)] + [g¡' (t)][g 2 (t)]} + {[! 1 (t)][N(t)J + [g 1 (t)]¡, = [D,R(t)] · Q(c) + R(t) · [D,Q(t)] EJEMPLO 2 Verificar el Teorema 14.4.7 para los vectores del Ejenwla Solución Los vectores son R(1) = t 2 i + (t - l)j Q(c) = sen t! + cos tj Así, R(t) · Q(t) = t 2 sen t + (t - 1) cos t. Por lo tanto D,[R(t) · Q(t)] = 2t sent + t 2 cos t + cos t + (t- 1)( - sen e) = (t + 1) sen t + (t 2 + 1) cos t Como D,R(r) = 2ti + j y D,Q(t ) = cos ti - sen tj, tenemos [D,R(r)] · Q(t) + R(t) · [ D,Q(t)] = (2ti + j) · (sentí + cos tj) + [t 2 i :t (1 - l)j] · (cos ti - sen1j) = (2t sin 1 + cos t) + [t 2 cos 1- (t- 1) senr] =(t+ l) sent+(t 2 + l)cost Al comparar (1) y (2) observamos que el Teorema 14.4.7 es válido para estm 14.4.8 TEOREMA Si R es una función vectorial, diferenciable en un intervalo, y fes real diferenciable en el intervalo, entonces Dt{[f(t)][R(t)l} = [Dtf(t)]R(t) + /(t) DIR{J) La demostración se deja como ejercicio para el lector (véase el ejerclclu El siguiente teorema necesitará aplicarse en secciones posteriores. Se 11 regla de la cadena para funciones vectoriales. La demostración, que se ejercicio al lector (véase el ejercicio 27), se basa en el Teorema 14.4.4 y 1ft la cadena para funciones reales. 14.4.9 TEOREMA Supóngase que F es una función vectorial, h una función real tal y G(t) = F(h(t). Si hes continua en t y Fes continua en h {t), entonces nua en t. Además, si D,cf> y D</J-G(t) existen, entonces D 1 G(t) existe y DIG(t) = 14.4 Cálculo de las funciones con val01 Vl'l lml.tl 1037 • EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 111das por Sean las funciones F Y h del Teorema 14.4.9 dcll F(<P) = <fi + y h(t) = sent "' 41 = h(t) y G(t) = F(h(t)), entonces <P = sent y G( l) = sen 2 ti + esen 'j i\1 calcular DtG(t) por medio del Teorema 14.4.4 tenemos scnr • D G(t ) == 2 sent cos ti + e cos LJ l' lll 1 (3) 1 r ·ón del Teorema 14.4.9 conduce al mismo resulta- Se puede demostrar que a ap tcact . . . 2· ó· do. Como G(t) también puede escnbtrse el> ' + e J, D<>G(t) == D</J[<P 2 i + == 2<Pi + Pero el> = sen t; de este modo • sin, . v ct>G(t) = 2 senn +e J d<P V - "" cos t dt Sustituyendo estos valores en el lado derecho de la fórmula del Teorema 14.4.9 se obtiene D,G(c) = [2 sentí + e""' 'j] cos t = 2 sent cos ti + e"" 1 cos tj • lo cual concuerda con (3). . Ahora definimos la integral indefinida (o antideri vada) de una función vectonal. DEFINICIÓN Si Q es la función vectorial dada por Q(t) = /(t)i + g (t)j entonces la integral indefinida de Q(t) se define por S Q(t) dt = i S J<t> dt + j S g<t> dt (4) 1 d f' . · 6 de una integral indefinida de 111111 Esta definición es compatible con a. e tmct n ten ambos lados (•1), función real, ya que si tomamos la denvada con respecto a 1cnemos w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1038 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS D, f Q(t) dt = iD, f f(t) dt + jD, f g(t) dt D, f Q(t) dt = if(t) + jg(t) Para cada una de las integrales indefinidas en el lado derecho de (oll constante escalar arbitraria. Cuando cada uno de estos escalares es muh i o por j, en la suma aparece un vector constante arbitrario. Así tcur f Q(t) dt = R(t) + e donde D¡R(t) = Q(t) y C es un vector constante arbitrario. EJEMPLO 3 Determinar la función vectorial más general cuya dcr Q(t) = sen ti - 3 cos tj Solución Si D,R(t) = Q{t), entonces R(t) = J Q(t) dt; esto es R(t) = i J sen t dt- 3j J cos t dt = i(- cos t + C 1 ) - 3j(sent + C 2 ) = - cos ti- 3 sentj + (C 1 i - 3C 2 j) = - cos ti - 3 sen tj + e EJEMPLO 4 Obtener el vector R{t) para el cual D,R(t) = e-t¡ + etj y p11 R(O) = i + j. Solución R(t) = i J e- ' dt + j J e' dt Así R(t) = i( - e- '+ C 1 ) + j(e' + C 2 ) Como R(O) = i + j, Por lo tanto, C 1 - l = 1 C 1 = 2 De aquí, R(t) = (- e- ' + 2)i + e'j 14.4 Cálculo de las funciones con valor vectorial 1039 H siguiente teorema nos resultará útil más adelante. 'rEOREMA 1 Res una función vectorial diferenciable en un intervalo, y IIR(t)ll es constante rnra toda t en el intervalo, entonces los vectores R(t) y D1R(t) son ortogonales. 1) mostración Sea IR(t)l = k. Entonces, por e1 Teorema 13.2.3(iii), R(t) · R(t) = k 2 l llfcrenciando con respecto a 1 en ambos lados y usando el Teorema 14.4.7 obtenemos [D,R(t)] · R(t) + R(r) · [D, R(t)] = O l' t) l lo tanto, 2R(t) · D,R(t) = O 1 omo el producto escalar de R(t) y D,R(t) es cero de la Definición 14.2.7 concluí 111os que R(/) y D,R(t) son ortogonales. • La interpretación geométrica del Teorema 14.4.11 es obvia. Si el vector R(t) es tk magnitud constante, entonces la representación de posición OP de R(t) tiene su punto terminal P en la circunferencia con centro en el origen y radio k. Así, la gráfi t' ll de Res esta circunferencia. Ya que D,R(t) y R(t) son ortogonales, OP es perpcn tl h.: ular a una representación de D,R(t). La Figura 2 muestra una gráfica de un cuarto de circunferencia, la representación de posición OP de R(t), y la representación Pli de D 1 R(t). 8 w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1040 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRI CAS EJERCICIOS 14.4 En los ejercicios 1 a 5 obtenga si existe elltmite indicado. ' J. R(t) = (31 - 2)i + t 2 j; lím R(t) t - • 2 • 1 2 - 4 2. R(t) = (t - 2)t + - - j ; lím R(1) t - 2 •- 2 3. R(t) = 2 sen ti + cos tj; lím R(t) t - r. t2 1 2 - 21- 3 t 2 - 51 + 6 4. R(t) = i + ·. r R( ) 1 - 3 1 - 3 J, Jm l •-J 5. R(t) = e•+ Ji + j1 + tU; lím R(1) t - - l En los ejercicios 6 a 14, obtenga R' (t) y R"(t). 6. R(t) = (t 2 - 3)i + (21 + l)j 7. R(t) = e 2 'i + In 1j 8. R(t) = cos 2ti + tan 1j 9. R(t) = tan - 1 ti + 2'j 1- l t - 2 lO. R(t) = --i + --j 1 + 1 t 11. R(t) = (t 2 + 4) - li + 12. R(t) = J2t+li + (1 - Wj 13. R(t) = 5 sen 2ti - sec 41j 14. R(t) = (e 3 ' + 2)i + 2e3'j En los ejercicios .15 y 16, obtenga D,!I R(t)ji. 15. R(t) = (1 - l)i + (2- t)j 16. R(t) =(e'+ !)i +(e' _ l)j En los ejercicios 17 y 18, verifique el Teorema 14.4.6 para los vectores dados. 17. R(t) = (t 2 + e')i + (t - e2')j; Q(1) = (1 3 + 2e')i - (3t + e2')j 18. R(l) = cos 2ti - sen 21j ; Q(l) = sen 2 1i + cos 21j En los ejercicios 19 y 20, verifique el Teorema 14.4. 7 para los vectores del ejercicio que se indica. 19. Ejercicio 17 20. Ejercicio 18 En los ejercicios 21 a 24, obtenga R'(t) · R" (t). 21. R(t) = {2t 2 - l)i + (1 2 + 3)j 22. R(1) = 1n(1 -l)i -3t - Jj 23. R(t) = e 2 ' i + e- 21 j 24. R(t) = - cos 21i + sen2tj 25. Demuestre el Teorema 14.4.6. 26. Demuestre el Teorema 14.4.8. 27. Demuestre el Teorema 14.4.9. En los ejercicios 28 a 33, determine el general cuya derivada tenga el valor tÑ que se indica. 28. (1 2 - 9)i + (2t - 5)j 29 . 1 . . tan 11 --J l 30. 3'i - 2'j 31 3t• 1 . e • +-- j t - I l . 4 32. - - ·---j 4 + 1 2 1 - t 2 33. In ti + r 2 j 34. Si R'(t) = 1 zi + _ 1 _ J. 1- 2 ' y R(J) = 2i - 5j, determine R(t). 35. Si R'(t) =sen 2 ti + 2 cos 2 1j, y R(n) = O, calcule R(t). 36. Si R'(l) =e' sentí +e' cos 1j, y R(O) = i - j, halle R(t). En los ejercicios 37 y 38, obtenga, ci6n vectorial indicada, una ecuación de la curva que se traza por el punto representación de posición de R' (t) R(t) · R'(t). Interprete • tado. 37. R(t) = cos ti + sen tj 38. R(t) = cosh t i - senh tj En los ejercicios 39 y 40, si a(t) es la radianes del ángulo entre R(t) y D 1 a(t). 1.-''i - 4e 2 'j y Q(1) = 6e 3 'j lti (1 2 - l)j y Q(t) = 3ti · 111 1111 que R y R' son funciones vectoria- l•ltnidas en un inter valo y R' es diferen- 1 h 1' 11 dicho intervalo. Demuestre que 11,1 11 (1) • R(t)] = II R'(t)!j 2 + R(t) . R"(l) llltnl 1 h(t), demuestre que R(t) · R' (t) = 1{1) '''''(t)]. 1 lllllción vectorial R y la función real f t •llh·tenciables en un intervalo y fl.t) ,¡, O, LONGITUD DE ARCO 14.5 Longitud de "r'o 104 t demuestre que R/ftambién es difercnciablc en el intervalo y [ R(t)J = /(t)R'(t) - j'(1)R(1) D, f(t) [.{(t)] 2 44. Demuestre que si A y B son vectores cons- tantes y f y g son funciones int egrables, en- tonces S [Af(t) + Rg(t)] de = A S f (t) dt + B S g(t) dt (Sugerencia: Expresa A y 8 en términos de i y j.) 1 n la Sección 6.3 obtuvimos una fórmula para encontrar la longitud de arco de una 1 11 1 va que tiene una ecuación de la forma y = f(x). Se trata de una clase especial ya que la gráfica de una funciónjno puede ser cortada por una recta verti- r ul en más de un punto. Ahora presentamos un método para calcular la longitud de arco de algunas otras 11uses de curvas. Sea C la curva que tiene las ecuaciones paramétricas X= f (t) y y= g(t) v \ upongamos quefy g son continuas en el intervalo cerrado {a, b). Hay que asignar 1111 número L que represente el número de unidades de la longitud de arco de C desde 1 a hasta t = b. Procedemos como en la Sección 6.3. Sea ll una partición del intervalo cerrado [a, b) que se forma al dividir el intervalo l' l\ 11 subintervalos, escogiendo n - 1 números entre a y b. Sea t 0 = a y t, = b, y 1¡, t 2 , •.. , 1, 1 _ 1 los números intermedios: t 0 < t 1 < ... < t,. _ 1 < t" li l i-ésimo subintervalo es [l;- 1 , 1;) y el número de unidades de su longitud, repre- "l' ntado por ll ;t, es f ; - 1;- 1 , donde i = 1, 2, ... , n. Sea lllll l la norma de la parti- dún; así, cada ll;t 5 llllll. /\sociado a cada número t; hay un punto P¡(f(t¡), g(t;) ) en C. Desde cada punto /', 1 trazamos un segmento rectilíneo al siguiente pu'nto P; (Figura 1). El número de 1111idades de la longitud del segmento rectilíneo que va de P;- 1 a P; se representa por lt', 1 PJ De la fórmula de la distancia tenemos (J) w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1042 VECTORES EN EL PLANO y ECUACIONES PARAMÉTRICAS y ,(/(1 ¡_.), )) FIGURA 1 La suma de los números de las unidades de longitudes de n segmentos 11 _L jP; 1 P;j t = l Nu.es.tra intuitiva de la longi tud de arco que va de t = a h a defmtr el numero de unidades de 1 1 . a 1 cuando ll.:ill tiende a cero. a ongttud de arco como el límite do 14.5. 1 DEFINICIÓN x Y Y - g (/) las ecuaciones paramétricas de la SI extste un numero L Ja propiedad de que para cualquier O tal para toda partJctón .:l del intervalo (a, b] para la cual l E li>;_; fi;l- Ll < € 1::1 Entonces escribimos n L == litn '\' j.,....__j IIAII ... o L, P;-¡P; i=I ; es la longitud de arco de la curva e del punto {f(a), g 'El arco la curva es rectificable si el límite de la Definición 14 5 I • g son contmuas en [a b] s d . · · . ' ' e proce e como stgue para la obtención de lu nos permtta evaluar el límite. Yaquef'yg'soncontinuasen[a b ] · tición .:l As' 1 h. ó . , , son contmuas en cada subintervulo . t, a tp tests del teorema del valor medio (Teorema 4 3 2) , r [/¡- ¡ • l¡ J; por lo tanto, existen número Z¡ y W¡ en el /(t;) - /(t; - 1 ) = f'(z;) ll;t i y(t;) - g(t; ;.. d = g'(w;) A;t IINiiluyendo de estas ecuaciones en (l) se obtiene jP; _ 1 P;j = J[f'(z;) A;t]2 + [g'(w;) A;t] 2 14.5 Longitud clu me n 1043 jP;_ 1 P;j = J [!'(z;)] 2 + [g'(w;)]2 ll;t (2) donde Z¡ y w¡ se encuentran en el intervalo abierto (l;- 1 , t¡). Entonces, de la Defini- •lt\ u 14.5.1 y (2), si el límite existe, 11 L = lím ¿ J[!'(z;)] 2 + [g'(wJJ2 Á;t IIAII-0 Í 5 1 (3) l .a suma en (3) no es una suma de Riemann, porque Z; y w; no son necesariamente lw. mismos números. Por lo tanto, no podemos aplicar la definición de una integral 1lt•fi nida para evaluar el límite en (3). Sin embargo, existe un teorema que podemos uplicar para evaluar este limite. Enunciamos el teorema pero no darnos su demostra- ¡Jc\n por estar la misma fuera de los alcances de este libro. La demostración se puede •• ••contrar en un libro de cálculo avanzado. TEOREMA SI las funciones F y G son continuas en el intervalo cerrado [a, b], la función F 2 + 0 2 también es continua en [a, b], y si A es una partición del intervalo la. b](.:l: a = to < 1 1 < . .. < 1¡- 1 < t; < ... < In= b),YZ;Y w 1 sonnúme- ros cualesquiera en (1;- 1 , t 1 ), entonces n b Jím E '-'lF(z;)] 2 + [G(w 1 ) ] 2 .:l;/ = J .J[F(t)] 2 + [G(I)f dt l • l " Aplicando el Teorema 14.5.2 a (3), donde Fes f' y G es g', se obtiene L = J:' J [f'(t)]l + [g'(t )Y dt El resultado se enuncia en forma de teorema. TEOREMA llagamos que la curva e tenga las ecuaciones paramétricas x = f(t) y y = g(t), v supongamos que/' y g' son continuas en el intervalo cerrado [a, b]. Entoncee lu longitud de arco L unidades de la curva C, desde el punto (/(o), g(o)) hasta ti punto (f(b), g(b)) está determinada por L = s: '-'l/'(1)] 2 + [g' (t)] 2 dt EJEMPLO 1 Determinar la longitud de arco de la curva que tienen las ecuaciUJit'll paramétricas x = t 3 y y = 2! 2 en cada uno de los siguientes casos: (a) de t = O n t l;(b)det = - 2 a t = O. w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1044 VECTORES EN EL PLANO y ECUACIONES PARAMI::TRICAS .V Solución E 1 p- · n a Jgura 2 se muest ra una grá fica de la curva S f (t) = t 3 g(l) = 2t 2 . ean f '(l) = 3c 2 g'(l) = 4t La curva tiene las ecuaciones paramétricas x = 1 - . ma 14.5. 3 a las partes (a) y (b) donde L . f() Y Y - g(t). Aphcamo- 0 a t = 1 Y lb unidades es la longitud d ol unidades es la longitud del llh e arco de t = -2 a 1 0 (a) La= Jo 1 J 9t 4 + 16t 2 dt = Ll .¡¡r J 9t 2 + 16 dt = J 0 1 rJ 9r 2 + 16 dt =fa j (9r 2 + 16)312]; = t-,. [(25)312 - ( 16)312] = n (t25 - 64) =# , (b) Lb= J9t 4 + 16t 2 dt = .jt2 J 9L 2 + 16 dt = - t J 9t 2 + 16 dt = - /s . t(9c2 + 16)312]o - 2 = - 2\ [(16) 3 1 2 - {52)312] = 2 1 7(104Jj3- 64) 11.5 Obsérvese en la tercera integral de la a que O ::5 t < 1 Sin b parte (a) que sustituimos jii Jlut 1 cr - · em argo, en la tercera integ al d 1 ....¡ t - por - t ya que -2 51 5 O. r e a parte (b) rct•rn Para la e, cuyas ecuaciones paramétricas son - dades la longitud del arco de e desd 1 x - f(t) Y Y = g(t), Y supóngase que s aumente a medid: e punto if(/o)), g(to)) hasta el puntu 1 que está dada por que t aumenta. Entonces, s es unn ru s = J: J [f'(u)] 2 + [g'(u)] z du Del primer teorema fundamental del Cálc 1 (T u o eorema 5.8.1) ds d¡ = J [f'(t)] 2 + [g'(1}]2 1 Ir m ecuación vectorial de e es R(t) = j(l)i + o(t)j ' 11 que R'(l) = f' (t)i + y' (t)j •tll onces 'll l,tit uyendo (6) en (4) obtenemos II R' (t)ll = .!!!.._ dt 14.5 Longltutlllc •rw t049 (S) (6) De esta ecuación concluimos que si la longitud de arco de la curva e cuya ecua- dón vectorial es (5), es des unidades, medida desde algún punto fijo hasta el punto (/{/), g(t)), con s aumentando a medida que t aumenta, entonces, la derivada de s lllll respecto a t es la magnitud de la derivada del vector de posición en el punto ( / (/), g(t)). Sustituyendo de (6) en la fórmula del Teorema 14.5.3 obtenemos L = f II R'(t)lldt. De esta forma, el Teorema 14.5.3 puede expresarse en términos vecto- t HileS en la siguiente forma. TEOREMA e la curva con ecuación vectorial R(t) = f(t)i + g(t)j, y supongamos que f' y g' son continuas en el intervalo cerrado [a, b] . Entonces la longitud dé arco tic e, trazada por el punto terminal de la representación de posición de R(t), cuando f se incrementa de a a b, está determinada por L = J: II R' (t)JI dt EJEMPLO 2 Determinar la longitud del arco trazado por el punto terminal de la t cpresentación de posición de R(r) cuando 1 se incrementa de 1 a 4 si R(/) = e' sen ti + e' cos tj Solución R' (l) = (el sen t + el cos t)i + (el cos 1 - el sen t)j. Por lo tanto, IIR'(r)!j = J(e' sen t + e' cos t) 2 + (e' cos r - e' sent) 2 = Ji2r J sen 2 t + 2 sen t cos t + cos 2 e + cos 2 t - 2 sen t cos t + s cnl 1 = e' J2 Del Teorema 14.5.4, L = f j2e' dt = /2e'J: 2(e 4 - e) w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1046 VECTORES EN EL PLANO y ECUACIONES PARAMÉTRICAS . Puede obtenerse una forma alterna de la fórmula del Teorema 14 5 3 gJtud de arco de una curva e con ecuaciones para métricas x = f(l) • tu yendo j' (1) por dx. y g' (t) por dy Est '" dt dt · a ,orma es L = ib dt encontrar la longitud de arco de 111111 p en e y (r 8) - ( 8 ). SI (x, Y) es la representación cartesiana d 1 ' es una representación polar de P, entonces X = 1' COS e y y = 1' Sen 0 1 Si sustituimos r por F(O) d . en estas os ecuaciones tenemos X = F(O) coso y Y= F(e) sen O e uO'ltimas se pueden considerar como ecuaciones pa on e es el parametro en lugar de t P 1 . , cerrado [a, fjJ. la fórmula para la lo :t dordo tanto, SI F es continua en d 1 ng1 u e arco de la curva e e a .. ar es r = F(O), se obtiene de (7) t d _ . ' uy e' oman o 1 - O. AsJ tenemos L = LP J(;;y dO Puesto que x = r cos O Y Y = r sen O • dx dr d' - = cos e - - r (} y dr dO dO sen Y dO= sen(} dO + r cosO Por lo tanto, + _ J( dr ) 2 ( dr )2 - cos O dO - r sen O + sen O dO + r cos O = cos2 O 2r sen f) cos () dr + rz senz () + senz O (dr) z + 2 () dr . dO dO r sen cos f) dO 1 f = (cosz O +senz o)(:;y + (senz O+ cosz O)rz = + ,.z Sustituyendo esto en (8) obtenemos EJEMPLO 3 Determinar la longitud de la cardioide r = 2(1 + cos 8). Solución La curva se muestra en la Figura 3. Para obtener La longitud de toda la curva podemos hacer que 8 tome los valores de O a 21r, o bien podemos emplear la 111metría de la curva y encontrar la mitad de la longitud haciendo que 8 tome valores de O a 1r. Como r = 2(1 + cos 0), drl dO = -2 sen 8. Al sustituir en (9), integrando de O a 1r, y multiplicando por 2, tenemos L = 2 J: J(- 2 sen 0) 2 + 4(1 + cosO? dO = 4 J: J sen 2 () + l + 2 cos O + cos 2 fJ dfJ = 4J2 s: J¡ + cos () d() Para evaluar esta usamos la identidad cosl YzO = Y2 (1 + cos () ), la cunl nos da J.! +cosO= Jí,jcos Ya que O rr, Os; !Os; !rr; de este mo<lo, cos t O 2: O. Por lo tanto J I + cos () = J2 cos tfJ. Así, tenemos L = 4 j2 s: Ji cos !fJ dO = 16 sen!O = 16 ¡,, c'jercicios 1 a 28, determine la longitud del 1 dudo. Cuando aparece a, a > O. 1 '" + 1, y= it 2 - 1; para 1 = q _a t = l. 1 .. 11l, y= 2t 3 ; para 1 = O a 1 = 3. 3. x = t 2 + 21, y = t 2 - 2t; para 1 = O 11 1 2 4. x= t 3 ,y= 3c 2 ; parat = -2 a 1 O. S. R(t) = 2t 2 i + 2t 3 j ; para 1 = 1 .a 1 6. R(t) = ti + cosh tj; para 1 = O a t 7. R(t) = 3e 2 ' i - 4e 2 'j; para· L = O a 1 lu ' w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1048 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS 8. R(t) = (t 2 + 3)i + 3t 2 j; para 1 = 1 a t = 4. 9. R(t) =e' cos t i + e' sin tj; para 1 =O a 1 = J. 10. R(t) = In sen t i + (1 + l )j; para t = in a t = }n. 11. R(t) = tan - 1 ti + ~ ln(t 2 + 1 )j; para 1 = O a 1 = l . 12. R(r) = a(cos 1 + 1 sen 1)i + a(sent - 1 cos t)j; para 1 = O a 1 = }n. 13. La totalidad de la hipocicloide de cuatro cús- pides: x = a cos 3 t, y = a sen3 t. 14. x=e-'cost,y=e- 'sent; para t=O a 1 =n. 15. x = 4 sen 21, y = 4 cos 2t; para t = O a t = n. 16. Un arco de la cicloide: x = a (1 - sen 1), y = a ( 1 - cos 1). 17. La tractriz l x = L - a tanh - a hasta t = 2a. l y= a sech - a 18. La longitud de la circunferencia: R(t) = a cos ti + a sen 1.j . 19. La longitud de la circunferenciu r = 5 cosO. • 20. La longitud de la circunferenciu r =a senO. 21. La longitud de la ci rcunferencia r = a. 22. La totalidad de la curva: r = 1 - senO. 23. La totalidad de la curva r = J l'' 24. r = aO; para O = O a O = 2n. 25. r = e 28 ; para O = O a O = 4. 26. r = a0 2 ; para O = O a O = n. 27. r = a sen 3 !O; para O = O a O (1 1 28. r = sen 2 }O; para O = O a O = l n 29. Calcule la distancia recorrida por 11111 la clavada en la llanta de una rur1l• cleta si el radio de la rueda es de olll bicicleta avanza una distancia de: ~ l i t gerencia: La trayectoria de la cicloide.) 14.6 VECTORES UNITARIOS TANGENTE Y NORMAL Y LA LONGITUD DE ARCO COMO PARÁMETRO Procederemos ahora a asociar a cada punto de una curva en un plano d u ~ unitarios, el vector unitario tangente y el vector unitario normal. Estos recen en muchas aplicaciones de funciones vectoriales. 14.6. 1 DEFINICIÓN Si R(t) es el vector de posición de la curva e en el punto P sobre e, unitario tangente de e en P, representado por T(t), es el vector ción de D 1 R(t) si D 1 R(t) * O. El vector unitario en la dirección deD 1 R(t) está dado por D 1 R(t)/ IID 1 K(I, D 1 R(t) T(t) = IID,R(t)ll Como T(t) es un vector unitario, del Teorema 14.4.11 concluimos que 0 1 be ser ortogonal a T(t). D,T(t) no es necesariamente un vector unitario. Sin go, el siguiente vector D,T(t)/I ID,T(t)l l es unitario y tiene la misma D,T(t). Por lo tanto, D,T(t)/IID,T(t)ll es un vector unitario ortogonal a T(/) el nombre de vector unitario normal. 14.6 Vectores unitarios tangente y normal y la longitud de arco como parámetro 1049 DEFINICIÓN Si T(t) es el vector unitario tangente de la curva e, en un punto P sobre C, enton- ces el vector unitario normal, representado por N(t), es el vector unitario en la dirección de D,T(t). De la Definición 14.6.2 y del análisis anterior concluimos que D 1 T(t) N(t) = 11 DtT(t) 11 (2) tJEMPLO 1 Dada la curva con ecuaciones paramétricas x = t 3 - 3t y y = 3t 2 , hallar T(t) y N(t). Trazar una porción del arco de la curva en t = 2 y expresar las representaciones de T(2) y N(2) que tengan su punto inicial en t = 2. Solución Una ecuación vectorial de la curva es R(t) = (t 3 - 3t)i + 3t 2 j Así D,R(t) = (3t 2 - 3)i + 6tj IIDIR(t)li = .j(3t 2 - 3) 2 + 36t 2 = .j9(t 4 + 2t 2 + 1) = 3(t 2 + 1) Oe (l) D,R(t) T(t) = IID,R(t)ll t 2 - 1 • 2L • = t 2 + 1 1 + t 2 + 1 J Al diferenciar T(t) con respecto a t obtenemos 4t . 2 - 2c 2 • D,T(t) = (t 2 + J)2 1 + (t2 + t)2 J Por lo tanto . IIDIT(t)ll = = 16t 2 4 - 8t 2 + 4t 4 (t2 + 1)4 + (t2 + 1)4 4 + 8t 2 + 4t 4 (t2 + 1)4 4(t 2 + 1) 2 (t2 + 1)4 2 = t 2 + 1 w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1050 FIGURA 1 VECTORES EN EL PLANO y ECUACIONES PARAMÉTRICAS De (2) N(t) _ D,T(t) - II D,T(t)jl 2t 1 - t 2 = t2' + 1 i + ( 2 + 1 j Obtenemos R(t), T(t) y N(l), cuando 1 2 . R(2) = 2i + 12j T(2) = + 1j N(2) = 1i - La gráfica requerida se muestra en la Figura l. De la ecuación (1) obtenemos D,R(t) = IID,R(t)IIT(t) La (3) expresa el vector D¡R(t) como un escalar por el vector La Figura 2 muestra una porción de una curva C con la representación sicion de R(t) Y las representaciones de T(t) Y D R(t) cuyos punto . . . 1 el punto p en c. t s IniCia et. Ahora ut ilizamos (3) para calcular Dt2R(t) aplicando el Teorema 14.4.H D, 2 R(t) = (D,IID,R(t)ii)T(t) + II D,R(t)lj(D,T(t)) De (2), D,T(t) = IJ D,T(t)IIN(t) !1 "' )jo.,,,· T(t) [' R (l) o \ FIGURA 2 1 tU Vectores unitarios tangente y normal y la longitud de arco como parámetro 10S1 '11\liluyendo de esta ecuación en (4) se obtiene D/R(t) == (D,JID, R(c)Jl)T(t) + (JJD,R(t)IJJJD,T(t)jj)N{t) (S) 1 u ctuación (S) expresa el vector D/R(t) como un escalar por el vector tangente uni- 1111 lo más un escalar por el vector normal unitario. El coeficiente de T{t) en el lado c<ho de (5) es la componente del vector D/ R(t) en la dirección del vector tan- lll'Hl< unitario. El coeficiente de N(t) en el lado derecho de (5) es la componente de 1 en la dirección del vector normal unitario. l.a Figura 3 muestra la representación de posición de R(t) y la misma porción de lu curva que se muestra en la Figura 2. También se muestran en la Figura 3 las repre- \l'lllcciones de los siguientes vectores, cuyos puntos iniciales están todos en el punto 1 1 de C: T(t) (D,IID,R(t)!I)T{t) N(t) (JjD,R(t)IIJID,T(t)li)N{t) e >bservese que la representación del vector. normal unitario N(t) está en el lado cón- liiVC de la curva. Este hecho se demuestra, en términos generales, en la Sección 14.7. En ocasiones, en vez de un parámetro t hay que usar como parámetro el número de de la longitud de arcos desde un punto P 0 (x 0 , Yo ) escogido arbitraria- IIICrte en la curva C, al punto P(x, y) en C. Hagamos que s aumente cuando t aumenta, de f:>rma que s sea positiva si la longitud de arco se mide en la dirección de t cuando l'\la aumenta y s sea negativa si la longitud de arco se mide en la dirección opuesta. Por lo tanto, s unidades es una distancia dirigida. Además, D¡S > O. A cada valor des corresponde un único punto P de la curva C. Por consiguiente, las coordenadas de P son funciones de s, y ses una función de t. De la Sección 14.5 tenemos l iD R(t)jj = ds 1 clt ID, \I D Rttl\llTl ll 11111 T!t) 1(( ) w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1052 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMITRICAS Sustituyendo de esta ecuación en (3) se obtiene ds D, R(t) = - 1 · T(t) G/ Si el parámetro es sen lugar de t, de la ecuación anterior, tomando t = s y ds do que -= 1 ds ' D. R(s) = T(s) El resultado se enuncia como teorema 14.6.3 TEOREMA Si la ecuación vectorial de una curva Ces R(s) = f(s)j + g(s)j , dondes es la longit ud de arco medida desde un punto particular P 0 en C, al tonces el vector tangente unitario de e en p está dado por T(s) = DsR(s) si existe. Ahora, supongamos que las ecuaciones paramétricas de una curva C incl parámetro t, y queremos encontrar las ecuaciones paramétricas de C, con s (el ro de unidades de la longitud de arco medido desde algún punto fijo) como tro. Frecuentemente, las operaciones requeridas son muy complicadas. Sin el método empleado se il ustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 2 Supongamos que las ecuaciones para métricas de la curva C son t 3 y y = t 2 , donde t O. Obtener ecuaciones paramétricas de e que tengan a mo parámetro, donde s sea el número de unidades de la longitud de arco, desde el punto donde 1 = O. Solución Si P0 es el punto donde t = O, P 0 es el origen. La ecuación vect e es R(t) = t 3 i + t 2 j Como = II D,R(t)ll. diferenciamos el vector anterior y tenemos D,R(t) = 3t 2 i + 2tj Así, IJD, R(t)IJ = J 9t 4 + 4t 2 = Jl2 J9t2+4 = t J 9t 2 + 4 (porque t 0). l4.6 vectores unitarios tangente y normal y la longitud de arco como parámetro l'or lo tanto, ds = 1 j 9t 2 + 4 dt s = J cJ9[2+4 de = 1 1 8 J J 9t 2 + 4(18t dt) = i=;(9cz + 4)3' 2 + e O b e - 8/27. En consecuencia ( 'o m o s = O cuando t = , o tenemos = Resolviendo esta ecuación para evaluar t en términos de s, t enemos (9t 2 + 4) 3 ' 2 = 27s + 8 9t 2 + 4 = (27s + 8) 213 Ya que t 2: O, 1 = + 8) 213 - 4 1053 Si sustituimos este valor de t en las ecuaciones paramétricas para C, obtenemos x - -f7[(27s + 8)2/3 - 4]3/2 Y Y= H(27s + 8)2/3 - 4] (6) Ya que DsR(s) = T(s), entonces si R(s) = x(s)i + y(s)j , T(s) = + Así, puesto que T(s) es un vector unitario, + (i,)' 1 . . (7) La ecuación (7) se puede emplear para verificar (6). Esta venf1cac10n se deja como ejercicio para el lector (véase el eJerCICIO 17). mRCICIOS 14.6 1 /111 ejercicios 1 a JO, determine T(t) Y N(t) pa- '' mrva indicada y en t = t 1 trace una porción /¡¡ rurva, así como ras representaciones de T(t¡) rt 1 ) que tengan su punto inicial en t = t, . .\1 3 - t,y=t 2 ;l¡ =2 y = -!t 3 : t, = 1 3. R(t) = e'i + e- 'j; 1 1 = O 4. R(1) = e- 2 'i + e 2 'j : 1 1 =O . 3 ¡· 1 S. R(t) = 3 cos t1 + sen J: 11 = 21t 6. x =e' sen 1, y = e' cos t; 1 1 =O 7. x = cos kt, y= sen kt, k> O; L 1 = nfk 8. x = L - senl, y= 1 - cos 1; t¡ = 7t w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1054 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS 9. R(t) = In C.<>S ti + In sen tj, O < t < {1t; t 1 = ;tn 10. R(t) = t cos ti + t sentj; t 1 = O En los ejercicios 11 a 16 determine T(t) y N{t) pa- ra la curva que tiene la ecuación vectorial que se indica. 11. R(t) = t 2 i + e'j 12. R(t) = ti + cosh tj; t O 13. R(t) = sen 3 ti + cos 3 tj; O :::; l :;:;; t n 14. R(t) = Ji+"?¡ + tj 15. R(t) = 4ti + 2t 2 j 16. R(t) = (1 + t)i + In cos tj 17. Compruebe las ecuaciones (6) de la solución del Ejemplo 2 usando la ecuación (7). En los ejercicios 18 a 23, determine las ecuacio- nes paramétricas de la curva cuya longitud de ar- cos es un parámetro, midiendo s desde el punto donde t = O. Compruebe su respuesta usando la ecuación (7). 18. x =a cos t , y = a sen t 19. x = 2 + cos t, y= 3 + sent 20. x = 2(cos t + t sen t), y = 2{sen t - t cos t) 21. y= x 3 ' 2 14.7 CURVATURA 22. X= ! 2 - 1, y= jt 3 23. Una cúspide de la hipocicloidr d cúspides: R(c) = a cos 3 ci + a sen 3 cj 24. Dada la cicloide x = 2(1 -sen t), 1' cos /), exprese la longitud de arco ,\ ción de t, dondes se mide desde el pu de t = O. 25. Para la curva con ecuaciones paru = é cos r y y = e 1 sen t, exprese h• de arcos como función de t, dontlr desde el punto donde t = O. 26. Si la ecuación vectorial de la curvu = 2 sen ti + sen 2tj, obtenga el la medida del ángulo entre los vrl R(bt) y T(bt). 27. Si la ecuación vectorial de la curv11 ( = 3t 2 i + (t3 - 3/)j, determine el la medida del ángulo entre los y T(2). 28. Si lá ecuación vectorial de la curvu t = (4- 3t 2 )i + (t 3 - 3/)j, calcule h1 en radianes del ángulo entre los vc(t Y DlR(l). La diferencial y el movimiento curvillneo (movimiento a lo lar¡¡u trayectona curva) comprenden el estudio de curvas por medio del cálculo de nes vectoriales. Uno de los conceptos importantes de este tema es la _... r ......... cual da la intensidad de variación de la dirección de una curva con respectu en su longitud. Relacionado con este concepto está el ángulo que da recctón del vector unitario tangente asociado con una curva C. Así, hac•,.n,lllll <P sea la medida en radianes del ángulo desde la dirección del eje x positivo en contrario al del reloj hasta la dirección del vector unitario tangente T(t). Figura l. Calculamos Dq,T(t). Ya que IIT(t)ll = 1, de la ecuación (5) de In 14. 1 concluimos que T(t) = cos </Ji +sen </Jj Al diferenciar con respecto a cp se obtiene Dq,T(t) = - sen </Ji + cos </Jj Como IIDq,T(t)ll = J(- sen</J) 2 + (cos </J) 2 , que es 1, Dq,T(t) es un vector 14.7 Curvatura 1055 ---------------?X Más adelante en esta sección mostraremos la relación existente entre el vector Dq,T(t) y el vector unitario normal N(t). Para llegar a la definición de curvatura, considérese el vector DsT (t), dondes uni- dades es la longitud de arco medida desde un punto degido arbitrariamente en C hasta un punto P y s crece cuando t crece. Por la regla de la cadena (Teorema 14.4. 9) lcnemos Por tanto, IID,T(t)ll = IIDq,T(L) 11 = Pero como Dq,T(t) es un vector unitario, IID.,T(t)ll = 1; así, tenemos I DsT(t)ii = 1 1 (1} El número IDs<Pi es el valor absoluto de la rapidez de cambio de la medida del án- gulo que da la dir'!cción del vector tangente unitario T(t), en un punto sobre una curva, con respecto a la medida de la longitud de arco a lo largo de la curva. Este número se llama curvatura de la curva en el punto. Antes de dar la defi nición formal de curvatura, most raremos que este número concuerda con lo que intuitivamente con- sideramos como tal curvatura. Por ejemplo, en el punto P en C, <P es la medida en radianes del ángulo que da la dirección del vector T(t) y s unidades es la longitud de arco desde un punto P 0 en C hasta P. Sea Q un punto en C para el cual la medi- da en radianes del ángulo que da la dirección de T(t + !lt) en Q es <P + llcp siendo s + !ls unidades la longitud de arco de P 0 a Q. Entonces, la longitud de arco de P a Q es tls unidades y el cociente !lcp/ !ls parece una buena medida de lo que intuiti- vamente consideraríamos como la curvatura promedio a lo largo del arco PQ. w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1056 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS y y T Po .:J.(j, < 0 0 (e) y y e T Po :J.<f> >o .:J.s <o (b) FIGURA 2 (d) • EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 Veamos la Figura 2(a), (b), (e) y (d): En (u), O Y t:.s > O; en (b), t:.<P > O y t:.s < O; en (e), t:.</> < o y t:.s > o· y en (d) y t:.s < O. ' Definll_nos ahora el vector curvatura de una curva en un punto y su. magnlt es, la curvatura de la curva en dicho punto. 14.7.1 DEFINICIÓN Si T(t) es el vector unitario tangente a una curva e en un punto p ses de arco medida desde un punto escogido arbitrariamente en e ta cuando t aumenta, entonces el vector curvatura de e en p K(t), está dado por ' La curvatura de e en P, representada por K(t), es la magnitud del vector curvar u ra; es decir, Obsérvese que, sustituyendo de (1) en la fórmula de K(t) en la Definición 14.7. 1, la curvatura K(t) también puede definirse como K(t) =I d</> 1 ds Para encontrar el vector curvatura y la curvat ura de una curva particular, convie- II C tener una fórmula que exprese el vector curvatura en términos de derivadas con r cspecto a t. Por la regla de la cadena, ds D,T(t) = D.T(t) dt ds De la Sección 14.5, dt = IID,R(t)ll. Con esto, D,T(t) = [D.T(t)JIID,R(t)li D,T(t) D.T(t) = IID,R(t)jf Sustituyendo de esta ecuación en la fórmula de K(t) de la Definición 14.7.1 se obtiene D 1 T(t) K(t) = II D,R(t) ll Como K(t) = IIK(t)ll, la curvatura está dada por K(t) = (2) (3) EJEMPLO 1 Dada la circunferencia con radio a: x = a cos t y = a sen t a > O obtener el vector curvatura y la curvatura en cualquier t. Soluci ón La ecuación vectorial de la circunferencia es R(t) = a cos 1i + a sen tj /\sí, D,R(t) = - a sen ti + a cos tj IID,R(t)ll = J( - a sent) 2 + (a cos t? =a Por Jo tanto, • D,R(t) 1 (t) = IID,R(t)li D,T(t) cos t . sent . ...,.....,.-'-::--:C700 = - --- 1 - - J IID,R(t)li a a = - senli + cos tj D,T(t) = - cos ti - sentj w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1058 VECTORES EN EL PLANO V ECUACIONES PARAMÉTRICAS Así, el vector curvatura y la curvatura están dados por K(t) = cos ti tj K(t) = IIK(t)ll a a a El resultado del ejemplo 1 expresa que la curvatura de una circunferenl'lll tante y es el recíproco del radio. Consideremos de nuevo el vector unitario Dq,T(t) definido por Dq,T(t) = - sencf>i + cos cf>j Ya que T(t) tiene magnitud constante, del Teorema 14.4.11 se concluye qu" es ortogonal a T(t). Al sustituir -sen cf> por cos( Vz.,.. + cf>) y cos cf> por sen( 1 1 escribimos (4) como D <t>T(t) = cos(fn + </>)i + sen(fn + </>)j Así, el vector Dq,T(t) es un vector ortogonal unitario a T(t) en la dirección sentido contrario al del reloj desde la dirección de T(t). El vector unitar h1 N(t) también es ortogonal a T(t). Por la regla de la cadena, dcf> D,T(t) = Dq,T(t) dc Ya que la dirección de N(/) es la misma qu·e la de D 1 T(t), de esta ecuación M que la dirección de N(t) es igual que la de Dq,T(t) si > O (es deci;, si 1'(1) sentido contrario al del reloj cuando t crece) y la dirección de N(t) es contrnrl11 1 Dq,T(t) si < O (es decir, si T(t) gira en el sentido del reloj cuando 1 cr que y N(t) son vectores unitarios, concluimos que Dq,T(t) = { . dcf> N(t) SI dt >o dcf> -N(t) si Tc < O • EJEMPLO ILUSTRATIVO Z En la Figura 3(a), (b), (e) y (d) se ilustran casos; en (a) y (b), D 1 cf> > O, y en (e) y (d}, D 1 cf> < O. La dirección positivn u go de la curva C se indica por la punta de la flecha en C. En cada figura se 11 el ángulo cf> medido en radianes y las representaciones de los vectores T(t), 11 y N(/). Observe en la Figura 3 que la representación del vector unitario N(t) síP,miJII'I en el lado cóncavo de la curva. Supongamos que nos dan una curva C y que en un punto particular P la existe y es K(t), donde K(t) * O. Consideremos la circunferencia tangente (1 la C en P y tiene una curvatura K(t) en P. Del Ejemplo 1, sabemos que su N T e tlt/• D;o T =-N / o tll (e) d<J¡ < O O ;oT = -N dl (d) o ue su centro se encuentra en una recta perpendicular a la tangente 1 1 K(t) y q . lar se conoce como circunferencia de curvo· en la dirección de N(t). Esta curva crrcu d e p En ocasiones a la circunferencin tura Y su radio es el radío de curvatura e en_ . . ' de curvatura se la llama también circunferencia osculatnz. DEFINICIÓN t p Kc(t) * O entonces el radio Si K(t) es la curvatura de una curva C en un pun o .Y . . ' de curvatura de C en P, representado por e(t), esta deflmdo por 1 e(t) = K(t) EJEMPLO Z Dado que la ecuación vectorial de una curva C es R(t) = 2ti + (t 2 - l)j w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1060 FIGURA 4 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS (a) Obtener el vector unitario tangente, la curvatura y el radio de curvatur• l. (b) Trazar el arco de la curva, el vector unitario tangente y la eircunlcr curvatura en 1 = l . Solución D,R(I) = 2i + 21j IID,R(t)ll = 2 JI+li T() _ D,R(t) 1 - IID,R(I)!! 1 • 1 • = 1 + J J1+li J1+li D,T(t)= (1 + /1 2)312 i +(l + 11 2)312j D,T(t) K(t) = IID,R(r)ll 1 ' + 1 • 2(1 + r2)2 1 2( 1 + ¡2)2 J K(t) = !IK(t)!l 2(1 + 12)312 (a) T(l) = - 1 i + - 1 j Ji Ji y 1 K{l ) =- 4}2 TABLA 1 X - 2 - 4 - 1 - 2 o o 1 2 2 4 e(l ) = 4}2 y 3 o - 1 o 3 14.7 Curvatura 1061 (h) La Figura 4 muestra la gráfica requerida. La Tabla 1 incluye los valores corres- pondientes de x y y cuando t es -2, - 1, O, 1 y 2 /\hora determinaremos una fórmula para calcular la curv11tura directamente de l,t, ecuaciones paramétricas de la curva x = f (t) y y = g(l). Puesto que K(t) = l th/> 1· primero calculamos ds ts dcp dcp dt ds =-;¡s dt S · d · ds O A ' . upomen o que s y t crecen JUntas, tenemos ---¡j{ > . SI, dcp ds d<J> dt (5) Para obtener observ?.mos que cJ> es la medida en radianes del ángulo que da la dy dirección al vector tangente unitario, tan cJ> = - . En consecuencia, dx dy dt tan cp = - dx dt Al diferenciar implícitamente con respecto a t, los lados izquierdo y derecho de esta t·cuación, obtenemos dr 2 (dx) 2 scc '1' - dt < omo sec 2 el> + tan 2 </>, ( dy)2 dt sec 2 </> = 1 +-- (6) w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 106Z VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS Sustituyendo esta expresión de sec 2 cp en (6) tenemos cil = G;;y + (?cY Sustituyendo de esta ecuación en (5) y puesto que K(t) = 1· 1( : )( ) - ( e::; )( )1 K(t) = [( -#t-r + ( rr/2 EJEMPLO 3 Encontrar la curvatura de la curva del ejemplo 2 empleando he la (7). Solución Las ecuaciones paramét.ricas de e son X = dx -=2 dl Entonces, de (7) tenemos que K o - j2(2) - 2t(O)I (t) - [(2)2 +.(2t)2]3/2 4 dy -=2t dt Supongamos que se tiene una ecuación cartesiana de una curva en la for F(x) o bien x = G(x). En tales situaciones, se pueden usar casos df mula (7) para encontrar la curvatura de una curva. Si y = F(x) es la ecuación de una curva C, un conjunto de ecuaciones pur cas de e es X = t y y = F(t). Entonces, dx d 2 x dy dy - = 1 - o dt dt 2 - dt = dx Al sustituir en (7) obtenemos 1 1 K=------ [. + ( : )T/2 ----- 14.7 Curvatura 1063 \nálogamcntc, si la ecuación de una curva Ces x = G(y). K = -[ (_:!!___) 2] 311 1 + dy ----' EJEMPLO 4 Si la curva e tiene una ecuación xy = 1, obtenga el radio de curvatu- ' a de C en el punto ( 1, 1) y trace la curva y la circunferencia de curvatura en ( 1, 1 ). Solución d 2 y 2 dx 2 = x 3 < 'alculamos K de (8) y entonces e 11 K. K = [ l + _!_] 312 x4 2lx31 (x4 + l?'z (x4 + 1 )3/2 p = 2lxJI t\\Í, en ( 1, 1 ), e = 2. La gráfica requerida se muesu·a en la Figura 5. ,, ''lt'rcicios 1 a 4 de1ermine la cun•afura K 1tl111 de cun·a1um o en el pumo donde 1 = 1 1 • Emplee la fórmula (3) para oblener K. un dibujo que mues/re una porción de la cun•a, w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1064 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS el vector tangente unitario y la circunferencia de curvatura en t = t 1 • l. R(c) = t 2 i + (2c + l)j; c 1 = 1 2. R(t) = (1 2 - 2t)i + (t 3 -t)j; 1 1 = 1 3. R(t) = 2e' i + 2e 'j ; 1 1 = O 4. R(c) = sen ri + sen 2tj; e 1 = trr En los ejercicios 5 y 6 obtenga la curvatura K usan- do la fórmula (7). Luego determine K y Q en el punto donde t = t 1 y haga un dibujo que mues- lre una porción de la curva, el vector langente uni- tario y la circunferencia de curvatura en t = t 1 • - 1 1 x =--,y= - -;t 1 =0 1 + t J -e 6. x = e' + e- ', y = e' - e- '; c 1 = O En los ejercicios 7 a 14 determine la curvatura K y el radio de curvatura e en el punto dado. Haga un dibujo que muestre una porción de la curva, un segmento de la recta tangente y la circunferen- cia de curvatura en el punto dado. 7. y = 2./X; (0, O) 8. yz = xl; (!. 9. y = e""; (0, 1) 10. y = In x;(e, 1) 11. x = sen y; (1, !rr) 12. 4x 2 + 9y 2 = 36; (0, 2) 13. X = .¡¡:::-i; (2, 5) 14. x = tan y; ( 1, !rr) En los ejercicios 15 a 22, obtenga el radio de cur- vatura en cualquier punto de la curva dada. 15. y = sen- 1 x 16. y = In sec x 17. 4x 2 - 9y 2 = 16 18. x = tan - l y 19. xl / 2 + Y112 = a•tz 20. R(r) = e' senci +e' cos cj 21. La cicloide x = a(r - sen c), y = a(l - cos e) 22 L . e e . a tractnz x = e- a tanh - ,y = a sech a a 23. Muestre la curvatura de la catenaria y = a cosh (x/ a) en cualquier punto (x, y) en la cur- va es a!y 2 • Dibuje la circunfeJt'rt vatura en (0, a). Demuestre qut· l11 K es un máximo absoluto en el sin referirse a K(x). En los ejercicios 24 a 28, determim• 1111 la curva dada en el que la curva/Urll 11 '' mo abscluto. 24. y = e"" 25. y = 6x - x 2 26. y = sen x 27. R(r) = (2c - 3!1 28 . . y = x 2 - 2x + 3 29. Obtenga una ecuación de la circun curvatura para y = en el punll 30. Sir = F(O) es una ecuación polur ti va, demuestre que la curvaturn A por la fórmula En los ejercicios 31 a 34, determinl' /11 K y el radio de curvatura e en el pu11t11 Use la fórmula del ejercicio 30 paru 31. r = 4 cos 20; O= tin 32. r = 1 - sen O; O = O 33. r = a sec 2 10; O= 3rr 34. r = aO; O = 1 35. El centro de la circunferencia de una curva C en un punto P se de curvatura en P. Demuestre Clllf denadas del centro de curvatura !1 va en P(x, y) están dadas por ( dy)2 - + 1 dx Yc = )' tf ly dx 2 En los ejercicios 36 a 38, determine l K, el radio de curvatura e, asf como'' 11'11 el punto dado. Dibuje la curva y la mna de curvawra. 111 ' ( l. 0) '1'' \: }) /r•l !'icios 39 a 42, determine las coordena- 1 rl'!llro de curvatura en cualquier punto. 14.8 Movimiento en un plano 1065 39. y 2 = 4px 40. y 3 = a 2 x 41. R(t) = a cos t i + b sen 1j 42. R(c) = cr cos 3 t i + a sen 3 cj 43. Muestre que la curvatura de una línea recta es cero en cualquier punto. 11 MOVIMIENTO EN UN PLANO 1 a primera explicación acerca del movimiento de una partícula se limitó al movi- miento rectilíneo. En relación con ello, definimos la velocidad y la aceleración de una partícula que se desplaza a lo largo de una línea recta. Ahora consideraremos l'l movimiento de una partícula a lo largo de una curva en un plano. Supongamos que Ces una curva plana que tiene las ecuaciones paramétricas x = f (l) y y = g{t), donde r representa el tiempo. Entonces R(t) = /(t)i + g(L)j c'i una ecuación vectorial de C. Cuando t varía, el punto final P(f(t), g(t)) de OP ,e mueve sobre la curva C. La posición en el tiempo 1 de una partícula que se despla- t a a lo largo de C, es el punto P(f(t) , g(t)). El vector velocidad de la partícula, en el tiempo r unidades, se define como R' (l) y se representa por el símbolo V(t). DEFINICIÓN Sea Cuna curva con las ecuaciones paramétricas x = j(t) y y = g(t). Si una partí- cula se desplaza a lo largo de C, de tal forma que su posición en cualquier tiempo de 1 unidades sea el punto (x, y), entonces el vector velocidad instantánea de la partícula en el tiempo r es V(r) = j'(t)i + g'(t)j sij'(t) y g'(t) existen. Ya que la dirección de R' (t) en el punto P(f(t), g(t) es a lo largo de la recta tangente a la curva Ca P en dicho punto, el vector velocidad V(t) tiene esta dirección en P. La magnitud del vector velocidad es una medida de la rapidez de la partícula en el tiempo 1 y está dada por ( 1) Nótese que la velocidad es un vector y que la rapidez es un escalar. Como se demos- w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1066 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS y V(f) A(19 \ · . p ' R(t) o FIGURA 1 tró en la Sección 14.5, la expresión en el lado derecho de (1) es dsl dt. Así, In es la intensidad de variación des con respecto a t, y escribimos II'V(t) 11 = El vector aceleración de una partícula en un tiempo t se representa por All se define como la derivada del vector velocidad, o equivalentemente, la rivada del vector de posición. 14.8.2 DEFINICIÓN La aceleración instantánea en un tiempo 1 de una partícula que se largo de una curva e y que tiene las ecuaciones paramétricas x = f(t) y y está determinada por el vector aceleración A(t) = V' (t) A(t) = donde R(t) = f(t)i + .í!(t)j v existe. La Figura 1 muestra las representaciones del vector velocidad y del vector leración cuyo punto inicial es el punto P en C. EJEMPLO 1 Una partícula se desplaza a lo largo de una curva que tiene la' ciones paramétricas x = 4 cos 1t y y = 4 sen !t. Si t es el tiempo en y y representan el número de centímetros, calcular la rapidez y la magnitud del tor aceleración de la partícula a los t segundos. Trazar la trayectoria de la parl y también la representación del vector velocidad y del vector aceleración que un punto inicial donde t = tn. Solución Una ecuación vectorial de e es R(t) = 4 cos {ti + 4 sen ! ti V(t) = R'(t) 14.8 Movimiento en un plano A(t) = V'(t) = - cos ! ti - sen ! tj 1067 = - 2 sen + 2 cos }tj \I V(t)\1 = J<- 2 + (2 cos !t) 2 = j 4 sen 2 ! t + 4 cos 2 !t \IA(t)\1 = J< - cos + ( -sentt? = 1 = 2 • l stante Y vale 2 cm/s La magnitud Por lo tanto, la rapidez de la particu a es con 2 • del vector aceleración también es Y vale 1 cm/s . la ecuación carte- Eiiminando t de las ecuaciones parametncas C, obtenemos . 4 Ahora • 2 2 = 16 la cual es una circunferencia con centro en O Y radiO · ".ma x + Y • . . . • 1 - .ln. obtendremos los vectores velocJdad Y aceleraciOn en - 3 V( m) = - 2 sentni + 2 cos tnj A(in) = - cos ini -sen i nj 3 l '3· 1 . = - i + .fij = -2-...¡Jl - 2J 1 a dirección de V(in) está dada por tan 9 1 = - J3 y la dirección de A(!n) está dada por tan el = re < ()2 < Í1t v3 . · e _ ln e = 2n. La Figura 2 muestra la trayectoria que la part1cula d6e los vectores de velocidad Y aceleración que uenen su punto inicial donde t = -tn. · · n tiempo 1 está EMPLO 2 La posición de una partícula en movtmtento, en u • 11 EJ 1 · · ctort"al R(t} = e- 2'i + 3e'_¡· Evalu:>r V(t), A(t), IIV(t)H, HA( t)n dada por a ecuac10n ve y HA2 w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1068 VECTORES EN EL PLANO y ECUACIONES PARAMÉTRICAS de la Y las representaciones de los vectores ti Y e ace eractón que tienen su punto inicial donde 1 = t. Solución V(t) = R'(t) A(L) = V' (t) = -2e 2 'i + 3e'j II V(t)il = j4e- 4 ' + 9e2i = J 4e - 2 + 9e 5.00 = 4e - 2 'i + 3e'j IIA(t)il = Jl6?' +9;21 II AWII = J t6e 2 + 9e 5.16 _ paramétrícas de la trayectoria de la partícula son x = e-21 y 11 St ehmmamos 1 de estas dos ecuaciones obtenemos 1 2 e2' = - e2' = X y 9 y2 - = - X 9 xy 2 = 9 Como x > O y y > o la t - . 9 en el . d ' de la particula es la porción de la pnmer cua rante La Figura 3 muestra 1 t . res de velocidad y de d a rayectona de la partícula y lut 6 cuan o 1 = Yí La pendiente de V(\lí) - .7, Y la pendiente de A(Y 2 ) es ::::: 3 .4. · 2 C.!. Ahora deducimos las ecuaciones de movimiento de un . se desplaza en un plano vertical. También su supon sobre el proyectil es su peso el cual t' que umca fuerza tfll de m n Iene una trecc!On hacia abajo Y una g donde m kilogramos es su masa Y g (mfs2) es 1 tante ongmada por la d d 0 . · a del aire Oa cual 1 grave a . esprectamos la fuerza atribuida a la • para os cuerpos pesados q · · un efecto notable). ue viaJan a pequeñas velocidadc¡,, nn FIGURA 3 • ___. (x, y) R V 14.8 Movimiento en un plano 1069 La dirección positiva se toma verticalmente hacia arriba y horizontalmente a la derecha. Supongamos, entonces, que un proyectil es disparado desde un cañón con un án- gulo de elevación de medida en radianes a. Denotamos la velocidad inicial, o veloci- tlud de salida, por v 0 . Situamos los ejes coordenados en tal forma que el arma se localice en el origen. Véase la Figura 4. El vector velocidad inicial V 0 del proyectil, t·,tá dado por V 0 = v 0 cos ()( ¡ + v 0 sen()(j (2) Sea t segundos el tiempo transcurrido desde que el arma fue disparad<t; x m, la distancia hori zontal del proyectil desde el punto de partida a los 1 s, y y m la distan- l'iu vertical del proyectil sobre el punto de partida a los 1 s; R(t) es el vector de posi- l'ión del proyectil a los t s, V(t) es el vector velocidad del proyectil a los t s y A(t) es el vector aceleración del proyectil a los mismos 1 s. Como x es uné\ función de t, escribimos x(l). Análogamente, y es una función de t; así escribimos x(t). Entonces R(t) = x(t)i + y(t)j V(t) = R' (t) A(l) = V'(t) Como la única fuerza que actúa sobre el proyectil tiene una magnitud de mg y una dirección vertical hacia abajo, entonces si F representa esta fuerza tenemos F = - mgj (3) La segunda ley del movimiento de Newton, afirma que la neta que actúa sobre un cuerpo es su "masa por la aceleración". Así pues, F = mA De esta ecuación y (3), mA = - mgj A = - gj Ya que A(t) = V' (t), de lo anterior se obtiene V (l) = - gj w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com ) 1070 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS Integrando ambos lados de esta ecuación con respecto a 1 ootenemos V(t) = - gtj + C 1 donde C 1 es una constante vectorial de integración. Cuando t = O, V = V 0 . Así C 1 = V 0 . Por lo tanto, de (4) V(t) = - gtj + V 0 o bien, ya que V(t) = R' (t) R' (t) = - gtj + V 0 ::>1 integrarnos en ambos lados de esta ecuación vectorial con respecto a 1 donde C 2 es una constante vectorial al:! integración. Cuando t = O, R = O, ya que el proyectil está en el origen al principio tanto C 2 = O. De aquí, Sustituyendo el valor de V 0 de (2) en Ja ecuación anterior, R(t) = -tgt 2 j + (v 0 cos ai + v 0 sen aj)t R(t) = tv 0 co:s a i + (tv 0 sena - !gt 2 )j La ecuación (S) da el vector de posición del proyectil a los segundos. Con c1111 ción podemos explicar el movimiento del proyectil. Generalmente nos int siguientes cuestiones: l. ¿Cuál es el alcance del proyectil? Esta cantidad es la distancia IOAI n lct del eje x (véase la Figura 4). 2. ¿Cuál es el tiempo total de recorrido, es decir, el tiempo que tarda el para ir de O a A? 3. ¿Cuál es la altura máxima .alcanzada por el proyectil? 4. ¿Cuál es una ecuación cartesiana de la curva recorrida por el proyct· l S. ¿Cuál es el vector velocidad del proyectil en el momento del impacto'/ Las contestaremos con el ejemplo siguiente: EJEMPLO 3 Un proyectil es disparado desde un cañón con un ángulo dr ción de i n radianes. Su velocidad inicial es de 480 pie/s. Obtenga ta) el posición del proyectil en cualquier tiempo; (b) el tiempo de recorrido; (e) el (d) la alt ura máxima; (e) el vector velocidad del proyectil en el impacto; (f) el de posición y el vector velocidad a los 2 s; (g) la velocidad (rapidez) a los 1 una ecuación cartesiana de la curva recorrida por el proyectil. 14.8 Movimiento en un plano Solución De (2) con v 0 = 480 y a = in, el vector velocidad inicial es V 0 = 480 cos ~ n i + 480 sen i nj = 240 jj¡ + 240j 1071 (a) Podemos obtener el vector de posición a los 1 segundos aplicando (5); así ob- tenemos R(t) = 240J)ti + (240t - tgt 2 )j Al introducir g = 32 tenemos R(t) = 240 j3ti + (240t - 16t 2 )j (6) Así, si (x, y) es la posición del proyectil al tiempo /, se tiene X = 240 J3t y y = 240t - 16t 2 (7) (b) Para determinar el tiempo de vuelo debemos obtener 1 cuando Y = O. Sustitui- mos y = O en la segunda ecuación de (7) y tenemos 240t - 16t 2 = o t(240 - 16t) = 0 t = O t = l 5 El valor t = O corresponde al momento de dispararse el proyectil. El valor t = 15 proporciona el tiempo de recorrido. Por tanto, el tiempo de recorrido es 15 s. (e) Para obtener el alcance, determinamos x cuando t = 15. De la primera ecuación de (7) con t = 15, se obtiene x = 3 600J3. De aquí, el alcance es 3 6{)(1 J3 ~ 6 235 pie. (d) La altura máxima se alcanza cuando la componente vertical del vectm velocidad es o 0 sea cuando dy = O. Calculamos ay de la segunda ecuación de (7) Y así • ' dt dt dy = 240 - 32t dt Al hacer dy = o obtenemos t = .!f, que es la mitad del tiempo total de recorri- dt do. Cuando t = Jf, y = 900. Así, la máxima altura que se alcanza es 9?0 pie. (e) Ya que el tiempo de recorrido es 15 s, el vector velocidad al momento deltmpac- to es V(l5). Como V(t) = R'(t) de (6) se obtiene V(t) = 240.j3i + (240 - 32t)j (8) V(l 5) = 240J)i - 240j (f) Si t = 2 en (6) y (8), tenemos R(2) = 480 3i + 416j V(2) = 240J)i + 176j (g) IIV(2)11 = ) (240 J3) 2 + (176) 2 = 32Jí99 w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1072 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRJCAS Por lo tanto, a los 2 s la. ;elocidad es 32 jl99 451.4 pie/s. (h_) obtener una ecuacJOn canesiana de la curva descrita por el • t las ecuaciones paramétricas (7). Al sustituir el valur la pnmera ecuacJOn en la segunda, tenemos Y= 16( X ) 2 240j3 - 240j3 1 J y= - x- --- x2 J3 10,800 que es una ecuaci ón de una parábola . . EJERCICIOS 14.8 En los ejercicios 1 a 8, una partícula se desplaza a lo de la curva que tiene las ecuaciones pa- rametncas que se indican, donde t segundos es el ttempo. Calcule: (a) el vector velocidad V(t). (b) el vector aceleración A(t); (e) la rapidez cuando t = t,; (d) la magnitud del vector aceleración cuando t = t,. Trace la trayectoria de la particu- la Y las representaciones de los vectores de veloci- dad Y aceleración cuando t = t,. J. X= 1 2 + 4, y= t- 2; t 1 = 3 2. x = ln(t- 2), y= tJ _ l; 11 = 3 3. x = 5 cos 2t, y= 3 sen 2t; t 1 =in 4. x=2/t,y= - !t;t 1 = 4 S. x = t, y= In sec t; t 1 = .}¡¡ 6. x = 2 cos t, y = 3 sen t; t 1 = -}n 7. x = sen t, y = tan t; t 1 = án 8. x = e 2 ', y= e 3 '; t 1 =O En los ejercicios 9 a 16, la posición de una partí- en movimiento a los t segundos, está deter- mmada por una ecuación vectorial. Calcule: (a) V(t l): (b) A(t ¡); (e) jj V(t 1 )jl: (d) !IA(t 1 )l/. Tra ce una parte de la trayectoria de la partícula que con- la posición de dicha partícula en t = t 1 y dtbu¡e las representaciones de V(/ 1 ) y A(l 1 ) que tengan el punto inicial donde t = 11 . 9. R(t) = (2t - l )i + (t 2 + l)j; t 1 = 3 10. R(t) = (1 - t)i + (t 2 - l)j; t 1 = - 1 11. R(t) = e'i + e 2 'j ; t 1 = In 2 12. R(t) = (t 2 + 3t)i + (1 _ Jt2)j; t 1 = { 13. R(t) = cos 2ti - 3 sentj; t 1 = n 14. R(t) = e - r¡ + e 2 'j; t 1 = In 2 IS. R(t) = 2(1 - cos t)i + 2(1 -sen t)j; 11 16. R(t) = ln(t + 2)i + tc2j; 11 = 1 En los ejercicios 17 a 20 determine el ver/ti/ sición R(l). 1 17. V(t) = - j - (t + l)oi (t - 1 ) 2 . , 18. V(t) = (2t - l)i + 3t - 2j. y R(l) .. 41 19. A(t) =e-s¡ + 2e 2 'j, V(O) = 2i + j, y 20. A(t) = 2 cos 2ti + 2 sen 2tj, V(O) = ¡ 1 2J. 22. 23. 24. y R(O) = t i - tj Un proyectil es disparado desde un un ángulo de elevación de 45° y u 1111 dad inicial de 2 500 pie/s. Deternunt alcance del proyectil; (b) la máxima nll canzada; (e) la velocidad en el i Un proyectil es disparado un elevación de 60°. La velocidad inictal 160 pie/s. Determine (a) el vector de del proyectil a los t segundos; (b) de recorrido; (e) el alcance; (d) la tura alcanzada; (e) la velocidad en el to; (f) la velocidad a los 4 s. Un proyect il se dispara desde Jo aiJu edificio de 96 pie de altura, a un 30o con la horizontal. Si la velocidad es. de 1 600 pie/s, calcule el .tiempo dt rndo Y la distancia desde la base del al punto donde cae el proyectil La velocidad de disparo en una pistola 48 m/s. ¿A qué ángulo de elevación pararse el arma a fin de que uno de 14.9 Componentes tangenciales y normales de la aceleraCión (suplementaria) 1073 de L'n un objeto que halla almbmn 1 'flll" la pi\tOia y a una de 120 u.tl,' la vd m:idad en una , i ru••H't: Jil di,parado tiene un akance de 11111 p l l" y akanta una altura mú,ima de ¡tll''! 1 1111u1 arroja !101 it.ontalmente una pelota 1, 1. 1 parte m á' alw de un a..:ant ilado de lit ti ¡(,· ah ura, con una velocidad in icial de 111 , Calcule d 1 icmpo de recorrido de la 1, 1L1. ·"¡como la desde la base del llllil.tdo el punto donde cae la pelota. 1 11 tlll'-'llacho lanza una pelota con una ve- hlold 111icial de 60 pie/ \ y un ángulo de ele- 1 11111 tk 60" . hacia un edificio alto que se !l• tlt'lllla a 25 pie de dbtancia. Si la mano del muchacho halla a 5 pie del suelo, tre que la pelota choca con el edificio y de- termine la dirección de la pelota cuando choca con é\ tc. 28. Desde la parte más alt<l de un edificio de 60 pie de altura, una muchacha arroja una pie- dra hacia el suel o a un üngulo de 45° con la horizontal a una velocidad inicial de 15 pie/s. Determine la distancia en el suel o desde la ba- se del edificio la ele contacto de la piedra con el suelo. 29. Resuelva el ejercicio 28 \i la muchacha arro- ja la piedra horitontalmcnt e con una veloci - dad inicial el e 15 pie/ s. 30. ¿A qué ángulo de elevación debe dispararse una pistola para obtener el máximo alcance para una velocidad de <,a fiel a determinada? COMPONENTES TANGENCIALES Y NORMALES DE LA ACELERACIÓN (.f)uplementaria) una panícul a se despla1.a a lo largo de una c urva e que tiene la ecuación vectorial R(t) = f(t)i + g(t)j 1· 1 vector velocidad en un punto P está dado por V(t) = D, R(t) (1) 1 k acuerdo con la Sección 14.6, si T(t) es el vector unitario tangente en P, ses la longitud de arco de e del punto fijo P 11 a P, y s crece cuando t crece, ds D,R(t) = dt T(t) de esta ecuación en ( 1) se obtiene ds V(t) = dr T(t) 1 ecuación expresa el vector velocidad en un pum o como un escalar por el vector uni tari o tangent e en di cho pumo. El coeficiente de T(t) se denomina componente langcncial del vector velocidad y es igual a ds. Ahora procedemos a expresar el ve<.: - . dt 1or aceleración en un punto en rérminol. de un vector tangente a la dirección de mo- vi miento y un vector normal a la misma dirección. El vector ace leración en P está dado por A(t) = D/ R(t) (2) w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1074 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS De (5), Sección 14.6, tenemos D/ R(t) = (D,JID,R(t)JI )T(t) + (IID,R(t)JIIID,T(t)JI)N(t) De la Sección 14.5, ds dt = IID,R(t)ll Al diferenciar con respecto a L en ambos lados de (4) se obtiene d 2 s dt 2 = D,i !D,R(t)ll Además, IID,R(t)ll uo,T(t)JI = JI D,R(t)ll 2 11 Al aplicar la ecuación ( 4) anterior y la (3) de la Sección 14.7 al lado derecho se tiene IID,R(t)ll IID,T(t)ll K(t) De la sustitución de (2), (5) y (7) en (3) obtenemos A(t) = d 2 : T(t) + (ds) 2 K(t) N(t) dt dt La ecuación (8) expresa el vector aceleración como la suma de un esculnr vector unitario tangente y un escalar. por el vector unitario normal; es decir , te A(t) en la suma de un vector tangente a la düección de movimiento y un normal a la mi sma dirección. El coeficiente de T(t) recibe el nombre de co tangencial del vector aceleración y se representa por A 1 (1), en tanto que el de N(t) recibe el nombre de componente normal del vector aceleración y con AMt). De este modo, tenemos d 2 s AT(t) = {j¡r ---------------- ( ds)2 AN(t) = dt K(t) <=> AN(t) = efl y Como A(l) = D 1 V(t), A(t) es la intensidad de cambio de V(t). Una varl V(t) puede ser ocasionada por un cambio en su magnitud o bien una en su dirección. Ya que IIV(t)ll es la medida de la velocidad de la partícula al ds 1 Y dt = IIV(t)ll, entonces A¡{l) está relacionada con la variación en la """''""'Ita V(t). Ya que AMI) implica a la curvatura K(t) , AMI) se relaciona con la en la dirección de V(t). Estos resultados son importantes en mecánica. De la ley del movimi ento de Newton, se tiene F = mA 14.9 Componentes tangenciales y normales de la aceleracion (suplementaria) 1075 1 1oude Fes el vector fuerza apli cado a un objeto en movimiento, m es la medida cons- louile de la masa del objeto y A es el vector aceleración del objeto. Al sustit uir de ds (K) en (11) e int roducirv = dt tenemos dv F(t) = m T(l) + mv 2 K(t)N(t) dt "'¡· en un movimiento curvilíneo, la componente normal de F es mv 2 mv 2 K(t) <=> - p(t) que es la magnitud de la fuerza normal a la curva que se necesita para al 11 hjeto en Ja curva. Por ejemplo, si un automóvil va por una curva a alta vcloctdad, l'lllonces la fuerza normal debe tener una magnitud que mantenga al auto sobre la l arrctera. Asimismo, si la curva es pronunciada, el radio de curvatura es un número 1 dativamente pequeño; así, la magnitud de la fuerza normal debe ser un número re- 1:11 ivamente grande. /\1 sustituir de (9) y ( 1 0) en (8) tenemos A(t) = + A,v(t)N(t) de lo cual se concluye que IIA(t)ll = J[Ar(t)] 2 + [AN(t)y /\1 resolver esta ecuación para determinar AN(t), y al observar en (lO) que AN(t) es no negativa, se t iene EJEMPLO 1 Una partícula se desplaza a lo largo de una curva que tiene la ecua- vectorial R(t) = ti + e'j Obtener las componentes tangencial y normal del vector aceleración. Solución Como V(t} = D,R(t) = i + e'j IIV(t)ll = J1+?i A(t) = D,Y(t) = e'j IIA(t)ll = e' ds = IIV(t)ll. ds = Jl + e2'' dt dt y d2s e2' dt2 = .jl+e2t . w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1076 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS Por tanto, e' EJEMPLO 2 Una partícula se desplaza a !o largo de la curva que tiene ha vectorial R(t) = (t 2 - l)i + {jt 3 - t)j Obtener cada uno de los siguientes vectores: V{l), A(l), T(l) y N(t) . Detcr mismo los siguientes escalares: IIV(t)ll, A¡{t), AN(t), y K(l) . Calcular los pecíficos cuando t = 2. Trazar una gráfica que muestre un arco de la cu punto donde t = 2 y representaciones de V(2), A(2), A ¡{2)T(2) y A tengan su punto inicial en 1 = 2. Solución Ya que V(t) = D,R(t) y V(t) = 2Li + (tz - l)j II V(I)II = J4cl+(t2 - 1)2 = ) t 4 + 21 2 + 1 = ¡2 + 1 ds 2 Por lo tanto, dt = t + 1. De aquí, A(t) = D, V(t), tenemos A(t) = 2i + 2tj II A(t)ll = .) 4 + 41 2 = 2ji+L2 d 1 s A.,.(t) = dl 2 AN(t) = JfiA(t)ll 2 - [A r(t)J1 = 2t V(t) T(t) = II V(r)ll 2t t 2 - 1 = ( 1 + [ j + t 2 + 1 j Para calcular N{l) uti lizamos la siguiente fórmula que proviene de (8): N(t) = (D,s); K(t) [ A(t) - (D/s)T(t)] A(t) - (D, 2 s)T(1) = 2i + 2tj - 2t (-/:!-- ¡ + t:- 1 j) l + 1 l + 1 2 A(t) - (D/s)T(t) = - 2 --[(1 - c 2 )i + 2tj] 1 + 1 14.9 Componentes tangenciales y normales de la aceleración (suplementaria) 1077 De (12), N(t) es un escalar por el vector en (13). Ya que N(/) es un vector unitario N(/) se puede eliminar dividiendo el vector en (13) por su magnitud. Así, tenemos ( 1 - t 2 )i + 2tj N(t) = -== ~ f +(2t) 2 1 - r 2 • 2t . = 1 + 1 2 1 + 1 + t 2 J La curva K(t) se obtiene de la primera ecuación en {10). Ya q u e ~ ~ = t 2 + l , se obtiene 2 K(t) = (t2 + 1)2 Los vectores y escalares que se requieren en t = 2 son como sigue: V(2) = 4i + 3j IIV(2)11 = 5 A(2) = 2i + 4j A.,.(2) = 4 T(2) = !i + i i A,v(2) = 2 N(2) = - ~ i + !j K(2) = ts La gráfica correspondiente se muestra en la Figura l. 11 • ¡•¡wácios 1 a 4, una partícula se desplaza /,¡,¡¡o de una curva que tiene la ecuación vec- ¡f rlu!la. Obtenga los vectores V (1) y A (t) y , ttlares A ¡{1) y A Nft). ti + t 2 j 2 sen4ti + 2 cos 4rj (cos t + t sen t)l + (sent - ecos t)j; t ~ O 4. R(l) = (t 3 - 3t)i + 3t 2 j En/os ejercicios 5 a 8, una partícula se desplaza a lo largo de una curva que tiene la ecuación vecto- rial que se indica. Determine V(t 1 ), A(t 1 ), Ar(t 1 ) y A N(t 1 ) para el valor dado de 1 1 • S. R(t) = e- ' ¡ + e'j; t 1 = O w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com 1078 VECTORES EN EL PLANO Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS 6. R(t) = cos 2 ti + sen 2 tj; 1 1 = tn 7. R(t) = sen 3 ti + cos 3 tj; t 1 = ¡n 8. R(t) =e 2 'i + e 2 'j; tL =In 2 En los ejercicios 9 y 10, obtenga los siguientes esca- lares 11 V(/) 11, A r(t), AN(l), y K(t). 9. R(t) = t 2 i + t 3 j ; t O 10 IUt) = (t 2 + 4)i + (2t- 5)j En los ejercicios JI a 16, una partícula se despla- za a lo largo de una curva que tiene la ecuación vectorial que se indira. En cada ejercicio, deter- mine los vectores V(t), A(r), T(t), y N(t), y los si- guientes escalares para un valor arbitrario de t: 11 V(t) 11, A r(t ), AN(l), y K(t). Determine también los valores espec1]icos cuando t = t 1 • En t = r 1 trace un arco de la curva y representaciones de los vectores V(/ 1 ) , A(/ 1 ), Ar(/ 1 )T(/ 1 ), y AN(l , )N(/ 1 ). 11. R{t) = (2t + 3)i + (t 2 - l)j; t 1 = 2 12. R(t) = (t - t)i + t 2 j; t 1 = t 13. R(t) = 5 cos 3u + 5 sen 3tj; t 1 = 1n 14. R(t) = 3t 2 i + 2t 3 j; t 1 = 1 15. R(t) = e'i + e - 'j; t 1 = O 16. R(i) = cos r 2 i + senr 2 j; t 1 = t.J; En los ejercicios 17 y 18, una panícula·" za a lo largo de la curva que liene la tesiana dada. En el punto dado, • vector de posición, (b) el vector veiOCI'rlwll. vectOr aceleración, (d) A T y (e) AN 17. y= 4x 2 ; (1, 4) 18. y 2 = x 3 ; (4, H) 19. Una panícula se desplaza a lo largo d rábola y2 = 8x y su velocidad es Determine lo siguiente cuando la par tá en (2, 4): el vector de posición, d velocidad, el vector aceleración, el tario tangente, el vector unitario no1 y AN. 20. Una partícula se ctesplaza a lo largo dt ma superior de la hipérbola y2- y1 dx que dt es una constante positiva. lo siguiente cuando la partícula está rn el vector de posición, el vector vector aceleración, el vector unitario te, el vector unitario normal , Ar y EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 14 En los ejercicios 1 al 18. A = 4i - 6j , B = i + 14. Determine la proyección escalar de C 7j y e = 9i - 5j . 15. Encuentre la proyección vectorial de A l. Determine 38 - 7A. B. 2. Obtenga 58 - 3C. 16. Obtenga la proyección vectorial de C 3. Halle IIJB - 7AII. 17. Determine la componente de B en In ción de A. 4. Determine II5B - 3CII. 18. Obtenga cosa si a es el ángulo enl rt' S. Determine IIJBii -II7AII. 19. Dos fuerzas de 50 lb y 70 lb de mag 6. Obtenga II5BII - II3CII· man un ángulo de 60° entre sí y se 7. Halle (A - B) ·C. a un objeto en un mismo punto. Ol.lt 8. Determine (A · B)C. la magnitud de la fue rza resultante y 9. Obtenga un vector con la misma dirección que ángulo que forma con la fuerza de 50 2A + B. una precisión de grados enteros 10. Determine los vectores unitarios que sean or- 20. Determine el ángulo entre dos u• togonales a B. lb y 136 lb aplicadas a un objeto en 11. Obtenga los escalares h y k tal que A - hB mo punto si la fuerza resultante t · + kC. magnitud de 168 lb. 12. Obtenga los escalares h y k de manera que 21. Una fuerza se representa por un vector hA + kB = - C. tiene una magnitud de 30 lb y un 13. Obtenga la proyección escalar de A sobre B. l 111 pies, calcule el trabajo realizado por la ,, 1 ' " para hacer desplazar a una panícula ¡,, l.u go de una línea del punto (3, 6) al (-2, 1 l lltllilamiento de un avión es 107° y su ve- 1 · hlutl al aire es 210 mi / h. Suponiendo que un viento desde el oeste de 36 mi/ h, 111\b son (a) la velocidad a tierra del avión lh) curso? ••/tn"icios 23 y 24 calcule, para cada jun- •11 torial, (a) el dominio de R: ( b) lím R{r); 1 1 1111) 1 . Ji - 1. - t +--J 1 + 1 t - 1 lt - lli + In tj 1 ·1 dy d 2 y r l'(l'tcicios 25 y 26 Oblenga -d Y -d 2 sin e/i- 1 • X X ,. t'arametro. •lrl - 1, y = 3t + 1 ,.1•. Y= e- 3• o'Jt•rcicios 27 y 28 determine ecuaciones de , 1111 tangentes horizomales y verticales y fue- In' lo gráfica del par de ecuaciones paramé- rludo. 12- t 2 ,y= 12t - t 3 llu de Diocles) 2at 2 2at 3 -y= - - a >O 1 + r 2 ' 1 + t 2 ' l it(/)= ln(t 2 - I)i -2r 3 j ,determineenton- ' , lt'(t) · R"(t). tlhlcnga la longiwd de arco de la curva que lh'ttt' las ecuaciones paramétricas 1 t 2 , y = 1 3 , ele t = 1 a 1 = 2. 1 h•tt· rrnine la longitud de arco de la curva lt(l) (2- t)i + t 2 j de t = O a 1 = 3. 1 lhlcnga la longitud de arco de la curvar = 1 O de 8 = O a 8 = V..1r . hl) Demuestre que la curva definida por las "tt.1ciones paramétricas x = a sen t y y = /1m' 1 es una elipse. (b) Sises la medida de h1 lnngitud de arco de la elipse de la parte (a), lllllt''tre que 14.9 Ejercicios de repaso 1079 s = 4 J: 12 a J L- k 2 sen 2 l dt donde k 2 = (a 2 - b 2 )/ a 2 < l. A esta integral se la denomina integral ellptica y no puede evaluarse con exactitud en términos de fun- ciones elementales. 34. Trace la gráfica de la ecuación vectori al R(t) = e'i + e- •j, y obtenga una ecuación car- tesiana de la gráfica. 35. Demuestre que la curvatura de la curva y = In x en cualquier punto (x, y) es xl(x 2 + 1) 312 • Demuestre también que la curvatura máxima absoluta es j¡J3, la cual ocurre en el punto (Vdí, - Y2 In 2). 36. Obtenga la curvatura en cualquier punto de la rama de la hipérbola definida por x = a cosh 1, y = b senh t. Muestre asimismo que la curvatura es un máximo absoluto en el vértice. 37. Determine el radio de curvatura en cualquier punto de la curva x = a (cos 1 + 1 sen /),y = a (sen t - t cos t). 38. Determine la curvatura, el radio de curvatu- ra y el centro de curvatura de la curva y = e-x en el punto (0, 1). 39. Obtenga la curvatura y el radio de curvatura de la curva R(t) = 3c 2 i + (c 3 - 3t)j en el pun- to donde r = 2. 40. Si R(l) = é 1 i + e->-• j , donde }o. es una cons- tante, muestre que R(t) satisface la ecuación R"(r) - >-. 2 R(I) = O. 41. U na partícula se desplaza a lo largo de una curva que t iene la ecuación vectorial R(c) = 3ti + (4t - t 2 )j. (a) Obtenga una ecua- ción cartesiana de la trayectoria de la partí- cula. (b) Determine el vector velocidad y el vector aceleración. (e) Obtenga V(l) y A(l ). 42. Siga las instrucciones del ejercicio 41 si R(t) = 2e' i + 3e- •j . 43. Para la hipocicloide de cuatro cúspides, x = dy. a cos3 r y y = a sen 3 t, determine - y -d 2 sin el iminar el parámetro. .x 44. Si una partícula se desplaza a lo largo de una curva, ¿en qué condiciones tendrán el vector aceleración y el vector unitario tangent e las mismas direcciones, o bien, contrari as? En los ejercicios 45 y 46 determine para la curva dada, T(t) y N(t); en t = t 1 trace un arco de la w w w . L i b r o s Z . c o m www.LibrosZ.com www.Matematica1.com www.FisicaA.com