118259332-topografia

GENERALIDADES 7RSRJUDItD La topografía es una ciencia aplicada que a partir de principios, métodos y con la ayuda de instrumentos permite UHSUHVHQWDU gráficamente las formas natural es y artificiales que se encuentran sobre una parte de la superficie terrestre, como también GHWHUPLQDU la posición relativa o absoluta de puntos sobre la Tierra. L os procedimientos destinados a lograr la representación gráfica se denominan OHYDQWD PLHQWR WRSRJUiILFR y al producto se le conoce como SODQR el cual contiene la pro yección de los puntos de terreno sobre un plano horizontal, ofreciendo una visión en planta del sitio levantado. El levantamiento consiste en la WRPD o captura de l os datos que conducirán a la elaboración de un plano Fig. 1 Así mismo, a e las obras civiles royecto en terreno. s que hacen posible partir de los diseños, contenidos en planos para la construcción d en general, se realiza la ORFDOL]DFLyQ o materialización del p La localización consiste en XELFDU en el sitio todos los punto la construcción de una obra de ingeniería Topografía para Ingenieros Civiles El topógrafo en la actualidad enfrenta el reto de realizar estudios topográficos y c omo parte de ellos los levantamientos topográficos para cumplir las expectativas d el mercado. La topografía es una profesión con un campo extenso. Hay muchos tipos di ferentes de agrimensores y / o topógrafos, cada uno que tiene sus propios métodos es pecíficos y aplicaciones. Es a menudo difícil para explicar qué es exactamente la topo grafía +LVWRULD GH OD 7RSRJUDItD En realidad se desconoce el origen de la topografía. L as pruebas fehacientes que ubiquen la realidad histórica de la topografía se han enc ontrado en forma aislada como lo muestra una tablilla de barro encontrada en Ur, en Mesopotamia, que data de tres siglos antes de nuestra era y los testimonios encontrados en otros territorios, en diversas partes del mundo, pero es de Egipt o donde se han obtenido mayores y mejores referencias, las escenas representadas en muros, tablillas y papiros, de los hombres realizando mediciones de terrenos . Los Egipcios conocían como ciencia pura lo que después los griegos bautizaron como JHRPHWUtD (medida de la tierra) y su aplicación en lo que pudiera considerarse co mo WRSRJUDItD o quizá mejor dicho etimológicamente, WRSRPHWULD. Herodoto dice que Se sostris (alrededor del año 1400 a. C) dividió las tierras de Egipto en predios para fines de aplicación de impuestos, pues era fundamental la medida de la extensión de dichas parcelas para determinar los tributos. Esto motivó la creación de funcionario s llamados DUSHGRQDSWHV (tendedores de cuerda) dedicados a la labor de medir. La s inundaciones del Nilo hicieron desaparecer porciones de estos lotes, por lo ta nto otra de sus funciones era la de reponer (replantear) estos limites. Posiblem ente a partir de que el hombre se hizo sedentario y comenzó a cultivar la tierra n ació la necesidad de hacer mediciones o, como señala el ingeniero francés P. Merlin, l a WRSRJUDItD QDFH DO PLVPR WLHPSR TXH OD SURSLHGDG SULYDGD Gonzalo Jiménez Cleves Capitulo 1: Generalidades Como primer instrumento hicieron uso del cordel, un antecedente de la regla, esc uadra y compás. El cordel lo usaban como compás fijando un extremo y desplazando el otro y como elemento para trazar líneas, anudado a distancias iguales se convertía e n regla graduada que viene a ser como el precursor de la cinta métrica. Les servia de escuadra al dividirlo en tres partes proporcionales 3,4,5 (denominado triángul o sagrado), conocían las propiedades de estos triángulos y trazaban así las perpendicu lares, lo que conduciría a la gran parcelación rectangular de la propiedad antigua. A partir de estos trabajos, los primeros filósofos griegos desarrollaron la cienci a de la geometría, que se aplico a la construcción de viviendas, tumbas, graneros, c anales, templos y a la astronomía. Su adelanto, no obstante, tuvo lugar principalm ente en los terrenos de la ciencia pura. Es Herón quien se destaca por haber efect uado la aplicación de la ciencia básica a la topografía, al encontrar la formula para la determinación del área de un triángulo en función de sus lados. $ = 1 / 2 3( 3 − D )( 3 − E)( 3 − F )‘ En la que 3 es el semiperimetro y es igual a DEF de los cuales se destaca el llamado La Dioptra. rectángulo y triángulo rectángulo. obra q ue fue de gran importancia entre los Griegos y Egipcios. El desarrollo práctico d e la topografía se le debe a los romanos pues aplicaban reglas para el cálculo exact o del área del cuadrado. irregular Universidad del Quindío . fue Herón autor de var ios tratados importantes.. Para determinar el área de una ciudad de forma deducían el radio a partir de la medi da de su perímetro. Siguiendo a los egipcios en la forma de obtener la superficie de los cuadriláteros no rectangulares como el pr oducto de las dos semi sumas de los lados opuestos.siendo D E y F los lados de un triángulo. Hacia el año 120 a C. pues en ella describe l os primeros instrumentos topográficos diferentes al cordel. pero no volvería a alcanzar el e splendor pasado. participaba de es a función que exige conocimientos de los que hoy llamamos técnicas y sociales. norte de África y aun en partes de Asia. los representantes de estos son Fr ontinus e Higinio quienes vivieron en el siglo primero. que estaba dedicado en su mayor parte a la topografía. la libella y el chorobates para la nivelación. Uno de los manuscritos en latín mas antiguo que hay en existencia es el Código Aceriano (Codex Acerianus). islas británicas. que a fectan tanto al derecho publico como privado. Fue ron los Árabes en la edad media. desarrollad a hasta el momento por los griegos y los romanos en los escritos de la llamada g eometría práctica. ellos proyectaban ciudad es. contiene una relación de la topografía tal como la practicaban los romanos e in cluye varias paginas del tratado de Frontinus. Estos romanos usaron instrumentos como el odómetro o rueda medidora. escrito aproximadamente durante el siglo IV. En el templo de Telo se pinto un m apa de Italia y bajo los magníficos pórticos de Roma otro mapa del mundo entero. además organizar on una asociación de topógrafos. la groma que se utilizo para visar puntos a 90 grados y prolonga r alineamientos.Topografía para Ingenieros Civiles El agrimensor romano (gromatice o compendatores) actuaba vinculado a la geometría y a la institución del derecho de la propiedad sobre los bienes. En este mismo siglo aparece también el escrito llama do el Arte de Medir Tierras escrito por Inocencio en los que se constataban las aportaciones romanas a la topografía En el siglo III las paredes de la escuela de Autun estaban tapizadas con cartas geográficas. el agrimensor mantendría cierta relevancia. El manuscrito lo encontró Gerbert e n el siglo X y le sirvió de base para su texto de geometría. Los p rácticos romanos produjeron muchos avances en la topografía al establecer una serie impresionante de proyectos de ingeniería en sus imperios. pioneros en el campo de la topografía y autores de unos tratados que fue la norma durante muchos años. campos militares y vías usando un sistema de coordenadas rectangulares. quienes mantuvieron viva la topografía. Después del imperio romano. Levant aron las rutas principales utilizadas para operaciones militares en el continent e europeo. Gonzalo Jiménez Cleves . Universidad del Quindío . también son dignos de mención el m apamundi de Leipzig y el mapa triangular de la biblioteca Catoniana. Con la aparición del telescopio a fines del siglo XVI y principios del XVII. la topografía y la geodesia tuvieron un gran avance. Snellius y Casinni po r el conocimiento y desarrollo de la topografía y el establecimiento de los fundam entos de la geodesia y la topografía moderna. Se destacan nombres como los de Picard. el baculo de cruz. 2 En el siglo XIII Von Piso escribió la Practica Geometría y Liber Quadratorum.Capitulo 1: Generalidades En Europa fueron mejorando los trabajos topográficos a partir del siglo XI en la a cademia imperial de San Petersburgo se conservaba un planisferio del canónigo Enri que de Maguncia dedicado a Enrique V de Alemania. En el siglo XV se atribuye al in fante don Enrique de Portugal la invención de las cartas planas base fundamental y origen de la actual planimetría. en los que contenía instrucciones sobre los métodos topográficos e instrumentos como el cuadrante. Fig. re alizándose trabajos muy importantes en lo relativo a la determinación de la forma y tamaño de la tierra. el astrolabio. y las naciones se comunica entre si los descubrimientos y las ultimas noticia s topográficas. Es de resaltar que unos de los acontecimientos mas importantes en la historia de la topografía en América. 3. Virginia en 1749 Fig. Teodolito de Ramsden Durante la guerras de la revolución francesa se levan taron con exactitud numerosos planos topográficos y cartas militares. fue la certificación como topógrafo de George W ashington otorgada por la facultad del College of William and Mary en Williamsbu rg. los diferent es estado de Europa entre los que sobresale Alemania e Inglaterra. y entonces empieza también a enrique cer la topografía la formación de planos detallados para el catastro y alinderamient os de las propiedades rústicas y urbanas. La triangulación geodésica se perfecciona co n cálculos exactísismos . las noticias estadísticas las altura bien determinadas sobre el nivel del mar reemplazan los adorno y figuras simbólicas de las antiguas carta s. quisieron pos eer buenos mapas y planos de sus territorios.Topografía para Ingenieros Civiles Fig.4 Fue también durante esta época cuando la topografía ocupa una posición destacada a l ser la base para la localización de servicios de Gonzalo Jiménez Cleves . se logran desarrollos tecnológicos con otros fines.Capitulo 1: Generalidades caminos. Construyo la primera retícula de cristal con líneas finas Universidad del Quindío . Construyo el micrómetro simpl e para el ocular El marques de Malasia en Bolonia inventa los retículos de hilos. Invento e l Vernier El astrónomo Ingles William Gascoigine establece el principio de la taqu imetría que significa "medición rápida" El Holandés Huygens. Giroscopos. nuevas cámaras aerofotogrametricas. acueductos y sobre todo en los linderos por el gran valor que obtuvieron las tierras El mejoramiento de los instrumentos y los métodos empleados para hacer mediciones y producir mapas. sensores remotos. Diseña y construye el telescopio Aaron Rathbone Elabora la cadena de agrimensor El Ingles Edmond Gunter diseño una caden a de 66 pies de largo que tenia 100 eslabones El Francés Pierre Vernier. canales. &URQRORJtD GH OD KLVWRULD GH OD 7RSRJUDItD )(&+$ 3000 a C 2500 a C 1400 a C 560 a C 150 a C 120 a C 1220 1300 1542 1571 157 6 1593 1607 1610 1620 1631 1639 1659 1662 1664 68&(62 Los Babilonios y egipcios usaban cuerdas o cadenas para medir Los Chinos elaboran la Brújula Se Inicia los t rabajos Topográficos en Egipto Anaximandro introdujo la Gnomon Ptolomeo describió el cuadrante Se Crea la Dioptra Leonardo de pisa describe el cuadrante Levi Ben Ge rson da a conocer el mecanismo para la medida indirecta (ángulo paralítico) El matemát ico Portugués Pedro Núñez dio a conocer un procedimiento para estimar una parte fracci onaria de un intervalo del limbo. entre los que cabe destacar instrumentos tales como : Equipos de medición electróni ca de distancias ( ondas de radio y de luz ). sistemas de posicionamiento global desde el doppler hasta el actual el sistema de posicionam iento por satélite (GPS). ferrocarriles. Se da a raíz de la primera y segunda guerras mundiales y durante los conflictos de Corea y Vietnam. El matemático y topógrafo Ingles Leonard Digges de scribe el " Teodolito" Josua Habernel Fabrica el Goniometro El matemático Clavius dio a conocer la teoría del nonio Lippershey. equipos con dispositiv os de rayo láser. La car rera espacial. la guerra fría y la guerra golfo. El Danés Drander. logrado estos ser la base de la tecnología de la topografía actual. por el Ruso Stodolkjewich El físico sueco Dr. establece el principio de es tadía. Denominado Datum Ordnan ce Enrique Wild Fabrica el circulo graduado sobre cristal Michelson determino qu e la velocidad de la luz era igual a 299796 km/s Se sugiere la medición de distanc ias. El Profesor Montanari de la Universidad de Bolo nia inventa el primer distanciometro de anteojo El topógrafo Holandés Cruquius. Aparecen teodolitos provistos de círculo vertical En Newlyn. Adams. Fabrica el pr imer telescopio topográfico Aparece la primera escuadra doble construida por Adams Dollond crea el primer objetivo. Construye el taquímetro El Ingles Willian Green. Inventa el Giroscopio Aparece el Theo 10 Carl Zeiss Se Crea el Titulo de I ngeniero Topógrafo Hammer fabrica el taquímetro autoreductor Ronagli y Urbani usaron la placa móvil de vidrio de doble de graduación Salmoiraghi construye el taquímetro c on un microscopio de estima. describió el método de estadía Ramsden produjo el teodolito telescópico de tres pie s. El astrónomo y topógrafo Norteamericano David Rittenhouse. Inventa la brújula con anteojo solar Aparece el DKM3 Kern Aparecen los niveles automáticos Es fabricado el nivel automático. inventa el nivel de aire. Erik Bergstrand. Cornwall determina el nivel del mar. Crea la regla de la brújula o Bowditch para la compe nsación de poligonales Adrien Bordaloue crea la mira parlante El Norteamericano Dr aper y Young trabajando independientemente desarrollan un instrumento llamado tr ansito El físico Austriaco Cristian Doppler formula el principio que lleva su nomb re.Topografía para Ingenieros Civiles 1666 1674 1729 1730 1732 1740 1757 1765 1771 1778 1785 1791 1799 1804 1810 1830 1830 1830 1842 1846 1850 1860 1862 1883 1890 1890 1892 1900 1915 1920 1926 1929 1936 1936 1939 1945 1946 1948 1948 1950 1950 grabadas en el y lo aplico en la medición de distancias El matemático y físico Francés T hévenot. Entra al mercado la plancheta El Escocés James W att. Inglaterra. por medio de la luz Los Rusos Fabrican el primer distanciometro electro óptic o Willian Burt. crea el Geodimetro (tipo electro óptico) La As ociación Internacional de Geodesia definió los errores accidentales y sistemáticos en nivelación Fabrican el transito T2 Wild Heerburg Elaboran el nivel Ni 02 Carl Zeis s Gonzalo Jiménez Cleves . construye la escuadra de espejos Francia implanta el sistema métrico dec imal Richenbach introdujo el teodolito repetidor Richenbach añadio los hilos estad imetricos Nathaniel Bowdicth. intr oduce las curvas de nivel El Ingles Hadley y el norteamericano Godfrey idearon e l sextante. “Doppler” Carl Zeiss. monta su taller Fundan el taller Fennel El físico francés Fouc ault. Fig. 5 1 Geoide 2 Elipsoide terrestre 3 Elipsoide de referencia Universidad del Quindío . Estu dios mas recientes han demostrado que en realidad la figura exacta de la tierra. predecesor del GPS. L. Wadley. /D WLHUUD HQ VX YHUGDGHUD IRUPD Como la tierra es una figura amorfa (geométricamente) el hombre la ha asemejado a diferentes figuras geométricas para su estudio. siendo esta forma la que en el espacio a gran distancia se observa. cuya la longitud del eje pol ar es ligeramente menor que la del eje ecuatorial (43 Km. En la antigüedad se creía que la tierra era una esfera.Capitulo 1: Generalidades 1950 1956 1957 1958 1960 1973 Fabrican El transito Theo 002 Carl Zeiss Askania fabrica el compensador para el limbo vertical En Sudáfrica el Dr. se ha establecido. se desarrolla el sistema Transit. T. desarrolla el prototipo del teluróm etro Cubic Corporation de San Diego. que la tierra tiene una forma aproximada a una esfera achatada o elipsoide. se asemeja a un elipsoide de revolución llamado JHRLGH (superficie compleja forma da por el nivel de los mares supuestos prolongados por debajo de los continentes ) A finales de la década de los 80 se ha postulado la teoría de que la tierra mas bi en se parece a un cardioide. entendiéndose como un cuerpo que posee mas masa hacia el norte que hacia el sur. pero con base en mediciones posteriores. aproximadamente). fabrica el "electrotape" La Conferencia Int ernacional de Pesas y Medidas establece el sistema internacional de unidades A p artir del Efecto Doppler. debido a que podía representarse fáci lmente. Si un plano horizontal cortara esta esfera en pasando por su c entro formaría un circulo máximo. 6 La geografía que precisa menos exactitud. Gonzalo Jiménez Cleves . sobre cuyas superficies dibuja con pocos detal les lo que necesita para sus descripciones. que es el denominado línea del ecuador. representa a la tierra con esfero ides.Topografía para Ingenieros Civiles Como la forma geométrica y dimensiones de la tierra esta representada por un elips oide al cual divide en paralelos y meridianos en zonas y fija exactamente valiéndo se de las latitudes y longitudes de los puntos del terreno que se proyectan sobr e la superficie del elipsoide. corresponder un punto S proyección sobre el elipsoide y número que representa la distancia 3S qu e se llama cota de 3 Fig. 7 Como el elpsoide es una figura compleja. como si sobre dichas superficies se hubieran proyectado los accidentes del suelo. reduciendo sus dimensiones. a la cual le a eliminado todos sus acci dentes geográficos. La distancia entre dos puntos de la esfera A y B (figura 7) es la longitud del segmento de a rco que pasa por los puntos y siempre será mayor que la cuerda interceptada por es te arco. Fig. el hombre para su estudio y mejo r comprensión a la asemejado a una esfera. A cada punto P del terreno figura 5. centro de la tierra. Fig. que se observa en blanco. 8 Si un plano pasa por los polos norte y sur de la tierra y cualquier otro punto de la superficie como A (figura 8). Si tenemos dos planos ver ticales que se intersectan en el eje terrestre y pasan por los puntos A y B (fig ura 8). y trazamos dos perpen diculares sobre los puntos a y b de la superficie terrestre. localizados en la superficie de la tierra. y que la sección entre los dos planos. arriba y abajo de este.Capitulo 1: Generalidades Fig. En el ecuador los dos meridianos son paralelos . se llama meridiano. estas convergerían en el punto O. 9 Si consideramos la tierra como una esfera figura 9. los meridianos convergen. lo que nos lleva a concluir que ningún par de mer idianos es paralelo excepto cuando pasan por el ecuador. Pero si tomamos la Universidad del Quindío . lo cual se incrementa a medi da que se aproximan a los polos. la línea definida por la intersección del plano con la superficie terrestre. Los ángulos formados por líneas rectas que se interceptan en la superficie terrestre. en las siguientes consideraciones : 1. puesto que sus diferent es actividades. por lo tanto. se desarrollan en áreas de extensión limitada (menores de 20 kilómetro s).Topografía para Ingenieros Civiles tierra en su verdadera forma (geoide) figura 10 estas mismas perpendiculares se intersertaria en punto O’ diferente de O. se consideran paralelas. desde el punto de vista de la topografía la superficie t errestre se toma como una superficie plana u horizontal. Fig. centro de la tierra. La superficie de nivel a partir de la cu al se miden las alturas. y se fundamentan. 2. 4. La líne a que une dos puntos de la superficie terrestre se considera recta. Las perpendiculares a la superficie terrestre en puntos diferentes. debido a la di stribución no uniforme de la superficie terrestre. se cons ideran ángulos planos. De acuerdo con lo anterior. se considera plana. Gonzalo Jiménez Cleves . Además debido a las pequeñas extens iones que la topografía mide estas verticales son consideradas también paralelas. 3. 10 Lo anterior nos lleva a concluir que todas las perpendiculares tomadas s obre la superficie terrestre pueden considerarse como verticales. Esta proyección utiliz a un cilindro tangente a al esfera terrestre a lo largo de un meridiano principa l. Este es el primer sistema utilizado para estimaciones básicas de la situación. Un sistema rect angular de coordenadas. determino que la proyección cartográfica es la confo rme de Gauss y el elipsoide es el internacional de Hayford. se puede superponer al sistema de coordenadas geográficas. minutos y segundos. no siendo los meridianos y paralelos rectos ni estando regul armente espaciados. Universidad del Quindío . que es mucho más simple de construir y utilizar. el in stituto geográfico Agustín Codazzi.Capitulo 1: Generalidades 6LVWHPDV &RRUGHQDGRV 6LVWHPD GH FRRUGHQDGDV JHRJUiILFDV El sistema de coordenadas geográficas se desarrolló a partir de conceptos originados por los filósofos griegos antes de la Era Cristiana . El sistema es fundamentalmente del tipo de c oordenadas esféricas. tal es como la navegación y la prospección. Fig. 1 Tomado y Adaptado de Fundamentos de Cartografía. Victoria Eugenia Abad Gaviria 199 5. Es útil para cartografiar grandes áreas y la medir distancias y direcciones en unidades angulares de grados. Colombia. 11 3UR\HFFLyQ SDUD &RORPELD En Colombia de de acuerdo a su posición geográfica. se adoptaron los siguien tes valores: \ C P [ C P Gonzalo Jiménez Cleves . Tanto en el sentid o longitudinal (\). como en el sentido latitudinal ([). 13 3XQWRV GH RULJHQ SDUD HO PDSD C Los orígenes de las coordenadas planas. 12 Fig. son 74¡ 04¢51”30 de oeste de Greenwich y el paralelo 4¡ 35¢56”57 de latitud norte y que corresponde a l as coordenadas geográficas del Observatorio Astronómico Nacional.Topografía para Ingenieros Civiles Fig. 000m) y disminuyen hacia el oeste para y. aumentan hacia el norte y disminuyen hacia el sur. hubo necesidad de establecer cuatro p untos de origen en sentido longitudinal. tienen un área de influencia amp litud de 3¡. 000 en 300. desde donde se partió para cubrir cartográf icamente todo el territorio nacional. representada en seis mapas: dos de 60 km y uno de 45 km. De la misma manera para los valores x.000). y obtener una cartografía mas precisa en la Carta Básica (escala 1:25. Universidad del Quindío .Capitulo 1: Generalidades Con el fin de evitar valores negativo en la localización de cualquier punto. Fig. las coordenadas planas aumentan de valor hacia el este (300. 14 Para corregir las anomalías y deformaciones que sufre los accidentes geográf icos al hacer la proyección de la superficie curva de la tierra sobre un plano.000) y en la Car ta General de Colombia (escala 1:100. Los orígenes. A par tir de este origen. De longitud a cada lado el centro de proyección. Topografía para Ingenieros Civiles Fig. 15 £LYLVLRQHV GH OD 7RSRJUDItD La topografía se dividen en: 3ODQLPHWUtD Parte de la topografía que se refiere a la posición de puntos y su proyección sobre un plano horizontal Gonzalo Jiménez Cleves . terrestre y marítima. La topografía es una de las artes más antiguas e importantes porque. Los resultados de los levantamientos p topo gráficos de nuestros días se emplean para (1) elaborar mapas de la superficie terres tre. y (6) preparar ma pas de la Luna y los planetas. gravedad y campo magnético de la Tierra. forma. para ayudar a ala mejor administración y aprovechamiento de nuestro ambiente físico.$OWLPHWUtD Capitulo 1: Generalidades Es la parte de la topografía que tiene por objeto el estudio de los métodos y proced imientos para representar el relieve del terreno /HYDQWDPLHQWRV Conjunto de operacion es requeridas para obtener la posición de puntos. arriba y abajo del nivel mar. (2) trazar cartas de navegación aérea. 2002 Universidad del Quindío . Es difícil imaginar un proyecto de ingeniería por sen cillo que esta sea. (5) evaluar d atos sobre tamaño. la topografía se ha vuelto indispensable. 16 Relación de la topografía con otras disciplinas2 2 Tomado de la Topografía plana. desde los tiempos mas rem otos ha sido necesario marcar limites y dividir terrenos. como se ha observado. en el que no se tenga que recurrir a la topografía en todas y cada una de sus fases. Leonardo Casanova Matera. (4) crear bancos de datos con información sobre recursos naturales y utilización de la tierra. (3) deslindar propiedades privadas y públicas. En la era moderna. Fig. represas y otros cuerpos de agua. así como las elevaciones usada en la elaboración de mapas. 17 /HYDQWDPLHQWRV GH GH UXWDV se efectúan para planear. diseñar y construir carr eteras. ferrocarriles. 3 Topografía Wolf. de la maner a más directa posible permitida por las consideraciones del terreno.       Fig. /HYDQWDPLHQWRV GH &DWDVWU DOHV GH WHUUHQR \ GH OLQGHURV normalmente se trata de levantamientos cerrados y e jecutados con el objetivo de fijar límites de propiedad y vértices. Estos normalme nte comienzan en un punto de control y pasan progresivamente a otro. Brinker. corrientes.Topografía para Ingenieros Civiles 7LSRV GH OHYDQWDPLHQWRV   /HYDQWDPLHQWRV GH FRQWURO red de señalamientos horizontales y verticales que sirven como marco de referencia para otros levantamientos /HYDQWDPLHQWRV GH WRSRJUiILF RV Determinan la ubicación de características o accidentes naturales y artificiales. océa nos. Alfaomega 1997 Gonzalo Jiménez Cleves . líneas de tuberías y otros proyectos lineales. /HYDQWDPLHQWRV K LGURJUiILFRV definen la línea de playa y las profundidades de lagos. Estos levantamientos son sumamente importantes cunado se construy en obras subterráneas de servicios. otras obras. /HYDQWDPLHQWRV ILQDOHV VH J~Q REUD FRQVWUXLGD documentan la ubicación final exacta y disposición de los trabajo s de ingeniería.Capitulo 1: Generalidades Fig. la pendiente. 18 /HYDQWDPLHQWRV GH FRQVWUXFFLyQ determinan la línea. También proporcionan daos elementales para e lementales para calcular los pagos a los contratistas.       /HYDQWDPLHQWRV . son levantamientos de mucha precisión con errores muy pequeños.QGXVWULDOHV son procedimientos para la ubicación de maquinarias ind ustriales. y registran todos los cambios de diseño que se hayan incorporado a la construcción. las posiciones horizontales. posteriormente. Universidad del Quindío . Limite de propiedades. las eleva ciones de control. cuyas localizaciones precisas se deben conocer para evitar daños inesperados al llevar a cabo. las dimensiones y las configurac iones para operaciones de construcción. /HYD QWDPLHQWRV GH 6RODUHV ubicación de edificaciones. la propagación de ondas sísmicas y la fuerza de la grave dad. los flujos de calor. fotogrametría terrestre y aérea. Gonzalo Jiménez Cleves .Topografía para Ingenieros Civiles Fig. 19 /HYDQWDPLHQWRV GH 7HUUHVWUHV DpUHRV \ SRU VDWpOLWH son los que integran m ediciones electrónicas. Los geofísicos examinan los fenómenos naturales y sus rela ciones en el interior terrestre. *HRItVLFD La geofísica es la ciencia que aplica los principios físicos al estudio de la Tierra. y los sistemas de posicionami ento Global. &LHQFLDV \ WpUPLQRV UHODFLRQDGDV FRQ OD 7RSRJUDItD $JULPHQVXUD Parte de la topografía que se ocupa de la determinación de las superficies agrarias (planimetría) y de los límite s de los terrenos. Entre ellos se encuentran el campo magnético terr estre. Previamente a la realización del mapa t opográfico de un país son necesarios los trabajos de geodesia. y las manifestaciones d e la radiación cósmica y del viento solar *HRGHVLD Ciencia que tiene por objeto el estudi o y la determinación de la forma. )RWRJUDPHWUtD Conjunt o de métodos y de operaciones que permiten la confección de mapas y planos. estudia también los fenómenos extraterrestr es que influyen sobre la Tierra. &DUWRJUDItD Ciencia que tiene por objeto la realización de mapas. a partir de fotografías estereoscópicas. incluyen do la determinación de la tercera dimensión. 20 Universidad del Quindío . tomada en un sentido amplio. Permite obtener datos para fijar con exactitud los puntos de control de la triangulación y la nivelación. Nota: Según se base en fotografías obte nidas desde un avión o desde tierra se denomina. respectivamente. Fig.Capitulo 1: Generalidades La geofísica. a veces de forma sutil. y comprende el conju nto de estudios y técnicas que intervienen en su establecimiento. Si nónimo complementario: restitución fotogramétrica. fotogrametría aérea o fotogrametría terrestre. dimensiones y campo de la gravedad de la Tierra y de los cuerpos celestes cercanos a ella. QIRUPDFLyQ *HRJUiILFR Es el conjunto formado por Hardware. direcc ión. recuperación y despliegue de información espacial que describe los rasgos físicos d e la Tierra y el ambiente construido. apoyándose e n medidas de energía electromagnética reflejadas o emitidas por la superficie terres tre.21 Gonzalo Jiménez Cleves . Fig. Cartografía. Geodesia. Sistemas del Posicionamiento Globales. Software y pr ocedimientos para capturar. Geomática incluye disciplinas como: Topografía . con el objetivo de resolver problemas de gestión y planificación. representación. analizar y representar datos geo rreferenciados. manipular. manejar. a través del análisis de los dat os adquiridos por un sensor o dispositivo situado a cierta distancia. Sistemas de Información Geog ráficos. *HRPiWL FD La ciencia de Geomática se preocupa por la medida. análisis. Sensores Remoto & fotogrametría. 7HOHGHWHFFLyQ Técnica mediante la cual se obtiene información sobre la superficie de la Tierra.Topografía para Ingenieros Civiles 6LVWHPDV GH . mapa o plano. (VFDOD IUDFFLRQDULD La primera llamada fraccionaria. Sin unidades llamadas también escala fraccionaria. expresada como una fórmula de la siguiente manera. La numérica a su vez puede ser de dos clases: . ejemplo: . se representa como su nombre lo indica por una fracción. . Dimensiones en la carta. Con unidades denominada esc ala verbal.ESCALAS (VFDODV Se denomina escala (E) a la relación constante que existe entre una longitu d medida en un plano (P) y la correspondiente longitud medida en el terreno (T) . cuyo numerador es la unidad y su denominador las unidade s tomadas en el plano. Papel P Escala =                                                       =             =     Dimensiones en el terreno Terre no T (1) &ODVHV GH HVFDOD La escala de un plano puede ser gráfica o numérica. Aplicando la formula (2.3) y despejando P se tiene: T 8500 m x 100 cm/m 850000 cm P =       =                              =                   = 17 cm D 50000 50000 Gonzalo Jiménez Cleves . Cuantos centímetros medirá en un plano o mapa a una escala de 1:50000.Topografía para Ingenieros Civiles 1       500 1       1000 1        2000 Quiere decir esto. P las uni dades medidas en el plano y D el denominador de la escala. que una unidad medida en el plano o mapa representa D (denomi nador) unidades medidas en el terreno. una línea qu e en el terreno mide 8500 metros. o sea: 1 E =     D (2) Según la definición establecida y representada por la formula (2.D (3) En esta nueva formula T representa las unidades medidas en el terreno.2) tenemos: 1 P       =     D T de donde T=P.1) e igualándola a (w . Ejemplo de aplicación. 1. 4 cm x 20000 = 16800 cm = 168 m La longitud de la línea en el terreno es de 168 m. 2.4 cm. D=? P = 18 cm T = 3600 m T 36000 m x 100 cm/m 360000 cm D =     =                                =                   = 20000 D 18 cm 18 cm Como D = 20000.Capitulo 2: Escalas En el plano la línea medirá 17 cm. la relación que se satisface entre las medidas hechas en el plano y las determin adas en el terreno. En un mapa cuya escala es 1/20000 se determina la longitud de una línea. Cual será la longitud de esta línea en terreno. donde el miembro de la izquierda representa las dimensiones en el papel y el de la derecha las dimensiones en el terreno. A que escala debe dibujarse el plano para que una línea de 3600 m pueda represe ntarse con una longitud de 18 cm. T=? P = 8. 3. siendo esta 8.4 cm D = 200 00 T = P x D => T = 8. Universidad del Quindío . entonces la escala a utilizarse será 1:20000 (VFDOD YHUEDO Es aquella en la cual esta especificada mediante el empleo de unidades . 1:100000. 1:20000. 1:50000 Gonzalo Jiménez Cleves . 1 cm = 1 Km 1000 m 100 cm 1 km . 1:5000. eliminando las unidades utilizadas mediante conversión linea l.5 1:5 1:7.            = 100000 cm 1 km 1m Así un centímetro equivale 100000 centímetros o sea: E = 1 / 100000 Escalas comerciales En el mercado siguientes escalas: 1:1 profesional se utiliza n principalmente las 1:2 1:2. 1:1000000 1:200. 1. 1:1000. 1:10000.5 Así como múltiplos de estas: 1:100. 1:25000.             .Topografía para Ingenieros Civiles Ejemplo: 1 cm = 10 cm 1 cm = 1 km 1 pulgada = 10 Millas Este tipo de escala. 1:20 00. 1:250000 1:500. para poder ser utilizada en cálculos debe llevarse al tipo de escala fraccionaria. 1:2500. Convertir la escala verbal 1 cm = 1 Km a fraccionaria.5 1:12. 1:200000 1:250. Fig. 1:750 y 1:1000 depend iendo de la extensión del terreno. 1:500. 1:7500 1:125 1:1250 De esta manera en el comercio se consigue un instrumento denominado escalímetro el cual trae seis escalas de las anotadas anteriormente y que permiten medir direc tamente en el plano las distancias sin realizar operaciones matemáticas. 22 Las escalas se pueden denominar: Grandes: Cuando el denominador esta entre 2 y 25000 Medianas: Cuando el denomina dor esta entre 25000 y 500000 Pequeñas: Cuando el denominador es un valor mayor de 500000 En topografía se utilizan generalmente escalas 1:100.Capitulo 2: Escalas 1:750. Universidad del Quindío . por el método fotográfico (Fot ocopiado). carta o plano fotocopiado. que se produce el cambio de escala en forma automática. los cu ales se toman directamente sobre el mapa sin efectuar ningún tipo de operación matemát ica. mientras que en la escala numérica. es decir. 24 Las ventajas principales que reúne toda escala gráfica son: • Que cada segment o en que se ha dividido la reglilla graduada. • Que al reducir o ampliar un mapa. tiene un valor terreno único. la escala gráfica en los dos procedimientos continúa siendo correcta. 23 Escala en m Fig.Topografía para Ingenieros Civiles (VFDOD *UiILFD La escala gráfica consiste en una línea recta (llamada línea portadora) div idida en distancias que corresponden a determinado numero de unidades de longitu d del terreno. Ejemplos: Escala en Km Fig. carta o plano. Gonzalo Jiménez Cleves . no experimenta el cambio de ampliación o reducción del mapa. Com o puede verse en las gráficas de los ejemplos anteriores. 100 cm/m = 100000 cm D = 100000 100000 P =             = 1 cm 100000 Universidad del Quindío . D se calcula la longitud que en el papel represe nta un numero adecuado metros. kilómetros o millas.Capitulo 2: Escalas Entonces para aplicar el procedimiento de cambio de escala por el método de fotoco piado. Entonces: T = 1000 m . de acuerdo con la magnitud de la escala. luego se gráfica tomando como base una recta de longitud adecuada y div idiendo la gráfica en dos partes no iguales a partir del cero y sombreando las zon as de valores enteros. conviene eliminar o corregir antes la escala numérica y dejar tal cual la e scala gráfica. a la numérica T=P. que representan a las unidades tomadas en el terreno.D T P =     D Si tomamos como base T = 1 km. Método de construcción Partiendo de la formula T = P . Ejemplo de construcción: Dibujar la escala gráfica correspondiente 1:100000 sobre un a línea de 12 cm. 1. medidos en el terreno. 1. 25 2.6 cm = 20 Km.6 cm 12 Km. Se traza una línea con la longitud pedida: Fig. Gonzalo Jiménez Cleves . medido en el terreno. 1 cm * 20 Km.Topografía para Ingenieros Civiles Entonces 1 cm representa en el papel 1 km.0 km. en el terreno 1 cm            12 Km. Para cons truir el cuerpo: 1 cm en el mapa equivale a 12 Km. tal como aparece en el gráfico en cuatro secciones iguales con valores de longitud definidos 2. x            20 Km. en el cuerpo y de 5 en 5 Km. Ejemplo de construcción Sea un mapa a escala 1: 200000. Se deja una franja de 2 cm a la izquierda para una subdivisión y se con struye la escala en la restante longitud de 10 cm. construir la escala gráfica que se aprecie de 20 en 20 Km. x =                           = 1. en el talón.6 cm en el papel representan 20 Km. Entonces 1. 26 Cuerpo 5HSUHVHQWDFLRQHV &DUWRJUiILFDV Croquis: Es una representación gráfica (mano alzada) de áreas rurales y/o localidades que se elabora mediante la aplicación de métodos aproxi mados.6 cm            20 Km. x =                             = 0. que además de la localización de los elementos Universidad del Quindío . como mediciones con cintas métricas o a pasos en donde se muestra el trazad o de calles. medidos en el terreno. x            5 Km. 0. etc.4 cm 20 Km. 1. * 5 Km. Entonces 0.6 cm. representa en el papel 5 Km.4 cm = 5 Km. Talón Fig. detalles. manzanas.4 cm. y todos los rasgos de fácil identificación en el terreno.Capitulo 2: Escalas Para construir el talón: 1. Mapa: Es una representación plana de un área muy extensa de la superfici e terrestre. 000 1: 1 a 1 : 25. pero elaborada a escalas ma s grandes y con bastantes detalles físico naturales y culturales. Carta: Es una representación plana de una parte de la superficie terrestre. de menor extensión que la de una mapa. Una forma de clasificar las representaciones cartografias es de acuerdo a las es calas empleadas. tienen ciertas ayudas para la persona que la va ha utilizar. cartas aeronáuticas. Por ejemplo: cartas censales. Se usa generalme nte para áreas urbanas. Plano: Es también una representación plana de la superf icie terrestre.0000 Tabla 1 Plano Topográfico: Repres entación a escala de los accidentes naturales y artificiales del terreno sobre un papel sin tener en cuenta la curvatura de la tierra. representándolos de forma que se puedan entender fácilmente.Topografía para Ingenieros Civiles fisico naturales considera los aspectos culturales. etc. que además de la localización de los elementos fisiconaturale s y culturales. cartas maríti mas. Gonzalo Jiménez Cleves .000 a 1 : 100.000 1 : 25. Tipo Croquis Mapa Carta Plano Escalas Sin 1 : 100. de conformidad con los fines que persiga.000 a 1 : 1’000 . ESC 1: 500 Universidad del Quindío . Cual será e l área en el plano en cm cuadrados. 6. Convertir la e scala verbal 1 pulgada = 250 yardas a escala fraccionaria. siendo esta de 7. En un mapa cuya escala es 1:300000 se determina la long itud de una línea. Si se representa a escala 1:500. 4. 2. 5. Cual será la longitud de esta línea en el te rreno. A que escala debe dibujarse el plano o mapa para que una línea de 8729 m pueda representarse con una longitud de 25 cm.2 cm. a escala fraccionaria.Capitulo 2: Escalas (MHUFLFLRV 3URSXHVWRV 1. Cual es la longitud total del perímetro en metros del polígono propuesto. Convertir la escal a verbal 1 cm = 8 km. y en dm². 7. Un terreno tiene 2200 metros cua drados de área según levantamiento hecho. 3. Cuantos centímetros medirá en un plano a una escala 1: 500 una línea que en el terreno mide 90 m. Topografía para Ingenieros Civiles Gonzalo Jiménez Cleves . Es consenso general que una medición debe ser tan buena como que cantidad de errores posea.TEORIA DE ERRORES . ¿Que calidad debe tener e sas mediciones? Se ha dicho y escrito mucho sobre el tema. por esto hablemos de que es error. ( 9P 9Y (1) Vm: Valor medido Vv: Valor verdadero E: Error En la teoría de las mediciones uno de los postulados es la existencia de un valor verdadero de la magnitud a medir y que sea preferencialmente constante. que había conside rado anteriormente el tema. (5525 Es la diferencia entre el valor observado o calculado y su valor verdadero o teórico. Las tareas fundam entales de esta teoría son: El establecimiento de los criterios indicados y la ela boración de procedimientos para su obtención y estimación. completó el desarrollo de esta teoría.Ï1 Realizar mediciones es el trabajo del Topógrafo.1752£8&&. Pero en la topografía se desconocen los . aparece en 1809 cuand o Gauss inició el estudio de la teoría de errores y en 1810 Laplace. Un modelo matemático cuyos parámetros son dete rminables y cuantificables. El tratamiento de los errores (compensación) depende mucho del tipo de medición. además debe ser el más cercano a la realidad del objeto. las características cualitativas de este se expresan a través de los pa rámetros medibles del modelo. Este parámetro será el valor verdadero de la magnitud me dida.Topografía para Ingenieros Civiles valores verdaderos (Vv) de las magnitudes. en otras palabras los parámetros del modelo deben ser constantes en el momento de su determinación. así pues se plantea las siguientes: A. como re sultado de unas condiciones Gonzalo Jiménez Cleves . por ejemplo. Además este modelo representa la relación cualitativa ideal entre las características del objeto. Aument ando el número de observaciones se puede elevar la precisión de la medición hasta cier to limite es decir que el modelo corresponda al fenómeno estudiado. la media (valor más probable). de aquí se deduce que la medición con una precisión dada de antemano puede ser realizada solamente cuando la caract erística medible del objeto se encuentra en concordancia con los parámetros desconoc idos del modelo del objeto. El error que su rge como resultado de la incoherencia del modelo objeto de la medición (modelo ina decuado) debe ser menor que el error de la medición. Mediciones de igual precisión (homogéneas): Son aquellas medicio nes en las cuales los resultados se obtienen con la misma confiabilidad. La teoría de las mediciones parte d el supuesto de que el objeto a medir posee un modelo en el cual los parámetros del mismo son medibles o cuantificables. A las magnitudes variables y casuales se les determinan los parámetros que n o son ni casuales ni variables. El modelo del objeto debe satisfacer la estabilidad de los parámetros en el momento de las mediciones. En general los valores que reemplazan el valor verdadero son: variables y casuales. para tal efecto es suficiente conocer dos ángulos. Según el esquema de medición suelen ser: A. C. Universidad del Quindío .Capitulo 3: Teoría de Errores iguales u homogéneas. las cuales determinan su precisión. ninguna de las mediciones es de mejor calidad que las otras. Redundantes: Son aquellas que exceden los n ecesarios. Necesarias: Aquellas que directamente de terminan una magnitud desconocida. D. Ejemplo: Determinar la suma de los ángulos internos de un triángulo. B. Ejemplo: medir todos los ángulos de un triángulo Puede afirmase incondicionalmente que: 1LQJXQD PHGLGD HV H[DFWD 7RGD PHGLD WLHQH HUU RUHV (O YDORU YHUGDGHUR GH XQD PHGLGD QXQFD VH FRQRFH (O HUURU H[DFWR TXH VH HQF XHQWUD HQ FXDOTXLHU PHGLGD VLHPSUH VHUi GHVFRQRFLGR. B. Mediciones de diferente precisión (heterogénea s): Son Aquellas en las que los resultados son de diferente calidad y se volarán c on un número especial llamado peso (este concepto se tratara mas adelante) Medicio nes independientes: Son aquellas en las cuales es característica la ausencia de cu alquier relación entre las medidas Mediciones dependientes: Son aquellos en las cu ales existe una relación. en otras palabras l a información obtenida "las observaciones" se procesan a través del modelo para lleg ar a los resultados requeridos. est a compuesto de dos partes: 0RGHOR )XQFLRQDO 0RGHOR (VWRFiVWLFR (VWDGtVWLFR . áreas y volúmenes.Topografía para Ingenieros Civiles 02£(/2 (672&$67.&2 < )81&. El modelo matemático describe la situación física. longitudes con lo que obtiene posiciones. Para obtener‚ esto necesitamos una "formula" que denominamos "modelo matemático".21$/ En Topografía rara vez las mediciones (observaciones) se usan directamente como la información requerida. Normalmente: se miden direcci ones. Puede que no haya colocado el instrumento de medida en exactamente el mismo lugar cuando eso era lo debiera Gonzalo Jiménez Cleves . Una HTXLYRFDFLyQ impli ca descuido por parte del que efectúa la medida. Puede haber leído la escala incorre ctamente.El modelo estocástico es la parte del modelo matemático que describe las propiedade s estadísticas de los elementos relacionados con el modelo funcional. El modelo de l funcional describe las características geométricas o físicas del problema de estudio . las palabras HUURU y HTXLYRFDFLyQ (Blunders. err ores graves) tiene connotaciones completamente distintas. Por ejemplo la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180¡ (modelo funciona l) las propiedades estadísticas de cada ángulo observado (modelo estocástico) (5525(6 *526(526 En la medición. errores groseros. la refracción. (UURUHV 3HUVRQDOHV Son los que nacen de las limitaciones de los sent idos del hombre como son el oído. evitarse siendo extraordinariamente cuidadoso. (5525(6 6. se comportan de acuerdo a leyes de física suscep tibles de ser modelados matemáticamente.Capitulo 3: Teoría de Errores haber hecho. Universidad del Quindío .QVWUXPHQWDOHV Son los provoc ados por las imperfecciones que haya en la construcción y ajuste o por el posterio r mantenimiento. Puede que haya anotado las lecturas incorrectamente. y la declinación magnética. Tales equivoca ciones pueden. Sin e mbargo. el viento. Estos errores poseen signo positivo o negativo. &$86$6 £( /26 (5525(6 (UURUHV 1DWXUDOHV Son los ocasionados por los fenómenos naturales. por lo que su magnitud puede calcularse y su efecto eliminarse. (UURUHV .&26 También con ocidos como errores acumulativos. el HOHPHQWR KXPDQR constituye la inevitable ligera variación que se produc e cuando se repite una medición. l a humedad. como la temperatura. la vista y el tacto. normalmente.67(0$7. 26 También llamados errores accidentales o casuales. no se pueden calcular. por lo tanto es imposible eliminarlos. Los signos algebraicos de los errores aleatorios dependen por co mpleto del azar y no hay forma alguna de calcularse.Topografía para Ingenieros Civiles En algunos casos la magnitud de errores sistemáticos es tan pequeña que se confunde con los errores aleatorios.21(6 El resultado de las observaciones (medidas) esta compuesto por los si guientes elementos: 2 9Y * 6 $ . 2%(59$&. L a magnitud y el signo de estos errores es casual. Estos errores solo se pueden tratar. (5525(6 $/($725. obedecen a las leye s de las probabilidades y son ajenos a la voluntad o habilidad del observador. Se les conoce por esto como errores compensables porque tienden a anularse entre sí en una serie de medidas. Son los que permanecen desp ués de haber eliminado los errores sistemáticos y las equivocaciones. En muchos casos la palabra error se refiere este. realizándose un tratamiento equivocado al manejo de es tos errores. El tamaño de est e error puede reducirse por refinamiento del equipo empleado y de los procedimie ntos aplicados. Son los que permanecen en la medida pero no conocemos su valor. 2 : Observación 9Y : Valor verdadero Gonzalo Jiménez Cleves . después del análisis apropiad o y corrección. sólo el Valor Verdadero y el error accidental debe permanecer: 2 9Y $ .Capitulo 3: Teoría de Errores * : Errores groseros (Equivocaciones) 6 : Errores sistemáticos $ : Errores aleator ios Los errores groseros y los sistemáticos se eliminan. La medida.78£ Para muchas personas.21 < (.$&7.A partir de lo anterior se puede se pueden establecer los siguientes principios: • • • Los errores groseros se eliminan completamente Los errores sistemáticos se corrig en Los errores accidentales se minimizan 35(&. es inexacta. La precisión relaciona a l a calidad de un manejo por el Universidad del Quindío . Una equivoc ación es un error real en la aplicación de una medida. y por consiguiente un error que puede descubrirse y corrigiese. por su naturaleza.6. los dos términos deben tener significados muy diferentes. El error es inherente a la medida. e incorpora tales cosas como la precisión y la exactitud Quizás la manera más fácil de ilustrar la diferencia entre la exactitud y l a precisión es usar la analogía de un tirador a quien la "verdad" representa el tiro al blanco. Una indicación de la uniformidad o reproductibilidad de un resultado. o el gra do de perfección en los instrumentos y métodos obteniendo un resultado. la magnitud de esa " inexactitud" es el error. exactitud y precisión es la misma cosa: para alguien involucrado en las medidas. como leer mal un instrumento. Esto es distinto de una equivocación que es un error gra nde. 3UHFLVLyQ El grado de refinamiento en la ejecución de una medida. 28 Exactitud Fig. 27 Precisión ([DFWLWXG Es el grado de conformidad con una norma (la "verdad"). Pu ede ser que el tirador necesitará cambiar el equipo o la metodología. En la Fig. Fig. 27 en que el tirador ha hecho uno de los ajustes sistemáticos que fueron indicados por su logro de precisión sin la exactitud. Fig.Topografía para Ingenieros Civiles que un resultado se obtiene. E n la Fig. 28. el tirador se ha acercado la "verdad". La Exactitud relaciona a la calidad de un resultado. el tirador ha logrado una uniformidad. El grado de precisión no ha cambiado. 27. si se requiere un grado de precisión mayor. y se distingue de la precisión q ue relaciona la calidad del funcionamiento por el que el resultado se obtiene. 27. aunqu e es inexacto. 28 representa resultados que indican exactitud y precisión. Gonzalo Jiménez Cleves . pero su conformidad con la "verdad" ha mejorado los resultados q ue obtuvo en Fig. Difiere de Fig. aunque sin gran precisión. y es distinguido de exactitud que relaciona a la ca lidad del resultado. cuando él ha alcanzado las limitaciones asociadas con su equipo y metodología. 27 determina que sus resultados no son adecuados para la t area. En las Fig. él no tiene ninguna opción para cambiar su metodología o equipo. nosotros hemos introducido una equivocación en los resultados asociados con exactitud y con la precisión. 29 Exactitud con Precisión Fig.Capitulo 3: Teoría de Errores Si el tirador de Fig. Dado el grado de Universidad del Quindío . 31 Exactitud con equivocación Un beneficio adicional puede ser obtenido usand o una metodología que rinde gran precisión. 31. Fig. 30 Precisión con equivocaciones Fig. 30 y Fig. Él ya ha llegado a las limitaciones éstos. El análisis de resultados obtenidos de técni cas que rinden un grado alto de precisión hará el descubrimiento de equivocaciones más fácil. Sin un grado alto de precisión.Topografía para Ingenieros Civiles precisión representado en la Fig. /D H[DFWLWXG HVWi GLFLH QGR OD YHUGDG /D SUHFLVLyQ HVWi FRQWDQGR OD PLVPD KLVWRULD XQD \ RWUD YH] Yiding W ang Gonzalo Jiménez Cleves . Para obtener u n grado más alto de precisión. 31. por eso afectando la exactitud global. la equivocación puede ser no detectada y no corregid a. La necesidad de mayor precisión lleva normalmente a costos mayores. Qué metodología el topógrafo debe determinar y se necesita para log rar la precisión y la exactitud requerida para un trabajo. puede ser necesario usar equipo o una metodología sofis ticada y más tiempo. y pasa por alto la equivocación. 30. Sería fácil anal izar los resultados representados en la Fig. es fácil descubrir la equivocación. 32 Perfil: Es la proyección del alineamiento sobre un plano vertical. o la recta de intersección entre la superficie de terreno y el plano determina do por las verticales en dos puntos. .DISTANCIAS HORIZONTALES *(1(5$/. Fig.£$£(6 Distancia: Es la separación o espacio entre dos puntos Alineamiento: Es la dirección rectilínea que se debe seguir para medir la distancia entre dos punt os. Gonzalo Jiménez Cleves . Existen tres clases de distancias: 1. equivale a estirar el perfil y a medir su longitud. Distancia Geométrica: Es la longitud de la recta que une los puntos extremos de un alineamiento (sin tener en cuenta el perfil del alinea miento). es lo que se denomina propiamente co mo distancia topográfica. Distancia Horizontal (reducida o Topográfica): Es la proyección de la di stancia geométrica sobre un plano horizontal. Medir esta distancia es el objeto de la planimetría. 2. 3.Topografía para Ingenieros Civiles Fig. 33 CLASES DE DISTANCIAS. Distancia Real: Es la longitud del alineamiento teniendo en cuenta todas las irregularidades del terreno (todo su desarrollo). trigonométricos o por diferencia de tiempo. 34 1RWD El plano vertical que contiene el alineamiento contiene también la dis tancia real. La medición indirecta. Universidad del Quindío .Capitulo 4: Distancia Horizontal Fig. 0HGLGDV OLQHDOHV La distancia entre dos puntos se puede obtener por métodos GLUHFWRV o LQGLUHFWRV. por comparación las veces que una mag nitud contiene la respectiva unidad. Esto es. Medición de distancias: Es el procedimiento mediante el cual determinamos la dista ncia entre dos puntos. para determinar la distancia entre los puntos A y B se debe superponer tantas veces el metro como sea necesario hasta cubrir l a separación entre los puntos. por el contrario no necesita r ecorrer la separación entre los dos puntos A y B. La medición directa de una distancia exige recorrerla y adaptar sobre ella la unid ad de medida a utilizar. sino que obtiene la distancia bi en sea por medio de analogías geométricas. Medir: Es determinar. la distancia geométrica y la distancia horizontal. La medición realizada a pasos requiere que la persona conozca previamente la longitud de cada paso para así. Gonzalo Jiménez Cleves . 35 Odómetro De métodos anteriores el que ofrece mayor precisión es el de la cinta métrica. de manera que se obtien e la distancia recorrida multiplicando la circunferencia de la llanta por el númer o de giros registrados. Se puede esperara una precisión de 1 / 200 con una mayor p recisión en superficies lizas y planas. con un odómetro o con la cinta métrica. una vez reco rrida la separación entre dos puntos pueda obtener la distancia al multiplicar el número de pasos por el valor en metros de cada paso. Para la realización de las mediciones con el metro. decímetros. generalmente se utilizan cintas que tienen longitudes de 10. 30. fibra de vidrio o tela. graduadas en metros. entre do s puntos. centímetros y milímetros. por lo cual se examinará con mayor detenimiento a continuación. Fig. 20. se obtiene sumando las medidas parciales realizadas para cubrir la sep aración entre ellos. Estas cintas pueden ser de acero. La distancia con la cinta métrica. Se puede esperar una precisión de 1 / 100 a 1/ 200 de acuerdo al terreno.Topografía para Ingenieros Civiles 0HGLFLyQ GLUHFWD GH GLVWDQFLDV La medición directa de distancias se puede realizar a pasos. ó 50 metros. El odómetro es un dispositivo que cuent a el número de giros de la llanta de un vehículo cualquiera. los equipos adicionales req ueridos pueden ser. puesto que dependiendo de las condiciones se puede lograr precisiones de 1/ 30000 a 1/100000. la siguiente tabla Tipo Fibra de vidrio acero Error 10 m ± 2 mm 10 m ± 1 mm Tabla 11 Temperatura 20¡ C 20¡ C Tensión 2 kg. para hallar los patrones de control de los distanciometros electróni cos. 1 Para cintas fabricadas por BMI. Universidad del Quindío . 5 kg. +LOR .QYDU Hasta mediados de los años 50 cuando aparece los distanciometros electrónicos la medición de las líneas de poligonales se realizaban con la ayuda de estos equipo s.Capitulo 4: Distancia Horizontal 0HGLFLyQ GH GLVWDQFLDV FRQ FLQWD PpWULFD El proceso de medición con la cinta es una op eración sencilla que sin embargo involucra equipos adicionales. 36 Cinta El error accidental de algunas cintas son los siguientes. Cuando la medición que se requiere es de poca precisión. El origen de la palabra invar es del griego invar que signific a inamovible o indeformable. para su tratamiento se empleara la formula de error de la serie vista en el capitulo ant erior. dos SORPDGDV y varios MDORQHV Fig. personas y métodos. En la actualidad estos equipos se emplean para la medición de bases y comparado res de campo. La precisión obtenida en las distancias determinadas con éste instrumento es 1/300 a 1/500.Topografía para Ingenieros Civiles El poco uso de este instrumento en el país mas que a una consideración obsoleta del equipo es debido a que con el transcurso del tiempo. Fig. el hilo invar se deforma y el único para introducirles correcciones con el patrón métrico internacional (longitud de onda del átomo de kriptón 86) que es llevado acabo por entidades de metrología est atales que en nuestro país como tal no existe. 37 0HGLFLyQ LQGLUHFWD GH GLVWDQFLDV Cuando el instrumento de medida no es pos ible de aplicarlo directamente. 7HOpPHWUR Instrumento óptico para medir la longitud de la visual dirigida a un objeto (medición a distancia). por lo tanto se determina la distancia mediante una relación con un patrón. Gonzalo Jiménez Cleves . El instrumento empleado es un telémetro (semejante a l de las cámaras fotográficas) de imagen partida o coincidencia. viene provisto de u na escala en donde se puede leer directamente la distancia. para esto se emplea los conocimientos de geometría y trigo nometría. 38 Telémetros 7DTXLPHWUtD Es el método con el que se puede determinar la DH y DE de una manera rápida y con la precisión adecuada para muchos propósitos. horizontales Fig. El procedimient o requiere el empleo de:   Mira vertical. 39 Universidad del Quindío .   Tránsito taquimétrico. El Tránsito se deno mina taquimétrico por estar provisto de retículos taquimétricos o de mira. para el cas o.Capitulo 4: Distancia Horizontal Fig. Las consideraciones para la distancia máxima de le ctura de la mira son iguales que para los niveles. 2. PLUD EDVH LQYDU . cua ndo ésta se sostiene verticalmente en uno de los extremos de la línea a medir. con algunos cambios en lectur as al cm. 6 FRVð α (1) Para el caso de ángulo cenital £+ . 3. No se deben realizar lecturas en la mira menores de 1 m ya qu e el suelo produce refracción. La distancia horizontal (DH) está dada po r la formula: Para el caso de ángulo vertical £+ . Las distancias menores de 25 m la constante (K) tie ne variaciones. 6 VHQð ] (2) Consideraciones Generales 1.Topografía para Ingenieros Civiles Procedimiento: El principio de medición consiste en leer los valores interceptados sobre la mira por los dos retículos estadimétricos superior (s) e inferior (i). estan do el tránsito ubicado en el otro extremo. impracticables o también labrados. la dista ncia horizontal expresada en metros. independientemente de la forma del terreno situado entre los dos extremos. Midiendo con u n teodolito al segundo. evitando daños en los cultivos.La estadía base de 2 metros es un instrumento práctico y elegante para la medición rápi da y segura de distancias. Gonzalo Jiménez Cleves . se obtiene. el ángulo paraláctico horizontal entre dos signos de puntería dispuestos en una distancia de exactamente 2 m en la estadía. Permite traspasar sin dificultades terrenos inclinado s. Fig.Capitulo 4: Distancia Horizontal La medición de distancias con la estadía se basa en la fórmula trigonométrica siguiente: £+ = α E (3) DH: Distancia horizontal buscada b : La base 2 m (distancia entre los dos signos ) α : El ángulo paraláctico horizontal. 40 0HGLFLyQ HOHFWUyQLFD GH GLVWDQFLDV HGP FWJ 2 2 . se puede calcular la distancia recorrida por la onda.Distanciometro es el instrumento que registra el tiempo de desplazamiento de la onda electromagnética y con base en la velocidad calculada por métodos indirectos c on la ayuda del valor de la velocidad de la luz en el vacío. £= 9 W 2 (4) Universidad del Quindío . Topografía para Ingenieros Civiles D: distancia V: Velocidad t: Tiempo Fig. Fase: Emplea una emisión continua o un impulso con una señal armónica. d. Interferencia: Es a quel que emplea una emisión continua sin modular y registra el resultado de la int erferencia directa de la onda de apoyo y la onda reflejada. modula o una emisión continúa sin mo dular en donde se mide la diferencia de fases. Temporal o de impulso: El cual emplea una emisión en forma de impulsos en donde se mide directamente el tiempo de propagación del impulso. 41 De acuerdo al proceso físico de la onda se distingue los siguientes métodos de medición. Frecuencia: emplea una emisión c ontinua o un impulso modulado y se mide diferencia de las frecuencias instantáneas de las ondas emitidas y recibidas. b. c. Gonzalo Jiménez Cleves . a. Capitulo 4: Distancia Horizontal Fig. 42 La precisión esta dada por la siguiente expresión: H(£0 = H2 + SSP £ . la medición de la d istancia geométrica o inclinada.2 (5) eEDM: error e : Error medio cuadrático ppm: Partes Por Millón D: Distancia Horizonta l (Km) Los distanciometros se clasifican en tres 1. se prefiere realizar generalmente. para obtener por algún otro método la distancia Universidad del Quindío . Medio a lcance de 3 a 12 Km 3. Largo alcance mayores de 12 Km 5HGXFFLyQ GH GLVWDQFLDV LQFOLQDGDV DO KRUL]RQWH En lugares donde la pendiente de te rreno es suave y constante. Corto alcance menor 3 Km 2. entonces D = S * Cos α (6) b. S = Distancia geométrica entre A α = Angulo de inclinación de A B con respecto a la horizontal D= Distancia topográfica u horizontal Fig. Cuando se mide el ángulo de inclinación: Cos α = D/S.59 m (8) (7) Gonzalo Jiménez Cleves .78 m y cuyo ángulo de inclinación es de 14° 38£ S = 36.Topografía para Ingenieros Civiles topográfica u horizontal: con el fin de evitar los errores causados por la medición usando el método de escalones o de quebrar cinta. Cuando se mide la pendiente: Pendiente/100 = Tangente de α α = Arco tangente de p endiente/100 Entonces D = S * Cos α (MHPSOR Reducir a la horizontal una distancia i nclinada de 36. 43 a.78 m α = 14° 38£ D=? D = S * Cos α D = 36.78m * Cos 14°38£ D = 35. 20 m.50 m y cuya pendien te es del 12%. elementos fundamentales de la topografía actual. S = 42. Fig.50 m P = 12% D=? P/100 = Tan α α = Arco tan P/100 α = Arco tan 1 2/100 α = 6° 50’ D = S * Cos α D = 42. Esta precisiones pueden mejorar d ebido ha avances tecnológicos. 7RSRJUDItD &OiVLFD YV SRJUDItD 6DWHOLWDO Veamos las siguientes graficas que nos ilustra una comparación sobre precisiones entre la topografía clásica y los sistemas de topografía satelital.50 m * Cos (6° 50’) D = 42. 44 Universidad del Quindío .Capitulo 4: Distancia Horizontal (MHPSOR Reducir a la horizontal una distancia inclinada de 42. 45 Gonzalo Jiménez Cleves .Topografía para Ingenieros Civiles Fig. Si no se dispone de ninguna de éstas líneas de refe rencia. puede seleccionarse un meridiano supuesto o arbitrario. Tal vez el método más senc illo de tomar estas direcciones es utilizar una brújula. a la que se l lama meridiano de referencia. £LUHFFLyQ GH XQD OtQHD Es u n ángulo horizontal mediado desde una línea de referencia establecida. La línea se adopta generalmente es el meridiano verd adero o también meridiano magnético. Fig. 46 .ANGULOS Y DIRECCIONES *HQHUDOLGDGHV Un levantamiento topográfico de cualquier terreno puede hacerse obten iendo la dirección de las líneas del polígono tomado como base. Fig. $QJXOR H[WHUQR El ángulo exterior de un polígono es el explement o del ángulo interno.Topografía para Ingenieros Civiles $QJXOR LQWHUQR Son ángulos formados en el interior de un polígono cerrado en un punto de intersección de sus lados. 47 $QJXOR D OD GHUHFKD R +RUDULR $+ . 48 Gonzalo Jiménez Cleves .Son aquellos que se miden en sentido de las manecillas del reloj y desde la est ación atrás a la estación adelante. Fig. Capitulo 5: Ángulos y Direcciones $QJXOR D OD L]TXLHUGD R &RQWUD KRUDULR $&+ . si se mide en sentido horario se llama ³£HIOH[LyQ £HUHFKD´ y en sentido contrario ³£HIOH[LyQ . Fig.Se miden en sentido contrario al del reloj y también de la estación atrás a la estación adelante.]TXLHUGD´. 50 Universidad del Quindío . varía entre 0 y 180 grados. 49 $QJXOR GH GHIOH[LyQ Es el ángulo formado por una línea con la prolongación de la in mediatamente anterior. Fig. hacia el este o h acia el oeste y varía entre 0 y 90 grados. se mide a partir del extremo norte o extremo sur. varía entre 0 y 360 grados.Topografía para Ingenieros Civiles $]LPXW Angulo horario que hace una línea con el extremo norte de la línea de referencia. Podemos concluir entonces que el contra acimut de una línea cualquiera e s el acimut de ésta más o menos 180 grados. es verdadero cuando se mide con respecto a norte ve rdadera y es asumido si se mide a partir de una línea cualquiera Fig. 51 &RQWUD$FLPXW Se define como el acimut de una línea tomada desde el extremo opues to de ésta. Gonzalo Jiménez Cleves . seguida del valor en grados y luego la dirección este u oest e (ejemplo N 30 W). La notación del rumbo debe ser primero la dirección norte o sur. 5XPER Es el ángulo tomado a partir de la línea d referencia. Si el ángulo es medido a partir de la norte magnética se d ice que el acimut e magnético. Universidad del Quindío . SW y NW. 5HODFLyQ HQWUH iQJXORV +RUL]RQWDOHV En los trabajos de campo se determinan dif erentes tipos de ángulos pero en el trabajo de oficina en la mayoría de los casos se necesita determinar azimutes.Capitulo 5: Ángulos y Direcciones Fig. 52 Los cuadrantes se designan. SE. Fig. así: NE. 53 &RQWUDUXPER Se define como el rumbo de una línea tomada desde el otro extremo de ésta. en sentido horario. Topografía para Ingenieros Civiles $]LPXW \ &RQWUD $]LPXW El contra azimut de una línea es el azimut de la línea tomado desd e el otro extremo. es decir CAz (AB) = Az(BA) (1) (2) CAz (AB) = Az(AB) + 180° $]LPXW \ 5XPER A partir del diagrama de orientación empleado en topografía: Fig. 54 Cuadrante del azimut 0 < Az < 90° 90° < Az < 180° 180° < Az < 270° 270° < Az < 360° \ GHIOH[LyQ La deflexión se calcula a partir de los azimutes colocando estos en or den secuencial y aplicando la siguiente formula: Rumbo R = Az R = 180°   Az R = Az   180° R = 360°   Az (3) (4) (5) (6) Gonzalo Jiménez Cleves . R = N a° E → Az = a (7) Si el rumbo es de cuadrante SE. el azimut vale 180°   a R = S a° E → Az = 180°   a (8) Si el rumbo es de cuadrante SW. Si Az A > Az S entonces DD = ( Az S + 360°) – Az A Si DD> 180° entonces DI = 360°   DD AZ S: Azimut Siguiente AZ A: Azimut Anterior 5XPER \ &RQWUD $]LPXW El contra rum bo (CR) de una línea es Rumbo (R) de la línea tomado desde el otro extremo. Az S es Az siguiente y Az A es Az ante rior. el azimut vale 360°   a R = N a° W → Az = 360°  a (10) Universidad del Quindío .Capitulo 5: Ángulos y Direcciones DD = Az S – Az A (3) DD es deflexión derecha. 5XPER \ $]LPXW Si el rumbo es de cuadrante NE. E y W sin vari ar la magnitud del ángulo. el azimut es igual al valor del ángulo (a). CR (AB) = R (BA) (6) (5) (4) Para determinar el CR de una línea se intercambia las letras N y S. el azimut vale 180° + a R = A a° W → Az = 180° + a (9) S i el rumbo es de cuadrante NW. OB = a y BC = c. A continuación se explica el métod o del coseno 0pWRGR GHO FRVHQR Sea el triangulo cualquiera OAB. que se en cuentra orientado se calcula de la siguiente forma: Az S = Az A – ACH ± 180¡ Az S = Az A + AH ± 180¡ (12) (13) ACH: Angulo contra horario AH : Angulo horario 0HGLFLyQ GH iQJXORV KRUL]RQWDOHV FRQ FLQWD Ocasionalmente es necesario medir un ángulo y no se dispone de un transito para hacerlo. existen varios métodos para medir estos ángu los que son: el método del seno. Coseno y Tangente. por la ley de los cósenos podemos escribir: Gonzalo Jiménez Cleves . conocidos los lados OA = b. se mide algunos elementos y por geom etría se calcula el ángulo correspondiente. con Angulo horario o contra horario. por esta razón es conveniente conocer el fundamento teórico y le proce dimiento de campo para realizar la operación.Topografía para Ingenieros Civiles £HIOH[LyQ \ $]LPXW El Azimut se calcula a partir de las deflexiones aplicando la sigu iente formula: Az S = Az A + DD (11) $]LPXW \ $QJXOR +RUDULR R &RQWUD +RUDULR El Azim ut siguiente de un polígono medido. ÈQJXORV 9HUWLFDOHV En Topografía los ángulos vertic les toman sus nombre según la posición del lado origen desde el se miden. se miden en sentido horario. 180¡ Universidad del Quindío . 55 Procedimiento de campo: A y B son puntos sobre los alineamientos OP y OQ respect ivamente. $QJXOR &HQLWDO Tiene como origen el cenit. se miden las distancias OA = b y OB = a y la cuerda AB = c el valor de l ángulo se calcula con la fórmula dada.Capitulo 5: Ángulos y Direcciones F 2 = D 2 + E 2 − 2DE cos α ⇉ cos α = D 2 + E2 − F2 2DE (14) D2 + E2 − F2 α = DUF cos 2DE Fig. El ángulo cenital al hori zonte vale 90¡ y al nadir. del nadir  90¡.Topografía para Ingenieros Civiles Fig. si está por debajo s e dice negativa o depresión. 56 $QJXOR +RUL]RQWDO Tiene como origen la línea horizontal. se dice de elevación o p ositivo si su lado terminal esta por encima de la horizontal. ángulo nadiral al h orizonte vale 90¡ y al cenit 180¡ Fig. 58 Gonzalo Jiménez Cleves . 57 Tiene como origen el nadir. $QJXOR 1DGLUDO Fig. El ángulo al horizonte del cenit vale +90¡. se mide en sentido contra horario. 61 Universidad del Quindío . con una precis iones de 1 minuto (1´ ) a 20 segundos (20"). los modelos viejos tienen cuatro tornillos para nivelación. 59 7UDQVLWR R 7HRGROLWR Fig. 60 Instrumento topográfico para medir ángulos verticales y horizontales. actualmente se siguen fabricando pero con solo tres tornillos nivelantes. El hecho es que la aguja señala el meridiano magnético. alguna s sugieren que se debe al hierro que compone el núcleo de la tierra. Fig. montada sobre un pivote montado e n el centro de un limbo o circulo graduado. La aguja apunta hacia el norte magnéti co terrestre. La explicación científica a éste hecho está basada en varias teorías.QVWUXPHQWRV SDUD PHGLU iQJXORV /D %U~MXOD Consta esencialmente de una aguja magnetizada. los círculos de metal se leen con lupa.Capitulo 5: Ángulos y Direcciones . Fig. mientras que otras lo atribuyen a corrientes eléctricas en la atmósfera debidas a la rotación terre stre. Fig. y traen una serie de prismas para observar en un ocular adicional. La lectura del ángulo vertical y horizontal la precisión va desde 5 minutos hasta u na décima de segundo. 64 Gonzalo Jiménez Cleves . y requerir menos piezas es mas simple su fabricación y en algunos casos su calibración. Fig. 63 (VWDFLyQ 6 HPL7RWDO Es el resultado de la combinación de un equipo de medida angular generalmente óptico mecánico. con la incorporación de e lectrónica para hacer las lecturas del circulo vertical y horizontal.Topografía para Ingenieros Civiles 7HRGROLWR ySWLFR PHFiQLFR Es la evolución del tránsito mecánico. acoplado a un distanciómetro electro óptico. estos círculos tiene un sistema similar a un código de barras. los círculos on de vidrio. Fig. desplegando los ángulos en una pant alla eliminando errores de apreciación. 62 7HRGROLWR (OHFWUyQLFR Es la versión del teodolito óptico. es mas simple en su uso. en este caso. Capitulo 5: Ángulos y Direcciones (VWDFLyQ 7RWDO Es un instrumento topográfico de última generación, que integra en un solo e quipo, medición electrónica de distancias y ángulos, comunicaciones internas que permi ten la transferencia de datos a un procesador interno o externo y que es capaz d e realizar múltiples tareas de medición, guardando datos y cálculos en tiempo real. Fi g. 65 7UDQVLWR R 7HRGROLWR El teodolito es un instrumento de medición mecánico óptico uni versal que sirve para medir ángulos verticales y, sobre todo, horizontales, ámbito e n el cual tiene una precisión elevada. Con otras herramientas auxiliares puede med ir distancias y desniveles. Es portátil y manual, está hecho para fines topográficos. &ODVL ILFDFLyQ Los teodolitos se clasifican en teodolitos repetidores y reiteradores 7 HRGROLWRV UHSHWLGRUHV Estos han sido fabricados para la acumulación de medidas suce sivas de un mismo ángulo horizontal en el limbo, pudiendo así dividir el ángulo acumul ado y el número de mediciones. 7HRGROLWRV UHLWHUDGRUHV Llamados también direccionales , los teodolitos reiteradores tienen la particularidad de poseer un limbo fijo y sólo se puede mover la alidada. Universidad del Quindío Topografía para Ingenieros Civiles (MHV El teodolito tiene 3 ejes principales. Ejes Principales • • • Eje Vertical de Rotación Instrumental S   S Eje Horizontal de Rotación del Anteojo K   K Eje Óptico Z   Z (MH 9HUWLFDO 66 (MH GH OD 9LVXDO == (MH +RUL]RQWDO . . (MH GHO QLYHO GH OD $OLGDGD El eje Vertical de Rotación Instrumental es el eje que sigue la trayectoria del Ce nit Nadir, también conocido como la línea de la plomada, y que marca la vertical del lugar. El eje de óptico es el eje donde se enfoca a los puntos. El eje principal es el eje donde se miden ángulos horizontales. El eje que sigue la trayectoria de la línea visual debe ser perpendicular al eje secundario y éste debe ser perpendicul ar al eje vertical. Los discos son fijos y la alidada es la parte móvil. Gonzalo Jiménez Cleves Capitulo 5: Ángulos y Direcciones El eje Horizontal de Rotación del Anteojo o eje de muñones es el eje secundario del teodolito, en el se mueve el visor. En el eje de muñones hay que medir cuando util izamos métodos directos, como una cinta de medir y así obtenemos la distancia geométri ca. Si medimos la altura del jalón obtendremos la distancia geométrica elevada y si medimos directamente al suelo obtendremos la distancia geométrica semielevada; las dos se miden a partir del eje de muñones del teodolito. El plano de colimación es u n plano vertical que pasa por el eje de colimación que está en el centro del visor d el aparato; se genera al girar el objetivo. Universidad del Quindío Topografía para Ingenieros Civiles Gonzalo Jiménez Cleves La exigencia del error angular esta dada por el orden a clase a la que pertenece y a sus lim itantes caracterizados por las posibilidades de los equipos. 3ROLJRQDOHV Consiste en la determinación de la posición de puntos topográficos o geodésico s mediante el del trazado de líneas quebradas.QWURGXFFLyQ En lugares llanos. &URQRORJtD GHO W UDEDMR GH XQD SROLJRQDO En el desarrollo de trabajos que necesiten el uso de pol igonales se deben tener en cuenta los pasos del siguiente diagrama. donde la densificación de la red de triangulación y trilateración se hace difícil o ec onómicamente no es rentable debido a las condiciones difíciles del terreno (como es el caso de Colombia) se emplea la Poligonación. sobre un lugar determinado (itinera rio o poligonal) o el sistema de líneas quebradas entrelazadas (red polígonométrica) e n las cuales se miden todos los ángulos y lados consecutivamente. . boscosos y en donde los procedimientos ocasionan daños ecológicos .LEVANTAMIENTOS DE TERRENOS . El llamado grado de precisión error relativo o errores de cierre. (5525 $1*8/$5 $ 867( $1*8/$5 &$/&8/2 352<(&&. 67 Gonzalo Jiménez Cleves . De acuerdo con la precisión de l os ángulos y distancias se debe seleccionar el método de ajuste. &$032 12 6.21(6 12 *3 $&(37$%/( 6.Topografía para Ingenieros Civiles No se debe olvidar que una vez determinado el error angular se debe realizar el ajuste angular. $ 867( Fig. depende del tipo de trabajo y sus requerimientos. Se recomienda no eludir ningún paso del siguiente diagrama. 68 Poligonal Abierta Control en ángulo Poligonal en la cual los lados inicial y final poseen orientación. no se verifica cada ángulo.Capitulo 6: Levantamientos de Terrenos &ODVLILFDFLyQ Según muchos autores existen diversos tipos de clasificación para las pol igonales. aquí se plantea una clasificación en función del control. sólo se detalla al cierre final. Fig. Universidad del Quindío . Es importante que todas las poligonales estén integradas a sistemas topográficos o geodésicos. esto permite verificar los ángulos al transportar el ángu lo inicial. 70 Control en distancia Poligonal cuyos puntos inicial y final tiene coordenadas co nocidas. 69 Otra forma es que los puntos 1 y 6 sean íntervisibles pudiéndose determinar los ángulo s 612 y 165.Topografía para Ingenieros Civiles $ % Fig. Fig.6. Gonzalo Jiménez Cleves . no se conoce la distancia 1. no posee control en ángulo. Capitulo 6: Levantamientos de Terrenos E 1( . $ 1( . % 1( .Fig. llega a un punto con coordenadas conocid as y una línea orientada siguiente o sale de una línea conocida y llega a otra línea c onocida. 71 Control total Es la poligonal que parte de un punto con coordenadas conocidas y orientada a partir de una línea anterior. £ 1( . $ 1( . & 1( . Fig. Universidad del Quindío . 72 Posee control en ángulo y distancia. 74 Sin control Poligonal que parte de un punto desconocido y llega a otro punto des conocido (Angulo y Distancia). Este tipo de poligonal y la anterior con las que son con sideradas geométricamente abierta y analíticamente cerradas. También se pueden realiza r diversas combinaciones de ellas. Gonzalo Jiménez Cleves . Y se desconocen las coordenad as de los puntos A y D.Topografía para Ingenieros Civiles Fig. coordenadas de B y C. Se comprueba repitiendo el trabajo. Fig. 73 Se conoce al azimut BA y CD. tiene que ver co n la geometría de la figura. &RQ WURO . la poligonal puede cerrar en ángulo y distancia pero no es posible determinar la precisión de errores sistemáticos (por ejemplo asumir una constante K del tránsito diferente a la real) Fig.Capitulo 6: Levantamientos de Terrenos Fig. 75 Se puede realizar un comprobación mediante orientación magnética.QWHUQR: Es el control angular entre los lados del polígono. Poligonal cerrada Es aquella cuyo punto inicial coincide con el punto final. instrumental o astro nómica de cada una de las líneas. 76 Universidad del Quindío . Fig. 77 Radial Seudopoligonal formada a partir de un punto estación y cuyos vértices no son ocupados por el instrumento.Topografía para Ingenieros Civiles &RQWURO ([WHUQR En este tipo de control al menos dos puntos de la poligonal (lo m as alejado posible) debe se posible contrastarlos con información de otra poligona l. es decir. deben tener coordenadas conocidas. de esta manera además de control. 78 Gonzalo Jiménez Cleves . Existe control angular en la estación por cierre al h orizonte pero no posee control de distancias. $ % Fig. geométrico interno es posible detectar algún error sistemático que afecta el cierre la teral. Este tipo de poligonal se puede hacer con tránsito y mira o tránsit o y MED. quie re decir esto que a cada punto se le puede asignar tres coordenadas: N. elevación. E. es decir empleando el tránsito.). di stancia y elevación que significa que deben registrar lecturas de círculo horizontal . el cuidado en la lectura de la mira. debemos recordar que la determinación de h se hace por nivelación trigonométr ica. círculo vertical.Capitulo 6: Levantamientos de Terrenos Poligonal tridimensional Línea poligonal abierta o cerrada en la que además de resol ver la posición planimétrica de puntos interesa determinar su posición altimétrica. h (h: altura. Universidad del Quindío . En el trabajo de campo se determinan ángulo. distanciómetro o los tres hilos si se emplea mira. 7ULDQJXODFLyQ Conjunto de operaciones que tienen por objeto fijar sobre la superfic ie sobre la cual se quiere cartografiar la posición de los puntos claves que forma n una red de coordenadas geográficas en un mapa. Empleando tráns ito y mira la precisión de la nivelación trigonométrica depende de la longitud de las visuales. cota etc. la magnitud del ángulo vertical y l a apreciación del círculo vertical del instrumento (ver modelos de error. la que se mide la distancia de la base y todos los ángulos. Para la determinación de h se debe partir d e un punto de altura conocida o asumida y si la poligonal tiene control vertical (cerrada o ligada) debe satisfacer las especificaciones dadas como en una polig onal planimétrica. levantamie nto con mira vertical). altitud. Las formulas son las mismas pero la rotación es horaria. y por E y m. se cambia x por N.tan Az o tan R. ahora lo vamos a hacer en el sistema NE empleado en Topografía. 79 7ULODWHUDFLyQ Triangulación observada basada en la medida de los lados de lo s triángulos en lugar de los ángulos para determinar la posición.Topografía para Ingenieros Civiles Fig. Gonzalo Jiménez Cleves . &RRUGHQDGDV Estamos acostumbrados a trabajar con coordenadas cartesianas en sistema [\. Sistema XY Fig. Sistema NE Para el manejo de las coordenadas es necesario conocer la forma como se determin a a partir de la información que toma el topógrafo en el campo.Capitulo 6: Levantamientos de Terrenos Fig. 7UDQVIRUPDFLyQ GH &RRU GHQDGDV Las coordenadas polares (r. ángulos y distancias. . 80. con estos datos se calculan proyecciones y de estas coordinas. 81. Sistema NE N = r * Cos y E = r * Sen (1.UDGLR YHFWRU \ ángulo. es la forma de realizar las mediciones en el campo. 83.2) Universidad del Quindío . 82 Sistema XY Fig. E) que se relacionan así Transform ación de polares a rectangulares: Fig. mejor dicho. en topografía distancia y Az son la manera usual de presenta r la información. los cálculos se efectúa utilizando coordenadas (N. Fig. 84 3UR\HFFLyQ 0HULGLDQD 30 . 4) &DOFXOR GH 3UR\HFFLRQHV Conocidas la longitud y azimut (o rumbo) de una línea se pueden determinar sus proyecciones a lo largo de los ejes NS (Meridiano de Referencia) y EW (Paralelo de Referencia).Topografía para Ingenieros Civiles Transformación de rectangulares a polares U = (2 + 1 2 \ α = arcTan E N (3. Longitud de su componente a lo largo de eje NS. PMPQ = dPQ * Cos AzPQ (5) 3UR\HFFLyQ 3DUDOHOD 33 . Longitud de su componente a lo largo del eje EW. Si se conoc e el rumbo en lugar del azimut. PM es positiva si el azimut es N y si PP es posi tiva el azimut es E. PPPQ = dPQ * Sen AzPQ (6) El signo de la proyección lo da el signo de la función según el cuadrante. Gonzalo Jiménez Cleves . Capitulo 6: Levantamientos de Terrenos (UURU GH &LHUUH (& . En un polígono cerrada o abierta pero analíticamente cerrada la suma algebraica de las proyecciones meridiana es igual a cero. esto hace que en la práctica el resultado no sea cero. entonces: ∑(PM+) + ∑(PM ) = 30 y ∑(PP+) + ∑(PP  . po r lo tanto susceptibles de error. lo mismo pasa con la proyección parale la. las proyecciones son el resultado de dos mediciones (ángulos y distancias). 33 (8) (7) El error de cierre es un vector UHVXOWDQWH GH 30 \ 33 HO HUURU GH cierre se calc ula como la hipotenusa del ángulo formado por los errores en las proyecciones meri dianas y paralelas de un polígono. Fig. 85 Universidad del Quindío . Topografía para Ingenieros Civiles *UDGR GH 3UHFLVLyQ Es la relación que existe entre el error de cierre (Ec) y el perímetro (P) de la poligonal. 0pWRGR GHO 7UDQVLWy :LOVRQ . este método se usaba cuando no habían los dispositivos de cálculo de la actualidad. El grado de precisión se conoce también como error unitario (EU) o escala del Error (E E) *3 = 3 1 (F (9) Una poligonal es tanto mejor cuanto mayor sea el denominador del grado de precis ión. podemos compensar la poligonal para esto tenemos varios mét odos: 0pWRGR $UELWUDULR Como su nombre le indica no obedece a nada. se expresa como una fracción con numerador la unidad (1). no hay medida exenta de error. bien sea la medid a de los ángulos o la medida de los lados o ambos. $MXVWH GH 3ROLJRQDOHV Como se ha visto anteriormente. no es recomenda ble. la medida de una poligonal por lo tanto esta sujeta a errores. si el error esta dentro de los limites de tolerancia. 0p WRGR GH &UDQGDOO Es un método desarrollado por le profesor L. la corrección se aplica a las distancias y muy poco al ángulo. Crandall. como una aproximación al método de mínimos cuadrados.< R 2UPVE\ Es el método recomendado para cunado se desean hacer replanteos. 0pWRGR GH . para poligonal de preescisión superior.Este método se debe usar cuando las medidas de ángulos son más precisas que las medida s de longitud. A. Gonzalo Jiménez Cleves . Existen otros métodos como: Smirnoff. de no ser así se asume como coordenadas del punto de origen un valor suficientemente grande con le objeto de Universidad del Quindío ./DGR 3 (10) (11) P: Perímetro Proyecciones Corregidas 30 F = 30 + & SP (12) (13) 33F = 33 + & 33 El calculo de coordenadas consiste en determinar la posición de puntos en un plano cartesiano./DGR 3 δ33 . 0pWRGR GH OD %U~MXOD Este método fue desarrollado por matemático Norte Americano Bowdich. en algunas partes de l mundo es conocido como el método de Bowdich en honor al que lo desarrollo. Este método tiene la característica que se debe usar cuando los errores angulares tenga e l mismo efecto que el de las distancias. Calculo de Correcciones & 30 = − & 33 = − δ30 . el primer punto de be estar ligado a un sistema superior. para ser usados en casos muy particulares. homotecia y giro. es el reco mendado para poligonal de alta precisión. posee la característica de ajustar la poligonal modi ficando lo mino los ángulos y las distancias. que cada vez son mas comunes por el desa rrollo actual de la tecnología.Capitulo 6: Levantamientos de Terrenos 0pWRGR GH 0tQLPRV &XDGUDGRV Es el mejor método de ajuste de poligonales. este valor puede se r 1000.1000 o cualquier otro valor de acuerdo con le tamaño del polígono y la magnit ud de las distancias. se modifica. como se menciono anteriormente y Gonzalo Jiménez Cleves . Veamos un ejemplo: &DOFXOR GH FRRUGHQDGDV Para estos cálculos recurrimos a los conceptos de geometría analític a £LVWDQFLD HQWUH GRV SXQWRV Ya que conocemos la expresión que nos permite la distancia e n un plano cartesiano. Calculo de Coordenadas ( = ( −1 + 33 L L 1 = 1 −1 + 30 (14.Topografía para Ingenieros Civiles que todo el polígono quede determinado en el primer cuadrante.15) Si la poligonal es cerrada el último punto coincide con el primero y las coordenad as deben ser las mismas del punto inicial. 86 £ $% = ( ( $ − ( % ) 2 + ( 1 $ − 1 % ) 2 (16) £LUHFFLyQ GH XQD OtQHD El rumbo de una línea. NB – NA = Denominador (Dem) Universidad del Quindío . 87 1RWD EB – EA = Numerador (Num). definido ya. se determina a partir de las c oordenadas de sus puntos extremos.Capitulo 6: Levantamientos de Terrenos tenemos: Fig. según la siguiente formula: 5 $% = DUF7DQ (% − ( $ 1% − 1$ (17) Fig. EN. cada norte Ni por la Este del punto siguiente Ei+1. Organizar consecutiva mente las coordenadas de los vértices en columna. es la sumatoria a derecha ∑ →. 2. R = N Si Num = 0 y Dem < 0 Az = 180°.Topografía para Ingenieros Civiles Dem + y Num + Dem + y Num Dem   y Num + Dem   y Num   1: 6: 6( 1( Casos especiales 1. E1. Añadir posterior las coordenada s del último punto NN. Multiplicar. las coordenadas del primer punto N1. 1. hacia la derecha. Si Num = 0 y Dem > 0 Az = 0°. Gonzalo Jiménez Cleves . se trata de calcular su valor empleando coordenadas o gráficamente. 0pWRGR GH ODV F UXFHV Dadas las coordenadas de los vértices de un polígono. sumar algebraica mente estos productos. 2. Multiplicar . R = E Si Dem = 0 y Num < 0 Az = 270°. sumar al gebraicamente estos productos. hacia la derecha. R = W &DOFXOR GH ÈUHDV El área es la medida de una superficie plana encerrada por una poligon al. R = S Si Dem = 0 y Num > 0 Az = 90°. cada Este Ei por la Norte del punto siguiente Ni+1. es la sumatoria a izquierda ∑ ←. 4. 3. 3. 4. con nonio de 0. 88 Consiste esencialmente de: ∴ Polo o punto de anclaje ∴ Brazo polar (de longi tud fija o variable) ∴ Contador de vueltas (dispositivo de lectura). Universidad del Quindío . ÈUHD = ∑ → −∑ ← 2 (18) La formula genera es: ÈUHD = 1 2 ∑1 L * ( +1 − ∑ ( * 1 −1 L L L (19) 3ODQtPHWUR 3RODU Instrumento que permite determinar el área de una figura plana cerrada . Fig. La mitad de la diferencia de las dos sumatorias (en valor absoluto) es el val or del área.001 vuelta ∴ Brazo trazador ∴ Punta o Lupa trazadora.Capitulo 6: Levantamientos de Terrenos 5. recorriendo su perímetro dibujado en un plano a escala conocida. Calculo del área : Diferencia de lecturas. L = Lf   Li Área del dibujo. el perímetro se debe recorrer por lo menos tres veces y promediar el valor leído . Se ubica el polo en tal forma que la punta trazadora pueda rec orrer todo el perímetro de la figura a medir.Topografía para Ingenieros Civiles Fig. Se señala un punto sobre el perímetro. 2. de no ser posible. 4. 89 Planímetro polar de rodillos Empleo: Se puede emplear con le polo dentro o fuera de la figura que se va a trabajar. se lee de nuevo el vernier y se anota la lectura ( L final L f). Vamos a indicar el procedimiento con e l polo afuera. 1. Área = K * L K es una constante que depende del planímetro empleado. Se recorre con la punta trazadora el lindero en sentido horario hasta regresa r al punto inicial. se lee y anota la lectura (L inicial. 3ODQtPHWUR GH 3XQWRV El planímetro de puntos es una cuadricula de puntos espaciados de una manera uniforme y dibujada usualmente sobre un material transparente. 3. se ubica allí la punt a trazadora. Li) del contador de vueltas. se debe dividir e n dos o más áreas menores. Gonzalo Jiménez Cleves . Fig. se cuentan los puntos que están dentro de la figura y los que se e ncuentre sobre el perímetro uno si y otro no.Capitulo 6: Levantamientos de Terrenos Para determinar el área de un dibujo empleando este planímetro. Para calcular el resultado se relaci ona la densidad de puntos por unidad de área en el papel con la escala de áreas.1”>1$ 10”<0. se coloca sobre el d ibujo a escala. para mejorar los resultados esta ope ración se realiza varias veces y se promedia. 90 3RU GHVFRPSRVLFLyQ HQ ILJXUDV El cálculo de área por descomposición en figuras de ár a conocida consiste en formar dentro del perímetro a trabajar triángulos y trapecios que son figuras cuya área es fácilmente calculable 1RUPDV $/7$$6&0 Lectura directa del instrumento (2) Lectura a estima del instrumento 1 Urbano 20”<1”>´ suburbano 20”<1”>´ Rural 20”<1”>´ Montañoso 1”<1”>´ 5”<0.1”>1$ NA NA American Land Title Association – American Congress on Surveying & Mapping Universidad del Quindío . Topografía para Ingenieros Civiles (3) 2D&I 2D&I 1D&I 1D&I Numero de observaciones por estación (4) Dispersión de 5”<0. 54m.2”>´ 20”<0.76m.3”>´ 30”<0. 102m. 27m.1”>´ 10”< 0.(10) Nota 2: ´ 7HRGROLWR GH PLFUyPHWUR ! 7HRGROLWR GH HVFDOD ´ 1HJULOOD . 51 m. 40m.5”>3´ la media D & I no debe exceder (5) Cierre 10”√N 15”√N 20”√N 30” 1:15000 1:10000 1:7500 1:5000 (6) EDM o cinta EDM o cinta EDM o cinta Medición de EDM o de acero de acero de acero distancias (7) doble medición con cinta de acero 81 m. (9). Mínima 20m 14m 10 m 7m longitud medida (8). 153m. 7HRGROLWR HOHFWUyQLFR 20” (itálica): 7HRGROLWR GH PLFUyPHWUR R YHUQLHU Nota 3: &DOFXO DGR Nota 4: £ £LUHFWD , ,QYHUVD Nota 5: &DOFXOR GH OD GLVSHUVLyQ Nota 6: (UURU GH FLHUUH HQ GLVWDQFLD Nota 8: (UURU HQ (£0 UDGD Nota 7: (£0 \ FLQWD DSOLFDQGR WRGDV OD FRUUHFFLRQHV PP Nota 9: &LQWD FDOLE Gonzalo Jiménez Cleves DISTANCIAS VERTICALES £HILQLFLRQHV $OWLPHWUtD Es la parte de la topografía que tiene por objeto el estudio de los método s y procedimientos para representar el relieve del terreno Fig. 91 /tQHD +RUL]RQWDO: es una línea que en topografía se considera recta y tangen te a una superficie de nivel /tQHD 9HUWLFDO Línea que sigue la dirección de la graved ad, indicada por el hilo de una plomada. /tQHD GH QLYHO Línea contenida en una supe rficie de nivel y que es, por tanto curva Topografía para Ingenieros Civiles $QJXOR 9HUWLFDO es un ángulo que existe entre dos líneas que se intersecan en un plan vertical Generalmente se entiende que una de estas es una línea horizontal £LIHUH QFLD GH HOHYDFLyQ R GHVQLYHO es la distancia vertical que hay entre dos superfici es de nivel en las que están ubicados los puntos. £DWXP Sistema geométrico de referen cia empleado para expresar numéricamente la posición de un punto sobre el terreno. C ada datum se define en función de un elipsoide y por un punto en el que el elipsoi de y la tierra son tangentes. (OHYDFLyQ R &RWD Distancia medid sobre un plano ver tical, desde un plano tomando como referencia (usualmente el nivel de mar), hast a el punto considerado. 6XSHUILFLH GH 1LYHO Superficie curva que en cada punto es perpendicular a la línea de una plomada (la dirección en que actúa la gravedad) 3ODQR KRUL]RQWDO Plano perpendicular a la dirección de la gravedad. 1LYHO PHGLR GHO PDU A ltura promedio de la superficie del mar según toda las etapas de la marea en un pe riodo de 19 años. %DQFR GH 1LYHO Punto de referencia cuya elevación con respecto a un plano es conocida. Se usa como punto de arranque o punto de cierre de una nivel ación &RQWURO 9HUWLFDO Serie de bancos de nivel u otros puntos de cota conocida que se colocan para un trabajo de topografía. &XUYDWXUD \ UHIUDFFLyQ En los trabajos d e nivelación, es necesario considerar los efectos: La Curvatura Terrestre La Refra cción Atmosférica Gonzalo Jiménez Cleves Capitulo 7: Distancias Verticales Entonces, R2 + AE2 =(R +c)2 = R2 +2Rc + c2 AE = c ( 2R +c ) AE2 c =          2R + c (1) Ya que c es muy pequeño comprado con R, una aproximación razonable de la curvatura t errestre es: AE2 c =          2R (2) Considerando un radio de 6371 Km., la corrección por curvatura es: Cm = 0.0785 K2 (3) En donde K es la distancia desde el punto de tangencia en kilómetros. De esta form a la corrección por curvatura para una distancia de 500 m. es de 2.0 cm. Debido al fenómeno de la refracción atmosférica, los rayos de luz se refractan, o sea, se dobla n ligeramente hacia abajo. Este doblamiento de los rayos hacia el centro de la t ierra tiende a disminuir el efecto de la curvatura terrestre en un 14%, aproxima damente. AB representa la línea de visual refractada, y la distancia BD representa el efecto combinado de la curvatura y la refracción. Considerándose (c & r) = BD ca lculando a partir de la siguiente ecuación: (c&r) = 0.0675 K2m (4) Universidad del Quindío Topografía para Ingenieros Civiles 3HQGLHQWH 3 . 25 m *100 = 5.08 * 40m = 3.80 m 7. (6) Dn = 0.25 = 003¡ 03´ 135.34% 135. se indica en porcentaje (%) o como una magnitud angular: 3= Desnivel *100 Distancia (5) 3 = $UF Tan Desnivel Distancia (MHPSOR Determinar la pendiente de u n terreno si en una distancia de 153. 3= 7.25 m.80 m el desnivel medido es de 7.20 Gonzalo Jiménez Cleves . se expresa co mo: Dn = Pendiente * distancia (Horizontal) (MHPSOR Dada la pendiente de una línea 8%.80 3 = $UF Tan £HVQLYHO Distancia Vertical o diferencia de nivel entre dos puntos. determinar el desnivel entre sus extremos en una distancia de 40 m.:Inclinación del terreno (de una línea) con respecto a la horizontal. 0HGLFLyQ GLUHFWD H LQGLUHFWD GH GLVWDQFLDV YHUWLFDOHV Las diferencias de elevaciones o desnivele s pueden medirse utilizando los métodos siguientes: 1LYHODFLyQ GLUHFWD En la que se mide en forma directa las distancias verticales. mecánico. utilizando el transito y la mira.Capitulo 7: Distancias Verticales 1LYHODFLyQ operación para determinar desniveles entre dos o más puntos. trigonométrico. ba rométrico. 1LYHODFLyQ EDURPpWULFD: Es la determinación d e las diferencias de alturas de los puntos por medio de las mediciones de las pr esiones atmosféricas en estos puntos con la ayuda de barómetros especiales o también l lamados baroniveles 2WURV WLSRV GH QLYHODFLyQ 1LYHODFLyQ JHRGHVLD: Se emplea para determinar la diferencia de alturas de punto s de la superficie terrestre por los siguientes métodos geométrico. hidrostático y aéreo (aeronivelación). Universidad del Quindío . 1LYHODFLyQ FRQ PLUD es en la que se miden distancias verticales con taquimet ría. 1LYHODFLyQ LQGLUHFWD R WULJRQRPpWULFD Es el método para determinar la diferencia de altura de la superficie terrestre con base en la medida de un ángulo de inclinación de una visual desde un punto a otro conociendo la distancia entre ellos ya sea medida o calculada si esta nivelación sobre puntos de una red planimétr ica. El método mas preciso para la de terminación de elevaciones es la nivelación directa y es el que se utiliza con mayor frecuencia. de la sensibilidad del nivel tubular y el aumento del anteojo. 1LYHO DFLyQ KLGURVWiWLFD Es el método para determinar las diferencias de alturas de los p untos basado en el empleo de las características de los líquidos colocados en recipi entes que se comunican unos a otros. estos equipos pueden dibujar automáticamente el perfil o solamente las alturas de los puntos. La forma de traba jo de los perfilografos se basa en los centros mecánicas o en el empleo de superfi cies horizontales de líquido. Esta nivelación se emplea en casos usando el terreno p ermite emplear gran velocidad de nivelación permitiendo obtener una precisión de alg unos centímetros por kilómetro.Topografía para Ingenieros Civiles 1LYHODFLyQ DVWURQyPLFD: Tiene como objetivo determinar con base en la desviación d e las líneas de la plomada las alturas del geoide. el telescopio esta montado en la placa superior y la inferior atornillada de manera directa sobre el Trípode . es el método para determinar la diferencia de altura de los puntos del lugar pro medio de perfilografos. $VWURQRPRJUDYLPHWULFD: Tiene po r objetivo determinar las alturas de los puntos de la superficie terrestre del c uasi geoide sobre el elipsoide de referencia con base en la desviación de las líneas de la plomada y las anomalías de la fuerza de gravedad en el aire libre y en un e spacio limitado por lo general a los largo de los itinerarios de nivelación. Gonzalo Jiménez Cleves . La precisión de un ni vel depende en principio. de tal forma que se pue dan determinar diferencias de alturas y efectuar replanteos. 1LYHOHV GH 3UHFLVLyQ ÏSWLFR PHFiQLFR Es un instrumento q ue se componen básicamente de un anteojo giratorio colocado sobre un eje vertical y se emplea para establecer un eje de puntería horizontal. 1LYHODFLyQ PHFiQLFD: Llamada también automática . 1LYHO £XPS\ En este. colocados en un automóviles. el telescopio y su eje vertical están modelados en una so la pieza. La cabeza de nivelación consta de dos placas. Nivel Dumpy 1LYHO %DVFXODQWH En este nivel el telescopio no esta unido de ma nera rígida al eje vertical. Nivel Basculante Universidad del Quindío . Este basculamiento e stá controlado por un tornillo de movimiento fino ubicado en el extremo ocular.93. sino que puede inclinarse ligeramente en el plano ver tical alrededor de un eje localizado debajo del telescopio. y la burbuja se lleva al centro de su recorrido en cada lectura sobre la mira.Capitulo 7: Distancias Verticales Fig. 92. Fig. Fig. Los telescopios de estos instrumentos debe n ser más o menos nivelados. corrige el desnivelamiento residual. decimos y según el modelo los centésimos en el micrómetro de la placa plano paralela. en general basado en sist ema pendular dentro del telescopio. en la mira los milímetros. Esquema de la placa plano paralela Sencillamente se enchufa sobre el an teojo del instrumento. Fig. 94.Topografía para Ingenieros Civiles 1LYHO GH SODFD SODQR SDUDOHOD El micrómetro de placa plano paralela es un aditamento pr actico y de fácil manejo para el aumento considerable de precisión. Gonzalo Jiménez Cleves . cuadra la cruz del retículo sobre un centímetro entero y lee los centímetros. Nivel de precisión y placa plano paralela 1LYHO $XWRPiWLFR Este tipo de instru mento de nivelación sin burbuja unidad. 95. un dispositivo compensador. Se recomienda emplear un nivel digital en aquellos trabajos en los que se requiera efectuar un número considerable de nivelaciones ahorrando así hasta un 50% del tiempo. 96. 97 Universidad del Quindío .Capitulo 7: Distancias Verticales Fig. Nivel automático 1LYHO £LJLWDO Alrededor de 1990 aparecen estos niveles. Fig. eliminado así el riesgo de error humano en la lectura y permitiendo que los datos se recolecten de manera automática en una computadora o registro electróni co de datos. el pr imero de un nuevo tipo de nivel capaz de rastrear en forma electrónica una mira co dificada. Topografía para Ingenieros Civiles 1LYHO /iVHU 1LYHO GH 3ODQR R *LUDWRULR 5RWDWLYRV . pero sin elemento giratorio de haz. 99 Gonzalo Jiménez Cleves .En este tipo de instrumento. Sobre la mira se coloca un detector sobre el cual incide el rayo del láser con el cual se toma la lectura de altura di rectamente de la mira. se utilizan para alineaciones de tuberías y túneles. Suelen permitir la inclinación co n pendiente controlada. el cual se toma como referencia para calcular o controlar alturas tales como las de las marcas establecidas. Fig. el rayo láser giratorio hace un barrido sobre un pla no horizontal. Por lo tanto no es necesario que el topógrafo se coloque en el punto en el que se hace estación. 98 1LYHO GH /tQHD /iVHU Son iguales a los anteriores. Fig. Fig.Capitulo 7: Distancias Verticales $GDSWDGRU 2FXODU /iVHU Es un dispositivo emisor láser que se puede conectar a otro s instrumentos como niveles y tránsitos. No es un instrumento preciso pero es muy útil para tareas senc illas. el cual esta provisto de u n pequeño frasco de burbuja fijo a un semicírculo Universidad del Quindío . por medio de un frasco de burbuja adherido a él. 100 1LYHOHV GH 0DQR /RFNH Es un tubo que fija una línea de mira o visual. si acerca el inst rumento a sus ojos. c anales y en la industria. Fig. Su aplicaciones principales son: Túneles. 101 $EQH\ R &OLVtPHWUR Es una variante del Locke. sin ningún dispositivo de aumen to (algunos poseen aumento). El o bservador puede distinguir simultáneamente la mira y la burbuja. Clisímetro . Abney Fig. que gira alrededor de un eje normal al mismo. 102.Topografía para Ingenieros Civiles graduado. 104.QVWUXPHQWRV GH 9HUWLFDOLGDG Existen equipos para definir vertical idad cenit nadir. Fig. de paliación en la determinación de verticalidad de edificios o to rres y topografía de minas. 103. Plomada Cenit nadir 0LUDV \ DFFHVRULRV Las miras que se usan en trabajos or dinarios de nivelación son piezas seccionales y se ensamblan ya sea de manera tele scópica o Gonzalo Jiménez Cleves . Fig. Este dispositivo se usa para verificar pendientes. Plegable Fig. La mayoría de los diseños se hacen en aleaciones de aluminio. 108. Telescópica Fig. 106. Mira para mediciones industriales Universidad del Quindío . 105. Se emp lea en la nivelación y en taquimetría. Mira invar de doble escala Fig.Capitulo 7: Distancias Verticales mediante uniones abatibles que se unen en forma vertical.107. la mira es una de las herramientas de trabajo por eso a ella al igual que al nivel le corresponden altas exigencias técnicas. P uede ser: Fig. aunque todavía existen miras en madera. 109. se coloca horizontal con ayuda de un nivel tubular. cuya longitud es generalmente de alrededor d e 3 m.Topografía para Ingenieros Civiles Regularmente de 4 m de longitud. Una regla de madera. con numeración que permite leer el centím etro y por apreciación. Mira de código de barras 1LYHODFLyQ 6LPSOH Es aquella en la que desde una sola posición del instrumento se pue de conocer las cotas de todos los puntos del terreno que se desea nivelar. la distancia vertical entre esta regla y el punto del terreno se puede medir entonces con ayuda de un a mira. Gonzalo Jiménez Cleves . /D UHJOD G H QLYHODFLyQ Constituye el dispositivo más sencillo que permite medir las diferenc ias de altura. pintada en franjas alternas negra y roja de 1m. el milímetro (también puede venir graduada en pies). Fig. divididas en decímetros y éstos en centímetros. permite medir alturas con cierta exactitud. La plomada de cordón L aparece en el prima como imagen hori zontal L’ d forma que se puede apuntar a un mira de nivelación. imprecisos y su empleo se limita a distancias que permiten leer. Lo mismo que con un nivel se realizan lecturas de frente y de espalda. sobre la mira. 111 Universidad del Quindío .Capitulo 7: Distancias Verticales Fig. Fig. a simple vista. 110 Estos dispositivos son sin embargo. La longitud de la visual es e n ambos casos la misma. 1LYHODFLyQ FRQ HO SULVPD DQJXODU Se coloca un prisma angular en posición horizontal. Ponemos la mira de nivelación sobre el punto B y efectuamos la lectura f (de frente). Trípode = observador. la distancia entre el punto A del terreno y el eje óptico del ant eojo. efectuamos la Gonzalo Jiménez Cleves . altura del instrumento = altura de los ojos. visual = imagen L’ de la plomada. Diferencia de nivel entre A y B. &RQ QLYHO La diferencia de nivel entre dos puntos puede ser determinada de tres maner as diferentes: 0pWRGR GHO SXQWR H[WUHPR Colocamos el nivel por encima de uno de los puntos.Topografía para Ingenieros Civiles Prisma = Nivel. por ejemplo. sobre el conocido punto A y medimos la altura L del ins trumento. o sea. 112 Si colocamos el instrumento por encima del nuevo punto B y la mira sobr e el punto. H= + i – f Fig. cuya elevación hA Es conocida. Capitulo 7: Distancias Verticales lectura H (de espalda) en la mira. La lectura R (visual de espalda) es efectuada sobre la mira colocada en el punto A. 114 Universidad del Quindío . 113 0pWRGR GHO SXQWR PHGLR El instrumento se coloca entre los dos puntos. esta mira se transporta en seguida al punto B donde a su vez se hace la lectura V (Visual de frente). La posición del instrumento no ha sufrido ninguna m odificación durante este tiempo. pero sin pr eocuparse de que el instrumento se estacione en la línea recta que une los dos pun tos. d e manera que las dos distancias a ellos sean poco más o menos iguales. H = +e   i Fig. con lo que obtenemos la diferencia de altura entre A y B. La diferencia de nivel es por consiguiente: H = R  V Fig. 9LVWD DWUiV o vista a espaldas o vista mas. Efectuamos la lectura H (de espalda) en el mira situada so bre A y seguidamente la lectura I (de frente) en B. consiste en determ inar la diferencia de altitud entre los puntos observados.Topografía para Ingenieros Civiles £HWUiV GH ORV SXQWRV El terreno es tal que impide estacionar el nivel sobre ninguno d e los dos puntos ni entre ellos. Pero existe la posibilidad de estacionarlo detrás de los puntos A o B. Note que la altura instru mental no significa la altura del telescopio sobre el terreno donde está armando e l nivel. $OWXUD LQVWUXPHQWDO Elevación del plano d e vista con respecto a un plano de referencia asumida. realizando visuales h orizontales dirigidas a miras verticales. H= +e f. También esta forma resulta que la diferencia de nivel entre A y B. 115 1LYHODFLyQ *HRPpWULFD También llamada nivelación por alturas. una visual tomada sobre una mira situada sobre un punto de elevación conocida para determinar qué tan alto está el plano de vista sobre ese punto y establecer la altura del instrumento con respe cto al plano de referencia asumida. Fig. Gonzalo Jiménez Cleves . Tome la lectu ra y regístrela (lectura V ). 9LVWD LQWHUPHGLD Visual tomada sobre la mira c olocada en un punto para determinar su elevación o establecerlo a una elevación dada . Tome la lectura y regístrela (lectura atrás V+). Si la distancia que separa dos puntos A y B es considerable. esto determina al elevación del punto co n respecto al plano de referencia. estaca o marca en el terreno. generalmente bancos de nivel. La característica distintiva de un punto intermedio es que sobre el se dirige únic amente una visual. una visual tomada sobre una mira colocada en un punto de elevación desconocida para determinar qué tanto por debajo d el plano de vista se encuentra ese punto. Colocamos la mira completamente vertical en el punto A. 1LYHODFLyQ £LIHUHQFLDO Es la que tiene por objeto determinar la diferencia de nivel entre dos puntos. Se toma las distancias aproximadamente iguales entre el in strumento y las dos miras. con esto se eliminaría cualquier error en las lecturas debido a la curvatura terrestre y al refracción atmosférica. 2. Colocamos el instrum ento en el punto S1.Capitulo 7: Distancias Verticales 9LVWD DGHODQWH o vista de frente o vista menos. 1. La característic a distintiva de un punto de cambio es que sobre él se dirigen dos visuales. Gire el instrumento y coloque la mira en el punto 1 sobre una placa. una vi sta menos desde una posición del nivel y una vista más de la siguiente posición. la diferencia de altura entre los mismos se determina niv elando varios tramos. una vista menos. Universidad del Quindío . 3XQWR GH &DPELR Un punto sobre el cual se tom a una vista más con el objeto de determinar la altura instrumental. 3. de manera que mire ha cia el instrumento. 5. La diferencia de altura entre los puntos A y b es igual a la suma de la lectura atrás (V+) y la suma de la lectura adelante (V ). Gire con cuidado la mira sobre el punto 1. Coloque el instrumento en el punto S2 (la mira deberá permanecer sobre el punto 1).Topografía para Ingenieros Civiles Fig.QJHQLHUtD Gonzalo Jiménez Cleves . 0RGHOR GH FD UWHUD 3WR %P & & & & & & & & %P 9 %ORTXH 0HGLFLQD 8 4 %ORTXH . 6.116 4. Tome la lectura de la mira y continúe el mismo procedimient o hasta el punto B. Capitulo 7: Distancias Verticales &RPSUREDFLyQ 1LYHODFLyQ SDUD REWHQHU XQ SHUILO La nivelación de perfiles longitudinales es la determ inación de elevaciones, de puntos del terreno a intervalos regulares a lo largo de una línea dada. Suponiendo se que ya se ha efectuado el trazado sobre el terreno con estacas cada 10 metros, el topógrafo determina primero, la altura del instrume nto, el cual deberá instalarse convenientemente cerca del trazado. En seguida, se hacen lecturas hacia adelante con la mira sobre el terreno, en cada estaca y en los puntos intermedios donde ocurra un cambio notable en la pendiente del terren o. Puesto que estas lecturas de la mira sobre el terreno se efectúan únicamente para fines de dibujo y no para determinar elevaciones de los bancos de nivel, anota solo hasta el centímetro. Así pues, todas las elevaciones de las estaciones del terr eno se calculan también hasta el centímetro. Fig. 117 0RGHOR GH FDUWHUD 3WR %P .2 .2 .2 & . 9 $, 9 9, & .R &RWD 0RMyQ 8 4 % ,QJHQLHUtD Universidad del Quindío Topografía para Ingenieros Civiles .2 .2 %P F .2 &RPSUREDFLyQ 0RMyQ 8 4 . % 0HGLFLQD 0pWRGRV GH FRPSUREDFLyQ 1LYHODFLyQ \ FRQWUDQLYHODFLyQ Es la realización de dos nivelaciones una de ida y otra de r egreso, puede ser por los mismos puntos o por otro camino o puntos diferentes, e s la nivelación más recomendable. £REOH SXQWR GH FDPELR o método de Cholesky De este modo se ce le mismo que la nivelación anterior, pero las dos nivelaciones se llevan al mis mo tiempo, o tres, tiene en común y primera y la ultima lecturas, se puede llevar en una sola pagina o en paginas separadas para evitar equivocaciones. £REOH DOWXUD LQVW UXPHQWDO En este procedimiento las nivelaciones que se llevan, quedan totalmente independientes, pues se van comprobando las diferencias de lecturas entre los ca mbios consecutivos, no tiene en común ninguna lectura, como en le caso anterior, s e pueden realizar dos o mas nivelaciones. 1LYHODFLyQ 7ULJRQRPpWULFD Método altimétrico para determinar el desnivel de un punto respecto de otro, midiendo la distancia cenital o el ángulo de pendiente de la visual, junto con la distancia entre ambos puntos. Gonzalo Jiménez Cleves Capitulo 7: Distancias Verticales En la figura 35 ncia horizontal scopio sobre el o situado a una vemos la situación mas común: la visual es corta, se conoce la dista D. y el ángulo vertLFDO VH PLGLó con un transito. La altura del tele punto A se representa por L, y se lee el ángulo vertical a un punt altura R sobre la estación B. El desnivel esta dado por la siguiente expresión: ∆ $% = £ Tan α + L − R (7) Cuando las visuales de son de mas de 450 metros, se aconseja tomar en cuenta los efectos de curvatura y refracción al calcular la altura Fig. 118 Si la distancia es mayor a 450, como en la figura 98. Aunque no se mues tra la altura del instrumento, L ni del objeto R Los efectos aislados de la refra cción y de la curvatura se designan con KU y KF respectivamente. Universidad del Quindío Topografía para Ingenieros Civiles Fig. 119 En todos los casos de evaluarse la C y R e incluirse en la ecuación, como sigue: ∆ $% = £ Tan α + 0.0675 K 2 + L − R ( K en Km) (8) Nótese que ara un ángulo de elevación (visual sobre la horizontal), el signo del termi no C y R es positivo, en tanto que será negativo para un ángulo de depresión (Visual b ajo la horizontal). Si la distancia inclinada, V, de A hacia B se hubiere determ inado con un instrumento de medición electrónica de distancia (EDM), el término princi pal de la altura en las ecuaciones (7) y (8) sería: V VHQ (MHPSOR La distancia horizontal entre dos puntos es de 1250.40. El ángulo cenital fue de 8 6¡ 38¢, con la altura del telescopio igual a la altura de la mira. Calcule el desn ivel entre A y B. Angulo vertical = 90¡   86¡ 38´= 3¡ 22¢ Gonzalo Jiménez Cleves 67 m 1LYHODFLyQ 7DTXLPpWULFD Este tipo de nivelación se realiza con un taquímetro (transito con hilo s estadimétricos). se utiliza para determ inar la posición planimétrica.2504)2 = +0.0675 K2 = 0. La altura instrumental (i) Fig. 120 Universidad del Quindío .11         Desnivel = 73. El procedimiento a emplear consiste en leer en cada posición de la mira : Los tres hilos El circulo Vertical El círculo horizontal.0675 (1. se determina las posiciones horizontales y vertical de cada pun to visado.Capitulo 7: Distancias Verticales D WDQ C y R = 0. con relación al peso del aire.92 m DE = K S Sen 2 a = 100 * 0. que se determina por el barómetro.60 * Sen ( 2 * (18¡ 34´)) =  18. Fig. se lee la mira así: Hs: 2.60 m DH = K S cos2 a = 100 * 0.02 Angulo vertical:  18¡ 34´ Angulo Horizontal: 47¡ 18´ K =100 s = Hs  Hi = 2. 020 = 0. 121 Gonzalo Jiménez Cleves .Topografía para Ingenieros Civiles Se calcula la distancia horizontal.620 Hm: 2.620   2. y el desnivel con la siguiente expresión: £( = 1 K s Sen 2 a + (i – o) 2 (9) (MHPSOR Con un transito en un punto A.32 Hi: 2.60 * Cos2( 18¡34´) = 53. puesto que la diferencia de altura entre dos puntos se pue de medir aproximadamente de acuerdo con sus posiciones relativas bajo la superfi cie de la atmósfera.11 m 1LYHODFLyQ %DURPpWULFD Se determina por medio de un Barómetro. Normalmente. Enseguida se lleva el instrume nto a los puntos cuyas cotas se desean conocer y en cada uno de ellos se registr a la lectura correspondiente y la hora en que ésta se efectuó. La última observación en el altímetro viajero deberá ser hecha en la estación inicial como un medio de verificación. empleando barómetros extraordinariamente sensibles y técnicas especiales. A medida que avanzan l os trabajos. Las alturas determinada s con un barómetro ordinario que se lleva de un punto a otro pueden dar errores de varios metros. 122 Universidad del Quindío . se pueden determinar alturas con precisión de un metro o menor. Fig. en vista de lo c ual se usan dos altímetros. la presión atmosférica varía en forma apreciable durante pequeños períodos del día. uno se coloca en la primera estación (de cota conocida) y se toman lecturas de referencia a intervalos regulares.Capitulo 7: Distancias Verticales 1. Es necesario colocar el altímetro sobre un punto de cota conocida y ajustarlo p ara que la lectura sea precisamente esta cota. 2. se anota cuidadosamente la hora de cada observación hecha con el otro altímetro. Sin embargo. en los demás puntos y de esta manera se corrigen las lecturas de las alt uras efectuadas en el mismo. 3. Topografía para Ingenieros Civiles (VSHFLILFDFLRQHV La nivelación se clasifica en tres órdenes de exactitud. 1 US Army Corps of Engineers. 12 mm ¥. 6 mm ¥. 5 mm ¥. 24mm ¥. 8 mm¥. Gonzalo Jiménez Cleves . Orden Primero Segundo Tercero Nivelación ordinaria (USACE1) Clase I II I II Error de cierre máximo permisible 4 mm ¥. La clasificac ión y normas fueron elaboradas en estados unidos por el Federal Geodetic Control C ommittee y publicadas en 1974. REPRESENTACION DEL RELIEVE . pero perduró en el tiempo. a los resto s hallados en el terreno. profesor de asiriología de la mencionada universidad. donde resulta consecuenc ia directa del concepto de propiedad privada imperante en esa civilización. medida que conserva en la actualidad. Pero. Para ilustrar esto. hecho que refleja la finalidad militar del documento. dice al respe cto que este documento fue trazado unos 1500 años antes de J. y en coincidencia con las obtenidas actualmente tras el trabajo de los a rqueólogos. Es notable la co nservación de la escala. es decir 24 me tros. Gonzalo Jiménez Cleves . nos dice Kramer en su descripción del documento. En él aparecen representadas las calles.Topografía para Ingenieros Civiles Samuel Kramer. coincidien do la gran mayoría de las medidas (expresadas en sistema cuneiforme). si deseamos extender nu estra indagación al origen de la necesaria correlación entre la técnica topográfica y el derecho civil. Las distancias entre las puertas de acceso a la ciudad amurallada aparecen igualmente claramente representadas en la carta. Este sistema evolucionó. ríos y canales. figura con un ancho de 4 gars sumerios. Se trata de un plano par lante. diremos a modo de ejemplo que.5) por 30. debemos encaminarnos al antiguo Egipto.30 . Así la medida 7. El hecho expuesto no hace más que demostrar que el origen de elementos esenciales a la agrimensura com o la mensura y la representación cartográfica se pierde en la noche de los tiempos y se confunde con el origen de la civilización misma. con “la precisión y me ticulosidad que hoy en día se exige a un cartógrafo moderno”.50 se expresaba en notación sumaria como 7. poniéndos e énfasis en detallar el sistema de murallas que rodeaba la ciudad y sus puertas d e acceso. palacios. el actual canal Shatten Nil.C. donde se señala con cifras muy precisas una veintena de medidas topográficas. Resulta interesante señalar que la numeración sumeria se basaba en el sist ema sexagesimal donde el entero (o la unidad) se representaba por el valor 60 y la mitad (0. con los resu ltados obtenidos en el levantamiento de la ciudad realizado en base. convirtiéndose en el que adoptam os corrientemente hoy en día para dividir el círculo y la hora. templos. en realidad constituyen una miniatura del terreno representado. Hacer resaltar l as formas del terreno de la manera más expresiva posible. Los materiales e mpleados para su elaboración son plásticos. 2. Es indudable que el mapa en relieves es el más inteligible de todos los métodos representativos del terreno. Indicar las pendientes 3.Capitulo 8: Representación del Relieve El procedimiento elegido para representar el terreno debe reunir las condiciones siguientes: 1. Mapas de Relieve o Maqueta Universidad del Quindío . cartón. pe ro su uso está muy limitado por sus elevados costos y por el gran volumen que ocup an. papel. Fig. de un punto cualquiera del terreno representado en el plano. El relieve del terreno puede representarse de varias formas: 0DSDV HQ UHOLHYH Es una representación del terreno en tres dimensiones con escala horizontal y vertical. Permitir encontrar la cota. aunque sea aproximada.123. Trazos Gonzalo Jiménez Cleves . 124.Topografía para Ingenieros Civiles Fig. Universidad del Quindío . b asándose en las curvas de nivel que limitarán las zonas de cada color.Capitulo 8: Representación del Relieve Este procedimiento puede fundarse en el principio llamado de la OX] FHQLWDO. es sólo utilizable en p lanos de pequeña escala. y la intensidad de la luz irá disminuyendo a medida que la pendiente sea mayor. Sombras También puede emplearse este procedimiento suponiendo que el ter reno es iluminado por la luz oblicua dando un tono claro a las zonas que dan fre nte a la dirección de la luz y un tono cada vez más oscuro al terreno que opone a el la. o por tintas más o menos claras. que consiste en suponer que los planos están iluminados por la luz que cae verticalme nte. 125. Esta mayor o menor intensidad de iluminación puede indicarse por trazos que se junten más en las partes más pendientes y dar ton o más oscuro. Este procedimiento muy artístico y que habla a los ojos. Fig. o sea. Por física se sabe que las partes horizontales serán las menos iluminadas. perpendicular al plano de comparación. según sea mayor o menor la pendiente. La representación del terreno.00 120.00 0.00 60.00 20. si se hace descender el nivel de aguas en 1 metro. accidentes. se logra simultáneamente mediante las FXUYDV GH QLYHO. 80. D Todos los puntos sobre una curva de nivel tienen la misma E Cada curva de nivel se cierra en si misma puede ser dentro o fuera de los limites del plano. Se llama curvas de nivel a una línea imaginaria cuyos p untos están todos a la misma altura sobre un plano de referencia.Topografía para Ingenieros Civiles mismo objeto.00 0.00 60. pudiendo conside rarse como la intersección de una superficie de nivel con el terreno. tanto en su pos ición en un plano horizontal como en sus alturas.00 80. Gonzalo Jiménez Cleves .00 160.00 140.00 100. así esta orilla una curva de nivel.00 40. la forma o configuración del terreno. estará al mismo nivel en todos los puntos de la orilla determinand o. si el a gua está calmada. la nueva orilla determinara una segunda curva de nivel. 126. El concepto de línea de nivel puede entenderse fácilmente si nos imaginamos una represa. se debe principalment e al francés Ducarla (1765). y descensos suce sivos del agua resultarán en la formación de nuevas orillas y nuevas curvas de nivel . que también se llama r elieve.00 20.00 Fig.00 40. Curvas de Nivel &DUDFWHUtVWLFDV GH ODV FXUYDV GH QLYHO elevación. Estas curvas se utilizan para representar en planta y eleva ciones al mismo tiempo. con todas sus formas. La solución de problemas dependiendo de estas. significa que el K La curva de nivel q ue pasa por cualquier punto. L Dos curvas de nivel de la misma elevac ión no pueden unirse y continuar como una sola línea. son rectas y pa ralelas entre si. indica.QWHUPHGLDV Son líneas que se muestra n entre las curvas índices a intervalos indicados. &ODVHV Las cuatro clases principales d curvas de nivel son: • ËQGLFH Es una curva de nivel acentuada en espesor que indica un múltiplo del intervalo de la curva de nivel. • . esto se aclara con el símbolo J Donde las curvas de nivel están muy juntas. terreno es muy pendiente. igualmente espaciadas. Universidad del Quindío . las curvas de nivel están I Sobre una superficie plana. donde existe un saliente en voladizo. Se usan para aumentar el relieve. es perpendicular a la línea de máxima pendiente en ese punto. Cuando indica una depresión. ya sea una elevación o una depresión. si e stán muy separadas. • 6XSOHPHQWDULDV Se trazan y se mu estran a la mitad o a la cuarta parte del intervalo indicado para las curvas de nivel básicas. al que nos se le agregaron los de agua.Capitulo 8: Representación del Relieve F Una curva de nivel que se cierra dentro de los límites de un G Las curvas de nivel nunca pueden cortarse entre si. y debe haber dos in tersecciones ( es un caso raro ) mapa. excepto H Sobre una pendient e uniforme. indican que el terreno es plano o poco pendiente. M No se puede dibujar una curva de nivel a través de una corriente N Las curvas de n ivel forma una 8 o 9 al cruzar una corriente. el vértice de la letra señala la dirección aguas arriba. QWHUYDOR La selección adecuada para un plano topográfico se base en: Los rasgos característicos del terreno 4. . En estas curvas siempre se colocan las marcas en dirección a la parte infer ior del accidente. • £HSUHVLRQHV Son línea s marcadas que delimitan las regiones de menor elevación que la del terreno circun dante. El costo La legibilidad del plano 1.Topografía para Ingenieros Civiles accidentes topográficos más importantes. tal como e había indicado. La precisión deseada en las elevaciones que se leen en el plano Gonzalo Jiménez Cleves . 127. Fig. Modelo digital 0RGHOR GLJLWDO GH HOHYDFLRQHV Es la representación únicament e de las elevaciones del terreno.Capitulo 8: Representación del Relieve y topografía llegando a ser la base fundamental de los sistemas de información geográf ico y topográfico Es la representación numérica (el computador la presenta como gráfica) de la superficie del terreno. y. z) pertenecientes a la s uperficie considerada y por los algoritmos de interpolación que permiten la recrea ción de su forma en una determinada zona. 0RGHOR £LJLWDO GH 7LHUUD £*0 . 0RGHOR GLJLWDO GH $OWXUDV Básicamente igual al an terior pero con respecto al nivel del mar. La representación mas corriente es la que se genera por medio de un conjunto seleccionado de puntos (x. 0RGHOR 1XPpULFR GH 7HUU HQR Es una representación matemática de la distribución espacial de una determinada car acterística vinculada a una superficie real. La superficie es en general continua y el fenómeno que representa puede ser variado Universidad del Quindío .Es un modelo digital de la superficie sólida de la tierra. 128 Gonzalo Jiménez Cleves .Topografía para Ingenieros Civiles 0RGHODFLyQ GH 6XSHUILFLHV Es la que describe los procesos de representación física y artificial de una superficie mediante un modelo geométrico Fig. QJ 8 4 Universidad del Quindío .Capitulo 8: Representación del Relieve Modelo de Cartera 3WR %P $ $ $ % % % & & 9 $. &RWD %ORTXH . 9 9. Topografía para Ingenieros Civiles localizar las siguientes cotas cerradas. Fig. . . El procedimiento se sigue hasta llegar a la distancia que requiere cubrir a ambos lados del eje. 129 0RGHOR GH &DUWHUD . . Gonzalo Jiménez Cleves .. 7DOXG . se anota. El procedimiento se sigue hasta llegar a la distancia que requiere cubrir a ambos lados del eje. y se traslada a l lugar donde quedo la mira. Fig. y se procede de igual forma a buscar el siguiente p unto. . se mide la distancia que se alejo de la mira. 130 0RGHOR GH &DUWHUD . . — .Capitulo 8: Representación del Relieve terreno. . Universidad del Quindío . Es muy imp ortante que el topógrafo tengo nociones de geomorfología para la determinación de los puntos. 131 0RGHOR GH &DUWHUD 3WR (VWDFLRQ É. YLVDGR $]LPXW +LORV /&9 £+ £( Gonzalo Jiménez Cleves . Fig.Topografía para Ingenieros Civiles precisión (provisto de circulo horizontal) siguiendo el mismo criterio. 39 respectiva mente. 2 o más dimensiones. Se entiende que el punto problema esta dentro del rango de variación de los d atos disponibles.Capitulo 8: Representación del Relieve Es la estimación del valor de una variable en un punto a partir de otros datos próxi mos.QWHUSRODFLyQ *UDILFD (VWLPD El topógrafo coloca las curvas de nivel en el intervalo de acuerdo a su criterio. por consiguiente las cotas a encontrar serán 105 y 106. este método es muy poco usado . Calculo 105 Universidad del Quindío . La interpolación pu ede hacerse en un espacio de 1. en caso contrario se habla de H[WUDSRODFLyQ. 0DWHPiWLFD Es la más precisa aunque muy lenta. .25 y 106. se desea interpolar a una equidistancia de 1 metro. y localizando por proporción los puntos de las curvas de nivel intermedias. 3URSRUFLRQHV Midiendo a escala la distancia entre los puntos de elevación conoci da. generalmente apoyado en el conocimiento del terreno. pues para cada punto se establecen proporc iones entre la distancia y el desnivel como se ve a continuación Se tiene dos punt os a y b a una distancia de 30 metros cuyas cotas son 104. 25 = 2.75 2.14 7.00   104.UUHJXODUHV .[ = = 10.Topografía para Ingenieros Civiles ∆¤esnivel total = 106.75 30 30 *1.[ = = 24. 25 = 1.75 [ 30 30 * 0.39   104.25 = 0.39   104.14 0.25 = 2.53 P 2.14 Calculo 106 ∆¤esnivel total = 106.14 ∆¤esnivel a 106 = 106.75 [ = .14 1.75 2.14 ∆¤esnivel a 105 = 105.00   104.75 = .51 P 2.1 5HG GH 7ULDQJXOR . en lo posible. La conformación de la red de triángulos. por medio de segmentos de rectas. denominada triangulación. Se incluyan todos los puntos del modelo El resultado del proceso esté libre de ambigüedad (sea inequívo co) Gonzalo Jiménez Cleves . C onsiste en generar sobre un plano horizontal una malla de triángulos. de las proyecciones de los p untos del modelo sobre el plano. 132 • • • Los triángulos sean. debe realizarse de tal manera que: Fig.Este modelo se basa en la generación de una red formada por triángulos irregulares cuyos vértices son los puntos originales obtenidos para la definición del terreno. la cual resu lta de la conexión. equiláteros y pequeños. así como para el calculo de rellenos y u trazo ópti mo de las rutas con respecto a la topografía. Se soluciona un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas A partir de esto s algoritmos se puede llegar a diferentes representaciones como el plano de curv as de nivel llamado plano topográfico y modelos digitales de terreno.QWHUSUHWDFLyQ GHO UHOLHYH Para poder saber interpretar un mapa topográfico. Dirección y grado de la inclinación. 3. El intervalo de contorno. que puede ser numérica y/o gráfica. expresadas en porcentaje o p roporción. lo cual implica establecer y monumental los puntos a Universidad del Quindío .Capitulo 8: Representación del Relieve Para lograr la automatización de este proceso se han diseñado algoritmos de triangul ación. Se forman triángulo s lo mas equiláteros posibles formando una red. Esencialmente. es la diferencia en elevación entre curvas d e nivel. 1990). 2. Escala. necesita conocer tre s factores: 1. . Permite usar una regla (o escala) para comprender las distancias reales en el terreno. que son las consideraciones más importantes en una planificación d e terreno y diseño debido a su efecto sobre la estabilidad de la inclinación y el dr enaje del agua de la superficie (El método para calcular la inclinación se discute e n la siguiente sección. Con cada tres puntos definimos un plano: Z = Ax + By +C 3. e n el cual se emplean polígonos de Thiessen (Gazdzicki. 2. 1. 3HUILOHV ORQJLWXGLQDOHV \ WUDQVYHUVDOHV Los perfiles longitudinales y transv ersales constituyen el punto de partida para la planeación detallada y el replante o de vías de comunicación (Caminos). se replantea y mar ca el eje longitudinal (eje del camino). El más frecuentemente utilizado es el algoritmo de triangulación de Delaunay. Como primer paso. en un mapa topográfico la inclinación es la dif erencia de elevación entre dos curvas de nivel dadas. Fig. La altura del instrumento se forma por la suma de la lectura de la mira y la al tura del punto de estación conocido. la cual esta relacionada a una altura de referencia en números enteros. Las alturas de los puntos que forman dicho perfil se determinan auxiliándose de la altura cono cida del instrumento. empleando el nivel. Posteriormente. las alturas de los puntos de estación se muestran a una e scala mucho mayor que aquella a la que se representa los puntos de dirección longi tudinal. reste las lecturas de la mira (en os puntos del perfil transversal) de la altura del instrumento. 133 Fig. Primero coloque la mira sobre un punto de estación conocido. Los perfiles longitudinales (en ángulo recto hacia el eje del camino) se miden en los puntos de estación y en las prominencias del terreno. Al representar gráficamente un perfil longitudinal. se genera un perfil longitudinal a lo largo del eje del camino. con lo cual se obtiene las alturas de los puntos en cuestión.Topografía para Ingenieros Civiles intervalos regulares. determinando las alturas de los puntos de estación al nivelar dicha línea. 134 Gonzalo Jiménez Cleves . De esta forma. Las distancias del punto de est ación hacia los diferentes puntos de los perfiles transversales se determinan ya s ea mediante cinta o en forma óptica. Capitulo 8: Representación del Relieve Fig. 135 Universidad del Quindío . Harry Parker y Jhon W.136 Se construye entonces una curva que conecta los puntos E.Topografía para Ingenieros Civiles Fig. Como lo s arcos son mas largos que las líneas rectas entre los puntos Tomado y adaptado de Ingeniería de campo simplificada para arquitectos y construct ores. f y G. Gonzalo Jiménez Cleves 1 . MacGuire. en el sentido de la pendie nte generalmente. Universidad del Quindío . con pendientes suaves y. que conservan. usando métodos planimetritos. Para l levar a cabo dicho trazado. de acuerdo con el contorno aproxi mado. La necesidad de un plano topográfico es menor en terrenos planos. Este método sirve para reducir la pendiente en lugares donde est a es excesiva. hasta donde se permita las labores urbanísticas. la pendiente de GB es ligeramente menor que el 4% y por tanto la línea que indica que la línea de pendiente cumple los requisitos. ya que las terraza s tendrán que marcarse posteriormente. a vece s la localización de las terrazas puede determinarse por inspección. de esta manera se forma una serie de escalones. las pendientes serán ligeramente menores que el maximote 4%. La localización de las terrazas en contorno puede ser considerada c omo parte de la planeación básica. las terrazas se trazan de tal modo. 7HUUDFHR El terreno se divide en una serie de franjas. Debido a que con demasiado frecuencia el movimiento de tierra involucrado es bastante grande. es esencial tener un plano topográfico exacto del área d e influencia. lo más posi ble. Un aro con un radio de 125 m de interfecta a la curvas 165 en el punto B’. Es necesario que este plano tenga puntos de referencia permanentes para su control horizontal y que se localicen en el terreno. durante la cual se localizan los linderos del ter reno. F y G.Capitulo 8: Representación del Relieve E. la topografía original. Como la línea GB es ligeramente más larga que la GB’. Topografía para Ingenieros Civiles Gonzalo Jiménez Cleves . . Este procedimiento empleado prin cipalmente para grandes obras cuando es imposible medir distancias. Y. 0pWRGR GH WULDQJXODFLyQ Este método. a cont inuación se presentan algunos métodos para esta labor. la realidad profesional ha enseñado que un replanteo mal aplicado y e rróneo puede afectar tanto el costo económico como retrasar la ejecución y menguar la calidad final de la obra.APLICACIONES EN CONSTRUCCION . Z) permite situar o marcar puntos buscados sin tener que recurrir a las distancias que los separan.QWURGXFFLyQ El replanteo en la topografía es una de las etapas más importantes en una obra civil. /RFDOL]DFLyQ Determinado el proyecto por el arquitecto y el ingeniero civil se inicia la localización para su posterior construcción. consiste en el trazado de ángulos partiendo de puntos conocidos (estos puntos deb en poseer coordenadas X. El transito debe de ser al segundo o las distancias deben de ser muy cortas. Fig. 137 0pWRGR GH &RRUGHQDGDV 3RODUHV Este procedimiento de ubicación de obras. 138 Gonzalo Jiménez Cleves . la precisión de este método depende de la lec tura angular del transito y del método o instrumento de medida de las distancias. se recomienda mediciones con cinta o un distanciómetro.Topografía para Ingenieros Civiles Fig. permi te fijar la situación de los puntos con relación a unos centros (estación o estaciones ) comunes midiendo ángulos y distancias. Como se muestra en la figura. Fig. 139 0pWRGR &RPELQDGR GH &RRUGHQDGDV 5HFWDQJXODUHV SRODUHV Consiste en determinar las abscisa y la ordenadas como el método anterior pero además verificar angularmen te con un transito la posición definitiva del punto. cinta metálica.Capitulo 9: Aplicaciones en Construcción 0pWRGR GH ODV FRRUGHQDGDV UHFWDQJXODUHV Este método es sencillo y se realiza con los i nstrumentos menores como. plomada. Consiste en fijar los puntos por medio de dos valores: una distancia sobre el ej e y una distancia perpendicular a dicho eje. Fig. escuadras de prismas. 140 Universidad del Quindío . jalones. 141 1 Kart Zeiske. a fin de indicar las posiciones que deberán tener las paredes. resulta útil extrapolar los lados de la misma más allá de los límites de la excavac ión. se pueden amarrar cuerdas o hilos a esta s.Topografía para Ingenieros Civiles 1RWD $ ILQ GH REWHQHU XQ JUDGR GH SUHFLVLyQ VXILFLHQWH HV LPSRUWDQWH FRPSUREDU HO WUD]DGR UHSURGXFLGR VREUH HO VXHOR SRU PHGLR GH OD PHGLFLyQ GH ODV GLDJRQDOHV G H HVWH WUD]DGR 1RWD /D LQIRUPDFLyQ GH ODV FRRUGHQDGDV SDUD OD ORFDOL]DFLyQ GHEH SU RYHQLU GH ODV PHPRULDV GH FiOFXOR QR GHEHQ VHU WRPDGDV GHO SODQR \D TXH HVWH SXH GH FDXVDU HUURUHV SRU DSUHFLDFLyQ GH OD HVFDOD R SRU FDPELRV GHELGRV D GLODWDFLy Q R FRQWUDFFLyQ GHO SDSHO R SUHFLVLyQ GHO GLEXMR 5HSODQWHR Para alinear una constru cción. Principios Básicos de Topografía Gonzalo Jiménez Cleves . los perfiles de los límites se levantaron en forma paralela a las paredes de un edificio a las distancias respectivas a y b de los límites Fig. a fin de determinar los perfiles de los límites sobre los cuales se colocan est acas. Durante el proceso de construcción. En el siguiente ejemplo. Este será el primer punto donde se colocara la estación total o transito. Marque el punto A a una distancia D definida a partir del límite superi or. a una distancia cualqu iera C.Capitulo 9: Aplicaciones en Construcción 1. Empleando un bastón de aplomar. vise el punto B y mida los puntos A1. marque el punto B al final de la línea base. 142 Universidad del Quindío . 2. siguiendo la longitud planteada para el lado de l edificio. Establecer una línea base AB paralela al límite izquierdo. A5 y A6. comen zando a partir de los puntos A1 al A6 respectivamente. 4. Los puntos de los perfiles de los límites se determinan en forma similar. Visando el punto B. 6. ponga el círculo horizontal en ceros. 3. gire la estación 90° y tr ace la segunda línea AC con los puntos A4. Coloque la estación total o transito en el punto A. 5. Fig. A2 y A3 sobre la línea. En edificios más pequeños resulta más sencillo d eterminar los perfiles de los límites empleando un prisma de ángulo recto y una cint a. etc. con el cual se pueden determinar directamente. todo es conocido por lo tanto vamos a mencionar esto únicamente. puede determinar directamente los lados H1 H2 y H1 H3 del edificio para utilizarlo como la línea de inicio para marcar los p untos de los perfiles de los limites. /HY DQWDPLHQWR LQWHULRU GH XQD FRQVWUXFFLyQ Para medir cantidad de obra construida e n una casa o edificio. comenzado en cualquier punto. exceptuando lo relacionado con ángulo entre pare des. Muchas de las estaciones totales incluyen programas para alinear edificacione s. Gonzalo Jiménez Cleves . para una remodelación. debemos conocer el procedimient o a seguir para realizar el levantamiento mencionado.Topografía para Ingenieros Civiles Si aun no sea excavado los cimientos. Se Debe medir: ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ Dime de columnas Dimensiones de Vigas Posición de puntos eléctricos e hidráulicos Dimensio nes de puertas y ventanas Distancia entre cielo raso y piso Posición de implemento s sanitarios Longitud y ángulos entre paredes Área de piso Área de paredes Ancho y lon gitud de una escalera (paso y contra huella) Con respecto a la lista anterior. Capitulo 9: Aplicaciones en Construcción ÈQJXORV HQWUH 3DUHGHV Se prolonga hacia fuera las tangentes a las paredes y como lo ind ica la figura. 146 Universidad del Quindío . se t razan paralelas a estas mediante perpendiculares de igual longitud. se mide oa = ob = d y ab =c. 145 C VRQ FRUUHVSRQGLHQWHV \ ¡   Fig. se puede uti lizar el mismo método del seno para calcular el ángulo Fig. Fig. 144 F α = 2DUFVHQ 2 G y α = 360° − β (1. por el método del seno se calcula el áng ulo entre las paredes.2) Si no es posible prolongar hacia fuera las tangentes a los muros o paredes. 143 Fig. Topografía para Ingenieros Civiles ÈQJXORV HQWUH SDUHGHV LQWHULRU . 149 Gonzalo Jiménez Cleves . 147 Fig. obtenemos el ángulo /HYDQWDPLHQWRV SDUD FRQVWUXFFLRQHV Algunos trabajos que se hacen para construcción tales como: ∴ Estacar una zanja para su excavación Fig. 148 Se miden los lados oa = ob = d y la cuerda ab = c aplicando una de las formulas conocidas. Fig. se utilizan el método del cosen o.Para medir el ángulo interno que forma dos paredes. Capitulo 9: Aplicaciones en Construcción ∴ Controlar el tendido de una tubería Fig. 150 ∴ Ubicar la posición de una zapata y estacarla Fig. 151 Universidad del Quindío Topografía para Ingenieros Civiles ∴ Controlar una excavación en tamaño y profundidad Fig. 152 ∴ Colocar hilos en ejes de cimentación Fig. 153 ∴ Controlar la verticalidad de columnas Fig. 154 Gonzalo Jiménez Cleves Capitulo 9: Aplicaciones en Construcción ∴ Control de Formaletas Fig. 155 Universidad del Quindío Topografía para Ingenieros Civiles Gonzalo Jiménez Cleves Europa tendrá. El sistema proporcionará señales a los usuar ios con grandes garantías de continuidad. pero también se conoce para causar ratos de depresión y desilusión. na vegación y aplicaciones científicas que necesiten medidas de posicionamiento de rigu rosa exactitud. fiabilidad y precisión.QWURGXFFLyQ La topografía con los sistemas de posicionamiento puede ser sumamente pr oductiva. Cuando sea operativo. *DOLOHR Galileo es una iniciativa Europea que imp lica el desarrollo. independencia en las aplicaciones que requie ren de un sistema global de posicionamiento con satélites: cartografía. a través de la puest a en órbita de satélites en el espacio.SISTEMAS DE POSICIONAMIENTO . implementación y materialización de un sistema global y multimod al de navegación por satélite. y donde el usuario final podrá elegir entre diversos servicios de diferente accesibilidad y de difer entes prestaciones en función de la exactitud final que se . La configuración espacial de GALILEO consistirá en 30 satélites de órbit a terrestre media (0HGLXP (DUWK 2UELW). El objet ivo de es texto es guiar a los estudiantes a ver los posibles problemas y propor cionar las pautas de cómo evitarlos. topografía. GALILEO será compatible con otros sistemas de posicionamiento actuales. es el sistema de referencia que emplea este sistema. pero la constelación no fue terminada hasta diciembre de 1995 y comenzó a ser operat ivo el 18 de enero de 1996. *ORQDVV Es u n Sistema Global de Navegación por Satélite (GNSS) desarrollado por Rusia Consta de una constelación de 24 satélites (21 en activo y 3 satélites de repuesto) situados en tres planos orbitales con 8 satélites cada uno y siguiendo una órbita inclinada de 6 4. Kazajstán.100 kilómetros (algo más bajo que el GPS) y tarda aproximadamente 11 horas y 15 minutos en completar una órbita. Los satélites se han lanzado desde Tyuratam. En el 2004. de manera que la transición entre unos y otros no se hará de manera drástica. El sistema fue pensado para ser funcional en el año 1991.8¡ con un radio de 25510 kilómetros. Gonzalo Jiménez Cleves . Los tres primeros fueron colocados en órb ita en octubre de 1982. La situación económica de Rusia en los años 90 supuso que en abril de 2002 solo 8 satélites estuvieran completamente operativos. La aparición en el mercado de receptores que permiten recibir señales pertene cientes a los dos sistemas GLONASS y GPS (con sistemas de referencia diferentes) hace interesante las posibilidades de GLONASS en la medición como apoyo al GPS no rteamericano. que es muy similar al GPS pero puesto en funcionamiento por la ex Unión Soviética y man tenido actualmente por Rusia. El PZ 90.Topografía para Ingenieros Civiles requiera. 11 satélites se encuentran en pleno funcionamiento y tras un acuerdo con el gobie rno indio se plantea tener de nuevo completamente operativo el sistema para el año 2007. La constelación de GLONASS se mueve en órbita alr ededor de la tierra con una altitud de 19. De esta manera. 1 Introducción al GPS. La idea básica del sistema es la medida de distancias entre el aparato receptor y al menos cuatro satélites de la constelación NAVSTAR. Camilo A. que generan la señal para el posicionamiento. 2001 Universidad del Quindío . siendo en la actualidad un instrumento capaz de satisfacer demandas dentro de l os campos de la Geodinámica y la Geofísica. que permiten calcular posiciones. pero pronto se puso de manifiesto la posibilidad de sus aplicacion es en geodesia y topografía.Capitulo 10: Sistemas de Posicionamiento *36 Sistema de posicionamiento con satélites (*OREDO 3RVLWLRQLQJ 6\VWHP) que desde sus orígenes en 1973 ha supuesto una revolución frente a las técnicas utilizadas en geode sia clásica. y mediante el tratamiento de los observables GP S (medidas de fase. por lo que habrá que realizar una transformación de este siste ma al sistema de referencia local que se precise. Rada. La precisión métrica en un principio era la necesaria para la navegación en tiempo real. cuyas coordenadas vendrán dadas en el sistema de referencia WGS 84. de manera que la primera operación es conocer la posición del satélite en un a época determinada por medio de los parámetros orbitales radiodifundidos en el mens aje de navegación. al permitir conocer la posición del observador con prec isiones similares a las de los métodos clásicos. estableciendo un sistema de referen cia tipo "faros espaciales". mediante el postprocesado de datos. /RV (OHPHQWRV La cadena que permite e l funcionamiento de este sistema consta básicamente de tres partes: • /RV VDWpOLWHV. tiempo y pseudodistancias) se puede conocer la posición en pos tproceso de la antena del receptor. como marítima y aérea. et c. tanto terrestre. • Fig. ya que el receptor de GPS no transmite ningún tipo de señal al satélite. y son los recepto res los que calculan información derivada de ésta tal como la velocidad. que con estaciones a lo largo de todo el mundo monitorea y constantemente envía i nformación a los satélites para que estos la transmitan a los usuarios. fue diseñado con el propósito de pe rmitir a usuarios en tierra. que son quienes poseen un receptor de la señal GP S.Topografía para Ingenieros Civiles • /D VHxDO. que transporta la información desde los satélites hasta el receptor. Además existen hoy numerosos modelos de receptores que entregan valiosas herram ientas para la navegación. El sistema de GPS. es el sector de control. 156. Satélites Un cuarto segmento a ser considerado. /RV XVXDULRV. errores. es un idireccional para los usuarios. conocer un único dato: la SRVLFLyQ. entregando d atos precisos y actualizados. el que hace el cálculo efectivo de la posición y entrega además multitud de funcion es que facilitan la navegación. Gonzalo Jiménez Cleves . esto es. Luego. Universidad del Quindío . Esto nos permite saber algo de nu estra posición pues ahora solo podemos estar en alguno de los puntos que están a 10 cm de D. la que resulto se r de 15 cm. La idea es sencilla y podemos comenzar a entenderla con un modelo simple del proceso.Capitulo 10: Sistemas de Posicionamiento &RPR IXQFLRQD Ya conociendo la estructura básica del sistema. de algún modo nos enteramos que estamos a una distancia de 10 cm del punto D. Dado que esto es difícil de entend er en tres dimensiones. E y F. Luego. Imaginemos una h oja de papel con tres puntos llamados D. el funcionamiento queda cl aramente explicado tras detallar el principio geométrico básico en que se basa el po sicionamiento. Fig. Luego. Este es el de Triangulación. supongamos que nosotros estamos parados en algún punto desconocid o del papel. 157. En principio no sabemos donde. hemos conseguido de algún modo conocer nuestra distancia a E. lo haremos primero en un espacio plano. estando ya bastante menos perdidos sobre nuestra hoja de pape l. los puntos que forman una circunferencia en torno a D con 10 c m de radio. ¿cuáles están a 15 cm de E? Los puntos a 15 c m de E. nuestra posición queda restringida sólo a 2 puntos. ¿En cual de estos esta mos? Esta pregunta sólo la podremos resolver tomando una tercera referencia. De todos los puntos en que podíamos estar. son aquellos en los que ambas circunfer encias se interceptan.Topografía para Ingenieros Civiles Fig. Digamos que logramos medir también nuestra distancia respecto a este punto. ésta en torno a E y de radio 15 cm. 158. forman otra circunferencia. 159 Así. Luego los puntos que están a 10 cm de D y a 15 de E. que e n nuestro caso será el punto F. Gonzalo Jiménez Cleves . Fig. pues aún tenemos una gran incerteza respecto a nuestra u bicación. 160 Donde nuestra posición está ahora perfectamente determinada en el único punto donde se interceptan las tres circunferencias entorno a D. Consigamos otro punto de referencia a distancia conocida. En tres dimensiones la situación es análoga. Luego conociendo la distancia a un segundo punto sabremos que estamos en algún lugar de la circunferencia que resulta de interceptar dos esferas . por ejemplo 10. pues si con ocemos la distancia a un punto.Capitulo 10: Sistemas de Posicionamiento Resulto ser de 8 cm. nuestra posición queda rest ringida a la superficie de una esfera centrada en el punto de referencia y de 10 .000 Km de radio. de radios 10. así entonces. Fig.000 Km. 15 y 8 cm respectivamente. Así podemos ver que para el caso tridimensional. nuestra escena aparecería del siguiente modo. Prosigamos con el posicionamiento. la esfera en torno a éste punto cortará nuestra circunferencia en dos únicas posiciones. E y F. Aquí solo un cuarto punto de referencia nos permitirá discer nir cuál de esas posiciones corresponde a la verdadera. son necesarios 4 Universidad del Quindío . Podemos notar que con dos puntos a distancia conocida vamos un paso más atrás que en el caso bidimencional. 000 Km/h. por ser de natural eza electromagnética al igual que la luz. Una analogía sencilla: La distancia recorrida por un auto que viaja a 60 Km/h en 3. por lo que Gonzalo Jiménez Cleves . así el cami no recorrido por la señal (distancia al satélite) será el tiempo que tardo la señal en d icho recorrido. y su posición. El segundo punto clave es el de conocer la distancia al satélite. la posición. queda restringida a dos únicos puntos.000 Km/h. Los pun tos de referencia en el caso GPS son los satélites. p ara esto nos basamos en el hecho de que las señales del satélite. Por ahora podemos entenderlo del siguiente modo: La señal tr ae consigo la siguiente información "fui emitida a las 15:45 h".4 [h] = 204 [Km] Más adelante estudiaremos como podemos nosotros saber el tiemp o de viaje de la señal. entonces si yo la recibo a las 15:46 h significa que el tiempo de viaje fue de un minuto.000. es decir a 300. es necesario conocer de algún modo la distancia a cada satélite. lo que no es un tema menor. pero en la realidad nuestros puntos de referencia se mue ven a 15.4 horas es: 60 [Km/h ]— 3. Sucede que al momento de conocer nuestra distancia a tres satélites. por lo que resultará imprescindible un mecanismo que nos permit a conocer con extraordinaria precisión la posición en el espacio de cada satélite y en cada momento.080. así para que el sistema funcione como recién señalamos. uno de los cuales suele estar a una altitud descabellada. Esperan do que hasta este punto las bases del posicionamiento queden claras. pues en el papel del primer ejemplo lo s puntos estaban fijos. solo falta explicar por que en algunas oportunidades no es necesario un cuarto satélite para determinar una posición. multiplicado por la velocidad con que viajó. aunque en la realidad suposicio nes de sentido común nos permitirán prescindir de una de dichas referencias. viajan a la misma velocidad que esta últim a. o bien 1. como vimos.Topografía para Ingenieros Civiles puntos de referencia para determinar una posición.000 kilómetros por segundo. Éstos son Universidad del Quindío . y la que contiene lo s parámetros necesarios para calcular la posición del satélite en el espacio. Como ya hemos visto son necesarios varios satélites para calcular una posición. a demás para lograr la cobertura deseada son necesarios aún más satélites. sin embargo también esta operativa GLONASS a cargo del gobierno Ruso. Esto es aquella que nos permitirá conocer la distancia al satélite. Sin embargo ya veremos como un cuarto satélite nos permitirá coordinar los relojes para obtener una extraordinaria precisión en los cálculos. es la encargada de llevar del satélite al receptor toda la información necesaria para el posicionamiento. logrando una mayor cobertura y precisión. Para est o último existen dos conjuntos de datos independientes y complementarios.Capitulo 10: Sistemas de Posicionamiento podemos descartarlo y suponer que estamos situados en el otro punto. La más comúnmente utilizada por receptores civiles es la Norteamericana NA VSTAR. /D 6HxDO La señal. /RV 6DWpOLWHV Los satélites cumplen la fundam ental labor de transmitir la señal para el posicionamiento a los usuarios en tierr a. Todo este conju nto de satélites trabajando de manera coordinada es conocido con el nombre de FRQV WHODFLyQ. y la unión europea también esta en proceso de terminar su propia constelación: GALILEO. Act ualmente existen receptores que trabajan de manera conjunta con NAVSTAR y GLONAS S. se calculan las Efemérides del satélite 21. es decir p ermite conocer a JURVVR PRGR la configuración actual de la constelación. (O 5HFHSWRU El Receptor.Topografía para Ingenieros Civiles • • El Almanaque Las Efemérides El Almanaque es aquel que contiene la información orbital de todos los satélites ope rativos. por lo tanto la Tierra podría estar "tapizada" de receptores. Las Efemérides son constan temente actualizadas. la mayoría de los receptores buscan actualizaciones cada 30 minutos. y sólo eso. de hecho los satélites no se dan cuenta de la existencia de los r eceptores. pero sin la precisión necesaria para el posicionamiento. son correcciones de enorme precisión al almanaque. Es decir. millones de ellos y este sistema jamás se recargaría. Gonzalo Jiménez Cleves . es el eslabón del sistema a ca rgo del usuario. Las Efeméride s. con ésta el receptor puede calcular la posición de toda la constelación en un momento dado. y que tiene la labor de "escuchar" a los satélites. como su nombre lo dice. pue s no emite nada. Son calculadas en las estaciones de control y enviadas a cada satélite en partic ular. de echo funcionaría tan bien como si hubi era sólo un receptor en todo el mundo. y se le envían para que el mismo satélite 21 se las transmita a todos sus usuarios. Son específicas de cada satélite y permiten calcular su ubicación con la precisión necesaria para el posicionamiento . tales como cálculos de velocidades. pero los actuales GPS disponibles para el público en general entrega n una enorme cantidad de funciones. Así para facilitar el entendim iento del texto siguiente.. Junto con todo esto se ha acuñado toda una terminología que faci lita la comunicación entre los usuarios de GPS. De este modo el receptor GPS. etc. 161 La función base del receptor es la de calcular su posición. más sencillo sólo calcul aría su posición. además de generar estándares para el m anejo y funcionamiento de los distintos receptores. o simplemente GPS. esbozaremos aquí un pequeño glosario.Capitulo 10: Sistemas de Posicionamiento Fig. errores. longitud y a veces altitu d) asociadas a un cierto nombre asignado por el usuario. o punto d e ruta. trayectori as. Usualmente estos Universidad del Quindío . realiz ar todo el proceso de triangulación que hemos descrito además de las correcciones pe rtinentes. Éste consiste en un set de coordenadas (latitud. esto es.. • :D\SRLQW. Así si los satélites están muy aline ados. que describen a JURVVR PRGR una trayectoria dada. s e puede entender como que si el EPE es de 18 metros. común me nte constan de varias decenas de Waypoints. Es una secuencia ordenada de Waypoints. es comúnmente llamado EPE y se refiere a un valor estimado del error horizontal. en cambio si los satélites están. dicho volumen será bajo y el DOP alto. mientras más bajo s ea su valor: mejor. • • • Gonzalo Jiménez Cleves . sin embargo muchos receptores permiten ta mbién asociar un breve comentario e incluso un icono. Error estimado en la posición. muy sep arados el volumen será grande y el DOP bajo. Se refiere a la trayectoria registrada y almacenada por el GPS. (3(. £23. contando con varios cientos y hasta miles de puntos. 5XWD.Topografía para Ingenieros Civiles nombres son cortos (6 a 8 caracteres). Usualmente es de buena resol ución. Pero la realidad es que prácticamente todos los receptores entregan un error asoci ado a la posición (dato que puede llegar a ser tan valioso como la posición misma). • 7UDFN 7UDFNORJ. caen en realidad en un punto que muy probablemente esta dentro de un ci rculo de 18 metros de radio en torno a mí. las coordenadas que entrega el GPS. Podemos de alguna forma relacionarlo con el concepto geométric o señalado por el volumen del sólido (imaginario) que tiene como vértices a los satélite s (en uso para el posicionamiento) y al receptor. El cálculo del error es algo bastante complejo y hasta algo "esotérico" para algunos. este es un valor numérico asociado a la geometría de los satélites en el cielo. Diluición de la precisión. Esta técnic a permite observaciones muy cortas en los puntos de estudio. Navegadores Este involucra a dos o más receptores que están colectando datos en diferentes punto s durante una cantidad suficiente de tiempo común para resolver el vector(s) entre ellos a nivel centímetro o milímetro. si se pierde el contacto se deberá rein iciar el levantamiento. GPS pulso Las técnicas dinámicas requieren el uso de datos en movimiento. Una vez iniciado el proceso de medición se debe mantener el contacto con el número de s atélites. *36 £LQiPLFR Fig. 163. 162.Capitulo 10: Sistemas de Posicionamiento *36 (VWiWLFR Fig. El termino cinemática se ha usado para describir la topografía de GPS dinámico tradicionalmente. pero estos requiere n alguna forma de inicialización para lograr la precisión al centímetro rápidamente. para obtener la precisión requerida. Universidad del Quindío . i ndicando más error.Topografía para Ingenieros Civiles 5HGHV \ DMXVWHV SRU 0tQLPRV &XDGUDGRV La Topografía con GPS nos proporcionan los vectore s precisos.QVWUXPHQWRV LQWHJUDGRV Los nuevos desarrollos tecnológicos permiten integrar en un solo instrumentos la estación total y el GPS. Fig. Si este error es demasiado puede marcarse como un pico estadísti co. y podremos decidir eliminar la medida de nuestro estudio. El método de aju ste por mínimos cuadrados ajusta la posición de un punto para que las diferencias en tre mediciones hechas a el sean tan pequeñas como sea posible. Si una medida en pa rticular no encaja con las otras. su movimiento será mayor y su valor será más alto. 164 Gonzalo Jiménez Cleves . De acuerdo al tipo de trabajo que se esta realizando se hace necesario ajustar los valores obtenid os. . Podemos mejorar la exactitud y confi anza en nuestras mediciones usando los procedimientos de ajustes. pero no los vectores perfectos. se lo emplea para el control periódico de instalaciones y brazos robóticos. Cada punto de la nube tiene una posición precis a digitalizada en coordenadas 3D. El sistema permite medir hasta 500 posiciones por segundo. e incluso puede s er usado en recintos muy estrechos. El programa de ajuste y proceso CYCLONE convierte la imagen de . O mediciones de punto a punto. es muy cómodo su empleo pues no requiere de trípodes o piezas especiales.SISTEMAS DE RASTREOS LASER . operan do con un único sensor. (VFiQHU /iVHU &<5$. que resuelve los problemas de ing eniería y topografía más complejos con una sensible reducción de costos y tiempos de con strucción. desde c ualquier perspectiva del proyecto. que se puede utilizar directamente para visual izaciones en 3 dimensiones.QWURGXFFLyQ Este sistema de medición en 3D. Este es un nuevo y poderoso sistema de medición. permite capturar la posición en forma muy precisa (apenas algunas micras) objetos que se encuentran en movimientos. permite visualizar una imagen tridimensional y a color. Una nube de puntos generada por miles de rayos láser provenientes de un e scáner CYRAX 2500. curvas de nivel. 165 Cientos de miles de puntos en 5 15 minutos. Para escanear sitios o estruct uras completas el equipo CYRAX se puede girar. Por ejemplo. inclinar y lo desplazar con gran facilidad.000m3/escaneo (a 100m) Precisión de 6mm a 50m Capacidad de resolución <1mm Precisión de 2mm en superficies modeladas a 50m P unto láser <6mm a 50m (VFiQHU /iVHU /HLFD +£6 Con el Leica HDS 3000. Asimismo permite la revisión visual de interferencias en 3D. y exporta a aplicaciones CAD o similares. Escaneo rápido y con gran resolución de puntos 20.000m3/escaneo (precisión<6mm) 160. high definition surveyi ng nunca ha sido tan fácil y familiar para topógrafos y profesionales de la medida. Los puntos capturados pueden ser alineados de manera precisa a nuestro sistema de coordenadas local para su completa compatib ilidad con los diseños de proyecto existentes. per files. eTc. utiliza un trípode estándar para su estacionamiento sobre un punto cono cido 0 sobre cualquier otro punto. &DUDFWHUtVWLFDV Fig. volúmenes. La orientación del instrumento y Gonzalo Jiménez Cleves . dibujos 2D.Topografía para Ingenieros Civiles la nube de puntos en modelos digitales 3D. superficies. 166 &DUDFWHUtVWLFDV Máximo campo de visión 360° x 270°. la toma de su máximo campo de visión de 360° x 270° sin la re orienta ción del instrumento. Estas características de HDS3000 no sólo hacen que el láser escán er sea más familiar para los topógrafos. incluyendo la captura de la cúpula completa de toda la escena. Con la tecnología SmartScan. pueden ser tomadas regiones adicionales con mayor de talle si es necesario.Capitulo 11: Sistemas de Rastreos Láser su completa selección del campo de visión. puede ser definida fácil y rápidamente pulsan do el nuevo botón QuickScan. Fig. sino también más productivo para todos los prof esionales de la medida. para una ut ilización eficiente. Su único diseño de doble ventana nos permite. único diseño de doble ventana T otalmente seleccionable tanto campo de visión como de la densidad a escanear Cámara digital integrada calibrada para la toma superpuesta de fotos Tamaño de punto <6mm a 50m Precisión en la posición de <6mm a 50m Introducción de Altura de instrumento Es tacionamiento en punto conocido Botón QuickScarn M para una fácil selección del campo de visión Universidad del Quindío . . o Estudio de caminos. superficies y volúmenes. 167 $SOLFDFLRQHV o Inspección y control de estructuras: tanques. etc. o Exportación a CAD de imágenes 3D o Genera ción de planos dimensionales o Comprobación visual de interferencias o Herramientas de diseño conceptual o Renderizado. buques. o Curvas de nivel. perfiles. destilerías. y mucho más. o Levantam ientos e inspecciones en la construcción.. Gonzalo Jiménez Cleves . minería.Topografía para Ingenieros Civiles Fig. 168 Universidad del Quindío .Capitulo 11: Sistemas de Rastreos Láser Fig. Topografía para Ingenieros Civiles Gonzalo Jiménez Cleves . entre estos el método de coordenadas. &DUDFWHUtVWLFDV JHQHUDOHV GH ORV PRYLPLHQWRV GH WLHUUD Se d enomina movimientos de tierra a todos los trabajos en construcción relacionados co n la elaboración de obras en tierra las cuales se dividen en permanentes y transit orias. . ya que es difícil aplicar realmente una unidad de medida al material por cubicar. La medición directa de volúmenes. se emplean diferentes métodos. por lo regular no se efectúa en topografía. es por que se conoce en detalle la geometría de esa porción de superficie terrestre. las dos variables fundamentales de esta so n el área y el volumen ÈUHD En topografía el área de un terreno se considera como la proy ección ortogonal de la superficie sobre un plano horizontal. 9ROXPHQ Magnitud física que expresa la extensión de un cuerpo en tres dimensiones: largo. ancho y al to.VOLUMENES *HQHUDOLGDGHV Cuando se decide modificar la topografía de un terreno con el fin de ad ecuarlo para un propósito determinado. Para determinar áreas. En su lugar se emplean mediciones indirectas determinando líneas y áreas que tengan relación con el volumen deseado. La tecnol ogía para los movimientos de tierra consisten básicamente en la extracción del suelo p or excavación. En los estudios de localización de la obra proyectada la magnitud de los movimientos de tierra es tomada en cuenta como uno de los criterios para la elección del lugar . el transporte del material obteniendo al lugar de lleno y la config uración de os rellenos de acuerdo con su destino. Gonzalo Jiménez Cleves . ya que no todos los suelos de una excavación sirven como material de lleno y parte de otros suelos debe ser trasladada al sitio de a obra. puentes. gas y otros. torres de alta tensión. La elección de la tecnología adecuad a para los trabajos de movimientos de tierra depende en gran medida de la propie dades y el tipo de suelo y de la magnitud prevista de los volúmenes de la obras. L as propiedades de los suelos influyen en el balance de los volúmenes de corte y ll eno. edificios. acueducto.Topografía para Ingenieros Civiles Algunos ejemplos de obras en tierra permanente son: Vías Canales Presas Adecuación e tierras para obras civiles y agricultura Adecuación de tierras para lago artific iales (reservorios) Entre los movimientos de tierra transitorios: Excavaciones para diferentes tipos de obras por ejemplo. Un proyecto de mov imientos de tierra puede dividirse en tres partes principales: Calculo de volumen Replanteo o localización Costos El cálculo de volúmenes se realiza varias veces en todas las fases del proyecto. Zanjas para instalaciones de redes de alcantarillado. presas. 0pWRGR GH OD &XDGULFXOD Una vez localizado los cuatro puntos y tomados los niveles en cada una de esas esquinas. además del área (A) que es c alculada con las coordenadas .Capitulo 12: Volúmenes 9RO~PHQHV SRU iUHDV HQ SODQWD 7. La magnitud de los cuadrados dependerá de la naturaleza del terreno y las esquinas deben estar lo bastantes cercanas entre si para que las superficies del terreno entre líneas se puedan considerar planas. Volúmenes TIN Donde K K K representan la longitud desde la superfici e real a la superficie a crear ( plano de referencia ). Al restar de los niveles observados Universidad del Quindío . < de cada triangulo (US Army of Engineers.1 R PpWRGR GH :LOVRQ El diseño de Superficies esta determinado por los límites del terre no y su volumen. 1994). este espacio se subdivide en triángulos que a su vez forman prism as. el volumen de estos primas es calculado con la siguiente formula: K1 + K2 + K3 9RO = [$UHD 3 (1) Figura 169. Volumen del prisma = 1 [$(1) + $(2)]* G 2 (3) A(1) y A(2) son las área de la secciones y d es la distancia que las separa. 170 Gonzalo Jiménez Cleves . sumar y multip licar por la Distancia. que consiste en determinar el área de dos secciones transversales paralelas sucesivas que puede ser horizontales y verticales (en el volumen de excavación pa ra la construcción de un edificio las secciones son horizontales. Fig. los correspondientes niveles del proyecto (cotas rojas) se obtie ne una serie de alturas a partir de las que el volumen dentro de cada cuadrado p uede considerarse como el área plana multiplicada por el promedio de la profundida d de excavación (lleno) en las cuatro esquinas. La fórmula cuadricula es: 9= $ ( K1 + K2 + K3 + K4 ) 4 (2) 9RO~PHQHV SRU iUHDV H[WUHPDV Este procedimiento es conocido como promedio de áreas ext remas. Es el volumen de un prisma recto. para el volumen de tierra a mover en un tramo de vía las secciones son verticales).Topografía para Ingenieros Civiles (cotas negras). El área se determina gráficamente por medio de planímetro (polar o de punto s) o analíticamente por coordenadas. 1988). 171 Elaborar una sección es semejante a dibujar un perfil. La exactitud de medir el área de cada curva de nivel Los volúmenes basados en modelos TIN tiende a ser más exactos que los basado en mode los de cuadricula (Milne. Fig. la exactitud del mapa de curvas de nivel o plano topográfico 2.Capitulo 12: Volúmenes Usualmente el área de las bases se calcula a partir de perfiles de las secciones t ransversales. Universidad del Quindío . ([DFWLWXG GHO FiOFXOR GH 9RO~PHQHV La exactitud d e los volúmenes esta determinada por las siguientes características: 1. también se hace a do s escalas. En cada sección se debe mostrar la confi guración del terreno y la posición con respecto a este del proyecto que se quiere re presentar. Una sección transversal es una sección vertical (corte vertical) tomad o perpendicularmente a una línea de perfil. debería realizarse estudios de este tipo para con formaciones topográficas propias del país. El intervalo de las curvas de nivel 3. 172 +F +O +F + +O = = [ \ £+ (4) [ £+ +F . . Hc : Altura de Corte.£+ +F + +O (5) (6) Hl: Altura de Lleno. la unión de estos puntos se llama línea de ceros.Topografía para Ingenieros Civiles £HWHUPLQDFLyQ $QDOtWLFD GH 3XQWR GH &HURV Es el punto donde son iguales las cotas ro jas y las cotas negras. Gonzalo Jiménez Cleves . Fig.QIRUPH GHO SUR\HFWR GHO PRYLPLHQWR GH WLHUUD A continuación se presenta los términos de referencia para la elaboración de un informe topográfico de movimientos de tierra.£+ = ⇉[= +F +F + +O +F + +O \= +O . para que. • • • • • Quien contrato. • • • • Localización Topografía cualitativa cuantitativa In ormación Local general Anexo Fotografías 4. Interpretación y análisis de la información topográfica 6. 8. Interpretación de información (Topográfica y del proyecto) y análisis del pr oblema. • • • Para que. Descripción del lugar o sitio. Memorias de Calculo • Restricciones 10. propuesta tradicional y de optimización.Capitulo 12: Volúmenes 1. Interpretación y análisis del proyecto 7. quien lo hace (pro ponente) 2. Alternativas 12. como y con que. donde. Condiciones • Norma y especificaciones 5. Presentación. Análisis de resultados 11. Costo : global x alternativa Universidad del Quindío . 3. Lineamientos para el calculo 9. Introducción. lineamientos. Topografía para Ingenieros Civiles 12.7 Formulas de Volúmenes Gonzalo Jiménez Cleves . Paris. 1997. Méxic o.. José. Quatrieme edition. Chueca Pazos.. Casanova Matera. New York. 522 pags. Surveying: T heory and Practice. 298.. 5th. 1981. A.. Cours de topogramétrie générale. Tome I. 6th. Davis. 7a edición... 550 Págs. Topogra fía Plana. The University of Queensland.. Herráez Boquera. P araninfo. 2002.. Francis s. Alfaomega . S. Ed. Técnicas Modernas en Topog rafía. Manuel.. 753 Págs. Leonardo. Paraninfo. y Baker R. 278 Págs.BIBLIOGRAFIA Anderson James M. James M.. Foote. Manuel.. New York 1966. Madrid. II. . 744 Págs. and Kelly Joe W. McGraw Hill Co. 1096 págs. Herráez Boquera.McGraw Hill Book Co. México 2002. Madrid. Measuring Systems IE. Ra ymond E.. Mikhail Edward M. Raymond E. Tratado de topografía 2. McGraw Hill. 1996. Durbec Gérard. .. 992 Págs. Edward M. Teoría de errores e Instrumentación. Ber né Valero. José Luis. 1981. José. Foote. Merida. Ed. Anderson. Francis S. 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