La criptoaritmética es un arte que desempeñó un importante papel en eldesenvolvimiento de la Historia. La criptoaritmética no es más que un juego. No se sabe en qué época se inventó; pero los aficionados a las variedades comenzaron a interesarse por ellas en el Primer Congreso Internacional de Recreaciones Matemáticas que se reunió en Bruselas en 1935. PLATÓN Nació : 427 AC en Atenas, Grecia Cripto viene del griego "criptus" que quiere decir oculto, escondido. Falleció : 347 AC en Atenas, Grecia Platón se veía como un hombre La criptoaritmética consiste en reemplazar las cifras por letras en la joven que ha sido puesto en una transcripción de una operación de aritmética clásica, de una ecuación. El carrera política. Los excesos de una problema consiste en hallar las cifras que están "bajo las letras". Para complicar vida política del ateniense parecen haberlo persuadido a rendirse a las las cosas, en ciertos sitios se puede marcar simplemente el lugar de una cifra ambiciones políticas. En particular con un punto o un asterisco. En el caso extremo, sólo quedan asteriscos. la ejecución de Sócrates en el año 399 AC tuvo un efecto muy profundo en él. Es fácil ver que la criptoaritmética es un procedimiento de cifrar por sustitución y que la clave es una regla matemática. Platón estudió primeramente Los enunciados criptoaritméticos son, a veces, seductores. Sus soluciones no filosofía con su gran maestro presentan dificultades matemáticas; pero en cambio exigen numerosísimas Sócrates. Después estudió matemáticas con Arquitas de hipótesis y, en consecuencia, cálculos largos y trabajosos que implican Tarento y con Teodoro de Cirene. grandes riesgos de confusión. Asimismo viajó por Egipto, Sicilia e Italia en compañía del matemático Eudoxio. Por eso, se aconseja que se dediquen a este género de problemas sólo los lectores pacientes y minuciosos como ustedes, alumnos de Trilce. Creía que era imposible estudiar la Filosofía sin el conocimiento previo de las matemáticas. Tal vez sea El objetivo de la criptoaritmética es redescubrir las operaciones básicas de éste el motivo por el cual hizo adición, sustracción, multiplicación, división, radicación y potenciación. En colocar, a la entrada de la los problemas a tratar en este capítulo, se cumple que a letras iguales le Academia, su célebre y significativa frase: “no entres aquí si no eres corresponde cifras iguales y a letras diferentes, cifras diferentes. Cada letra, geometra”. cada asterisco (*), representa una cifra. Primeramente se deben a él Además, la suma de dos dígitos como máximo es 18, siempre y cuando algunas reglas metodológicas, los dígitos sean iguales (9 + 9) y 17 si es que los dígitos son diferentes (9 + dogmatizando en la Geometría 8). el uso exclusivo de la regla y el compás, lo que se aceptó en tiempos posteriores y aún en Para que este tema sea más entendible, lo dividiremos de la siguiente nuestros días. Pensaba Platón que los geómetras se rebajaban manera: cuando usaban otros instrumentos que no fueran los mencionados. Se debe también a este filósofo las directivas que debían darse en la enseñanza de la Geometría; es decir, la organización de la exposición geométrica desde el punto de Hallar OMAR y dar como respuesta la suma de sus cifras. ADICIÓN Resolución: Debemos recordar las siguientes reglas: MULTIPLICACIÓN Debemos tener en cuenta las siguientes reglas: PAR + PAR = PAR PAR x PAR = PAR PAR + IMPAR = IMPAR PAR x IMPAR = PAR IMPAR x IMPAR = IMPAR IMPAR + IMPAR = PAR 4. Hallar la suma de las cifras del producto: 1. Después de reconstruir la siguiente suma : SAL + MAS = ALLA dar el valor de la suma de las 3 * X cifras del resultado de : MAS+ ALLA Resolución: * * 2. Si : (a+b)2 =169 * * Calcular: 2abab5 + 5baba2 * * Resolución: 5 3. Si : ROMA+ AMOR = MMARM * 1 * x * * *8 3 * 2 Resolución: * 3 * 3 * 2 * * 2 * 5 3 X 1 * 8 * 3 0 Multiplicado Resolución: Multiplicador 6. Las letras representan las cifras de un número, que al multiplicarle por 4, resulta de invertir el orden de las cifras en el primitivo. ROMPE x 4 = EPMOR Ha l l a r : P+E +R +0 Resolución: Productos Parciales 5 8 Producto Final 5. Dada la siguiente multiplicación, hallar la suma de las cifras que reemplazan a los asteriscos en los productos parciales. DIVISIÓN 3 7. En la siguiente división, hallar la suma de las cifras del dividendo : 2 Cociente 3 8 8 5 5 Resolución: Resto o residuo Dividendo 8.Hallar la suma de las cifras del cociente. 7 Divisor 2 2 3 8 Resolución: 9. Hallar la suma de las cifras del cociente en : RADICACIÓN 3 10. Reconstruir la siguiente operación y dar corno respuesta la suma de las cifras del 9 9 radicando. 2 9 4 2 1 4 Resolución: 2 4 11. Dar como respuesta la suma de las cifras del radicando. Resolución: Signo radical: Operador mate- mático convencional que identifica la 6 sexta operación aritmética 2 4 Radicando Raíz cuadrada 1 2 2 1 4 6 Resolución: 2 4 2 4 POTENCIACIÓN 12. Reconstruir la siguiente operación y dar como Respuesta la suma de las cifras de: Z+A+P+A+T+O 2 ZOO = TOPAZ Resolución: 1301. Sabiendo que a letras iguales le corresponden cifras iguales y además: NE + EN = SOS 7 Hallar: N+0+S+E 6 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 1 1302. Si: a) 12 b) 13 c) 11 d) 10 e) 14 1 a b c d e x 1304. Reconstruir la siguiente operación y dar como respuesta la suma de las cifras de la raíz. 5 5 3 7 a b c d e 1 Halar: c + e + b + a + d + a a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32 a) 8 b) 13 c) 10 1303. Reconstruir la división mostrada y dar d) 9 e) 12 como respuesta la suma de las cifras de cociente. 1305. Sabiendo que: SIN +SIN = NADA Hallar: N+D+S+A 2 6 3 a) 20 b) 16 c) 17 3 d) 14 e) 15 1306. 'Si: TRILCE x 99 =….291403 además a letras iguales les corresponden cifras iguales. 2 Calcular: L + E + T + I a) 22 b) 17 c) 20 1 4 d) 18 e) 21 2 2 1307. Reconstruir la división adjunta y dar como respuesta la suma de las cifras del dividendo, si el divisor es el menor posible. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 3 4 1309. Si se cumple que: APT + MAT = STOP 8 Además STOP toma su máximo valor y O = cero. Hallar: M + O + T + A + S 8 a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 8 1310. Hallar la suma de las cifras del primer producto parcial. a) 21 b) 22 2 x c) 20 4 d) 23 e) 24 1308. Después de reconstruir la siguiente 3 5 operación dar como respuesta la suma de las cifras de la raíz. 3 0 a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 18 8 1311. Reconstruir la siguiente operación y dar 9 como respuesta la suma de las cifras del radicando. 5 R A D A R x 5 2 C R A A C 1 0 9 Hallar la suma de las cifras de DRACA 3 9 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 a) 24 b) 25 1314. Reconstruir la división mostrada y dar como respuesta la suma de las cifras del cociente. c) 26 d) 27 e) 28 1312. Sabiendo que a letras iguales le corresponden cifras iguales y además: O L I M+ 2 P I A 2 D A R I E M A Donde: M=3 y L>P Hallar: 5 R + O + M + M + E + L 1 a) 20 b) 24 c) 28 d) 26 e) 30 1 1313. Sabiendo que: 1 2 1 a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 11 1 2 a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 1315. Reconstruir la siguiente operación y dar como respuesta la suma de las cifras del radicando. 1317. Si: TRES + DOS = CINCO Además: N=5 y R >D y que a letras iguales le corresponden cifras iguales. Hallar: R + E + T + O + S 3 9 a) 30 b) 29 c) 31 d) 28 e) 32 7 1318. Hallar el resultado final, si el multiplicador tiene 3 cifras iguales. 3 7 a) 25 b) 27 c) 30 d) 32 e) 21 x 1316. Reconstruir la división mostrada y dar a a a como respuesta la suma de las cifras del cociente. 0 2 4 3 6 6 9 3 4 a) 361840 b) 426140 c) 326350 d) 326340 e) 316240 8 1319. De la siguiente operación, dar la suma de cifras del dividendo: a) 22 b) 24 c) 25 d) 26 e) 27 1 3 2 1 . Ha l l a r : a + b + c + d Si: abcd x bd = 43904 bc x bd =1184 5 Donde letras iguales son dígitos iguales. 8 3 a) 13 b) 14 c) 15 3 d) 16 e) 17 1322. En la siguiente multiplicación, hallar la 3 suma de las cifras del producto, si cada representa una cifra. 6 2 7 x 2 a) 20 b) 25 c) 22 d) 21 e) 19 6 1320. En la siguiente operación de números 8 naturales, las cifras están escondidas por letras: 1 0 E L I T + a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 M I A B A 1323. Reconstruir la siguiente división y dar como respuesta la suma de las cifras del cociente, si es S I N T A el máximo posible. Si las letras iguales son cifras iguales y letras diferentes son cifras diferentes. Además: L = 6 y M = 8 Hallar el valor de: I + S + A + B + E + L 5 a) 10 b) 9 c) 11 d) 12 e) 13 6 0 1326. Hallar la suma de las cifras de la raíz en: 3 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 1324. Hallar la suma de cifras del producto. 5 x a) 10 b) 9 c) 11 3 d) 12 e) 13 1327. En este criptograma, todas las letras representan números primos, excepto P que 4 vale 1. 1 4 6 1 a) 18 b) 21 c) 24 d) 19 e) 20 1325. Después de reconstruir la división mostrada, dé como respuesta la suma de las Hallar: P+E+R+0+M cifras del cociente en su parte decimal. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 14 1328. Si cada letra representa un dígito en la representadas por asteriscos en: división y además a letras iguales les corresponden dígitos iguales. * * * *x999 ....4156 Hallar: 2p + 3q + 5r a) 1152 b) 1528 c) 364 En: d) 3200 e) 548 1333. Después de reconstruir la siguiente división, dar como respuesta la suma de las cifras del cociente, si el divisor es el menor posible. a) 38 b) 30 c) 47 d) 43 e) 49 1329. Si: SAM = 5xSxAxM Además: M1 ...ASM ...TEM Calcular: M+A+T+E+S a) 11 b) 12 c) 13 a) 20 b) 21 c) 22 d) 14 e) 15 d) 23 e) 30 1334. Sabiendo que: 1330. ¿Cuál es la suma de cifras del dividendo y CHINE ASIE JAPON el cociente en la siguiente división? Además: AS es un cubo perfecto. JA y JAP son cuadrados perfectos. Hallar: J+E+S+I+C+A a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29 a) 26 b) 27 c) 31 1335. Reconstruir la operación y dar como d) 36 e) 41 respuesta la suma de las cifras que reemplazan a los asteriscos (*) en el 1331. Si: ( TOC )2 = ENTRE radicando. Además: Además: O = cero Calcular: T + R +E + N a) 17 b) 12 c) 13 d) 18 e) 15 1332. Hallar el producto de las cifras a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 15 1336. Calcular la suma de cifras del cociente, en la siguiente división. a) 384941 b) 295041 c) 357041 d) 455041 e) 426041 1340. Hallar la suma de las cifras del cociente. a) 20 b) 21 c) 26 d) 30 e) 32 1337. Sabiendo que SEIS es divisible por 6. SEIS DE ENERO REYES Calcular: a) 13 b) 11 c) 12 REY DE REYES d) 14 e) 15 a) 21609 b) 22607 c) 21608 d) 21704 e) 21508 1338. Reconstruir: 1341. Hallar la suma de las cifras del producto total, de la siguiente multiplicación. Hallar: B+A+B+A a) 27 b) 24 c) 29 a) 14 b) 34 c) 44 d) 36 e) 30 d) 54 e) 64 1342. En la siguiente operación de radicación 1339. En la multiplicación, el producto total es: cuadrada, hallar la suma de las cifras del radicando, sabiendo que: x-y=4 a) 25 b) 24 c) 23 d) 27 e) 26 1346. Mi amigo Luis escribe la siguiente suma : A + DD ARR a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31 ¿Qué número representa ? 1343. Después de reconstruir la división dar a) 9202 b) 8101 como respuesta la suma de todas las cifras que no sean 8. c) 8202 d) 7202 e) 9101 1347. Sabiendo que las cifras de la raíz son pares. Dar como respuesta la suma de cifras de la raíz. a) 78 b) 80 c) 79 d) 81 e) 82 1344. Sabiendo que: Mx3 142xy Mx9 ab867 Hallar: x +y +a +b a) 8 b) 9 c) 10 a) 20 b) 21 c) 22 d) 11 e) 12 d) 23 e) 24 1348. Sabiendo que a letras iguales le 1345. En la siguiente división, hallar la suma de las corresponde cifras iguales y además: S = cifras del dividendo cero. Hallar la suma de las cifras de : BESAME en: PAPA MAMA BEBES Nota BEBES toma su máximo valor y además: P>M a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 e) 27 1349. Si: A MARI A 3 a) 11 b) 13 c) 15 Hallar: M+A+R+I d) 16 e) 14 a) 9 b) 6 c) 11 1353. Sabiendo que: d) 8 e) 7 A B A A B 1350. Sabiendo que: B LE LE LE LE LE OLE A 3 5 Además, el cero y el uno no intervienen Hallar: 0+L+E+L+E a) 24 b) 25 c) 26 Hallar: AB + BA d) 27 e) 28 a) 5 b) 3 c) 6 1351. Dada la siguiente división entera donde d) 7 e) 9 cada punto representa una cifra, la suma de cifras del divisor es igual a la suma de cifras 1354. Si se sabe que: del cociente e igual al residuo de la división. RRE RER ARMA Halle la suma de cifras del dividendo. Además: E = M Hallar el valor de: R +E+M +A a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 1355. Si: PRE PREP 433U Hallar el producto de las cifras de PREU a) 4 b) 5 c) 6 a) 270 b) 324 c) 756 d) 7 e) 8 d) 342 e) 304 1352. Hallar: a + b + c + m, si: 1356. Si: BATA BATA MANTO (O cero) Hallar: B+0+N+T+M a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29 1357. Reconstruir la siguiente división y dar como respuesta la suma de las cifras del dividendo. a) 22 b) 21 c) 25 a) 24 b) 25 c) 26 d) 23 e) 24 d) 27 e) 28 1362. Si: DIEZ TRES TRECE 1358. Si: Se sabe además que DIEZ es par y O = cero que TRES es impar. Calcular: S + I + E +T+ E a) 28 b) 25 c) 27 d) 24 e) 26 Calcular: M = A + N + I + T + E + P 1363. Sustituya los asteriscos por los números a) 20 b) 24 c) 35 que faltan en la siguiente multiplicación. d) 27 e) 28 1359. Si: Y además: AE = A x B Calcular: B+E+B+E Dé como respuesta la suma de todos los asteriscos. a) 22 b) 20 c) 24 d) 26 e) 12 a) 63 b) 54 c) 59 d) 96 e) 57 1360. Si: xyz6 ....xyz6 2 Calcular: x + y + z a) 17 b) 21 c) 19 1364. Si: d) 18 e) 20 C U A T R O x 1361. Reconstruir la siguiente operación e indicar 5 la suma de cifras del resultado. Cada asterisco representa un dígito cualquiera. V I E N TE Calcular "m + n + p" en: C CE CEC CECE ... ...mnp C2 2Esumandos a) 9 b) 11 c) 15 d) 12 e) 18 1365. En la siguiente multiplicación, hallar la a) 18 b) 19 c) 20 suma de las cifras del producto. d) 21 e) 22 1370. ¿Qué cifra no interviene en el siguiente criptograma alfabético? (Las letras representan dígitos) a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 1366. Si: AMIGA IM1M G1G62 a) 1 b) 2 c) 3 Hallar el valor de A+M+I +G +A (Letras d) 4 e) 5 diferentes representa dígitos Diferentes) 1371. Sabiendo que: a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 34 ABC = C4 BCA = D4 1367. Reconstruir la siguiente división y dar como Y que a letras iguales, cifras iguales. respuesta la suma de las cifras del Calcular el valor de: A+ B + C + D dividendo. a) 15 b) 14 c) 16 d) 17 e) 18 1372. Si: a) 17 b) 12 c) 14 Donde GA es un cuadrado perfecto y d) 15 e) 16 además: R= 7 y D=L Hallar el valor de: C +R+E+M +A 1368. Si : TEN TEN FORTY SIXTY C a l c u l a r : F + R +I + T + 0 a) 27 b) 30 c) 28 a) 24 b) 25 c) 26 d) 26 e) 23 d) 27 e) 28 1373. Reconstruir la siguiente multiplicación y 1369. Calcular la suma de las cifras del dividendo en : dar como respuesta la suma de las cifras del producto. a) 10 b) 27 c) 25 d) 21 e) 24 a) 16 b) 9 c) 10 d) 12 e) 14 1374. Hallar: x . y . z 1377. Calcular: a +b +c+ d Sabiendo que: Si cada letra es un dígito y además a letras iguales dígitos iguales. a) 27 b) 28 c) 31 a) 90 b) 100 c) 72 d) 29 e) 30 d) 36 e) 120 1375. Reconstruir la división y dar como respuesta la suma de las cifras del cociente. 1378. Si: Calcular: A2 + A +1 a) 30 b) 24 c) 43 d) 39 e) 38 1379. Sabiendo que: a) 7 b) 9 c) 8 d) 6 e) 12 1376. Reconstruir la multiplicación y dar como respuesta la suma de las cifras de tercer producto parcial. Hallar: J+E+S +I a) 18 b) 19 c) 20 d) 17 e) 21 d) 17 e) 21 1380. Hallar la suma de las cifras de la raíz: 1384. Calcular: C+A+Q+U+ I, si: a) 20 b) 21 c) 22 a) 10 b)11 c) 12 d) 23 e) 24 d) 13 e) 14 1385. Reconstruir la siguiente división y dar como 1381. Sabiendo que: respuesta la suma de las cifras del cociente. DIA HORA CITAS Hallar: S +A+R+I+T+A a) 20 b) 24 c) 27 d) 28 e) 25 a) 10 b) 11 c) 12 d) 8 e) 9 1382. Sabiendo que: ASES REYES POKER 1386. Hallar la suma de las cifras del producto: Hallar: P+R+E+S+Y+0 Sabiendo además que: K = 8 y que el cero no interviene. a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 a) 23 b) 24 c) 20 d) 21 e) 18 1383. Si: 1387. Reconstruir la siguiente división y dar como respuesta la suma de las cifras del dividendo. Calcular: M+A+R+C+0 a) 19 b) 15 c) 18 a) 28 b) 29 c) 30 d) 32 e) 27 1388. Sabiendo que: 1391. Si: ROMCHIx6 CHIROM (O cero) ABC Calcular: 2 AC * BC Con la diferencia de que ABC es un número primo. a) 5 b) 4 c) 3 Calcular: AB CB d) 1 e) 6 a) 56 b) 70 c) 60 d) 48 e) 37 1392. En la siguiente multiplicación, todas las cifras desaparecidas son primos. (Cada * es 1389. De viaje, lejos de su oficina, un comerciante una cifra). inglés advierte que necesitará más dinero Hallar la suma de las cifras del producto. para cumplir con su proyectada gira. Escribe por tanto a su socio un escueto mensaje que dice: "Send More Money" (manda más dinero). Pero como no desea que nadie se entere de la cantidad que solicita, dispone su texto según el código a) 24 b) 23 c) 20 que sólo su socio conoce: d) 25 e) 22 S E N D + M O R E 1393. Completar la división mostrada y dar como M O N E Y respuesta la suma de las cifras del cociente. Se trata de sustituir cada letra por una determinada cifra. ¿Qué cantidad de dinero ha solicitado? a) 10265 b) 12678 c) 13547 d) 10562 e) 10652 1390. Reconstruir la siguiente operación y dar a) 17 b) 18 c) 19 como respuesta el resultado de: d) 20 e) 21 A 2 3A 4 1394. En francés: "¿Qui trouve ceci?" significa: "¿Quién soluciona esto?" ¿Es usted capaz?. Dar como respuesta la suma de: T+R+O+U+V+E a) 58 b) 74 c) 92 d) 112 e) 106 1397. Reconstruir la siguiente multiplicación y dar como respuesta la suma de las cifras del producto. A letras iguales, cifras iguales. a) 13 b) 14 c) 15 a) 28 b) 29 c) 30 d) 16 e) 17 d) 31 e) 32 1398. Reconstruir la siguiente operación y dar 1395. En la siguiente división, cada cifra sustituye a como respuesta la suma de las cifras del otras diferentes, tratándose de reconstruir las radicando. cifras originales. Dar como respuesta la suma de las cifras del dividendo. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30 1399. Si: ( EAU )2 = OCEAN Calcular el valor de: UN OCEANO 1396. Sustituir los * por los dígitos precisos para que realizando las 2 multiplicaciones a) 424789 obtengamos el resultado anunciado. b) 412133 c) 516768 d) 325436 e) 728632 1400. Reconstruir la siguiente división y dar Dar como respuesta la suma de cifras del como respuesta la suma de las cifras del primer multiplicando. cociente. a) 73 b) 91 c) 82 d) 93 e) 94 a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34 130 133 135 a e c 1381 c 6 1 6 130 133 135 c a c 1382 e 7 2 7 130 133 135 c c c 1383 e 8 3 8 130 133 135 c c c 1384 c 9 4 9 130 132 135 131 133 136 E c c 1376 c c c c 1385 a 1 6 1 0 5 0 130 132 135 131 133 136 c c e 1377 d c c c 1386 a 2 7 2 1 6 1 130 132 135 131 133 136 a c b 1378 c c c e 1387 c 3 8 3 2 7 2 130 132 135 131 133 136 e b b 1379 a d b c 1388 b 4 9 4 3 8 3 130 c 133 b 135 c 1380 c 131 133 136 5 0 5 c e d 1389 e 4 9 4 131 b 134 a 136 c 1390 5 0 5 D 131 134 136 d e a 1391 B 6 1 6 131 134 136 a c a 1392 a 7 2 7 131 134 136 d d d 1393 b 8 3 8 131 134 136 a d b 1394 c 9 4 9 132 134 137 c e c 1395 d 0 5 0 134 137 a e d 1396 a 6 1 132 1 132 134 137 a a e 1397 e 2 7 2 132 134 137 d c b 1398 d 3 8 3 132 134 137 b e a 1399 b 4 9 4 132 135 137 c d b 1400 d 5 0 5