FUNCIONES. 3.4.1 Concepto de función.- Es una regla matemática que asigna a cada valor de entrada uno y sólo un valor de salida. El dominio de una función es el conjunto que consiste en todos los valores de entrada posibles. El rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida posibles. Notación: y = f ( x) ; que se lee: “y” es igual a “f” de “x”. Cuando decimos que “y” es una función de “x” queremos decir que el valor de la variable “y” depende de “x” y se determina únicamente por el valor de la variable “x”. “x” es la variable de entrada y “y” es la variable de salida. Los papeles respectivos de las dos variables hacen que la variable “x” reciba el nombre de variable independiente y la variable “y” se denomine variable dependiente. De forma alternativa, a menudo nos referimos a la variable “y” como el valor de la función. “f” es el nombre de la función o regla de mapeo (proceso de asignación de valores de salida a los correspondientes valores de entrada). Ejemplo 18 (pág. 145 Budnick). Imagine que se le ha contratado como vendedor. Su patrón le indicó que su salario dependerá del número de unidades que venda cada semana. Si suponemos que: y = salario semanal en pesos. x = número de unidades vendidas cada semana Se puede representar la dependencia definida por su patrón mediante la función: y = f(x) donde “f” es el nombre de la función del salario. Suponga que su patrón le dio la ecuación siguiente para determinar su salario semanal: y = f(x) = 3x + 25 Dado cualquier valor para “x”, la sustitución de este valor en f dará como resultado el valor correspondiente de “y”. Por ejemplo, si deseamos calcular su salario semanal cuando vende 100 unidades, sustituir x = 100 en la función: y = 3(100) + 25 = $325 Ejemplo 3 (pág. 146). El departamento de policía de una ciudad pequeña contempla la compra de un auto patrulla adicional. Los analistas de la policía estiman que el costo de la compra de un automóvil totalmente equipado es de $100 000. También estima un costo operativo promedio de $.40 por kilometro. a) Determine la función matemática que representa el costo total de la posesión y operación del automóvil en términos de los “x” kilómetros conducidos. b) ¿Cuáles son los costos totales proyectados si se conduce el automóvil 50 000 kilómetros durante su tiempo de vida? c) ¿Si se conduce 100 000 kilómetros? Solución: a) CT = .40x + 100 000 b) CT = .40(50 000) + 100 000 = $120 000 c) CT = .40(100 000) + 100 000 = $140 000 3.4.2 Función lineal. 1. Concepto.- Una función lineal tiene la forma general (pendiente-intercepcion) y = f ( x ) = a1 x + a0 Donde a0 y a1 son constantes 2.- Función lineal que incluye dos variables independientes tiene la forma: y = f ( x1 , x2 ) = a1 x1 + a2 x2 + a0 Donde: Donde a1 y a2 son constantes (no cero) y a0 es una constante. 3.- Funciones lineales de Costo.- Los contadores o economistas definen a menudo el costo total en términos de dos componentes: costo variable y costo fijo total. Se deben sumar esos dos componentes para determinar el costo total. El total de costos variables varía con el nivel de entrada (insumos) y se calcula como el producto del costo variable por unidad de salida (producción). En un escenario de producción, el costo variable por unidad se compone por lo general de los costos de materia prima y trabajo. Ejemplo (pág. 187 Ejemplo 2).- Una empresa que fabrica un solo producto se interesa en determinar la función que expresa el costo total anual “y” como una función del número de unidades fabricadas “x”. Los contadores indican que los gastos fijos cada año son de $50 00. También estiman que los costos de la materia prima para cada unidad producida son de $5.50 y los costos del trabajo por unidad son de $1.5, en el departamento de ensamble, $.75 en el departamento de acabado y $1.25 en el departamento de empaque y distribución. La función de costo total tendría la forma: y = C(x) = costo variable total + costo fijo total. Los costos variables totales dependen de dos componentes: costos de la materia prima y costos del trabajo. Los costos del trabajo se determinan sumando los costos de trabajo respectivos de los tres departamentos. Se define el costo total por medio de la función: y = costo total de la materia prima + costo total del trabajo + costo fijo total. = costo total de la materia prima + costo del trabajo (departamento de ensamble) + costo del trabajo (cuarto de acabado) + costo del trabajo (departamento de envíos) + costo fijo total. y = 5.5 x + (1.5 x + .75 x +1.25 x ) + 50000 ∴y = f ( x ) = 9 x + 50000 4.- Funciones lineales del ingreso. Con frecuencia nos referimos al dinero que fluye hacia una organización ya sea por la venta de productos o por la prestación de un servicio como ingreso. El modo más fundamental de calcular el ingreso total de la venta de un producto o servicio es: Ingreso total = (precio) (cantidad vendida). Una suposición en esta relación es que el precio de venta es el mismo para todas las unidades vendidas. Suponga que una empresa fabrica n productos. Si xi es igual al número de unidades vendidas del producto “i” y p j es igual al precio del producto “j”, la función que le permite calcular el ingreso total de la venta de “n” productos es: R = IT = p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 +... + pn xn El señor “H”. TABLA A Granja Cosecha Ingreso/acre Costo/acre c j Costo Fijo F j rj .5 (20 000) -100 000=$250 000 8. (pág. La utilidad de una organización es la diferencia entre el ingreso total y el costo total.Ejemplo de funciones de utilidad. Además de los costos fijos relacionados con l operación de cada granja. radios y calentadores. R = f(d) = 9. el ingreso esperado derivado de cada acre y los costos fijos asociaos con la operación de cada granja. el costo anual de la plantación de 1 acre de cosecha. Determine la función de la Utilidad para la operación de las tres granjas si x j = número de acres plantados en la granja j. la corporación como un todo tiene costos fijos anuales de $75 000. Si Ingreso total es: R(x) y Costo total es: C(x). Cada granja tiene características únicas que la hacen ideal sólo para una cosecha. entonces la Utilidad Total sería: P (x) = R (x) – C (x) 7. Los costos variables por unidad son de $20 por materiales y $27. Los costos fijos anuales son de $100 000. 188) Una agencia local de renta de autos trata de competir con algunas empresas nacionales más grandes.Ejemplo de función de ingreso.50x + 100 000 Por lo tanto: P(x) = 65x-(47.5. propietario de la empresa ha estado reciclando autos usados para que formen parte de su flotilla. ¿Cuál es la utilidad si las ventas anuales son de 20 000 unidades? SOLUCIÓN: R(x) = 65x C(x) = 47.Una organización agricultora tiene tres granjas diferentes que se utilizaran el año próximo.Funciones lineales de utilidad. “H” también simplifico la estructura de tasa de renta al cobrar una tarifa sencilla de $9. tapacubos. Elabore la función de la utilidad expresada en términos de “x”. Pág.95d 6. La tabla “A” indica la cosecha seleccionada para cada granja. 1. Una empresa vende un solo producto en $65 por unidad.. Expresado en forma de ecuación: Utilidad = Ingreso total – Costo total.50 por trabajo. 190 ejemplo 5 PLANEACIÓN DE LA AGRICULTURA. Pág. 189. rj = ingreso por acre en la granja j.5x – 100 000 Si la x= 20 000 la utilidad es: 17. o si R = ingreso anual en pesos “d” = número de días de renta de autos durante el año. el número de unidades producidas y vendidas.EJEMPLOS VARIOS.95 por día por el uso de su automóvil.5x + 100 000) =65x -47.5x-100000 =17. c j = costo por acre en la granja j y F j =Costo fijo en la granja j.... La gerencia comprende que a muchos viajeros no les preocupa adornos superficiales como ventanas.. El ingreso total del año es una función lineal del número de días de renta de autos de la agencia. x3 ) = 400 x1 + 550 x2 + 450 x3 −525000 Granja Cosecha 1 2 3 Costo/acre Frijol de soya $ 900 Ingreso/acre $1300 1650 1200 Costo fijo $150000 175000 125000 Maíz Papa 1100 750 1. ¿Cuáles son? (Ejemplo 1: Suponga que el salario de un vendedor depende del número de unidades vendidas cada semana de cada uno de dos productos. x2 . Los cosos fijos anuales son de $25 millones: Microcomputadora . x3 ) = c1 x1 + F1 + c2 x2 + F2 + c3 x3 + F3 + 75000 = 900 x11100 x2 750 x3 + 525000 = 900 x1 + 150000 + 1100 x2 + 175000 + 750 x3 + 125000 + 75000 La utilidad total es una función lineal que se calcula como: P ( x1 . para los productos 1 y 2. Más específicamente suponga que la función del salario: y = f ( x1 .) 5. x2 ) y = 5 x1 + 3 x2 + 25 Donde: y = Salario semanal. el costo del material por unidad y el costo del trabajo por unidad. x1 = número de unidades vendidas del producto 1 y x2 = número de unidades vendidas del producto 2. x2 . El bono es de $2. sugiere un salario semanal base de $25 y comisiones por unidad vendida de $5 y $3 respectivamente. la función del salario se debe describir por medio de dos funciones lineales.. x2 . x2 . produce tres modelos distintos.Un fabricante de microcomputadoras. 185) que el vendedor recibe un bono cuando la venta combinada de los os productos es de más de 80 unidades.50 por unidad para cada unidad en exceso de las 80.1 2 3 SOLUCIÓN: Frijol de soya Maíz Papa $900 1100 750 $1300 1650 1200 $150 000 175 000 125 000 El ingreso total es: R ( x1 . x3 ) −C ( x1 .. . x3 ) = R ( x1 .Suponga en el ejemplo 1 (pág. La tabla siguiente resume los precios de venta al mayoreo. Esta función del salario. 3. x3 ) = r1 x1 + r2 x2 + r3 x3 =1300 x1 +1650 x2 +1200 x3 Los costos totales son la suma de las tres granjas más los costos fijos corporativos: C ( x1. x2 . Con este programa de incentivo..Escriba la forma general de una función lineal con cinco variables independientes. respectivamente. Ejemplo 6: (Depreciación en línea recta) Cuando las organizaciones compran equipo. El precio por galón que la gasolinera cobra es de $1.. de los dos tiepos de gasolina. El propietario de la agencia estima que los costos variables de la operación de los autos. vehículos.289 por la Premium.. Se usan por 3 años. de los tres modelos.Una agencia de renta d automóviles compra autos nuevos cada año para usarlos en la agencia. Si x1 equivale al número de galones vendidos de gasolina regular y x2 el número de galones vendidos de gasolina Premium: a) Formule la función del ingreso de la venta de x1 y x2 galones.precio de venta al mayoreo/unidad costo del material/unidad costo el trabajo/unidad modelo 1 $500 175 100 modelo 2 $1000 400 150 modelo 3 $1500 750 225 a) Determine la función del ingreso total conjunto de las ventas de los tres modelos diferentes de microcomputadoras. c) Formule la función de utilidad. 40 000 y 10 000 unidades.219 por la regular sin plomo y de $1. son de . Se rentan los autos a una tarifa sencilla de $.18 por kilómetro. c) Determine la función de la utilidad de la venta de los tres modelos. los contadores podrían asignar $4000 por año como un costo de posesión de camión. d) ¿Cuál es la ganancia si se renta un automóvil por 60 000 kilometros en un periodo de tres años? e) ¿Qué kilometraje se requiere para tener una utilidad de cero en 3 años? 9.. b) Formule la función de costo total asociada con la renta de un auto por un total de “x” kilómetros en tres años.Una gasolinera vende gasolina regular sin plomo y Premium sin plomo. b) Determine la función del costo total anual de la fabricación de los tres modelos. Para un camión que cuesta $20000 y que tiene una vida útil de 5 años. b) Formule la función del costo total de la compra de x1 y x2 galones. construcciones y otros tipos de "activos de capital". d) ¿A cuánto se espera que ascienda la utilidad total si la gasolinera vende 100 000 galones de gasolina regular sin plomo y 40 000 de gasolina Premium sin plomo. los contadores por lo regular asignan el costo del artículo al periodo en que se usa el artículo.33 por kilómetro (sin incluir la gasolina). til costo asignado a cualquier periodo dado recibe el nombre de depreciación. de los dos tipos. Los autos nuevos cuestan $15 000. . respectivamente. aparte de la gasolina. El costo por galón del proveedor es de $1. después de los cuales se venden en $4500. respectivamente.379 por la Premium sin plomo. c) Formule la función de la utilidad total.Renta de Automóviles.2999 en el caso de la regular sin plomo y de $1. 7. d) ¿Cuál es la utilidad anual si la empresa vende 20 000. a) Formule la función del ingreso total asociada con la renta de uno de los autos por un total de “x” kilómetros en un periodo de tres años. hay situaciones en que la relación de la demanda es una función lineal o se puede aproximar razonablemente bien p<n medio de una función lineal. . que la función de la demanda de la figura tiene la forma q = f ( p ) = 47500. uno de los más sencillos es la depreciación en línea recta. /iíi de compra para el camión antes mencionado. usando los métodos del capítulo 2. el valor del camión puede aparecer en cualquier estado contable como $20000 en el momento de la compra. Es probable . Por supuesto. la relación entre estas dos variables (cantidad demandada y precio por unidad) es inversa'. los incrementos en el precio del producto normalmente dan como resultado un decremento en la demanda. Aunque la mayor parte de los libros de economía miden el precio en e) eje vertical y la cantidad demandada en el eje horizontal. sobre el eje vertical. como se ilustra en la figura 5. hay excepciones para este comportamiento. No se ve la segunda pag del ejercicio 9 . Este ejemplo demuestra el equilibrio de mercado para dos productos competidores. El propósito de las ventas especiales casi siempre es estimular la demanda. Verifique. A pesar de que la mayoría de las funciones de la demanda no son lineales. con todos los demás factores como los niveles de ingreso manteniéndose constantes. es decir. La figura 5. Por lo regular.4000í Ejemplo 7 (Funciones lineales de la demanda) Como se estudió en el ejemplo 13 del capítulo 4. Suponga que se estimaron las funciones de la demanda y la oferta siguientes para dos productos competidores. V = f(t) = costo de compra — depreciación = 20000 . En este método la tasa de depreciación es consuuite.Los contadores también llevan registros de cada activo mayor y su valor actual de alguna forma o como antes lo hacían en "libros". se traza la cantidad demandada. invertiremos la clasificación de los ejes.: * en la actualidad es capaz de comprarlo quedaría fuera del mercado. También se puede considerar la depreciación como la cantidad que disminuyó el valor en libros de un activo. demanda de productos o servicios que se consideran como necesidades fluctúe menos con cambios moderados en e! precio. un decremento en el precio da como resultado un incremento en la demanda. El motivo de esto es que la mayoría de los consumidores ven la relación de la demanda con la forma Cantidad demandada = /'(precio por unidad) Es decir. servicios médicos y ciertos artículos alimenticios son ejemplos de esta clase de productos. Los artículos como medicamentos prescritos. Por tanto. Por otro lado. Aunque hay una variedad de métodos de depreciación.75 por libra.7500p Ejercicio 9 (Equilibrio de mercado: dos productos competidores) Dadas las funciones de la oferta y la demanda de un producto. se tiene equilibrio de mercado si hay un precio en el que la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida. Por ejemplo. mucha gente . La frase subir los precios para que la gente no compre se refiere a la pérdida de clientes como consecuencia de los aumentos del precio. los consumidores responden al precio. tal vez habría un aumento considerable en la demanda de ese artículo.$4000 = $16000 un año después de la fecha de compra y así sucesivamente. Usto implico que el por en libros disminuye como una función lineal con el paso del tiempo. la variable dependiente.3. una función la demanda es una relación matemática que expresa la manera en que varía la cantidad demandada de un artículo con el precio que se cobra por el mismo. Si los supermercados bajaran el precio de! filete mignon a $0.3 ilustra una función lineal de la demanda con dos puntos de datos muestra. Si V es igual al valor cu ¡¡ s (en dólares) de un activo y t equivale al tiempo (en años) medido a punir de la . Si de pronto el precio del filete mignon fuera el triple.< •. $20000 . 2 Tasas de impuestos federales de 1990 (matrimonio que declara en forma conjunta) Ingreso gravable Mayor que $ 0 32450 78400 162770 Pero no mayor que $ 32450 78400 162770 Tasa tributaria 15 28 33 280 Ejemplo 11(Impuestos del seguro social) La figura 5. Falta el 11 5. los impuestos federales sobre la renta para un matrimonio que declara en forma conjunta fueron (repitiendo la tabla del Escenario de motivación) los que se proporcionan en la tabla 5. Escenario de motivación) En 1990. $352000 millones. La cantidad cobrada por año parecía aumentar. dado su ingreso gravable. En 1980. aproximadamente. desarrolle una función lineal que estime los impuestos del seguro social cobrados como una función del tiempo desde 1980.2. Lo que se desea es una función matemática que permita a la pareja calcular su pasivo tributario. con una tasa lineal. Usando estos dos puntos de datos.7 es una gráfica de los impuestos del seguro social recaudados en los años 1980-1989. los impuestos del seguro social cobrados fueron $150000 millones y en 1989. .Ejemplo 10 (Impuestos federales sobre la renta. 15* $25000 50000 75000 100000 125000 150000 175000 200000 .0.$60000 50000 - 40000 - 30000 - 20000 10000 . a) Determine la función de la oferta q = flp). c) ¿En qué porcentaje de casos se paga la pensión alimenticia después de 5 años? d) Trace f(t) 13. Suponga que un ajuste lineal para estos dos puntos de datos ofrece una aproximación razonable para la función p — fia).50. Si se supone que V es el valor en libros de la máquina y t la antigüedad de la máquina. El costo de compra este año es de $25000. 62500). a) Interprete la intersección de p. Suponga que no hay valor de recuperación. dos estadísticas indicaron que las mujeres sin casarse nunca a los 45 tienen un 18 por ciento de probabilidad de casarse y las mujeres mayores de 25 años tenían una probabilidad de 78 por ciento. 11. Pensión alimenticia Encuestas recientes indican que el pago de pensiones alimenticias tiende a declinar con el tiempo transcurrido después del decreto de divorcio. después de los cuales se espera que tengan un valor de reventa de $5 600.2 EJERCICIOS DE SEGUIMIENTO Pag 200 Ejercicios impares). Se compra una maquinaria en $80000. Los contadores decidieron usar un método de depreciación en línea recta con la máquina depreciada en su totalidad después de 8 años. b) Interprete la pendiente. 7. Una encuesta usa la función para estimar p = f(t) = 90 . determine la función V — f(t). b) Interprete la pendiente y la intersección de p. Los contadores decidieron utilizar un método de depreciación en línea recta con la máquina depreciada en su totalidad después de 6 años. determine la función V = f(t). donde p es la probabilidad de matrimonio y a la edad de las mujeres nunca casadas. Dos puntos en una función lineal de la oferta son ($4. menor es la posibilidad del matrimonio. c) ¿Los valores de la parte b) parecen razonables? .5t Donde p representa el porcentaje de casos en que se hacen los pagos y t es el tiempo medido en años después del decreto de divorcio. 55 000). (Suponga que no hay valor de recuperación. Específicamente. b) Determine qué precio daña como resultado una demanda de 50000 unidades. Si los contadores usan la depreciación en línea recta.) 2. 1. 9. Prospectos de matrimonio Datos publicados por el Census Bureau en 1986 indicaron la probabilidad de que con el paso del tiempo se casen las mujeres que nunca se han casado. e) Gratifique flp). 28 000) y ($6.12. a) Determine la función lineal p = /(a). Se compra una maquinaria en $300000. Una compañía compra autos para el uso de sus ejecutivos. b) ¿Qué precio daría como resultado que los proveedores ofrezcan 45 000 unidades? c) Determine e interprete la intersección de p. Dos puntos de una función lineal de la demanda son ($20. determine la función que describe el valor de libros V como una función de la antigüedad del automóvil t.00. Suponiendo que V es el valor en libros de la máquina y t la antigüedad de la máquina. 5. Los datos indicaron que mientras mayor sea la mujer. a) Determine la función de la demanda q = flp). SECCION 5. c) Interprete la pendiente de la función. Se conservan los autos 3 años.. 80000) y ($30. d) Defina el dominio restringido y el rango de la función. b) Interprete la pendiente y la intersección de E. El incremento en el índice de vacantes parece aproximadamente lineal. Usando estos dos puntos de datos: a) Determine la función lineal V = f(t). el índice era 13. ¿cuáles serán los gastos esperados por estudiante en el año 2000? $4 500 -i 3000 - 1500 1955 17.2 por ciento. b) Interprete la pendiente y la intersección de V. En 1958. donde V equivale al índice estimado de vacantes (en porcentaje) y t es igual al tiempo medido en años desde 1985. 15. f(3Q) . Gastos de educación La figura 5. c) Usando esta función. c) De acuerdo con esta función. determine f(2Q).f(40) y f(50). El aumento en los gastos por estudiante parece ocurrir aproximadamente con un índice lineal. Los gastos se expresan en "dólares constantes". en 1989.d) Si el dominio restringido de la función es 20 < a < 50.11 refleja una tendencia general a la baja económica en la ciudad de Nueva York. los cuales representan un filtro de salida de los efectos de la inflación.4 por ciento. los gastos por estudiante fueron $1 750. estime el índice de vacantes en 1995.9 ilustra los datos por estudiante en escuelas públicas de Estados Unidos en un periodo de tres décadas. Depresión económica La figura 5. en 1984. El índice de vacantes en 1986 era 9. . los gastos fueron $3 812. donde E es igual a ios gastos esperados por estudiante en dólares y t el tiempo medido en años desde 1955 (t = O corresponde a 1955).50. Utilizando estos dos puntos de datos: a) Determine la función lineal de aproximación E = f(t). Esta figura presenta el índice de vacantes en oficinas de Manhattan durante el periodo de 1985 a 1990. 19. es útil para evaluar las ventajas y desventajas de iniciar un nuevo proyecto empresarial. qd1=82-3p1+p2 qs1=15p1-5 qd2=92+2p1-4p2 qs2=32p2-6 5. Este nivel de operaciones o producción se denomina punto de equilibrio. ¡qué utilidad se gana! El análisis del punto de equilibrio se enfoca en la rentabilidad de una empresa. Cualquier cambio de este nivel operativo dará como resultado ya sea una ganancia o una pérdida.3 Modelos basados en el punto de equilibrio En esta sección estudiaremos los modelos basados en el punto de equilibrio. El uso de una función lineal del costo implica que los . El punto de equilibrio es un punto de referencia útil en el sentido de que representa el nivel de operación en que el ingreso total equivale al costo total. En cada caso. Suposiciones En este estudio nos enfocaremos en situaciones en que tanto la función del costo total como la función del ingreso total son lineales. En el análisis del punto de equilibrio. un conjunto de herramientas de planeación que pueden ser y han sido muy útiles en la administración de organizaciones. el análisis permite proyectar la rentabilidad. una preocupación importante es el nivel de operación o el nivel de producción que daría como resultado una utilidad cero. es decir. De modo similar. El análisis del punto de equilibrio es particularmente valioso como una herramienta de planeación cuando las empresas contemplan expansiones como la oferta de nuevos productos o servicios. Un indicador importante del desempeño de una compañía se refleja por medio de la llamada línea inferior del estado de ingresos de la empresa. Equilibrio de mercado Dadas las siguientes funciones de la demanda y la oferta para dos productos competidores. Otra suposición es que el precio por unidad es mayor que el costo variable por unidad. 2) total de ventas en dólares. Por ejemplo. establecer P(x) igual a cero y despejar XBE El ejemplo siguiente ilustra ambos planteamientos. y hay maneras alternativas de determinar el punto de equilibrio. Los métodos para efectuar el análisis del punto de equilibrio más bien son sencillos y directos. La función lineal del costo supone que los costos variables totales dependen del nivel de operación o producción. se puede indicar que una empresa tendrá un punto de equilibrio en 100000 unidades de producción. Es posible expresar el punto de equilibrio en términos de 1) volumen de la producción (o nivel de actividad). cuando el total de ventas es de $2. Si el precio por unidad es menor que el costo variable por unidad. el nivel de producción. Cuando el precio de venta no es constante. Formule el costo total como una función de x. en ocasiones se selecciona el precio promedio para los fines de la conducción del análisis. Determine las utilidades esperadas con este nivel de producción. Han desarrollado un diseño y estiman que los costos variables por unidad. 3. Ejemplo 12 Un grupo de ingenieros se interesa en formar una compañía para producir detectores de humo. o quizás 3) porcentaje de capacidad de producción. Análisis del punto de equilibrio En el análisis del punto de equilibrio el principal objetivo es determinar el punto de equilibrio. b) Datos mercadotécnicos preliminares indican que la empresa puede esperar vender aproximadamente 30000 detectores durante la vida del proyecto si los detectores se venden en $30 por unidad. xpunto de equilibrio) Una alternativa para el paso 3 es elaborar la función de la utilidad P(x) = R(x) — C(x).5 millones o cuando la empresa opera a 60 por ciento de su capacidad. Nos enfocaremos sobre todo en la primera de estas tres maneras. Piénselo un momento. La función lineal del ingreso total supone que el precio de venta por unidad es constante.costos variables por unidad son constantes o bien se puede suponer que son constantes. incluyendo materiales. Nunca podría haber una condición de punto de equilibrio. 2. El planteamiento común es el siguiente: 1. . También se supone que la porción del costo fijo de la función del costo es constante en el nivel de operación o producción que se considera. El valor resultante de x es el nivel del punto de equilibrio de la producción y se podría expresar como xBE (xbreak-even. Los costos fijos asociados con la formación. trabajo y costos de comercialización son de $22. Puesto que hay condiciones de equilibrio cuando el ingreso total equivale al costo totaly establezca C(x) igual a R(x) y despeje x.50. una empresa perderá dinero en cada unidad producida y vendida. Formule el ingreso total como una función de x. a) Determine el número de detectores de humo que se deben vender para que la empresa tenga el punto de equilibrio en el proyecto. Estiman que el precio de venta será de $30 por detector. operación y administración de la compañía y la compra de equipo y maquinaria ascienden a un total de $250 000. La figura 5. Se consideran dos opciones: 1) el grupo de práctica puede comprar su propia computadora y software y hacer la facturación por sí mismo o 2) el grupo puede contratar una oficina de servicio de cómputo que hará la facturación a los pacientes. la figura 5. El punto en que se intersecan las dos funciones representa el único nivel de salida en que el ingreso total y el costo total son iguales. El hotel cobra $20000 a la organización por el uso de las instalaciones como salas de juntas. Éste es el punto de equilibrio. todos los alimentos y propinas. protagonizada por Warren Beatty y Madonna. hay personal de oficina que hace a mano toda la facturación a los pacientes. A esto se suma el costo variable total. Se estimaba que la película tendría que tener una cantidad bruta de $100 millones en taquilla para "tener el punto de equilibrio".12b) la función del costo total y la figura 5. R(x) es mayor que C(x) o R(x) > C(x).12c) una gráfica compuesta que muestra ambas funciones para el ejemplo 12. alimentos y propinas.12c) se granean las dos funciones en el mismo conjunto de ejes. A la derecha de x = 33 333. Dado el alto volumen de facturación. ¿Qué porcentaje de las entradas brutas esperaba ganar Disney con esta película? Ejemplo 16 (Decisión de computadora propia contra oficina de servicio) Un grupo numeroso de practicantes médicos tiene 30 médicos de tiempo completo. Los costos de cada alternativa son una función del número de facturas a clientes. Para niveles de producción mayores que x = 33 333. Se estimaba que a Walt Disney Company le costaría $45 millones producir y comercializar la película.Ejemplo 13 (Planteamiento gráfico) La esencia del análisis del punto de equilibrio se ilustra con gran eficacia por medio del análisis gráfico. Para todos los puntos a la izquierda del punto de equilibrio. La organización profesional se apropia de $125 de la tarifa de $500 como cuotas anuales para depositarse en la tesorería de la oficina nacional. la distancia vertical que separa R(x) y C(x) representa la utilidad en un nivel de producción determinado. salón de baile e instalaciones recreativas. La oferta inferior presentada por una oficina de servicio daría como resultado una tarifa anual sencilla de .12a) ilustra la función del ingreso total. la gerente de la empresa cree que es hora de pasar de la facturación a clientes a mano a la facturación com-putarizada. Ejemplo 15 (La película "Dick Tracy") En el verano de 1990 se estrenó la película "Dick Tracy". Se están haciendo arreglos con un hotel grande en que tendrá lugar la convención. que se representa por medio de la distancia vertical en x dentro del área más clara. el hotel cobra $295 por persona por habitación. La suma de estas dos distancias verticales representa el costo total C(x). Ejemplo 14 (Planeación de convención) Una organización profesional planea su convención anual para celebrarse en San Francisco. Determine el número de participantes necesarios para que la organización recupere el costo fijo de $20000. Se cobrará a los participantes en la convención de 3 días una tarifa sencilla de $500 por persona. En cualquier nivel de producción x. la distancia vertical que separa las dos funciones representa la pérdida que ocurriría en un nivel de producción dado. En la figura 5. Actualmente. habitación. En esta región. la función del costo C tiene un mayor valor que la función del ingreso R. Además. la distancia vertical dentro del área sombreada indica el costo fijo de $250 000. la cual incluye tarifa de registro. 95 por factura procesada. El otro equipo acordó jugar el partido por una tarifa garantizada de $100000 más 25 por ciento de las localidades. b) ¿Cuántos boletos se deben vender si los funcionarios de la universidad desean una utilidad neta de $240000 del partido? c) Si se asegura un éxito de taquilla de 50000 aficionados.$3 000 más $0. a) Determine el número de boletos que se deben vender para recuperar la garantía de $100000.25x Ejercicio 18 (Análisis de múltiples productos) Nuestro análisis en esta sección se ha limitado a situaciones con un solo producto/servicio. o bien M(x) = 1. una empresa que tiene tres productos podría producir 3 unidades del producto A y 2 unidades del producto B por cada unidad del producto C. ¿qué precio permitiría a la universidad obtener una utilidad de $240000? d) Si se supone de nuevo un éxito de taquilla. En situaciones con múltiples productos. ¿cuál sería la utilidad total si se cobra el precio de $12? . Si es posible definir una mezcla de productos. Una organización de caridad planea una rifa para recaudar $10000. 2 unidades de B y 1 unidad del producto C. Ejemplo 17 (Revisión de la facturación a pacientes: tres alternativas) Suponga que en el ejemplo anterior la gerente de la empresa no está convencida de que el procesamiento por computadora sea un medio de facturación a clientes con costo más efectivo. ¿Cuánto debería costar cada boleto si la organización desea una utilidad neta de $10000? 5.65 por factura. 1. Con la ayuda de un consultor de cómputo. la gerente de la empresa ha estimado que el grupo puede arrendar un pequeño sistema de cómputo empresarial y el software requerido con un costo de $15000 por año. podemos efectuar un análisis del equilibrio usando esto como la medida de producción. La mezcla de productos expresa la razón de niveles de producción para diferentes productos. El auto le costará a la organización $15 000. Los costos variables por unidad son $33 y los costos fijos equivalen a $450000. Suponga que el precio por boleto es de $12. Sección 5. ¿Cuántas unidades se deben vender para tener el punto de equilibrio? 3. Se estima que los costos variables de llevar la facturación de esta manera son de $0. Por ejemplo. Se venderán 500 boletos para la rifa de un auto nuevo. En esta situación podríamos decir que 1 unidad de la mezcla del producto consiste en 3 unidades del producto A. Estima que procesar manualmente las facturas cuesta al grupo de práctica $1.25 por factura. es posible efectuar el análisis del equilibrio cuando se conoce una mezcla de productos. Un equipo de fútbol americano de una universidad local ha agregado un nivel nacional al programa del año entrante. Una empresa vende un producto en $45 por unidad.3 Ejercicios impares de seguimiento Pag 216. 50 por línea de código.25 por línea de código. Costo de compra Costo variable/unidad Máquina 1 $ 80000 Máquina 2 120000 $10. Determine los rangos de producción en los que cada máquina sería la alternativa menos costosa.25 por unidad. b) ¿Cuántos boletos se deben vender si la arena cívica tiene el objetivo de una compensación de $15 000 cada noche? 9. los costos generales anuales de emplear a los programadores son $30000. 3 unidades de Astervoids y 4 unidades de PacPerson. Icey Blades.7. Se consideran cuatro máquinas. Un equipo automatizado cuesta $200000 y fabrica artículos con un costo de $4 por unidad. en promedio.50 por boleto. La arena cívica planea cobrar un precio por todos los asientos. Una arena cívica local negocia un contrato con una gira de un espectáculo de patinaje sobre hielo.00 . El software desarrollado fuera de la empresa cuesta. Los costos de ambas opciones son una función del número de líneas de código (declaraciones del programa). El vicepresidente estima que el desarrollo interno cuesta $1. a) ¿Cuántas unidades de mezcla de productos se deben vender para tener el punto de equilibrio? b) ¿Cómo se traduce esto en ventas de los juegos individuales? 15. a) Determine el número de boletos que se deben vender cada noche para lograr el punto de equilibrio. La tabla siguiente resume los datos de precios y costos. a) ¿Qué volumen de producción hace que los dos equipos cuesten lo mismo? b) Si se deben producir 80000 unidades. ¿cuál es el equipo menos costoso? ¿Cuál es el costo mínimo? 11. Un estudio de investigación de mercados pronostica que por cada unidad vendida de Black Hole. Desarrollo de software de computadoras Una empresa utiliza una computadora para una variedad de propósitos. Uno de los mayores costos asociados con la computadora es el desarrollo de software (escritura de programas de cómputo). Videojuegos Un fabricante líder de videojuegos está por lanzar cuatro juegos nuevos. $12. Trace las cuatro funciones del costo. El vicepresidente de sistemas de información quiere evaluar si es menos costoso tener su propio personal de programación o que una empresa de desarrollo de software haga los programas.00 9. ¿cuáles son los costos de las dos opciones? c) En la parte b) ¿cuál sería el costo por línea de código de desarrollo interno para que las dos opciones cuesten lo mismo? 13. Icey Blades cobra una tarifa sencilla de $60000 por noche más 40 por ciento de las localidades. Una compañía considera la compra de un equipo que se utilizará en la fabricación de un producto nuevo. Además. a) ¿Cuántas líneas de código por año hacen que los costos de las dos opciones sean iguales? b) Si se estiman las necesidades de programación en 30000 líneas por año. Los costos fijos combinados son $500000. se venderán 1. Otro equipo semiautomalizado cuesta $125 000 y fabrica artículos con un costo de $5. $2. La tabla siguiente resume el costo de compra de cada máquina y el costo variable de producción asociado si se usa la máquina para fabricar el producto nuevo.5 unidades de Haley's Comet. Selección de equipo Una empresa tiene para escoger dos alternativas de equipo para fabricar un producto. -En el cálculo a menudo se desea conocer el valor límite de una función a medida que la variable independiente se aproxima a un número real específico. lim c = c x →a 2) Si f(x) = x n . La notación: lim f ( x) = L x →a Sirve para expresar los valores límites de una función. La ecuación se lee “el límite de f(x).. entonces: 6) Si existen lim x →a x →a lim x→a f ( x) f ( x) lim g ( x) ≠ 0 = x→a siempre que lim x →a g ( x) lim g ( x) x→a 3. en relidad se esta preguntando si f(x) se acerca a un valor específico L a medida que el valor de “x” se aproxima más y más hacia “a”.50 5.Concepto. 1) Si f(x) = c. Este valor límite..Ejercicios: . entonces: 4) Si existen lim x →a x →a lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) x →a x →a x →a f ( x ) y lim g ( x) .Propiedades de los límites. entonces: lim x n = a n x→a 3) Si f(x) tiene un límite cuando lim c ⋅ f ( x) = c ⋅ lim f ( x) x→a x →a x → a y “c” es real. donde “n” es un entero positivo. Cuando se investiga un límite. 2. entonces: 5)Si existen lim x→a x →a lim[ f ( x) ⋅ g ( x)] = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) x →a x→a x →a f ( x ) y lim g ( x ) . a medida que “x” se aproxima al valor “a”.50 Limites (pag 700 Budnick) 1. recibe el nombre de límite. donde c es real.. es igual a “L”. cuando existe.Máquina 3 200000 Máquina 4 300000 7. entonces: f ( x ) y lim g ( x ) . una función se describe como continua si puede graficarse sin levantar la pluma o el lápiz del papel.7 no existe. que es la razón de cambio promedio.Comentarios acerca de la derivada. la derivada tampoco existe. . Así se dice que una función f es continua en x=a si: a) la función esta definida en x=a.(pag 732 Budnick) 1. y b) lim f ( x) = f (a ) x →a La derivada. a) La ecuación 15.7 ∆ x → 0 dx ∆x A condición de que tal límite exista.. d) Si el límite de la ecuación 15.. 2. la derivada de la función es: dy f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim Ecuación 15. La notación es y/∆ x ..Continuidad.7 es la expresión general para la derivada de la función f. b) La derivada representa la razón de cambio instantánea en la variable dependiente.1) lim100 x →3 2) lim 5 x 2 x →a 3) lim ( x 5 − 10) x →−1 4) lim x 2 − 5)( x + 1) x →4 [( )] 5) lim x →−5 x x + 10 2 6) lim x →3 x2 − 9 x −3 4.-Dada una función de la forma y = f(x). distinta de lo que representa ∆ c) La derivada e una expresión gneral para la pendiente de la gráfica de f para cualquier punto en el dominio. dado un cambio en la variable independiente.En un sentido informal. La notación dy/dx se utiliza para representar la razón de cambio instantánea en “y” con respecto de un cambio en “x”. donde “u” y “v” son diferenciables: f ´( x ) = u´(x ) ±v´( x ) Regla 5: Regla del producto. . entonces: n −1 f ´( x) = n ⋅ [u ( x) ] ⋅ u `( x ) Regla 8: Funciones exponenciales de base “e” . Si f(x) = eu ( x ) .3. donde “u” y “v” son diferenciables. y v(x) ≠ 0. Si f(x) = c ⋅ g ( x) .Reglas de la diferenciación. donde “u” y “v” son diferenciables. f ´( x ) = nx n −1 Regla 3: Constante que multiplica a una función. Si f(x) = u ( x ) ± v (u ) .. Si f(x) = [u ( x )]n . Regla 1: Función constante: Si una f(x) = c . Si f(x) = x n . donde “n” es un número real. entonces: f `( x ) = u `( x )eu ( x ) Regla 9: Funciones de logaritmos naturales. v( x) Regla 7: Potencia de una función. donde c es una constante cualquiera: f ´( x ) = 0 Regla 2 : Regla de la potencia. donde “c” es una constante y g es una función diferenciable: f ´(x) = c ⋅ g `( x) Regla 4: Suma o diferencia de funciones. donde “u” es una función diferenciable y “n” es un número real. donde “u” es una función diferenciable. entonces: f `( x ) = u `( x) ⋅ v( x ) + v`( x) ⋅ u ( x) Regla 6 del cociente: Si f(x) = entonces: v( x) ⋅ u `( x) − u ( x) ⋅ v`( x) f `( x ) = [ v ( x)] 2 u ( x) . Si f(x) = u ( x ) ⋅ v ( x) . Ejercicios Seccion 15.6 Ejercicios de seguimiento pag 748. entonces: f `( x ) = u `( x ) u ( x) 4. donde “u” es una función diferenciable.55 5) f ( x ) = x 3 − 4 x 7) f ( x) = 2 x 5 9) f ( x ) = 5 x 3 11) f ( x) = x5 13) f ( x) = x10 x6 −2x 3 x3 17) f ( x) = −100 2 5 19) f ( x) = 2 x 15) f ( x) = 21) f ( x) = −10 x4 1 x 23) f ( x) = x − 25) f ( x) = 3 2 x 27) f ( x) = ( x 3 − 2 x)( x 5 + 6 x 2 ) 29) f ( x) = ( x 3 − x + 3)( x 6 −10 x 4 ) 31) f ( x) = (6 x 2 − 2 x +1)( 33) f ( x) = x3 + 5) 4 x (1 − x 2 ) (10 − x) 35) f ( x) = 2 ( x + 2) 1 37) f ( x) = 5 ( 4 x − 3 x 2 +1) Sección 15.5 Ejercicios d seguimiento.Si f(x) = ln u(x). Pag 743.. 1) f ( x) =140 3) f ( x) = . . Determinar la derivada. 1) f ( x ) = (1 − 4 x 3 ) 5 3) f ( x ) = ( x 3 − 2 x + 5) 4 5) f ( x ) = 1 − 5 x 3 7) f ( x ) = 9) f ( x ) = e x 11) f ( x ) =10e x 2 1 x 2 −1 13) f ( x ) = (5e x ) 3 15) f ( x ) = 4 xe x 17) f ( x ) = e x 19) f ( x ) = 2 2 −2 x +5 ex x 21) f ( x ) = (e x ) 3 23) f ( x ) = ln(5 x ) 25) f ( x ) = ln( x 2 − 3) 27) f ( x ) = x 2 ln x 10 x 29) f ( x ) = ln x x −1 31) f ( x ) = ln 3 x 33) f ( x ) = ln x 2 ex . El porcentaje de la población que hará un donativo se estima por medio de la función: R = 1 − e −. 1. El crédito promedio concedido en cualquier mes es de $100 000.Para el producto de un monopolista la ecuación de demanda es: P = 42 − 4Q Y la función de costo promedio es: CP = 2 + a) b) 80 Q Encuentre el precio que maximice la utilidad. Los costos diarios de la campaña se estiman en $20 000.02 x Donde “R” es el porcentaje de la población y “x” indica el número de días de duración de la campaña. ¿Cuál será la utilidad máxima encontrada? 3.. De Veracruz. a) ¿Cuántos días deberá durar la campaña para maximizar los ingresos netos? b) ¿Qué ingresos netos se espera recabar? c) ¿Qué porcentaje de la población se espera que haga un donativo? A 5. a) Determinar cuantos meses se deben mantener los esfuerzos de cobranza para maximizar la cobranza neta.APLICACIONES DE LA DERIVADA.95(1 − e −... Basandose en los resultados de la encuesta los analistas . ¿Cuál sería el Ingreso Total máximo? 6. que tiene una población de 300 000 habitantes.... Los datos revelan que el porcentaje de cobranza de los créditos concedidos en un mes cualquiera esta representado por la función exponencial: P = .7T ) Donde “P” es el porcentaje de cuentas por cobrar en “T” meses después de conceder el crédito.Una Institución de caridad esta planeando una campaña de recaudación de fondos en la Cd. La Institución Financiera estima que por cada $100 000 de nuevos créditos otorgados en un mes se necesita actividades de cobranza con valor de $1000 mensuales.Para un monopolista el costo por unidad de producir un artículo es de $3 y la ecuación de demanda es: P= a) b) 10 Q ¿Cuál será el precio que da por resultado la utilidad máxima? ¿Cuál será la utilidad máxima obtenida? 2.Las autoridades de tránsito han encuestado a los ciudadanos a fin de determinar el número de personas que utilizarían el sistema de autobuses si la tarifa admitiera diferentes importes. La compañía ha descubierto que el Ingreso Total es una función del precio. Por experiencia se sabe que la aportación promedio en esta ciudad es de $4 por donante. Los ejecutivos desean saber cuanto tarda la cobranza de los créditos concedidos en un mes cualquiera. b) ¿Cuál será la cobranza neta máxima? c) ¿Cuál será el porcentaje de cobranza? 4.Una Institución financiera ofrece tarjetas de crédito a nivel internacional.La demanda del producto de una compañía varía según el precio que le fije al producto. en concreto: IT = −50 p 2 + 500 p a) b) Determine el precio que debería cobrarse para maximizar el ingreso total. 45 de disminución en la cuota.Una empresa produce y vende anualmente 12 000 unidades de un artículo. Específicamente la función que relaciona ambas variables es la siguiente: UT = −12. asignados a ese distrito. Se produce el mismo número de unidades en cada pedido.Un problema común en las organizaciones es determinar que cantidad de artículos deberán conservarse en almacén..El costo total de la producción de “Q” unidades de cierto producto se describe por medio de la función: CT = 100000 +1500Q + .La empresa de Revistas “W” tiene actualmente 200 000 suscriptores que pagan una cuota mensual de $250.. La función de su demanda ha sido estimada así: Q =100000 −200 p Los estudios de Ingeniería indican que el costo total de la producción de “Q” paneles esta representado por la función: CT =150000 +100Q +. Los minoristas de bicicletas motorizadas han analizado los datos referentes y determinaron una función de costo total: CT = 4860 +15Q + 750000 Q a) Determine el tamaño de pedido que minimice el costo total. El costo de producir cada unidad es de $22 y los costos de acarreo son 12% del valor del inventario promedio... La empresa desea determinar el número de unidades que deben fabricarse en cada pedido de producción para minimizar los costos totales anuales de inventario. ¿Cuál será el costo total a ese nivel de producción? ¿Cuál sería el costo promedio mínimo? 9. b) ¿Cuál será el valor del costo total de inventario a ese nivel? 12. 8.En un Distrito regional de ventas. la demanda anual de los paneles dependerá del precio al que se venden.. Según los estudios de mercadotecnia que se han realizado. a) Encontrar el tamaño óptimo de pedido. Una encuesta reveló que se tendrían 3000 suscriptores más por cada $. b) ¿Cuál se espera que sea el costo total mínimo. Los costos de operación por periodo de producción son de $45.003Q 2 a) b) Determine a que nivel de “Q” se tendrá una utilidad máxima ¿Cuál será la utilidad máxima esperada.2Q 2 a) b) c) Determine cuantas unidades deberían fabricarse para minimizar el costo promedio. a) b) Qué número de representantes produciría la utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima esperada? 10. a) ¿Para que cuota se obtendrá el ingreso total máximo? b) ¿Cuántos suscriptores se tendrían entonces? . ¿Cuál es el ingreso total máximo esperado? ¿Cuántos pasajeros se esperan por día? 7.. la compañía ha averiguado que la utilidad anual es una función del número de representantes de ventas. a) b) c) Determine la tarifa que se cobraría para maximizar el Ingreso Total.Un fabricante ha ideado un nuevo diseño para los paneles solares de colección.5Q 2 +1375Q −1500 Donde “Q” es el número de representantes de ventas asignados a cierto lugar. La función de demanda es: Q =10000 −125 p Donde “Q” representa el número de pasajeros por día y “p” la tarifa en pesos. 11.de sistemas han determinado una función aproximada de la demanda la cual expresa el número diario de pasajeros en función de la tarifa. doblando luego hacia arriba los lados.5T ) Si a la empresa le cuesta cobrar aproximadamente $2000 por mes: a) Determine el valor de “T” para maximizar la cobranza neta..El costo mensual fijo de operar una planta manufacturera que fabrica muebles de $8000 y existe un costo variable de $110 por cada unidad producida. El se imagina que puede remar a 6 millas por hora y correr a 10 millas por hora.El costo total de producir y comerciar “Q” unidades de cierta mercancía esta dada por: CT = a) b) 80000Q − 400Q 2 + Q 3 40000 Determine el nivel de “Q” para que el costo promedio sea mínimo. b) ¿Cuál será la cobranza neta máxima? c) ¿Cuál será el porcentaje de los créditos que no logra cobrar la empresa? 14.90(1 −e −.. El costo de la cerca paralela al río es de $15 por metro y el área de la cerca para los dos lados restantes.. y ve salir humo de su casa que esta a 6 millas playa arriba de “B”. ¿Cuál será el costo promedio mínimo? 15.Una empresa dispone de $9000 para cercar una porción rectangular del terreno adyacente a un río. y a éste lo utiliza como el lado de área cercada.. es de $9 por metro.Una caja sin tapa va a fabricarse cortando cuadrados iguales de cada esquina de una lámina cuadrada de 12 cm de lado.13..Antonio se encuentra a 2 millas de “B” el punto más cercano de una playa rectilínea. 16. Encuentre la longitud del lado del cuadrado que debe recortarse para que el volumen de la caja sea máximo y ¿Cuál será el volumen máximo? 18. ¿Cómo puede proceder para llegar a su casa en el mínimo de tiempo? 2 . Escriba la función de costo total. ¿Qué dimensiones debe tener el volante para que gaste menos papel 4 2 50 4 19. Encuentre las dimensiones del área máxima cercada. 17.Una institución financiera ofrece créditos por $200 000 mensuales y el porcentaje de cobranza esta dado por la siguiente función: P =..Un volante debe contener 50 pulgadas cuadradas de material impreso con 4 pulgadas de margen arriba y abajo y 2 pulgadas de margen a los lados.. El costo de la cerca paralela al río es de $20 por metro y el lado de la cerca para los dos lados restantes es de $15 por metro. doblando luego hacia arriba los lados. El se imagina que puede nadar a 7 millas y correr a 11 millas por hora. 22. $5000 100 000 metros cuadrados ..Un volante debe contener 55 pulgadas cuadradas de material impreso con 9 pulgadas de margen arriba y abajo y 7 pulgadas de margen a los lados.El hermano de Antonio se encuentra nadando a 3 millas de “B” el punto más cercano de una playa rectilínea y ve salir humo de su casa que esta a 7 millas playa arriba de “B”. 21.Un gran empresa le interesa comprar terrenos de primera calidad y provistos de paseos de entablado. Encuentre las dimensiones del área máxima cercada.. Encuentre la longitud del lado del cuadrado que debe recortarse para que el volumen de la caja sea máximo y cual será el volumen máximo. Que dimensiones debe tener el volante para que gaste menos papel... La empresa desea determinar las dimensiones del lote que minimice el costo total de la compra.. 31.Una caja sin tapa va a fabricarse cortando cuadrados iguales de cada esquina de una lámina cuadrada de 15 cm de largo. ¿Cómo puede proceder para llegar a su casa en el mínimo tiempo? 23.C X B A 20. la única restricción es que tenga una superficie de 100 000 metros cuadrados. El dueño de la propiedad ha fijado los lotes al precio de $5000 por metro de frente a lo largo del paseo entablado y de $2000 por metro de profundidad a partir del paseo.Una empresa dispone de $1200 para cercar una porción rectangular del terreno adyacente a un río y a éste lo utiliza como un lado del área cercada.