ECUACIONES DIFERENCIALESFASE 3: DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN RESOLVER PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR PRESENTADO POR: NAXLY LORENA PEÑA. COD. 1074418655 JOSE ANDERSON RODRÍGUEZ COD. 1070589147 JULIETH ALEXANDRA ACOSTA CÓD: 1074418665 LEIDY PAOLA NOVOA MARTIN COD. 1074418744 CESAR JULIAN GUERRERO VELANDIA COD: 1074418491 PRESENTADO A: CESAR AUGUSTO QUINTERO GRUPO: 100412_73 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD OCTUBRE, 2017 INTRODUCCIÓN En el siguiente trabajo colaborativo se realiza el análisis de las temáticas unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior: Ecuaciones lineales de segundo orden ecuaciones lineales de orden n, aplicaciones de las ecuaciones de orden superior, en el cual se desarrollarán una serie de ejercicios Individuales planteados, y el desarrollo de dos actividades grupales donde se tendrá en cuenta los aportes de cada integrante del grupo de trabajo para finalmente consolidar un producto con los parámetros establecidos en la guía de actividades y la rúbrica de evaluación. OBJETIVOS Diferenciar y aplicar los diferentes métodos de solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior Analizar los conceptos estructurales y metódicos de solución de las ecuaciones de orden superior Identificar las características implícitas en el reconocimiento de una ecuación diferencial de orden superior Apropiación de los elementos conceptuales mediante la investigación y solución de los ejercicios propuestos Reconocer las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales con situaciones problema en nuestro campo de trabajo PLAN DE TRABAJO Datos del estudiante Rol dentro del trabajo Preguntas Preguntas seleccionadas a seleccionadas para colaborativo desarrollar individual. revisar o realimentar. Naxly Lorena Peña Moderador o líder: quien organiza Preguntas 7 y 10 Preguntas 2 y 5 y vigila que se cumplan las tareas Cod. 1074418655 propuestas. Responsable de entregar el producto de equipo. Jose Anderson Creativo: vigila el tiempo, aporta Preguntas 4 y 6 Preguntas 1 y 3 Rodríguez ideas y hace preguntas para que los otros también aporten ideas. Cod. 1070589147 Julieth Alexandra Evaluador: Asegura que el Preguntas 8 y 9 Preguntas 7 y 6 Acosta documento contenga los criterios presentes en la rúbrica. Debe Cod: 1074418665 comunicar a la persona encargada de las alertas para que informe a los demás integrantes del equipo en caso que haya que realizar algún ajuste sobre el tema. Leidy Paola Novoa Alertas: Asegurar que se avise a Pregunta 3 y 5 Preguntas 9 y 10 Martin los integrantes del grupo de las novedades en el trabajo e informar Cod: 1074418744 al docente mediante el foro de trabajo y la mensajería del curso, que se ha realizado el envío del documento. Cesar Julian guerrero Revisor: Asegura que el escrito Preguntas 1 y 2 Preguntas 8 y 4 cumpla con las normas de Cod: 1074418491 presentación de trabajos exigidas por el docente PREGUNTAS DESARROLLADAS Ítems De Selección Múltiple Con Única Respuesta A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, describa el procedimiento que justifique su respuesta. 1. Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma 𝑦´´+𝑎1(𝑥)𝑦´+𝑎2(𝑥)𝑦=𝑔(𝑥) y para que ésta sea una ecuación homogénea con coeficientes constantes se deben hacer dos suposiciones: 1. Los coeficientes son constantes. 2. 𝑔(𝑥)=0. Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes y se pueden presentar tres tipos: Caso 1: Soluciones reales y distintas, Caso 2: Soluciones iguales y reales y Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Teniendo en cuenta lo anterior las soluciones de la ecuación diferencial 𝑦´´−2𝑦´+3𝑦=0 son: A. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da 𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠 √2 𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 √3𝑥) B. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da 𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠 √2 𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 √2𝑥) C. Soluciones iguales y reales cuya solución da 𝒚 = 𝐶1 𝑒 √2𝑥 +𝐶2 𝑥𝑒 √2𝑥 D. Soluciones distintas y reales cuya solución da 𝒚 = 𝐶1 𝑒 √2𝑥 +𝐶2 𝑥𝑒 √2𝑥 SOLUCION La ecuación auxiliar, para la ecuación 𝑦 ´´ − 2𝑦 ´ + 3𝑦 = 0 viene dada por: 𝑝2 − 2𝑝 + 3 = 0 Donde 𝑝 = 𝑦´ reduce el orden de la ED, se determina las soluciones a la anterior ED, mediante: −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑝= 2𝑎 −(−2) ± √(−2)2 − 4(1)(3) 𝑝= 2(1) 2 ± √4 − 12 𝑝= 2 2 ± √−8 𝑝= 2 Se evidencia que 𝑝 da números complejo, por lo tanto son no reales. √(−1)(8) 𝑝 = 1± 2 √8 𝑝 = 1± √−1 2 𝑖√4 ∗ 2 𝑝 = 1± 2 𝑖√4√2 𝑝=1± 2 2𝑖√2 𝑝=1± 2 𝑝 = 1 ± 𝑖√2 la ecuación diferencial tiene soluciones complejas y conjugadas así: 𝒚 ∝ 𝒆±(𝟏±𝒊√𝟐)𝒙 = 𝒆𝒙 𝒆±(√𝟐∗𝒊)𝒙 Se aplica propiedades de los exponentes. 𝒆𝒊𝒛 = (𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒛 + 𝒊𝑪𝟐 ´ 𝒔𝒊𝒏 𝒛) Obtenemos 𝐶1 y 𝐶2 ´ Entonces: La solución es: 𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠 √2 𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 √2𝑥) La respuesta al ejercicio es la opción: b. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da 𝑦 = 𝑒 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠 √2 𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 √2𝑥) 𝑥 2. En general, para resolver una ecuación diferencial lineal homogénea de 𝑛-ésimo orden: 𝑎𝑛 𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑎2 𝑦 ´´ + 𝑎1 𝑦 ´ + 𝑎0 𝑦 = 0 Donde los coeficientes 𝑎𝑖 , 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛 son constantes reales y 𝑎𝑛 ≠ 0. Primero se debe resolver una ecuación polinomial de 𝑛-ésimo grado: 𝑎𝑛 𝑚𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑚𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑚2 + 𝑎1 𝑚 + 𝑎0 = 0 Esta ecuación puede presentar una solución general de acuerdo a sus raíces. Caso 1: Soluciones reales y distintas (𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑚2 𝑥 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑒 𝑚𝑛𝑥 ). Para los casos 2 y 3, las raíces de una ecuación auxiliar de grado mayor que dos ocurren en muchas combinaciones. Cuando 𝑚1 es una raíz de multiplicidad 𝑘 de una ecuación auxiliar de 𝑛- ésimo grado (es decir, 𝑘 raíces son iguales a 𝑚1 ) y la solución general debe contener la combinación lineal (𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝐶3 𝑥 2 𝑒 𝑚1 𝑥 + ⋯ + 𝐶𝑘 𝑥 𝑘−1 𝑒 𝑚1 𝑥 ). Teniendo en cuenta lo anterior la ecuación diferencial de orden superior que tiene raíces como las descritas en el caso 1 es: A. 𝑦 ´´´ + 6𝑦 ´´ + 8𝑦 ´ − 3𝑦 = 0 B. 𝑦 ´´ − 8𝑦 ´ + 16𝑦 = 0 C. 𝑦 ´´ + 4𝑦 ´ + 5𝑦 = 0 D. 𝑦 ´´´ + 3𝑦 ´´ − 4𝑦 = 0 SOLUCION Para dar solución a este ejercicio, debemos resolver cada una de las posibles repuestas planteadas. OPCION A: 𝒚´´´ + 𝟔𝒚´´ + 𝟖𝒚´ − 𝟑𝒚 = 𝟎 Su ecuación es de forma: 𝑝3 + 6𝑝2 + 8𝑝 − 3 = 0 Por división sintética, la anterior ecuación se factoriza de la siguiente manera: 𝑝3 + 6𝑝2 + 8𝑝 − 3 = (𝑝 + 3)(𝑝2 + 3𝑝 − 1) = 0 Simplificamos la expresión de la siguiente manera: −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑝= 2𝑎 𝑎=1 𝑏=3 𝑐 = −1 Resolviendo p: −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑝= 2𝑎 −(3) ± √(3)2 − 4(1)(−1) 𝑝= 2(1) −3 ± √9 − 4(−1) 𝑝= 2 −3 ± √9 + 4 𝑝= 2 −3 ± √13 𝑝= 2 Las raíces son reales y distintas. OPCION B: 𝒚´´ − 𝟖𝒚´ + 𝟏𝟔𝒚 = 𝟎 Usamos La Ecuación De La Forma: 𝑝2 − 8𝑝 + 16 = 0 𝑝2 − 8𝑝 + 16 = (𝑝 − 4)2 = 0 tiene raíces reales, pero iguales. OPCION C: 𝒚´´ + 𝟒𝒚´ + 𝟓𝒚 = 𝟎 Hacemos la ecuación de la forma: 𝑝2 + 4𝑝 + 5 = 0 calculamos las posibles soluciones a la anterior ED, mediante la ecuación: −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑝= 2𝑎 Se tiene: 𝑎=1 𝑏=4 𝑐=5 −(4) ± √(4)2 − 4(1)(5) 𝑝= 2(1) −(4) ± √16 − 4(5) 𝑝= 2 −4 ± √16 − 20 𝑝= 2 −2 ± √−4 𝑝= = −1 ± 𝑖 2 resultan soluciones complejas y conjugadas. OPCION D: 𝒚´´´ + 𝟑𝒚´´ − 𝟒𝒚 = 𝟎 Hacemos la ecuación de la forma: 𝑝3 + 3𝑝2 − 4 = 0 La expresamos de la siguiente manera: (𝑝 − 1)(𝑝 + 2)2 = 0 tiene una raíz distinta y dos iguales, pero las tres son reales. 3. Una ecuación diferencial no homogénea de orden superior es de la forma: 𝑑𝑛 𝑦 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑦 𝑎𝑛 (𝑥) 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 (𝑥) 𝑛−1 + ⋯ 𝑎1 (𝑥) + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 cuya solución general se escribe como la suma de las soluciones de una ecuación homogénea y una particular. 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 𝑦𝑐 se determina haciendo 𝑔(𝑥) = 0 para convertir la ecuación a una homogénea con coeficientes constantes. Esta es la llamada solución asociada 𝑦𝑐 y se encuentra una solución particular de la ecuación no homogénea. Esta es la llamada solución particular 𝑦𝑝 . Dicha solución depende de la forma de la función g(𝑥). De acuerdo a lo mencionado anteriormente la solución de la ecuación diferencial no homogénea 4𝑦 ´´ + 36𝑦 = csc 3𝑥 es: 1 1 1 A. 𝑦 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 − 12 𝑥 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 + 36 (𝑐𝑜𝑠 3𝑥) 36 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 3𝑥| 1 1 1 B. 𝑦 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 + 12 𝑥 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 − 36 (𝑐𝑜𝑠 3𝑥) 36 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 3𝑥| 1 1 1 C. 𝑦 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 + 12 𝑥 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 − 36 (𝑠𝑖𝑛 3𝑥) 36 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 3𝑥| 1 1 1 D. 𝑦 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 − 12 𝑥 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 + 36 (𝑠𝑖𝑛 3𝑥) 36 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 3𝑥| SOLUCION 4𝑦´´ + 36𝑦 = csc 3𝑥 Escribimos la EDO en la forma estándar 1 𝑦´´ + 9𝑦 = csc 3𝑥 4 𝑌ℎ = 𝐶1 cos(3𝑥) + 𝐶2 sin(3𝑥) 1 𝑌1 = cos(3𝑥) ; 𝑌2 = sin(3𝑥) 𝑦 𝐹(𝑋) = csc 3(𝑋) 4 cos 3𝑥 sin 3𝑥 𝑊(cos 3𝑥 , sin 3𝑥 = | |=3 − 3 sin 3𝑥 3 cos 3𝑥 1 sin(3𝑥) (4 csc 3(𝑋)) 𝑊1 = 3 1 1 𝑊1 = − = − 𝑋 12 12 1 (cos 3𝑥) ( ) csc(3𝑥) 1 (cos 3𝑥) 1 𝑊2 = 4 = = 𝑊2 𝐼𝑛 |sin 3𝑥| 3 12 sin 3𝑥 36 𝑌 = 𝑌𝐶 + 𝑌𝑃 1 1 𝑌 = 𝐶1 cos(3𝑥) + 𝐶2 sin(3𝑥) − 𝑥 (cos 3𝑥) + sin(3𝑥) 𝐼𝑛 |sin 3𝑥| = D 12 36 4. Una ecuación diferencial de segundo orden homogénea tiene dos soluciones independientes. Para el caso 2 al resolver la ecuación característica las soluciones deben ser reales repetidas 𝑚1 = 𝑚2 y su solución general es de la forma 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑚2 𝑥 . Teniendo en cuenta la información anterior la solución general de la ecuación diferencial 𝑦 ´´ − 14𝑦 ´ + 49𝑦 = 0 corresponde a: A. 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −7𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 −7𝑥 B. 𝑦 = 𝐶1 𝑒 7𝑥 + 𝐶2 𝑒 2𝑥 C. 𝑦 = 𝐶1 𝑒 7𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 7𝑥 D. 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −7𝑥 + 𝐶2 𝑒 −2𝑥 SOLUCION Ecuación lineal de segundo orden ay''+by'+cy=0 por lo tanto 𝑑2 𝑑 (𝑦) − 14 (𝑦) + 49𝑦 = 0 𝑑2 𝑑𝑥 Se reescribe la ecuación 𝑑 2 𝑦𝑥 𝑑 𝑦𝑥 2 (𝑒 ) − 14 (𝑒 ) + 49𝑒 𝑦𝑥 = 0 𝑑 𝑑𝑥 Nuestra expresión la podemos simplificar 𝑑 2 𝑦𝑥 𝑑 𝑦𝑥 (𝑒 ) − 14 (𝑒 ) + 49𝑒 𝑦𝑥 = 0 𝑑2 𝑑𝑥 𝑒 𝑦𝑥 (𝑦 2 − 14𝑦 + 49) = 0 𝑦 2 𝑒 𝑦𝑥 − 14𝑒 𝑦𝑥 𝑥 + 49𝑒 𝑦𝑥 = 0 𝑑 2 𝑦𝑥 (𝑒 ) = 𝑦 2 𝑒 𝑦𝑥 𝑑2 𝑑 2 𝑦𝑥 (𝑒 ) 𝑑2 𝑑 𝑦𝑥 (𝑒 ) = 𝑒 𝑦𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑 𝑦𝑥 (𝑒 ) 𝑑𝑥 Ahora podemos aplicar la regla de la cadena a nuestro ejercicio 𝑑𝑓(𝑢) 𝑑𝑓 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 . 𝑑𝑥 donde yt es igual a u 𝑑 𝑢 𝑑 = 𝑒 𝑦𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑 𝑢 = 𝑒 = 𝑒𝑢 𝑑𝑢 Ahora podemos aplicar la regla de derivación a nuestro ejercicio = 𝑒𝑢 𝑑 𝑦𝑥 = 𝑦 𝑑𝑥 Sacamos la constante 𝑑 =𝑦 𝑥 𝑑𝑥 Derivamos a 𝑑 𝑥=1 𝑑𝑥 = 𝑦. 1 De nuevo simplificamos =𝑦 = 𝑒𝑢𝑦 Se sustituye la ecuación 𝑢 = 𝑦𝑥 = 𝑒 𝑦𝑥 𝑦 𝑑 𝑦𝑥 = 𝑒 𝑦 𝑑𝑥 Ahora sacamos aparte la constante 𝑑 𝑦𝑥 =𝑦 𝑒 𝑑𝑥 Se aplica la regla de la cadena 𝑑 𝑢 𝑑 =𝑦 𝑒 𝑦𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑢 𝑒 = 𝑒𝑢 𝑑𝑥 𝑑 𝑢 𝑒 𝑑𝑥 Ahora derivamos 𝑑 𝑢 𝑒 = 𝑒𝑢 𝑑𝑥 = 𝑒𝑢 𝑑 𝑦𝑥 = 𝑦 𝑑𝑥 𝑑 𝑦𝑥 𝑑𝑥 Sacamos la constante 𝑑 =𝑦 𝑥 𝑑𝑥 Y derivamos 𝑑 = 𝑥=1 𝑑𝑥 = 𝑦. 1 Ahora simplificamos =𝑦 = 𝑦𝑒 𝑢 𝑦 Se sustituye 𝑢 = 𝑦𝑥 = 𝑦𝑒 𝑦𝑥 𝑦 Ya podemos aplicar la ley de los exponentes 𝑦𝑦 = 𝑦 1+1 = 𝑦 2 = 𝑦 2 𝑒 𝑦𝑥 𝑑 𝑦𝑥 𝑒 = 𝑒 𝑦𝑥 𝑦 𝑑𝑥 Se aplica la regla de la cadena 𝑑 𝑢 𝑑 = 𝑒 𝑦𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑 𝑢 𝑒 = 𝑒𝑢 𝑑𝑢 𝑑 𝑢 𝑒 𝑑𝑢 Ahora derivamos 𝑑 𝑢 𝑒 = 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 𝑑 𝑦𝑥 = 𝑦 𝑑𝑥 𝑑 𝑦𝑥 𝑑𝑥 Buscamos la constante 𝑑 =𝑦 𝑥 𝑑𝑥 Ya podemos derivar = 𝑦. 1 Al simplificar =𝑦 = 𝑒𝑢𝑦 Sustituimos la ecuación con u =yt = 𝑒 𝑦𝑥 𝑦 𝑦 2 𝑒 𝑦𝑥 − 14𝑒 𝑦𝑥 𝑦 + 49𝑒 𝑦𝑥 = 0 Factorizamos 𝑒 𝑦𝑥 (𝑦 2 − 14𝑦 + 49) = 0 Ya la podemos resolver como ecuación cuadrática De la forma −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑥1,2 = 2𝑎 Se distribuye de la siguiente forma 𝑎 = 1, 𝑏 = −14, 𝑐 = 49 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑦1,2 −(−14) ± √(−14)2 − 4.1.49 = 2.1 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 (−14)2 − 4.1.49 = 0 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 −(−14) 2.1 14 = 2.1 14 = 2 =7 La respuesta seria y = 7 La solución seria 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑦𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑦𝑥 𝑦 = 𝐶1 𝑒 7𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 7𝑥 ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique 𝑑𝑛 𝑦 𝑑𝑛−1 𝑦 5. Una ecuación diferencial de orden superior es de la forma 𝑎𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛−1 + 𝑑𝑦 ⋯ 𝑎1 (𝑥) + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) y puede ser solucionada por diferentes métodos. La 𝑑𝑥 ecuación diferencial: 𝑦 ´´ − 𝑦 ´ + 𝑦 = 2 sin 3𝑥, puede ser solucionada por los siguientes métodos y tiene como solución general: 1. Método de variables separables y método de ecuaciones exactas. 1 √3 √3 6 16 2. 𝑦 = 𝑒 2𝑥 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥) + 73 cos 3𝑥 + − 73 sin 3𝑥 2 1 √3 √3 16 6 3. 𝑦 = 𝑒 −2𝑥 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥) + 73 cos 3𝑥 + − 73 sin 3𝑥 4. Método de variación de parámetros y método de coeficientes indeterminados. SOLUCION 𝑦′′ − 𝑦 ′ + 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 3𝑥 Escribimos la EDO en la forma estándar 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 𝑦 = 0 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥 𝑦 ′ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥 𝑦 ′′ = 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 𝑚2 − 𝑚 + 1 = 0 −(−1) ± √(−1)2 − 4(1)(1) 𝑚= 2(1) 1 ± √−3 𝑚= 2 1 3 𝑚= ±√ 𝑖 2 2 ---------------------- 1 3 1 3 ( +√ 𝑖) ( −√ 𝑖) 𝑦 = 𝑐1 𝑒2 2 2 + 𝑐2 𝑒 2 2 1 √3 𝑖 1 3 −√ 𝑖) 𝑦 = 𝑐1 𝑒 2 𝑒 2 + 𝑐2 𝑒 2 𝑒 2 1 √3 𝑖 3 −√ 𝑖) 𝑦 = 𝑒 2 (𝑐1 𝑒 2 + 𝑐2 𝑒 2 ) 1 3 3 𝑦 = 𝑒 2 [𝑐1 cos (√ 𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 (√ 𝑥)] 2 2 𝑔(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 3𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑦 𝐼 = −3𝐴𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 3𝐵𝑐𝑜𝑠 3𝑥 𝑦 𝐼𝐼 = −9𝐴𝑐𝑜𝑠 3𝑥 − 9𝐵𝑠𝑒𝑛 3𝑥 −9𝐴𝑐𝑜𝑠𝑒 3𝑥 − 9𝐵𝑠𝑒𝑛 3𝑥 − (−3𝐴𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 3𝐵𝑐𝑜𝑠 3𝑥) + 𝐴𝑐𝑜𝑠 3𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 3𝑥 − 9𝐴𝑐𝑜𝑠 3𝑥 − 9𝐵𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 3𝐴𝑠𝑒𝑛3𝑥 − 3𝐵𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 3𝑥(𝑐𝑜𝑠3𝑥)(−9𝐴 − 3𝐵 + 𝐴) + (𝑠𝑒𝑛3𝑥)(−9𝐵 + 3𝐴 + 𝐵) = 2𝑠𝑒𝑛 3𝑥(−8𝐴 + 3𝐵)𝑐𝑜𝑠𝑒3𝑥 + (3𝐴 − 8𝐵)𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 𝟎𝒄𝒐𝒔𝒆𝟑𝒙 + 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙 Solución general −8𝐴 − 3𝐵 = 0 8𝐴 − =𝐵 3 3𝐴 − 8𝐵 = 2 8 3(3𝐴 − 8(− 𝐴) = 2 3 9𝐴 + 64𝐴 = 6 73𝐴 = 6 6 𝐴= 73 𝐵 = −8𝐴8 6 −8(73) 𝐵= 3 48 𝐵=− 73 16 𝐵=− 73 6 16 𝑦𝑒 = 𝑐𝑜𝑠𝑒3𝑥 − 𝑠𝑒𝑛3𝑥 73 73 1 √3 √3 6 16 𝑦 = 𝑒 2𝑥 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 𝑥) + 73 cos 3𝑥 + − 73 sin 3𝑥 =C 2 2 6. El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer orden establece que primero se encuentra la función complementaria 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 + 𝑐3 𝑦3 y después se calcula el wronskiano 𝑊(𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥), 𝑦3 (𝑥)). Posteriormente se determina 𝑓(𝑥), para poder encontrar 𝑢1 𝑢2 𝑦 𝑢3 , y poder hallar la solución particular 𝑤 𝑤 𝑤 mediante la integración de 𝑢1 = 𝑤1 , 𝑢2 = 𝑤2 , 𝑢3 = 𝑤3 , donde : 𝑦1 𝑦2 𝑦3 0 𝑦2 𝑦3 𝑦1 0 𝑦3 ′ ′ ′ 𝑊 = | 𝑦1 𝑦2 𝑦3 |, 𝑊1 = | 0 𝑦2′ 𝑦3 |, 𝑊2 = | 𝑦1′ ′ 0 𝑦3′ | 𝑊3 = 𝑦1′′ 𝑦2′′ 𝑦3′′ 𝑓(𝑥) 𝑦2′′ 𝑦3′′ 𝑦1′′ 𝑓(𝑥) 𝑦3′′ 𝑦1 𝑦2 0 ′ ′ | 𝑦1 𝑦2 0 | ′′ ′′ 𝑦1 𝑦2 𝑓(𝑥) Una solución particular es 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑢2 + 𝑢3 𝑢3 y la solución general de la ecuación diferencial es entonces 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 . Con base en lo anterior, los valores para 𝑤1 , 𝑤2 𝑦 𝑤3 y la solución general de la ecuación 𝑦 ′′′ + 2𝑦 ′′ = 𝑒 𝑥 son respectivamente: 1. 𝑊1 = −2𝑥𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 , 𝑊2 = 2𝑒 −𝑥 y 𝑊3 = 𝑒 𝑥 1 2. 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2 𝑥 + 𝑐3 𝑒 −2𝑥 + 3 𝑒 𝑥 1 3. 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2 𝑥 + 𝑐3 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 4 4. 𝑊1 = 2𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑒 −𝑥 , 𝑤2 = 2𝑥𝑒 𝑥 y 𝑤3 = −2𝑒 −𝑥 SOLUCION Se parte de la ecuación diferencial. 𝑦 ′′′ + 2𝑦 ′′ = 𝑒 𝑥 Se considera la ecuación diferencial homogénea. 𝑦 ′′′ + 2𝑦 ′′ = 0 Se remplaza y se halla las raíces. 𝑚3 + 2𝑚2 = 0 𝑚2 (𝑚 + 2) = 0 𝑚1 = 0 { 𝑚2 = 0 𝑚3 = −2 Se halla la ecuación yc. 𝑦𝑐 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 + 𝐶3 𝑒 −2𝑥 Se halla W. 1 𝑥 𝑒 −2𝑥 𝑊 = [0 1 −2𝑒 −2𝑥 ] = 4𝑒 −2𝑥 0 0 4𝑒 −2𝑥 Se halla W1. 0 𝑥 𝑒 −2𝑥 𝑊1 = [ 0 1 −2𝑒 −2𝑥 ] = −2𝑥𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑒𝑥 0 4𝑒 −2𝑥 1 0 𝑒 −2𝑥 Se halla W2. 𝑊2 = [0 0 −2𝑒 −2𝑥 ] = 2𝑒 −𝑥 0 𝑒𝑥 4𝑒 −2𝑥 1 𝑥 0 Se halla W3 𝑊3 = [0 1 0 ] = 𝑒𝑥 0 0 𝑒𝑥 Se hallan las derivadas de u. 𝑊1 −2𝑥𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑢1′ = = = − 𝑥 − 𝑊 4𝑒 −2𝑥 2 4 −𝑥 𝑥 𝑊2 2𝑒 𝑒 𝑢2′ = = = 𝑊 4𝑒 −2𝑥 2 𝑥 3𝑥 𝑊3 𝑒 𝑒 𝑢3′ = = −2𝑥 = 𝑊 4𝑒 4 Se hallan las integrales. 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑢1 = ∫ (− 𝑥 − ) 𝑑𝑥 = − 𝑥 + 2 4 2 4 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑢2 = ∫ 𝑑𝑥 = 2 2 𝑒 3𝑥 𝑒 3𝑥 𝑢3 = ∫ 𝑑𝑥 = 4 12 Se halla la ecuación yp. 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑒 3𝑥 𝑦𝑝 = (− 𝑥 + ) + ( ) 𝑥 + ( ) 𝑒 −2𝑥 2 4 2 12 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 𝑦𝑝 = − 𝑥 + + 𝑥 + 2 4 2 12 𝑒𝑥 𝑦𝑝 = 3 Se halla la solución general. 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 𝑒𝑥 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 + 𝐶3 𝑒 −2𝑥 + 3 7. Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un valor especificado que se conoce como la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. Para el problema de valor inicial 𝑦′′ + 𝑦 = 4𝑥 + 10sin𝑥, (𝜋) = 0, 𝑦′(𝜋) = 2, la solución particular 𝑦𝑝 y la solución al problema 𝑦 corresponden a: 1. 𝑦 = 9𝜋cos𝑥 + 7sin𝑥 + 4𝑥 − 5𝑥cos𝑥 2. 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵 + 𝐶𝑥cos𝑥 + 𝐸𝑥 cos𝑥 3. 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵 + 𝐶𝑥cos𝑥 + 𝐸𝑥 sin𝑥 4. 𝑦 = 9𝜋sin𝑥 + 7sin𝑥 + 4𝑥 − 5𝑥 sin𝑥 Solución 𝑦′′ + 𝑦 = 4𝑥 + 10sin𝑥 Resolvemos la ecuación homogénea 𝑦′′ + 𝑦 = 0 𝑚2 + 1 = 0 𝑚2 = −1 𝑚= ±√−1 𝑚1 = 𝑖 𝑚2 = −𝑖 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛𝑥 → Solución homogénea. Hallamos la solución particular 𝑦(𝑥) = 4𝑥 + 10𝑠𝑒𝑛𝑥 Encontramos que la función está escrita por un polinomio de la forma ax+b y por una función trigonométrica la cual podemos reescribir de la siguiente forma: 4𝑥 + 10 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝐶 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐸𝑠𝑒𝑛𝑥 Como a la función trigonométrica la acompaña un 10 multiplicamos por x cada constante quedando de la siguiente forma: 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝐶𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐸𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 Escribimos la solución particular: 𝑦𝑝 = 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐸𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 Derivamos 𝑦𝑝 𝑦´𝑝 = 𝑎 + 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝐶𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐸𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐸𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 Hayamos la segunda derivada de 𝑦𝑝 𝑦´´𝑝 = −2𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝐶𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝐸𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝐸𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 Reemplazamos en la ecuación principal 𝑦′′ + 𝑦 = 4𝑥 + 10sin𝑥 −2𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝐶𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝐸𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝐸𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐸𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 = 4𝑥 + 10𝑠𝑒𝑛𝑥 Reducimos términos −2𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝐶𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝐸𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝐸𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐸𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 = 4𝑥 + 10𝑠𝑒𝑛𝑥 −2𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝐸𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 4𝑥 + 10𝑠𝑒𝑛𝑥 Ordenamos 𝑎𝑥 + 𝑏 − 2𝐶𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝐸𝑐𝑜𝑠𝑥 = 4𝑥 + 10𝑠𝑒𝑛𝑥 Igualamos factores 𝑎=4 10 −2𝐶 = 10 → 𝐶 = −2 𝐶 = −5 0 2𝐸 = 0 → 𝐸 = 2 𝐸=0 Reemplazamos en la solución particular 𝑦𝑝 = 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐸𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦𝑝= 4𝑥 − 5𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 0𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦𝑝= 4𝑥 − 5𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 Solución general 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 𝑦= 𝑐1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 4𝑥 − 5𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 Condiciones iniciales 𝑦(𝜋) = 0 𝑦´(𝜋) = 2 Para 𝑦(𝜋) = 0, reemplazamos en la solución general para hallar el valor de 𝑐1 𝑦 = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 4𝑥 − 5𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 0 = 𝑐1 cos(𝜋) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝜋) + 4(𝜋) − 5(𝜋) cos(𝜋) 0 = 𝑐1 (−1) + 𝑐2 (0) + 4(𝜋) − 5(𝜋) (−1) 0 = −𝑐1 + 4𝜋 + 5𝜋 𝑐1 = 9𝜋 Para la condición 𝑦´(𝜋) = 2 derivamos la ecuación 𝑦 = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 4𝑥 − 5𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦´ = 𝑐1 (−𝑠𝑒𝑛𝑥) + 𝑐2 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4 − 5𝑐𝑜𝑠𝑥 + 5𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 Reemplazamos 𝑦´(𝜋) = 2 para hallar el valor de 𝑐2 2 = 𝑐1 (−𝑠𝑒𝑛𝜋) + 𝑐2 𝑐𝑜𝑠(𝜋) + 4 − 5𝑐𝑜𝑠(𝜋) + 5(𝜋)𝑠𝑒𝑛(𝜋) 2 = 𝑐1 (0) + 𝑐2 (−1) + 4 − 5(−1) + 5(𝜋)(0) 2 = −𝑐2 + 4 + 5 𝑐2 = 4 + 5 − 2 𝑐2 = 7 La solución al problema será la solución general reemplazando los valores de 𝑐1 𝑦 𝑐2 𝑦 = 9𝜋 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 7𝑠𝑒𝑛𝑥 + 4𝑥 − 5𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 La solución al ejercicio son la opción 1 y 3 8. Una ecuación diferencial de de n-ésimo orden se puede escribir como: 𝑑𝑦 𝑦 donde 𝐷 𝑦 = 𝑑𝑥 𝑘 , 𝑘=0,1,2,…,𝑛. Cuando se cumple la ecuación anterior también se escribe como (𝑦)=𝑔(𝑥), donde 𝐿 denota el operador diferencial o polinomial, lineal de n-ésimo orden La notación de operador no sólo es una abreviatura útil, sino que en un nivel muy práctico la aplicación de operadores diferenciales permite justificar las reglas para determinar la forma de la solución particular 𝑦𝑝. Ésta se deduce casi de manera automática una vez se encuentra un operador diferencial lineal adecuado que anula a (𝑥). Por lo anterior de la ecuación diferencial 𝑦′′−3𝑦′=8𝑒3𝑥+4sin𝑥, se puede afirmar que: 1. El operador diferencial que anula a (𝑥) es (𝐷2 −3)(𝐷+1)( 𝐷2 −3𝐷)𝑦=0 2. La solución particular 𝑦𝑝 que se propone debe ser 𝑦𝑝=𝐴𝑥𝑒 3𝑥 + 𝐴𝑥 2 𝑒 3𝑥 +𝐵cos𝑥+𝐶sin𝑥 3. El operador diferencial que anula a (𝑥) es (𝐷−3) (𝐷2+1)(𝐷2−3𝐷)𝑦=0 4. La solución particular 𝑦𝑝 que se propone debe ser 𝑦𝑝=𝐴𝑥𝑒3X+𝐵cos𝑥+𝐶sin𝑥 SOLUCIÓN Lo primero que debemos realizar es derivar para anular 4 sinx 𝑦´´ − 3𝑦´ = 8𝑒 3𝑥 + 4 𝑠𝑒𝑛𝑥 (1) 𝐷(𝑦´´ − 3𝑦´) = 24𝑒 3𝑥 + 4 𝑐𝑜𝑠𝑥 (2) 𝐷2 (𝑦´´ − 3𝑦´) = 72𝑒 3𝑥 + 4 𝑠𝑖𝑛𝑥 (3) Sumando (1) +(3) 𝐷2 (𝑦´´ − 3𝑦´) + (𝑦´´ − 3𝑦´) = 80𝑒 3𝑥 𝐷3 (𝑦´´ − 3𝑦´) + 𝐷(𝑦´´ − 3𝑦´) = 240𝑒 3𝑥 −3𝐷3 (𝑦´´ − 3𝑦´) − 3(𝑦´´ − 3𝑦´) = −240𝑒 3𝑥 𝐷3 (𝑦´´ − 3𝑦´) + 𝐷(𝑦´´ − 3𝑦´) = 240𝑒 3𝑥 Sumando los dos últimos resultados: −3𝐷2 (𝑦´´ − 3𝑦´) − 3(𝑦´´ − 3𝑦´) + 𝐷3 (𝑦´´ − 3𝑦´) + 𝐷(𝑦´´ − 3𝑦´) = 0 Agrupando 𝐷5 − 6𝐷4 + 10𝐷3 − 6𝐷2 + 9𝐷 = 0 (𝐷 − 3)2 𝐷(𝐷2 + 1) = 0 El polinomio caracteristico será, (𝑟 − 3)2 𝑟(𝑟 2 + 1) = 0 Solucionamos la ecuación y encontramos las 5 raíces r1 =0; r2=3; r3 = − ; r4= 𝑖 Solución: 𝑦(𝑥) = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 3𝑥 + 𝐶3 𝑥𝑒 3𝑥 + 𝐶4 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶5 𝑠𝑒𝑛𝑥 Donde, 𝑦𝑝 = 𝐶3 𝑥𝑒 3𝑥 + 𝐶4 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶5 𝑠𝑒𝑛𝑥 ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra POR QUÉ. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones: Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. 9. Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes. Para el caso 2 al resolver la ecuación característica las soluciones deben ser iguales y reales 𝑚 = 𝑚1 = 𝑚2 y su solución general es de la forma 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑚𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑚𝑥 La ecuación diferencial 𝑦´´−10𝑦´+25𝑦=0 tiene como solución general 𝒚 = 𝐶1 𝑒 5𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 −5𝑥 PORQUE las soluciones de la ecuación auxiliar son 𝑚1 = 𝑚2 = 5. Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. SOLUCIÓN 𝑦´´ − 10 𝑦´ + 25𝑦 = 0 La ecuación auxiliar es 𝑚2 − 10 𝑚 + 25 = 0 Factorizando (𝑚 − 5)2 = 0 y 𝑚1 = 𝑚2 = 5 Por tal razón nuestra solución general se escribe como: 𝒚 = 𝐶1 𝑒 5𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 5𝑥 Por esta razón la respuesta es la D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA por que la solución general no tiene que llevar exponente negativo 𝑦 = 𝐶1 𝑒 5𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 −5𝑥 ya que la solución de la ecuación auxiliar es 𝑚1 = 𝑚2 = 5 Por lo tanto el exponente debe ser positivo es decir 𝑦 = 𝐶1 𝑒 5𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 5𝑥 10. Un operador anulador para la función 𝑔(𝑥) de la ecuación diferencial 𝑦´´+6𝑦´+8𝑦=2𝑥+3𝑒−2𝑥−2sin3𝑥 es 𝐷2(𝐷+2) (𝐷2+9) PORQUE 𝐷2(2𝑥) =0, (𝐷+2) (3𝑒2𝑥) =0 y (𝐷2+9) (−2sin3𝑥) =0. Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. SOLUCION Ecuación diferencial a evaluar: 𝑦´´ + 6𝑦´ + 8𝑦 = 2𝑥 + 3𝑒 −2𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛3𝑥 Primera Hipótesis 𝐷2 (2𝑥) = 0 Segunda hipótesis (𝐷 + 2)(3𝑒 −2𝑥 ) = 0 Propiedad distributiva 3𝐷 𝑒 −2𝑥 + 6𝑒 −2𝑥 = 0 Aplicamos el operador y vemos que es correcta −6𝑒 −2𝑥 + 6𝑒 −2𝑥 = 0 Tercera hipótesis (𝐷2 + 9)(−2𝑠𝑖𝑛3𝑥) = 0 Propiedad distributiva −2𝐷2 𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 18𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 0 Aplicamos al operador por primera vez −6𝐷𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 18𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 0 Aplicamos al operador por segunda vez y vemos que la hipótesis es correcta 18𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 18𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 0 El operador anulador propuesto por la afirmación es correcto. 𝐷 2 (𝐷 + 2)(𝐷2 + 9)(2𝑥 + 3𝑒 −2𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛3𝑥) = 0 PRIMERA ACTIVIDAD GRUPAL Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema: Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Si en el tiempo t=0 la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de 30m/seg, Halle la función x(t) que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de 350N/m DATOS: m= 70 kg k=350 N/m X(0)= 8 mts X´(0)= 30 mts/s Utilizamos la siguiente ecuación para hallar la posición de la masa en cualquier instante de tiempo (t) para un movimiento armónico simple: 𝑑2𝑥 𝑚 2 = −𝑘𝑥 𝑑𝑡 𝑑2 𝑥 𝑑𝑥 Donde la aceleración y la velocidad están dadas por 𝑎 = 𝑑𝑡 2 y 𝑣 = 𝑑𝑡 Resolvemos la ecuación y reescribimos como una ecuación diferencial de segundo orden lineal homogénea: 𝑑2 𝑥 𝑑2𝑥 𝑘 𝑚 2 = −𝑘𝑥 ===> 2 =− 𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑚 Se hace 𝑓(𝑥) = 0 para convertir la ecuación a una homogénea: 𝑑2𝑥 𝑘 ===> + 𝑥=0 𝑑𝑡 2 𝑚 Se escribe la ecuación característica y se resuelve: 𝑘 𝑥′′ + 𝑥=0 𝑚 𝑘 𝑚2 + =0 𝑚 2 𝑘 𝑚2 − (√ 𝑖) = 0 𝑚 Solucionándola por diferencia de cuadrados se tienen las siguientes soluciones: 𝑘 𝑘 (𝑚 − √ 𝑖) (𝑚 + √ 𝑖) = 0 𝑚 𝑚 𝑘 𝑘 𝑚1 = √ 𝑖 , 𝑚2 = √ 𝑖 𝑚 𝑚 Cuando las raíces son complejas conjugadas, la solución general se escribe como: 𝑘 𝑘 𝑥𝑐 = 𝑒 (0)𝑡 (𝐶1 cos√ 𝑡 + 𝐶2 sin√ 𝑡) 𝑚 𝑚 𝑘 𝑘 𝑥𝑐 = 𝐶1 cos√ 𝑡 + 𝐶2 sin√ 𝑡 𝑚 𝑚 Reemplazamos los valores iniciales k= 350 N/s y m=70 kg del problema propuestos en las diferentes fórmulas. 𝑑2 𝑥 𝑘 + 𝑥=0 𝑑𝑡 2 𝑚 350 𝑥´´ + 𝑥=0 70 𝑥´´ + 5𝑥 = 0 ===> 𝑚2 + 5 = 0 𝑚1 = √5𝑖 , 𝑚2 = √5𝑖 Con el Método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma: 𝑥𝑝 = 𝑒 0(0) (𝐶1 cos √5 𝑡 + 𝐶2 sin √5 𝑡) 𝑥𝑝 ´ = 𝑒 0(0) (−√5𝐶1 sin √5𝑡 + √5𝐶2 cos √5𝑡) Haciendo 𝑡 = 0 𝑥(0) = 𝑒 0(𝑡) (𝐶1 cos √5 𝑡 + 𝐶2 sin √5 𝑡) 𝑥(0) = 𝑒 0(0) (𝐶1 cos √5 (0) + 𝐶2 sin √5 (0)) Cuando x se encuentra en t=0 es igual a X(0)= 8 mts 8 = 𝑒 0(0) (𝐶1 cos √5 (0) + 𝐶2 sin √5 (0)) 8 = 𝐶1 (1) + 0 𝐶1 = 8 Derivando la expresión y haciendo 𝑡 = 0 𝑥𝑝 ´ = 𝑒 0(0) (−√5𝐶1 sin √5(0) + √5𝐶2 cos √5(0)) Cuando x´ se encuentra en t=0 es igual a X(0)= 30 mts/s 30 = 𝑒 0(0) (−√5𝐶1 sin √5(0) + √5𝐶2 cos √5(0)) 30 = 0 + √5𝐶2 (1) 30 = √5𝐶2 30 𝐶2 = ===> 𝐶2 = √5 ∗ 6 √5 Por lo tanto, la ecuación de movimiento es: 𝑥(𝑡) = 𝑒 (0)𝑡 (8 cos √5 𝑡 + √5 ∗ 6 sin √5 𝑡) O también la podemos expresar como: 30 𝑥(𝑡) = 𝑒 (0)𝑡 (8 cos √5 𝑡 + sin √5 𝑡) √5 Segunda actividad Grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: SEGUNDA ACTIVIDAD GRUPAL Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura 1 1 Se suelta desde el reposo a 2 unidades debajo de la posición de equilibrio. La masa es de 5 𝐾𝑔 y la 𝑁 constante elástica es 𝑘 = 2 . El movimiento es amortiguado (𝛽 = 1,2) y está siendo impulsado 𝑚 𝜋 por una fuerza periódica externa (𝑇 = 𝑠), comenzando en 𝑡 = 0. Dicha fuerza está definida 2 como 𝑓(𝑡) = 5 𝑐𝑜𝑠 4𝑡. Para esta situación, procedemos a encontrar la ecuación diferencial que describe el movimiento. En los sistemas físicos acelerados la sumatorio de fuerzas se expresa de acuerdo a la formulación de la segunda ley de Newton: ∑ 𝐹 = 𝑚𝑎. De acuerdo al problema planteado se tiene un Movimiento forzado con amortiguamiento. En concordancia con la ley anterior: 𝑑2𝑥 𝑑𝑥 𝑚 2 = −𝑘𝑥 − 𝛽 + 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑2 𝑥 𝑑𝑥 Donde la aceleración y la velocidad están dadas por 𝑎 = 𝑑𝑡 2 𝑦 𝑣 = 𝑑𝑡 Transponiendo términos en la ecuación: 𝑑2𝑥 𝑑𝑥 𝑚 2 = −𝑘𝑥 − 𝛽 + 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 reemplazando los valores dados en esta se tiene: 1𝑑2 𝑥 𝑑𝑥 1 + 1,2 + 2𝑥 = 5 𝑐𝑜𝑠 4𝑡 𝑥(0) = 2 𝑥(0) = 0 5𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 Equivalente a: 2 𝑑 𝑥 𝑑𝑥 2 +4 + 5𝑥 = 25 cos 4𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Se hace 𝑓(𝑥)=0 para convertir la ecuación a una homogénea: 𝑑2𝑥 𝑑𝑥 2 +4 + 5𝑥 = 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Se escribe la ecuación característica y se resuelve: 𝑚2+4𝑚+5=0 Solucionándola por fórmula cuadrática se tienen las siguientes soluciones: 𝑚1=−2+𝑖, 𝑚2=−2−𝑖 Cuando las raíces son complejas, la solución se escribe como: 𝑦𝑐=𝑒−2𝑡(𝐶1cos𝑡+𝐶2sin𝑡) Con el Método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma: 𝑦𝑝=𝐴cos4𝑡+𝐵sin4𝑡 𝑦𝑝´=−4𝐴sin4𝑡+4𝐵cos4𝑡 𝑦𝑝´´=−16𝐴cos4𝑡−16𝐵sin4𝑡 Sustituyendo en la ED 𝑑2𝑥 𝑑𝑥 2 +4 + 5𝑥 = 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 −16𝐴 cos 4𝑡 − 16𝐵 sen 4𝑡 + 4(−4𝐴 sen 4𝑡 + 4𝐵 cos 4𝑡) + 5(𝐴 cos 4𝑡 + 𝐵 sen 4𝑡) = 25 cos 4𝑡 Operando: −16𝐴 cos 4𝑡 − 16𝐵 sen 4𝑡 − 16𝐴 sen 4𝑡 + 16𝐵 cos 4𝑡 + 5𝐴 cos 4𝑡 + 5𝐵 sen 4𝑡 = 25 cos 4𝑡 Reuniendo términos semejantes: −11𝐴 cos 4𝑡 − 11𝐵 𝑠𝑒𝑛 4𝑡 − 16𝐴 𝑠𝑒𝑛 4𝑡 + 16𝐵 cos 4𝑡 = 25 cos 4𝑡 Factorizando: (−11𝐴+16𝐵) cos4𝑡+(−16𝐴−11𝐵) sin4𝑡=25cos4𝑡 El sistema de ecuaciones resultante: −11𝐴+16𝐵=25 −16𝐴−11𝐵=0 Se cumple que: 25 50 𝐴=− 𝑦𝐵= 102 51 Reescribiendo: 𝑦𝑝 = 𝐴 cos 4𝑡 + 𝐵 𝑠𝑒𝑛 4𝑡 25 50 𝑦𝑝 = − cos 4𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 4𝑡 102 51 La solución sería: 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 25 50 𝑦 = 𝑒 −2𝑡 (𝑐1 cos 𝑡 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝑡) − cos 4𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 4𝑡 102 51 Haciendo 𝑡=0 25 50 𝑦(0) = 𝑒 −2(0) (𝑐1 cos(0) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 (0)) − cos 4(0) + 𝑠𝑒𝑛 4(0) 102 51 1 25 50 = 𝑒 −2(0) (𝑐1 cos(0) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 (0)) − cos 4(0) + 𝑠𝑒𝑛 4(0) 2 102 51 1 25 𝑐1= + 2 102 38 𝑐1= 51 Derivando la expresión y haciendo 𝑡=0 86 𝐶2 = − 51 Por lo tanto la ecuación de movimiento es: 38 86 25 50 𝑦 = 𝑒 −2𝑡 ( cos 𝑡 − sen 𝑡) − cos 4𝑡 + sen 4𝑡 51 51 102 51 SOLUCION De acuerdo al problema planteado se tiene un Movimiento forzado con amortiguamiento. Sea 𝑥(𝑡) la posición en cualquier instante 𝑡 de la masa en consideración. Recordemos que la primera derivada con respecto al tiempo de 𝑥(𝑡) nos representa la velocidad de la masa y su segunda derivada representa la aceleración. Además teniendo en cuenta que la dirección positiva de los ejes es aquella que va de izquierda a derecha (convención), obtenemos de la segunda ley de Newton anterior que: 𝑑2𝑥 𝑑𝑥 𝑚 2 = −𝑘𝑥 − 𝛽 + 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑2 𝑥 𝑑𝑥 Donde la aceleración y la velocidad están dadas por 𝑎 = 𝑑𝑡 2 y 𝑣 = . Además, 𝑚 representa la 𝑑𝑡 masa, 𝑘 es la constante elástica del resorte y 𝛽 es la constante de amortiguamiento. Reorganizando la ecuación: 𝑑2 𝑥 𝑑𝑥 𝑚 2 +𝛽 + 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Y reemplazando los valores dados en esta se tiene: 1 𝑑2 𝑥 𝑑𝑥 + 1,2 + 2𝑥 = 5 cos 4𝑡 5 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 Ahora como la masa se suelta desde el reposo, se cumple que 𝑥 ′ (0) = 0 y además por la gráfica se observa que la posición inicial de la masa, es decir, la posición en el instante t=0 es ½, luego se tiene que las condiciones iniciales vienen dadas por: 1 𝑥(0) = 𝑥 ´ (0) = 0 2 La ecuación diferencial anterior es equivalente a (multiplicando por 5 a ambos lados de la ecuación): 𝑑2𝑥 𝑑𝑥 + 𝟔 + 𝟏𝟎𝒙 = 25 cos 4𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 Para resolver la ecuación diferencial, primero hallamos la solución de la homogénea asociada: Se hace 𝑓(𝑥) = 0 para convertir la ecuación a una homogénea: 𝑑2𝑥 𝑑𝑥 2 +𝟔 + 𝟏𝟎𝒙 = 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 En el orden de ideas visto anteriormente, la ecuación característica seria: 𝑚2 + 𝟔𝒎 + 𝟏𝟎 = 0 −𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐 Solucionando la ecuación característica correcta mediante la fórmula cuadrática se tiene: 2𝑎 −𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒 𝒂𝒄 𝒎= 𝟐𝒂 −𝟔 ± √𝟔𝟐 − 𝟒 ∗ 𝟏 ∗ 𝟏𝟎 𝒎= 𝟐∗𝟏 −𝟔 ± √𝟑𝟔 − 𝟒𝟎 𝒎= 𝟐 −𝟔 ± √−𝟒 𝒎= 𝟐 −𝟔± √−𝟒 𝒎= Donde √−4 = √4𝑖 𝟐 −𝟔 ± √−𝟒𝒊 𝒎= 𝟐 𝟔 ± √−𝟒𝒊 𝒎=− 𝟐 𝟐 𝟑 ± √−𝟒𝒊 𝒎=− 𝟏 𝟐 ± √−𝟒𝒊 Tenemos alfa -3 y beta . 𝟐 𝑚1 = −𝟑 + 𝑖 𝑚2 = −𝟑 − 𝑖 Como las raíces encontradas anteriormente son complejas, la solución homogénea se escribe como: 𝑥𝑐 = 𝑒 −𝟑𝑡 (𝐶1 cos 𝑡 + 𝐶2 sin 𝑡) Ahora, procedamos a calcular una solución particular. La suma de estas dos soluciones, particular y homogénea (previamente hallada) nos brindara la solución general del problema de valor inicial. Con el Método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma: 𝑦𝑝 = 𝐴 cos 4𝑡 + 𝐵 sin 4𝑡 𝑦𝑝 ´ = −4𝐴 sin 4𝑡 + 4𝐵 cos 4𝑡 𝑦𝑝 ´´ = −16𝐴 cos 4𝑡 − 16𝐵 sin 4𝑡 Sustituyendo en la ED 𝑑2𝑥 𝑑𝑥 + 𝟔 + 𝟏𝟎𝑥 = 0 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 −16𝐴 cos 4𝑡 − 16𝐵 sen 4𝑡 + 𝟔(−4𝐴 sen 4𝑡 + 4𝐵 cos 4𝑡) + 𝟏𝟎(𝐴 cos 4𝑡 + 𝐵 sen 4𝑡) = 25 cos 4𝑡 Operando: mediante la propiedad distributiva) con la expresión adecuada −16𝐴 cos 4𝑡 − 16𝐵 sen 4𝑡 − 𝟐𝟒𝑨 sen 4𝑡 + 𝟐𝟒𝑩 cos 4𝑡 + 𝟏𝟎𝑨 cos 4𝑡 + 𝟏𝟎𝑩 sen 4𝑡 = 25 cos 4𝑡 Reuniendo términos semejantes: −𝟔𝑨 cos 4𝑡 − 𝟔𝑩 𝑠𝑒𝑛 4𝑡 − 𝟐𝟒𝐴 𝑠𝑒𝑛 4𝑡 + 𝟐𝟒𝐵 cos 4𝑡 = 25 cos 4𝑡 Factorizando: (−𝟔𝑨 + 𝟐𝟒𝐁) cos 4𝑡 + (−𝟐𝟒𝑨 − 𝟔𝑩) 𝑠𝑒𝑛 4𝑡 = 25 cos 4𝑡 El sistema de ecuaciones resultante: −𝟔𝑨 + 𝟐𝟒𝑩 = 25 −𝟐𝟒𝐴 − 𝟔𝐵 = 0 Resolvamos este sistema usando el método de sustitución. Resolviendo para A tenemos: 25 − 24𝐵 −6𝐴 = 25 − 24𝐵 → 𝐴 = − 6 Reemplazando este valor: 24𝐵 − 25 −24 ( ) − 6𝐵 = 0 6 Despejemos 𝐵 : −4(24𝐵 − 25) − 6𝐵 = 0 −96𝐵 + 100 − 6𝐵 = 0 −102𝐵 = −100 −100 50 𝐵= = −102 51 De esta manera, 50 1200 24 ( ) − 25 − 25 1200 − 1275 −75 −25 𝐴= 51 = 51 = = = 6 6 (51)(6) 306 102 Reescribiendo y reemplazando las constantes previamente halladas: 𝑥𝑝 = 𝐴 cos 4𝑡 + 𝐵 sin 4𝑡 25 50 𝑥𝑝 = − cos 4𝑡 + sin 4𝑡 102 51 Las constantes que se hallaron en el problema son las correctas, pero de hecho no corresponden al sistema (*) del que se habla anteriormente. La solución general sería: 𝑥(𝑡) = 𝑥𝑐 + 𝑥𝑝 25 50 𝑦 = 𝑒 −𝟑𝑡 (𝑐1 cos 𝑡 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝑡) − cos 4𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 4𝑡 102 51 Haciendo t = 0 Utilizando la correcta solución 𝑥(𝑡) tenemos lo siguiente: 25 50 𝑦(0) = 𝑒 −𝟑(0) [𝐶1 cos(0) + 𝐶2 sin(0)] − cos 4(0) + sin 4(0) 102 51 1 25 50 = 𝑒 −𝟑(0) (𝑐1 cos(0) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 (0)) − cos 4(0) + 𝑠𝑒𝑛 4(0) 2 102 51 1 25 𝑐1= + 2 102 38 𝑐1= 51 Derivando la expresión y haciendo t = 0 86 𝐶2 = − 51 Por lo tanto, la ecuación de movimiento es: 38 86 25 50 F𝑦 = 𝑒 −𝟑𝑡 (51 cos 𝑡 − 51 sen 𝑡) − 102 cos 4𝑡 + 51 sen 4𝑡 CONCLUSIONES Identificamos los diferentes conceptos de las ecuaciones diferenciales de orden superior: Ecuaciones lineales de segundo orden ecuaciones lineales de orden n, aplicaciones de las ecuaciones de orden superior, además de los diferentes métodos de solución general y o particular aplicándolos y relacionándolos con situaciones problema de la ingeniera en el campo profesional y situaciones de la cotidianidad. La actividad nos permito afianzar los conocimientos adquiridos en el estudio de las ecuaciones diferenciales de orden superior, alcanzando las metas planteadas en la parte individual y colaborativa, a través del desarrollo de ejercicios y problemas plantados para tal fin. se desarrollan los ejercicios de acuerdo a lo comprendido en las unidades del curso y lo investigado en otras fuentes, permitiendo socializar totalmente terminado con su debido proceso y correcto resultado. Los integrantes del grupo de trabajo colaborativo aplicamos los diferentes métodos de solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior relacionándolos con situaciones y problemas de la ingeniera e interpretamos su aplicación en el campo profesional. Identificamos las características implícitas en el reconocimiento de una ecuación diferencial de orden superior y nos apropiamos de los elementos conceptuales mediante la investigación y solución de los ejercicios propuestos. BIBLIOGRAFIA Alvarado, E. (2014). Operador anulador. UNAD. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7215. Alvarado, E. (2014). Solución ecuaciones diferenciales método coeficientes indeterminados. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7214 Alvarado, E. (2014). Solución ecuaciones diferenciales por variación de parámetros. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7213 García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 67-112). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 54-107). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022 Montoya, W. (2015). Criterios de Convergencia de Series Infinitas. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7220