10.Estimación de Parámetros

Tema10 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS OBJETIVOS Al finalizar el Tema 11, el participante será capaz de: 1. Diferenciar estimación puntual y estimación de intervalos. 2. Discutir los criterios para la selección de un buen estimador. 3. Realizar estimaciones puntuales. 4. Construir e interpretar intervalos de confianza para ,  y 2. 5. Ajustar el intervalos en poblaciones finitas. 6. Determinar el tamaño de una muestra. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003 CONTENIDO 1. Introducción 2. Estimación puntual 3. Intervalo de confianza: conceptos 4. Intervalo para la media 5. Intervalo para la proporción 6. Muestreo 7. Intervalo para la varianza Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003 10.1 Introducción La estadística se divide en DESCRIPTIVA e INFERENCIAL DESCRIPTIVA ESTADISTICA Estimación INFERENCIAL Prueba de Hipótesis Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003 10.1.1 Tipos de estimaciones A) Estimación puntual Un sólo número se utiliza para estimar un parámetro desconocido. Para ser útil debe de estar acompañado del error. Ejemplo: Para el próximo mes se espera que las ventas sean 700 unidades con un error de 10%. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003 Ejemplo: Para el próximo mes se espera que el número de consultas en el Servicio de Reumatología sean entre 670 y 730 pacientes. con un error 5%. El error se indica de dos manera: por la extensión del intervalo y por la probabilidad de obtener el verdadero parámetro de la población que se encuentra dentro del intervalo. Febrero 2003 . Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.B) Estimación por intervalo Un intervalo de valores se utiliza para estimar un parámetro desconocido. Febrero 2003 .1. con la misma frecuencia.10. el estimador se aproxima al parámetro.  Eficiencia: proporciona menor error estándar que otros estimadores.  Insesgado (o imparcial): si el estimador tiende a tomar valores por encima y por debajo del parámetro que estima.2 CRITERIOS PARA SELECCIONAR UN ESTIMADOR: CESI.  Coherencia: si al aumentar n.  Suficiente: utiliza mayor cantidad de la información contenida en la muestra que otro estimador. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003 .2 Las estimaciones puntuales (A) De la media poblacional La media muestral x estima a la media poblacional  (B) De la varianza y la desviación estándar S2 estima 2 S estima  (C) De la proporción poblacional p estima  Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.10. Los niveles más utilizados son 0. Febrero 2003 .a).95 y 0.99.3 Los intervalos de confianza Conceptos  Nivel de confianza: probabilidad que asociamos con una estimación del intervalo.90 0.  Intervalos de confianza: es el alcance de la estimación que estamos haciendo. Se representa con (1 .10. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003 .10.4 Intervalo para la media 10.4.1 A partir de muestras grandes x- pero Z =  n -Z0 Z0 Pr Z 0  Z  Z 0   1  a  x  Pr  Z 0   Z0   1  a  x      Pr  x  Z0    x  Z0   1  a  n n  Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. se realizó una encuesta a 400 familias calculando un gasto medio anual en zapatos de S/. Construya e interprete un intervalo de confianza al 0. 740 por familia. 400. La desviación estándar fue S/.95 de la estimación del gasto medio anual de zapatos por familia en esa ciudad. Febrero 2003 .Ejemplo: En un estudio de mercado. 20  0.95  400 400  Pr700.96)    740  (1.96)  0.     Pr  x  Z0    x  Z0   1a  n n   400 400  Pr 740  (1. Febrero 2003 .80    779.95 Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Interpretación: Hay 0. Febrero 2003 .95 de confianza que el intervalo hallado se encuentre dentro del grupo de intervalos que contienen a la verdadera media poblacional ().  Ls LI muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. 10. Febrero 2003 .2 A partir de muestras pequeñas Pero.4. x - t= S -t0 t0 n Pr t0  t  t0   1  a    x  Pr  t0   t0   1  a  S   n   s s  Pr  x  t0    x  t0   1a  n n Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Se selecciona una muestra aleatoria de 25 HC y se calculó x  5.1  25 25  Pr3.8 4.7  2.7 y S = 4. Febrero 2003 .95 de confianza.  S S  Pr x  t n1    x  t n1   1 a  n n  4.064   1  0.Ejemplo Se desea estimar el tiempo medio de estancia hospitalaria para cierto tipo de pacientes.5 días.7  2.90 Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.064    5. Estimar  con 0.72    7.8  Pr 5.68  0. Interpretación: Hay 0. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003 .90 de confianza que el intervalo construido se encuentre dentro del grupo de intervalos que contienen a la verdadera media poblacional () de la estancia hospitalaria. 05  S S  Pr x  t n1    x  t n1   1 a  n n  16.23 a = 0. Febrero 2003 .27  2.95 Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.23  Pr 41.95  9 9  Pr28. Ejemplo 2 n=9 x  41.80    53.23 16.306    41.74  0.27 S = 16.27  2.306   0. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.95 de confianza que el intervalo construido se encuentre dentro del grupo de intervalos que contienen a la verdadera media poblacional ().Interpretación: Hay 0. Febrero 2003 . Ejemplo: Nueve automóviles del mismo modelo fueron conducidos de idéntica manera usando un litro de gasolina corriente. Construya e interprete un intervalo de confianza al 0.14 Kms. con una desviación estándar de 1.95 para estimar el kilometraje medio por litro de gasolina para este modelo de automóvil. Febrero 2003 . Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. La distancia media recorrida por estos automóviles fue de 8 Kms. 14   Pr8 2.306( )  0.306(   ) 8 2.306  1..87628} 0. . Febrero 2003 .14 1.95    9 9  Pr {7.1 = 8 t = 2.    8. 95 Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.Solución: GL= n .12372 . Febrero 2003 .95 de confianza que el intervalo hallado se encuentre dentro del grupo de intervalos que contienen a la verdadera media poblacional. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.Interpretación: Hay 0. 10.5 Intervalo para la proporción Pero p  Z p -Z0 Z0 donde Pr{ Z o  Z  Z }  1  a p (1  p ) p  p  n Pr{ Z o   Z}  1  a  `p Pr{ p  Z p    p  Z o p }  1  a Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003 . Febrero 2003 . Interprete. Si se utiliza un nivel de confianza de 0.Ejemplo: Suponga que 1600 de 2000 trabajadores sindicalizados que se muestrearon de una gran industria dijeron que planean votar por unirse a una federación.95 ¿cuál es la estimación de intervalo para la proporción de la población?. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. 80-1.96  p  0.80 +1.96(0. 1600 (0.782 <  < 0.80 p  2000 2000 Z  1.96(0.818} = 0. Febrero 2003 .00894) < < 0.80)(1  0.95 Pr{0.80) p  0.00894) }= 0.95 Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.00894 Pr{0. Febrero 2003 .95 de confianza que el intervalo calculado pertenece al grupo de intervalos que contienen a la verdadera proporción poblacional. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.Interpretación: Hay 0. 6 Ajuste para poblaciones finitas El error estándar de la estimación sufre un ajuste. Febrero 2003 . cuando se trata de una población finita. n N 1 Si la proporción n/N es menor a 0. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.10.05 se omite el ajuste. n N 1 Error estándar de la proporción p(1  p) N  n p  .  N n Error estándar de la media X  . Una encuesta con 40 familias reveló que la contribución media anual a obras comunitarias es de US $450.95 para la contribución media anual. con una desviación estándar de US $ 75. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003 . Interprételo. Establezca un intervalo de confianza de 0.Ejemplo 1 Hay 250 familias en un pequeño poblado. procede el ajuste.66    471.95  40  250 1   40  250 1  Pr{450  23.   N  n    N  n  Pr{x  Z  n  N 1     xZ    1  a n  N 1   75  250  40   75  250  40  Pr{450 1. Solución: Como la muestra es mayor a 5%. Febrero 2003 .34}  0.95 Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.96  }  0.96      450  1.8433)}  0.24( 0.8433)    450  23.95 Pr{428.24( 0. 95 de confianza que el intervalo elaborado pertenezca al grupo de intervalos que contienen a la verdadera media poblacional. Febrero 2003 .Interpretación: Hay 0. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Una muestra de 50 reveló que 18 cuentan con una experiencia previa en otra empresa similar. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Establezca un intervalo de confianza al 0.95 para la proporción de técnicos con experiencia en otra empresa.Ejemplo 2 Hay 300 técnicos en una gran empresa metal mecánica. Febrero 2003 . 06788  N  n)   N  n)  Pr{ p  Z o p      p  Z o p    }  1  a   N  1   N  1   300  50   300  50  Pr{0.36  0.96)(0. Febrero 2003 .36  0.12165    0.96)(0. Solución: (036)(1  0.95 Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.36(1.36 p  50 50  p  0.95   300  1   300  1  Pr{0.95 Pr{0.06788)   }  0.23835    0.48165}  0.36  (1.06788)     0.12165}  0.36) 18 p   0. 95 de confianza que el intervalo construido pertenezca al grupo de intervalos que contienen a la verdadera proporción poblacional. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003 .Interpretación: Hay 0. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003 . 7 El tamaño de la muestra y el IC A.a ) Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. El nivel de confianza de que el error en la estimación no exceda del máximo error permisible (1. Febrero 2003 .10. La magnitud del máximo error permisible (e) y.¿De qué depende el tamaño de la muestra (n)? Depende de: 1. 2. C) Derivación de la formula   Pr{ x  Z o    xZ }  1a n n Error = e Entonces Z e n Elevando al cuadrado Z 2 . Febrero 2003 . 2 n e2 Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. 2 e  2 n Z 2 . Febrero 2003 . 120 mensuales.95 (Z = 1. Ejemplo 1 A fin de conocer el gasto mensual en medicinas por familia. el Gerente de Marketing de un laboratorio farmacéutico desea determinar el tamaño de la muestra que le proporcione un nivel de confianza de 0. con una desviación estándar de 30. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Además conoce por estudios anteriores que las compras medias por familia eran de S/.96). El Gerente busca un tamaño de muestra que le permita estimar el nivel de gasto con un error de 10. Solución Datos: Z 2  2 1 .96 e 2  = 30 e = 10 (1 . 96 ) 2 ( 3 0 ) 2 n = (1 0 ) 2 n = 35 Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.a = 0.95 n = Z = 1. Febrero 2003 . Febrero 2003 .Para proporciones se calcula a partir de la formula donde 2 Z : Valor tabular para un Z p(1-p) nivel de confianza n= 2 e p(1-p): Variancia Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. desea tener un grado de confianza de 0. Febrero 2003 . En las elecciones pasadas recibió 40% de los votos en esa parte del país.Ejemplo 2 Un congresista desea determinar su popularidad en zona norte del país. además.95. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Duda que esto haya sufrido muchos cambios. Especifica que la proporción de electores que lo apoyarán debe calcularse dentro del ± 2% de la proporción de la población. ¿De cuántos electores debe ser la muestra?. 40)(0.96) 2 (0.921984 e = 0.02) 2 p = 0.40 0.02 n (0.a = 0. Febrero 2003 .Solución Datos: 1 .95 (1.02) 2 n  2305 Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.96 (0.60) n Z = 1.  (2n 1) 2 12-a 2 a2 2  2 2  Pr  1-a    a   1  a 2  2 2 Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.10. 8 Intervalo para la varianza (n . Febrero 2003 .1)S2 Pero . Febrero 2003 .Entonces:  2 ( n  1) S 2  Pr  1-a   a 2   1  a 2  2 2    1 2 1   Pr  2   2   1a  1-a  ( n  1) S a 2  2 2    ( n  1 ) S 2 ( n  1) S 2   Pr    2   1a  a 2  1-a 2  2 2  Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Ejemplo: El número de ventas realizadas durante 10 días (n = 10) presenta una varianza de 9 (s2 = 9). Establezca un intervalo de confianza para la varianza poblacional (2) al 0.Interprételo. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.90. Febrero 2003 . Febrero 2003 .7875   2  24.919 3.90 16.325   Pr 4.90  Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.Solución: Datos:  9(9) 9(9)  Pr    2   0.90 S2 = 9 16.10  81 81  Pr   2    0.3609  0.919 3.325  n = 10 a = 0. Interpretación: Hay 0. Febrero 2003 . Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.90 de confianza que el intervalo hallado se encuentre dentro del grupo de intervalos que contienen a la verdadera varianza poblacional. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Se dice que un estadístico es un estimador eficiente de un parámetro si. Febrero 2003 . Hoja de Comprobación 1. decimos que el estadístico es un estimador imparcial del parámetro. Una estimación de intervalo es un intervalo de valores utilizado para estimar la forma de la distribución de una población 3. es casi seguro que el valor del estadístico se acerque mucho al valor del parámetro. al aumentar el tamaño de la muestra. 2. Si un estadístico tiende a tomar valores mayores que el parámetro de la población con la misma frecuencia con que tiende a tomar valores por debajo. La probabilidad de que un parámetro de población se encuentre dentro de una estimación de intervalo dada se conoce como nivel de confianza. en los casos en que se desconozca la desviación estándar de la población 7. 5. Debemos utilizar siempre la distribución t. en lugar que la distribución normal . Podemos obtener una burda estimación de la desviación estándar de una población si contamos con información acerca de su rango. Al aumentar el tamaño de la muestra. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. Febrero 2003 .4. 6. la distribución t tiende a tomar una forma más plana. Febrero 2003 . 11. debido a que es correcta o incorrecta. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga. 10.Existe una distribución t distinta para cada posible tamaño de muestra. debido a que estos producen grandes intervalos de confianza. se debe suponer que la población es aproximadamente normal 9.8. No siempre es deseable utilizar altos niveles de confianza. Cuando se utiliza la distribución t para hacer estimaciones.Una estimación puntual a menudo resulta insuficiente. El numero de grados de libertad que se utilizan en una estimación de distribución t es igual al tamaño de la muestra.12.El estimador de  que se utiliza con mas frecuencia es s 14.Se dice que una media de muestra es un estimador imparcial de una media de población debido a que ningún otro estimador podría extraer de la muestra información adicional acerca de la media de la población 13. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.El error estándar de la población se calcula como p(1  p) / n 15. Febrero 2003 . No es necesario usar la distribución t en estimación si se conoce la desviación estándar de la población 18. Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.Conforme aumenta el ancho de un intervalo de confianza.La mediana de la muestra es siempre el mejor estimador de la mediana de la población 19. 17.La distribución t es poco probable que sea aproximada por la distribución normal conforme aumenta el tamaño de la muestra. Febrero 2003 .16. el nivel de confianza asociado con el intervalo también se incrementa. Febrero 2003 .Los valores que se encuentran en la tabla de la distribución t corresponden a la probabilidad de que el parámetro real de la población se encuentre fuera de nuestro intervalo de confianza 22.La estimación del error estándar de la media de una población finita utilizando la estimación de la desviación estándar de la población requiere del uso de la distribución t para calcular intervalos de confianza subsecuentes 21. 100% de la población se encuentre fuera nuestro intervalo de confianza Material de Clases © Jorge Córdova Egocheaga.20.En una distribución normal.