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Teoría de ConjuntosConjuntos numéricos N = {0, 1, 2, 3, . . . } : Conjunto de los números naturales. Teoría de Conjuntos Mariam Cobalea Universidad de Málaga Dpto. de Matemática Aplicada Z = {.., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ..} : Conjunto de los números enteros. Z+ = {1, 2, 3, . . . } : Conjunto de los números enteros positivos. Q : Conjunto de los números racionales. R : Conjunto de los números reales. Algunos símbolos 8 ^ !, ) Para todo y (conjunción) implica 9 _ $, , Matemática Discreta, Curso 12/13 Curso 12/13 Existe o (disyunción) si y sólo si Teoría de Conjuntos 3 / 40 Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta, Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 1 / 40 Mariam Cobalea (UMA) Teoría de Conjuntos Introducción Teoría de Conjuntos Especificación de conjuntos Dado un objeto x y un conjunto S, puede ocurrir que: ‚ La noción de “conjunto” es uno de los conceptos básicos de Matemáticas. ‚ La Teoría de Conjuntos se define mediante un Sistema Axiomático. ‚ Se entiende por conjunto: cualquier colección de objetos que se puede tratar como una entidad. elemento: cada uno de esos objetos. Los objetos de un conjunto pueden ser físicos (un conjunto de estudiantes o un conjunto de ciudades), o bien abstractos (un conjunto de números o de ideas ) 1 x sea un elemento de S, entonces se escribe: x 2 S y se lee: x pertenece a S x no sea un elemento de S, entonces se escribe: x 2 S / y se lee: x no pertenece a S 2 Ejemplo 1 3 2 Z, pero 3 62 N 5 5 2 Q, pero 62 Z 7 7 p p 2 2 R, pero 2 62 Q p 1 2 C, pero p 1 62 R Matemática Discreta, Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 4 / 40 Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta, Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 2 / 40 Mariam Cobalea (UMA) Ejemplo 3 El conjunto de los enteros múltiplos de tres se denota { · · · . 3 Esta especificación se hace mediante un predicado p 3 La notación es S = { x 2 X | p(x) } que significa con una variable libre. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 5 / 40 Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. 13. 5. que es el conjunto {3. ‚ Un conjunto se caracteriza por sus elementos. 7. 19. 21. 23} Implícitamente Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. 23} ó bien Enteros primos desde 3 hasta 23. 13. 7. 11. 6. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 6 / 40 Implícitamente 3 En otros casos no podemos (o no nos interesa) dar la lista. 9. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 8 / 40 . Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 7 / 40 Teoría de Conjuntos Especificación de conjuntos Teoría de Conjuntos Especificación de conjuntos Explícitamente 3 En algunos casos se puede dar una lista de sus elementos. 23} se puede interpretar como 1 Enteros impares desde 3 hasta 23. 17. necesitamos otra forma de describir estos conjuntos. 3. un conjunto se puede especificar estableciendo qué objetos están en él. 5. S es el conjunto de todos los elementos x del conjunto X que verifican el predicado p Ejemplo 4 El conjunto S de las soluciones de la ecuación x 2 5x + 6 = 0 se puede representar { x 2 R | x 2 5x + 6 = 0 } Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. 3 La notación que se usa es la siguiente: los elementos se separan por comas y la lista se delimita por llaves.Teoría de Conjuntos Especificación de conjuntos Teoría de Conjuntos Especificación de conjuntos * ¡OJO!: Hay que tener cuidado de que no exista ambigüedad. 19. 3. Ejemplo 2 El conjunto cuyos elementos son 0 y 1 se designa {0. · · · . 0. · · · } Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. que es el conjunto {3. 15. si escribimos {3. 5. ‚ Esto se puede hacer de varias maneras: Explícitamente 2 Por ejemplo. ‚ Por lo tanto. 11. 6. 17. Por eso. 7. 1} 3 Cuando el número de elementos sea suficientemente grande se pueden usar puntos suspensivos. A=B () def. A veces se emplean puntos para indicar los elementos del conjunto. es habitual trabajar en un conjunto fijo. 3} „ En muchas aplicaciones. que introdujo esta representación. Dentro del rectángulo se utilizan círculos u otras figuras geométricas para representar conjuntos. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 9 / 40 Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. un conjunto que contiene todos los objetos que estamos considerando. 8x ( x 2 A () x 2 B ) Cada elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B y cada elemento del conjunto B es un elemento del conjunto A. „ Así pues. Definición 1 Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 12 / 40 . Ejemplo 5 3 2 S = { x 2 R | x2 Ejercicio Sea A = {x 2 Z |3x = 6} ¿Es A = 2 ? 5x + 6 = 0 }.Teoría de Conjuntos Especificación de conjuntos Teoría de Conjuntos Diagramas de Venn S ={x 2X | p(x) } Los conjuntos se pueden representar gráficamente mediante diagramas de Venn. basta con estudiar si el predicado p se verifica para dicho elemento. y Conjunto universal U Teoría de Conjuntos Igualdad e Inclusión de conjuntos Ejemplo 6 El conjunto de enteros comprendidos entre 0 y 1 se puede representar: { x 2 Z | 0 < x < 1} „ Como sabemos. U A Para determinar si un elemento c de X está en el conjunto S. nos encontramos con un conjunto sin elementos. „ A este conjunto se le conoce como conjunto vacío y se denota . „ Este conjunto se llama Universo o Conjunto universal y se denota U .. Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. En lo diagramas de Venn. no existen enteros comprendidos entre 0 y 1. ya que 32 5·3+6=0 Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 11 / 40 Teoría de Conjuntos Conjunto vacío . Ejemplo 7 Son iguales los conjuntos A = { x 2 R | x2 5x + 6 = 0 } y B = {2. el conjunto universal U se representa por un rectángulo. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 10 / 40 Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. llamados así por el matemático John Venn. a. B ” B. E = {1. 5. a. 4. 7. 9} entre: B C vi ) D ii ) iv ) A ✓ B y se lee: “el conjunto A está contenido en el conjunto se dice que A es un subconjunto de ✓ ó 6✓ Si Y si en el conjunto B podemos hallar elementos que no están en A. A ⇢ B. 5 }. 3}. 9}. 3 Así. 3 Como además todo elemento de B está en C . decimos que A es un subconjunto propio de B. C = {2. 5}. luego 5 2 B 7 2 B pero 7 2 A / Por lo tanto. A✓B Se denota () def. {a. B = {x 2 N | x es un primo menor que 9 }. 3. Curso 12/13 Veamos que 1x <1} Teoría de Conjuntos 13 / 40 3 C ✓ B. B=C * Por otra parte. 5. C = {1. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 16 / 40 . B B v) C i) y C y E y E y D y D y E Teorema 1 El conjunto vacío está contenido en todos los conjuntos. c} = {b. c} * Además. a} = {a. Ejemplo 8 {x 2 Z | x 2 + x = 0 } = {x 2 Z | Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. b. Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. A ⇢ B () A ✓ B ^ A 6= B Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. Se denota A ⇢ B. 3. se dice que A está contenido si todo elemento de A es también un elemento de B. 3. b} del mismo conjunto. 5. b} = {a. 2. b. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 15 / 40 Teoría de Conjuntos Igualdad e Inclusión de conjuntos Teoría de Conjuntos Igualdad e Inclusión de conjuntos Definición 2 Dados los conjuntos A y B. Ejercicio en B Sean los conjuntos: B = {1. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 14 / 40 A ✓ B. el mismo conjunto se puede especificar implícitamente con distintos predicados. se tiene que B ✓ C . ya que todo elemento de C es un elemento de B. Inserta el símbolo correcto iii ) 8x(x 2 A ! x 2 B) D = {1. a. b. 7 } Veamos que A es un subconjunto propio de B 3 3 3 3 3 2 A y 3 es un primo menor que 9. Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. son especificaciones diferentes Ejemplo 9 Sean los conjuntos: A = {3.Teoría de Conjuntos Igualdad e Inclusión de conjuntos Teoría de Conjuntos Igualdad e Inclusión de conjuntos * Un conjunto se especifica explícitamente con una lista y el orden en la lista no importa {a. B = C . luego 3 2 B 5 2 A y 5 es un primo menor que 9. {a. 010.} iii ) vi ) ix ) {a. Se denota A \ B. Y el conjunto P(S) queda representado por n o 000. 111 17 / 40 Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. . 5. 2. 110. 5. n o P(S) = X | X ✓ S Ejemplo 10 P(S). b. Así. cada subconjunto X ✓ S se puede representar mediante una cadena binaria de longitud 8 de la siguiente manera: n <1. 2}. c} se puede representar por la cadena binaria 101. 7} A \ B = {3} A \ B = {x 2 U | x 2 A ^ x 2 B} n o Para el conjunto S = {1.. 2} Ejemplo 11 Dado un alfabeto ⌃. 001. b}} {. {a. c} del conjunto S = {a. es el Definición 4 La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A ó bien a B. si s 2 X j X := c1 c2 .. A [ B = {1. {2}. B = {3. b} ✓ {a. . {1. denotado conjunto de todos sus posibles subconjuntos. sn }. Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. se dice que los conjuntos A y B son disjuntos.} 2 {. el conjunto de todas las posibles cadenas binarias de longitud n representará al conjunto P(S). cn . 100. s2 . A [ B = {x 2 U | x 2 A _ x 2 B} La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que pertenecen a ambos. Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. 101.} representa un conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 18 / 40 Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. 4. 3. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 19 / 40 * {. donde cada cj = :0. 2. un lenguaje es cualquier subconjunto de ⌃⇤ . 011. Se denota A [ B. Ejemplo 12 El subconjunto X = {a. tenemos que P(S) = ?. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos Teoría de Conjuntos Conjunto de las partes de un conjunto Teoría de Conjuntos Operaciones entre conjuntos Definición 3 El conjunto de las partes de un conjunto S. . b}} {a. Ejemplo 13 A = {1.} 3 Si S es un conjunto formado por n elementos y se especifica con una lista ordenada {s1 .Teoría de Conjuntos Igualdad e Inclusión de conjuntos Teoría de Conjuntos Conjunto de las partes de un conjunto: Representación en ordenador * ¡OJO!: NO hay que confundir la pertenencia 2 de un elemento en un conjunto con la inclusión ✓ entre conjuntos. b} 2 {a. Ejercicio Establece si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: i) iv ) vii ) a 2 {a} a ✓ {a} . ✓ {.} ii ) v) viii ) {a} 2 {a} {a} ✓ {a} .. Si A \ B = ?. 2 {. 3. 7}. {1}. el conjunto P(⌃⇤ ) es el conjunto de todos los posibles lenguajes que se pueden definir con símbolos del alfabeto ⌃. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 20 / 40 . en caso contrario 3 De esta forma. 4}. T : conjunto de múltiplos de tres. A [ B = B [ A. Dominancia: ?[A = A[U = A\U ?\A = 8. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 24 / 40 . Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 22 / 40 Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. Se verifican las siguientes propiedades: 5. A [ (A \ B) = A. Asociativa: A [ (B [ C ) = (A [ B) [ C . Cotas: A✓B () A[B A U = = = B () = A\B A ? = A 6. D : conjunto de múltiplos de dos. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 23 / 40 Teoría de Conjuntos Operaciones entre conjuntos Teoría de Conjuntos Propiedades de la unión y la intersección de conjuntos Ejercicio En el conjunto N de los números naturales se consideran los subconjuntos siguientes: P : conjunto de números naturales primos. A [ A = A. Curso 12/13 A\B =? Teoría de Conjuntos 21 / 40 Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta.Teoría de Conjuntos Operaciones entre conjuntos Teoría de Conjuntos Propiedades de la unión y la intersección de conjuntos U A A[B U B A A\B Teorema 2 Sean los conjuntos A. C ✓ U. Conmutativa: 2. C ✓ U. Distributiva: A [ (B \ C ) A \ (B [ C ) (A [ B) \ (A [ C ) (A \ B) [ (A \ C ) Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. Idempotencia: Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. B. Determina: a) P \ I e) D \ S b) P [ I f) D [S c) P \ D g) T \ S d) D \ T h) I \ S Teorema 3 Sean los conjuntos A. Absorción: 4. I : conjunto de números impares y S : conjunto de múltiplos de seis. A\B =B \A A \ (B \ C ) = (A \ B) \ C A \ (A [ B) = A A\A=A U A B 3. B. Identidad: 7. Se verifican las siguientes propiedades: B 1. también se llama complemento relativo de 4 Para A ✓ U. 4}.. 4.. 2. {4} es una partición del conjunto S = {1.. {2. b. 5} Ejemplo 15 Una partición del conjunto N es {x 2 N | x es par }. tales que son disjuntos dos a dos y su unión es S. 8i. U = {1. 5. halla el conjunto de todas las particiones de . 9} Matemática Discreta. 4}. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 25 / 40 Teoría de Conjuntos Partición de un conjunto Teoría de Conjuntos Definición 5 Una partición de un conjunto S es una familia = S1 . Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 27 / 40 Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. 4. 8. Ejemplo 16 A = {1. Sk de subconjuntos de S. 6. c}. [ Sk = S Ejemplo 14 La familia S i \ Sj = ? U A B ⇡ A B U A A B ⇡ = {1.Teoría de Conjuntos Propiedades de la unión y la intersección de conjuntos Teoría de Conjuntos Operaciones entre conjuntos * La propiedad asociativa de la unión y de la intersección permite prescindir de los paréntesis cuando aplicamos uno de estos operadores a más de dos conjuntos A [ B [ C = (A [ B) [ C = A [ (B [ C ) A \ B \ C = (A \ B) \ C = A \ (B \ C ) * Sin embargo. 7. 6. 3. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 26 / 40 Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. 2. 5. el complemento relativo de A en U recibe el nombre de complementario de A y se denota A. 2. . 7}... cuando intervienen ambos operadores no se puede prescindir de los paréntesis (A \ B) [ C 6= A \ (B [ C ) (A [ B) \ C 6= A [ (B \ C ) Definición 6 La diferencia de dos conjuntos que no están en B A 4 A B A y B es el conjunto de elementos de A B = {x 2 U | x 2 A ^ x 2 B} / B en A. 3. 2. 5}. 7. {x 2 N | x es impar } Ejercicio Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. 9} A = {5. j S1 [ S2 [ . 3. A B = {1. 3}. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 28 / 40 Dado el conjunto S = {a. Mariam Cobalea (UMA) B = {3. 8. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 32 / 40 . Si x 62 B. Se verifican las siguientes propiedades: 1. C ✓ U. (A) = A A [ A = U. C ✓ U . x 2 A y x 2 B. Asociativa: 3. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 31 / 40 Teoría de Conjuntos Propiedades de la unión. DeMorgan: 11. es decir. Absorción: 4. Involución: A [ (B [ C ) = (A [ B) [ C . U. B. Complemento: 10. Entonces. Identidad: 7. por la definición de diferencia: x 2 A y x 62 B. Cotas: 6.Teoría de Conjuntos Operaciones entre conjuntos. A✓B A [ A = A. A [ B = B () ?✓A✓U A\B =A A [ (B \ C ) = (A [ B) \ (A [ C ). entonces A Demostración: (✓) Supongamos que x 2 A B. (A) = A A\A=? (A \ B) = A [ B 2. Dominancia: 8. Involución: A [ A = U. I : conjunto de números impares y S : conjunto de múltiplos de seis. D : conjunto de múltiplos de dos. Se verifican las siguientes propiedades: 9. Describe el complementario de: a) Determina: d ) T S e) P P I b) I f) D \I c) D Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. Complemento: 10. A [ (A \ B) = A. intersección y complementación de conjuntos Teoría de Conjuntos Propiedades de la unión. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 29 / 40 Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. A \ (B [ C ) = (A \ B) [ (A \ C ) (A \ B) = A [ B A\A=? ?\A=? A\U =A Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. A \ (B \ C ) = (A \ B) \ C A \ (A [ B) = A A\A=A A\B =B \A ? [ A = A. Ejemplo de demostración Teoría de Conjuntos Operaciones entre conjuntos Proposición 4 Si A y B son conjuntos en un universo U . B. DeMorgan: 11. Distributiva: 9. Conmutativa: Teorema 5 Sean los conjuntos A. Idempotencia: Extremos: 5. A [ U = U. (A [ B) = A \ B. ?. intersección y complemento de conjuntos Sean A. por la definición del complementario x 2 B (◆) Análoga (ejercicio) Por lo tanto. (A [ B) = A \ B. T : conjunto de múltiplos de tres. () A [ B = B [ A. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 30 / 40 Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. x 2 A \ B B =A\B Ejercicio En el conjunto N de los números naturales se consideran los subconjuntos siguientes: P : conjunto de números naturales primos. 2. 7} A 4 B = {1. podremos aplicar las propiedades de distribución y de De Morgan generalizadas: ⇣[ i2 A\ Bi = I I ⌘ i2 [ \ I I (A \ Bi ). 1} y sea el conjunto de índices Definición 7 La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A ó a B. B. Bi A[ ⇣\ i2 Bi = I I ⌘ i2 \ I I (A [ Bi ) Bi i2 [ Bi = i2 i2 \ Bi = i2 [ C) Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. intersección y complementación de conjuntos. Ai i2 Teoría de Conjuntos ¿Cómo demostrar propiedades de las operaciones de conjuntos? Ejercicio Sean A. Curso 12/13 Demuestra que A 4 B = (A [ B) Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. Se denota A 4 B. A2 = {0. C ✓ U. Demuestra que: A \ (B C ) = (A \ B) (A \ C ) I i2 I Solución: Podemos demostrar esta igualdad usando las propiedades de la unión. 2. 1. 1. A3 = { 1. 4}. 2 diferencia de conj. [ (A \ B) \ C ⇣ ⌘ = (A \ B) \ C ⇣ ⌘ = A \ (B \ C ) = A \ (B 33 / 40 Mariam Cobalea (UMA) * Sobre estas notaciones extendidas. 3}. otra posible notación para la unión e intersección de familias de conjuntos será [ \ Ai . 7} (A \ B) Tomando Z como conjunto universal. 0. 3. A 4 B = {x 2 U | x 2 A ^ x 62 B _ x 2 B ^ x 62 A } = (A U \ A Ai Ejemplo 17 A = {1.Teoría de Conjuntos * Para poder trabajar con mayor flexibilidad con los subíndices. Determina los siguientes conjuntos: [ (a) Ai i2 B A4B (b) I i2 I B = {3. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos Matemática Discreta.) (De Morgan) (Distributiva) (Complemento) (Identidad) (Asociativa) = (A \ B) \ (A [ C ) ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ = (A \ B) \ A [ (A \ B) \ C ⇣ ⌘ = . 2}. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 36 / 40 . Ejercicio Teoría de Conjuntos 34 / 40 B) [ (B A) I = {1. 5. 1. 2. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 35 / 40 Teoría de Conjuntos Operaciones entre conjuntos Teoría de Conjuntos Operaciones entre conjuntos Ejercicio Sean los conjuntos A1 = { 2. pero no a ambos. 2}. 4. determina: [ \ (c) Ai (d) Ai i2 I i2 I Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. 0. 5. (A \ B) (A \ C ) = (A \ B) \ (A \ C ) (Def. Teoría de Conjuntos ¿Cómo refutar propiedades de las operaciones de conjuntos?: Contraejemplos Teoría de Conjuntos Demostrar o refutar propiedades de las operaciones de conjuntos Ejercicio Sean A. 3. por eso hay que refutarla. Prentice Hall) 2000 Problemas resueltos de Matemática Discreta S.R. G. Curso 12/13 Mariam Cobalea (UMA) . Addison Wesley) Estructuras de Matemáticas Discretas para la Computación B. 4}. 1}. 0. C ) = { 2. 1. 1}. B. García Merayo. Vicens Vives) Matemática Discreta F. 1 I I Solución: Esta igualdad no se verifica. Busby (Ed. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 40 / 40 Demuestra que son ciertas las siguientes igualdades: A \ (B A A (B \ C ) = (A (B [ C ) = (A C = (A C ) = (A \ B) B) [ (A B) \ (A (A \ C ) C) C) C) B y C subconjuntos de un universo U . B y C tales que A Si tomamos A = { 3. 1.L.C. 2} A4(B [ C ) = (A4B) [ (A4C ) A (B4C ) = (A B)4(A C) (A B)4(A C ) = { 3. 1} Teoría de Conjuntos 37 / 40 Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. Kolman y R. Rosen (Ed. 0. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos Demostrar o refutar propiedades de las operaciones de conjuntos Ejercicio Sean A. 3. Ross y C. C ✓ U. 2. Demuestra o refuta A (B4C ) = (A B)4(A C) Ejercicio Sean A. B = {0. Da un contraejemplo para demostrar que no se verifican las igualdades: I I I (A [ B) A (A A (B C ) [ (B B) C C ) = (A 3 Demuestra que son ciertas las siguientes equivalencias: I I (B \ C ) = (A B) [ B = A B) \ (A C) A [ B ✓ C () A ✓ C y B ✓ C C ✓ A \ B () C ✓ A y C ✓ B Matemática Discreta.B. 2. B) = { 3. Meavilla Seguí (Prensas Universitarias de Zaragoza) Matemática Discreta y sus aplicaciones K.A. 2}. García Merayo (Ed. 2. Thomson) Matemáticas Discreta y combinatoria R. Lipson (Ed. 1. Lipschutz y M. 4}. 3. A C = { 3. 1 I I I I 2 Teoría de Conjuntos Bibliografía Matemática Discreta N. Curso 12/13 Teoría de Conjuntos 39 / 40 Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. McGraw Hill) 201 Problemas resueltos de Matemática Discreta V. 2. Para ello. Hernández Peñalver y A. Wright (Ed. 1}. basta con dar un contraejemplo: conjuntos A. 2 Da un contraejemplo para demostrar que no se verifican las igualdades: I I (B4C ) = {0. tenemos que Sin embargo. (A (A (B4C ) 6= (A B)4(A C) Demuestra que son ciertas las siguientes igualdades: (A4B)4C = A4(B4C ) A \ (B 4 C ) = (A \ B) 4 (A \ C ) B y C subconjuntos de un universo U . Grimaldi (Ed. Paraninfo) Problemas resueltos de Matemática Discreta F.Biggs (Ed. 1. Prentice Hall) Teoría de Conjuntos 38 / 40 Mariam Cobalea (UMA) Matemática Discreta. McGraw Hill) Matemática Discreta K. 0. 1.P. (B4C ) = { 2. 1. Nevot Luna (Ed. Documents Similar To 12-13-ConjuntosSkip carouselcarousel previouscarousel nextMatematicas discretas2010-IBIT-06Funciones EspecialesFunciones 3°Teoría ConjuntosFunciones de una variable capitulo 2introducao_ao_calculo_-_gabari[1]Ufpr Mat Discclase2_220118_2013-01ubbTeoria de Conjuntos2ARIT-01CRMatemtica DiscretaInfografia.pdfPaneton Veri XdArboles N Ariosaaaaaaaaaaaaaaaaaa[1]Conjunto sTrigonometria Graciela Burgos NamucheAlgebra 09 Funcionesquicksort 1.pptxLic Sistemas DicTimeTable V-1.4 Win-2011(March 14, 2011)Mate Matic ASequencia Curricularmatematicasplanestudiosfacciencias13.pdfMate Matemáticas Discretasdiscretasrelacionesmatematica+2+basico+I+trim+2014RELACIONES_Y_FUNCIONES.pdfSecuencia_ !!!!!!! 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