RESISTENCIA DE MATERIALES IConferencia # 12 Tema VII: Flexión. Contenido: Cálculo de los desplazamientos en flexión (Método de los parámetros de origen). Condición de rigidez. INTRODUCCION Realizar un recordatorio de la conferencia pasada acerca de la flexión, tipos de flexión, tensiones que se originan y como calcularlas así como la aplicación de la condición de resistencia. Recordar el cálculo de perfiles de paredes delgadas y comprobar el estudio del ejemplo que se orientó sobre esto. Preguntas de comprobación. _¿Cómo se plantea la condición de resistencia? _¿Que problemas podemos resolver a partir de ella? _¿Cómo calcular un perfil de paredes delgadas?. Ejemplo un doble T _¿Cómo calcularíamos los desplazamientos y que tipos de desplazamientos surgen en la flexión? OBJETIVOS A través de la conferencia los estudiantes conocerán: Que tipos desplazamientos surgen en flexión. Como se determinan. Como aplicar la condición de rigidez. DESARROLLO Deformaciones en la flexión. Debido a la acción de las cargas exteriores la viga se deforma, las secciones transversales se desplazan (verticalmente) perpendiculares al eje inicial recto y al mismo tiempo se produce una rotación de la sección según puede verse en la figura. El desplazamiento del centroide de la sección en la dirección perpendicular al eje inicial recto se le denomina “deflexión de la viga” o flecha de la viga y se designa “Y”. El ángulo de la sección transversal ( θ ) respecto a su posición inicial se denomina ángulo de rotación o ángulo de giro. El ángulo de giro en los cálculos prácticos se determina por el ángulo que forma la tangente en el punto dado y el eje inicial recto; Los valores de los ángulos de giro en los apoyos deben ser inferiores a 0. permite la determinación de los desplazamientos por el método de la integración directa de la ecuación diferencial de la línea elástica (curva plana. después de la rotación se mantiene plana y perpendicular al deflectado (OJO)de la viga (hipótesis de las secciones planas). Durante la integración de las ecuaciones diferenciales para el número (n) de tramos se tiene que emplear el número doble de las constantes de integración. Cuando la viga tiene un número grande de tramos.esto se debe a que la sección transversal. la fecha y el ángulo de giro en el origen de coordenadas elegido. [Y ] = 1 ÷ 1 1 1: longitud entre apoyos. El método a través de la ecuación diferencial de la línea elástica. El origen de coordenadas se escoge en el ultimo punto izquierdo de la viga en cuestión y es común para todos los tramos. El conocimiento de las deformaciones en las vigas (la flecha) es necesario así como el ángulo de giro( θ ) ya que en la práctica ingenieril se tiene que efectuar el cálculo de vigas sometidas a flexión no solo por resistencia sino también a la rigidez o deformabilidad. Para conocer exactamente la deformación de la viga es necesario calcular para cada sección la deflexión (Y) y ( θ ).001 radian [θ ] . Método de los Parámetros de Origen. El valor de esta flecha permisible en los elementos de máquinas varia en un amplio rango en dependencia de la utilización del elemento. Existen diferentes métodos para calcular los desplazamientos: Ecuación diferencial de la elástica de la viga (EDEV) Ecuación de los parámetros de origen. Este es el Método de los Parámetros de Origen. Nosotros estudiaremos el segundo de ellos y los dos últimos se estudiaran después en Resistencia de Materiales II. . Para lograr el funcionamiento adecuado se define una flecha permisible. Método de Mohr. La técnica de la determinación de las constantes de integración puede simplificarse sensiblemente al reducirla a la obtención de solo dos incógnitas. cuya forma toma el eje de la viga en la flexión plana). ofrece grandes dificultades relacionadas con la obtención de las constantes arbitrarias de integración. Método de Vereshiaguin. Este método se funda de las siguientes tesis de partida. El problema se torna bastante voluminoso. 100 300 Las deformaciones deben conocerse además para poder resolver los problemas estáticamente indeterminados. En el caso de la ruptura de la carga distribuida.Ecuación diferencial aproximada del eje flexionado de la viga. Al incluir en las ecuaciones el momento exterior concentrado M. aplicado acierta distancia a desde el origen de coordenadas. a una distancia z desde el origen de coordenadas. la expresión para el momento flector en cualquier tramo se representa por medio de todos los factores de fuerza que actúan a la izquierda de la sección examinada. Escribiendo la ecuación anterior de la siguiente forma: z dy = EIx + ∫ Mzdz dz 0 Integrando: EIx y z z z y0 0 0 0 EIx ∫ dy = EIxθ 0 ∫ dz + ∫ dz ∫ Mzdz De aquí obtenemos: .(2) 0 de donde θ 0 : es el ángulo de giro en el origen de coordenadas (z = 0) y es el primer parámetro de origen. Con este enfoque. dy dz Integrando los dos miembros entre θ y z (considerando EIx constante) EI X dθ = M( z )dz θ z θ0 0 siendo θ = EIx ∫ dθ = ∫ Mzdz z de donde: EIx(θ − θ 0 ) = ∫ Mzdz 0 z EIxθ = EIxθ 0 + ∫ Mzdz ---------. esta se prologa hasta el final del tramo en cuestión. introduciendo. aquel se multiplica por el factor ( z a) 0 igual a 1. Como limitante tiene el que se puede aplicar solamente a vigas de igual rigidez en toda su longitud. La expresión para el momento flector M(z) se compone mediante el cálculo de los momentos de las fuerzas situadas a la izquierda de la sección examinada. para establecer la carga compensadora de dirección contraria. La interpretación en todos los tramos se efectúa sin abrir el paréntesis. Veamos el método EI X d2 y = M( z) dz 2 ---------. Cuando simultáneamente actúan varias fuerzas exteriores de los tipos analizados. Para cada una de las cargas. en ellas se introducen. Estas ecuaciones se denominan: Ecuaciones Universales de la Línea Elástica de una Viga.z z 0 0 EIxy = EIxy 0 + EIxθ 0 z + ∫ dz ∫ Mzdz ----------. b. (z): Distancia para la cual se determina la flecha y el ángulo de giro.361 Gilda Fdez Tomo I. (Segundo Parámetro de Origen). Analicemos una viga sometida a los 3 tipos de cargas que pueden actuar: M = 0 ( z ≤ a) I. todas las fuerzas exteriores. Veamos las condiciones de apoyo y su relación con ( Y0 y θ 0 ) . con el signo correspondiente. P y q al origen de coordenadas respectivamente.(3) siendo y: la flecha en el origen de coordenadas. El sentido que tienen aquí los momentos. IV. la carga concentrada y la carga distribuida le da el signo positivo (+) en la ecuación. escritas de forma general. M = Mf (a ≤ z ≤ b) M = Mf + P ( z − b) (b ≤ z ≤ c) III. (incluyendo las reacciones) situadas entre el origen y la distancia(z) donde se calcula el desplazamiento. II. M = Mf + P ( z − b) + q ( z − c) 2 2 (c ≤ z ≤ 1) Ver demostración pág. Las ecuaciones (2) y (3) se pueden considerar como ecuaciones universales para determinar las flechas y ángulos de giro. c): Distancia desde donde esta aplicado el Mf. las ecuaciones para determinar el ángulo de giro (θ) y la flecha ( Y ) serán: Para el ángulo de giro: EIxθ ´= EIxθ = EIxθ 0 + ∑ M f ( z − a) + ∑ P ( z − b) 2 q ( z − c) +∑ 2 6 Para la flecha: EIxy = EIxy 0 + EIxθ 0 z + ∑ Mf ( z − a ) 2 P ( z − b) 3 q( z − c) +∑ +∑ 2 6 24 Donde: (a. Y max ≤ [Y ] .Viga empotrada o en voladizo Viga simplemente apoyada θ0 θA Considerando YB. EIxY = EIxY0 + EIxθ 0 z + ∑ EIxY = − Mf ( z − a ) 2 P ( z − b) 3 q ( z − c) +∑ +∑ 2 6 24 P. −P+R=0 ∑ Fy = 0 ∑ Mto( A) = 0 P.l ( z − 0) 2 P ( z − 0) 3 P ( z − l ) + − 2 6 6 Sustituyendo (z = l) EIxY = − P.l 3EI El signo negativo (-) significa que el desplazamiento es hacia abajo. como deformación máxima Ejemplo: 1) El origen se ubica en el empotramiento. θ 0 = 0 y Y0 = 0 2) Calculo de las reacciones en el empotramiento. El signo positivo (+) será lo contrario.l 3 P (l) 3 + = P.l 6 Y= − P.l(1 6 .l (l ) 2 P(l ) 3 P (l l ) + 2 6 6 EIxY = − P.1 2) 2 6 EIxY = − 2 P.l − M = 0 R=P M = P.l Para calcular Ymax esta será en (z = l). Para el ángulo de giro. EIxY = EIxY0 + EIxθ 0 z + ∑ Mf ( z − a ) 2 P ( z − b) 3 q ( z − c) +∑ +∑ 2 6 24 M ( z − 2a ) 2 P ( z − 0) P ( z − 3a ) q( z − 0) q ( z − 2a ) 0 = EIxθ 0 z + + + − + 2 6 6 24 24 (z = 3a) θ0 = 1 − Pa (a) 2 P(3a ) P / a (3a ) P / a( a) − + − EIx3a 2 6 24 24 θ0 = − 5 Pa 2 9 EIx Para calcular ( θ ) en el punto B. se aplica la ecuación de ( θ ) para (z = 3a) EIxθ = EIxθ 0 + ∑ Mf ( z − a) + ∑ P ( z − b) 2 q( z − c) +∑ 2 6 5 Pa 2 P ( z − 0) P ( z − 3a ) 2 P / a ( z − 0) P / a( z − 2a ) EIxθ = − EIxθ 0 ∗ + Pa ( z − 2a ) + + − + 9 EIx 2 2 6 6 (z = 3a) . Datos: M = P. el signo (+) significa sentido de giro antihorario y el signo (-) significa sentido de giro horario. Ejemplo: Determinar la flecha en el punto (A) y el ángulo de giro en el punto (B) de la siguiente viga. q=P a .Se deben calcular las reacciones en los apoyos donde: R1 = P R2 = P el origen en el apoyo izquierdo Y0 = 0 y θ 0 = 0 planteando para z = 3 en el otro apoyo Y = 0 y con la ecuación de la flecha se despeja el θ 0 .a EI = cnst. EIxy a = EIxy 0 + EIxθ 0 z + ∑ EIxy a = − EIx Mf ( z − a) 2 P ( z − b) 3 q( z − c) +∑ +∑ 2 6 24 5Pa 2 Pa( z − 2a ) 2 P ( z − 0) P ( z − 3a ) P / a ( z − 0) P / a ( z − 2a) z+ + + − + 9 EIx 0 2 6 6 24 24 (z = 4a) 1 5 Pa 2 Pa (2a) 2 P (4a ) P (a ) P / a (4a) P / a (2a) ya = ( 4a ) + + + − + − EIx 9 2 6 6 24 24 ya = Pa − 160 + 144 + 768 + 12 − 768 + 48 − EIx 72 ya = 11Pa 0. PREGUNTAS DE COMPROBACION 1. como tener en cuenta las condiciones de los apoyos para ( Y0 ) y ( θ 0 ) o para evaluar en diferentes puntos como se ve en el ejemplo.¿Que limitaciones hay para aplicar el método de los parámetros de origen? 3. .¿Que métodos se conocen? 2.¿Que significa que el ángulo de giro sea negativo? .0= 1 5Pa 2 P(3a ) 2 P / a(3a) P / a(a ) + Pa ( a ) + + P ( 0) − + EIx 9 2 6 6 Pa 2 11Pa 2 0= [ − 5 / 9 + 1 + 9 / 2 − 27 / 6 + 1 / 6] = EIx 18 EIx (sentido de giro antihorario(+)) θ max ≤ [θ ] La flecha en el punto (A) se evalúa en la ecuación de la flecha y para (z = 4a). . y si lo es el ángulo de giro.61Pa = 18 EIx EIx ya ≤ [ y] CONCLUSIONES Se debe puntualizar en los signos. Además el análisis de los resultados con los signos si la flecha es positiva. . ¿qué indica?. Feodosiev pág. 663 (aparece la deducción de la ecuación general). 198 Tomo I (deben ver las demostraciones fundamentales de la ecuación). 237. 3. Resistencia de Materiales.. 369 (estudiar los ejemplos propuestos y los resultados)... 2. ¿Qué pasara con una barra curva sometida a flexión? . Resistencia de Materiales.. Pisarenko pág. 157. Silovsky pág. Gilda Fdez pág. 4. Resistencia de Materiales.. 162 y 188.. Resistencia de Materiales. 348.BIBLIOGRAFIA 1.