Cinemá)ca de la Par0cula Movimiento Curvilíneo 1. Posición, velocidad y aceleración 2. Derivada de funciones vectoriales 3. Componentes rectangulares de la velocidad y la aceleración 4. Movimiento rela)vo a un sistema de referencia en translación • Considere una par0cula que ocupa una posición P definida ! ! por el vector r en un )empo t y P’ definida por r ʹ′en un )empo t + Δt. .Cinemá)ca de la Par0cula • Cuando una par0cula se mueve en una curva diferente a una línea recta describe un movimiento curvilíneo. • El vector de posición de una par0cula en un )empo t. ! ! Δr dr ! v = lim = dt Δ t → 0 Δt = Velocidad instantánea (vector) Δs ds = dt Δ t → 0 Δt v = lim = Rapidez instantánea (escalar) Cinemá)ca de la Par0cula ! • Considere v la velocidad de la par0cula para un )empo ! t y v ʹ′ la velocidad para un )empo t + Δt. mientras que el vector aceleración no lo es. ! ! Δv dv ! a = lim = dt Δt →0 Δt = Aceleración instantánea (vector) • En general. el vector velocidad es tangente a la trayectoria de la par0cula. está definido por un vector entre el origen de un sistema de referencia fijo y la posición ocupada por la par0cula. ! ! ! ! dx ! dy ! dz ! v = i + j + k = x"i + y" j + z"k dt dt dt ! ! ! = vx i + v y j + vz k • Vector aceleración.Cinemá)ca de la Par0cula ! ! ! ! ! dP ΔP P(u + Δu ) − P(u ) = lim = lim du Δu →0 Δu Δu →0 Δu • Sea P (u ) una función vectorial de una variable escalar u. ! ! ! ! d 2 x! d 2 y ! d 2 z ! a = 2 i + 2 j + 2 k = "x"i + "y" j + "z"k dt dt dt ! ! ! = ax i + a y j + az k . r r r r d P ⋅Q dP r r dQ = ⋅Q + P ⋅ du du du r r r r d P×Q dP r r dQ = ×Q + P× du du du ( ) ( ) Cinemá)ca de la Par0cula • Cuando el vector de posición de una par)cula P está definido por sus componentes rectangulares ! ! ! ! r = xi + y j + zk • Vector velocidad. • Derivada de una suma. ! ! ! ! d (P + Q ) dP dQ = + du du du • Derivada de un producto de una función escalar f y vectorial P ! ! d ( f P ) df ! dP = P+ f du du du • Derivada de un producto escalar y producto vectorial. e. vx = ( vx )0 . observada por una persona en la )erra. a y = & y&= − g . Cinemá)ca de la Par0cula Considere: Oxyz: Tierra Ax’y’z’: Vehículo espacial B: una mosca Es la velocidad de la mosca rela)va al punto A. v y = ( v y ) − gt . ax = & x&= 0. y = y0 + ( vt )0 t − gt 2 . z = 0 2 • El movimiento en la dirección horizontal es uniforme • El movimiento en la dirección ver)cal es uniformemente acelerado. vz = 0 0 1 x = x0 + ( vx )0 t . movimiento de proyec)les. • El movimiento de un proyec)l puede remplazarse por dos movimientos rec)líneos independientes.Cinemá)ca de la Par0cula • Las componentes rectangulares son par)cularmente efec)vas cuando las componentes de la aceleración pueden integrarse de manera independiente. p. La misma velocidad de la mosca observada por una persona en el vehículo ? Importa la velocidad rotacional del vehículo? Oxy r d rB/ A = dt Ax ' y ' r d r B / A ur r + ω × rB/ A dt Qué sucede si el vehículo no rota? . az = & z&= 0 • Integrando dos veces. determine: a) El rango de valores de v0 b) Los valores de α correspondientes a h = 788 mm y h = 1068 mm. Cinemá)ca de la Par0cula Una maquina lanzadora dispara pelotas de beisbol a una velocidad horizontal v0. observado en el sistema de referencia fijo Oxyz o el sistema Ax’y’z’ el cual está vinculado a A y en movimiento translacional rela)vo al marco de referencia fijo.Cinemá)ca de la Par0cula • Sean los vectores de posición de las par)culas A y B. r r r r A . la posición de B rela)va a 0 viene dada por: ! ! ! rB = rA + rB A • Derivando. ! ! ! vB = v A + vB A ! ! ! a B = a A + aB A El movimiento absoluto de B se puede obtener combinando el movimiento de A y el movimiento de B rela)vo a A. r B . y r B A el vector posición de B rela)va a A. . Si la altura h varía entre 788 y 1068 mm. 788 m) Para h = 1068 mm (1.068 m) Cinemá)ca de la Par0cula a) Del movimiento horizontal De la figura tenemos que xB = 12 m. por lo tanto: b) .Cinemá)ca de la Par0cula a) Del movimiento ver)cal Para h = 788 mm (0. Determine: a) la velocidad rela)va de B respecto a A. La velocidad rela)va de C con respecto a A es VC/A = 470 km/h a 255º y la velocidad rela)va de C con respecto a B es VC/B = 520 km/h a 320 º. . b) la velocidad de A si el radar ubicado en la )erra indica que el huracán se mueve con una rapidez de 48 km/h rumbo al norte. c) el cambio de la posición de C respecto a B durante un intervalo de 15 min.Cinemá)ca de la Par0cula a) Para h = 788 mm (0.788 m) Para h = 1068 mm (1.068 m) Cinemá)ca de la Par0cula Los aviones A y B vuelan a la misma altura y rastrean el ojo del huracán C. Cinemá)ca de la Par0cula Igualando Vc. A par)r de la ley de los cosenos Cinemá)ca de la Par0cula a) A par)r de la ley de los senos b) . Cinemá)ca de la Par0cula a) A par)r de la ley de los cosenos. A par)r de la ley de lo senos. Cinemá)ca de la Par0cula b) c) . Cinemá)ca de la Par0cula Unas ruedas pequeñas están unidas a los extremos de la barra AB y giran a lo largo de dos superficies. b) 0. determine. a) la velocidad rela)va de vB/A b) la velocidad vB de la rueda B. Si en el instante mostrado la velocidad vA de la rueda A es de 4. Cinemá)ca de la Par0cula La velocidad inicia v de un disco de hockey sobre hielo es de 170 km/h. R./ a) 14.5 h/s a la derecha. 0 Determine: a) el valor más alto (menor a 45º) del ángulo α para el cual el disco entra en la portería b) el )empo correspondiente requerido para que el disco llegue a la portería. y la velocidad rela)va vB/A de la rueda B respecto a la rueda A es perpendicular a la barra AB.1052 s .9º. 6º . respecto al aire. la dirección del vuelo es de 30º al noreste con una velocidad del aire de 480 km/h. el radar del barco B señala que la velocidad rela)va del avión respecto a la embarcación es 416 km/h hacia el noreste a 33º. Si el barco se dirige hacia el sur a 20 km/h.6º b) 74.Cinemá)ca de la Par0cula En el avión A los instrumentos indican que.7 km/h a 206. determine: a) la velocidad del avión. b) la velocidad y la dirección del viento. R./ a) 405 km/h a 30. Al mismo )empo.