1UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL MECÁNICA DE FLUIDOS TEOREMA DE TORRICELLI Catedrático: Ing. Juan Carlos Hernández Canales La velocidad de vaciado (o de llenado) de un tanque depende solamente de la diferencia de elevación entre la superficie libre del fluido y la salida donde se encuentra ubicado el orificio de descarga. Así los puntos 1 y 2: g V P Z g V P Z 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 + + = + + γ γ Si se asume los hechos que Z 1 = h y Z 2 = 0, que el depósito es grande (V 1 = 0) y que las presiones manométricas P 1 y P 2 valen cero (ya que en ambos puntos el fluido está en contacto con la atmósfera) se obtiene la ecuación que Torricelli dedujo en 1643: gh V 2 = Teorema de Torricelli Flujo vertical que sale de un depósito De acuerdo al Teorema de Torricelli, la velocidad con que un fluido se vacía desde un recipiente abierto a través de un orificio lateral, es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del fluido sobre el orificio. A mayor profundidad, mayor será la velocidad de salida del fluido a través del orificio. Un comportamiento similar se observa en los flujos de agua, a alta velocidad, de un embalse. EL FRASCO DE MARIOTTE De acuerdo con el Teorema de Torricelli, la velocidad de salida de un líquido por un orificio practicado en su fondo es la misma que la que adquiere un cuerpo que cayese libremente en el vacío desde una altura h, siendo h la altura de la columna de fluido gh V 2 = . Si S es la sección del orificio, el gasto Q o volumen de fluido que sale por el orificio en la unidad de tiempo no es constante. Si queremos producir un gasto (caudal) constante podemos emplear el denominado frasco de Mariotte. Consiste en un frasco lleno de fluido hasta una altura h o , que está cerrado por un tapón atravesado por un tubo cuyo extremo inferior está sumergido en el líquido. El fluido sale del frasco por un orificio practicado en el fondo del recipiente. En el extremo B la presión es la atmosférica ya que está entrando aire por el tubo, a medida que sale el líquido por el orificio. Si h es la distancia entre el extremo del tubo y el orificio, la velocidad de salida del fluido corresponderá no a la altura h o desde el orificio a la superficie libre del fluido en el frasco, sino a la altura h al extremo del tubo. Dado que h permanece constante en tanto que el nivel de líquido esté por encima de B, la velocidad del fluido y por lo tanto, el gasto se mantendrán constantes. Cuando la altura del fluido en el frasco h o es menor que h, la velocidad de salida v del fluido deja de ser constante. La velocidad de salida v puede modificarse introduciendo más o menos el tubo AB en el frasco. 2 EL TUBO DE PITOT Henri Pitot, a comienzos de 1700, puso a punto una sonda que, dirigida en el sentido del flujo, permite medir la presión estática en el fluido (esta sonda fue modificada a mediados de 1800 por el científico francés Henry Darcy). El dispositivo está perforado con pequeños orificios laterales suficientemente alejados del punto de parada o estancamiento (punto del flujo donde se anula la velocidad) para que las líneas de corriente sean paralelas a la pared. Esta sonda, combinada con una sonda de presión de impacto (perpendicular a la dirección del flujo), forma una sonda de presión cinética llamada tubo de Pitot. Tal como se muestra en la figura, dos tubos concéntricos están conectados a dos manómetros o a un manómetro diferencial, de modo que se puede calcular la diferencia de presión P 3 – P 4 . El tubo central mide la presión de estancamiento en su punto abierta. Si los cambios de elevación son insignificantes, 2 3 2 1 V P P ρ + = donde ρ y V son la densidad y la velocidad del fluido corriente arriba del punto (2). El tubo exterior tiene varios orificios pequeños a una distancia apropiada de la punta, de modo que mide la presión estática. Si la diferencia de elevación entre (1) y (4) es insignificante, entonces P 4 = P 1 = P. Al reemplazar en la ecuación anterior y ordenada, se obtiene: ρ / ) ( 2 4 3 P P V − = 3 Este dispositivo se emplea a menudo en aeronáutica: situado en un lugar de poca turbulencia, permite medir la velocidad de avance de un avión con respecto al aire. Conectado a un transductor diferencial de presión puede medir directamente V 2 /2g. También se usa en la medición del flujo de líquidos y gases en tuberías. MEDICIÓN DE CAUDAL Una forma eficiente de medir el caudal a través de una tubería es poniendo una restricción en el interior de la tubería y medir la diferencia de presión entre la sección (1) corriente arriba (de baja velocidad y alta presión) y la sección (2) corriente abajo (de alta velocidad y baja presión). Si se supone que el flujo es horizontal, estable, no viscoso e incompresible entre el punto (1) y (2), la ecuación de Bernoulli se convierte en: 2 2 2 2 1 1 2 / 1 2 / 1 V P V P ρ ρ + = + . Si los perfiles de velocidad son uniformes entre las secciones (1) y (2), la ecuación de continuidad puede escribirse como: 2 2 1 1 V A V A Q = = . Combinando estas dos ecuaciones se obtiene el caudal teórico: ( ¸ ( ¸ | ¹ | \ | − − = 2 1 2 2 1 2 1 ) ( 2 A A P P A Q ρ Dispositivos comunes para medir el caudal en tuberías 4 EL EFECTO VENTURI Tal como lo predice la Ecuación de Continuidad, la velocidad de un fluido aumenta porque el área del conducto se reduce y, según la ecuación de Bernoulli, un aumento de velocidad producirá una disminución de la presión. El efecto Venturi consiste en que la corriente de un fluido dentro de un conducto cerrado disminuye la presión del fluido al aumentar la velocidad cuando pasa por una zona de sección menor. Si en este punto del conducto se introduce el extremo de otro conducto se produce una aspiración del fluido contenido en este segundo conducto. Este efecto recibe su nombre del físico italiano Giovanni Battista Venturi (1746-1822). Tubo Venturi APLICACIONES DEL EFECTO VENTURI Motor: El carburador aspira el carburante por efecto Venturi, mezclándolo con el aire (fluido del conducto principal), al pasar por un estrangulamiento. Hogar: En los equipos ozonificadores de agua, se utiliza un pequeño tubo Venturi para efectuar una succión del ozono que se produce en un depósito de vidrio, y así mezclarlo con el flujo de agua que va saliendo del equipo con la idea de destruir las posibles bacterias patógenas y de desactivar los virus y otros microorganismos que no son sensibles a la desinfección con cloro. Tubos de Venturi: Medida de velocidad de fluidos en conducciones y aceleración de fluidos. Algunas otras aplicaciones: En los capilares del sistema circulatorio humano. En dispositivos que mezclan el aire con un gas inflamable (ej.: quemador Bunsen). Atomizadores que dispersan el perfume o en pistola spray para pintar. Boquilla de los extintores (para apagar con espuma el fuego). Barril de los clarinetes modernos, que al hacer pasar el aire producen un mejor tono. Compresores de aire de limpieza industrial. Venturi Scrubbers usados para limpiar emisiones de flujo de gases. Inyectores que se usan para agregar gas cloro en los sistemas de tratamiento de agua por cloración. EJEMPLO El agua que se bombea en el sistema descarga hacia un tanque al que se pesa. Se halla que en 10 segundos se acumulan 556 libras de agua. Si la presión en el punto A es de 2.0 psi por debajo de la presión atmosférica. Calcule la potencia de la bomba en caballos de fuerza (HP). Ignore las pérdidas de energía por fricción. 5 Solución: Si se considera la presión atmosférica igual a cero, entonces la presión en el punto A es de – 2.0 psi. Esto tiene sentido, ya que en ese punto existe una presión de succión. Datos: 1 HP = 550 lb-pie/s γ agua = 62.4 lb/pie 3 Pot = γQH En medio de los puntos A y C se encuentra una bomba que suministra energía al sistema, haciendo que la energía en C sea mucho mayor, dicha energía es igual a la suma de la energía en A y la energía que suministra la bomba. De esta forma se obtiene: AC C C C B A A A hf g V P Z H g V P Z + + + = + + + 2 2 2 2 γ γ Para calcular H B , es necesario obtener las velocidades V A y V C Q Q peso γ = s pie pie Lb s Lb Q Q peso / 891 . 0 / 4 . 62 10 / 556 3 3 = = = γ Ecuación de continuidad Q A = Q C s pie pie s pie A Q V A / 21 . 10 ) 12 / 4 )( 4 / ( / 891 . 0 2 2 3 = = = π s pie pie s pie A Q V C / 15 . 18 ) 12 / 3 )( 4 / ( / 891 . 0 2 2 3 = = = π 2 2 2 2 288 1 lg 144 lg 2 0 . 2 pie Lb pie p x p Lb psi − = − = − Por lo tanto, la carga suministrada por la bomba queda como g V Z g V P H C C A A B 2 2 2 2 + + − − = γ ) / 2 . 32 ( 2 ) / 15 . 18 ( 12 / 20 ) / 2 . 32 ( 2 ) / 21 . 10 ( / 4 . 62 / 288 2 2 2 2 3 2 s pie s pie pies s pie s pie pie Lb pie Lb H B + + − − − = pies H B 78 . 9 = Entonces la potencia real de la bomba queda como ) 78 . 9 )( / 891 . 0 )( / 4 . 62 ( 3 3 pies s pie pie Lb QH Pot B real = = γ s pie Lb Pot / 75 . 543 − = La potencia de la bomba en caballos de fuerza (HP) es entonces: HP HP s pie Lb HP x s pie Lb Pot 1 98 . 0 / 550 1 ) / 75 . 543 ( ≈ = − − = 6 EJERCICIOS 1. A través de la contracción de la tubería que se muestra en la figura fluye agua. Para la diferencia dada de 0.2 metros en el nivel del manómetro, determinar el caudal en función del diámetro de la tubería pequeña, D. Respuesta: Q = 1.56 D 2 (m 3 /s) 2. En la figura que se muestra, un sistema de tubos que lleva agua. La velocidad en el plano 1 es de 4 m/s y el diámetro es de 25 cm. En el plano 2 el diámetro es de 10 cm. Encuentre el caudal y la velocidad de la sección 2. 3. Se descarga metal líquido desde un recipiente cilíndrico a través de un orifico situado en el fondo del depósito. a) ¿Cuál es la altura del estanque después de 5 minutos de vaciado?. b) ¿Cuál es la velocidad de bajada del nivel del estanque después de 10 minutos? c) Calcular el tiempo que se requiere para vaciar el recipiente. 4. De un depósito fluye aire en forma estable a través de una manguera de diámetro D=0.03 m y sale a la atmósfera por una boquilla de diámetro d=0.01 m. La presión en el depósito permanece constante en 3 kPa (manométrica). Las condiciones atmosféricas del aire son 15 o C y 1 atmósfera (101.3 kPa) de presión. Determine el caudal y la presión en la manguera. R aire = 286.9 Nm/(kg o K) 7 Respuesta: Q = 0.00542 m 3 /s P 2 = 2963 Pa 5. Para vaciar una piscina de poca profundidad se usa una manguera que mide 10 m de largo y 15 mm de diámetro interior. Si se ignoran los efectos viscosos, ¿cuál es el caudal que sale de la piscina? Respuesta: Q=9.11 x 10 -4 m 3 /s 6. Aceite de gravedad específica 0.83 fluye a través de una tubería. Si se desprecian los efectos viscosos, determine el caudal Q que circula. Respuesta: Q=0.183 pies 3 /s 7. Fluye aire por un tubo a razón de 200 L/s. El tubo consta de 2 secciones con diámetros de 20 cm y 10 cm, con una reducción suave que los conecta (ver figura). Se mide la diferencia de presión entre las dos secciones de la conducción mediante un manómetro de agua. Desprecie los efectos de la fricción y determine la altura diferencial del agua entre las dos secciones del tubo, h. Tome la densidad del aire como 1.2 kg/m 3 8 8. Una tubería de 30 cm de diámetro tiene un corto tramo en el que el diámetro se reduce gradualmente hasta 15 cm y de nuevo aumenta a 30 cm. La sección de 15 cm está 60 cm por debajo de la sección A, situada en la tubería de 30 cm, donde la presión es de 5.25 kg/cm 2 . Si entre las dos secciones anteriores se conecta un manómetro diferencial de mercurio. ¿cuál es la lectura del manómetro cuando circula hacia abajo un caudal de agua de 120 L/s? Supóngase que no existen pérdidas por fricción. Respuesta: 17.6 cm de Mercurio 9. Un aceite de densidad relativa 0.750 es bombeado desde un depósito por encima de una colina a través de una tubería de 60.96 cm de diámetro, manteniendo una presión en el punto más elevado de la línea de 1.79 kg/cm 2 . La parte superior de la tubería está 76.25 m sobre la superficie libre del depósito y el caudal de aceite bombeado es de 624 l/s. Si la pérdida de carga desde el depósito hasta la cima es de 4.79 m. ¿qué potencia debe en HP debe suministrar la bomba al líquido? Respuesta: 654 HP 10. Una bomba aspira agua de un pozo mediante una tubería vertical de 15.24 cm. La bomba descarga a través de una tubería horizontal de 10.16 cm de diámetro, situada 3.23 m sobre el nivel del agua del pozo. Cuando se bombean 35.4 l/s, las lecturas de los manómetros colocados a la entrada y a la salida de la bomba son – 0.32 kg/cm 2 y +1.80 kg/cm 2 , respectivamente. El manómetro de descarga está situado 0.915 m por encima del manómetro de succión. Calcular la potencia de salida de la bomba y la pérdida de carga en la tubería de succión de 15.24 cm Respuesta: 10.8 HP y 0.732 m 11. Un depósito cerrado de grandes dimensiones está parcialmente lleno de agua, y el espacio superior con aire a presión. Una manguera de 5.08 cm de diámetro, conectada al depósito, descarga sobre la azotea de un edificio 15.25 m por encima de la superficie libre del agua del depósito. Las pérdidas por fricción son de 5.49 m ¿Qué presión de aire debe mantenerse en el depósito para desaguar sobre la azotea un caudal de 12.3 l/s? Respuesta: 2.26 kg/cm 2 12. Mediante una bomba se envía agua desde un recipiente A, a una elevación de 228.75 m, hasta otro depósito E, a una elevación de 244 m, a través de una tubería de 30.5 cm de diámetro. La presión en la tubería de 30.5 cm en el punto D, a una elevación de 198.3 m, es de 5.62 kg/cm 2 . Las pérdidas de carga son: de A a la entrada de la bomba B = 0.61 m; de la salida de la bomba C hasta D = 38 V 2 /2g, y desde D a E= 40 V 2 /2g. Determinar el caudal Q y la potencia en HP suministrada por la bomba BC. Respuesta: 83 HP y 168 l/s 13. Por una tubería de 25 mm, donde la presión manométrica es de 414 kPa y la temperatura de 4 o C, está fluyendo anhídrido carbónico en el interior de una tubería de 12.5 mm de diámetro y un caudal en peso de 0.267 N/s. Depreciando el rozamiento y suponiendo el flujo isotérmico, determinar la presión en la tubería de 12.5 mm. Respuesta: 19.2 kPa (absoluta)